LA CIRCUNFERENCIA PROBLEMAS RESUELTOS
Problema Nº 01 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x
mQRS m∠PQS = 2
Se traza la cuerda SQ
Q 70º+x
50°
2X
P
Reemplazando:
m∠PQS =
140º +2x = 70º + x 2
En el triángulo PQS:
R X
X + (X+70) + 50°= 180° Resolviendo la ecuación:
S
140° X = 30°
Problema Nº 02 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m∠ ∠HRS=20º; calcule la m∠ ∠QPR. RESOLUCIÓN PSQ = x
En el triángulo rectángulo RHS m ∠ S = 70º Por ángulo inscrito
Q
70º = S
70°
140° 20°
R
X
mQR 2
mQR = 140°
Es propiedad, que: P
140°+ X = 180°
Resolviendo:
X = 40°
Problema Nº 03 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º. RESOLUCIÓN Medida del ángulo interior
APD = x A
130° + mBC = 90° 2
B 130°
50° D
C
mBC = 50°
Medida del ángulo exterior
x
P
130° − 50° X= 2 Resolviendo:
X = 40°
Problema Nº 04 En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠ ∠APN. RESOLUCIÓN Se traza el radio OM: APN = x N Dato: OM(radio) = PM
54° A
Luego triángulo PMO es isósceles
M
o
x
x B
Ángulo central igual al arco x
P Medida del ángulo exterior
54° − X X= 2 Resolviendo:
X = 18°
Problema Nº 05 En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m∠ ∠PRQ. RESOLUCIÓN B
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: 70°+ mPQ = 180°
70° 110°
Medida del ángulo inscrito:
Q
P
X= x A
R
mPQ = 110°
C
110° 2
Resolviendo:
X = 55°
Problema Nº 06
Calcule la medida del ángulo “X”.
A
70°
X
B
P
Resolución
RESOLUCIÓN
C
A
70°
140º
X
P
B Medida del ángulo inscrito: 70 º =
mAB 2
mAB=140º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
140º + x = 180º
Resolviendo:
X = 40º
Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”
A
130º
B
X
Resolución
P
A
260º
130º
RESOLUCIÓN
C
X
P
B mAB Medida del ángulo inscrito: 130 º = 2
mAB = 260º
En la circunferencia: 260º + mACB = 360º
mACB = 100º
Por la propiedad del ángulo exterior mACB + x = 100º formado por dos tangentes:
X = 80º
Problema Nº 08 Calcule el perímetro del triángulo ABC.
B
2
A
C 5
5 Resolución
RESOLUCIÓN B
a
2
b
A 5
5
C
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) a + b = 14 Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 Reemplazando (1) en (2)
(2p) = 14 + 10
(1) (2) (2p) = 24
Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m∠ ∠QPR . PLANTEAMIENTO Q a 80º
X
P
R S a
Resolución
RESOLUCIÓN Q a 80º
P
X
R En la circunferencia: S a
2a + 80º = 360º a = 140º
Medida del ángulo exterior:
a − 80º 140º −80º X= = 2 2
X = 30º
Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m∠ ∠Q = m∠ ∠S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Q PLANTEAMIENTO 3
R
P 2
Resolución S
Q
RESOLUCIÓN Dato:
a
b
3
a + b + c + d = 22cm
R
P 2
d
Teorema de Poncelet: PQR a + b = PR+2(3) PSR c + d = PR+2(2)
c S
+
a +b + c + d = 2PR + 10 22 = 2PR + 10
PR = 6cm