La Parábola
2.1. Definición.
Allendoerfer, C; Oakley, Cl; Linares,
A (1973 427)
una parábola es el lugar
geométrico de todos los puntos p tales que la distancia de p a un punto fijo es siempre igual a al distancia de p a una recta fija, el punto fijo se llama foco; la recta fija directriz. La recta que pasa por el foco y es perpendicular al directriz se llama eje de la parábola.
Podemos decir entonces que la parábola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia de una recta fija situada en el plano es siempre igual a su distancia de un punto fijo del plano y que no pertenece a la recta.
La recta que es perpendicular a la directriz y que pasa por el foco se llama eje focal, la intersección de la parábola con el eje focal se denomina vértice. La cuerda focal es el segmento de recta perpendicular al eje focal y que pasa por el foco, en nuestra gráfica, esta es el lado recto.
la gráfica de una función cuadrática
con
, es una
parábola. Sin embargo, no toda parábola es la gráfica de una función, como podemos concluir de la siguiente definición.
La Parábola El punto medio entre el foco y la directriz se llama vértice, la recta que pasa por el foco y por el vértice se llama eje de la parábola.Se puede observar en la figura 1 que una parábola es simétrica respecto a su eje. La parábola es una de las secciones cónicas. Es una curva plana que se puede ajustar, en relación a un sistema de coordenadas ortonormales, con la relación o con la aplicación de una transformación que represente un giro a dicha relación
Se trata del lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de uno fijo, llamado foco (F), y de una recta cualquiera, llamada directriz (D).
2.2. Elementos de la parábola. Según Figueroa, R (2002) la parábola presenta los siguientes elementos:
1. VÉRTICE (v) Es el punto de intersección de la parábola con el eje de simetría.
2. FOCO (f) Es el punto fijo, situado sobre el eje de simetría a p unidades del vértice. 3. EJE DE SIMETRÍA (l1 ) Recta perpendicular a la directriz l y que pasa por el vértice y el foco.
( )
4. CUERDA CE Es el segmento de la recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.
5. DIRECTRIZ (l) Recta fija, perpendicular al eje de simetría l1 .
( )
6. CUERDA FOCAL AB Segmento de recta que une dos puntos de la parábola pasando por el foco.
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La Parábola 7. LADO RECTO (LR) Es una cuerda focal perpendicular al eje de simetría.
8. RADIO VECTOR: Se le denomina a la recta que une al foco F con un punto cualquiera de la curva. 8. PARAMETRO: Es la distancia del foco a la directriz y se representa con una p.
10. ORIGEN (O): Es el punto de la curva más cercano a la directriz, siendo este, el inicio de la parábola.
2.4. Ecuaciones de una parábola. 2.4.1. Ecuación canónica. Ecuación canónica La ecuación de la parábola toma su forma más simple o reducida cuando el vértice está en el origen y el eje coincide con uno de los ejes de coordenadas. Si el vértice está en el origen y el eje de la parábola coincide con el eje x, la ecuación de la parábola es: y 2 = 4px También suele utilizarse a en lugar de p, siendo 2p la distancia de la directriz al foco F. Esta distancia se denomina parámetro de la directriz y su valor coincide con el de la
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La Parábola ordenada focal, es decir, con la mitad de la longitud de la cuerda trazada por el foco perpendicularmente al eje.
En general, para cualquier parábola (con eje paralelo al eje x) de vértice (h,k) se tiene que su ecuación canónica (o principal) es: ( y − k ) = 4 p ( x − h ) . 2
La orientación del eje de la parábola la da el elemento que no esté al cuadrado; así una parábola en que el elemento al cuadrado es x, quiere decir que su eje es paralelo al eje y. Además, el signo de 4p indica la dirección de la apertura de la parábola: si 4p es positivo (mayor que cero), entonces la apertura es en dirección en que crece el respectivo eje. Herrera, M y Montero, F (2002:28) nos presenta la siguiente formula: Formula de la entrada o forma vértice -4p (longitud del lado recto) de la ecuación de la parábola. Dada la siguiente parábola con vértice en el origen V (0,0) en donde:
D: es la directriz y tiene la ecuación: x= -p o x + p = 0 P: es un punto cualquiera de la parábola y tiene las coordenadas: A (x, y) f: es el foco de la parábola y sus coordenadas son: f (p, 0) . Por definición: DA = Af , con lo que: X+p=
(x − p )2 + ( y − p )2
x 2 + 2 px + p 2 = x 2 − 2 xp + p 2 + y 2 , simplificando términos, ordenando y despejando: y2 . y 2 = 4px ecuación de la parábola con eje focal horizontal y con vértice en el origen.
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La Parábola Una parábola puede tener su eje focal (la recta que pasa por el foco y vértice) en posición vertical, horizontal u oblicua. Por lo pronto, solo se analizaran los dos primeros, casos. La ecuación es la siguiente:
x 2 = 4py para la parábola vertical con vértice en el origen.
y 2 = 4px
para la parábola horizontal con vértice en el origen.
Las ecuaciones de la parábola con vértice fuera del origen son:
( y − k )2 = 4 p(x − h )
Para la parábola horizontal con vértice fuera del origen.
La ecuación de una parábola de vértice (h, k) y eje focal paralelo al eje X es de la forma: (y - k)² = 4p(x - h) y sus elementos son los siguientes: •
Foco(h + p, k)
•
Directriz x = h – p
•
Eje focal y = k
•
Donde 4| p | es la magnitud del lado recto y siendo | p | la longitud entre el foco y el vértice.
•
Si p > 0 la parábola se abre hacia la derecha.
•
Si p < 0 la parábola se abre hacia la izquierda.
(x − h )2 = 4 p( y − k ) Para la parábola vertical con vértice fuera del origen. Si el eje es paralelo al eje Y la ecuación es de la forma (x - h)² = 4p (y - k) y sus elementos son: •
Foco (h, k + p)
•
Directriz y = k – p
•
Eje focal x = h
•
Si p > 0 la parábola se abre hacia arriba.
•
Si p < 0 la parábola se abre hacia abajo.
Aunque p representa una longitud (seria siempre positiva), generalmente se considera que puede tener signo positivo o negativo, dependiendo de la dirección hacia donde abre la parábola. De esta manera:
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La Parábola Para p > 0, la parábola abre hacia la derecha si es horizontal o hacia arriba si es vertical.
p>0 p>0
Para p < 0, la parábola abre hacia la izquierda si es horizontal o hacia abajo si es vertical.
p<0
p<0 La
ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje x, vértice en (h, k) y cuya distancia al foco es p es:
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La Parábola
La ecuación para una parábola con eje focal paralelo al eje y, vértice en (h, k) y cuya distancia al foco es p es:
La forma canónica de la ecuación de una parábola con vértice V = (h, k ) y directriz y = k − p es:
(x − h )2 = 4 p( y − k )
El eje de la parábola es vertical y el foco
está a /P/ unidades (orientadas) del vértice.
Si p>0, la parábola abre hacia arriba y el foco está en (h, k+p); si p<0, la parábola abre hacia abajo y el foco está en (h, k-p). Si la directriz es x=h-p (eje horizontal), la ecuación es:
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( y − k )2 = 4 p(x − h ) El eje de la parábola es horizontal y el foco
está a /p/ unidades (orientadas) del
vértice. Si, p>0 la parábola abre hacia la derecha y el foco está en (h+p, k) ; si p<0, la parábola abre hacia la izquierda y el foco está en (h-p, k)
.
Observación: La demostración de este teorema no es difícil, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 1).Para el caso en el cual el eje de la parábola es vertical, tenemos que
(x − h )2 + (( y − k ) − p )2 = −(k − p ) (x − h )2 + (( y − k ) − p )2 = ( y − (k − p ))2 (x − h )2 = 4 p( y − k )
Figura 1
2.4.2. Ecuación general. Parábola con vértice en h, k y eje paralelo respectivamente al eje x o al eje y:
( y − k )2 = 4 p(x − h ) y 2 − 2ky + k 2 = 4 px − 4 ph En donde:
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La Parábola D = −4 p E = −2k F = k 2 + 4 ph y 2 + Dx + Ey + F = 0 Ubicando la parábola para que el foco esté sobre un eje cartesiano, hay 4 posibles parábolas. El término lineal de la ecuación indicará sobre qué eje está ubicado el foco (eje focal), y el signo del mismo, hacia dónde se abre la parábola (positivo: hacia arriba o derecha, negativo: hacia abajo o izquierda.
O
y 2 + Dx + Ey + F = 0
X 2 + Dx + Ey + F = 0
2.4.3. Tangente de la parábola. Si son ( x0 , y0 ) y ( x1 , y1 ) dos puntos de la parábola, la ecuación de la recta que pasa por ellos será:
y − y0 =
y1− y0 (x − x0 ) ; Por estar los dos puntos situados sobre la parábola, se x1 − x0
verifican las igualdades:
y1 = 2 px1 2
y0 = 2 px0 , 2
Restando ordenadamente estas dos igualdades resulta:
y1 − y0 = 2 p( x1 − x0 ) , o bien 2
2
( y1 − y0 )( y1 + y0 ) = 2 p(x1 − x0 ) Si en esta igualdad dividimos por x1 − x0 y despejamos el cociente
y1− y0 tenemos x1 − x0
y1− y0 2p = , y haciendo tender P1aP0 se tiene finalmente y1 + y0 x1 − x0 lím
y1− y0 2p p = = ,luego sustituyendo este limite en la ecuación de la recta P0 P , x1 − x0 2 y0 y0
obtendremos la de la tangente.
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La Parábola y − y0 =
p (x − x0 ) . y0
Multiplicando en esta ecuación los dos miembros por y0 y teniendo presente que es
y0 = 2 px0 , queda en la forma. 2
y0 y = p ( x + x0 ) , que es la más apropiada para su aplicación. Si buscamos la abscisa del punto en que la tangente corta al eje de la parábola, habremos de buscar la intersección de la recta hallada con OX, haciendo para ello, y = 0 en su ecuación se deduce: x= - x0 , luego la tangente corta al eje en un punto cuya abscisa es igual y de signo contrario a la del punto de contacto. Esto nos dice que si desde un punto P0 de una parábola se traza una perpendicular al eje , el pie de esta perpendicular y el punto de intersección de la tangente en P0 con el eje, están colocados simétricamente respecto del vértice. (Iñiguez, J:1954).
d
y
0
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f
x
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2.5. Propiedades de la parábola. Figueroa, R (2002) presenta las siguientes propiedades. 2.5.1. Propiedad Focal o Reflectora De La Parábola.
La recta que une al foco con cualquier punto t de la parábola y una recta paralela al eje, forma ángulos iguales con la tangente ala parábola que pasa por t.
Demostración Hipótesis: Supongamos que la forma de la parábola es P: y 2 = 4 px y sea T ( x0 , y0 ) el punto de tangencia. Tesis: Probaremos que α = β Se tiene que la pendiente de la tangencia es m =
y − y0 =
2p , de modo que su ecuación es: y0
2p (x − x0 ) y0
Como t es distinta del vértice, la recta tangente l corta al eje x en el punto P ( x1 ,0 ) .
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La Parábola Podemos probar ahora que los ángulos αyβ son iguales si demostramos que el
∆PFT es isósceles. De la ecuación de la tangente en y = 0, vemos que:
− y0 =
2p 2 ( x1 − x0 ) ⇒ − y0 = 2 px1 − 2 px0 y0
Si t ( x0 , y0 ) ∈ p ⇒ y0 = 4 px0 ⇒ −4 px0 = 2 px1 − 2 px0 ⇒ x1 = − x0 2
Lo cual implica que la longitud
PF = p − x1 = p + x0 Además, por la formula de la distancia:
FT
=
(x0 − p )2 + y0 2
Por lo tanto, PF
=
(x0 − p )2 + 4 px0
=
(x0 + p )2
= x0 + p
= FT , luego el ∆PFT es isósceles y concluimos que α = β
2.5.2. Propiedad De La Normal a Una Parábola.
La normal a una parábola en un punto t de la misma, forma ángulos iguales con el radio vector de t y la recta que pasa por t y es paralela al eje de la parábola.
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La Parábola 2.5.3. Propiedad de la construcción geométrica de la tangente.
Si por cualquier punto de una parábola distinto del vértice, se trazan una tangente y una
perpendicular
al
eje
focal,
que
interceptan a este, respectivamente en P y Q, entonces el vértice de la parábola es punto medio del segmento determinado por P y Q.
Demostración: En efecto, sean la parábola P : y 2 = 4 pxyT ( x0 , y0 ) el punto de tangencia. La ecuación de la tangente en T es
L : y − y0 =
2p (x − x0 ) y0
Para y = 0, se tiene: − y0 = 2 px − 2 px0 2
(
)
Como T x0 , y0 ∈ P ⇒ y0 = 4 px0 2
Luego, − 4 px0 = 2 px − 2 px0 ⇒ x0 = − x Esto es, VQ =
− VP , o sea, V es punto medio de PQ
Esta propiedad nos permite construir la tangente en un punto T de la parábola. , pues basta proyectar T sobre el eje de la curva y llevar VQ sobre el mismo eje, pero en sentido contrario, para obtener el punto P, que unido con T, da la tangencia pedida.
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2.5.4. Propiedad De La Construcción Geométrica De La Tangente a la parábola desde un punto p, exterior a la curva. Sean la parábola P : y 2 = 4 pxy y el punto exterior P ( x0 , y0 ) . Con centro en P, trácese la circunferencia de radio PF , que intercepta a la directriz l en los puntos D1 yD2 . POR estos puntos se trazan paralelas al eje de la curva que la interceptan en T1 yT2 . Uniendo el punto exterior P con
T1 yT2 se tendrán las tangentes L1 yL2 .
2.5.5. Propiedad del área del segmento parabólico.
El área de un segmento parabólico es los del área del rectángulo cuyos lados son las respectivas abscisas y ordenadas de la parábola.
2.5.6. Propiedad intrínseca de la Parábola. La ecuación de una parábola en su forma canónica nos permite ver que la relación que existe entre la distancia que separa un punto de la parábola de su eje y la distancia que separa el mismo punto de la tangente en el vértice, es al misma.
Esta propiedad intrínseca describe la forma de la parábola sin referirse a los ejes coordenados y se conserva si alteramos la posición de la parábola y, por consiguiente, se puede emplear para obtener la ecuación de la curva en cualquier posición.
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