Problemas sobre la parรกbola
2 Graficar la parábola 2 x + 4 x − 5 y + 12 = 0 y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.
Ejemplo 1
Solución
( x + 1)
2
=
5 ( y − 2) 2
15
12.5
V ( −1,2 )
10
2 F −1, 8
7.5
5
La longitud del lado recto es:
5 2
2.5
-6
-4
-2
2
4
Ejemplo 2
Solución
La calzada de un puente parabólico está sobre el lado recto de una parábola, cuyo vértice está a 20 m de altura por arriba de la calzada. Tomando como eje x a la horizontal que define a la calzada, y como eje y al eje de simetría de la parábola, y si los extremos del lado recto están cada uno a 60 m del foco, determinar la gráfica y la ecuación de la parábola, y las coordenadas de los puntos de anclaje del puente en las orillas de la Bahía . x 2 = −80 ( y − 20 )
Los puntos de anclaje del puente son: P ( −60, −25 ) Q ( 60, −25 )
P
Q
Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice coincide con el origen, las coordenadas del foco son F ( p, 0 ) , la ecuación de la directriz es x = − p. Por lo que, P si ( x, y ) es cualquier punto de la parábola entonces se satisfacen las siguientes relaciones: y d ( P, F ) = d ( P, L P ( x, y )
Q
( x − p) + y 2 = 2
Λ
( x − p) p
p x
O
2
( x − p)
2
x+p 12 + 02
+ y2 = y + p
+ y 2 = ( y + p)
F(p,0)
y 2 = 4 px x = −p
)
La parábola abre hacia la derecha si p > 0 La parábola abre hacia la izquierda si p < 0
2
Si el eje de simetría de la parábola es horizontal y su vértice esV ( h, k ) , las coordenadas del foco son F ( h + p, k ) , y la ecuación de la directriz es x = h − p. Por lo que, si P ( x, y ) es cualquier punto de la parábola, entonces se satisfacen las siguientes relaciones: y
P ( x, y )
Q
d ( P , L ) = d ( P, F )
( x − h − p) + ( y − k ) = 2
p k
0
( x − h − p)
p F ( h + p, k )
h
( x − h − p) x
2
x −h+ p 12 + 02
2
+ (y − k ) = x + p
2
+ ( y − k ) = ( x − h + p)
2
2
(y − k )
2
= 4p ( x − h )
Λ x=h−p
La parábola abre hacia la derecha si p > 0 La parábola abre hacia la izquierda si p < 0
2
Ejemplo 3
Solución
2 Graficar la parábola y + 8 x + 6 y − 7 = 0 y obtener la forma canónica de su ecuación. Además obtener la longitud del lado recto y las coordenadas del vértice y del foco de la parábola.
( y + 3)
2
= −8 ( x − 2 )
4 2
V ( 2, −3 )
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2
F ( 0, −3 )
-4 -6 -8 -10
La longitud del lado recto es:
8
2