Elementos de la elipse
La Tierra describe una trayectoria elíptica alrededor del Sol, el cual se encuentra en uno de los focos. Si el semieje mayor de la elipse mide 1,485x108 km, y la excentricidad de la misma es aproximadamente igual a 1/60, se puede calcular la máxima y la mínima distancia de la Tierra al Sol.
T
S
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos es una constante positiva. Los puntos fijos se llaman focos , y el punto medio del segmento que une a los focos se llama centro de la elipse. Conocidos los focos y la suma de las distancias a ellos desde uno de los puntos de la elipse, se puede trazar la elipse. Observe:
Q P
m
F1
C
F2
1. Con centro en F1 trazar una circunferencia C de radio 2a. 2. Unir un punto Q de C con los focos F1 y F2. 3. Trazar la mediatriz m del segmento F2Q para obtener un punto P en m FQ 1 , el cual es punto de la elipse, porque: Por ser m mediatriz de F2Q y por estar P en m, se tiene que PQ PF2, y como F1P PQ 2a, entonces F1P F2P 2a. O sea P está en la elipse.
Repitiendo los pasos 2 y 3 del procedimiento anterior con otros puntos X de la circunferencia C, se obtienen mรกs puntos P de la elipse. Observe:
m
P
C
X
F1
F2
Si F1 y F2 son fijos, ¿qué sucede con la hipérbola si el valor de a crece? Aumenta el tamaño de la elipse .
Si F1 y F2 son fijos, ¿qué sucede con la hipérbola si el valor de a decrece?
Disminuye el tamaño de la elipse.
¿Qué ocurre si en el procedimiento de construcción de la elipse se comienza trazando C con centro en F2 y con el mismo radio 2a? Se obtiene la misma elipse. ¿Es tangente a la elipse, la mediatriz m del segmento F2Q? Sí. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos medios de los segmentos F2Q, con Q punto arbitrario de C? Es una circunferencia tangente a la elipse en sus vértices (intersecciones de la elipse con la recta que pasa por los focos ).
Segmentos y puntos notables de una elipse B2 P
V1
F1
C
Q B1
F2
V2
El segmento F1F2 que tiene por extremos a los focos F1 y F2 se llama línea focal o segmento focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2c. Por lo que, la distancia del centro C de la elipse a cada uno de los focos es igual a c.
Los puntos de intersección de la elipse con la línea recta que pasa por los focos, se llaman vértices de la elipse, y se les denota como V1 y V2.
El segmento V1V2 que tiene por extremos a los vértices V1 y V2 se llama eje mayor o eje focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2a. La cuerda B1B2 perpendicular al eje focal por el centro C de la elipse, se llama eje menor o eje no focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2b. Cada cuerda PQ perpendicular al eje focal por alguno de los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse.
El eje focal V1V2 tiene una longitud igual a 2a, y la distancia del centro a cada vértice es a; porque: Por ser V2 punto de la elipse, se tiene que:
B2 a
a V1
C
F1
F2
c
Sustituyendo F1V2 en la primera relación, se tiene:
Pero: VV 1 2 2CV2 2 CF2 F2V2 2CF2 2F2V2
B2 a
V2
Además: FV 1 2 F1F2 F2V2 2CF2 F2V2
2CF2 2F2V2 2a
B1
F1
FV 1 2 F2V2 2a
Entonces: VV y CV2 CF2 F2V2 a 1 2 2a
b
C
Además, por el teorema de Pitágoras se sigue que: c 2 a2 b2
El centro C equidista de los extremos B1 y B2 del eje menor de la elipse, porque: Por ser la recta B1B2 mediatriz del segmento focal F1F2, y por ser B1 y B2 puntos de la elipse, se tiene que: B2 B1F1 B1F2 a B2F1 B2F2 a a Entonces la hipotenusa B2F1 y el cateto F1C del V1 V2 triángulo rectángulo B2CF1 son respectivamente C F1 F2 congruentes con la hipotenusa B1F1 y el cateto F1C a a del triángulo rectángulo B1CF1 . Por lo que:
B1CF1 B2CF1
B1 De donde:
B1C B2C b
Además por pasar por el centro, las cuerdas B1B2 y V1V2 son diámetros de la elipse. Y por ser la hipotenusa mayor que cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo, se sigue que VV 1 2 2a 2b B1B2 Por lo que a V1V2 también se le llama diámetro mayor y a B1B2 también se le llama diámetro menor de la elipse.
Si los focos están sobre el eje de las x, y si el origen es el centro de la elipse; entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que:
PF1 PF2 2a
y
x c y 0 2
P x, y
x c y 0 2
x
F1 c,0 0
F1
c
2
2a
x c
2
2a
x c y 0 2
2
y2
c 2 x 2 a4 2a2cx a2 x 2 2cx c 2 a2 y 2
b
c a
C
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2b 2
B2 a
2
x c y 0
De donde:
cx a2 a F2 c,0
2
x
a
2
a2 x 2 a2 y 2 a2 c 2 a2
2
c2
2
a2 y 2 a2
2
c2
x2 y 2 2 1 2 a b
2
Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje x , y si el centro de la elipse es el punto C h, k ; entonces se tiene el diagrama que sigue: y P x, y
k
F1 h c, k
0
Por lo que:
hc
C h, k
h
F2 h c, k
hc
x
PF1 PF2 2a
x h c y k 2
2
x h c y k 2
2
2a
Considerando u x h y v y k , se tiene que:
u c De donde:
2
v2
u c
2
v 2 2a
u2 v 2 1 a2 b2
Por tanto la ecuación de la elipse que tiene eje focal paralelo al eje x con centro en el punto C h, k , es:
x h a2
2
y k b2
2
1
Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse horizontal con ab centro en C h, k . Nótese que si, entonces la forma canónica corresponde a una circunferencia.
Longitud del lado recto de una elipse Cada una de las cuerdas perpendiculares al eje focal por los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse. En la figura adjunta, el segmento PQ es lado recto de la elipse, y se calcula como sigue:
P
F1
F2
Por el teorema de Pitágoras y el hecho que PFde 1 PF2 2a, se tiene que:
Q PF F1 F PF 2c PF 2a PF2 2 1
2 2
2 2
2
2 2
2
c 2 a2 b2 4c PF PF2 a a 2
2 2
Pero P y Q son simétricos respecto al eje focal, entonces la longitud del lado recto es: 2b2 PQ a
La excentricidad de la elipse La forma de ver que tan alargada está una elipse, es mediante su excentricidad (e), la cual se define como el cociente de la longitud del segmento focal (2c) entre la longitud del eje focal (2a). O sea:
e
2c c 2a a
Dado que 0 c a, entonces 0 e 1. Por tanto: 1. Si el valor de c es muy próximo al valor de a, entonces el valor de e es muy próximo al valor 1; en cuyo caso la elipse se alrga. 2. Si el valor de e es muy próximo al valor 0, entonces el valor de c es muy próximo al valor 0; de donde el valor a2 b2 c 2 es muy próximo al valor 0, por lo que el valor de a es muy próximo al valor de b; o sea la elipse se aproxima a una circunferencia cuando e se aproxima a 0.
2 2 Graficar la elipse x 4 y 2 x 24 y 33 0, y expresarla en su forma canónica. Además obtener la longitud del lado recto, su excentricidad y las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos.
Ejemplo 1
x 1
Solución
4
C 1,3
F1 1 3,3
F2 1 3,3
2
y 3 1 2
4
V1 3,3
3.5
V2 1,3
3
2.5
-3
c 3 Su excentricidad es: e a 2
2b 2 2 1 1 a 2 2
La longitud del lado recto es:
-2
-1
1
Si el eje y es el eje focal de la elipse, y si el origen es el centro de la elipse; entonces se tiene el diagrama que sigue, en el que: y
PF1 PF2 2a
F2 0, c
x 0 y c x 2 y c 2a 2
P x, y
x 0 y c 2
x
0
2
2
2
2a x 2 y c
2
De donde: F1 0, c
cy a2 a x 2 y c
2
c 2 y 2 a 4 2a2cy a2 y 2 2cy c 2 a2 x 2 B2 a F1
c
b C
c a
y
a
2
a2 y 2 a2 x 2 a2 c 2 a2
2
c2
2
a2 x 2 a2
2
c2
b 2 y 2 a 2 x 2 a 2b 2
y 2 x2 2 1 2 a b
Si el eje focal de la elipse es paralelo al eje y, y si el centro de la elipse es el punto C h, k ; entonces se tiene el diagrama que sigue: y F2 h, k c P x, y
k C F1 h, k c
x 0
Por lo que:
h
PF1 PF2 2a
x h y k c 2
2
x h y k c 2
2
2a
Considerando u x h y v y k , se tiene que:
u 2 v c u 2 v c 2a 2
De donde:
2
v 2 u2 2 1 2 a b
Por tanto la ecuación de la hipérbola que tiene eje focal paralelo al eje y con centro en el punto C h, k , es:
y k a2
2
x h b2
2
1
Esta ecuación es la forma estándar o canónica de una elipse vertical con centro en C h, k .
Ejemplo 2
2 2 Graficar la hipérbola y 9 x 18 x 2y 1 0, y expresarla en su forma canónica. Además obtener su excentricidad, la longitud del lado recto y las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos.
Solución
y 1
C 1, 1
F 1, 1 2 2
F1 1, 1 2 2
9
2
2
x 1 1 2
1
V1 1, 4 0.5
V2 1,2 -1
2
Su excentricidad es: e
-2
2 2 3
-3 2
La longitud del lado recto es:
2b a
2 1 3
2
2 3
-4
1
1.5
2
Ejemplo 3
Solución
2 2 Graficar la elipse 4 x y 8 x 6y 3 0, y expresarla en su forma canónica. Además obtener su excentricidad, la longitud del lado recto y las coordenadas del centro, de los vértices y de los focos.
y 3
C 1, 3
F 1, 3 2 3
F1 1, 3 2 3
16
2
x 1 4
2
1 -1
1
V1 1, 7 V2 1,1
-2
2
2 3 3 4 2 2 2 2 2 2 2b La longitud del lado recto es: a 4
-4
Su excentricidad es: e
-6
2
3