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Aplicaci贸n de la derivada
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indice Editorial
Historia de la derivada Conceptos de derivada Derivadas en el calculo de elocidad y aceleracion de un Objeto que se mueve en linea Derivacion implicita Derivacion implicita Derivacion de orden superior Funcion creciente y decreciente Criterio de la primera derivada Maximos y minimos Concavidad y criterio de la segunda derivada Forma indeterminada
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Editorial
P
odremos ver como las matemáticas se relacionan en el ámbito laboral
de un ingeniero y por qué un ingeniero su rama más fuerte son las matemáticas ya que sin ellas los ingenieros no existirían. Las matemáticas son exactas y el trabajo así debe ser no debe de haber errores. A continuaciones veremos cómo las derivadas las empleamos para algo sencillo pero muy importante. Las derivadas son una razón de cambio pero no solo veremos cómo se determina una magnitud o cantidad con respecto a otra, si no que tan rápido es su variación. Las derivadas las podemos aplicar hasta en la vida cotidiana por ejemplo: Pensemos en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentran a muy baja temperatura. Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la persona permanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al haber pérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar la temperatura del agua dada la diferencia demás a entre ambos.
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Historia de la derivada
L
os problemas típicos
que dieron origen al cálculo infinitesimal, comenzaron a plantearse en la época clásica de la antigua Grecia (siglo III a.c), pero no se encontraron métodos sistemáticos de resolución hasta veinte siglos después (en el siglo XVII por obra de Isaac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que atañe a las derivadas existen dos conceptos de tipo geométrico que le dieron origen: El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge) El Teorema de los extremos: máximos y mínimos (Pierre de Fermat) En su conjunto dieron origen a lo que modernamente se conoce como cálculo diferencial.
Siglo XVII Los matemáticos perdieron el miedo que los
griegos le habían tenido a los infinitos: Johannes Kepler y Bonaventura Cavalieri fueron los primeros en usarlos, empezaron a andar un camino que llevaría en medio siglo al descubrimiento del cálculo infinitesimal. A mediados del siglo XVII, las cantidades infinitesimales fueron cada vez más usadas para resolver problemas de cálculos de tangentes, áreas, volúmenes; los primeros darían origen al cálculo diferencial, los otros al integral.
Newton y Leibniz A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos (teorema fundamental del cálculo). Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó a reestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de
los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo. Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigación conservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto. Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: diferenciales «derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y el símbolo de la integral ∫.
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E
l concepto de derivada es uno de los dos conceptos
centrales del cálculo infinitesimal. El otro concepto es la «antiderivada» o integral; ambos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo. A su vez, los dos conceptos centrales del cálculo están basados en el concepto de límite, el cual separa las matemáticas previas, como el Álgebra, la Trigonometría o la Geometría Analítica, del Cálculo. Quizá la derivada es el concepto más importante del Cálculo Infinitesimal.
La derivada es un concepto que tiene variadas aplicaciones. Se aplica en aquellos casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología, o en ciencias sociales como la Economía y la Sociología. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de , se considera la derivada como la pendiente de la recta tangente del gráfico en el punto . Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite cuando la distancia entre los dos puntos que determinan una recta secante tiende a cero, es decir, se transforma la recta secante en una recta tangente. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad. Algunas funciones no tienen derivada en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso. Afortunadamente, gran cantidad de las funciones que se consideran en las aplicaciones son continuas y su gráfica es una curva suave, por lo que es susceptible de derivación. Las funciones que son diferenciables (derivables si se habla en una sola variable), son aproximables linealmente.
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S upongamos un móvil que se mueve y conocemos el espacio recorrido en función del tiempo s (t). La tasa de variación media (TVM) de la función s (t) en un intervalo (t0, t1) indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t1.
En general, v (t) = s'(t) es la velocidad instantánea para cualquier instante:
• S'(t) es su velocidad en un instante cualquiera t.
Aceleración
• s''(t) es su aceleración en un instante cualquiera t .
Para hallar la aceleración de un móvil en un momento determinado t = t0:
Velocidad media Para encontrar la rapidez o lentitud del movimiento de un móvil entre dos instantes t0 y t1 = t0 + h (h = t1 - t0) se recurre a la velocidad media :
En general, s’’ (t) = v'(t) para cualquier instante:
es la aceleración
Nomenclatura de Leibniz Indica la velocidad media de dicho móvil entre los instantes t0 y t0 + h. En general, esta velocidad media representa la tasa de variación media (TVM) de la función s (t) en un intervalo cualquiera. Velocidad instantánea Para encontrar la velocidad de un móvil en un momento determinado t = t0 hallamos la velocidad instantánea :
En física es común usar la siguiente nomenclatura para la derivada:
Y para la segunda derivada:
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No todas las curvas se pueden describir como una sola función. Por ejemplo, la curva que presenta la ecuación: x2+y2=16 es una circunferencia y no representa una función. Sin embargo, la semicircunferencia superior sí representa una función; y la semicircunferencia inferior también la representa. Podemos obtener dos funciones diferentes a partir de esta circunferencia. Éstas se llaman funciones implícitas. La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0,0), y radio 4 su ecuación es entonces: x2 + y2 = 16 Esto quiere decir que un punto (x, y) está en la circunferencia, si y sólo si, satisface la ecuación. Por ejemplo: (0,-4) pertenece a la circunferencia porque: 02 + (-4)2 = 0 + 16 = 16 Efectivamente, estas funciones se pueden obtener despejando y de la ecuación:
x2 + y2 = 16 implica y2 = 16 - x2 Sin embargo, no siempre es factible despejar funciones a partir de una ecuación dada, aunque sepamos que hay dos o más funciones implícitas definidas. Y, aun así, podríamos estar interesados en, por ejemplo, determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en algunos de sus puntos. Resulta que es posible derivar una función implícita aun cuando no podamos despejarla de la ecuación que la define. Basta sencillamente con derivar ambos miembros de la ecuación que la define, teniendo en cuenta, eso sí, que una de las variables es función de la otra. El siguiente ejemplo ilustra el método llamado derivación implícita. Cálculo de la Derivada en un Punto de la Circunferencia Considere que y es una función de x definida por la siguiente ecuación: x2 + y2 = 16
Determinar y' y encontrar su valor en el punto (3,7). Solución Vamos a derivar a ambos lados de la ecuación, pero teniendo el cuidado de recordar que y es función de x: x2 + y2=16 (x2+y2)' = (16)' (vamos a derivar ambos miembros)
2x+2y·y'= 0 aplicamos la regla ([f(x)]n)'=n[f(x)]n-1·f'(x)) 2y·y'=-2x y'=-2x/2y y'=-x/y Ahora, en el punto (3,7) tenemos x=3, y=7. Por lo tanto, aquí se tiene y'=-3/7.
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Derivación Implícita En General las funciones se han presentado de la forma , expresando una variable en términos de la otra, pero se da el caso donde las 2 variables están implícitas. En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Estrategia para la Derivación Implícitas 1. Derivar ambos lados de la ecuación respecto de x
3. Sacar factor común izquierda.
4. Despejar , dividiendo la ecuación por su factor acompañante en la parte izquierda Ejemplo # 1 Si
, encontrar
.
Derivamos ambos lados de la ecuación.
Recordemos que y es una función de x por lo que al derivarla aplicaremos la regla de la cadena.
2. Agrupar todos los términos en que aparezca en el lado izquierdo de la ecuación y pasar todos los demás a la derecha.
en la
Y resolvemos para
.
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S
ea f(x) una funci贸n diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera
derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una funci贸n derivable, entonces podr铆amos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). M ientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-茅sima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
Ejemplo Encontrar la 2da derivada de Encontramos la 1ra derivada.
Derivamos f'(x).
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U
na función f es creciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2
del intervalo. . Una función f es decreciente es un intervalo si para cualquier par de números x1,x2 del intervalo, . Sea f una función continua con ecuación y = f(x), definida en un intervalo [a, b]. La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [a, b].
En la gráfica anterior puede observarse que la función f es: 1.) Creciente en los intervalos (a, x3), (x5, x6) 2.) Decreciente en los intervalos(x3, x5), (x6, b)
Criterio de crecimiento y decrecimiento Sea f una función continua en el intervalo cerrado abierto . 1. Si 2. Si 3. Si
es creciente en es decreciente en es constante en
y derivable en el intervalo
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Criterio de la primera derivada para extremos relativos
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M
áximos y Mínimos Absolutos
Definición. Sea c un punto del dominio de la función f. Diremos que: i. ii.
F(c) >f(x) para toda x en el dominio de la función. F(c) es el valor mínimo de f si f(x) < f(x) para todo x en el dominio de la función.
Teorema del Valor Extremo Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a,b,] entonces f tiene máximo mínimo en [a,b]. Es decir, existen dos puntos c y d en [a,b] tales que f(c) es el valor máximo y f(d) es el valor mínimo.
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unto crítico de una función de una variable real es cualquier valor en el
dominio en donde la función no es diferenciable o cuando su derivada es 0. El valor de la función en el punto crítico es un valor crítico de la función. Ejercicio La función ƒ(x) = x2 + 2x + 3 es diferenciable en todo lugar, con la derivada ƒ′(x) = 2x + 2. Esta función tiene un único punto crítico −1, debido a que es el único número x0 para el cual 2x0 + 2 = 0
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La gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en punto (c,f (c)) Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por encima de la tangente a la curva en el punto indicado. Definición. La gráfica de una función f es cóncava hacia abajo en punto (c,f (c)) Si existe f´(c) y un intervalo abierto (a,b) que contiene a c, tal que todo punto de la gráfica, en ese intervalo, se encuentra por debajo de la tangente a la curva en el punto indicado.
Teorema Sea f una función diferenciable en un intervalo abierto (a,b) entonces: 1. Si f" (x)>0 , " x Î (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b). 2. Si f" (x)<0 , " x Î (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b)
Definición. Un punto (c,f(c)) en donde cambia la concavidad de la gráfica de una función f, se denomina punto de inflexión de la gráfica de f. Teorema. Si (c,f(c)) es un punto de inflexión de la gráfica de la función f y si existe f"(c), entonces f"(c)=0.
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Forma indeterminada En matemática, se llama forma indeterminada a una expresión algebraica que involucra límites del tipo:
Estas expresiones se encuentran con frecuencia dentro del contexto del límite de funciones y, más generalmente, del cálculo infinitesimal y el análisis real Interpretación El hecho de que dos funciones f y g se acerquen ambas a cero cuando x tiende a algún punto de acumulación c no es información suficiente para evaluar el límite Dicho límite puede converger a cualquier valor, puede converger a infinito o puede no existir, dependiendo de las funciones f y g.
construir otros ejemplos similares que converjan a cualquier valor particular. Por ello es que la expresión 0/0 se dice que es indeterminada. Ejemplos:
La forma ∞/∞ Esta forma indeterminada se da en cocientes en los cuales, tanto el numerador como el denominador, tienen por límite ∞. En estos casos, no se puede aplicar ninguna regla operatoria, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminado del tipo ∞/∞. Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos tales como factorización, derivación, el teorema del emparedado, entre otros. Ejemplos:
Cociente indeterminado La forma 0/0 Un ejemplo muy frecuente es la forma indeterminada del tipo 0/0. Cuando x se acerca a 0, las razones x/x3, x/x, y x2/x se van a , 1, y 0 respectivamente. En cada caso, sin embargo, si los límites del numerador y del denominador se evalúan en la operación de división, el resultado es 0/0. De manera que (hablando informalmente) 0/0 puede ser 0, o incluso 1 y, de hecho, es posible
Producto indeterminado La forma indeterminada 0 • ∞
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Diferencia indeterminada En los casos en que el límite de una diferencia es , no se puede aplicar ninguna regla operatoria para límites, por lo que se dice que se está frente a una forma indeterminada del tipo . Para resolver esta indeterminación pueden aplicarse métodos como la multiplicación por los polinomios conjugados.
La forma 1
∞
Ejemplo: el siguiente límite 1
, es de la forma ; considerando
y tomando logaritmos en ambos miembros resulta
Potencia indeterminada La forma 0 0
Aplicando al segundo miembro la regla de l'Hôpital, se obtiene De manera que
La forma ∞
0
el límite sería