PV boknummer 2005 by Lennart Nilsson

Temanummer med reflektioner kring det nya monumentala verket av Roger Penrose

The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe E UNG RU RSSPR ENSS UR ENSSKAPE TE ET VE OM V LO EL BE AB FA NF EN IIMA ER KE AK NÄRA SSA GIIN AG K ON TIIO KT NK FUN RF PER YP HY ED H ME AR M LIINGA OPPL KO E X EX LE MPL ERKOM GI ÄR HYPE MAG LM EL KE NK EN M MMETRII YM H SSY CH LD OC AL FA GF NG ÅN MÅ P PUN NK KT TL LÖ ÖS R RU UMTID B BE EP PR RÖ ÖVAD O OSSÄ ÄK KE ER RHET M MÅ ÅN NG GA AV VÄ ÄR RLD DAR V VE ER RKLIIG GH HE ETEN SO OM ME ED DIU UM C CY YK KL LA AR RM ME ED SSTAND DARD DMOD DELLEN E EN NT TR RO OPI OC CH HB BIIG G BAN NG G M MÄ ÄT TP PR RO OBLEME ET T II K KV VA AN NT TM ME EKANIIK KE EN N SSU UPERSSY YM MM METRI OC CH H SSUP PER RA AL LG GE EBRA SSU XIIO OM L IINGE ET TA AX ET TSS ROL LL UBJEKTE

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Tema Penrose

INNEHÅLL Artiklar 3 6 9 12 15 18 22 25 28 31 35 39 42 45

EN FABEL OM VETENSKAPENS URSPRUNG IMAGINÄRA SAKER KOPPLINGAR MED HYPERFUNKTION ENKEL MAGI ÄR HYPERKOMPLEX MÅNGFALD OCH SYMMETRI PUNKTLÖS RUMTID BEPRÖVAD OSÄKERHET MÅNGA VÄRLDAR VERKLIGHETEN SOM MEDIUM CYKLAR MED STANDARDMODELLEN ENTROPI OCH BIG BANG MÄTPROBLEMET I KVANTMEKANIKEN SUPERSYMMETRI OCH SUPERALGEBRA SUBJEKTETS ROLL INGET AXIOM

__________________________________________________ © Lennart Nilsson 2005 Indexkompaniet Nilsson HB, Stockholm Tryckt hos Förlagstryckeriet Vitterleken, Fritsla 2005 ISBN 91-975382-1-3

2 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

EN FABEL OM VETENSKAPENS URSPRUNG Av Lennart Nilsson

Roger Penrose inleder sin nya bok med en fabel om det vetenskapliga tänkandets uppkomst. Han låter sin historia börja på en ö mer än 1000 år före tiden för "de gamla grekerna", Thales, Pythagoras, Platon, som alla levde ett halvt millenium före Kristus. En man som stod härskaren på denna forntida ö nära blev vittne till en naturkatastrof av stora mått när ett jätteklot från rymden faller ner i havet. Det var händelser av det slaget som offer av djur och människor var tänkta att förhindra. När himlen hade klarnat från de stora moln som nedslaget framkallat, kunde mannen, som stod inte bara härskaren nära utan även hade stor kunskap om stjärnornas konstellationer, konstatera, att den Stora Kraft som höll himlens konstellationer på plats fullständigt hade ignorerat den jättelika Demoniska Kraft som svept fram över himlen och orsakat fullständig förödelse på den forntida ön. Allt såg ut exakt som vanligt på himlen, som om ingenting hade hänt. Mannen inser då att den Stora Kraften är lika överlägset obekymrad över den Demoniska Kraften som denna över människornas ritualer och offer. I denna fabel har mannen, som levde för halvtannat millenium sedan, redan hunnit avfärda astrologi och religiösa ritualer som fullständigt verkningslösa! Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Roger Penrose föddes den 8 augusti år 1931 i Colchester, Essex, England. Han är numera Rouse Ball professor emeritus. Hans förmåga att använda figurer för att åskådliggöra saker och ting upptäcktes tidigt. Han fick börja studera matematik vid Cambridge University, där han tog sin doktorsexamen i algebra och geometri 1955. 1964 blev Penrose professsor i matematik vid Birkbeck College, London. 1973 blev han Rouse Ball professor i matematik vid Oxford. 1974 upptäckte han nedanstående mönster med förmågan att icke-periodiskt täcka en yta.

Jämsides med matematiken kom Penrose att intressera sig alltmer för kosmologi. 1964 upptäcker han ett kraftfullt teorem som säger att en singularitet alltid bildas i mitten av ett svart hål. Tillsammans med Stephan Hawking bevisade han att även Big Bang måste ha innehållit en singularitet. En del tror att han kommer att få nobelpris i fysik en dag för detta. Med ordet singularitet menar matematiker oftast en punkt där en funktion inte är definierad eftersom den blir oändligt stor. Nedanstående figurer är exempel på detta.

En släkting, i rakt nedstigande led, till denna insiktsfulle man som levde på de gamla grekernas tid hade ärvt inte bara skarpsinnet utan också ett sinne för proportioner. När denne släkting en natt studerade stjärnbilderna kunde han inte låta bli att undra över varför den Stora Kraften inte varit nogrannare i bildernas proportioner. Stjärnorna verkade mer utströdda på måfå, som frön i sådden, än arrangerade för att likna sina stjärnbilder.

En bakomliggande ordning Denne man, samtida med de gamla grekerna, inser då att det inte är genom att försöka tyda slumpmässiga mönster som man kan förstå hur saker beter sig, utan genom att söka den bakomliggande ordning, som får ett frö att gro och bli säd och bestämmer över alla krafter på himlavalvet. Han är inte ensam om denna uptäckt. Han får höra talas om en vis man med liknande tankegångar som han söker upp. Den vise gamle greken, Pythagoras. Pythagoras gjorde rent hus med gamla lärda traditioner och myter. Den enda ordning man kunde sätta tilltro till var den som kunde beskrivas exakt, med hjälp av nummer. Och nummer kan vara så mycket mer än ordningstal! Redan Pythagoras gjorde alltså vad moderna fysiker gör än idag, matematiska modeller av världen. Pythagoras var fullständigt övertygad om att kroppars form och alla rumsliga förhållanden kunde beskrivas med hjälp av tal. Ett berömt sådant förhållande är förhållandena mellan sidornas längd i en rätvinklig triangel, som beskrivs av Pythagoras sats: Längden på hypotenusan (sidan mittemot den räta vinkeln i triangeln) i kvadrat är lika med

4 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

summan av var och en av de båda andra sidorna i kvadrat.

Den moderna talmaskinen För att kunna räkna med olika längders förhållanden var man ofta tvungen att använda delar av hela tal, d v s bråktal. Men vilket bråktal i kvadrat blir lika med summan av de båda sidornas kvadrater i en rätvinklig triangel om bägge dessa sidor är lika långa och har enhetslängden ett (1)? Det visar sig att inget sådant bråktal existerar. Hypotenusan sätts istället, som många kommer ihåg från skolans mattetimmar, till roten ur två. Om man skriver ut roten ur två med nummer är det ett decimaltal med oändligt många siffror, ett reelt tal. Redan på Pythagoras tid hade man alltså upptäckt det talsystem, de reella talen, som alla moderna fysiker använder i sina modeller över verklighetens dynamik. Hastigheters förhållanden beskrivs med ett matematiskt rum som inte är som det berömda Ekulidiska rummet (formaliserat 300 år före Kristus) utan ett hyperboliskt rum där man måste använda längden av roten ur minus ett (1). Detta imaginära tal bildar ihop med de reella talen ett talsystem som kallas de komplexa talen. Försöken att undkomma dessa idag helt oundgängliga tal för kvantfysikaliska modeller pågick ända sedan Euklides dagar fram till 1700talet, som en direkt följd av försöken att bevisa dennes så kallade parallellaxiom. Hade inte Euklides postulerat detta sitt femte axiom kanske hela den moderna talmaskinen funnits på plats redan på de gamla grekernas tid.

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Penrose har kanske mest blivit känd för sina tre böcker om medvetandet hos hjärnan. -

The Emperors new Mind

Shadows of the Mind

The large, the small and the human Mind

För den första av dessa fick han Science Book Prize (1990). Han har fått många andra priser och utmärkelser, bl a 1988 års Wolf pris tillsammans med Stephen Hawking för deras "bidrag till förståelsen av universum". 1994 blev han adlad för sina insatser för vetenskapen. Den bok som hela detta temanummer är tillägnat tog hela sju år att sammanställa -

The Road to Reality A complete Guide to the Laws of the Universe".

Den kom 2004 och är unik. Den är så långt ifrån en vanlig populärvetenskaplig framställning man kan komma. Penrose väljer att ta försöka få läsaren att uppleva samma skönhet inför de matematiska sambanden som författaren själv. Den blir referenskälla för många år framöver.

IMAGINÄRA SAKER Av Lennart Nilsson

Den reella tallinjen

Det komplexa planet

Komplexa tal

Att läsa och kommentera den nya boken av Roger Penrose är som en tidig julklapp. Penrose skriver mycket om de komplexa talens magi. De reella talen behövde man för att beskriva alla längder, eftersom vissa längder inte kunde beskrivas med hjälp av hela tal eller relationer mellan hela tal (bråktal). Historiskt upptäckte man detta ihop med den rätvinkliga enhetstriangeln. Men det är lättare, tycker jag, att tänka sig det hela i tidstermer. Om du tänker dig en oerhört liten tidsutdräkt framåt i tiden och en lika liten bakåt, måste du ändå ha plats att sticka in ett nu däremellan. För att det inte ska uppstå några gap i tidsföljden krävs tal med oändliga decimalserier. Men varför krävs komplexa tal? Komplexa tal är kombinationen av reella tal och imaginära tal. Tänk igen på tidslinjen. Det är naturligt att tala om att saker ligger ytterligare en bit fram i tiden eller bakåt i tiden. Om vi backar längre än vi går framåt hamnar vi på minustid. De reella talen uppkom när man behövde definiera vilka längder som multiplicerade med sig själva blev exakt två steg fram (roten ur 2). Det är kanske inte så konstigt att man också behövde veta vilka längder som multiplicerade med sig själva blev exakt ett minussteg bakåt (roten ur -1). Något sådant tal fanns emellertid inte på hela den reella tallinjen, så man var tvungen att hitta på en ny slags tallinje. På den nya imaginära tallinjen är varje reellt tal

6 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

multiplicerat med ett enhetsvärde som man beskriver med bokstaven i. Detta i är definitionsmässigt det som multiplicerat med sig själv blir minus ett (-1). Det är inte ett så stort steg. På hela den vanliga reella tallinjen kan man ju se det som att alla tal är multiplicerade med det som multiplicerat med sig själv blir ett (1), d v s 1. Den nya imaginära tallinjen ligger alltid rätvinkligt mot den reella tallinjen, vilket ger en grafiskt övertygande bild av multiplikation med den nya enheten i. Tänk dig den del av den reella tallinjen som går mellan minus ett och plus ett. Den imaginära tallinjen korsar då denna mitt i (vid 0) så att delen mellan i och minus i blir en lika lång diameter i en enhetscirkel. Multiplikation med i är då detsamma som att rotera ett kvarts steg (en rät vinkel) motsols. Multiplicerar du 1 med i får du i. Multiplicerar du i med i hamnar du ytterligare ett kvarts varv bakåt, d v s på -1. Om man fortsätter runt blir -1 multiplicerat med i -i och, slutligen, multipliceras -i med i hamnar man återigen på 1. Man skulle kunna säga att vad som saknades i den reella beskrivningen av tidslinjen var att man måste kunde vrida på sig för att se bakåt i tiden!

Geometriska tolkningar av ett komplext tal (det komplexa talplanet) och av addition och subtraktion av komplexa tal gav insikter som ledde fram till användningen av logaritmer för olika mekaniska räknetekniker.

Abacus-ramen tros vara den första mekaniska räkneramen.

Räknestickan bygger direkt på logaritmlagarna och användes från 1400-talet fram till 1970-talet.

Logaritmlagarna

Det magiska komplexa planet Det som öppnas upp är emellertid då också det magiska komplexa planet. Ett komplext tal beskrivs nämligen som summan av koordinaterna på den reella och den imaginära axeln. I detta magiska plan kan många matematiska finurligheter åstadkommas. De överallt inom fysiken använda analytiska funktionerna, som man kan beräkna derivatan och Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Kvarkar Aromer

Elektrisk laddning

u (upp)

2/3

d (ner)

-1/3

c (charm)

2/3

s (sär)

-1/3

t (topp)

2/3

b (botten)

-1/3

Mångfaldens mönster: en multipel historia

integralen på och rita upp i reella plan (plan med reella talaxlar) får en motsvarighet i det komplexa planet i form av oändligt många cirklar i oändligt olika storlek som täcker en yta. Vad betyder allt detta? Är imaginära enheter och komplexa plan verkliga? Framför allt är de väldigt användbara. Logaritmer och deras användning i olika tekniska sammanhang bygger på insikter från addition och multiplikation i det komplexa planet (ett bra exempel är den gamla räknestickan). Penrose visar också att kvarkar (naturens yttersta byggstenar) kan modelleras utifrån en rotation mellan tre tal i det komplexa planet. De komplexa talens magiskt vidsträckta användningsområden, alltifrån räknesticka till kvarkar, beror naturligtvis inte på något annat än att de är påhittade som uttryck för samband som kan uppkomma mellan olika minnesspår i våra enorma hjärnor. De behöver inte fyllas med något speciellt innehåll och är därför användbara till allt möjligt. Jag har skrivit om matematiken som uttryck för vad som bör kunna finnas i de mest flyktiga kopplingarna i vår hjärna i min nyligen utkomna bok Mångfaldens mönster.

ISBN: 91-975382-0-5

8 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

KOPPLINGAR MED HYPERFUNKTION Av Lennart Nilsson

I den nya boken av Roger Penrose framstår de komplexa talens magi som bäst i kopplingarna som med hjälp av dem kan göras mellan alla typer av funktioner som exempel på hyperfunktioner. Denna matematiska klass, hyperfunktionerna, upptäcktes 1958 av den japanske matematikern Mikio Sato. Den ligger i sin tur till grund för hela det moderna funktionsbegreppet. Vad är en matematisk funktion? I vardagligt tal brukar man prata om att något är en funktion av något annat. Vad menar man då? Kan t ex olika saker vara en funktion av ett och samma fenomen? Flervärda funktioner är vanliga inom matematiken och har en elegant beskrivning i avbildningar på så kallade Riemannytor. Ett exempel på en Riemannyta är om man tänker sig det komplexa planet som en pappersfigur som man kan dra ut som en spiraltrappa, där olika värden finns på samma trappsteg fast i olika våningar så att säga. Genom att koppla ihop förgreningar utifrån det komplexa planet på olika sätt kan man få mångdimensionella ytor utan sömmar, mångfalder (manifolds). Exempel på tvådimensionella mångfalder är planet, cylindern, Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Tvådimensionsmångfalder

Torus

Cylinder

Sfär

Hyperboliska funktioner

sfären (ytan på ett klot) och torusen (ytan på en badring).

Ekvator som enhet

Funktion med Fouriertransform

Riemanns avbildningsteorem: Vilket enkelt sammanhängande område som helst med en domän D vars rand består av mer än en punkt, är konformt ekvivalenta, d.v.s man kan konformt avbilda området D på ett annat område E som också är enkelt sammanhängande och begränsas av mer än en punkt. Speciellt går det alltså att avbilda ett område med ovanstående egenskaper på det inre av enhetscirkeln.

En speciellt viktig mångfald är Riemannsfären, som man kan tänka på som en sfär där "ekvatorn" består av enhetscirkeln i det komplexa planet, där du roterar från 1 till i till -1 och via -i tillbaka till 1. Alla Riemannmångfalder utan "hål" (en badring har ett hål) kan genom en matematisk procedur kallad, conformal mapping, visas vara "identiska" med Riemannsfären. Riemann visade att på liknande sätt kan alla figurer, oavsett form, omslutna av en obruten linje på det komplexa planet "mappas" på ovannämda enhetscirkel. Det som gör det senare viktigt är att alla periodiska mönster, inte bara mjuka vågmönster, kan hanteras som rotationer. Det gäller faktiskt också själva tiden som vi annars inte brukar anse vara cyklisk. Inom kvantmekaniken kan frekvenser vara både positiva och negativa. Det går utmärkt att föreställa sig som en rotation genom enhetscirkeln där utgångsvärdet är tid noll som via rotation motsols eller medsols efter ett kvarts varv når tid ett respektive tid minus ett. Efter ytterligare ett kvarts varv nås tidpunkten plus minus oändligheten. Eftersom tidpunkterna ligger på cirkeln kan man rotera vidare till tid plus minus ett och därefter vidare till tid noll, dvs nu, igen. När fysiker studerar signaler är en Fourieranalys (Fouriertransform) oftast oundgänglig. Denna typ av analys gör det möjligt att studera även icke-periodiska signaler som gränsfall till periodiska. Penrose

10 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

visar hur man kan bryta frekvenser i olika serier som ligger på "insidan" eller "utsidan" av enhetscirkeln och att när dessa summeras uppstår vad som kan uppfattas som "hopp" i signalen. Med begreppet hyperfunktion kan visas att alla dessa funktioner på "insidan" och "utsidan" är ekvivalenta med en utökad funktion där "hoppet" (skillnaden) är en del av helheten. Det får mig att dra mig till minnes en informell definition av rörelse jag läst på en av nätets fysiksajter en gång: Rörelsen är skillnaden mellan helheten och delarna.

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Det konjugerade komplexa talet

ENKEL MAGI ÄR HYPERKOMPLEX Av Lennart Nilsson

William Rowan Hamilton föddes i Dublin, Irland, 1805. Tvåhundra år senare räknas han som Irlands största vetenskapsman genom tiderna.. Eamon de Valera, den Irländska republikens skapare och förste president, själv utbildad astronom och matematiker, sägs ha ansett att Hamiltons quaternioner var en upptäckt av samma rang som Einsteins relativitetsteori. Quaternionerna har dock inte fått någon stor betydelse inom fysiken. Det finns inte några holomorfiska funktioner baserade på quaternioner. Men på senare tid har de kommit till användning inom dataspelsindustrin. Där används de för att representera föremål som interagerar och rör sig på ett riktigt sätt - att de faller, studsar, välter och roterar som i verkligheten. Quaternionerna gör beräkningarna snabbare än om man använder matriser och vektorberäkning. William Rowan Hamilton skulle ha gillat det eftersom

I den nya boken av Roger Penrose ges de hyperkomplexa talen en pedagogiskt genial och enkel geometrisk tolkning med hjälp av en bok med ett platt band som bokmärke. Hur förhåller sig hyperkomplexa tal till de komplexa talen? De komplexa talen bildar ett tvådimensionellt plan med en reell talaxel och en imaginär talaxel. Under 1800-talet grunnade många matematiker på hur man skulle kunna utvidga begreppet till högre dimensioner. 1843 kom den irländske matematikern William Rowan Hamilton på en elegant lösning. Den bygger direkt på den ekvation som var upphovet till den imaginära talaxeln, nämligen i*i = -1 Hamiltons ekvation ser ut så här i*i = j*j = k*k = i*j*k = -1 Komplexa tal skrivs vanligen så här z = a + b*i Det motsvarande hyperkomplexa talet, kallat quaternion byggs upp av summan av en reell talaxel och tre imaginära talaxlar på följande vis q = t + u*i + v*j + w*k Multiplikation i det vanliga komplexa planet kan lätt åskådliggöras som en rotation, där du varje gång du multiplicerar med i får en motsolsrotation ett kvarts varv. Om du multiplicerar 1 med i och fortsätter att

12 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

multiplicera resultatet tre gånger till med i kommer du åter till utgångspunkten, till 1. Utan att här gå in på de matematiska detaljerna skall bara konstateras att rotation också kan användas för att åskådliggöra multiplikation vad gäller hyperkomplexa quaternioner. Det märkliga är bara att ett helt varvs rotation inte leder tillbaka till utgångspunkten, utan till sin motsats!

Spinn och spinorer Ett matematiskt objekt som antar sitt negativa värde vid en fullständig rotation kallas en spinor. Om du och jag står ansikte mot ansikte och jag vrider mig ett halvt varv så ser du min baksida. Om jag vrider mig ett helt varv så ser du mitt ansikte igen. Om jag vore en spinor skulle du se min baksida om jag vred mig ett helt varv och mitt ansikte igen bara om jag vred mig två fullständiga varv. Inom elementarpartikelfysiken har partiklarna en slags inre rotation som kallas spinn och som har just denna lustiga egenskap. Penrose visar med sitt bokexempel att man lätt kan föreställa sig denna egenskap även i mindre extrema sammanhang. Tänk dig en bok ihopslagen med ett platt band inklämt mellan sidorna som ett bokmärke. Bandet sticker ut en bra bit och du lägger ett tungt bokstöd på dess ände, så att det ligger platt utan att vara vridet mellan boken och stödet. Boken ligger med sin framsida uppåt. Du vrider nu boken ett helt varv, så att framsidan åter ligger uppåt men bandet mellan boken och stödet är vridet ett varv. Under förutsättning att du inte får röra stödet finns det nu inget sätt att få bort vridningen på bandet utan att återigen vrida på boken. Om du vrider boken ett Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

hans tanke med quaternionerna var att utvidga de komplexa talens talplan till en talkropp. Inom den teoretiska fysiken har dock Hamilton fått ge namn åt ett annat mycket viktigt verktyg han upptäckte. Tankegången är att man börjar med de fundamentala fysiska interaktionerna (den elektromagnetiska kraften och de starka och svaga kärnkrafterna) och listar de relevanta ingående partiklarna och deras egenskaper. Därefter kan man lista alla parvisa reaktioner dem emellan tillsammans med uttrycken för den kinetiska och potentiella energin. Då får man något som kallas en Hamiltonian för den totala energin i systemet. Utifrån denna kan man sedan beräkna alla de fysiska egenskaperna för systemet. Fysiker brukar säga att en förklaring på ett fysiskt fenomen har man när man hittat dess Hamiltonian. Resten är kemi, brukar fysiker också säga. Men detta är enbart tro och inte fakta. Det är omöjligt att skriva ner den fullständiga beskrivningen av systemets fundamentala Hamiltonian och även om vi kunde det har vi inte tillräcklig samlad datakraft i hela världen att genomföra de besvärliga matematiska beräkningarna. Skälet till att vetenskapsmän ändå är övertygade i sin sin tro på att kemin kan reduceras till fysik är att man hittat sätt att skriva ner approximativa versioner av ekvationerna som kan beräknas och kan 13

ersätta ett systems fundamentala Hamiltonian. Man använder sig helt enkelt av erfarenhetsmässigt fungerande tumregler, som alla experter inom alla komplexa områden alltid måste göra.

helt varv i motsatt riktning så är bandet naturligtvis slätt igen. Det märkliga är att om du istället fortsätter att vrida boken ett varv till åt samma håll, så att bandet är vridet två gånger, så är det lätt att få bort bandets vridningar genom att slå det runt boken. Detta kan göras utan att boken behöver vridas ytterligare. Den som inte tror det bör pröva själv. Det är magiskt.

14 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

MÅNGFALD OCH SYMMETRI Av Lennart Nilsson

I denna femte artikel i den pågående artikelserien om den nya boken av Roger Penrose återkommer jag till mångfalder och rotationer. Först till rotationerna. Penrose frågar sig om man kan använda "triangelknepet" för att beskriva resultatet av olika rotationer. Triangelknepet går ut på att om man gör två raka förflyttningar som kan beskrivas som linjer som pekar åt olika håll, så är den sammansatta förflyttningen lika med den tredje linje som bildar en triangel med de två första. Förvånande nog, säger Penrose, kan man göra om knepet för rotationer. Man får då tänka sig att linjerna pekar runt en sfär. Linjernas längd representerar här rotationen som dubbla vinkeln. Nu till mångfalderna. Mångfalder kan representera såväl förflyttningar som rotationer samtidigt. Om du tänker dig varje punkt på en kropp av något slag (t ex en bok) som punkter på en yta och sedan ritar upp hur alla dessa punkter kan förflytta sig, såväl när kroppen flyttar sig som helhet i alla tre dimensioner samt när den roterar kring dessa dimensioners axlar, så har du skapat en mångfald (i detta fall med sex dimensioner). Mångfalder kan ha mer eller mindre komplicerad topologi, t ex innehålla "hål", även om det de representerar är skäligen enkelt, som i exemplet ovan. Mångfalder kan också representera mycket mer än en kropps konfiguration, definierat som dess "frihet" att förflytta sig och rotera. En särskild sorts

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Parallelförflyttning (parallellförskjutning,) eller translation Alla punkter flyttas lika långt i samma riktning. Vridning kring en punkt (även kallad rotation) Alla punkter vrids lika mycket kring den fixa punkten.

Symmetri En figur i planet eller i rummet är symmetrisk med avseende på punkten O, symmetripunkten eller medelpunkten, om varje korda genom O halveras av O. Ellipsen i planet och ellipsoiden i rummet har sådan punktsymmetri.

Symmetri (forts) En figur uppvisar spegelsymmetri i en rät linje eller i ett plan om alla kordor, vinkelräta mot linjen eller planet, halveras av denna symmetrilinje resp. detta symmetriplan. Om alla kordor i en fast riktning halveras, och riktningen inte är vinkelrät mot symmetrilinjen eller symmetriplanet, talar man om sned symmetri. Axelsymmetri: en plan figur är symmetrisk kring en axel, om den är spegelbilden av sig själv i axeln.Ex. En kvadrat är symmetrisk kring diagonalerna och kring mittpunkts normalerna. En liksidig triangel är symmetrisk kring höjderna. En cirkel är symmetrisk kring en diameter och en ellips kring storaxeln eller lillaxeln. Strålsymmetri: en regelbunden polygon kan genom vridning kring tyngdpunkten (symmetricentrum) fås att täcka sig själv. Den vinkel figuren ska vridas är 360º/n, där n är antalet sidor i figuren.

mångfalder som även representerar en kropps momentum, definierat som produkten av dess massa och hastighet, kallas fasrum. Fasrum har oftast en faslig massa dimensioner.

Komplex struktur Matematiker har hittat på verktyg som gör det möjligt att hantera mångfalder av de mest skiftande art och komplexitet. En typ av mångfalder är för övrigt sådana som byggs upp av punkter i det komplexa planet. Sådana mångfalder kan alternativt tolkas som reella mångfalder med komplex struktur. En mångfald kan vara begåvad med olika sorts strukturer. Med moderna matematiska verktyg kan en motsvarighet till den enkla analysens tangentbegrepp användas på varje punkt i en mångfald. Tangenten är här en vektor, dvs en i punkten fästad riktad linje, i ett vektorrum som bibehåller en viss struktur vid transformationer (den kan också ha en inre struktur, likt en fiber). Dessa strukturer kan beskrivas med hjälp av matematiska symmetrier, eller transformationsgrupper. Ett berömt exempel är Einsteins relativitetsteori som modelleras med en 4-mångfald med en lokal struktur som benämns Lorentzgrupp.

Exakt symmetri Moderna fysiska teorier är helt beroende av att kunna ge mångfalder lokal struktur med hjälp av exakta symmetrier när de skapar modeller av verkligheten. Detta ger anledning till en existensiell fråga. Finns exakta symmetrier i verkligheten?

16 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Ta en enkel symmetri, som den som utgör en perfekt sfär. Är det inte så att detta är en idealisering av naturliga klot, som även om de kan vara mer eller mindre perfekt sfäriska aldrig uppnår idealet? Besvärliga frågor som denna har ofta med oändlighet att göra. Om vi börjar med ett naturligt, lite ofullständigt klot, och slipar på dess ojämnheter så kan man tänka sig att det vore möjligt att förvandla det till sitt exakt symmetriska ideal, genom att förbättra det lite i taget i oändlighet. Matematiker och fysiker utgår däremot ofta från oändligheter i sina modeller, om än bara för att exakt kunna definiera ändliga mängder!

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Ex. En liksidig triangel täcker sig själv genom vridning 360º/3=120º kring centrum av den omskrivna cirkeln. Punktsymmetri: en plan figur sägs vara symmetrisk kring en punkt, om den efter vridning 180º täcker sig själv. Ex. En parallellogram är symmetrisk med hänsyn till diagonalernas skärningspunkt.

PUNKTLÖS RUMTID Av Lennart Nilsson

Aristoteles föddes antagligen 384 f Kr i Stagria i Trakien. Han var den siste betydande antike filosofen och kom att få ett dominerande inflytande fram till 1600-talet. Aristoteles studium av korrekta respektive inkorrekta slutledningar brukar ses som logikens ursprung, som vetenskap betraktat. Aristoteles fysik var för sin tid mycket nyskapande och är ett vidare begrepp än det vi idag kallar fysik. Materia behöver inte vara något fysiskt utan kan vara t ex en talang som man kan utveckla. Materian är det som kan bli och formen är förverkligandet av detta. All utveckling är relativ - barnet är form i relation till spädbarnet men materia i förhållande till den vuxne.

I den sjätte artikeln i den pågående artikelserien om den nya boken av Roger Penrose kommer vi till den bakgrund mot vilket allting händer - rum och tid. I fysiklektionerna i skolan fick jag lära mig att det elektromagnetiska fältet kunde sprida sig som en våg med ljusets hastighet, att det var det som var ljus, och att denna våg, till skillnad mot andra, inte behövde något medium att sprida sig i. Det senare hade jag oerhört svårt att ta till mig. Jag kan lätt frammana synen av t ex vattenvågor, men inte föreställa mig vågor utan något som det blir vågor i. Egentligen hade jag rätt och min fysiklärare fel. Det elektriska fältet har en utbredning i rummet och vågorna sprider sig i rummet över tiden. Einstein har lärt oss att rum och tid är att betrakta som en helhet - rumtiden. Han lärde oss också att rumtiden inte är absolut, den är ett böljigt medium. Men intet under solen är helt nytt, dessa tankar har en historia, en historia som Penrose skissar åt oss.

Aristotelisk fysik Det Penrose kallar Aristotelisk fysik, en slags idealiserad fysik utifrån hur Aristoteles redan på de gamla grekernas tid kunde ha tänkt sig händelser i rum och tid kan liknas vid en film projicerad på en filmduk. Varje punkt på filmduken behåller sin identitet, är samma punkt, oavsett vilka rörliga händelser som projiceras på den. Det absoluta rummet är som filmduken, fast

18 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

utsträckt i oändlighet i tre dimensioner istället för filmdukens två. I Aristotelisk fysik har samma punkt i tiden också en klar betydelse. Det kan liknas vid att allt som projiceras från en och samma filmruta på filmduken är samtidigt, oavsett vilken punkt på filmduken som vi väljer att följa projiceringen på.

Från Galileo till Einstein Redan Galileo Galilei (1564-1642) insåg att detta sätt att betrakta sakernas tillstånd inte kunde vara riktigt. Alla kan lätt inse att filmduksanalogin inte kan vara riktig genom att t ex tänka på hur det är att hälla upp ett glas vatten ombord på ett tåg i rörelse. Trots att glaset rör sig med ett par hundra kilometer i timmen, och alltså inte alls finns på samma plats i rummet från tid till annan, så träffar vattenstrålen glaset lika lätt som om tåget stod still och filmduksanalogin verkligen kunde tillämpas. Vi märker bara en skillnad om tåget accelererar eller bromsar in. Likformig rörelse går däremot inte att skilja från stillastående. Med andra ord är rummet inte en fast scen som alla rörelser har som bakgrund. Galileo insåg att det inte finns något enkelt sätt att påstå att en viss punkt i rummet är samma punkt vid en annan tidpunkt! I Galileisk fysik kan rumspunkterna sammanbindas över tid på ett komplicerat sätt likt de snurrade trådarna i en fiber. Galileo höll nämligen fast vid en absolut tid. Den komplicerade matematiken gjorde att Newton (motvilligt enligt Penrose) föll tillbaka idémässigt till ett absolut såväl rum som tid när han formulerade sina berömda rörelselagar. Med Einsteins relativitetsteori är vi tillbaka till Galelios dynamiska rum och måste även ge upp tanken på en absolut tid. Det har att Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Galileo Galilei föddes 15 februari 1564 i Pisa i Italien. Om Aristoteles kan sägas ha fört ner idéerna till sinnesvärlden så lade Galileo grunden för den experimentella vetenskapen. Han ifrågasatte redan som ung student många av de aristoteliska teserna som ännu lärdes ut vid universiteten. Han satte sig t ex emot Aristoteles påstående om att kroppar faller till marken med en hastighet proportionell mot sin egen vikt. Han experimenterade med olika objekt och kunde därmed dra slutsatsen, från sina mätresultat, att den fallande kroppens massa inte hade någonting med fallhastigheten att göra. Galileo var den första som använde en kikare till att titta ut mot rymden. Han upptäckte då att det fanns månar som rörde sig kring andra planeter. Det han såg hjälpte honom att inse saker som ingen tidigare hade kunnat föreställa sig, som att jorden rör sig runt solen istället för tvärtom.

Albert Einstein (1879-1955), född i tyska Ulm lärde sig tala så sent att han ansågs efterbliven. Einstein växte upp i München och Italien. Han gick på tekniska högskolan ETH i Schweiz. År 1901 blev han Schweizisk medborgare och år 1905 erhöll han doktorsgraden. Samma år publicerade fysiktidskriften Annalen der Physik. tre särskilt anmärkningsvärda artiklar av Einstein. Den första var ett arbete om den brownska rörelsen, som i praktiken bevisade atomernas (och molekylernas) existens. Den andra var om fotoelektriska effekten, för vilken han senare, år 1921, fick nobelpriset i fysik. Det tredje av dem var den speciella relativitetsteorin, för vilken han är mest känd ( E = mc2 ). Han var den första att tillämpninga kvantteorin på fasta kroppar. Under åren 19071915 utvecklade Einstein den allmänna relativitetsteorin.

göra med att de elektromagnetiska vågorna (ljuset) alltid rör sig med samma (högsta) hastighet. Alla punkter har en historia, även punkter i tiden. Denna historia kan beskrivas med hjälp av de möjliga händelser som kan ha haft inflytande på en viss punkt i rumtiden och som via denna punkt kan få inflytande på andra punkter i rumtiden. Det som bestämmer denna struktur är att ingen påverkan kan ske snabbare än ljuset.

Utan fast punkt Om du tittar upp en stjärnklar natt får du en intuitiv uppfattning om hur du är omvälvd av en sfär av ljus som träffar dig med samma hastighet från alla håll. Inget annat än det som ryms inom denna sfär kan påverka dig. Din egen rörelse genom rymden och det ljus du reflekterar påverkar i sin tur annat i din "påverkanssfär". När man försöker göra bilder av detta ritar man i två dimensioner något som liknar timglas, med dig vid timglasets midja och den ena konen som den som sätter gränsen för all inkommande påverkan och den andra för all utgående påverkan. Man kan tänka sig alla "påverkanspunkter" som ett slags sandkorn i ett timglas. De som faller fortast är fotoner, ljusets "punkter". Det egendomliga i bilden är att fotonerna alltid följer timglasets kanter, medan övriga, långsammare sandkorn, tar vad som kan tyckas vara en kortare väg inom respektive motställda koner. Min fysiklärare gjorde bilder av det elektromagnetiska fältet genom att strö järnspån på ett papper. Einstein insåg att gravitationen är ett fält som sandkornen i våra allegoriska

20 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

timglas påverkas av. Motsvarigheten i relativitetsteorin till de elektromagnetiska vågorna, gravitationsvågorna, gör att timglasen tippar som flöten på vattenvågor. Eftersom den snabbaste vägen mellan punkter i rumtiden går utefter timglaskanterna är rumtiden som ett medium med föränderlig täthet. Om tätheten är ett uttryck för massa och massa orsakar gravitationsvågor får vi en bild av komplexiteten och dynamiken hos rumtiden. Rumtiden som är bakgrund till alla andra fält kan själv enligt Einstein beskrivas som ett fält med tre olika fältlinjer. Deras relationer bestämmer gravitationen. Tänk dig för enkelhetens skull fältlinjerna som snören som knyts ihop. Varje slags knut, oavsett var och när, är ett och samma sandkorn i verklighetens timglas. Själva begreppet punkt i rumtiden upphör i den moderna fysiken att ha en mening och eftersom inget kan ställas utanför rumtiden så finns det ingen fast punkt vare sig i eller utanför vår verklighet.

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Åter till Aristoteles, logikens och empirins fader. För några år sedan berättade en matematiker i en diskussionslista på internet att han funnit ett sätt att visa att logik är en gren av matematiken, kallad knutteori. Enligt en artikel för något år sedan i New Scientist kan knutteori dessutom stå modell för en fungerande kvantdator Eftersom kvantprocesserna (så vitt vi vet) är den yttersta verkligheten har då äntligen matematiken kunnat fästas vid materien (liksom logiken och andra abstrakta idéer). Allt är empiri!

BEPRÖVAD OSÄKERHET Av Lennart Nilsson

Planckenheter

I denna artikel sju i den pågående

=1,61605*10-35 m.

artikelserien om den nya boken av Roger Penrose tar vi oss från Einsteins relativitetsteori och den klassiska mekaniken till kvantmekaniken.. I den klassiska mekaniken kan man representera en konfiguration av ett system ( t ex ett antal biljardbollar på ett biljardbord ) som en enda punkt i en matematisk mångfald av många dimensioner. När något ändras bland biljardbollssystemet ( t ex genom en stöt ) så rör sig punkten i mångfalden på ett sätt som motsvarar det sätt ljuset tar en bana i Einsteins fyrdimensionella rumtid, en geodetisk bana. Den följer den rätast möjliga linjen i rumtiden. Funktionen för punkterna som representerar systemets möjliga konfigurationer följer en linje som också kan sägas ta en geodetisk bana i det konfigurationsrum som utgör den matematiska mångfalden. Det visar sig nämligen att linjen antar en form som minimerar integralen av funktionen mellan godtyckligt nära punkter. Denna integral kallas systemets aktion.

Planckarean:

Konstans

Plancks konstant: h=6,6260755*10 -34 Js. Plancks konstant på rotationsform:

Js.

=1,05457*10-34

Detta värde ger tillsammans med c (ljushastigheten) och G (gravitationskonstanten) övriga Planckenheter enligt nedan.

Plancktiden: 44

=5,39056*10s.

Plancklängden:

=2,61162*10-70 m2.

I själva verket definierar detta en stationär aktion, i analogi med ljusets hastighet som det konstanta i Einsteins relativitetsteori. En annan konstant är volymen av fasrummet , dvs den mångfald som också representerar ett

22 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

systems momentum. Detta är bara ett elegant geometriskt sätt att utrycka att energin hos ett slutet system är konstant. Matematiker har utvecklat denna formalism så att den också täcker in fältbegreppet, så att man geometriskt kan representera så kallade gaugetransformationer som håller en egenskap hos fälten konstant, t ex elektrisk laddning. Kvantmekaniken går ett steg längre. Den funktion (operator) som generar den symmetriska transformationen identifieras med den egenskap som konserveras. Det tillåter att de kvantifieras och behandlas som tal. T ex görs den konstanta energin om till en operator över tid och kan kvantifieras. Det är denna funktion som Schrödingers berömda vågekvation uttrycker. Ur detta härrör också den unika kvantmekaniska egenskapen att tilldela partiklar både våglängd, amplitud och frekvens. Ett fälts partiklar är differentierade små "kvanta" av tid (energi) och av rum (momentum). Å andra sidan kan varje partikel beskrivas som en våg med obegränsad räckvidd med en periodicitet som skrivs i termer av en konstant, Plancks konstant.

=4,22050*10-105 m3. Planckfrekvensen:

=1,85509*1043 Hz. Planckenergin: =1,95633*109 J (1,22105*1019 GeV). Planckmassan: =2,17671*10-8 kg. Planckdensiteten: =5,15747*1096 kg/m3. Planckkraften:

Diffraktion Detta belyses oftast med hjälp av det berömda diffraktionsexperimentet. Fotoner skickas en och en mot en dubbelspalt varvid en diffraktion uppstår som om en våg träffat dubbelspalten. Inte bara experiment, utan också principer kan vara berömda. Heisenbergs osäkerhetsprincip inom kvantfysiken säger att något som befinner sig i ett orörligt tillstånd är omöjligt, eftersom vi då vet både dess absoluta position och dess rörelse (att den inte har någon), vilket inte är möjligt enligt denna princip. Populär Världsbildsvetenskap

Planckvolymen:

Tema Penrose 2005

=1,21056*1044 N. Plancktemperaturen: =1,41694*1032 K. Planckflödet: =2*10-15 Wb.

Heisenbergs osäkerhetsprincip

Interferens och diffraktion vid en dubbelspalt

Heisenbergs osäkerhetsprincip är fundamental för den kvantmekaniska beskrivningen av verkligheten. Den gäller inte bara omöjligheten av orörliga positioner utan också omöjligheten att samtidigt ange ett elektromagnetiskt fälts magnetiska och elektriska styrka exakt, dessa måste ständigt fluktuera, även i ett energilöst absolut tomrum. Att säga att det finns en kvantmekanisk beskrivning av verkligheten är en förenkling. I själva verket är teoretiska fysiker oense om vilka delar av den experimentellt i sina förutsägelser oöverträffat välprövade matematiska modellen som motsvarar verkligheten. Om ens någon!

24 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

MÅNGA VÄRLDAR Av Lennart Nilsson

I den femte artikeln i den pågående artikelserien om den nya boken av Roger Penrose fastställdes betydelsen av matematiska symmetrigrupper för moderna fysiska teorier om verkligheten. Där ställdes också frågan om symmetriernas reella existens. Kvantfysiken ställer frågan på sin spets. Speciellt viktiga symmetrier inom kvantmekaniken är linjära transformationer av vektorrum. Sådana kan beskrivas med hjälp av matriser. En sådan kan ha en egenvektor om det finns en skalär som multiplicerad med denna egenvektor återskapar matrisen med sin egenvektor. Detta kallas matrisens egenvärde. Inom kvantmekaniken har vektorrummen oändligt antal dimensioner och egenvektorerna motsvarar ett oändligt antal kvanttillstånd som det fysiska systemet kan anta, dess egenfunktioner. Egenvärdet är det faktiska värdet på en av systemets dynamiska variabler. Inom kvantmekaniken är det också skillnad på väntevärden och de faktiska värden som fås vid mätning av systemet. Allt sammanfattas i den berömda vågfunktionen.

Vad är verklighet? Vad motsvarar då verkligheten i den kvantmekaniska modellen? De flesta fysiker menar att frågan är ovetenskaplig. Allt man kan göra är att beräkna väntevärden utifrån den matematiska formalismen och se om de stämmer med faktiska mätresultat. Samtidigt hävdar de Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Många världar Som anmärkts tidigare använder sig kvantfysiken av en matematisk beskrivning av rörelse som något som pågår i en rymd av oändliga dimensioner. Den fysiska tolkningen av denna abstrakta rymd har inte bekymrat partikelfysikerna särskilt mycket, men desto mer kosmologerna. Vad den berömde kosmologen Lee Smolin kallat den "konventionella tolkningen inom kosmologin" är att det finns ett oändligt kontinuum av universa och att det abstrakta matematiska rummet i själva verket representerar ett multiversum. Vi måste vara noga med att hålla det oändliga antalet universa i den holografiska inflationen skild från det oändliga antalet universa som så att säga existerar parallellt med varje annat universum i den bilden. Vad ryms inom denna större verklighet? Jo det finns en oändlig mängd parallella världar till vår egen. Och då menas exakta kopior ner till minsta elementärpartikel av hela vårt universum!

Sedan finns det en oändlig mängd världar som skiljer sig från vårt universum bara med positionen hos en enda elementarpartikel. Sedan finns det en oändligt mycket större oändlig mängd andra världar som skiljer allt från två elementarpartiklars läge till total oigenkännlighet visavi vårt universum. Men alla dessa världar följer kvantmekanikens rörelselagar. Ett universum med ett speciellt värde på en viss egenskap existerar alltså i en oändlig mängd. Denna mängd är ändock en otroligt liten del i den oändligt mycket större mängden multiversum. Andelen är dock inte noll utan ett bestämt värde, men ett värde som till skillnad från alla mätbara värden förändras kontinuerligt. Det finns inga mätbara kontinuerliga övergångar. Det gäller inte bara numera välkända förhållanden, som att ljuset inte är en kontinuerlig ström utan består av fotoner, utan också sådant som avstånd – d v s fysiskt, mätbart avstånd till skillnad från abstrakta avstånd i abstrakta rymder. Inom varje universum kan ingenting anta en oavbruten räcka av värden utan endast diskreta värden - men ingenting förändras från ett diskret värde till ett annat! Det är enbart andelen världar där något antar det ena värdet eller andra som f örändras med kontinuerliga (oavbrutna, utan "hopp") värden tillgängliga. Och i

flesta fysiker att formalismen ger svar på alla frågor man ställa om verkligheten. Verkligheten är på alla nivåer kvantmekanisk även om vi inte till vardags upplever den så. Penrose menar att detta är att göra verkligheten overklig. Det vi upplever är på något sätt en illusion av den större kvantmekaniska verklighet som modelleras av sagda vågfunktion. Denna vågfunktion är oavbrutet deterministiskt fortskridande. Det den kan säga om våra mätningar av verkligheten är emellertid bara partikulärt och sannolikhetsmässigt. Slump och diskontinuitet ersätter plötsligt nödvändighet och kontinuitet. Fysiker säger att vågfunktionen reduceras varje gång vi väljer att titta på en del av verkligheten.

Vi lever i en matris Vad Penrose och andra fysiker vetat i decennier, men som man oftast talat tyst om, är att om man verkligen menar allvar med att vågfunktionen gäller överallt, dvs även vid mätningar, så sker i verkligheten ingen reduktion. Alla väntevärden infrias, om än i skilda världar. Vi lever i en matris av oändligt många världar. Detta är den så kallade "många världar"-tolkningen av kvantmekanikens formalism. Denna formalism har aldrig givit något resultat som inte bekräftats av faktiska mätningar. Penrose säger därför ärligt att det är den enda följdriktiga tolkningen om man tror att modellen gäller fullt ut, även om han själv hoppas att man kan finna en ny modell i framtiden som inte kräver denna tolkning. Det är dock uppenbart att det är denna världsbild som idag bygger på vetenskap och beprövad erfarenhet och ingen annan. Det leder

26 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

till insikter om vår roll i universum, om betydelsen av vår fria vilja, om intelligensen som naturlag och mycket annat som borde tas upp till allmän diskussion. Det är en lika stor omställning för tanken som upptäckten att jorden är rund, eller att jorden inte är universums centrum, och att att evolutionen onödiggör Gud. Det är just detta som Populär Världsbildsvetenskap handlar om (och mina två böcker). Ett sätt att beskriva idén om parallella världar är att tänka sig att varje universum kan beskriva ett oändligt antal historier. I vissa världar inbegriper historien biologiskt liv byggt på reproduktion av DNA. Det har ganska nyligen upptäckts att generna är mycket utspridda och att det mesta av DNA är "skräp", men att "skräpet" kan ses som ett "historiskt arv". I varje universum förändras molekylkedjorna i DNA slumpmässigt genom mutationer. Ofta finns identiska sekvenser på olika ställen på kedjan, men bara en fungerar som gen. I världar som liknar vår finns levande organismer parallella till våra egna i liknande miljöer. Om vi kunde titta på sekvenserna i deras DNA skulle vi upptäcka att av två identiska sekvenser i vårt exempel av fungerande gen och skräp kan vi bara återfinna den fungerande delen. Skräpsekvensen är genom mutationseffekter slumpmässigt olik i alla andra världar än vår egen. Det naturliga urvalet har behållit den fungerande sekvensen på sin rätta plats i alla närbesläktade världar, medan skräpsekvensen speglar de olika historiska tillfälligheterna i parallella historier i parallella världar. Den fungerande gensekvensen är däremot en mellanuniversell kristall! Detta är livets fysiska egenart och ett unikum i multiversum. Långt ifrån att vara ett obetydligt kemiskt skum i ett obetydligt universum på en obetydlig planet som det i vissa naturvetenskapliga kretsar varit fashionabelt att försöka chockera meningslängtande människor med att människan är, så är vi en del av den mest storskaliga av alla strukturer som skulle kunna upptäckas av ett magiskt teleskop riktat mot multiversum. Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

inget universum registreras "själva hoppet". Varje partikel i ett universum finns i ett oändligt antal identiska kopior i multiversum som är utbytbara i den mening vi beskrivit tidigare, vilket alltså innebär att multiversum i någon mening roterar medan varje observatör i något av de ingående universumen bara kan registrera rörelse som statistiskt fenomen. Den rörelse som kan härledas till påverkan från andra universa inskränker sig dessutom till interferens mellan praktiskt taget identiska parallella sådana. Det betyder att 99,999999999999……99% (till ett näst intill obegränsat antal decimaler) av multiversum är principiellt omöjligt att observera.

Draget från oändligheten : vetenskapsfilosofiska vindsvep ISBN: 91-631-4475-1

VERKLIGHETEN SOM MEDIUM Av Lennart Nilsson

Vi har kommit fram till den sjätte Kvantfysik och medvetande "...människor tänker inte matematiska bevis - de tänker ut dem." Såskriver Sven-Eric Liedman i sin bok om människans kunskaper, Ett oändligt äventyr. Varför tänker man då ut matematiska bevis? Jo, säger jag, för att visa andra matematiker vad man tycker att man vet. Vi tycker alla att vi är med vetande, men det kan vara ack så svårt att visa andra vad som rör sig i vårt medvetande. Den mest fundamentala vetenskapen är fysiken. Kvantfysiken studerar den mest fundamentala rörelsen till vetande, den där rörelsen kvantifieras. Jag ska nu börja visa vad jag tycker att jag vet om denna oerhört enkla rörelse utan att vända mig till matematiker (inte ens för hjälp). Själva kvantifieringen kan åskådliggöras med en enkel bild.

artikeln i den pågående artikelserien om den nya boken av Roger Penrose. Den som har följt serien vet redan att världen är mycket underligare än vad vi vanligen föreställer oss. Med matematisk skärpa beskriver den moderna fysiken en verklighet som vida överträffar även de vildaste fantasierna hos vidskepliga människor. I den formalisering av kvantmekaniken som följer Heisenberg är ett systems kvanttillstånd statiskt, dvs konstant från en tidpunkt till en annan trots att samma systems dynamiska variabler är i rörelse! Dessa dynamiska variabler beskriver i sin tur vilken information vi kan få ut av systemet. En effekt av detta är att den information vi kan få ut av ett statiskt system kan ändras utan att vi har påverkat det.

Bortom vår räckvidd En annan egenhet hos kvantmekaniken är att den information vi kan hämta från ett kvantsystem är som en oändligt liten punkt på ytan av en sfär. Totaliteten av information som varje del av verkligheten har med sig är oändlig, men bortom vår räckvidd (åtminstone med

28 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

dagens teknik, det kan ändras när vi lyckats bygga kvantdatorer av generellt slag). När jag säger bortom vår räckvidd inkluderar detta också att det är bortom vår räckvidd att agera på det sätt som verkligheten gör. Inga medium eller synska personer kan svara ja eller nej på frågor om vilka resultat av mätningar av kvantsystem de fått vetskap om, som till närmelsevis simulerar det sätt mätningarna faktiskt visar sin inneboende information. Det gäller att komma överrens om en strategi som gör att två personer utan kommunikationsmöjligheter (annat än parapsykologiska!) ALLTID ger motsatta svar när de ställs inför samma fråga samtidigt, men i det långa loppet ger lika eller motsatta svar med samma frekvens. Se vidare Kvantfysik och medvetande. När man mäter den kvantmekaniska egenskapen spinn kan det jämföras med att skjuta en pil från mittpunkten av en sfär ut mot en punkt på dess yta. Den riktning vi skjuter i bestämmer då punkten på ytan, men det har ingenting med vilket spinn, vilken tänkt pil från mitten till ytan, som det kvantfysiska systemet befinner sig i före mätningen.

Teleportation är möjlig Denna obestämbarhet gör det omöjligt att kopiera ett kvanttillstånd. Konstigt nog är det däremot möjligt att teleportera kvanttillstånd! Många teleportationsexperiment har redan utförts som bekräftar fysikernas teorier. Två kvantsystem med information om varandra, men som hålls åtskilda, kan teleportera ett tredje kvanttillstånd genom att bara två informationsbitar överförs från den som har hand Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Om man ställer en enkrona på kant och snurrar igång den med en knäpp av fingret, så ser den, medan den snurrar fort, ut som en genomskinlig boll med en lodrät axel som den snurrar kring. Försöker jag peta på den så faller den emellertid platt ned och visar antingen krona eller klave. Om den kunde snurra friktionsfritt skulle den för evigt befinna sig ett obestämt tillstånd utan att visa någon sida så länge den inte blev störd. Inom kvantmekaniken talar man om spinn. Detta liknar det ideala friktionsfria snurrandet hos vår enkrona. Alla partiklar har spinn. Likt fallet med enkronan kan man urskilja en axel, men axeln kan ligga i vilken riktning som helst.När jag var liten grabb brukade jag tycka det var häftigt att se hur en pingisboll kunde "hänga i luften" om man släppte den framför utblåset från en dammsugare. Luftströmmarna gjorde också att den snurrade utefter vad som verkade vara en godtycklig axel i vilken riktning som helst. Det är svårt att urskilja den axel pingisbollen snurrar kring. Med enkronan är den lätt att se. Om man ser på kronan utefter axelns riktning så är det klart att den kan snurra antingen medsols eller motsols. Inom kvantmekaniken kallas detta uppspinn respektive nedspinn

Även om en snurrande enkrona samtidigt kan förebåda krona eller klave så kan den naturligtvis aldrig snurra medsols och motsols samtidigt. Den begränsningen finns inte för kvantmekanikens partiklar. De kan ha uppspinn och nedspinn samtidigt och dessutom simultant i alla de oändligt många möjliga olika axelriktningarna. Man kunde tänka sig att effekten skulle bli en slags sammanvägd summa av allt detta. Men eftersom ett mätbart spinn bara har en axel och är antingen ett uppspinn eller nedspinn så syns sammanvägningen i en sannolikhetsfördelning av alla enskilda mätresultat. Om vi sätter snurr på två enkronor och låter dessa snurra in mot varandra,så får vi ett av tre olika resultat; (1) båda mynten visar krona (2) ett mynt visar krona och ett klave (3) båda mynten visar klave. Sannolikhetsfördelningen är; (1) 25% (2) 50% (3) 25%. Den kvantmekaniska motsvarigheten är en interaktion som resulterar i två elektroner med spinn som är korrelerade på ett speciellt sätt. När man mäter deras spinn utefter någon av ett oändligt antal axlar så blir resultatet alltid uppspinn eller nedspinn men med olika sannolikhet beroende på hur olika axlar man mätt efter på respektive partikel.

om det ena av de ursprungliga kvanttillstånden till den som har hand om det andra. Om man då betänker att det kvanttillstånd som har teleporterats har samma informationsmängd som skulle krävas för att peka ut en enda punkt på ett oändligt kontinuum (i själva verket ytan av en Riemannsfär) är det lätt att se att medium av det vardagliga humbugslaget står sig slätt... Mäter man efter exakt samma axel så är sannolikheten att båda partiklarna har samma spinn exakt noll! Är axlarna i rät vinkel mot varandra är sannolikheten att båda har samma spinn 50%. Är vinkeln större är sannolikheten ännu större (75% vid 120 graders vinkel mellan axlarna) . Frekvensen uppspinnsmätningar respektive nedspinnsmätningar blir emellertidvid upprepade mätningar i det långa loppet samma. För den som gillar spelteori går det att göra ett mycket enkelt spel av en situation där de olika mätningarna enbart får göras efter de tre exemplifierade axelriktningarna ovan. Spelförutsättningar: I spelet ska två personer anta rollerna av de två elektronerna. De ska gå in i två olika avskilda rum utan möjligheter till kommunikation sinsemellan. Innan detta sker får de reda på att av tre förutbestämda frågor kommer en slumpmässigt att ställas samtidigt till var och en i de båda rummen. De får bara svara ja eller nej på frågan. Detta kommer att upprepas ett stort antal gånger.

30 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Spelarutmaning: Kom överrens om en strategi som gör att ni ALLTID ger motsatta svar när ni ställs inför sammafråga samtidigt, men i det långa loppet måste ni ge lika eller motsatta svar med samma frekvens. Om elektroner grejar detta, så borde det vara lätt som en plätt. Eller? Fortsättning följer...

Referens: Lockwood,M. [1996a]: Many Minds Interpretations of Quantum Mechanics, British Journal for the Philosophy of Science, 47, pp.159-88

CYKLAR MED STANDARDMODELLEN Av Lennart Nilsson

Här fortsätter artikelserien om den nya boken av Roger Penrose. Vi börjar här med att tillåta oss en utvidgning av hans upplägg för att beskriva den så kallade standardmodellen inom elementarpartikelfysiken. Penrose tar sin utgångspunkt i en visualisering av modellens matematiska abstraktioner i form av zickzackrörelser med olika spinn och laddning. Vi väljer att göra en analogi med cykelstyret. Om du sitter på t ex en motorcykel och håller högerhanden om högerhandtaget är det bara vridbart mot dig (högervridet). Om du har ett vridbart handtag även på den vänstra delen av styret är det vänstervridet. Detta motsvarar det kvantmekaniska spinnet hos zick och zack. Eftersom varje halva av styret är ställda mot varandra så blir både det vänstervridna och högervridna spinnet trots allt en rotation åt samma håll. Om vi vill att vårt cykelstyre ska hjälpa oss att förstå den elektriskt laddade elementarpartikeln elektronen, så behöver vi inte bara motställda spinn utan också laddning. Vi tänker oss att högerhandtaget är ett gasreglage och vänsterhandtaget ett bromsreglage. En generator förvandlar acceleration och inbromsning till elektrisk ström som tänder en lampa.

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Kvantfysik och medvetande (forts) I sin bok om människans kunskaper, Ett oändligt äventyr skriver Sven-Eric Liedman, att historiskt är läran om de friakonsterna, artes liberales, "en väg upp till de utsiktspunkter varifråntillvaron kan överblickas". En sådan överblick skulle krävas av spelarna för att klara den tidigare ställda uppgiften (att oberoende av varandra alltid ge motsatta svar på sammafrågor). Den som kan överblicka situationen är naturligtvis experimentatorn.Ingen av spelarna kan veta hur den andre svarat förrän experimentatorn talat om det för dem. Kanske det finns ett sätt för experimentatorn att delge bägge spelarna svaren så att de, till sin förvåning, ser att de gemensamt ändock lyckats klara den omöjliga upgiften. Jag ska här anta experimentatorns utmaning.

Eftersom jag alltid haft svårt att hantera människor byter jag ut spelarnas svar mot Ja respektive Nej skrivna på kort. Lägg märke till att i originalexperimentet med elektroner använde jag storleken på vinkeln mellan de olika spinnriktningarna som en variabel som experimentatorn kunde laborera med. För att välja vinkel måste ett plan väljas i den sfäriska symmetri som jag åskådliggjorde med en snurrande pingisboll. I själva verket finns det inget som hindrar att mätningarna görs i vilket som helst av alla de oändligt många plan som motsvarar de sätt en pingisboll kan delaspå hälften. Det gör verkligheten ännu märkligare än vad följande experiment antyder. Jag tänker mig två kortlekar, som var och en är färgade på baksidornamed ett antal (i verkligheten oändligt många) nyanser mellan gult och blått. Dessutomstår det skrivet Ja på alla kortens framsidor i den ena leken och Nej på alla i den andra leken. Jag blandar först varje lek för sig,så att färgnyansernas ordning blir slumpmässig. Sedan riffelblandar jag ihop båda lekarna på ett så fingerfärdigt sätt att det på exakt varannat kort i den sammanblandade leken står skrivet Ja och på varannat Nej. Jag talar nu om för spelarna vad det förenklade experimentet går ut på.

Om vi tänker oss en stor mängd, oändlig faktiskt, styren med denna utrustning får vi en analogi till det elektromagnetiska fältets ljusvåg. Så långt är allt symmetriskt. Vi skulle inte kunna se skillnad på om vi endast såg cykelstyrena i en spegelbild. Sådana spegelbildsversioner av elektronen (och alla andra elementarpartiklar) finns också som så kallade anti-partiklar. Elektronens antipartikel heter positron eftersom den har positiv elektrisk laddning till skillnad från elektronen som har negativ.

Spontana symmetribrott Vi ska nu bryta symmetrin genom att sätta en ringklocka på styrets ena sida. När vi vrider på den uppstår ett ljud. I fallet med elektromagnetismen är lampan (fotonen) "bäraren" av vågen. Ljudet hos ringklockan får motsvara bärararna (det finns fler toner i klockans ringning) hos den svaga kraftens radioaktiva strålning. Till skillnad från fotonen, som är masslös, är den radioaktiva strålningen beroende av massiva bärare, vektorbosonerna W+, W- och Z0. Elektronen har också massa. Standardmodellen beskriver massan som en frekvens. Den frekvens som den masslösa zickzackrörelsens vändningar har. I vårt fall den frekvens med vilken föraren vid styret växlar mellan gaspådrag och inbromsning. Fotonen som är masslös motsvaras av att samtidigt gasa och bromsa. Restmassan är noll. Varför är inte alla partiklars restmassa noll? Standardmodellen har en förklaring (Higgsmodellen) som går ut på att det strax efter Big Bang inte gick att urskilja de massiva och de

32 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

masslösa partiklarna. Vi kan tänka på det som att alla de oändligt många hojarna från stillastående accelererade olika fort men att det strax jämnades ut till en maxfart. Den efterlämnade trögheten ger alla elementarpartiklar deras massa. Så länge de rör sig med ljusets hastighet i en och samma riktning rör de sig alla med maxfart (ljusets hastighet) och är masslösa. Man måsta bara komma ihåg att även en endaste elektron i standardmodellen modelleras av inte en zickzackrörelse utan oändligt många med sinsemellan olika längd på rörelsen. Den elektron vi mäter är ett slags genomsnitt av allt detta. Till elementarpartiklarna hör också kvarkarna som med sina bärare, gluonerna, bildar den starka kärnkraften. Kärnkraftens laddning kallas färger. De bildar i olika kombinationer skiftande färgfält, men är i grunden tre till antalet. Färgerna är (till skillnad från ljusvågen, den radioaktiva strålningen och massfrekvensen) innestängda. Tänk dig tre motorcyklar inuti en så kallad dödsglob (sådana nummer fanns alltid på cirkus förr i världen). Ju fortare de kör desto snabbare accelererar de in mot mitten av globen. Det är den kraft som håller ihop atomkärnorna. Dödspiloterna på hojarna tycker sig däremot vara på väg ut genom väggarna på globen. Denna "centrifugalkraft" kallas av en del fysiker för illusorisk, men kan ses som en dualitet till den inåtriktade accelerationen. Alla så kallade spontana symmetribrott inom standardmodellen, som den när den elektromagnetiska och svaga kraften valde skilda vägar från en tidigare förenad elektrosvag kraft, kan kanske ses som manifestationer som är dualiteter till innestängda krafter. Penrose framkastar den hypotesen, men medger att det

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

De två sammanblandade kortlekarna tänkes motsvara de två elektronerna som blivit korrelerade efter en interaktion. Jag berättar att jag kommer att ta ett kort från botten av leken och lägga framför en av spelarna med baksidan upp. Den andre spelaren får ett kort framför sig taget från toppen av kortleken. När de är överrensom att färgnyansen på baksidorna är lika delar jag ut två kort till på samma vis till vänster om originalhögarna. Spelarna får sedan ta översta korten i sina respektive högar och lägga dem till höger. Vi ska fortsätta så tills den sammanblandade leken är slut. Först därefter jämför spelarna korten i högarna till höger. Spelarna vet naturligtvis inte att riffelblandningen gjort att jag på förhand vet vilka kort som har ett Ja respektive ett Nej på framsidan. Dessutom kan jag, med en enkel manipulation som används vid många kortkonster, se till att de alltid får motsatta kort när baksidans färgnyans är densamma, precis som i fallet med elektronerna när deras spinn mäts efter samma axelvinkel, då det ena mätresultatet blir upp och det andra ned. Manipulationen heter dubbellyft.

När jag till synes skjuter fram toppkortet i leken för att lägga det framför en av spelarna, skjuter jag istället fram två kort som ett enda. Det är sedan lätt att ta antingen det översta av de två korten eller det understa samtidigt som tummen skjuter tillbaks det andra omärkligt till leken. Inget öga kan se annat än att det alltid är det översta kortet som delas av när manipulationen görs skickligt. Dubbellyftmanipulationen gör alltså att jag, experimentatorn, kan styra att båda korten alltid har motsatta svar på sina framsidor när baksidorna är lika. Detsamma gäller de kort som läggs i högen till vänster. När spelarna tittat genom korten till höger och upptäckt sakernas tillstånd kan jag be dem att också titta i högarna till vänster och se att samma sak gäller där. Det kan tyckas att detta är fusk. Men i verkligheten sker manipulationen så att kvantfysikens naturlagar skiljer ut två parallella historier i världen på exakt samma sätt som dubbellyftet gör med kortserierna. Analogin haltar dock en aning. I verkligheten skulle de två spelarna också fördubblats! Jag antar att det vore möjligt att modellera med något slags spegeltrick, men det klarar inte min begränsade magiska förmåga av.

idag inte är en beståndsdel av gällande standardmodell.

Artikeln Kvantfysik och medvetande är hämtad från ett avsnitt i boken Mångfaldens mönster utgiven på Indexkompaniets förlag. © Lennart Nilsson 2004

34 Populär Världsbildsvetenskap

Mångfaldens mönster : en multipel historia ISBN: 91-975382-0-5

Tema Penrose 2005

ENTROPI OCH BIG BANG Av Lennart Nilsson

I temaserien utifrån den formidabla tegelstenen av Roger Penrose ska vi nu ta oss ända tillbaka till Big Bang. Penrose lägger ner stor kraft på att förevisa hur enastående unik och ordnad denna händelse är. Han använder sig då av en lag, termodynamikens andra lag, som de flesta förknippar med oordningens tillväxt och inte något som man kan använda för att bestämma specifika tillstånd med. Att denna lag medger exakta förutsägelser vet dock alla som någon gång hört att en perpetuum mobile, en maskin som går i evighet utan energitillförsel, är en omöjlighet. Detta är en direkt följd av den formulering av lagen som kallats entropiprincipen: värme flödar från varmt till kallt. Värme är en energiform som (till största delen) kan förstås som den kinetiska energin (rörelseenergin) i luftmolekylernas rörelser och vibrationerna i kroppars beståndsdelar. Temperaturen är graden av energi per frihetsgrad. En partikel kan ha tre förflyttningsfrihetsgrader, en för varje rumsdimension (ett biljardklot har bara två eftersom det rör sig på ett tvådimensionellt plan). Flera partiklar som är sammanbundna kan dessutom rotera i två lägen samt vibrera i förhållande till varandra. För en molekyl med två partiklar, exempelvis en vätgasmolekyl, finns sex frihetgrader: Tre förflyttningsfrihetgrader, två rotationsfrihetsgrader och en vibrationsfrihetsgrad. Med fler än två partiklar får molekylen två vibrationsfrihetsgrader. Det största

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Termodynamikens nollte huvudsats (T0) Två kroppar som står i termodynamisk jämvikt med varandra har samma temperatur. Termodynamikens första huvudsats (T1) Energi kan varken förintas eller nyskapas; den kan bara omvandlas mellan olika energiformer. Termodynamikens andra huvudsats (T2) Det finns ingen process vars enda resultat är att värme överförs från en kallare till en varmare kropp Termodynamikens tredje huvudsats (T3) Entropin för en ren kristallin substans vid den absoluta nollpunkten är noll.

Att räkna med frihetsgrader Ett i statistik centralt men komplicerat begrepp, som här snarare exemplifieras än förklaras. Antalet frihetsgrader skrivs ofta df, efter det engelska uttrycket degrees of freedom [digri´s öv fri´döm]. Också förkortningen fg förekommer. Först ett icke-statistiskt exempel: Ex: En kommunal nämnd ska fördela 500 000 kr på de fyra föreningarna A, B, C och D. Detta krav gör att om t.ex. 150 000 kr först ges till vardera A, B och C så får D 50 000 kr; nämnden är bunden av kravet att summan ska vara 500 000 kr. Man kan säga att nämnden har 4 – 1 = 3 frihetsgrader. I de två exempel som följer utnyttjas just tanken att antalet frihetsgrader har att göra med det antal krav som ställs. Inom fysiken betyder krav oftast detsamma som att bestämda villkor ska vara uppfyllda.

antalet frihetsgrader för en molekyl är således sju. Så långt. Till detta kommer dessutom elektromagnetisk energi med frihetsgrader i elementarpartiklarnas inneboende kvantmekaniska spinn som bidrar till värmekapaciteten. Matematiskt kan man tänka på varje frihetsgrad som en dimension ett fysiskt system kan röra sig efter. Om varje frihetsgrad, och dess förändring över tiden, ses som en koordinat får man ett abstrakt mångdimensionellt rum, fasrummet, ett matematiskt rum där punkterna fullständigt beskriver ett systems konfiguration och rörelse.

Ett grovkornigt perspektiv Vi är ofta inte intresserade av att veta exakt varje konfiguration i fasrummet. Man anlägger då ett "grovkornigt" perspektiv där alla punkter i fasrummet som beskriver tillstånd som man inte är intresserad av att skilja på (de gör ingen makroskopisk skillnad) bildar mångdimensionella boxar som delar in fasrummet i delmängder. Dessa boxar får helt olika storlek. Defintionen på graden av entropi hos ett fysiskt system blir då beroende på den relativa storleken hos den box som systemets punkt i fasrummet befinner sig i. Om vi åter tänker på ett systems värmeflöden så är termisk jämvikt det jämviktsförhållande som råder mellan två fysikaliska kroppar då värmeflödet mellan dem är noll. Oavsett vilken grad av "grovkornighet" vi anlägger när vi betraktar ett systems fasrum så har den box där vi hittar punkter som betecknar detta jämviktstillstånd ojämförligt störst volym. Det betyder att om vi följer ett systems utveckling från en punkt i någon av de andra

36 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

boxarna så hamnar punkten förr eller senare, nästan oavsett hur den rör sig, i den stora boxen. Dess volym är så oerhört stor att sannolikheten att punkten åter ska hamna i någon annan box i praktiken är så liten att den kan bortses från. Denna box anses därför stå för att systemet har maximal entropi. Minimal entropi skulle vara om vi återfinner ett systems koordinat i fasrummet i en box av en försvinnande punkts storlek.

Vad har allt detta med Big Bang att göra? Du har kanske hört att enligt den förvånande detaljerade kunskap vi har om universums tidigaste utveckling så inte bara utvidgade det sig oerhört snabbt, det befann sig också i det närmaste i termisk jämvikt, i maximal entropi med andra ord. Men det kan inte stämma. Det låter som den gamla klyschan om långdistanslöparen som gick ut på max - och sen ökade. Det är inte heller så, som t o m med vissa fysiker tror (och jag själv har trott) att utvidgningen på något sätt skulle öka på antalet frihetsgrader. Det beror istället på att man glömt att ta med gravitationskraftens frihetsgrader. Gravitationen är som jämnast när all gravitation samlas i en enda punkt. Svarta hål har därför maximal entropi. Andra frihetsgrader än gravitationens existerar inte för dessa bestar. Den första femtiotusendelen av vårt universums historia dominerade strålningen över materien och gravitationens frihetsgrader var därför så långt ifrån utjämnade som det är möjligt. Dessa frihetsgrader utgör en enorm entropireserv. När dessa räknas med i universums utveckling får man en box i fasrummet för hela universums

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Sedan två statistiska exempel: Ex: Ett chi-två-test [tji] ska användas för att pröva hur väl en observerad fördelning ansluter sig till en föreslagen teoretisk fördelning: Kan en viss sexsidig tärning antas vara symmetrisk? För att pröva detta kastar man den n = 60 gånger. Möjliga utfall är sex: 1:a, 2:a, 3:a, 4:a, 5:a och 6:a. För fem av dessa kategorier är frekvenserna fria att variera (inom ramen för n = 60 ).För den återstående kategorin finns kravet att summan av frekvenserna ska vara 60. Det ger 6 – 1 = 5 frihetsgrader. Ex: Variansen i ett urval ska användas för att skatta populationens varians. Ett ibland använt sätt att tala om krav i en sådan situation är att som givet betrakta det urvalsmedelvärde som behövs för beräkningen av urvalsvariansen. Tag som illustration – och för enkelhetens skull – ett mycket litet urval om n = 5 observationer för vilket man vet att medelvärdet är 10. Tydligen är då 4 av observationerna fria att variera, medan man för den femte observationen är bunden av kravet att summan delad med 5 ska vara 10. Det ger n – 1 = 5 – 1 = 4 frihetsgrader. Utförligare och med fler exempel i Ordbok i statistik (Olle Vejde Förlag).

Före Big Bang Inte nog med att supersträng/M-teorin har bra förklaringar på vad själva Big Bang kan ha varit och att universums geometri kan ha en utvecklingshistoria, den kan också ge scenarier för eran före Big Bang. Ur Draget från oändligheten (Indexkompaniet Förlag)

nuvarande tillstånd som har en volym i förhållande till den box där Big Bang måste ha sin punkt som är 10 upphöjt i 10 upphöjt i 101 gånger större! Hur stor den skillnaden är ska jag inte ens försöka ge mig in på att ge en föreställning om. Det räcker med att konstatera, att om universum fortsätter att utvidga sig i oändlighet, vilket de empiriska observationerna idag tyder på, så är boxen där vi finner Big Bang inte bara löjligt liten (vilket alltså betyder att Big Bang hade löjligt låg entropi) utan oändligt liten.

38 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

MÄTPROBLEMET I KVANTMEKANIKEN Av Lennart Nilsson

I temaserien utifrån nya formidabla tegelstenen av Roger Penrose har vi nu kommit till hans behandling av det famösa mätproblemet i kvantmekaniken. Penrose föredrar att kalla problemet för mätparadoxen. Kvantmekaniken beskriver fysiska system med hjälp av vågfunktioner. Dessa funktioner är grundläggande och tilldelar varje rum-tid-punkt i systemet ett komplext tal. Med hjälp av vissa operationer (projektioner) på den vågfunktion man är intresserad av att mäta förvandlas den kontinuerliga vågfunktionen på ett diskontinuerligt, slumpartat och irreversibelt sätt, man säger att vågfunktionen kollapsar. Paradoxen uppstår när man försöker inordna båda dessa processer i en och samma tolkning av verkligheten, menar Penrose. Enligt en vanlig uppfattning är vågfunktionen bara en artefakt av hur vi skaffar oss kunskap. Vågfunktionen kollapsar därför inte i någon egentlig mening, det bara verkar så. I denna tolkning, Köpenhamnstolkningen, saknas en egentlig ontologisk tolkning. I en annan tolkning är det den matris som beskriver förhållandena mellan mätapparatur och vågfunktion som är den mest adekvata beskrivningen av vad verkligheten egentligen är. Mångavärldartolkningen däremot tolkar verkligheten så att alla värden som vågfunktionen kan anta, antingen vi mäter dem Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Matris i matematiken är ett rektangulärt schema av tal, storheter eller funktioner, vilka kallas matrisens element och på vilket vissa räkneregler tillämpas. De vågräta raderna i en matris kallas rader, de lodräta kolonner (kolumner). Ett tal i en matris betecknas Aij, där indexet entydigt anger talets plats i matrisen, i raden och j kolonnen. En matris med m rader och n kolonner benämns en m×n-matris (eller en matris av ordning m×n). Exempel:Matriser

En matris med lika många rader som kolonner kallas kvadratisk matris, t ex:

eller inte, samtidigt existerar och är lika verkliga, även om vi bara upplever en kollapsad värld. Hela världen är en matris, matrix kanske man kan säga.

Världen är inte som den upplevs

Matriser med bara en rad kallas radmatris eller alternativt radvektor som t ex

och matrisen med bara en kolonn kallas kolonnmatris alternativt kolonnvektor som t ex

Ett ekvationssystem kan uttryckas i matrisform: Exempel:

som med matriserna:

Ax = b

Gemensamt för dessa teorier är att de på något plan förnekar att världen är som den upplevs. Det är ingen stor sak, kan tyckas (jorden upplevs ju som platt men vi vet att den är rund). Kvantmekanikens uttolkare har dock ofta, liksom Penrose, ansett att det leder till paradoxer och att man därför bör söka efter en bakomliggande teori, där kollapsen av vågfunktionen är verklig och objektiv. Problemet med detta är att den matematiska formalismen för de bägge processerna är motsägande om de förs samman. Skälet till att Penrose inte är nöjd med mångavärldartolkningens lösning på problemet är att han anser att projektionsvärdena, vid mätningar av vågfunktioner, då måste tillskrivas varje mätning i varje parallell värld lika exakt som de faktiska väntevärden som formalismen bakom kollapsen ger och att teorin är långt ifrån att ha fullbordat detta. Dekoherensteorierna kommer här till viss hjälp då man kan visa att olika matriser inte går att meningsfullt skilja på varandra, med mindre att man överför information dem emellan. Eftersom de parallella världarna i mångavärldartolkningen främst är åtskilda genom att praktiskt taget ingen information är överförbar mellan världarna så innebär detta att exakthetskravet kan ruckas på. Ett starkare skäl till att Penrose inte är nöjd med att den kontinuerliga vågfunktionen

40 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

(med alla dess lösningar) tas som utgångspunkt är att information lika lite som energi i så fall får förstöras. Den så kallade Hawkingstrålningen innebär nämligen att svarta hål har en temperatur och "avdunstar" på ett sätt som tycks omöjliggöra informationens bevarande. Detta skulle betyda att gravitationens frihetsgrader skulle kunna minska; ett oerhört brott mot termodynamikens andra lag! Utan att ha någon som helst utarbetad teori för detta föreslår därför Penrose att gravitationens frihetsgrader ökar i exakt samma mån som de svarta hålen minskar dem och att detta sker genom det brott i vågfunktionen som utgör dess kollaps vid mätningar. Efter att Penrose fick sitt manus i tryck har mannen bakom upptäckten av Hawkingsstrålningen, Stephen Hawking, ändrat åsikt och anser numera att informationen bevaras genom att svarta hål blir mindre svarta och öppnar upp för insyn i sitt innanmäte långt innan de avdunstat. Om Hawkings har rätt har Penrose långt mindre på fötter i sin syn på olösta problem med mångavärldartolkningen av kvantmekaniken. Penrose har för övrigt ett eget namn på denna tolkning, omnitolkningen, allt (som är möjligt) existerar.

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Enhetsmatrisen är en kvadratisk matris för vilken eik = δik (Kroneckers delta).

Kroneckers deltasymbol

i och k är heltal

där

AE = EA = A för alla matriser A som kan multipliceras med E. A -1, inversen av den kvadratiska matrisen A, definieras av att A A -1 = A1 A=E Ax = b ovan blir x = A-1 Om en kvadratisk matris A är sådan att alla element utanför diagonalen är noll, alltså om aij för i ≠ j, kallas A en diagonalmatris.

SUPERSYMMETRI OCH SUPERALGEBRA Av Lennart Nilsson

Den tionde dimensionen Supersträng/M-teorin har i ett kvartsekel givit oss det största hoppet att förstå allting på ett djupare sätt än någonsin tidigare. De extra dimensionerna gör att man kunnat göra beräkningar som ger nya kosmologiska strukturer. Enligt en av de senaste supersträngkosmologierna är den tionde dimensionen (den "fjärde" rumsdimensionen) trots allt inte ihopkrympt, utan är av ofantliga mått (sannolikt oändlig) och bildar tillsammans med våra tre vanliga dimensioner ett fyrdimensionellt rum som härbärgerar allt (de övriga dimensionerna förblir hopkrökta). En sfär är tredimensionell men dess yta är som vi sett tvådimensionell. Det är därför vi kan lokalisera varje punkt på jordens yta med bara två tal - longituder och latituder. Den nya kosmologin tänker sig att detvi upplever som vår värld bara är en

temaserien

utifrån

den

nya

formidabla tegelstenen av Roger Penrose har vi nu kommit till hans behandling av den föreslagna supersymmetrin i teorier som supergravitationsteorin och supersträngteorin. I standardmodellen har vi två klasser av partiklar, fermioner och bosoner. Fermioner kallas alla partiklar vars spinn inte är heltal (1/2, 3/2…). De är alla antingen kvarkar eller leptoner, d v s materiepartiklar. Bosoner kallas alla partiklar som har heltalspinn (0,1...). De är kvanta i standardmodellens kraftfält. Hur man kan beskriva partiklarnas inre spinn med hjälp av rotationer där komplexa och hyperkomplexa tal är inblandade har jag skrivit om tidigare i den här artikelserien i artiklarna Imaginära saker och Enkel magi är hyperkomplex.

En enda partikel Penrose påpekar att alla fermioner kan "roteras", via symmetrigrupper, in i varandra och alla bosoner kan likaså roteras inom sin egen grupp, men fermioner kan i standardmodellen aldrig roteras till bosoner och tvärtom. Detta möjliggör en stor förenkling i sättet att se på elementarpartikelfloran. Jag har beskrivit detta på följande sätt i min bok Draget från oändligheten: "Alla materiepartiklar,

42 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

elektronfamiljerna och kvarkfamiljerna, är egentligen en och samma partikel, en elektron som i olika sammanhang är bärare av olika sorters laddningar. De fält dessa laddningar ger upphov till, elektromagnetiska, starka och svaga kärnkraftsfält, har alla kvanta, som egentligen bara är variationer av det elektromagnetiska fältets kvantum, fotonen." Och vidare i samma kapitel: "Det perspektiv där till och med elektronen och fotonen är utbytbara och kan betraktas som en enda partikel kallas supersymmetri. För att få en känsla av hur stort steg detta är ber jag läsaren påminna sig att materiepartiklarna, elektronen och dess kusiner, är ogenomträngbara och alltså inte kan befinna sig på samma plats samtidigt, medan fotonen och dess kusiner gladeligen kan gå rakt igenom varandra och komma ut på andra sidan utan att ha förändrats ett dugg. Det är en skillnad som är lika stor som kroppen och dess skugga. Du låter gärna någon sparka så hårt han kan på din skuggas skenben, men knappast på din kropps, men ur supersymmetrimekanismens perspektiv är det samma sak!"

Kropp och själ Penrose är matematiker. Han tar sin utgångspunkt i den matematiska formalismen när han ska förklara supersymmetri. Kom ihåg att det komplexa planet byggs upp av de reella talen och en rätvinklig axel till dessa som är den imaginära tallinjen. På den imaginära tallinjen är varje reellt tal multiplicerat med ett enhetsvärde som man beskriver med bokstaven i. Detta värde definieras med ekvationen i*i= -1. För att kunna beskriva den supersymmetriska rotationen krävs att vi hittar ett tal som inte ligger i det komplexa planet,

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

tredimensionell "yta" (geometri) av en fyrdimensionell "sfär". Inte nog med det. Vår värld är bara en av många sådana fyrdimensionella sfärer som rör sig i det fyrdimensionella rummet. På ytan av dessa sfärer kan finnas andra världar! Det enda sätt vi kan känna av dessa andra sfärer är genom gravitationen från materien som är bunden till ytan på dessa andra världar. Man kan koppla detta till vetskapen om att ca 95% av all gravitation härör från vad som hittills kallats mörk materia, eftersom vi bara märker av den genom gravitation. Den nya kosmologin ger alltså svaret på vad denna mörka materia är. Det är materien i andra världar! Eftersom gravitationen är en attraherande kraft så skulle stora materiesamlingar i vår värld motsvaras av stora materiesamlingar i närliggande andra världar och sålunda skapa parallella galaxhopar i parallella universa i ett gigantiskt megaversum. Orsaken till att vi bara kan känna av de andra världarna genom gravitationen är att partiklarna som bär den gravitoner - är små slutna strängar som inte sitter fast med någon ände på ytan av de fyrdimensionella sfärerna, vilket strängarna som genererar alla andra partiklar och krafter gör.

Ljus kan sålunda inte lämna ytan och röra sig i den fjärde dimensionen. Gravitonerna kan däremot flyta ut i hyperrymden. När de gör en sådan resa blir de också mycket tyngre. Och även om fysiker inte kan spåra gravitoner i en högre dimension skulle de indirekt kunna upptäcka de energiförluster vid partikelkollisioner som skulle vara klart mätbara till följd av att tunga gravitoner försvann ut i hyperrymden. Det är inte så många gravitoner som flyter iväg därför att den sfär vars yta vi bebor kröker den omgivande rymden så att de flesta gravitoner faller tillbaka in mot ytan. Lustigt nog förklarar samma fenomen varför gravitationen är en så svag kraft. Den fyrdimensionella hyperrymden som vi och andra sfärer flyter omkring i är extraordinärt mycket krökt kring en "modersfär" som därmed håller fast de flesta gravitonerna som finns i hela megaversum. Detta lämnar bara ett fåtal gravitoner som kan bära den gravitationella kraften till mer perifera sfärer som vår egen. Den förklarar också de mystiska konstanter som Standardmodellen är fylld av. De olika världarna speglar på sina tredimensionlla ytor de generella lagarna i den

utan där den imaginära tallinjen skär den reella, d v s ett tal med ett enhetsvärde E som skiljer sig från noll men kan definieras med ekvationerna E*E= -E*E samtidigt som E*E=0. Att vänja sig vid detta enhetsvärde är inte lätt. Det tycks öppna upp en eller flera tallinjer inom nollan i koordinatsystemet. Man kan nämligen har flera generatorer för supersymmetrin - E1 , E2 o s v Matematikerna kallar det som uppstår en superalgebra, där det enskilda (enklaste) elementet har formen a+E*b ungefär på samma sätt som ett komplext tal har formen a+b*i. Punkter i det komplexa planet kan respresentera mångfalder i det reella planet (se artikeln Mångfald och symmetri i denna serie). När man använder superalgebra för att beskriva mångfalder kallas den del av algebran som motsvarar punkter i det komplexa planet för "kropp", medan den extra superalgebraiska delen, där något enhetsvärde E upphöjt i lämplig potens alltid kan nollas, kallas för "själ". Penrose ger en bild av vad denna "själ" står för. Man kan se det som en slags tangenter från mångfalden som sträcker sig ut mot en omgivande dimension. Den del av den moderna supersträngteorin som kallas M-teori och omfattar även supergravitationsteorin talar om membran i olika dimensioner. En modern kosmologi utifrån denna säger att vi bor på ett D-membran, där allt vi känner till är instängt all materia, alla våra vanliga dimensioner och krafter - utom gravitationen, som sträcker sig ut i en omgivande dimension men dras, likt en sten som kastas här på jorden inom membranet, alltid tillbaka mot detsamma. fyrdimensionella världen - alla utifrån sitt perspektiv och med sina lokala konstanter. Avsnitt ur Draget från oändligheten. Indexkompaniets Förlag. © Lennart Nilsson 2001

44 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

SUBJEKTETS ROLL INGET AXIOM Av Lennart Nilsson

Temaserien utifrån den formidabla tegelstenen av Roger Penrose har med denna artikel kommit till sitt slut. Du läser ett temanummer av Populär Världsbildsvetenskap som bygger på dessa artiklar. I förra artikeln kom vi fram till vad de flesta anser vara frontlinjen för naturvetenskapens teoretiserande om verklighetens beskaffenhet, nämligen M-terorin. Penrose avslutar sin bok med en snabb genomgång av de alternativa teorier som finns för att nå fram till en heltäckande teori som förmår omfatta både kvantmekaniken och den allmänna relativitetsteorin. Det gemensamma för dessa är att de utgår från relativitetsteorin snarare än kvantmekaniken. Förvånande nog betyder inte detta att de inte utgår från diskreta enheter. Det gemensamma för dem är snarare att de är kombinatoriska till sin natur. Vad beror det på?

Penroserektangel

Penrosetrappa

Objektiv chans En egenskap hos kvantmekaniken är att de "sannolikhetsamplituder" som teorin ger som utgångspunkt för observationer aldrig själva kan observeras. De är som sidorna på en snurrande tärning som aldrig kommer till ro och därför aldrig kan avläsas. Det som kan avläsas är kvadraten på amplituderna. Dessa värden hamnar på det reella intervallet mellan 0 och 1 och definieras som sannolikheter. Att de motsvarar en Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Penrosetriangel

Ekvation för det grundläggande objektet i twisterteori en twistor

Penrosdiagram för svarta hål Diagrammet visar den kausala strukturen när en stjärna kollapsar

Den tjocka linjen i mitten av diagrammet visar singulariteten hos ett tidlöst svart hål

objektiv chans att avläsa just dessa värden med denna sannolikhet är empiriskt otroligt väl belagt och har givit upphov till ett postulat, projektionspostulatet. Penrose menar att den kvantgeometriska verkligheten bakom mätresultaten kan bestå av spinnätverk, som han själv konstruerat för att hitta en objektiv verklighet bakom sannolikheterna. Dessa nätverk har också kommit till användning i loopgravitationsteorierna, som direkt utgår från Einsteins ekvationer för allmän relativitet. Penrose själv har ägnat de senaste 40 åren åt ett eget forskningsprojekt han kallar twisterteori, där han försöker dra så mycket nytta som möjligt av de komplexa talens magiska egenskaper. Han erkänner dock att twisterteorin inte lyckats nå kontakt med fysik i egentlig mening, utan mest kommit till nytta inom ren matematik. Kvantgeometriska konstruktioner måste, för att återspegla kvantmekaniken, ha allmänna egenskaper som inte framträder vid mätningar av delar av geometrin. Det är samma problem som dekoherensteorin försöker lösa genom att se varje lokal mätning som del av ett mer eller mindre grovkornigt betraktelsesätt.

Subjektiv sannolikhet Företrädare för många världartolkningen av kvantmekaniken har försökt förlägga problemet utanför själva den kvantmekaniska kärnan. De förväntade reella värdena är då en följd av rationellt beteende och är ett område för beslutsteori. Försöken att härleda projektionspostulatet, vare sig det är med kvantgeometri eller med beslutsteori, har 46 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

kommit att belysa det faktum att själva postulatet bara är en version av det som kommit att kallas principernas princip: Subjektiv sannoliket spårar upp objektiv chans. Att detta gäller i vår verklighet säger oss all erfarenhet, men logiskt behöver det inte vara så. Nyligen har man lyckats visa att postulatet har samma status som parallellaxiomet inom den Euklidiska geometrin. Det gick alldeles utmärkt att konstruera motsägelsefria geometrier där detta ersattes med andra; rummet kunde (mot all erfarenhet) vara krökt. Vi vet ju alla vad som hände med vår verklighetsuppfattning i och med den upptäckten...

Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005

Populär Världsbildsvetenskap Epost pvmedvettekt@bredband.net Chefredaktör och utgivare Lennart Nilsson Produktion Indexkompaniet Nilsson HB Pg 278750-5

Tryck Förlagstryckeriet Vitterleken, Fritsla 2005

Julen före milleniumskiftet läste jag en bok av fysikern Gordon Kane. Han skriver att sedan 1980 har fysikerna gjort två frågor som tidigare ansetts ligga utanför vetenskapens område till tekniska frågor som man förväntar sig få ett vetenskapligt svar på inom ett decennium eller så. Varifrån kommer naturlagarna? Varför finns det något över huvud taget? Svaret på dessa frågor kommer naturligtvis att skaka om vår världsbild. Jag bestämde mig för att skriva om vetenskapens nya domäner. Dels de traditionella, kosmologin, elementarpartikelfysik, men också beräkningsteorin, evolutionsteorin, memetiken och Bayesiansk kunskapsteori. I min andra bok även om kognitionsforskning och moral.

Lennart Nilsson

”jag fann den mycket imponerande. En fascinerande vandringsfaerd i graenslandet mellan filosofi och fysik, full med originella ideer." Haelsningar, Prof. Max Tegmark Dept. of Physics Univ. of Pennsylvania Philadelphia (numera Dept. of Physics, MIT) "den som lägger ned lite arbete på läsningen kommer att stimuleras i sitt eget tänkande." Prof. Jan Bärmark Inst. för idéhistoria och vetenskapsteori vid Göteborgs universitet. Draget från oändligheten säljs i Akademibokhandlarna, Exlibris, Internetbokhandeln eller direkt via författaren lennartn@bredband.net för 239 kronor (inkl. moms och frakt) ISBN 91-631-4475-1

"En bra text... så välskriven...den är naturvetenskaplig och jag är humanorienteradpsykolog. Men jag tycker om den." Sigvard Lingh Inst. för psykologi vid Uppsala universitet Mångfaldens mönster säljs i Akademibokhandlarna, Exlibris, Internetbokhandeln eller direkt via författaren lennartn@bredband.net för 239 kronor (inkl. moms och frakt) ”Mångfaldens mönster kan beskrivas som en tankebok om existentiella frågor skriven av en naturvetenskapligt orienterad författare. Hur uppkommer känslorna? Har vi ett fritt val? Vad är ett rättvist uttryck?... Frågorna penetreras med verktyg författaren hämtat från den klassiska fysiken, matematiken, kvantfysiken, evolutionsbiologin och modern kognitionsforskning... överraskande och berikande."BTJ-Häftet Nr 4 2005 Gunnar MartinAronsson ISBN 91-975382-1-3 ISBN 91-975382-0-5

48 Populär Världsbildsvetenskap

Tema Penrose 2005