Matemática_Geometria_Cap_01

Geometria

Autor: Leonardo Werneck

Leonardo Figueira Werneck

Sumรกrio

Geometria

Geometria

Leonardo Figueira Werneck SUMÁRIO

CAPÍTULO 01 – ÂNGULOS E PARALELAS ........................................................................ 4 1.

Definição de ângulos........................................................................................................ 4

2.

Operações com ângulos ................................................................................................... 4

3.

Classificação dos ângulos ................................................................................................ 6

3.1.

Ângulo nulo .................................................................................................... 6

3.2.

Ângulo agudo ................................................................................................. 6

3.3.

Ângulo reto ..................................................................................................... 6

3.4.

Ângulo obtuso ................................................................................................ 6

3.5.

Ângulo raso .................................................................................................... 7

3.6.

Ângulo de uma volta ...................................................................................... 7

3.7.

Ângulos Complementares .............................................................................. 7

3.8.

Ângulos Suplementares .................................................................................. 7

3.9.

Ângulos Replementares.................................................................................. 8

3.10. Ângulos Explementares.................................................................................. 8 3.11. Ângulos Consecutivos .................................................................................... 8 3.12. Ângulos Adjacentes........................................................................................ 8 4.

Retas Paralelas Cortadas por Transversais .................................................................. 9

4.1.

Ângulos Correspondentes .............................................................................. 9

4.2.

Ângulos Opostos pelo Vértice...................................................................... 10

4.3.

Ângulos Colaterais Internos ......................................................................... 10

4.4.

Ângulos Colaterais Externos ........................................................................ 10

4.5.

Ângulos Alternos Internos ........................................................................... 11

4.6.

Ângulos Alternos Externos .......................................................................... 11

Exercícios Resolvidos ............................................................................................................ 12 Exercícios de Fixação ............................................................................................................ 15 Exercícios Propostos ............................................................................................................. 19

Sumário

Geometria

Leonardo Figueira Werneck CAP�TULO 01 – ÂNGULOS E PARALELAS

1. Definição de ângulos

Euclides definiu um ângulo plano como a inclinação entre duas linhas que se encontram em um mesmo plano. Um ângulo, então, Ê a abertura existente entre duas semirretas (chamadas de lados do ângulo) que possuem a mesma origem (chamada de vÊrtice).

�

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ = lados OA, OB O = vÊrtice ou origem ι = AÔB = Ô = ângulo

2. Operaçþes com ângulos

Um ângulo pode ser medido de diversas maneiras, mas, normalmente sĂŁo medidos em graus (°), minutos (‘) e segundos (‘’).

1° = 60′ 1′ = 60′′ 1° = 3600′′ 

Soma de ângulos 10°05′ 54′′ + 11°13′18′′

SumĂĄrio

4

Geometria

Leonardo Figueira Werneck 10°05′ 54′′ +11°13′ 18′′ 21°18′ 72′′

Quando temos um resultado com 60’’ ou mais, devemos transformá-lo em 1’.

Da mesma maneira, quando temos 60’ temos que transformá-lo em 1°.

Portanto, 10°05′ 54′′ + 11°13′ 18′′ = 21°18′ 72′′ = 21°19′12′′ 

Subtração de ângulos 28°12′ 34′′ − 13°40′52′′

Quando em uma subtração os minutos ou os segundos do minuendo são menores do que os minutos ou os segundos do subtraendo, temos que pegar um grau ou um minuto emprestado para que possamos concluir a operação.

28°12′ 34′′ −13°40′′ 52′′



=>

28°11′ 94′′ −13°40′′ 52′′

=>

27°71′ 94′′ −13°40′′ 52′′ 14°31′ 42′′

Multiplicação de um ângulo por uma constante 2 × (45°40′ 52′′ )

Em uma multiplicação, devemos multiplicar a constante pelos graus, pelos minutos e pelos segundos separadamente. Quando temos um resultado com 60’’ ou mais, devemos transformá-lo em 1’. Da mesma maneira, quando temos 60’ temos que transformá-lo em 1°.

2 × (45°40′ 52′′ ) = 90°80′ 104′′ = 90°81′ 44′′ = 91°21′44′′ 

Divisão de um ângulo por uma constante 356°13′38′′ ÷ 12

Sumário

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Geometria

3. Classificação dos ângulos

3.1.

Ângulo nulo

É um ângulo onde as semirretas estão sobrepostas, não tendo abertura entre as mesmas. Portanto, um ângulo nulo tem medida 0°.

3.2.

Ângulo agudo

É um ângulo que possui medida maior do que 0° e menor do que 90°.

3.3.

Ângulo reto

É um ângulo que possui medida igual a 90°. Nesse caso, as semirretas são perpendiculares.

3.4.

Ângulo obtuso

É o ângulo que possui medida maior do que 90° e menor do que 180°.

Sumário

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3.5.

Geometria

Ângulo raso

É o ângulo formado por duas semirretas opostas e tem medida igual a 180°.

3.6.

Ângulo de uma volta

É o ângulo cuja medida é exatamente 360°.

3.7.

Ângulos Complementares

Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é igual a 90°.

Neste caso, um é complemento do outro.

3.8.

Ângulos Suplementares

Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, um é suplemento do outro.

Sumário

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Leonardo Figueira Werneck 3.9.

Geometria

Ângulos Replementares

Dois ângulos são replementares se a soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, um é replemento do outro.

3.10. Ângulos Explementares Dois ângulos são explementares quando a diferença entre eles resulta em 180°.

Por exemplo, os ângulos de medidas iguais a 250° e 70° são explementares, pois 250° − 70° = 180°.

3.11. Ângulos Consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando o lado de um deles coincide com o lado do outro, podendo possuir pontos comuns na região interna.

Os ângulos RÔT e SÔT na figura a seguir são ângulos consecutivos.

3.12. Ângulos Adjacentes Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando não possuem pontos comuns na região interna.

Os ângulos RÔS e SÔT na figura a seguir são ângulos adjacentes.

Sumário

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4. Retas Paralelas Cortadas por Transversais

Quando um feixe de paralelas é interceptado por uma transversal são formados quatro ângulos em cada paralela, os quais recebem nomes específicos de acordo com a sua posição em relação às paralelas e de acordo com a sua posição em relação à transversal.

Transversal: nome dado à reta que cruza as retas paralelas.

A figura a seguir ilustra duas paralelas (//), nomeadas de r e s, cortadas por uma transversal t.

Quando dois ângulos se encontram na parte interna entre duas paralelas analisadas, dizemos que esses ângulos são internos. Caso contrário, eles são chamados de externos. Quando os ângulos se encontram do mesmo lado da transversal, eles são chamados de colaterais e quando em lados opostos, são chamados de alternos.

Portanto, podemos classificar os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal da seguinte maneira:

4.1.

Ângulos Correspondentes

São os ângulos que ocupam a mesma posição quando comparamos duas retas paralelas.

Na figura anterior, os ângulos correspondentes são:

Sumário



a e m.



b e n.



c e p.



d e q.

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Característica desses ângulos: possuem a mesma medida.

4.2.

Ângulos Opostos pelo Vértice

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

Na figura anterior, os ângulos opostos pelo vértice são: 

a e c.



b e d.



m e p.



n e q.

Característica desses ângulos: possuem a mesma medida.

4.3.

Ângulos Colaterais Internos

São os ângulos que estão do mesmo lado da transversal e no interior de duas retas paralelas.

Na figura anterior, os ângulos colaterais internos são: 

c e n.



d e m.

Característica desses ângulos: são suplementares (somam 180°).

4.4.

Ângulos Colaterais Externos

São os ângulos que ocupam o mesmo lado em relação à transversal e estão localizados externamente às paralelas.

Na figura anterior, os ângulos colaterais externos são: 

a e q.



b e p.

Característica desses ângulos: são suplementares (somam 180°).

Sumário

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Leonardo Figueira Werneck 4.5.

Geometria

Ângulos Alternos Internos

São os ângulos que ocupam lados opostos em relação à transversal e se encontram na parte interna das paralelas.

Na figura anterior, os ângulos alternos internos são: 

c e m.



b e n.

Característica desses ângulos: são iguais.

4.6.

Ângulos Alternos Externos

São ângulos que se encontram em lados opostos em relação à transversal e são externos em relação às paralelas.

Na figura anterior, os ângulos alternos externos são: 

a e p.



b e q.

Característica desses ângulos: são iguais.

Para concluir, é importante ressaltar que todos os ângulos agudos formados quando uma reta transversal corta um feixe de retas paralelas são iguais, assim como todos os ângulos obtusos também são iguais.

Sumário

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Geometria

Leonardo Figueira Werneck Exercícios Resolvidos 01. Escreva as medidas em graus dos ângulos indicados pelo transferidor.

a) AÔB = 30° b) AÔC =50° c) AÔD = 90° d) AÔE = 110° e) AÔF = 140° f) AÔG = 160° g) BÔC = 20° h) BÔD = 60° i) CÔE = 60° j) DÔF = 50° k) EÔF = 30° l) EÔG = 50° m) FÔG = 20°

02. O dobro do complemento de um ângulo, aumentado de 36°, Ê igual ao seu suplemento. Qual Ê esse ângulo?

Resolução: 2 Ă— (90° − đ?›ź) + 36° = 180° − đ?›ź 180° − 2đ?›ź + 36° = 180° − đ?›ź 180° + 36° − 180° = 2đ?›ź − đ?›ź đ?&#x;‘đ?&#x;”° = đ?œś

03. Dois ângulos adjacentes têm os lados exteriores em linha reta. Um deles Ê expresso em graus por 10� + 5 e o outro por 5� + 35. Quais são os ângulos?

Resolução: Se os ângulos possuem os lados exteriores em linha reta, eles são suplementares.

Portanto, (10� + 5°) + (5� + 35°) = 180°

SumĂĄrio

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Geometria

Leonardo Figueira Werneck 15đ?‘Ľ + 40° = 180° 15đ?‘Ľ = 180° − 40° 15đ?‘Ľ = 140° đ?‘Ľ=

140° = 9°20′ 15

Logo, (10đ?‘Ľ + 5°) = 10 Ă— 9°20′ + 5° = 90°200′ + 5° = 93°20′ + 5° = đ?&#x;—đ?&#x;–°đ?&#x;?đ?&#x;Žâ€˛ (5đ?‘Ľ + 35°) = 5 Ă— 9°20′ + 35° = 45°100′ + 35° = 46°40′ + 35° = đ?&#x;–đ?&#x;?°đ?&#x;’đ?&#x;Žâ€˛

04. Duas paralelas cortadas por uma transversal, formam ângulos internos do mesmo lado, dos quais um excede o outro de 60°. Quais são os ângulos?

Resolução:

Os ângulos mencionados na figura sĂŁo colaterais internos e como mencionado anteriormente, os mesmos sĂŁo suplementares (somam 180°). Portanto, (đ?‘Ś) + (đ?‘Ś + 60°) = 180° 2đ?‘Ś + 60° = 180° 2đ?‘Ś = 180° − 60° 2đ?‘Ś = 120° đ?‘Ś = 120°/2 đ?‘Ś = 60° Portanto, um ângulo ĂŠ igual a 60° e o outro ĂŠ igual a đ?‘Ś + 60° = 120°.

05. Duas paralelas cortadas por uma transversal, formam ângulos alternos externos expressos em graus por 7đ?‘Ľ − 3 e 5đ?‘Ľ + 7, respectivamente. Determinar os ângulos.

Resolução:

SumĂĄrio

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Geometria

Leonardo Figueira Werneck Ă‚ngulos alternos externos sĂŁo iguais. Portanto, 7đ?‘Ľ − 3° = 5đ?‘Ľ + 7° 7đ?‘Ľ − 5đ?‘Ľ = 7° + 3° 2đ?‘Ľ = 10° đ?‘Ľ = 10°/2 đ?‘Ľ = 5° Logo, os ângulos sĂŁo: 

SumĂĄrio

5đ?‘Ľ + 7° = 7đ?‘Ľ − 3° = 7 Ă— 5° − 3° = 35° − 3° = 32°

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Exercícios de Fixação

01. Marque V (verdadeiro) ou F (falso) nas sentenças abaixo. (

) 100° − 75°5’ = 24°5’

(

) Um ângulo agudo Ê um ângulo com medida menor do que 90° e maior do que

0°. (

) Dois ângulos são replementares quando a soma desses Ê igual a 180°.

(

) Um ângulo obtuso Ê um ângulo com medida maior do que 90° e menor do que

180°. (

) Um ângulo raso Ê um ângulo de 360°.

02. Sendo � = 80°, obtenha: a) O complemento de � b) O suplemento de � c) O replemento de � d) A quinta parte do suplemento de � e) O triplo do complemento de � f) A medida do ângulo que excede a medida do replemento de � em 20°

03. Calcule o complemento dos seguintes ângulos: a) 34° b) 72° c) 18°5′ d) 29°25′ e) 51°55′

04. Calcule a medida de um ângulo cuja medida Ê igual ao dobro do seu complemento. a) 30° b) 45° c) 60° d) 75°

SumĂĄrio

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e) 80°

05. O dobro do complemento de um ângulo aumentado de 32° é igual ao seu suplemento. Qual é esse ângulo? a) 22° b) 32° c) 36° d) 58° e) 148° 06. O suplemento do complemento de 25°5’ é: a) 64°55’ b) 154°55’ c) 115°5’ d) 125°5’ e) 120°

07. Nas figuras seguintes, calcule o valor de x, sabendo que os ângulos assinalados têm medidas em graus: a)

b)

Sumário

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c)

d)

e)

f)

g)

Sumรกrio

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08. Duas paralelas cortadas por uma transversal, formam ângulos internos do mesmo lado, dos quais um excede o outro de 30°. Quais são os ângulos? a) 125° e 155° b) 120° e 150° c) 75° e 105° d) 30° e 60° e) 85° e 115°

09. Duas retas cortadas por uma transversal formam ângulos obtusos, cuja soma vale 592°. Quanto deve valer cada ângulo obtuso da figura para que as retas sejam paralelas? a) 32° b) 48° c) 122° d) 172° e) 148°

10. Um dos ângulos que uma transversal forma com duas paralelas vale 1/5 de seu adjacente. Qual o valor dos ângulos agudos e obtusos da figura, respectivamente? a) 30° e 150° b) 40° e 140° c) 50° e 130° d) 60° e 120° e) 70° e 110°

Sumário

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Geometria

Exercícios Propostos

01. Duas retas formam com uma transversal, ângulos colaterais internos cuja soma é 190°. Como são estas retas entre si? a) Paralelas b) Sobrepostas c) Perpendiculares d) Não paralelas e) NDA

02. Nas figuras seguintes, calcule o valor de x, sabendo que os ângulos assinalados têm medidas em graus: a)

b)

03. Calcule o ângulo x: a) 60° b) 70° c) 80° d) 90° e) 100°

04. Calcule os valores de x, y e z.

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05. (ColÊgio Enigma) Calcule o valor de x sem levar em conta a parte mÊtrica da figura. a) 30° b) 40° c) 70° d) 110° e) 120°

06. (FUVEST) Na figura adiante, as retas r e s sĂŁo paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A medida, em graus, do ângulo 3 ĂŠ: a) 50° b) 55° c) 60° d) 80° e) 100° 07. (PUC-PR) Dois ângulos complementares A e B, sendo đ??´ < đ??ľ, tĂŞm medidas na razĂŁo de 13 para 17. Consequentemente, a razĂŁo da medida do suplemento do ângulo A para o suplemento do ângulo B vale: a) 43/47 b) 17/13 c) 13/17 d) 119/48 e) 47/43

SumĂĄrio

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Geometria

08. (CESGRANRIO) Duas retas são cortadas por uma transversal, de modo que a soma de dois dos ângulos agudos formados vale 72°. Então, qualquer dos ângulos obtusos formados mede: a) 142° b) 144° c) 148° d) 150° e) 152°

09. Na figura, as retas AB e CD são paralelas, calcule o valor de x.

Sumário

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