Matemática_Álgebra_Cap_02

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Autor: Leonardo Werneck

Leonardo Figueira Werneck

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Leonardo Figueira Werneck SUMÁRIO

CAPÍTULO 02 – CONJUNTOS NUMÉRICOS ............................................................. 3 1.

Conjunto dos Números Naturais ........................................................................... 3

2.

Conjunto dos Números Inteiros ............................................................................. 3

3.

Conjunto dos Números Racionais ......................................................................... 4

4.

Conjunto dos Números Irracionais ........................................................................ 4

5.

Conjunto dos Números Reais ................................................................................ 5

6.

Representação dos Conjuntos Numéricos ............................................................. 6

7.

Números Relativos ................................................................................................ 6

Exercícios Resolvidos ................................................................................................. 10 Exercícios de Fixação ................................................................................................. 13 Exercícios Propostos ................................................................................................... 16

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CAP�TULO 02 – CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. Conjunto dos NĂşmeros Naturais Os nĂşmeros naturais surgiram da necessidade de contar objetos. Por isso, Ă s vezes, sĂŁo chamados nĂşmeros de contagem. O conjunto dos nĂşmeros naturais ĂŠ representado pela letra â„•. â„• = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ‌ } O conjunto â„• − {0} ĂŠ denotado ℕ∗ ℕ∗ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, ‌ } O conjunto â„• ĂŠ fechado para a adição e a multiplicação, ou seja, a soma de nĂşmeros naturais ĂŠ sempre um nĂşmero natural e o produto de nĂşmeros naturais ĂŠ sempre um nĂşmero natural. Note que a subtração e a divisĂŁo nem sempre tĂŞm significado no conjunto dos naturais.

2. Conjunto dos NĂşmeros Inteiros O conjunto dos nĂşmeros inteiros ĂŠ representado pela letra ℤ. ℤ = {‌ , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ‌ } O conjunto ℤ ĂŠ fechado para a adição, a multiplicação e a subtração. Isto ĂŠ, a adição, a multiplicação e a subtração de dois nĂşmeros inteiros resulta sempre num nĂşmero inteiro.

Algumas vezes utilizamos subconjuntos de ℤ que possuem símbolos próprios para representa-los. Veja quais são eles. 

ℤ+ = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ‌ } → ĂŠ đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›ĂŁđ?‘œ − đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œđ?‘ .

Note que não dizemos que ℤ+ Ê o conjunto dos inteiros positivos, porque o número zero não Ê positivo (nem negativo) e estå em ℤ+ . Note, tambÊm, que ℤ+ = ℕ

SumĂĄrio

3

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ℤ− = { 0, −1, −2, −3, ‌ } → ĂŠ đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›ĂŁđ?‘œ − đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œđ?‘ .



ℤ∗+ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ‌ } → ĂŠ đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘?đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œđ?‘



ℤ∗− = {−1, −2, −3, −4, ‌ } → ĂŠ đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘›đ?‘—đ?‘˘đ?‘›đ?‘Ąđ?‘œ đ?‘‘đ?‘œđ?‘ đ?‘–đ?‘›đ?‘Ąđ?‘’đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘œđ?‘ đ?‘›đ?‘’đ?‘”đ?‘Žđ?‘Ąđ?‘–đ?‘Łđ?‘œđ?‘

3. Conjunto dos NĂşmeros Racionais đ?‘Ž

NĂşmero racional ĂŠ todo nĂşmero que pode ser escrito na forma đ?‘?, onde a e b sĂŁo inteiros quaisquer e đ?‘? ≠0.

Exemplos de nĂşmeros racionais 2



0,6666 ‌ = 3



−5



0,4 đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ 0,4 = 10 = 5 = â‹Ż



3 đ?‘?đ?‘œđ?‘–đ?‘ 3 = 1 = 2 = â‹Ż

4 4

3

2

6

đ?‘Ž

Observe que todo nĂşmero inteiro a ĂŠ racional, pois pode ser escrito na forma 1.

O conjunto dos nĂşmeros racionais ĂŠ simbolizado pela letra â„š.

As quatro operaçþes fundamentais estão definidas em ℚ.

4. Conjunto dos NĂşmeros Irracionais Como o prĂłprio nome sugere, nĂşmero irracional ĂŠ todo nĂşmero nĂŁo-racional, ou đ?‘Ž

seja, ĂŠ um nĂşmero que nĂŁo pode ser escrito na forma đ?‘? com đ?‘Ž ∈ ℤ đ?‘’ đ?‘? ∈ ℤ*.

Irei representar aqui os nĂşmeros irracionais pela letra â„ž.

Alguns exemplos de nĂşmeros irracionais sĂŁo: √2

SumĂĄrio

√7

3

√5

4

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Quando escrito na forma decimal, um nĂşmero irracional apresenta infinitas casas decimais nĂŁo-periĂłdica. Observe: √2 = 1,414213 ‌

3

√5 = 1,709975 ‌

As quatro operaçþes fundamentais, quando realizadas entre números racional e outro irracional, resultam sempre num número irracional. As únicas restriçþes a essa regra ocorrem na multiplicação e na divisão, onde o número racional tem de ser diferente de zero.

Quando operamos sĂł com nĂşmeros irracionais, os resultados pode ser tanto nĂşmeros racionais quanto irracionais. Veja os exemplos: a) (7 + √3) + (11 − √3) = 7 + 11 = 18 → (đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™) b) (3 + √2) + √2 = 3 + 2√2 → (đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™) c) √5 Ă— √5 = 5 → (đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™) d) √7 Ă— √2 = √14 → (đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™)

5. Conjunto dos NĂşmeros Reais O conjunto dos nĂşmeros reais, simbolizado pela letra â„?, ĂŠ a reuniĂŁo do conjunto dos nĂşmeros racionais com o conjunto dos nĂşmeros irracionais. Isto ĂŠ, â„? = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ ĂŠ đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™ đ?‘œđ?‘˘ đ?‘Ľ ĂŠ đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘™} Dessa forma, todos os tipos de nĂşmeros estudados atĂŠ aqui sĂŁo reais, ou seja, os conjuntos â„•, ℤ, â„š e â„ž sĂŁo todos subconjuntos de â„?.

Os nĂşmeros reais podem ser associados com cada ponto de uma reta, estabelecendo o que nĂłs chamaremos de reta real ou eixo real.

A partir dessa representação gråfica, podemos observar algumas propriedades importantes dos números reais.

SumĂĄrio

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O eixo real apresenta uma ordenação dos números de tal maneira que qualquer número colocado à direita de um outro será maior que este outro.

Numa comparação entre números reais representados no eixo real, podemos estabelecer subconjuntos de extrema importância e que serão chamados de intervalos reais, cuja representação se encontra a seguir.

6. Representação dos Conjuntos Numéricos

Observe que: ℝ − ℚ = ℾ

7. Números Relativos Ao conjunto dos números positivos, números negativos e zero chamamos conjunto dos números relativos.

I.

Oposto ou Simétrico de um Número

Números opostos ou simétricos são dois números que estão à mesma distância de 0.

Por exemplo:

Sumário

6

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2đ?‘’−2

II.

1đ?‘’−1

Valor Absoluto ou MĂłdulo

O valor absoluto de um número Ê a distância desse número atÊ o zero.

Por exemplo: O valor absoluto de 2 ĂŠ 2.

O valor absoluto de −2 ĂŠ 2.

III.

Soma ou Subtração

Os nĂşmeros positivos podem ter o sinal de adição omitido (exceto quando essenciais na operação). +2 = 2 Sempre que faço esse tipo de operação na matemĂĄtica, tento pensar na soma como o que eu tenho e a subtração como uma dĂ­vida. Assim trabalho como “devoâ€? e “tenhoâ€? e faço um balanço disso.

Por exemplo: −3 + 5 → devo trĂŞs e tenho cinco. Quando pago minha dĂ­vida ainda sobram dois.

Ou seja, −3 + 5 = +2 = 2 Por outro lado, algumas pessoas preferem trabalhar com a seguinte regra: 

SumĂĄrio

Menos com menos → soma e conserva o sinal.

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Leonardo Figueira Werneck −2 − 5 = −7 

Mais com mais → soma e conserva o sinal.

2+5 =7



Menos com mais → subtrai e conserva o sinal do “maior�.

2 − 5 = −3 −2 + 5 = 3

IV.

Multiplicação ou Divisão

Valem as seguintes regras:    

+ + − −

đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘š

+= −= += −=

+ − − +

Alguns preferem memorizar da seguinte forma: − = đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ + = đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ    

+ + − −

đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘š đ?‘?đ?‘œđ?‘š

+= −= += −=

+ → đ?‘œ đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ đ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ ĂŠ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ − → đ?‘œ đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ đ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ ĂŠ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ − → đ?‘œ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ đ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ ĂŠ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ + → đ?‘œ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ đ?‘‘đ?‘œ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘–đ?‘›đ?‘–đ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ ĂŠ đ?‘šđ?‘’đ?‘˘ đ?‘Žđ?‘šđ?‘–đ?‘”đ?‘œ

Por exemplo: 2Ă—3= 6 2 Ă— (−3) = −6 (−2) Ă— 3 = −6 (−2) Ă— (−3) = 6 Muitas vezes no lugar do sinal da multiplicação (Ă—) utilizamos o ponto ( . ). Isso ocorre para nĂŁo confundirmos, por exemplo, a multiplicação de um inteiro pela letra “xâ€?. Outras vezes nĂŁo utilizamos nenhum sinal. Portanto, 5 Ă— đ?‘Ľ = 5. đ?‘Ľ = 5đ?‘Ľ

SumĂĄrio

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Algumas vezes, o sinal de menos (−) aparece na frente de um parĂŞnteses, por exemplo, e isso ĂŠ como se tivesse o " − 1" no lugar dele. Por exemplo: −(2 + 3) = −đ?&#x;? . (2 + 3) = −1 . (5) = −5 V.

Hierarquia

Para resolver algumas contas, precisamos seguir uma ordem de resolução que Ê a hierarquia.

1Âş. Resolva as chaves, os colchetes e os parĂŞnteses de dentro para fora.

2º. Resolva as multiplicaçþes ou divisþes 3º. Resolva as somas ou subtraçþes

SumĂĄrio

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Exercícios Resolvidos 01. (FGV) Complete com os símbolos , , ,  de modo a tornar verdadeira cada uma das sentenças a seguir:

Para nos auxiliar, temos que ter em mente a seguinte figura.

02. (IFF) No contexto do conjunto dos números reais, qual das afirmações a seguir é verdadeira? a) O quociente de dois números inteiros é inteiro b) A soma de dois números irracionais é irracional c) O produto de dois números irracionais é irracional d) A soma de dois números racionais é racional e) O produto de dois números racionais é irracional Resolução Vamos procurar contra exemplos para encontrar as afirmações falsas a. Sendo 1 e 2 números inteiros, então: 1 2

= 0,5 que não é inteiro. Falso

b. Sendo (1 + √2) e (1 − √2) dois números irracionais, então: Então a soma desses números será: (1 + √2) + (1 − √2) = 2 que não é irracional. Falso

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c. Considerando os mesmos nĂşmeros irracionais na letra b, temos (1 + √2) e (1 − √2). Logo, o produto serĂĄ: 2

(1 + √2) x (1 − √2) = 12 − (√2) = 1 − 2 = −1 (Que nĂŁo ĂŠ um nĂşmero irracional) Falso d. Os nĂşmeros racionais sĂŁo nĂşmeros que podem ser representados em forma de fração. Duas fraçþes podem ser somadas, dando como resposta um nĂşmero racional. Verdadeiro e. Considerando dois nĂşmeros racionais: 1

3

3

1 2

3

đ?‘’ 4. O produto desses nĂşmeros

serĂĄ: 2 Ă— 4 = 8 (que ĂŠ um nĂşmero racional) Falso 03. Efetue as operaçþes: a. (−3) + (−5) b. (−3). (−4) c. (−15): (+3) d.

Resolução a) (−3) + (−5) (−3) + (−5) −3 − 5 = −đ?&#x;– b) (−3). (−4) (−3). (−4) = +đ?&#x;?đ?&#x;? c) (−15): (+3) (−15): (+3) = −đ?&#x;“ a) +5 + {−2 − [−1 − (−8 + 2 − 9) + (−3 + 2 − 1)] + 1} +5 + {−2 − [−1 − (−8 + 2 − 9) + (−3 + 2 − 1)] + 1} = +5 + {−2 − [−1 − (−15) + (−2)] + 1} = +5 + {−2 − [−1 + 15 − 2] + 1} = +5 + {−2 − [12] + 1} = +5 + {−2 − 12 + 1} =

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+5 + {−13} = +5 − 13 = −đ?&#x;–

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Exercícios de Fixação 01. Efetue as operações: a) (−3) + (−5) b) (−5) − (−8) c) (−20) ∶ (−4) d) (−15): (+3) e) (−3). (+4) f) (−3). (−4) g) (−5) + (−6) − (−9) − (+10) + (+6) h) (−2). (−3). (+4). (−5). (+2). (−6) i) +5 + {−2 − [−1 − (−8 + 2 − 9) + (−3 + 2 − 1)] + 1} j) (−5). (−8). (+3). (−2). (+7) k) (−17) − (43) + (−22) − (−13) + (5) + (−7) − (−6) l) −8 − {+[+33(+25 − 5) + 12] − 2

02. Qual a afirmativa falsa? a) ℚ ∩ ℝ ≠ ∅ b) ℚ ∩ ℝ = ℚ c) ℚ ∩ ℤ = ℝ d) ℚ ∪ ℤ = ℝ e) ℚ ∪ ℝ ≠ ℝ

03. Classifique cada sentença como V (Verdadeira) ou F (Falsa): a) A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional. b) O produto de dois números irracionais pode ser racional. c) A soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.

04. Assinale a resposta certa. Se √2 é irracional então: a. 2√2 é racional b. √2. √2 é racional c. √2 ∶ √2 é irracional d. (√2)² é irracional

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05. Dentre as afirmativas, I.

0 ďƒ? ℕ∗

II.

1 = {1}

III.

ℕ≠ℤ

IV.

{1,2} ≠{2,1}

V.

{0} = 0

As falsas sĂŁo: a. đ??ź đ?‘’ đ??źđ??ź b. đ??ź, đ??źđ??ź đ?‘’ đ??źđ??źđ??ź c. đ??źđ??ź đ?‘’ đ?‘‰ d. đ??źđ??ź đ?‘’ đ??źđ?‘‰ e. đ??źđ??ź, đ??źđ?‘‰ đ?‘’ đ?‘‰

06. Marque as proposiçþes que forem verdadeiras: a. −10 ďƒ? ℤ b. 0 ∈ â„• c. 2 ∈ ℤ đ?‘’ − 3 ∈ ℤ d. O conjunto dos nĂşmeros naturais ĂŠ finito.

07. Sabendo que Np representa os nĂşmeros naturais pares e Ni os nĂşmeros naturais Ă­mpares, efetue as seguintes operaçþes: a. đ?‘ đ?‘? ∊ đ?‘ đ?‘– b. đ?‘ đ?‘? âˆŞ đ?‘ đ?‘–

08. Assinale as alternativas verdadeiras: a.

3 4

∈ℚ

b. 1,999 ‌ ∈ â„š c. 62 ∈ â„š

09. Quais das proposiçþes abaixo sĂŁo verdadeiras? a. {0} ďƒŒ â„š b. â„• ďƒŒ ℤ ďƒŒ â„š

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c. ℤ ∊ â„ž = {0} â„ž: đ?‘–đ?‘&#x;đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘?đ?‘–đ?‘œđ?‘›đ?‘Žđ?‘–đ?‘ 10. Qual ĂŠ o oposto do produto −4 por −3?

11. Um termômetro marcava 12°C de manhã, mas ao meio dia a temperatura aumentou para 27°C, qual Ê a variação de temperatura?

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Exercícios Propostos 01. Qual o excesso de -7 sobre -15?

02. Multiplique por (−3)3 o simétrico do excesso de 15 sobre -6. Qual o valor obtido?

03. Dividir a diferença −27 − (−3) pelo simétrico do produto de −4 por +3.

04. Qual é o inverso do quociente de 12 por −3?

05. Qual é o oposto do produto +9 por −4?

06. Um termômetro marcava 18°C ao meio dia, mas ao entardecer a temperatura desceu para −4°C, qual é a variação de temperatura? a) 14°C b) -14°C c) 22°C d) -22°C

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