Gabarito comentado uerj 2016 1 matemática

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Matemática UERJ – Resolução Exame de Qualificação (2009 a 2016)

Autor: Leonardo Figueira Werneck

MatemĂĄtica – UERJ (Exame de Qualificação) QuestĂľes 22. (Uerj 2016.1) Admita a seguinte sequĂŞncia numĂŠrica para o nĂşmero natural n:

1

Sendo 2 ≤ � ≤ 10, os dez elementos dessa sequência, em que �1 = 3 e �10 =

82 3

, sĂŁo:

(A) (B) (C) (D)

238 12 137 6 219 4 657 9

Gabarito comentado

Conforme mencionado nesta parte do enunciado, nesta sequĂŞncia cada termo ĂŠ igual ao 9

termo anterior mais 3 = 3.

EntĂŁo, đ?‘Ž6 = đ?‘Ž5 +

9 37 9 46 = + = 3 3 3 3

đ?‘Ž7 = đ?‘Ž6 +

9 46 9 55 = + = 3 3 3 3

đ?‘Ž8 = đ?‘Ž7 +

9 55 9 64 = + = 3 3 3 3

đ?‘Ž9 = đ?‘Ž8 +

9 64 9 73 = + = 3 3 3 3

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A mĂŠdia aritmĂŠtica dos quatro Ăşltimo elementos da sequĂŞncia ĂŠ igual a:

MĂŠdia AritmĂŠtica (MA)

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MatemĂĄtica – UERJ (Exame de Qualificação) đ?&#x;“đ?&#x;“ đ?&#x;”đ?&#x;’ đ?&#x;•đ?&#x;‘ đ?&#x;–đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’ (đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘ + đ?&#x;‘) đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;• đ?‘´đ?‘¨ = = đ?&#x;‘ = đ?&#x;‘ = Ă— = = đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;” Resposta: letra B

Se đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 4, para todo nĂşmero real x, o valor mĂ­nimo da função ĂŠ 4. Assim, o valor positivo do parâmetro k ĂŠ: (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 15 Gabarito comentado O valor mĂ­nimo da função do 2Âş grau ĂŠ dado por: đ?‘Śđ?‘Ł = −∆/4đ?‘Ž. Como o valor mĂ­nimo foi dado na questĂŁo, temo que: ∆ 4=− 4đ?‘Ž ∆= −16đ?‘Ž Na função, đ?‘“(đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘˜đ?‘Ľ + 29, đ?‘Ž = 1, đ?‘? = −2đ?‘˜ đ?‘’ đ?‘? = 29 ∆= (−2đ?‘˜)2 − 4 Ă— 1 Ă— 29 = 4đ?‘˜ 2 − 116 ∆= −16đ?‘Ž = −16 Ă— 1 = −16 4đ?‘˜ 2 − 116 = −16 4đ?‘˜ 2 = 100 đ?‘˜ 2 = 25 đ?‘˜ = Âą5 O valor positivo do parâmetro k ĂŠ 5. Resposta: letra A 24. (Uerj 2016.1) Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, tĂŞm a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros estĂŁo justapostos por uma de suas faces, que coincidem perfeitamente, formam um poliedro cĂ´ncavo, conforme ilustra a figura.

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23. (Uerj 2016.1) Observe a função f, definida por:

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Gabarito comentado

Analisando um dos dodecaedros regulares, temos: NĂşmero de faces (f): 12 NĂşmero de arestas (a):

12Ă—5 2

= 30

NĂşmero de vĂŠrtices (v): đ?‘Ł + đ?‘“ = đ?‘Ž + 2 → đ?‘Ł = 30 + 2 − 12 = 20 Ao juntar os dois dodecaedros obtĂŠm-se um poliedro cĂ´ncavo que possui: đ??š = 2 Ă— đ?‘“ − 2 = 22 đ??´ = 2 Ă— đ?‘Ž − 5 = 55 đ?‘‰ = 2 Ă— đ?‘Ł − 5 = 35 Logo, đ?‘‰ + đ??š + đ??´ = 112 Resposta: letra D

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Considere o nĂşmero de vĂŠrtices V, de faces F e de arestas A desse poliedro cĂ´ncavo. A soma đ?‘‰ + đ??š + đ??´ ĂŠ igual a: (A) 102 (B) 106 (C) 110 (D) 112

25. (Uerj 2016.1) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x ĂŠ uma potĂŞncia de base 10, com 1

1

expoente n inteiro, para 10đ?‘›âˆ’2 ≤ đ?‘Ľ ≤ 10đ?‘›+2 . Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numĂŠrico ĂŠ tal que log10 đ??¸ = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:

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MatemĂĄtica – UERJ (Exame de Qualificação) (A) 1014 (B) 1015 (C) 1016 (D) 1017 Gabarito comentado

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’?−đ?&#x;? ≤ đ?’™ < đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?’?+đ?&#x;? Para que o intervalo contenha 1015,3, n inteiro deve ser 15. Veja: đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“−đ?&#x;? ≤ đ?’™ < đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“+đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;’,đ?&#x;“ ≤ đ?’™ < đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“,đ?&#x;“ Logo, a ordem de grandeza de E, em joules, ĂŠ: 1015 Resposta: letra B 26. (Uerj 2016.1) Ě…Ě…Ě…Ě… = đ??śđ??ľ Ě…Ě…Ě…Ě… = 10 đ?‘š. Do centro C ao plano O raio de uma roda gigante de centro C mede đ??śđ??´ horizontal do chĂŁo, hĂĄ uma distância de 11 m. Os pontos A e B, situados no mesmo plano vertical, ACB, pertencem Ă circunferĂŞncia dessa roda e distam, respectivamente, 16 m e 3,95 m do plano do chĂŁo. Observe o esquema e a tabela:

A medida, em graus, mais prĂłxima do menor ângulo đ??´đ??śĚ‚ đ??ľ corresponde a: (A) 45 (B) 60 (C) 75 (D) 105

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đ??Ľđ??¨đ?? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?‘Ź = đ?&#x;?đ?&#x;“, đ?&#x;‘ → đ?‘Ź = đ?&#x;?đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?&#x;“,đ?&#x;‘

Gabarito comentado Segundo os dados da questĂŁo, temos:

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đ?‘ đ?‘’đ?‘› đ?‘Ľ = Segundo a tabela, đ?‘Ľ = 30°

5 = 0,5 10

7,05 = 0,705 10 Note na tabela, que đ?‘ đ?‘’đ?‘›45° = 0,707, logo cos 45° = 0,707. Portanto, đ?‘§ ≅ 45° Como đ?‘§ + đ?‘Ś = 90° → đ?‘Ś ≅ 45° Portanto, đ??´đ??śĚ‚ đ??ľ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś ≅ 30° + 45° = 75° Resposta: letra C cos đ?‘§ =

27. (Uerj 2016.1) Um Ă­ndice de inflação de 25% em um determinado perĂ­odo de tempo indica que, em mĂŠdia, os preços aumentaram 25% nesse perĂ­odo. Um trabalhador que antes podia comprar uma quantidade X de produtos, com a inflação e sem aumento salarial, sĂł poderĂĄ comprar agora uma quantidade Y dos mesmos produtos, sendo đ?‘Œ < đ?‘‹. Com a inflação de 25%, a perda do poder de compra desse trabalhador ĂŠ de: (A) 20% (B) 30% (C) 50% (D) 80%

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Conforme figura, đ??´đ??śĚ‚ đ??ľ = đ?‘Ľ + đ?‘Ś

Gabarito comentado Note que, com o aumento da inflação, hå uma diminuição na quantidade de produtos a se comprar. Essa relação entre essas duas grandezas Ê inversamente proporcional. Portanto,

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Desse modo,

4 đ?‘‹ = 0,8 đ?‘‹ = 80% đ?‘‹ 5 Logo, a perda de compra do trabalhador ĂŠ de 20% Resposta: letra A đ?‘Œ=

28. (Uerj 2016.1) Um painel de iluminação possui nove seçþes distintas, e cada uma delas acende uma luz de cor vermelha ou azul. A cada segundo, são acesas, ao acaso, duas seçþes de uma mesma cor e uma terceira de outra cor, enquanto as seis demais permanecem apagadas. Observe quatro diferentes possibilidades de iluminação do painel:

O tempo mĂ­nimo necessĂĄrio para a ocorrĂŞncia de todas as possibilidades distintas de iluminação do painel, apĂłs seu acionamento, ĂŠ igual a x minutos e y segundos, sendo đ?‘Ś < 60. Os valores respectivos de x e y sĂŁo: (A) 4 e 12 (B) 8 e 24 (C) 25 e 12 (D) 50 e 24 Gabarito comentado Ao mudar as luzes de posição, temos uma nova maneira de iluminação, logo a ordem ĂŠ importante. Vale ressaltar, tambĂŠm, que hĂĄ repetição de elementos (6 lâmpadas apagadas e 2 vermelhas ou azuis). Logo, Temos nove seçþes, que serĂŁo preenchidas a cada segundo, com:  2 luzes azuis, 1 vermelha e 6 apagadas (9 elementos) ou

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100 đ?‘Œ = 125 đ?‘‹ 4 đ?‘Œ = 5 đ?‘‹

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MatemĂĄtica – UERJ (Exame de Qualificação) 9! 9Ă—8Ă—7 = = 252 2! Ă— 6! 2 

2 luzes vermelhas, 1 azul e 6 apagadas (9 elementos). 9! 9Ă—8Ă—7 = = 252 2! Ă— 6! 2

29. (Uerj 2016.1) Em um sistema de codificação, AB representa os algarismos do dia do nascimento de uma pessoa e CD os algarismos de seu mês de nascimento. Nesse sistema, a data trinta de julho, por exemplo, corresponde a:

Admita uma pessoa cuja data de nascimento obedeça à seguinte condição:

O mĂŞs de nascimento dessa pessoa ĂŠ: (A) agosto (B) setembro (C) outubro (D) novembro Gabarito comentado Como đ??´ + đ??ľ + đ??ś + đ??ˇ = 20, temos que, se: (A) agosto (08) → đ??śđ??ˇ = 08 → 0 + 8 = 8 Neste caso, terĂ­amos đ??´ + đ??ľ = 12. O maior valor que podemos obter para đ??´ + đ??ľ = 2 + 9 = 11. Logo, impossĂ­vel ser em agosto. (B) setembro (09) → đ??śđ??ˇ = 09 → 0 + 9 = 9 Neste caso, terĂ­amos đ??´ + đ??ľ = 11. O maior valor que podemos obter para đ??´ + đ??ľ = 2 + 9 = 11. Logo, o mĂŞs de nascimento dessa pessoa sĂł pode ser em setembro.. (C) outubro (10) → đ??śđ??ˇ = 10 → 1 + 0 = 1 Neste caso, terĂ­amos đ??´ + đ??ľ = 19. O maior valor que podemos obter para

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Portanto, 252 + 252 = 504 maneiras de se ter a iluminação de painel. Como sĂŁo acesas a cada segundo, precisa-se de 504 segundos para ocorrĂŞncia de todas as possibilidades. 504 đ?‘ đ?‘’đ?‘” = 8 đ?‘šđ?‘–đ?‘› đ?‘’ 24 đ?‘ đ?‘’đ?‘” EntĂŁo, đ?‘Ľ = 8 đ?‘’ đ?‘Ś = 24 Resposta: letra B

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MatemĂĄtica – UERJ (Exame de Qualificação) đ??´ + đ??ľ = 2 + 9 = 11. Logo, impossĂ­vel ser em outubro. (D) novembro (11) → đ??śđ??ˇ = 11 → 1 + 1 = 2 Neste caso, terĂ­amos đ??´ + đ??ľ = 18. O maior valor que podemos obter para đ??´ + đ??ľ = 2 + 9 = 11. Logo, impossĂ­vel ser em novembro. Resposta: letra B

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