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Septiembre, 2015
Análisis Numérico
Jesús Rodríguez
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Editorial El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada. De esta manera, se emplean mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Por consiguiente, se vuelven aptos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y
usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios científicos básicos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático.
Contenido
Colaboradores
Introducción al Análisis Numérico () Jesús Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica Interpolación Polinomio de Hermitage Jesús Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica
Interpolación Polinómica de LaGrange, Por: Alberto Velázquez Método de Newton Raphson, Álvaro José Cordero Ramírez, Estudiante de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico
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Introducción al Análisis Numérico Jesús Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica Las Matemáticas, la ciencia más antigua, constituyendo un edificio doctrinal cuyo potencial aumenta día a día. Aunque la esencia de las Matemáticas es abstracta, es un hecho que las Matemáticas han sido concebidas en el esfuerzo del ser humano para entender la Naturaleza (y actuar sobre ella) y que son de importancia capital para la sociedad moderna. Es importante destacar, la relación de las Matemáticas con las Ciencias y las Tecnologías es hoy en día un camino de ida y vuelta. En realidad, la historia de las Matemáticas muestra que esto ha sido siempre así. A esto podemos añadir que una de las disciplinas más relevantes fruto de esta interacción es la del Análisis Numérico a la que dedicaremos este ciclo de conferencias. El Análisis Numérico es sin duda uno de los legados más importantes de las Matemáticas del Siglo XX en el que la irrupción y posterior desarrollo de las computadoras hizo necesario traducir las Matemáticas a un lenguaje comprensible para la máquina a la vez que ésta hacía posible el sueño de realizar cálculos que en volumen y complejidad escapaban al ser humano. Esta disciplina, surgida en sus inicios como bifurcación del Análisis Matemático es hoy en día una de las más vigorosas y versátiles de las Matemáticas. De este modo, se podría deducirse que la disciplina del Análisis Numérico data de hace medio siglo. Pero un análisis un poco más detallado de la historia de las Matemáticas indica que cuando los grandes científicos de la época (siglo XVIII esencialmente) desarrollaban el programa de Newton y establecían los principios y herramientas fundamentales del Análisis y del Cálculo Diferencial, estaban ya estableciendo los cimientos del Análisis Numérico. Esto fue primero con el objeto de construir el complejo edificio del Cálculo Diferencial a partir de la más simple aritmética, para después, ya en siglo XX, deshacer ese camino traduciendo las Matemáticas al lenguaje del ordenador. En concordancia, en el ámbito del área de ingeniería, se busca dar soluciones exactas a un
determinado problema, mediante la aplicación de métodos numéricos, dando con ellos una aproximación pero con la precisión requerida, o sea, con un error lo suficientemente pequeño y próximo a cero, de ahí la utilidad de los métodos numéricos. De ahí que, se considera importante el tiempo empleado en obtener la solución y en esto ha jugado un papel importante el enorme desarrollo de la tecnología computarizada, ya que la enorme velocidad actual de los medios computarizados de cómputo ha reducido considerablemente el tiempo de obtención de la solución, lo que ha motivado la popularidad, el enorme uso y aceptación que hoy tienen los métodos numéricos. Sumémosle a ello que las computadoras son capaces de dar solución con la precisión requerida. Es por ello, que el desarrollo del Análisis numérico como disciplina con entidad propia ha ido indisolublemente ligado a la vertiginosa evolución que los ordenadores han experimentado desde su aparición en la década de los años cuarenta. No en vano, los ordenadores son herramientas imprescindibles para aplicar con eficacia la inmensa mayoría de los métodos que el Análisis numérico propone, dado el considerable volumen de cálculos y manipulaciones de datos que suelen llevar aparejados. Por consiguiente, los problemas que trata el Análisis numérico se pueden clasificar en dos grandes grupos, según tengan naturaleza numérica (o finito–dimensional) o naturaleza funcional (o infinito–dimensional). Pertenecen al primer grupo los problemas relativos a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, cálculo de valores y vectores propios, y resolución de ecuaciones y sistemas de
Página 5 de 18 ecuaciones no lineales. Son del segundo tipo, por el contrario, los problemas de interpolación y aproximación de funciones, la derivación e integración numérica, los problemas de valor inicial y de contorno para ecuaciones diferenciales ordinarias, y los problemas de contorno para ecuaciones en derivadas parciales. Algunos Conceptos - Problema numérico: Descripción precisa de la relación funcional entre un conjunto finito de datos de entrada y un conjunto finito de datos de salida. - Algoritmo: secuencia ordenada y finita de pasos, excenta de ambigüedades, que seguidas en su orden lógico nos conduce a la solución de un problema específico - Método numérico: Procedimiento para transformar un problema matemático en numérico y resolver este último El análisis numérico se utiliza generalmente cuando no se puede resolver el problema matemático, es decir hallar una relación funcional entre el conjunto de entrada y el de salida. Los pasos a seguir son: 1. Estudio teórico del problema: existencia y unicidad de la solución. 2. Aproximación: Crear una solución para un número finito de valores: Existencia y unicidad. Estabilidad y convergencia 3. Resolución: Elección de un algoritmo numérico Elección del algoritmo: Costo y estabilidad Codificación del algoritmo Ejecución del programa Definición El Análisis Numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
Análisis Numérico, es definido por Henrici (citado por Álvarez y Martínez, 2004) como “la disciplina que se ocupa de la descripción y análisis de los algoritmos numéricos para la obtención de la solución de un problema matemático, en el que intervienen números, ya sea de manera exacta o aproximada” (p. 3) De ahí que, con ésta técnica es posible formular problemas de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, es por ello que la computación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos. Origen Debido a la estrecha relación existente entre las diferentes ramas de la Ciencia (y en particular de las Matemáticas), no es fácil determinar dónde acaba una y empieza otra. Por ello la extensión exacta del Análisis Numérico no es conocida. De hecho, el concepto de Análisis Numérico no fue creado hasta 1947 en que se fundó el Instituto de Análisis Numérico en la Universidad de California. Sin embargo, el nombre parece estar asociado a aquellos temas que requieran unos procesamientos de datos. Como la extensión de estos temas es considerable (puede ir, por ejemplo, desde la interpretación de datos médicos hasta la reserva automática de plazas de avión o gestión de una biblioteca), nos limitaremos a ciertos aspectos matemáticos de la idea. Al principio, la mayor parte del trabajo que se efectuaba en el campo de las Matemáticas, inspirado por cuestiones y problemas concretos, se basaba en métodos constructivos para determinar la solución (predicciones sobre eclipses, aparición de un cometa, etc...). El punto culminante de la utilización de los algoritmos está en Euler (1707-1783), que en los 70 volúmenes que comprenden sus trabajos incluye gran número de algoritmos y fórmulas. Los algoritmos infinitos que presenta, aparecen, normalmente, como desarrollos en serie. Posteriormente, la perfección de los conocimientos matemáticos y la generalización de los problemas hacen que se sustituyan los
Página 6 de 18 razonamientos constructivos por otros de Tipo lógico. Así, interesa más determinar si existe la solución a un determinado problema, que calcularlo de forma efectiva. Este proceso sigue hasta aproximadamente el año 1950. La razón del proceso de abstracción era que los algoritmos para el cálculo de las soluciones de los problemas eran, aunque finitos, irrealizables por la gran cantidad de cálculos que exigían. A partir de la segunda mitad del siglo XX, la aparición de las computadoras libera al algoritmo de la pesadez del cálculo, lo que supone un nuevo auge para los métodos constructivos. Podríamos decir que si desde la antigüedad hasta 1945 la velocidad de cálculo se había multiplicado por 10 mediante rudimentarios artefactos (como el ábaco), desde entonces hasta ahora se ha multiplicado por un millón o más. Esto supone que 1 hora de trabajo de ordenador equivale a 200 años de trabajo de una persona, lo que permite realizar tareas inalcanzables en otros tiempos. Esto no significa que todos los algoritmos puedan ser tratados por un ordenador, pues algunos exigen más de 100 años de trabajo del ordenador actual más potente para poder ser llevados a cabo. Como la eficiencia de un método depende de su facilidad de implementación, la elección del método apropiado para aproximar la solución de un problema está influenciada significativamente por los cambios tecnológicos en calculadoras y computadoras. El factor limitante en la actualidad es generalmente la capacidad de almacenamiento de la computadora, a pesar de que el costo asociado con los tiempos de cómputo es, desde luego, también un factor importante Características - Suministra métodos efectivos a fin de resolver problemas. - Es un instrumento esencial en los estudios numéricos actuales. - Se consiguen soluciones de modelos matemáticos que representan situaciones reales concretas.
Aplicaciones El análisis numéricos se pueden utilizar en muy diversos campos de la Ingeniería, la Mecánica, la Técnica, la Física y su desarrollo está íntimamente ligado al de los ordenadores y medios informáticos en general. Ejemplo de aplicaciones Grau y Loguera (2001) establecen los siguientes ejemplos para las aplicaciones de análisis numéricos: - Astrodinámica: cálculo de trayectoria de satélites. - La mecánica celeste: estudio del movimiento de los astros considerando las perturbaciones creadas por sus vecinos. - Astrofísica: modelado de la evolución de las estrellas. - Ingeniería Civil: estudio de las características estructurales de grandes construcciones (edificios, puentes, presas, entre otras). - Biología: dinámica de poblaciones, flujo de la sangre en el cuerpo humano. - Mecánica de fluidos: simulación del flujo de aire alrededor de una nave y las correspondientes presiones sobre la estructura. Dispersión de contaminantes en diferentes medios. Métodos Numéricos Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. De este modo, los métodos numéricos vuelven aptos a los individuos para entender esquemas numéricos a fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras sino que también amplia la pericia matemática y la
Página 7 de 18 comprensi6n de los principios científicos básicos. El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la aproximación al problema matemático. Según Luthe (1980) los métodos numéricos son adecuados para la solución de problemas comunes de ingeniería, ciencias y administración, utilizando computadoras electrónicas. En el proceso de solución de problemas por medio de computadoras se requieren los pasos siguientes. - Especificación del problema. Con esto se indica que se debe identificar perfectamente el problema y sus limitaciones, las variables que intervienen y los resultados deseados. - Análisis. Es la formulación de la solución del problema denominada también algoritmo, de manera que se tenga una serie de pasos que resuelvan el problema y que sean susceptibles de ejecutarse en la computadora. - Programación. Este paso consiste en traducir el método de análisis o algoritmo de solución expresándole como una serie detallada
de operaciones. - Verificación. Es la prueba exhaustiva del programa para eliminar todos los errores que tenga de manera que efectúe lo que desea los resultados de prueba se comparan con soluciones conocidas de problemas ya resueltos. - Documentación. Consiste en preparar un instructivo del programa de manera que cualquier persona pueda conocer y utilizar el programa. - Producción. Es la última etapa en la que solo se proporcionan datos de entrada del programa obteniéndose las soluciones correspondientes. De lo antes expuesto se puede concluir que es necesario un conocimiento completo del problema, y de los campos de las matemáticas relacionados con el que es precisamente el objeto de los métodos numéricos para computadora. Tipos de Métodos - Series de McLaurin / Taylor (Seno) - Métodos de Bisección, Falsa Posición, Newton-Raphston - Métodos de Gauss-Jordan, Gauss-Seidel y Montante Pardo - Interpolación de Newton
Fuentes Consultadas Luthe, R. (1980). Métodos Numéricos. México. Editorial Limusa. Grau, M. y Loguera, M. (2001). Cálculo numérico. Ediciones de la Universidad Politécnica de Catalunya, S.L. Barcelona. Heath, M. (1997). Computación Científica: Un estudio introductorio. México. Editorial McGraw Hill. Álvarez, L. y Martínez, A. (2004) Métodos Numéricos. Guía mimeografiada del Departamento de Ingeniería. Universidad de Carabobo. Zuazua, E. (2004). Una introducción histórica al Análisis Numérico, el Control y su docencia. Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma.
Por: Alberto Velázquez Interpolación Polinómica de LaGrange Los polinomios de Lagrange permiten obtener una expresión explícita del polinomio de interpolación cuyo interés es más bien teórico, pues es difícil de evaluar en puntos concretos. Numéricamente es mucho más útil la forma de Newton del polinomio de interpolación. Aunque no tiene expresión explícita, su obtención es más estable que por los métodos anteriores, su evaluación no presenta los inconvenientes de los polinomios de Lagrange, y sobre todo, se puede actualizar fácilmente si se añaden nuevos nodos de interpolación. El problema de la interpolación consiste en estimar el valor de una función en un punto a partir de valores conocidos en puntos cercanos. En el caso de la interpolación polinómica, la función incógnita se sustituye por un polinomio que coincide con aquella en los puntos conocidos. Se eligen los polinomios porque son fáciles de evaluar y por el hecho fundamental de que dados n+1 puntos de abscisa distinta, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe exactamente un polinomio Pn(x) de grado no superior a n, que pasa por dichos puntos, es decir, tal que
en general. La coincidencia del polinomio con muchos puntos de interpolación se consigue a costa de grandes oscilaciones en los intervalos entre nodos o puntos de interpolación dados. La aplicación clásica de la interpolación consiste en estimar los valores de una función tabulada en puntos que no figuran en la tabla. Como ejemplo típico de tabla citemos la campana de Gauss o distribución normal. Actualmente la interpolación se utiliza en cálculo numérico para aproximar funciones mediante otras más sencillas, como los polinomios. Por ejemplo para deducir fórmulas de integración aproximada y métodos de resolución de ecuaciones diferenciales. Un problema de interpolación Midiendo la temperatura ambiente a distintas horas del día hemos obtenido la siguiente tabla Hora Grados
6 7
8 9
10 12
12 18
14 21
16 19
18 15
20 10
Datos de temperatura ambiente 22 20 18 16 Grados
14 12 10 8
Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.
6 4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
Hora
En la interpolación lineal, la función se sustituye por la recta que pasa por dos puntos. Tres datos se se interpolan con un polinomio de segundo grado, gráficamente una parábola que pasa por esos tres puntos. Podríamos pensar que al aumentar el grado se obtiene mejor aproximación, pero esto es falso
Sea T=f(t) la función (desconocida) que da la temperatura ambiente en cada instante t. Para estimar la temperatura en un instante t que no aparece en la tabla, aproximaremos la función f mediante polinomios de interpolación. Estos polinomios se determinan exigiendo que coincidan con f en alguno de los valores tabulados. Si exigimos que pase por dos puntos, obtenemos una
recta, o sea un polinomio de grado 1. Si hacemos que pase por tres puntos, queda un polinomio de grado 2, y así sucesivamente podemos ir añadiendo puntos e incrementando el grado.
a0 + a1x0 + a2x02 = y0
Interpolación lineal
En nuestro ejemplo, tomando los puntos (10,12), (12,18) y (14,21) queda un sistema cuya expresión matricial es
El modo más simple de estimar la temperatura a las 13 horas es tomar la media entre las temperaturas de las 12h y las 14h, que es de 19.5º. Para otros instantes en el mismo intervalo tomamos una media ponderada, o geométricamente hablando, la ordenada de la recta que pasa por (12,18) y por (14,21). La ecuación general de la recta es P1(x) = a0 + a1x. Exigiendo que pase por los puntos (x0, y0) y (x1, y1) obtenemos un sistema de ecuaciones lineales a0 + a1x0 = y0
a0 + a1x1 + a2x12 = y1 a0 + a1x2 + a2x22 = y2
La matriz de este sistema se denomina matriz de Van der Monde. Esta matriz es regular si los xi son todos distintos, pero es mal condicionada para tamaños relativamente pequeños. Esto hace desaconsejable la obtención del polinomio de interpolación por este método. Además, la solución de un sistema lineal de orden n tiene coste cúbico O(n3), mientras que, como veremos enseguida, el polinomio de interpolación puede obtenerse con O(n2) operaciones. t=10:2:14;
a0 + a1x1 = y1 Polinomio de grado1
cuya solución da los coeficientes de la recta buscada.
25
En nuestro ejemplo tenemos el sistema a0 + 12a1 = 18
20
a0 + 14a1 = 2cuya solución es a0 = 0 y a1 = 3/2. Interpolación cuadrática Tomando un polinomio de mayor grado, podemos imponer más condiciones para tener en cuenta la evolución de la temperatura alrededor del intervalo [12,14].
15 Grados 10
El polinomio de grado dos P2(x) = a0 + a1x + a2x2 que pasa por (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) se determina análogamente resolviendo el sistema.
5 5
10
15 Hora
20
Polinomio de grado2
c=[-6,3]';
25
b=(A\c)' -0.3750 2.2500
20
15
p=[b' 18];
Grados
polyval(p,t-12) 10
12 18 21 5 5
10
15
20
Hora
Desplazamiento del origen El mal condicionamiento de la anterior matriz se debe, en parte, a la inadecuada elección de los polinomios elegidos como base para expresar P2(x). Si, en lugar de 1, x, x2, desplazamos el origen, por ejemplo a x = x1 = 12, el mismo polinomio es ahora una co
La condición P2(x1) = y1 proporciona directamente el valor de b0 y queda un sistema de menor tamaño y mejor condicionado que el anterior. Esta mejora no es definitiva, pues la matriz del nuevo sistema es parecida a la de Van der Monde y para mayor grado reaparecerá el mal condicionamiento. En el ejemplo, el sistema queda con lo que
A=[4 -2;4 2]; cond(A) 2.0000
3. Forma normal del polinomio de interpolación El proceso anterior, aplicado a un conjunto de n+1 puntos de abscisas distintas, (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), demuestra la existencia y unicidad del polinom cumple las condiciones Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n. Expresando el polinomio buscado en forma normal Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ••• + anxn e imponiendo las condiciones de interpolación se obtiene el sistema 1 1 1 1
x 0 x 20 x 0n-1 a 0 y 0 x1 x12 x1n-1 a 1 y1 x 2 x 22 x 2n-1 a 2 y 2 a y n n x n x 2n x n-1 n
Se demuestra que la matriz del sistema tiene determinante
V(x0 , x1 , x2 ,, xn ) ( x j xi ) 0 i j n
que sólo se anula si coinciden las abscisas de alguno de los nodos. Por tanto, si todos los xi son distintos, el sistema es compatible determinado, o sea, tiene solución única. En consecuencia, tenemos el resultado siguiente:
Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0, y0), (x1, y1),..., (xn, yn), existe un único polinomio de grado menor o igual que n, cumpliendo las condiciones de interpolación
Es inmediato comprobar entonces que el polinomio
Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.
cumple las condiciones
Este resultado tiene gran importancia teórica al resolver de forma única el problema de interpolación polinómica. Sin embargo, el método empleado en su deducción no resulta aplicable en la práctica, pues ya hemos visto que el sistema construido es mal condicionado.
Pn(xi) = yi, i=0,1,2...,n.
Forma de Lagrange del polinomio de interpolación La obtención del polinomio de interpolación en forma normal requiere la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, cuyo coste aritmético es del orden de n3, siendo n el número de nodos. Para reducir el coste podemos tomar una base del espacio de polinomios más adecuada, en la que sea más cómodo imponer las condiciones de interpolación. Esta base, formada por polinomios Lin(x), i=0,...,n, dependientes de las abscisas x0, x1, ..., xn, de los nodos considerados, nos proporcionará el polinomio de interpolación sin hacer ni un solo cálculo. Existencia del polinomio de interpolación. Sea Lin(x) un polinomio de grado n, que se anule en todos los puntos xj, j = 0, 1, ..., n, salvo en el i ésimo, donde vale 1; es decir, tal que
La existencia de este polinomio se deriva del resultado anterior, pero puede obtenerse directamente, sin necesidad de resolver un sistema, gracias a la siguiente fórmula debida a Lagrange Lin ( x)
( x x 0 )( x x i 1 )( x x i 1 )( x x n ) ( x i x 0 )( x i x i 1 )( x i x i 1 )( x i x n )
Pn(x) = y0 L0(x) + y1 L1(x) + y2 L2(x) + ••• + yn Ln(x)
lo que prueba directamente la existencia del polinomio de interpolación. La unicidad se puede garantizar utilizando el hecho de que un polinomio de grado n puede tener a lo sumo n raíces. Si dos polinomios de gr diferencia se anula en dichos puntos, por lo que sólo puede ser el polinomio idénticamente nulo. Forma de Lagrange del polinomio de interpolación. Combinando las dos últimas fórmulas, obtenemos una expresión explícita del polinomio de interpolación. El polinomio P2(x) del ejemplo tiene, según Lagrange, la siguiente expresión: (x 12)(x 14) (x 10)(x 14) (x 10)(x 12) P (x) 12 18 21 2 (10 12)(10 14) (12 10)(12 14) (14 10)(14 12)
Las operaciones que nos hemos ahorrado en su determinación, hemos de pagarlas al evaluar el polinomio en un punto concreto (del orden de n2 operaciones por cada evaluación). Además, los productos a efectuar pueden causar overflow y la fórmula no es estable numéricamente. Cambiaremos los polinomios de Lagrange Lin(x) por otra base que nos proporcione mejores propiedades numéricas, a costa de perder la expresión explícita cómoda del polinomio de interpolación. Referencias Bibliográficas: https://luiscastellanos.files.wordpress.com/2012/0 4/cc3a1lculo-numc3a9rico-luis-castellanos4.pdf disi.unal.edu.co/~lctorress/MetNum/LiMetNu2.pdf
Método de Newton Raphson Álvaro José Cordero Ramírez, Estudiante de Ingeniería en Mantenimiento Mecánico En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De la realización del análisis por terminorum Infinitas número aequationes (escrita en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De fluxionum metodis et infinitarum serierum (escrita en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere sustancialmente de la descripción moderna dada arriba: Newton aplica el único método para polinomios. Él no computa las aproximaciones sucesivas x n, pero calcula una secuencia de polinomios y sólo al final, llega a una aproximación a la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y no se fija la conexión con el cálculo. Isaac Newton probablemente deriva su método de un método preciso, pero menos similar por François Viète. La esencia de los métodos Viète puede encontrarse en la labor del Persa matemático Sharaf al-Din al-Tusi. El método de Newton se publicó por primera vez en 1685 en un tratado de álgebra, tanto histórica y práctica por John Wallis. En 1690, Joseph Raphson publicó una descripción simplificada en universalis aequationum Análisis. Raphson más vistos del método de Newton exclusivamente como un método algebraico y restringido su uso a los polinomios, pero él se describe el método en cuanto a las aproximaciones sucesivas xn en lugar de la secuencia más complicada de los polinomios utilizados por Newton. Por último, en 1740, Thomas Simpson describe el método de Newton como un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales generales utilizando el cálculo fluxional, esencialmente con la descripción anterior. En la misma publicación, Simpson también da a la
generalización de los sistemas de dos ecuaciones y observa que el método de Newton se puede utilizar para resolver problemas de optimización mediante la creación del gradiente a cero. Arthur Cayley en 1879 en El-Fourier imaginaria problema Newton fue el primero que se percató de las dificultades para generalizar el método de Newton a la raíces complejas de polinomios con grado mayor que 2 y complejas valores iniciales. Esto abrió el camino al estudio de la teoría de iteraciones de funciones racionales. En análisis numérico, el método de Newton (también conocido como el-Raphson el método de Newton), el nombre de Isaac Newton y Raphson Joseph, es quizás la más conocida mejor método para encontrar mejores aproximaciones sucesivamente a los ceros (o raíces) de un real con valores de función. Diferencia: Este método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el método de diferencias divididas para aproximar f ‘(x). El método de NewtonRaphson asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. ¿Qué es el Método de Newton? El Método numérico de Newton es una aplicación del cálculo diferencial que se utiliza para hallar los ceros de una función derivable de enésimo grado con la precisión deseada ya que es una extensión directa del método del mismo nombre para buscar ceros de funciones
de una variable. Los procedimientos para hallar las raíces o ceros de funciones lineales o cuadráticas a partir de los coeficientes de la ecuación son sencillos y exactos. El método de Newton asume que la función f sea continuamente derivable y que se conoce la derivada de la función. Este método puede no converger si se comienza con un valor muy alejado de la raíz. Sin embargo, si converge, lo hace mucho más rápido que el método de bisección (usualmente, de manera cuadrática), por eso el número de dígitos correctos se duplica en cada iteración. El método de Newton también es útil porque se generaliza para problemas de dimensiones más altas. Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo. La idea es realizar el desarrollo de las series de Taylor de una función alrededor de una estimación de la raíz x0, es decir:
Truncando la serie a primer orden e igualando f(x) = 0 se tiene:
Este Método es similar al de la Secante, la diferencia esencial radica en que en la Secante se utiliza el Método de diferencias divididas para aproximar f`(x). Este método es muy similar al método babilónico y se basa en una repetición, ósea, se divide y saca promedio, se divide y saca promedio, etc. En este método la primera aproximación no es muy precisa. El Método de Newton-Raphson asume que la función f(x) es derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f(x) tiene una pendiente
definida y una única línea tangente en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f(x0)) es una aproximación a la curva de f(x) cerca del punto (x0, f(x0)). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una aproximación del cero de f(x) o denominada raíz de f(x).
Usando algunos conceptos básicos de cálculo, se tienen maneras de evaluar raíces de funciones complicadas numéricamente. Normalmente, se usa el método de Newton Raphson. Este proceso iterativo sigue una pauta fija para aproximar una raíz, considerado la función, su derivada, y un valor x inicial. Usted puede recordar del álgebra que una raíz de una función es un cero de la función. Esto significa que la raíz de una función, se calcula cuando la función se iguala a cero. Se puede encontrar las raíces de una función simple como f(x) = x2 − 4 simplemente colocando la función igual a cero, y resolviendo: f(x) = x2 − 4 = 0, de aquí se tiene que f(x) = (x + 2)(x − 2) = 0, para concluir que la igualdad se cumple solo si x = 2 ó x = -2, que son consideradas como raíces de la ecuación. Obtención de la fórmula: El Método de Newton tiene una interpretación geométrica sencilla, de hecho, el Método de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (xo, f(xo)) y cuya pendiente coincide con
la derivada de la función en el punto, f(xo). La nueva aproximación a la raíz, x1, se obtiene de la intersección de la función lineal con el eje X de ordenadas. La ecuación de la recta que pasa por el punto (xo, f(xo)) y de la pendiente f‘(xo) es:
función evaluada en Xn, y f’(Xn) es la derivada evaluada en Xn, Xn+1 representa el próximo valor para x que se está tratando de encontrar como raíz al aplicar el modelo. Esencialmente, f’(X0), la derivada representa f(x)/dx, (dx=delta-x) ó dx = X1– X0. Sin embargo, el término f(x)/f`(x) representa un valor de dx = Δx.
y- f(xo) = f‘(xo)(x-xo) Convergencia: De donde, haciendo y=0 y despejando x se obtiene la ecuación de Newton- Raphson. Xn+1 = Xn – f(Xn) / f‘(xn)
Demostración: Sea 0 x la raíz supuesta inicial o valor inicial de las iteraciones y si se aplican funciones trigonométricas al ángulo α de la figura 4 se tiene que tan(α)=f(xo) /(xo−x1), a partir de esta fórmula se puede decir que: (x0 − x1) = f(x0 ) / tan(α ) y despejando x1 se tendría la fórmula de Newton. La pendiente en xo está dada por tan(α ) = f‘(xo). Teniendo en cuenta lo anterior se tendría entonces que: x1 = x0 − f (xo) / f‘(xo ). También se puede deducir de teniendo en cuenta que la ecuación de la línea tangente en xo está dada por y f(xo) = f‘(xo)(x-xo). La primera aproximación x1 es obtenida como la raíz de (1). Así (x1,0) es un punto sobre la ecuación anterior.
En general, la convergencia es cuadrática: el error es esencialmente cuadrado en cada paso (es decir, el número de dígitos exactos se duplica en cada paso). En primer lugar, el método de Newton requiere que la derivada se calcula directamente. (Si la derivada es aproximada por la pendiente de una recta que pasa por dos puntos de la función, el método de la secante resultados, lo que puede ser más eficiente en función de cómo se mide el esfuerzo computacional.) En segundo lugar, si el valor inicial es demasiado lejos de la verdad cero, el método de Newton puede dejar de converger. Debido a esto, las implementaciones más práctica del método de Newton poner límite al número de iteraciones y tal vez del tamaño de las iteraciones. En tercer lugar, si la raíz que se busca tiene multiplicidad mayor que uno, la velocidad de convergencia es meramente lineal (menor número de errores por un factor constante en cada etapa) a menos que se tomen medidas especiales. Condiciones Newton:
del
método
de
El método de newton no siempre trabaja. se encuentra con problemas en varias partes:
Donde, Xn una valor para x conocido actualmente, f(Xn) representa el valor de la
especiales
Cuando se escoge un valor x inicial donde se tendría una “división por cero” lo cual es un error, y no podría proceder. Cuando usando un valor X inicial de los valores X convergen y hacen el delta-x la disminución hacia el cero (0). Dependiendo de las condiciones bajo las que se esté intentando resolver la ecuación, algunas de las variables pueden estar
cambiando. Así que, puede ser necesario usar derivadas parciales. Algunas aplicaciones del método Newton Raphson en la ingeniería: Son muy variadas las aplicaciones del método de Newton. Este método se puede usar para aproximar las soluciones complejas de una ecuación polinomial de grado n ≥ 2. Otra aplicación para destacar está en la solución de problemas de flujos de potencia en ingeniería eléctrica. También se encuentran aplicaciones mecánicas en la solución de ecuaciones que determinan la posición en la dinámica de un mecanismo o sistema.
Conclusiones: El método de newton es eficiente en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales, converge muy rápidamente y proporciona una muy buena precisión en los resultados. El método se emplea en la solución de problemas académicos y propios del mundo real.
Desventajas: Aunque el método de newton en general es muy eficiente, hay situaciones en que presenta dificultades:
En caso especial es las raíces múltiples. En algunos casos es posible que para raíces simples se presenten dificultades por su lenta convergencia. Cuando en un punto de inflexión, f´(x) = 0, ocurre en la vecindad de una raíz. No existe un criterio general de convergencia. Tener un valor suficientemente cercano a la raíz. Apoyarse de herramientas gráficas. Conocimiento del problema físico. Evaluación de la derivada.
Newton
Interpolación Polinomio de Hermitage Jesús Rodríguez, Estudiante de Ingeniería Eléctrica El polinomio de Hermite es aquel que interpola una colección de puntos y el valor de sus derivadas en los puntos que deseamos. Es decir, supongamos que tenemos (xk, fk) y (xk, f′k).
En Lagrange Objetivo El objetivo de Hermite es minimizar el error producido en la interpolación de Lagrange de la función f(x) sobre el intervalo [a, b] sin aumentar el grado del polinomio interpolador. Definición Dados un entero no negativo N, N + 1 puntos (x0, … , xN) de la recta distintos dos a dos y los valores f(j)(xi), 0< i< N, 0< j< ki-1 de una función f y de sus derivadas, encontrar un polinomio de grado m = (k0 +k1 +· · ·+kn-1,) tal que: P(j)(xi) = f(j)(xi), 0 < i < N, 0< j < ki-j
Por lo que podemos dejar el polinomio de Hermite de grado (n-1) expresado de la siguiente manera:
Tipos Interpolación de Hermite de primer orden: Se puede expresar el polinomio interpolador de Hermite de primer orden de la siguiente forma:
donde B0,i(x), se calculan con la siguiente fórmula:
Teorema El problema de interpolación de Hermite tiene solución única, que se llama polinomio interpolador de Hermite.
donde Li(x) son los polinomios de la base de Lagrange.
Cálculo del Polinomio de Hermite
Ejemplo
En lugar de interpolar sobre un soporte de puntos (de Tchebycheff) donde en general se desconoce el valor de la función, de hace de otra manera, imponiendo unas condiciones al polinomio:
Hallar el polinomio cúbico que interpolados cuyos datos
1. Igualar el valor de la función en en los puntos del soporte, p(xi) = f(xi) 2. Igualar el valor de algunas derivadas de la función también en los puntos del soporte, p(j)(xi)=f (j)(xi)
f(1) = 2, f'(1) = 3, f(2) = 6, f'(2) = 7 y f''(2) = 8:
Construimos la tabla de diferencias divididas con repetición:
función y n+1 valores de las derivadas, el polinomio de Hermite tendrá grado 2n+1.
Tabla de diferencias devididas
Por lo tanto, si disponemos de n+1 valores de la función y n+1 valores de las derivadas, el polinomio de Hermite tendrá grado 2n+1.
12 1 2 f'(1) = 3
Ejemplo
2 6 f[1, 2] = 4 f[1, 1, 2] = 1 2 6 f'(2) = 7 f[1, 2, 2] = 3 f[1, 1, 2, 2] = 2 2 6 f'(2) = 7 f''(2)/2 = 4 f[1, 2, 2, 2] = 1 f[1, 1, 2, 2, 2] = −1.
El polinomio interpolador de Hermite es, por tanto: H(x) = 2+3(x−1)+(x−1)2+2(x−1)2(x−2)−(x−1)2(x−2)2
En Newton
Supongamos que queremos calcular f(18) donde f(x)=tan(πx) a partir de interpolación de Hermite en 0,14. Para conseguirlo, escribimos una tabla como en interpolación de Newton pero repitiendo cada dato del que conozcamos su derivada. Es decir: 0
0
0
0
f′(0)=π 4−π14−0=16−4π 1−014−0=4
Entonces construimos la misma tabla que en el método de Newton, poniendo en la primera columna los xk, escribiendo dos veces el mismo punto si conocemos el valor de la derivada en ese punto, y en la segunda columna los valores de f correspondiente al x e la misma fila. Es decir, si conocemos el valor de f en x0 y el de su derivada también, escribiremos dos veces x0 y al lado de cada uno f0. Por ejemplo, x0 X0 x1 x1
f′0 f0
f[x0,x0,x1] f[x0,x1]
x1
f1
x1
f1
8π−16−16+4π14−0=148π−128 2π−414−0=8π−16
f′(14)=2π 14 1
Procediendo de la misma forma que en interpolación de Newton, obtenemos: P3(x)=πx+(16−4π)x2+(48π−128)x2(x−14) Ahora, tan(π8)≈P3(18)=0.4018…
f0 f0 f1 f1
A partir de aquí procedemos de la misma forma, pero con la diferencia que tenemos que definir f[xi,xi]=f′i, el valor de la derivada en xi. x0 f0 x0
14 1
f[x0,x0,x1,x1] f[x0,x1,x1]
f′1
Por lo tanto, si disponemos de n+1 valores de la
Referencias Interpolación de Hermite. [Documento en línea] Disponible en http://interpolacion.wikidot.com/her-teoria Interpolación de Hermite. [Documento en línea] Disponible en http://www.sangakoo.com/es/temas/interpolaci on-de-hermite