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1a

QUESTO VOLUME, PARTE DI UN'OPERA INDIVISIBILE, È DA CONSIDERARSI "FUORI COMMERCIO" IN QUANTO SPROVVISTO DI PREZZO E NON CEDIBILE SEPARATAMENTE DAGLI ALTRI COMPONENTI DELLA CONFEZIONE.

Acquati

Aldo Acquati Carmen De Pascale Valeria Semini Flora Scuderi

1a

MATE.COM Per la scuola delle competenze Aritmetica

MATE.COM

ARITMETICA

difficoltà in matematica; ti assicuro che le mie sono maggiori. „

In copertina: © Illustrazione di Stefano Marra, 2014

“ Non preoccuparti delle tue

/ matematica - corso

— Albert Einstein

Matematica - corso

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30220

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5

capitolo

Le potenze

paragrafo

Lavorare insieme per scoprire

1

Giocare con le potenze Ti proponiamo una storiella: Luca torna a casa e racconta alla moglie di essere stato a giocare a carte a casa di amici.

«Ho puntato solo 2 euro», dice, «e per 10 volte ho raddoppiato la posta, ma sono stato molto sfortunato e ho perso sempre».

«2 euro non è una grossa cifra», pensa la moglie, ma poi si mette a calcolare e scopre che il marito ha perso tanti soldi! Prova tu a fare il calcolo. € 2 prima giocata € 2 × 2 = € 4 primo raddoppio € 4 × 2 = € 8 secondo raddoppio .................................... € 8 × 2 = € 16 .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... .................................... ....................................

Se hai calcolato bene, avrai trovato che Luca ha perso 2048 euro!

Da un numero molto piccolo, 2, sei arrivato, con poche operazioni, a ottenere un numero molto più grande. In pratica, hai calcolato il prodotto di 11 fattori uguali a 2. esponente

2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2048 =

1° raddoppio

3° raddoppio

2° raddoppio

190

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 190

211 base

10° raddoppio

Questa operazione è detta elevamento a potenza e può essere scritta in modo simbolico come 211.

20/12/13 14:27

8

1,5

10

km

×

211 si legge «due elevato all’undicesima» o semplicemente «due all’undicesima».

p

La scrittura simbolica che indica un prodotto di fattori tutti uguali si chiama potenza.

Nella potenza si distinguono due numeri: la base e l’esponente.

p

La base è il fattore che viene moltiplicato per se stesso, l’esponente indica quante volte il fattore si ripete.

•

€ 2

•

•

•

• •

•

•

•

€ 16

•

3o raddoppio

• • • • • • • • • • •• •

€8

• •

2o raddoppio

•

€ 4

•

1o raddoppio

•

•

1a giocata

•

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 191

INIZIO GIOCO

•

Lavorare insieme per scoprire

Per darti un’idea di quanto aumenta velocemente il valore dei numeri, ti mostriamo la situazione proposta con un grafo ad albero. (Sono rappresentati solo i primi tre raddoppi, che portano a 16 euro, ovvero 16 pallini; per rappresentare tutti i raddoppi bisognerebbe disegnare ben 2048 pallini!)

191

20/12/13 14:27

paragrafo

2

Elevamento a potenza

p esercizi da p. 212

Nel caso della nostra storiella i fattori della moltiplicazione sono 11 (e per scriverli è stata necessaria un’intera riga) ma, se fossero 40, dovremmo occupare diverse righe per scrivere l’operazione e forse il foglio non basterebbe. Al contrario, il simbolo della potenza appena appreso ci permette di scrivere semplicemente 240, il cui valore è più di mille miliardi!

Per calcolare una potenza basta trasformarla nella sequenza di moltiplicazioni corrispondente e calcolarne il prodotto:

34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 9 × 3 × 3 = 27 × 3 = 81

p

L’operazione con la quale si calcola una potenza si chiama elevamento a potenza.

L’operazione dell’elevamento a potenza ha sempre un risultato nell’insieme N, poiché l’elevamento a potenza non è altro che una sequenza di moltiplicazioni di fattori tutti uguali e la moltiplicazione, come sappiamo, ha sempre un risultato in N. Dunque possiamo dire che:

p

L’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di elevamento a potenza.

Dobbiamo precisare che ciò è vero, purché si escluda il caso di una potenza con base ed esponente uguali a zero, caso che, come vedremo più avanti, non ha significato.

Infine, va detto che l’operazione di elevamento a potenza si può eseguire anche con i numeri decimali.

paragrafo

3

esempio 2,52 = 2,5 × 2,5 = 6,25

e, al contrario:

3,6 × 3,6 × 3,6 = 3,63

Quadrati e cubi

p esercizi da p. 213

Consideriamo ora alcune potenze particolari: quelle con esponente 2 ed esponente 3.

Abbiamo visto che 42 si legge «quattro alla seconda». In questo caso, però, la potenza può anche essere letta «quattro al quadrato». La spiegazione ci viene dalla geometria.

L’operazione per calcolare 42 è infatti 4 × 4 ed è l’operazione che eseguiamo per calcolare l’area di un quadrato di lato 4 u.

La sua area si calcola moltiplicando la misura del lato per se stessa, quindi:

A = 4 u × 4 u = 16 u2

4u

192

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 192

4u

20/12/13 14:27

Vogliamo ora calcolare 43 (quattro alla terza): 43 = 4 × 4 × 4 = 16 × 4 = 64

Queste sono le operazioni che si fanno per calcolare il volume di un cubo con lo spigolo di 4 u.

La prima moltiplicazione 4 × 4 dà 16, che è l’area del quadrato di lato 4 u ma anche il numero di cubetti che formano il primo strato. La seconda moltiplicazione

4u

16 × 4 = 64 4u

n. cubetti n. strati primo strato

4u

dà il numero di cubetti contenuti nel cubo, ovvero il volume del cubo. Per questo motivo 43 si legge anche «quattro al cubo». In generale:

p

paragrafo

4

L’esponente 2 si può leggere anche «al quadrato», l’esponente 3 si può leggere anche «al cubo».

Le potenze nelle espressioni

p esercizi da p. 214

Abbiamo visto che, per risolvere un’espressione, si devono seguire alcune regole di precedenza tra le operazioni.

Se nelle espressioni ci sono delle potenze, vanno calcolate prima delle quattro operazioni. Risolte le potenze, si seguono le normali regole di precedenza.

Vediamo alcuni esempi.

■ 5 + 23 = 1a operazione = 5 + 8 = 13

■ 4 + 22 × 5 =

= 4 + 4 × 5 = 4 + 20 = 24

■ [5 + (42 - 5 × 2) + 7] : 32 =

■ 0,52 + 1,22 × 10 - 32 =

= 0,25 + 1,44 × 10 - 9 = = 0,25 + 14,4 - 9 = 5,65

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 193

5 Le potenze

= [5 + (16 - 10) + 7] : 9 = [5 + 6 + 7] : 9 = 18 : 9 = 2

193

20/12/13 14:27

Ora prova tu 1. Trasforma le potenze in moltiplicazioni. a. 74 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 29 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 53 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Scrivi le operazioni sotto forma di potenze, quando è possibile. a. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 5 × 5 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. 6 × 6 × 6 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 7 × 7 × 7 × 3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Calcola il valore delle potenze. a. 23 = . . . . . . . . . . . b. 62 = . . . . . . . . . . . c. 27 = . . . . . . . . . . d. 72 = . . . . . . . . . . e. 53 = . . . . . . . . . . .

4. Risolvi l’espressione, calcolando prima le potenze.

(4 + 2 × 32 − 42) + 5 + 23 − 15 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...........................................................................................................................................................

paragrafo

5

Proprietà delle potenze

p esercizi da p. 214

Le potenze non godono delle proprietà delle altre operazioni, ma hanno proprietà tutte loro.

Possiamo facilmente verificare, ad esempio, che per le potenze non vale la proprietà commutativa perché non si possono scambiare base ed esponente. Infatti:

ma

23 = 2 × 2 × 2 = 8 32 = 3 × 3 = 9

Consideriamo ora alcuni casi particolari per scoprire quali sono le proprietà delle potenze.

Prodotto di potenze con uguale base

22

23 =

×

= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25

Analogamente, se i fattori sono più di due:

32

×

34

×

l’esponente 5 è uguale alla somma degli esponenti 2 e 3 (si ha infatti il prodotto di 5 fattori uguali a 2)

33 =

= 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 39

l’esponente 9 è uguale alla somma degli esponenti 2, 4 e 3 (si ha infatti il prodotto di 9 fattori uguali a 3)

Dunque, in generale, possiamo dire che:

194

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 194

p

Il prodotto di potenze di ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

20/12/13 14:27

Con l’uso delle lettere questa proprietà può essere così espressa:

an indica il prodotto

di n fattori uguali ad a.

am × an = am + n

dove m e n sono numeri naturali

Quoziente di potenze con uguale base Vogliamo calcolare 25 : 22.

25 : 22 32 : 4 = 8

Ma 8, scritto in forma di potenza, è 23, perciò:

2 5 : 2 2 = 23

l'esponente 3 è uguale alla differenza degli esponenti 5 e 2

Dunque, generalizzando, possiamo dire che:

p

Il quoziente di due potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

In lettere, avremo che:

am : an = am − n

dove m e n sono numeri naturali e m è maggiore o uguale a n

Prodotto di potenze con uguale esponente Vogliamo calcolare 22 × 32.

22 × 32 = = 4 × 9 = 36 = 62

Dunque: 22 × 32 = 62

la base 6 è uguale al prodotto delle basi 2 e 3

Analogamente, se i fattori sono più di due:

3 3 × 43 × 23 = = 27 × 64 × 8 = 13 824 = 243

(24 = 3 × 4 × 2)

In generale, possiamo dire che: Il prodotto di potenze con uguale esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

In lettere, avremo che:

am × bm = (a × b)m

dove m è un numero naturale

5 Le potenze

p

195

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 195

20/12/13 14:27

Quoziente di potenze con uguale esponente Vogliamo calcolare 62 : 22.

62 : 22 =

= 36 : 4 = 9

Ma 9 = 32 Perciò: 62 : 22 = 32

(3 = 6 : 2)

la base 3 è uguale al quoziente delle basi 6 e 2

In generale, possiamo dire che:

p

Il quoziente di due potenze con uguale esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

In lettere avremo che:

am : bm = (a : b)m

dove m è un numero naturale

Potenza di potenza La base di una potenza può essere essa stessa una potenza.

Vogliamo calcolare (23)2.

La base è 23, ovvero 2 × 2 × 2 = 8, l’esponente è 2.

Dunque: (23)2 = 82 = 64, ma 64 = 26 Perciò: (23)2 = 26

(6 = 3 × 2)

In generale, possiamo dire che:

p

La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

In lettere avremo che:

paragrafo

(am)n = am × n

dove m e n sono numeri naturali

6

Potenze particolari

p esercizi da p. 221

Potenze con esponente 0 Vogliamo calcolare il quoziente di due potenze che abbiano la stessa base e lo stesso esponente:

196

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 196

32 : 32

Sappiamo bene che il quoziente di due numeri uguali è 1, perciò 32 : 32 è certamente uguale a 1:

32 : 32 = 1

20/12/13 14:27

ma, applicando la proprietà del quoziente di due potenze con ugual base, otteniamo una potenza che ha per base la stessa base (3) e per esponente la differenza degli esponenti (2 − 2 = 0).

Perciò: 32 : 32 = 30 Dunque: 30 = 1 Poiché lo stesso ragionamento si può applicare a qualsiasi quoziente di potenze con ugual base e uguale esponente, in generale possiamo dire che:

p

Qualsiasi potenza di un numero, diverso da 0, con esponente 0, è uguale a 1.

In lettere avremo che:

a0 = 1

Potenze con base 0 Qual è il significato di una potenza con base 0?

Trasformiamo 03 nella sequenza di moltiplicazioni corrispondenti:

03 = 0 × 0 × 0 = 0

Poiché il prodotto di un qualsiasi numero di fattori uguali a 0 è sempre uguale a 0, possiamo dire che:

p

Qualsiasi potenza con base 0 ed esponente diverso da 0 è uguale a 0.

In lettere avremo che:

0n = 0

Un caso molto particolare è quello della potenza 00.

Avendo esponente 0 dovrebbe essere uguale a 1 ma, avendo base 0, dovrebbe essere uguale a 0.

In definitiva:

p

La potenza 00 non ha significato.

Potenze con esponente 1

p

Qualsiasi potenza con esponente 1 è uguale alla base.

In lettere avremo che:

n1 = n

Ciò vuol dire anche che qualsiasi numero naturale può essere considerato come una potenza con esponente 1.

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 197

5 Le potenze

Consideriamo la potenza 21.

Poiché l’esponente indica il numero di fattori uguali alla base che si ripetono, 21 è uguale a 2.

In generale:

197

20/12/13 14:27

Potenze con base 1 Vogliamo calcolare la potenza 14. Trasformiamola nella sequenza di moltiplicazioni corrispondente: 14 = 1 × 1 × 1 × 1

Poiché il prodotto di un numero qualsiasi di fattori uguali a 1 è sempre uguale a 1, in generale possiamo dire che:

p

Qualsiasi potenza con base 1 è uguale a 1.

In lettere avremo che: 1n = 1

Potenze con base 10 Trasformiamo in sequenza di moltiplicazioni e calcoliamo alcune potenze del 10.

102 = 10 × 10 = 100 103 = 10 × 10 × 10 = 1000 104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000

p

Come possiamo vedere, per calcolare le potenze del 10 basta aggiungere all’1 tanti zeri quanti sono indicati dall’esponente.

109 è dunque uguale a 1 000 000 000, ovvero un miliardo.

E come scriveremo un milione sotto forma di potenza del 10? È molto semplice: poiché il numero degli zeri corrisponde all’esponente, avremo:

1 000 000 = 106

Analogamente:

100 000 = 105 10 000 000 = 107

e così via.

Le potenze del 10 vengono utilizzate nella scrittura polinomiale che, come sappiamo, fa riferimento al valore posizionale delle cifre all’interno di un numero. L’uso delle potenze del 10 permette di semplificare la scrittura.

198

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 198

esempio

■ 352 = 2 × 100 + 5 × 101 + 3 × 102

2 50 300

■ 13 041 = 1 × 100 + 4 × 101 + 0 × 102 + 3 × 103 + 1 × 104

1

40

0

3000

10 000

20/12/13 14:27

paragrafo

7

Calcolo rapido ed espressioni

p esercizi da p. 221

Abbiamo visto come ci si comporta se in un’espressione aritmetica compaiono delle potenze. Consideriamo ora alcuni casi in cui è possibile applicare le proprietà delle potenze.

■ 4 + 37 : 35 − 10 Per risolvere questa espressione dovremmo innanzitutto calcolare le potenze e poi il loro quoziente. Notiamo, però, che 37 : 35 è il quoziente di potenze con ugual base; possiamo perciò applicare la proprietà delle potenze che ci permette subito di calcolare 37 : 35 = 32 = 9 e quindi: 4 + 37 : 35 − 10 = 4 + 9 − 10 = 13 − 10 = 3

Senza applicare la proprietà, il calcolo sarebbe più complicato poiché avremmo a che fare con numeri più grandi: 4 + 37 : 35 − 10 = 4 + 2187 : 243 − 10 = 4 + 9 − 10 = 13 − 10 = 3 ■ 23 + (32)4 : 37 + [(52 − 22 × 22) : 3 + 78 : 76] = applicando le proprietà delle potenze:

= 23 + 38 : 37 + [(25 − 24) : 3 + 72] = = 23 + 3 + [(25 − 16) : 3 + 72] = = 8 + 3 + [9 : 3 + 49] = = 8 + 3 + [3 + 49] = 8 + 3 + 52 = 63

In questo caso, ancor più che nel precedente, se non applicassimo le proprietà delle potenze, dovremmo fare calcoli con numeri molto grandi.

Pensiamo, ad esempio, che: 78 = 5 764 801!

paragrafo

8

Notazione scientifica

p esercizi da p. 224

Sappiamo che è molto facile, per le potenze del 10, passare dalla scrittura sotto forma di potenza al valore, e viceversa.

p

Le potenze del 10 sono molto utili per scrivere numeri molto grandi, come quelli che troviamo in economia o in astronomia.

Vediamo un esempio che si riferisce alle distanze astronomiche.

Il pianeta Giove dista dal Sole circa 780 milioni di chilometri. Si tratta di una distanza enorme, per noi molto difficile da immaginare. Scritto in cifre il numero è 780 000 000, cioè il prodotto di 780 × 1 000 000 (780 per un milione) o di 7,8 × 100 000 000 (7,8 per cento milioni).

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 199

5 Le potenze

199

20/12/13 14:27

Quest’ultimo prodotto può essere scritto utilizzando le potenze del 10:

7,8 × 108

p

notazione scientifica

La notazione scientifica consiste nello scrivere un numero sotto forma di prodotto di due fattori: il primo deve essere un numero maggiore o uguale a 1, ma minore di 10 (nel nostro esempio 7,8) e il secondo deve essere una potenza del 10 (nel nostro esempio 108).

Proviamo a scrivere altri numeri con la notazione scientifica.

■ 2600 = 26 × 100 = 2,6 × 1000 = 2,6 × 103 ■ 347 000 = 347 × 1000 = 3,47 × 100 000 = 3,47 × 105 ■ 2 586 000 000 = 2586 × 1 000 000 = = 2,586 × 1 000 000 000 = 2,586 × 109 E se il numero non termina con degli zeri? Vediamo qualche esempio.

■ 25 917 = 2,5917 × 10 000 = 2,5917 × 104 ■ 3 096 364 = 3,096364 × 1 000 000 = 3,096364 × 106

paragrafo

9

Ordine di grandezza

p esercizi da p. 225

Consideriamo il numero 3 127 400 e immaginiamo che esso sia il numero di gelati venduti da una gelateria nei suoi 45 anni di attività. Se non ci interessa conoscere il numero esatto di gelati venduti, ma soltanto sapere se si tratta di migliaia, decine di migliaia, milioni, decine di milioni... diciamo che vogliamo conoscere l’ordine di grandezza del numero.

p

L’ordine di grandezza di un numero è dato dalla potenza del 10 alla quale il numero si avvicina di più.

Per stabilire l’ordine di grandezza di un numero basta scrivere il numero con notazione scientifica (ad esempio: 3 127 400 = 3,1274 × 106): se il primo fattore è minore di 5, l’ordine di grandezza è dato dalla potenza del 10 che compare nella notazione scientifica (nel nostro caso 106); se il primo fattore è maggiore o uguale a 5, l’ordine di grandezza è dato dalla potenza del 10 successiva.

esempio ■ L’ordine di grandezza di 3,4 × 105 è 105.

■ L’ordine di grandezza di 7,8 × 108 è 109.

Ora prova tu 200

1. Applica le proprietà delle potenze. a. (33)2 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 69 : 29 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 54 × 53 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 45 : 42 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 200

e. 23 × 73 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20/12/13 14:27

2. Scrivi il valore delle potenze. a. 80 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 81 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. 18 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 08 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. 00 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. 105 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Scrivi i numeri che seguono con la notazione scientifica. a. 25 000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 762 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 1 473 800 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Indica l’ordine di grandezza dei numeri che seguono. a. 285 000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 8344 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 927 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

paragrafo

10

Estrazione di radice

p esercizi da p. 225

Studiando le quattro operazioni fondamentali abbiamo visto che la sottrazione è l’operazione inversa dell’addizione e la divisione è l’operazione inversa della moltiplicazione:

5−2=3 18 : 3 = 6

3+2=5 6 × 3 = 18

Anche l’elevamento a potenza ha un’operazione inversa.

Consideriamo la potenza:

esponente

24 = 16 base quarta potenza di 2

Pensiamo ora di conoscere la potenza (16) e l’esponente (4) e di voler trovare la base. La domanda che ci poniamo è: «qual è quel numero che, elevato alla quarta, dà 16?».

— √ è il simbolo di

estrazione di radice quadrata: l'indice 2 viene omesso.

4

= 16

base da trovare

Diciamo che 2 è la radice quarta di 16:

indice

4

49 = 7

16 = 2 3 27 = 3

segno di radice radicando

49 = 7 5 1024 = 4

3

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 201

5

radice quarta di 16

5 Le potenze

L’operazione da eseguire si chiama estrazione di radice e, in particolare, poiché l’esponente è 4, estrazione di radice quarta.

In simboli: 4 16 = 2 perché 24 = 16.

201

27 = 3 20/12/13 14:27

4

16 = 2 16 = 216 = 2 16 =2 Se ora vogliamo indicare il numero che, elevato alla seconda (o al quadrato), è uguale a 49, scriviamo 49 .= 7 Sappiamo 49 che= 749 = 7 poiché 72 = 49. Diciamo che 7 è la radice quadrata (e non ra49 7 49. dice seconda!)=di 3 Analogamente:3 27 = 3 3 27 = 3 3 27 = 3 27 = 3

4 4

4

5 1024 = 4radice terza) di 27 perché 33 = 27 3 è la radice cubica (e non 5 1024 = 4 5 5 1024 = 4

1024 = 4 4 è la radice quinta di 1024 perché 45 = 1024

In definitiva:

p

paragrafo

11

L’estrazione di radice è l’operazione che, dato un numero (il radicando), ci permette di trovare un altro numero (la radice) che, elevato all’indice della radice, dà il radicando.

Cominciamo a usare le tavole numeriche

p esercizi da p. 226

Non sempre è facile trovare la radice di un numero. Per le radici quadrate e cubiche si possono usare le tavole numeriche, strumenti che, come impareremo, sono utili anche in altre situazioni. n

Vediamo come sono organizzate. n n2

n

n

n2

1

1

1,0000

2

4

n 1,4142 8

1,0000

11

121

3,3166

1331

2,2240

12

144

n 3,4641 1728

1,2599

2,2894

3

9

1,7321

27

1,4422

13

169

3,6056

2197

2,3513

4

16

2,0000

64

1,5874

14

196

3,7417

2744

2,4101

5

25

2,2361

125

1,7100

15

225

3,8730

3375

2,4662

6

36

2,4495

216

1,8171

16

256

4,0000

4096

2,5198

7

49

2,6458

343

1,9129

17

289

4,1231

4913

2,5713

8

64

2,8284

512

2,0000

18

324

4,2426

5832

2,6207

9

81

3,0000

729

2,0801

19

361

4,3589

6859

2,6684

10

100

3,1623

1000

2,1544

20

400

4,4721

8000

2,7144

1

n 3

n3

3

n

3

n3

3

n

n

Nella prima colonna, sotto la lettera n, sono riportati i numeri naturali da 1 a 1000.

Alla destra di ciascun numero troviamo, nell’ordine, il quadrato (n2), la radice quadra3 n) del numero stesso. ta (√ n), il cubo (n3) e la radice cubica (√ L’uso corretto delle tavole numeriche può essere molto utile, ma non è sempre semplice. Ne vedremo ora solo un uso parziale, rimandandone l’uso completo a quando avremo conoscenze maggiori.

202

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 202

20/12/13 14:27

Consideriamo alcuni casi. a. Ricerca del quadrato e del cubo di un numero Vogliamo calcolare 142.

Cerchiamo 14 nella prima colonna e leggiamo il numero corrispondente nella seconda colonna: 196. Infatti:

142 = 14 × 14 = 196

Se ora vogliamo calcolare 143 non dobbiamo fare altro che leggere il numero nella quarta colonna: 2744. Infatti:

143 = 14 × 14 × 14 = 2744

b. Ricerca della radice quadrata e della radice cubica di un numero Vogliamo trovare la radice quadrata di 16 (√16  ).

Cerchiamo 16 nella prima colonna e poi cerchiamo il numero corrispondente nella terza colonna: troviamo 4. Infatti:

16 = 4

Notiamo ora che il numero 16 compare anche nella seconda colonna (quella dei quadrati). Bene, il numero scritto alla sua sinistra è 4, ovvero la sua radice quadrata. Infatti, se 16 è il quadrato di 4, allora 4 è la radice quadrata di 16.

Dunque la radice quadrata di un numero scritto nella seconda colonna si può anche trovare leggendo il numero corrispondente nella prima colonna.

Se vogliamo ora trovare la radice cubica di 8, cerchiamo 8 nella prima colon 64 =colonna: 4 na e poi leggiamo il numero corrispondente nella quinta 2.   64 = 4 64 = 4 Infatti la radice cubica di 8 è 2 poiché 23 = 8.

3 27 =  33 27  27 == 3    = 2 64 64 == 44 33    = = 22 64 = 4 5 33 32 =  27  27 == 55 3 32  32 == 27 =   3  3 Completa.

100 000 = 10  64 = 4  = = 22  100 000 000 ==10 10 c. 3  = 2 e. 100 a.  64 = 4

55 3 361 d. 32 b. 27 =   32 ==

5 3 361 361 32 =  27 =   3  Cerca nelle 1681 100 = 2 tavole numeriche.

100 000 000 ==10 10  2 3 2 1681 a. 27 == .. . .2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 36100 = .. .000 . . . . . . .= . . 10 ....................... e. 1681 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 5 2 b. 1432= =.. . ................................. d. 361 361 = .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. 729 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 5 729 729 361 32 =   In quali dei casi visti nell’esercizio precedente hai potuto trovare il radicando sia nella prima che 1681 100 000 = 10 1681  seconda colonna delle tavole numeriche? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nella 1681 100 000 = 10 3 3 Perché? ..................

361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .729 729 3 729 361 Osserva la tabella riportata nella pagina precedente e verifica se c’è qualche numero che sia 1681 contemporaneamente cubo e quadrato.

1681

1.

2.

3.

4.

3 3

5 Le potenze

Ora prova tu

203

729 729

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 203

20/12/13 14:27

Leibniz e il sistema binario

Ampliare le conoscenze

p esercizi da p. 227

Come sappiamo il nostro sistema di numerazione, oltre che posizionale, è anche decimale; esso utilizza infatti 10 cifre e il valore di ciascuna è 10 volte maggiore di quello della cifra scritta alla sua destra. Ciò si esprime anche dicendo che il nostro sistema di numerazione è in base 10.

Il sistema decimale non è, però, l’unico sistema posizionale: ne esistono e ne vengono utilizzati altri ed è possibile costruirne praticamente con qualsiasi base. Prendiamo in considerazione il sistema in base 2, detto anche sistema binario, oggi di grande importanza perché viene impiegato dai computer. Questo sistema usa solo due cifre (0 e 1) e il valore di ciascuna cifra è due volte maggiore di quello della cifra scritta alla sua destra.

Sebbene il suo utilizzo sia legato a tempi molto recenti, l’invenzione del sistema binario risale a oltre tre secoli fa! Fu infatti il filosofo e scienziato tedesco W. Leibniz (1646-1716) a scoprirlo nel 1674.

Egli progettò una macchina da calcolo per il sistema binario, ma non riuscì a costruirne un modello funzionante a causa dello scarso sviluppo tecnologico dell’epoca. Il suo progetto venne realizzato solo nel 1920.

Leibniz, quindi, può a buon diritto essere considerato il padre dei moderni sistemi di calcolo. Due secoli più tardi, il matematico inglese G. Boole (1815-1864) riprese e sviluppò i concetti espressi da Leibniz sul sistema binario e gettò le basi della moderna logica matematica.

Vediamo ora, attraverso qualche esempio, come è strutturato il sistema binario.

10110 0 × 1 = 0 1 × 2 = 2 1 × 4 = 4 0 × 8 = 0 1 × 16 = 16

Questo numero si legge «uno-zero-uno-uno-zero».

La prima cifra a destra è, come sempre, quella delle unità; indica, perciò, zero unità e vale zero.

La seconda cifra è quella che ha il valore della base (nel nostro sistema è 10 ma in questo caso è 2); essa vale, perciò, 2.

Il valore della terza cifra è «due volte due», cioè 4: la terza cifra vale 4 e così via.

Il valore del numero 10110 è dato da

16 + 0 + 4 + 2 + 0 = 22

dunque 10110 è il numero 22 scritto in base 2.

Scriviamo ora il nostro numero con la scrittura polinomiale; dovremo utilizzare non le potenze del 10 ma le potenze del 2:

10 110 = 0 × 20 + 1 × 21 + 1 × 22 + 0 × 23 + 1 × 24

Cerchiamo il valore di altri numeri.

1001001

204

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 204

1 × 20 = 1 0 × 21 = 0 0 × 22 = 0

1 × 23 = 8 0 × 24 = 0 0 × 25 = 0 1 × 26 = 64

Il valore del numero 1001001 è dato da 64 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 73.

1001001 (uno-zero-zero-uno-zero-zero-uno) è il numero 73 scritto in base 2.

20/12/13 14:27

Ampliare le conoscenze

Con la scrittura polinomiale:

1001001 = 1 × 20 + 0 × 21 + 0 × 22 + 1 × 23 + 0 × 24 + 0 × 25 + 1 × 26

Proviamo ora a fare l’esercizio inverso.

Vogliamo scrivere il numero 18 in base 2. Prepariamo uno schema nel quale sono indicati i valori delle diverse cifre: valore della cifra

32

16

8

4

2

1

c ifra

•

•

•

•

•

•

Cerchiamo la massima potenza del 2 che non superi 18: essa è 16. Nel nostro schema scriviamo quindi la cifra 1 nella posizione del 16: essa varrà appunto 16.

16

1

8

4

2

1

•

•

•

•

16

1

8

4

2

1

0

0

1

0

Poiché 18 − 16 = 2, abbiamo ancora 2 unità: baste­rà scrivere la cifra 1 nella posizione del 2 e poi scrivere 0 nelle altre posizioni rimaste libere.

Dunque 18 in base 2 si scrive 10010 e si legge «uno-zero-zero-uno-zero».

Proviamo ancora. Vogliamo scrivere in base 2 il numero 27. Costruiamo il solito schema. La massima potenza del 2 che non supera 27 è ancora 16. Scriviamo perciò la cifra 1 nella posizione del 16: 16

1

8

4

2

1

•

•

•

•

A questo punto le cose sono un po’ più complicate, infatti 27 − 16 = 11 e quindi abbiamo ancora 11 unità da sistemare. Ripetiamo il ragionamento. Qual è la massima potenza del 2 che non supera 11? È 8. Scriviamo perciò la cifra 1 nella posizione dell’8: 16

1

8

4

2

1

1

•

•

•

16

1

8

4

2

1

1

•

1

1

Il numero 27 scritto in binario è dunque 11 011.

5 Le potenze

Abbiamo così sistemato 24 unità (16 + 8). Rimangono ancora 3 unità da sistemare.

La massima potenza del 2 che non supera 3 è 2, perciò scriviamo la cifra 1 nella posizione del 2.

3 − 2 = 1, quindi rimane l’ultima unità; basta scrivere la cifra 1 nella posizione delle unità e 0 nella posizione rimasta libera:

205

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 205

20/12/13 14:27

Laboratorio delle competenze Impariamo a usare la calcolatrice

che cosa ti ser ve

✓ carta ✓ penna ✓ comune c alcolatrice sc ie

ntifica

Che cosa devi fare Calcolare una potenza può richiedere calcoli lunghi e complessi. La calcolatrice può essere di grande aiuto, soprattutto se la sai usare bene.

Vediamo qualche esempio. Per calcolare 317 puoi schiacciare in successione i tasti 3

3

×

=

e trovi 9: hai così calcolato 32. Se schiacci ancora ×

3

Se non commetti errori, otterrai 129 140 163.

Ora prova tu a calcolare le seguenti potenze: 98

( dopo aver trovato 81 devi schiacciare il tasto = altre 6 volte)

232

(dopo aver trovato 4 devi schiacciare il tasto = altre . . . . . volte)

711

( dopo aver trovato . . . . . devi schiacciare il tasto = altre . . . . . volte)

=

trovi 27, ovvero 33. Puoi continuare co­sì fino a calcolare 317. C’è però un modo più veloce di procedere.

Schiaccia i tasti 3

×

=

e ottieni 9. Il tasto × , dunque, ha l’effetto di moltiplicare un fattore per se stesso, anche se il secondo fattore non viene indicato.

Se ora schiacci di nuovo il tasto = , ottieni 27, ovvero il prodotto di 9 per 3.

Schiacciando di nuovo = ottieni 81 (27 × 3) e così via.

Dunque, il tasto = ha l’effetto di continuare a ripetere l’ultima operazione eseguita, nel nostro caso la moltiplicazione per 3 (ciò almeno è vero con le comuni calcolatrici scientifiche). In questo modo il calcolo di 317 è molto più rapido.

Continua tu e trova il risultato. In pratica, dopo aver calcolato il primo prodotto (9 = 32) devi schiacciare il tasto = altre 15 volte.

206

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 206

20/12/13 14:27

Rifletti e rispondi Dopo aver calcolato 711, leggi il numero e conta di quante cifre è composto. Prova ora a schiacciare di nuovo il tasto = : vedrai uno strano numero e una lettera «E» in alto a sinistra. La «E» sta per «errore» e indica che il numero cercato 712 è composto da più di 10 cifre e pertanto non può essere scritto sul display della calcolatrice che può contenere al massimo 10 cifre. (Anche in questo caso ciò è vero per la comune calcolatrice scientifica.)

Per tutti i numeri puoi trovare come massima potenza quella che ha esponente 11? Evidentemente no, visto che hai calcolato 232.

Rispondi alle domande.

1. Qual è la massima potenza del 3 che puoi trovare con la calcolatrice? Scrivine anche il valore.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. E quella del 6?

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. E del 13?

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. E del 10? Dovresti essere in grado di dirlo senza usare la calcolatrice!

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Facciamo ora un’altra riflessione.

Poiché il tasto = ha l’effetto di ripetere l’ultima operazione eseguita, si può utilizzare anche per altre operazioni, ad esempio per l’addizione.

Se vuoi addizionare 30 volte il numero 25 al numero 12, ti basta schiacciare i tasti 1 2 + 2 5 = per calcolare la somma 12 + 25 (37) e poi schiacciare il tasto = ancora per 29 volte. Prova. Se non commetti errori, otterrai 762.

In realtà, puoi eseguire facilmente questo calcolo senza calcolatrice: ti basta fare due operazioni, una moltiplicazione e un’addizione.

5. Prova tu a scriverle. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Con i tuoi compagni prova a eseguire altre operazioni, utilizzando i tasti della calcolatrice così come hai imparato.

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 207

5 Le potenze

207

20/12/13 14:27

Maths in English

Powers of numbers WHAT ARE POWERS OF NUMBERS?

A quick way of writing 2 × 2 × 2 × 2 is 24.

We call 24 «index form».

I write…

I say…

I mean…

2

«2 to the power of 4»

24 indicates the fourth power of 2

32

«3 squared»

32 indicates the second power of 3

53

«5 cubed»

53 indicates the third power of 5

4

HOW TO DESCRIBE POWERS OF NUMBERS Consider 24.

■ 2 is the base.

The base indicates the number you multiply by itself.

■ 4 is the index or exponent.

The index 4 indicates the number of twos you multiply together. index (or exponent)

24 = 16

base value

WHAT IS A SQUARE ROOT? The square root of a number is the number you multiply by itself to obtain the original number. For example, the square root of 25 is 5.

I write…

I say…

I mean…

√ 25 = 5

«The square root of 25 is 5»

5 squared is 25

HOW TO DESCRIBE A SQUARE ROOT square

√ 25 = 5, because 52 = 25

5

25

square root square

208

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 208

square root

20/12/13 14:27

Let’s practice!

1. Write the multiplications in index form, then find the value. a. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . b. 1 × 1 × 1 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . c. 8 × 8 × 8 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . d. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . .

2. Write the operations in index form, then find the value. a. the square of 4 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . b. the cube of 5 = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . c. 7 squared = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . d. 2 cubed = . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . .

3. Complete. a. √ 49 = . . . . . . . . . . . . .

because . . . . . . . . . . . . .

b. √ 144 = . . . . . . . . . . . . .

because . . . . . . . . . . . . .

c. √ . . . . = 7

because . . . . . . . . . . . . .

d. √ .... = .............

because 92 = 81

base: base by itself: per se stesso call: chiamiamo complete: completa consider: considera cubed: al cubo, alla terza exponent: esponente find: trova

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 209

index form: forma esponenziale index: esponente indicates: indica mean: intendo dire multiplications: moltiplicazioni of twos: di due

operations: operazioni power of...: potenza di... powers of numbers: potenze quick way: modo veloce say: pronuncio square root: radice quadrata squared: al quadrato, alla seconda

then: poi to obtain: per ottenere to the power of: elevato alla value: risultato

5 Le potenze

My glossary

209

20/12/13 14:27

sul Quaderno 1 pp. 20-23 e su www.imparosulweb.eu

capitolo

5 ESERCIZI Le potenze

Consolidare le conoscenze

1

Considera la potenza 34 e rispondi alle seguenti domande.

a. Quale numero è la base? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. Quale numero è l’esponente? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. Come si legge 34? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. Quale tra i seguenti numeri è il risultato della potenza?

12

2

81

7

p teoria pp. 190-205

4

Scrivi sotto forma di potenza.

a. tre alla settima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. nove alla seconda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. uno alla quinta .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. quattro alla terza .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . f. 5 × 5 × 5 × 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . g. 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 × 6 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Collega le potenze a sinistra con le «letture» corrispondenti.

h. 7 × 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ATTENZIONE Una potenza può avere due collegamenti o può non averne alcuno.

5

i. 8 × 8 × 8 × 8 × 8 .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a. 23

A. dieci alla quarta

b. 42

B. tre al quadrato

Di fianco a ciascuna delle seguenti

uguaglianze metti una crocetta su V se la ritieni vera o su F se la ritieni falsa.

c. 32

C. uno alla terza

a. 24 = 8

V F

d. 105

D. due al cubo

4

b. 4 = 2

V F

e. 510

E. quattro alla seconda

c. 50 = 0

V F

f. 13

F. due alla terza

d. 73 = 21

V F

e. 33 = 27

V F

f. 61 = 6

V F

g. 25 = 200 000

V F

h. 80 = 1

V F V F

2

g. 31

3

Collega ciascuna potenza con il valore corrispondente.

a. 2

A. 1

i. 07 = 7

b. 4

B. 100

c. 15

C. 8

d. 102

D. 16

6

e. 71

E. 7

f. 34

F. 36

g. 62

G. 64

h. 26

H. 81

3 2

Le frasi che seguono esprimono alcune

proprietà delle potenze. Completale in modo opportuno. a. Il prodotto di due potenze che hanno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. b. Il . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha

210 Livelli di difficoltà:

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 210

semplice

medio

complesso

Verifica delle sole conoscenze teoriche:

(senza livello)

20/12/13 14:27

c. Il prodotto di due potenze che hanno lo stesso esponente è una potenza che ha per base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . delle basi e per esponente lo stesso esponente. d. Il quoziente di due potenze che hanno la stessa base è una potenza che ha per base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e per esponente la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . degli esponenti.

7

Completa la frase nel modo corretto.

L’ordine di grandezza di un numero è: a.

la potenza del 10 a cui il numero si avvicina di più il numero stesso scritto sotto forma di potenza

b. c.

il numero stesso scritto come prodotto di un numero e di una potenza del 10

12

Scrivi sui puntini i termini mancanti.

Completa la frase in modo che esprima correttamente una delle proprietà delle potenze.

...............

La potenza di una potenza è:

......................

13

...............

3

8 =2

5

32

......................

a.

una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti

b.

una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

La

c.

una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

a.

un numero che moltiplicato per se stesso dà 32

b.

un numero che moltiplicato per 5 dà 32

c.

un numero che moltiplicato per se stesso 5 volte dà 32

8

Completa le uguaglianze aggiungendo il numero opportuno di zeri.

a. 104 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

d. 100 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

b. 10 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

e. 10 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

c. 106 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

f. 102 = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

9

3

8 =2 Completa la frase in modo corretto.

5

32 è:

d. un numero che elevato alla quinta dà 32

14

Di fianco a ciascuna delle seguenti

uguaglianze metti una crocetta su V se la ritieni vera o su F se la ritieni falsa. √ 4 = 2 perché. . .

9

Completa le uguaglianze aggiungendo l’esponente opportuno alla base 10. ...

a. 100 000 = 10 ...

b. 10 = 10

...

d. 1 = 10

e. 1 000 000 = 10 ...

...

...

c. 1000 = 10

f. 100 = 10

10

a. 2 × 2 = 4

V F

b. 22 = 4

V F

c. 2 + 2 = 4

V F

d. 4 : 2 = 2

V F

e. √ 4 × 2 = 4

V F

f. √ 4 : 2 = 4

V F

Indica quali delle seguenti sono notazioni scientifiche.

a.

3,05 × 10

b.

0,5 × 10

Nell’eseguire il primo passaggio delle

seguenti espressioni, in alcuni casi sono stati commessi degli errori. Individuali e correggili.

c.

6,214 × 10

a. 2 + 23 − 3 × 2 + 1 = 24 − 3 × 3

2

2

15

d. 1,8 × 104

b. 5 × 30 + 7 × 35 + 3 = 5 × 3 + 7 × 36

e.

7 × 10

c. 4 × 42 × 40 − 5 + 7 × 73 = 43 − 5 + 74

f.

32 × 10

3 5

d. 18 − 3 × 32 : 33 + 65 : 6 = 18 − 3 + 65 e. (53 : 52 + 6) − 104 : 104 = (5 + 6) − 1

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 211

5 Le potenze

11

ESERCIZI

per base il quoziente delle basi e per esponente ......................................

211

20/12/13 14:27

16

Di fianco a ciascuna delle seguenti frasi

metti una crocetta su V se la ritieni vera o su F se la ritieni falsa.

c. Sulle tavole numeriche si possono trovare radici quadrate e cubiche.

V F

d. Dato un numero qualsiasi si può trovare il suo quadrato sulle tavole.

V F

a. Le tavole numeriche servono a calcolare le potenze.

V F

b. Le tavole numeriche servono a trovare le radici dei numeri.

e. Sulle tavole si può trovare il cubo di un numero non superiore a 1000.

V F

V F

f. Sulle tavole numeriche si possono trovare il quadrato, il cubo, la radice quadrata e la radice cubica del numero 100.

V F

Applicare conoscenze e acquisire abilità 1 Un giocatore incauto

p p. 190

2 Elevamento a potenza

p p. 192

1

Sapendo che la seguente tabella si riferisce

all’operazione di elevamento a potenza, scrivi sui puntini se i numeri della prima riga e della prima colonna indicano la base o l’esponente.

1

2

3

4

1

1

2

3

4

2

1

4

9

16

3

1

8

27

64

4

1

16

81

256

2

...............

...............

2

5

5

4

potenza moltiplicazione valore corrispondente

c. 72

e. 55

b. 05

d. 38

f. 64

4

Trasforma le seguenti potenze in serie di moltiplicazioni.

a. 25

c. 17

e. 83

b. 104

d. 42

f. 09

esempio 3 × 3 × 3 × 3 = 34 5

2

6×6×6 125

a. 12 × 12 × 12

c. 1 × 1 × 1 × 1 × 1

b. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

d. 9 × 9

6

34 10 000 7×7×7×7

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 212

a. 13

Scrivi le seguenti operazioni sotto forma di potenze.

6

2

24 = 2 × 2 × 2 × 2

5-8

Completa la tabella.

base esponente

212

Trasforma le seguenti potenze in serie di moltiplicazioni.

esempio

3

64

a. 4 × 4 × 4 × 4 × 4

d. 0 × 0 × 0 × 0 × 0 × 0

b. 8 × 8

e. 10 × 10 ×10

c. 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 f. 7 × 7 × 7 × 7

20/12/13 14:27

a. 25 × 25 × 25

c. 77 × 77

b. 33 × 33 × 33 × 33

d. 11 × 11 × 11 × 11

Scrivi il valore delle potenze dei seguenti esercizi.

esempio

8

23 = 8

a. 3,7 × 3,7 × 3,7× 3,7 × 3,7

12

b. 0,5 × 0,5 × 0,5

a. 52

d. 34

g. 31

j. 94

b. 42

e. 122

h. 53

k. 44

e. 54,6 × 54,6 × 54,6 × 54,6 × 54,6

c. 62

f. 63

i. 35

l. 104

f. 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5 × 1,5

13 a. 73

d. 43

g. 15

j. 27

b. 24

e. 25

h. 54

k. 33

c. 82

f. 81

i. 202

l. 106

c. 123,4 × 123,4 d. 7,89 × 7,89 × 7,89 × 7,89

3 Quadrati e cubi

p p. 192

9-11

Completa le seguenti tabelle.

14

9 base

2

esponente

5

valore della potenza

3

5

7

5

49

4 27

16

10 base

4

esponente

3

valore della potenza

5 25

10 100

9

7

3

a. 2,13

d. 6,82

b. 0,52

e. 4,44 f. 1,22

128

16

quattro al cubo

Scrivi sotto forma di potenze.

valore della potenza

esempio

64

a. 22 elevato alla terza

15 elevato alla seconda = 152

b. 45 elevato alla sesta c. 17 elevato al cubo

27

d. 156 elevato alla dodicesima

17

Scrivi sotto forma di potenze.

72

a. 55 elevato alla sesta

93 4 5

15

9

dieci alla sesta 2

d. 2,23

c. 3,24

54 7

b. 7,62

81 65 uno alla quattordicesima

b. 32 elevato alla quarta c. 16 elevato alla seconda d. 752 elevato alla terza

5 Le potenze

5

43

c. 1,44

7

base esponente potenza lettura

3

a. 9,53

2

11

4

ESERCIZI

12-15

7

e. 544 elevato al quadrato

213

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 213

20/12/13 14:28

54 =  5 4 =

4 Le potenze nelle espressioni

p p. 193

5 Proprietà delle potenze

p p. 194

18-20

Alcuni calcoli sono sbagliati.

Individuali e correggili.

18 a.

5 = 125

h.

2 = 6

b.

5 3 = 15

i.

1 6 = 6

c.

3 4 = 64

j.

6 2 = 12

d. 2 = 128

k.

3 = 7

e.

1 3 = 1

l.

2 7 = 49

f.

7 1 = 7

m.

2 9 = 18

g.

2 8 = 64

n.

3 10 = 1000

3

8

3

4

a.

2 = 8

i.

3 = 9

b.

3 4 = 12

j.

2 6 = 12

c.

4 5 = 20

k.

5 2 = 32

d. 34 = 81

l.

4 4 = 16

e.

2 9 = 81

m.

8 1 = 8

f.

5 = 25

n.

2 = 16

g.

1 7 = 7

o.

12 1 = 1

h. 19 = 9

p.

1 1 = 1

3

2

3

4

20

214

82 = ....................  potenze, P er ciascuna coppia di calcola 2 8 = .......... . ......... il valore e verifica che i risultati siano diversi.

544 a. 5 5 44 5 822

b. 8 2288

= = .................... .................... = = .................. .................... .... = = = =

 7 c. 2 = 72 =

.......... .......... .. ......... .........

2277 = ....................  2 = ....................

2 77 = = ........................ ................

Calcola il valore delle potenze e confronta

i risultati.

23

{

24 = 42 =

.................... ................... ..

Il fatto che siano uguali significa che l’elevamento a potenza gode della proprietà commutativa?

24

Giustifica con un disegno il fatto che 32 si legga «tre al quadrato».

a. Quale figura devi disegnare? b. Da quanti quadratini sarà formata?

25

Rispondi alle seguenti domande.

a. Quale figura disegneresti per giustificare il fatto che 33 si legge «tre al cubo»? b. Da quanti cubetti, aventi lo spigolo di 1 u, sarebbe costituita la figura e che cosa rappresenterebbe questo numero?

26-28

Scrivi in simboli matematici e calcola.

2 2,5 = 625

d.

3 0,5 = 0,125

b.

3 1,2 = 1,728

e.

2 8,8 = 7,744

26

c.

2 3,2 = 10,24

f.

2 7,6 = 57,76

a. Moltiplica per 4 il cubo di 3.

P er ciascuna coppia di potenze, calcola il valore e verifica che i risultati siano diversi.  25 = ....................  34 = .................... c.  3 a.  2  5 = ....................  4 = ....................

 13 = .................... b.  1  3 = ....................

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 214

.................... ... . ................

.................... ....................

a.

21

................... ..

22

19

....................

[108]

b. Sottrai dal quadrato di 8 il quadrato di 5.

[39]

c. Aggiungi il cubo di 5 al prodotto di 2 per il quadrato di 6.

[197]

d. Sottrai dal cubo di 10 il quadrato di 12 e poi dividi la differenza ottenuta per il quadrato di 2.

[214]

e. Dividi per 10 la differenza tra il quadrato di 90 e il cubo di 20 moltiplicando poi il quoziente ottenuto per il cubo di 4.

[640]

20/12/13 14:28

a. Aggiungi al quadrato di 7 il cubo di 3.

[76]

b. Moltiplica 2 alla quarta per 5 e sottrai il quoziente tra 4 alla terza e 2 al quadrato.

[64]

c. Raddoppia il cubo di 3 e sottrai il prodotto tra 2 alla quarta e 3.

[6]

d. Dividi per 3 alla quinta il prodotto di 9 per 3 alla quarta e aggiungi il cubo di 2.

[11]

e. Sottrai al quadrato di 7 la somma tra il quadrato di 3 e il cubo di 2.

[32]

13 + 5 × 23 - 52 × 2 + 7

[10]

35 63 : 32 - 3 × 23 + 53 : 25 × 2

[10]

36 3 × 2 + 24 - 2 × 22 + 62 : 32 - 42

[2]

37 75 : 52 + 16 × 3 - 72 + 82 : 16

[6]

28

38

a. Eleva 5 alla terza e sottrai al risultato il triplo di 5.

72 + 33 - 52 + 2 × 7 - 10 + 24 - 33 + 23 [110]

b. Moltiplica per 2 il risultato di 7 alla seconda e sottrai il cubo di 3.

[71]

c. Eleva 10 alla seconda e sottrai al risultato 2 alla quinta.

[68]

d. Moltiplica per 5 il risultato di 6 alla seconda e sottrai il quadrato di 10.

[80]

e. Sottrai a 2 elevato alla sesta il valore di 4 alla terza.

18 - (5 + 42 : 2) + (42 + 22) : 10

[7]

40 (32 + 62 : 3) : 7 - (52 × 3 - 72 - 6) : 10

[1]

41 [1]

42 [24]

43

Risolvi le seguenti espressioni.

23 × 5 + 72 - (32 + 23) - 3 × 22 × 5

29

[12]

44

esercizio guidato

43 - (34 - 5 × 23) + (5 × 32 : 5)

3 + 2 - 3 × 2 =

[32]

2

45

= 9 + .... - 3 × .... =

102 × 2 : 52 - (43 - 26) + 62 : 22

(5 + 22) - 25 : 22 - (33 - 23) × 3 - 24

30 [28]

[9]

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 215

(62 - 33) : 32 + (25 - 22) : 3 + (42 - 7) : 3

[11]

133 - (92 - 33) + (82 - 2 × 8) : 23

[85]

49 [58]

33 26 : 23 × 3 + 23 × 32 : 12 - 52

[0]

48

32 42 + 33 - 20 + 7 × 5

47

31 5 × 22 + 32 × 33 : 34 - 14

[17]

46

= 9 + . . . . - . . . . = 5

42 + 15 : 5 + 32 × 22 - 3 × 32

(102 - 92) × 2 - (72 - 33) : (62 - 52)

[36]

50 [5]

[(62 - 42) × 2] : (7 + 23 : 8) + 15

[6]

5 Le potenze

3

39

43 - 2 × (62 - 42)

29-88 2

[52]

72 : 7 : (3 × 24 - 25 - 3 × 22 + 12 : 22) [0]

ESERCIZI

34

27

215

20/12/13 14:28

51

60

[5 + (2 - 3 × 10)] : 3 + 2 2

5

2

[5]

52

[1]

61

155 - [5 - (2 × 4 + 3 ) + 3 × 5 ] 3

2

3

[14]

2

53

[(22 × 52 - 22 × 5) : 23 + 72 : 7 + 3] : [(33 - 23) - 3]

[2]

62

2 × [(11 + 2 - 2 ) × 3 + 5 × 6 - 13 ] - 12 × 3 [304]

{53 - [(34 - 42) : (33 - 52 + 3)] - 20 × 5} : 22

54

63

3

3

4

3

2

2

2

(2 + 7) : (5 + 2) + (11 - 5) : (15 : 5 + 3) 2

2

3

2

[9]

55

[3]

{[52 × 2 + 7 - (32 × 5 + 33)] × 3 + (32 × 7 - 24 × 3) : 5} : 22 - 3

[0] 64

62 + 2 × 51 - [92 - (42 × 2 + 52)] + 72

[71]

56 2 + [23 × 53 - (23 × 102 + 54 : 53) + 5] : 102 - 4

[0]

esercizio guidato Quando c'è un esponente fuori da una parentesi, si deve prima risolvere il calcolo in parentesi (4 + 25) : 62 + (33 - 52)2 : 2 =

57 [(72 × 2 + 64 : 25) : (53 × 2 - 102 × 2)] : 2 + 2

[3]

58 [12 - (15 : 5 + 7 × 2 ) - 2 ] : 5 + 6 2

2

3

3

1

2

[43]

59 [33 × 5 + 25 × 6 - (102 - 11 × 3)] - 22 × 82 + 52

216

[(53 - 3 × 5) : (82 - 33 - 1 - 52)] - 9

[29]

= (4 + 32) : ...... + ( ...... - ......)2 : 2 = = 36 : ...... + 22 : 2 =

= 36 : ...... + ...... : 2 = = ...... + ...... = 3

65

[(32 - 22)2 + (52 - 42)2] : (92 - 7 × 22)

[2]

66

32 × 24 - 19 - 4 × [2 × 52 - 75 : (74 : 7)]5 - 113 : (115 : 114)

[0]

67

[(3 + 23)2 + (52 - 24)] : [53 - 15 × 22]

[2]

68

[11 + (42)2 - (23 × 52 + 82)]2 : [(52 - 11 × 2)]2

[1]

69

23 × [(2 × 3 - 1)2 - 3 × (2 × 32 - 3 × 5 - 1)3]5

[8]

70

{[(51 + 42 : 4) × 6 + 6] : [(72 + 92 - 10) : (3 × 22)]} : 3

[2]

71

{42 × 3 : [52 - 22 (5 × 3 - 22 × 3 - 1)3 : 25 - 24] : 2}3 : 32

[3]

72

[(7 + 11 - 9)2 - 90 : 3] : (42 + 1) + 2 × 32

73

[53 - (42 + 2 × 3) × 5] : (34 - 6 × 11)

[1]

74

5 + {7 - [(23 × 22 + 52 - 33) : 3]2} : 33 - 32

[5]

75

[(3 × 23) : (22 + 2) + 3]2 : (1 + 63 : 36)

[7]

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 216

[21]

20/12/13 14:28

52 × 32 : 15 - [(7 - 22)2 + 4] + 53 : [(72 - 24 : 22) : 32]2

[7]

77

5 + [(2 + 42 × 32 : 12) + 52 + 1] : 23 - 2

[8]

78

[(3 × 4)2 : (3 × 2)2 + 113 : 121]2 : (72 - 32 - 52)

79

22 × {102 - 5 × 23 - 3 × [33 - 122 : 6 + 7 × 5 - (3 × 22 + 2)]} - 22 × 33 - 23

80

{62 + [(33 - 7) : 22 + 42 - 24] - 1} : 5 + [34 : (34 - 26)]

[10]

81

{3 × (4 + 1) - [62 - (33 + 3) + 2] : 4} : (22 × 7 - 3 × 5)

[1]

82

22 + 2 × {[(52 + 22 - 1) : (24 - 2) + 1]4 : (22 + 23 + 24 - 19) + 115}

[24]

83

(22 × 3 - 32)3 + {52 - (22 × 5 + 1) + 52 - [25 - 22 × (33 - 52)]}

[32]

84

[(83 - 22 × 102) : 28]3 - {[(62 : 18 + 5 × 22)2 : (23 × 3 - 2) - 22 × 3] - 6}2

[48]

85

{[23 + 3 - (72 - 24 × 3)] : 10} + [(102 - 82) : 18] × 2

86

[(23 × 32 - 6 × 7) : 10 + 7] + {9 - [72 - (23 - 3)2] : 3}2

[11]

87

[(22 × 3)3 : 33 + 22] : 17 + {[(34 - 32) : 32 + (22 + 3)] : 3 - (36 : 35)}4

[20]

88

{[(62 - 7 × 5) × 2 : (41 × 2 - 92)]3 × (35 × 3 - 102)} : [(1 + 22)2 : 5]

[8]

[15]

[4]

ESERCIZI

76

[5]

89-98

Risolvi le espressioni con numeri decimali dei seguenti esercizi.

89

1,52 + 2,5 × 3 - 0,52

[9,5]

90

23 - 2,22 - 3 × 0,52

[2,41]

91

14 - 0,43 + 1,43 + 4,12

92

(23 × 32 - 25 × 2 + 0,22 × 3) × 0,32

93

112 - 4 - (0,5 × 3)2 + (0,8 : 0,2)2 + 0,52 + (32 × 2 - 17,8)2 + 0,48 × 2

94

1,12 + (3,52 - 2,52)2 - 6,12

[0]

95

[4 × 2,52 - (4,52 - 3,52) + 22 - 17] : (2,51 × 21)

[4]

96

(3,22 + 23 - 1,22) × (1,52 - 1,25) - 5,8

97

1 + [1,52 - (0,24 × 23 + 0,73 × 3 -1,12 × 0,9) : 22] : 0,2 + 0,54

98

[(3,62 - 1,62) : 2] + (3,12 - 2,12)

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 217

[20,49] [0,828]

[11] [9,649] [10,4]

5 Le potenze

[132]

217

20/12/13 14:28

99

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del prodotto di potenze con uguale base e correggi.

104 a. 1,34 × 1,37

f. 5,78 × 5,7 × 5,72

b. 0,65 × 0,63

g. 4,44 × 4,46 × 4,40

a.

5 2 7 3 × 3 = 3

e.

12 3 15 9 × 9 = 9

c. 2,78 × 2,72

h. 0,089 × 0,086 × 0,08

b.

2 3 4 × 4 = 4

f.

3 10 13 6 × 6 = 6

d. 7,15 × 7,1

i. 3,99 × 3,91 × 3,94

c.

7 3 21 2 × 2 = 2

g.

5 5 10 8 × 8 = 8

e. 32,34 × 32,35

j. 6,53 × 6,56 × 6,52

d. 54 × 5 = 54

h. 34 × 34 = 316

100

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del prodotto di potenze con uguale base e correggi.

105

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del quoziente di potenze con uguale base e correggi. a.

7 5 2 12 : 12 = 12

d. 39 : 39 = 30

a.

3 2 4 9 2 × 2 × 2 = 2

e.

4 5 9 6 × 6 × 6 = 6

b.

8 7 2 : 2 = 2

e.

8 4 2 4 : 4 = 4

b.

5 5 5 × 5 = 5

f.

3 7 11 4 × 4 × 4 = 4

c.

3 3 3 5 : 5 = 5

f.

12 1 12 10 : 10 = 10

c.

2 7 3 42 3 × 3 × 3 = 3 g.

d. 1 × 10 = 1

h.

4 2 8 8 × 8 = 8 7 0 6 13 32 × 32 × 32 × 32 = 32

101-104

Applica la proprietà del prodotto di potenze con uguale base.

106

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del quoziente di potenze con uguale base e correggi. a.

6 3 2 7 : 7 = 7

d. 69 : 65 = 64

b.

4 4 0 8 : 8 = 8

e.

4 3 17 : 17 = 17

c.

9 3 3 25 : 25 = 25

f.

7 3 2 2 6 : 6 : 6 = 6

esempio 14 × 19 = 14 + 9 = 113

107-110

101

Applica la proprietà del quoziente di potenze con uguale base.

a. 83 × 820

d. 43 × 45

b. 28 × 28

e. 59 × 56

esempio

c. 137 × 13

f. 15 × 12

156 : 154 = 156 − 4 = 152 107

102 a. 75 × 72

d. 83 × 82

a. 54 : 53

d. 218 : 210

b. 90 × 94 × 95

e. 67 × 66 × 60

b. 34 : 3

e. 1120 : 1117

c. 32 × 37

f. 103 × 102 × 10

c. 79 : 79

f. 38 : 37

108

103 a. 3,33 × 3,33

f. 5,10 × 5,15

a. 87 : 85

f. 78 : 73

b. 11,14 × 11,16

g. 4,412 × 4,4112

b. 55 : 54

g. 43 : 4

c. 7,71 × 7,77

h. 0,85 × 0,84

c. 1210 : 127

h. 139 : 138

d. 2,33 × 2,33 × 2,33

i. 3,20 × 3,28

d. 66 : 62

i. 95 : 95

e. 6,72 × 6,710 × 6,75

j. 0,33 × 0,31 × 0,311

e. 315 : 310 : 312

j. 106 : 100 : 103

218

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 218

20/12/13 14:28

a. 6,67 : 6,66

f. 3,559 : 3,556

a. 123 × 53

f. 67 × 47 × 27

b. 12,64 : 12,61

g. 0,711 : 0,77

b. 65 × 35

g. 34 × 04 × 54

c. 4,955 : 4,948

h. 1,878 : 1,874

c. 72 × 62

h. 82 × 12 × 52

d. 5,3312 : 5,335 : 5,335

i. 30,845 : 30,840 : 30,84

d. 28 × 48 × 98

i. 29 × 49 × 79

e. 6,313 : 6,37 : 6,36

j. 2,55 : 2,53 : 2,52

e. 106 × 26 × 56 115

110 a. 2,26 : 2,24

d. 1,47 : 1,43

a. 0,57 × 27

d. 3,412 × 1,512

b. 0,65 : 0,65

e. 3,68 : 3,64

b. 15,75 × 35

e. 2,68 × 5,68

c. 5,98 : 5,94 : 5,9

f. 4,26 : 4,20 : 4,22

c. 9,217 × 0,5517

f. 11,97 × 17

116

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del prodotto di potenze con uguale esponente e correggi.

a. 322 × 12,422

d. 113 × 0,2213

b. 2,25 × 1,55

e. 4,412 × 2,512

c. 1,217 × 4,517

f. 3,59 × 0,29

a.

5 5 5 4 × 2 = 6

e.

7 7 7 2 × 2 = 4

b.

3 3 3 6 × 4 = 24

f.

2 2 2 5 × 8 = 13

117

c.

9 9 9 1 × 12 = 12

g.

6 6 6 3 × 2 = 6

a. 1,25 × 0,45 × 35

d. 6,34 × 54 × 0,24

b. 72 × 0,52 × 2,22

e. 3,78 × 2,28 × 1,58

c. 4,83 × 0,53 × 1,43

f. 76 × 0,86 × 4,56

d. 25 × 25 = 225

h. 72 × 22 = 144

112

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del prodotto di potenze con uguale esponente e correggi.

118

a.

3 3 3 3 × 2 = 5

e.

4 4 8 6 × 3 = 18

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del quoziente di potenze con uguale esponente e correggi.

b.

2 2 2 7 × 3 = 21

f.

5 5 5 8 × 3 = 11

a.

5 5 5 10 : 2 = 5

e.

3 3 12 : 4 = 3

c.

2 2 4 4 × 6 = 24

g.

3 3 3 11 × 4 = 44

b.

2 2 2 4 : 4 = 1

f.

3 3 3 8 : 4 = 2

c.

4 4 5 : 5 = 1

g.

3 3 3 24 : 6 = 4

d. 37 × 27 × 47 = 247 h. 55 × 25 × 35 = 3015

d. 32 : 32 = 3

113-117

Applica la proprietà del prodotto di potenze con uguale esponente.

esempio 3 × 5 = (3 × 5) = 15 6

6

6

6

113

h. 93 : 33 = 63

119

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà del quoziente di potenze con uguale esponente e correggi. a.

2 2 0 50 : 10 = 5

f.

9 9 9 30 : 15 = 2

b.

3 3 3 8 : 2 = 4

g.

5 5 5 5 81 : 9 : 3 = 2

c.

6 6 12 27 : 9 = 3

h. 304 : 54 : 34 = 24

a. 122 × 22

d. 34 × 34

d. 567 : 77 = 77

b. 13 × 53

e. 29 × 09

e.

c. 28 × 48

f. 53 × 23

4 4 0 51 : 17 = 3

i.

7 7 7 7 48 : 6 : 4 = 4

5 Le potenze

111

ESERCIZI

114

109

219

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 219

20/12/13 14:28

120-123

126-129

esempio

esempio

272 : 92 = (27 : 9)2 = 32

(62)7 = 62 × 7 = 614

120

126

Applica la proprietà del quoziente di potenze con uguale esponente.

Applica la proprietà della potenza di una potenza.

a. 323 : 23

d. 164 : 44

a. (22)4

c. (125)3

b. 207 : 57

e. 102 : 102

b. (43)3

d. (35)4

c. 185 : 25

f. 363 : 93

127

121

a. (1212)2

e. (714)3

a. 322 : 82

f. 546 : 96

b. (353)5

f. (16)8

b. 905 : 185

g. 815 : 275 : 35

c. (44)4

g. (67)2

c. 354 : 54

h. 6410 : 210 : 410

d. (811)8

h. (95)5

d. 607 : 307

i. 569 : 29 : 79

128

e. 75 : 25

a. [(93)2]4

d. [(49)2]5

122

b. [(54)6]2

e. {[(112)6]3}2 f. {[(62)3]4}5

3

3

a. 5,67 : 0,87

d. 22,52 : 2,52

c. [(23)4]5

b. 35,84 : 0,24

e. 12,13 : 1,13

129

c. 43,5 : 0,5

f. 276,3 : 9

a. [(1,52)3]4

d. [(8,52)5]1

b. [(4,41)2]2

e. [(3,34)0]3

c. [(2,23)1]2

f. [(5,23)2]5

6

6

5

5

123 a. 7,711 : 711

d. 21,65 : 65

b. 16,419 : 519

e. 14,433 : 1,233

c. 6,4 : 8

f. 37,5 : 2,5

6

6

7

130

7

124

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà della potenza di una potenza e correggi. a.

3 2 5 (2 ) = 2

d. (42)5 = 410

b.

(3 ) = 3

e.

(2 ) = 10

c.

2 3 6 (7 ) = 7

f.

4 4 16 (5 ) = 5

2 2

2

5 2

Poni al posto dei puntini il simbolo corretto, scegliendolo tra >, < , =.

2

a. 23 × 22 . . . . . 25

f. 22 + 32 . . . . . 52

b. 25 : 22 . . . . . 24

g. 23 - 23 . . . . . 13

c. (25)2 . . . . . 27

h. 23 × 43 . . . . . 63

d. 62 : 32 . . . . . 22

i. 42 + 32 . . . . . 52

e. 43 - 33 . . . . . 13

j. (32)2 . . . . . 34

131

Scrivi l’esponente mancante al posto dei puntini.

125

Individua i casi in cui non è stata applicata

correttamente la proprietà della potenza di una potenza e correggi.

220

...

g. 118 : 11 = 11

...

h. 814 : 8 : 82 = 87

a. 23 × 2 = 210 b. 43 × 4 × 42 = 411 ...

c. 7 × 72 × 77 = 714 ...

...

...

...

i. 127 : 123 : 12 = 120 ...

a.

5 2 7 (6 ) = 6

d. (114)4 = 118

d. 9 × 99 × 93 × 98 = 920 j. 611 : 6 : 6 : 62 = 62

b.

3 6 18 (4 ) = 4

e.

2 7 14 (7 ) = 7

e. 52 × 5 × 53 = 56

c.

2 4 6 (9 ) = 9

f.

0 3 0 (10 ) = 10

f. 3 : 34 = 35

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 220

...

...

...

k. 28 × 38 : 6 = 62 ...

l. 362 : 9 × 32 = 122

20/12/13 14:28

Risolvi applicando le opportune proprietà delle potenze, quando possibile.

esempio 2 × 2 = 2 = 32 23 + 22 = 8 + 4 = 12 3

2

5

a. 12 + 12 2

d. 9 × 9

2

b. 125 : 123

e. 3 × 32 × 30

c. 92 - 9

f. 2 + 23 + 24

a. (512 × 524) : (58 × 53 × 510)

[515]

b. [(6 × 62)4]3 : [(68 : 66)2]9

[60]

c. [106 × (105 : 10)]2 : [1013 : (102 × 103)2]6

[102]

d. {4 : [(4 × 4 × 4) : 4 ]} : (4 × 4 × 4 )

[4 ]

e. {[(3 × 3 × 3) ] : [(3 : 3 ) ] } × [(3 ) ]

[3 ]

2

5

4

3

3 3

4

16

7

9 2 6 2

e. 104

b. 107

f. 1010

c. 103

g. 108

d. 1011

h. 1012

133

30

a. 105

137

Risolvi, applicando le opportune proprietà, e scrivi il risultato sotto forma di un’unica potenza.

Calcola il valore delle seguenti potenze del 10.

17

3

2 4 3

36

f. [(205 : 203)4 : (203 : 20)3]2 : {[56 : (53 × 52)]2 × 52} [44] 6 Potenze particolari

p p. 196

7 Calcolo rapido ed espressioni

p p. 199

Scrivi i seguenti numeri utilizzando la scrittura polinomiale.

a. 5036

c. 741

b. 27 800

d. 131 226

138

Scrivi per esteso i seguenti numeri indicati in forma polinomiale.

a. 2 × 100 + 1 × 101 + 7 × 102 + 0 × 103 + 6 × 104 b. 0 × 100 + 9 × 101 + 4 × 102 c. 7 × 100 + 3 × 101 + 5 × 102 + 8 × 103 + 1 × 104 + 8 × 105

139

Nelle seguenti coppie di numeri scritti

in forma polinomiale stabilisci qual è il maggiore e scrivi sui puntini il segno > oppure il segno <. a. 9 × 100 + 8 × 101 + 9 × 102 . . . . . . . . . . . . . . . .

2 × 100 + 0 × 101 + 0 × 102 + 1 × 103

134

b. 2 × 100 + 3 × 101 + 0 × 102 + 5 × 103 . . . . . . . . . . . . . . . .

5 × 100 + 2 × 101 + 0 × 102 + 3 × 103

esempio

c. 0 × 100 + 0 × 101 + 2 × 102 . . . . . . . . . . . . . . . .

9 × 100 + 8 × 101 + 1 × 102

Scrivi i seguenti numeri sotto forma di potenze del 10.

100 = 102 a. 10 000 = . . . . . . . . . .

d. 10 000 000 = . . . . . . . . . .

b. 1000 = . . . . . . . . . .

e. 1 000 000 = . . . . . . . . . .

c. 100 000 = . . . . . . . . . .

f. 1 000 000 000 = . . . . . . . . . .

135

Dopo avere scritto i seguenti numeri sotto

forma di potenze del 10, prova a spiegare la regola che ti ha permesso di calcolare in maniera molto semplice il valore di queste potenze. a. 100 000 = . . . . . . . . . .

d. 1 = . . . . . . . . . .

b. 100 = . . . . . . . . . .

e. 1 000 000 000 = . . . . . . . . . .

c. 100 000 000 = . . . . . . . . . . f. 10 = . . . . . . . . . .

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 221

140

Esegui i calcoli indicati applicando le opportune proprietà delle potenze.

a. (108 × 105 × 10) : (103 × 108) b. (1011 × 109 : 108) × (104 : 103) c. (1012 : 108 × 102) : (103 × 100)2 d. (10 × 108 × 109)2 : (1022 : 104) e. (108 : 102 : 104) × (103 × 105) f. (107 : 103 × 104) × [(108 : 106) × 10]

5 Le potenze

136

ESERCIZI

132

221

20/12/13 14:28

141-199

Risolvi le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

142 (5 × 52 × 50)2 × 53 × 54 : 510 143

141

76 : 75 - 22 + 34 : 32 - 322 : 162 + 80

esercizio guidato

144

72 × 75 × 73 : 78 - 62 : 32 + (23)2 =

= 72 + . . . . . . + . . . . . . : 78 - . . . . . . 2 + 23 × . . . . . . = = 7 ...... - 8 - 4 + . . . . . . = = 49 - 4 + . . . . . . = 109

23 × 25 : 27 × 5 + 105 : 103 × 100 - 52 × 22

[9]

[10]

145 (83 × 82) : (86 : 82) + (47 : 43) : (4 × 42) − 65 : 64

[6]

146 (43)2 : 44 × 4 + (22 × 22)3 : 44

147 1 + 39 : (34 × 32) × (84 × 85 : 86) : (66 × 6 × 60 : 64)

[80] [65]

148 32 × 52 + 157 : 155 + 453 : 33 : 152 - 15 : 15

[464]

149 23 + (33 × 34) : 35 + (34 × 32) : 36 − 38 : 37 + 24 × 25 : 27

[19]

150 (25 : 22 × 23 - 42 × 4) × (53)2 + 57 : 54

[125]

151 (78 × 76 × 75)2 : (710 × 76 × 73)2 + (36 : 34 - 28 × 22 : 27 - 20)

[1]

152 [1 + 113 : 11 - (55 : 53) × 2] : [(24)2 : 25]

[9]

153 [( 54 : 53 + 72 − 10 ) : 22 + ( 3 × 22 + 32 − 4 2 )2 ] − ( 32 + 2 4 × 22 : 23 − 12 )

154 [(25 × 35) : 63 + 154 : (53 × 33)] : [(213 : 73) : 32]

[31] [17]

155 [73 : 7 - (25 × 5 + 25 : 24)] : [453 : 153 : 32]

[9]

156 [33 - 22 × (53 : 52) + (2 × 3)2 - (3 × 2)2] - [510 × 57 : 516 + (25 - 52) × 30 - 6]

[1]

157 [(504 : 24 : 54) : (253 : 53)] × [403 : 83 : 52 × (53)0] 158 [43 - 34 : (72 - 33 - 57 : 3)2 - 2 × 52]3 : [(32 + 3)2 : (32 × 22) +1]2 159 (3 + 4 - 22) : 3 + [(4 × 42 : 23 + 32 × 2) : 2 - 4 × 3 + 23 × 32 : 3 - 7 × 3]2 160 [(7 × 72)3]2 : [(78 : 76)3]3

222

[125]

[25] [5] [17] [1]

161 3 + 33 + 22 : [22 + 32 × 23 - (25 : 23)3 + 11 × 22 - 11 × (54 × 56 : 59)] - 310 : 38

[25]

162 [32 × 38 × 34 : (32)5 - 47 : 42 : 43] : [252 : 52 : 5]

[13]

163 [(57 : 55)2 × (54 : 53)3]3 : [(54 × 53) : 53]5

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 222

[5]

20/12/13 14:28

[3]

165 43 × 43 : [(44 + 43 + 42 + 41) : 4 - 34]5 + (202 : 52)2 - 43 - (54 × 52 : 55)3

[71]

166 [(55 : 53 + 1) : (23 + 45 : 32) + 1]2 × 2 - (75 : 73 - 40)

[9]

167 1 + [(2 × 23)4 : (27 : 25)4] : (22 × 2)2 + [(520)5 : (56 × 54)10] × (18 - 2 × 32) + 3 × 38 : (32)4

[8] [16]

169 [42 : 2 × 22 - 24 : 22 + (27 : 25)3 : 23 - 32 × 2] × [(3 × 2)2 : 62 + (25 × 26 : 29)2 : 8 - 3]

[0]

170 [(805 : 25 : 85) × (803 : 23 : 83)]2 : (1203 : 43 : 63)5

[5]

171 32 × 35 : [(55 : 52 - 24 - 1) : 62]4 - 23 × 5 : (52 × 3 - 52 - 46) + (78 × 76 × 75)2 : (710 × 76 × 73)2

[18]

172 [32 × 22 : (2 + 1)2 + 23 × 2 : (2 × 23 × 20 : 22) - 35 : 34] + 30 × 5

[10]

173 [124 : 122 - (120 : 12)2] - [11 + (114 : 114)] - (43 - 25)

[0]

174 {(43)2 × [418 : (40 × 45 × 48)]2}2 : {(43)4 : [4 × (48 : 45) × 42]}5

[16]

175 2 × 3 + {[(48 : 45) × 2 - (33 + 50)] : 102 + (32 × 42 - 13 × 22) : 22}

[30]

176 3 + {[12 + 22 + 32 × 3 + 28 - (24 + 33 + 42 + 30)] : 22 + 3} : (22 × 3) + (52 + 25 + 3) : (54 : 53)

[20]

177 {[62 + 7 × (25 : 23)] : (28 : 22)} + {102 - [82 + (67 : 65)]}

[1]

178 {[(53 - 43) : (43 - 3)]2 + 3} × (2 × 52 : 5) - [22 + 5 × (32 - 23) - 32]2 × (28 × 24 : 211) - 25

[8]

179 {[9 × (26 : 24) + (3 × 23 - 24)2] : [(32)2 - (32 × 23) + 1]} : (24 : 23)

[5]

180 22 + {[(87 : 85 + 58 : 56 - 32) : 42 + 50]2 - 2 × 22 : [32 + 2 - (27 : 25)2]2 - 24}2 : 32

[40]

181 {[27 : 24 + 5 × (32)2 - (54 : 5) × 3] : (3 + 24) + 5}2 - 3 × 24

[1]

182 25 - 28 : {(74 : 73) × [26 : (1 + 33 : 32)2 + 1] - (3 × 22) : 22}

[24]

183 22 × 52 + {[65 × 66 × 6 : (66 : 64)5]5 : [(63 × 6)2 : 66]3} : (152 : 52)2 - 34 + 36 × 35 : 311

[36]

184 25 : 22 + {[(143 : 73)2 × 24] : 25 + [(247 : 87)2 : 310 + 32]}

[130]

185 25 × 28 : 210 : {[(3 + 32 + 33) : (32 × 5 - 23 × 22) + 32]2 : (24 + 55 : 54 - 310 : 39)}

[1]

186 (115)0 - {[(112)3 : 114 × (115 : 115)]2 : [117 × 11 × 116 : (112)5]}

[0]

187 {32 × (33 - 3 × 6)2 × [(5 × 23 × 2 + 1) : (32)2]} : (183 : 23)

[1]

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 223

5 Le potenze

168 [20 : (165 : 164 : 4) + 3 × 42 : (47 : 46)2 - (22)4 : (23)2]2

ESERCIZI

164 {[(12 + 22 + 32 + 42 - 52)2 : 52]2}3 + [(3 × 2)2 : (22 × 3)]2 - 74 × 77 : 710

223

20/12/13 14:28

188 [(30 + 3 + 32 + 33) : (22 × 5) - 2]4 × {[(53 - 52)2 : 103 - 2]2 : 24 - 1}3 : (102 - 3 × 52)

[0]

189 353 : {242 : [193 : (32 × 2 + 1)2 + 5]2 + 2 × 17}3

[1]

190 2 × 23 + {2 + [(23)2 : (235 : 233)3 + 23]2 : (5 × 22 + 13 + 3 × 2)}2 : (23 - 3)

[21]

191 {[(34 × 44)2 : (122)3] - 22 × 52} - [(32)4 : 38 + (33 - 52)2]2 + (53)0

[20]

192 [(42 × 43)3 : 410]2 : [(47 × 43)2 : (47 × 43 × 48)] : (162 × 42 : 82 : 22)2

[256]

193 5 - {27 × [(52 - 32)2 : 25 + 23] : [23 - 3 × (26 - 22 × 32 - 50 - 5 × 32)]5}2 : 210

[1]

194 [(153 : 53 - 52) × (515 : 510 : 54)] + {(23)2 : 24 + [(63 : 33 - 26 : 24) × (33 : 32 - 2)]}

[18]

195 {[26 : 23 + 5 × 34 - (52 + 102) × 3] : 19 + 5}2 - 33 - {(3 × 22)2 - [33 × (25 - 6 × 5) - 23]} : 7

[8]

196 {[403 : 203 × 53 - 52 - 23 × 33 : 32 - (287 : 286 + 280)2] : 11 - 2} : 22 + 23 × 3

[26]

197 36 : 33 - {15 - [22 × 7 - (5 × 23 - 62) × (31 - 52)] + 26} : 52 - (72 : 72 + 22 × 52 - 32 × 32 + 7 - 22 × 5)

[17]

198 (3 × 5 + 3)2 : 62 + {543 : [3 × 25 - (53 - 43) + 22]3}3 : 35

[90]

199 [(42 × 22 : 82 + 3)3 : (102 : 52)2 - (53 : 52 - 1)]5 : [(4 × 47 × 43 × 42)2 : (4 × 42 × 42)5]2

8 Notazione scientifica

p p. 199

Scrivi i seguenti numeri utilizzando la notazione scientifica.

a. 372 000

c. 2 149 600

b. 2800

d. 136 200 000

201

Scrivi i seguenti numeri utilizzando la notazione scientifica.

a. 42 300

d. 990

b. 540

e. 56 734 000

c. 157 800

f. 111 000

202

224

203

200

Scrivi per esteso i seguenti numeri scritti con la notazione scientifica.

[0]

Scrivi per esteso i seguenti numeri scritti con la notazione scientifica.

a. 4,1 × 103

d. 7,77 × 102

b. 8,5 × 104

e. 2,8 × 106

c. 4,489 × 105

f. 8,003 × 102

204

Per ciascuna delle seguenti scritture metti

una crocetta su V (vero) se si tratta di una notazione scientifica, su F (falso) in caso contrario.

Correggi poi le scritture sbagliate. a. 56 × 103

V F

b. 3,5 × 105

V F

c. 1,93 × 104

V F

d. 14,98 × 102

V F

a. 3,2 × 107

c. 9,745 × 103

e. 678 × 106

V F

b. 6,47 × 105

d. 1,2 × 106

f. 6,9 × 10

V F

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 224

3

20/12/13 14:28

Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

a. 9000 = 9 × 103

V F

a. 4 × 105

c. 1,61 × 105

b. 300 = 3 × 102

V F

b. 9,34 × 103

d. 3,012 × 106

c. 70 000 = 7 × 105

V F

d. 2 000 000 = 2 × 107

V F

210

e. 5 300 000 = 5,3 × 106

V F

f. 700 000 = 7 × 104

V F

g. 68 000 000 = 6,8 × 106

V F

9 Ordine di grandezza

p p. 200

206

Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

a. 371 000

d. 152

b. 12

e. 13 675 981

c. 365,2

f. 7856

207

Completa la tabella, come nell'esempio.

numero

ordine di grandezza

800

103

76 390 111 111

b. 8,4 × 101

211

Disponi in ordine prima crescente e poi decrescente i seguenti gruppi di numeri.

a. 49 800

103

436

b. 102

135 864

105

c. 81

5 347 000

104

16 4 10 = Estrazione di radice 16 = 4

212

8 = ..........

Completa la tabella, come nell'esempio.

16 = 4 3 16 = 4 estrazione operazione diretta 8 = .......... di radice 3 3

..........

16 = 4= 7 8 = .......... .......

8 = ........... .......... = 7

=2

3 125 ..........==57 .......

64 = 4 .......

3 64 = 4

8123 7 067 980

p p. 201

3

=4 8 64 = .......... ........ =7 .......... =7 . . . .......... .. .......

64 = 4

45 378 000

42 = 16 ........

24 = 16 72 = 49 43 = 64 ........

= 125

213

125 = 5

23 332

.......

Scrivi il valore del radicando nelle 3 64 = 4 125 =estrazioni 5 di radice, specificando 3

208

Indica tra i numeri elencati quelli che

non hanno l’ordine di grandezza mostrato a sinistra. a. 10

77 654 000 1 234 567 267 800

b. 101

34 5,3 12

156 9 87

c. 104

65 000 1873 45 612

123 000 8799 17 999

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 225

c. 5,5 × 107

a. 2,55 × 103

. .......

3. . . . . . .

999 999

6

Scrivi l’ordine di grandezza dei seguenti numeri.

564 890 987 000

ESERCIZI

209

Per ciascuna uguaglianza, metti una crocetta su V se è vera, su F se è falsa.

125 = 5 diretta. l’operazione 81 = 9 3 125 81 = 59 esempio 81 = 9 ..........

81 = 9= 10 81.......... = 9= 9 = 10 81 .......... = 10 3 .......... = 10 6 3 = 10 a. .......... .......... = 10 6 3 .......... = 6 3 b.

6 3 3 .......... = 11 .......... = 6= 11 ..........

6 c. 6 .......... = 11 ........... ......... = 11 2 6 = 11 d. .......... ........... ......... = 2 11 6 . ......... = 2 3 6 e. ..........

8 . ......... = 2 6 3 6 = 2= 28 . ......... .......... . .........

3 .......... = 8 3 3 3 .......... = 8 .......... = 8= 8 ..........

seguenti

perché 92 = 81 perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Le potenze

205

perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

225

20/12/13 14:28

214

Trova le seguenti radici scrivendo, per ciascuna di esse, l’operazione diretta.

25 = 5 esempio 25 = 5

25 = 5 3 =5 perché 52 = 25 25 125 25 ==5 .........

3 125 = .........

3 3 36 125 = ......... perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... a. 125 64= =......... .........

125 =.........

6 .........

64 = 6 perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. .........

6 64 64 = .........

6464 = ......... .......... = perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 4 64 = ......... . . . . . .. . . .

4 4 4 64 = .......... = ......... perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 6464 .......... . .. . . ... . .

81 == .........

81 = .........

81 = .........

8181 = ......... = .........

144Trova = .........le seguenti radici scrivendo, per

144ciascuna = ......... di esse, l’operazione diretta.

144 = ......... perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... a. 33 144 343 = .........

343 = .........

3 perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 3 343 = ......... .........

343 400 = ......... perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 400 = ......... ......... .........

400 = perché .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 3 100 .........

4000==......... .........

3 0 = .........

100 3 100 0 = .........

3 100 0 = .........

11 Cominciamo a usare le tavole numeriche p p. 202

215

216

Trova sulle tavole numeriche il valore dei seguenti quadrati.

a. 132

c. 2362

e. 252

b. 472

d. 7292

f. 722

217

Trova sulle tavole numeriche il valore dei seguenti quadrati.

a. 452

c. 662

e. 1082

b. 5622

d. 7222

f. 3162

218

Trova sulle tavole numeriche il valore dei seguenti cubi.

a. 183

c. 473

e. 8623

b. 3493

d. 1753

f. 133

219

226

Trova sulle tavole numeriche il valore dei seguenti cubi.

a. 253

c. 83

e. 853

b. 1103

d. 1403

f. 273

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 226

1849 = 43 1849 = 43 1849 = 43 576 Trova sulle tavole numeriche il valore

delle seguenti radici quadrate. 576 576 152 361 100 269 ATTENZIONE In qualche caso non152 troverai 100 il 269 361 numero indicato sotto radice nella prima 152 361 100 269 289 100 1000 000 1849cercarlo = 43 nella seconda colonna; dovrai allora 152 289 1849 43 = 1000 000 colonna e poi...

1849 = 43 289 000 1000 5041 6400 576 289 5041 576 6400 esempio 576 5041 6400 236 343 269 361 5041196 1849 = 43 236 196 269 361 343 269 361 3 236 196 343 n n2 √ n 1000n3000 √n 73 900 236984 196 576 73 1000 000 900 42 1764 6,4807 74088 3,4760 984 1849 = 43 1000 000 152 100 73 984 900 30 984 625 2601 1849 43 = 6400 43 1849 6,5574 79507 3,5034 152 100 73 269 361 30 625 6400 152 100 2601 1849 = 43 44 1849 6,6332 3,53032601 152 100 576 1936 6400 28985184 30 625 = 43 19 184 900 152 100 576 343 289 30 044 625 1000 000 19 044 343 289 184 900 576 289 5041 19 044 a. 269 900 576 361 e. 343 h. 184 361 919 409 289 269 361 900 5041 044 6400 5041 409 b. 269 361 f. 900 i. 9361 5041196 1000 000 900 236 9361 409 269 361 625 400 5041196 j. 78 1000 000 g. 2601 236 c. 343 361 625 2601 236 196 78 400 1000 000 236984 196 6400 000 2601 73 625 d. 1000 78 400 841 236984 196 6400 184 900 73 625 900 841 184 900 73 984 6400 152 100 73 343 184 900 30 984 625 841 6400 Trova numeriche il valore 152 100 sulle tavole 1841 444 984 343 973 409 30 625 2601 930 409 152 100 seguenti radici 625 343delle

quadrate. 1 444 289 30 625 900 919 409 152 044 1 444 343 100 289 152 100 f. 78 196 30 625 900 400 19 044 k. a. 184 1 444

900 196 78 289 19 400 044 900 19 044 2601 400 289 361 b. 5041 g. 78 l. 196 900

5041 289 16 19 044 2601 361 196900 9 409 2601 c. 5041 h. 361 m. 16 900

236 361 184 900 5041 625 16 900 2601196 236 5041196 57 900 121 625 d. 78184 n. 16

400900 i. 361 57 121 236 196 625 184 900 73 984 625 9 409 236 196 57 121 e. 184 j. 841 900 73 984 236 196 625 9 409 841 57 121 73 984 841 9 409 30 625 78 400 73 984 1841 444 9 409 Trova sulle tavole numeriche il valore delle 30 984 625 73 78 400 1841 444 3 30 625 444 78 400

seguenti radici 1cubiche.

2197 = 13 19 1 444 3 30 044 625 196 78 400 2197 = 13 19 044 30ATTENZIONE In 625 1qualche 444 196 caso non troverai il 3 19numero 044 196 radice nella prima 729 colonna; 361044 indicato sotto 196900 3 19 16 729 dovrai nella quarta colonna e poi...

361 19 044 allora cercarlo 196900 16 3 3 16 900 361 512 13 3 2197 625 16 900= esempio 3 361 57 121 2197 = 13 512 625 361 16 900 57 121 3 3 3 625= 13 57 121 10 648 2197 3 729 841 57 121 625 3 10 648 729 3 841 n2 n 625 √ n 57 121 n3 √ n 3 3 438 976 3 841 729 12 1841 3,4641 2,2894 3 512 1728 444 144 3 438 976 512 31 444 = 13 841 2197 13 169 3,6056 2197 2,3513 3 3 3 1 444 3 10 648 9261 512 2197 = 13 196 3 10 648 3 444 143 1 196 3,7417 2744 2,4101 2197 = 13 9261 31 196 444 729 3 3 196 3 10 3 438 976 1 648 729 16 900 3 438 976 3 729 a. 33 196 d. f.

1 16 196 512900 3 3 3 16976 3 900 512 b. 438 e. 3 9261 g. 3 103 823 57 900 121 3 16 9261 512 103 823 57 900 121 3 16 10 648 c.

3 3 57 121 3 9261 10 648 31 57 121 3 10 1 648 121 3 57 438 976 3 3 3 103 823 1 438 976 3 103 823 3 438 976 3 9261 20/12/13 3 3 103 823 9261

220

221

222

14:28

125 4096 3 3 4096 4096 3 64 000 3 64 000 3 64 000 3 9261 3 3 9261 3 Trova sulle tavole numeriche 9261 il valore delle 125 3 3 17 576 3 125seguenti radici cubiche.

3 17 576 125 3 3 4096 e. a. 3 125

3 17 576 4096 8 3 b. 3 4096 f.

3 8 3 64 000 8 4096 c. 3 64 000 g. 3 2 000 376

3 64 000 3 2 000 376 3 3 2 000 376 64 000 d. 33 9261 9261 3 9261 3 17 576 9261 3 17 576 Leibniz e il sistema binario p p. 204 3 17 576 3 3 17 8 576 3 8 3 8 I seguenti numeri sono scritti nel sistema 3 000 376 8 binario. Calcola e scrivi il loro valore 32 2 000 376 in base dieci.

3 2 000 376 3 2 000 376

223

224

esempio

101 = 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 4 + 0 + 1 = 5 a. 111

b. 11011

c. 10010

d. 100

225

Scrivi i seguenti numeri nel sistema binario.

a. 18

c. 14

e. 3

g. 21

b. 9

d. 11

f. 10

h. 19

226

Dei seguenti numeri indica quali potrebbero appartenere al sistema binario.

a.

22

e.

11

i.

1000

b.

100

f.

8

j.

1101

c.

10 100

g.

102

k.

88

l.

1100

h. 15

d. 30

ESERCIZI

3

227

Uno dei seguenti numeri non appartiene

al sistema binario. Indica quale e spiega il perché. a.

11

c.

b.

21

d. 101

10

Sviluppare le competenze

Il foglio ripiegato Vuoi vincere una scommessa facilmente?

Prova a chiedere a un amico se sarebbe capace di piegare un foglio di carta prima in due, poi in quattro, in otto, e così via per 20 volte. Il tuo amico ti risponderà certamente di essere in grado di farlo e tu potrai allora sfidarlo a compiere l’operazione, sicuro di vincere la scommessa.

Infatti un foglio, per poter essere ripiegato 20 volte, dovrebbe avere una superficie di circa 100 m2 (la superficie di un appartamento di 4 locali). Ma non basta. Resterai allibito quando calcolerai lo spessore che avrebbe il foglio se lo ripiegassi 20 volte!

Ipotizzando che lo spessore del foglio sia di 0,08 mm, dopo la prima piegatura sarebbe il doppio, ovvero:

0,08 × 2 = 0,16 mm

Dopo la seconda piegatura sarebbe il quadruplo, ovvero:

0,08 × 22 = 0,32 mm

Calcola ora lo spessore della carta dopo la ventesima piegatura: esso sarebbe 0,08 × 220 mm.

Otterrai così un risultato strabiliante.

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 227

[83 886,08 mm ≅ 83,9 m]

2

La riproduzione dei batteri I batteri sono organismi formati da una sola cellula che si riproducono in modo molto semplice: la loro unica cellula, infatti, si divide formando due nuove cellule identiche alla precedente, con un ritmo di circa una divisione ogni mezz’ora. Dunque, ogni mezz’ora il numero dei batteri raddoppia.

Prova a calcolare il numero dei batteri che si ottiene dopo 24 ore, partendo da un solo batterio. tempo

n. divisione n. batteri potenza del 2

inizio

0

1

20

dopo 1/2 ora

1

2

21

dopo 1 ora

2

4

dopo 1 ora e 1/2 3

Continua tu.

Come avrai notato, il numero dei batteri cresce secondo le potenze di 2. Sapresti dire quanti batteri si avrebbero dopo 30 ore? E dopo 48?

Esprimi il risultato sotto forma di potenza e, se riesci, calcolane il valore con l’aiuto di una calcolatrice.

5 Le potenze

1

227

20/12/13 14:28

3

Il quadrato perfetto Prova a moltiplicare tra loro i primi quattro numeri naturali (escluso lo zero) e ad addizionare 1 al loro prodotto. Otterrai 25, la seconda potenza di 5 (ovvero «5 al quadrato»).

I numeri come 25, che rappresentano il quadrato di numeri naturali, si chiamano «quadrati perfetti». a. Verifica se, scegliendo a caso quattro numeri interi consecutivi, moltiplicandoli e addizionando 1 al loro prodotto, ottieni un quadrato perfetto. b. Ripeti l’operazione almeno tre volte e aiutati con le tavole numeriche per controllare che quelli che ottieni siano quadrati perfetti (li trovi nella seconda colonna, sotto n2).

4

5

La scacchiera Si racconta che un re dei Persiani avesse imparato il gioco degli scacchi e volesse ricompensare l’inventore del gioco per il piacere che gliene derivava.

L’inventore fece al re una richiesta bizzarra: un chicco di grano per la prima casella della scacchiera, il doppio (e quindi 2 chicchi) per la seconda casella, ancora il doppio (e quindi 4 chicchi) per la terza casella e così via. Dunque il numero dei chicchi di grano andava aumentando secondo le potenze del 2 fino alla 64a casella. Il re accettò perché non conosceva le potenze; infatti sull’ultima casella ci sarebbe stato un numero di chicchi di grano a 21 cifre!

Prova a calcolare il numero di chicchi che starebbero su una mini scacchiera di 16 caselle.

Scrivi l’espressione utilizzando le potenze.

20 + 21 + 22 + . . . . . . . . . . . . . . .

Le piante matematiche Immaginiamo una strana pianta che a un anno abbia un ramo con una gemma terminale e che, ogni anno, da ogni gemma faccia nascere due rami, ciascuno con una gemma terminale.

La chiameremo, per questa ragione, «bipianta».

Continua tu.

[65 535]

6

I numeri quadrati I numeri detti «quadrati perfetti» possono essere rappresentati graficamente nel modo che segue.

gemma

ramo

1

1 anno

2 anni

3 anni

Disegna ora tu una bipianta di 4 anni e completa la tabella. anni di età

1

2

3

n. gemme

1

2

4

4

5

9

16

Puoi notare che ciascun numero è formato dal quadrato del numero precedente più un numero dispari e che i numeri dispari sono in successione.

6

= 02 + 1 1 4 = 12 + 3 9 = 22 + 5 16 = 32 + 7

Osserva poi la serie dei numeri delle gemme: essi rappresentano le potenze del 2.

Continua tu, rappresentando i tre numeri quadrati perfetti che seguono e verificando che la regola sia sempre valida.

Infatti: 1 = 20 2 = 21 4 = 22

7

. . . . . . . . . . . . ............

a. Quante gemme avrà una bipianta di 9 anni?

E una di 12 anni?

228

4

b. Scrivilo sotto forma di potenza e poi calcolane il valore.

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 228

Un trasporto di birra Sei camion trasportano birra. Ogni camion contiene 6 cassoni, ciascun cassone contiene 6 casse, ciascuna cassa contiene 6 cestelli, ognuno con 6 confezioni di 6 lattine l’una. Quante lattine di birra vengono trasportate dai camion?

Esprimi il risultato in forma di potenza e poi calcolane il valore.

[66 = 46 656]

20/12/13 14:28

La raccolta di giornalini Carlo fa una raccolta di giornalini. Se il primo mese ne acquista 3 e ogni mese ne acquista il triplo, dopo quanti mesi ne acquisterà più di mille? E quanti ne acquisterebbe alla fine se continuasse la raccolta con lo stesso ritmo per un anno?

[7 mesi; 531 441]

9

La collezione di figurine Due fratelli, Andrea e Paolo, decidono di collezionare le figurine dei calciatori. Andrea ne acquista 2 la prima settimana e continua ad acquistarne ogni settimana secondo le potenze del 2. Paolo ne acquista 3 la prima settimana e continua ad acquistarne ogni 2 settimane secondo le potenze del 3.

Quante figurine acquisterà ciascuno dei due fratelli dopo 4 settimane? E dopo quante settimane Paolo avrà più figurine di Andrea?

ESERCIZI

8

[32 e 27; 6 settimane]

Prepararsi alla prova Invalsi

1

La luce percorre nel vuoto 3 x 105 km in un

secondo e impiega circa 8 minuti per andare dal Sole alla Terra.

2

Completa il quadrato magico con potenze

del tre, in modo che il prodotto di ogni riga e di ogni colonna sia sempre 315.

Qual è la distanza Sole-Terra?

A. 144 000 000 km

37

B. 720 000 000 km

35

C. 2 400 000 km 33

34

5 Le potenze

D. 1 200 000 km

229

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 229

20/12/13 14:28

capitolo

5 AUTOVERIFICA Le potenze

1

2

Metti una crocetta su vero (V) o falso (F) di fianco a ogni affermazione.

[........... / 4 punti]

a. La base indica il fattore che viene moltiplicato per se stesso.

V F

b. L’esponente indica quante volte la base viene moltiplicata per se stessa.

V F

c. L’insieme N è chiuso rispetto all’operazione di elevamento a potenza.

V F

d. L’estrazione di radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento a potenza.

V F

Trova il valore delle seguenti potenze.

[........... / 2 punti]

a. 52 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 25 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 80 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 71 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Completa le uguaglianze, applicando opportunamente le proprietà delle potenze. [........... / 5 punti] a. 75 : 72 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. (54)3 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 83 × 53 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . d. 47 × 43 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e. 242 : 32 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Scrivi, senza eseguire i calcoli, il valore delle seguenti potenze del 10.

[........... / 3 punti]

a. 109 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 104 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 1011 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Scrivi i numeri con la notazione scientifica.

[........... / 3 punti]

a. 20 000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b. 15 000 000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c. 870 000 000 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

230

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 230

20/12/13 14:28

Scegli la risposta corretta.

L’ordine di grandezza di un numero è:

7

a.

il numero scritto utilizzando le potenze del 10

b.

la potenza del 10 a cui il numero si avvicina di più

c.

il numero intero a cui il numero si avvicina di più

Trova sulle tavole numeriche le seguenti radici. a.

676 = ..................................

b.

4624 = . .................................

c.

3

[........... / 2 punti]

[........... / 4 punti]

216 = ... . ..............................

AUTOVERIFICA

6

d. 3 19 683 = .... . .............................

8

Scegli lo svolgimento corretto tra quelli proposti.

(33 − 23 × 3) + 64 : 62 + [2 × (22 − 1)] × 3 =

[........... / 2 punti]

a. = (27 − 24) + 62 + [2 × 3] × 3 = 3 + 36 + 18 = 57 b. = (13 × 3) + 62 + [2 × 3] × 3 = 3 + 36 + 18 = 57

■ Controlla le soluzioni da p. 439.

■ Scrivi il tuo punteggio accanto a ciascun esercizio.

■ Fai la somma e riportala qui sotto. Il punteggio massimo che puoi ottenere è 25.

Punteggio totale: ....... /25 Più di 18/25 Da 15 a 18/25 Meno di 15/25

p Puoi affrontare tranquillamente i nuovi argomenti p Hai sufficienti conoscenze per andare avanti p Hai bisogno di rivedere gli argomenti studiati

Altri esercizi di rinforzo sul Quaderno 1 alle pp. Q20-Q23, oppure su www.imparosulweb.eu.

30220_AritA_U5_Le potenze.indd 231

5 Le potenze

c. = (27 − 24) + 62 + [23 − 1] × 3 = 3 + 36 + 7 × 3 = 3 + 36 + 21 = 60

231

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