SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
modulo B lA GEomETRIA EuClIdEA
Nell’unica unità di questo modulo, incentrata prevalentemente sulla cosiddetta “geometria euclidea”, dal nome del matematico greco Euclide, sono trattati gli elementi di base del disegno geometrico, con le relative applicazioni pratiche. Si parte, infatti, dalla presentazione grafica delle costruzioni elementari (perpendicolari, parallele, angoli, segmenti), arricchite da foto opportunamente scelte per permettere un aggancio con il mondo reale, fino ad arrivare alle costruzioni più complesse di triangoli, quadrilateri, poligoni regolari, che sono chiaramente leggibili in architetture antiche e moderne, di cui si presentano documentazioni fotografiche. Infine sono illustrate le costruzioni più articolate in cui compaiono tangenti, ovali, ellissi, ovoli, spirali, parabole, iperboli ecc.; anche queste sono spiegate con esempi architettonici fra i più famosi, come le finestre ogivali della Sagrada Familia di Antoni Gaudí, all’interno delle quali figurano rosoni costituiti da un insieme di cerchi tutti tangenti fra loro.
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unità 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche In questa unità si tratterà delle costruzioni pratiche del disegno geometrico necessarie per la progettazione di qualsiasi forma architettonica di oggetti, elementi grafici o decorativi ecc. Architetti sia dell’arte classica sia di quella contemporanea e famosi designer hanno creato le loro opere utilizzando spesso le costruzioni geometriche basate sui principi matematici. In questa unità molte costruzioni geometriche sono affiancate da foto e disegni di opere antiche e moderne, perché l’allievo possa verificare l’effettiva utilità delle costruzioni geometriche applicate alle opere d’arte.
data la retta a, tracciare, per un suo punto P (dato), una perpendicolare. Tracciata la retta a e fissato il punto P su di essa, con apertura di compasso a piacere si centra in P. La semicirconferenza che si ottiene taglia la retta nei punti 1 e 2. Si centra in essi con apertura a piacere. Per l’intersezione 3 degli archi ottenuti passa la perpendicolare richiesta (fig. 3).
Definizione due rette a e b si dicono perpendicolari quando intersecandosi formano quattro angoli retti.
1.1 Perpendicolari In fig. 1 è illustrato l’uso pratico delle squadre per tracciare rette perpendicolari (v. pag. 20, fig. 7). Il colore rosso le evidenzia.
dato un segmento AB, tracciare una perpendicolare nel suo punto medio. Dato il segmento AB, con apertura di compasso maggiore della metà si centra in A e in B e dalle intersezioni 1 e 2 degli archi tracciati si fa passare la perpendicolare richiesta, che risulta anche asse del suddetto segmento (fig. 2).
data una semiretta, tracciare la perpendicolare dal punto di origine A (prima soluzione). Con apertura di compasso a piacere si centra in A (origine); l’arco ottenuto interseca la semiretta nel punto 1. Su di esso si centra con la stessa apertura intersecando l’arco precedente nel punto 2; con lo stesso procedimento e con centro in 2 si ottiene il punto 3; con centro in 3 si interseca l’ultimo arco ottenendo il punto 4. Da questo si conduce in A la perpendicolare richiesta (fig. 4).
1
perpendicolari A
fig. 1
fig. 2
T550Ab02f001Xd1
3
B
2
T550Ab02f002Xd1
4
3
2
2 3
a
1
fig. 3
P
2
A
fig. 4 T550Ab02f004Xd1
T550Ab02f003Xd1 T091_033-053_08.indd 34
1
1
A
fig. 5 T550Ab02f005Xd1
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data una semiretta, tracciare la perpendicolare dal punto di origine A (seconda soluzione). Con apertura di compasso a piacere si centra in A (origine); l’arco ottenuto interseca la semiretta nel punto 1. Su di esso si centra con la stessa apertura intersecando l’arco precedente in 2; si fa passare una retta per 1 e 2 e, centrando nel punto 2 con la stessa apertura, la si interseca con un altro arco nel punto 3. Da questo si conduce in A la perpendicolare richiesta (fig. 5). Le foto di questa pagina mostrano esempi di rette perpendicolari applicate alla realtà.
fig. 6 Vicente Traver, balaustra in ceramica, 1914-28 (Siviglia, Plaza de España).
fig. 7 Gruppo di turbine allineate.
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36 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
1.2 Parallele
Definizione
1 e con apertura di compasso 1P si ottiene un arco che interseca la retta a nel punto 2. Con la stessa apertura si centra in P e si ottiene un altro arco, sul quale si riporta col compasso l’ampiezza P2, ottenendo 3. La retta passante per i punti 3 e P è la parallela richiesta, evidenziata in rosso (fig. 10).
In fig. 8 è disegnato l’uso pratico delle squadre per tracciare due parallele (v. pag. 20, fig. 5). Il colore rosso evidenzia le parallele.
due rette a e b si dicono parallele quando appartengono a uno stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
data la retta a, tracciare la parallela distante da essa d. Tracciata la retta a, da due suoi punti 1 e 2 si innalzano le perpendicolari (v. pag. 34, fig. 3). Si centra in 1 e 2, con apertura di compasso uguale alla distanza data d; gli archetti ottenuti incontrano le due perpendicolari in 3 e 4. La retta passante per essi è la parallela richiesta, evidenziata in rosso (fig. 9).
dato il segmento AB, dividerlo in quattro parti uguali. Tracciato il segmento AB, si conduce una perpendicolare (asse) per il suo punto medio C utilizzando la già nota costruzione di pag. 34, fig. 2. Si ripete la costruzione conducendo due perpendicolari per i punti medi di AC e CB ottenendo, rispettivamente, D ed E. I punti di intersezione D, C, E delle suddette perpendicolari (parallele fra di loro) dividono il segmento, evidenziato in rosso, in quattro parti uguali (fig. 11).
data la retta a, tracciare la parallela passante per il punto P. Tracciata la retta a, si sceglie a piacere il punto 1 su di essa e si congiunge con P. Si centra in
4
3
parallele
d
a 1
fig. 8
2
fig. 9
T550Ab04f007Xd1
T550Ab04f006Xd1
3
1
5
D
C
E
4
2
6
P
3
A
B
a 1
fig. 10 T550Ab04f008Xd1
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2
fig. 11 T550Ab04f009Xd1
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 37
dato il segmento AB, dividerlo in un numero qualsiasi di parti uguali. Tracciato il segmento (in rosso) AB, si conduce dall’estremo A una semiretta s inclinata a piacere, dividendola nello stesso numero di parti uguali in cui si vuol dividere il segmento dato (nell’esempio cinque). Si unisce il punto 5 con B e dai punti determinati sulla semiretta s, 1-2-3-4, si tracciano, con due squadre, le parallele alla 5B; esse tagliano il segmento dato in C-D-E-F, che sono i punti di divisione richiesti. È evidente l’impiego del noto teorema di Talete (fig. 12).
A
C
D
E
F
B
1 2 3 4 5 s
fig. 12
T550Ab04f010Xd1
fig. 13
Cupola dell'Hotel Alhambra Palace a Granada (Spagna).
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38 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
Definizione l’angolo è la parte di piano compresa fra due semirette a e b che si chiamano lati, uscenti dal medesimo punto V che si chiama vertice.
1.3 Angoli In fig. 14 è disegnato un angolo. Gli archetti con le frecce distinguono l’angolo concavo da quello convesso (v. pag. 13).
angoli
dato un angolo aVb, dividerlo in due parti uguali, ossia tracciare la sua bisettrice. Dato l’angolo aVb, si centra in V con apertura di compasso a piacere. L’arco ottenuto interseca le due semirette a e b (lati dell’angolo) nei punti 1 e 2. Centrando in essi, con apertura maggiore della metà della loro distanza, si ottiene il punto 3. La semiretta di colore rosso avente per origine il punto V e passante per 3 è la bisettrice richiesta (fig. 15). Costruire la bisettrice di un angolo del quale non si conosce il vertice. Dati i lati dell’angolo a e b, si traccia una trasversale qualsiasi che li interseca nei punti A e B. Si formano, così, quattro angoli i cui vertici sono A e B. Con lo stesso procedimento della precedente costruzione si trovano le quattro bisettrici che si intersecano a due a due nei punti 1 e 2. Per questi punti passa la bisettrice richiesta evidenziata in rosso (fig. 16).
fig. 14
dato un angolo retto bVa, dividerlo in tre parti uguali. Dato l’angolo retto bVa, si centra in V con apertura di compasso a piacere. L’arco trovato interseca le due semirette a e b (lati dell’angolo) nei punti 1 e 2. Con la stessa apertura di compasso si centra in 1 e 2, ottenendo due archi che tagliano il precedente nei punti 3 e 4. Le semirette di colore rosso condotte da V e passanti per 3 e 4 dividono l’angolo retto dato in tre parti uguali. Gli archi con le freccette indicano la misura di ciascun angolo (30°) (fig. 17). dato un angolo piatto aVb, dividerlo in tre parti uguali. Dato l’angolo piatto aVb, si centra in V con apertura di compasso a piacere. L’arco ottenuto interseca le due semirette a e b (lati dell’angolo) nei punti 1 e 2. Con la stessa apertura si centra in 1 e 2, ottenendo due archetti che intersecano il primo arco in 3 e 4. Le semirette di colore rosso condotte da V e passanti per 3 e 4 dividono l’angolo piatto dato in tre parti uguali. Gli archi con le freccette indicano la misura di ciascun angolo ottenuto (60°) (fig. 18). B
a
b
T550Ab06f011Rm1 1
1
3
V
2
2
A a
fig. 15
fig. 16
b
b T550Ab06f012Rm1
T550Ab06f013Rm1
30° 60° 1
30° 3 3
60° 4
V
fig. 17
4
60°
30°
2
a
a
1
V
2
b
fig. 18
T550Ab06f014Rm1 T550Ab06f015Rm1
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 39
Definizione Il triangolo è un poligono di tre lati e tre angoli (v. pag. 15). Può essere: rettangolo (un angolo retto), equilatero (lati e angoli uguali), scaleno (lati disuguali), isoscele (due lati uguali), curvilineo (lati uguali ad archi di cerchio) ecc.
1.4 Triangoli In fig. 19 è illustrato l’uso pratico delle squadre per costruire un triangolo equilatero. Dato un lato BC e il suo punto medio, su BC si fa coincidere perfettamente il bordo più lungo di una squadra e, tenendola ben ferma a mo’ di guida, si fa scorrere su di essa il bordo più corto dell’altra, che deve avere necessariamente gli angoli acuti di 30° e 60°. Dal punto medio di BC si traccia l’altezza h servendosi del lato smussato della suddetta squadra. Usando poi i lati della stessa, che formano 30°
e 60°, si tracciano prima il lato BA e poi, girando la squadra su se stessa come indica la freccia, l’altro lato CA. Questi lati determinano con BC il triangolo equilatero richiesto, evidenziato in colore rosso.
na il punto 5. Per esso si manda la parallela alla retta a, che incontra i lati dell’angolo nei punti B e C. Questi vertici, assieme ad A, completano il triangolo equilatero richiesto, evidenziato in colore rosso (fig. 21).
dati l’ipotenusa i e il cateto c, costruire il triangolo rettangolo. Tracciato il segmento AB uguale alla misura dell’ipotenusa data i, si centra nel suo punto medio O e, con raggio OA, si descrive una semicirconferenza. Centrando, poi, in A, con raggio uguale al cateto c, si interseca la semicirconferenza nel punto C, che, unito con A e B, completa il triangolo rettangolo richiesto, evidenziato in colore rosso (fig. 20).
data la base e l’altezza, costruire il triangolo isoscele. Tracciata la base AB uguale a quella data b, si costruisce la perpendicolare nel suo punto medio m (asse) (v. pag. 34, fig. 2). Su tale perpendicolare si riporta l’altezza h, uguale a quella data, ottenendo il punto C. Unendo C con A e B si ha il triangolo isoscele richiesto, evidenziato in colore rosso (fig. 22). dati i due lati e l’angolo compreso, costruire il triangolo scaleno. Costruito, con vertice in A, un angolo 1’A2’, uguale a quello dato 1V2, sui prolungamenti dei suoi lati, A1’ e A2’, si riportano le misure dei due lati dati l e l’, ottenendo i vertici C e B, che, uniti ad A, completano il triangolo scaleno richiesto, evidenziato in colore rosso (fig. 23).
data l’altezza h, costruire il triangolo equilatero. Tracciata la retta a, si centra in un suo punto A e si descrive una semicirconferenza dividendola in tre parti uguali (v. pag. 38, fig. 18), ottenendo i punti 3 e 4. Con la stessa misura dell’altezza data h, si traccia la bisettrice dell’angolo costruito 3A4, di 60°, e si determi-
C
A
h h
90°
B
60°
C
A
O
B
i
fig. 19 a
A
1
3 T550Ab07f016Rm1
2
4
T550Ab07f017Rm1
6 0°
C
h h
B
h h
c
fig. 20
b
5
C
2 V
C 30°
fig. 21
1 2'
T550Ab07f018Rm1 A
m
B
30°
B
1'
l
A
l'
fig. 22
fig. 23
T550Ab07f020Rm1 T091_033-053_08.indd 39 T550Ab07f019Rm1
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 65
APPLICAZIONE Suddivisione di circonferenza e raccordo l
Pianta del Teatro greco, Siracusa.
Il Teatro di Siracusa (III secolo a.C.), capace di contenere 15 000 spettatori, è il più grande e il più complesso dei numerosi teatri greci siciliani. È un notevole esempio di architettura antica realizzata per mezzo di precisi disegni geometrici. La struttura è caratterizzata da un’armoniosa cavea a forma di semicerchio perfettamente divisa in un numero di settori uguali (fig. 1).
Fig. 1
Pianta di San Pietro in Montorio, Roma. Bramante, famoso architetto rinascimentale, ha realizzato questa importante opera (1503) utilizzando molte regole del disegno geometrico. La pianta è a forma circolare ed è caratterizzata da circonferenze concentriche; una di esse è stata suddivisa in sedici parti uguali utilizzando colonne tuscaniche (fig. 2). l
T550Ab33f001Xd2
Fig. 2 l
Arco di Tito, Roma.
T550Ab33f002Xd1
L’arco di Tito, eretto nel 90 d.C. circa, è un significativo esempio di arco romano a tutto sesto, dai massicci piedritti. Un esempio di raccordo, quindi, che già in età romana veniva utilizzato per le costruzioni di archi di trionfo (fig. 3).
Fig. 3 T550Ab33f003Xd2
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66 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
1.10 Ovali
Definizione
Dato l’asse maggiore AB, costruire un ovale. Tracciato l’asse maggiore AB a piacere, lo si divide in tre parti uguali applicando il teorema di Talete (v. pag. 37, fig. 12), evidenziato in colore azzurro. Si centra in 1’ e 2’, con raggio 1’A prima e 2’B poi; si descrivono quindi due circonferenze che si intersecano nei punti C e D. Da questi si tracciano i diametri delle due circonferenze che tagliano le stesse in E, F, G, H, punti di raccordo. Si centra in C e D e, con raggio uguale al diametro trovato, si completa l’ovale richiesto, evidenziato in colore rosso (fig. 69).
L’ovale è una figura piana formata da una linea curva, chiusa, determinata da quattro (o più) archi di circonferenza uguali a due a due e raccordati tra loro. L’asse maggiore e l’asse minore si intersecano nel loro punto medio e dividono la figura in due parti simmetriche. Ha più centri ed è quindi una curva policentrica.
E
F
C
1'
A
Costruire un ovale, dato l’asse minore AB. Tracciate le rette a e b, perpendicolari fra loro, si fissa, nel loro punto d’incontro, il centro O di una circonferenza il cui diametro è uguale ad AB. La circonferenza taglia la retta b nei punti 1 e 2. Da A e B si conducono le semirette c, d, e, f, passanti per i punti 1 e 2. Si centra in A e B con raggio AB; i due archi ottenuti determinano, sulle semirette, i punti 3, 4, 5, 6. Si centra in 1 e 2 con raggio 1-5; i due archi ottenuti, raccordandosi con i precedenti, completano l’ovale richiesto, evidenziato in colore rosso (fig. 70).
2'
B
1 2 3 G
H
D
fig. 69
T550Ab34f065Xd1
A
d
c
5
3 1
O
6
2
b
4
e
f
B a
fig. 70
T550Ab34f066Xd1 T091_054-090_07.indd 66
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 67 Fig. 71 Gruppo Arquitectonica diretto da Bernardo Fort-Brescia, sede del Banco di Credito, 1988, Lima, Perú. Veduta di uno spazio interno dell’edificio.
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68 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
Dati gli assi AB e CD, costruire un ovale. Tracciati gli assi AB e CD, perpendicolari tra loro, che si intersecano nel punto O, centro dell’ovale, si centra in O con apertura OC; l’arco ottenuto incontra l’asse maggiore AB nel punto 1 determinando la misura A1, differenza dei due semiassi. Si unisce B con C e su BC si riporta in 2 la differenza A1 dei due semiassi. Si costruisce l’asse del segmento 2B (v. pag. 34, fig. 2), che incontra in 3 l’asse maggiore e in 4 l’asse minore. Sull’asse maggiore si riporta O5 uguale a O3, e sull’asse minore O6 uguale a O4. Dai punti 4 e 6 si conducono le semirette passanti per 3 e 5. Con centro in 3 e 5 e raggio uguale a 3B e 5A si descrivono gli archi EF e GH. Con centro in 4 e 6 e raggio uguale a 4C e 6D si tracciano gli archi delimitati dai punti di raccordo E, H e F, G, che completano l’ovale richiesto, evidenziato in rosso (fig. 72).
C 6
H
5
1
A
2
E
3
O
B
G
F 4 D
fig. 72 T550Ab36f067Xw1
APPLICAZIONE Ovali Costruire l’ovale della cupola situata nell’interno della chiesa di San Carlo Borromeo a Vienna (1716-37). Architetto: J.B. Fischer von Erlach (1656-23). Applicando l’esercizio di fig. 72 a un’opera
architettonica, si può verificare l’utilità di questa costruzione; per la realizzazione della cupola della chiesa di San Carlo Borromeo a Vienna, riportata nella foto di fig. 1, l’architetto austriaco Fischer von Erlach, massimo esponente del barocco austriaco, Fig. 1 Johann Bernhard Fischer von Erlach, chiesa di San Carlo Borromeo, 1716-37 (Vienna), interno della cupola ovale.
ha utilizzato la forma geometrica ovale, tratta dalla lezione di Bernini e Borromini, nel corso di un lungo periodo formativo trascorso a Roma. La sua architettura grandiosa, caratterizzata dall’accentuata monumentalità e dallo spazio di proporzioni dilatate, è il risultato dell’accordo sapiente delle forme del barocco italiano con quelle del classicismo austriaco: le linee curve della cupola (ovali concentrici, vedi figg. 1 e 2), di gusto tipicamente barocco, sono permeate da vari richiami classici.
C 6
H
1
A
5
O
G
4
2
E
3
B
F
D
Fig. 2 T550Ab36f002Xw2
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 69
1.11 Ovoli
Definizione L’ovolo, come l’ovale, è una curva policentrica formata da più archi di circonferenza di raggio diverso e raccordati fra loro; si costruisce raccordando la metà di una circonferenza con la metà di un ovale. L’asse maggiore è l’unico asse di simmetria. A
3 1
2
O
5
4
fig. 73
B
T550Ab37f068Rm1 2 C 3 5
A
4
1
O
B
6
Dato l’asse minore AB, costruire un ovolo. Tracciato l’asse minore dato AB, si trova il suo punto medio in O (v. pag. 34, fig. 2). Centrando in O, con raggio OA si disegna la circonferenza che determina, sulla perpendicolare ad AB passante per O (nell’esempio tratto e punto), i punti 1 e 2. Dai punti di origine A e B si tracciano due semirette passanti per il punto 2. Si centra in A e in B con apertura AB; i due archi ottenuti incontrano le semirette, disegnate precedentemente, in 3 e in 4. Si centra in 2 e con raggio 2-3 si trova l’arco 3-5-4 che completa l’ovolo richiesto, evidenziato in rosso (fig. 73). Dato l’asse maggiore AB, costruire un ovolo. Disegnato l’asse maggiore dato AB, si traccia, dal punto A, la perpendicolare a esso. Si trova il punto medio dell’asse AB in 1 (v. pag. 34, fig. 2). Con apertura A1, si centra in A; l’arco ottenuto interseca la perpendicolare condotta da A nel punto 2. Tracciato il segmento 2B, si centra in 2 con apertura 2A; l’arco ottenuto interseca il segmento 2B nel punto 3. Si centra in B e con apertura B3 si ottiene l’arco che individua, sull’asse AB, il punto O; per O si traccia la perpendicolare ad AB (nell’esempio tratto e punto). Con apertura OA si centra in O e
si ottiene la circonferenza che, intersecando la perpendicolare passante per O, individua l’asse minore CD. La circonferenza determina inoltre, sull’asse maggiore AB, il punto 4. Dai punti di origine C e D si tracciano due semirette passanti per il punto 4. Procedendo come nell’esercizio di fig. 72 (dato l’asse minore), si completa l’ovolo richiesto, evidenziato in rosso (fig. 74).
Dati i due assi AB e CD, costruire un ovolo. Tracciati i due assi dati AB e CD, si centra in O e con apertura OC si disegna una circonferenza. Dopo aver tracciato il segmento CB, si centra in O con raggio OB; l’arco ottenuto interseca il prolungamento del semiasse minore OC nel punto 1. Si centra in C con apertura di compasso C1; l’arco ottenuto interseca CB nel punto 2. Si trova l’asse del segmento 2B (v. pag. 34, fig. 2), che interseca prima l’asse maggiore nel punto 3 e poi il prolungamento del semiasse minore OD nel punto 4. Con la stessa distanza di O dal punto 4 si trova, sul prolungamento del semiasse minore OC, il punto 5. Si traccia, dal punto 5, una semiretta passante per il punto 3. Con apertura D5 si centra in 4 e in 5 e si trovano i due archi fino ai punti 6 e 7. Con apertura 3-6 si centra in 3 e si ottiene l’arco 6B7 che completa l’ovolo richiesto, evidenziato in rosso (fig. 75). fig. 76 Una grande pysanka, uovo di Pasqua decorato secondo la tradizione ucraina, eretto nel 1974 a Vegreville, Alberta, in Canada.
D
fig. 74 1
T550Ab37f069Rm1
5 C 6
2
A
3
O
B
7 D
fig. 75
4
T550Ab37f070Rm1
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70 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
APPLICAZIONE Particolare architettonico con ovoli Applicando l’esercizio di fig. 73 a due ovoli, elementi architettonici costituiti da un ordine continuo di ornamenti ovoidali in aggetto, collocati, di solito, superiormente al fregio dei templi o degli archi di trionfo, è verificabile l’utilità di questa costruzione geometrica (fig. 1). T550Ab38f002Rm1
T550Ab38f002Rm1
Fig. 1 Nell’immagine sono evidenti gli ornamenti ovoidali.
Fig. 2 Particolare
della casa-museo di Salvador Dalí a Portlligat (Cadaqués, Spagna).
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 71
1.12 Ellissi
Definizione
Dati gli assi AB e CD, costruire l’ellisse. Tracciati gli assi AB e CD, si centra nel loro punto d’incontro O e si tracciano due circonferenze concentriche aventi per diametri rispettivamente i due assi. Si divide una delle due circonferenze in un numero qualsiasi di parti (nell’esempio non uguali) e si tracciano i raggi corrispondenti evidenziati in colore azzurro. Dai punti di intersezione di ogni raggio con le circonferenze si conducono la parallela all’asse maggiore (dalla circonferenza minore) e la parallela all’asse minore (dalla circonferenza maggiore). Per esempio, dai punti 1, 3, 5 ecc. si conducono le parallele all’asse minore CD e dai corrispondenti punti 2, 4, 6 ecc. le parallele all’asse maggiore AB. Le intersezioni di ogni coppia di parallele determinano i punti dell’ellisse E, F, G ecc., che, raccordati fra di loro, completano l’ellisse richiesta, evidenziata in colore rosso (fig. 78).
Costruire l’ellisse, dati i due assi AB e CD, con il metodo del rettangolo. Tracciati i due assi AB e CD e costruito il rettangolo, si dividono il semiasse OB e il segmento BE in un numero qualsiasi di parti uguali (nell’esempio tre) usando il teorema di Talete (v. pag. 37, fig. 12); il procedimento è evidenziato in colore azzurro. Da D si tracciano le semirette passanti per i punti 1”e 2” e da C altre due semirette che, passando per 1’ e 2’, incontrano le precedenti nei punti F e G. Ripetendo l’operazione in modo analogo e simmetrico si trovano gli altri punti H, I, L, M, N, P, che uniti con F e G completano l’ellisse richiesta, evidenziata in rosso (fig. 77).
L’ellisse è una curva piana, chiusa, sul cui asse maggiore sono fissati due punti, detti fuochi. La somma delle distanze dei fuochi da un punto qualunque dell’ellisse (raggi vettori) è costante e uguale alla lunghezza dell’asse maggiore.
5
7
C L 1'' 2''
H
M
6
2'
1'
1'
O
E
2'
B
1 2
N
1''
G
3 P
F D
fig. 77
F
1
2''
2'' 1'' E
8
4
I
10
2
11 L
12 O
A 2
S
1 0
9
H
G
1''
A
2''
C
3
I
23
B
24 R
21
fig. 78
M
14 22 Q
16 20
18
P
13
N 15
D 19
17
T550Ab39f071Xd1
T550Ab39f072Xd1
fig. 79a-b Kotaro Ide/Artechnic, Shell House,, 2005 (Karuizawa, Giappone).Veduta dell’esterno e interno.
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72 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
Dati gli assi, costruire l’ellisse per mezzo dei raggi vettori. Tracciati i due assi AB e CD, si centra in C con raggio uguale al semiasse maggiore e si descrive un arco che determina, sull’asse maggiore, i due fuochi F e F’. Sul segmento FO si fissa un numero a piacere di punti 1, 2, 3, 4, 5 a intervalli sempre maggiori man mano che si avvicinano a O. Con centro in F e raggio A1 si descrive un arco e si ripete poi l’operazione centrando in F’ con raggio uguale a B1: l’intersezione dei due archi determina il punto 1’ dell’ellisse. Con lo stesso procedimento si ottengono i punti 2’, 3’, 4’, 5’ ecc. prendendo come raggi A2 e B2, A3 e B3, A4 e B4, A5 e B5 ecc. I punti così trovati, raccordati tra loro con una curva, completano l’ellisse richiesta, evidenziata in colore rosso. I raggi vettori, che nel disegno sono evidenziati in colore azzurro, sono i segmenti che uniscono qualsiasi punto dell’ellisse con i fuochi F e F’ (fig. 80).
5'
4'
6'
C
7'
3'
8'
2'
9'
1'
10'
A
O F
1
2
3
4
5
B 6
7
8
9 10
F'
1''
10'' 2''
9'' 3''
fig. 80
8'' 4''
5''
6''
D
7''
C T550Ab40f073Xd1
Costruire l’ellisse con il metodo del giardiniere. Tracciati gli assi AB e CD, si fissano due chiodini nei fuochi, alla distanza voluta ed equidistanti dal centro. Si allacciano ai chiodini le due estremità di un filo la cui lunghezza (distanza tra i due nodi) è uguale all’asse maggiore dell’ellisse che si vuol ottenere. Con la punta di una matita si tiene ben teso il filo e muovendola, come indica la freccia, si descrive l’ellisse richiesta, evidenziata in rosso. I raggi vettori, determinati dal filo, sono evidenziati in colore azzurro (fig. 81).
A
O
B F'
F
fig. 81 D
APPLICAZIONE
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Ellissi La fig. 1 dà una visione chiara di come già in età antica le costruzioni geometriche fossero utilizzate anche per realizzazioni di anfiteatri, edifici destinati a ospitare combattimenti gladiatori e, in alcuni casi, battaglie sull’acqua (naumachie). L’impianto dell’anfiteatro si basa in genere sulla forma dell’ellisse e il metodo del giardiniere (v. fig. 81) è un sistema pratico, comunemente usato in diverse epoche, per riportare sul terreno forme ellittiche di ogni dimensione. Oltre ad Arles (fig. 1) e al Colosseo, si ricordano gli anfiteatri di Pozzuoli, Verona, Nîmes, Thysdrus (odierna el-Djem, in Tunisia).
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Fig. 1 Ricostruzione
dell’anfiteatro romano di Arles (80 a.C. ca.).
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 73
1.13 Spirali
Definizione
Costruire, con i centri 1 e 2, una spirale formata da semicirconferenze raccordate, dato il passo p. Tracciata la retta a, si riporta su di essa A2, uguale al passo p. Si divide A2 in due parti uguali. Con centro in 1 e raggio 1-2, si traccia la semicirconferenza 2A. Con centro in 2 e raggio 2A si descrive la semicirconferenza AB.
La spirale è una curva piana aperta, generata da un punto che gira infinite volte intorno a un punto fisso, detto polo, allontanandosene progressivamente. Un giro completo (360°) della curva si chiama spira. La distanza fra due spire vicine è detta passo. Esistono molte spirali, tutte con caratteristiche proprie; in questa unità ne sono costruite alcune tra le più interessanti.
Con centro in 1 e raggio 1B si descrive la semicirconferenza BC. Centrando alternativamente in 1 e 2, con raggio pari alla distanza tra il punto di centro e l’ultimo punto trovato, si descrivono le altre semicirconferenze, CD e DE, che completano la spirale richiesta, evidenziata in colore rosso. L’occhio, ottenuto centrando in 1 con raggio 1-2, è evidenziato in colore verde (fig. 82).
spira
passo
a E
A C
1
2
B
D
occhio
p
fig. 82
fig. 83 Baldassarre Longhena, chiesa di Santa Maria della Salute, 1631 (Venezia). Volute a spirale.
fig. 84 Domingo Antonio de Andrade, scala a spirale, 1639-1712 (Santiago de Compostela, Convento di Santo Domingo de Bonaval, oggi parte del Museo del Popolo Galiziano).
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74 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE
Costruire, con i centri A, B, C, D, una spirale formata da archi di circonferenza raccordati, dato il passo p. Disegnato il quadrato ABCD, con lato uguale alla quarta parte del passo dato p, se ne prolungano i lati, come nella figura. Con centro in A e raggio AD si traccia l’arco di circonferenza DE, e si ripete poi l’operazione con centro in B e raggio BE, tracciando l’arco EF. Descrivendo altri archi raccordati e con centro sempre nei vertici del quadrato ABCD, si continua l’avvolgimento della spirale richiesta, evidenziata in colore rosso, determinando, nell’esempio, gli altri archi FG, HI, IL, LM (fig. 85).
il raggio QI; con centro in Q e raggio Q2 si traccia un arco fino a incontrare, in B, il raggio QII; con centro in Q e raggio Q3 si traccia un arco fino a incontrare, in C, il raggio QIII. Con lo stesso procedimento si prosegue in modo da ottenere gli altri punti D, E, F, G, H, per disegnare il primo giro della spirale. Per eseguire la continuazione della curva si riporta da ciascun punto A, B, C, D ecc., sul rispettivo raggio, la misura PQ del passo dato p, ottenendo i punti I, L, M, N, O del secondo giro che completano la spirale richiesta, evidenziata in colore rosso (fig. 86).
Dato il passo p, costruire la spirale di Archimede. Tracciata una retta a, si riporta su di essa il segmento PQ, uguale al passo dato p. Si divide PQ in un numero qualsiasi di parti uguali, nell’esempio otto, con l’applicazione del teorema di Talete (v. pag. 37, fig. 12), evidenziata in colore azzurro. Nello stesso numero di parti uguali si divide la circonferenza di centro Q e raggio PQ, numerando in senso antiorario a partire da P: I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. Per questi punti di divisione si tracciano i diametri della circonferenza; con centro in Q e raggio Q1 si descrive un arco fino a incontrare, in A,
L L p
II
M III
I
I
F C B
A
C
IV
N
A
D Q
I
G
M
a
E
B
D
1 2
3
4
5
6
7
8
H
P VIII
E G V
O
VII
F
8
VI
H p
fig. 85
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fig. 86
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fig. 87
Antoni Gaudí, Sagrada Família, iniziata 1882 (Barcellona). Particolare di una scala a chiocciola.
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MODULO B UNITÀ 1 Elementi basilari con applicazioni pratiche 75
si dividono ciascuna in sei parti uguali (v. pag. 37, fig. 12), 1, 2, 3, 4, 5, 6... 12, numerandole progressivamente in senso orario, per disegnare lo sviluppo destrorso della voluta (come nell’esempio) e in senso antiorario per disegnare quello sinistrorso. Da detti punti si tracciano, come in figura, quattro serie di parallele alle diagonali del quadrato, che sono anche diametri della circonferenza. Con centro in 1 e raggio 1P si
APPLICAZIONE Spirali Sulle spirali si basano i metodi di costruzione delle volute dei capitelli ionici. l Costruire la spirale per disegnare la voluta del capitello ionico, secondo la regola del Vignola. Tracciata una circonferenza, inscrivervi un quadrato e dividerlo con mediane e diagonali come nella fig. 1, che rappresenta l’occhio ingrandito della voluta, dove si imposta la costruzione. Le mediane del quadrato
traccia il primo arco PA; con centro in 2 e raggio 2A si traccia l’arco AB; con centro in 3 e raggio 3B si traccia l’arco BC, e così di seguito fino a giungere, dopo aver compiuto tre spire, al punto N. Per disegnare il profilo interno della voluta si ripetono le operazioni precedenti dopo aver individuato i centri 1’, 2’, 3’, 4’, 5’, 6’...12’, ottenuti dividendo in quattro parti uguali gli spazi fra i centri della prima spirale (fig. 2).
P
12
11 11'
7
7'
3
3'
O
10'
6'
6
2
2'
4' 1'
4 1
8'
5'
8
12'
A'
A
5 9'
10
9
Fig. 1
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N
H
D
P 11
M
G
7
C 10
6
4 1
3 2
8
12
A
5
E
I
9
B
F
Fig. 3 Capitello
Fig. 2
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L
di lesena neo-ionico sulla facciata di un edificio di Bedford Square, Londra.
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76 SEZIONE 1 COSTRUZIONI GEOMETRICHE Nello stile ionico, sviluppatosi in Grecia poco dopo quello dorico, il capitello delle colonne ripete un motivo caratteristico, a volute. La voluta è costituita da una spirale che viene interpretata in vari modi. Il disegno di fig. 4 rappresenta un particolare ingrandito della voluta ionica di una colonna che si trova lungo la Via Sacra che dall’Agorà sale al tempio di Apollo a Delfi. Si noti come nei capitelli ionici greci il raccordo tra le volute abbia un andamento curvilineo, a differenza di quanto avviene in quello romano. Inoltre la sua spirale si sviluppa con passo crescente e con una fascia di profilo che aumenta man mano di spessore.
Fig. 5
Fig. 4
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