中学数学杂志（高中）２００５年第６期
编者按：
５
“数学教学效率论”为天津师大王光明教授主持的全国教育科学十五规划
重点课题，该课题在江西、四川、新疆、陕西、广东、贵州和天津等地正在如火如荼开展教学 实验．本篇是该课题的阶段性研究成果．
认知结构在解题过程中的作用与思考 天津市新华中学
３００２０４韩冰
数学教育学报编辑部
３０００７０王光明
数学学习离不开解题，数学高才生与普
“问题空间”质量的差异．
通生都要做题，但同样是做题，收效却不同．
其次，由于普通生的认知结构中内容缺
为了比较高才生与普通生的认知结构在解题
乏清晰性，因此解题时，他必须随时注意解题
中发挥的作用，我们对他们的多个解题过程
过程中的每一个环节，如公式是否记忆准确，
进行了监控．具体的做法是要求被试去解决
计算有无偏差等．而对高才生来说，很多环节
某个数学题目，给其提供了必要的工具（笔、
由于实现了“自动化”，技能能够自动地予以
纸和其它学习用具），并要求他们在解题后写
执行，而无须引起任何特别的注意，这就极大
出他们的思路，以便更好地了解其真实的思
地节省了“短时记忆”的空间，他自身的能力
维活动．在被试从事解题活动时，我们对整个
也就有可能最大限度地得到发挥，特别是，可
过程进行仔细地观察和记录，有时还采用了
以把注意力全部集中到所面临问题中新的、
现场录音．通过这样的方法便得到了多个相
不那么熟悉的方面，而这当然就增大了解决
应的解题记录．通过实证研究，获得了以下结
问题的可能性．
论与认识．
２
１
认知结构在解题过程中的作用
数学高才生与普通生的认知结构存在差
异的原因
数学高才生与普通生的认知结构差异导
解题过程中元认知水平的不同是导致数
致了他们在解题过程中模式识别方面与知
学高才生与普通生的认知结构存在差异的一 个重要原因．
识、技能熟练程度方面存在差异． 首先，普通生由于认知结构中储存的题
由以上关于高才生与普通生的实际解题
型模式较少，因此解题时，往往不能够进行模
过程的比较我们可以看出，两者的元认知水
式的识别或只是根据问题中所包括的“事实
平的确表现出了较大的差异．普通生不假思
内容”来进行分类，而忽视了其内在的数学
索地便采取某一方法或解题途径，而且总是
结构．而高才生由于在学习中除了对题目进
在各种可能的“解题途径”之间徘徊，而对自
行“量”的积累，还往往通过“问题归类”去对
己在干什么，特别是为什么非这样干始终缺
问题模式进行整理和贮存．因此在解题时就
乏明确的认识．另外，在沿着某一解题途径走
能调动已有的知识和经验来求解所面临的新
下去时，则又不能对自己目前的处境做出清
问题．这种“模式识别”能力的差异，实际上
醒的评估并由此而做出必要的调整，而只是
也反映了高才生与普通生解题时所建立的
“一股劲地往前走”，直至最终陷入僵局．由此
万方数据
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可见导致这一解题活动不很成功的主要原因
的联系中接受知识、理解知识、掌握知识．教
就在于普通生乙“未经充分思考”便贸然对
师在数学教学中应力争做到：每个数学新知
式子进行变形，虽然最后碰巧得到了要证明
的教学，都应是在“见树木更见森林，见森林
的结论，但整个解题过程表现出了很大的盲
才见树木”的状况下进行；在教学过程中培
目性．而且解题过程是就题论题，学习效益不
养学生自我追问的习惯，鼓励学生追根溯源，
高．
高才生甲的解题过程也是摸索着前进
任何数学知识的学习都要追问为什么，建立 新知与认知结构中相关知识的联系；避免数
的，尽管他也采用了一些不恰当的方法，但是
学教学完全封闭在数学的圈子中，重视引导
由于他的整个推理过程始终处于自己意识的
学生在数学学习过程中通过联想、比较、类
监控之下，因此他很快获得了解题的成功．可
比、概括、迁移等活动与生活经验及其它学科
见这名高才生在解题活动中清楚地表现出了
知识建立联系．
如下的“素质”：在具体地采用某一方法或解
第二，引导学生精练所学知识，有意识地
题途径前对各种可能性进行了仔细的考虑；
整合知识结构．数学认知结构也有一个形成、
在整个解题过程中作到“心中有数”，他能对
发展和优化的过程．因此，每到一个阶段，就
目前处境做出清醒地评估，从而做出必要地
要引导和督促学生对所学过的知识、方法与
调整．最后成功地解决了问题之后，他又能自
经验作一回顾，进一步消化理解，建立起知识
觉地对所进行的工作进行回顾，特别是体味
间的有机联系，提炼出关键性的和核心的东
其中的数学思想、方法，考虑所学到的数学知
西，略去多余的信息，使知识由“点”成“线”，
识、技能在其中的作用．通过元认知监控解题
再成“网”，分层次组成一个知识系统，从而改
过程，高才生体悟统帅性强的数学思想、方
进和完善认知结构，以便于进一步学习和利
法，不仅有助于提高解题效益，而且有助于他 们形成良好的认知结构．
用． 第三，对学生进行指导性的练习．做好练
几点思考
习是学好数学的关键一环，但是盲目多练，不
高才生组织良好、内容丰富的认知结构
仅费时多，而且必然冲淡对关键知识、方法的
为他们的概念学习提供了坚实的认知基础，
掌握，得益也会甚少．在日常教学中，教师应
其中大量的策略性知识，更使他们能够经常
注意帮助学生掌握和贮存问题模式，通过“问
获得解题的成功．而普通生相对贫乏、组织不
题的归类”对有关的知识和经验进行整理，
良的认知结构很可能成为他们进一步学习数 学知识的认知障碍，并使解题过程不能顺利
以期形成良好的模式识别的能力．同时，应通 过“题目的变式”经常变换问题的具体情境，
进行．那么如何帮助大多数普通生优化认知
在具体的情境中展现同一结构关系，以使学
结构呢？许多数学教育工作者已对此进行了
生不会被具体情境所迷惑．这样学生每做一
有益的探讨，在这里我们基于本课题的研究
练习都会有所收获，或能加深理解巩固所学
结果，提出以下教学建议．
知识，促进数学技能的形成，或能学到解题的
３
第一，重视运用系统化的思想组织数学
方法、取得解题的经验等．
教学．数学教师应具有用系统化思想组织数
第四，教会学生习得与应用策略性知识．
学教学的意识，并养成该方面的教学习惯．数 学教师不应将数学知识孤零零地呈现在学生
我们可将数学中的策略性知识分为两个层 次：
面前，应让数学知识以系统知识中的一个环
第一层次，具体的解题策略．数学思想方
节出现在学生面前，以促使学生能够在知识
法是对数学知识发生过程的提炼、抽象、概括
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和升华，是对数学规律更一般的认识，因此，
结构发生冲突，学生已有的知识和能力不足
可将其作为指导解题的具体解题策略．同一
以解决所面临的问题，从而产生观念上的不
种数学思想方法往往概括了许多不同的知识
平衡，并努力通过新的学习活动以达到新的
和方法．重视数学思想方法的教学，能够帮助
更高水平上的平衡．实践表明，适当的提问和
学生建构起思想方法层次上的数学观念，形
举出反例就是实现上述目标的两个十分有效
成具有较高观点、使用广泛的数学认知结构．
的手段．
在解题时，也将起到灵活选择解题思路、简约 解题过程的指导性作用．
第六。充分重视每个学生在认识上的特 殊性．由于任何认知活动都是主体主动的建
第二层次，对学习活动的自我调控．既然
构，即使对同一数学内容的学习，不同的个体
以上的研究结果表明，高才生与普通生对数
也完全可能由于知识背景和思维方法等方面
学学习活动和结果的自我观察、自我评价、自
的差异而具有不同的思维过程，表现出一定
我监控和自我调节存在很大差异，那么我们
的差异性和个体特殊性．在教学中我们不应
就应重视对学生自觉意识和元认知能力的培
过分地去追求统一性，而应看到合理的教学
养．教师不应只满足于较好地去发挥了“启发
方法在很大程度上是“个体化”了的．每个学
者”、“质疑者”的作用，在教学中还应尽力丰
生都可能有自己的“节奏”，在各种思想方法
富学生的元认知知识，并经常对学生进行元
和认知策略之间，并无绝对的“好、坏”可言．
认知训练，使之学会学习、记忆和思维的技 能，从而对所进行的学习活动能够建立起良
参考文献
好的自我意识，并能作出适当的自我评价和
［１］
，
王光明
王悦．高中数学高才生与普通生的
自我改进，最终成为自觉的自我学习者和能
数学认知结构差异比较、析因与教学建议［Ｊ］．
自我调控的人．
中学数学教学参考，２００４，（１２）．
第五，创设良好的学习情境．数学学习活
［２］
李古宝
学学习过程研究口］．数学教育学报，２００５．
动始于新的学习情境，呈现新的内容首先应 创设有利于学生观察、思考、分析、辨别和抽
史可富．数学认知结构的特征与数
１４（３）． ［３］
王光明．高成效的数学教学特征［Ｊ］．课程教材
象概括的情境．在这样的学习情境中，新的知 识信息输入学生的头脑，并与学生原有认知
教学研究，２００４（５）
对一道高考题的溯源及解法探究 安徽省涡阳一中
２３３６００
蒲荣飞
２００５年高考考试说明明确指出，对于新
ＡＢ（Ｄ是边长为ｌ的正方形，且△ＡＤＥ、
教材已删去的内容不再考查，但是多面体及 相关几何体体积的计算在小学和初中都已学
△ＢＣＦ均为正三角形，ＥＦ∥ＡＢ，ＥＦ＝２， 则该多面体的体积为
习过，因此，在高考试题中出现多面体体积的 计算应属正常范围．
（Ａ）等（Ｂ）等（ｃ）丢（．Ｄ）寻
２００５年高考全国卷工第５题
如图ｌ，在多面体ＡＢＣＤＥＦ中，已知 万方数据
本文将先追溯该题的源头，然后再给出 该题６种不同的解法．