第 11 卷第 2 期
数 学 教 育 学 报
Vol.11, No.2
2002 年 5 月
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
May., 2002
论数学活动的过程知识 涂荣豹，宁连华 （南京师范大学 数学与计算机科学学院，江苏 南京
210097）
摘要：就当今数学课堂教学而言，过程教学异化为结果教学的现象相当普遍．主要原因之一就是：在过程教学的理念 下，仍以获取结果知识为最终目的而设计教学．从数学活动的动态特征来看，“过程知识”是普遍存在的，它与提高学生的 数学素养，培养学生的创新能力密切相关．因此，以获取过程知识为目的而设计教学应作为数学教学改革的重要取向之一． 关键词：数学活动；过程知识；结果知识；教学改革 中图分类号：G421
文献标识码：A
文章编号：1004–9894（2002）02–0009–05
数学教育研究的主题应立足于学生的主体性
些实物、模型及现代技术手段进行的验证、探索、
发展，这一建设性表述的首要表征便是数学教学观
发现及评价活动．例如：数学教学中的测量、绘图、
念的重塑．而数学教学观必然受制于数学观，考察 数学观的改变，不难发现：将数学看成一种绝对真 理的静态数学观正向着承认数学是人类的一种经
制作、演示及程序设计等体验性活动．活动的特点 已经由初始的“用石子数数”、折纸、摆放等素朴 的活动拓展到现今信息技术支持的动点追踪、回归
验或拟经验活动的动态数学观转变．
分析等程序化活动，无论是活动的内容还是活动的 形式都不可同日而语． （2）算法方面．主要是指以演算习题为主的实
1 数学活动的特征 对数学活动的理解， 一般定位在下述 2 个层面： 其一，数学知识的形成是从生活实践活动中逐步积 累的结果，具有以活动为基础的经验知识，历次精 微的过程性特征；其二，数学是人类的一种创造性 活动，这种活动是由问题、语言、方法、命题组成 的复合体．显而易见，前一种理解带有“素朴的直 观性” ，而后一种观点充斥着“哲学的韵味”，2 者 之间其实存在着一种“连续性”或“谱系”关系， 而并非是截然不同的 2 极．苏格兰数学家波塞尔对 此概述道：“数学是人类的一种最重要的活动．它 不只是一种游戏，尽管我们喜欢玩它；它不只是一 种艺术，尽管有时它是至高无上的艺术；它并不像 哲学家所想象的是无聊的一小步、一小步推理组成 的长链．数学活动是包容了从‘粗俗’的手工劳作 到‘高雅’的理性发现的系统活动． ”[1]这种表象性 的描述，尽管可以增进我们对数学活动的理解，但 并没有涉及到具体的数学活动内容，对实际的数学 教学缺乏明确的外显指导性．为此，有必要着眼于 数学教与学的角度，考察数学活动的一些具体的特 征： （1）实验方面．数学的实验活动即是指借助一
际操作、训练等技能性活动，涉及到计算、验证、 修正、模拟等多种智力参与的行为活动，是数学学 习者获得数学技能的基本途径，也是数学认知的基 础性活动，镶嵌着明显的“个性特征”．学习者必 须亲自投入这种活动，分析问题所呈现的信息，融 入问题的情景，主动地组织、操作对象，甚至以“机 械化”活动方式达到熟练化、自动化的程度，从而 为进一步反省抽象活动奠定基础． （3）形式方面．主要指通常所说的“数学的思 维活动”特征，是以数学符号为载体，通过抽象、 概括、演绎、归纳、分析、综合、反省等进行的头 脑中的操作活动，涉及到公理、定理、证明等多个 因子．一般认为，这种活动属于头脑中的“暗箱” 操作，不易把握和控制．其实并非如此，学习者的 思维活动表现为一个过程，通过适当的方式可以将 这个过程显性化．比如，教师教学中的现推、现想， 展示失败、修正的原过程，学生学习中的调控、诘 问的行为，都能在一定程度上折射出思维活动的真 实情景． （4）直觉方面．数学学习者在获取一定的个人 体验，具备一定的数学知识与技能的基础上，逐渐 形成一定的直觉活动能力，通过感悟、猜想、合情
收稿日期：2001–11–30 基金项目：中学数学分层次教学研究（[苏]教研 200168） 作者简介：涂荣豹（1947—） ，男，江苏南京人，全国高师数学教育研究会副理事长，主要从事数学教育研究．
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推理等直觉的认识活动、直觉的理解活动、直觉的
过程知识．因此，与其说过程知识是一种知识，倒
发现活动，对求证或求解的问题及其结论从逻辑意
不如说是一种基于经验的素养，是从事数学活动者
义上的认同过渡到心理意义上的认同．它是数学家
所获得的具有个性特征的能力与观念，包括猜想、
发现、创造数学的有力手段，也是数学学习者从事
假设、直觉、合情推理及元认知等多种因素．其获
再发现活动不可忽视的方面．
得过程是复杂的：一方面必须有学习者个体的自主
数学活动的上述几个方面没有也不可能涵概
参与活动，别人无法代替；另一方面必须经过长时
活动的全部特征，只不过勾勒出一个大概轮廓．其
间的积累，是一个渐进的过程．因此，如果我们将
实，数学本身是一项处于混沌状态的活动，其形式
结果知识看作是钓到几条鱼，那么过程知识则是在
是多种多样的，其内容是丰富多彩的．比如，以听、
钓鱼活动中对失败和成功原因的体会以及由此对
说、读、写为特征的数学交流活动，也是数学活动
鱼的生活习性的把握．
的一个主要方面，尤其是数学教与学所涉及的重要
由于过程知识的动态性及潜隐性，很难对其进
活动．但无论哪种活动都强调学习者的自主参与
行明确的界定．但从数学活动的特征着眼，过程知
性，别人任何形式的代替都会削弱数学活动的效
识主要涉及到伴随活动过程的体验性、策略性及元
力．
认知知识．可从下述几个相关类型加以考察，以在
2 数学活动的过程知识
教学中对过程知识的获取有个较为明确的目标．
数学活动的多样性和动态性决定了数学知识 的复杂性．但按照通常的说法，数学知识是指那种
（1）情景—经验型．指在一定的问题情景中， 学生通过观察、操作、实验、猜想、交流等数学经 验活动而建构的知识，它又可分为 2 个方面：一是
用数学术语或数学公式来表述的系统知识（陈述性 知识和程序性知识），而往往忽略另外一种在数学 活动过程中形成的，不能或很难用言语、文字或符
活动过程中获得的动作体验；二是知识获得过程中 的认知经验．例如：学习“映射”的概念，就可以 “学生与其学科成绩的对应”、 “机动车与车牌号码
号系统表述的“缄默知识”[2]——只可意会、不可 言传的个人知识．为便于区分，不妨将前者称为结 果知识，而将后者称为过程知识．结果知识是一种
的对应”等具体问题情景作为“支架”，使其形成 建构知识所需的认知经验．而在几乎所有几何知识 的学习过程中，学生从具体材料的操作活动（如折
显性的静态知识，本质上是公开的和社会性的；而 过程知识则是一种隐性的动态知识，本质上是潜在 的和个人化的．结果知识的生存要依靠过程知识，
纸、制作、叠合、画图、测量、图像追踪等）中获 得关于几何的直观感觉，形成关于空间形状的表 象，即是一种动作体验．在数学的概念、命题学习
过程知识几乎支配着整个的数学活动，是获取结果 知识的向导．比较而言，过程知识与人们的活动和 观念之间具有更大的“亲和性”．这是因为，它融
过程中往往需要借助这种类型的过程知识，建构本 质意义上的数学理解． （2）问题—解决型．这类过程知识较为宽泛，
入了个体特定数学活动场景中的特定心理体验，渗 透着那些不可言喻的、下意识或潜意识的个性感 受，对数学学习者本人而言是鲜活的、有生气的、
因为问题解决本身就是一种典型的数学活动过 程．这类过程知识的特点，可以从问题解决的展开 过程来把握．①问题表征．问题解决者依据问题情
温暖而亲切的． 事实上，人们都有这样一种体会：学过的数学 知识，若今后不再直接从事数学工作，很快就会忘
景及其所蕴含的信息，通过联想、类比、阐释等相 关操作，对问题作出具有个性特点的表征．这一过 程中，不仅调动了问题解决者诸多方面的经验和潜
掉．然而，不管从事什么工作，唯有深深铭刻在头 脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、 推理方法，甚至经历的挫折，却随时随地发生作用，
能，为解决问题做好了准备；同时，也使问题解决 者在“数学化”的理解过程中，获取相关组织策略 方面的过程知识．②探寻解题途径．问题解决者在
使人受益终生[3]．这些所谓数学的精神、数学的方 法、失败与挫折，不能说没有“传授”的功绩，但 更多的则是学习者自主参与数学活动中的体验、领
理解问题的基础上，综合运用已有的经验探寻改变 问题初始状态的策略和手段，选择相应的认知操作 方式，在自由支配的“空白时间带”内，大胆地尝
悟、反思基础上的升华，也正是数学活动中获得的
试、探索，积累新经验，形成选择策略方面的过程
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涂荣豹等：论数学活动的过程知识
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知识．③弹性化的操作方式．运用所选择的认知操
于过程知识的获取与拓展，是活化数学课堂、提高
作，改变问题的初始状态，使之达到或接近目标状
学习效果、实现主体性发展的重要途径[6]．为了获
态．但所选策略并不总是可行的，经常会出现困难
得与拓展数学活动的过程知识，应特别关注以下几
和无法实施的情景，这就需要灵活处理，及时改变
点：
操作方式．在尝试错误的过程中，可以获得重要的
（1）着力创造过程知识．教师必须意识到数学
执行策略方面的过程知识．④反思与调节．这是对
活动中大量过程知识的重要性，改变教师只是一个
策略是否适宜，当前状态是否接近目标，问题是否
显性结果知识的传授者，一切教学活动归约于结果
已获得解决以及失败的原因的整体反思．经过反
知识需要的观念．应当树立这样的观念：过程知识
思，对问题解决策略作出修正，有时甚至需要对问
不仅在结果知识的获得方面可以起到基础的、辅助
题的初始状态和目标状态作出重新表征，改变解题
的和向导的作用，更为重要的，过程知识既是大容
策略．显然，这类过程知识的突出特点是以学生自
量知识的载体，也是培养良好数学素质的载体，获
[4]
我分析、自我监控、调节为主的元认知策略知识 ．
取过程知识与获取结果知识一样应当成为数学的
（3）方法—观念型．这是数学活动中所获取的
主要目的．从致力于学生发展的角度，获取过程知
过程知识的最高境界．特别需要指出的是，这类过
识才是提高学生数学素养、培养创新意识的真正动
程知识不仅必须在学习者的自我活动过程中才能
力和源泉．数学家克莱因曾极力倡导：留给学生自
获得，且更为重要的它是一个渐进的过程，是一次 次的活动过程中积淀、凝结、内化的结果．这类过 程知识包含 2 种特征成分[5]：一是技术性成分，主
由活动的空间，他获得的就不仅仅是一个数学问题 的解决、一种数学方法的掌握，而是一个从整体意 义上对数学活动的领悟．从本质上说，这种“领悟”
要指抽象、推理、概括、化归、推广及应用的各种 意识，它对数学方法的形成、对灵活地支配和运用 这些方法有重要价值，对解题策略的形成也有直接
正是要获取过程知识．数学教学应更多地关注过程 知识，关注能够创造过程知识的数学活动．因此， 教学中要力求设计多样化的数学活动形式，创设恰
的影响；二是哲学性成分，在反思的过程中形成， 主要指经过提炼、升华形成的信念，它能给所有反 应提供方向和力量，对数学态度的培养和形成也有
当的问题情境，提供观察、实验、操作、猜想、归 纳、验证等方面丰富、直观、具有生成性的背景材 料、蕴涵数学化过程，反映出思维的动向，帮助、
重大作用．从某种意义上说，这类过程知识即是指 数学的素质．如果一个人具备了这种数学观念知 识，那么，它就成为一种稳固的基本素养，即使将
引导学生参加数学活动，竭力使学生在获取大量动 态过程知识的基础上，完成知识的建构活动． （2）恰当表征过程知识．由于过程知识蕴涵在
来具体的数学知识逐渐淡忘了，但扎根于他头脑中 的数学思维方法、研究方法、推理方法等观念型的 知识却能随时随地的发挥作用，使他受益终生．
动态的数学活动过程之中，因此过程知识往往具有 一定的潜隐性、隐蔽性、模糊性、粗泛性，也难免 盲目和片面．这正如数学家克里斯戈尔所描述的：
3 过程知识对数学教学的启示
数学活动过程中所获得的知识总是不够精确的和 片面的，其整体结构好像一片原始森林，或者说是 交相缠绕的树枝．因此，过程知识如果仅停留在量
可以肯定地说，在数学教学过程中，不仅存在 着大量的结果知识，而且更多地存在着大量的过程 知识；不仅存在着具体的过程知识，而且存在着过 程知识的“认知模式”．但由于数学教学的目标导
的积累，而不进行一定的提炼、梳理、整合，充其 量不过是经验的堆砌，难以升华为知识网络的一部 分[7]．数学教学中，引导学生有效地表征过程知识，
向总是定位在结果知识的获取，而忽略或抑制了过 程知识发挥的空间，以致使学生在数学活动中难以 意识和应用隐性的过程知识，一般都是在外部强力
延展知识建构的疆域，是对结果知识教学的超越与 发展．这是一种语言化过程，一种符号化过程，一 种体验领悟的过程，一种自我反思的过程，本质上
的驱使下应用纯粹的逻辑力量和机械训练，来掌握 显性的结果知识．这正是学生的数学素养欠缺，创 新意识薄弱的症结所在．
是一种自我建构的过程．作为一种语言化过程，必 须弱化“满堂灌” 、 “一言堂”对课堂交流氛围的强 约束，构建“数学共同体”真诚、自由的和谐交流
数学教学中，充分把握数学活动的特点，着眼
环境，使学生能不受约束地将自己在活动中的所
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感、所思、所悟，伴随着具体的见解和认知模式显
创新．单纯的结果知识的评价范式，缺乏对学生总
现出来，并在此基础上进行检讨、修正、批判和利
体数学活动的客观认识，很容易挫伤学生“做数
用．作为一种符号化过程，教师应根据具体的活动
学”、体验数学的积极性，从而阻碍学生创新能力
情景，分析、判断学生可能出现的困惑，以及蕴存
的提高．如果学生以自己的活动方式积极、主动地
于过程中的体验，帮助学生将那些难以说清的过程
探索数学，即便没有记住公式、掌握定理，也不应
知识用一些特殊的符号，如概念图式、关系网、类
该以一个“什么都没学会”去定论，他在数学活动
比码等表征出来，并对它们进行理性分析和检
中的感悟、体验、甚至经历的失败都是达到高水平
验．作为一种体验和领悟的过程，过程知识更加具
数学理解所必需的中间阶梯．因此，尊重学生自主
有个人建构的性质，因而并不存在准确和唯一的形
参与数学活动所获得的过程知识，将其作为一个重
式，不同的个体往往获得不同的过程知识，随着过
要的评价指标，应是数学课堂教学改革的重要环
程知识的不断扩充、推敲和修正，逐步由模糊趋于
节．
清晰，由反复趋于稳定，由凌乱趋于条理，从而使
在数学教学和学习中“要重结果，更要重过
过程知识获得比较令人满意的表征，进而形成具有
程” ，这已是数学教育研究领域的基本共识，但“重
充分个性特征的过程知识结构．作为一种自我反思
过程”不是抽象的口号，它有具体而丰富的内容，
的过程，教师要首先反思自己学习、教学中的过程
数学活动的过程知识就是“重过程”的具体内涵．
知识，然后选择合适的方式引导学生监控，调节自 己的数学活动过程，对基于体验的“信息体”进行 抽象化，并进行编码，从而不断地提高其元认知水
参考文献：
平． （3）客观评价过程知识．过程知识在教学中能 否获得它所应具有的地位和作用，根本在于应该怎 样认识、评价它．就目前的数学课堂教学而言，效 果优劣的评判总是围绕着结果知识的掌握而展开 ——学生是否记住了一个数学概念、公式、定理， 是否会用某种方法解题，是否会用规则进行运算、 推理、证明，并把这些作为考试、考察的基本指 标．这导致几乎没有人去关注学生在数学活动过程 中所犯“错误”背后涵概的个性化的过程知识，或 者“奇思怪想”所映衬的基于体验的首创精神．其 实，真正能够衡量和甄别学生认识能力和水平的不 是他们对静态知识的记忆、再现和简单应用，而是 他们从数学活动中获得的过程知识出发，对静态结 果、知识所进行的动态理解、阐释、批判、综合和
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Process Knowledge of Mathematical Activity and Teaching Reform TU Rong-bao, NING Lian-hua (Mathematics and Computer Science College, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing, 210097) Abstract: As the mathematical teaching and learning today, as concerned, the phenomena that the process teaching was changing into the result teaching was rather universal. One of the primary reasons was that the object of teaching design was to acquire the result knowledge. The process knowledge, which was universal, had compact connection with the students’mathematical capacity and initiative. Therefore, an aim of the reform in the mathematical teaching should be to acquire the process knowledge.
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涂荣豹等：论数学活动的过程知识
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Key words: mathematical activity; process knowledge; result knowledge; teaching reform
[责任编校：陈汉君]
纪要
全国高师数学教育研究会 2002 年常务理事会会议纪要 全国数学教育研究会常务理事会于 2002 年 1 月 5 日～1 月 7 日在天津师范大学举行．参加会议 的常务理事共有 21 人． 本次会议的议程有 4 项： （1）研究会 2002 年 年会的会议主题、时间和地点； （2）当前数学教育 研究的热点问题； （3）加强研究会自身建设问题； （4）理事会的换届问题． 会议邀请南京师范大学单墫教授作了题为“具 体与抽象”的学术报告． 会议就数学教师专业化、数学教育人才培养、 中国数学教育的传统、数学教育研究方法等问题展 开了广泛的讨论．大家对数学教师专业化问题给予 了充分的关注，认为教师专业化是世界教师教育发 展的潮流．当前，教师教育的重心已经从追求教师 职业的专业地位和权利逐渐转向教师的专业化及 自主性发展．关注教师专业化，抓住机遇，迎接挑 战，应是我会广大会员必须面对的重要问题． 会议就加强我会自身建设问题进行了讨论．与 会成员一致认为，作为一个从事数学教育研究的学 术团体，研究会应当营造浓厚的学术氛围，努力提 高我们的学术水平．应当努力为广大会员创造条 件，开展多种形式的学术研究和交流活动（研究会 将选择适当时机，组织重要的数学教育研究文献的 研讨并举办专题报告会）．研究会应当团结全国广 大数学教育工作者，积极壮大我们的队伍，吸收科 研院所、综合性大学、高师院校数学系以外的系 （所）等单位中从事各层次数学教育工作的人员参 与研究会工作，以使我会有更加广泛的群众基 础．另外，研究会还应当加强与数学教育学术期刊 的联系． 会议决定全国高师数学教育研究会 2002 年年 会于 2002 年 10 月下旬在武汉召开．年会主题是： 数学教师专业化：数学教师教育发展的潮流为有利 于学会会员准备年会论文．在年会主题下，提供下 列参考性研究专题： （1）数学教师专业化发展的意 义、内涵； （2）高质量数学教师的标准； （3）数学 教师专业化意义下的数学教育专业课程设置； （4） 数学教师专业化要求下的数学教师培养模式； （5） 中国数学教育的传统（特长和问题）；（6）数学教 育的现代发展问题； （7）数学教育研究方法问题； （8）数学课程改革的哲学基础问题．
2002 年年会论文的征集，实行推荐加评选的办 法．各省分会在筛选的基础上，向全国研究会推荐 （篇数不限） ．全国研究会对各省推荐的论文进行评 奖，对获奖者颁发证书．如果论文达到较高要求， 将考虑结集正式出版． 会议号召我会全体会员积极参与我国当前的 数学教育改革，深入开展理论与实践研究，认真撰 写论文，为开好新世纪的第一次年会，为我国数学 教育事业的发展做出自己的贡献． 会议对理事会的换届选举问题进行了讨论．根 据我会章程的规定，每届理事会任期 4 年．本届理 事会于 2002 年 10 月任期届满．会议决定在 2002 年年会期间进行换届选举工作，并就换届工作程序 作出如下安排： （1）第四届理事会选举委员会由第三届理事会 理事长、副理事长、秘书长和副秘书长组成，具体 事务委托秘书长负责． （2）第四届理事会、常务理事会产生的办法如 下： 各省、直辖市、自治区分会在充分酝酿协商的 基础上，提出本地的全国高师数学教育研究会第四 届理事会候选理事名单，名额为 2 至 3 人（一些重 点省、市、区的名额可酌情增加）．没有成立分会 的地区由当地各师范院校协商产生． 在各地提出理事名单的基础上，协商产生全国 高师数学教育研究会第四届理事会． 在理事会的基础上协商产生常务理事会，并由 常务理事会协商推举理事长、副理事长、秘书长和 副秘书长． 各省、直辖市、自治区分会应于 2002 年 9 月 30 日之前将本地推举的全国高师数学教育研究会 第四届理事会候选理事名单报秘书长章建跃处． 通讯地址：北京沙滩后街 55 号 人民教育出 版社中学数学室 邮编：100009 E-mail：zhangjy@pep.com.cn
全国高师数学教育研究会 2002-01-20