首都师范大学学报 ( 社会科学版) Journal of Capital Normal University ( Social Sciences Edition)
1999 年第 6 期
( 总第 131 期)
数学能力发展的四等级模式 连四清 周春荔
【摘 要】 数学能力发展一直是数学教育界关注和研究的重要课题之一 。本文 分析了传统数学能力观的局限性 ,并以广义的知识观为基础 ,重建了数学能力发展的 四等级模型 : 产生式规则的归纳 —概括能力 、 条件再认能力 、 顺向推理能力和探究能 力。 【关键词】 陈述性知识 程序性知识 数学知识 产生式 数学能力
一 、 传统数学能力观的局限性
“掌握知识是形成数学技能的基础 ,同样也是 发展数学能力的基础 : 反之数学能力的发展
数学教育的核心任务是培养和发展学习
也促进知识的掌握和技能的形成”,这种将三
者的数学能力 。然而 , 我国目前流行的数学
者并列阐述 ,虽然强调了三者的辨证关系 ,但
能力观相对滞后于社会发展的需要 。主要表
实质上并没有脱离出形式训练学说的束缚 。
现在以下几个方面 :
第三 ,如果将数学能力限定于后天习得
第一 ,有关数学能力的一些基本概念相
能力 ,那么脱离开数学知识来谈数学技能的
对陈旧 。一些元认知能力与认知能力关系的 研 究 ( Harmon & Morse , 1995 ; Masqud ,
形成和数学能力的发展 , 不符合数学能力发
1997 ; Maxwell , David
& David , 1997 ;
知识的获取不仅仅是相辅相成的 , 从个体数
Thompson , 1998 , 陈英和 , 1996 等 ) 表明 : 元
学能力发展来看 , 更重要的是数学知识的获
认知能力越强 , 其表现出认知能力也越强 。
取和数学能力的发展是并列进行的 。即随着
有关元认知能力发展的实验研究均表明 : 元
数学知识学习的进行 , 学习者就会逐步提高
认知能力是从认知活动过程中分化出来的一
自身的数学能力 。
展过程的实际情况 。数学能力的发展与数学
种对自身认知过程进行更有效的监控能力 ,
总之 ,传统数学能力观对数学能力进行
而且这种能力也是可以通过后天习得的 。而
的探索具有一定的意义 , 但由于缺乏数学学
当前我国流行的数学能力的发展理论并没有
习心理学理论的指导与实验研究的支持 , 使
将元认知能力发展明确地纳入到数学能力发
得有关数学能力的发展理论难以为数学教师
展的范畴之内加以研究 。
所应用 。例如 , 传统数学能力观虽然强调了
第二 ,关于掌握数学知识 、 形成数学技能
数学知识 、 数学技能和数学能力三者的辨证
和发展能力的关系这一课题的研究 , 都认为
关系 ,但总使人感到数学教师在传授数学知
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连四清 、 周春荔 : 数学能力发展的四等级模式
识和促使学习者形成数学技能之外 , 还存在 第三项任务 , 即培养和发展学习者的数学能 力 。因此一种简单易行的方法就是在学习者 形成数学技能后 , 再通过解大量人为造作的 习题来提高学习者的数学能力 。
二 、 广义的数学知识观 自本世纪 70 年代以来 ,特定领域的知识 开始出现在认知心理学的研究领域 , 并成为 认知心理学研究的核心问题之一 。大量的知 识丰富领域的学习研究 , 确立了两种广义的 知识观 。 一种是以安德森为代表的自适应控制学 习理论的知识观 , 这种知识观认为人类的知 识可以分为两类知识 : 陈述性知识和程序性 知识 ,并用产生式来表示程序性知识 。该理 论认为 ,学习者首先要将陈述性知识解释成 一般的产生式规则 ,然后通过编辑 、 调优来简 化推理过程 , 提高解题效率 。即学生应先获 得知识的一般解释 , 然后通过有效的练习来 形成和发展技能 。但一些实验研究 ( Stadler , 1989 ,Willingham , Nissen & Bullemer , 1989
等) 得到了相反的结论 : 陈述性知识不一定先 于程序性知识获取 , 甚至于在特定领域内的 程序性知识的学习可以在不了解陈述性知识 的情况下进行 。这一结论也得到了我们进行 的实验研究 ( 连四清 , 童加 , 张燕勤 ,1999 ( 待 发) ) 的验证 : 通过恰当地呈现学习任务 ,被试 可以在不了解“因式分解”概念的情况下 , 学 会将整式表示为两个多项式的乘积 ( 因式分 解) 。 另一种是以 Newell 和 Simon 为代表的 “自适应的产生式系统”( Adaptive Production System) 的学习理论 。该理论将人类用来解 决问题的知识 ( 包括对解决问题本身进行控 制的策略性知识) 统一地表示为产生式 ,而不 去强调陈述性知识和程序性知识的区分 。只 要获取了这些产生式规则 , 人或计算机就能
解决相应的问题 。这一理论得到了人工智能 研究 ( Newell , Shaw & Simon , 1958 , 1959) 和示例演练学习的广泛的实验研究结果的支 持 。如 Neves 将自适应产生式系统的学习理 论的观点用于建构一元一次方程解法的计算 机学习程序 , 经模拟这一程序可以获得一元 一次方程解法的产生式规则 , 随着学习的进 一步深入 ,计算机能够更有效 、 更快速地解决 类似的各种问题 。示例学习实验研究 ( Zhu , Simon , 1987) 表明 : 学习者可以通过样例和 解决问题来获取产生式规则 。我们进行的高 中数学学习难点的教学实验也表明 : 将运用 复数乘法几何意义解几何问题的知识统一地 表示为产生式规则 : 如果向量 O Z1 表示的复 数为 z 1 , 将向量 O Z1 按逆时针方向旋转 θ2 角 , 将模扩大 r2 倍 , 得到向量 O Z2 , 那么向量 O Z2 表示的复数为 z 1 ・r2 ( cosθ2 + i sinθ2 ) 。
设计相应的教学材料以突出产生式的条件线 索 : 向量的旋转和模的伸缩变换 ,通过围绕产 生式条件线索进行的教学指导 , 有利于学习 者应用这一知识解决几何问题 。 综上所述 ,人类解决问题的数学知识 ( 包 括策略性知识) 可以统一地表示为产生式规 则 。在这种知识观下 , 后天习得的数学能力 都是由知识构成的 , 这样就可以用广义知识 来解释数学能力的发展 。
三 、 用广义知识观来重建数学能力 发展模型 对于专家的问题解决行为的研究 ( Si2 mon , 1986 : Larkin , 1980 : Greeno , 1978 等 ) 结果表明 : 专家解决熟悉特定领域问题时 ,往 往表现为模式再认的问题解决方式 。专家之 所以能够很快地解决常规问题是因为有大量 的模式可供解决问题时作索引 。这种通过模 式再认 ,激活相应知识解决问题的现象 ,同样 存在于数学领域内的问题解决的活动中 ( 朱 新明 , 1983 ; 施 铁 如 , 1988 : 邵 光 华 , 1997 101
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等) 。这种基于模式再认的数学问题解决过 程与数学知识的产生式表示是相一致的 。朱 新明 ( 1996) 在总结大量实验结果后认为 : 人 在提取产生式解决问题时 , 要以识别产生式 的条件为前提 , 人对隐含在问题情境中的条
被试对数学式子的变形很少需要回看已有的 解题过程 ,而能力弱的被试在解逆向问题的 过程中 ,更多地要回看已有的解题过程 ,在具 体的解题过程的引导下获得答案 。这说明能 力强的被试能够很快地归纳和概括产生式规
件线索的敏感与否 , 直接影响问题解决的效 率 。因此我们认为数学能力的发展主要表现 在对产生式条件认知的技能的发展 。这种技 能的发展突出地表现为能从概念 、 定理 、 公式 和法则的各种变式中辨认或创造条件模式 。
则 ,可以在形成的产生式规则的引导下对数 学式子进行变形 , 而能力弱的被试则不能 。 也就是说数学能力发展的初期 , 特定数学知 识的获取就表现出明显的个体差异 , 这与教 学实际是相符的 。
在数学学习研究的基础上 , 参照目前能 力实验研究中的五等级模型 , 我们提出数学 能力发展的“产生式规则的归纳 —概括能力 、 条件再认能力 、 顺向推理能力 、 探究能力”四 等级模型 : 11 产 生 式 规 则 的 归 纳 — — —概 括 能 力 。
21 条件再认能力 。产生式条件部分可
以看成是调用相应产生式的一种索引 , 它确 定在什么情况下调用产生式 。在问题解决的 过程中 ,当产生式的条件得到满足时 ,就会执 行相应的动作 ; 如果条件得不到满足就无法
在数学能力发展的初期 , 学习者要利用已经 掌握的数学知识 , 在一些一般过程性知识的 指导下解决一些新问题 , 通过解决问题形成 对某种动作 ( 或操作) 条件的自我解释 , 这种
正确地执行相应的动作 。在获取产生式的基 础上 ,随着学习者解决同类问题次数的增加 , 解决问题的方法和过程发生了变化 , 即可以 通过再认为熟悉的条件模式 , 直接提取相应 动作来完成解题活动 。
解释在得到不断的验证的基础上 , 学习者归 纳出初步的产生式规则 , 并将它推广到同类 问题中 ,最终形成相对概括化的产生式规则 。 例中学和做中学 ( 朱新明 , 1997 ) 的实验 研究表明 : 在考察例题和解决问题过程中 ,一
在数学能力发展初期 , 学习者形成的产 生式规则的条件部分是以某种特殊形式表征 的 ,与具体数量或图形的位置有关 。为了发 展学习者基于条件模式识别的顺向推理能 力 ,学习者必须通过解决问题 ,熟悉条件的各
方面被试首先要调用先前知识来解释面临的 新问题 , 即对执行某种动作 ( 或操作) 的条件 作出合理的解释 ,另一方面 ,在解决新问题的 过程中 ,被试对产生式的条件与动作之间的 联系得到不断的验证 , 从而逐步完善所学的
种变式 ,能够快速 、 准确地识别出隐含在简单 问题情境中的条件模式 。 学习者在解决条件变式的各种问题时 , 必须有选择地注意与条件模式有关线索的信 息 ,利用已有的经验对注意到的线索进行解
新知识 。与例中学和做中学不同的是 , 接受 学习模式下对动作作出合理的解释一般是教 师提供的 。无论在何种学习模式下 , 运用例 子来验证解释的正确性是一样的 。 在对数学知识作出合理解释的情况下 ,
释 ,从而激活产生式的条件部分 。因此在条 件变式的各种问题解决的过程中 , 学习者逐 步发展出一些有效的问题解决策略 , 如对条 件线索的注意 。这些策略将以产生式规则的 形式加入到控制系统中 , 在以后的问题解决
学习者要获得数学知识必须归纳出初步的产 生式规则 , 并将其推广到同类的对象中去 。 数学公式学习实验研究结果表明 : 能力强的
中加以应用 。 31 顺向推理能力 : 随着各种条件变式问 题的解决 ,学习者产生规则条件组块在逐渐
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连四清 、 周春荔 : 数学能力发展的四等级模式
扩大 ,对条件线索越来越敏感 ,从而升华为基 于条件模式再认的顺向推理能力 。 大量关于专家和新手的问题解决行为研 究表明 : 专家看到问题时 ,注意的是已知的是 什么 ,从问题提供的数据 ,就立刻想到用哪些
系的有效解题策略性知识 2 : 如果一个函数 可以转换为 f ( x ) = A sin ( w x + φ) + B ,则 可以运用产生式 1 。这种策略的获得就扩大 了应用产生式 1 的条件模式 。因此 , 在顺向 推理能力发展过程中 , 学习者已有的知识组
工具能得到新的信息 , 从而对已知线索之间 的相互关系增进了解 。也就是说 , 专家看到 一种条件线索 ,从中马上进行推理 ,从这个推 理中又得到尽可能多的信息 , 这样对问题情 景就有了进一步的了解 。这种简单 、 立即就
织和存储发生了变化 , 对知识在各种问题情 境下的表现形式开始注意 , 通过不断地概括 已有的解题经验 , 获得可扩充原有产生式条 件的策略性知识 。 41 探究能力 : 顺向推理能力发展到高级
能得到答案的过程称为即时推理 , 即时推理 是支持顺向推理的心理机制 。而新手展现的 过程是基于手段 — — —目的分析的逆向推理方 法解决问题 。专家只有在解决问题遇到困难 时才按照与新手相同的方法去解决问题 。这
阶段 ,就是探究能力 。学习者对复杂多变的 问题情境进行抉择 , 通过分析 、 推理 、 引申和 适当的变通原有产生式的条件模式 , 寻求问 题的可解途径的能力就是探究能力 。 一些问题的解决更多地需要从呈现问题 的已知信息 ( 包括待证结论和待求对象的信 息) 进行加工 , 通过加工发现新信息 , 从而对
表明顺向推理能力是迅速 、 正确地解决常规 问题的机能系统 ,具有经常 、 稳定的性质 。 大多数数学问题的解决 , 得到最后结果 或结论的产生式条件往往不是直接展现在问 题情境中 ,需要根据问题的条件线索 ,调用若 干个产生式进行推理 , 才能获得结果 ( 或结 论) 的关键线索 。如下列求函数值域的问题 : ( 1) f ( x ) = sin ( w x + φ) ±sin ( w x + φ) ; ( 2 ) f ( x ) = sin ( w x + φ) ・cos ( w x + φ) ; ( 3 ) f ( x ) = a sin x + b sin x + c ; (4) f ( x ) = asin ( w x + φ) + bsin ( w x + φ) + c;
问题情境有更多的了解 。在发现问题新的解 决方案时 ,表现为一种突发事件 ,这种事件人 们把它称为“顿悟”。我们认为 , 这种问题解 决所表现出来的能力是高于顺向推理能力水 平的探究能力 。 探究能力的发展主要表现为以下几个方 面: ( 1) 个体的意识增强 : 探究活动中 , 客观
…… …… 由于上述函数一旦化成了 f ( x ) = A sin ( w x + φ) + B 的形式 , 问题也就很快得到解决 。
上要求解题者独立 、 自主地思考 ; 主观上解题 者开始萌发自主的意识 。在寻求问题解法的 过程中 , 解题者经历失败和成功 , 体验和反 思 ,在不断地总结解题经验的基础上 ,开始理 解自我实现 。 ( 2) 个体对探究活动的意识在增强 : 在探
对于产生式 1 : 若函数为 f ( x ) = A sin ( w x + φ) + B ,则函数 f ( x ) 的值域为 [ - | A| + B , | A| + | B| ] , 其条件具有引发人们进行推理 的功能 ,即利用已有产生式进行上述函数式
究活动中 ,对问题提供的信息进行适当的转 换 ,如把问题置于背景知识中来考虑 ,问题可 以看作什么 ? 还能看作什么 ? 有时还需要对 问题的某些信息赋予新的意义 , 作出重新的
的转换 。由于上述函数是一个开放系统 , 因 此不断运用产生式 1 , 其引发人们进行推理 的功能得到验证 , 就构成与产生式 1 密切联
解释 。这些行为表明 , 个体逐渐增强了对探 究活动的认识 。 ( 3) 能广泛迁移的认知策略性知识的获
(5) f ( x ) = asin2 x + bsin x cos x + ccos2 x + d ; ( 6 ) f ( x ) = sin6 x + + cos6 x ;
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得和应用 : 西蒙指出 ,需要发现和创造的问题 是它的解法不能从已有问题情境中清晰地推 导出来 ,而需要进一步了解大量的任务信息 。 这时解题者只能利用一些不依赖于特定领域 的知识的所谓弱方法来解决问题 。几乎所有
duction system models of learning and development , Cam2
的弱方法在发现一个适当的解之前要经历或 多或少的探索 。Polya 在总结多年从事数学 研究的基础上 , 提出了一些探索数学问题的 解的策略性方法 ,如扩大联想范围 ,想一想解 过的类似问题的条件信息或结论信息 ; 盯住
1978. 2. 191～195.
目标 ,加强条件或减弱条件等等 ,实际上这些 方法是独立于数学知识之外的启发性策略性 知识 。应用这些策略 , 可以使得探索表现为 一种高度选择性的行为 。 可见 ,探究活动是对数学活动的认识活 动 ,也是实现主体解题思想的活动 ,这种活动 为进一步学习数学知识积蓄力量 。 上述数学能力的四等级模型 , 是以产生 式规则的获取和综合应用的不同层次来反映 数学能力由初级到高级的运动发展过程 , 为 数学教学中数学能力分层目标设定提供了依 据。 参考文献 : 1. Harmon , M. G. & Morse , L . W. . Strategies and knowledge in problem solving : results and implications for ed2 ucation. Education. 1995. 115. 115～125 2. Maxwell , J . B , David , J . G. & David , J . W. . Indi2 vidual differences and strategy selection in reasoning. British Journal of Psychology. 1997. 88. 437～492. 3. Maqsud , M. . Effects of metacognitive skills and non2 verbal ability on academic achievement of high school pupils. 1997. 17. 387～397. 4. Thompson , W. B. . Metamemory accuracy : Effects of feedback and stability of individual differences. The Amecican Journal of Psycology. 1998. 111. 33～42. 5. Anderson , J . R. . Production system , learning and tu2 toring. In D. Klahr , P. Langley , & R. Neches ( Eds) , Pro2
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( 作者连四清系首都师范大学教学系讲
师 ; 周春荔系首都师范大学数学系教授 100037)