心理科学进展 2007，15（1）：36~41 Advances in Psychological Science
工作记忆在数学运算过程中的作用 连四清
林崇德
（首都师范大学数学科学学院，北京 100037） (北京师范大学发展心理研究所，北京 100875)
摘
要
Baddeley 和 Hitch(1974)提出的工作记忆模型被广泛地应用数学运算领域，但是已有研究还缺乏系
统性。首先，当前的研究主要集中在加法和乘法两种运算上，较少涉及减法、除法和更为抽象的代数运算； 第二，研究者对语音环路和中央执行系统的作用进行了较深入的研究，但常常忽略视空间模板的作用；第 三，工作记忆在数学运算过程中的作用具有动态性，它受到一些外部因素、数学任务内在因素和个体认知 因素（如认知策略）的影响；第四，几乎有关研究都肯定中央执行系统在数学运算过程中的重要作用，然 而负荷于中央执行系统的次级任务所含成分或功能的复杂性，导致我们很难确定中央执行系统如何作用于 数学运算。对这些问题的研究将是未来可能的研究方向。 关键词
工作记忆，数学运算，语音环路，视空间模板，中央执行系统。
分类号
B842
数学运算技能或能力既是人类日常生活中所
由于工作记忆和短时记忆的历史渊源，所以有
必需的生活基本技能或能力，也是进一步学习抽象
关工作记忆和数学运算关系的研究起源可以追溯
数学知识的基础。数学运算通常需要较多的工作记
到更早的短时记忆研究。 1959 年， Peterson 和
忆资源[1,2]，但是数学运算和工作记忆的研究长期处
Peterson 通过插入三位数的倒计数任务来阻止被试
于一种分离状态。现代心理学的研究开始打破这种
的复述短时记忆项目[8]，其本质上符合工作记忆的
界限，尝试将数学运算和工作记忆联系起来进行研
信息存储和加工的同时性特点。这一研究方法后来
究。
逐步发展为工作记忆作用研究的双任务（dual-task）
1 研究起源及其方法
范式，并在有关工作记忆与数学运算关系的研究中
工作记忆系统为复杂任务（如言语理解、学习
被广泛采用。双任务范式是要求被试完成一项主任
和推理）提供临时的存储空间和加工的信息来源。
务（如证实算术加式是否成立）的同时完成另一项
目前，尽管心理学家提出了很多的工作记忆模型[3]，
负 荷 于 工 作 记 忆 子 系 统 的 次 级 任 务 （ secondary
但是 Baddeley 和 Hitch（1974）提出的三成分工作
task），如语音任务（articulatory suppression）和保
记忆模型在数学运算研究领域得到了广泛的应用
持特定的记忆项目。其基本实验逻辑是：如果含有
。 该 系 统 由 三 个 成 分 组 成 ： 语 音 环 路 （ the
工作记忆成分的次级任务干扰了主任务的完成，那
phonological loop）、视觉空间模板（the visual spatial
么就可以推断主任务和次级任务需要利用共同的
sketchpad）和中央执行系统（the central executive
工作记忆成分。否则，就可以推断主任务的认知过
[4]
system）*。其中，语音环路和视空间模板分别存储
程不需要该工作记忆成分的参与[9]。双任务范式可
和保持语言信息和视觉空间信息。中央执行系统类
通过实验来确定不同的工作记忆成分在认知技能
似于一个注意控制系统，它与集中注意、计划、行
中的作用，但是次级任务所含工作记忆成分的单一
[5~7]
为控制、提取有着密切的关系
性将影响到实验推断的正确性。
。
2 简单算术运算和工作记忆 简单算术运算是指参与运算的数介于 2 和 9 之
收稿日期：2006-08-25 通讯作者：连四清，E-mail: liansq@mail.cnu.edu.cn
间的基本运算。有关研究主要解决语音环路、视空
∗ 2000 年 Baddeley 在工作记忆记忆系统中增加了一个情景记
间模板和中央执行系统是否参与简单算术运算，以
忆（episodic buffer）子系统，至今为止还没有研究者对这
及如何参与的问题。
个子系统作用进行研究。 36
第 15 卷第 1 期
-37-
工作记忆在数学运算过程中的作用
有提取和提取顺序的控制等中央执行成分。
2.1 语音环路和简单算术运算 最早对语音环路是否参与简单算术运算进行 [9]
Lee 和 Kang 研究还发现复述非词项目并不影
研究可以追溯到 Lemaire 和 Abdi 等所做的工作 。
响减法运算[15]，但是 Seyler 和 Kirk 等的研究发现
此后的二十多年来，研究者一直尝试确定语音环路
语音环路负荷既增加了问题大小效应，而且增加了
是否用于储存和保持简单算术运算的信息。算术认
听力广度组间的差异[16]。两项研究中，被试来自于
知模型研究表明，不同的算术运算（如，加、减、
不同的教育背景，这可能导致他们应用不同的策略
乘、除四则运算）可能会激活不同的表征形式和神
来解决减法问题。如，来自于东亚国家的成年人或
经通路[10]，因此，将一种运算上得到的实验结果简
年轻人通常用提取策略来解决减法问题，他们可能
单地推广到其他类型的运算上。虽然对简单算术运
通过视觉代码来提取减法知识。但是来自于西方的
算进行的实验报告在增加，但是至今为止还没有见
被试，即使他们学习过减法知识通常较少使用提取
到对工作记忆和四种基本运算的关系进行系统的
策略，而使用计数策略来解决减法问题[17~19]。对运
研究。为此，我们将以基本算术运算类型作为线索
算策略和工作记忆关系的研究表明，应用不同的运
来回顾已有的文献。
算策略（如计数，分解或提取）可能需要不同的语
双任务范式的研究中，通常以语音任务作为语 音环路负荷的次级任务。早期的实验研究对语音复
音环路资源
[20]
。
2.2 视空间模板和简单算术运算
述速度的要求非常严格，如，Lemaire 和 Abdi 等要
与语音环路不同，视空间模板在简单算术运算
求被试以两秒钟一个单词的速度复述“the”。结果
中的作用并没有受到研究者足够的重视。就某些问
表明：语音任务影响真等式的证实，但并不影响假
题解决策略而言，如估算策略，视空间模板的作用
[9]
等式的证实 。对复述速度做出非常严格的要求可
是不能够被忽略的[10]。然而，视空间模板不用于储
能导致语音任务中含有中央执行成分，如控制或保
存和保持简单乘法运算信息并不出乎我们意料之
持一个恒定的发音速度。为此，De Rammelaere 和
外。因为简单乘法运算知识（如，“九九乘法表”）
Stuyven 等在实验中只要求被试大声且快速地复述
是通过反复背诵获得的，因此它们的信息表征形式
“de” （荷兰语），降低复述速度的要求消除了语音
或加工可能会具有更多的语言特征[10]。已有的两项
[11]
任务在真等式上产生的干扰效应
。在后续的研究
研究确实提供了支持这种观点的证据。如，Seitz 和
中，研究者延续了这种言语复述速度的要求，这样
Schumann-Hengsterler 应 用 手 动 任 务 （ hand
做可以较好地保证了语音任务所含复述成分的单
movement）来增加视空间模板的负荷。结果表明，
一性。De Rammelaere 等人进一步证实了语音任务
手动任务不影响简单乘法运算[14]。Lee 和 Kang 要
[12,13]
。实际上，经过大量练
求被试在解决简单乘法运算的过程的同时在大脑
习后，被试可以从长时记忆系统中直接快速地提取
中保持星号的映像，结果表明：星号保持同样不影
答案。这种情况下，被试不需要在语音环路中储存
响简单乘法运算[15]。但是他们发现，要求被试保持
和保持加数、被加数和答案的信息。
星号的映像会对减法运算产生干扰。这说明，视空
并不影响简单加法运算
除简单加法运算外，研究者还对简单乘法、减 法运算进行了研究，但是对于语音环路是否参与这
间模板可能参与简单减法运算。 2.3 中央执行系统和简单算术运算
两种算术运算，研究尚未得到一致的结论。如，Seitz
虽然研究者采用了不同算术任务类型（如，生
和 Schumann-Hengsterler 应用白噪音任务和语音任
成任务（production task）和证实任务），不同的运
务两项次级任务来分别增加语音环路的负荷，要求
算类型（如加法、乘法），不同的中央执行系统的
被试完成简单乘法的证实任务（verification task）。
负荷任务，但是实验结果都支持中央执行系统在简
结果表明：两种语音环路负荷的次级任务并不干扰
单算术运算过程中具有重要的作用。如，实验都表
[14]
。但是，Lee 和 Kang 发现，复述
明，负荷中央执行系统的次级任务既干扰简单算术
非词的字母串（如，kfgtrm, kfgtrm）显著干扰乘法
生成任务的完成，也干扰证实任务的完成[9,11~14]。
运算[15]。两项研究采用了不同语音环路负荷次级任
虽然如此，次级任务所含中央执行成分的复杂性和
务，这可能是导致不同实验结果的主要原因。如，
“纯净性”是当前研究需要解决的问题。在已有的
要求被试按字母顺序复述无意义的字母串可能含
研究中，多数研究利用随机字母生成（random letter
简单乘法运算
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2007 年
心理科学进展
generation，RLG）任务作为中央执行系统负荷的次
现时间限制的多位数加法任务不产生影响。Fürst
级任务[9,11,14,20]。一些研究表明，随机字母生成任务
和 Hitch 还发现，在语音任务条件下，进位次数的
含有多种中央执行成分，而且还具有语音环路的保
增加使得被试出现了更多的错误[25]。
[21,22]
。如，RLG 任务需要被试在工作记忆系
Rammelaere 降低复述速度的严格要求（如连续
统中保持住随机性的要求，和保持住已经报告字母
而大声复述）后，语音任务仍然延迟了多位数加法
以保证后续报告字母的随机性，这些成分实际上与
的反应时间和增加了运算的错误率[13]。值得注意的
语音环路的复述成分有关，而且字母的提取和对随
是，Rammelaere 首次在实验中对进位次数和进位数
机性的控制分别与中央执行系统的提取和控制成
值两个变量进行了区分[13]，结果发现：进位数值和
持成分
分有关。为此，De Rammelaere 和 Stuyven 等引入
语音环路的负荷交互影响多位数加法的运算，但进
随机时间间隔生成任务（the random time interval
位次数和语音环路负荷并不交互影响多位数加法
generation, RIG），该项任务要求被试在数字键（如
运算。从上述研究表明，语音环路参与多位数加法
“0”键）上敲打出一个时间间隔具有随机性的节
运算，而且也参与多位数加法运算的进位操作，如
奏
[12]
。该项任务虽然可以减轻语音环路的负荷，但
用于保持进位数值。Noël 和 Désert 等的研究为语音 环路参与多位数加法运算提供了更为直接的实验
是其的中央执行成分仍然较为复杂。 为 了 更 好 地 分 离 中 央 执 行 成 分 ， De
证据，他们发现被加数和加数中数字的音素特征越
Rammelaere 首次在研究中采用了随机间隔决策任
相似，多位数加法（呈现时间为 1500ms）的时间越
[13]
务（the random interval decision，RID）
，该任务
长，错误率也越高[26]。
要求被试根据随机出现的高低音来做出反应选择。
与多位数加法研究相比较，多位数乘法和减法
研究表明：RID 任务所含中央执行成分较为单一，
运 算 的 研 究 还 很 初 步 。 Seitz 和 Schumann-
而且对语音环路影响较小[7]。随着中央执行系统研
Hengsterler 对语音环路在多位数乘法运算过程中的
究的深入，研究者可能通过寻求或采用较“纯”的
作用进行了研究[14]，结果表明：语音任务干扰了多
中央执行任务来揭示中央执行系统如何作用于简
位数乘法运算。这说明，语音环路可能参与多位数
单算术运算的工作记忆机制。
乘法运算。Seyler 和 Kirk 等提供了语音环路参与减
3 多位数算术运算和工作记忆
法运算的实验证据[16]。如，字母回忆任务显著干扰
较简单算术运算而言，多位数运算和工作记忆
大问题（被减数为 10 到 18 的问题），而且听力广
关系较早受到研究者的重视。历史上，Hitch 首次
度（listening span）高组受到的干扰显著低于听力
利用实验证明工作记忆用于保持多位数加法运算
广度中组和低组。
。但是该项
综合已有研究的实验结果，我们认为：语音环
研究并没有区分语音环路、视空间模板以及中央执
路在多位数运算中的作用具有一些动态性特点。
行系统的作用。后续研究主要解决哪些工作记忆成
如，已任务的呈现时间进行操作可能会改变语音环
[23]
的起始信息、中间结果以及中间结果
分参与多位数运算。
路参与多位数加法运算的方式[24~26]。也就是说，短
3.1 语音环路和多位数运算
时间呈现任务要求被试不得不保持住所有的问题
Logie 和 Gilhooly 首先利用双任务范式来研究 语音环路在多位数加法运算过程的作用
[24]
。实验发
现，无论语音方式，还是视觉方式呈现的连加任务 都受到语音任务的干扰。Fürst 和 Hitch 以两个三位 数的加法的生成任务为实验材料，来研究语音环路
信息，从而增加语音环路的负荷；而任务信息一直 呈现在显示器上，被试可以通过视觉信息重新登记 来获取起始信息，从而减轻语音环路的负荷[25]。与 此类似的是，如果在实验中采用延迟报告答案 [23] 的时间，那么工作记忆系统参与多位数运算的方式
。在实验中，Fürst
也可能会发生变化。根据工作记忆理论的观点，我
和 Hitch 对加法任务的视觉呈现时间进行了操作，
们应该可以预期呈现时间与延迟报告答案对运算
即将呈现时间分为两种：短时间呈现（4000ms）和
时间或正确率的交互影响。
无呈现时间限制（即信息保持到被试按键做出反应
3.2 视空间模板和多位数运算
在多位数加法运算中的作用
[25]
。对错误率进行分析的结果表明：语音
关于视空间模板在多位数运算过程中的作用
任务干扰短时间呈现的多位数加法任务，但对无呈
的研究较少。至今为止，我们只发现两项关于多位
[25]
后消失）
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工作记忆在数学运算过程中的作用
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数加法运算的研究，并没有发现关于其他三种运算
荷不存在显著的交互作用，与中央执行系统的负荷
的实验报告。Logie 和 Gilhooly 等比较了双任务条
存在显著的交互作用。相反，进位值与语音环路负
件下的多位数连环加法的错误率[24]。研究表明：在
荷存在显著的交互作用，与中央执行系统负荷不存
语音方式呈现多位数加法任务时，无关图片
在显著的交互作用。这些结果说明，进位次数的增
（Unattented Picture）和手动等次级任务对主任务
加直接增加了中央执行系统的负荷，而进位值的增
没有产生显著的干扰效应；但是在视觉方式中，手
加则更直接地增加了语音环路的负荷。
动任务显著干扰多位数加法，无关图片并不影响多
虽然可以肯定进位需要利用中央执行系统资
位数加法。有关视空间参与多位数加法的结论，并
源，但中央执行系统是如何作用于进位，目前有不
没有得到更多的实验证据的支持。如，Noël 和 Dé
同的观点。一种观点认为，在多位数加法运算过程
sert 等[26]在实验中引入加数和被加数的视觉特征相
中，个位、十位、百位上的数字相加的运算程序将
[27]
来刻画数的视觉特征相似程度，结果表
首先被启动，因此执行进位时首先需要打断已经启
明：数字视觉特征的相似程度并不影响多位数加法
动的运算程序，即抑制已经启动程序[13,26]。由于运
的运算。
算程序具有很强的启动优势，所以在运算过程中会
似系数
Logie和Gilhooly等的研究中对手动任务有一个
经常出现忽略进位的错误。在实验研究中，对错误
严格的速度要求，如严格按照鼓点一秒钟敲打一个
类别的分析较好地支持了这种观点。如Fürst和Hitch
按钮的速度完成任务[24]。与语音任务中复述速度一
发现被试常常出现忽略进位的错误[25]。另一种观点
样，严格控制的敲打按钮的速度可能含有中央执行
认为，与不进位的算术运算（如，“23+34”）相比
成分，因此，手动任务对视觉方式的多位数加法的
较，进位的算术问题（如“29+34”）要执行较多的
干扰效应可能来自于中央执行系统的负荷，而不是
运算步骤。如，将提取“9+4=13”加到十位数“2+3”
视空间模板的负荷。因此，从目前的研究看，我们
上，而不是其他位置上。由于进位问题增加了需要
还难以确定视空间模板是否参与多位数运算。
中央执行系统协调的步骤数，所以进位次数越多就
3.2 中央执行系统与多位数运算
需要中央自行系统进行更多的协调[17]。尽管我们尚
与简单数学运算一样，虽然我们可以肯定多位 数加法运算和乘法运算需要利用中央执行系统资 源
[13,14,24,25]
，但是由于次级任务所含的中央执行成
不完全清楚RLG任务的中央执行成分[28]，但是进位 需要利用中央执行系统资源是可以肯定的。
4 总结与展望
分较为复杂，所以其结果还缺乏可解释性。也就是
数学运算是一个范畴很广的概念，它可以用来
说，我们难以从实验结果中推断是何种中央执行成
泛指对“数”或“式”的变形过程。从目前研究来
分参与多位数运算。与简单算术运算领域的研究一
看，有关工作记忆在数学运算过程中的作用的研究
样，近年来研究开始关注实验结果的可解释性问
还很初步，而且还很不系统。正如前面所述，目前
题。不同的是，研究者一直较为关注中央执行成分
还存在许多问题需要我们进一步探讨。
在进位或退位操作中的作用。 Logie和Gilhooly等最早对中央执行系统在进位 过程中的作用进行了研究[24]，但是在这项实验研究
首先，已有研究主要集中在加法和乘法两种运 算上，较少涉及减法和除法。由于不同的算术运算 可能具有不同的信息加工过程，所以工作记忆在四
中，他们对进位次数的操作不是非常严密。此后，
种基本运算过程中可能具有不同的作用。相反，数
Fürst和Hitch对“进位次数”这一研究变量进行了更
学运算的认知加工的研究已经开始关注四种基本
严密的操作，他们根据进位次数把三位数加法问题
运算表征系统的关联性[29]。为此，对工作记忆在四
分为三类：0次、1次和2次。实验中，他们以跟踪
种基本运算过程中的作用进行系统的研究，或对工
“字母—星期几”序列（如，C—Friday, D—Saturday,
作记忆作用与基本运算的分离性进行研究将是未
E—Sunday, …）（简称跟踪任务，trail task）作为
来的一个研究方向。另外，较算术运算而言，代数
中央执行系统负荷的次级任务[25]。结果表明：随着 进位次数的增加，跟踪任务的干扰效应也随之增 加。值得注意的是，近年来，研究者开始注意到区 分进位次数和进位值[13]的区别。如，De Rammelaere 区分这两个变量后，发现：进位次数与语音环路负
运算信息更为抽象和复杂。代数运算领域的研究 [30,31]
起步比算术运算的研究要早，但是相比较算术
运算而言，代数运算领域的研究却没有得到研究者 足够的重视。因此，另一个研究方向就是将研究拓 展到代数运算领域或更抽象的超越数领域。
-40-
心理科学进展
第二，研究者将更多地将注意力集中在语音环 路的作用上，而忽略了视空间模板的作用。实际上， 我们认为，数学语言既具有语言特性，而且在某些 情况下它可能具有更多的视空间特性。一方面是因 为多位数信息中含有空间位置的信息，即相同数字 的不同排列表示不同的数；另一方面，通过心算完 成任务时，被试不仅要在工作记忆系统中保持中间 结果的数字，同时要保持住这个数字所在的位置。 而 位 置 信 息 需 要 利 用 视 空 间 模 板 来 储 存和 保持 [32,33]
。另外，Rourke 总结自己和他的合作者的研究
发现仅具有算术学习不良的儿童在视觉空间的认 知能力上表现出特有的缺陷[34]。这些都说明，视空 间模板可能在算术运算过程起着重要作用。相比较 算术运算信息而言，代数运算信息可能具有更接近 视空间信息的某些特征[35,36]。也就是说，代数运算 是否需要利用的视空间模板资源。对于这一问题尚 需要进一步研究。 第三，综合已有研究看，工作记忆在数学运算 过程中的作用不是一成不变的，这种作用受到一些 外部因素、数学任务内在因素和个体认知因素（如 认知策略）的影响。如，数学任务的呈现时间[25]、 呈现通道 [24] 可能改变语音环路和视空间模板的参 与方式。同样，一些数学任务本身的因素也可能影 响到工作记忆的参与方式。从目前的研究看，有关 这些因素对工作记忆在数学运算过程中的作用的 影响并没有得到系统的研究。据此，我们认为，系 统地考察这些因素对工作记忆作用的影响将成为 一个重要的研究方向，对其的研究将有助于揭示工 作记忆作用的动态规律。 第四，从已有研究结果看，无论是简单算术运 算还是多位数运算，中央执行系统起重要作用。但 是，对中央执行成分或功能的研究还很不深入[28]， 被广泛采用的随机字母（或数字）生成任务含有中 央执行成分的复杂性，这些都会导致难以解释中央 执 行 系 统 如 何 作 用 于 数 学 运 算 。 为 此 ， De Rammelaere 等人建议采用“纯”中央执行任务，如 随机时间间隔生成任务或随机间隔决策任务 [7,12,13]
。因此，在工作记忆理论或结构研究的基础
上，选择和采用“纯”中央执行任务以便更好地分 离中央执行成分将成为未来研究的一个方向。简言 之，未来的研究不是关注中央执行系统是否在数学 运算过程中起作用，而是应该更加关注其如何起作 用。
2007 年
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Lin Chongde2
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（ Institute of Mathematics Science, Capital Normal University, Beijing, 100037, China） (2 Institute of Development Psychology, Beijing Normal University, Beijing, 100875, China)
Abstract: The vast majority of empirical work on working memory and mathematical calculation had been done within the three-component model proposed by Baddeley, & Hitch(1974). Literatures on the subject were not systematic. Firstly, those reviewed researches were focused on addition and multiplication, and were rarely involved in abstraction, division and more abstract algebra calculations. Secondly, researchers paid more attention to the role of phonological loop and central executive system, and the role of visual-spatial sketch pad were often overlooked. Thirdly, the role of working memory in mathematics calculations would be dynamical, and be changed by external factors, intrinsic factors of math tasks, and individual cognitive factors (e.g. cognitive strategies). Finally, almost all of empirical results suggested that the central executive system play an important role in mathematical calculations, but it was difficult to determine how executive components acted on them because secondary tasks included more executive functions. The adequate solution of these problems will be the direction of future studies. Key words: working memory, mathematics calculation, phonological loop, visual spatial sketchpad, central executive system.