第 11 卷第 4 期
数 学 教 育 学 报
Vol.11, No.4
2002 年 11 月
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Nov., 2002
数学解题学习中的元认知 涂荣豹 （南京师范大学 数学与计算机科学学院，江苏 南京
210097）
摘要：解题的元认知结构是数学解题认知结构的重要组成部分．波利亚的解题理论给出了没有冠以心理学名词的解题 元认知理论体系．数学解题元认知能力的提高，有赖于解题学习者善于运用波利亚的“提示语”以及善于提炼具有个人风格 的“提示语”． 关键词：元认知；数学解题；怎样解题表；提示语 中图分类号：G420
文献标识码：A
文章编号：1004–9894（2002）04–0006–06
拙文《数学解题的有意义学习》[1]提出，数学
程及结果或其它相关事情的知识”，是“为完成某
解题学习是有意义的发现学习，所以按照有意义学
一具体目标或任务，认知主体依据认知对象对认知
习理论，必然是，解题者已有的解题认知结构对整 个解决问题的学习过程起着决定性的作用．数学的 解题认知结构由解题知识结构、思维结构和解题元
过程进行主动的监测，以及连续的调节和协调”[3]， 是“个人对认知领域的知识和控制”[4]．因此，元 认知被简单地表述为“关于认知的认知”[5]． 1.2 认知与元认知
认知结构组成．关于解题知识结构和思维结构，文 [1]已经进行了比较详实地阐述，本文拟就数学解题 学习的元认知问题进行深入探讨．
1 “元认知”思想的脉络 1.1
元认知起源
认知与元认知这 2 个概念究竟有什么区别？ 实验研究表明，认知与元认知是可以分离的 2 个概念[6]；元认知与一般能力倾向存在独立性．实 验发现[7]：元认知可以弥补一般能力倾向的不足， 它是作为与一般能力倾向相对独立的一种因素起
“元”的概念来源于对“内省法的自我证明悖 论”的哲学思索 [2]．卡蒙特（Comte）认为，同一 器官如何能够同时既是观察者又是被观察者呢，因
作用的． 元认知和认知作为 2 种心理活动，其主要区别 在这样几个方面：
而“内省法”存在“自我证明悖论”．为了解决这 一悖论，哲学家塔尔斯基（A. Tarski）引进了“Meta” 即“元”的概念．他针对“客体水平”提出了“元
在内容方面．认知活动的内容是对认知客体进 行某种智力操作，如代数中的因式分解，就是按照 代数运算的法则将一个多项式分解成若干质因式
水平”的概念：客体水平是“关于客体本身的表述” ， 而元水平则是“关于客体水平表述的表述”．这 2 者之间的区别，使得一个过程可以作为同时进行的
的乘积．元认知活动的内容则是对认知主体和正在 进行的认知活动进行智力操作，如在因式分解中元 认知活动的内容可以有：“我是否就问题的特点进
2 个或 2 个以上不同水平的进程来分析，其中任何 一个较低层次进程都可以成为一个较高层次进程 的对象．因此内省可看作是，认知主体对自己所进
行了深入的分析（监察）？我对各项之间关系的辨 认是否正确（监察）？运用运算法则的过程是否有 错（监察）？我所进行的代数变形对解决问题是否
行的关于客体水平的意识做出元水平的言语表 述．这样一来，关于内省法的自我证明悖论就得到 了解决．与此同时，“元”的概念给予心理学家以
有利（预测）？能否进行别的代数变形？我是否见 过类似问题（调节）？”等． 在对象方面．认知活动的对象是外在的、具体
启示，产生了“元认知”的思想． 元认知最初被表述为“个人关于自己的认知过
的事物，如因式分解的对象是一个多项式，回忆的 对象是相关的概念、公式、方法或过去经历过的某
收稿日期：2002–10–28 基金项目：中学数学分层次教学（[苏]教研 100168） 作者简介：涂荣豹（1947—） ，男，江苏南京人，全国高师数学教育研究会副理事长，江苏省数学教育研究会理事长，南京数学学会秘书长，南 京师范大学教授，主要从事数学教育研究．
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涂荣豹：数学解题学习中的元认知
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个问题．元认知活动的对象实际是认知主体自身，
问题中还有一部分是以解题者自身为对象，针对主
主体内在的心理、抽象的认知过程等．因此，元认
体内部心理抽象认识过程的，属于元认知性的．
知活动的前提是主体必须把自身作为一种独立的
譬如说， “你以前见过它吗？” “你知道一个与
客体来看待．例如在因式分解过程中：“我有没有
此相关的问题吗？”“现在有一个与你问题相关的
认清和理解了相关的概念和公式？我能不能重新
问题，你能利用它吗？”“你能不能重新叙述这个
认识和理解当前的问题？我还可以运用什么方
问题？你能不能用不同的方法重新叙述这个问
法？我能不能换一种分解或组合的方式？我是否
题？”“回到定义去．”“你是否利用了所有的条
曾经遇见过与此相关的问题？”等．
件？”“你是否考虑了包含问题在内的所有不要的
在目的方面．认知活动的目的是使认知主体取
概念？”[8]
得认知活动的具体结果．例如在因式分解时，学生
这些问题并没有直接涉及问题的具体内容，完
将一个多项式提取公因式、运用乘法公式或换元、
全是针对主体自身思维，是对自身解题思维活动的
分组变形，为的是使这个多项式变为几个质因式的
反诘，是自我监察，自我意识，自我预测，自我调
乘积，这是认知活动的目的．元认知活动的目的是
节，自我监控[9]．其实这就是元认知，只不过没有
监控认知活动的进展，给主体提供有关进展的信
冠以元认知的专有名词而已．这也许就是某些纯数
息，间接地促进和推动这种进展．当然，元认知和
学“家”所说的“数学自己的心理学”吧．
认知活动在终极目标上是一致的——使认知主体 完成认知任务，实现认知目标． 在功能方面．认知活动可以直接使认知主体取
在波利亚对解题表的运用所给出的例子中，可 以看到更多这样的元认知思想． 2.2 波利亚解题元认知思想剖析
得认知活动的进展；而元认知则是通过对认知活动 的调控，促进主体获得认知活动的进展，因而其促 进作用是间接的而非直接的．
其实， “怎样解题表”[8]本身就是一个完整的数 学解题的元认知体系．解题表既给出了解题的程序 ——一种程序性知识，又给出了解题的策略——如
因此，从本质上看，元认知是与认知有所区别 的另一种现象，它反映了主体对于自己“认知”的 认知，而非“认知”本身．同时可以看到，元认知
何使解题效果更好的自我监控知识．它对解题过程 给出的“提示语”就是典型的元认知知识． 对于“弄清题意”，波利亚认为：在解题过程
与认知在功能上是紧密相联、不可分割的，2 者的 共同作用促使个体实现认知目标．
中解题者常常会翻来覆去地在脑子里掂量着问题， 试图使它看起来更简便，这可以问一下自己：“能 重新表述一下这个问题，使之尽可能简单、有启发
2 波利亚的元认知思想 虽然“元认知”概念提出较晚，但元认知思想 已有悠久历史，古今中外的许多先哲均有所涉
性吗？当然要使问题表述得更熟悉，更有吸引力， 更接近于问题和更有希望解决． ”[10] 这种对自己思 维趋向的提示，是地道的元认知活动．至于具体如
猎．在数学教育研究领域，波利亚则堪称提出解题 元认知思想的第一人．波利亚首先是数学家，因而 他对数学解题的研究没有运用什么心理学的名词，
何重新表述，是把条件或结论变形，还是把整个问 题变形？是把未知量或已知量变形，还是把 2 者同 时都变形？这些具体的策略和方法属于知识和技
但这并不影响他对数学解题中心理问题的研究和 贡献．如果从心理学的角度来欣赏，波利亚的数学 解题理论堪称数学解题心理学的精品，特别是其中
能，更倾向于认知而不是元认知． “回到定义去”是波利亚的最强调、最常用的 提示语．“把问题所给的因素返回到定义去考虑，
所蕴涵元认知思想更是令人叹为观止，拍案叫绝． 2.1 波利亚的解题元认知思想例说
使我们可以引进某些新的因素，而这些新的因素转 而又引出更多的新因素，如此继续下去，就可以把 问题的思路进一步展开．这种展开往往能使我们更
波利亚解题理论中最著名的首推他的“怎样解 题表”．表中有大量提示性的问题，但这些问题不 是问别人，而是问自己，实际是解题者的自我诘问， 自我反省．问题中有一部分其对象是针对问题具体
接近于问题的解． ”[10] 对于“拟订计划”，波利亚用一系列的提示语 来诱发一个“好念头”，作为解题的核心环节，这
内容的，也就是“客体水平”的，属于认知性的；
些起监控作用的提示语都是元认知知识．
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这一系列提示语在拟订解题计划中起着统摄
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较满意的复述，或找到某些有用的新因素[10]．
作用，统领解题者自己闪现一个好念头——解题思
波利亚关于“对自己提出的猜想应该保持一种
路．例如，“这是什么类型的问题？它与某个已知
理智的态度（坚持或放弃）”的思想，也是一种元
的问题有关吗？它像某个已知的问题吗？你知道
认知知识．不轻信所做的猜想，也不轻易改变自己
一个相关的问题吗？你能设想出一个同一类型的
的猜想．即使有足够的证据，猜想也需要论证；即
问题、一个类比的问题、一个更一般的问题、一个
使不能论证猜想，也不要轻言放弃；一旦发现证据
更特殊的问题吗？”循着这些元认知提示，问题可
不足需要改变猜想，就毫不犹豫做出决断．
能就被归入某一类，并且在试着找出它与已知问题
对于“实施计划”，波利亚提出“对每一步演
关系即相同之处的过程中，可能会发现一个熟悉的
算和推理进行检验”，“补充细节”，“耐心检验每
可以用于当前问题的模型，这样就有了一个好念
一步”，“能清楚地看出这一步是正确的吗”，“不
头，至少有一个出发点——也许会学生引导得出解
要放过任何含糊之处” ．这些也都是元认知活动．
[10]
的道路的第一段
．
波利亚提出的“目标意识”——“看着未知数” ， “盯着目标”也是一种元认知意识．波利亚指出：
对于“回顾解题”，波利亚强调要通过对解题 的回顾，达到“能一下子看出问题的解”．这是培 养解题者的“题感”，实际是对问题的敏感，一种
目标启示着手段，对目标的考虑可能会启发找到一
解题的元认知体验．
个途径．考虑了目标，问题就一个接着一个出来 了：……这些提问引导了一条“倒退”的途径：如 果能发觉了推出问题未知量的“已知量”，那就可
波利亚主张通过解题回顾形成良好解题认知 结构，指出：“货源充足和组织良好的知识仓库是 一个解题者的重要资本．良好的组织使得所提供的
以把这些“已知量”选做辅助问题的目标，就可以 从后往前推了[10]． 波利亚还提出“接近度”——解题思路探索时
知识易于用上，这可能比知识广泛更为重要．”“在 任何主题中，都会有一些关键事实（关键问题、关 键定理） ，你应当把他们放在记忆库的最前面．”[10]
与解题目标的接近程度的思想，“能不能把问题重 新表述得使未知量和已知量、结论和假设看上去彼 此更加接近呢？”这是一种解题的元认知体验，这
波利亚数学解题理论可谓充满了元认知思想， 如果称其为数学解题元认知理论的创立人，那决不 为过．
种体验有利于调节解题的思维方向．一个具有一定 元认知能力的解题者，常常在解题中“对自己走向 目标的步伐和目标接近的程度，以及任何影响自己
3 解题的元认知体验和元认知监控
计划前景的变化都会有敏锐的感觉”．“如果手头 的问题是一个没有希望的问题，当然不应该在里面 陷得太深． ”[10]为此就应该自我意识： “这问题有解
监控组成．元认知结构的成分包括元认知知识和元 认知体验．元认知知识有元认知特征知识，元认知 任务知识，元认知策略知识和元认知评价知识．这
吗？或者这问题的结论成立吗？问题的条件足够 了吗？要使问题有解或结论成立，还需要哪些条 件？”等．这些预测、估计和调节，属于元认知范
里着重讨论解题的元认知体验和元认知监控． 3.1 解题的元认知体验
畴．如果要进一步回答这些问题，则涉及的具体技 术，与具体知识有关，属于知识的领域． 如果进展令人失望，应该“重新估计形势，回
有意识的认知体验或情感体验．所谓体验一般是没 有明确编码、甚至难以编码的信息，近似于通常所 说的“感觉” 、 “意会” ，像心理图像，隐约的类似，
到问题最原始的构思上去，重新考查未知量、已知 量、条件，或者假设和结论”——“你把所有的条 件都考虑进去了吗？你把所有的已知量都用上了
朦胧的情境，难以明言的预期等，这些都是认知体 验．元认知体验主要是主体在某一认知活动中，对 认知对象的认识和敏感程度的体验，对激活和选取
吗？你把全部假设都考虑进去了吗？你对问题所 涉及的所有概念都了解了吗？”这些问题可以帮助 认知主体返回到某些词句的意义上去，提醒自己应
策略方法的体验，对认知活动进展的体验． 对问题情境中各种因素及其之间关系和变化 的敏感，属于元认知体验的范畴．这种敏感包括 2
该弄明白你的问题，这样就有可能导致得到一个比
方面：
解题的元认知，由主体的元认知结构和元认知
所谓元认知体验，是伴随并从属于智力活动的
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涂荣豹：数学解题学习中的元认知
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一是，对问题情境中各种线索的敏感，这种敏
中的各种信息做出准确的知觉和分类，调动头脑中
感决定着对情境中有关信息的觉察与认知，如果不
已有的相关知识，对有效信息做出迅速选择，以恰
敏感就可能遗漏、忽略某些重要的信息，或者产生
当的方式组织信息，选择解决问题的策略，安排学
误解、偏差的认识．例如，需要利用乘法公式进行
习步骤，控制自己的思维方向．关注解题的过程性
因式分解时，如果没有对公式结构的敏感，没有对
和层次性，有意识地控制自己的解题节奏，对整个
各项指数关系的敏感，没有对幂的底数相同性的敏
解题过程做到“心中有数”，明确地意识到自己所
感，没有局部和整体关系的敏感，即使对乘法公式
采取的每一个解题步骤的意图．
记忆得滚瓜难熟，也不能有效运用乘法公式使问题 得到解决．
（2）监察，即监视和考察．在解题过程中， 密切关注解题进程，保持良好的批判性，以高度的
二是，激活和提取不同问题情境下相应策略的
警觉审视解题每一历程问题的认识、策略的选取、
知识和经验的敏感，这种敏感影响着调控对策和方
前景的设想、概念的理解、定理的运用、形式的把
法的选取，如果缺乏这方面敏感就可能在问题情境
握，用恰当的方式方法检查自己的猜想、推理、运
和方法匹配上发生困难，难以激活、提取适当的方
算和结论．
法策略，难以将一种具体问题情境下解决问题策略
（3）预见，即在数学解题的整个过程，随时估
和方法迁移到其它问题情境中去．如果从学习数学
计自己的处境，判断问题的性质，展望问题的前
解题的角度，这种“敏感”还应该包括“一种敏锐 的‘题感’，它使人在解题时能一下子抓住关键， 单刀直入，立即深入问题的核心”[11]．
景．对数学问题的性质、特点和难度以及解题的基 本策略和基本思维做出大致的估计、判断和选择； 猜想问题的可能答案和可能采取的方法，并估计各
对认知活动进展的体验，是关于已取得的进展 信息，或即将取得进展的信息．它包括活动中进行 各种尝试和联系的体验，活动中的转机和前景的体
方法的前景和成功的可能性等等，要设法使自己置 身于一个最便于行动的位置上，处在一个最易于抓 住问题的位置上．
验，活动中挫折和困难的体验，是那种走投无路而 柳暗花明的体验，那种绞尽脑汁而豁然开朗的体 验，那种不得要领而原来如此的体验．这其中包括
（4）调节，即根据监察的结果，根据对解题各 方面的预见，及时调整解题进程，转换思考的策略， 重新考虑已知条件、未知数或条件、假设和结论；
知的体验，也包括不知的体验；包括成功的体验， 也包括失败的体验． 在认知活动中，元认知知识和元认知体验是相
对问题重新表述，以使其变得更加熟悉，更易于接 近目标．如， “尽可能画一张图” ， “引入适当的符 号” ， “回到定义去” ．
互作用的．一方面，元认知体验能导致元认知知识 的增加、删除或修改，个体在认知活动中会发现目 标、策略、元认知体验和任务之间的关系，然后将
（5）评价，即以“理解性”和“发展性”标准 来认识自己解题的收获，自觉对问题的本质进行重 新剖析，反思自己发现解题念头的经历，抽取解决
这些发现同化到已有的元认知知识系统中；另一方 面，元认知知识可以帮助个体理解元认知体验的意 义以及元认知体验对于认知行为的暗示．有时 2 者
问题的关键，总结解题过程的经验与教训，反思解 题过程的成败得失及其原因；从思维策略的高度对 解题过程进行总结，从中概括出一般性规律，概括
是部分重叠的，一些元认知体验可看作是进入意识 的元认知知识的片断． 3.2 解题的元认知监控
出点点滴滴的新经验、新见解、新体会，以及对问 题进行推广、深化，寻找新的解法、更好的解法， 对解题过程或表述予以简化．评价应该贯穿于解题
从波利亚数学解题元认知思想中，可以抽取出 组成自我监控的几个主要因素：控制、监察、预见、 调节和评价．它与一般的元认知监控的组成因素既
的始终，随时进行评价，而不仅仅是在解题后． 3.3 解题的自我意识
有一致性，又有数学解题的自身特点． （1）控制，即在解题过程中，对如何入手，如 何策划，如何构思，如何选择，如何组织，如何猜
和对外界事物的意识．自我意识是人的意识的最高 形式，由于自我意识以主体及其内部活动为意识对 象，因而它能对人的认识活动进行监控和调节，它
想，如何修正等做出基本计划和安排．对学习情境
是自我监控的最高水平．在解题学习中，人的自我
意识是人对客观现实的反映，它包括自我意识
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意识是对自己在问题感知、表征、思考、记忆和体
这些提示语，促使他自己想出一个好念头．这样的
验的意识，对自己的目的、计划、行动以及行动效
指导，可以使学生找到使用各种提示语的正确方
果的意识．
法．因为这些都是元认知知识，超越了具体对对象
提高数学解题元认知能力，就是要使解题的元 认知监控上升到自我意识的水平．元认知是主体在 对客体认知的同时，把主体自身及对客体的认知作
而实用于任何问题，从而学生就学到比任何具体数 学知识更重要的东西． 4.2 善于提炼自己的“提示语”
为认知的对象，只有当各种元认知的监控达到不假
对善于解决问题而已经拥有这些常识的人来
思索，油然而生的境界，也就是上升到“意识”的
说，这些常识性提示语似乎很自然、很平凡、很不
层次，才能使主体的数学解题能力达到自己的最高
起眼，但是他们往往不注意用明确的语言来表达他
水平．数学解题的自我意识包括：问题意识、审题
的行动，而波利亚则以自己的明确意识，清晰地表
意识、联想意识、目标意识、接近度意识、猜测意
达出这些观点．
识、反思意识、概括意识等等，也就是波利亚的提
因此，一方面需要学习运用波利亚的元认知监
示语所要达到的期望．难怪单墫先生总结的解题 12
控的提示语，培养良好的解题元认知习惯，另一方
要决中，有一条就是“反复探索，大胆地跟着感觉
面解题者还应当从自己的体验中提炼和总结自己
[11]
走”
，这个“感觉”其实就是“自我意识” ．
4 解题元认知能力的培养 4.1
善于运用波利亚的“提示语”
在解题监控中的经验和体会，形成有自己风格的元 认知监控的提示语．尽管个体从事的解决问题活动 的实践千差万别，但“进行自我监控”却是从事各 种解题活动时的一种共同特征，而且个体对不同类
波利亚在他的解题理论著作中所给出的很多 提示语，都是属于元认知的范畴．因而在解题时经 常自觉地运用这些提示语，是提高解题元认知能力
型解题活动进行自我监控的实质是相同的．因此， 在任何一种解题活动中的自我监控都具有广泛的 迁移性，可以用于多种不同的实践活动上．这表明，
的有效途径．正如波利亚指出，“表中的问题除了 普遍性以外，它们也是自然的、简单的、显而易见 的，来自于普通常识．这些问题总是劝告你去做此
数学解题活动的元认知知识和体验可以用于其它 领域的解题活动之中，而其它领域解题活动的元认 知知识和体验也可以用于数学解题活动之中．
时你该去做的合乎情理的事，而对你正要解决的特 定问题并没提出具体的劝告（这正是元认知知 识）．”“如果问得是地方，是时候，就可能引出好
元认知不仅来源和运用于文化知识的学习，还 来自于游戏、体育及其它活动之中．例如学习打乒 乓球，打球者要始终监控自己的每一个击球动作，
的答案，引出正确的想法，或一个能够推动解题进 程的合宜的步子． ”[8] 波利亚提示语的常识性、普遍性，使得这些问
从球的落点、方向、速度、高度、旋转等，及时判 断该如何调整自己的击球动作，这样他的技术才会 较快地提高．游戏中也包含了许多对自己活动监
题对学生的帮助并非是强加于人的，学生自己也可 以很自然地提出类似的问题．在各种不同的问题情 境下，如果学生以各种不同的方式反复用同一个提
控、调整，因而包含了大量的元认知活动．重要的 是找出关于处理各类问题所共有的特征来；找出与 问题的主题无关的一般特征来．更为重要的是这些
示语诘问自己，就很容易引起同样的思维活动，从 而利于形成一种思维习惯．如果表中的同一个提示 语反复的对学生有所帮助，那么他就更会注意到这
元认知活动是主体独立主动进行的，其所获得的元 认知知识和体验，都是自己逐步感悟和摸索出来 的，也就是自己建构起来的，这样才可能具有很强
个提示语，从而在类似的情况下，不断地运用这个 提示语．这些提示语只不过是指出了一般的方向， 而留给学生去做的还很多．通过反复地提出这些提
的迁移性，利于迁移到其它的认知活动之中． 解题的元认知问题是一个十分复杂的心理学 领域，但由于数学与解题孪生性的重要特点，以及
示语，总会获得一次诱导出正确念头的成功．通过 这样的成功，就会逐渐真正领会它． 在解题教学中，教师为学生所能做的最大好事
像笛卡儿、波尔察略、庞加莱、阿达玛、波利亚等 数学家们的成功的自我内省研究，使得数学解题的 元认知研究有可能走在一般心理学元认知研究的
是通过比较自然的帮助，特别应当反复经常地提出
前面．
第4期
涂荣豹：数学解题学习中的元认知
11
1996．14–15．
致谢：本文的一些见解得益于天津师大王光明
[6]
Slife B D, Weiss J, Bell T. Separability of metacognition
和兰州师大宋晓平 2 位老师的启发，在此谨向 2 位
and cognition: Problem solving in learning disabled and regular
深表谢意．
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Meta-cognition on Learning of Mathematics Problem-solving TU Rong-bao (Mathematics and Computer Science College, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China) Abstract: The meta-cognitive construction on learning of mathematical problem-solving was a important part of the cognitive construction of mathematical problem-solving. Polya gave a system for the meta-cognition that wasn’t named in Psychology. The enhance of
meta-cognitive capacity in mathematical problem-solving relied on that the learner of problem-solving was good at to
apply “heuristic words” of Polya and sum up “heuristic words” of himself. Key words: meta-cognition; mathematical problem-solving; the table on how to solve problem; heuristic words
[责任编校：周学智]
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