第 16 卷第 4 期
数 学 教 育 学 报
Vol.16, No.4
2007 年 11 月
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Nov., 2007
空间几何问题解决过程中 工作记忆资源分配策略的个体差异 王小丹 1，2，连四清 2，孙雨静 2 （1．北京市第十五中学，北京 100054；2．首都师范大学 数学科学学院，北京 100037） 摘要：中学生工作记忆资源分配策略的研究结果表明： （1）随着问题难度的增加，首次内部思考时间也在增加．在解决 简单问题时，学优生与学困生的首次内部思考时间没有显著差异，但是在解决中等题和难题时，学优生与学困生的首次内部 思考时间存在显著差异． （2）学优生使用外部策略的总频数呈现随着数学问题难度的增大而增加的趋势，而学困生使用外部 策略的频数呈下降的趋势．这说明，较学困生而言，学优生能够较合理地利用工作记忆资源． 关键词：认知负荷；工作记忆；个体差异；分配策略 中图分类号：G442
1
前
文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2007）04–0052–04
言
工作记忆（working memory）是 Baddeley 等人于 1974 年提出的一个概念 [1~2] ，主要用来描述暂时性的储存与加
作记忆内外部资源分配的选择问题；刘慧娟和沃建 中（2003）[4]以初一到高三 274 名中学生为被试，以连环数 认知运算为实验材料，对中学生工作记忆资源的分配策略进 行了考察；曹宝龙、刘慧娟和林崇德（2005）[8]研究了认知
工．工作记忆是认知加工过程中随信息的不断变化而形成的
负荷对小学生工作记忆资源分配策略的影响．这些初等代数
一种连续的工作状态，其中除了暂时存储信息的短时工作记
运算研究表明：工作记忆资源分配策略可以有多种具体操作
忆（short-term working memory）外，还存在基于长时记忆
模式；策略使用具有多样性；小学生使用不同策略解决问题
的、操作者可以熟练使用的长时工作记忆（long-term working
的反应时差异显著；高年级学生比低年级学生更倾向于选择
memory） ．长时工作记忆中的信息可以稳定地、较长期的保
效率较高的策略；认知负荷的难度明显地影响到了小学生工
留，同时又可以通过短时工作记忆中的提取线索，建立一个
作记忆资源分配策略．但是迄今为止，关于工作记忆资源分
短暂的提取通路．长时工作记忆实际上是一种人们从事非常
配策略的研究多集中于初等算术认知领域，很少有研究者对
熟悉的认知活动时所表现出来的，对于长时记忆中信息的快
几何领域的内容进行研究．
速、可靠的提取与存储的能力，这种能力可以通过训练或长
本文在对高二学生解决空间几何问题的外部行为进行
期实践而获得．但是由于短时记忆中保存了长时工作记忆运
大量真实记录与考察分析的基础上，提出中学生在空间问题
作所需要的提取结构，所以，长时工作记忆必须得到短时工
解决过程中的工作记忆资源分配策略的 4 种类型与界定；试
作记忆的支持才能有效地发挥作用．总之，工作记忆是操作
图在学生解决问题的自始至终的全过程的实录中，从动态的
高级认知任务时所必备的一种暂时信息储存与加工，在许多
角度来考察中学生在几何问题解决过程中的工作记忆资源
复杂的认知活动中，如推理、语言理解、学习和心算等，起
分配策略的选择方式和使用特点，如各种工作记忆资源分配
着非常重要的作用．同时，工作记忆具有容量有限和信息保
策略的使用时间、转换频率，同一个体在不同认知负荷下策
持时间较短两大特点，从而大大地限制了人们的复杂认知活
略使用的差异，不同个体在相同认知负荷下工作记忆分配策
动，所以，当认知任务的负荷达到一定程度时，单一依靠大
略的选择与使用的差异，旨在从不同的侧面研究学优生和学
脑的内部策略是难以维持信息并进行进一步认知任务加工
困生在不同认知负荷活动中工作记忆资源分配策略的差异
的，这就需要个体使用一定的策略，使认知活动的一部分转
问题，力求对高中几何教与学有所启迪．
移到外部，以此来克服内部工作记忆容量有限的局限性，维 持认知加工所需求的信息[3]．于是，产生了工作记忆资源分 配策略的研究．策略即方法，工作记忆资源的分配策略主要
2
研究方法 实验设计：本实验采用 2（学生类型：数学学优生和数
有 3 种类型：外部策略、内部策略、内外部策略．研究表明：
学学困生）× 3（3 种数学问题难度：简单题、中等题和难题）
外部策略（如记下标记、写出数学等式、标记号等）通过外
重复测量实验设计．其中，学生类型为被试间因素，数学问
部空间来贮存信息；内部策略（如语言复述）通过内部空间
题难度为被试内因素．
来维持信息；内外部策略既用内部空间、又用外部空间来维 持信息．
被试：在北京市一所重点高中的高二年级 400 名学生 中，按数学成绩选取学优生 15 名，学困生 15 名．
Carlson 等人较早对工作记忆资源分配策略进行了研
实验材料：空间几何问题解决策略的考察，要求被试逐
究[5~7]．如，Cary 和 Carlson（2001）[7]首次考察了大学生工
一进行试卷答题测试．材料来源于北京市 2003 和 2004 年的
收稿日期：2007–07–05 作者简介：王小丹（1963—） ，女，北京人，中教高级，教育硕士，主要从事数学教育研究．连四清博士为本文通讯作者．
第4期
王小丹等：空间几何问题解决过程中工作记忆资源分配策略的个体差异
高考数学试卷，每个题目都含 3 个小题，材料按小题目的顺
53
（F(1, 29) = 22.08，p < 0.001；F(1, 29) = 20.86，p < 0.001）．这 说明，对于简单题而言，学优生和学困生的首次内部思考时
序被分为 3 种难度． 实验程序：选一间实验室，设置一台摄像机，被试逐一
间不存在显著差异，但是对于中等题和难题而言，学优生的
表现，制定被试的工作记忆资源分配策略类型；逐一统计
首次内部思考时间显著短于学困生． 表 2 首次内部思考时间重复测量方差分析结果
30 名被试在解 6 道题目时，在每一个题目的解题过程中各
方差来源
种策略的使用次数、使用时间，填入数据表；将数据输入到
数学问题难度
Foxpro6.0 的数据库中，采用 SPSS10.0 统计软件进行数据
数学问题难度×学生类型
分析．
误
进行解题试验；通过分析摄像机中记录的学生解题过程中的
差
本文将被试解决空间几何问题的策略分为 4 种，内部思 考策略，外部标识策略，外部图示策略，外部书写与计算策
SS
Df
MS
F
14 841.272
2
7 420.636
17.51***
5 230.717
2
2 615.358
6.17**
23 723.178
56
423.62
注：**表示显著性水平为 0.01；***表示显著性水平为 0.000
外部策略的频数
3.2
略．内部思考策略的表现为：不动纸笔，在头脑中进行问题
计算被试在解两个简单题、中等题和难题过程中所用的
的思考、计算与解决；外部标识策略的表现为：用笔在图形
外部标识策略的次数、外部图示策略的次数、外部书写与计
中标注符号、字母、关系、长度等；外部图示策略的表现为：
算策略的次数的平均频数，简称外部策略频数．描述性统计
用笔在图中画辅助线，或在答题纸上另画图形；外部书写与
结果如表 3 所示．从表 3 中可以看出，学优生在简单题时外
计算策略的表现为：用笔在答题纸上进行计算或书写计算过
部策略使用频数较少，中等题和难题时使用外部策略的频数
程、推理过程．这种策略分类相互间无混淆因素，便于区分，
在显著增加；但是学困生则在简单题、中等题时使用外部策
而且与几何问题解决的行为分类也一致．
略的频数较多，难题时使用的外部策略频数明显减少． 表 3 外部策略频数的描述性统计结果
计次方法是：内部思考策略记时间，单位秒．在内外策 略转换记次时，不动笔时间超过 5 s 被认为是在进行内部思
数学学优生
考策略，记转换一次；内部思考策略总时间是解该小题时所
数学学困生
M
SD
M
SD
简单题
19.2
2.2
37.6
2.2
策略记次数，每“画一笔”记一次；外部书写与计算策略记
中等题
31.7
1.8
38.9
1.8
次数，其中，计算策略以等式的个数计数，一个“等号”记
难
30.4
2.1
19.1
2.1
用的各次内部思考策略时间之和．外部标识策略和外部图示
题
对两类被试在解决同一题目时使用外部策略的频数进
一次；推理书写策略以因果关系为记次，一组“因为、所以” 记两次．解题总时间是被试从该小题解题开始到解题结束的
行 Wilcoxon 秩检验，结果表明：数学学优生和数学学困生
时间，不能完成的题目以宣布放弃之时为准．
在解答简单题、中等题和难题过程中使用的外部策略频数之
3
间均具有显著差异（Z=–4.174，p<0.001；Z=2.494，p<0.05；
实验结果
Z=3.118，p<0.01） ．这表明，在解答简单题和中等题时，相
3.1 不同认知负荷下首次内部思考的时间
比学优生而言，学困生较频繁地使用外部策略．然而在解答
对数学学优生与数学学困生解题中首次内部思考时间
难题时，学优生倾向于更频繁地使用外部策略．
进行描述性统计，结果如表 1 所示．从表 1 可以看出，数学
对每类被试在 3 种不同难度问题上使用外部策略的频
学优生和学困生在首次内部思考时间上存在差异．学优生的
数进行 Wilcoxon 秩检验，结果表明：学优生在解中等题时
首次内部思考时间（26 s）显著短于学困生（52 s） ． 表 1 首次内部思考时间（秒）的描述性统计结果（SD）
比解答简单题使用了更多的外部策略（Z=3.125，p<0.01） ，
数学学优生
数学学困生
但在解答中等题时使用的外部策略频数与在解答难题时使 用的外部策略频数没有显著差异（Z=1.037，p>0.05） ；学困
M
SD
M
SD
生解中等题时与解答简单题时使用的外部策略频数没有显
简单题
23.7
8.7
33.5
22.9
中等题
20.2
6.5
43.0
17.7
著差异（Z=0.754，p>0.05） ，但在解答难题时比解答中等题
难
33.9
16.5
80.5
35.9
题
被试内因素检验结果表明（如表 2 所示） ：数学问题难 度的主效应非常显著（F(2, 56) = 17.51，p = 0.000） ，数学问
时使用了较少的外部策略（Z=3.410，p<0.01） ．
4
分析与讨论 表 1 的研究结果表明：在空间问题解决过程中，随着数
题难度与学生类型交互效应显著（F(2, 56) = 6.17，p <
学问题难度的加大，学困生的首次内部思考时间从 33.5 s、
0.01） ．被试间因素检验结果表明：学生类型主效应显著（F(1,
43.0 s 增加到 80.5 s，从中可以看出，当数学问题难度增加
28) = 38.180, p = 0.000） ．
时，学困生首先选择了单一增加内部思考时间，而不是主动
数学问题难度×学生类型的交互作用说明数学问题难度
借助外部策略的解题方式；与解简单题和中等题相比，其外
对学优生和学困生的首次内部思考时间产生了不同的影
部策略的启动速度慢了很多．而学优生的首次内部思考时间
响．事后检验发现：在解答简单题时，数学学优生和数学学
分别为 23.7 s、20.2 s 增加到 33.9 s，变化较小，并且各数据
困生首次内部思考时间之间没有显著差异（F(1, 29) = 2.38，
均显著小于学困生，显示出学优生内部思考时间较少受到数
p > 0.05）；而中等题和难题却分别存在着非常显著的差异
学问题难度的影响．说明学优生比学困生在内部资源上较为
数 学 教 育 学 报
54
第 16 卷
充足，工作记忆的容量较大，信息提取通道也更为顺畅，同
解答中等题和难题时，学优生趋向于在较短时间内使用首次
时外部策略的及时启动，有效地分解了由于认知负荷的增加
内部思考策略，而学困生则倾向于在较长时间内使用首次内
所带来的工作记忆容量的压力，促使其解题分析与方法选择
部思考策略． （2）随着数学问题难度的增大，两组被试在解
更为迅速和准确．
题过程中使用外部策略的总频数呈现不同的特点．学优生使
尤其在解答难题的过程中，虽然学优生首次内部策略的
用外部策略的总频数呈现随着数学问题难度的增大而增加
使用时间也增加了，启动速度也有所减慢，但是相应于学困
的趋势，能够适当的增加外部策略的使用来分配工作记忆资
生，仍有显著的优势；较早进行外部策略的调动使用，充分
源，而学困生使用外部策略的频数呈下降的趋势，表现为在
表明学优生在综合题、难题的解决过程中，不仅可以从内部
简单题、中等题上使用过多的外部策略．这说明，较学困生
获得一定的资源支持，而且可以做到主动、积极、合理地利
而言，学优生能够较合理地利用工作记忆资源．当数学问题
用外部策略帮助解题；学困生则由于内部资源原本就匮乏，
难度增大时，学优生会缩短首次内部思考时间而增加外部策
提取到的信息量不足，甚至是残缺不全，找不到解题方法；
略的使用，这样有助于降低工作记忆负荷，从而有助于问题
再加之没有及时有效地使用外部策略降低题目难度，导致问
的解决．相反，学困生会增加首次内部思考时间而减少外部
题难以得到快速合理地解决．
策略的使用，这样将增加工作记忆负荷，从而妨碍数学问题
表 3 的研究结果表明：在解答简单题、中等题和难题过 程中，学优生使用外部策略的频数分别为 19.2、31.7 和 30.4， 而学困生使用外部策略的频数分别为 37.6、38.9 和 19.1，两 类被试在使用外部策略频数上均具有显著差异．具体地，在
的解决．
6
建
6.1
议
强化基础的教学
解答简单题和中等题的过程中，学优生比学困生使用外部策
由于长时工作记忆可以通过训练和长期实践获得，建议
略较少，说明他们的工作记忆内部资源较为充足，适当借助
在中学几何教学中，加强基础知识、基本方法、典型图形的
外部策略就可以解决问题；而学困生则工作记忆资源不足，
学习与研究，不断进行总结归纳与打包组合，使之成为学生
需要借助更多的外部策略帮助解题．学困生在简单题、中等
长时记忆中的一部分；并且经常复习再现它们，使之形成较
题上使用过多的外部策略，不仅说明学困生提取和整合内部
为良好的提取检索通道，便于学生在解决问题时的迅速提取
资源的速度和技巧不足，而且说明学困生的内外资源的消耗
与联想． 6.2 注重策略的指导
也比较大，也就是说，虽然同样是正确解决了问题，但是他 们花费了更多的时间和精力．在这样的基础上，在遇到难题
针对工作记忆容量有限和信息保持时间较短的特点，对
时，学困生内外部资源不足以提供解题方案，思维混乱，必
学生使用工作记忆资源的策略进行有效的指导．如在审题
然导致外部策略使用盲目与低效，造成外部策略使用频数的
时，适时使用外部标识策略，利用直观标识，不再让已知条
下降．
件的记忆占用内部资源的使用空间；在分析问题的过程中，
5
结
实施外部书写与计算策略，将内部思维得到的初步结论落实
论
到笔头上，卷面上，有利于思维的进一步推进与发展等；总
实验结果表明： （1）随着数学问题难度的增大，两组被
之，期望学生在问题解决过程中，恰当实施工作记忆资源分
试首次内部思考时间都呈现增加的趋势．但是在解答简单题
配策略的内外结合，有效降低内部思考的强度，减少内部资
时，学优生与学困生的首次内部思考时间没有显著差异；在
源紧张不足的压力，提高资源的合理分配与使用的技巧．
［参 考 文 献］ [1] [2] [3] [4] [5]
Baddeley A D. Is Working Memory Still Working [J]. European Psychologist, 2002, 7(2): 85–97. Baddeley A D. Working Memory [J]. Science, 1992, 255(5044): 556–559. 杨治良，郭力平，王沛，等．记忆心理学[M]．上海：华东师范大学出版社，2004． 刘慧娟，沃建中．中学生连环数运算中的工作记忆资源分配策略[J]．心理发展与教育，2003，（4）：39–45． Carlson R A, Wenger J L, Sullivan M A. Coordinating Information from Perception and Working Memory [J]. Journal of Experimental Psychology: Human Perception and Performance, 1993, (19): 531–548. [6] Cary M, Carlson R A. External Support and the Development of Problem Solving Routines [J]. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, & Cognition, 1999, 25(4): 1053–1070. [7] Cary M, Carlson R A. Distributing Working Memory Resources during Problem Solving [J]. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, & Cognition, 2001, 27(3): 836–848. [8] 曹宝龙，刘慧娟，林崇德．认知负荷对小学生工作记忆资源分配策略的影响[J]．心理发展与教育，2005， （1） ： 36–42．
Individual Difference in Distribution Strategy of the Working Memory During Solid Geometry Problem Solving WANG Xiao-Dan1, 2, LIAN Si-Qing2, SUN Yu-Jing2 (1. Beijing No.15 High School，Beijing 100054, China; 2. Mathematics Science Institute of Capital Normal University, Beijing 100037, China)
第4期
王小丹等：空间几何问题解决过程中工作记忆资源分配策略的个体差异
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Abstract: Fifteen high-achieved students and fifteen low-achieved students from the second graders in a high school were served as subjects. The experiment materials were taken from the resolving process of several solid geometry exercises in the mathematic examination for Beijing higher education entrance. The distribution strategy of the working memory resources in the process of solving the geometry problems were explored. Results showed that: (1) as problem difficulty increased, the inner thinking time increased for the first time. There were not significant difference in the first-inner-thinking of solving easy problems between high-achieved students and low-achieved students, but there were significant difference in that of solving difficult problems and middle-level problem high-achieved students; (2) As problem difficulty increased, frequency of outer-strategy used by high-achieved students increased, and that used by low-achieved students decreased. We suggested that the distribution strategy of the working memory resource be more rational than low-achieved students. Key words: cognitive load; working memory; individual difference; distribution strategy [责任编校：周学智]
报道
2008 年国际数学教育大会系列报道之四 ——ICME-11 的课题研究组
课题研究组（TSG）与讨论组（DG）是 ICME 的两个主要的活动．两个活动的区别是：TSG 一般通过论文宣读的形 式介绍与会代表的一些最新研究成果；而 DG 的任务则是全面讨论数学教育中值得研究的问题．由于这两个活动在时间上 并不冲突，因此，与会者一般都会选择参加自己感兴趣的 TSG 和 DG．日前，ICME-11 的官方网站（网址：http://icme11.org/） 已经开通，并推出全部 38 个 TSG 的主页（网址：http://tsg.icme11.org/） ．DG 的情况将在下一篇报道中介绍． 下面是 ICME-11 的 38 个 TSG 的标题，括号中是参与各 TSG 组织的我国学者的名单． TSG 1: 学前数学教育的最新发展与趋势； TSG 21: 数学教与学中的应用与建模； TSG 2: 小学数学教育的最新发展与趋势； TSG 22: 新技术在数学教学中的应用（香港大学的梁家 TSG 3: 初中数学教育的最新发展与趋势（华东师大的 杰博士是这个组的成员） ； 徐斌艳教授是这个组的组长） ； TSG 23: 数学史在数学教学中的作用； TSG 4: 高中数学教育的最新发展与趋势（香港中文大 TSG 24: 关于课堂教学实践的研究； 学的黄毅英教授是这个组的成员） ； TSG 25: 数学在学校课程中的作用； TSG 5: 中学后数学教育的最新发展与趋势； TSG 26: 数学的学习与认知——学生的数学概念、术 TSG 6: 适用于数学英才学生的活动与课程； 语、策略和信念的形成； TSG 7: 适用于有特殊需要的学生的数学活动与课程； TSG 27: 用于教学的数学知识（北京四中的李建华博士 TSG 8: 成人的数学教育； 是这个组的成员） ； TSG 9: 与工作场所有关的数学教育； TSG 28: 数学教师的在职培训、职业生活与专业发展 TSG 10: 数与运算的教学研究和发展（香港教育学院的 （澳门大学的黄荣金博士是这个组的成员） ； 郑振初博士是这个组的成员） ； TSG 29: 教师的职前数学教育； TSG 11: 代数的教学研究和发展（西南大学的张广祥教 TSG 30: 学生对数学及其教学的动机与态度； 授是这个组的成员） ； TSG 31: 数学教育中的语言与交流； TSG 12: 几何的教学研究和发展（台湾师大的林福来教 TSG 32: 性别与数学教育； 授是这个组的组长） ； TSG 33: 多语言与文化环境下的数学教育； TSG 13: 概率的教学研究和发展（华东师大的吴颍康博 TSG 34: 任务设计与分析的研究与发展； 士是这个组的成员） ； TSG 35: 关于数学课程发展的研究（北京教育学院的张 TSG 14: 统计的教学研究和发展； 丹副教授是这个组的成员） ； TSG 15: 离散数学的教学研究和发展； TSG36: 有关数学教育中的评价与测验的研究与发展 TSG 16: 微积分的教学研究和发展； （香港大学的梁贯成教授是这个组的组长） ； TSG 17: 高等数学内容的教学研究和发展； TSG 37: 数学教育研究的新趋势（香港大学的彭明辉博 TSG 18: 数学教育中的推理、证明与论证； 士是这个组的组长） ； TSG 19: 数学教育中的问题解决的研究与发展； TSG 38: 数学教育史（台湾师大的洪万生教授是这个组 TSG 20: 数学教与学中的直观化； 的成员） ． 每个 TSG 都有两个组长和 3 个组员，他们负责制订本小组的研究主题（包括分主题） 、制作网页、审阅参会代表递交 的论文、及安排小组的活动程序．有计划参加 ICME-11 的读者需要密切关注自己感兴趣的 TSG 的相应网页，尽早准备论 文．由于 TSG 覆盖了数学教育的几乎全部的研究领域，因此，对于那些不参加 ICME-11 的读者，也能通过 TSG 跟踪自 己所感兴趣的研究领域的新动向． （苏州大学数学科学学院 鲍建生 供稿）