第 18 卷第 1 期
数 学 教 育 学 报
Vol.18, No.1
2009 年 2 月
JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION
Feb., 2009
学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响 武锡环 1，连四清 2，宋宏伟 3 （1．河南师范大学 数学与信息科学学院，河南 新乡 453007； 2．首都师范大学 数学科学学院，北京 100037；3．河南省安阳市第三实验中学，河南 安阳
455000）
摘要：数学认知结构是数学知识结构和数学活动经验在人脑中的反映，是数学知识结构、数学活动经验内化的结果．数 学认知结构中各成分之间存在着显著的相关性．概念知识对解题策略没有直接效应，它只是通过中介变量双基和元认知对解 题策略产生间接的效应．双基水平是对解题策略水平影响最大的要素．概念知识通过元认知作用于解题策略的原因为：概念 知识的激活可以提高相应任务的元认知策略的激活水平，并通过元认知系统来对解题策略进行调整或监控． 关键词：数学认知结构；解题策略；路径分析；直接效应；间接效应 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2009）01–0031–03
1
引
题的关键．它主要包括归类（其心理过程是问题表征和模式
言
识别）、化归、算法、分类、类比、构造、逆向策略[6]．这
学习者头脑中的数学知识，按照自己理解的深度、广度， 结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组 合成一个具有内部规律的整体结构[1]．这种结构就称为数学
些策略是解决数学问题的直接有效的方法，被称作思维的 “强方法”．另外，还有一些适用于多种学科、多个领域的一 般性解决问题的认知策略（如多角度的考虑问题）被称为“弱
认知结构．它是在数学活动中表现出来的主体认知结构，是
方法” ．使用弱方法求解数学问题，未必一定可以成功，但
数学知识结构和数学活动经验在人脑中的反映，是数学知识
有时对于探索解题的途径是必不可少的[7]．在解题过程中，
结构、数学活动经验内化的结果．
强方法与弱方法总是互为补充、联合发生作用．
喻平认为，CPFS 结构（即概念域、概念系、命题域、
函数知识是现代数学的基础．在中学教育中，经过了长
命题系形成的结构）是数学认知结构的一种子结构，并通过
时间的孕育、明确、应用的教育过程，使函数的重要思想和
调查研究得到结论：CPFS 结构是数学学习特有的认知结构；
方法成为学生认知策略的重要组成部分．本文依照数学认知
个体的 CPFS 结构是解决数学问题的知识基础，它对解题效
结构主要有 3 种成分的假定，以解决函数问题的任务进行实
果有直接的影响[2]．龙毅认为，在数学的认知结构中应包含 3 种主要成分：其一，数学经验知识系统（主要是指内化了 的数学技能和数学基础知识） ；其二，数学认知活动操作系 统（包括数学认知活动中的注意、感知、记忆、意象和思维）； 其三，数学元认知系统（包括有关数学活动的元认知知识、 [3]
元认知体验、元认知监控与调节） ． 加涅将用以调控自己注意、学习、记忆和思维的内部过 程的认知操作技能称为认知策略[4]．按照这种观点，数学的
证研究设计，探索高三年级学生的数学经验知识和元认知水 平对解题策略水平的影响．
2
研究方法
2.1 被
试
本研究在河南省安阳市某试验中学高三年级取得有效 样本 282 个．被试已经完成了高中函数知识的复习． 料 2.2 材
认知策略是一种程序性的知识．然而在数学认知结构成分的
材料 1：自编《高三年级函数概念知识结构测试》试
划分中，认知策略并没有被归并在“数学经验知识”之中．其
卷．选择了高中函数概念应用最为普遍的相关词语 18 个，
原因在于：认知策略与智慧技能（主要指运用概念和规则办
主要包括了各种初等函数、函数的性质及其表示方法．依据
事的能力，属于经验性知识）的不同之处在于，后者定向于
“这些词语在一类函数问题中同时出现”的原则让被试对这
学习者的外部环境，而认知策略则支配着学习者在对付环境
些词语做有联系的判断，这种判断可以称之为“经验关系”
时自身的行为，即认知策略是学习者用来“管理”自己学习
的判断；同时要求被试“按照概念的并列关系”对这 18 个
[5]
过程的方式 ．譬如，主体在进行数学活动时，作为数学认
概念词语做出适当的分类，这种分类可以称之为“逻辑关系”
知策略的数学思想方法，它作用的对象不仅是外在的数学符
的判断．在对（材料 1）答卷的评分时，我们利用加权的方
号，更是个体内在的认知过程．
法突出了对“经验关系”的考察要求，即重点考察被试基于
在数学解题过程中，数学的解题策略及其蕴涵的思想方
解题经验的“概念图式”水平．
法属于认知策略的范畴．所谓解题策略，是指为了有效地达
材料 2：编选了由 15 道选择题构成的函数“双基”测
到解题目标，解题者采用的解题思想或方法．解题策略对解
查材料，目的在于考查学生的数学基本知识、基本技能的水
题的影响主要有：解题者掌握必需的解题策略，是有效解决
平．这套双基测查材料，对（材料 1）的测查点覆盖率很高．主
问题的前提；能根据问题情境有效地选择解题策略是解决问
要选择近 3 年各类高考试题、难度值居“中等”或“容易”
收稿日期：2008–10–20 基金项目：河南省教育科学“十一五”规划重点课题——应对基础教育课程改革的教师教育课程改革研究（2006–JKGHAZ–072） 作者简介：武锡环（1949—），男，北京人，教授，主要从事数学教育研究．
数
32
学
教
育
学
报
层次的题目．在事前的预测中发现，这 15 道题中难度系数 在 0.4 以上的有 14 道．
第 18 卷 解题策略=0.505×双基+0.267×元认知．
3.2.2
关于双基与元认知的回归分析
材料 3：采用《数学问题解决中的元认知量表》[8]，其
选取与双基成绩有显著相关性的元认知、概念知识、解
中元认知要素由元认知知识、元认知体验、元认知策略构
题策略的测试成绩为自变量，以双基成绩为因变量，用逐步
成．用以考察学生的元认知水平．
进入法建立多元回归方程．回归分析结果如表 3． 表 3 元认知与概念知识及解题策略关于双基的回归分析
材料 4：选编了由 4 道解答题构成“解题策略”测查材 料，通过被试识别、运用“分类讨论” 、“构造函数”、“数形
预测因素
回归系数 （显著性检验）
解释量 （R2）
增加解释量
平．为了突出这一考察的目标，在材料 4 给出的命题及其相
解题策略
0.620***
0.382
0.382
应的解题标准中，只涉及到 4 个属于材料 1 的概念词语（占
解题策略/概念知识
0.471***/0.326***
0.464
0.082
转化”等函数思想方法的水平，考察被试函数解题策略的水
材料 1 概念词语的 22%），和 3 个材料 1 中所要求的概念联 系（占材料 1 所要求的 8%判断）． 序 2.3 程
注：***表示达到显著性水平 P=0.000
经过两步回归， “解题策略”和“概念知识”作为预测 变量计入了回归方程，且它们的偏相关系数在显著水平
采用团体测试的方法分两次进行，第一次让被试完成材
P=0.000 上存在显著意义；它们可以预测因变量“双基”
料 1 和材料 3 的试题测试，用时 50 分钟；第二次让被试完
46.4%的变异（R2）．由此，得到以解题策略、概念知识为自
成材料 2 和材料 4 的试题测试，用时 90 分钟．
变量，以双基为因变量的回归方程：
3
双基=0.471×解题策略+0.326×概念知识．
研究结果
3.1 解题策略与双基和元认知及概念知识的相关分析 应用皮尔逊积差相关系数的计算方法，得到数学经验知
类似地，还可以得到以概念知识、双基为自变量，以元 认知为因变量的回归方程： 元认知=0.301×概念知识+0.264×双基．
识（概念知识、双基）、元认知和解题策略之间都存在着非 常显著的相关，结果如表 1． 表 1 解题策略与双基和元认知及概念知识的相关分析 解题策略 解题策略
双基
元认知
概念知识
其中，概念知识、双基对元认知的偏相关系数在显著水 平 P=0.000 上存在显著意义；它们可以预测因变量元认知 24.6%的变异（R2）． 3.2.3
1.00
概念知识与双基及元认知对解题策略的路径分析 根据回归分析的结果，可以建立概念知识、双基、元认
双基
0.620**
1.00
元认知
0.483**
0.427**
1.00
概念知识
0.457**
0.541**
0.444**
知对于解题策略的因果路径分析模型如图 1．进而再利用路 径分析的方法[9]，得到概念知识、双基、元认知影响解题策 1.00
略的直接效应、间接效应和总体效应如表 4．
注：**表示显著性水平 P=0.01
3.2 解题策略与双基及元认知的回归分析 3.2.1
0.505
解题策略
双 基
关于解题策略的回归分析 0.267
选取与解题策略有显著相关性的双基、元认知、概念知
0.326
0.264
识为自变量，以解题策略为因变量，用逐步进入法建立多元 回归方程．回归分析结果如表 2． 表 2 双基和元认知与概念知识关于解题策略的回归分析 预测因素
回归系数 （显著性检验）
解释量 （R2）
增加解释量
双基
0.620***
0.382
0.382
双基/元认知
0.505***/0.267***
0.438
0.056
元认知
表4
归方程，偏回归系数为 0.620，且回归方程在显著水平
“双基”加以解释． 类似地，第二步回归是“双基”和“元认知”作为预测 变量计入了回归方程，且它们的偏相关系数在显著水平 P=0.000 上存在显著意义；它们可以预测因变量“解题策略” 43.8%的变异（R2）．由此，得到以双基、元认知为自变量， 以解题策略为因变量的回归方程：
概念知识与双基及元认知影响解题策略的效应 概念知识
由表 2 可以发现，首先以“双基”作为预测变量进入回
为预测时，因变量“解题策略”38.2%的变异（R2）可以由
概念知识
图 1 对解题策略的路径分析模型
注：***表示达到显著性水平 P=0.000
P=0.000 上存在显著意义；同时，表 2 表明，在仅以“双基”
0.301
双基
元认知
直接效应
0
0.505
0.267
间接效应
0.392
0.114
0
总体效应
0.392
0.619
0.267
由表 4 的“总体效应”数据表明，对解题策略影响力的 大小依次为：双基（0.619）、概念知识（0.392）和元认知 （0.267）．
4
分析与讨论
4.1 概念知识对解题策略的影响 由表 4 发现：概念知识对解题策略没有直接效应，它只 是通过中介变量双基和元认知对解题策略产生间接的效应，
第1期
武锡环等：学生数学经验知识和元认知对解题策略的影响
它对解题策略影响的总体效应为 0.392．概念性知识的间接
33
和建构． 解题策略中的“强方法”是一种程序性的知识，面对问
效应可能与概念激活、数学知识和解题策略的提取有 关．Anderson 等人认为[10]：在有关的概念被激活的情况下，
题的情境，一旦主体识别了某一个策略模式（目标）或适用
知识和解题方法（即解题策略）才能得到提取．我们认为，
的条件，就会进入到程序性的操作活动之中．由双基知识构
解题策略在长时记忆系统中的组织可能处在双基的下位，而
成的相关“问题图式”就会对这种程序性的操作提供技术性
双基中除包括有概念性知识外，还与双基在大脑内部的组织
的支撑．所以，双基水平对解题策略水平的影响，主要是在
有关．因此，概念性知识激活可以提取有关双基知识，通过
解题策略的“强方法”的应用技能方面． 4.3 元认知对解题策略的影响
双基知识来激活对应的解题方法． 4.2 双基对解题策略的影响
由表 4 发现：元认知对解题策略的直接效应为 0.267． 近年来的理论研究和许多实证研究都揭示了元认知水
由表 4 发现：双基对解题策略影响的直接效应为 0.505， 而且双基还以元认知为中介变量对解题策略产生 0.114 的间
平对解题能力具有很强的影响力，本研究则揭示了元认知对
接效应，致使双基对解题策略的总效应达到了 0.619．因此，
解题策略的影响． 事实上，问题解决包括一系列的认知操作，其信息加工
与概念知识结构、元认知水平相比，双基水平是对解题策略
过程都有成分、策略、心理表征和知识库的参与．其中，策
水平影响最大的要素． 当代认知心理学在许多专门领域的研究都证明了解决
略是影响思维过程的最直接和最重要的因素，某种特定的策
问题能力取决于个人所获得的知识的多少及其性质和组织
略与特定的思维过程及思维成效直接联系[13]．解题策略是
[11]
结构
．波利亚就曾指出，货源充足和组织良好的知识仓库
在思维模式的作用下反映出来的，解题者在解题过程中通过
是一个解题者的重要资本；良好的组织使得所提供的知识易
激活策略、制订策略、改组策略 3 种方式来操作策略．元认
于用上，把记忆里的知识安放得有条不紊只会对解题者有更
知的实质在于主体对认知活动的自我意识和自我调控．解题
多的帮助
[12]
．我国数学教育的培养方式有利于双基能力的
者在执行解题策略时，均会接受元认知的指示和指导：通过
形成与发展，有助于在学生的头脑中构建相应的“问题图式”
元认知体验，在元认知知识的基础上检验、回顾解题方法，
——一种以问题及其解法为中心、对知识和技能进行的组织
调控解题策略，最终逼近问题目标状态[14]．
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Effects of Mathematics Concept and Metacognition Knowledge on Problem Solving Strategies WU Xi-huan1, LIAN Si-qing2, SONG Hong-wei3 (1. Mathematical and Information Science Institute, Henan Normal University, Henan Xinxiang 453007, China; 2. Mathematics Science Institute, Capital Normal University, Beijing 100037, China; 3. Anyang Third Experiment High School in Henan Province, Henan Anyang 455000, China) Abstract: 282 third-grade students of a high school were chosen for subjects. Path analysis on elements in mathematics cognition structure showed: (1) there were the significant relation among these elements, (2) there was not direct effect of conceptual knowledge on strategies, but indirect effect through basic mathematics knowledge and skill, (3) the total effect of basic knowledge and skill on strategies was 0.619, and the direct effect was 0.505, (4) direct effect of metacognition on strategies was 0.267. Key words: mathematics cognition structure; problem solving strategy; path analysis; direct effect; indirect effect [责任编校：陈汉君]