PROBLEMA 3 Nesse problema, mostraremos, com o auxílio da geometria espacial, a identidade: “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ , que diz que, sendo n o comprimento lado do n – ágono regular inscrito em um círculo de raio 1, então 2 25 10 26
a ) Seja ABC um triângulo retângulo em A, sendo AH a altura relativa à hipotenusa. Prove que 1 AH
2
1 AB
2
1 AC 2
RESOLUÇÃO
Sendo AH altura relativa à hipotenusa do ∆ ABC, H (pé da altura) e BC ( hipotenusa). Então,BC = BH + HC. [I] Já , das relações métricas do triângulo retângulo,
AB2 = BH. BC,
AC2 = HC.BC
e
AH2 = BH . CH. [II]
Portanto, de [I] e [II], obtém-se: 1 AB
2
1 AC
2
1 1 1 1 1 1 BH HC 1 BC BH .BC HC .BC BC BH HC BC BH . HC BC AH 2
o que finaliza a demonstração pedida.
RESPOSTA : DEMONSTRAÇÃO .
1
1 AH 2
;
b ) Na figura a seguir, temos um icosaedro regular (cujas faces são triângulos equiláteros) de centro C. Construímos, ligando pontos médios de arestas, um pentágono regular P e um decágono regular D. M1 M 2 6 , calcule , em função de 5 , 6 e 10 , os raios dos círculos circunscritos ao pentágono P e ao decágono D.
Sendo
RESOLUÇÃO 2 Do enunciado, M1 M 2 é lado comum aos polígonos regulares P e D, M1 M 2 6 e 25 10 26 , tais que:
5 é o comprimento do lado de um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1. 6 é o comprimento do lado de um hexágono regular inscrito em um círculo de raio 1.
10 é o comprimento do lado de um decágono regular inscrito em um círculo de raio 1.
Dai, o comprimento do lado,
tanto do polígono regular P quanto do polígono regular D , é
6 .
Por outro lado, claramente, polígonos regulares de mesmo número de lados, são semelhantes. A razão desta semelhança pode ser dada , tanto pela razão dos comprimentos dos seus lados pela razão das medidas dos raios dos seus círculos circunscritos.
quanto
Deste modo, sendo RP e RD , respectivamente, medidas dos raios, dos círculos circunscritos ao pentágono P e ao decágono D, tem-se: RP 6 (consequência da semelhança entre P e o pentágono regular inscrito no círculo de raio 1) e 1 5 RD 6 , ( consequência da semelhança entre D e o decágono regular inscrito no círculo de raio 1). 1 10
Portanto, RP 6 5
RESPOSTA :
6 5
e
RD
6 10
[ raio do círculo circunscrito de P ] e
6 10
[raio do círculo circunscrito de D].
NOTAS:
1. O centro do círculo circunscrito ao decágono regular coincide com o centro C 2. 6
= 1 [ resultado bem conhecido da geometria plana] .
2
do icosaedro .
c) Sejam V um vértice e W o centro de P. Mostre que as retas WM1 e CV são perpendiculares. RESOLUÇÃO [demonstração]
Primeiramente, exibimos as figuras abaixo, com função exclusiva de auxiliar a compreensão da demonstração.
Sejam M1, M2 , M3 , M4 e M5 pontos médios das arestas do icosaedro que têm o vértice V em comum. Deste modo, M1M2M3M4 M5 é o pentágono P de centro W . Como V, claramente, não pertencente ao plano de P e VM1 = VM2 = VM3 = VM4 = VM5 ; pois as faces do icosaedro são triângulos equiláteros, então VM1M2M3M4 M5 é uma pirâmide pentagonal regular, sendo P sua base e V seu vértice. Portanto, a reta VW é perpendicular ao plano de sua base ( P ) .
[I]
Já, sendo C , centro do icosaedro regular, ele é equidistante dos seus 12 vértices. Dai, as retas VM1 , VM2 , VM3 , VM4 e VM5 são mediatrizes das arestas do icosaedro que têm M1, M2 , M3 , M4 e M5 como pontos médios, respectivamente. Como C ,claramente, não pertence ao plano de P e CM1 = CM2 = CM3 = CM4 = CM5 , então CM1M2M3M4 M5 é uma pirâmide pentagonal regular, sendo P sua base e C seu vértice. Portanto, a reta CW é perpendicular ao plano de sua base ( P ) .
[II]
Em fim, de [I] e [II] , conclui-se que C, W e V são colineares , com a reta CV perpendicular ao plano de P . Portanto, da definição de reta perpendicular à um plano, as retas WMi ( i=1,2,3,4,5), contidas no plano de P, são perpendiculares à reta CV ; o que finaliza a demonstração pedida. RESPOSTA : DEMONSTRAÇÃO
NOTA: 1. C é o centro do círculo circunscrito ao decágono regular 2. A reta
.
CV é a reta suporte das alturas relativas à base P das duas pirâmides pentagonais.
3
d ) Utilizando o icosaedro, prove identidade: “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ , ou seja, sem usar 2 trigonometria, demonstre que 25 10 26 .
RESOLUÇÃO [demonstração]
Do item ( c ), as retas WM1 e CV são perpendiculares e a reta CM1 é a mediatriz da aresta que tem M1 ∆VM1C é um triângulo retângulo em M1 e M1W é a sua altura
como ponto médio. Em consequência , relativa à hipotenusa VC .
Do item ( b ),
M1W = RP 6 5
CM1 = RD
e
6 10
.
Já, das faces equiláteras do icosaedro, o ∆VM1M2 é equilátero e, portanto,
VM1 M1 M 2 6 =1 .
Consequentemente, da propriedade de triângulos retângulos, provada no item ( a ), resulta para o ∆VM1C : 1 2 RP
1 2 RD
Portanto, com os valores de RP
1 12
.
e RD, substituídos nesta relação, obtém-se
1 6 5
2
1 6 10
2
1
,
2 que após simplificações convenientes nos leva a bela identidade: “ 25 10 26 “ , conhecida como a identidade “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ ; o que finaliza a demonstração pedida.
RESPOSTA : DEMONSTRAÇÃO NOTA : Em consequência da semelhança entre polígonos regulares de mesmo número de lados, claramente, se Ln é o comprimento lado do n – ágono regular inscrito em um círculo de raio R,
então Dai,
AUTOR:
L5 R. 5 , L6 R. 6 R e L10 R. 10 ,
2 2 2 L25 R 2 25 R 2 10 26 R 2 . 10 R 2 . 26 L10 L26
LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [09/07/2016].
4
CURIOSIDADE Demonstração da identidade: “ Pentágono – Hexágono – Decágono “ , que diz que, sendo n o comprimento lado do n – ágono regular inscrito em um círculo de raio 1, então com o auxílio apenas da Geometria Plana.
2 25 10 26 ,
DEMONSTRAÇÃO
Seja ABCDE um pentágono regular inscrito em um círculo de raio 1, seja F ponto médio do menor arco AB da circunferência deste círculo, seja M ponto médio do lado AB , e seja BD = d. Nestas condições, claramente: DBF = DMB = 900. AD = AC= DB = d. AB = BC= CD = DE = EA = 5 , 6 = 1, AF = BF = 10 , 5 2BM e DF = 2. 6 .
Do Teorema de Ptlomeu aplicado ao quadrilátero
d 2 6 . 5 10.d 10 5 ou 6 6 d 5 10 2
2 4 2 d 2 10 6
2
Dividindo ambos os membros por d 2 , e em
[I]
seguida por 25 , obtém-se respectivamente:
2
d ou 10 4 [ II ] 6 6
Por outro lado, de [II] e [III]:
25 5 .d d 2 .
cíclico ABCD :
Das relações métricas do ∆ DBF retângulo em B :
2 5 5 1 [ III ] d d
e
5 d 1 d 5
[ IV]
2 2 2 2 d 4 10 5 4 5 . d 6 6 10
[ III ] 2 2 [ III 2 2 [ IV ] ] d . 3 5 2 1 5 2 1 5 2 5 5 5 1 5 1 1 d d d d d d d d 5
Mas, 4 5
Em consequência, AUTOR:
2 2 [ I] 2 5 d 1 1 6 10 5 10
2
2
2 2 . . Portanto, 5 1 6 , ou seja, 25 10 6 10 10
LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [09/07/2016].
NOTA: [ Teorema de Ptolomeu] Se um quadrilátero é cíclico, isto é, inscritível
em uma circunferência, então o produto dos comprimentos de suas diagonais é igual a soma dos produtos dos comprimentos dos seus lados opostos, isto é, sendo m e n comprimentos de suas diagonais, a,b,c e d comprimentos de seus lados, com a e c, correspondentes um par de lados opostos do quadrilátero cíclico, então m.n = a.c + bd.
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