RESOLUÇÃO
Facilmente, verifica-se que uma condição necessária e suficiente, para que retângulos R , “ largura 18 cm e comprimento 36 cm” possam ficar inteiramente contido( região poligonal) em um quadrado de lado 30 cm, consiste no retângulo GHIJ (figura), determinado pelas intersecções, das paralelas aos lados do quadrado OABC, pelos vértices do retângulo R, tenha: lados de medidas, em cm, menores ou iguais a 30 e região poligonal interna contendo um retângulo R , independentemente, da posição relativa entre R e OABC (ambos no mesmo plano). [Nota: A condição “necessária e suficiente” é facilmente justificável ]
Por outro lado, as figuras ( I,II, III, IV ) ,exibe as possiveis posições relativas entre R, e OABC, obtidas ao percorrer a medida , em graus, do ângulo, que a reta suporte de um dos lados de 36 cm do retângulo R , determina com a reta GJ , no intervalo [0;180 [ .
[I]
[ II ]
[ III ]
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[ IV ]
Analisando estas posições, observamos que: Nas posições [ I ] e [ IV ] , o retângulo GHIJ, coincide com um retângulo R , e, portanto, um de seus lados terá comprimento maior que 30 cm; impossibilitando retângulos R ficar inteiramente contido no quadrado. Nas posições [ II ] e [III], a região poligonal interna do retângulo GHIJ, conterá sempre um retângulo R , e 4 triângulos retângulos, com o vértice do ângulo reto, coincidindo com vértices diferentes do retângulo GHIJ. Claramente, estes 4 triângulos retângulos, são semelhantes, dois a dois, sendo: “dois congruentes com hipotenusa 18cm e dois congruentes com hipotenusa 36 cm”. Desde que 36 é o dobro de 18, uma razão de semelhança entre dois triângulos não congruentes é de 2:1. Deste modo, indicando por a e b , as medidas, em cm, dos catetos do triângulo com hipotenusa 18cm, teremos
a 2 b 2 182 [ Pitágoras] , e também 2a e 2b, como medidas dos catetos do triângulo de hipotenusa 36cm . Em consequência, os lados do retângulo GHIJ, terá medidas, em cm, a + 2b e b + 2a . Entretanto, representando graficamente os pares ordenados ( a,b ) de reais positivos que satisfazem; a 0 e b 0 2 2 2 a equação a b 18 e ao sistema S : a 2b 30 ; condições necessárias e suficientes para que b 2a 30 retângulos R fique inteiramente contido em um quadrado de lado 30 cm, em um sistema de coordenadas cartesianas aOb, com O (0,0), obtém-se a representação gráfica abaixo, onde: O arco de circunferência de centro O e raio 18, destacado em AZUL, corresponde aos pares ( a,b ) que satisfazem a 2 b 2 182 . A região quadrangular, destacada em VERMELHO, corresponde aos a 0 e b 0 pares ( a,b ) que satisfazem a 2b 30 . b 2a 30 Como não existem pontos comuns a região vermelha e azul, concluimos que não existem pares ( a,b ) de reais positivos, que simultaneamente satisfazem o sistema S e a equação a 2 b 2 182 . Em consequência, tanto na posição [ II ] quanto na [III], pelo menos um dos lados do retângulo GHIJ, terá medida, em cm , maior que 30; impossibilitando retângulos R ficar inteiramente contido no quadrado. (note que ao menos uma das desigualdades: a 2b 30 , b 2a 30 , sempre ocorrerá nestas posições), Portanto, após o estudo das possíveis posições I, II, III e IV , concluímos que não é possível retângulos de largura 18 cm e comprimento 36 cm, ficar inteiramente contido em um quadrado de lado 30 cm. RESPOSTA: Não é possível.
AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 01/07/2016]
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