Maximo da soma sena senb senc [demonstração do ponce]

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Uma consequência do Teorema de Jensen Seja f uma função real a valores reais, definida no intervalo I , I = ]a,b[ . Se f ´´(x)  0 [ função côncava ] em I , e x1, x2, x3,..., xn são reais pertencentes a I, então f x1   f x 2   f x3   ...  f x n   x  x1  x1  ...  x n   f 1  n n   PROBLEMA ˆ ˆ A , Bˆ e C são ângulos internos de um triângulo ABC, determine o máximo da soma sen Aˆ + sen Bˆ + sen Cˆ . RESOLUÇÃO Seja f uma função definida no intervalo I = ] 0,  [ , dada por f (x) = senx . e senx  0 , para quaisquer x  I = ] 0,  [ .

Claramente,

f´´(x) = - senx

Deste modo,

f´´(x)  0 para x  I = ] 0,  [ e, portanto, f é côncava em I.

ˆ , Bˆ e Cˆ , tem – se Denotando por , ,  medidas, em radianos, dos ângulos internos A

     =  e, em consequência,

, ,   I = ] 0,  [ .

Nestas condições, da consequência do TEOREMA DE JENSEN,

sen  sen  sen          sen   = sen   . 3 3   3 Dai,

   3 3 . Note que para       ; a igualdade ocorre.. sen  sen  sen  3. sen   = 3 3 2  

Portanto, o máximo da soma “sen Aˆ + sen Bˆ + sen Cˆ " existe, e é igual a

RESPOSTA

3 3 2

AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO ( 04/06/2016).

3 3 . 2


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