Circulos do chico nery [ solução ponce]

CIRCULOS DO CHICO NERY Na figura, ABC é um triângulo retângulo em C. CD

é

uma

ceviana

simultaneamente

tangente ao incírculos , de mesmo raio r, dos triângulos CBD e CDA . CB = a, CA = b e CD = d.

Prove que 2.d 2  a.b DEMONSTRAÇÃO [ GEOMETRIA SINTETICA]

Sejam O1 e O2 , centros dos incírculos de raio r , dos triângulos CBD e CDA respectivamente.

Desde que os incírculos têm o mesmo raio, a reta O1O2 é paralela `a reta BC e dista r dela.

Já, denotando por P ; ponto de intersecção da reta O1O2 com a ceviana CD e, por S e T, respectivamente, os contatos dos incírculos de centros O1 e O2 com a ceviana CD , segue-se das propriedades de tangência (circulo - reta), ( O1 S = O2T = r ) O1 S  CD , O2T  CD e  O1 S P =  O2 T P = 900 .

Figura 1.

Ainda mais, de O1 S  CD e O2T  CD , tem-se O1 S  O2T , o que implica  S O1P =  TO2P .

Em consequência, dos resultados obtidos até aqui, claramente, ∆ SO1P   ∆ TO2P [ ALA ] e, dai O1P = O2 P e CP é mediana do ∆ CO1O2

[Figura 1].

Rotulando, por E e F os pés das bissetrizes interna dos ∆CBD e ∆CDA, relativas ao vértice C , respectivamente, O1  CE e O2  CF . Mas, desde que O1O2  BC , então ∆ CO1O2  ∆ CEF .

Logo, como consequência de P  CD e O1P = O2 P ,obtém-se também : ED = DF

e CD é mediana do ∆ CEF

[Figura 1].

Agora, de ED = DF e , o teorema da Bissetriz Interna, aplicado aos triângulos ∆ CBD e ∆CDA , com respeito as bissetrizes CE e CF , obtém-se para uma constante k > 0 , as igualdades: BE = a.k; ED = d.k; DF = d.k e FA = b. k;

[Figura 1].

Por outro lado, indicando por K e L, as projeções ortogonais de D, sobre as retas CB e CA respectivamente, claramente, DK // AC e DL // BC [figura 2]. Em consequência, DK ad  ∆ DKB  ∆ ACB e, portanto , a  d   b  d  b e DL bd  ∆ DLA  ∆ BCA e, portanto, a  d   b  d  a

Figura 2

Finalmente, como o quadrilátero CKDL é claramente um retângulo, então CK e DK são medidas dos catetos do triângulo ∆DKC ,retângulo em K, com hipotenusa CD de medida d. Mas, como ab  ad  ab  bd  , CK = DL = e DK = a  b  2d  a  b  2d  resulta do teorema de Pitágoras aplicado ao ∆DKC :

ab  ad 2 a  b  2d 2

+

ab  bd 2 a  b  2d 2

= d2

Desenvolvendo convenientemente, encontramos após simplificações e agrupamentos convenientes, as proposições abaixo, duas a duas equivalentes :

a d 4d 2d 2

2 2 2 d 2 . a  b  2d  = ab  ad  + ab  bd 

2 4 2

    a b   2abd  a b   4d a  b  2abda  b  0  ab . 2d  ab  ab2d  ab  2a  bd 2d  ab  0 2d  ab.2d  2ab  2a  bd   0

 b 2 d 2  4d 4  2abd 2  4d 3 a  b  a 2 d 2  b 2 d 2  2a 2 b 2  2abda  b 2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

Portanto, como 2d 2  2ab  2a  bd >0, então da última proposição, 2d 2  ab =0, ou seja, 2d 2  ab ; o que finaliza a demonstração pedida.

AUTOR:

LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 28/05/2016]