RPM 88- Problema 387
. x n x n 1 x n 2 . . . x 1 1 2 a 2 n
Se a um número real positivo solução da equação: onde n é um inteiro maior que 1, prove que : RESOLUÇÃO
Do enunciado, a n a n 1 a n 2 . . . a 1 . Dai, a n 1 (a 1) a n a n 1 a n 2 . . . a 1 > 0 e, portanto, a n 1 (a 1) >0 , o que implica Nestas condições, claramente, a 1 para p = 1,2, . . ., n – 1 e, portanto, a a 1 1 Em consequência, [I] . an n p
n
n 1
a
n 2
a 1 .
. . . a 1 n
Por outro lado, para todo inteiro n>1 , x n 1 ( x 1).( x n 1 x n 2 . . . x 1) xC [identidade clássica].
Deste modo, substituindo x por a, obtemos a n 1 (a 1) a n 1 a n 2 . . . a 1 e, em consequência, obtemos a sequência de proposições abaixo, equivalentes, duas a duas:
a n a n 1 a n 2 . . . a 1 (a 1)a n (a 1) a n 1 a n 2 . . . a 1 (a 1)a a 1 n
n
a n 2 a 1 a n a n 1 a n 2 . . . a 1 2 a
1 an
[ II ]
Portanto, de [ I ] e [ II ], concluímos que sendo a solução real positiva de x n x n 1 x n 2 . . . x 1 , 1 1 1 0 2 a a 2 0 2 a 2 ; o que finaliza a demonstração pedida. n n n AUTOR: LUIZ ANTONIO PONCE ALONSO [ 18/01/2016 ]