BOG 8. KLASSE
| ALINEA |
029898
| ALINEA |
9 788723
MATEMA MAT IK TA K BOG 8. KLASSE
MATEMA MAT IK TA K
www.alinea.dk
John Frentz | Jonna Høegh | Mikael Skånstrøm
John Frentz | Jonna Høegh | Mikael Skånstrøm
MATEMAT IK TA K BOG 8. KLASSE
ALINEA
001-220_9788723029898.indd 1
8/24/12 3:08 PM
MATEMATIKTAK for ottende klasse indeholder ni kapitler med temaer fra hverdagen. Det faglige indhold er i overensstemmelse med trinmål II. Som noget nyt indgår derfor emner fra trigonometri. Hvert kapitel er delt op i mindre afsnit som indledes med en til tre siders oplæg til fællesaktiviteter for hele klassen. Det kan være samtale om matematiske forhold i forbindelse med matematikkens anvendelse i hverdagen, præsentation af nyt fagligt stof, indsamling af data, introduktion af regneark, spil eller undersøgelser. Opgaverne på fæl-
lessiderne er ikke nummererede. De er ofte af åben karakter, og med en sværhedsgrad, der ligger over de individuelle opgaver. Efter fællessiderne uddybes det faglige stof med problemløsnings- og træningsopgaver, som kan løses individuelt eller i små grupper. Ud over mere specielle hjælpemidler og konkrete materialer, som er beskrevet i lærervejledningen benyttes sømbræt, terninger og centikuber. Lommeregner og regneark benyttes til beregninger, når det skønnes at være en fordel.
GOD ARBEJDSLYST Med venlig hilsen forfatterne
ISBN 978-87-23-02989-8, 2. udgave 4. oplag 2014, MATEMATIK-TAK for ottende klasse. Copyright © 1996 og 2008 Alinea, København, Grafisk tilrettelægning: Maria Lundén Grafisk Design. Illustrator: Niels Bo Bojesen. Forlagsredaktion (ekstern): Esben Esbensen. Tryk: Livonia Print. Omslag © Salvador Dali: La Sepeation de l´atome, COPY-DAN BILLEDKUNST 1997 Side 6: M.C. Escher: "Day and Night" © 1997 Cordon Art, Baarn, Holland. Fotos: Juan Carlos Alburquerque/Scanpix (side 153), A. Bettmann/Corbis/Scanpix (side 165), Jakob Boserup/Scanpix (side 132), Kurt Carnemark/Scanpix (side 76), Anne-li Engstrøm/Scanpix (side 61), EPA/Scanpix (side 128), Sean Gardner/ Reuters/Scanpix (side 71), Lars Gejl/Scanpix (side 87), Keith Hammet/Scanpix (side 106), Linda Henriksen/Scanpix (side 98), Erik Jepsen/Scanpix (side 105), Morten Juhl/ Scanpix (side 151), Janne Kornum/Scanpix (side 49) Mogens Ladegaard/Scanpix(side 17), Simon Knudsen/Scanpix (side 81), Thomas krakau/Scanpix (side 158), Claus Bjørn Larsen/Scanpix (side 94), Bax Lindhardt/Scanpix (side 68), Johnny Madsen/Scanpix (side 5), Michael Medgyesi/Scanpix (side 58, 131), Knud Meister/Scanpix (side 124),Lars K. Mikkelsen/Scanpix (side 72), John Nielsen/Scanpix (side 107), Ernst van Norde/Scanpix (side 149), Keld Olesen/Scanpix (side 154), Heine Pedersen/Scanpix (side 45), Martin Rosenhauer/Scanpix (side 25, 26, 40-41, 47), Birgitte Rødkjær/Scanpix (side 93), Søren Steffen/Scanpix (side 50, 56), Jørgen Schytte/Scanpix (side 54-55, 79), Morten Thun/ Scanpix (side 33), Anders Tvevad/Scanpix (side 135), Bjarke Ørsted/Scanpix (side 19), Mikkel Østergaard/Scanpix (side 146). Øvrige: Karsten Movang. Kopiering fra denne bog er kun tilladt ifølge aftale med COPY-DAN
001-220_9788723029898.indd 2
09/04/14 11.02
Indhold
UD I NATUREN FUGLE tesselationer
5 6
SPIRALER I NATUREN talfølger
10
BLOMSTERFARVER kombinatorik og sandsynslighed
17
TIK TAK TJEK En tur i skoven
23
IND I MUSIKKEN
25
NODER brøker
26
PLADER cirkler
33
PLADEPRODUKTION procent
40
TIK TAK TJEK Dúné on tour
47
STOREBÆLTSBROEN
49
FLYDEKRAN perspektiv
50
BROPENGE formler
54
I BIL OVER BÆLTET funktioner
62
TIK TAK TJEK Der bygges bro
69
SPORT
71
PÅ BANEN ligninger og uligheder
72
PÅ VANDEN trekanter
76
PÅ LANDEVEJEN grafisk ligningsløsning
81
TIK TAK TJEK Flagfootball
85
OP MOD JUL
87
JULEKALENDER Åbne opgaver
88
001-228_9788723029898.indd 3
7/5/12 2:21 PM
UNGDOMSSKOLEN UNGDOMSSKOLEELEVER statistik
001-228_9788723029898.indd 4
93 94
EN AFTEN I UNGDOMSSKOLEKLUBBEN sandsynlighed
100
PÅ TUR MED UNGDOMSSKOLEN valuta
106
TIK TAK TJEK Turen går til Skotland
109
STORE VIDENSKABSMÆND
111
PYTHAGORAS retvinklede trekanter
112
LEONARDO DA VINCI kvadratrod
117
NIELS BOHR tier-potenser
124
TIK TAK TJEK Videnskab gennem tiderne
129
MODE ER FORBRUG
131
EN ANORAK ligedannethed og sinus
132
LEVIS – ET PAR JEANS handelsregning – købspris, salgspris, fortjeneste, moms
141
TØJ TIL HELE FAMILIEN rente
146
TIK TAK TJEK Udsalg
151
MEXICOS INDIANERE
153
MEXICOS PYRAMIDER rumfang og massefylde
154
MAYAERNES TAL regneregler
159
INDIANERNES KUNST flytninger
164
TIK TAK TJEK Mexico
171
FORMEL- OG TABELSAMLING
173
FACITLISTE
207
STIKORD
218
7/5/12 2:21 PM
Ud i naturen Hvor tit går du en tur i naturen? Hvilken slags natur kan du bedst lide? Din bedste naturoplevelse?
FA M I L I E N
001-228_9788723029898.indd 5
F LY T T E R
I N D
5 7/5/12 2:21 PM
Fugle TESSELATIONER
Tegn tesselationer med regulære polygoner.
Hvilken figur fremkommer som mellemrum når regulære ottekanter lægges i mønster? Konstruer andre sammensatte tesselationer.
I KAN OGSÅ
finde og tegne figurer i jeres omgivelser, som kan tesselere SØG
6
mønstre
F U G L E
001-228_9788723029898.indd 6
7/5/12 2:21 PM
Tesselation Mønster med samme geometriske figur som dækker hele fladen.
1 Udfyld et skema som dette:
POLYGONFORM Vinkelstørrelse
En polygon er regulær når alle sider er lige lange og alle vinkler er lige store.
Kan tesselere Antal vinkler som mødes i samme punkt i en tesselation Summen af vinkler som mødes i samme punkt i en tesselation
Her mødes 6 vinkler i samme punkt.
2 a Hvilke geometriske figurer er brugt her? b Find summen af vinklerne som mødes i samme punkt.
b a a
a b
F U G L E
001-228_9788723029898.indd 7
7 7/5/12 2:21 PM
tion Tessela amme r med s te s Møn ur som g triske fi geome den. a fl le r he dække
3 a Vis at regulære tolvkanter kan tesselere sammen med regulære trekanter. b Find summen af vinklerne som mødes i samme punkt.
4 a Tegn en trekant som hverken er retvinklet, ligebenet eller ligesidet. b Undersøg om du kan lave en tesselation med trekanten. c Find summen af vinklerne som mødes i samme punkt.
5 a Tegn en firkant hvor ingen af vinklerne er rette eller lige store, og ingen af siderne er lige lange. b Undersøg om du kan lave en tesselation med firkanten. c Find summen af vinklerne som mødes i samme punkt.
6 Nogle femkanter kan tesselere.
a Hvor store er vinklerne i femkanten? b Find summen af de vinkler som mødes i samme punkt.
8
F U G L E
001-228_9788723029898.indd 8
7/5/12 2:21 PM
7 a Tegn en femkant hvor summen af vinklerne A, B og C er 360°. b Lav en tesselation med femkanten.
8 a Tegn en femkant hvor både vinkel A og C er 90° og a = e og c = d. B e
C d
A a
c
b
D
E
b Lav en tesselation med femkanten.
9 a Vis at figurerne kan tesselere. b Start med et kvadrat og forklar hvordan figurerne er dannet.
F U G L E
001-228_9788723029898.indd 9
9 7/5/12 2:21 PM
Spiraler i naturen TALFØLGER
10
S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 10
I
N AT U R E N
7/5/12 2:21 PM
Man kan finde spiraler mange steder i naturen. På en ananas kan vi tælle 8 spiraler den ene vej og 13 spiraler den anden vej. Tæl antallet af spiraler hver vej på grankoglen og i solsikken. Lav en talfølge ved at stille tallene fra de tre talsæt op efter størrelse.
Denne talfølge kalder vi Fibonaccis talrække efter den italienske matematiker Fibonacci som levede i 1200-tallet. Tallene kan vi kort kalde Fibo-tal.
n/n-1
FIBO-TAL
2,0
det forrige Fibo-tal
1,5
Udfyld skemaet og tegn kurven.
1,0 Tal nr. 2
3
4
5
6
I KAN OGSÅ
tælle efter på kogler, ananas og solsikker finde andre spiraler i naturen beregne store tal i Fibonaccis talrække i REGNEARK SØG
fibonacci
S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 11
I
N AT U R E N
11 7/5/12 2:21 PM
ram Pentag rne ket stje Femtak nalerne o g ia af d dannet kant m ulær fe i en reg
c
b
a
b
c
1 a Mål længderne a, b og c i pentagrammet. b Beregn forholdet a:b. c Beregn også (a+b) : a og (a+b+c) : (a+b). d Tegn dit eget pentagram, mål a, b og c og beregn de samme
forhold.
1
1
S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 12
I
3
3 4
1
2
1 1
12
1
1
2 Fortsæt talmønstret. Mønstret kaldes Pascal’s Trekant.
1
6
N AT U R E N
7/5/12 2:21 PM
1
3 a Find den vandrette sum i Pascal’s Trekant.
1
1
b Fortsæt talfølgen af summen.
3
3
1
1
2
1
1
1
4 a Find summen på skrå i Pascal’s Trekant. 1
b Hvilken talfølge får du så?
1
2
1 1
1
3
3
1
5 Skriv de første fire tal i talfølgerne: a Talfølgen starter med 1 og hvert tal er 3 større end tallet foran. b Første tal er 2. De andre tal er 2 gange tallet foran plus 3. c Hvert tal, undtaget det første, er lig med tallet foran ganget
med 3 og lagt til 1. Det femte tal er 121.
6 Skriv de manglende tal: a 1, 4, 7, __ , 13, __ , 19, 22 b 4, 5, 7, 10, __ , 19, __ , 32 c 3, 6, 12, __ , 48, 96, 192, __ , d 1, __ , 9, 16, 25, __ , 49, 64
Skriv hvordan du finder det næste tal i de fire talfølger.
7 Fortsæt talfølgerne: a 1, 3, 5, 7, 9, ... b 2, 7, 4, 7, 6, 7, 8, ... c 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, ... d 1, 3, 9, 27, 81, 243, ... e –11, – 8, –5, – 2, ... f 4, 5, 7, 10, 14, 19, ... g 1, 2, 6, 24, 120, 720, ... h 1, 2, 4, 5, 10, 11, 22, 23, 46, ...
Skriv hvordan du finder det næste tal i de otte talfølger. S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 13
I
N AT U R E N
13 7/5/12 2:21 PM
8 Fortsæt talfølgerne. a
1
3
6
10
b
1
4
1
13
9
c
d
1
9 To rette linjer kan højst skære hinanden i ét punkt. Tre rette linjer kan højst have tre skæringspunkter. a Hvor mange skæringspunkter kan fire rette linjer højst have? b Udfyld skemaet og fortsæt talfølgen:
14
S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 14
I
N AT U R E N
7/5/12 2:21 PM
10 a Udfyld de tomme pladser.
b Skriv hvordan du kan komme fra den ene række til den næste.
11 Udfyld skemaet.
a Er 81 et tal i talfølgen 2n? Hvad er n hvis 2n er 81? b Er 39 et tal i talfølgen 2n – 1? Hvad er n hvis 2n – 1 er 39? c Er 225 et tal i talfølgen n²? Hvad er n hvis n² er 225? d Er 99 et tal i talfølgen n² + 2n – 1?
S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 15
I
N AT U R E N
15 7/5/12 2:21 PM
12 På nogle lommeregnere kan man lave talfølgen 4, 8, 12, 16, 20, ... ved at trykke indtastningsprogrammet 0 + 4 = = = = = a
Hvad skal du gøre på din lommeregner?
b
Vis på et regneark hvordan talfølgen også kan laves.
13 Skriv indtastningsprogrammer til talfølgerne og lav dem på regneark: a
3, 6, 9, 12, ...
b
7, 14, 21, 28, ...
c
3, 8, 13, 18, ...
d
1, 3, 5, 7, ...
e
–14, –10, –6, –2, ...
14 Skriv indtastningsprogrammer til talfølgerne og lav dem på regneark: a
5, 25, 125, 625, ...
b
8, 64, 512, 4096, ...
c
3, 12, 48, 192, ...
d
– 2, – 4, – 8, – 16, ...
e
– 3, 9, – 27, 81, ...
15 Skriv indtastningsprogrammer og indret regneark til andre talfølger lavet på lommeregneren.
16
S P I R A L E R
001-228_9788723029898.indd 16
I
N AT U R E N
7/5/12 2:21 PM
Blomsterfarver KOMBINATORIK OG SANDSYNLIGHED
Rød Vidunderblomst
Hvid Vidunderblomst
rødt gen
En plantecelle har to gener som bestemmer blomstens farve.
plantecelle fra en lyserød blomst hvidt gen
Et blomsterfrø får ét gen fra hver moderplante. Hvis man krydser en rød Vidunderblomst med en hvid, får man lyserød Vidunderblomster. Vis hvad der kommer ud af at krydse s TO R DE 6IDUNDERBLOMSTER s TO HVIDE 6IDUNDERBLOMSTER s TO LYSER DE 6IDUNDERBLOMSTER B LO M S T E R FA R V E R
001-228_9788723029898.indd 17
17 7/5/12 2:21 PM
Ærteblomster er selvbestøvende, dvs. at en blomst bestøver sig selv. I Ærteblomsten er ét rødt gen nok til at blomsten bliver rød. Det røde gen er dominerende, det hvide gen er vigende.
Når en Ærteblomst med 1 rødt gen og 1 hvidt gen bestøves ved selvbestøvning, er der derfor disse muligheder:
Rød
Rød
Rød
Hvid
Hvor stor er sandsynligheden for en hvid Ærteblomst? Første generation Næste generation
Hvilke muligheder er der i næste generation, når de fire planter fra første generation fortsat selvbestøves?
Hvor stor er sandsynligheden nu for at få en hvid Ærteblomst?
I KAN OGSÅ
undersøge sammenhængen mellem forældres og børns øjenfarve, hårfarve og hudfarve undersøge hvordan farveblindhed, blødersygdomme mv. nedarves S Ø G dominerende vigende gener
18
B LO M S T E R FA R V E R
001-228_9788723029898.indd 18
7/5/12 2:21 PM
1. kast
2. kast 1 . KA S T
K K
P
2 . KA S T
1 En mønt kastes én gang. Det bliver enten Plat eller Krone. 1 Sandsynligheden for at få Krone er 2 .
Krone Plat
K
P
Krone Plat
P
En mønt kastes to gange. a Tegn tælletræ og skema af og skriv de manglende udfald. b Hvad er sandsynligheden for at få Plat begge gange? 1. kast
K
a Tegn tælletræ og skema af og
skriv de manglende udfald.
K K
b Hvad er sandsynligheden
for at mønten viser det samme alle 3 gange?
2. kast 3. kast
P
P P
MU L IG H EDER EF TER 2 . KA S T
K P
3 . KA S T
2 En mønt kastes tre gange.
Krone Plat
DAN/ME NU 2 rett er dansk Vælg me mad llem forr et + hove eller hov dret edret + d essert. Forret Asparge ssuppe m /kødboll Rejecock er eller tail m/flu tes eller Hjemme røget kal kunbryst Hovedre t Svinekote let m/ge myse ell Dansk h er akkebøf m/bløde Grydeste løg eller gt kylling m/agurk Biksemad esalat ell med spe er jlæg Dessert Dessertta llerken e ller Ostetalle rken m/4 slags ost Husets h eller jemmela vede is kr. 175,0 0
3 a Hvor mange forskellige menuer kan du sætte sammen? b Du bryder dig hverken om rejecocktail eller biksemad.
Hvor stor er risikoen for at du får noget du ikke bryder dig om? B LO M S T E R FA R V E R
001-228_9788723029898.indd 19
19 7/5/12 2:21 PM
4 Hvor mange forskellige beløb kan du betale når du har a én mønt?
b to mønter?
c tre mønter?
B
A
D
C
5 Hvor mange forskellige ruter er der a fra A til B? b fra A til C når du ikke må køre gennem D? c fra A til D hvis du ikke må køre gennem C? d fra A til D hvis du skal køre gennem C? e fra A til D hvis du må vælge frit?
6 Du møder tre af dine klassekammerater om 25 år. I giver hinanden hånden. a Hvor mange håndtryk er du med i? b Hvor mange håndtryk bliver det til i alt? c En af de tre er din sidekammerat fra 8. klasse. Hvor stor er
sandsynligheden for at du og din sidekammerat er de første til at give hinanden hånden?
20
B LO M S T E R FA R V E R
001-228_9788723029898.indd 20
7/5/12 2:21 PM
7 I er fire elever i en gruppe. a På hvor mange måder kan I placerer jer om et bord? b Hvor stor er sandsynligheden for at du ikke kommer til at sidde
ved siden af den du helst vil?
8 a Hvor mange forskellige ’ord’ på tre bogstaver kan der skrives på en mobiltelefon med tasten ’def ’? b Hvilke af dem er ’rigtige’ ord?
a= G= 8=
9 Du skal lave en hemmelig kode. Alle bogstaver og cifre skal skrives med 3 tegn. Hvor mange forskellige tegn er nødvendige? B LO M S T E R FA R V E R
001-228_9788723029898.indd 21
21 7/5/12 2:21 PM
10 På mange skoler bruger man lærernes forbogstaver som forkortelse for deres navn. Hvor mange “navne” kan det højst blive til a hvis man kun bruger ét bogstav? b hvis man bruger to bogstaver? c Hvad gør man på din skole?
11 Hvor mange forskellige nummerplader kan der laves i a Danmark?
b England?
c Sverige?
12 Morsealfabetet består af prikker og streger. Hvor mange forskellige bogstaver kan der laves med a 1 tegn? b 2 tegn? c 3 tegn? d 4 tegn? e Hvor mange tegn skal der højst bruges når vi skal have
alle danske bogstaver med?
22
B LO M S T E R FA R V E R
001-228_9788723029898.indd 22
7/5/12 2:21 PM
K TJE •
En tur i skoven
K• E J T
T A K K I T
TIK TAK
1 En familie på fire skal en tur i skoven. a På hvor mange måder kan de placere sig på to dobbeltsæder
i bussen? b Hvor stor er chancen for at de to børn kommer til at sidde
ved siden af hinanden?
2 Ved indgangen til skoven ligger brændestykker stablet op. a Hvor mange brændestykker skal der til for at danne 7 lag?
12 lag? b Hvor mange lag kan der blive af 55 brændestykker?
3 a Hvor mange forskellige ruter er der gennem skoven til Udsigten? b Hvis man ikke vil gå ad samme sti to gange, hvor mange
forskelige ruter kan man så gå gennem skoven til Udsigten og tilbage igen?
T I K
001-228_9788723029898.indd 23
TA K
TJ E K
23 7/5/12 2:21 PM
4 På et nyt område i skoven er man ved at plante træer i dette mønster. Der startes med ét træ og plantes en ny ring hvert år. a Udfyld skemaet.
b Hvor mange træer er der efter 7 år? c Hvor mange træer skal der plantes det 8. år.?
5 Et fuglepar lægger 2 eller 3 æg. Næste år danner ungerne par enten med hinanden eller med fugle fra en anden rede og lægger ligeledes 2 eller 3 æg pr. par. Dette sker hvert år. a Hvor mange æg bliver der højst lagt det 2. år? b Hvor mange æg bliver der mindst lagt det 2. år? c Hvor mange æg bliver der højst lagt det 5. år? d Hvor mange æg bliver der mindst lagt det 5. år?
6 Broerne over åen er dækket med træfliser med disse mål: Lav et forslag til et mønster med træflisen.
24
T I K
TA K
001-228_9788723029898.indd 24
15 30 10
10
TJ E K
7/5/12 2:21 PM
Ind i musikken Spiller du et instrument? Hvilket? Hvilken slags musik kan du bedst lide? Hvem er din yndlingssanger?
FA M I L I E N
001-228_9788723029898.indd 25
F LY T T E R
I N D
25 7/5/12 2:21 PM
Noder BRØKER
hel-pause er lige så lang som en hel-node halv-pause er lige så lang som en halv-node fjerdedels-pause er lige så lang som en fjerdedels-node ottendedels-pause er lige så lang som en ottendedels-node sekstendedels-pause er lige så lang som en sekstendedels-node toogtredivtedels-pause er lige så lang som en toogtredivtedels-node
26
N O D E R
001-228_9788723029898.indd 26
7/5/12 2:21 PM
Musikstykker bliver skrevet i en bestemt takt. Det vil sige at der skal være lige lang tid mellem hver taktstreg. 4 - dels takt skrives også som . 4 Find forskellige andre måder at lave
3 4
-,
6 8
- og
4 4
-takter på.
Indsæt de manglende noder i opgaverne.
Hvilken takt er musikken skrevet i?
Lav jeres egne huskeregler for regning med brøker.
I KAN OGSÅ
undersøge hvor man kan bruge brøker, også i andre fag i skolen spørge jeres forældre om hvad de ved om brøker S Ø G ]ZacdYZ ]VakcdYZ
N O D E R
001-228_9788723029898.indd 27
27 7/5/12 2:21 PM
1 Hvilke noder kan mangle?
2 a Skriv brøkerne i rækkefølge, den største først. 1 2
,
8 3
1 8
,
,
1 1
,
2 3
,
5 8
,
2 5
,
11 2
b Indsæt brøkerne på en tallinje. 1 4
,
3 4
5 2
,
,
1 3
,
8 5
,
1 5
,
0
3 2
1
2
3 Skriv en brøk der ligger et sted imellem
brøk Forlænge en r lle tæ e ng Ga ed og nævner m l. ta e m m sa Ex: 1· 6 2· 6 2·4 2 3 = 3·4
1 2
=
6
= 12 8
= 12
28
a
1 4
og
3 4
e
3 8
og
1 4
b
1 3
og
2 3
f
1 7
og
1 9
c
1 2
og
1 4
g
1 2
og
1 3
d
1 8
og
1 2
h
6 7
og
5 9
4 Find den brøk der ligger præcis midt imellem a
1 4
og
3 4
d
1 3
og
2 3
b
2 5
og
4 5
e
1 3
og
1 2
c
1 2
og 1
f
1 4
og
3 8
N O D E R
001-228_9788723029898.indd 28
7/5/12 2:22 PM
5 I en klasse på 24 elever er der 8 piger. Pigerne udgør Hvor stor en brøkdel udgør drengene?
8 24
1
= 3.
6 Hvor stor en brøkdel udgør
Forkorte en br øk Dividere tælle r og nævner m ed samme tal. Ex: 12 12: 3 15 = 15: 3
a 2 af 5
=
4 5
b 4 af 8 c 3 af 9
Brøker med sa mme nævner kan læ gges sammen og træ kkes fra hinanden ved at tællerne læ gges sammen elle r trækkes fra hinand en. Ex:
d 8 af 20 e
1 2
1 2
af 1
f 8 af 36 g 12 af 144
4 5
h 100 af 125
7 a
–
2 7
b
2 5
+
3 5
c
2 3
–
2 3
d
1 2
+
1 4
e
3 8
+
3 8
+
1 4
f
3 7
+
2 7
+
3 7
g
5 8
–
1 4
i
5 8
j 12
3 4
+6
+3 4 9
3 5
=
4– 3 5
=
1 5
2·2 1·3 3·2 – 2·3 = 4 3 1 6 – 6 = 6
3 7
h 24
–
Brøker der ik ke har samme nævn er skal først forlæng es så de har samme næ vner før de kan læ gges sammen elle r trækkes fra hinand en. 2 1 3 – 2 =
1 2
–3
En brøk med større tæller end næ vner kaldes en uæ gte brøk. Den kan omregnes til et he lt tal og en brøk. Ex:
1 2
11 6 6 = 6
–2 2 9
+
5 6
= 1 65
3 4
+2
1 3
N O D E R
001-228_9788723029898.indd 29
29 7/5/12 2:22 PM
1.
3.
2. Man ganger en l brøk med et ta e ng ga at d ve r brøkens tælle t. lle ta ed m
9a 3· b
Ex: 3·
8 Hvor er der mest sodavand?
2 5
=
3·2 5
=·
6 5
3 4
1 2
·4
c 15 ·
2 3
d
1 4
e
1 5
· 12 ·5 1 3
f 3·1
g 10 h 2
1 2
1 4
·5 ·7
i 12 · 3
1 3
10 Hvad koster a 1 kg b
1 4
kg
e 2 kg f 4
1 2
c 100 g
g 500 g
d 750 g
h 1,4 kg
11 a 16 : 8 b
1 8
af 16
c 16 : 8 · 3 d
3 8
af 16
e
1 4
f
1 10
g
4 5
h
1 3
Tilbud
kg
af 44 af 80 af 45 af 243
1 2 kg
i
2 3
af 66
j
1 7
af 56
k
5 7
af 63
l
1 10
af 99
24,-
12 Hvad er det halve af en halv?
30
N O D E R
001-228_9788723029898.indd 30
7/5/12 2:22 PM
13 Nanna, Kasper og Mads køber en pizza. Nanna er frygtelig sulten og får halvdelen af den. Kasper og Mads får hver halvdelen af resten. a Hvor meget af pizzaen er der til hver af drengene? b Lige inden de skal til at spise, kommer Mathias, og så er de plud-
selig tre om at dele den halve pizza. Hvor meget får de så hver?
14 a
1 2
af en
b
1 2
·
c
1 3
af
d
1 3
·
e
1 3
1 2
1 2 1 3 1 3
af
3 4
f
1 3
·
2 3
k
2 3
af 36
g
2 3
·
1 4
l
2 5
·
h
1 3
·1
m
1 2
·4
1 2
i
3 5
af 15
n
1 4
·8
4 9
j
1 3
3 9
o
3 4
af
1 2
1 2
af 9
Man ganger to brøker med hi nanden ved at ga nge tæller med tæ ller og nævner m ed nævner. Ex:
1 2
2 6
3 4
2 5
= 43··52 = 206 som kan fork ortes 6 6:2 3 20 = 20: 2 = 10 ·
15 Løs også opgave 14 på din lommeregner. Skriv ned hvordan du bruger din lommeregner. 1
16 I er tre der køber en 1 2 -liters sodavand tilsammen. a Hvis I skal have lige meget hver, hvor meget får I så? b Skriv et regneudtryk der beskriver historien.
17 Peter går med reklamer. Han har en rute på 120 husstande. Da 1 han er nået 3 igennem ruten, møder han Andreas der tilbyder at hjælpe ham med at tage halvdelen af resten.
Man kan gang e med en brøk med tælleren 1 ved at dividere med nævneren. Ex: 8 ·
a Hvor mange husstande klarer Andreas?
1 2
=8:2
b Hvor stor en brøkdel er det af alle husstandene? Man kan divid ere en brøk med et helt tal på to måder: dividér brøkens tælle r med det hele tal eller gang næ vneren med de t hele tal. Ex:
18 a
3 8
:3
b
6 7
:2
c
8 9
3 4
:4
e
d
1 2
:2
f 3
:2 3 4
:3
g 14 h
13 18
14 17
:7
9 10 : 3 = 2 3 :5=
9·3 10 2 3·5
= 103 = 152
:5 N O D E R
001-228_9788723029898.indd 31
31 7/5/12 2:22 PM
19 Tag tre stykker A-4 papir og del dem lige over i halve. a Hvor mange stykker kom der ud af det? b Del igen alle papirerne i halve. Hvor mange har du nu?
20 Tag to stykker A-4 papir og del hvert af dem i kvarte. a Hvor mange stykker har du nu? b Skriv et regneudtryk med brøker der viser, hvad der skete.
21 a Hvor mange halve pizzaer kan du få af 5 hele?
Man dividerer ved med en brøk at gange med te”. “den omvend Ex: 3 2 8: 3 =8· 2 = 8·
3 2
=
24 2
b Og hvor mange kvarte? c Skriv regneudtryk med brøker der viser, hvad der skete.
=12
22 a 30 kg æbler skal pakkes i poser med Hvor mange poser skal der bruges?
3 4
kg i hver.
b Skriv et regneudtryk med brøker der viser, hvad der skete.
en Man dividerer øk ved br en ed brøk m en “d at gange med ”. te nd omve Ex: 3 4
:
2 3
=
3 4
·
3 2
=
3·3 4·2
=
9 8
es som som kan skriv1 blandet tal: 1 8
23 a 4 :
1 3
c 14 :
b 8:
1 4
d 5:
1 2 1 3
e 7:
2 3
g 2:
1 2
f 8:
3 5
h 1:
3 4
24 a
1 2
:
1 2
c
1 5
:
1 2
e
2 3
:
1 3
g
2 3
:
4 5
b
1 4
:
1 4
d
1 3
:
1 4
f
4 5
:
2 5
h
3 4
:
1 4
25 Løs også opgave 24 og 25 på din lommeregner. Skriv ned hvordan du gør. 26 Skriv i rækkefølge efter størrelse a
1 2
– 40% – 0,48
b 30% – c
1 6
– 0,33
– 0,16 – 17%
d 0,36 –
32
1 3
3 8
– 35%
e
1 11
– 11% – 0,09
f
5 6
– 83% – 0,82
g
5 9
– 55% – 0,56
h 58% –
4 7
– 0,57
N O D E R
001-228_9788723029898.indd 32
7/5/12 2:22 PM
Plader CIRKLER
ant
korde
ius
t
rad
gen
di
am
et
er
sek
tan
På en gammeldags grammofonplade, en LP, er der på begge sider i spiralform skåret en lang rille. Via en diamantnål “oversættes” rillens ujævnheder til lyd. Afstanden mellem midten af to riller er i gennemsnit 0,12 mm. På en Compact Disc ligger der også i spiralform et langt spor af små fordybninger. En laserstråle aflæser forskellen på fordybninger og ikke-fordybninger 44100 gang i sekundet.
Hvor lang er rillen på en LP? Gæt før I regner! Beskriv grammofonarmens bevægelse, fx ved hjælp af en tegning. Hvor stort er det areal rillen dækker på pladerne? u
v
v
v u
v
center-vinkel
periferi-vinkel
korde-tangent-vinkel
indvendig vinkel
udvendig vinkel
Find sammenhænge mellem en vinkels størrelse, og det eller de stykker vinklen afskærer på cirklen.
I KAN OGSÅ
undersøge rillens længde på andre plader finde cirkler omkring dig, måle og dividere omkreds med diameteren og se om du får cirka 3,14 hver gang tegne to forskellige cirkler ved siden af hinanden og tegne fælles tangenter, korder og sekanter til cirklerne S Ø G \gVbbd[dceaVYZ XY
P L A D E R
001-228_9788723029898.indd 33
33 7/5/12 2:22 PM
v
v
el tervink En cen r to s å s er lige en n bue d som de r. e v o r e spænd
ivinkel Perifer
1 Hvor store er centervinklerne og periferivinklerne?
34
P L A D ER
001-228_9788723029898.indd 34
7/5/12 2:22 PM
2 Tegn 4 cirkler med radius 6 cm. Afsæt centervinkler på a 45°
b 90°
c 180°
d 270°
3 Tegn 4 cirkler med radius 5 cm. Afsæt periferivinkler på a 30°
b 45°
c 90°
d 180°
Perifer iv
inkel
4 Er dette udsagn sandt eller falskt: “En periferivinkel er halvt så mange grader som den bue, den spænder over”? Begrund svaret. A B
H
5 Denne cirkel er delt i otte lige store cirkelbuer. Hvor store er vinklerne GAC, HBC, FCD og ECD?
C
G
D
F E E
6 Inde i en cirkel er tegnet en femkant med lige lange sider. Hvor store er vinklerne i femkanten?
A
D
B
C
7 Tegn en cirkel med diameter 14 cm. Tegn vinkler hvor det ene ben er en tangent og det andet en korde, på a 35°
b 60°
c 120°
Kordeta ngentvinkel u2
8 a Tegn tre udvendige vinkler i hver sin cirkel.
u1 v
b Kontroller i hvert tilfælde at det passer at vinklerne
er v =
u¹ – u² 2
Udvend
grader.
v=
9 a Tegn 3 indvendige vinkler i hver sin cirkel.
c Kontroller på tegningerne at den passer.
ig vinke
u2 v
u1
Indven
dig vink el
P L A D E R
001-228_9788723029898.indd 35
l
v
b Find en formel der beskriver størrelsen af
en indvendig vinkel.
u –u ¹ ² 2
35 7/5/12 2:22 PM
10 Find omkredsen af en cirkel når
rad
korde
ius
t
d diameteren er 4 cm
gen
b radius er 1 km
tan
c diameteren er 7 cm
am et er
a radius er 10 cm d
ant
sek
di
r
Cirklens omkreds: 0=S·d ·r eller 0 = 2 · S
11 Find arealet af en cirkel når r d
l: Cirklens area A = S · r²
a radius er 2 cm
c diameteren er 1 km
b radius er 8 m
d diameteren er 6 cm
12 a Tegn en cirkel med radius 4 cm og afsæt en centervinkel på 90°. b Hvor stort er arealet af det cirkeludsnit der fremkommer? c Hvor lang er den cirkelbue vinklen afskærer?
13 Hvad bliver arealerne af cirkeludsnittene, og hvor lange er de afskårne cirkelbuer i en cirkel med radius 4 cm når centervinklerne er Cirkeludsnit
a 30°
c 45°
e 180°
b 60°
d 120°
f 270°
14 Find cirklens radius når omkredsen er
36
a 18,84 cm
c 15,7 m
b 43,96 m
d 69,08 cm
P L A D ER
001-228_9788723029898.indd 36
7/5/12 2:22 PM
15 Tegn diagrammet til højre af. Tegn hvor langt cirklerne bevæger sig på en omgang når de rulles lodret op. 20
15
10
5
5
10
15
20
16 Find cirklens diameter når arealet er a 12,56 m²? b 50,24 m²? c 176,625 cm²? d 7,065 cm²?
17 Hvor store er arealerne i forhold til hinanden i cirkler med a radius 4 cm og radius 8 cm b radius 1 cm og radius 2 cm c radius 2
1 2
cm og radius 5 cm
d radius 8 cm og radius 16 cm
18 a Hvad sker der med arealerne hvis radius i den ene cirkel er tre gange så stor som i den anden? Lav selv nogle eksempler. b Hvis radius bliver x gange større, hvor mange gange større
bliver så arealet?
P L A D E R
001-228_9788723029898.indd 37
37 7/5/12 2:22 PM
14,2 cm
30 cm
12,4 cm 12 cm
31,3 cm
19 a Find arealet af CD’en og af dens cover. b Hvor stor er CD’en i forhold til coveret? c Lav samme beregninger for LP’en.
20 a Hvis man vælger at klippe cirkler ud af et stykke karton som vist, hvor meget karton går der så til spilde? b Hvordan kan du klippe cirkler ud, så spildet bliver mindre?
9 cm
24 cm
21 Find areal og omkreds af figurerne.
1m 3m
3m
4m 2m 1m 6m
38
P L A D ER
001-228_9788723029898.indd 38
7/5/12 2:22 PM
22 a Hvor langt er der rundt om Jorden ved Ækvator når Jordens radius er 6366 km? b Hvor mange meter ville omkredsen blive længere
ved Ækvator, hvis radius forøges med 1 meter?
23 Find rumfanget af dåser der har
h
a radius 5 cm og højde 10 cm b radius 2 cm og højde 8 cm c diameter 14 cm og højde 15 cm
r
Rumfanget af en cylinder = G · h G = r² · S
d radius 10 m og højde 25 m
24 a Fordobl højderne fra opgave 23 og find så rumfanget af de nye dåsestørrelser. b Sammenlign de to rumfang.
25 a Gør radius dobbelt så stor i opgave 23 og find rumfanget. b Sammenlign de to rumfang.
P L A D E R
001-228_9788723029898.indd 39
39 7/5/12 2:22 PM
Pladeproduktion PROCENT
Moms
Studieomkostninger 50 kr. Musikerroyalty Video og reklame Pladeselskabets fortjeneste og generelle omkostninger
Avance 27 kr.
Grossistrabatter 8 kr. Nordisk Copyright Bureau Ophavsmænds rettigheder 8 kr. Distribution 15 kr.
Producerroyalty 2 kr. Produktionsomkostninger 10 kr.
Hvor mange procent udgør de forskellige omkostninger af en CD’s butikspris? Hvor mange kroner udgør momsen?
40
P L A D EP R O D U K T I O N
001-228_9788723029898.indd 40
7/5/12 2:22 PM
Lav et procent- og et blokdiagram der illustrerer produktionsomkostningerne. Hvor mange procent er studieomkostningerne højere end avancen? Hvor mange procent er grossistrabatter mindre end stykomkostninger/produktion? “Dry Lips” koster 135,20 kr. eksklusive (uden) moms. Hvad koster den inklusive (med) moms? “80 years” kan købes for 142 kr. inklusive (med) moms. Hvad koster den eksklusive (uden) moms?
I KAN OGSÅ
lave andre sammenligninger mellem salgstallene undersøge forskellige CD priser i forskellige forretninger S Ø G musikproduktion
P L A D E P R O D U K T I O N
001-228_9788723029898.indd 41
41 7/5/12 2:22 PM
BOG 8. KLASSE
| ALINEA |
029898
| ALINEA |
9 788723
MATEMA MAT IK TA K BOG 8. KLASSE
MATEMA MAT IK TA K
www.alinea.dk
John Frentz | Jonna Høegh | Mikael Skånstrøm
