0. Hvad er matematik?
1
0. Hvad er matematik?
Hvad er matematik?
Grundforløb Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup
Lindhardt og Ringhof
1
Hvad er matematik? GRUNDFORLØB Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup Hovedforfattere på kapitel 3: 3.1, matematik-fysik: Dorthe Agerkvist og Michael Olesen 3.2, matematik-kemi: Birgit Andresen og Keld Nielsen 3.3, matematik-biologi: Anne Krarup og Susanne Højte 3.4, matematik-samfundsfag: Christina Blach-Hansen og Per Henriksen 3.5, matematik-kulturfag: Bjørn Grøn © 2017 L&R Uddannelse, København -et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Stjernesymbol (kapitel 4): Bjarke Jung Brinch Olesen Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave 1. oplag 2017 ISBN 978 87 7066 824 8 www.lru.dk
Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale. Omslag: Colourbox, Scanpix, Polfoto, iStockPhoto, Center for Advanced Biotechnology and Medicine, RSA Security, Kroppedal Museum, Museo Galileo, Wikimedia, Nasa, The Royal Household, Rick Steves, University of British Columbia, Lessing Photo Archive, Wikimedia Tidslinje: Tate, Lessing Photo Archive, Det kongelige Bibliotek, Library of Congress, Scala Archives, Branislev L. Slantcher, Deutsche Bundesbank, National Maritime Museum Carlsberg: 67ø Colourbox: 49, 50, 74 Flickr: 73 Gyldendal: 7ø HK/Danmark: 16ø iStockPhoto: 7 nn, 7n, 8ø, 8n, 15n, 61 Jørgen Strunge: 67n Polfoto: Corbis 8 mf, Pressens Bild 47 Potomac Books: 7nø Segui Vilar: 93 ThinkstockPhotos: 15ø, 53, 56, 70 Wikimedia commons: 9n, 51, 63, 64v, 64h, 66
2
Indholdsfortegnelse
Indholdsfortegnelse Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.
Grænser for vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.
Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Uafhængig og afhængig variabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Betegnelsen f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Koordinatsystemet – en genial idé. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Koordinatsystemets indretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Tabelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Grafisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Sproglig form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Formeludtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19 19 20 22 22 22 23 23
6. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . . . . . . . 6.1 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift . . . . . . . . . . . . . . . .
25 25 28 30 33
7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1 Residualplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.1 Grafen for lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.
Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2. C, B, A – de tre faglige niveauer i matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 1.
Fra C til B og A: Stadig større udfordringer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.
Fra C til B og A: Matematisk modellering – udvidelse af værktøjskassen af funktioner . . 51
3.
Fra C til B og A: Større viden, flere metoder, bredere palet af anvendelser. . . . . . . . . . . 55
3. Matematik og det faglige samarbejde i studieretningerne. . . . . . . . . . . . 60 1. Matematik og modellering af kraternedslag (matematik – fysik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.
Idealgasligningen – Boyle-Moriottes lov (matematik – kemi) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.
Celler, respiration og gæring (matematik – biologi/biotek). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.
Efterspørgsel, pris og indkomst (matematik – samfundsfag) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.
Bygninger, byer og samfund – logistik og akvædukter (matematik – kulturfag) . . . . . . . 73
3
4. Opgaver til kapitel 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 1.
Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.
Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . . . . . . . . 80
5.
Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.
Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.
Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.
Facitliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Projekter er tilgængelige på bogens website: www.lru.dk\hvadermatematik
4
Forord
Forord Alle nye gymnasieelever skal fra 2017 starte med et grundforløb, hvor matematik har en central placering. Formålet med grundforløbet er ifølge læreplanen at skabe en hensigtsmæssigt overgang fra folkeskolens beskrivende og forklarende til gymnasiets ræsonnerende og begrundende matematikfaglige aktiviteter. Samtidig skal grundforløbet give eleverne gode forudsætninger for at vælge studieretning. Denne særlige udgivelse i lærebogssystemet Hvad er matematik? er målrettet grundforløbet. Det faglige stof i kapitel 1 omfatter lineære modeller og lineære funktioner. Der gives en grundig indføring i variabelbegrebet via mange eksempler og øvelser, som eleverne i vid udstrækning selv kan arbejde med. Fokus er her de fire repræsentationsformer: tabel, graf, sprog og formel. Gennem arbejdet med de mange eksempler og øvelser trænes eleverne i at ræsonnere og begrunde, hvordan man oversætter frem og tilbage mellem de forskellige former. De lærer kort sagt at tale og skrive matematik. I arbejdet med disse øvelser lærer eleverne også i praksis at anvende det abstrakte funktionsbegreb f(x) og de tilknyttede begreber definitionsmængde og monotoniforhold. Afsnittet om opstilling af lineære modeller via regression på et datasæt er placeret før "2-punktsformlen", dvs. udledningen af funktionsudtrykket på basis af to givne værdier. Hensigten er, at man tidligt i forløbet inddrager overvejelser om matematisk modellering. Her kan man vælge at inddrage datamaterialer genereret i et samarbejde med naturvidenskabeligt grundforløb. Eller man kan vælge at inddrage autentiske data fra eksemplerne i kapitel 3. Læreplanen lægger øget vægt på elevernes evne til at håndtere og fortolke residualerne, og dette har derfor fået sit eget delafsnit, hvor der tilbydes særlige øvelser, man kan fordybe sig i. Kapitel 4 rummer opgaver med facitliste til alle opgaver knyttet til emner i kapitel 1. Valg af studieretning indebærer både overvejelser om fagkombinationer og om det faglige niveau. I kapitel 2 er niveauerne C, B og A eksemplificeret gennem en række øvelser, som samtidig supplerer stoffet i kapitel 1. I kapitel 3 gives eksempler på fagligt samspil mellem matematik og fagene fysik, kemi, biologi og samfundsfag, samt et eksempel på, hvordan matematik også er i spil i et samarbejde med kulturfag som dansk, religion og historie. I lærebogssystemet Hvad er matematik? indledes alle kapitler med en fortælling om begivenheder, hvor matematik har været afgørende for at forstå fænomener fra natur og samfund, eller hvor matematik er bragt i spil for at løse bestemte problemer. Og alle kapitler afsluttes med en række projekter, der er tilgængelige via bogens website. Kapitel 1 i denne bog til Grundforløbet er identisk med kapitel 1 i 3. reviderede udgave af C-bogen og giver adgang til de samme 8 projekter. 3 af disse projekter indeholder grydeklare oplæg til samarbejde mellem matematik og naturvidenskabeligt grundforløb, NV. Bogen igennem er der henvisninger til bogens website, hvor der ligger uddybende materialer, herunder vejledninger i brug af Geogebra, TI Nspire og Maple. Se mere på www.lru.dk/hvadermatematik. Definitioner og sætninger er layoutet, så de er lette at finde, og som en særlig facilitet er i samme format indsat praxis-bokse, hvor notation, god skik og standardfremgangsmåder er oplistet.
Bjørn Grøn
Bodil Bruun
Olav Lyndrup
5
Variabelsammenhænge og lineære funktioner
1.
1.
Grænser for vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.
Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3. Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1 Betegnelsen f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4. Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Koordinatsystemets indretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. 5.1 5.2 5.3 5.4
De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sproglig form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeludtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 22 22 23 23
6. 6.1 6.2 6.3 6.4
O versættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge. . . . . Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sprog og formler – at opstille og at tolke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift . . . . . . . . . . . .
25 25 28 30 33
7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7.1 Residualplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 8.1 Grafen for lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 9.
Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Størrelser som et lands befolkningstal eller en families elforbrug, der kan beskrives med talværdier, kaldes variable. Et stort område af matematikken drejer sig om at undersøge og beskrive sammenhænge mellem variable. Variabelsammenhænge kan være givet som tabel, som graf, som formel eller ved en sproglig beskrivelse. I grundforløbet vil vi undersøge disse fire repræsentationsformer, og hvordan man oversætter fra én form til en anden. Vi sætter særligt fokus på de lineære sammenhænge, der i formelsprog skrives: y = ax + b. I det videre matematikforløb går vi både på C, B og A i dybden med andre variabelsammenhænge. Vi begynder med en fortælling om et forsøg på at beskrive hele verdens tilstand ved brug af variabelsammenhænge.
6
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
1. Grænser for vækst I 1972 udsendte en gruppe forskere knyttet til det amerikanske universitet MIT en bog med titlen Grænser for vækst (engelsk: The Limits to Growth). Det var en rapport om klodens tilstand og menneskehedens truede situation. Der har til alle tider været dommedagsprædikanter, som har forudsagt Jordens snarlige undergang, men denne rapport var anderledes. Forskerne havde konstrueret en global model – der siden er blevet forfinet flere gange – med det formål at undersøge fem centrale forløb af global betydning, som vist nedenfor. Rapporten har påvirket debatten siden. Magasinet Ingeniøren havde et temanummer om emnet i januar 2009, hvor forskere lavede sammenligninger af modellens forudsigelser og den faktiske udvikling: "Som den første har forskeren Graham Turner fra Commonwealth Scientific and Industrial Research Institution i Australien sammenlignet den faktiske udvikling siden udgivelsen af "Grænser for vækst" med de forskellige scenarier i bogen. Sammenligningen viser en god overensstemmelse mellem "standard run"scenariet fra andenudgaven af bogen fra 1974 (grønne kurver) og den faktiske udvikling (lilla kurver). I scenariet "comprehensive technology" (røde kurver) søges bæredygtighedsproblemerne løst kun ved hjælp af teknologi. I scenariet "stabilized world" (blå kurver) benyttes såvel teknologiske som socialpolitiske løsninger for at opnå en form for ligevægtstilstand."
Befolkningstallets udvikling
10 10
2100 2100 2100
2060
2060 2060
00
2020
0
2020 2020
22 1980
44
2
1900
Stabilized world
Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag for Datagrundlag for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data
66
1980 1980
4
88
1940
6
1940 1940
Mia. mennesker
8
Befolkning
12 12
1900 1900
Mia. mennesker
10 Mia. mennesker
Befolkning
12
Fødevareproduktion og underernæring Befolkning 12
Fødevareproduktion
10 2000
Mia. mennesker Kcal per indbygger per år
2000
Kcal per indbygger pr. år
1600 8 1600
Stabilized world
1200 6 1200
Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data
800 4 800
2100 2100 2100
2060
2060 2060
2020
2020 2020
1980
1980 1980
1940 1940
1940
00
1900 1900
0
1900
400 2 400
7
Industrialiseringen og anvendelse af nye teknologier Befolkning
12
Industriproduktion
mennesker 1.000 dollar (måltMia. i 2007 USA-dollar) 1.000 dollarper (målt i 2007 US dollar) indbygger per år 1900
12 12
10
10 10
2100 2100 2100
2060
2060 2060
2020
00
2020 2020
22 1980
0
44
1980 1980
2
Stabilized world
Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data
66
1940 1940
4
88
1940
per indbygger per år
6
1900 1900
8
Forureningen og forringelsen af miljøet Befolkning
Mia. mennesker Atmosfærisk CO2 ppm
12
Global forurening
1080 1080
10
Atmosfærisk CO 2 ppm
950 950
8
820 820
6
Stabilized world
Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag for Datagrundlag for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data
690 690
4
560 560
2100 2100 2100
2060
2060 2060
2020
2020 2020
1980 1980
1980
1940 1940
1940
1900
300 0 300
1900 1900
2 430 430
Forbruget af uerstattelige ressourcer Befolkning
Mia. mennesker Resterenderessourcer ressourcer divideret Resterende divideret 1900-niveauet (estimeret) medmed 1900-niveauet (estimeret)
12 10
Uerstattelige ressourcer
1,0 1,0
0,8 8 0,8
0,6 6 0,6
Stabilized world
Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser for for vækst” Observerede Observerede datadata
4 0,4
2100 2100
2060 2060 2060
2020
2020 2020
1980
1980 1980
1940 1940
1900
1900 1900
0 0 0,0
1940
2 0,2
Disse fem sektorer er indbyrdes forbundne på mange måder, så udviklingen i den ene sektor vil være påvirket af udviklingen i alle de andre.
Øvelse 1.1 Beskriv med ord mindst fem eksempler på, hvordan én sektor er påvirket af andre sektorer.
8
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
Øvelse 1.2 På bogens website kan man finde yderligere materiale herom fra magasinet Ingeniøren.
Årsagen til, at rapporten fik en så enorm betydning og kom til at sætte dagsordenen for diskussionerne om klodens tilstand helt op til i dag, var med forskernes egne ord: "Fordi vores model er matematisk". Men forskergruppen bestod både af matematikere og af videnskabsmænd fra alle mulige andre fag. Samarbejdet på tværs af fagene var nødvendigt for at svare på så komplicerede spørgsmål. Ud fra forskernes viden om indbyrdes sammenhænge opstillede de diagrammer, som er gengivet herunder, hvor pilene betyder, at der er en påvirkning. Enhver påvirkning er forbundet med en vis tilbagekobling, som kan virke positivt eller negativt på den variabel, der påvirkes.
Tilbagekoblingsprocesser der styrer befolknings- og kapitalvækst
Population
(+)
(samlet antal mennesker) (+)
(–) dødsfald/år
fødsler/år
frugtbarhed
industriproduktion
dødelighed (forventet levealder)
Industrikapital
(fabrikker og maskiner) (–)
investering (ny tilført kapital)
nedskrivning (kapital der forældes eller nedslides/år)
investeringsrate
gennemsnitlig levealder for kapital
Den centrale tilbagekoblingsmekanisme i World3-modellen styrer befolkningstilvæksten og industrikapitalens tilvækst. De to positive tilbagekoblinger, der omfatter fødselstal og investeringsrater, genererer eksponentiel vækstadfærd i befolkning og kapital. De to negative tilbagekoblinger, der involverer dødsfald og nedskrivning, har tilbøjelighed til at
virke regulerende på eksponentiel vækst. Den relative styrke af de forskellige tilbagekoblinger afhænger af mange andre faktorer i systemet.
I deres egne videnskabelige arbejdspapirer anvendte forskerne en særlig teknik (kaldet system dynamics forkortet SD) og et særligt symbolsprog, som netop var udviklet på MIT, og som var baggrunden for, at projektet blev placeret på dette universitet. Denne SD-teknik behandles på A-niveau under emnet: differentialligninger.
Jay Forrester (1918-2016) grundlagde i sit arbejde på MIT en helt ny gren af matematikken, System Dynamics.
9
Figur a Fødevareproduktion Konstateret fødevaremængde
Andel af investeringer til vedligeholdelse af landbrugsjord Landbrugsinvesteringer pr. hektar
Forsinkelse i konstatering af fødevaremangel Konstateret ændring i fødevaremængde Dyrkbar jord
Eksistensminimum
Marginal multiplikator for jordudbytter på grundlag af kapital
Landbrugsinvesteringer
Ændringer i landbrugsinvesteringer
Jordudbytter Fødevaremængde
Fødevarer Dyrkbar jord
Fødevarer pr. individ
Samlet landbrugsinvestering
Befolkning Produktionstab
Løbende landbrugsinvestering
Andel af industriproduktion afsat til landbrug
Andel af høstet landbrugsareal
Tid for iværksættelse af strategi
Indiceret fødevaremængde pr. individ
Gennemsnitlig levetid af landbrugsinvesteringer
Andel af landbrugsinvestering afsat til jordforbedring
Tid for iværksættelse af strategi
Industriproduktion
Industriprodukton pr. individ
Ud fra en sproglig formulering af sammenhænge mellem de enkelte delelementer opstillede de diagrammer som det ovenstående over fødevareproduktionen. Med udgangspunkt i tabeller over sammenhørende værdier for faktorer som forurening og fødselsrater, kornproduktion og fosfatressourcer osv., lavede de grafer og opstillede formler for de indbyrdes sammenhænge. Disse er lagt åbent frem og giver andre forskere muligheder for at efterprøve og kritisere. Endelig havde de fået adgang til computere, der kunne gennemføre de meget komplicerede beregninger og lave prognoser for, hvordan de fem forløb vil være under forskellige forudsætninger. Disse prognoser blev udarbejdet som grafiske forløb og rækker frem til år 2100. Den første kørsel (dvs. beregninger i modellen) skulle illustrere, hvordan de fem sektorer ville udvikle sig, hvis vi intet foretager os, men fortsætter med at producere og leve som hidtil. Sådanne prognoser lavet under bestemte forudsætninger kaldes for scenarier, og processen kaldes for en simulering. På de følgende sider ses resultatet af denne første simulering, kaldet Scenario 1 og derefter Scenario 9, der illustrerer udviklingen, hvis man strategisk vælger at begrænse familiens størrelse og dæmpe industriproduktionen. Ved siden af graferne ses forfatternes egne kommentarer.
10
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
Figur b Fødevareproduktion Jordfrugtbarhed Multiplikator for industrikapitalens produktivitet på grundlag af jordudbytteteknologi
Forsinkelse i teknologiudvikling Multiplikator for jordudbytter på grundlag af teknologi
Multiplikator for jordudbytter på grundlag af kapital
Jordudbytter
Grænseproduktivitet som følge af landbrugsinvesteringer
Tid for iværksættelse af luftforureningsstrategi
Multiplikator for landbrugsudbytter som følge af luftforurening
Ændringer i udbytteteknologi Jordudbytte teknologi
Tid for iværksættelse af strategi Tid for iværksættelse af strategi
Multiplikator for ændringer i udbytteteknologi
Industriudbytte
Industriudbytte i 1970
Scenario 1:
Fødevaremængde
Ønsket fødevaremængde
”Standardkørslen” fra Grænser for vækst: ”Business as usual”
Verdenssamfundet fortsætter sin historiske udvikling så længe som muligt uden større ændringer af strategier. Befolkningstallet og industriproduktionen vokser, indtil en kombination af begrænsninger i miljø- og naturressourcer eliminerer kapitalsektorens evne til at klare investeringerne. Industrikapitalen begynder at forringes, hurtigere end nyinvestering kan genoprette den. Efterhånden som den falder, sker der også en nedgang i produktion af fødevarer og i bevillinger til sundhedsvæsenet, så den forventede levealder falder, og dødeligheden stiger.
Scenario 1 Verdens tilstand
Industriproduktion Ressourcer
Population
Fødevarer Forurening
1900
2000
2100
11
Scenario 9:
Verden sætter sig i 1995 stabile befolkningstal og stabil industriproduktion som mål Hvis verdensbefolkningen sætter både en ønsket familiestørrelse med to børn og en bevidst dæmpet industriproduktion pr. individ som mål, kan den opretholde en materiel levestandard, der er 50% højere end verdensgennemsnittet i 1990, i næsten 50 år. Forureningen fortsætter imidlertid med at vokse og udsætter landbrugsjorden for belastning. Fødevareproduktionen pr. individ falder og sænker efterhånden den forventede levealder og befolkningstallet.
Scenario 9 Verdens tilstand Ressourcer
Industriproduktion
Fødevarer
Population Forurening 1900
2000
2100
Øvelse 1.3 a) D er er ikke afsat enheder på den lodrette akse (2. aksen). Hvad kan forklaringen være på det? b) V ælg to af kurverne ud i hvert af de to scenarier. Beskriv det grafiske forløb med ord som voksende, aftagende, maksimum og minimum. c) Forklar sammenhængen mellem forløbet af de to kurver, du har valgt ud.
Øvelse 1.4 Simuleringen foretages for perioden fra 1900 til 2100. Tallene fra de første ca. 100 år kender man jo. Hvad kan være forklaringen på, at de starter i 1900 og ikke i 1970? Eller at de i den opdaterede rapport ikke starter i 1990?
Øvelse 1.5 På bogens website kan man komme ind til en (engelsk) præsentation af The Limits to Growth, samt af kritikken og debatten herom. Endvidere er der henvisninger til hjemmesider, hvor man selv kan prøve at simulere.
12
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
2. Variable Når vi skal give en matematisk beskrivelse af et fænomen, anvender vi begreber, der kan tildeles talværdier, dvs. de har en størrelse, der kan måles. Sådanne begreber kaldes numeriske variable, eller blot: variable. Eksempler på variable kan være: befolkningstallet, kornproduktionen eller oliereserverne. Det ligger i ordet variabel, at det ikke er en konstant talværdi, men at denne kan variere. For omkring 400 år siden begyndte man at indføre symboler for de variable. Før den tid havde man talt om det med ord og kaldt en variabel for "tingen" eller lignende. Med indførelse af symboler blev det lettere at opstille og behandle ligninger. I matematik bruger vi nogle af de sidste bogstaver i alfabetet, x, y og z som symboler for de variable. Men vi følger også andre fags traditioner, så tiden betegnes ofte med t, temperatur betegnes T, tryk betegnes P, hastighed betegnes v osv. Der er ikke faste regler. I store modeller med flere hundrede variable giver man dem længere navne. I matematiske værktøjsprogrammer indfører man på samme måde de symboler, man synes er mest hensigtsmæssige – det kan være, tiden blot betegnes tid, befolkningstal betegnes bef, temperatur betegnes temp, en vinkel A betegnes va osv. Det er imidlertid ikke så meget størrelsen af befolkningstallet, men mere hvordan dette udvikler sig med tiden, eller under påvirkning af andre faktorer, vi interesserer os for. Det samme med de andre variable. Vi er interesserede i sammenhængen mellem de variable. Er der fx en sammenhæng mellem fødselsrater og udviklingen i befolkningstallet på den ene side og det gennemsnitlige indkomstniveau på den anden? Når vi opdeler de samlede ressourcer i reserverne af olie, kul, tin, fosfat, krom osv., kalder vi af og til dette for en opdeling i kategoriske variable (dvs. inddeling i forskellige kategorier). Det vil normalt være meningsløst at lægge mængden af tin og mængden af fosfat sammen. På samme måde opdeles befolkningstallet efter lande, efter aldersgrupper, efter køn osv. Inddelingen i aldersgrupperne: 0-15, 16-25, 26-40, 41-65, 66-100 er en inddeling i kategoriske variable. Variable, der antager talværdier, kaldes som omtalt numeriske variable. I arbejdet med statistik gør vi udstrakt brug af betegnelserne kategoriske og numeriske variable. For hvert fænomen er der naturligvis en lang række forskellige ting, der kan indgå i en beskrivelse af det pågældende. Tager vi for meget med, bliver det uoverskueligt. Tager vi for lidt med, kan vi ikke bruge beskrivelsen til noget. I den forfinede model, der anvendes i den opdaterede rapport fra 1992, Hinsides grænser for vækst anvendes 225 variable. Modellen kaldes World3. Dette er en model for hele verdens udvikling. Når det drejer sig om mere beskedne fænomener, er der ofte kun nogle få variable i spil (se fx tabellen i øvelse 1.6).
13
Øvelse 1.6 Betragt denne tabel fra Danmarks statistik over udviklingen i gennemsnitsalderen for nye forældre: Gennemsnitsalder for fødende kvinder og nybagte fædre efter alder og tid 1980
1985
1990
1995
2000
2005
Gnsn.-alder for 1.-gangs-fødende kvinder
24,6
25,5
26,4
27,5
28,1
28,9
Gnsn.-alder for for fædre til nyfødte
30,0
30,8
31,4
32,2
32,6
32,9
a) H vilke variable indgår her, og hvad fortæller tabellen om disse variable? b) Hvilke sammenhænge synes der at være?
De variable, der anvendes i beskrivelsen af et bestemt fænomen, skal vælges ud fra, hvad der er i fokus i vores undersøgelse. I det følgende præsenteres en række situationer og fænomener, og øvelserne går ud på at udpege nogle variable, der må være centrale i beskrivelsen af disse forhold, og samtidig overveje, hvilke variabelsammenhænge der kan være.
Øvelse 1.7 I faget idræt beslutter man at foretage en række målinger og undersøgelser for at få en beskrivelse af, hvor sunde og i hvor god form eleverne er. Undersøgelsen gennemføres for alle 1.g-elever. a) Som kategoriske variable vælges bl.a. køn (dreng/pige), samt ja/nej til spørgsmålet: Spiser du morgenmad? Hvilke øvrige kategoriske variable kunne vi foreslå at undersøge? b) Som numeriske variable vælger man at måle højde, vægt, hvilepuls … Hvilke øvrige numeriske variable kunne vi vælge at måle på? c) Hvilke sammenhænge kunne det være interessant at undersøge? d) Hvilke variable kunne det være interessant at sammenligne på tværs af klasserne?
14
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
Øvelse 1.8 En forbrugerorganisation ønsker, at stearinlys skal kvalitetsmærkes. a) Hvilke kriterier kunne indgå i en sådan kvalitetsmærkning? b) H vilke kategoriske variable kan vi indføre til at beskrive stearinlys? c) Hvilke numeriske variable kan vi indføre? d) Hvilke værdier kan de numeriske variable antage? e) E r der en sammenhæng mellem nogle af de variable, der er blevet udpeget?
Øvelse 1.9 Man har en række rør i to forskellige materialer (plast og metal). Rørene har desuden forskellige tykkelser og længder. I et eksperiment vil man undersøge, hvilke toner man kan frembringe ved at slå på rørets ene ende. a) Hvilke kategoriske variable indgår i eksperimentet? b) Hvilke numeriske variable indgår i eksperimentet? c) H vilke af de udpegede variable vil vi forvente har en sammenhæng?
Øvelse 1.10
Samarbejde med naturvidenskabelige fag (NV)
(Vend evt. tilbage til øvelsen igen efter afsnit 1.3 og efter afsnit 1.7) I naturvidenskabelige fag opstilles og undersøges hypoteser om sammenhænge mellem variable. a) Hvilke naturvidenskabelige fag indgår i gymnasiets fagrække? Hvilke fælles træk har disse fag? Hvad forstås ved en hypotese? Giv eksempler på hypoteser, som du har mødt i NV eller i naturvidenskabelige fag i folkeskolen. I kapitel 3 er der små uddrag af nogle kapitler om fagligt samarbejde mellem matematik og andre fag. Disse kapitler indgår i Hvad er matematik? C og er tilgængelige på bogens website. Hent et eller flere af eksemplerne: Kraternedslag (matematik og fysik) side 61, Idealgasligningen (matematik og kemi) side 63, samt: Gærcellers respiration (matematik og biologi) side 68. b) H vilke variable er i spil i det eller de eksperimenter, du betragter? Er der flere variable i spil, der kunne påvirke eksperimenterne, end de, der er omtalt i teksterne? c) E t centralt begreb i naturvidenskabelige forsøg er variabelkontrol. Hvad menes med dette? (Se evt. i eksemplerne i kapitel 3).
15
Øvelse 1.11 På bogens website kan du gennemføre en simulering af epidemimodeller på samme måde, som du gjorde ved modellen Grænser for vækst.
Øvelse 1.12 Vi vil undersøge svingningstiden for penduler. Penduler kan have forskellig længde, og der kan være hængt forskellige lodder på. a) Hvilke variable indgår i eksperimentet? b) Du kan evt. lave et rigtigt eksperiment, gerne i samarbejde med NV eller fysik. Via bogens website kan du finde en simulering af pendulbevægelser. Hold én af de variable fast, skru op og ned for den anden, og udfyld en lille tabel over variabelsammenhængen. c) P lot de sammenhørende værdier af de variable i et koordinatsystem, og beskriv sammenhængen med ord. Galilei opdagede først i 1600-tallet lovene for pendulsvingninger og en række andre naturvidenskabelige sammenhænge. Det omtales nærmere under emnet Potensmodeller.
Øvelse 1.13 Et forskerteam har sat sig for at prøve at sammenligne ungdomsliv og ungdomskulturer for gymnasieelever i forskellige lande. De vil indhente informationer gennem et større spørgeskema. a) Hvilke kategoriske og hvilke numeriske variable kunne det være interessant at indføre? b) E r der blandt disse variable nogle sammenhænge, det kunne være særligt interessant at undersøge?
Øvelse 1.14 Det Økonomiske Råd i Danmark har udviklet en matematisk model efter samme grundlæggende principper, som ligger bag modellen World3, der anvendes af Grænser for vækst-projektet. Vismændenes model hedder SMEC (Simulation Model of the Economic Council), og den er udviklet med henblik på at kunne analysere forskellige scenarier afhængigt af, hvordan den internationale økonomi udvikler sig, hvordan danske økonomiske nøgletal ændrer sig, og hvilke politiske beslutninger der tages i Danmark. På bogens website er der et link til en beskrivelse af modellen samt en række opgaver i tilknytning dertil.
16
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
SMEC er grundlaget for et undervisningsmateriale, der hedder Vismandsspillet, som kan danne udgangspunkt for et studieretningssamarbejde mellem med matematik og samfundsfag. Vismandsspillet kan findes på bogens website.
Øvelse 1.15 Betragt en vilkårlig firkant og indfør variable for hver af de fire vinkler. a) Hvilke værdier kan de variable antage? b) E r der en sammenhæng mellem de variable? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.
Øvelse 1.16 Betragt en trekant med sidelængder a = 5 og b = 7. a) Indfør en variabel for den sidste side i trekanten.
b=7
b) H vilke værdier kan den variable antage? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.
a=5
3. Uafhængig og afhængig variabel I mange sammenhænge falder det naturligt at opdele to variable i henholdsvis den uafhængige og den afhængige variabel. Det er fx i de situationer, hvor man kan se, at ændringer i den ene variabel giver anledning til ændringer i den anden. Den anden variabel siges så at være afhængig af den første, som kaldes den uafhængige variabel. En sådan sammenhæng illustreres ofte med en pil: fx x → y, der skal fortælle, at variablen x har indflydelse på variablen y. Prøven er, om man kan danne en fornuftig sætning som: "(Variablen y) afhænger af (variablen x)". Her er et par eksempler: • Vi betragter en bestemt afgrøde. Udbyttet afhænger af den tilførte mængde gødning. • Vi betragter en lyskilde. Lysets intensitet afhænger af afstanden til lyskilden. • Vi betragter en større influenzaepidemi. Antal smittede afhænger af tiden, der er gået siden udbruddet.
17
Øvelse 1.17 Vend tilbage til øvelse 1.10 og evt. de øvelser i afsnit 2, I har gennemgået. Hvilke par af afhængige og uafhængige variable kan du pege på? Bemærk: Der kan godt være flere typer sammenhænge i de enkelte øvelser.
Der er ikke altid et objektivt svar på, hvilken af de to variable der er den afhængige, og hvilken den uafhængige. Det kan godt skifte, afhængigt af hvad der er i fokus. Eksempelvis kan tiden være begge dele, alt efter hvilken rolle tiden spiller i problemet. Når tiden (forstået som årstal, måneder osv.) indgår som en af de variable, så er dette ofte den uafhængige variabel. Men den tid, der skal bruges til at stege en bøf, hæve et brød, bringe vand til kogepunktet osv., kan godt være den afhængige variabel. Når en variabel y afhænger af en variabel x, siger vi også, at y er en funktion af x, fx: • Den samlede udgift til vand er en funktion af forbruget. • Antallet af bakterier i en bestemt lille skål er en funktion af tiden. Når vi skriver en formel op, som binder x og y sammen, fx y = 4x + 1, så kaldes regneudtrykket, hvori x indgår, for funktionens regneforskrift (eller blot forskrift). Forskrift betyder: Tag en værdi for x, og gør det med x, som udtrykket viser. Eksempelvis udregnes y-værdien svarende til x = 3 som 4 · 3 + 1 = 13. Vi skriver: f(3) = 4 · 3 + 1 = 13.
3.1 Betegnelsen f(x) f
x
Det er ofte en fordel at kunne huske, hvorfra bestemte y-værdier stammer. Dette gøres ved at bruge funktionsnotation. I stedet for y skriver man f(x), hvis den uafhængige variabel hedder x, eller f(t), hvis den uafhængige variabel hedder t osv. I matematik anvendes normalt f, g og h som navne for funktionsudtryk. Men andre fag har andre traditioner. y = f(x) f(x) er altså en betegnelse eller et kort navn for regneforskriften: f(x) = 4x + 1 Skal vi udregne y-værdien svarede til x-værdien 2, så skriver vi: f(2) = 4 · 2 + 1 = 9 Husk: Talværdien 2 skal indsættes på x’s plads på begge sider af lighedstegnet, dvs. både i f(x) og i 4x + 1. f(x) kan således både betegne den generelle regneforskrift og den konkrete y-værdi hørende til en bestemt x-værdi. For at undgå misforståelser anvendes derfor også blot navnet f for funktionen.
18
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
I brugen af værktøjsprogrammer opdager man hurtigt styrken ved notationen f(x). Her navngiver man ved brug af definerende lighedstegn, som er en kombination af symbolerne kolon (dvs. :) og lighedstegn (dvs. =), således:
f(x) := 4x + 1
Taster man herefter f(2), svarer programmet, at dette er 9.
4. Koordinatsystemet 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide Det moderne koordinatsystem er en genial opfindelse til at visualisere variabelsammenhænge. Lad os betragte en simpel sammenhæng mellem to variable, som vi kalder x og y: x
x betegner længden af linjestykket AB. y betegner længden af linjestykke CD, som er dobbelt så langt som AB. Sammenhængen mellem x og y kan illustreres ved at lade punktet B, der bevæge sig langs en akse, være bundet til punktet D på en anden akse, på en sådan måde, at y altid er dobbelt så stor som x.
A
B
C
y = 2x
D
x A C
B D
y = 2x
Men er variabelsammenhængen blot en smule mere kompliceret, vil en sådan grafisk fremstilling ikke være til megen hjælp. Hvis vi nu i stedet vælger at placere den anden akse lodret, og hvis vi bestemmer, at et punkt i denne plan fastlægges af henholdsvis den vinkelrette afstand x til andenaksen og den vinkelrette afstand y til førsteaksen, så har vi et koordinatsystem. Bindingen mellem de to punkter B og D repræsenteres her af det ene punkt P, som tegner et spor i koordinatsystemet, når B bevæger sig ud af førsteaksen og trækker D med sig. Det samlede "spor", der tegnes i koordinatsystemet kalder vi for grafen for den lineære funktion, der har regneforskriften y = 2x, eller f(x) = 2x. Vi behandler lineære funktioner grundigt i kapitlets afsnit 7 og 8 og vil blot her konstatere, at f(x) er givet ved et udtryk, der afhænger af x. Når x bevæger sig på x-aksen, så bevæger f(x) sig på y-aksen, mens P bevæger sig på grafen. Det centrale er, at det er x, der styrer funktionsværdien f(x).
x
D
P(x,y)
y
y = 2x
C A
x
B
19
4.2 Koordinatsystemets indretning Vi arbejder i matematik og i mange andre fag ustandseligt med koordinatsystemer. Det er derfor vigtigt, at man uden vanskeligheder kan bevæge sig rundt i koordinatsystemer og uden tøven kan afsætte punkter og aflæse på grafer i et koordinatsystem. 2. kvadrant
1. kvadrant
(–,+)
(+,+)
3. kvadrant
4. kvadrant
(–,–)
(+,–)
Definition: Koordinatsystemets kvadranter Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-).
Øvelse 1.18 Tegn et koordinatsystem. Afsæt følgende punkter: P1 (2,5), P2 (–3,4), P3 (–2,–6) og P4 (1,–8)
Øvelse 1.19 y
1
x
Aflæs på grafen svarene på følgende:
Hvilke af følgende punkter ligger på grafen?
1. Når x = 1, så er y = . . . 2. Når x = –2, så er y = . . . 3. Når x = 0, så er y = . . . 4. Når y = 12, er x = . . . 5. Når y = 0, er x = . . . 6. Når y = 4, er x = . . .
7. (3,–1) 8. (–1,3) 9. (3,1) 10. (–3,–1)
1
Praxis: Sådan afsættes de variable Når vi undersøger variabelsammenhænge i matematik, afsættes den uafhængige variabel altid ud af den vandrette 1. akse (x-aksen), og den afhængige variabel altid op af den lodrette 2. akse (y-aksen). I andre fag som samfundsfag og fysik, kan man derimod sagtens komme ud for, at den uafhængige variabel i stedet afsættes op ad den lodrette akse.
Øvelse 1.20 På bogens website ligger der eksempler fra fysik og samfundsfag, som viser, hvordan man i disse fag af og til afsætter den uafhængige variabel op ad 2. aksen, og den afhængige ud ad 1. aksen.
20
1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner
Praxis: Nogle regler vedrørende koordinatsystemer • 1. og 2. aksen skærer hinanden i (0,0). Men ofte vil det være uhensigtsmæssigt at tegne koordinatsystemet, så (0,0) er med. I så fald benyttes en koordinatboks, der viser det relevante udsnit af en graf, og hvor (0,0) ikke behøver være med. • Hvis den uafhængige variabel fx er årstal, vil man afsætte de relevante årstal, fx fra 1970 til 2020, og måske markere årstallene 1970, 1980, 1990, 2000, 2010 og 2020. I andre sammenhænge markeres hvert år. • Der skal angives enheder på akserne. • Hvis det drejer sig om grafskitser, markeres af og til blot enheden på hver af de to akser. Enhederne behøver ikke være de samme på de to akser. Men på hver af de to akser skal man anvende samme enhed langs hele aksen.
Øvelse 1.21 I øvelse 1.6 så vi på sammenhængen mellem alderen for førstegangsfødende kvinder og årstallet. Tegn en grafisk fremstilling af dette talmateriale.
Øvelse 1.22 Folketal (summariske tal fra folketællinger)
2004
2000
1996
1992
1988
1984
1980
1976
1972
1960
1940
1921
1901
1850
1840
5.500.000 5.000.000 4.500.000 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 1769
Betragt følgende grafiske fremstilling af udviklingen i befolkningstallet i Danmark. Hvad er der galt?
Øvelse 1.23 Tegn grafen for f(x) = 10x + 2 i tre forskellige koordinatsystemer, så billedet af grafen bliver svagt voksende, jævnt voksende og stærkt voksende.
Øvelse 1.24 Find selv en graf i en avis, og overvej, hvordan man kan manipulere med grafen ved at anvende forskellige enheder forskellige steder på akserne, eller ved at zoome ind eller ud.
21