Hvad er matematik 1 by Alinea

Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

1 y

Hvad er matematik? 1,40

|a| = a + a 2 1

LÆSEPRØVE 2 2

1,20 1,00 0,80

afdrag

0,60

rente

0,40 0,20 0,00

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

QR-koder er ikke aktiveret Antal terminer

Lindhardt og Ringhof

0. Hvad er matematik?

Hvad er matematik?

1 Grundbog BjĂ¸rn GrĂ¸n Bodil Bruun Olav Lyndrup

L&R Uddannelse

Hvad er matematik? 1 Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2017 L&R Uddannelse, København -et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Faglig redaktion: Bjørn Grøn Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia ISBN 97 887 7066 6279 Denne bog er 1. oplæg af 3. reviderede udgave af Hvad er matematik? C QR-koder i bogen kan scannes af mobiler og tabletter og linker til bogens ekstramateriale. Du skal bruge en QR-app, fx QR Reader, som kan hentes gratis fra Apples App Store (IOS) og Google Play (Android). Ekstramaterialet kan på en PC findes ved at gå ind på www.lru.dk/hvadermatematik. Bogens illustrationer Forlaget har forsøgt at finde og kontakte eventuelle rettighedshavere, som kan tilkomme honorar i henhold til loven om ophavsret. Skulle der mod forventning være rettighedshavere, som måtte have krav på vederlag, vil forlaget udbetale et sådant, som om der var indgået aftale.

Indholdsfortegnelse

Indholdsfortegnelse Forord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0. Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1. Kan vi bevise det? Om vinkelsummer, trekanter og polyedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Matematikkens skønhed. Om de regulære polygoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 14 17 20

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.

Grænser for vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Uafhængig og afhængig variabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Betegnelsen f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Koordinatsystemets indretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Tabelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Grafisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Sproglig form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Formeludtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 38 39 39

6. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . . . . . . . 6.1 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift . . . . . . . . . . . . . . . .

41 41 44 46 49

7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.1 Residualplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8. Lineære funktioner y = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.1 Grafen for lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.

Ligninger, kurver og funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. Beskrivende statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 1. I krig med statistikken som våben: Florence Nightingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 2. Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – prikdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sproglig præsentation af niveauet for et datasæt – median og middeltal . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sproglig præsentation af spredningen for et datasæt – variationsbredde og kvartilbredde . 2.4 Grafisk præsentation af et numerisk datasæt – boksplot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Sproglig præsentation af formen for en fordeling – symmetri og outliers . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Anvendelse af boksplot til sammenligning af datasæt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68 69 73 77 78 80

3. Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Skøn over middeltal for grupperede datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – sumkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Skøn over median og kvartiler for grupperede datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 88 90 92

4. Kategoriske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Titanics forlis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tabelpræsentation af et kategorisk datasæt – antalstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grafisk præsentation af et kategorisk datasæt – cirkel- og søjlediagrammer . . . . . . . . . . .

93 93 94 96

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

3. Procent og rentesregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 1. Tunnelen under Storebælt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.1 Tidligere planer for en fast forbindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 1.2 Storebæltsforbindelsens tekniske data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 1.3 Geologiske forhold ved boringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1.4 Sten i moræneleret under Storebælt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 1.5 En matematisk modellering ud fra rå data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 2. Procentregning og kapitalfremskrivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Sådan regnes med procent og indekstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Eksempler på anvendelse af formlen K = K0 · (1 + r) n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sådan regnes med logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108 108 113 117

3. Potenser og potensregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1 Udvidelse af potensbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4. Summer af potensrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1 Uendelige summer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.

Opsparingsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Gældsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Amortisationstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Anlægsøkonomien i etableringen af den faste forbindelse over Storebælt . . . . . . . . . 133

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4. Eksponentielle vækstmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 1.

Darwins evolutionsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2. Eksponentialfunktionerne f(x) = b · ax og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Eksponentialfunktioners regneforskrift. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Eksponentialfunktioners grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sproglig form – at opstille og at tolke eksponentielle sammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . 3.

140 140 141 144

Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5. Fordoblings- og halveringskonstanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.1 Jordens alder og opdagelsen af radioaktivitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.2 Beregning og anvendelse af fordoblings- og halveringskonstanter . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 6.

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

5. Potensmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 1. Det naturvidenskabelige gennembrud – matematikken kommer i spil . . . . . . . . . . . . . 163

Indholdsfortegnelse

2. Potensfunktionerne f(x) = b · x a og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.1 Potensfunktionernes regneforskrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.2 Potensfunktionernes grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.

Potensregression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4. Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.1 Skalering – eller: Hvorfor findes der ikke kæmper? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2 Procent-procent-vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.

Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

6. Vektorer og trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 1. Hvor kommer vektorerne fra? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 1.1 Danmarks kortlægning – de store landmålere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 1.2 Caspar Wessel og de komplekse tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 1.3 Vektorbegrebet graves ud af firedimensionelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 2. Hvad er en vektor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 2.1 Repræsentanter for en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2.2 Regning med geometriske vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3. Vektorer i et koordinatsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Vektorer beskrevet med koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Regning med koordinatvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forbindelsesvektorer og deres koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorernes beskrivelseskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201 202 203 204 205

4. Pythagoras' sætning og længden af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.1 Længden af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5. Ensvinklede trekanter og skalering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 6. Trigonometriske beregninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.1 Enhedscirklen – definitionen af sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2 De trigonometriske formler for den retvinklede trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7. Skalarprodukt af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1 Skalarprodukt i koordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Skalarprodukt og vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220 220 222 228

8. Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.1 Projektion af vektor på vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.

Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10. Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.1 De 5 trekantstilfælde og sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 11.

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

7. Det matematiske sprog – Tal og ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 1. Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Tal og talord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Talsans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Talsymboler – om at skrive tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Positionstalsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Udvidelse af talbegrebet – nul, negative tal, brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 245 248 249 251 254

2. Regning med tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Sådan regnes med tal og paranteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Brøker og decimaltal, eksakt og tilnærmet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sådan regnes med brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Eksponentiel notation – sådan skrives store tal og små tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.

Talmængderne (især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4. Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Formler – naturligt sprog og symbolsprog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Regler for løsning af ligninger – omvendte operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Grafisk løsning og formelregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.

255 255 259 261 262 267 267 270 273

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

8. Familier af funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 1. Brokonstruktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 1.1 Kædelinjer og de hyperbolske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 2. Funktioners egenskaber og deres grafiske forløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Definitionsmængde og værdimængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Maksimun og minimun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Monotoniforhold – voksende og aftagende funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Omvendt funktion – omvendt operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Asymptoter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286 286 288 289 291 293

3. Parametriserede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Forskudt eksponentiel vækst: f(x) = M – b · ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b 3.2 Forskudt eksponentiel vækst: f(x) = b · (x – c)2, g( x ) = b ⋅ x − c , h( x ) = . . . . . . . . . x −c 3.2 Andengradspolynomier: p(x) = a · x2 + b · x + c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294 295 296 298

En verden af funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Projekter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 1.

Testet positiv – men er du syg? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

2. Regning med sandsynligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Stokastiske eksperimenter og udfaldsrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Symmetriske sandsynlighedsfelter og stokastiske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 De store tals lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306 306 310 313

3. Kombinatorik – tællemetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 3.1 Permutationer og binomialkoefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 10. Matematik og kultur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Fagligt samarbejde matematik og fysik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Fagligt samarbejde matematik og kemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13. Fagligt samarbejde matematik og biologi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i-bog® i-bog® i-bog® i-bog® i-bog®

Forord

Forord Kernestof – skarpt og synligt Hvad er matematik? 1 er første bog på B-niveau og på A-niveau og er samtidig en fuldt dækkende grundbog for C-niveau. Bogen er skræddersyet til de faglige mål, det faglige indhold og de krav til tilrettelæggelse af undervisningen, som er formuleret i læreplanerne fra 2017. Ud over Hvad er matematik? 1 kommer den nye udgave af serien således til at bestå af Hvad er matematik? 2 og Hvad er matematik? 3 samt tilhørende opgavebøger. I den nye udgave af Hvad er matematik? har vi valgt at foretage en skarpere og umiddelbart synlig opdeling mellem på den ene side det egentlige pensum, beskrevet i læreplanens afsnit om fagligt indhold og faglige mål, og på den anden side de mange tilbud om ekstramaterialer. Ud over en gennemgående revidering er der tre nye kapitler, der dækker de nye emner i læreplanen: annuitetsregning, vektorregning og sandsynlighedsregning samt et nyt kapitel om familier af funktioner, hvor eleverne udforsker og fordyber sig i funktionsbegrebet. Hvert kapitel indledes med en fortælling om begivenheder, hvor matematikken har været afgørende for at forstå fænomener fra natur og samfund, eller hvor matematik er bragt i spil for at løse bestemte praktiske problemer. Viden om matematikkens udvikling og om matematikanvendelser er i læreplanen kun beskrevet i overordnede termer, og denne del af pensum vil man kunne dække ved blot at vælge enkelte af disse fortællinger. Emnerne i den resterende del af bogen, dvs. alle kapitlernes afsnit 2 og frem, er pensum. Til alle emner er der gennemregnede eksempler og en række øvelser. Til alle emner er der også øvelser med tilbud om eksperimenterende forløb, når nye begreber, metoder eller funktioner introduceres. Bogen rummer betydeligt flere øvelser, end man normalt vil inddrage i undervisningen, så man må foretage et valg, fx: Hvilke dele af pensum synes man selv er bedst egnet til eksperimenterende forløb? Det er ikke fastlagt i læreplanen, hvilke dele af den matematiske teori der skal gennemgås udførligt, og hvilke sætninger der skal bevises, kun at dette skal ske for udvalgte dele af pensum. Vi har i bogen foretaget et sådant udvalg. Man kunne foretage et andet valg, og alle øvrige beviser findes på bogens website: lru.dk/hvadermatematik.

Ekstramateriale og supplerende stof Som de tidligere udgaver i lærebogssystemet Hvad er matematik? indeholder denne nye udgave en rigdom af ekstramaterialer, der ligger på bogens website, og som stilles frit til rådighed:

• Mere end 80 projekter, der kan supplere eller direkte erstatte dele af et emne, eller som kan danne grundlag for problemstillinger til den mundtlige gruppedelprøve på C- og B-niveau. • 4 ekstra studieretningskapitler med oplæg til fagligt samarbejde mellem matematik og fysik, matematik og kemi, matematik og biologi/bioteknologi og matematik og samfundsfag. • Et særligt kapitel med oplæg til fagligt samarbejde mellem matematik og kulturfag. • Mere end 50 forskellige kildematerialer og autentiske data fra så forskellige begivenheder som boringen af tunellen under Storebælt i 1990’erne, kortlægningen af Sjælland i 1700-tallet, bestemmelse af lysets hastighed i 1880’erne, Eiffels brokonstruktioner eller aktuelle begivenheder som Copenhagen Marathon.

Materialerne på bogens website er ikke umiddelbart pensum. Men man kan ofte vælge at inddrage et materiale fra websitet til et forløb om matematikkens anvendelser, til et matematikhistorisk forløb eller til projektorienterede forløb, som erstatning for traditionel undervisning i et bestemt emne. Derved kommer det til at indgå som supplerende stof i det pågældende holds pensum. Eller man kan anvende en del af materialerne som udgangspunkt for konstruktion af de problemstillinger, der skal anvendes ved den mundtlige gruppedelprøve på C- og B-niveau.

Brugervenlighed med QR-koder Overalt i bogen er der indsat QR-koder med links til projekter, studieretningskapitler, vejledninger til værktøjsprogrammer og andre ekstramaterialer, hvor det kan være naturligt at inddrage disse. Det øger brugervenligheden betydeligt, at læreren og eleverne i forberedelsen til eller gennemgang af et nyt emne let kan orientere sig i disse ekstra tilbud. I en repetitionsfase vil eleverne selv kunne finde relevant ekstramateriale, eksempelvis til fordybelse i den matematiske teori. Hvert kapitel slutter med en samlet oversigt over de projekter, der hører til det pågældende kapitel. Definitioner og sætninger er placeret i særlige bokse, så de er lette at finde, og de har alle fået en titel eller et navn, så man hurtigt kan se, hvilket begreb det drejer sig om. Notation, regler og god skik er fremhævet på linje med sætninger og definitioner i særlige bokse under overskriften: Praxis. Disse bokse har alle fået en titel eller et navn, så man hurtigt kan se, hvilket begreb det drejer sig om. Ligeledes har alle eksempler, samt alle de øvelser, der handler om noget og ikke blot er træningsøvelser, fået en overskrift, så man hurtigt kan orientere sig i et afsnit. Bogen er forsynet med et omfattende stikordsregister, der også omfatter studieretningskapitlerne, projekterne og alt andet ekstra materiale. e-bogen har yderligere en effektiv søgemaskine.

Forord

Papirbog, e-bog og opgavebog Hvad er matematik? 1 findes som papirbog og som e-bog. De to versioner er fuldstændigt identiske mht. sidetal og opsætning, og de kan således umiddelbart anvendes sammen. Arbejder man med den trykte udgave, skal man anvende en app, der kan læse QR-koder. I e-bogen er disse links aktive. Alt ekstramateriale kan let tilgås samlet på bogens website, som også indeholder en overskuelig materialefortegnelse, så det er let at finde bestemte materialer. Til grundbogen er der også udarbejdet en opgavebog, hvor der for alle kapitler er markeret mindstekravsopgaver. Hvad er matematik? 1 Opgavebog er både tilgængelig som papirbog og i webformat. Hvis man anskaffer grundbogen som e-bog, følger opgavebogen med, og der er i e-bogen af Hvad er matematik? 1 direkte links til opgavebogens relevante afsnit.

Vores ambition med lærebogssystemet Hvad er matematik? Matematik er både et meget gammelt og et meget moderne fag. Matematik har spillet en central rolle i alle civilisationer og gennem hele kulturhistoriens udvikling. I dag er det tilmed et uundværligt redskabsfag for en lang række andre fag. Det har været vores ambition at gøre dette til det inspirerende udgangspunkt for lærebogssystemet og dermed for gymnasiets matematikundervisning. Gennem et selvstændigt arbejde med ægte problemer og modellering af autentiske data skal eleverne opleve faget som et levende og uundværligt fag, et fag, der bliver stadig mere spændende for hvert nyt rum, der åbnes. På bogens website ligger oplæg til, hvordan man kan udmønte bogens materialer i undervisningsplaner for hold på forskellige niveauer. Siden vi startede arbejdet med dette nye lærebogssystem, har vi desværre mistet vores nære ven og altid inspirerende deltager i vores arbejdsfællesskab, Bjørn Felsager. Hans aftryk findes i mange af bøgernes materialer.

Bjørn Grøn

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

Hvad er matematik?

Kan vi bevise det? Om vinkelsummen i trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner . . . . . . . . . . . . . 14

Matematikkens skønhed. Om de regulære polygoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Matematik er både en meget gammel og en meget moderne videnskab. Tal, mønstre og geometri kan spores tilbage til stenaldermenneskene, lang tid før skriftsproget blev opfundet. Og det moderne menneske er omgivet af matematik, hvor end vi færdes og gennem hele livet. Når den gravide får et billede med sig hjem af det lille foster, eller når den syge skannes, er billederne et resultat af en snedig anvendelse af moderne matematik. Når sundhedsplejersken vejer og måler den lille, kontrollerer hun, at tallene ikke afviger signifikant fra bestemte grafer, der er lavet ud fra statistiske beregninger. Når man ringer sammen, sender billeder, hører musik eller betaler via netbank, sikrer matematiske koder og kryptering, at informationen når sikkert og korrekt frem. Trafiksystemer, nationaløkonomiske beregninger og vejrprognoser bygger alt sammen på store matematiske modeller, og når arkitekter, ingeniører og designere vil føre visioner ud i livet, anvender de matematiske metoder og værktøjer. I Hvad er matematik? vil man møde et stort antal eksempler på sådanne anvendelser af matematik. Men matematik er også interessant og dybt fascinerende for sin egen skyld. Med definitioner, axiomer og logiske regler som byggestene skaber matematik sine egne verdener. Vi lægger ud med en rejse ind i geometriens verden, fra den plane, vi kender, over kuglen og til rummets figurer.

0. Hvad er matematik?

1. K an vi bevise det? Allerede for over 2000 år siden vidste de græske matematikere, at summen af vinklerne i en trekant altid gav det samme, uanset trekantens udseende og størrelse. Men hvorfor skal vi nu tro på det?

Øvelse 0.1

Eksperimenter i dynamiske geometriprogrammer

Åbn et dynamisk geometriprogram, tegn en trekant og få programmet til at måle vinkelsummen. Når vi har en dynamisk forbindelse mellem tegning og udregning af vinkelsummen, kan vi gribe fat i en af vinkelspidserne og trække i den. Mens de enkelte vinkler ændrer sig, så ser vi det mærkelige, at summen hele tiden er den samme.

A = 48,88° B = 57,52° C = 73,60°

A + B + C = 180,0°

I øvelse 0.1 har vi kontrolleret påstanden for rigtig mange trekanter. Men vi har jo ikke vist påstanden for alle trekanter. Kunne det ikke tænkes, at døren en dag går op og ind kommer en glad kinesisk matematiker og meddeler, at efter mange års forsøg har han nu konstrueret en trekant, hvor summen af vinklerne er 200°? Ville vi måle efter på hans trekant for at se, om han havde ret? Måske er det første, vi skulle spørge til, om han bruger samme vinkelmål, som vi gør. I matematik skal vi altid have præcise definitioner som udgangspunkt. Grækerne talte ikke om grader. Deres påstand var: I enhver trekant er summen af vinklerne lig med to rette vinkler. Vores vinkelmål er defineret ud fra, at en hel cirkel svarer til 360°:

A 360°

180°

En halv cirkel svarer så til 180°:

Det kaldes en lige vinkel. 90°

En kvart cirkel svarer derfor til 90°:

Det kaldes en ret vinkel.

Når grækerne siger: To rette vinkler er det altså 2 · 90° = 180°, så deres påstand er den samme som vores:

Sætning 1 I enhver trekant er summen af vinklerne lig med 180°.

Øvelse 0.2

Vinkelsummer i firkanter og femkanter

Tegn en firkant i et dynamisk geometriprogram, og mål vinkelsummen. Træk i et af firkantens hjørner. Hvad sker der, hvis du trækker helt vildt? Prøv også det samme med femkanter.

Øvelse 0.3 Undersøg via internet eller leksika, hvorfor vi bruger så mærkelige tal som 360°.

Der har været forsøg på at ændre vinkelmålet, så en ret vinkel er 100°. De kaldes nygrader. I kapitel 8, afsnit 4 om logaritmer, fortæller vi historien om dette forsøg. Hvis det var blevet indført generelt, ville vinkelsummen i en trekant være 200 nygrader. Men det er nu næppe forklaringen på den kinesiske matematikers trekant. De færreste gad nok måle efter, men ville gå ud fra, han havde lavet en fejl eller var lidt skør. Vi tror på påstanden om de 180°, fordi den er blevet bevist. En matematisk påstand, der udtrykker, at et eller andet altid gælder – som fx at vinkelsummen i enhver trekant er 180° – kaldes i de fleste lande for et matematisk teorem. I Danmark kaldes det en matematisk sætning. Vi taler om Pythagoras' sætning eller sætningen om vinkelsummen i en trekant. Det er en lidt underlig tradition. Når vi bruger ordet en sætning i matematikfaget, mener vi altså noget ganske andet, end når vi bruger ordet i danskfaget. En matematisk sætning er altid knyttet sammen med et matematisk bevis for sætningen. Et bevis er en (eller flere) kæder af argumenter (ræsonnementer), eller rækker af omskrivninger af et udtryk, hvor vi hele vejen kun anvender logiske regler, og som fører os fra noget, vi ved i forvejen, til den nye påstand.

Bevis for sætning 1 om vinkelsummen i en trekant C

z x A

Et bevis kunne foregå som følger. Tegn selv med i et dynamisk geometriprogram. Betragt en vilkårlig trekant ABC, hvor de tre vinklers gradtal er x, y og z. Påstanden er nu, at

x + y + z = 180°

y B

Matematisk teknik: Oversæt til symbolsprog

Her er sket noget vigtigt: Vi har oversat påstanden fra almindeligt sprog til matematisk symbolsprog. Det er en generel teknik i matematik, og gennem historien er flere og flere symboler indført. Somme tider bliver vi så vant til at bruge nogle symboler, at vi slet ikke tænker over dem som noget dybt matematisk, men tror måske endda de ”altid” har været her. Selv om nye symboler kan virke lidt svære at vænne sig til, gør de løsningen af problemer meget lettere.

Tegn nu en linje l gennem C, som er parallel med grundlinjen AB, og forlæng samtidig linjen AC og linjen BC, så du får følgende figur:

0. Hvad er matematik?

Matematisk teknik: Anvend illustrationer

z x

Da linjen l er parallel med linjen AB, er den grønne vinkel lig med x, og tilsvarende er den røde vinkel lig med y. Da de blå vinkler ligger som topvinkler, er den øverste blå vinkel lig med z. Derfor har vi nu følgende situation: y

z C

Symbolet "=" blev første gang brugt i 1557. Indtil lighedstegnet blev udbredt, skrev man på dets plads i en ligning: ”er lig med” (på latin: aequales).

z x

På linjen l har vi i punktet C en lige vinkel på 180°, der samtidig udgøres af x, y og z: y

z x

Konklusion: x + y + z = 180° Hermed er påstanden bevist.

Opgaver På bogens website findes nogle små opgaver om vinkelsummen i trekanter. Var du tilfreds med beviset? Beviset skulle føre os fra noget, vi ved i forvejen, til den nye påstand. Vi brugte undervejs bl.a. noget om topvinkler. Det går vi i beviset ud fra hører til det, vi ved i forvejen.

Øvelse 0.4

Topvinkler er lige stor

Benyt illustrationen til højre til at argumentere for sætningen om, at topvinkler er lige store, dvs. at v = y? Hjælp: Udnyt din viden om, at lige vinkler er 180°, til at opskrive to ligninger.

y v

Sætningen om topvinkler hører til de ældste matematiske sætninger, som ifølge overleveringen er blevet bevist. Det var en græker ved navn Thales (ca. 624-547 f.v.t), som ca. 600 f.v.t. viste denne sætning.

Øvelse 0.5

Projekt om Thales' opdagelser

Via bogens website er der adgang til et projekt om nogle af Thales' opdagelser og sætninger.

2. Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner Matematisk aksiom

I beviset for sætning 1 brugte vi også noget om parallelle linjer. Hvis l er parallel med AB, så påstod vi, at x er lig med den grønne vinkel. Dette er en påstand, vi faktisk ikke kan bevise. Det vidste de græske matematikere godt, og denne påstand blev af Euklid, der skrev den ældste matematikbog, vi kender (ca. år 300 f.v.t.), ophøjet til en af de fem "indlysende påstande, som ikke behøver et bevis". Indlysende påstande blev siden kaldt aksiomer. I kapitel 10, Matematik og kultur, vil vi gå dybere ned i de fem aksiomer, og hvad der kendetegner et matematisk ræsonnement.

Logiske regler

Euklid indførte samtidig fem almindelige logiske regler, vi må anvende. I beviset for sætningen om topvinkler anvender vi fx følgende: Hvis to udtryk er lig med det samme tredje udtryk (her 180°), så er de to udtryk lig med hinanden. Videre anvender vi regler for at løse ligninger. Man må i en ligning trække lige store stykker (tal, vinkler, arealer osv.) fra på begge sider (ovenfor var det vinklen w). I kapitel 7, Det matematiske sprog – Tal og ligninger, er de logiske regler omtalt. Parallelaksiomet, som det kaldes, har en lang og spændende historie. Det ligner en sætning, der kan bevises. Først inden for de sidste 200 år lykkedes det nogle matematikere at give det afgørende argument for, at man ikke kan bevise parallelaksiomet. Samtidig hermed konstruerede de nogle helt andre såkaldte ikke-euklidiske geometrier. Denne slags matematik anvendes i Einsteins relativitetsteori og anden moderne fysik. Er vi nu helt sikre på, at påstanden gælder for alle trekanter? Hvad hvis trekanten var så stor som en fodboldbane? Eller så stor som Danmark? Ville en trekant mellem Skagen, København og Esbjerg også have en vinkelsum på 180°? Nej, det ville den faktisk ikke. Det kan vi bedre indse ved at lave en endnu større trekant mellem Nordpolen, Libreville (hovedstaden i Gabon) og Quito (hovedstaden i Ecuador), som vist på kloden. I denne trekant er alle vinkler tæt ved 90°, så vinkelsummen er tæt ved 270°. Naturligvis er der forskel på at befinde sig på en kuglerund planet og på en planet, der er flad som en pandekage. Men hvad er der galt med vores bevis?

0. Hvad er matematik?

Øvelse 0.6

Parallelle linjer – hvad er det?

I beviset tegnede vi en linje gennem C parallel med grundlinjen AB. a) Hvad vil det sige, at linjer er parallelle? Hvordan vil du forklare det?

Matematisk definition: Parallelle linjer

b) O verfør forklaringen til kuglen, hvor længdegraderne alle skærer ækvator i en ret vinkel. Hvad er parallelle linjer på en kugle? Når definitionen på parallelle linjer i planen ikke kan overføres til kuglen, så holder påstanden om, at x og den grønne vinkel er ens, heller ikke på kuglen. Så her bryder beviset sammen. Alle trekanter på en kugle har en vinkelsum større end 180°. Det betyder, at man i princippet kunne finde ud af, om Jorden er rund, eller den er flad som en pandekage, ved at tegne en stor trekant og måle vinkelsummen. Er den over 180°, er det en krum verden, vi lever på. I 1884 skrev den engelske forfatter Edwin Abott Abott en fortælling, Flatland, om en kugleformet verden, hvorpå der boede todimensionale væsner, vi kan kalde fladlændere. Hvis fladlændere vedbliver at rejse vestpå i deres verden, vil de på et tidspunkt komme tilbage østfra, og det er helt ubegribeligt for dem, fordi de hverken kan forestille sig krumme rum eller rum med mere end to dimensioner. Tænksomme fladlændere, der ræsonnerer sig til, at de i virkeligheden lever i et tredimensionalt rum, bliver erklæret for kættere.

Øvelse 0.7

Projekt om Flatland

Via bogens website er der adgang til en større omtale af Flatland, med henvisninger til netadresser, med materialer, film, øvelser og oplæg til et tværfagligt samarbejde. Fra Flatland, the Movie

Vi bor i et tredimensionalt rum – eller gør vi? Måske er vi som fladlænderne, der blot ikke kan forestille sig en verden i fire dimensioner eller et tredimensionalt krumt rum. For hvem kan forestille sig et rum, der krummer? Men overvejelserne fra trekanter på en kugle kan generaliseres. Hvis vi kunne finde en tilstrækkelig stor trekant i universet og måle vinkelsummen til at være forskellig fra 180°, så er det et argument for, at vores rum er krumt. Måske er det endda en del af en større verden. I den moderne fysik er der teorier om, at vi lever i et tidimensionalt rum, hvor de syv ekstra dimensioner blot er sammenkrøllede i så tynde "rør", at vi ikke kan sanse dem. Andre forestillinger går ud på, at universet i virkeligheden er en membran, der flyder rundt i et højeredimensionalt rum. Det åbner mulighed for paralleluniverser, der kan flyde rundt i ganske kort afstand fra vores eget, måske kun et par meters afstand, uden at vi kan sanse det direkte.

Skjult dimension

Synlig dimension

Det er svært at forestille sig rum med dimensioner større end tre. Men det hjælper med analogier: Hvis en tredimensional kugle skærer igennem et todimensionalt fladland, vil det opleves, som om der opstod et punkt, der udvidede sig til en cirkel, der blev større og større, indtil vi nåede ækvator på kuglen. Herefter vil cirklen igen trække sig sammen til et punkt og forsvinde. På samme måde vil en firedimensional hyperkugle, der skærer gennem et tredimensionalt rumland opleves, som om der opstod et punkt, der udvidede sig til en kugle, der blev større og større, indtil vi nåede ækvator på denne hyperkugle. Herefter vil kuglen igen trække sig sammen til et punkt og forsvinde. Overfladen af et tyndt rør er todimensional: I ethvert punkt kan man bevæge sig i to på hinanden vinkelrette retninger, fx rundt om røret og langs med røret. Men hvis en genstand på røret er meget stor i forhold til rørets omkreds, vil det opleves, som om man kun kan bevæge sig langs røret, der derfor opleves som en endimensional linje. I den moderne fysik er selv elementarpartikler gigantiske i forhold til omkredsen af de sammenkrøllede skjulte dimensioner.

Øvelse 0.8

Formel for vinkelsummer i mangekanter (polygoner)

a) Hvad er vinkelsummen i en firkant? i en femkant? i en tikant? i en 23-kant? b) K an du opstille en formel, der udregner vinkelsummen i enhver ”mangekant”? En sådan formel må indeholde et symbol for antallet af kanter. Vi bruger ofte n til at betegne et tilfældigt helt tal. Så spørgsmålet er: Kan du formulere og bevise en matematisk sætning om summen af vinklerne i en n-kant?

Øvelse 0.9 Matematisk definition: Regulære polygoner

Regulære polygoner

Mangekanter kaldes også polygoner (poly- betyder mange og -gon betyder vinkel). De polygoner, hvor henholdsvis alle vinkler og alle sider er lige store, kaldes regulære polygoner. a) H vor store er vinklerne i en regulær trekant? Vi har et andet ord for en regulær trekant – hvilket? b) H vor store er vinklerne i en regulær firkant? Vi har et andet ord for en regulær firkant – hvilket? c) Hvor store er vinklerne i en regulær femkant? d) Hvor store er vinklerne i en regulær sekskant? Kan du opstille en formel for vinklerne i en regulær n-kant?

0. Hvad er matematik?

Øvelse 0.10

Fliseoverdækning med regulære polygoner

Et firma producerer fliser, der har form som regulære polygoner. a) H vis man kun må bruge én type regulær polygon, hvilke kan vi så vælge, hvis vi vil overdække et område med fliser? b) Kan vi lave andre mønstre, hvis vi må kombinere forskellige regulære polygoner? Du kan fx løse opgaven ved at konstruere en regulær polygon i et dynamisk geometriprogram. Efterfølgende kan denne spejles i en af siderne. På denne måde kan man hurtigt og effektivt skabe flisemønstre. Se illustrationen.

3. Matematikkens skønhed: Om de regulære polygoner Ved hjælp af regulære polygoner kan man lave rumlige figurer, hvor fladerne er ens regulære polygoner. Med regulære firkanter (kvadrater) kan man lave en terning. Med regulære trekanter (ligesidede trekanter) kan man lave en ligesidet pyramide. Sådanne rumlige figurer kaldes regulære polyedre (poly- betyder mange og -eder betyder flade).

Matematisk definition: Regulære polyedre

Regulære polygoner findes der uendeligt mange af. Men regulære polyedre findes der faktisk kun 5 af. Her ses de fem regulære polyedre frembragt ud fra regulære polygoner med samme sidekant. Fra venstre til højre ses dodekaedret, terningen, ikosaedret, tretraedret og oktaedret. De græske matematikere opdagede tidligt de fire af de regulære polyedre, som de knyttede til de fire elementer, de mente, verden var bygget op af:

• Tetraederet, eller den ligesidede pyramide, var knyttet til ild. • Oktaederet, som er en dobbeltpyramide, knyttede de til luft. • Heksaederet, eller terningen, knyttede de til jord. • Ikosaederet knyttede de til vand.

Da man senere opdagede det femte regulære polyeder, så man ikke dette som et argument imod teorien om de 4 elementer. Man opfandt et nyt stof for at redde teorien:

• Dodekaederet blev knyttet til et femte element, et fint krystallinsk stof, der blev kaldt kvintessensen, som verdensrummet var bygget op af, og som holdt himmellegemerne på deres plads.

Navnene tetra, okta osv. angiver med græske talord, hvor mange flader polyederet har.

Den store græske filosof Platon (427-347 f.v.t.) var meget optaget af matematik. De fem regulære polyedre og de fem elementer indgår i et af hans værker (dialogen Timaios), og siden er de blevet kaldt for de platoniske legemer. De fleste af Platons værker er skrevet som dialoger, dvs. samtalebøger, hvor en af samtaleparterne ofte er hans læremester Sokrates (469-399 f.v.t.).

Logo for American Mathematical Society med Platons tekst over Akademiets indgang.

Platon oprettede i 387 f.v.t. en slags universitet, som han kaldte Akademiet, opkaldt efter den park, hvor bygningen lå. Over indgangen havde han ifølge overleveringen skrevet: Lad ingen komme under mit tag, som ikke er vidende om geometri. Akademiet eksisterede i ca. 900 år, men blev lukket i 529 e.v.t. da kristendommen var blevet statsreligion og al ikkekristen filosofi blev forbudt.

Øvelse 0.11 Illustration fra Keplers Mysterium Cosmographicum, 1596.

Keplers model for solsystemet bygger på de regulære polyedre

De fem platoniske legemer spillede en stor rolle for den teori om universets indretning, som astronomen Johannes Kepler udviklede. Johannes Kepler arbejdede sammen med Tycho Brahe fra 1600 til dennes død i 1601, og han var i stand til på baggrund af Tycho Brahes observationer at foretage præcise beregninger af planeten Mars' bane om Solen. Han formulerede tre berømte love om solsystemets indretning. Men han var samtidig en mystiker, der udviklede mange andre teorier. Via bogens website er der adgang til et projekt om Keplers kosmologiske model.

Sætning 2 Der er netop fem regulære polyedre.

Vi vil nu eftervise, at der kun kan eksistere fem regulære polyedre, idet vi vil omforme det geometriske problem til et rent algebraisk problem.

Et hjørne i en terning skæres op og lægges fladt. Resultatet er tre kvadrater, der støder sammen i et retvinklet hjørne.

Vi ved fra øvelse 0.9, at vinklerne v i en regulær polygon med n kanter er givet ved formlen: ( n − 2) ⋅ 180° v= n Lad os nu sige, at vi har et regulært polyeder, og lad os se Matematisk teknik: på et bestemt hjørne – tænk fx på en terning. Her mødes Oversæt til et antal af de regulære polygoner, den er lavet af, som symbolsprog illustreret af tegningen til venstre. Lad os sige helt generelt, at q af de regulære polygoner mødes i hjørnet. For hver af polygonerne er vinklen v.

0. Hvad er matematik?

Argumenter nu selv for, at q · v må være mindre end 360°. (Du kan fx klippe polyederet op og brede det ud på en flade, som vi gjorde med terningen). Det betyder: ( n − 2) ⋅ 180° q⋅ < 360° n hvor mindre end skrives med symbolet < . Vi regner nu videre på denne ulighed:

q ⋅ ( n − 2) ⋅ 180° < 360° n ( n − 2) <2 n

Divider 180° over på højre side

( n − 2) 2 < n q

Divider q over på højre side

n 2 2 − < n n q

Opdel i brøker

1−

2 2 < n q

Forkort brøken

q⋅

(*)

2 2 2 Flyt over på højre side + n n q

Omskrivning med brug af de logiske regler.

Tallet n må være minimum 3, det var jo antal kanter i polygonen. Tallet q må være minimum 3, det var jo antal flader, der mødes i hjørnet på det regulære polyeder. Foreløbig konklusion: Et regulært polyeder skal opfylde (*). Hvor mange gør det? Lad os nu gennemgå, hvilke tal man kan indsætte på n’s og q’s pladser, så udtrykket (*) er sandt. Se igen på illustrationerne af de regulære polyedre ovenfor, og noter i en tabel som nedenstående, hvilket polyeder kombinationen svarer til: n

2 2 = + n q

Polyeder

Konklusion: Der er højst fem, der opfylder (*). Og alle fem kan konstrueres. Den sidste påstand accepterer vi ud fra de faktiske konstruktioner og tegninger. Hermed er sætningen bevist. Via bogens website kan du få adgang til et dokument om de regulære polyedre, herunder deres konstruktion, hos Platon og Euklid.

Øvelse 0.12

Eulers polyedersætning

Find oplysninger på nettet om Eulers polyedersætning, og forklar fx ved brug af en terning og en pyramide, hvad sætningen siger. Den udtaler sig ikke kun om regulære polyedre. Prøv at finde andre figurer, og kontroller sætningen. Man kan godt i gymnasiet nå frem til at bevise sætningen. Via bogens website er der adgang til et projekt om Eulers polyedersætning.

4. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 0.

0. Hvad er matematik?

Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Grænser for vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3. Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 Betegnelsen f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4. Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Koordinatsystemets indretning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5. 5.1 5.2 5.3 5.4

De 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge . . . . . . . . . . . . . . . . . Tabelform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sproglig form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formeludtryk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 38 39 39

6. 6.1 6.2 6.3 6.4

O versættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge. . . . . 41 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift . . . . . . . . . . . . 49

7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7.1 Residualplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 8. Lineære funktioner f(x) = ax + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 8.1 Grafen for lineære funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 8.2 Regneforskrift for den lineære funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 9.

Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Størrelser som et lands befolkningstal eller en families elforbrug, der kan beskrives med talværdier, kaldes variable. Et stort område af matematikken drejer sig om at undersøge og beskrive sammenhænge mellem variable. Variabelsammenhænge kan være givet som tabel, som graf, som formel eller ved en sproglig beskrivelse. I grundforløbet vil vi undersøge disse fire repræsentationsformer, og hvordan man oversætter fra én form til en anden. Vi sætter særligt fokus på de lineære sammenhænge, der i formelsprog skrives: y = ax + b. I det videre matematikforløb går vi både på C, B og A i dybden med andre variabelsammenhænge. Vi begynder med en fortælling om et forsøg på at beskrive hele verdens tilstand ved brug af variabelsammenhænge.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1. Grænser for vækst I 1972 udsendte en gruppe forskere knyttet til det amerikanske universitet MIT en bog med titlen Grænser for vækst (engelsk: The Limits to Growth). Det var en rapport om klodens tilstand og menneskehedens truede situation. Der har til alle tider været dommedagsprædikanter, som har forudsagt Jordens snarlige undergang, men denne rapport var anderledes. Forskerne havde konstrueret en global model – der siden er blevet forfinet flere gange – med det formål at undersøge fem centrale forløb af global betydning, som vist nedenfor. Rapporten har påvirket debatten siden. Magasinet Ingeniøren havde et temanummer om emnet i januar 2009, hvor forskere lavede sammenligninger af modellens forudsigelser og den faktiske udvikling: "Som den første har forskeren Graham Turner fra Commonwealth Scientific and Industrial Research Institution i Australien sammenlignet den faktiske udvikling siden udgivelsen af "Grænser for vækst" med de forskellige scenarier i bogen. Sammenligningen viser en god overensstemmelse mellem "standard run"scenariet fra andenudgaven af bogen fra 1974 (grønne kurver) og den faktiske udvikling (lilla kurver). I scenariet "comprehensive technology" (røde kurver) søges bæredygtighedsproblemerne løst kun ved hjælp af teknologi. I scenariet "stabilized world" (blå kurver) benyttes såvel teknologiske som socialpolitiske løsninger for at opnå en form for ligevægtstilstand."

Befolkningstallets udvikling

10 10

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

22 1980

1900

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag for Datagrundlag for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

1980 1980

1940

1940 1940

Mia. mennesker

Befolkning

12 12

1900 1900

Mia. mennesker

10 Mia. mennesker

Befolkning

Fødevareproduktion og underernæring Befolkning 12

Fødevareproduktion

10 2000

Mia. mennesker Kcal per indbygger per år

2000

Kcal per indbygger pr. år

1600 8 1600

Stabilized world

1200 6 1200

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

800 4 800

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

1980

1980 1980

1940 1940

1940

1900 1900

1900

400 2 400

Industrialiseringen og anvendelse af nye teknologier Befolkning

Industriproduktion

mennesker 1.000 dollar (måltMia. i 2007 USA-dollar) 1.000 dollarper (målt i 2007 US dollar) indbygger per år 1900

12 12

10 10

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

22 1980

1980 1980

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

1940 1940

1940

per indbygger per år

1900 1900

Forureningen og forringelsen af miljøet Befolkning

Mia. mennesker Atmosfærisk CO2 ppm

Global forurening

1080 1080

Atmosfærisk CO 2 ppm

950 950

820 820

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag for Datagrundlag for “Grænser vækst” “Grænser forfor vækst” Observerede data Observerede data

690 690

560 560

2100 2100 2100

2060

2060 2060

2020

2020 2020

1980 1980

1980

1940 1940

1940

1900

300 0 300

1900 1900

2 430 430

Forbruget af uerstattelige ressourcer Befolkning

Mia. mennesker Resterenderessourcer ressourcer divideret Resterende divideret 1900-niveauet (estimeret) medmed 1900-niveauet (estimeret)

12 10

Uerstattelige ressourcer

1,0 1,0

0,8 8 0,8

0,6 6 0,6

Stabilized world

Stabilized world Comprehensive tech Comprehensive tech Standard run Standard run Datagrundlag Datagrundlag for for “Grænser vækst” “Grænser for for vækst” Observerede Observerede datadata

4 0,4

2100 2100

2060 2060 2060

2020

2020 2020

1980

1980 1980

1940 1940

1900

1900 1900

0 0 0,0

1940

2 0,2

Disse fem sektorer er indbyrdes forbundne på mange måder, så udviklingen i den ene sektor vil være påvirket af udviklingen i alle de andre.

Øvelse 1.1 Beskriv med ord mindst fem eksempler på, hvordan én sektor er påvirket af andre sektorer.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.2 På bogens website kan man finde yderligere materiale herom fra magasinet Ingeniøren.

Årsagen til, at rapporten fik en så enorm betydning og kom til at sætte dagsordenen for diskussionerne om klodens tilstand helt op til i dag, var med forskernes egne ord: "Fordi vores model er matematisk". Men forskergruppen bestod både af matematikere og af videnskabsmænd fra alle mulige andre fag. Samarbejdet på tværs af fagene var nødvendigt for at svare på så komplicerede spørgsmål. Ud fra forskernes viden om indbyrdes sammenhænge opstillede de diagrammer, som er gengivet herunder, hvor pilene betyder, at der er en påvirkning. Enhver påvirkning er forbundet med en vis tilbagekobling, som kan virke positivt eller negativt på den variabel, der påvirkes.

Tilbagekoblingsprocesser der styrer befolknings- og kapitalvækst

Population

(+)

(samlet antal mennesker) (+)

(–) dødsfald/år

fødsler/år

frugtbarhed

industriproduktion

dødelighed (forventet levealder)

Industrikapital

(fabrikker og maskiner) (–)

investering (ny tilført kapital)

nedskrivning (kapital der forældes eller nedslides/år)

investeringsrate

gennemsnitlig levealder for kapital

Den centrale tilbagekoblingsmekanisme i World3-modellen styrer befolkningstilvæksten og industrikapitalens tilvækst. De to positive tilbagekoblinger, der omfatter fødselstal og investeringsrater, genererer eksponentiel vækstadfærd i befolkning og kapital. De to negative tilbagekoblinger, der involverer dødsfald og nedskrivning, har tilbøjelighed til at

virke regulerende på eksponentiel vækst. Den relative styrke af de forskellige tilbagekoblinger afhænger af mange andre faktorer i systemet.

I deres egne videnskabelige arbejdspapirer anvendte forskerne en særlig teknik (kaldet system dynamics forkortet SD) og et særligt symbolsprog, som netop var udviklet på MIT, og som var baggrunden for, at projektet blev placeret på dette universitet. Denne SD-teknik behandles på A-niveau under emnet: differentialligninger.

Jay Forrester (1918-2016) grundlagde i sit arbejde på MIT en helt ny gren af matematikken, System Dynamics.

Figur a Fødevareproduktion Konstateret fødevaremængde

Andel af investeringer til vedligeholdelse af landbrugsjord Landbrugsinvesteringer pr. hektar

Forsinkelse i konstatering af fødevaremangel Konstateret ændring i fødevaremængde Dyrkbar jord

Eksistensminimum

Marginal multiplikator for jordudbytter på grundlag af kapital

Landbrugsinvesteringer

Ændringer i landbrugsinvesteringer

Jordudbytter Fødevaremængde

Fødevarer Dyrkbar jord

Fødevarer pr. individ

Samlet landbrugsinvestering

Befolkning Produktionstab

Løbende landbrugsinvestering

Andel af industriproduktion afsat til landbrug

Andel af høstet landbrugsareal

Tid for iværksættelse af strategi

Indiceret fødevaremængde pr. individ

Gennemsnitlig levetid af landbrugsinvesteringer

Andel af landbrugsinvestering afsat til jordforbedring

Tid for iværksættelse af strategi

Industriproduktion

Industriprodukton pr. individ

Ud fra en sproglig formulering af sammenhænge mellem de enkelte delelementer opstillede de diagrammer som det ovenstående over fødevareproduktionen. Med udgangspunkt i tabeller over sammenhørende værdier for faktorer som forurening og fødselsrater, kornproduktion og fosfatressourcer osv., lavede de grafer og opstillede formler for de indbyrdes sammenhænge. Disse er lagt åbent frem og giver andre forskere muligheder for at efterprøve og kritisere. Endelig havde de fået adgang til computere, der kunne gennemføre de meget komplicerede beregninger og lave prognoser for, hvordan de fem forløb vil være under forskellige forudsætninger. Disse prognoser blev udarbejdet som grafiske forløb og rækker frem til år 2100. Den første kørsel (dvs. beregninger i modellen) skulle illustrere, hvordan de fem sektorer ville udvikle sig, hvis vi intet foretager os, men fortsætter med at producere og leve som hidtil. Sådanne prognoser lavet under bestemte forudsætninger kaldes for scenarier, og processen kaldes for en simulering. På de følgende sider ses resultatet af denne første simulering, kaldet Scenario 1 og derefter Scenario 9, der illustrerer udviklingen, hvis man strategisk vælger at begrænse familiens størrelse og dæmpe industriproduktionen. Ved siden af graferne ses forfatternes egne kommentarer.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Figur b Fødevareproduktion Jordfrugtbarhed Multiplikator for industrikapitalens produktivitet på grundlag af jordudbytteteknologi

Forsinkelse i teknologiudvikling Multiplikator for jordudbytter på grundlag af teknologi

Multiplikator for jordudbytter på grundlag af kapital

Jordudbytter

Grænseproduktivitet som følge af landbrugsinvesteringer

Tid for iværksættelse af luftforureningsstrategi

Multiplikator for landbrugsudbytter som følge af luftforurening

Ændringer i udbytteteknologi Jordudbytte teknologi

Tid for iværksættelse af strategi Tid for iværksættelse af strategi

Multiplikator for ændringer i udbytteteknologi

Industriudbytte

Industriudbytte i 1970

Scenario 1:

Fødevaremængde

Ønsket fødevaremængde

”Standardkørslen” fra Grænser for vækst: ”Business as usual”

Verdenssamfundet fortsætter sin historiske udvikling så længe som muligt uden større ændringer af strategier. Befolkningstallet og industriproduktionen vokser, indtil en kombination af begrænsninger i miljø- og naturressourcer eliminerer kapitalsektorens evne til at klare investeringerne. Industrikapitalen begynder at forringes, hurtigere end nyinvestering kan genoprette den. Efterhånden som den falder, sker der også en nedgang i produktion af fødevarer og i bevillinger til sundhedsvæsenet, så den forventede levealder falder, og dødeligheden stiger.

Scenario 1 Verdens tilstand

Industriproduktion Ressourcer

Population

Fødevarer Forurening

1900

2000

2100

Scenario 9:

Verden sætter sig i 1995 stabile befolkningstal og stabil industriproduktion som mål Hvis verdensbefolkningen sætter både en ønsket familiestørrelse med to børn og en bevidst dæmpet industriproduktion pr. individ som mål, kan den opretholde en materiel levestandard, der er 50% højere end verdensgennemsnittet i 1990, i næsten 50 år. Forureningen fortsætter imidlertid med at vokse og udsætter landbrugsjorden for belastning. Fødevareproduktionen pr. individ falder og sænker efterhånden den forventede levealder og befolkningstallet.

Scenario 9 Verdens tilstand Ressourcer

Industriproduktion

Fødevarer

Population Forurening 1900

2000

2100

Øvelse 1.3 a) D er er ikke afsat enheder på den lodrette akse (2. aksen). Hvad kan forklaringen være på det? b) V ælg to af kurverne ud i hvert af de to scenarier. Beskriv det grafiske forløb med ord som voksende, aftagende, maksimum og minimum. c) Forklar sammenhængen mellem forløbet af de to kurver, du har valgt ud.

Øvelse 1.4 Simuleringen foretages for perioden fra 1900 til 2100. Tallene fra de første ca. 100 år kender man jo. Hvad kan være forklaringen på, at de starter i 1900 og ikke i 1970? Eller at de i den opdaterede rapport ikke starter i 1990?

Øvelse 1.5 På bogens website kan man komme ind til en (engelsk) præsentation af The Limits to Growth, samt af kritikken og debatten herom. Endvidere er der henvisninger til hjemmesider, hvor man selv kan prøve at simulere.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

2. Variable Når vi skal give en matematisk beskrivelse af et fænomen, anvender vi begreber, der kan tildeles talværdier, dvs. de har en størrelse, der kan måles. Sådanne begreber kaldes numeriske variable, eller blot: variable. Eksempler på variable kan være: befolkningstallet, kornproduktionen eller oliereserverne. Det ligger i ordet variabel, at det ikke er en konstant talværdi, men at denne kan variere. For omkring 400 år siden begyndte man at indføre symboler for de variable. Før den tid havde man talt om det med ord og kaldt en variabel for "tingen" eller lignende. Med indførelse af symboler blev det lettere at opstille og behandle ligninger. I matematik bruger vi nogle af de sidste bogstaver i alfabetet, x, y og z som symboler for de variable. Men vi følger også andre fags traditioner, så tiden betegnes ofte med t, temperatur betegnes T, tryk betegnes P, hastighed betegnes v osv. Der er ikke faste regler. I store modeller med flere hundrede variable giver man dem længere navne. I matematiske værktøjsprogrammer indfører man på samme måde de symboler, man synes er mest hensigtsmæssige – det kan være, tiden blot betegnes tid, befolkningstal betegnes bef, temperatur betegnes temp, en vinkel A betegnes va osv. Det er imidlertid ikke så meget størrelsen af befolkningstallet, men mere hvordan dette udvikler sig med tiden, eller under påvirkning af andre faktorer, vi interesserer os for. Det samme med de andre variable. Vi er interesserede i sammenhængen mellem de variable. Er der fx en sammenhæng mellem fødselsrater og udviklingen i befolkningstallet på den ene side og det gennemsnitlige indkomstniveau på den anden? Når vi opdeler de samlede ressourcer i reserverne af olie, kul, tin, fosfat, krom osv., kalder vi af og til dette for en opdeling i kategoriske variable (dvs. inddeling i forskellige kategorier). Det vil normalt være meningsløst at lægge mængden af tin og mængden af fosfat sammen. På samme måde opdeles befolkningstallet efter lande, efter aldersgrupper, efter køn osv. Inddelingen i aldersgrupperne: 0-15, 16-25, 26-40, 41-65, 66-100 er en inddeling i kategoriske variable. Variable, der antager talværdier, kaldes som omtalt numeriske variable. I arbejdet med statistik gør vi udstrakt brug af betegnelserne kategoriske og numeriske variable. For hvert fænomen er der naturligvis en lang række forskellige ting, der kan indgå i en beskrivelse af det pågældende. Tager vi for meget med, bliver det uoverskueligt. Tager vi for lidt med, kan vi ikke bruge beskrivelsen til noget. I den forfinede model, der anvendes i den opdaterede rapport fra 1992, Hinsides grænser for vækst anvendes 225 variable. Modellen kaldes World3. Dette er en model for hele verdens udvikling. Når det drejer sig om mere beskedne fænomener, er der ofte kun nogle få variable i spil (se fx tabellen i øvelse 1.6).

Øvelse 1.6 Betragt denne tabel fra Danmarks statistik over udviklingen i gennemsnitsalderen for nye forældre: Gennemsnitsalder for fødende kvinder og nybagte fædre efter alder og tid 1980

1985

1990

1995

2000

2005

Gnsn.-alder for 1.-gangs-fødende kvinder

24,6

25,5

26,4

27,5

28,1

28,9

Gnsn.-alder for for fædre til nyfødte

30,0

30,8

31,4

32,2

32,6

32,9

a) H vilke variable indgår her, og hvad fortæller tabellen om disse variable? b) Hvilke sammenhænge synes der at være?

De variable, der anvendes i beskrivelsen af et bestemt fænomen, skal vælges ud fra, hvad der er i fokus i vores undersøgelse. I det følgende præsenteres en række situationer og fænomener, og øvelserne går ud på at udpege nogle variable, der må være centrale i beskrivelsen af disse forhold, og samtidig overveje, hvilke variabelsammenhænge der kan være.

Øvelse 1.7 I faget idræt beslutter man at foretage en række målinger og undersøgelser for at få en beskrivelse af, hvor sunde og i hvor god form eleverne er. Undersøgelsen gennemføres for alle 1.g-elever. a) Som kategoriske variable vælges bl.a. køn (dreng/pige), samt ja/nej til spørgsmålet: Spiser du morgenmad? Hvilke øvrige kategoriske variable kunne vi foreslå at undersøge? b) Som numeriske variable vælger man at måle højde, vægt, hvilepuls … Hvilke øvrige numeriske variable kunne vi vælge at måle på? c) Hvilke sammenhænge kunne det være interessant at undersøge? d) Hvilke variable kunne det være interessant at sammenligne på tværs af klasserne?

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.8 En forbrugerorganisation ønsker, at stearinlys skal kvalitetsmærkes. a) Hvilke kriterier kunne indgå i en sådan kvalitetsmærkning? b) H vilke kategoriske variable kan vi indføre til at beskrive stearinlys? c) Hvilke numeriske variable kan vi indføre? d) Hvilke værdier kan de numeriske variable antage? e) E r der en sammenhæng mellem nogle af de variable, der er blevet udpeget?

Øvelse 1.9 Man har en række rør i to forskellige materialer (plast og metal). Rørene har desuden forskellige tykkelser og længder. I et eksperiment vil man undersøge, hvilke toner man kan frembringe ved at slå på rørets ene ende. a) Hvilke kategoriske variable indgår i eksperimentet? b) Hvilke numeriske variable indgår i eksperimentet? c) H vilke af de udpegede variable vil vi forvente har en sammenhæng?

Øvelse 1.10

Samarbejde med naturvidenskabelige fag (NV)

(Vend evt. tilbage til øvelsen igen efter afsnit 1.3 og efter afsnit 1.7) I naturvidenskabelige fag opstilles og undersøges hypoteser om sammenhænge mellem variable. a) Hvilke naturvidenskabelige fag indgår i gymnasiets fagrække? Hvilke fælles træk har disse fag? Hvad forstås ved en hypotese? Giv eksempler på hypoteser, som du har mødt i NV eller i naturvidenskabelige fag i folkeskolen. I kapitel 3 er der små uddrag af nogle kapitler om fagligt samarbejde mellem matematik og andre fag. Disse kapitler indgår i Hvad er matematik? 1 og er tilgængelige på bogens website. Hent et eller flere af eksemplerne: Kraternedslag (matematik og fysik) side 61, Idealgasligningen (matematik og kemi) side 63, samt: Gærcellers respiration (matematik og biologi) side 68. b) H vilke variable er i spil i det eller de eksperimenter, du betragter? Er der flere variable i spil, der kunne påvirke eksperimenterne, end de, der er omtalt i teksterne? c) E t centralt begreb i naturvidenskabelige forsøg er variabelkontrol. Hvad menes med dette? (Se evt. i eksemplerne i kapitel 3).

Øvelse 1.11 På bogens website kan du gennemføre en simulering af epidemimodeller på samme måde, som du gjorde ved modellen Grænser for vækst.

Øvelse 1.12 Vi vil undersøge svingningstiden for penduler. Penduler kan have forskellig længde, og der kan være hængt forskellige lodder på. a) Hvilke variable indgår i eksperimentet? b) Du kan evt. lave et rigtigt eksperiment, gerne i samarbejde med NV eller fysik. Via bogens website kan du finde en simulering af pendulbevægelser. Hold én af de variable fast, skru op og ned for den anden, og udfyld en lille tabel over variabelsammenhængen. c) P lot de sammenhørende værdier af de variable i et koordinatsystem, og beskriv sammenhængen med ord. Galilei opdagede først i 1600-tallet lovene for pendulsvingninger og en række andre naturvidenskabelige sammenhænge. Det omtales nærmere under emnet Potensmodeller.

Øvelse 1.13 Et forskerteam har sat sig for at prøve at sammenligne ungdomsliv og ungdomskulturer for gymnasieelever i forskellige lande. De vil indhente informationer gennem et større spørgeskema. a) Hvilke kategoriske og hvilke numeriske variable kunne det være interessant at indføre? b) E r der blandt disse variable nogle sammenhænge, det kunne være særligt interessant at undersøge?

Øvelse 1.14 Det Økonomiske Råd i Danmark har udviklet en matematisk model efter samme grundlæggende principper, som ligger bag modellen World3, der anvendes af Grænser for vækst-projektet. Vismændenes model hedder SMEC (Simulation Model of the Economic Council), og den er udviklet med henblik på at kunne analysere forskellige scenarier afhængigt af, hvordan den internationale økonomi udvikler sig, hvordan danske økonomiske nøgletal ændrer sig, og hvilke politiske beslutninger der tages i Danmark. På bogens website er der et link til en beskrivelse af modellen samt en række opgaver i tilknytning dertil.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

SMEC er grundlaget for et undervisningsmateriale, der hedder Vismandsspillet, som kan danne udgangspunkt for et studieretningssamarbejde mellem med matematik og samfundsfag. Vismandsspillet kan findes på bogens website.

Øvelse 1.15 Betragt en vilkårlig firkant og indfør variable for hver af de fire vinkler. a) Hvilke værdier kan de variable antage? b) E r der en sammenhæng mellem de variable? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.

Øvelse 1.16 Betragt en trekant med sidelængder a = 5 og b = 7. a) Indfør en variabel for den sidste side i trekanten.

b=7

b) H vilke værdier kan den variable antage? Brug fx et værktøjsprogram til at undersøge sammenhængen.

a=5

3. Uafhængig og afhængig variabel I mange sammenhænge falder det naturligt at opdele to variable i henholdsvis den uafhængige og den afhængige variabel. Det er fx i de situationer, hvor man kan se, at ændringer i den ene variabel giver anledning til ændringer i den anden. Den anden variabel siges så at være afhængig af den første, som kaldes den uafhængige variabel. En sådan sammenhæng illustreres ofte med en pil: fx x → y, der skal fortælle, at variablen x har indflydelse på variablen y. Prøven er, om man kan danne en fornuftig sætning som: "(Variablen y) afhænger af (variablen x)". Her er et par eksempler: • Vi betragter en bestemt afgrøde. Udbyttet afhænger af den tilførte mængde gødning. • Vi betragter en lyskilde. Lysets intensitet afhænger af afstanden til lyskilden. • Vi betragter en større influenzaepidemi. Antal smittede afhænger af tiden, der er gået siden udbruddet.

Øvelse 1.17 Vend tilbage til øvelse 1.10 og evt. de øvelser i afsnit 2, I har gennemgået. Hvilke par af afhængige og uafhængige variable kan du pege på? Bemærk: Der kan godt være flere typer sammenhænge i de enkelte øvelser.

Der er ikke altid et objektivt svar på, hvilken af de to variable der er den afhængige, og hvilken den uafhængige. Det kan godt skifte, afhængigt af hvad der er i fokus. Eksempelvis kan tiden være begge dele, alt efter hvilken rolle tiden spiller i problemet. Når tiden (forstået som årstal, måneder osv.) indgår som en af de variable, så er dette ofte den uafhængige variabel. Men den tid, der skal bruges til at stege en bøf, hæve et brød, bringe vand til kogepunktet osv., kan godt være den afhængige variabel. Når en variabel y afhænger af en variabel x, siger vi også, at y er en funktion af x, fx: • Den samlede udgift til vand er en funktion af forbruget. • Antallet af bakterier i en bestemt lille skål er en funktion af tiden. Når vi skriver en formel op, som binder x og y sammen, fx y = 4x + 1, så kaldes regneudtrykket, hvori x indgår, for funktionens regneforskrift (eller blot forskrift). Forskrift betyder: Tag en værdi for x, og gør det med x, som udtrykket viser. Eksempelvis udregnes y-værdien svarende til x = 3 som 4 · 3 + 1 = 13. Vi skriver: f(3) = 4 · 3 + 1 = 13.

3.1 Betegnelsen f(x) f

Det er ofte en fordel at kunne huske, hvorfra bestemte y-værdier stammer. Dette gøres ved at bruge funktionsnotation. I stedet for y skriver man f(x), hvis den uafhængige variabel hedder x, eller f(t), hvis den uafhængige variabel hedder t osv. I matematik anvendes normalt f, g og h som navne for funktionsudtryk. Men andre fag har andre traditioner. y = f(x) f(x) er altså en betegnelse eller et kort navn for regneforskriften: f(x) = 4x + 1 Skal vi udregne y-værdien svarede til x-værdien 2, så skriver vi: f(2) = 4 · 2 + 1 = 9 Husk: Talværdien 2 skal indsættes på x’s plads på begge sider af lighedstegnet, dvs. både i f(x) og i 4x + 1. f(x) kan således både betegne den generelle regneforskrift og den konkrete y-værdi hørende til en bestemt x-værdi. For at undgå misforståelser anvendes derfor også blot navnet f for funktionen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

I brugen af værktøjsprogrammer opdager man hurtigt styrken ved notationen f(x). Her navngiver man ved brug af definerende lighedstegn, som er en kombination af symbolerne kolon (dvs. :) og lighedstegn (dvs. =), således:

f(x) := 4x + 1

Taster man herefter f(2), svarer programmet, at dette er 9.

4. Koordinatsystemet 4.1 Koordinatsystemet – en genial ide Det moderne koordinatsystem er en genial opfindelse til at visualisere variabelsammenhænge. Lad os betragte en simpel sammenhæng mellem to variable, som vi kalder x og y: x

x betegner længden af linjestykket AB. y betegner længden af linjestykke CD, som er dobbelt så langt som AB. Sammenhængen mellem x og y kan illustreres ved at lade punktet B, der bevæge sig langs en akse, være bundet til punktet D på en anden akse, på en sådan måde, at y altid er dobbelt så stor som x.

y = 2x

x A C

B D

y = 2x

Men er variabelsammenhængen blot en smule mere kompliceret, vil en sådan grafisk fremstilling ikke være til megen hjælp. Hvis vi nu i stedet vælger at placere den anden akse lodret, og hvis vi bestemmer, at et punkt i denne plan fastlægges af henholdsvis den vinkelrette afstand x til andenaksen og den vinkelrette afstand y til førsteaksen, så har vi et koordinatsystem. Bindingen mellem de to punkter B og D repræsenteres her af det ene punkt P, som tegner et spor i koordinatsystemet, når B bevæger sig ud af førsteaksen og trækker D med sig. Det samlede "spor", der tegnes i koordinatsystemet kalder vi for grafen for den lineære funktion, der har regneforskriften y = 2x, eller f(x) = 2x. Vi behandler lineære funktioner grundigt i kapitlets afsnit 7 og 8 og vil blot her konstatere, at f(x) er givet ved et udtryk, der afhænger af x. Når x bevæger sig på x-aksen, så bevæger f(x) sig på y-aksen, mens P bevæger sig på grafen. Det centrale er, at det er x, der styrer funktionsværdien f(x).

P(x,y)

y = 2x

C A

4.2 Koordinatsystemets indretning Vi arbejder i matematik og i mange andre fag ustandseligt med koordinatsystemer. Det er derfor vigtigt, at man uden vanskeligheder kan bevæge sig rundt i koordinatsystemer og uden tøven kan afsætte punkter og aflæse på grafer i et koordinatsystem. 2. kvadrant

1. kvadrant

(–,+)

(+,+)

3. kvadrant

4. kvadrant

(–,–)

(+,–)

Definition: Koordinatsystemets kvadranter Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-).

Øvelse 1.18 Tegn et koordinatsystem. Afsæt følgende punkter: P1 (2,5), P2 (–3,4), P3 (–2,–6) og P4 (1,–8)

Øvelse 1.19 y

Aflæs på grafen svarene på følgende:

Hvilke af følgende punkter ligger på grafen?

1. Når x = 1, så er y = . . . 2. Når x = –2, så er y = . . . 3. Når x = 0, så er y = . . . 4. Når y = 12, er x = . . . 5. Når y = 0, er x = . . . 6. Når y = 4, er x = . . .

7. (3,–1) 8. (–1,3) 9. (3,1) 10. (–3,–1)

Praxis: Sådan afsættes de variable Når vi undersøger variabelsammenhænge i matematik, afsættes den uafhængige variabel altid ud af den vandrette 1. akse (x-aksen), og den afhængige variabel altid op af den lodrette 2. akse (y-aksen). I andre fag som samfundsfag og fysik, kan man derimod sagtens komme ud for, at den uafhængige variabel i stedet afsættes op ad den lodrette akse.

Øvelse 1.20 På bogens website ligger der eksempler fra fysik og samfundsfag, som viser, hvordan man i disse fag af og til afsætter den uafhængige variabel op ad 2. aksen, og den afhængige ud ad 1. aksen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Praxis: Nogle regler vedrørende koordinatsystemer • 1. og 2. aksen skærer hinanden i (0,0). Men ofte vil det være uhensigtsmæssigt at tegne koordinatsystemet, så (0,0) er med. I så fald benyttes en koordinatboks, der viser det relevante udsnit af en graf, og hvor (0,0) ikke behøver være med. • Hvis den uafhængige variabel fx er årstal, vil man afsætte de relevante årstal, fx fra 1970 til 2020, og måske markere årstallene 1970, 1980, 1990, 2000, 2010 og 2020. I andre sammenhænge markeres hvert år. • Der skal angives enheder på akserne. • Hvis det drejer sig om grafskitser, markeres af og til blot enheden på hver af de to akser. Enhederne behøver ikke være de samme på de to akser. Men på hver af de to akser skal man anvende samme enhed langs hele aksen.

Øvelse 1.21 I øvelse 1.6 så vi på sammenhængen mellem alderen for førstegangsfødende kvinder og årstallet. Tegn en grafisk fremstilling af dette talmateriale.

Øvelse 1.22 Folketal (summariske tal fra folketællinger)

2004

2000

1996

1992

1988

1984

1980

1976

1972

1960

1940

1921

1901

1850

1840

5.500.000 5.000.000 4.500.000 4.000.000 3.500.000 3.000.000 2.500.000 2.000.000 1.500.000 1.000.000 500.000 1769

Betragt følgende grafiske fremstilling af udviklingen i befolkningstallet i Danmark. Hvad er der galt?

Øvelse 1.23 Tegn grafen for f(x) = 10x + 2 i tre forskellige koordinatsystemer, så billedet af grafen bliver svagt voksende, jævnt voksende og stærkt voksende.

Øvelse 1.24 Find selv en graf i en avis, og overvej, hvordan man kan manipulere med grafen ved at anvende forskellige enheder forskellige steder på akserne, eller ved at zoome ind eller ud.

5. D e 4 forskellige repræsentationer af variabelsammenhænge I dette afsnit koncentrerer vi os om sammenhængen mellem to numeriske variable. Variabelsammenhænge kan optræde på fire forskellige former. Vi kalder de fire forskellige former for tabel, graf, sprog og formel, og vi giver nu eksempler på de fire former for repræsentationer.

x x x

...!

x x x Tabel

Graf

√x

Sprog

Formel

5.1 Tabelform En variabelsammenhæng kan optræde i tabelform, hvor en række sammenhørende værdier af to variable er stillet overskueligt op i en tabel (af og til kaldet et sildeben). En elev gennemfører en test på en kondicykel, hvor han selv kan regulere belastningen og samtidig aflæse henholdsvis den effekt, han yder og hans puls ved denne effekt. De to variable er her: effekt (målt i watt) og puls (målt i antal hjerteslag i minuttet). Tabellen, der præsenterer de sammenhørende værdier af de to variable, kan se således ud:

Eksempel med måling af kondital

Effekt

100

125

150

175

200

Puls

108

120

131

141

154

Styrken ved tabelform er, at vi her har en præcis dokumentation for alle indsamlede dataværdier. Svagheden er, at det kan være svært at se et mønster i dataværdierne.

1 1

5.2 Grafisk form

En variabelsammenhæng kan optræde i grafisk form, hvor den ene variabels talværdier aflæses på 1. aksen (x-aksen), og den anden variabels talværdier aflæses på 2. aksen (y-aksen). Til venstre ses først et eksempel på et sædvanligt koordinatsystem med begyndelsespunkt (0,0). På næste side ses et med bokskoordinater, som viser et bestemt udsnit af et koordinatsystem, hvor akserne lægges, så det giver den bedste visuelle fremstilling af det grafiske x billede, man ønsker at præsentere.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Styrken i den grafiske form er, at den viser sammenhængen mellem de to variable på en mere dynamisk og overskuelig måde, end en tabel gør. Billedet til højre er en grafisk fremstilling af data fra tabellen i afsnit 5.1. Vi kan også aflæse sammenhørende værdier af de variable. Svagheden er, at nuancerne og de præcise data er skjult, så aflæsning giver normalt tilnærmede værdier. Aviserne er fulde af grafiske fremstillinger, netop fordi disse giver et hurtigt og visuelt overblik. Hvis den ene variabel fx er tiden (årstal), giver det et hurtigt overblik over, hvordan noget udvikler sig i en bestemt periode.

Puls

160 140 120 100 80 60

100

150

200

250

Effekt

Arbejdsløshed, AE’s prognose og nye tal

225 1.000 fuldtidspers. 1.000 Personer

180

200

Ledighed

175

Bruttoled

150

Seneste

125 100

2011

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

125 100 75 50

2010

2009

2008

2007

2006

2005

2004

2003

2002

2001

2000

En variabelsammenhæng kan optræde i sproglig form, hvor vi med almindeligt sprog 25 formulerer en viden eller en antagelse om en sammenhæng mellem to variable.

2011

5.3 Sproglig form

1.000 fuldtidspers.

2000

75 Betragt grafen på denne figur, hvor de to variable 50 er tiden og arbejdsløshedstallet i Danmark. Her 25 kan man aflæse, at arbejdsløshedstallet nåede sit maksimum i denne periode i 2004, hvor der var ca. Anm.: Bruttoledigheden er ikke opgjort før 2007. 170.000 arbejdsløse, og derefter faldt arbejdsløs-Arbejdsløshed,Kilde: prognose AE’sAE’s prognose og(grundforløb) nye tal marts 2010 og Danmarks Statistik. 225 hedstallet frem til 2008, hvor det igen begyndte at 200 Ledighed stige. Arbejdsløshedstallets minimum i perioden 175 Bruttoledighed var knap 50.000. 150 Seneste udvikling

Anm.: Bruttoledigheden er ikke opgjort før 2007.

De fleste betaler fx for elektricitet på grundlag afAE’s deres forbrug. De tomarts variable her Statistik. Kilde: prognose (grundforløb) 2010 og er Danmarks forbrug og pris. Den sproglige præsentation af variabelsammenhængen kan være: I X-købing Kommune betaler man en fast årlig afgift på 400 kr. for at være tilsluttet elnettet, samt en pris på 1,75 kr. pr. kWh, man forbruger (kWh: kilowatt-time). Styrken i den sproglige form er, at vi alle har et fælles sprog, som vi bruger, når vi kommunikerer med hinanden, med institutioner, gennem medier og mellem fag. Svagheden er, at vi sjældent kan være lige så præcise med den sproglige form som med det matematiske sprog, og at problemstillinger hurtigt kan blive så komplekse, at almindeligt sprog ikke slår til. Det er jo derfor man har matematik. Se eksempler på bogens website.

5.4 Formeludtryk En sammenhæng mellem to variable kan fremtræde som en formel, hvor den ene variabel er lig med et regneudtryk, hvori den anden variabel indgår. Formeludtrykket kan anvendes til at udregne sammenhørende værdier af de to variable.

Eksempel: Ligningsløsning og beregning med formeludtryk For en bestemt kobbertråd kan sammenhængen mellem de to variable, den elektriske modstand i tråden og trådens temperatur, udtrykkes ved formlen: y = 0,218x + 56 hvor x angiver kobbertrådens temperatur (målt i º C, der læses: "grader Celsius"), og y er modstanden (målt i Ω, der læses "Ohm"). I matematik navngiver vi nu y som f(x). Kender man temperaturen, fx x = 30 º C, kan modstanden udregnes ved at erstatte variablen x med værdien 30, dvs. f(30) y = 0, 218 ⋅ 30 + 56 = 6, 54 + 56 = 62, 54 Konklusion: Når temperaturen er 30ºC, er modstanden 62,5 Ohm. Kender man modstanden, fx y = 65 Ohm, kan temperaturen tilsvarende findes ved at løse en simpel ligning, idet vi erstatter variablen y med værdien 65, dvs. 65 65 == 0 0,, 218 218 ⋅⋅ xx ++ 56 56 − 56 = 0 , 218 ⋅ x 65 65 − 56 = 0, 218 ⋅ x 9 9 == 0 0,, 218 218 ⋅⋅ xx 9 9 =x =x , 0 218 0, 218 41 41,, 284 284 == xx Konklusion: Modstanden er 65 Ohm, når temperaturen er 41,3ºC. Bemærkning: Havde vi defineret f(x) := 0,218 · x + 56, kunne vi have løst opgaverne ved henholdsvis at udregne f(30) og at løse ligningen f(x) = 65 med brug af solvekommandoen. I det videre matematikforløb vil vi komme nærmere ind på reglerne for løsning af ligninger. Styrken i formelsproget er, at det ofte afdækker en dybere sammenhæng mellem de variable, end vi umiddelbart kan se af et talmateriale eller en graf. Når sammenhængen er givet ved en formel, kan vi forholdsvis let svare på en lang række spørgsmål, som vi gav eksempler på ovenfor. Svagheden er, at vi med den modellering, der førte til formeludtrykket, har bevæget os fra den virkelige verden ind i matematikkens verden. Det er et nødvendigt skridt for at kunne løse problemer matematisk, men det er vigtigt at huske, at det er en model, som vi vælger at beskrive virkeligheden med, og at resultater beregnet ved hjælp af modellen efterfølgende skal oversættes til naturligt sprog for at give mening i virkeligheden.

Øvelse 1.25 Find eksempler på hver af de fire repræsentationsformer fra andre fag eller fra medierne. Bemærkning: En variabelsammenhæng fra det virkelige liv kan meget sjældent repræsenteres helt præcist med et formeludtryk. Se eksempelvis grafen på forrige side. Men grafen repræsenterer stadigvæk en funktion. Vi behøver altså ikke at have alle

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

fire repræsentationsformer for at have en funktion. Den præcise definition af en lineær funktion gives i afsnit 8. Når vi ikke har et regneudtryk, kan vi imidlertid ofte finde en tilnærmet formelrepræsentation. Vi møder det første eksempel på dette i afsnit 7.

6. O versættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge Vi har ofte brug for at kunne oversætte fra én af de fire former for variabelsammenhænge til en af de tre andre.

√x

x x x x

...!

y x x x

Vi vil i det følgende give en række eksempler på oversættelse mellem disse repræsentationsformer.

6.1 Tabeller og grafer – at indsamle data og at skaffe sig overblik Tabelværdier fra den virkelige verden kan ikke altid forventes at følge en simpel matematisk formel. Har man sådanne tabelværdier, er det normalt en god ide at begynde med at lave en grafisk fremstilling. Det kan så være, at det grafiske billede ligner noget, vi kender. Det illustrerer vi med et eksempel.

Eksempel: Fra tabel til graf Når man gøder jorden med kunstgødning, vokser høstudbyttet indtil et vist punkt. Der er grænser for, hvor stort et udbytte en bestemt afgrøde kan give. Og samtidig overstiger udgifterne til ekstra kunstgødning det beskedne ekstra udbytte. Det er vigtigt at kende denne sammenhæng, når man skal gøde. For en bestemt kornsort har man gennem forsøg fundet følgende sammenhæng: Kvælstofgødning (kg/ha) Høstudbytte (ton/ha)

100

120

1,43

2,31

3,08

3,95

4,65

4,90

5,11

Kilde: Thomas Vils Pedersen: Vækst, Matematiklærerforeningen 2005

For at få overblik laver vi nu et grafisk billede ved at plotte disse data i et passende koordinatsystem.

Høstudbytte (ton/ha)

Sammenhang mellem høstudbytte og gødning 6 5 4

I de simpleste tilfælde ligger punkterne med god tilnærmelse på en ret linje. I sådanne tilfælde kan vi med en teknik, der hedder regression, bestemme en graf, der tilnærmer datapunkterne nogenlunde, og vi kan yderligere bestemme formlen, der ligger bag denne graf.

3 2 1 0

100 120 140 Kunstgødning (kg/ha)

Regression er en vigtig teknik, som vi vil møde mange gange, første gang i afsnit 7: Lineær regression. I dette tilfælde med høstudbyttet ville vi imidlertid miste hele pointen om gødningens effekt, hvis vi tilnærmede datapunkterne med en enkelt ret linje.

Øvelse 1.26 a) Giv en sproglig beskrivelse af det grafiske forløb, vi ser i eksemplet ovenfor. b) Hvorfor ikke tilnærme med en ret linje? Kunne man tilnærme med to linjestykker? Hilket skillepunkt skulle man vælge som forbindelsespunkt mellem de to linjestykker?

Øvelse 1.27 a) Beskriv med ord, hvad tallet 1,43 i tabellen siger om høstudbyttet. b) B etragt intervallet fra 0 til 20 kg kunstgødning. Hvor meget stiger udbyttet med? Hvor meget stiger udbyttet med pr. kg kunstgødning?

I eksemplet ovenfor med kunstgødning kunne vi godt få et nogenlunde klart indtryk af variabelsammenhængen ud fra tabellen, selv om det grafiske plot hjalp betydeligt. Det følgende eksempel illustrerer både tabellernes styrke og deres svagheder. Her er det nemlig ganske svært at se et mønster.

Eksempel: Fra tabel til graf Hos en forsøgsperson måles indholdet af insulin i blodet (målt i en enhed, der hedder pmol/l) i løbet af dagen. Målingerne er angivet i skemaet, hvor t er tiden (målt i minutter). Morgenmaden indtages til tiden t = 0 og frokosten til tiden t = 240. Tid (min.)

–15

120

180

240

270 300 360 420 480

Insulin (pmol/l)

285

172

404

213

145

Kilde: Thomas Vils Pedersen og Henrik Laurberg Pedersen, Noter til ’Matematik og databehandling’ ved KVL (Life), 2006.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Den graf, vi har tegnet, giver nu mulighed for at aflæse en værdi for insulinindholdet til ethvert tidspunkt i perioden. Det er en tilnærmet værdi, da vi jo ikke kan vide, om insulinindholdet følger denne kurve i intervallerne mellem de afsatte datapunkter.

Insulinindholdet i blodet Insulin (pmol/l))

Data kopieres ind i et regneark og plottes i et koordinatsystem. Vi vælger her at forbinde målepunkterne med rette linjer (se grafen til højre).

450 400 350 300 250 200 150 100 50 0

-50

150

250

350 450 Tiden (minutter)

Når vi ikke har en bedre viden om, hvordan en udvikling forløber, forbinder vi normalt målepunkter med rette linjer, fordi det giver den simpleste antagelse, nemlig at ændringen pr. tidsenhed er den samme i hele intervallet. Mange programmer har dog også mulighed for at forbinde datapunkterne med en blød kurve, en såkaldt "spline". Vi vender tilbage til dette i et projekt under emnet differentialregning på B-niveau.

Øvelse 1.28 Lægen vil normalt være interesseret i, hvad patientens eller forsøgspersonens gennemsnitlige insulinindhold i blodet er. a) S e på tabellens tal, og giv et bud på det gennemsnitlige insulinindhold i tidsrummet fra 60 til 120. b) S e på grafen. Tegnes lodrette linjer i 60 og 120, får vi et trapez. Hvad er arealet af dette trapez? c) H vad er sammenhængen mellem arealet af trapezet og udregningen af det gennemsnitlige insulinindhold? d) Benyt tabellens data til at vise, at det gennemsnitlige indhold af insulin over hele perioden er ca. 134. Læg mærke til, at tidsintervallerne ikke er lige lange. e) H vilken sammenhæng er der mellem tallet 134 og det samlede areal under grafen?

I det matematiske område på A-niveau, der hedder integralregning, lærer man bl.a. at udregne arealer afgrænset af mere komplicerede grafer. En beregning af tabelværdier og efterfølgende tegning af en graf kan bidrage til at løse forholdsvis komplicerede problemer. Det illustreres af følgende øvelse, der demonstrerer styrken i variabelbegrebet.

Øvelse 1.29 Overvej undervejs, hvordan opgaven skulle være løst uden at indføre variable og uden brug af et koordinatsystem. Tag et stykke papir, fx et A4-papir. Papiret skal foldes til en "kasse" ved at klippe små kvadrater af hvert hjørne som vist på figuren.

Længde Længde

A afskær 1

Højde Højde

Spørgsmålet er: Hvordan foldes kassen, så rumfanget bliver størst muligt?

Det ville være vanskeligt at svare på uden at indføre variable. Det gør vi nu med det delmål at få udfyldt tabellen nedenfor.

B højde

C længde

D bredde

E rumfang

Papirets længe l og bredde b er faste mål, som kan måles. Sidelængden i de ens kvadrater er den uafhængige variabel, som vi betegner med afskær. Kassens dimensioner er fastlagt ved dens højde, længde og bredde. Rumfanget er endnu en variabel. Vi har nu følgende fem variable i spil: afskæret, højden, længden, bredden og rumfanget af kassen. Overvej, hvilke sammenhænge der er mellem de forskellige variable, og benyt disse sammenhænge til at udfylde en tabel i et regneark som det viste. Giv derefter et bud på dimensionerne for den kasse, der får det største rumfang, idet tabellen benyttes til at fremstille relevante grafer.

6.2 Sprog og formler – at opstille og at tolke formler Der er flere, der kan læse dansk, end der kan læse formler. Når man skal betale for en ydelse som fx forbrug af vand, brug af mobiltelefon eller kørsel med en taxa, er det sjældent, man får prisen eller regningen præsenteret ved hjælp af en formel. Af og til illustreres priserne ved hjælp af en tabel, men oftest sker det på en sproglig form som i følgende eksempel.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Eksempel: Opstil en formel Prisen for at køre med et bestemt taxafirma beregnes ud fra et startgebyr på 25 kr. plus en km-takst på 17,50 kr. for hver kørt km. Vi vil indføre passende variable og opstille en ligning eller en formel, der beskriver sammenhængen mellem de variable. Lad x angive antal kørte km i kr., og lad y angive den samlede pris for hele turen i kr. For hver km skal der betales 17,50 kr. For x km skal der derfor betales: 17,5 . x kr. Så er sammenhængen mellem de to variable udtrykt som en formel: y = 7,5 . x + 25

Øvelse 1.30 En voksen mand forbrænder alkohol med en hastighed af ca. 12 g i timen. En person har drukket meget alkohol og har 100 g alkohol i blodet, da han stopper. Indfør passende variable, og opstil en ligning for, hvordan mængden af alkohol i blodet afhænger af antallet af timer, efter at personen stoppede med at drikke.

Eksempel: Proportionalitet Meget ofte ser man i butikker, at "stykprisen er ...", eller at "prisen pr. kg er ...". Hvis prisen pr. kg æbler er 18,50 kr., så koster x kilo y = 18,5 . x . Generelt siger vi, at når sammenhængen mellem de to variable har formen y = a . x, så er x og y proportionale med proportionalitetsfaktoren a. Det er et fænomen, man også ofte møder i fysik. Vi vender tilbage til dette efter grundforløbet under emnet Potensmodeller.

Øvelse 1.31 Når et legeme, fx en bil, bevæger sig, så bærer det en vis mængde bevægelsesenergi med sig. Kører bilen frontalt ind i et træ eller en mur, udløses hele denne energi på én gang, ofte med dramatiske følger. Hvordan beregner vi den energi? I fysik lærer man, at der gælder følgende: Bevægelsesenergien er både proportional med massen (af bilen) og proportional med kvadratet på hastigheden. Indfør passende variable, og opstil en formel for sammenhængen mellem bevægelsesenergi, hastighed og masse.

Når man har en vis erfaring med at opstille ligninger og formler ud fra sproglig beskrivelse, så lærer man også at "afkode" og fortolke sådanne udtryk. En fortolkning vil normalt indebære, at man beskriver konstanternes betydning. Dette illustreres med det næste eksempel.

Eksempel: Fortolkning af en formel Antallet af landbrug i Danmark kan for perioden 1983-1995 med god tilnærmelse beskrives ved modellen: y = –2600x + 98680 hvor y er antallet af landbrug, og x er antal år efter 1983. Vi vil undersøge, hvad tallene 98680 og –2600 fortæller om udviklingen i antallet af danske landbrug i perioden 1983-1995. Vi opstiller modellens formel som et funktionsudtryk og definerer: f(x) := –2600 · x + 98680. x er 0 i 1983. Hvis vi indsætter x = 0 i f(x), kan vi beregne antallet af landbrug i 1983. Vi kan anvende værktøjsprogrammets udregning af f(0) som kontrol, men her udregner vi det "i hånden" for at se, hvad der sker: f(0) = –2600 . 0 + 98680 f(0) = 98680 Dvs. 98680 er antallet af landbrug i 1983. Vi kalder ofte sådanne tal for startværdien eller begyndelsesværdien, fordi det er værdien, når x = 0. Når x = 1, er der gået 1 år, og årstallet er 1984. y udregnes ved at indsætte x = 1 i f(x): f(1) = –2600 . 1 + 98680 f(1) = 98680 – 2600 = 96080 Antallet af landbrug er altså faldet med 2600. Hvis vi havde udregnet værdien af y, henholdsvis når x = 10, dvs. i år 1993, og når x = 11, dvs. i år 1994, ville vi se det samme: Antallet af landbrug faldt fra 1993 til 1994 med 2600 og tilsvarende for ethvert andet par af årstal med et års mellemrum. Vi kan derfor lave følgende konklusion: I 1983 var der ifølge modellen 98680 landbrug, og antallet er siden faldet med 2600 om året. Vi vender tilbage til dette i afsnit 8, Lineære funktioner.

Øvelse 1.32 I en bestemt kommune kan sammenhængen mellem en families årlige vandforbrug og udgifterne hertil beskrives ved modellen y = 38x + 450, hvor y angiver udgifterne til vand (i kr.), og x angiver vandforbruget (i m3 ). Hvad fortæller tallene 38 og 450 om udgifterne til vand?

6.3 Grafer og sprog – at beskrive og at skitsere grafer I Grænser for vækst finder man det grafiske forløb af et scenario, hvor det antages, at menneskeheden har adgang til dobbelt så store ressourcer, som man kendte i 1990:

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Scenario 2:

Fordoblede ressourcer i forhold til Scenario 1 Scenario 2

Verdens tilstand Ressourcer

Industriproduktion

Forurening

Fødevarer

Population

1900

2000

Hvis vi fordobler den tilgængelige ressourcemængde, vi forudsatte i Scenario 1, kan industrien vokse 20 år længere. Populationen stiger til 9 mia. i 2040. Disse forhøjede niveauer skaber mere forurening, hvilket nedsætter jordens ydeevne og tvinger til meget større investeringer i landbruget. Efterhånden får den faldende fødevaremængde dødeligheden i befolkningen til at stige.

2100

Vi vil beskrive forløbet af to af kurverne: 1) Ressourcer og 2) Population. I beskrivelsen anvendes en række centrale begreber, der helt generelt anvendes, når man skal beskrive et grafisk forløb. For begge kurver løber den uafhængige variabel, tiden, i intervallet fra 1900 til 2100. Det interval, den uafhængige variabel løber i, kalder vi også definitionsmængden. Ad 1) Grafen over ressourcerne Mængden af tilgængelige ressourcer er aftagende i hele perioden. Faldet pr. år bliver større og større indtil ca. 2040, hvorefter det ser ud til, at faldet over en årrække er stabilt. Dette kan ses af, at kurven først krummer nedad – hvis vi lader en lineal følge kurven kan vi se, at denne starter med at være næsten vandret og efterhånden peger mere og mere stejlt nedad indtil ca. 2020 – og derefter med tilnærmelse er retlinjet i intervallet fra 2020 til 2060. Efter ca. 2060 bliver faldet pr. år mindre og mindre – kurven krummer opad – og det kan se ud til, at mængden af tilgængelige ressourcer stabiliserer sig, fordi grafen slutteligt igen nærmer sig vandret. (Det er der naturligvis en ydre forklaring på: Industriproduktion og landbrugsproduktion er faldet dramatisk). Ad 2) Grafen over populationen Populationen (befolkningstallet) er voksende frem til ca. 2040, hvor befolkningskurven har et maksimum, hvorefter populationen er aftagende. Det ser ud til, at populationen når et minimum omkring år 2090 og herefter igen vokser svagt. Dette minimum er stadigvæk højere end befolkningstallet i starten af hele perioden. Et sådant minimum, der ikke er den mindste værdi i hele perioden, kaldes af og til et lokalt minimum. Ikke alene befolkningstallet, men også befolkningstilvæksten pr. år er stigende i de første 100 år. Dette kan ses af, at kurven krummer opad. Under emnet differentialregning på B- og A-niveau, vil vi få nogle værktøjer, hvormed vi mere præcist kan beskrive det grafiske forløb med henblik på vendepunkter og krumning.

Øvelse 1.33 a) F remstil en liste over de begreber, der er anvendt i beskrivelsen ovenfor, og forklar betydningen af hvert enkelt begreb. b) B eskriv det grafiske forløb af de tre andre kurver ved brug af samme begreber, som er anvendt ovenfor.

Øvelse 1.34 Beskriv grafen, der er tegnet i øvelse 1.19 med brug af samme begreber, som er anvendt ovenfor.

Praxis: Monotoniforhold Når vi skal angive monotoniforhold for en variabelsammenhæng, betyder det, at vi skal beskrive det samlede grafiske forløb med brug af begreberne voksende og aftagende.

Den sproglige beskrivelses styrke er, at den i kort form fanger noget væsentligt ved kurven. Selv om det også er dens svaghed, idet beskrivelsen kun fanger nogle få overordnede karakteristika, så er det somme tider tilstrækkeligt til at give et hurtigt visuelt indtryk, som følgende eksempler kan illustrere.

Eksempel: Afkøling

Omg. temp.

Efter at have skænket en kop varm, nybrygget kaffe bliver vi optaget af noget andet, og kaffen afkøles. Vi vil nu uden et tabelmateriale skitsere en mulig graf, der kan beskrive afkølingen. De to variable er kaffens temperatur (målt i grader) og tiden (målt i minutter), der er gået, siden kaffen blev hældt op. Temperaturen afhænger af tiden, så temperaturen er den afhængige variabel, der afsættes op af 2. aksen, og tiden er den uafhængige variabel, der afsættes ud af 1. aksen. Vi kan sætte tal på akserne, svarende til de værdier hver af de to variable vil kunne antage, men i sådanne opgaver er det ikke afgørende, hvor hurtigt kaffen afkøles, men at vi med en grafskitse får fat i det væsentlige. Vores erfaring med afkøling af varme ting siger, at temperaturen falder relativt hurtigt i starten og relativt langsomt, når det allerede er kølet betydeligt ned. Almindelig sund fornuft siger, at kaffen ikke bliver koldere end omgivelsernes temperatur, så der er en nedre grænse for kurven. På baggrund af disse overvejelser får vi et grafisk forløb som vist her.

Øvelse 1.35 Sigtbarheden i vand aftager med dybden. Indfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem sigtbarhed og vanddybde.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

6.4 Formler og grafer – at tegne grafer og at bestemme en regneforskrift Udbyttet af en afgrøde afhænger af mange faktorer: jordbund, klima, vand samt tilførte næringsstoffer i form af gødning. Vi vil se på sammenhængen mellem udbyttet, som vi kalder U (målt i ton pr. hektar), og gødningsmængden, som vi betegner t (målt i ton NPK-gødning pr. hektar). Vi ser således bort fra de øvrige variable. Der er erfaring for, at sammenhængen mellem de to variable kan beskrives ved formlen: 20t + 10 U= t + 1 Hvad er de karakteristiske egenskaber ved denne sammenhæng? Det kan være svært umiddelbart at overskue en sådan variabelsammenhæng. Derfor er det relevant for forståelsen af udtrykket at få tegnet en graf. Et værktøjsprogram udregner internt en passende tabel over datapunkter og forbinder dem med meget korte linjestykker, så grafen fremstår som en blød kurve.

Øvelse 1.36 a) T egn i et værktøjsprogram grafen for udbyttet som funktion af gødningsmængden. Definer fx U som en funktion af t med den givne forskrift: U(t)U:= = 20 t + 10 t +1

b) B eskriv grafens forløb, og overvej, hvilken definitionsmængde der er relevant i denne sammenhæng. c) I formlen indgår tallet 10. Giv en fortolkning af, hvad denne konstant fortæller om gødningsmængden og udbyttet.

Øvelse 1.37

(især for B- og A-niveau)

Opfølgning på øvelse 1.29 a) K onstruer en dynamisk model af den udfoldede kasse i et passende geometriprogram, og benyt denne til at fastlægge det maksimale rumfang. b) O vervej, hvordan højde, længde og bredde afhænger af afskæret x, og benyt dette til at bestemme en regneforskrift for rumfanget V som funktion af afskæret x. c) H vilke værdier kan x antage? Disse tilladte x-værdier kaldes også definitionsmængden for V, og betegnes Dm(V). Spørgsmålet om at bestemme det størst mulige rumfang, kan nu omformuleres til et rent matematisk spørgsmål: Bestem x, så V(x) er størst muligt. d) Tegn grafen for rumfanget V som funktion af afskæret x. Benyt denne til at besvare spørgsmålet. En sådan opgave kaldes en optimeringsopgave, fordi vi skal finde den optimale løsning på et problem. Denne opgavetype vil vi arbejde videre med på B- og A-niveau.

Opgaver I kapitel 4 ligger en række opgaver, der udbygger og træner det, vi har gennemgået i eksemplerne og øvelserne i afsnit 6.

7. Lineær regression (I øvelserne i dette afsnit kan man som nævnt gøre brug af datamateriale fra kapitel 3.) Når ammoniumnitrat opløses i vand, falder vandets temperatur. Temperaturen er således afhængig af, hvor meget ammoniumnitrat, der er opløst. I en forsøgsrække benyttes forskellige mængder ammoniumnitrat, der hver gang opløses i 170 g vand. Vandets starttemperatur er 22 °C. Skemaet viser opløsningens sluttemperatur. Opløst mængde ammoniumnitrat (g) Opløsningens temperatur ( º C)

5,4

11,2

24,3

29,8

38,1

21,0

16,9

13,6

11,1

6,0

Kopier tabellen over i dit værktøjsprogram, så du kan arbejde med data. Lad os betegne mængden af ammoniumnitrat med A og opløsningens temperatur med T. Herunder ses en grafisk fremstilling af de fem målepunkter. Det ser ud som om, de ligger nogenlunde på en ret linje. Frembring punktplottet i dit eget værktøjsprogram. T

I stedet for blot at tegne en graf fra målepunkt til målepunkt, vælger vi at tro på, at der er en lineær sammenhæng mellem de to variable, dvs. at der bag målepunkterne så at sige ligger nogle ideelle teoretiske værdier, som vi ikke umiddelbart kan se. De teoretiske værdier ligger præcist på en ret linje, men bl.a. på grund af måleusikkerhed ligger de målte værdier svarende til datapunkterne spredt tilfældigt rundt omkring denne teoretiske linje.

Værktøjsprogrammerne har en indbygget metode til at tegne den lineære graf, der passer bedst muligt til målepunkterne, samt beregne en regneforskrift for den tilhørende lineære funktion. "Bedst muligt" bygger selvfølgelig på en vedtagelse om, hvordan vi måler dette. Men hvordan afgør programmet, hvad der er "bedst muligt"?

Definition Definition:1Regressionslinje Den linje,inddeler der passer bedst muligt til givne datapunkter, kaldes regressionslinjen Akserne naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. (af og til tendenslinjen), og fra vi siger, fremkommet ved at og lave lineær kvadrant. Omløbsretningen 1. til 4.aterlinjen mod er uret, fra (+,+) over (-,+) (-,-) til (+,-). regression. Bedst muligt er bestemt ved mindste kvadraters metode.

Mindste kvadraters metode dækker over en kompliceret matematisk teori, som vi behandler på A-niveau, men også løfter lidt af sløret for her.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.38

Lineær regression: Graf og formel

a) Plot datapunkterne. Du får nu et billede, der gerne skulle ligne illustrationen ovenfor. b) P lot en linje med ligning y = a · x + b i samme grafiske billede som datapunkterne, og udnyt værktøjsprogrammets mulighed for at eksperimentere med parameterværdierne a og b, så linjen følger punkterne "bedst muligt" ifølge dit øjemål. Noter værdierne og sammenlign i klassen. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). c) U dnyt nu værktøjsprogrammets muligheder til at udføre lineær regression på datamaterialet og til at få tegnet regressionsgrafen sammen med datapunkterne. Dit grafiske billede skal gerne ligne illustrationen nedenfor (evt uden kvadraterne). Dette er en grafisk repræsentation af den matematiske model, som beskriver data "bedst muligt". (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). d) Værktøjsprogrammet har samtidig givet dig en regressionsforskrift, der gerne skal være f(x) = –0,42 · x + 22,83. Anvend := til at definere en funktion med regneforskrift lig med den formel, programmet har beregnet, så du kan regne videre med den. Dette er en formel-repræsentation af den matematiske model. e) B enyt funktionsforskriften til at bestemme opløsningens temperatur, når der er opløst 15 g ammoniumnitrat. f) Benyt solvekommandoen til at løse ligningen f(x) = 10, og giv en fortolkning af resultatet.

På figuren er afvigelserne mellem datapunkterne og regressionslinjen repræsenteret ved kvadrater. Summen af kvadraternes areal er et mål for den samlede afvigelse mellem datapunkterne og regressionslinjen. Regressionslinjen er netop valgt, så summen af kvadraterne er mindst mulig. Det er derfor metoden kaldes mindste kvadraters metode. Sammen med regneforskriften for regressionslinjen, udregner værktøjsprogrammet et mål (dvs. et tal) for, hvor godt den matematiske model passer med de oprindelige punkter, dvs med de empiriske værdier. Dette mål, som er tæt knyttet til summen af kvadraternes areal, har i matematik symbolet r 2 og kaldes ofte med et lidt misvisende begreb for forklaringsgraden.

På A-niveau vil vi under emnet differentialregning vende tilbage til teorien og historien bag denne mindste kvadraters metode.

Tallet r 2 ligger altid mellem 0 og 1. Matematisk set er det sådan, at hvis datapunkterne ligger perfekt på regressionslinjen, så er r 2 = 1. Men selv om tallet r 2 er tæt på 1, og regressionslinjen passer godt til punkterne, så der er en fin matematisk sammenhæng, så kan vi ikke vide med sikkerhed, at der også er en egentlig årsagssammenhæng.

Sammenhæng er nemlig normalt et spørgsmål om årsags-sammenhæng, og handler vores målepunkter om noget fra virkeligheden, eller er de resultat af et eksperiment, så skal andre fag bidrage til at afgøre, om der også er tale om en årsagssammenhæng og ikke kun en matematisk sammenhæng.

Gennem 1960’erne og 1970’erne faldt antallet af storke og antallet af fødsler i Danmark på en sådan måde, at de to kurver i en kortere periode til en vis grad matchede hinanden. Men derfor kan vi ikke slutte, at der er en årsagssammenhæng. Til højre er vist den "fine" grafiske sammenhæng.

Antal fødsler

Eksempel: Sammenhæng mellem antal storke og antal fødsler 80 70 60 50 40

Antal ynglende storkepar

Eksempel: Regressionslinjer og statistik Når vi senere på B-niveau lærer statistik og specielt fordyber os i, hvad det vil sige at teste en hypotese, så vil vi møde begreberne observerede og forventede værdier. Dette er også hvad der er i spil her: Datasættet, dvs. de empiriske værdier, svarer til begrebet observerede værdier, mens modelværdierne svarer til begrebet forventede værdier, nemlig forventede under antagelse af hypotesen om, at der faktisk er en lineær årsagssammenhæng.

7.1 Residualplot Tallet r 2 beregnes ved en kompliceret formel, så der er ikke en simpel sammenhæng mellem dette tals størrelse på den ene side, og hvor god den lineære sammenhæng er på den anden side. Du kan på bogens website læse mere om r 2 og om nogle af de fælder man kan falde i, når man fortolker tallet. Et bedre værktøj til at svare på, hvor godt modelværdierne passer med måledata, er det såkaldte residualplot. Et residualplot giver et grafisk billede af forskellen mellem de empiriske dataværdier og de beregnede modelværdier. Vi kan derved få et visuelt indtryk af, om forskellen mellem model og virkelighed kan tilskrives tilfældigheder, eller om den synes at være systematisk og dermed udtryk for, at der er nogle sammenhænge, vi ikke har styr på.

Øvelse 1.39

Lineær regression: Tabel og residualplot

2 1 0

–1 –2

Residualplottet knyttet til datasættet.

a) A nvend regneforskriften, du fandt i øvelse 1.38 d), til at udregne modelværdier for temperaturen svarende til de uafhængige variable (dvs. mængden af opløst ammoniumnitrat) i tabellen. Angiv modelværdierne i din tabel i regnarket. Dette er en tabel-repræsentation af den matematiske model. b) O pstil selv en tabel over residualerne, dvs. forskellen mellem de empiriske værdier og de netop udregnede modelværdier for temperaturen.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

c) P lot residualerne som funktion af den uafhængige variable (den opløste mængde ammoniumnitrat). Det ligner forhåbentlig illustrationen. Dette er residualplottet knyttet til modellen. d) Værktøjsprogrammet kan automatisk udregne residualerne og tegne et residualplot. Få programmet til at udføre dette. Det ligner forhåbentlig det plot, du selv udførte. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvor0,4 dan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer). 0,2

e) K ommenter kvaliteten af modellen på baggrund af residualplottet. Her omtales som nævnt normalt størrelsen af afvigelserne mellem de empiriske data og modelværdierne, samt om disse afvigelser har en systematisk karakter eller ser tilfældige ud.

0 –0,2

0,5

1,5

2,5

–0,4

Et residualplot, der hører til et andet datasæt og en anden model, hvor r 2 = 0,95. Afvigelserne er systematiske (de ligger på en "kæde"), så modellen er ikke god.

Praxis: Fremgangsmåde ved lineær regression Vi har givet et datasæt. Opgaven går ud på at opstille den bedst mulige lineære model ved anvendelse af regression. Heri ligger et krav om, at vi skal anvende alle punkterne. 1. I ndskriv datapunkternes uafhængige og afhængige værdier i det format dit værktøjsprogram kræver for at udføre regression. 2. Plot datapunkterne som en dokumentation af det rimelige i at udføre lineær regression. 3. Få værktøjsprogrammet til at udføre lineær regression og angiv a og b -værdierne samt regneforskriften som svar på opgavens spørgsmål. 4. B enyt værktøjsprogrammet til at tegne residualplottet, og kommentér, hvorvidt "kravet" om tilfældig fordeling af datapunkterne i forhold til grafen er overholdt.

Opgaver I kapitel 4 findes en række opgaver om emnet lineær regression.

8. Lineære funktioner f(x) = ax + b Vi skal i dette afsnit se nærmere på den lineære funktion og dennes karakteristiske egenskaber. For at gøre det, er vi nødt til at have en præcis sprogbrug.

Definition Definition:1Lineær funktion En variabel y siges at være en lineær funktion af en anden variabel x, hvis der findes to tal a og b, så Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet områder, som 3., og Omløbsretvi kan skrive sammenhængen på formen: y i=4ax + b eller f(x)kaldes = ax +1., b,2., fordi f(x)4.=kvadrant. y. ningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-). Vi kalder b for konstantleddet (eller begyndelsesværdien) og a for hældnings-koefficienten (eller stigningstallet). Bemærk, at ax altid betyder a · x.

Øvelse 1.40 Angiv konstantled og hældningskoefficient for følgende lineære funktioner: 1) f(x) = 7x + 23

2) f(x) = 3,9x – 12

3) f(x) = 0,2x

4) f(x) = –2,2x + 0,5

5) f(x) = x – 100

6) f(x) = –x + 5

7) f(x) = 5

8) f(x) = 0

Definition: Grafen for en funktion Grafen for en funktion, der er givet ved en regneforskrift, består af alle de punkter (x,y), der passer ind i regneforskriften.

At et talpar passer ind i regneforskriften betyder, at ligningen er sand, når vi indsætter talparret. Betragt fx den lineære funktion f(x) = 4x + 7. Punktet (2,15) tilhører grafen, fordi f(2) = 4 . 2 + 7 = 15, og y = 15. Punktet (–3,–6) ligger ikke på grafen, fordi f(–3) = 4 . (-3) + 7 = –5, og y = –6.

Øvelse 1.41 Betragt den lineære funktion f(x) = –3x + 10. Bestem tre punkter, der tilhører grafen.

Øvelse 1.42 Betragt den lineære funktion f(x) = 2x – 3. a) Hvad er konstantleddet, og hvad er hældningskoefficienten? b) Udfyld sildebenet nedenfor. -3 -2 -1 0 1 2 x

y = f(x) c) Forklar ud fra sildebenet betydningen af b og a. d) Afsæt punkterne i et koordinatsystem, hvor x afsættes ud ad 1. aksen, og y op ad 2. aksen. e) Hvad er den grafiske betydning af konstantleddet b? f) Hvad er den grafiske (geometriske) betydning af hældningskoefficienten a?

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.43 Vi vil her eksperimentelt undersøge, hvilken indflydelse a og b har på grafens forløb. Benyt dit værktøjsprogram til at tegne grafen for en funktion med forskriften f(x) = a · x + b, hvor værdien af de to konstanter a og b fastlægges ved hjælp af "skydere". Lad fx b løbe i intervallet fra –10,0 til 10,0, og lad a løbe i intervallet fra –4,0 til 4,0. a) Anvend variabelkontrol, hvor a holdes fast og b varieres. Hvilken betydning har b for grafens forløb? b) Anvend variabelkontrol, hvor b holdes fast, og a varieres. Hvilken betydning har a for grafens forløb?

Eksempel: Bevis for a- og b-tallenes betydning Betragt en lineær funktion med forskriften f(x) = ax + b Det præcise argument for konstantleddets og for hældningskoefficientens egenskab er følgende: Konstantleddet b. Hvis vi indsætter x = 0 i formlen, får vi f(0) = a · 0 + b = 0 + b = b Konklusion: b er y-værdien, når x-værdien er 0. Hældningskoefficienten a. Se på et vilkårligt punkt på grafen med koordinater (x1, y1). Da punktet ligger på grafen, må der ifølge definitionen på en graf gælde, at y1 = a ⋅ x1 + b . Lad nu x1 vokse med 1, dvs. vi går 1 frem på x-aksen og når derved frem til punktet (x2, y2 ), hvor x2 = x1 + 1. Den tilsvarende y-værdi, som vi altså kalder y2, er derfor givet ved y2 = a · x2 + b Ifølge forskriften y2 = a · (x1 + 1) + b Vi har indsat x2 = x1 + 1 y2 = a · x1 + a · 1+ b Parentesen er ganget ud y2 = a · x1 + b + a Leddene byttes rundt De første to led på højre side genkender vi som højre side i ligningen med y1, så vi indsætter y1 i stedet for disse to led og får: y2 = y1 + a Konklusion: Når den uafhængige variabel x vokser med 1, vokser den afhængige variabel y med a. Bemærk: Hvis a er et negativt tal, vil y-værdien aftage, når x-værdien vokser. Gennemfør selv argumentet for følgende: Når x-værdien vokser med 2, så vokser y-værdien med 2a. Når x-værdien vokser med 3, så vokser y-værdien med 3a. En tilvækst i x-værdien kaldes ofte ∆x, og tilsvarende kaldes en tilvækst i y-værdien ∆y. Når x-værdien generelt vokser med ∆x, så vokser y-værdien med a ⋅ ∆x , dvs. ∆y = a ⋅ ∆x . y-tilvæksten er altså proportional med x-tilvæksten.

Vi sammenfatter dette afsnit i en sætning.

Definition Sætning 1:1 Den grafiske betydning af a og b for funktioner med forskrift f(x) = ax + b. 1. Grafen skærer y-aksen i punktet (0,b). Akserne naturligt i 4 områder, 2. Når ainddeler er positiv, er f(x)koordinatsystemet = ax + b en voksende funktion.som kaldes 1., 2., 3., og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1, 1. vokser til 4. er y-værdien mod uret, fra (+,+) Når x-værdien vokser med med a. over (-,+) og (-,-) til (+,-). Når x-værdien vokser med ∆x, så vokser y-værdien med a . ∆x, dvs. ∆y = a . ∆x. 3. Når a er negativ, er f(x) = ax + b en aftagende funktion. Når x-værdien vokser med 1, aftager y-værdien med a. Når x-værdien vokser med ∆x, så aftager y-værdien med a . ∆x, dvs. ∆y = a . ∆x. 4. Når a er 0, er y = ax + b en konstant funktion y = b.

8.1 Grafen for lineære funktioner Selv om man kunne synes, det ligger i navnet, at grafen for en lineær funktion må være en ret linje, så skal man passe på. Det er bare et navn, vi har givet bestemte funktioner, nemlig dem, der kan beskrives ved en forskrift af typen f(x) = ax + b. Men følgende sætning fortæller at navnet lineær funktion er velvalgt.

Sætning 2 1. Enhver ret linje, der ikke er lodret, er graf for en lineær funktion. 2. Grafen for en lineær funktion er en ret linje, der ikke er lodret.

Bevis (især for A-niveau) Beviset kan ses på bogens website.

Øvelse 1.44 Man kan anvende sætning 1 til at oversætte fra graf til formel og hurtigt skitsere grafer ud fra regneforskrifter, når det drejer sig om lineære funktioner. a) B estem en forskrift for hver af de lineære funktioner, der har følgende rette linjer som grafer: y

x 1

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

C 1

x 1

b) T egn i hånden graferne for: 2 y = 2 x + 3 2) f(x) y = − x − 2 3) f(x) 1) f(x) y = x +1 3

8.2 Regneforskrift for den lineære funktion Hvis der i et koordinatsystem er givet to punkter, bestemmer de en ret linje, og hvis en sådan ret linje ikke ligger lodret, er den graf for en bestemt lineær funktion f(x) = ax + b. Regneforskriften for denne lineære funktion må derfor kunne bestemmes, dvs. vi må kunne finde tallene a og b. Når en opgave lyder, bestem den lineære funktion, hvis graf går gennem to givne punkter, betyder det, at vi skal bestemme de to konstanter a og b og konkludere ved at opskrive formlen f(x) = ax + b, med de to konstanter indsat.

Eksempel: Beregning af forskriften ud fra 2 punkter Vi vil bestemme forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem punkterne (3,5) og (8,15). Metode 1 Forskriften for den lineære funktion er f(x) = ax + b. Først danner man sig et overblik ved hjælp af en tabel, idet vi husker, at y = f(x). Ud fra tabellen ser vi, at når x-værdien vokser med 5, så vokser y-værdien med 10. Dvs. 5 . a = 10 og derfor er a = 2, hvorfor forskriften er f(x) = 2x + b. Vi bestemmer b ved at indsætte et punkt. Der er frit valg – vi indsætter (8,15): 15 = 2 · 8 + b 15 = 16 + b 15 – 16 = b b = –1 y = 2 x − 1. Konklusion: Den lineære funktion har forskriften: f(x)

+5 · a

Metode 2 Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i forskriften. Vi indsætter de to punkter i hver sin ligning og får:

15 = a · 8 + b 5=a·3+b

Dette kalder vi for et system af to ligninger med to ubekendte, nemlig a og b. Hvis vi trækker den nederste ligning fra den øverste, kan vi se, at b forsvinder, så vi ender med én ligning med én ubekendt: 15 – 5 = 8a – 3a 10 = 5a a = 10 = 2 5

Nu kan vi indsætte a i en af de to ligninger ovenfor og bestemme b. Der er frit valg – vi indsætter i den øverste: 15 = 2 · 8 + b 15 = 16 + b 15 – 16 = b b = –1 y = 2x − 1 . Konklusion: Den lineære funktion har forskriften: f(x) Havde vi indsat a i den anden ligning, havde vi fået samme b-værdi. Ofte anvendes det andet punkt som kontrol: Hvis det er den korrekte ligning, så skal y = 2 x − 1: punktet (3,5), der ligger på grafen, også opfylde ligningen. Indsæt (3,5) i f(x)

5=2·3–1 5=5

Eksempel: Regler for ligningsløsning De regler for ligningsløsning, vi har anvendt ovenfor, er kendt fra folkeskolen. I det videre matematikforløb i gymnasiet vil du møde en mere systematisk gennemgang af ligningsløsning med og uden værktøjsprogrammer.

Øvelse 1.45 Bestem regneforskrifterne for de lineære funktioner, hvis grafer går gennem:

1) (0,4) og (20,9)

2) (5,12) og (–11,36)

3) (7,9) og (28,9)

4) (17,68) og (42,218)

5) (–3,7) og (7,–3)

6) (–15,–23) og (0,2)

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Øvelse 1.46 Bestem en ligning for den lineære funktion, hvis graf: a) går gennem (0,–5) og har stigningstallet a = 4,2. b) går gennem (321,467) og har stigningstallet a = –1. c) går gennem (–34,0) og har stigningstallet a = 1,5.

Øvelse 1.47 Med et værktøjsprogram kunne vi også bestemme regneforskriften ved at anvende lineær regression på de to punkter. Med to punkter vil linjen og regressionslinjen selvfølgelig stemme 100% overens (overvej hvorfor!). Hvis linjen er vandret, vil forklaringsgraden r2 ikke være defineret, fordi y-værdien i dette tilfælde er uafhængig af x-værdien. Bestem forskriften ved hjælp af lineær regression for et par af opgaverne i øvelse 1.45.

Rette linjer spiller en stor rolle, også som en tilnærmelse til grafer der ikke er lineære. Det skyldes, at stort set alle grafer er lineære "lokalt", dvs. hvis vi zoomer ind på et meget lille område af en graf, så vil den fremtræde mere og mere som en ret linje. Bl.a. derfor er vi interesserede i en formel for hældningskoefficienten fordi den også kan fortælle noget om egenskaber ved funktioner, der ikke er lineære.

Definition Sætning 31 Hvis grafen for den lineære funktion f(x) = ax b går gennem punkterne y1 ) Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4+områder, som kaldes 1., 2.,(x 3., 1, og ogkvadrant. (x2 ,y2 ), kan hældningskoefficienten med 4. Omløbsretningen fra 1. til 4.beregnes er mod uret, fraformlen: (+,+) over (-,+) og (-,-) til ∆y (+,-). y2 − y1 a = eller a = ∆x x 2 − x1

a= x1,y1

∆y ∆x a=

x2 ,y2

∆y ∆y a = ∆x ∆x x

Bevis Vi går frem som i eksemplets Metode 2. Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i ligningen y = ax + b. Vi indsætter de to punkter i hver sin ligning og får: y2 = a ⋅ x2 + b y1 = a ⋅ x1 + b Hvis vi trækker den nederste ligning fra den øverste, kan vi se, at b forsvinder, så vi ender med én ligning med én ubekendt: y2 − y1 = ( a ⋅ x2 + b) − ( a ⋅ x1 + b) y2 − y1 = a ⋅ x2 + b − a ⋅ x1 − b Parentesregler y2 − y1 = a ⋅ x2 − a ⋅ x1 Reduktion y2 − y1 = a ⋅ ( x2 − x1 ) a sættes uden for parentes y2 − y1 = a a isoleres ved at dividere (x2 – x1) over x2 − x1 Husk, at hele tallet y2 – y1 divideres med hele tallet x2 – x1. Hermed er formlen vist.

500

Eksempel: Hastighed som hældningskoefficient

Ved en bevægelse med konstant hastighed v vil sammenhængen mellem strækningen s og tiden t være lineær, og hastigheden er netop hældningskoefficienten:

400

∆s

300 ∆s

200 100

∆t

400 m

m v= = = 20 ∆t sek 20 sek Hvis de involverede variable er størrelser med enheder, bør hældningen også anføres med enheder. Hvis fx strækningen måles i meter og tiden i sekunder, m bør hastigheden, dvs. hældningen, derfor som vist angives med enheden sek . 25 t

sek

100 m

200 m

300 m

400 m

500 m s

V 1

Eksempel: Densitet som hældningskoefficient

I et laboratorium vejer man forskellige portioner af en bestemt væske. Der laves en grafisk fremstilling af tabelværdierne over sammenhængen mellem væskens masse m og dens rumfang V. Sammenhængen er en ligefrem prom portionalitet og hældningen vil netop angive væskens densitet: V mL

ρ=

∆m 118 g g = = 0,79 ∆V 150 mL mL

Hvis de involverede variable er størrelser med enheder, bør hældningen også anføres med enheder. Hvis fx massen måles i gram og rumfanget i milliliter, bør densiteten/hældningen derfor angives med enheden g/mL.

Øvelse 1.48 Anvend formlen i sætning 3 til at bestemme nogle af hældningskoefficienterne i øvelse 1.45.

Opgaver I kapitel 4 findes en række opgaver om lineære funktioner.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

9. Ligninger, kurver og funktioner Fra barnets første tilegnelse af sprog og leg med ord og sætninger, via kommunikation og udvidelse af ordforråd og sprogforståelse, og op gennem de mange års undervisning og uddannelse danner vi – og lærer vi – hele tiden nye og mere abstrakte begreber. Sådan er det også i matematik. Første gang man mødte algebra i form af bogstavregning og ligninger, var det måske svært at se, hvad det skulle bruges til. Klarer vi os måske ikke godt nok med aritmetikken, som rummer reglerne for regning med tal? Men bogstavregning kan vise, at det altid er samme formel og metode, vi bruger til at bestemme fx hældningskoefficienter for rette linjer. Og samtidig giver dette mulighed for at løfte matematikken op på et nyt niveau, som når vi anvender vores viden om rette linjer til at indføre et nyt begreb som væksthastighed og stigningstal for krumme kurver under emnet differentialregning på B-niveau. Nogle begreber som funktionsbegrebet har været meget længe undervejs. Det er det mest centrale begreb i moderne matematik. Hver gang man lærer nye områder af matematikken at kende, vil man møde funktionsbegrebet fra nye vinkler og opdage, hvor effektivt og produktivt et begreb det er. Det er et moderne begreb, fordi det udtrykker vores opfattelse af verden som dynamisk og ikke statisk. En funktionssammenhæng udtrykker, hvordan én variabel afhænger af en anden eller af flere andre variable. Forskellen mellem det klassiske og det moderne kan illustreres således: • Variabelsammenhænge kan ofte udtrykkes med ligninger og repræsenteres af kurver, der kan betragtes som geometriske objekter.

• Funktionssammenhænge kan ofte udtrykkes med regneforskrifter og repræsenteres af grafer, der kan betragtes som dynamiske objekter. En regneforskrift er karakteriseret ved, at den leverer en bestemt y-værdi, når den fodres med en bestemt x-værdi. Man kan naturligvis ikke se, at en graf er dynamisk, men i konteksten taler vi ofte om grafiske forløb, og ser for os, hvordan grafen tegnes, mens den uafhængige variable gennemløber definitionsmængden.

Øvelse 1.49 a) L igningerne: 1) x2 + y2 = 25,

2) y2 – x = 0, og

3) x3 · y – y3 · x = 9

udtrykker hver for sig variabelsammenhænge mellem x og y. Anvend dit værktøjsprogram til for hver af de tre ligninger at tegne kurver, der er bestemt af netop de punkter, der opfylder ligningerne. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette udføres i de gængse værktøjsprogrammer)

b) Regneforskrifterne: 1) f(x) = 1,5x – 2,

2) g(x) = 0,5x2 + 2x – 4, og

3) h(x) =

udtrykker, hvorledes funktionerne f, g og h afhænger af variablen x. Tegn grafer for hver af de tre funktioner. c) H vilke principielle forskelle er der mellem forløbet af kurverne i a) og forløbet af graferne i b)?

På den lange vej til det moderne funktionsbegreb skulle der løses mange problemer og overvindes mange gamle tænkemåder. I de foregående afsnit har vi arbejdet meget med de fire repræsentationsformer for variabelsammenhænge. Meget af dette har være kendt langt tilbage og er alt sammen forudsætninger for det moderne funktionsbegreb:

• De første tabeller over astronomiske observationer, hvor oldtidens astronomer eftersøgte regelmæssigheder i himmellegemernes bevægelser for 4000 år siden, repræsenterer variabelsammenhænge. • Den græske astronom og matematiker Ptolemaios udviklede for 2000 år siden komplicerede dynamiske kurver til at beskrive planeternes bevægelser. • I 1600-tallet analyserede Galilei og siden mange efter ham dynamiske bevægelser som projektilers banekurver, symbolerne går deres sejrsgang i matematikken, og Descartes lægger grunden til det moderne koordinatsystem.

Men det moderne funktionsbegreb er ikke bare summen af de fire repræsentationer, formuleret i et moderne sprog. En funktion er et mere abstrakt og mere generelt begreb:

Definition Definition:1 Funktion En funktion f fra en mængde A til en mængde B er en forskrift, der til ethvert element Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og x i A knytter præcis ét element y i mængden B. Vi skriver i så fald y = f(x) og siger, at 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til y er funktionsværdien af x. A kaldes for definitionsmængden for f, og vi skriver: (+,-). A = Dm(f )

I forlængelse heraf giver vi også en generel definition på, hvad vi forstår ved en graf:

Definition Definition:1 Grafen for en funktion f

Akserne inddeler naturligt Grafen for en funktion f erkoordinatsystemet de punkter (x,y), i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3., og 4. fra 1. til 4. er mod uret, fraf(x) (+,+) over (-,+) og (-,-) til derkvadrant. opfylder,Omløbsretningen at y = f(x). P(x,y) (+,-). Man kalder f(x) for funktionsværdien i x.

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Eksempel: Forskrift og regneforskrift En grafisk fremstilling af, hvordan ungdomsarbejdsløsheden (målt i procent) har udviklet sig måned for måned over de seneste 5 år, vil repræsentere en funktion: Mængden A svarer her til alle månederne i det angivne tidsrum. Mængden B svarer til alle procenttal fra 0 til 100. Ikke alle procenttal optræder i arbejdsløshedsstatistikken, men det er heller ikke et krav. Til et givet tidspunkt t er funktionsværdien f(t) lig med det procenttal, vi kan aflæse på grafen som y-koordinat i det punkt, der ligger lodret over tidspunktet t. Dermed har vi med grafen angivet en forskrift, som anført i definitionen. Men det er indlysende, at der ikke findes en regneforskrift her. En forskrift kan være en regneforskrift, men behøver altså ikke være det.

Eksempel: Euler og Dirichlet – det moderne funktionsbegreb vokser frem Det moderne funktionsbegreb blev udviklet i 17- og 1800-tallet. Selv om den meget produktive schweiziske matematiker Leonard Euler (1707-1783) ofte får æren, så dækkede hans funktionsbegreb ikke et eksempel som det, vi anførte ovenfor: Euler krævede at funktionsværdierne kunne beregnes ved en eller anden regneforskrift, at definitionsmængden skulle omfatte alle tal og opererede i øvrigt kun med kontinuerte funktioner, dvs. funktioner, hvis grafer er sammenhængende. Andre matematikere udvidede funktionsbegrebet ved at acceptere, at en regneforskrift kunne være en sum af uendeligt mange led. Og her opstår de første sære eksempler, idet det viser sig, at en uendelig sum af kontinuerte funktioner godt kan være diskontinuert! Men den endelige overgang til det moderne funktionsbegreb bliver først foretaget af Peter D. G. Dirichlet (1805-1859), der præsenterer en funktion, der er overalt diskontinuert:  1 når x er rational f( x) =   0 når x er irrational

Dirichlet gav i forlængelse heraf en definition, der meget ligner den, vi har givet her. Det viser sig i øvrigt, at denne mærkelige funktion, der er navngivet efter Dirichlet, faktisk kan beskrives ved en uendelig sum af pæne udtryk! Den historie fortælles i Hvad er matematik? 3, på A-niveau.

Dirichlet (1805-1859)

Beskrivende statistik

I krig med statistikken som våben: Florence Nightingale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2. 2.1 2.2 2.3

Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – prikdiagram . . . . . . . . . . . . . . Sproglig præsentation af niveauet for et datasæt – median og middeltal. . . . . . . . . . Sproglig præsentation af spredningen for et datasæt – variationsbredde og kvartilbredde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – boksplot. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Sproglig præsentation af formen for en fordeling – symmetri og outliers. . . . . . . . . . 2.6 Anvendelse af boksplot til sammenligning af datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73 77 78 80

3. 3.1 3.2 3.3 3.4

Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – histogram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Skøn over middeltal for grupperede datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – sumkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Skøn over median og kvartiler for grupperede datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4. 4.1 4.2 4.3

Kategoriske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Titanics forlis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Tabelpræsentation af et kategorisk datasæt – antalstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Grafisk præsentation af et kategorisk datasæt – cirkel- og søjlediagrammer. . . . . . . 96

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Statistik handler om indsamling af data, bearbejdning af data og fortolkning af data. Vil man undersøge fx gymnasieelevers kondital eller deres drikkevaner, sker det på grundlag af et indsamlet datamateriale. I dette kapitel vil vi bearbejde datamaterialer med brug af grafiske værktøjer som prikdiagram, boksplot, histogram og sumkurve, og vi vil fortolke datamaterialet med anvendelse af de tilhørende karakteristiske tal som middeltal og kvartilsæt, herunder specielt se på relationerne mellem middeltal og median. Undervejs diskuteres de enkelte metoders styrker og svagheder. I den internationale litteratur bruger man ofte betegnelsen Explorative Data Analysis, idet bearbejdningen af data – ikke mindst visuelt – sammenlignes med en opdagelsesrejse ind i datasættet. Rejsen begynder med en fortælling om sygeplejersken Florence Nightingale.

68 68 69

2. Beskrivende statistik

1. I krig med statistikken som våben: Florence Nightingale I 1800-tallet begyndte man i England systematisk at indsamle data om befolkningen. Man registrerede fødsler, dødsfald, ægteskaber osv., og brugen af statistik blev hurtigt en vigtig faktor i socialpolitikken. En af de første inspektører i The General Register Office (oprettet 1836) var statistikeren William Farr, der gjorde meget for at indsamle data, der kunne belyse, hvilke faktorer der havde indflydelse på befolkningens sundhedstilstand. Farr er bl.a. berømt for sine analyser af koleraepidemien i London i 1853, men også for sit samarbejde med Florence Nightingale. Florence Nightingale (1820–1910) var dybt religiøs, men også et barn af oplysningstiden. Hun troede på, at videnskaben kan hjælpe os med at forstå komplicerede sammenhænge, og dermed bidrage til at ændre verden til det bedre. Hun var en matematisk begavelse med et skarpt blik for de muligheder, som statistikken frembyder. Som Farr blev hun medlem af The Royal Statistical Society, der var blevet oprettet i 1834, bl.a. af Thomas Malthus, som vi omtalte i kapitel 1. På bogens website er der et link til Det nationale Florence Nigtingale arkiv, hvorfra materialerne i dette afsnit er hentet. Florence Nightingale var samtidig en fremragende retoriker og et politisk talent, der forstod at presse sine mærkesager igennem. Farr leverede såvel data som arbejdskraft til de statistiske analyser, Florence Nightingale havde brug for, og bad til gengæld om hendes hjælp: "…In the attempts that are now being made to improve the health of the civil population…", for som han skrev til hende: "It has been held that the world is governed by numbers…, this I know….. Numbers teach us whether the world is well or ill governed." Foranlediget af Farr kiggede hun på dødsstatistikker og blev rystet over at opdage, at engelske soldater i fredstid havde næsten dobbelt så stor sandsynlighed for at dø som tilsvarende civile. Florence Nightingale havde et klart blik for, hvor stærkt et indtryk en velvalgt grafisk fremstilling kan give, og hun fremlagde datamaterialet i et diagram, hun kaldte Lines. Bemærk, at relativ dødelighed svarer til antal dødsfald pr. 1000 unge mænd i den pågældende aldersgruppe. Samtidig mestrede hun kunsten at formulere sig nådesløst: "It is just as criminal to have a mortality of 17, 19, and 20 per thousand in the Line, Artillery and Guards in England, when that of Civil life is only 11 per 1000, as it would be to take 1100 men per annum out upon Salisbury Plain and shoot them."

Øvelse 2.1 En statistisk præsentation af et datasæt opfattes normalt som klar og nøgtern, mens en digterisk præsentation ville indeholde metaforer og andre elementer, der kunne få os til at danne billeder og dermed fortolke forfatterens hensigt. Beskriv, hvilken nøgtern information man kan uddrage af diagrammet Lines. Er der andre, måske mere digteriske virkemidler, Florence Nightingale har anvendt for at få sit budskab ud? (Hvilke ord og hvilke farver anvendes? Undersøg fx betydningen af ordet Lines).

Florence Nightingale er i historien mest kendt for sit engagement som sygeplejerske under Krimkrigen. England deltog i Krimkrigen i en koalition af stater, der ville forhindre Rusland i at udvide sit rige. Florence Nightingale opdagede på nært hold, hvor elendige forholdene var på felthospitalerne. Hun pressede det engelske parlament til at diskutere forholdene ved en høring, der kunne afdække meningsløshederne i de mange dødsfald, der ikke skyldtes drabene på slagmarken. De fuldstændigt håbløse sanitære forhold og den manglende omsorg og pleje af de tilskadekomne soldater medførte et urimeligt stort antal dødsfald blandt de indlagte soldater. Florence Nightingale indførte da en helt ny graftype til at formidle sit budskab, nemlig en form for cirkeldiagram. Hendes hensigt var, som hun selv skrev: "… to affect thro’ the Eyes what we may fail to convey to the brains of the public through their word-proof ears." De lyserøde områder repræsenter dødsfald som direkte følge af krigsskader. De lyseblå områder repræsenterer dødsfald som følge af sygdomme uden direkte tilknytning til krigen, dødsfald, der kunne være undgået, hvis soldaterne var blevet behandlet ordentligt. De sorte områder repræsenterer dødsfald som følge af andre årsager. Antallet af dødsfald er proportionalt med størrelsen/arealet af de pågældende områder. Langt de fleste dødsfald skyldtes derfor forhold, som intet havde med selve krigen at gøre. Et af de diagrammer, Florence Nightingale anvendte til at belyse dødsårsagerne i Krimkrigen.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 2.2 Beskriv diagrammet i ord, idet der søges svar på følgende spørgsmål: a) H vor mange sektorer er cirklen opdelt i? Hvordan udvikler dødsfaldene sig i løbet af krigens første år? b) H vordan kan man ud fra figuren give et skøn over forholdet mellem antal dødsfald som følge af krigsskader og antal dødsfald som følge af sygdomme uden tilknytning til krigen? c) Hvordan ville diagrammet se ud, hvis det i stedet blev tegnet som et søjlediagram? d ) Hvordan ville diagrammet se ud, hvis det i stedet blev tegnet som en graf bestående af forbundne linjestykker med tiden ud ad førsteaksen og antal dødsfald op ad andenaksen? På bogens website ligger et projekt, som går dybere ned i Florence Nightingale’s statistik.

Allerede i samtiden opstod myten om Florence Nightingale som den blide, selvudslettende, selvopofrende sygeplejerske, ”The Lady with the Lamp”, der havde viet sit liv til at lindre smerten hos de syge og nødstedte. Det var en myte, hvis betydning Florence Nightingale var fuldstændig klar over. Myten blev et af hendes allerstærkeste kort i kampen mod autoriteterne i parlamentet og hæren. De, der kendte hende på nært hold, var udmærket klar over hendes stålfaste vilje og skarpe evne til at hage sig fast og trænge igennem i offentligheden. The Lady with the Lamp. London Ilustrated

Florence Nightingale var ikke den første, der anvendte statistiske diaNews, 1854. Florence Nightingale på ingrammer til at belyse sammenhænge. Men hun var en af de første, der spektion i et felthospital under Krimkrigen. satte dem ind i en sammenhæng, hvor man kunne se konsekvenserne af den måde, samfundet behandlede sine borgere på, og det gav et velunderbygget beslutningsgrundlag for at forbedre forholdene i samfundet. Hun var derfor en tidlig eksponent for betydningen af at indsamle pålidelige data og formidle de tendenser, der lå i datamaterialet i form af velvalgte tabeller, grafer og slagfærdige formuleringer, når man ville påvirke samfundsudviklingen.

Øvelse 2.3 Ordet statistik er tæt beslægtet med ordet stat, som i nationalstat eller statsmand. Statistik var oprindeligt en betegnelse for statens indsamling af data til brug for styring af samfundet, fx folketællinger. Senere blev den fra 1800-tallet en almen betegnelse for indsamling og bearbejdning af data. a) Find på nettet eller i bøger eksempler på folketællinger i andre samfund og tidligere perioder. Fortæller kilden noget om baggrunden for de pågældende folketællinger? b) Find eksempler på, hvorledes globale organisationer i dag indsamler data. Hvilke data er der tale om, og hvad er hensigten med indsamlingerne?

2. Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale (I studieretningskapitlerne 11, 12 og 13 og i projekterne til kapitlet er der mulighed for at gennemgå stoffet med brug af andre datasæt)

2.1 Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – prikdiagram kondital alder højde træning

køn pige

27,1

151

nej

pige

47,4

169

pige

38,3

164,5

pige

39,1

173

nej

pige

27,1

169

pige

49,2

170,5

pige

38,3

168

pige

27,1

172,5

pige

34,6

165

nej

pige

36,7

162

nej

pige

34,0

163

pige

29,9

174,5

nej

13 14

pige 28,0 16 166 ja dreng 58,7 16 186 ja

dreng

37,5

185

nej

dreng

37,5

185

nej

dreng

54,2

170

dreng

47,9

175

dreng

51,4

174

dreng

35,5

173

nej

21 22

dreng 47,9 17 177 nej dreng 61,7 16 190 ja

dreng

56,0

172

dreng

35,5

176

nej

dreng

37,5

186

nej

N år vi indsamler data ud fra observationer fx indhenter svar på spørgeskemaer eller lignende, skelner vi mellem kategoriske og numeriske variable. Vi vil i det følgende beskrive, hvorledes man kan skabe sig overblik over og præsentere et datamateriale ved at gennemgå et større eksempel. I en 1.g-klasse med 25 elever, der har idræt og matematik i et samarbejdsprojekt om sundhed, har man indsamlet en lang række data om elevernes sundhedstilstand. Tabellen kan hentes på bogens website. V i kan se, at tabellen indeholder den kategoriske variabel køn (pige eller dreng), og den kategoriske variabel træning (går du regelmæssigt til træning? Ja eller nej). Endvidere indeholder tabellen tre numeriske variable, kondital, alder og højde. Her vil vi fokusere på den numeriske variabel kondital. D et kan være svært at få et indtryk af konditallenes fordeling ud fra tabellen. Derfor foretages først en sortering efter størrelse i stigende rækkefølge fra det mindste kondital til det største. Det resulterer i rækkefølgen nedenfor.

27.1

28.0

29.9

34.0

34.6

35.5

36.7

37.5

38.3

39.1

47.4

47.9

49.2

51.4

54.2

56.0

58.7

61.7

Det mindste kondital (minimum) er altså 27.1, og det største kondital (maksimum) er 61.7. For at få et visuelt indtryk af fordelingen præsenterer vi dernæst datasættet grafisk. Da der er tale om en numerisk variabel med talværdier, kan vi afsætte observationerne som prikker langs en talakse. Derved fremkommer prikdiagrammet for fordelingen af kondital:

kondital

2. Beskrivende statistik

Vi ser da, at observationerne falder i tre grupper: En lille gruppe mellem 25 og 30, en større gruppe mellem 34 og 40 og endelig en langstrakt gruppe fra 47 og helt ud til den maksimale værdi på 61.7.

2.2 Sproglig præsentation af niveauet for et datasæt – median og middeltal Prikdiagrammet rummer al den information, der er i datasættet. Det er mere overskueligt end tabellen, men det er Ikke så velegnet, hvis vi ønsker at give en kort sproglig beskrivelse af, hvordan det står til med klassens kondital. En sådan beskrivelse skal udtrykke noget karakteristisk om, hvilket niveau klassens kondital er på. Hvis et enkelt tal skal beskrive niveauet for klassens kondital, så bør denne værdi afbalancere datasættet, dvs. i en eller anden forstand bør der ligge lige så meget på den ene side af denne værdi som på den anden side. Observationerne skal altså ligge symmetrisk omkring den værdi, der i ét tal kan udtrykke klassens kondital. Der findes to forskellige karakteristiske tal, der hver på sin måde lever op til dette krav.

Definition: Median og middeltal Ved medianen for et datasæt forstår vi den midterste observation. Hvis der er et lige antal observationer udregnes medianen som gennemsnittet af de to midterste observationer. Ved middeltallet eller gennemsnittet for et datasæt forstår vi det tal m, som ville give samme samlede sum, hvis alle konditallene blev erstattet af denne værdi m.

Eksempel: Median og middeltal for et datasæt Ved at opstille konditallene i rækkefølge ser vi, at den midterste observation er 37.5, idet der er 12 observationer under medianen og 12 observationer over medianen. 27.1

27.1

28.0

29.9

34.0

34.6

35.5

36.7

37.5

49.2

51.4

54.2

56.0

58.7

61.7

37.5 38.3

38.3

39.1

47.4

47.9

Konklusion: Medianen = den midterste observation = 37.5. Middeltallet m skal opfylde, at: 25 ⋅ m = 27.1 + ⋅⋅⋅ + 61.7 m=

27.1 + ⋅⋅⋅ + 61.7 = 40.724 25

Konklusion: Middeltallet = 40.724.

Anvender vi prikdiagrammet, får vi følgende grafiske fremstilling: Medianen

Kondital

Medianen (gul) splitter datasættet i to lige store delsæt med 12 observationer (blå) til venstre for medianen og 12 observationer (røde) til højre for medianen. Middeltallet

Kondital

Middeltallet splitter datasættet i to ulige store delsæt med 16 observationer (blå) til venstre for middeltallet og 9 observationer (røde) til højre for middeltallet. Men de 9 observationer ligger længere væk fra middeltallet, så tilsammen vægter de lige så meget som de 16 observationer, der ligger til venstre. Vi siger at fordelingen er højreskæv med en lang hale af observationer til højre. Det er disse forholdsvis store kondital, der trækker gennemsnittet i vejret i forhold til medianen.

Eksempel: Middeltallet som balancepunkt for afstandene (især for A-niveau) Den følgende udregning kan gennemføres helt tilsvarende for ethvert datasæt. Ud fra definitionen er middeltallet m bestemt som det tal, der opfylder:

25 ⋅ m = 27,1 + 27,1 + ... + 58, 7 + 61, 7 m + m + ... + m = 27,1 + 27,1 + ... + 58, 7 + 61, 7

Vi flytter nu alle tal, der er mindre end m, over på venstre side og parrer dem hver for sig sammen med et m. Resten af m’erne flyttes over på højre side: ( m − 27,1) + ( m − 27,1) + ... + ( m − 39,1) = ( 47, 4 − m) + ( 47, 9 − m) + ... + (61, 7 − m)

Alle parenteser repræsenterer nu afstanden fra en observation hen til middeltallet. Ligningen siger, at summen af afstandene fra de observationer, der ligger til venstre for middeltallet, er lig med summen af afstandene fra de observationer, der ligger til højre for middeltallet. Da denne udregning kunne gennemføres for ethvert datasæt, er konklusionen generel: Middeltallet er balancepunktet for afstandene til observationerne.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 2.4 a) K onstruer et datasæt med 4 elementer, hvor minimum er 2, medianen er 4 og maksimum er 7. Hvad bliver middeltallet for dette datasæt? b) K onstruer et datasæt med 4 elementer, hvor minimum er 2, middeltallet er 4 og maksimum er 7. Hvad bliver medianen for dette datasæt?

Øvelse 2.5 a) Bestem middeltallet for det følgende datasæt: {1,1,2,5,6}. b) Bestem afstandene mellem de enkelte data og middeltallet. c) Kontroller, at middeltallet er balancepunktet for afstandene.

Øvelse 2.6 Nogle værktøjsprogrammer tillader, at man trækker i et datapunkt i prikdiagrammet. Andre tillader, at man indfører en skyder for en af værdierne i datasættet. a) F remstil et prikdiagram for konditallet, hvor den maksimale observation kan flyttes (dynamisk). b) T ilføj medianen og middeltallet til prikdiagrammet. 1. Træk den maksimale observation tættere på resten af observationerne, og beskriv, hvad der sker med medianen, henholdsvis middeltallet. 2. Træk nu den maksimale observation i modsat retning, og beskriv igen, hvad der sker med medianen, henholdsvis middeltallet. Hvori består forskellen på de to situationer?

Praxis: Om brugen af median eller middeltal til at beskrive niveauet for et datasæt Hvis observationerne er sammenlignelige eller ligger nogenlunde symmetrisk med en stor klump af data i midten, vil vi normalt foretrække middeltallet. Det kan eksempelvis være tilfældet med målinger af faldtider, temperaturer eller lignende i et laboratorium. Hvis observationerne derimod ligger skævt, vil vi normalt foretrække medianen. Det kan eksempelvis være tilfældet, når der er tale om en indkomstfordeling med nogle få meget rige personer og mange fattige personer. Medianen er mindre påvirkelig over for fejlmålinger og atypiske data end middeltallet. En enkelt værdi, der ligger langt udenfor de andre, vil påvirke middeltallet meget, men ikke påvirke medianen. Vi siger derfor, at medianen er robust.

Øvelse 2.7 Bestem median og middeltallet for følgende to datasæt: a) {1,2,3,4,5,6,7,8,9} b) {1,2,3,4,5,6,7,100,1000} Kommenter resultatet.

Øvelse 2.8 a) K onstruer et datasæt med 10 tal, hvor det er fornuftigt at bruge middeltallet som mål for niveauet. b) K onstruer et datasæt med 10 tal, hvor det ikke er fornuftigt at bruge middeltallet som mål for niveauet, og hvor medianen beskriver niveauet bedre.

Øvelse 2.9 En klasse skal i forbindelse med et projekt have målt deres hvilepuls. Der er 6 drenge i klassen. Drengenes hvilepuls fremgår af følgende datasæt: {65,62,73,58,31,69}. a) K ommenter dette datasæt, og foreslå, hvordan du ville arbejde videre med rapporten. b) Hvilken indflydelse har dit forslag på medianen? Og på middeltallet?

Eksempel: Fattigdomsbegrebet Man skelner mellem forskellige slags fattigdomsbegreber. Her vil vi især se på absolut fattigdom og relativ fattigdom. Du kan via bogens website finde en uddybet redegørelse for disse begreber, hentet fra et studieretningskapitel på B-niveau om fagligt samarbejde mellem matematik-samfundsfag. Når man vil definere absolut fattigdom, går man ud fra en minimumsstandard for indkomst, under hvilken man ikke kan dække de mest fundamentale eksistensbehov. I FN opererer man fx med grænsen ’en dollar om dagen’ for, hvornår man er fattig i et uland. Når man vil definere relativ fattigdom, ser man i stedet på, hvor indkomsten ligger i forhold til den typiske indkomst i samfundet. Den typiske indkomst defineres som medianindkomsten. I OECD definerer man fx fattigdom som en indkomst, der er mindre end 50% af medianindkomsten. I et samfund med stor ulighed vil der derfor være mange fattige. Her er der tale om social fattigdom, idet de pågældende – og ikke mindst deres børn – ligger i fare for at blive udstødt socialt, eftersom de ikke kan opretholde et typisk livsmønster.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 2.10 a) K onstruer et datasæt med 12 indkomster, som du regner med er repræsentative for borgerne i fx København. b) B estem fattigdomsgrænsen for det pågældende datasæt i henhold til OECD’s fattigdomsdefinition.

Øvelse 2.11 (især for B- og A-niveau) Vi ser på indkomsterne i en bestemt befolkningsgruppe. a) H vad sker der med medianen, hvis alle indkomster bliver dobbelt så store? Tre gange så store? b) F ormuler en regel for dette i ord. Oversæt reglen til en formel, idet der indføres passende variable. c) H vad sker der med fattigdomsgrænsen, hvis alle indkomster (og dermed købekraften) bliver dobbelt så store? d) Hvad sker der med antallet af fattige, hvis alle indkomster bliver fordoblet?

2.3 S proglig præsentation af spredningen for et datasæt – variationsbredde og kvartilbredde Der går naturligvis megen information tabt, når man beskriver et helt datasæt med én karakteristisk værdi, som fx median eller middeltal. Eksempelvis kan vidt forskellige datasæt have samme median eller samme middeltal.

Øvelse 2.12 Bestem middeltallet og medianen for følgende to datasæt: a) {10,20,20,30,70,80,80,90} b) {45,45,50,50,50,55,55} Kommenter resultatet.

For at give en mere fyldig og nuanceret sproglig beskrivelse af et datasæt indføres derfor to yderligere begreber. Dels de karakteristiske tal 1. og 3. kvartil. Og dels begreber, der kan beskrive spredningen af datasættet.

Definition: 1. og 3. kvartil Ved datasættets 1. kvartil Q1 (eller den nedre kvartil) forstås medianen for den del af datasættet, der ligger til venstre for medianen. Ved datasættets 3. kvartil Q3 (eller den øvre kvartil) forstås medianen for den del af datasættet, der ligger til højre for medianen.

Definition: Mål for spredning af et datasæt Ved variationsbredden for et datasæt forstås tallet: maksimum – minimum Ved kvartilbredden for et datasæt forstås tallet: Q3 – Q1

Medianen kaldes af og til for 2. kvartil og betegnes m eller Q2. Talsættet bestående af 1., 2., og 3. kvartil kaldes for kvartilsættet.

Eksempel: Kvartilsættet for et datasæt I vores eksempel med kondital er der 25 elever. Vi skal bestemme nedre og øvre kvartil og splitter datasættet i to halvdele, nemlig dem, der går forud for medianen, og dem der følger efter medianen: 27.1

27.1

28.0

29.9

38.3 38.3

39.1

47.4

47.9

34.0

34.6

35.5

36.7

37.5

49.2

51.4

54.2

56.0

58.7

61.7

37.5 47.9

Der er derfor 12 observationer i hver halvdel. Den nedre kvartil er medianen for den halvdel af tallene, der er mindre end medianen, og den øvre kvartil er medianen for den halvdel af tallene, der er større end medianen. Da vi her har et lige antal observationer, bliver disse to tal udregnet som gennemsnit af de midterste værdier: 27.1

27.1

28.0

29.9

34.0 34.6

35.5

36.7

37.5

51.4

54.2

56.0

58.7

61.7

34.3 37.5 38.3

38.3

39.1

47.4

47.9

47.9 49.2 48.55

Den nedre kvartil er altså 34.3 og den øvre kvartil er 48.55.

2. Beskrivende statistik

Vi inddrager igen prikdiagrammet og afsætter kvartilsættet. Af og til betegnes maksimum og minimum som 0. kvartil og 4. kvartil, og disse tal har vi også markeret: Minimum = 0. kvartil

1. kvartil

Median = 2. kvartil

Maksimum = 4. kvartil

3. kvartil

Kondital

Datasættet er hermed opdelt i fire delsæt. Hvert delsæt indeholder mindst 4 af observationerne, dvs. mindst 6 observationer, idet nogle indeholder flere, fordi nogle af observationerne ligger præcist på grænsen mellem to områder og derfor tælles med begge steder. Den nederste fjerdedel af målingerne indeholder således 6 observationer, den næste fjerdedel af målingerne indeholder 7 observationer, den næste fjerdedel indeholder hele 9 observationer, mens den øverste indeholder 6 observationer. Bemærkning: Den ovenstående opdeling af datasættet i to lige store halvdele beror på en konvention. Vi kunne også have valgt at tælle medianen med i begge halvdele. Forskellige værktøjsprogrammer bruger forskellige konventioner omkring definitionen af første og tredje kvartil.

Øvelse 2.13 Find ud af, hvilken konvention dit værktøjsprogram anvender ved at bestemme kvartilsættet for datasættene: {1,2,3,4,5}

{1,2,3,4,5,6}

{1,2,3,4,5,6,7}

{1,2,3,4,5,6,7,8}

Når vi har fastlagt kvartilerne, vil intervallet fra den nedre kvartil til den øvre kvartil indeholde (mindst) halvdelen af datasættets elementer. På prikdiagrammet har vi angivet kvartilbredden, der netop er bredden af dette interval: 1. kvartil

Kvartilbredden

3. kvartil

Kondital

I eksemplet med kondital fås således: Kvartilbredde = Q3 – Q1 = 48,55 – 34,3 = 14,25

Øvelse 2.14 Hvad er forskellen på definitionen af den første kvartil og definitionen på fattigdomsgrænsen, vi gav i eksemplet side 78 i afsnit 2.2?

Øvelse 2.15 a) Bestem kvartilerne for datasættet {1, 1, 2, 5, 6}. b) Hvad bliver kvartilbredden?

Øvelse 2.16 a) K onstruer et datasæt med 6 elementer, hvor minimum = 1, nedre kvartil = 2, median = 5, øvre kvartil = 9 og maksimum = 12. b) Hvilken værdi har middeltallet?

Øvelse 2.17 (især for A-niveau) Hvor mange elementer må der mindst ligge i kvartilintervallet [Q1,Q3 ], hvis et datasæt indeholder 5 elementer? 6 elementer? 7 elementer? 8 elementer? Hvilken konklusion vil du drage?

Praxis: Det udvidede kvartilsæt eller 5-punkts-opsummeringen De karakteristiske tal i en sproglig beskrivelse af datasættet er det udvidede kvartilsæt. I eksemplet med kondital er dette: minimum = 27,1, første kvartil = 34,3, median = 37,5, tredje kvartil = 48,55 maksimum = 61,7 Disse tal kaldes også for 5-punkts-opsummeringen af datasættet. Disse statistiske nøgletal er en væsentlig del af den såkaldte enkeltvariabelstatistik, der er indbygget i mange værktøjsprogrammer.

Øvelse 2.18 På bogens website ligger en vejledning til, hvordan værktøjsprogrammerne kan udføre enkeltvariabelstatistik og dermed udregne det udvidede kvartilsæt og middeltallet på én gang. a) I ndtast listerne fra øvelse 2.12, og benyt et værktøjsprogram til at bestemme det udvidede kvartilsæt samt middeltallet. b) B enyt et værktøjsprogram til at bestemme det udvidede kvartilsæt samt middeltallet for datasættet med kondital.

2. Beskrivende statistik

Praxis: Om brugen af variationsbredde og kvartilbredde Hvis data er jævnt fordelt, er variationsbredden et rimeligt mål for spredningen af data. Men hvis datamaterialet har tendens til at klumpe sammen i midten, er den robuste kvartilbredde et bedre bud på spredningen af data.

Bemærkning: I slutningen af dette afsnit, på side 90-91, præsenteres det mere avancerede spredningsbegreb, som anvendes i sandsynlighedsregning og i den statistik, der bygger på sandsynlighedsregning.

2.4 Grafisk præsentation af et numerisk datamateriale – boksplot Det udvidede kvartilsæt kan også anvendes i en særlig grafisk fremstilling af datasættet, som vi kalder boksplot. Et boksplot tegnes ud fra det udvidede kvartilsæt: Q1

Min.

Median

Maks.

Kondital

Boksplottet giver i ét blik en visuel information om såvel niveauet for konditallet (repræsenteret ved medianen) som konditallets spredning i form af kvartilbredden, som jo netop er længden af kvartilboksen (”kassen”). Boksen indeholder altid (mindst) halvdelen af observationerne. På bogens website ligger en vejledning til, hvordan værktøjsprogrammerne tegner boksplot. Det er valgfrit, om boksplottet tegnes lodret eller vandret.

Øvelse 2.19 På figuren ses et boksplot for en karakterfordeling.

Karakterer

a) Aflæs kvartilsættet, og bestem kvartilbredden. b) H vordan ville datasættet se ud, hvis vi ydermere får oplyst, at der er 8 karakterer i datasættet?

Øvelse 2.20

(især for A-niveau)

Et karaktersæt for en klasse med 17 elever har det udvidede kvartilsæt: minimum = 02, nedre kvartil = 4, median = 7, øvre kvartil = 10, maksimum = 12 a) Hvad er den mindst mulige værdi for gennemsnitskarakteren, dvs. middeltallet? b) Hvad er den størst mulige værdi for gennemsnitskarakteren, dvs. middeltallet?

2.5 Sproglig præsentation af formen for en fordeling – symmetri og outliers Et boksplot kan give et godt fingerpeg om, hvorvidt fordelingen er symmetrisk eller asymmetrisk. I tilfældet med konditallet er det fx tydeligt, at såvel den højre halvdel af kvartilboksen som den højre hale er meget større end den venstre halvdel af kvartilboksen henholdsvis den venstre hale. Fordelingen er altså tydeligt højreskæv. Billedet er imidlertid ikke altid så klart. Fx kan den højre halvdel af kvartilboksen være større end den venstre halvdel, mens den venstre hale måske samtidig er længere end den højre hale. Man får derfor et bedre mål for fordelingens symmetri eller mangel på samme ved at inddrage middelværdien. Hvis middelværdien er større end medianen, betyder det, at den halvdel af observationerne, der ligger over medianen, vejer tungere – ligger længere væk – end den halvdel af observationerne, der ligger under medianen. Det giver anledning til følgende:

Definition: Højreskæv og venstreskæv En fordeling med en middelværdi, der ligger tydeligt over medianen, kaldes højreskæv, mens en fordeling med en middelværdi, der ligger tydeligt under medianen, kaldes venstreskæv. Som et mål for skævheden bruges forskellen mellem middeltallet og medianen.

Middeltal Q1

Min.

Median

Maks.

Kondital

2. Beskrivende statistik

Øvelse 2.21 a) K onstruer et datasæt på 9 tal, der er symmetrisk omkring værdien 5, idet to tal siges at ligge symmetrisk omkring 5, hvis de ligger lige langt fra 5 på hver sin side af 5. b) H vad bliver medianen henholdsvis middeltallet for dette datasæt? Formuler i ord en regel for median og middeltal for symmetriske datasæt. c) K onstruer et datasæt med 6 elementer, der har fælles median og middeltal, men som ikke er symmetrisk omkring denne fælles værdi.

Styrken ved et boksplot (evt. suppleret med en middelværdi) er, at det giver en god oversigt over fordelingen. Svagheden er, at det skjuler mange detaljer, da vi jo ikke kan se selve observationerne i boksplottet, og derfor ikke kan se, om de fx samler sig i tydelige klumper med tydelige huller imellem. Boksplottet fortæller altså ikke så meget om, hvad der fx foregår inde i kvartilboksen. Boksplottet giver dog mulighed for at sætte et særligt fokus på fjerntliggende observationer langt ude i halerne. Hvis observationerne ligger tilstrækkelig langt fra den centrale boks, skilles de normalt ud som enkeltobservationer. Sådanne observationer betegner vi med det engelske ord outliers (på dansk: perifere observationer).

Definition: Outliers Ved outliers forstår vi observationer, som ligger mere end halvanden kvartilbredde væk fra enten øvre eller nedre kvartil (dvs. fra kvartilboksen).

I eksemplet med kondital er outliers observationer, der ligger mindst 1,5 · 14,25 = 21,375 væk fra kvartilboksen, dvs. enten 21,375 under første kvartil eller 21,375 over tredje kvartil. Det er der imidlertid ingen af observationerne, der gør. I denne klasse er der derfor ingen outliers (ingen perifere kondital).

Øvelse 2.22 Vend tilbage til datasættet for drengenes hvilepuls i øvelse 2.10, {65,62,73,58,31,69}. Er observationen 31 en outlier?

Øvelse 2.23 Et datasæt har kvartilsættet: nedre kvartil = 5, median = 8, øvre kvartil = 13. Hvor lille skal minimumsværdien være, for at den er en outlier? Hvor stor skal den største værdi være, for at den er en outlier?

I nogle undersøgelser vil man vælge at se bort fra outliers og vedtage, at sådanne målinger er udtryk for måleusikkerhed eller deciderede fejl i målingerne. Man skal dog altid være varsom med at fjerne målinger. Det klassiske eksempel på en grov fejltagelse er den manglende opdagelse af ozonhullet, hvor de alarmerende data blev fjernet automatisk af satellitten i 1980’erne, fordi de afveg alt for meget fra det forventede.

Halley Ozon målestation på Antarktis.

2.6 Anvendelse af boksplot til sammenligning af datasæt Boksplot har deres store styrke når vi ønsker at sammenligne forskellige datasæt. I eksemplet med kondital indgik også den kategoriske variabel: elevens køn. Vi opdeler nu datasættet efter piger og drenge og tegner, som vist på figuren nedenfor, særskilte boksplot for hvert køn for at sammenligne dem. Dreng

Pige

Kondital

Øvelse 2.24 a) T egn selv de to boksplot ved først at bestemme det udvidede kvartilsæt for drenge og for piger. b) Bestem middeltallet for henholdsvis drenge og piger. Boksplottet giver i ét blik et visuelt indtryk af den markante forskel på konditallene for piger og drenge.

Praxis: Sproglig beskrivelse af grafisk præsentation Når vi skal give en sproglig beskrivelse af denne grafiske præsentation, koncentrerer vi os normalt først om niveauet i de to datasæt. Har vi selv konstrueret boksplottet, kender vi jo datasættet og kan inddrage middeltallet, men er det et boksplot, vi får forelagt, har vi kun mulighed for at anvende medianen som mål for niveauet. Dernæst ser vi på spredningen i datasættet ud fra kvartilbredden og halerne, herunder eventuelle outliers. Endelig kan vi se på formen for fordelingen, hvor vi kan inddrage symmetri eller mangel på samme.

2. Beskrivende statistik

Eksempel: Sproglig beskrivelse af en sammenligning af to boksplot Drengenes niveau ligger et godt stykke over pigernes niveau, idet drengenes median er 47,9 og pigernes er 34,6. Faktisk er de to kvartilbokse tæt på at være helt adskilte. Drengenes kvartilboks ligger over pigernes median, pigernes kvartilboks ligger under drengenes median, idet drengenes nedre kvartil er 37,5, og pigernes øvre kvartil er 38,7. Det betyder, at mens mindst 75% af drengene har et kondital på 37,5 eller mere, har mindst 75% af pigerne et kondital på 38,7 eller mindre. Vi ser endvidere, at drengenes boks er noget længere end pigernes, hvilket betyder, at drengenes kondital ligger mere spredt end pigernes. Som mål for spredningen kan vi bruge kvartilbredden, og denne er for drengene: 55,1 – 37,5 = 17,6 , mens kvartilbredden for pigerne er: 38,7 – 27,55 = 11,15. Maksimum og minimum for drengene er henholdsvis 61,7 og 35,5. Der er ikke tale om outliers, da 1,5 · kvartilbredden = 1,5 · 17,6 = 26,4. Så outliers ville have kondital under 37,5 – 26,4 = 11,1 eller over 55,1 + 26,4 = 81,5. For pigerne er maksimum og minimum henholdsvis 49,2 og 27,1, og der er heller ikke tale om outliers, da vi her har: 1,5 · kvartilbredden = 1,5 · 11,15 = 16,725. Så outliers hos pigerne ville være kondital under 27,55 – 16,725 = 11,825 og over 38,7 + 16,725 = 55,425. Vi kan ikke umiddelbart besvare spørgsmål om skævhed uden at kende middeltallet. Men det gør vi heldigvis i dette tilfælde. Vi kan konkludere, at drengenes datasæt er en anelse venstreskævt, da middeltallet ligger under medianen, og omvendt for pigerne. Men tallene ligger så tæt, at der ikke er grundlag for at konkludere noget afgørende om skævhed. Drenge

Piger

Middeltal

Kondital

Forklaringen på de store niveauforskelle er naturligvis, at drenge har en kropsbygning, som favoriserer et højere kondital, så selv om piger og drenge træner lige meget, vil drengens kondital som regel ligge et stykke over pigernes.

Øvelse 2.25 Foretag en tilsvarende opdeling af talmaterialet efter den kategoriske variable træning. Sammenlign de to datasæt, der her fremkommer, ved hjælp af boksplot, og giv en sproglig konklusion som i eksemplet.

Eksempel: Spredningsmål knyttet til middelværdien for et datasæt De to statistiske deskriptorer median og middeltal har hver sine styrker og svagheder, når vi ønsker at angive niveauet for et datasæt. Det har vi beskrevet i en praxisbox på side 79 (Om brugen af median eller middeltal til at beskrive niveauet for et dataset). Men uanset hvilket af de to tal, vi vælger, så har vi også understreget, at ét tal alene kun kan fange niveauet, og ikke kan fange den karakteristiske fordeling af de pågældende observationer. I øvelse 2.12 så vi eksempelvis, at de to datasæt:

A = {10, 20, 20, 30, 70, 80, 80, 90}

B = {45, 45, 50, 50, 50, 55, 55}

begge har middeltal og median lig med 50. Men enhver kan jo se, de er meget forskellige. For at supplere medianen indførte vi deskriptorerne 1. og 3. kvartil, og sammen med dem et karakteristisk mål for hvor spredte observationerne ligger omkring medianen, nemlig kvartilbredden. Kvartilsættene for de to datasæt er her: og

(20,50,80) med kvartilbredde: 80 – 20 = 60 (45,50,55) med kvartilbredde: 55 – 45 = 10

Tilsvarende suppleres middelværdien med et spredningsmål. Dette er lidt mere kompliceret at bestemme, men heldigvis har værktøjsprogrammerne indbyggede kommandoer, der kan give os disse tal. Det mål, der på dansk kaldes spredning er lig med kvadratroden af det gennemsnitlige afstandskvadrat mellem observationerne og middelværdien. Lad os først beregne det for A og B, og dernæst definere det generelt: sprædning (A) = spredning ( A) =

(10 − 50) + (20 − 50) + (20 − 50) + (30 − 50) + (70 − 50) + (80 − 50) + (80 − 50) + (90 − 50) = 30,82 8

sprædning (B) = spredning ( B) =

(45 − 50) + (45 − 50) + (50 − 50) + (50 − 50) + (50 − 50) + (55 − 50) + (55 − 50) = 3,78 7

Du kan på bogens website finde en vejledning i anvendelsen af værktøjsprogrammerne til disse beregninger.

2. Beskrivende statistik

I det datamateriale, vi har arbejdet med i afsnit 2, indgik blandt andet drengenes højder: Drengehøjder = {186, 185, 185, 170, 175, 174, 173, 177, 190, 172, 176, 186} Prøv nu selv at bestemme middelværdi og spredning på dette datasæt. Du skal få middelværdi = 179,08 og spredning = 6,53. Udfør en grafisk illustration af dette, fx med brug af et pindediagram, hvori du afsætter middelværdien samt de to værdier: middelværdi – spredning og middelværdi + spredning. Kommenter, hvad du ser.

Eksempel: Standardafvigelsen knyttet til middelværdien for en stikprøve Når vi arbejder med observationer i form af datasæt, så skelner vi ofte imellem, om datasættet udgør ”hele populationen”, eller om datasættet er en stikprøve, der måske kan bruges til at sige noget om en større population. I eksemplet ovenfor udgør drengene hele populationen. Men hvis vi i et naturvidenskabeligt forsøg ønsker at bestemme en værdi for tyngdeaccelerationen, eller temperaturen under et bestemt kemisk forsøg, så kan vi opfatte vores datasæt som stikprøver, hvor vi i virkeligheden er interesseret i den ”sande værdi”. Der findes jo en bestemt værdi for tyngdeaccelerationen, uanset hvad vi måler. Vores målinger er en tilnærmelse til den ”sande værdi”, og har vi mange målinger, er det rimeligt at sige, at middelværdien af alle målingerne er et fornuftigt estimat af den ”sande værdi”. I et bestemt eksperiment har et hold opdelt i 8 grupper forsøgt at bestemme tyngdeaccelerationen, g, ved at måle på pendulsvingninger, idet g indgår i formlen for sammenhængen mellem svingningstid og pendullængden. Resultaterne var følgende:

G = {9,73, 9,84, 9,79, 9,77, 9,83, 9,80, 9,91, 9,86}

Regn selv med! Vi bestemmer middelværdien: middel(G) = 9,816 Dette er nu vores estimat for den sande værdi af tyngdeaccelerationen. Beregningen suppleres som før med at bestemme et mål for, hvor spredte vores målinger ligger. Men med stikprøver er der nu en enkelt detalje, der skal justeres i beregningen. Vi har lagt en binding på dataværdierne, idet vi selv har beregnet den middelværdi, der indgår i beregningen af spredningen. Derfor skal vi for stikprøver ikke dividere med antallet, her 8, men med 1 mindre end antallet, dvs. 7 i dette tilfælde. Dette spredningsmål har fået sit eget navn: Standardafvigelsen (engelsk: Standard Deviation): Standardafvigelse Standardafvigelse (G) = (G) = 2

(9,73 − 9,816) + (9,84 − 9,816) + (9,79 − 9,816) + (9,77 − 9,816) + (9,83 − 9,816) + (9,80 − 9,816) + (9,91 − 9,816) + (9,86 − 9,816)

Værktøjsprogrammerne kan også bestemme dette tal: Du skal få 0,056.

Vi sammenfatter i følgende:

Praxis: Spredning og standartafvigelse

Har vi givet et datasæt, {y1, y2, ..., yn }, der kan betragtes som hele den population, vi arbejder med, så suppleres middeltallet, y med spredningen, s, i beskrivelsen af datasættet. Spredningen, der beregnes af værktøjsprogrammet, har formlen: s=

( y1 − y ) + ( y2 − y ) + ... + ( yn − y ) n

Har vi givet et datasæt, der kan betragtes som en stikprøve af en større population, og hvor vi er interesseret i at bestemme den større populations ”sande middelværdi” µ, så opfatter vi y som et estimat for µ, og middeltallet suppleres med standardafvigelsen σ i beskrivelsen af datasættet. Standardafvigelsen, der beregnes af værktøjsprogrammet, har formlen:

σ=

( y1 − y ) + ( y2 − y ) + ... + ( yn − y ) n−1

Vi anvender således følgende symboler: Datasættets middeltal: y. Den sande middelværdi: µ. Den empiriske spredning: s. Standardafvigelsen: σ.

Eksempel: Tukeys eksperimenterende analyse af data Boksplot blev første gang introduceret af den amerikanske statistiker John Tukey i bogen Exploratory Data Analysis fra 1977. Tukey gik nye veje med sin eksperimenterende og meget direkte tilgang til håndtering af datamaterialer. Et karakteristisk citat, der viser hans holdning til statistik, er følgende: "Exploratory data analysis is an attitude, a flexibility, and a reliance on display, NOT a bundle of techniques, and should be so taught." Teknikkerne, Tukey indførte, som fx boksplottet, udmærker sig ved at være lettilgængelige, også uden støtte af computer. Men Tukey havde også et klart blik for, at den stadig større maskinkraft og de stadig billigere computere samtidig gav helt nye muligheder for fx simulering. Det er også Tukey, der er ophavsmand til ord som bit og software. Du kan på bogens website læse mere om Tukey.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 2.26

Gå på opdagelse i autentiske datasæt

Data fra nogle af videnskabshistoriens store opdagelser er tilgængelige, så man selv kan gå opdagelse i disse. a) I projekt 2.6, Lysets hastighed kan man læse historien om og dykke ned i Michelsens og Newcombes data fra 1882, hvor de uafhængigt af hinanden bestemte lysets hastighed. b) I projekt 2.7, Densiteten af kvælstof, kan man dykke ned i Lord Rayleighs data fra 1892. I arbejdet med at bestemme densiteten af kvælstof afslørede hans data, at der var en skjult variabel: Rayleigh havde fundet et nyt grundstof, ædelgassen argon.

Øvelse 2.27

Spredningen for de autentiske datasæt

Vælg ét eller begge datasæt fra øvelse 2.26, og giv en karakteristik af, hvilken af de to situationer der er beskrevet i praxisboksen, der er i spil i disse forsøg. Beregn med dit værktøjsprogram det relevante spredningsmål.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver til afsnit 2.

3. Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt 3.1 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – histogram Når man henter store datamaterialer fx fra Danmarks Statistik, vil de normalt være grupperede, og man har ofte slet ikke adgang til de oprindelige data. Som et eksempel på behandling af et større datamateriale ser vi på følgende tabel fra kriminalitetsstatistikken over aldersfordelingen for de danskere, der i 2001 var ofre for en kriminel handling (tabellen kan hentes via bogens website): Ofrets alder (interval)

0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59 60-69

70-79

80-

Antal (hyppighed)

419

8176

10553

7175

5452

4274

1995

1399

2475

Intervallerne skal forstås således: Er man 19 år, og blot 1 time fra at fylde 20, placeres man i intervallet 10-19. Da intervallet går lige til skæringspunktet 20, vil vi tillade os at sige, at intervallets højre endepunkt er 20. Andre gange kan inddelingen være angivet således: 0-10, 10-20, 20-30, …. Denne inddeling skal forstås på samme måde som forklaret ovenfor. Ofte vil vi få et bedre overblik over datamaterialet ved at omregne antal til procent.

Øvelse 2.28 Kopier tabellen ind i dit værktøjsprogram. a) Udnyt programmets muligheder til at finde summen 41918: Ofrets alder (interval) Antal

(hyppighed)

0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59 60-69

70-79

80-

419

8176

10553

7175

5452

4274

1995

1399

2475

i alt 41918

b) Opret en ny række med procent: Procent (frekvens)

25,2

100

Procenttallet 25,2 er fremkommet på følgende måde: 10553 ⋅ 100 = 25, 2 41918 c) U dnyt nu programmets muligheder til at udfylde den nederste række, og kontroller at summen af procenterne giver 100.

Praxis: Betegnelser vedrørende grupperede datasæt Når vi arbejder med grupperede datasæt, er vi i nogle situationer mest interesserede i hvor mange, der er i hvert interval, dvs. antallet er i fokus. I andre situationer er vi mest interesserede i den andel, der er i hvert interval, dvs. procentandelen er i fokus. Antallet kaldes i andre lærebøger for hyppigheden eller intervalhyppigheden. På engelsk kaldes antal for frequency. Procentandelen kaldes i andre lærebøger for frekvensen. På engelsk kaldes procentandelen for relative frequency.

2. Beskrivende statistik

En anden mulighed er at præsentere datasættet i form af et histogram, hvor vi opretter en søjle svarende til antallet af observationer i det pågældende interval eller til den procentandel af observationerne, der ligger i intervallet. Intervallerne har typisk samme bredde. Histogrammets udseende afhænger meget af, hvordan intervallerne fastlægges.

Praxis: Tegning af et histogram histogram tegnes i et koordinatsystem, hvor dataværdierne er afsat på • Et første-aksen. • Histogrammet består af søjler, tegnet over hvert af de intervaller, som datasættet er grupperet i. • Søjlens bredde bør svare til bredden af det underliggende interval. • Intervalbredden skal så vidt muligt være den samme i alle intervaller. • Intervalhøjden repræsenterer antallet af observationer i det pågældende interval eller, hvis man regner i procent, andelen af observationer i intervallet.

På bogens website ligger en vejledning i tegning af histogrammer, både ud fra en intervalsortering og ud fra givne procenttal. Vi tegner nu histogrammet for datamaterialet både ud fra antal og ud fra procent, hvor førstaksen i begge tilfælde er inddelt efter ofrets alder med delestreger svarende til intervalgrænserne 0, 10, 20, ... . Vi vedtager, at øvre grænse placeres, så intervallet får samme bredde som de øvrige: Histogram på basis af antal

Histogram på basis af procent

Antal

10000

25%

8000

20%

6000

15%

4000

10%

2000

0 0

20 30 40 50 60 70 80 90 Alder

Vi ser fx, at ca. en fjerdedel af ofrene tilhører aldersgruppen 20-29 år, som også er den aldersgruppe, der rummer de fleste ofre.

Øvelse 2.29 a) Konstruer selv de to diagrammer. b) I hvilket interval må medianen befinde sig?

Øvelse 2.30 I tabellen til højre finder du data for herrernes løbetider i Copenhagen Marathon 2009. a) O pstil datamaterialet i en tabel som i øvelse 2.27, og udregn procenttallene. b) K onstruer histogrammerne for dette grupperede datasæt. I hvilket interval befinder medianen sig? På bogens website findes et projekt, som behandler datamaterialet fra Copenhagen Marathon 2009.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Løbetider 2:00 – 2:30 2:30 – 3:00 3:00 – 3:30 3:30 – 4:00 4:00 – 4:30 4:30 – 5:00 5:00 – 5.30 5:30 – 6:00 6:00 – 6:30 6:30 – 7:00

Antal 5 215 1399 2648 1575 662 164 52 7 1

3.2 Skøn over middeltal for grupperede datasæt I afsnit 2 ovenfor beskrev vi niveauet for et datasæt ved hjælp af de to karakteristiske værdier, middeltallet og medianen. Det samme ville vi gerne kunne gøre med store datasæt, hvor materialet er præsenteret i form af grupperede observationer. Da vi ikke kender den eksakte fordeling i eksemplet med kriminalitetsstatistikken, kan vi ikke lave en præcis udregning. Men vi kan komme med et kvalificeret skøn, da vi trods alt ved en hel del om aldersfordelingen. Et sådant skøn bygger på nogle antagelser. Når vi skal danne os et skøn over middeltallet for ofrenes alder, vil vi således antage, at alderen for ofrene i en bestemt aldersgruppe, fx gruppen 20-29, er spredt jævnt ud over hele intervallet, dvs. de ligger symmetrisk omkring midtpunktet i aldersgruppeintervallet, som her er 25. Der er altså lige så mange over midtpunktet 25, som der er under. Når vi udregner middeltallet (den gennemsnitlige alder), svarer det samlede bidrag fra denne aldersgruppe derfor til, at alle havde alderen 25. Tilsvarende med de andre aldersgrupper. Bidraget til den samlede sum svarer til, at alle i den første gruppe havde alderen 5, i den næste 15 osv. For den sidste aldersgruppe har vi et problem, idet der ikke er sat nogen øverste grænse for alderen. Det nemmeste er da at antage, at den spænder over aldersgruppen fra 80 til 90, og at der kun er så få ofre over 90, at det ikke har nogen nævneværdig indflydelse på resultatet.

2. Beskrivende statistik

Vi finder da følgende: den samlede alder for ofrene i 2001 = 5·419 + … + 85·1399 = 1549510

(I)

Ovenfor fandt vi, at det samlede antal ofre var 41918. Skønnet for middelalderen er derfor: Den samlede alder 1549510 = ≈ 37, 0 år (II) r Det samlede antal 41918 Dette skøn ændres ikke afgørende, selv om midtpunktet for den sidste uafsluttede aldersgruppe fx flyttes til 90. Den gennemsnitlige alder for en person, der er udsat for kriminalitet, er altså 37 år.

Øvelse 2.31 I antalstabellen erstattes intervallerne med midtpunktet, vi sletter rækken med antal og tilføjer en ny række, hvor procenterne er omregnet til decimaltal. Så har vi følgende tabel over sammenhørende værdier for intervalmidtpunkter og procenter: Interval midtpunkt

i alt

Procent (frekvens)

1,0

19,5

25,2

17,1

13,0

10,2

5,9

4,8

3,3

100

0,01

0,20

0,25

0,17

0,13

0,10

0,06

0,05 0,03

Procent som decimaltal

a) Udnyt værktøjsprogrammets muligheder til at udregne tallet: 5 ⋅ 0, 01 + 15 ⋅ 0, 20 + 25 ⋅ 0, 25 + ... + 85 ⋅ 0, 03 b) A rgumenter for, at denne udregning svarer til den samlede udregning af (I) og (II) ovenfor. c) U ndersøg om dit værktøjsprogram har en indbygget kommando til beregning af middeltallet. d) Argumenter for, at formlen i den følgende definition giver samme resultat som den udregning, vi beskrev ovenfor.

Definition: Middeltallet for grupperede observationer Middeltallet for et datasæt, der er givet som grupperede observationer inddelt i k intervaller, udregnes som et vægtet gennemsnit af intervalmidtpunkterne, dvs. ud fra følgende formel:

m = M1 · f1 + M2 · f2 + ... + Mk · fk ,

hvor M’erne er midtpunkterne i intervallerne, og f’erne er procentandelene i de enkelte intervaller, skrevet som decimaltal. f’erne kan opfattes som vægte. Vægtet gennemsnit kældes også for Vejet gennemsnit.

Øvelse 2.32 iv et skøn over herrernes gennemsnitsløbetid i Copenhagen Marathon 2009 (data G findes i øvelse 2.29).

3.3 Grafisk præsentation af grupperede datasæt – sumkurve Skal vi danne os et skøn over, hvordan observationerne som helhed fordeler sig i aldersintervallerne, er det for groft at samle observationerne i midtpunkterne for de enkelte aldersgrupper. Her skal vi i stedet udnytte antagelsen om, at observationerne inden for de enkelte aldersgrupper er jævnt fordelt. Vi udbygger nu tabellen over kriminalitetsstatistikken (fra øvelse 2.30) dels med en række bestående af de højre intervalendepunkter, dels med en række bestående af de såkaldte kumulerede procenter (af og til betegnet kumulerede frekvenser). 0-9

10-19

20-29

30-39

40-49

50-59

60-69

70-79

80-

Højre endepunkt

Antal (hyppighed)

419

8176

10553

7175

5452

4274

2475

1995

1399

41918

Procent (frekvens)

1,0

19,5

25,2

17,1

13,0

10,2

5,9

4,8

3,3

100

Kumuleret procent

1,0

20,5

45,7

62,8

75,8

86,0

91,9

96,7

100,0

Ofrets alder (interval)

i alt

Kumuleret betyder opsummeret. Tallet 20,5 fremkommer som 1,0 + 19,5. Tallet 45,7 fremkommer som 20,5 + 25,2 osv. Kontroller selv de øvrige.

Øvelse 2.33 Konstruer en tabel som ovenstående i dit værktøjsprogram. Omregningen fra antal til procent samt fra procent til kumuleret procent gennemføres ved at udnytte programmets muligheder.

Vi ser da, at den nedre kvartil (25%) ligger et sted i den tredje aldersgruppe fra 20-29 år, medianen (50 %) ligger et sted i den fjerde aldersgruppe fra 30-39 år, mens den øvre kvartil (75%) ligger et sted i den femte aldersgruppe fra 40-49 år. Kvartilsættet kan mere nøjagtigt bestemmes på tre måder: 1. Grafisk ved hjælp en sumkurve. 2. A nvendelse af værktøjsprogrammets indbyggede metoder, se vejledningen på bogens website. 3. O pstilling og løsning af en ligning. Dette behandles i et projekt om sumkurver som funktionsudtryk, som du kan tilgå via bogens website.

2. Beskrivende statistik

Definition: Sumkurven for grupperede observationer Sumkurven for et grupperet datasæt fremkommer ved først at afsætte de sammenhørende værdier af højre intervalendepunkt (1. koordinat) og de kumulerede procenter (2. koordinat) og dernæst at forbinde punkterne med rette linjestykker. Kurven tegnes ud fra det punkt på 1.-aksen, hvor vi har det første venstre intervalendepunkt.

Øvelse 2.34

a) A rgumenter vha. sumkurven for, at 33% blandt ofrene er yngre end 25 år. b) B estem vha. sumkurven, hvor stor en andel af ofrene, der er over 45 år.

Kumuleret fordeling for ofrenes aldersfordeling Kumuleret procent

Konstruer i et værktøjsprogram sumkurven som en graf for den kumulerede procent som funktion af alderen. Læg mærke til, at vi har tilføjet begyndelsespunktet (0,0%). Læg også mærke til, at sumkurven er stejlest, dvs. har størst hældning, i aldersgruppen fra 20 til 30 år. Dette svarer til den højeste søjle i histogrammet.

100 80 Sumkurve 60 (30,45.7)

40 20 0

90 Alder

Øvelse 2.35 Omregn tabellen over løbetider ved herrernes maratonløb Copenhagen Marathon 2009 (data findes i øvelse 2.30) til også at omfatte procenter og kumulerede procenter. a) K onstruer sumkurven for løbetiderne ved at afsætte den kumulerede procent som funktion af løbetiden. Benyt sumkurven til at besvare følgende spørgsmål: b) Hvor hurtigt løber de hurtigste 10% af løberne? c) H vor stor en procentdel af løberne gennemløber maratonløbet på under 3 timer og 15 minutter? d) For hvilket tidsinterval er sumkurven stejlest? e) Hvad fortæller dette om fordelingen af løbetider?

3.4 Skøn over median og kvartiler for grupperede datasæt

Kumuleret procent

Kumuleret fordeling for ofrenes aldersfordeling 100

Sumkurve

75% (49.3,75.0)

50 % (32.5,50.0)

25% (21.8,25.0)

20 0

På sumkurven kan vi også gå baglæns, dvs. gå fra andenaksen til førsteaksen, dvs. fra kumuleret procent til den uafhængige variabel, der er i spil. Dette udnyttes til at bestemme et kvartilsæt for grupperede datasæt. I vores eksempel med kriminalitetsstatistikken gøres det som vist på figuren.

80 90 Alder

Vi aflæser, at nedre kvartil = 21,8 , median = 32,5 og øvre kvartil = 49,3

Vi kan aflæse kvartilerne, dvs. den alder, der svarer til en kumuleret procent på 25 (nedre kvartil), den alder, der svarer til en kumuleret procent på 50 (medianen), og den alder, der svarer til en kumuleret procent på 75 (øvre kvartil). Betydningen af nedre kvartil er: Mindst 25% af voldsofrene er under 22 år. Betydningen af øvre kvartil er: Mindst 25% af voldsofrene er over 49 år.

De fleste værktøjsprogrammer tegner sumkurver, beregner og markerer grafisk kvartilsættet i én procedure, jfr vejledningen, der blev henvist til ovenfor. Undersøg dit eget program! Dermed har vi rådighed over alle fem statistiske nøgletal, der udgør det udvidede kvartilsæt, og kunne nu også skitsere et boksplot for aldersfordelingen. I dette tilfælde har vi imidlertid også histogrammet til rådighed, og vi foretrækker normalt at kommentere et grupperet datasæts fordeling ud fra histogram og middeltal sammen med sumkurve og kvartilsæt. Boksplot reserveres normalt til brug for situationer, hvor vi har adgang til de rå og ikke-intervalsorterede data. Det skyldes, at vi gennem en intervalsortering mister noget af den information, der er indeholdt i de rå data. Vi så af histogrammet, at fordelingen af de grupperede observationer er tydeligt højreskæv. Dette er i overensstemmelse med, at middelalderen på 37,0 år er noget større end medianalderen på 32,5 år. I dette tilfælde vil det derfor nok være fornuftigst at anføre medianen som den typiske alder for et offer for kriminalitet.

Øvelse 2.36 a) B estem på tilsvarende måde kvartilsættet for herrernes maratonløb Copenhagen Marathon 2009 (data findes i øvelse 2.29). b) I nddrag middeltallet og kommenter fordelingen.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver til afsnit 3.

2. Beskrivende statistik

4. Kategoriske variable 4.1 Titanics forlis Titanic blev bygget i begyndelsen af det 20. århundrede i årene før 1. verdenskrig. Det var sin tids teknologiske vidunder og blev regnet for usynkeligt. Skibet kan sammenlignes med rumfærgerne, der repræsenterede den teknologiske triumf i slutningen af det 20. århundrede. Titanic blev bygget til at krydse verdenshavet med kurs mod den nye verden, der om noget dengang repræsenterede menneskets evige ”frontierbevægelse”, rejsen mod ukendte horisonter for at opdage og opdyrke nyt land. På samme måde kom rumfærgernes færd gennem verdensrummet i deres tid til at symbolisere en ny ”frontier-bevægelse”, med drømmen om opdagelse af nye verdener derude. På bogens website findes et projekt, der omhandler Challenger-rumfærgens katastrofale endeligt. I dette afsnit vil vi opholde os ved Titanic og de mange ofre ved skibets undergang. itanic satte ud på sin jomfrurejse over Atlanterhavet 11. april T 1912 med kurs mod New York. I Cherbourg i Nordfrankrig var verdens rigeste mand, John Astor, gået om bord, og i Queenstown i Irland var en gruppe fattige irske immigranter kommet med som de sidste af de i alt 2223 passagerer og besætningsmedlemmer. Skibet modtog en del meldinger om drivis og isbjerge i farvandet, men er man kaptajn på et usynkeligt skib, er det nok ikke så bekymrende. Sent om aftenen 14. april spotter udkigsmanden et gigantisk isbjerg på vej mod skibet og slår alarm. Trods forsøg på at slå bak og ændre kurs, så rammes skibet under et minut senere, og isbjerget flænser et hul i skroget under vandlinjen i en længde på næsten en tredjedel af skibet.

Titanics rute frem til det skæbnesvangre møde med isbjerget.

Der er næsten helt vindstille, og der sendes straks SOS. Man begynder at gøre redningsbådene klar, men der er kun kapacitet til knap halvdelen af de ombordværende. Et par timer efter isbjerget ramte, har skibet taget så meget vand ind, at stævnen er under vand, og agterstavnen har rejst sig. Herefter går det stærkt, Titanic brækker over og forsvinder i dybet.

Forliset har dannet grundlag for talrige bøger, film, sange og andre kunstværker, måske fordi Titanics forlis kom til at symbolisere den verden, der gik under med 1. verdenskrig. I kølvandet på forliset er der opstået mange myter og fortællinger om, hvad der skete, hvem der døde, og hvem der blev reddet. Om bord på Titanic var der 1324 passagerer og 899 besætningsmedlemmer, i alt 2223. Alle data fra passagerlisterne er tilgængelige og kan hentes via bogens website. Vi vil i det følgende analysere disse data, i første omgang med fokus på to kategoriske variable: 1) S tatus, der kan antage værdierne Første, Anden eller Tredje (klasse). 2) Skæbne, der kan antage værdierne Overlevede eller Omkom. Disse to variable er typiske eksempler på kategoriske variable.

Uddrag af dataliste for passagererne om bord på Titanic.

4.2 Tabelpræsentation af et kategorisk datasæt – antalstabeller Når data foreligger som kategoriske variable, præsenteres de typisk i form af antalstabeller (også kaldet hyppighedstabeller eller frekvenstabeller). Med to variable vil der være tale om en krydstabel – i traditionelle regneark kaldes de også for pivottabeller. Her ses fx krydstabellen for de to variable Status og Skæbne: Status\Skæbne

Overlevede

Omkom

Første

199

130

Anden

119

166

Tredje

174

536

Ønsker du selv at arbejde med de rå og ikke intervalsorterede data, kan du hente den samlede liste på bogens website.

2. Beskrivende statistik

Øvelse 2.37 Vi arbejder videre med de sorterede data. Kopier tabellen ind i et regneark, og udnyt regnearkets muligheder til at beregne følgende: a) D et samlede antal passagerer, der overlevede henholdsvis omkom (søjletotaler). b) D et samlede antal passagerer, der rejste på første klasse, anden klasse og tredje klasse (rækketotaler). c) Det samlede antal passagerer alt i alt (tabelsum). Vi kan også omdanne antalstabellen til en procenttabel. Her er der to muligheder – enten regner man i søjle- eller også regner man i rækkeprocenter. Status\Skæbne

Overlevede

Omkom

I alt

Første klasse

40,4

15,6

24,8

Anden klasse

24,2

20,0

21,5

Tredje klasse

35,4

64,4

53,6

I alt

100

Hvis vi vælger at regne i søjleprocenter, får vi en procenttabel, som vist ovenfor. Som eksempel på beregning, ser vi på andelen af overlevende på første klasse. Der var 199 passagerer på første klasse, der overlevede, ud af i alt 492 overlevende passagerer. Omregnet til procent giver det:

199 ⋅ 100 = 40, 4% 492

Øvelse 2.38 Fremstil en procenttabel, hvor det er rækkeprocenterne, der udregnes.

Øvelse 2.39 Besvar ud fra procenttabellen med rækkeprocenter følgende spørgsmål: a) H vor stor var risikoen for at omkomme, hvis det var helt tilfældigt hvem der blev reddet? b) Hvor stor var risikoen på tredje klasse? c) Hvor stor var risikoen på anden klasse? d) Hvor stor var risikoen på første klasse?

4.3 Grafisk præsentation af et kategorisk datasæt – cirkel- og søjlediagrammer Antalstabellen er en præcis måde at repræsentere data på, men den er ikke særlig visuel. Derfor er det naturligt at vælge en anden repræsentationsform, når vi går på opdagelse i data. Vi vælger at illustrere procentfordelingen efter Skæbne, så vi kan finde ud af, hvordan de overlevende passagerer fordeler sig på de tre klasser og tilsvarende for de omkomne passagerer. I første omgang illustrerer vi dette ved at konstruere cirkeldiagrammer, fordi disse netop viser procentfordelingerne. Procentfordeling for de omkomne ved Titanics forlis

Procentfordeling for de overlevende ved Titanics forlis

2. klasse 1. klasse 1. klasse 3. klasse 536 tilfælde (64,4%)

2. klasse 3. klasse 174 tilfælde (35,4%)

Øvelse 2.40 Konstruer cirkeldiagrammer svarende til de ovenstående i dit regneark, og kommenter forskellen mellem de to cirkeldiagrammer.

Øvelse 2.41 Hvis overlevelseschancen var uafhængig af, hvilken klasse man rejste på, burde hver af de to procentfordelinger følge procentfordelingen for det samlede passagertal på de tre klasser. a) Konstruer cirkeldiagrammet for denne samlede procentfordeling. b) U ndersøg om overlevelseschancen synes at være afhængig af, hvilken klasse passageren rejste på.

En anden mulighed er at illustrere antalstabeller som søjlediagrammer. Et søjlediagram kan i sit udseende minde om et histogram. Men den vandrette akse er ikke en almindelig talakse. Den vandrette akse anvendes til at præsentere de kategoriske variable med en passende systematik. Søjlerne, der repræsenterer antallet i pågældende kategori, står her som fritstående søjler. Det vil ofte være helt meningsløst at tale om, at de grænser op til hinanden, som det typisk er tilfældet med intervallerne ved histogrammer. Hvad skulle det fx betyde, hvis kategorierne dreng og pige grænsede op til hinanden?

2. Beskrivende statistik

Søjlernes højde repræsenterer enten absolutte tal eller procenttal. Som vi så under emnet histogrammer er formen af det enkelte diagram det samme i de to tilfælde. Men hvis søjlediagrammerne bygger på de absolutte tal og ikke procenttallene, kan det dog være sværere at sammenligne to diagrammer. Antalsfordeling for de omkomne ved Titanics forlis

160

400

120

300

200

100

174 tilfælde (35,4%)

200

536 tilfælde (64,4%)

500

Antalsfordeling for de overlevende ved Titanics forlis

1. klasse

2. klasse

3. klasse

1. klasse

2. klasse

3. klasse

Øvelse 2.42 a) K onstruer ovenstående søjlediagrammer i dit regneark, og diskuter, hvad skalaerne betyder for vores første opfattelse af antallet af overlevende og antallet af omkomne. b) K onstruer skalaerne, så det er muligt ved første øjekast at foretage en reel sammenligning af passagerernes Skæbne afhængigt af deres Status, da den utænkelige ulykke alligevel indtraf.

Øvelse 2.43 Mange regneark har andre typer søjlediagrammer til afbildning af antalstabeller, såsom grupperede søjler eller stablede søjler. Undersøg, om dit værktøjsprogram har sådanne muligheder, og kommenter fordele og ulemper ved de andre typer søjlediagrammer.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver til afsnit 5.

5. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 2. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

Procent og rentesregning

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Tunnelen under Storebælt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Tidligere planer for en fast forbindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Storebæltsforbindelsens tekniske data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Geologiske forhold ved boringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Sten i moræneleret under Storebælt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 En matematisk modellering ud fra rå data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

2. 2.1 2.2 2.3

Procentregning og kapitalfremskrivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Sådan regnes med procent og indekstal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 n Eksempler på anvendelse af formlen K = K0 · (1 + r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Sådan regnes med logaritmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

3. Potenser og potensregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.1 Udvidelse af potensbegrebet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4. Summer af potensrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 4.1 Uendelige summer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.

Opsparingsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Gældsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Amortisationstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Anlægsøkonomien i etableringen af den faste forbindelse over Storebælt. . . . . . 133

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

I kapitel 1 studerede vi lineær vækst, der er karakteriseret ved følgende sammenhæng mellem den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y: Når x vokser med 1, så vokser (eller aftager) y med et bestemt tal a. For en bestemt lineær sammenhæng ligger dette a-tal fast. Tilvæksten er den samme, uanset hvad udgangspunktet er. Derfor kaldes denne vækstform også for absolut vækst. I dette og det følgende kapitel vil vi studere %-vækst, der er karakteriseret ved følgende sammenhæng mellem den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y: Når x vokser med 1, så vokser (eller aftager) y med et bestemt procentdel r. For en bestemt %-vækst ligger procentdelen r fast. Men tilvæksten beregnes ud fra den y-værdi, vi allerede har opnået, så tilvæksten ændrer sig. Derfor kaldes denne vækstform også for relativ vækst. Relativ og absolut vækst indgår i en modelleringsøvelse i tilknytning til den indledende fortælling om tunnelen under Storebælt.

3. Procent og rentesregning

1. Tunnelen under Storebælt Den faste forbindelse over Storebælt tager vi i dag som en selvfølge. Den har afkortet rejsetider og bundet landet sammen, så det fx er blevet normalt at pendle mellem Odense og København. Det giver den enkelte større frihed. Samtidig viser alle økonomiske analyser, at der kan hentes store samfundsøkonomiske gevinster ved at investere i infrastruktur, så mennesker og varer kan transporteres hurtigere og billigere rundt. Selv om det kan lyde af lidt, så kan der være store gevinster i at korte en rejsetid mellem de store byer i Danmark ned med fx 1 time.

1.1 Tidligere planer for en fast forbindelse Drømmen om en fast forbindelse over Lillebælt og Storebælt er gammel. Helt tilbage i december 1855 diskuterede Folketinget et forslag om en jernbane over Fyn til Jylland. Oberst Anton Tscherning førte ordet og foreslog, at jernbanen blev ført i en tunnel under Storebælt og ad en hængebro over Lillebælt. Tscherning havde været krigsminister i optakten til og under første del af treårskrigen 1848-50, og han havde her erfaret, hvor dårligt forberedt landet var på en sådan konflikt om Slesvig og Holstens tilhørsforhold. Den tidligere krigsminister ville sikre, at militæret kunne komme frem på alle tider af året, også når bælterne frøs til. Det var før krigen mod Preussen og nederlaget i 1864, på et tidspunkt af Danmarkshistorien hvor forestillingen om Danmark som en betydelig militær magt i Europa stadig herskede i nogle kredse. Tschernings forslag vandt dog ikke tilslutning - i datiden betegnede man projektet som temmelig urealistisk.

Oberst Anton Tscherning 1795-1874

Forslaget var både dristigt og forbløffende fremsynet – det samlede jernbanenet inden for kongerigets grænser bestod af to strækninger: Kiel–Altona, etableret i 1844, og København–Roskilde, etableret i 1847. Helt urealistisk var det heller ikke: Hængebroer havde været bygget i England siden 1820, og her havde man også bygget en tunnel under Themsen. Desuden havde man generelt i Europa en århundredelang erfaring med at bygge minegange. Men Tscherning fik ingen politisk opbakning til sine forslag. Da man i 1865 endelig har fået etableret jernbanen tværs over Fyn, drøfter man igen forbindelsen over bælterne, men nu er der fokus på færgeforbindelserne.

Den første jernbanefærge over Storebælt 1883.

De enkelte jernebanestrækninger er imidlertid privatejede på dette tidspunkt, og da disse selskaber ikke kan ikke blive enige, trækker det ud med at realisere ideen om at indsætte dampfærger med plads til jernbanevogne. Det sker først i 1883, da staten overtager strækningerne over Sjælland og over Fyn og etablerer DSB. Ideen om en fast forbindelse blev taget op igen først i 1900-tallet. Hovedformålet var nu at sikre eksporten af landbrugsvarer til England, også i de kolde isvintre. Det var især smøreksporten, der gav problemer, fordi smørret ikke kunne lagres ret længe, før det blev harskt. Det var muligt at sætte isbrydere ind i Kattegat og Skagerrak for at bane søvejen for skibene til England, men tanken opstod om at bygge en tunnel under Storebælt, så smørret kunne transporteres med tog gennem tunnelen under Storebælt, videre gennem en tunnel under Lillebælt og udskibes i Esbjerg. Som sidegevinster blev inddraget, at tunnelen også ville forkorte folks rejsetid og ikke mindst være til gavn for militærets troppetransporter. Planerne blev udarbejdet i mange detaljer af en landinspektør Ohrt: Tunnelbunden skulle bygges 20 meter under havbunden og gå fra Halsskov til Knudshoved med tunnelskakter på Sprogø. Fra kyst til kyst ville dens længde være på 17,5 km, og landstykkerne ville være på 1 km – så hele tunnelen blev 18,5 km lang. Der skulle bygges ét eller to tunnelrør fra fire arbejdssteder; to på Sprogø, ét i Halsskov og ét på Knudshoved. Til at mure tunnelen skulle der bruges 250 millioner hårdt brændte mursten. Det vil svare til 15 gange så mange sten, som der blev brugt til at bygge Københavns rådhus. Murstenene skulle produceres på danske teglværker, så landets betalingsbalance også fik gavn af projektet. Granit eller armeret beton kunne også bruges, men granitten og jernet til betonen skulle købes i udlandet, og så ville pengene jo gå ud af landet.

Øvelse 3.1

Ohrts plan og de 250 mio. mursten

Vi kender ikke de beregninger, der ligger til grund for estimatet på 250 mio. mursten. Men lad os prøve selv. Vi antager, at der skal bygges to rør, hver med en diameter på 5 meter. Længden er 18,5 km eller 18500 m. Overfladearealet af en cylinder er π · d · l, hvor d er diameter og l er længden. a) V is, at det samlede overfladeareal (i enheden m2) af de to cylindriske rør er: 5,81 · 105 m2. Vi antager, at tunnelen som minimum opbygges som et hus, dvs. med to vægge, der er bundet sammen. Det samlede overfladeareal bliver således det dobbelte: 1,16 · 106 m2. En murstens dimensioner, inkl. mørtel, er: 7 x 24 x 12, hvor dimensionen er cm. Når man bygger en murstensmur, lægges nogle sten med længdesiden ud, andre med endefladen ud. Der er flere måder, den vekslen kan foregå på – prøv selv at se efter på murstensflader, hvor du bor. Lad os her antage, at muren bygges med 1 række lagt

100

3. Procent og rentesregning

med længdesiden ud efterfulgt af en række lagt med endefladen ud, dvs. tre sten har et overfladeareal på 0,0336, hvor dimensionen er m2. b) V is, at dette estimat giver et antal mursten på ca. 100 mio. (Ved et husbyggeri er tværstenene med til at binde de to vægge sammen, men vi regner her med, at to vægge er det dobbelte af en). c) H vor mange sten ville det kræve, hvis der skulle bygges med ikke to, men tre lag murværk? (Hint: Lav en genvej i beregningen, ved at se på, hvor mange gange større 3 er end 2). d) Hvor mange sten ville det kræve, hvis diameteren ikke var 5, men 6? (Hint: Lav en genvej i beregningen ved at se på, hvor mange gange større 6 er end 5). e) Hvad er din samlede konklusion på landinspektør Ohrts estimat?

Ikke mindre end 1500 arbejdere ville der være brug for til det store tunnelprojekt. De skulle arbejde i treholds skift á 8 timer, så der blev arbejdet i alle døgnets 24 timer. Hr. Ohrt regnede med, at det ville tage ca. 4-5 år at bygge tunnelen. Til sammenligning tog det syv år og fire måneder at bore den otte kilometer lange Storebæltstunnel, som vi har i dag. Arbejderne skulle grave de løse jordmasser ud, sætte afstivningstømmer op og mure mursten ind i tunnelen. Der skulle etableres midlertidig maskinkraft til at producere el til lys og luft til ventilation, når de arbejdede inde i tunnelen. Også Ohrts forslag blev stemplet som urealistisk. Du kan læse mere om de tidlige ideer og projekter på bogens website. Med den økonomiske krise i 30’erne fik ideerne nyt liv. I alle lande blev der sat fokus på trafikinvesteringer som en faktor, der både kunne skabe mange arbejdspladser og binde Plakat af Aage Rasmussen. økonomien bedre sammen. Med en udbygget infrastruktur kan varer transporteres med færre omkostninger, og arbejdspladsen behøver ikke være lige, hvor man bor. I USA under Roosevelts New Deal anlægges de første motorveje i 1930’erne. Og i Danmark etableres endelig den faste forbindelse over Lillebælt i 1935. Det er en ingeniørmæssig bedrift – du kan på bogens website se en film om, hvorledes de store bropiller blev støbt midt ude i Lillebælts stærke strøm. Året efter, i 1936, fremlægger de tre store ingeniørfirmaer Højgaard & Schultz, Christiani & Nielsen og Kampsax et omfattende motorvejs- og broprojekt, der kom til at sætte dagsordenen for debatten om trafikplanlægning i Danmark i årtierne derefter. Det er en utrolig visionær plan, der indeholder bygning af en Øresundsforbindelse, en Storebæltsforbindelse og et landsdækkende motorvejsnet.

101

Man kunne læse en detaljeret præsentation af planen i en artikel i ingeniørernes blad – artiklen kan hentes i sin helhed på websitet. En egentlig planlægning efter disse linjer tager dog først form sidst i 1950’erne.

I juni 1997 åbnede togforbindelsen gennem tunnelen og over Vestbroen, og i samme måned året efter kunne biler køre fra Sjælland til Fyn over Østbroen og Vestbroen.

Under krigen og i de første år efter var der en række hårde isvintre. Det var medvirkende til, at en bro over Storebælt igen kom på dagsordenen. I 195060´erne barslede flere kommissioner med betænkninger om en broforbindelse. I juni 1973 vedtog et flertal i Folketinget en kombineret broløsning. Statsstyrelsen ”Statsbroen Store Bælt” blev oprettet og påbegyndte projekteringsarbejdet i 1977. Men allerede i 1978 blev broprojektet udskudt. I 1986 var der igen politisk flertal for at indgå en ny aftale om anlæg af en fast forbindelse over Storebælt, og året efter blev A/S Storebælt dannet. Trafikminister H. P. Clausen tog det første spadestik i 1988. Historien om Storebæltsbroens tilblivelse er beskrevet i Dansk Vejhistorisk Tidsskrift og kan læses på bogens website.

1.2 Storebæltsforbindelsens tekniske data Den samlede strækning over Storebælt er ca. 18 km. Broforbindelsen består af: Vestbroen på ca. 6,6 km, der er en fælles bro for både tog og motorvej. Østbroen på ca. 6,8 km, heraf det lange frie spænd på 1624 meter mellem de gigantiske pyloner der med deres 254 meter er blevet et vartegn for hele Storebæltsforbindelsen. Midt på denne motorvejsbro er man 65 meter over havet. Tunnelen på ca. 8 km, heraf 7412 meter boret tunnel. Jernbanetunnelen går under Østerrenden mellem Halsskov på Sjælland og Sprogø. Den består af to parallelt løbende tunnelrør, hvert med ét jernbanespor. Rørene har en indvendig diameter på 7,7 m og en indbyrdes afstand på 25 m. For hver ca. 250 m er de to rør forbundet med tværtunneler, der har en indvendig diameter på 4,5 m. Tværtunnelerne tjener dels til installation af elektrisk udstyr, dels som nødudgange i tilfælde af toguheld.

102

3. Procent og rentesregning

Boringen af de to tunnelrør blev foretaget med fire tunnelboremaskiner, hvoraf to arbejdede fra Sprogøsiden og to fra Halsskovsiden. Forrest i tunnelboremaskinerne sad ca. 1000 t tunge borehoveder, der bestod af et stålskjold med en diameter på 8,5 m og en længde på 10 m. De borede tunneller har således en diameter på 8,5 m. Det dybeste sted midt inde i tunnelen er 75 meter under havoverfladen. Tunnelen ligger hele vejen mellem 10 og 40 meter under havbunden. Der blev anvendt 200.000 m3 beton og 19 000 ton armeringsstål til foring og sikring af tunnelen.

Øvelse 3.2

Hældningen i tunnelrørene

Beregn ud fra de givne oplysninger hældningen i tunnelrørene. (Antag til dine beregninger, at strækningen fra Sprogø og til det laveste punkt, samt fra det laveste punkt og til Halsskov, kan modelleres med rette linjestykker).

1.3 Geologiske forhold ved boringen Danmark er skabt i kridttiden og tertiærtiden for 70-50 millioner år siden af rester af små dyr, der levede i havet dengang. Landhævninger har siden fået Danmark til at dukke frem, og igennem de forskellige istider er enorme gletsjere gledet hen over landet og har skabt det bakkede landskab, vi kender. Isen har bl.a. skuret de dybe render ud i Storebælt, der gør, at meget store skibe og olieboreplatforme kan gå gennem bæltet og ind i Østersøen. Istidernes gletsjere rodede voldsomt rundt i undergrunden og førte en masse materiale med sig. De geologiske lag, man skulle bore igennem, havde man ikke et præcist billede af, men man vidste fra andre boringer, at der øverst ligger et lag moræneler, der kan være fyldt af store sten og klippeblokke, som gletsjerne har ført med sig fra Skandinaviens urfjeld. Under det ligger en kalkart fra tertiærtiden, der kaldes Kertemindemergel, og som er forholdsvis blød og ensartet. Det er igennem moræneleret og denne kalk, at tunnelen skulle bores. Derunder igen ligger den hårde kalk fra kridttiden, som gør de geologiske forhold meget stabile.

103

Øvelse 3.3

Hvor store mængder skal graves ud og fjernes?

a) Benyt oplysningerne i det indledende materiale om tunnellernes dimensioner til at bestemme, hvor mange kubikmeter materiale, der skal bortgraves. b) M an har udregnet, at 52 % af det materiale, der skal bortgraves, er moræneler. Hvor mange kubikmeter moræneler skal bortskaffes?

1.4 Sten i moræneleret under Storebælt En af de store bekymringer, som entreprenørerne havde forud for boringen, var, om man ville støde på mange meget store granitsten, de såkaldte vandreblokke. Nogle af disse kan veje 1000 tons. Hvis en boremaskine støder på en sådan sten, kan det forsinke borearbejdet betydeligt. For at bore igennem de store granitsten skal man først fryse jorden omkring stenen, så den fremstår som en massiv blok, som man derefter borer igennem, ligesom når man borer igennem et bjerg. Men også sten af mere almindelig størrelse – fx med diameter på 0,5-2 meter – kan skabe problemer og forsinkelser. Entreprenørerne vidste godt, at moræneleret indeholder mange store sten, men de havde ikke noget særlig præcist billede af det. For at danne sig et skøn over hvor mange og hvor store sten, man kunne forvente at støde på under boringen, undersøgte man på forhånd nogle klinter langs Storebælt. Inden man lavede disse undersøgelser, hvor man blandt andet talte sten, havde Geoteknisk Institut lavet et skøn over, hvor mange og hvor store sten, man måtte forvente at støde på ved boringen. Dette skøn fremgår af følgende skema: Stenens diameter målt i meter (x) Antal sten i 100.000 m3 moræneler, der har en diameter over x

0,5

0,6

0,8

1,0

1,2

1,5

2,0

1000

500

170

Herefter gik entreprenørerne i gang med at undersøge forskellige lokaliteter. Resultaterne fra undersøgelserne ved Digerbanke: Stenens diameter målt i meter (x)

0,3

0,5

0,6

0,8

1,0

1,2

1,5

Antal sten i 100.000 m3 moræneler, wder har en diameter over x

250

100

Resultaterne fra undersøgelserne ved Kruseminde: Stenens diameter målt i meter (x) 3

Antal sten i 100.000 m moræneler, der har en diameter over x

0,3

0,5

0,6

0,8

1,0

1,2

1,5

700

280

160

Resultaterne fra undersøgelserne ved Reersø:

104

Stenens diameter målt i meter (x)

0,5

0,6

0,8

1,0

1,2

1,5

2,0

Antal sten i 100.000 m3 moræneler, der har en diameter over x

900

600

250

100

3. Procent og rentesregning

Øvelse 3.4

Matematisk modellering – lineære modeller

Boringen ved Reersø – Lineær model 1000

a) Lav en grafisk fremstilling af hvert af de fire datasæt.

800

b) U dfør lineær regression for hver af de 4 datasæt. For Reersø skal du få et grafisk bilede, der ligner det, du ser til højre.

600 400

De andre datasæt giver tilsvarende billeder.

200

De lineære modeller er åbenlyst dårlige modeller. 0

0,5

1,5

Hvilke andre modeller har vi i værktøjskassen? Vi vælger to typer og prøver dem af, selv om vi endnu ikke kender disse modeller.

Øvelse 3.5

Matematisk modellering – eksponentielle og potensmodeller

a) A nvend de samme 4 datasæt, og udfør eksponentiel regression for hver af dem. For Reersø skal du få et grafisk bilede, der ligner det første billede til højre. b) U dfør dernæst potensregression for hver af dem. For Reersø skal du få et grafisk billede, der ligner billedet længst til højre.

Boringen ved Reersø – Eksponentiel model

Boringen ved Reersø – Potens model

1000

800

600

400

200

0,5

1,5

0,5

1,5

Begge modeller er betydeligt bedre end de lineære modeller. De eksponentielle modeller ser meget lovende ud, bortset fra det første datasæt. Omvendt for potensmodellerne, hvor det kun er ved det første datasæt, at grafen fitter punkterne helt tilfredsstillende. Dette datasæt er ikke empirisk, men er et teoretisk bud fra Geoteknisk Institut. Og de har givetvis valgt at konstruere datasættet ud fra en potensmodel! Det er der ikke noget galt i, det er et naturligt valg, da potensmodellen er den, som man hyppigst møder i modellering af biologiske og geologiske fænomener. "Budskabet" fra de tre boringer er altså, at sammenhængen kan beskrives med en eksponentiel model. Eksponentielle modeller behandles i kapitel 4. De er karakteriseret ved, at for hver enhed, vi går frem på x-aksen, så vokser eller aftager y-værdien med en bestemt %.

105

1.5 En matematisk modellering ud fra rå data Lad os nu sige, at vi er i den situation, hvor vi ikke kender den eksponentielle model. Hvordan går man frem, når man skal forsøge at finde en matematisk model, der kan beskrive sammenhængen mellem de to variable? Det er jo meget ofte den situation, vi i matematik står i, når vi sammen med andre fag skal forsøge at forstå de data, vi har givet. Det første skridt er altid at fremstille en grafisk repræsentation af data, som vi har gjort ovenfor. Disse fortæller for alle tre undersøgelser, at den lineære model ikke dur. Det næste er at lede efter et mønster i data. Vi bemærker her, at den uafhængige variabel normalt vokser med 0,2, men nogle gange kun med 0,1 og andre gange med 0,3 eller 0,5. Det skal vi tage hensyn til, når vi ser på, hvordan den afhængige variabel ændrer sig. Vi har forkastet den lineære model, så vi skal ikke se på de absolutte ændringer i de afhængige variable. Da vi samtidig ser et beslægtet mønster i de tre datasæt, dér hvor vi har en tilvækst i x-værdierne på 0,2 af gangen, nemlig: for Reersø: 600, 250, 100; for Kruseminde: 60, 25, 10; for Digerbanke: 60, 22, 9 så er det nærliggende at se på de relative tilvækster i de afhængige variable. Vi udregner derfor for hvert datasæt forholdet mellem en y-værdi og den foregående y-værdi, fx for Reersø: 250

100

⋅=100% = 41,667% 0,41667, = 0,400, = 0,400 100 250 600 Det tegner et mønster! Udregningerne fortæller samtidig, at der sker et %-vist fald på ca. 60 %, når vi går 0,2 frem på x-aksen. For hvis vi skulle svare på, hvor stor en procent 250 udgør af 600, så ville vi jo foretage samme beregning, blot ganget med 100: 250 ⋅·100% 100 %==41,667% 41,667 % 600

At 250 udgør 41,67 % af 600, kan også udtrykkes ved at sige, at der er sket et fald på:

100 % – 41,67 % = 58,33 %

Tilsvarende for de andre.

Øvelse 3.6

Den matematiske model

a) U dregn for alle tre undersøgelser nye datasæt ud fra formlen: forholdet mellem en y-værdi og den foregående y-værdi. Gør det for hele datasættet, også hvor x-tilvæksten ikke er 0,2. Du skal for Reersø få følgende datasæt: [0,667, 0,417, 0,400, 0,400, 0,250, 0,100]. b) A rgumentér nu for følgende: Hvis forholdet mellem en y-værdi og den foregående y-værdi er 0,4, så betyder det, at vi skal gange 0,4 på en y-værdi for at få den næste y-værdi i rækken.

106

3. Procent og rentesregning

c) D et er et problem, at x-tilvæksterne er forskellige. Argumentér nu for følgende: Hvis vi skal gange et tal k på en y-værdi for at få den næste y-værdi i rækken, når vi går én enhed frem på x-aksen, så skal vi gange med k2, når vi går to enheder frem. Og tilsvarende: Vi skal gange med k3, når vi går tre enheder frem, og gange med k5, når vi går fem enheder frem. d) Anvend den viden, du fandt i punkt c, til at regne baglæns og argumentere for følgende: Hvis vi skal gange med 0,4 for at gå to enheder frem, så skal vi gange med 0,4 for at gå én enhed frem. Og generelt: Hvis vi skal gange med tallet m for at gå to enheder frem, så skal vi gange med tallet m for at gå én enhed frem. e) D ette kan generaliseres til andre skridtlængder. Ligesom kvadratroden er den omvendte operation til at opløfte i anden, så er den tredje rod den omvendte operation til at opløfte i tredje og den femte rod den omvendte operation til at opløfte i femte. f) A nvend den viden, du har opnået ovenfor, til at udregne datasæt for alle tre, hvor skridtlængden er én enhed (dvs. 0,1). For Reersø skal du få: 3 5 [0,667, 0,417, 0,400, 0,400, 0,250, 0,100 ] = [0,667, 0,646, 0,632, 0,632, 0,630, 0,631]

g) D en enhed, vi har arbejdet med, er 0,1. Hvis vi vil omregne til den almindelige enhed på 1, skal vi ifølge punkt c opløfte tallene i 10. potens. Gør det for de tre empiriske data. For Reersø skal du få: [0,0174, 0,0127, 0,0102, 0,0102, 0,00985, 0,0100]. h) Tallene er jo ikke præcis de samme, så hvilken skal vi vælge til den matematiske model? Man kunne vælge at se på gennemsnittet. Udregn gennemsnittene af de 6 tal for hver af de tre undersøgelser. For Reersø skal du få: 0,01173. i) Når man skal finde den bedste matematiske model ud fra de empiriske data, så foretager man en beregning, der ligner den, der giver os forskriften for en lineær regression. Det vender vi tilbage til i kapitel 4. Det er en anden og mere kompliceret måde at regne på, end vi har gjort her i denne øvelse. Ved at udføre eksponentiel regression har du ovenfor fået følgende: Reersø: f1(x) = 9238 · 0,01054x ; Kruseminde: f2(x) = 2592 · 0,01022 x ; Digerbanke: f3 (x) = 955 · 0,01006x Det var disse formler, som man tog udgangspunkt i, da man skulle planlægge borearbejdet i forbindelse med Storebæltsforbindelsen. Med forholdsvis enkle beregninger har vi således gennemført en matematisk modellering af data og fundet frem til formler, der stort set svarer til de modeller, der blev anvendt. Ud fra den første boring ved Halsskov opstillede man følgende model over antal sten med en diameter over x, som man vil møde i 100.000 m3 moræneler:

f(x) = 4000 · 0,01x

107

Øvelse 3.7

Anvendelse af modellen

Anvend den anførte model sammen med dine beregninger over, hvor store mængder moræneler, der skal graves op, til at svare på følgende: a) H vor mange sten med en diameter over 0,4 m, kan man forvente at finde? b) B eskriv de problemer, der opstår, når boremaskinerne møder meget store sten, og hvordan man løste disse problemer.

I det sidste afsnit af dette kapitel vender vi tilbage til Storebæltsbroen og ser på finansieringen af det store projekt. Vi regner på tallene og opdager bl.a., at hele projektet var tæt på at lide rentedøden.

2. Procentregning og kapitalfremskrivning Når vi køber en vare til 400 kr., er der lagt 25 % moms til. Hvad kostede den før? Hvordan trækkes momsen fra prisen? Måske kender du en smart metode, der bygger på, at 25 % er et simpelt tal? Men hvad så hvis momsen var 17 %? Spørgsmålet er faktisk ikke sværere med 17 % . Vi vil i det følgende oversætte al procentregning til gangestykker og divisionsstykker. Når vi har lært det, så er det let at løse sådanne og alle andre spørgsmål inden for procentregning. Men først repeterer vi lige nogle grundlæggende ting om procenter og procentregning.

2.1 Sådan regnes med procenter og indekstal Procent betyder hundrededele. Så et procenttal kan skreves som en brøk således: 8 27 8% = 27% = 100

Procent omskrevet til decimaltal (udfør divisionen med 100)

8% = 0,08

100

27% = 0,27

Øvelse 3.8

108

a) Omskriv følgende procenttal til decimaltal: 1) 12% 2) 0,1% 3) 100%

4) 2%

b) Omskriv følgende decimaltal til procenttal: 1) 0,13 2) 0,04 3) 3

4) 0,005

150% =

150 100

150% = 1,5

3. Procent og rentesregning

Når vi udregner fx 15% af 420, kan det gøres således: 1% af 420 =

420 = 4, 2 100

15% af 420 = 15 · 4,2 = 63 Vi udfører her to regneoperationer. Dette kan vi slå sammen til en beregning, idet vi udnytter, 15% = 0,15:  420  420 ⋅ 15 15 15 % 15% af 420 =  4200· ⋅0,15 0,15==63 63 ⋅ 15 = = 420 ⋅ = 420 100 100  100 

Sætning 1: Formel nr. 1 til procentregning Vi kan udregne en procentdel af et tal K ved at udregne K · r, hvor r er procenten omskrevet til decimaltal.

Øvelse 3.9 a) E n faggruppe med en gennemsnitsløn på 360.000 årligt, får en lønstigning på 1,8%. Hvor mange kroner svarer det til? b) E n bank meddeler de kunder, der har en bestemt pensionsopsparing, at der det seneste år var et tab på 23%. Hvor meget har en person med en opsparing på 850.000 kr. tabt? Når vi taler om vækstfænomener, er vi interesserede i at kunne lægge en procentdel til en startværdi.

Eksempel: Sådan lægges procent til et tal Vi skal lægge 12% til tallet 650. 12% = 0,12 Omskriv til decimaltal 650 · 0,12 = 78 Udregn 12% af 650 650 + 78 = 728 Læg tilvæksten til startværdien Igen gennemfører vi tre regneoperationer, som kan skrives sammen til en regneoperation, nemlig Slutværdi = 650 + 650 · 0,12 = 650 ·(1 + 0,12) = 650 · 1,12 = 728 Beregningen i eksemplet kan naturligvis laves med alle tal, så vi får:

Sætning 2: Formel nr. 2 til procentregning Hvis en startværdi K0 vokser med en procentdel, der omskrevet til decimaltal betegnes r, så kan slutværdien K udregnes således:

Slutværdi = Startværdi · (1 + r)

dvs. som formel får vi:

K = K0 · (1 + r)

109

Bevis for formel 2 Ifølge formel 1 vokser startværdien K0 med tallet K0 · r . K = K0 + K0 · r Læg tilvækst til startværdien K = K0 · (1 + r) Sæt K0 uden for parentes Formlen på højre side kan kontrolleres ved at gange parenteserne ud og se, at vi får højresiden i ligningen oven for. Med andre ord har vi vist, at Slutværdi = Startværdi · (1 + r) eller K = K0 · (1 + r). Bemærk: Parentesregler behandles i kapitel 7: Tal og ligninger.

Øvelse 3.10 Gennemfør selv et argument efter samme retningslinjer for følgende variant af formel 2: Hvis en startværdi K0 aftager med en procentdel, der omskrevet til decimaltal betegnes r, så kan slutværdien K udregnes således: Slutværdi = Startværdi · (1 – r) eller K = K0 · (1 – r) Vi nøjes normalt med én formel, nemlig den vi betegner formel nr. 2, og vedtager derfor:

Praxis: Procentvækst regnes med fortegn Ved positiv vækst (y-værdien vokser) regnes tallet r som positivt. Ved negativ vækst (y-værdien aftager) regnes tallet r som negativt.

Formel 2 kan forstås således: • 1-tallet repræsenterer det, vi har i forvejen og stadig har • r repræsenterer det, vi får ekstra (eller det, vi taber) Formel 2 er en ligning, hvor der indgår tre symboler. Kender vi talværdien for to af disse, kan vi finde den tredje. Den følgende øvelse gennemgår de tre opgavetyper.

Øvelse 3.11 Besvar følgende spørgsmål efter opskriften: Angiv de variable. Indsæt de talværdier, vi kender i formlen. Bestem den ukendte. a) E n tøjforretning reklamerer med, at udsalgspriserne er sat 40% ned. En eftertragtet kjole kostede før udsalget 800 kr. Hvad koster den nu? b) H uspriserne faldt i et bestemt år med 28%. En ejerlejlighed udbydes til salg for 1,2 millioner kr. Hvad ville den have kostet for et år siden? c) E n kvinde begynder at træne, og efter en periode er konditallet steget fra 35,6 til 39,1. Hvor mange procent er det steget med?

110

3. Procent og rentesregning

Definition: Indekstal En variabelsammenhæng, der er givet på tabelform med tiden som uafhængig variabel, kan omskrives til indekstal således: Tabelværdierne omregnes til procenttal ud fra en bestemt startværdi, som sættes til 100. Er der tale om årstal, kaldes starttidspunktet for basisåret.

Eksempel: Regning med indekstal 2

Den gennemsnitlige m -pris for ejerlejligheder udviklede sig i et bestemt område således, at prisen i kroner var 11000 i 2001, 15000 i 2005, 17500 i 2007 og 13800 i 2009. Vi vil omregne tallene til indekstal med 2001 som basisår. Basisåret er 2001, så indekstal for 2001 er 100. 11000 er startværdien. Indekstallet for 2005 beregnes ved Slutværdi = Startværdi ⋅ (1 + r )

15000 = 11000 ⋅ (1 + r ) 1 + r = 15000 = 1, 36 11000

Indekstal for 2005 fås derfor ved at omregne 1,36 til procenttal, dvs. 100 · 1,36 = 136. Udfyld nu selv tabellen: Årstal Absolutte tal Indekstal

2001

2005

2007

2009

11000

15000

17500

13800

100

136

2010

152

Af tabellen kan vi fx aflæse, at kvadratmeterprisen er steget med 52% fra 2001 til 2010. Men vi kan ikke direkte aflæse, med hvor mange procent kvadratmeterprisen er steget fra 2005 til 2010. Vi kan tilsvarende udnytte formlen:

Slutværdi = Startværdi · (1 + r)

til at beregne absolutte tal ud fra indekstal. Her kender vi nemlig tallet 1 + r. Prisen i 2010 kan således beregnes som:

Slutværdi = 11000 · 1,52 = 16720

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver, hvor vi anvender formel 2.

111

Metoden med at løse procent-opgaver som gange- og divisionsstykker viser især sin styrke, når vi skal løse opgaver, hvor der er tale om procent-vækst over mange perioder, eksempelvis opgaver af typen: 5000 kr. indsættes på en uddannelsesopsparing, hvor renten er 2,5% om året. Hvor meget står der på kontoen om 14 år? Det ville være besværligt at udregne dette år for år. Men heldigvis kan formel 2 udvides.

Definition: Vækstrate Når en størrelse vokser (eller aftager) med samme procent over flere perioder, fx flere år, så kaldes denne procent for vækstraten.

Sætning 3: Formel nr. 3 til procentregning – formlen for kapitelfremskrivning Hvis en startværdi K0 vokser (eller aftager) med vækstraten r gennem n perioder, så kan slutværdien K udregnes således: K = K0 · (1 + r)

Bevis for formel 3 Efter første periode kan slutværdien, som vi kalder K1, udregnes ved K = K0 · (1 + r) 1 Det har vi fra formel 2. Bemærk, at formel 2 gælder både for positiv og negativ r, så det er også her ligegyldigt, om r er positiv eller negativ. I anden periode kan vi opfatte K1 som startværdi, og slutværdien, som vi kalder K2, kan derfor udregnes ved K2 = K1 · (1 + r) Nu indsætter vi heri formlen for K1, som vi opskrev ovenfor, og vi får 2

K2 = K1 · (1 + r) = K0 · (1 + r) · (1 + r) = K0 · (1 + r)

Øvelse 3.12 Gennemfør et tilsvarende argument for, hvorledes vi kan udregne slutværdien K3 efter tredje periode.

Vi kan nu se mønstret: Formlen må gælde for 4, 5, 6 osv., altså for alle tal n. Vi kunne kalde slutværdien Kn, men der er større tradition for bare at kalde den K. Hermed har vi argumenteret for formel 3. Handler det om penge, siger formlen, at man får renters rente.

112

3. Procent og rentesregning

Det præcise matematiske bevis for formlen er et såkaldt induktionsbevis. Sådanne beviser er ofte i spil, når vi skal vise, at en formel gælder for alle naturlige tal {1, 2, 3, …}. På bogens website ligger et projekt om induktionsbeviser.

Praxis: Betegnelser når det handler om penge Hvis en opgave eller et spørgsmål handler om penge, så kaldes vækstraten for renten, start- og slutværdi kaldes start- og slutkapital, perioder kaldes terminer, og hele processen kaldes for kapitalfremskrivning.

2.2 Eksempler på anvendelse af formlen K = K0 · (1 + r)

Formel 3 er en ligning, hvor der indgår fire symboler. Kender vi talværdien for tre af disse, kan vi finde den fjerde. Der er således fire opgavetyper. Anvendelse 1: Ukendt slutværdi K 5000 kr. indsættes på en uddannelsesopsparing, hvor renten er 2,5% om året. Hvor meget står der på kontoen om 14 år? Vi afkoder, dvs. vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K0 = 5000, r = 0,025, n = 14, og indsætter i formlen: K = 5000 ⋅ (1 + 0, 025)14 = 5000 ⋅ 1, 02514 = 7064, 87 Konklusion: Der står 7064,87 kr. på kontoen efter 14 år. Anvendelse 2: Ukendt startværdi K0 Jordens befolkningstal påstås at være vokset med 2% om året gennem de sidste 100 år. Hvis det er korrekt, og når der i år 2010 er 6,9 milliarder mennesker på Jorden, hvor mange mennesker var der så i 1950? Vi afkoder, dvs. vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K0 = 6,9, r = 0,02, n = 60, og indsætter i formlen:

6, 9 = K0 ⋅ (1 + 0, 02)60

Dette er en ligning, hvor den ubekendte er K0. Vi demonstrerer to løsningsmetoder. Løsningsmetode 1 Ligningen løses ved omskrivning: 6, 9 K0 = = 2,10 1, 0260 Konklusion: Jordens befolkningstal var i 1950 ca. 2,1 mia., hvis påstanden holder.

113

Løsningsmetode 2 Ligningen løses med en solve-kommando: Solve( 6, 9 = K0 ⋅ (1 + 0, 02)60, K0 ) K0 = 2,10 Konklusion: Jordens befolkningstal var i 1950 ca. 2,1 mia., hvis påstanden holder. Anvendelse 3: Ukendt vækstrate r Antallet af mennesker i verden, der er over 60 år, vokser kraftigt. I 1950 var der 205 millioner på verdensplan. I 2006 var tallet vokset til 688 millioner. Hvis vi antager, at dette tal er vokset med en fast procent om året, hvor stor er da denne procent? Vi afkoder, dvs. vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K0 = 205, K = 688, n = 56, og indsætter i formlen:

688 = 205 · (1 + r)

(*)

Dette er en ligning, hvor den ubekendte er r. Vi demonstrerer tre løsningsmetoder. Løsningsmetode 1 Ligningen løses med en solve-kommando: 56

Solve(688 = 205 · (1 +r) , r) r = 0,022

Konklusion: Antallet af mennesker over 60 år vokser med 2,2% om året. Løsningsmetode 2 Ligningen løses ved at anvende rodfunktionen. Rodfunktioner kender vi fra kvadratroden, hvor 3 Tilsvarende er 3 1000 = 10 , fordi 10 = 1000.

25 = 5 , fordi 5 = 25.

Definition: Den n'te rod Lad a være et positivt tal. Ved den n'te rod af a, der skrives således: n det positive tal x, hvorom der gælder: x = a. Ligningen (*) løses nu med anvendelse af en rodfunktion: 56

688 = 205 · (1 + r) 688 56 = 3, 356 Divider med 205 (1 + r ) = 205

1+ r =

3, 356 = 1, 022

Uddrag den 56. rod

r = 1, 022 1 = 0, 022 Isoler r Konklusion: Antallet af mennesker over 60 år vokser med 2,2% om året.

114

a , forstås

3. Procent og rentesregning

Løsningsmetode 3 Ligningen løses grafisk. I ligningen betragter vi venstre side og højre side som forskrifter for hver sin funktion, dvs. Venstre side: f1(r) = 688 56 Højre side: f2(r) = 205 · (1 + r) hvor r er den uafhængige variabel.

f1(r) = 688

(0,0219, 688)

f2(r) = 205 · (1 + r)

100 0,005

Vi tegner graferne for hvert af de to udtryk i det samme koordinatsystem og aflæser skæringspunktet mellem de to grafer, som vist på figuren. Konklusion: Vækstraten r = 0,0219, så antallet af mennesker over 60 år vokser med 2,19% om året.

Øvelse 3.13 Undersøg, hvordan du uddrager roden af et tal på dit værktøjsprogram, og kontroller resultatet ved at opløfte i den tilsvarende potens fx: 56

56 3, 356 = 1, 022 , fordi 1,022 = 3,356 Den vækstrate, vi fandt ovenfor på 2,2%, kaldes af og til den gennemsnitlige procent.

Definition: Gennemsnitlig procent Givet en startværdi K0 og en slutværdi K efter n perioder, hvor der kan have været udsving i de enkelte perioders vækstrater. Ved den gennemsnitlige procent forstår vi den konstante procent, der gennem de n perioder ville have givet samme slutværdi.

Bemærkning: Hvis problemet handler om penge, så taler vi om gennemsnitlig rente. Du kan finde en begrundelse for ordet gennemsnitlig i projekt 3.1 og geometriske rækker, som du kan tilgå via bogens website.

Øvelse 3.14 Den gennemsnitlige procent er ikke, hvad vi normalt forstår ved gennemsnit. a) U dregn ved brug af formel 2 den samlede procentvise befolkningstilvækst i perioden 1950 til 2006 i eksemplet fra Anvendelse 2 ovenfor. b) U dregn følgende størrelse: Den samlede procentvise vækst divideret med antal år (56), og sammenlign resultatet med det, vi fandt i Anvendelse 2: r = 2,2%. Den fejl, vi laver ved blot at dividere, kan forklares ved, at perioden betragtes, uden at der tages hensyn til "procent af procent", som man kender fra begrebet "renters rente".

115

Øvelse 3.15 Huspriserne udviklede sig i et bestemt område således: Fra 2000 til 2003 steg de med 18%. Fra 2003 til 2006 steg de med 26%. Fra 2006 til 2008 steg de med 5%. Fra 2008 til 2010 faldt de med 32%. a) Hvad var den samlede procentudvikling i årene 2000 – 2010? b) Hvad var den gennemsnitlige procentvise udvikling i årene 2000 – 2010?

Anvendelse 4: Ukendt antal perioder n I 2003 blev der konstateret 1222 tilfælde af modermærkekræft i Danmark, og i årene efter voksede antallet årligt med 5,5%. Hvornår vil antallet af tilfælde være oppe på 2000, hvis vi antager, at udviklingen fortsætter? Vi afkoder, dvs. vi opskriver, hvilke talværdier de enkelte symboler har: K0 = 1222, K = 2000, r = 5,5% = 0,055 og indsætter i formlen:

2000 = 1222 · (1 + 0,055)

(*)

hvor n angiver antallet af år efter 2003. Dette er en ligning, hvor den ubekendte er n. Vi demonstrerer to metoder. Løsningsmetode 1 Ligningen løses med en solve-kommando: n

Solve(2000 = 1222 · (1 + 0,055) , n) n = 9,20 Konklusion: Antallet af tilfælde med modermærkekræft vil være oppe på 2000 mere end ni år efter 2003, dvs. engang i år 2013. Løsningsmetode 2 y

f1(n) = 2000 (9,202, 2000)

f2(n) = 1222 · (1 + 0,055)

Ligningen løses grafisk. I ligningen betragter vi venstre side og højre side som funktionsudtryk for hver sin funktion: Venstre side: f1(n) = 2000 n Højre side: f2(n) = 1222 · (1 + 0,055) hvor n er den uafhængige variabel. Vi tegner graferne for hvert af de to udtryk i det samme koordinatsystem, og aflæser skæringspunktet mellem de to grafer, som vist på figuren.

200 1

onklusion: Antallet af tilfælde med modermærkekræft vil være oppe på K 2000 mere end ni år efter 2003, dvs. engang i år 2013.

Der findes en tredje metode: Løsning med anvendelse af logaritmer. Den er særlig vigtig, og den behandles derfor i et særskilt afsnit nedenfor.

116

3. Procent og rentesregning

2.3 Sådan regnes med logaritmer Logaritmefunktionerne er konstrueret som regnetekniske funktioner, der kan hjælpe med til at løse eksponentielle ligninger, dvs. ligninger, hvor den ukendte står i eksponenten. Der findes som standard to logaritmefunktioner på værktøjerne, log(x) og ln(x). Til praktiske formål udnyttes normalt log(x), der også kaldes titalslogaritmen, fordi den bygger på titalssystemet. ln(x) kaldes den naturlige logaritme og spiller en stor rolle i matematisk teori. Men de kan bruges helt parallelt, og hvor der i det følgende er anvendt log, kunne vi lige så godt have anvendt ln. Bemærk, at i engelsksproget matematisk litteratur betyder "log" normalt: den naturlige logaritme. På B- og A-niveau går vi mere i dybden med logaritmefunktionernes oprindelse og egenskaber. Her har vi blot brug for en af de såkaldte logaritmeregler:

Praxis: Anvendelse af logaritmeregel For alle tal x og alle positive tal a gælder følgende regneregel for logaritmer: log( a x ) = x ⋅ log( a) , og tilsvarende: ln( a x ) = x ⋅ ln( a) Med denne logaritmeregel kan vi få eksponenten x ned på linjen, så den i stedet skal ganges med logaritmen log(a), hvilket gør det muligt at isolere x. En god huskeregel, hvor man benytter sig af at stave ordet "lokke" forkert, er: Logaritmen "logger" x ned på linjen! Vi løser som eksempel en ligning med anvendelse af logaritmereglen. Løs ligningen:

3,901 · 1,284 = 123,572 1, 284 x =

123, 572 3, 901

1, 284 x = 31, 677

log(1, 284 x ) = log( 31, 677)

x ⋅ log(1, 284 ) = log( 31, 677) x=

Divider med 3,901 Omsæt til decimaltal

log( 31, 677) = 13, 823 log(1, 284 )

Anvend log "Log" x ned Isoler x og udregn

Konklusion: Løsningen er x = 13,823

Øvelse 3.16 Løs nu ved hjælp af logaritmer ligningen: 2000 = 1222 · (1 + 0,055) n, som vi opstillede i forrige afsnit: Anvendelse 4: Ukendt antal perioder n.

117

Øvelse 3.17 Løs følgende ligninger trin for trin, idet logaritmen anvendes til at "logge" x ned. a) 5,7 · 0,839x = 113,9 b) 0,999x = 0,0003 c) 12 · 2,8x = 1,02 · 3,1x (Benyt potensregel nr. 4, se afsnit 4) Kontroller resultaterne med en solve-kommando.

Logaritmefunktionerne anvendes af mange andre fag, bl.a. fordi de kan lave uoverskueligt store intervaller af tal om til små og overskuelige intervaller. Intervallet fra 1 til 1 million komprimeres med log til intervallet fra 0 til 6, som illustreret i tabellen:

100

1000

10000

100000

1000000

log(x)

Øvelse 3.18 Tabellens tal giver et indtryk af, hvor voldsom eksponentiel vækst kan være. Det kan man få et visuelt indtryk af via bogens website, hvor der zoomes ind fra fjerne galakser på et træ i en have på Jorden og videre ind i det indre af atomerne.

I kapitel 8 findes projekter med anvendelse af logaritmefunktioner i andre fag. Når talstørrelser angivet i enheder som decibel og Richter i virkeligheden er logaritmiske tal, har vi også brug for at kunne regne baglæns, dvs. bestemme det faktiske tal, der ligger bag tal som 80 decibel eller 6,5 på Richterskalaen. Hertil benyttes logaritmefunktionernes omvendte funktion. For log(x) er den omx vendte funktion 10 , som tabellen ovenfor demonstrerer. Vi vil illustrere dette med jordskælvet på Haiti 2010.

12. januar 2010 om eftermiddagen lokal tid blev Haiti ramt af et katastrofalt jordskælv. I medierne fortalte de dagen efter, at jordskælvet var målt til en styrke på 7,0 på Richterskalaen. Richterskalaen er en sådan komprimeret skala, der i et kort interval går fra de svageste til de altødelæggende jordskælv. Ved et jordskælv af styrke 7,0 udløses en energi ved overfladen, der er ca. 30 gange større end ved jordskælv af styrke 6,0.

118

3. Procent og rentesregning

Eksempel: Løsning af ligning hvor log indgår Sammenhængen mellem Richtertallet for et jordskælv og den energi, der udløses, er givet ved formlen log( E ) = 1, 5 ⋅ M + 4, 8 hvor M er Richtertallet, og E er energien målt i joule. Hvor stor en mængde energi blev der udløst ved jordskælvet på Haiti? Vi indsætter oplysningerne i formlen og får log( E ) = 1, 5 ⋅ 7 + 4, 8 = 15, 3 x

Logaritmen (log) ophæves nu ved at anvende den omvendte regneoperation, som er 10 E = 1015,3 = 1, 995 ⋅ 1015 Konklusion: Den samlede udløste energi er ca. 2 · 1015 joule.

Øvelse 3.19 12

Atombomben over Hiroshima var på 19 kiloton, hvor 1 kiloton svarer til 4,2 · 10 joule. Sammenlign mængden af energi udløst ved jordskælvet med energien udløst ved atombomben. Via bogens website kan man finde yderligere materialer om jordskælv.

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 2.

3. Potenser og potensregneregler Hvis et lands befolkningstal vokser med 2% årligt, betyder det naturligvis ikke, at der hvert nytår pludselig sker et stort antal dødsfald og fødsler, så befolkningstallet dagen efter er vokset med 2%. Har man en uddannelses- eller en pensionsopsparing, skrives der godt nok renter til én gang årligt, men hæver man beløbet midt på året, får man naturligvis renter for hele den periode, opsparingen har varet. Hvis startværdien er et fast tal, og vi opererer med en fast vækstrate, så kan vi betragte ligningen K = K0 · (1 + r)

som en sammenhæng mellem den afhængige variabel K og den uafhængige variabel n.

119

Indtil nu har vi kun defineret formlen, når n er et positivt helt tal. Men de to eksempler med befolkningstal og opsparing illustrerer, at funktionen K(n) må kunne udvides til en funktion K(x) defineret for alle tal x. Det kræver, at vi kan udvide potensbegrebet.

3.1 Udvidelse af potensbegrebet Vi ønsker at indføre en præcis definition af, hvad vi skal forstå ved a x, hvor x kan være 1 2 et hvilket som helst reelt tal. Hvad skal vi fx forstå ved 2π, 30, 10 –3, 5 –0,4, 7 3 , 9 2 ?

Øvelse 3.20 Udregn de nævnte 6 tal med dit værktøjsprogram. Potenserne er udregnet ved hjælp af en række nye regler. Har du et bud på nogle af disse regler?

Når a x skal defineres for alle reelle tal x (og alle positive tal a), så kræver dette, at vi har helt styr på, hvordan vi definerer reelle tal som π og 7 . Det får vi først på A-niveau, hvor vi så vender tilbage til potensbegrebet. Man kan dog allerede nu gå et langt stykke af vejen – på bogens website ligger et projekt om dette, hvor der arbejdes med mønstergenkendelse.

Definition: Potenser For alle tal a, og alle naturlige tal n defineres: an = a · a · ... · a (på højre side står der i alt n a'er) Eksempel: 36 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3

De 5 potensregler med naturlige tal, n og m

Eksempel

1. an · am = an + m

(gælder for alle a, n, m)

32 · 3 6 = 3 8

(gælder for a ≠ 0 og m ≤ n)

3 = 34 2 3

(gælder for alle a, n, m)

(3 )

a = an − m m 2. a

n m

3. (a ) = a n

n·m

a a =  4. bn  b 

(gælder for b ≠ 0)

5. an · bn = (a · b) n (gælder for alle a, b, n)

= 34 ⋅ 2 = 38

8 8 =  5  4 4

= 25

2,55 · 45 = (2,5 · 4) 5 = 105

På bogens website ligger et bevis for disse formler.

120

3. Procent og rentesregning

Definitioner: Udvidelse af potensbegrebet

Eksempel

6. For ethvert tal a fastlægger vi : a0 = 1

130 = 1

7. For ethvert tal a ≠ 0 og ethvert naturligt tal n 1 −n = n fastlægger vi: a a

10 −6 = 16 ( = 0,000001)

a og a n = n a

8. For ethvert tal a ≥ 0 fastlægger vi: a 2 = p q



1 p q

9. For ethvert tal a ≥ 0 fastlægger vi: a =  a 

( ) q

92 = 9 = 3 2

2  31  3 27 =  27  =

(

)

= 32 = 9

I et projekt på bogens website er der gennemført en argumentation for disse definitioner. Projektet, der er et lille eksempel på, hvordan matematik er opbygget, kan tilgås via bogens website .

4. Summer af potensrækker Resten af kapitlet, bestående af afsnittene 4, 5, 6, 7, 8 kan gennemføres som ét projekt, hvor det faglige stof arbejdes igennem i forskelligt tempo og med forskellig dybde. Projektet ligger på bogens website. Ifølge en klassisk indisk legende forklædte den indiske gud, Krishna, sig engang som en hellig vismand og udfordrede en lokal konge til et spil skak. Kongen, der var en entusiastisk skak-spiller, to gladeligt imod udfordringen, men før spillet skulle gå i gang, skulle der aftales en pris til vinderen. Kongen spurgte derfor vismanden, hvad han ønskede sig, ifald han vandt. Vismanden svarede da, at eftersom han var en hellig mand med få materielle behov, var alt, hvad han ønskede sig, nogle riskorn. Antallet af riskorn skulle fastlægges af skakbrættet selv, idet han skulle have et riskorn for det første felt, to for det andet felt, fire for det tredje felt osv. Dermed blev antallet af riskorn fordoblet hver gang. Kongen var forundret over vismandens beskedenhed, men vismanden ønskede sig ikke andet, og spillet gik derfor i gang.

Lord Krishna spiller skak.

Øvelse 3.24 2

a) G ør rede for, at vismanden ønsker sig 2 riskorn på det tredje felt, 2 riskorn på det 4 fjerde felt, 2 riskorn på det femte felt osv. b) Hvor mange ønsker han sig for hele den første række? c) H vor mange ønsker han sig for det sidste felt? Udregn tallet i et værktøjsprogram, skriv resultatet ned, og fortæl din sidemand (med ord), hvad du har fået. Kender du noget tal i den størrelsesorden?

121

Øvelse 3.25 Benyt et værktøjsprogram til automatisk at udregne, hvor mange riskorn der ligger på de enkelte felter, samt hvor mange det summerer op til (dette kaldes også: at kumulere). felt nr.

formel

Antal riskorn på de enkelt felter

Kumuleret antal riskorn

…

...

a) A fbild de første 10 sammenhørende værdier af første og tredje kolonne i tabellen i et koordinatsystem, og forbind punkterne med en graf. Det vi her ser, er et eksempel på eksponentiel vækst. b) I regnearket kan man også hurtigt finde de kumulerede antal, dvs. det samlede antal riskorn, for det første felt, de første to felter, de første tre felter osv. Herved finder vi også den samlede sum fra alle skakbrættets felter. Kan du finde en sammenhæng mellem tallene i søjlen med de kumulerede antal og feltets nummer? Kan du finde en formel der udtrykker denne sammenhæng?

Når vi ser på regnearket, synes der at gælde følgende generelle formel:

Sætning 4: Sum af totalspotenser For ethvert positivt helt tal n gælder 2 3 n n+1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 – 1

Øvelse 3.26 Skriv formlen ud for nogle små værdier af n, og kontroller at formlen er korrekt. Det særlige i matematik er, at formler og påstande gælder for alle tal, alle tilfælde, der er i spil i den givne situation. I øvelsen har vi afprøvet formlen for en række tal, men vi kan jo ikke afprøve uendeligt mange tilfælde. I matematik klarer vi alle tilfælde i ét hug ved hjælp af et matematisk bevis, hvor vi argumenterer helt generelt for formlen eller påstanden. Der kan være mange forskellige beviser for den samme påstand, og grunden til, at man ofte er interesseret i at finde eller undersøge flere beviser for den samme ting, er at hvert bevis kan sætte nye tanker i gang om andre formler eller andre metoder.

122

3. Procent og rentesregning

På bogens website kan du finde et geometrisk bevis for påstanden.

Bevis for sætning 4: Vi ved ikke, hvad summen giver, så vi kalder summen for S: (1)

1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = S

En metode, vi ofte anvender i matematik, er at erstatte noget indviklet med noget mere simpelt, fx med taleksempler, og så overveje, om det i virkeligheden ikke var en generel metode. Her kan man fx i stedet for det abstrakte tal n begynde med et taleksempel. Skriv fx tallet 6 alle steder, hvor der står n, så du undgår ”prikkerne”, og gennemfør beviset med n = 6. Vend så til sidst tilbage, og læs beviset med n. Mange matematiske beviser indeholder et lille trick. Ved at have set en række forskellige beviser får man også en række forskellige ideer, som måske kan bruges i andre situationer. Vi omskriver (1):

2 · (1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) = 2 · S

1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = S 2

2 · 1 + 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 2 + ... + 2 · 2 = 2 · S 2

(2)

n+1

2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2

= 2 · S

Gange med 2 på begge sider Gange ind i parentesen Anvend potensregel

Vi skriver nu den oprindelige ligning (1) op under den sidste ligning (2) og trækker ligningerne fra hinanden ledvist, hvorved vi ser, at de fleste led går ud med hinanden: 2

n+1

(2)

2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2

(1)

= 2 · S

1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = S n+1

–1 + 2 = 2S – S 2n+1 – 1 = S

Nu har vi to ligninger med S, den sidste samt den oprindelige (1). Men da venstresiderne i de to ligninger begge er lig med S, må de være ens:

n+1

1 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2

–1

hvilket var den søgte formel. Beviset giver med det samme den tanke, at dette nok ikke har noget specielt med tallet 2 at gøre. Der må være en generel formel. Det er der også, men formlen bliver lidt anderledes.

123

Udledning af formlen i det generelle tilfælde

Lad os sige, at a er et bestemt tal, og vi ønsker at udregne summen (1)

1 + a + a2 + a3 + ... + a n = S

Inspireret af metoden i 2. bevis ovenfor ganger vi nu ikke med 2, men med a på begge sider, og bruger potensreglerne: a ⋅ (1 + a + a2 + a3 + ... + a n ) = a ⋅ S a + a2 + a3 + a4 + ... + a n +1 = a ⋅ S Vi skriver nu den oprindelige ligning (1) op under den sidste ligning (2) og trækker fra, hvorved vi ser, at de fleste led går ud med hinanden:

a + a2 + a3 + a4 + ... + a n + 1 = a ⋅ S

(2)

1 + a + a2 + a3 + ... + a n = S

−1 + a n + 1 = a ⋅ S − S Nu skal vi finde S. Vi omskriver: n +1 −1 + a

−1 + a a

n+ 1

= a⋅S − S

n +1

= ( a − 1) ⋅ S

− 1 = ( a − 1) ⋅ S

( a − 1) =S ( a − 1)

(1) (3)

(3)

S sættes uden for parentes Roker rundt på venstre side

n+ 1

Antag nu a ≠ 1. Divider (a – 1) over på venstre side

Nu har vi to ligninger med S, den sidste og den oprindelige (1). Men da venstresiderne af de to ligninger begge er lig med S, må de være ens, og vi har hermed bevist følgende sætning. Vi skriver normalt brøken uden parenteser, men skal vi bruge formlen i praksis, er det vigtigt at huske at sætte parenteser.

Sætning 5: Summen af en potensrække For ethvert positivt helt tal n og for ethvert tal a ≠ 1 gælder n+1 1 + a + a2 + a3 + ... + an = a – 1 a – 1

Øvelse 3.27 Hvorfor skriver vi a ≠ 1 i sætning 4? Forklar, hvad der går galt i beviset, hvis vi ikke har dette krav til a.

Øvelse 3.28 a) Vis, at hvis tallet a er lig med 2, giver det formlen i sætning 2. b) Opskriv selv nogle regnestykker, du kan løse med sætning 3.

124

3. Procent og rentesregning

Øvelse 3.29

Sum af uendeligt mange led

a) Udregn summerne S, når a =

1 2

Summen S

5 10 30 100

b) Kan du ud fra formlen forklare, hvad der sker, når n bliver meget stor? c) H vad bliver følgende sum, hvor … betyder, at leddene fortsætter i det uendelige: 1

1+ + 2

Øvelse 3.30

1  1 + + ... +   + ...  4 8 2 1

Sum af uendeligt mange led – et geometrisk argument

Øvelse 3.29 gav et eksempel på, at en sum af uendeligt mange tal godt kan blive et 1

 1

almindeligt lille tal. Vi kan også finde summen af alle tallene 1 + + + + ... +   + ... .  2 2 4 8 ved et geometrisk argument.

Tegn en tallinje, marker tallet 0 helt til venstre, og afsæt tallet 1 ca. midt på tallinjen. 1

 1

Afsæt nu i forlængelse af tallet 1 stykker med længder 2 , 4 , 8 , osv. i rækkefølge. 1

Anvend din illustration til at forklare, at 1 + + + + ... +   + ... = 2.  2 2 4 8

4.1 Uendelige summer Summer med mange led skrives ofte med anvendelse af sumtegnet ∑ : a1 + a2 + a3 + ... + an =

∑ ai i =1

Sætning 5 kan så formuleres således:

∑ ai =

i =0

n +1

−1 , hvor vi udnytter a0 = 1. a −1

Hvad sker der nu, hvis n bliver uendelig stor? Hvis tallet a > 1, vil an+1 vokse ud over alle grænser, så summen bliver uendelig stor. Men hvis tallet a < 1, så vil an+1 blive mindre og mindre, og nærme sig 0. Derfor får vi:

Sætning 6: Summen af en uendelig potensrække ∞

Hvis talet a < 1, så gælder der:

∑ ai = 1 − a 1

i=0

Bemærkning 1: Vi har udnyttet fortegnsreglen og omskrevet:

−1 1 = a − 1 1− a

125

Øvelse 3.19 (og 3.20), kan med brug af formlen løses således: ∞

 1

∑  2 

i =0

1 1−

1 2

1 1

2 På bogens website ligger tre projekter, der begge udnytter denne sumformel, bl.a. et om geometriske fraktaler.

I opgavebogen er der opgaver til afsnit 4.

5. Opsparingsannuitet Når man sparer op, fx for at have en udbetaling til at kunne købe en ejerlejlighed, sker det ofte ved, at man indsætter et bestemt beløb på en særlig konto hver måned eller hvert år. Vi bruger ofte ordet termin som et fælles ord for denne periode: Vi indsætter altså et fast beløb hver termin. Lad os kalde det faste beløb, der indsættes hver termin, for b. Lad os kalde renten, vi får på denne opsparingskonto, for r. Vi skriver r som decimaltal. Efter 1. termin er det første beløb, ifølge formel nr. 2, vokset til b · (1 + r) Samtidig indsættes et nyt beløb b. Efter 1. termin står der således på kontoen:

A1 = b + b · (1 + r)

Efter 2. termin er det første beløb, ifølge formel nr. 3, vokset til b · (1 + r) 2 Det nye beløb b, vi indsatte er vokset til b · (1 + r) Samtidig indsættes et nyt beløb b. Efter 2. termin står der således på kontoen: A2 = b + b · (1 + r) + b · (1 + r) 2

Øvelse 3.31 Argumenter for, at der efter 3. termin står følgende beløb på kontoen:

A3 = b + b · (1 + r) + b · (1 + r) 2 + b · (1 + r) 3

Øvelse 3.32 Argumenter for, at der efter n. termin står følgende beløb på kontoen:

An = b + b · (1 + r) + b · (1 + r) 2 + b · (1 + r) 3 + ... + b · (1 + r) n

Dette udtryk kan vi omskrive til en formel, hvor vi lettere kan bestemme ukendte størrelser – ligesom vi kan med kapitalfremskrivningsformlen. Omskrivningen udnytter sætning 5 om summen af potensrække, som vi beviste i afsnit 4.

126

3. Procent og rentesregning

Vi omskriver: An = b + b · (1 + r) + b · (1 + r) 2 + b · (1 + r) 3 + ... + b · (1 + r) n An = b · (1 + (1 + r) + (1 + r) 2 + (1 + r) 3 + ... + (1 + r) n ) Sæt b uden for parentes n +1 (1 + r ) − 1 AAnn ==bb·⋅ Udnyt sætning 3 med a = 1 + r (1 + r ) − 1

(1 + r )

n +1

−1

AAnn ==bb·⋅ Reducér r En opsparing, hvor vi betaler et fast beløb ind på en konto hver termin, og hvor vi er garanteret samme rente i opsparingsperioden, kaldes en annuitetsopsparing. I den endelige formel skriver vi ofte blot A:

Sætning 7: Formlen for opsparingsannuitet Hvis der hver termin indsættes et fast beløb b på en konto, hvor renten er r, så vil det samlede beløb på kontoen efter den n. indbetaling være:

A = b⋅

n+1

(1 + r )

−1

Bemærkning nr. 1: Tallet r skal altid skrives som et decimaltal. Bemærkning nr. 2: Sparer vi op i 3 år, foretager vi 4 indbetalinger. Sparer vi op i 10 år, foretager vi 11 indbetalinger. Overvej det!

Eksempel: Anvendelse af formlen for opsparingsannuitet Et par, der lige er flyttet sammen, beslutter sig til at indsætte 8.000 kr. om året på en konto, hvor renten er 3,75 %. De ønsker svar på følgende spørgsmål: a) Hvor stort et beløb står der på kontoen efter den 7. indbetaling? b) Hvor stor en del af dette beløb er tilskrevne renter? Løsning med brug af formlen: Vi afkoder: b = 8000, n = 7, r = 0,0375. Svaret på a) bliver derfor: A = 8000 ⋅

7 +1

(1 + 0,0375)

0,0375

−1

= 73060,43

Konklusion: Der står 73.060 kr. på kontoen efter den 7. indbetaling. Svaret på b) findes som: Den samlede saldo på kontoen – det samlede indbetalte beløb, dvs.: 73060,43 – 8 · 8000 = 9060,43 Konklusion: Der er i alt tilskrevet renter på kr. 9060. Hvis en af de andre parametre er den ukendte størrelse, vil vi normalt løse opgaverne med brug af solve-funktionen.

127

Øvelse 3.33 Et andet par får tilbudt samme opsparingskonto. De sætter sig som mål at spare 100.000 kr. op i løbet af 5 år. Hvor meget skal de spare op om året?

Øvelse 3.34 Et tredje par får også tilbudt denne opsparingskonto. De kan afsætte 12.000 om året til opsparing. De ønsker at spare 140.000 kr. op. Hvor mange år vil det tage?

Øvelse 3.35 Et fjerde par læser et lokkende tilbud fra en bank, de aldrig før har hørt om. Banken skriver i en annonce, at indsætter du hos dem 10.000 om året i 5 år, og binder du pengene på kontoen i hele perioden, så får du udbetalt 100.000 efter de 5 år. a) Hvilken rente tilbyder denne bank? b) Vil du betro banken dine penge?

I opgavebogen er der opgaver til afsnit 5.

6. Gældsannuitet Når man skal købe hus eller ny bil, har man sjældent mulighed for på kort tid at spare hele beløbet op. Derfor låner man. Det samme gør stater, når de skal finansiere et underskud på statens budget, eller når de skal sætte store byggeprojekter i gang. Et projekt som bygning af Storebæltsforbindelsen er så kostbart, også for en stat, at man altid vælger at lånefinansiere det. Men lån skal betales tilbage. Den traditionelle lånetype i Danmark har i over hundrede år været de såkaldte annuitetslån. Tanken her er den samme som ved opsparing, bare modsat: • Vi har en gæld, som vi kalder for G, der skal afdrages. • En kreditforening eller anden långiver tilbyder en fast rente r i hele afdragsperioden. • Lånet betales ud i løbet af en aftalt periode. Lad os kalde dette for n terminer • Ud fra dette beregnes størrelsen af den faste ydelse y, der skal betales hver termin. Som ved opsparingsannuitet ønsker vi nu at finde en formel for gældsannuitet, der kæder de 4 størrelser sammen.

128

3. Procent og rentesregning

For bedre at kunne overskue situationen forestiller vi os nu, at vi i kreditforeningen har to konti: • En konto, hvor vores gæld bogføres. Denne konto starter med beløbet G. Beløbet vokser termin for termin som beskrevet i formel nr. 3. • En konto, hvor vi indbetaler den faste ydelse y hver termin. Vi starter med at indbetale efter 1. termin. Denne konto kan jo så betragtes som en opsparingskonto, hvor beløbet vokser som beskrevet i formlen for annuitetsopsparing. Situationen er altså følgende: Gæld Opsparing Start G 0 efter 1. termin G · (1 + r) y efter 2. termin G · (1 + r) 2 y + y (1 + r) osv. Vi er gældfrie, når beløbene i de to konti balancerer. Så er vores samlede indbetaling med tilskrevne renter vokset til et beløb, der svarer til det, gælden er vokset til. Hvis dette er tilfældet efter n terminer, så gælder der:

gæld = opsparing G ⋅ (1 + r )n = y ⋅

(1 + r ) − 1 (1) r

Overvej, hvorfor der står n og ikke n + 1 på højre side. Af og til foretrækker vi en formel, hvor G er isoleret. Så skal størrelsen på højre side divideres med (1 + r) n. Fra afsnittet om potensregning ved vi: Division med (1 + r) n svarer til multiplikation med (1 + r) –n. Vi omskriver ligningen (1) G ⋅ (1 + r )n ⋅ (1 + r )− n = y ⋅

(1 + r ) − 1 ⋅ (1 + r )− n r

((1 + r ) − 1) ⋅ (1 + r ) n

G ⋅1 = y ⋅

−n

G = y⋅

(1 + r ) ⋅ (1 + r ) − 1⋅ (1 + r ) r

G = y⋅

1 − (1 + r ) r

−n

Udnyt reglen om at gange et tal på en brøk Gange ind i parentesen

−n

Udnyt potensregel nr. 1 og nr. 6

Øvelse 3.36 Gør omhyggeligt rede for hvert trin i omskrivningen

Andre gange foretrækker vi en formel, hvor y er isoleret.

129

Øvelse 3.37 Vis, at formlen, hvor y er isoleret, kan skrives:

y = G⋅

r 1 − (1 + r )

−n

Sætning 8: Formlen for gældssannuitet En gæld af størrelsen G står til en fast rente på r. Gælden betales tilbage i løbet af n terminer med en fast ydelse på y kroner. Sammenhængen mellem de 4 størrelser kan udtrykkes ved formlerne: 1) G = y ⋅

−n

1 − (1 + r ) r

2) y = G ⋅

r −n 1 − (1 + r )

Bemærkning: Tallet r skal altid skrives som et decimaltal.

Eksempel: Anvendelse af formlen for gældsannuitet Den samlede pris for en bestemt computer løber op i 4249 kr. Du vil købe den på afbetaling med månedlige ydelser. Renten er 2 % pr. måned. Du vælger at betale over 3 år. Du ønsker svar på følgende: a) Hvad bliver ydelsen? b) Hvor meget vil du i alt have betalt i renter? Vi afkoder: G = 4249, n = 3 · 12 = 36, r = 0,02 besvarelsen af a) vil vi anvende formel nr. 2 i sætning 8:

y = 4249 ⋅

0,02 1 − (1 + 0,02)

−36

= 166,70

Konklusion: Ydelsen bliver 166,70 kr. pr måned. I besvarelsen af b) udnytter vi, at: det samlede rentebeløb = det samlede betalte beløb – den oprindelige pris: samlede rentebeløb: = 36 · 166,70 – 4249 = 1752 Konklusion: Der er i alt blevet betalt 1752 kr. i renter.

Øvelse 3.38 Et par vil købe en ejerlejlighed. De foretrækker et annuitetslån, hvor renten ligger fast i 30 år. Ejendomsmægleren siger, at renten lige nu vil ligge på ca. 4,5 %. De har vurderet, at de kan klare en månedlig husleje på 9000 kr., eller en årlig husleje på ca. 100.000 kr. Hvor dyr en lejlighed kan de købe? I opgavebogen er der opgaver til afsnit 6.

130

3. Procent og rentesregning

7. Amortisationstabeller Ofte er man interesseret i at får svar på, hvor stor en restgæld man har efter et vist antal terminer. Køber man fx en lejlighed, vil man normalt af sin bank eller af sin ejendomsmægler få et skema med en sådan oversigt. Dette kaldes en amortisationstabel. En amortisationstabel bygges forholdsvis let op i et regneark. I nogle bestemte celler indskrives de faste tal, der indgår i formlen, G, r og n (sådanne tal, der har en fast værdi i formlen, men som vi kan variere på, kaldes for parametre):

• G = gæld, der ofte betegnes med det gamle ord hovedstol. Tallet skrives fx i B2.

• r = rente. Tallet skrives fx i B3 (som decimaltal).

• n = antal terminer. Tallet skrives fx i B4.

I en fjerde celle, fx i B5, skrives formlen til beregning af ydelsen. Denne kan enten skrives som formlen ovenfor, med ændrede symboler: = B2 ⋅

B3 1 − (1 + B3)

− B4

Eller man kan i regnearkets funktioner, blandt de finansielle operationer, finde en der hedder ydelse og anvende den.

Øvelse 3.39 a) I ndskriv oplysningerne i øvelse 3.36 i et regneark som beskrevet ovenfor. I A-kolonnen kan du indskrive, hvad beløbene står for, dvs.: Gæld, Rente, Antal terminer. Når du indskriver formlen, så husk at starte med et lighedstegn som ovenfor. b) P røv dernæst at ændre på de tre parametre, gælden G, renten r, antal terminer n, en af gangen, og se hvad der sker med ydelsen. Når vi har fastlagt gæld, rente og antal terminer, og når vi har udregnet ydelsen, kan vi opbygge amortisationstabellen, fx som følger, hvor vi henter samlede gæld, renter og ydelse i de celler, hvor vi har skrevet dem ind (her i B2, B3 og B5). Disse beløb hentes hele tiden fra samme celler, derfor sætter vi $-tegn rundt om dem: A

Amortisationstabel for køb af computer

Gæld

4249

Rente

0,02

…

nr. på termin

startgæld

rente

afdrag

ydelse

restgæld

=B2

=B14*$B$3

=E14-C14

=$B$5

=B14-D14

=F14

…

131

Øvelse 3.40 a) Hvad skal der stå i række nr. 15? b) Hvad skal der stå i række nr. 16? c) Hvad sker der, hvis vi kopierer række 15 og sætter ind i række 16, 17 osv.? d) Forklar igen, hvorfor vi sætter $-tegn om nogle cellenavne og ikke om andre.

Øvelse 3.41 a) Byg dit regneark fra øvelse 3.39 ud til en amortisationstabel med 36 rækker. b) Hvad er restgælden i den sidste række? c) Hvad er restgælden efter 18 terminer, dvs. efter halvdelen af perioden?

Øvelse 3.42 Du kan finde et regneark med amortisationstabel på bogens website. Regnearket er udbygget med nogle kommandoer, der gør, at du kan indtaste forskellige antal terminer (op til n = 80), hvorefter arket beregner præcis det antal, vi har bedt om. Samtidig tegnes et grafisk billede af situationen. Giv en fortolkning af det grafiske billede.

Øvelse 3.43 Regneark med amortisationstabeller kan anvendes som redskab til at bestemme ukendte størrelser, ved at vi prøver os frem, dvs. skruer på den ukendte størrelse, indtil ”det går op”. a) Forklar, hvordan en sådan tabel kan anvendes til at løse øvelse 3.38 ovenfor. b) F orklar, hvordan en sådan tabel kan anvendes til at løse opgaver med ukendt rente. Giv selv et eksempel, og illustrer med brugen af tabellen. c) F orklar, hvordan en sådan tabel kan anvendes til at løse opgaver med ukendt antal terminer. Giv selv et eksempel, og illustrer med brugen af tabellen.

I opgavebogen er der opgaver til afsnit 7.

132

3. Procent og rentesregning

8. Anlægsøkonomien i etableringen af den faste forbindelse over Storebælt (Talmaterialet i dette afsnit er hentet fra A/S Storebælts årsberetninger fra midt i 90’erne. Materialet kan hentes via bogens website. Afsnit 3.8 kan gennemføres som et projekt). I 1986 vedtog Folketinget, at der skulle anlægges en fast forbindelse over Storebælt, og året efter blev A/S Storebælt dannet. I et land som Danmark, med de mange øer, sunde og bælter, har infrastruktur og transport mellem landsdelene altid været et politisk tema. I den indledende fortælling har vi fortalt denne historie om etableringen af den faste forbindelse over Storebælt, specielt med fokus på boringen af tunnellen. Her vil vi se på anlægsøkonomien i etableringen af den faste forbindelse over Storebælt. I 1991 er A/S Storebælt klar med hele projektet til bygning af tunnelen, de to broer og landanlæggene. Da kontrakterne er indgået, er det samlede budget på 22,7 mia. kr. (i priser angivet i 1992-kroner). Anlægsomkostningerne fordeler sig på de enkelte elementer som illustreret i cirkeldiagrammet ti højre. Administrationsomkostninger er inkluderet heri. Reserverne, der var afsat, var meget beskedne, og det skulle vise sig, at budgettet langt fra kunne holde.

Reserver 6 %

Østtunnel 21% Vestbro 23 % Sprogø 3 %

Baneteknik mm 9 %

Østbro 35 %

Landanlæg 3 %

Anlægsomkostningerne blev lånefinansieret. Men hvordan skulle lånene betales tilbage? Det var fra starten bestemt, at udgifterne skulle betales af dem, der brugte anlægget, dvs. af DSB og af bilisterne, der kører over broen. Budgettet for finansieringen var baseret på en åbning af jernbaneforbindelsen i slutningen af 1994 og af vejdelen i slutningen af 1997. Af forskellige årsager blev hele projektet forsinket. Togforbindelsen gennem tunnelen og over Vestbroen åbnede i juli 1997, og i samme måned året efter kunne biler køre mellem Sjælland og Fyn over Østbroen og Vestbroen. DSB skal betale den del af anlægget, der kan henføres til baneforbindelsen, og bilisterne skal betale den del af udgifterne, der kan henføres til vejforbindelsen. Fordelingen af udgifterne bestemmes derfor af følgende: • Østbroen benyttes udelukkende af biler. • Østtunnellen benyttes udelukkende af tog. • Vestbroen benyttes stort set lige meget af tog og biler. • Landanlægget er lavet udelukkende for bilisterne. • De banetekniske arbejder er lavet udelukkende for tog. • Anlægget på Sprogø til biler og til tog har kostet stort set samme beløb. • Tog og biler skal bidrage ligeligt til reserverne.

133

Øvelse 3.44 a) H vor mange procent af anlægsomkostningerne skal betales af DSB, og hvor mange procent skal betales af bilisterne? b) H vor stort et beløb skal DSB finansiere, og hvor stort et beløb skal bilisterne finansiere? Der var følgende rammer for finansieringen:

• Til dækning af DSB’s udgifter optages et annuitetslån i nationalbanken, der skal betales tilbage over 30 år med 725 mio. hvert år (dvs. 0,725 mia.) • Til dækning af bilisternes udgifter optages et annuitetslån til markedsrente, som skal betales tilbage med de penge, som opkræves af bilisterne, der kører over broen. • Man budgetterede med en trafikmængde over broen på ca. 12500 personbiler og ca. 2500 lastbiler pr. døgn. • Broafgift blev fastsat til 190 kr. for personbiler og 800 kr. for lastbiler og busser. • Den årlige rente er i 1992 på 10 %.

Øvelse 3.45 Hvilken rente skal DSB betale for det 30 årlige lån? Løs det enten på dit værktøjsprogram, eller ved at anvende det regneark, der var link til i forrige afsnit, til at lave en amortisationsplan for afvikling af lånet.

Øvelse 3.46 a) Hvor mange penge kan bilisterne betale af på deres lån pr. år? b) H vor mange år går der, før bilisterne har betalt hele deres lån tilbage? Løs det enten på dit værktøjsprogram, eller ved at lave en amortisationsplan for afvikling af bilisternes lån. c) H vor mange år går der, før bilisterne har betalt deres lån tilbage, hvis de skal betale samme rente som DSB? Lav en amortisationsplan.

Anlægsudgifterne blev betydeligt større end budgetteret med i 1992. Da broen åbnede i 1997, var det samlede anlægsbudget steget til 38 mia. kr.

Øvelse 3.47 a) Hvor mange procents stigning er der tale om? b) Hvor mange procent svarer dette til pr. år?

134

3. Procent og rentesregning

Øvelse 3.48 De 38 mia. kr. fordeles efter samme procenter som det oprindelige beløb. a) H vor mange mia. skal henholdsvis DSB og bilisterne betale af det endelige beløb på 38 mia. kr.? Broafgifterne blev ved broens åbning også sat lidt højere end oprindeligt planlagt – en personbil skulle betale 210 kr. og en lastbil 870 kr. Antallet af biler, der benytter Storebæltsbroen, er derimod stort set som prognoserne forudsagde.

Øvelse 3.49 a) Hvor mange penge kan bilisterne betale af på deres lån pr år med de nye takster? b) U ndersøg ved hjælp af formlen for gældsannuitet eller ved brug af amortisationsplanen, hvordan situationen er for bilisternes afvikling af deres del af gælden. c) Hvad er din forklaring på de resultater, dine udregninger giver? d) Der findes på kapitalmarkedet et begreb, der hedder ”at lide rentedøden”. Prøv at forklare, hvad der kan ligge i begrebet.

A/S Storebælt overlevede, fordi renten sidst i 90’erne begyndte at falde.

Øvelse 3.50 Find ud af, hvordan situationen er i dag: Hvor stor er den daglige biltrafik over Storebælt? Hvad er den normale afgift, personbiler og lastbiler skal betale? Hvad er renten i dag (i cirkatal) på sådanne lån, hvor der er sikkerhed for, at de betales?

9. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 3. På websitet ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

135

Eksponentielle vækstmodeller

Darwins evolutionsteori. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2. 2.1 2.2 2.3

Eksponentialfunktionerne f(x) = b · a og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Eksponentialfunktioners regneforskrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Eksponentialfunktioners grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Sproglig form – at opstille og at tolke eksponentielle sammenhænge . . . . . . . . . . . 144

Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

5. Fordoblings- og halveringskonstanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.1 Jordens alder og opdagelsen af radioaktivitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.2 Beregning og anvendelse af fordoblings- og halveringskonstanter. . . . . . . . . . . . . . 156 6.

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Den lineære model med regneforskriften f(x) = ax + b kan beskrives som plus-vækst, idet der lægges en bestemt talværdi a til y-værdien, for hver gang x vokser med 1. I dette kapitel vil vi undersøge en matematisk model for variabelsammenhænge, hvor den lineære vækstmodel ikke slår til. Denne såkaldte eksponentielle vækstmodel er en matematisk model for fænomener, hvor y-værdien vokser (eller aftager) med en bestemt procent, hver gang x vokser med 1. Vi vil se, at dette også kan beskrives som gangevækst. Sådanne modeller er velegnede til at beskrive så forskellige fænomener som udviklingen i befolkningstallet og radioaktivt henfald. Eksponentielle sammenhænge kan være givet som tabel, som graf, som formel og ved en sproglig beskrivelse, og det er vigtigt at kunne oversætte mellem de fire former. Vi begynder med en fortælling om Darwin og om, hvordan eksponentielle modeller ledte ham på vej mod evolutionsteorien.

136

4. Eksponentielle vækstmodellerner

1. Darwins evolutionsteori Da Charles Darwin i 1836 vender hjem til England fra sin jordomsejling, har han været på togt i fem år. Han er bare 27 år, og foran sig har han lagerhaller fyldt med materialer, der er blevet indsamlet undervejs. Det er alskens præparater af planter og dyr, det er sten og jordprøver, det er notater, tegninger osv. tilsyneladende i ét virvar. Hvordan får han systematiseret det? Og hvilke forudsætninger har han? Efter at have studeret teologi i nogle år havde Darwin kastet sig over naturvidenskab, både teoretisk og med feltarbejde. Dengang var grænserne mellem fagene ikke så skarpe, som de siden blev, men man kan sige, at han rejste ud som geolog og naturgeograf og kom hjem som biolog. Den evolutionsteori, han siden formulerede, sprang ikke i øjnene på ham, mens han rejste. Han kom til Galapagos-øerne, som er vulkanske øer, der er opstået for ca. fem millioner år siden. Øerne ligger med så stor afstand til fastlandet, at dyrelivet har udviklet sig helt særegent. Han tegnede, hvad han så – kæmpeskildpadder, finker i mange varianter og ukendte planter.

Darwin så bl.a. at nogle bestemte fugle, de såkaldte jordfinker, havde udviklet meget forskellige næb, der var tilpasset den type af frø, der var på netop deres ø.

Darwin var egentlig inviteret med for at holde kaptajnen på det britiske flådeskib HMS Beagle ved selskab, men for Darwin var det en enestående mulighed for at gennemføre en naturvidenskabelig ekspedition til steder, der kun sjældent eller aldrig før var blevet besøgt. Han rejste ikke ud for at undersøge bestemte hypoteser eller afprøve en teori, men for at iagttage, beskrive og indsamle.

Med sig på rejsen havde han et nyligt udkommet og meget omtalt værk om geologi og Jordens udvikling, Charles Lyells Principles of Geology. Værket, hvis første bind udkom i 1830, var båret af tanken om Jordens udvikling. Men hvis udviklingstanken skal sættes i stedet for skabelsestanken i geologien, så må det også gælde for de levende arter. Livet har udviklet sig og er ikke bare blevet skabt for 6000 år siden, som kristne fundamentalister mente. Men hvordan, med hvilken mekanisme eller drivkraft? Det gav finkerne, der i dag kaldes Darwins finker, ikke i sig selv noget svar på.

137

Darwins skitse af livets træ – den første model for livets udvikling, som han tegnede. En rentegning heraf var i øvrigt den eneste illustration i "Origin of Species". Teksten er gengivet nedenfor. "I think Case must be that one generation then should be as many living as now. To do this & to have many species in same genus (as is) requires extinction. Thus between A & B immense gap of relation. C & B the finest gradation, B & D rather greater distinction. Thus genera would be formed. — bearing relation"

Darwin kendte naturligvis til det avlsarbejde, hvormed mennesker kan fremme bestemte gode egenskaber ved at vælge de dyr ud, der parres. Der var også hos Darwin og mange andre en klar opfattelse af, at egenskaber nedarves – høje mennesker får normalt høje børn osv. Men hvordan i naturen? På Darwins tid var man ikke i stand til at forklare principperne i, hvordan egenskaber nedarves – man troede, at afkommets egenskaber var en slags gennemsnit af forældrenes. Men man vidste godt, der var noget galt med denne forklaring – en hvid og en sort kat får ikke bare lysegrå killinger. Hvis egenskaber nedarves ved at tage gennemsnittet, så ville der ikke blive større, men stadig mindre variation. Så det ville ikke være et princip, der kunne forklare udviklingen.

Øvelse 4.1 Vi antager, at en bestemt egenskab (øjenfarve, højde etc.) kan repræsenteres med talværdier på en skala fra 1 til 100. a) Vælg 16 tilfældige tal mellem 1 og 100. Overvej, hvordan man kan gøre det! b) V i parrer nu tilfældigt de 16 tal sammen to og to og tager gennemsnittet, som repræsenterer talværdien for samme egenskab hos parrets "børn". Gentag processen med 16 nye par. Så har vi i alt 16 "børn". Sammenlign nu egenskaber (dvs. talværdierne) i anden generation i forhold til den første. c) Gentag proceduren endnu en gang, så vi får en tredje generation. d) Hvad er konklusionen, hvis en udvikling styres af denne mekanisme? Man kan fx anvende begreber fra beskrivende statistik som middeltal, spredning og boksplot.

I sit arbejde med at systematisere det omfattende materiale og forsøge at forstå arternes udvikling laver Darwin i 1837 den skitse, han kalder "livets træ", og som fanger

138

4. Eksponentielle vækstmodellerner

noget væsentligt: Menneskene nedstammer ikke fra aberne, men vi har sammen med aberne en fælles "forfader". Darwins finker nedstammer ikke fra én af typerne, men sammen nedstammer de fra en fælles "urfinke". Men hvad er drivkraften i denne udvikling. Hvad kan forklare, at nogle arter bukker under, andre overlever og udvikler sig? Darwin har i sin selvbiografi fra 1876 forklaret, hvad der fik ham på sporet: "In October 1838, that is, fifteen months after I had begun my systematic inquiry, I happened to read for amusement Malthus' On Population, and being well prepared to appreciate the struggle for existence which everywhere goes on from long-continued observation of the habits of animals and plants, it at once struck me that under these circumstances favourable variations would tend to be preserved, and unfavourable ones to be destroyed. The results of this would be the formation of a new species. Here, then I had at last got a theory by which to work".

Øvelse 4.2

Darwin-sitet

Darwin-sitet indeholder Darwins samlede værker og et væld af materialer i tilknutning til Darwin. Du kan tilgå sitet via bogens website, hvor du samtidig finder oplæg og øvelser om 3 slags aktiviteter: Darwin og Malthus, Darwin og Lyell, samt Darwin og litteraturen.

Malthus' påstand kan illustreres grafisk således: Darwins tolkning er, at der altid vil opstå situationer, hvor der er flere individer af en art, end der er "plads til", og at i sådanne situationer vil de, der er bedst tilpasset levevilkårene det pågældende sted, overleve.

Befolkningstal/ Fødevaremængde

Thomas Malthus' bog fra 1798, An essay on Population, var et kendt og meget kontroversielt værk. Malthus' påstand var, at sult og elendighed nærmest er uundgåeligt, idet befolkningstallet altid vil udvikle sig mere eksplosivt end produktionen af fødevarer, da det første udvikler sig eksponentielt, og det andet udvikler sig lineært. Man kan sige, at det var et af historiens første bud på Grænser for vækst, omtalt i kapitel 1.

Det er altså simpelthen forskellen i vækstmodellerne, der fører til det udskilningsløb, vi kalder naturlig selektion.

Befolkningstal

Fødevaremængde

År

Darwin arbejdede med sin teori fra slutningen af 1830´erne og frem til 1859, hvor han udsendte sit første værk, der fik titlen: On the Origin of Species by Means of Natural Selection or the Preservation of Favoured Races in the Struggle of Life. I samme periode arbejdede en anden videnskabsmand, Alfred Russel Wallace, på en lignende teori gennem studier i Sydamerika og Asien, og i 1858 sendte han sin teori til Darwin, som til sin overraskelse opdagede, at den stemte overens med hans egen! Mens Darwin skrev sit første værk, brugte Wallace i stedet sin tid på yderligere rejser og feltstudier.

139

Via bogens website kan man finde uddybende materiale om Darwin og Wallace. Darwins første værk blev oversat til alle sprog og fik en enorm indflydelse. I 1872 udkom det på dansk, oversat af forfatteren J.P. Jacobsen. Som omtalt kendte Darwin ikke arvelighedslovene. Men næsten samtidig med at han publicerer sit værk, gennemfører en østrigsk munk, Gregor Mendel, nogle banebrydende forsøg om, hvordan visse planters egenskaber nedarves. Han publicerer sine opdagelser i 1865, og vi ved, at Mendel læste Darwin – men det omvendte var ikke tilfældet. Mendel var fra Brno i Tjekkiet (dengang i Østrig-Ungarn), langt fra videnskabens centre, og han var langt forud for sin tid. På B- og A-niveau vil vi gå dybere ned i dette. Darwin manglede også en teori, der kunne begrunde, at Jorden er betydeligt ældre, end man dengang troede. En udvikling, der kan skabe en sådan variation fra de encellede organismer til os mennesker, kræver lang tid. Den store engelske fysiker lord Kelvin foretog omfattende beregninger baseret på teorier om afkøling af varme legemer, og han påviste, at med Jordens nuværende temperatur, måtte dens aldervære under 100 millioner år, hvilket var alt for kort et tidsspand. Han skrev dog, at der kunne være skjulte variable, han ikke kendte. Det var der, og det vender vi tilbage til i afsnit 5 om fordoblings- og halveringskonstanter.

2. Eksponentialfunktionerne f(x) = b · a og deres grafer

2.1 Eksponentialfunktioners regneforskrift n

I kapitel 3 undersøgte vi grundigt formlen K = K0 · (1 + r) , og vi så eksempler på en grafisk fremstilling af den eksponentielle vækst, der beskrives med denne formel. Vi generaliserer nu dette og definerer, hvad vi forstår ved en eksponentiel udvikling f(x) = b · a x, hvor a og b er positive tal.

Definition : Eksponentialfunktion y = f (x) En variabel y siges at være en eksponentialfunktion af en variabel x, hvis der findes positive tal a og b, så vi kan skrive sammenhængen på formen x y=b· a b kaldes konstantfaktoren (eller: begyndelsesværdien). a kaldes fremskrivningsfaktoren. Når a skrives på formen a = 1 + r, kaldes r for vækstraten.

140

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Ved at sammenligne de to formler: K = K0 · (1 + r) og y = b · a , ser vi, at y svarer til K, b svarer til K0, a svarer til 1 + r og x svarer til n. Eksponentialfunktioner har derfor samme grundlæggende egenskaber, som vi undersøgte under procentregningen.

Sætning 1: Eksponentiel vækst er gangevækst x

For en eksponentialfunktion med regneforskriften y = b · a = b · (1 + r) gælder • når x vokser med 1, vokser (eller aftager) y med vækstraten r. ∆x • når x vokser med størrelsen ∆x, bliver y ganget med (1 + r) .

Øvelse 4.3 Angiv for hver af følgende eksponentialfunktioner konstantfaktoren (begyndelsesværdien), fremskrivningsfaktoren og vækstraten. x

1) f(x) = 34 · 1,056

2) f(x) = 117 · 1,61 x

4) f(x) = 26,9 · 1,008

5) f(x) = 0,89

3) f(x) = 0,84 · 0,973 6) f(x) = 2,20

2.2 Eksponentialfunktioners grafer Graferne for eksponentielle funktioner befinder sig altid over førsteaksen. Værdien for y kan aldrig blive negativ eller 0. En huskeregel kan være at tænke på det grundlæggende eksempel på eksponentiel udvikling: Et befolkningstal kan stige og falde, men aldrig blive negativt.

Øvelse 4.4

Eksperimentel undersøgelse af eksponentialfunktionerne

Undersøg den grafiske betydningen af a og b ved brug af et værktøj (anvend fx skydere for a og b). På bogens website ligger en vejledning til, hvordan dette gøres i de gængse værktøjer. x

a) T egn en række grafer for eksponentielle funktioner f(x) = b · a , hvor a holdes fast og b varieres. b) Formuler med ord, hvilken indflydelse b har på grafens forløb? x

c) T egn en række grafer for eksponentielle funktioner f(x) = b · a , hvor b holdes fast og a varieres. d) Formuler med ord, hvilken indflydelse a har på grafens forløb?

141

Betydningen af tallet b Vi ser, at for x = 0 er funktionsværdierne lig med begyndelsesværdien b. Det kan vi også se ved hjælp af potensreglen a0 = 1, idet x = 0 giver f(0) = b · a0 = b · 1 = b. Betydningen af tallet a n

Hvis vi tænker på formlen K = K0 · (1 + r) kan vi se, at fremskrivningsfaktoren a spiller samme rolle som tallet 1 + r , nemlig som det tal, y-værdien ganges med for hvert skridt, vi går frem på x-aksen. Det er på denne måde, eksponentiel vækst kan opfattes som "gangevækst", og vi ser nu, at en gangevækst svarer til en konstant procentvis vækst, hvor vækstraten r netop er den "konstante procent" angivet som decimaltal. Om "gangevækst" ved vi, at • når man ganger med et tal større end 1, så bliver slutværdien større end startværdien. • når man ganger med et tal mindre end 1, så bliver slutværdien mindre end startværdien.

Sætning 2: a-tallets betydning for funktionernes monotoniforhold Når fremskrivningsfaktoren a er større end 1 (skrives a > 1), så er eksponentialfunktionen voksende. Når fremskrivningsfaktoren a er mindre end 1 og større end 0 (skrives 0 < a < 1), så er eksponentialfunktionen aftagende.

Betydningen af tallet r Når a er større end 1, skyldes det, at vækstraten r er positiv, og når a er mindre end 1 og større end 0, skyldes det, at vækstraten r er negativ. Ovenstående sætning kan derfor også udtrykkes med vækstraten r.

Sætning 3: Vækstraten r's betydning for funktionernes monotoniforhold Når vækstraten r er større end 0 (skrives r > 0), så er eksponentialfunktionen voksende. Når vækstraten r er mindre end 0 (skrives r < 0), så er eksponentialfunktionen aftagende.

Øvelse 4.5 Vi mangler at se på tilfældet a = 1. Hvordan er situationen i dette tilfælde?

142

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Øvelse 4.6 Angiv for hver af eksponentialfunktionerne i øvelse 4.4 ovenfor, hvilke der er voksende, og hvilke der er aftagende.

Øvelse 4.7 På den følgende figur ses de grafiske repræsentationer af de fem eksponentielle funktioner: x

1) f(x) = 1,5 · 1,4

2) f(x) = 3 · 1,15

4) f(x) = 5 · 0,6

5) f(x) = 5 · 0,8

3) f(x) = 3 · 1,4

Hvilke grafer hører sammen med hvilke funktioner? Begrund svarene.

1 x

Øvelse 4.8 a) Tegn i samme koordinatsystem graferne for følgende eksponentialfunktioner:

1) f(x) = 0,5 · 1,3

2) f(x) = 8 · 0,9 x

b) Løs ligningen 0,5 · 1,3 = 8 · 0,9 grafisk, som vi gjorde i kapitel 3, afsnit 2.

Øvelse 4.9

f(x4) = 2 · (a4)

På figuren ses graferne for to eksponentielt voksende funktioner, som har forskrifterne x

f(x1) = 2 · (a1)

f1 (x) = 2 · a1 og f2 (x) = 2 · a2

f(x3) = 2 · (a3 )

f(x2) = 2 · (a2)

og to eksponentielt aftagende funktioner, som har forskrifterne x

f3 (x) = 2 · a3 og f4 (x) = 2 · a4

1 1

Angiv den indbyrdes beliggenhed af tallene a1, a2, a3 og a4 på en tallinje som nedenfor: 0

Resten af dette afsnit 2.2 er især henvendt til B- og A-niveau.

143

Øvelse 4.10

Det grafiske forløb, når x bevæger sig uendeligt langt væk

a) U dregn for stadig større positive værdier af x nogle y-værdier for den eksponentielle x funktion: y = 4 · 0,8 b) T egn den grafiske repræsentation af sammenhængen mellem x og y. c) B eskriv med ord, hvordan grafen forløber i forhold til x-aksen. d) Udregn for stadig større negative værdier af x nogle y -værdier for den eksponentielle x funktion: y = 2 · 1,25 e) Tegn den grafiske repræsentation af sammenhængen mellem x og y. f ) Beskriv med ord, hvordan grafen forløber i forhold til x-aksen. Med øvelse 4.11 har vi argumenteret for følgende: y

Sætning 4: Eksponentialfunktionernes asymptotiske egenskaber 1) For en eksponentielt aftagende funktion gælder, at når x bevæger sig mod plus uendelig (+ ∞), vil f(x) nærme sig 0.

x y

2) For en eksponentielt voksende funktion gælder, at når x bevæger sig mod minus uendelig (– ∞), vil f(x) nærme sig 0.

En ret linje, som punkterne på grafen nærmer sig, når vi bevæger os stadigt længere væk fra centrum (koordinatsystemets begyndelsespunkt), kaldes en asymptote. Sætningen 4 siger, at x-aksen er en vandret asymptote til graferne for eksponentielle funktioner. Andre funktioners grafer kan have lodrette eller skrå asymptoter (se figur). 8

Grafen har både en vandret og en lodret asymptote.

Grafen har en vandret asymptote.

Grafen har både en lodret og en skrå asymptote.

2.3 Sproglig form – at opstille og at tolke eksponentielle sammenhænge 10

Eksponentielle sammenhænge kan som variabelsammenhænge generelt være givet på fire forskellige former: Sprogligt – grafisk – som en formel – eller ved en tabel. 12

I forrige afsnit så vi på sammenhængen mellem formlen, der også kaldes regneforskriften f(x) = b · a x og det grafiske billede. I dette afsnit vil vi se på situationer, hvor den eksponentielle sammenhæng er beskrevet eller ønskes beskrevet med almindeligt sprog.

144

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Eksempel: Fra sprog til formel Hvordan opstilles en eksponentiel vækstmodel, dvs. hvordan oversættes fra sproglig form til et formeludtryk? Vi vil som eksempel se på følgende problemstilling: I 1980 var der 158 personer i Danmark, der var over 100 år. I perioden frem til 2006 voksede antallet med 5,7% om året. Indfør passende variable, og opstil en ligning, der beskriver udviklingen i antallet af danskere over 100 år. Vi ser, at den uafhængige variabel er tiden i form af "antal år efter 1980". Den betegner vi t. Den afhængige variabel er "antal danskere over 100 år". Den betegner vi N. Da der er tale om en vækst med en fast procent, kan den beskrives ved en eksponentiel model, dvs. ved sammenhængen y = b · a x, eller med vore variabelnavne N = b · a

Begyndelsesværdien b er antal personer over 100 år i 1980, og det er i teksten opgivet til 158, dvs. b = 158. Vækstraten er angivet til r = 5,7% = 0,057. Heraf får vi fremskrivningsfaktoren: a = 1 + 0,057 = 1,057. Konklusion: Den eksponentielle model, der beskriver udviklingen i antallet af danskere t over 100 år i perioden 1980 til 2006 er: N = 158 · 1,057 hvor N betegner antal danskere over 100 år, og t betegner antal år efter 1980. Vækstraten angiver den procent, som den afhængige variable falder eller vokser med, hver gang den uafhængige variabel vokser med 1. I nogle sammenhænge angives imidlertid også startværdi og slutværdi som procenttal. Har vi eksempelvis ingen oplysning om startværdiens størrelse, sættes den ofte til 100, underforstået 100 %. I sådanne opgaver får man ofte oplyst, at udviklingen har medført, at størrelsen er faldet til en bestemt procent. Dette procenttal angiver i dette tilfælde slutværdien. Får vi omvendt oplyst, at størrelsen samlet er faldet med fx 75 %, så er slutværdien 100 – 75 = 25. Dette illustreres i følgende øvelse:

Øvelse 4.11 At falde med en % eller at falde til en % I år 2000 var der i et bestemt land 18000 km2 skov. Siden er skovarealet faldet med 5% om året. a) I ndfør passende variable, og opstil en ligning, der beskriver udviklingen i det samlede skovareal i årene efter 2000. b) Hvor mange km2 vil der være i år 2050, hvis denne udvikling fortsætter? c) Hvor lang tid vil der gå, før arealet er faldet med 25%? d) Hvor lang tid vil der gå, før arealet er faldet til 25%?

145

Eksempel: Fra formel til sprog Hvordan tolkes en eksponentiel vækstmodel, dvs. hvordan oversættes fra regneforskrift til en sproglig form? Vi vil som eksempel se på følgende problemstilling: En person indtager noget bestemt medicin. Efter indtagelsen udvikler den resterende mængde medicin M (målt i mg) sig efter følgende model: M = 3 · 0,88t, hvor t angiver antal timer efter indtagelsen. Hvad fortæller tallene 3 og 0,88 om udviklingen? Vi ser, at udviklingen er en eksponentiel model, fordi forskriften er på formen y = b · a x , hvor b = 3 og a = 0,88. Tallet 3 angiver altså startværdien, dvs. der er indtaget 3 milligram til tiden t = 0, hvilket vi også kan beregne ved at indsætte t = 0 i forskriften og anvende potensregel nr. 6: M = 3 · 0,88 0 = 3 · 1 = 3 Om fremskrivningsfaktoren a gælder jo, at a = 1 + r, hvor r er vækstraten, og derfor er

1 + r = 0,88

hvoraf vi kan bestemme vækstraten, idet vi isolerer r r = 0,88 – 1 = –0,12 Da vækstraten er negativ, er der tale om et fald. Konklusion: Personen indtager 3 mg medicin fra start, og mængden af medicin i kroppen falder efter indtagelsen med 12% i timen.

Øvelse 4.12

Udbygningen af vindenergi i Danmark

I perioden 1990–2000 fulgte udbygningen af vindkraft i Danmark med god tilnærmelse t følgende model: y = 281,1 · 1,218 , hvor t er antal år efter 1990, og y er den installerede vindkapacitet målt i MW (Megawatt). Giv en fortolkning af tallene 281,1 og 1,218. I 2002 gik udbygningen af vindkraft helt i stå i Danmark og kom først i gang igen i 2009. Vi vender tilbage til en matematisk modellering af vindenergi i Hvad er matematik? 2.

Øvelse 4.13

Beskyttelse mod gammastråling

Radioaktiv stråling, der rammer betonvægge, reduceres med 11,6% pr. cm beton. a) I ndfør passende variable, og opstil en ligning, der beskriver sammenhængen mellem procentdelen af radioaktiv stråling, der trænger gennem væggen, og væggens tykkelse. b) Hvor meget trænger igennem en væg på 15 cm? c) Hvor tyk skal væggen være, for at der kun slipper 0,5% igennem?

146

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Eksempel: Afkøling (især for B- og A-niveau) Hidtil har vi set på fænomener, hvor den afhængige variabel ændrer sig med en fast procentdel, hver gang den uafhængige variabel vokser med 1. Men i nogle situationer er der en naturlig nedre eller øvre grænse, som ikke er nul. Hvis varm væske i en beholder afkøles, vil det ikke ende med, at temperaturen nærmer sig 0 ºC. Tallet 0 på temperaturskalaen er et tilfældigt tal, vi har valgt. I Fahrenheit har man valgt tallet 32. Temperaturen falder i stedet med en fast procentdel af forskellen mellem den aktuelle temperatur og omgivelsernes temperatur.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver til afsnit 2.

3. Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel Man kan vælge at gennemføre dette afsnit om eksponentiel regression som et projekt. Projektet, der kan hentes via bogens website, har fokus på et eksperimentelt arbejde med afkøling, gerne i samarbejde med fysik. Bemærk, at fremgangsmåden i dette afsnit nøje følger den fremgangsmåde, vi fulgte i kapitel 1 om lineær regression. I tabellen ses udviklingen i New Yorks indbyggertal (målt i tusinde) i årene fra 1790 til 1900. Årstal Indbyggertal

1790

1800

1820

1840

1860

1880

1900

124

312

813

1912

3437

Skriv tabellen ind i dit værktøjsprogram, så du kan arbejde med den. Opret en ny række med Antal år efter 1790, som kan beregnes ved hjælp af variablen Årstal, idet: Antal år efter 1790 = Årstal – 1790. Tegn den grafiske repræsentation af sammenhængen mellem indbygger og antal år efter 1790. Det er betydeligt sværere at afkode denne type grafer, end hvis sammenhængen var lineær, men når vi sammenligner med de grafiske fremstillinger af eksponentielle sammenhænge, vi har set ovenfor, så inspirerer det os til at lede efter en sådan sammenhæng. I stedet for blot at forbinde punkterne med en "blød" kurve, vælger vi altså at tro på, at der er en eksponentiel sammenhæng mellem de to variable. Virkeligheden er altid

147

noget "grumset" i forhold til teorien, men man kan sige, at det, vi tror på, er at der bag målepunkterne så at sige ligger nogle ideelle teoretiske værdier, som vi ikke umiddelbart kan se, men som målepunkterne er en slags genspejling af. Disse teoretiske værdier vil ligge præcis på grafen for en eksponentiel sammenhæng. Værktøjsprogrammerne har en indbygget metode til at beregne en regneforskrift for, samt tegne den eksponentielle graf, der passer bedst muligt til datapunkterne. "Bedst muligt" bygger som ved lineær regression på en vedtagelse om, hvordan vi måler denne afvigelse. Den graf, der passer bedst muligt, kaldes regressionsgrafen (af og til x f(x) = 36,2781 · (1,04375) tendensgrafen), og vi siger, at grafen er fremkommet ved at lave ekspoindbyggertal nentiel regression. 3000 2000 1000 0

100 år

Udnyt nu værktøjsprogrammets muligheder for at udføre en eksponentiel regression på datamaterialet ovenfor, og tegn regressionsgrafen sammen med datapunkterne fra tabellen. Overvej, om man kan være tilfreds med, hvordan grafen ligger i forhold til de virkelige målepunkter? Foruden grafen kan værktøjerne give regneforskriften for den eksponentielle model, der beskriver sammenhængen. Den kaldes også regressionsligningen for sammenhængen mellem de to variable. Se figuren.

På bogens website ligger en vejledning i, hvordan man på de gængse værktøjer udfører eksponentiel regression. I nogle værktøjsprogrammer angives regneforskriften på denne form: y = 36,278 · e0,0428·t hvor t er antal år efter 1790, og y er befolkningstallet. Vi skal kunne omskrive mellem de to forskellige udgaver af regneforskriften. Sammenhængen uddybes på B- og A-niveau. Det indgår også i et projekt i kapitel 8. Her giver vi blot konklusionen:

Praxis: Omskrivning mellem a og e k·x

kx k

0,0428

Vi omskriver fra e til a ved at udregne a = e , eksempelvis: a = e = 1,0437. t k·t Vi omskriver fra a til e ved at udregne k = ln(a), eksempelvis: k = ln(a) = 0,0428.

Når et værktøjsprogram udregner forskriften for den eksponentielle model, hvis graf passer bedst muligt med datapunkterne, udregner den samtidig et mål for, hvor godt denne model og regressionsgrafen passer med de oprindelige datapunkter. Dette mål har i matematik symbolet r 2 og kaldes ofte forklaringsgraden.

148

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Tallet r 2 ligger altid mellem 0 og 1. Matematisk set er det sådan, at hvis punkterne og grafen passer perfekt, er r 2 = 1, og hvis punkerne på ingen måde kan siges at have tendens til at ligge på grafen for en voksende eller aftagende eksponentiel vækstmodel, så er r 2 = 0. Man må ikke lade sig narre af selve ordet forklaringsgrad. En forklaring handler normalt om en årsagssammenhæng eller en naturvidenskabelig lovmæssighed. Forklaringer kommer derfor via en faglig indsigt, og ikke via et tal som r 2. Vi vender tilbage til dette på B- og A-niveau. Et bedre værktøj til at bedømme, hvor godt modelværdierne passer med måledata, er det såkaldte residualplot, som vi også omtalte under den lineære regression. Her får man et grafisk billede af forskellen mellem dataværdierne og de beregnede modelværdier, der gør det lettere at vurdere, om forskellen mellem model og virkelighed kan tilskrives rene tilfældigheder, eller om den kunne pege på en sammenhæng, vi endnu ikke har opdaget.

Øvelse 4.14 a) O pstil residualerne, dvs. en liste over: empiriske værdier – modelværdier. Du skal dels beregne det i hånden, dels udnytte dit værktøjs indbyggede facilitet til beregningen. Din liste skal se således ud:

-3,2781

4,332397

-7,07459

3,372592

70 90 110

86,30784 200,9352 -591,863

200

b) U dfør et residualplot, dels ved selv at udføre plottet på dit værktøj, dels ved at udnytte den indbyggede facilitet til at tegne et sådant. Dit plot skal se nogenlunde sådan ud:

100 0 –100

100

–200 –300 –400 –500

På bogens website ligger et lille regressionsprojekt om boringen af storebæltstunnellen.

149

Øvelse 4.15

Kroppen forbrænder medicin efter en eksponentiel kurve

Når der udvikles ny medicin, og det gives til en patient, overvåger man, hvordan medicinkoncentrationen i kroppen udvikler sig. Patienten udeblev desværre dag 2 på grund af andre komplikationer, så derfor foreligger der kun følgende målinger: Koncentration y af medicin i blodet t dage efter, det er givet

t (dage)

y (mg/l)

200

129

Vi er interesseret i et bud på koncentrationen dag 2. Erfaringen siger, at medicinen optages og nedbrydes efter en eksponentielt aftagende kurve. Kan vi hjælpe personalet?

Øvelse 4.16

Model for spædbørnsdødeligheden i Danmark

Spædbørnsdødeligheden angiver, hvor mange promille af de levendefødte, der dør inden for det første leveår. Tabellen nedenfor er hentet fra Danmarks Statistik, og den viser udviklingen i spædbørnsdødeligheden i perioden 1933-1973. Årstal Spædbørnsdødelighed

1933

1938

1943

1948

1953

1958

1963

1968

1973

71,4

60,0

48,4

37,8

27,4

23,0

19,6

15,4

11,5

I en model kan spædbørnsdødeligheden som funktion af antal år efter 1933 beskrives ved en eksponentielt aftagende funktion f(t) = b · a t, hvor t angiver antal år efter 1933, og f(x) angiver spædbørnsdødeligheden. a) Bestem tallene a og b ved eksponentiel regression. b) Plot datapunkterne sammen med grafen for den fundne funktion. c) H vad fortæller tallene a og b om udviklingen i spædbørnsdødeligheden i perioden 1933-1973? d) Bestem det gennemsnitlige årlige procentvise fald, dvs. vækstraten, for spædbørnsdødeligheden i perioden 1933-1973. e) G iv på grundlag af den valgte model en prognose for spædbørnsdødeligheden i år 2008. f) H vornår er spædbørnsdødeligheden nede på 5 promille ifølge modellen? g) D et oplyses, at spædbørnsdødeligheden i 2008 var 9,9 promille. Hvordan passer dette med modellen? h) Benyt oplysningen til at kommentere modellens rækkevidde.

Opgaver I opgavebogen kan du finde en række opgaver om emnet eksponentiel regression.

150

4. Eksponentielle vækstmodellerner

4. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter Hvis der i et koordinatsystem er givet to punkter, der ikke ligger lodret over hinanden, og hvor y-værdierne er positive, så gælder den umiddelbart overraskende påstand, at der gennem disse to punkter går præcis én graf for en eksponentialfunktion. Situationen minder altså om den, vi kender fra lineære funktioner, men dér er det jo indlysende, at der gennem to punkter kun går en linje. Det er knap så indlysende for eksponentialfunktioner – man kunne godt tro, at der gennem to punkter kunne tegnes forskellige eksponentielle grafer. Årsagen til, at der er præcis en graf, er at regneforskrifter for eksponentialfunktioner er bestemt af to tal, a og b, og når vi har to oplysninger, kan vi også normalt løse et ligningssystem med to ubekendte, dvs. finde tallene a og b, og dermed den graf, der går gennem punkterne. Når en opgave fx lyder: Bestem den eksponentialfunktion, hvis graf går gennem to givne punkter, betyder det, at vi skal bestemme de to konstanter a og b og konkludere x ved at opskrive formlen f(x) = b · a med de to konstanter indsat. Vi vil illustrere fremgangsmåden med et eksempel: Bestem den eksponentialfunktion, hvis graf går gennem punkterne P(2,3) og Q(6,8). Metode 1 (sildebensmetoden) Opstil punkterne i en tabel. Vi udnytter eksponentialfunktionens grundlæggende egenskab: Når x vokser med 4, så ganges y-værdien med a4. Derfor får vi: 3⋅ a = 8 4

a4 =

8 3

= 2, 667

2, 667 = 1, 278

Divider med 3 Uddrag den fjerde rod

· a44 -a

Nu kender vi a = 1,278 og kan indsætte tallet i forskriften for funktionen sammen med koordinaterne for det ene af de to punkter, fx Q(6, 8):

8 = b ⋅ 1, 2786

8 = 1, 84 1, 2786

Divider med 1,2786 x

Konklusion: Den søgte eksponentielle funktion er f(x) = 1,84 · 1,278 .

Metode 2 (to ligninger med to ubekendte) Forskriften for eksponentialfunktionen er f(x) = b · a x. Punkterne ligger på grafen for funktionen, og koordinaterne passer derfor ind i forskriften, så vi får følgende to ligninger med a og b som de to ubekendte: 8 = b · a6

3 = b · a2

151

Dette ligningssystem kan løses med solve-kommandoen – det kan se således ud:  8 = b ⋅ a6  Solve   , a, b 2  3 = b ⋅ a 

eller: Solve ({8 = b·a6, 3= b·a2},{a,b})

a = 1,278 og b = 1,84

Eller det kan løses ved at eliminere den ene ubekendte ved en passende regneoperation. Her vil vi dividere de to ligninger med hinanden, dvs. dividere de to venstresider og de to højresider af ligningerne, hvorved vi ender med en variabel, nemlig a:

8 b ⋅ a6 = 3 b ⋅ a2

8 a6 = 3 a2

Forkort b

8 = a6 − 2 Anvend potensregel nr. 2 3 8 = a4 Reducer eksponenten 3 8 a= 4 Anvend rodfunktionen 3

a = 1, 278 Omregn til decimaltal Bemærk: a angives normalt med 3 decimaler. b bestemmes som i metode 1. x

Konklusion: Den søgte eksponentialfunktion er: f(x) = 1,84 · 1,278 . Bemærk: Fremgangsmåden ovenfor gælder generelt og er dermed samtidig et bevis for påstanden om, at der gennem to punkter med positiv 2. koordinat går én og kun én graf for en eksponentiel udvikling.

Øvelse 4.17

Udfør kontrol

Det andet punkt P(2,3) skal også ligge på grafen og derfor opfylde ligningen. Gennemfør en kontrolberegning ved hjælp af P(2,3), idet x-koordinaten x = 2 ved indsættelse i forskriften skal give y-værdien y = 3.

Øvelse 4.18 Bestem forskrifterne for de eksponentielle funktioner, hvis graf går gennem punkterne: a) P(–3,4) og Q(7,8). b) P(0,25) og Q(15,3).

152

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Øvelse 4.19 Bestem forskriften for hver af de eksponentialfunktioner, der opfylder følgende: a) begyndelsesværdien er 28, og grafen går gennem punktet P(13,5). b) vækstraten er 7,5%, og grafen går gennem Q(–10,2).

Øvelse 4.20

En formel for a-tallet

På bogens website udledes formlen til bestemmelse af tallene a ud fra to vilkårlige punkter P(x1 ,y1) og Q(x2 ,y2). Udledningen bygger på løsning af to ligninger med to ubekendte, som er beskrevet i 2. metode ovenfor.

Opgaver I opgavebogen findes en række opgaver i tilknytning til afsnit 4.

5. Fordoblings- og halveringskonstanter 5.1 Jordens alder og opdagelsen af radioaktivitet Indtil for få hundrede år siden hørte spørgsmålet om Jordens alder hjemme i teologien. Ud fra detaljerede bibelstudier kunne en irsk biskop Usher i 1650 bekendtgøre, at Jorden blev skabt lørdag aften d. 22. oktober år 4004 f.v.t. En alder af denne størrelsesorden var alment accepteret, også af videnskabsmænd som den danske Niels Steensen (Steno) (1638-1686), der opdagede fossiler i Italiens bjerge, og Isaac Newton (1643-1727), der opstillede den første samlede naturvidenskabelige teori for solsystemets indretning. Fossiler er rester af planter eller dyr, som i løbet af mange millioner år er blevet forvandlet til sten, som gengiver den form, de engang havde. Omkring år 1800 begyndte forskellige videnskaber at tage spørgsmålet om jordens alder til sig og opstille modeller, der kunne give svar. Den franske ingeniør og videnskabsmand Georges-Louis Leclerc (17071788), også kaldet Buffon, fordi han var greve af Buffon, fik den ide, at hvis Jorden er blevet til som en glødende kugle, må man kunne regne på, hvor lang tid der går, før den er afkølet til en overfladetemperatur, som den vi kender i dag. Han lavede forsøg med kugler af jern og andre materialer ved at opvarme dem til de var hvidglødende og derefter lade dem afkøle, til han kunne røre ved dem. I et værk fra 1778 fremlægger han sit resultat: Jorden er 74.832 år gammel.

Samtidig akvarel af Grev Buffon, der i 1700-tallet som den første anstillede forsøg med Jordens afkøling for at kunne anslå dens alder.

153

Efter afkøling i ca. 600 millioner år får jorden de første faste klipper, og nogle 100 millioner år senere opstår det første liv. Først for ca. 600 millioner år siden opstår de første komplekse former for liv, illustreret ved de små tegninger af fortidsdyrene. Foroven ses et fossil af en ca. 500 mio. år gammel trilobit fundet på bunden af havet. Trilobitten er ca. 1,5 cm lang.

Figuren viser en side fra Lyells Principles of Geology med skaller fra eocæn-perioden.

Selv om dette tal er alt for lavt sat, så vakte påstanden vrede hos teologer, og Buffon blev truet med at blive smidt ud af kirken. Han skyndte sig derfor at undskylde sin tankeløshed, men fortsatte spøgefuldt med at omtale ideerne i sine skrifter. Den moderne geologis fader, Charles Lyell (1797-1875), som vi omtalte i indledningen til kapitlet, og som Darwin var påvirket af, vurderede omkring 1830 ud fra studiet af aflejringer, sedimenter og geologiske lag, at det nærmest må have taget uendelig tid at opbygge disse strukturer. Darwin vurderer i Origin of Species, at bestemte naturprocesser må have taget flere hundrede millioner år, så han havde altså også brug for en lang tidsskala til at rumme evolutionen. Men i 1862 fremlægger den engelske fysiker William Thomson (der i dag er kendt under sit adelige navn lord Kelvin) nogle omfattende matematiske beregninger vedrørende Jordens afkøling efter samme idé som Buffon. Han er datidens største ekspert i varmeledningsteori og svær at hamle op med. Efter nogle senere korrektioner fastholder han resten af sit liv, at Jorden er mellem 20 og 40 millioner år gammel – hvilket er alt for kort tid til at kunne forklare Darwins evolutionsteori. I sine oprindelige beregninger vedgik Kelvin, at der kunne være skjulte variable ("a source now unknown to us"), som kunne føre til et andet resultat. Videnskaben havde et problem: Kelvins matematiske beregninger var korrekte, men hans konklusioner blev modsagt af flere og flere opdagelser af fossiler; opdagelser, der støttede Darwins teori.

154

4. Eksponentielle vækstmodellerner

I 1869 havde Darwins forkæmper, den britiske biolog Thomas H. Huxley, og Thomson en åben debat om Jordens alder. Huxley sagde under debatten:

" I desire to point out that this seems to be one of the many cases in which the admitted accuracy of mathematical processes is allowed to throw a wholly inadmissible appearance of authority over the results obtained by them [scientists]. Mathematics may be compared to a mill of exquisite workmanship, which grinds you stuff of any degree of fineness; but nevertheless, what you get out depends upon what you put in; and as the grandest mill in the world will not extract wheat flour from peascods, so pages of formulas will not get a definite result out of loose data."

I 1896 opdager den franske fysiker Becquerel sammen med sin student Marie Curie et helt nyt fænomen, som Marie Curie kaldte radioaktivitet. Radioaktive stoffer omdannes til andre stoffer, og i denne proces udsendes stråling, der bl.a. skaber varme. Få år efter, i 1904, opdager Rutherford i England, at radioaktive stoffer omdannes efter bestemte love: For et givet radioaktivt stof tager det altid samme tid før halvdelen er omdannet til noget andet.

Henri Becquerel (1852 - 1908)

Pierre Curie (1859 -1906)

Typisk fremstilling af den geologiske udviklingshistorie fra ca. 1880 i England.

Marie Curie (1867 - 1934)

Ernest Rutherford (1871 - 1937)

I 1903 fik Henri Becquerel, Marie Curie og Pierre Curie Nobel Prisen i fysik fordelt således at Bequerel fik halvdelen, for at have opdaget radioaktivitet, mens den anden halvdel blev delt mellem de to Curie, for at have bistået Becquerel i hans opdagelser. I 1908 fik Ernest Rutherford Nobel prisen i kemi for sine undersøgelser af radioaktive stoffer.

155

Rutherford havde opdaget, at et radioaktivt stof henfalder efter en eksponentielt aftagende kurve, og at dette henfald er karakteriseret ved en bestemt halveringskonstant. Rutherford indså nu også, at de radioaktive stoffer var de skjulte variable, og at deres halveringstid kunne bruges til at bestemme Jordens alder. I 1904 præsenterer han i et foredrag sine opdagelser og foreløbige beregninger ud fra dette. Jordens alder er ifølge Rutherford ca. 700 millioner år gammel. Blandt tilhørerne sad i øvrigt Kelvin, og Rutherford udtrykte sig respektfuldt over for den gamle mand, idet han påpegede, at allerede Kelvin havde gjort opmærksom på, at der kunne være noget i spil, vi ikke kendte til. Kelvin lod sig nu ikke anfægte af de nye opdagelser. I dag ved vi, at Jorden stort set ikke afkøles – den holder en konstant overfladetemperatur især pga. to faktorer: varmen fra henfald af radioaktive stoffer, og varmen fra de konstante bevægelser i Jordens kappe. Uden disse kilder til varme ville Jorden være en kold og øde planet. Radioaktive stoffer henfalder (omdannes) til stabile stoffer, fx bly, og ved at undersøge forholdet mellem de forskellige typer af bly – og andre stoffer – kan man i dag beregne Jordens alder. Alle beregninger giver samme resultat: Alderen er ca. 4,54 milliarder år.

5.2 Beregning og anvendelse af fordoblings og halveringskonstanter Rutherfords opdagelse bygger på følgende grundlæggende egenskab: Enhver eksponentiel udvikling har en karakteristisk konstant, der beskriver, hvor hurtigt eller hvor langsomt udviklingen foregår. En eksponentiel udvikling kan beskrives som en gangevækst. Derfor må der findes en bestemt skridtlængde ∆x, så a∆x = 2, når der tale om en voksende eksponentiel udvikling. Dvs. der må findes en bestemt skridtlængde ∆x, der fordobler den afhængige variabel for voksende eksponentielle udviklinger. Denne bestemte skridtlængde kaldes fordoblingskonstanten og skrives T2.

Sætning 5: Fordoblingskonstant x

For en eksponentielt voksende funktion f(x) = b · a findes en konstant T2, kaldet fordoblingskonstanten, som angiver, hvor langt man fra en given værdi x0 af den uafhængige variable skal gå frem på 1. aksen, før y-værdien er fordoblet, T dvs. a = 2. T2 kan beregnes af formlen ln( 2 ) log( 2 ) eller T2 = T2 = ln( a) log( a) 2

Tilsvarende må der findes en bestemt skridtlængde ∆x, så a∆x = 21 , når der er tale om en aftagende eksponentiel udvikling. Dvs. der må findes en bestemt skridtlængde ∆x, der halverer den afhængige variabel for aftagende eksponentielle udviklinger. Denne bestemte skridtlængde kaldes halveringskonstanten og skrives T1 . 2

156

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Sætning 6: Halveringskonstant For en eksponentielt aftagende funktion f(x) = b · ax findes en konstant T1 , kaldet 2

halveringskonstanten, som angiver, hvor langt man fra en given værdi x0 af den uafhængige variable skal gå frem på 1. aksen, før y-værdien er halveret, dvs. T1

a2 =

1 . 2

T1 kan beregnes af formlen 2

T1 = 2

log( 21 ) ln( 21 ) eller T1 = 2 log( a) ln( a)

Bevis Vi beviser sætning 5. Beviset for sætning 6 kan gennemføres helt parallelt hermed. Betragt grafen for en eksponentielt voksende funktion

f(x) = b · ax Først betragtes situationen ud fra startværdien b, dvs. i punktet (0,b): Hvor langt skal vi gå frem på 1. aksen, før y-værdien er vokset til det dobbelte, dvs. til 2b? y = 2b svarer til den x-værdi, vi kalder T2 (se figuren), dvs. der gælder, at

b T2

f(T2) = 2b

b · aT = 2b 2

Vi isolerer T2 i udtrykket: aT = 2 2

Divider med b

log(aT ) = log(2) Anvend log 2

T2 · log(a) = log(2)

log( 2) T2 = log( a)

"log" T2 ned

Isoler T2

Øvelse 4.21 (især for B- og A-niveau) På bogens website findes beviset i det generelle tilfælde.

Øvelse 4.22 a) Bevis sætning 6 for aftagende funktioner. b) D efiner en størrelse, vi kan kalde en firedoblingskonstant, og som vi vil betegne T4, og opstil en formel til beregning af tallet T4.

157

Øvelse 4.23 Hvilke af følgende funktioner er voksende, og hvilke er aftagende? Beregn fordoblings- eller halveringskonstanten for funktionerne: x

2. f(x) = 0,23 · 1,7

4. f(x) = 3,5 · e

1. f(x) = 35 · 0,95 3. f(x) = 0,8 · e

0,4x

-1,2x

Øvelse 4.24 Aflæs grafisk halverings- eller fordoblingskonstanten for følgende funktioner: y

1 1

Øvelse 4.25 Hvilken af de følgende funktioner f, g og h har den største fordoblingskonstant?

g h

Øvelse 4.26

Beregning af radioaktiv henfald

Det radioaktive stof strontium 90, Sr-90, har en halveringstid på 28 år. Et laboratorium har købt en vis mængde af stoffet. a) Hvor stor en procentdel er der tilbage efter 20 år? b) Hvor lang tid går der, før der kun er 1% tilbage?

158

4. Eksponentielle vækstmodellerner

Øvelse 4.27 a) O m en eksponentielt voksende funktion får vi oplyst, at startværdien er 5,5, og fordoblingskonstanten er 125. Bestem forskriften. b) O m en eksponentielt aftagende funktion får vi oplyst, at startværdien er 350, og halveringskonstanten er 28. Bestem forskriften.

Øvelse 4.28

Formler med brug af den naturlige logaritme (især for B- og A-niveau)

Vis følgende sætninger:

ln( 2) k 1 ln( ) b) For en eksponentielt aftagende funktion y = b · ek · x gælder: T1 = 2 2 k

a) For en eksponentielt voksende funktion y = b · e

k·x

gælder: T2 =

Ofte skriver fysikere eksponentielt aftagende funktioner således: y = e –k·x, hvor k er et positivt tal. c) Vis ved brug af potensregler, at formlen for T1 i dette tilfælde kan skrives: ln( 2) T1 = 2 k

På bogens website ligger et projekt om nedbrydning af rusmidler, hvor der bl.a. foretages en sammenligning mellem lineære og eksponentielle modeller. Rutherfords metoder hjalp med til at bestemme Jordens alder, og ideen er simpel nok: Når et bestemt radioaktivt stof henfalder til andre stoffer efter helt bestemte regler, så kan vi undersøge, hvordan mængdeforholdet er mellem de oprindelige stoffer og

Det er lykkedes at finde nogle meteoritter samt nogle klippestykker på bl.a. Grønland, som man er sikker på stammer fra Jordens dannelse, og som derfor kan bruges til at aldersbestemme Jorden. Canyon Diablo-meteoritten (t.h.) har været en primær kilde til fastlæggelse af Jordens alder. Den er fundet i Barringerkrateret i Arizona (t.v.).

159

de stoffer, der er blevet dannet gennem radioaktivt henfald, og anvende dette som en slags kalender. Problemet er imidlertid, at Jorden er en urolig klode, og at det meste stof på Jorden er blevet blandet godt rundt gennem tiderne. På Jorden er det yderst vanskeligt at finde klippestykker, der stammer helt tilbage fra Jordens dannelse. Her må man i stedet støtte sig til blyholdige mineraler. Bly er slutproduktet, når radioaktivt uran omdannes. Disse undersøgelser kan så kombineres med meteoritdata fra solsystemets dannelse. På bogens website ligger et projekt om simulering af kerners henfald.

Øvelse 4.29

Kulstof 14-metoden

I slutningen af 1940’erne finder et team på University of Chicago under ledelse af Willard Libbey ud af, at man kan bruge det radioaktive stof kulstof 14 (14C) til at bestemme alderen og datere fund fra ikke så fjerne begivenheder. I afsnit 8 er der henvisninger til et projekt med kulstof 14-datering, hvor vi bl.a. undersøger, hvornår vore forfædre, Cro-Magnon-menneskene, malede de fantastiske hulemalerier i Lascaux-grotten i Frankrig og andre steder. På bogens website ligger et projekt om datering med brug af kulstof 14-metoden.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 5.

160

4. Eksponentielle vækstmodellerner

6. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 4. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

161

Potensmodeller

Det naturvidenskabelige gennembrud – matematikken kommer i spil. . . . . . . . . . 163 a

2. Potensfunktionerne f(x) = b · x og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.1 Potensfunktionernes regneforskrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 2.2 Potensfunktionernes grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3.

Potensregression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4. Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.1 Skalering – eller: Hvorfor findes der ikke kæmper?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 4.2 Procent-procent-vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 5.

Udregning af regneforskrift ud fra to punkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Vi undersøgte i kapitel 1 og i kapitel 4 de lineære og eksponentielle vækstmodeller. Disse variabelsammenhænge er karakteriseret ved følgende egenskaber: Lineære sammenhænge: f(x) = ax + b Væksttype: Når x vokser med 1, vil y = f(x) vokse eller aftage med et bestemt tal a. Lineær vækst vil vi af og til kalde plusvækst. Eksponentielle sammenhænge: f(x) = b · a x Væksttype: Når x vokser med 1, vil y = f(x) vokse eller aftage med en bestemt procent r, eller sagt på en anden måde, så vil y blive ganget med et bestemt tal a = 1 + r Eksponentiel vækst vil vi af og til kalde gangevækst. Vi skal i dette kapitel undersøge en tredje matematisk model. Potenssammenhænge: f(x) = b · x a Væksttype: Når x vokser med en bestemt procent, rx , vil y = f(x) vokse eller aftage med en procent, ry , der er bestemt ud fra rx og a. Potensvækst vil vi af og til kalde procent-procent-vækst. Potensmodeller kan beskrive mange fænomener fra fysik, biologi og samfundsfag. Vi begynder med en stjerneeksplosion for længe siden.

162

5. Potensmodeller

1. D et naturvidenskabelige gennembrud – matematikken kommer i spil Den moderne naturvidenskab bliver undfanget d. 11. november 1572. Det er en skyfri aften, og Tycho Brahe fortæller, at han efter aftensmaden var gået ud på gårdspladsen på godset Knudstrup i Skåne for, som han plejede, at betragte stjernerne. "Og da så jeg omtrent lige over mit hoved en ny og usædvanlig, alle andre stjerner overstrålende stjerne funkle", skriver han i bogen Den ny stjerne. Du kan finde indledningen til bogen på bogens website. Tycho Brahes egen tegning af "Stella Nova" fra hans skrift, hvis titel oversat fra latin lyder: "Danskeren Tycho Brahes matematiske betragtning over den ny og aldrig nogensinde før sete stjerne, nylig for første gang observeret i november anno 1572 e. Kr."

Tycho Brahe (1546– 1601) havde interesseret sig for stjerner, planeter og solsystemets indretning siden barndommen og havde et omfattende kendskab til stjernernes placering på himmelhvælDet, han så, var i virkeligheden en vingen. Så han vidste stjerne, der endte sit liv med en med sikkerhed, at denkæmpe eksplosion – en supernova. ne stjerne aldrig før Resterne af stjernen med navnet Stella havde eksisteret på Nova 1572 er her optaget i 2009, 437 dette sted. år efter eksplosionen.

Siden den græske astronom Ptolemaios' dage var der blevet ført tabeller over stjerners og planeters bevægelser på himmelkuglen. Tabellerne var blevet udbygget og korrigeret flere gange, og det var, da Tycho Brahe som 17-årig opdagede nogle store fejl i angivelserne af, hvor planeterne befandt sig på himlen, at han besluttede at vie sit liv til at observere og lave præcise tabeller og stjernekataloger. Før Tycho Brahes iagttagelse i 1572 var det opfattelsen, at over det, man kaldte "Månens sfære", var alt evigt og uforanderligt siden skabelsen. Med geometriske beregninger kunne Tycho Brahe imidlertid bevise, at stjernen befandt sig meget længere væk end Månen, så den gamle opfattelse var forkert. Der kunne opstå noget nyt. 5 år senere, i 1577, iagttog Tycho Brahe en komet. Med matematiske beregninger kortlagde han, at kometens bane var længere væk end Månen, og at den bevægede sig i planeternes sfærer. Dette blev et nyt slag mod det gamle verdensbillede. Han udgav sine observationer, beregninger og betragtninger i skriftet Kometen 1577. I manuskriptet kan vi se, hvorledes Tycho Brahe har indtegnet kometen i sin egen model for solsystemets indretning. Tycho Brahe kunne ikke tilslutte sig det verdensbillede med Solen placeret i centrum, som Kopernikus havde præsenteret i 1543. I Tycho Brahes model er Jorden placeret i centrum C, og rundt om Jorden bevæger Solen sig, med alle planeterne i cirkler rundt om Solen. Kometens hale peger korrekt hele tiden væk fra Solen.

163

Øvelse 5.1

Oldtidens verdensbillede

Via bogens website er der adgang til en film om de forskellige verdensbilleder. Find her eller ved søgning på nettet informationer til at besvare følgende spørgsmål: a) H vad var karakteristisk for oldtidens verdensbillede, som det blev udformet af Ptolemaios og Aristoteles? b) H vorfor var Tycho Brahes observationer og beregninger et slag mod det gamle verdensbillede? Tycho Brahe er en moderne videnskabsmand i den forstand, at han indsamler observationer og anvender matematik til at skabe orden og sammenhæng i store datamængder. Men Tycho Brahe var også præget af religiøse forestillinger om, at alting sker med en hensigt. Der må være en mening med store naturbegivenheder. Både i skriftet om den nye stjerne og i skriftet om kometen er der derfor kapitler om astrologi.

Øvelse 5.2

Astronomi og astrologi

Både i skriftet om Den nye stjerne og i skriftet om Kometen 1577 er der lange passager med astrologiske overvejelser. I dag finder vi det måske mærkeligt, at Tycho Brahe både kunne agere som moderne naturvidenskabsmand og samtidig beskæftige sig indgående med astrologi. På bogens website finder du et kapitel om astrologi fra Den nye stjerne. Læs det, og diskuter i klassen forholdet mellem astrologi og astronomi. Hvad kan være grunden til, at man var så overbevist om, at vi påvirkes af himmellegemerne? Tycho Brahe var den mest berømte astronom i Europa. Han var med til at kaste glans over det danske kongehus, og han fik store bevillinger til sin forskning. Bl.a. fik han stillet øen Hven i Øresund til rådighed for etablering af observatorier.

Hven i Øresund blev svensk efter svenskekrigene 1658-60. På svensk hedder øen Ven.

164

Illustration af Hven fra Blaeus atlas over berømte steder. Tegnet af Blaeu selv, da han studerede hos Tycho Brahe 1594-96. På kortet kan man ane Uranienborg midt på øen.

Uranienborg var både bolig og observatorium. I Blaeus atlas var der også tegninger af dette og af det andet observatorium, Stjerneborg.

5. Potensmodeller

Fra hele Europa kom lærde folk på besøg – et af disse besøg omtales i kapitel 8, hvor vi bl.a. studerer logaritmer – men i 1597 forlader Tycho Brahe Danmark efter uoverensstemmelser med kongen og hoffet. Han inviteres til Prag, hvor han bliver hofastronom for den tyske kejser Rudolf 2., der også er konge over Ungarn og Böhmen. I 1600 slutter astronomen Johannes Kepler (1571–1631) sig til ham og får adgang til hans omfattende observationsmateriale. Tycho Brahe tilskynder Kepler til at udnytte observationerne og forsøge at bestemme planeten Mars’ bane om Solen. Det er en helt ny tanke at udnytte empiriske data, dvs. talværdier fra observationer, som udgangspunkt for en matematisk beregning af banen. Hidtil havde man ment, at man måtte spekulere sig frem, og man var overbevist om, at bevægelser i himmelrummet var kombinationer af cirkelbevægelser.

Øvelse 5.3

Keplers kosmiske model

Kepler var en dygtig matematiker og astronom, men han var også en spekulativ mystiker, der mente, at der var en årsag til alt, fx at der var præcis seks planeter (vi ved i dag, der er flere!). I et værk fra 1596 med titlen Det Kosmografiske Mysterium gav han den forklaring, som han selv mente, var hans største opdagelse: "Solsystemets arkitektur er bestemt af de fem regulære polyedre." Han påstod, at ideen var kommet til ham i en åbenbaring. I kapitel 0 er forklaret, hvad de regulære polyedre er. På bogens website ligger et projekt, hvor vi undersøger Keplers model. Hent projektet eller gå tilbage til kapitel 0, og redegør for, hvad Keplers system gik ud på.

Den inderste del af Keplers model for solsystemets opbygning. Se hele modellen i kap. 0, øvelse 0.11.

Det tog næsten 10 år for Kepler, og Brahe nåede ikke at se resultatet – han døde allerede i 1601. Tycho Brahe havde håbet, at Keplers beregninger kunne begrunde hans eget verdensbillede. Kepler selv var tilhænger af Kopernikus’ system, hvor Solen er placeret i centrum, men hans beregninger skulle åbne for en helt ny forståelse af solsystemets indretning. De publiceres i 1609 i bogen Den Nye Astronomi, hvori han på baggrund af sine omfattende beregninger af Mars' bane formulerer det, vi i dag kalder Keplers 1. og 2. lov: Keplers 1. lov: Planeter bevæger sig om Solen i elliptiske baner, og med Solen placeret i det ene brændpunkt.

Keplers 2. lov: Det areal, som linjen fra Solen til planeten stryger hen over i løbet af en bestemt tid, fx 1 time, er det samme, uanset hvor planeten er. For at opnå dette skal planeten bevæge sig over en længere strækning, når den befinder sig tættest på Solen, og derfor må den bevæge sig med størst hastighed netop her. planet

planet solen

planet

solen

brændpunkt

165

Kepler fortsatte hele sit liv med at lede efter andre sammenhænge i solsystemet, og han fandt på mange eksotiske ting, som fx at planeterne på deres vej gennem rummet udsendte en musik, der var afhængig af deres hastighed og størrelse. I hans sidste store værk, Verdens Harmoni (1619), hvor han samlede en række af disse "opdagelser", finder vi også det, vi i dag kalder Keplers 3. lov. Den siger, at der er en meget speciel sammenhæng mellem planeternes omløbstider og deres afstand fra Solen. På Keplers tid kendte man ikke de yderste planeter Uranus, Neptun og Pluto, men loven gælder generelt, så de er taget med i denne moderne tabel over de to størrelser. Tallene er her skaleret i forhold til Jordens afstand til Solen og Jordens omløbstid om Solen – sådan gjorde Kepler også. Planeterne

Middelafstand fra Solen, a målt i AE (astronomisk enhed, dvs. Jordens middelafstand til Solen)

Omløbstid om Solen, T målt i år

Merkur

0,3871

0,2408

Venus

0,7233

0,6152

Jorden

1,000

Mars

1,524

1,881

Jupiter

5,20

11,86

Saturn

9,54

29,46

Uranus

19,19

84,32

Neptun

30,06

164,8

Pluto

39,18

248,1

Bemærk: 1 AE = 149 597 871 km. Kepler kendte ikke dette tal, men havde til sine beregninger også kun brug for de tal, der er nævnt i tabellen. Tallene er en skalamodel af solsystemet. På bogens website ligger et projekt om at skalere solsystemet ned til en planetsti. Kepler var overbevist om, at der var en sammenhæng mellem disse to variable, omløbstiden T og middelafstanden a. Men hvilken?

Øvelse 5.4

På jagt efter en matematisk model

Tabellen ligger på bogens website. a) K opier tabellen ind i et værktøjsprogram, og plot de sammenhørende værdier af a og T, således at a afsættes ud ad 1. aksen og T op ad 2. aksen. b) B eskriv med ord det forløb, som en glat kurve, der forbinder punkterne, har. Det ligner ikke rigtig noget, vi har set før.

166

5. Potensmodeller

Kepler er en sand regnemester, og han begynder at manipulere med tallene. Bl.a. får han den ide at opløfte i potenser. c) U dnyt værktøjsprogrammets muligheder, og opret nye kolonner, hvor potenser af tallene T og a beregnes. Vælg potenserne 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 og 3. Kan du finde to lister med henholdsvis potenser af a og T, der giver et lineært plot? d) Hvilken sammenhæng synes der at være mellem a og T?

Ovenfor anvendte vi Jordens afstand som målestok. Havde vi i stedet målt i millioner km ville vi have fået at a3 og T 2 er proportionale, dvs. forholdet mellem dem er konstant: T2 = konstant k k a3 Løses denne ligning mht. T, får vi: T 2 =k a3

T 2 = k ⋅ a3 Gange a3 over 1

T = ( k ⋅ a3 ) 2 3

T = k 2 ⋅ a 2 T = b ⋅ a

3 2

Tag kvadratroden dvs. opløft i

1 2

Anvend potensregel 1

Indfør en ny konstant b = k 2 ,

hvor b er et tal, der afhænger af konstanten k. En sådan sammenhæng mellem to variable, a og T, kaldes en potenssammenhæng. Kepler har selv fortalt om sin opdagelse: "Hvis nogen er interesseret i det nøjagtige tidspunkt, så opstod ideen i mit hoved 8. marts 1618. Men jeg var uheldig, da jeg gennemførte beregningerne og forkastede ideen. Endelig 15. maj kom ideen tilbage, formørkelsen af mit sind blev fjernet, og jeg så den mest vidunderlige overensstemmelse, så jeg først troede, jeg havde drømt, og søgte efter beregninger, der kunne understøtte det. Men det er helt sikkert: Forholdet mellem omløbstiden for to planeter er den samme som forholdet mellem deres middelafstande opløftet i halvanden." Du kan via bogens website tilgå værket i en engelsk oversættelse. I afsnittet om potensregression er der eksempler på afprøvning af Keplers lov på månesystemer omkring de store planeter.

Øvelse 5.5

Forskellige sproglige formuleringer af Keplers tredje lov

Den almindelige formulering af Keplers tredje lov er i dag: Planeternes omløbstid opløftet i anden potens er proportional med deres middelafstand opløftet i tredje potens. Kepler har en lidt anden formulering, som fremgår af citatet. Vis, at de to formuleringer udtrykker det samme, dvs. at givet den ene, kan vi udlede den anden formulering af loven og omvendt.

167

Mens Tycho Brahe og Johannes Kepler både arbejdede som moderne naturvidenskabsmænd og samtidig ledte efter mystiske sammenhænge i verden, så havde Galilei (1564– 1642) i Firenze i Norditalien lagt mystikken bag sig. Han var den første moderne naturvidenskabsmand, der gennemførte eksperimenter og anvendte matematik i stor stil. Galilei var overbevist om, at "naturens bog er skrevet i matematikkens sprog". Dvs. at sammenhængene i naturen kan beskrives matematisk. Men det virkeligt nye hos Galilei var, at han indførte eksperimentet som noget centralt i naturvidenskaben. Før Galileis tid var det ikke god skik at udføre naturvidenskabelige eksperimenter. Videnskabens resultater skal være almengyldige og uafhængige af tid og sted, men eksperimenter vil jo som oftest give lidt forskellige resultater, hvis de gentages. Hvordan hænger det sammen?

På det videnskabshistoriske museum i Firenze i Norditalien findes en række pædagogiske udgaver af Galileis forsøgsopstillinger, bl.a. denne faldrende. Ved at lade kugler trille langsomt ned, kunne han foretage målinger og bestemme variabelsammenhængen mellem faldlængde og faldtid.

Galileis svar var, at både virkelige eksperimenter og tankeeksperimenter kan give os ideer til en matematisk beskrivelse af variabelsammenhænge. De matematiske sammenhænge, vi opstiller, er hypoteser. En hypotese kan danne grundlag for en række forsøg, der afprøver, om hypotesen er holdbar. Eksperimenter giver ikke et matematisk bevis for, at en hypotese er korrekt, men kan give hypotesen stor troværdighed. Galilei lavede en række berømte forsøg, der er lette at gentage, og han fandt ud af, at rigtig mange fænomener i naturen kan beskrives ved potenssammenhænge.

168

5. Potensmodeller

2. Potensfunktionerne f(x) = b · xa og deres grafer 2.1 Potensfunktionernes regneforskrift Definition: Potensfunktion En variabel y siges at være en potensfunktion af en variabel x, hvis der findes tal a og b, hvor b > 0 , så vi kan skrive: y = b · x a Når sammenhængen er etableret, vil vi ofte udtrykke det med funktionsbegrebet:

f(x) = b · x a

Når vi taler om potensfunktioner, vil vi altid indskrænke definitionsmængden til x > 0.

Øvelse 5.6 Angiv for hver af følgende potensfunktioner, hvad konstanterne a og b er. a) f(x) = 3 · x2

Øvelse 5.7

b) f(x) = 0,8 · x1,7

c) f(x) = x3

d) f(x) = 8 · x–2

Proportionalitet og omvendt proportionalitet

a) T o variable, y og x, siges at være proportionale, hvis der findes en konstant, k, så: y = k · x Forklar, hvorfor dette er et eksempel på en potensfunktion. Hvad er a og b? b) T o variable, y og x, siges at være omvendt proportionale, hvis der findes en konstant k, så: y · x = k eller skrevet på en anden måde: 1

y = k⋅ x Forklar, hvorfor dette er et eksempel på en potensfunktion. Hvad er a og b? c) F orklar, hvorfor formlen y =

Øvelse 5.8

x er et eksempel på en potensfunktion. Hvad er a og b?

Beregning af kinetisk energi

Når en genstand sættes i bevægelse, så får den tilført energi. Det kan være en bold, vi kaster, og hvor den energi, vi lagde i kastet, overføres til bolden. Eller det kan være en bil, der tilføres energi gennem forbrænding af benzin, som via motoren omsættes til bevægelsesenergi. Bevægelsesenergi kaldes i fysik ofte for kinetisk energi. Den bevægelsesenergi, som den flyvende bold eller den kørende bil repræsenterer, kan igen blive omsat til varmeenergi, når bolden rammer en målmand, eller bilen kører ind i en mur.

169

Den samlede bevægelsesenergi Ekin i genstanden kan beregnes med formlen 2 1 E kin = 2 ⋅ m ⋅ v

hvor m er massen (vægten) af genstanden (bolden eller bilen), og v er hastigheden. Massen m måles i kg, og hastigheden v måles i m/s. a) A rgumenter for, at sammenhængen mellem energi og hastighed er en potensfunktion. Vi ser nu på en bestemt bil, som vejer 900 kg. b) U dregn bevægelsesenergien Ekin ved følgende hastigheder v: 20, 40, 60, 80, 100 og 120 km/t. Husk at omregne til m/s. c) P lot sammenhængen mellem v og Ekin i et passende koordinatsystem. d) Forklar med ord forskellen i bevægelsesenergi, når man kører 60 km/t og 120 km/t. Bilen er en Fiat 500. I 1970 vejede denne biltype 500 kg. e) S ammenlign bevægelsesenergien for den gamle og den nye model, når man kører 80 km/t.

Øvelse 5.9

Beviset for at jorden drejer om sin akse – Foucaults pendul

For penduler i bornholmerure og lignende kan der opstilles en matematisk model for sammenhængen mellem pendulets længde L og svingningstiden T. Svingningstiden er den tid, der går fra et maksimalt udsving til det næste (til samme side). Modellen, der kun gælder med tilnærmelse, kan udtrykkes ved formlen 2π T= ⋅ L g hvor g er tyngdekonstanten, der er ca. 9,8 m/s2, når vi måler i meter og sekunder. a) Forklar, hvorfor dette er en potenssammenhæng mellem T og L. b) Et pendul har længden 40 cm. Beregn svingningstiden. c) E t pendul måles til at have en svingningstid på 2,3 sekunder. Hvor langt er det? d) I Pantheon-bygningen i Paris hængte Foucault i 1851 et pendul op, fordi han ved hjælp af dette ville bevise, at Jorden drejede rundt om sin egen akse. Pendulet blev restaureret i 1995, så man kan se det i dag, når man besøger Paris. På bogens website findes et materiale om Foucaults pendul og en henvisning til en film, der viser pendulet svinge. Gå ind på denne, se filmen, mål svingningstiden og beregn, hvor langt pendulet er.

Via bogens website er der tilgang til et projekt om penduler.

170

5. Potensmodeller

Øvelse 5.10

Newtons massetiltrækningslov

En af Newtons mange videnskabelige bedrifter var, at han kunne se, at det var den samme fysiske lov, massetiltrækningsloven, der gør, at en ting falder til jorden, når vi slipper den, og at Månen bevæger sig rundt om Jorden og ikke bare fortsætter ud i verdensrummet. I daglig tale siger vi, at det hele er underlagt tyngdekraften. Newton formulerede sin opdagelse således: "Ethvert objekt i universet tiltrækker ethvert andet objekt med en kraft med retning langs linjen gennem objekternes centre og som er proportional med produktet af deres masser og omvendt proportional med kvadratet på afstanden mellem objekterne." a) A rgumenter for, at denne sproglige beskrivelse af variabelsammenhængen kan oversættes til følgende formelbeskrivelse: m ⋅m F = G⋅ 1 2 2 r hvor F er tiltrækningskraften, m1 og m2 er de to masser, og r er afstanden mellem dem. Proportionalitetskonstanten kaldes for G. Enhederne er meter og kilogram. Forklar, hvordan dette kan tolkes som et eksempel på en potensfunktion. -11

Isaac Newton (1643-1727)

Talværdien af G er 6,67428·10 N·m /kg , hvor N er den fysiske enhed for kraft, der i dag kaldes newton. Påvirkningen af 1 newton svarer ca. til den ekstra tyngdekraft, vi ville mærke, hvis vi fik lagt et lod, der vejer 102 g, på hovedet. b) F ind via nettet ud af, hvilken masse Jorden har, samt hvor stor din afstand til Jordens centrum er. Beregn, hvor stærkt tyngdekraften trækker i dig. c) G ennemfør samme beregning, hvis du skulle stå på Månen. d) Udregn tiltrækningskraften mellem to personer, der vejer henholdsvis 60 og 75 kg, og som er 10 meter fra hinanden. e) O pstil et udtryk for tiltrækningskraften F som funktion af afstanden r mellem de to personer. f) F unktionsudtrykket er på formen 1 F = b⋅ 2 r -11 Vi anvender 10 N som enhed, så G får værdien 6,67428. Opstil en tabel i et værktøjsprogram, hvor tiltrækningen udregnes for følgende værdier af afstanden: afstand

100

tiltrækning

g) P lot de sammenhørende værdier af afstand og tiltrækning, og tegn i samme koordinatsystem grafen for funktionen bestemt ovenfor.

171

Øvelse 5.11

Idealgasloven

For bestemte luftarter, som opbevares i en lukket beholder, gælder følgende sammenhæng mellem trykket P, rumfanget V og temperaturen T : P ⋅ V = konstant . T Hvis vi holder en af de tre variable fast, udtrykker ligningen en potenssammenhæng mellem de andre to. Opstil de tre ligninger, og forklar i hvert af de tre tilfælde, hvilke potenssammenhænge der er tale om.

De forskellige formler er indgående behandlet i kapitel 12 (Fagligt samarbejde matematikkemi), som du finder på bogens website.

Øvelse 5.12

Matematisk modellering af vindmøllers effekt Når man anvender vindmøller til at omsætte vindens energi til andre energiformer, fx til el, så er der tre ting i spil: 1. Luftens tæthed 2. Arealet A af den cirkel, vingerne tegner 3. Vindens hastighed v Her ser vi bort fra luftens tæthed og betragter alene de to variable, A og v. Den matematiske model for effekten P af en vindmølle er:

P = k1 ⋅ A ⋅ v 3 hvor k1 er en konstant, der indeholder information om lufttætheden. Formlen gælder ikke for meget små vindhastigheder og heller ikke for hastigheder, der nærmer sig 25 m/s. Ved så høje hastigheder skal møllen lukkes ned. a) Gør rede for, at effekten for den enkelte mølle er en potensfunktion af hastigheden. b) Hvad er konstanterne a og b i dette tilfælde?

I Hvad er matematik? 2 findes et projekt om vindmøller, hvor vi bl.a. kommer ind på det 16 = 59 % overraskende resultat, at den enkelte vindmølle aldrig kan udnytte mere end 27 af vindenergien!

172

5. Potensmodeller

2.2 Potensfunktionernes grafer

y= f(x)

4 a

Vi vil i det følgende undersøge graferne for potensfunktioner f(x) = b · x , og specielt konstanternes betydning for det grafiske forløb.

Vi begynder med at se på graferne for funktionerne:

f(x) = x2

1 x

f(x) y = x2

f(x) y=

y= f(x)

x , som også kan skrives: f(x) y = x2 1

y = , som også kan skrives: f(x)y = x −1 f(x) x For alle tre er konstanten b=1. En vigtig forskel set i forhold til den lineære og den eksponentielle model falder straks i øjnene: Konstanten b repræsenterer ikke en begyndelsesværdi!

Bemærk: Graferne forløber helt inden for 1. kvadrant, dvs. både x- og y-værdierne er positive.

Øvelse 5.13 Beskriv de tre grafer med ord, der karakteriserer hver af dem til forskel fra de andre.

Øvelse 5.14 a) Tegn graferne for følgende funktioner:

1) f(x) = 0,5 · x1,7

2) f(x) = 3 · x0,7

3) f(x) = 5 · x-2

b) Beskriv graferne med ord, der karakteriserer hver af dem til forskel fra de andre.

Øvelse 5.15 Eksperimentel undersøgelse af parametrenes betydning for grafernes forløb Undersøg den grafiske betydning af a og b ved brug af et værktøjsprogram (anvend fx "skydere" for a og b – samme teknik som i kapitel 4, afsnit 2). a

a) T egn en række grafer for potensfunktioner f(x) = b · x , hvor a holdes fast, og b varieres. Beskriv, hvilken indflydelse b har på grafens forløb. a

b) T egn en række grafer for potensfunktioner f(x) = b · x , hvor b holdes fast, og a varieres. Beskriv, hvilken indflydelse a har på grafens forløb. Vi sammenfatter nu vores undersøgelse: Betydningen af tallet b: Vi ser, at når x er 1, så er funktionsværdierne lig med konstantfaktoren b. Det kan vi også se ved at sætte ind i regneforskriften: f(1) = b · 1a = b · 1 = b b-værdien kan derfor aflæses, hvor grafen skærer den lodrette linje x = 1. I øvelse 5.7 omtalte vi proportionalitet: To variable, y og x, siges at være proportionale, hvis der findes en konstant k, så: y = k · x

173

Ved at sammenligne med udtrykket y = b · x a fremkommer følgende sætning:

Sætning 1: Potensfunktioner som en proportionalitet Påstanden: y = f(x) er en potensfunktion af x svarer til påstanden: y er proportional med en bestemt potens af x. a Konstanten b er proportionalitetsfaktoren mellem y = f(x) og x .

Sætning 1 kan udnyttes på følgende måde: Har vi et datasæt, og samtidig en hypotese om en bestemt potenssammenhæng: a a f(x) = b · x , så kan vi udregne en liste af nye (transformerede) data, nemlig x . Herefter kan vi tegne det grafiske billede af sammenhængen mellem de to lister af tal, a x og y, og se, om dette er lineært. Teknikken kan også bruges, selv om vi ikke på forhånd kender a. I dette tilfælde lader vi a repræsenteres af en skyder. I kapitel 8 ligger der flere projekter, hvor der arbejdes med denne lineariseringsteknik. Betydningen af tallet a: Vi ser, at tallet a bestemmer funktionernes monotoniforhold, og sammenfatter dette i følgende sætning:

Sætning 2: a-tallets betydning for potensfunktioners graf a

For en potensfunktion f(x) = b · x gælder: 1) Hvis a er større end 1 (a > 1) er funktionen voksende, og grafen krummer opad. Grafen kaldes også konveks. 2) Hvis a = 1 er funktionen lineær, f(x) = b· x 3) Hvis a ligger i intervallet mellem 0 og 1 (0 < a < 1) er funktionen voksende og grafen krummer nedad. Grafen kaldes også konkav. 4) Hvis a er negativ (a < 0) er funktionen aftagende. 5) Hvis a = 0 er funktionen konstant f(x) = b.

Vi beviser sætningen under emnet Differentialregning på B- og A-niveau. I kapitel 4, Eksponentielle vækstmodeller, omtalte vi begrebet asymptote til en graf. En asymptote er en ret linje, som grafen nærmer sig mere og mere i en proces, hvor vi bevæger os længere og længere væk fra koordinatsystemets begyndelsespunkt. Vi ser, at potensfunktionerne, hvor a er negativ, har både en vandret og en lodret asymptote.

Sætning 3: Asymptoter for potensfunktioner (især for B- og A-niveau) a

For en potensfunktion f(x) = b · x , hvor a < 0 gælder: 1) Når x bevæger sig mod plus uendelig (+∞), vil y nærme sig 0. Vi siger: 1. aksen er en vandret asymptote til grafen. 2) Når x bevæger sig mod 0, vil y nærme sig plus uendelig (+∞). Vi siger: 2. aksen er en lodret asymptote til grafen.

174

5. Potensmodeller

Øvelse 5.16 På figuren er tegnet grafiske billeder af følgende potensfunktioner: a) b) c) d) e)

0,3

f(x) = 2 · x –0,5 f(x) = 0,7 · x 1,6 f(x) = 2 · x –4 f(x) = 3 · x 4 f(x) = 0,2 · x

3 2 1

Begrund, hvilke af graferne der hører til hvilke regneforskrifter.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver til afsnit 2.

3. Potensregression – fra tabel til graf og formel Man kan vælge at gennemføre dette afsnit om potensregression som et projekt. Projektet, der kan hentes via bogens website, rummer foruden nedenstående eksempel flere andre tilsvarende. Potenssammenhænge kan som variabelsammenhænge generelt være givet på fire forskellige former: ved en tabel, som en graf, som en formel eller på sproglig form. I forrige afsnit så vi på sammenhængen mellem formlen, der også kaldes regneforskrifa ten f(x) = b · x , og det grafiske billede. I dette afsnit vil vi se på situationer, hvor vi ud fra et tabelmateriale kan tegne grafen og bestemme regneforskriften. I følgende skema er angivet typiske værdier af kropsvægt (i kg) og stofskifte (der måles som det antal liter ilt, der forbrændes i timen) for forskellige pattedyr. Vampyr-flagermus

Ørkenræv Næsebjørn

Hyæne

Kænguru

Jordsvin

Kropsvægt (kg)

0,029

1,1

3,9

7,0

Stofskifte (liter ilt pr. time)

0,027

0,4

1,0

2,2

5,8

6,0

Eksemplet bygger på materiale fra Thomas Vils Pedersen, Vækst. Hele hæftet kan hentes via bogens website.

Skriv datasættet ind i et værktøjsprogram.

175

Stofskifte

6 4

Man har næppe et klart billede af, hvordan sammenhængen er, men et gæt kunne være, at der hører et fast stofskifte til hvert kg kropsvægt. Vi afsætter målingerne i et koordinatsystem med kropsvægten ud ad 1. aksen og stofskiftet op ad 2. aksen. Dvs. vi undersøger, om stofskiftet er proportionalt med kropsvægten. Vores gæt holder tilsyneladende ikke, når vi ser på plottet. DatapunkSammenhæng mellem stofskifte og kropsvægt terne følger ikke en lineær model. I stedet for blot at forbinde punkterne med en "blød" kurve, kunne vi overveje to ting: 1) Kender vi grafer, der ligner denne? 2) Findes der i biologi viden om sådanne sammenhænge?

50 Kropsvægt

Begge dele vil pege i retning af at undersøge, om en potensfunktion kunne være en god model. De biologiske overvejelser ser vi på i afsnit 4.1, men dette foretages bedst i et samarbejde med faget. Grafkendingen bygger på øvelserne i forrige afsnit.

Det er let at se, at punkterne ikke ligger perfekt på en graf for en potensfunktion – virkeligheden er altid noget "grumset" i forhold til den matematiske model. Derfor laver vi potensregression på datamaterialet. Det betyder, at vi får tegnet grafen for den potensfunktion, der passer bedst muligt til målepunkterne. Bedst muligt bygger som ved lineær og eksponentiel regression på en vedtagelse om, hvordan vi måler denne afvigelse. Målet for afvigelsen er dog mere indviklet end den tilsvarende for lineær regression. (Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan potensregression udføres på de gængse værktøjsprogrammer). Den model, der passer bedst muligt, kaldes regressionsgrafen (af og til tendensgrafen), og vi siger, at grafen er fremkommet ved at lave potensregression.

Stofskifte

Sammenhæng mellem stofskifte og kropsvægt

Konklusion: Potensmodellen f(x) = 0,39 · x0,75, hvor x angiver vægten, og f(x) angiver stofskiftet, giver en rimelig beskrivelse af datamaterialet.

4 2

10 2

Vi får samtidig programmet til at give formlen eller ligningen for potensmodellen.

40 50 Kropsvægt

Værktøjsprogrammet udregner samtidig et mål for, hvor godt regressionsmodellen passer med de oprindelige datapunkter. Dette mål har i matematik symbolet r 2 og kaldes ofte forklaringsgraden.

Tallet r2 ligger altid mellem 0 og 1. Som tommelfingerregel siger man: Jo tættere på 1, jo bedre, men man skal passe på med at drage for vidtgående konklusioner alene på basis af dette tal. Den redegørelse, der er givet herom under emnet lineær regression i kapitel 1, afsnit 7, gælder også her.

176

5. Potensmodeller

Øvelse 5.17

Potensregression: Tabel og residualplot 0,75

a) Anvend regneforskriften f(x) = 0,39 · x til at udregne modelværdier svarende til de uafhængige variable i tabellen. Dette er en tabel-repræsentation af den matematiske model. b) O pstil selv en tabel over residualerne, dvs. forskellen mellem de empiriske værdier og de udregnede modelværdier. Fx for hyænen: 1 rhyæne = 2,2 – f(2,2) 0,5

c) P lot residualerne som funktion af den uafhængige variable (kropsvægten). Det ligner forhåbentlig illustrationen. Dette er residualplottet knyttet til modellen.

0 –0,5

–1

Residualplottet knyttet til datasættet

d) Værktøjsprogrammet kan automatisk udregne residualerne og tegne et residualplot. Få programmet til at udføre dette. Det ligner forhåbentlig det plot, du selv udførte. (I vejledning til at udføre potensregression findes også en omtale af residualplot). e) K ommenter kvaliteten af modellen på baggrund af residualplottet. Her omtales som ved lineære og eksponentielle modeller størrelsen af afvigelserne mellem empiri og model, samt om disse afvigelser har en systematisk karakter eller ser tilfældige ud.

Øvelse 5.18

Hvorfor er tsunamier ødelæggende?

Store jordskælv under oceanerne kan forårsage tsunamier. Det sker, ved at jordskælvet løfter et område så stort som et land 5-10 meter op, hvorefter havbunden sænker sig igen. Det skaber kolossale bølger, der breder sig ud i alle retninger med stor hastighed. Langt ude på havet læggger man knapt mærke til disse bølger, fordi bølgelængderne er meget store. Satelitter er i stand til at måle, om højderne på havoverfladen er usædvanlige, og dermed give et tsunamivarsel. En tsunamis hastighed ændrer sig med vanddybden. Tæt ved land bremses tsunamien, og den voldsomme bevægelsesenergi omsættes i høje bølger, der strømmer ind over kystområderne.

Tsunamien, der ramte Japan i marts 2011.

I tabellen ses sammenhørende værdier af vanddybden og tsunami-bølgens hastighed Vanddybde (meter)

200

2000

4000

7000

Hastighed (km/t)

159

504

713

943

177

a) P lot datapunkterne, idet vanddybden afsættes som den uafhængige variabel og hastigheden som den afhængige variabel. b) U dfør potensregression på datapunkterne, og vurder derved, om en potensa model y = b · x , hvor y er hastigheden, og x er vanddybden, er en god matematisk beskrivelse af datamaterialet. c) Angiv konstanterne a og b i den fundne potensmodel. d) Bestem en tsunamibølges hastighed på 120 meter dybt vand. Når en tsunamibølge kan forårsage meget voldsomme ødelæggelser, skyldes det, at bølger med den hastighed har en meget stor bevægelsesenergi. Energien er som tidligere nævnt proportional med hastigheden i anden potens, og når bølgerne rammer kysten, udløses energien på én gang! Ved Alaskas kyst nåede en tsunamibølge engang i fortiden op i 500 meters højde, da den ramte kysten.

Øvelse 5.19

Vindmøller – vingediameter og effekt

En vindmølle leverer en større effekt, jo større vingediameteren er, dvs. diameteren i den cirkel vingen tegner, når den kører rundt. Gennem de senere år er der bygget stadig større møller, og data fra nogle af disse er angivet i tabellen nedenfor. Diameter (m) Effekt (kW)

120

100

225

660

2500

5000

a) P lot datapunkterne, idet diameteren afsættes som den uafhængige variabel og effekten som den afhængige variabel. b) U dfør potensregression på datapunkterne, og vurder derved, om en potensmodel a y = b · x , hvor y er effekten, og x er diameteren, er en god matematisk beskrivelse af datamaterialet. c) Bestem konstanterne a og b i den fundne potensmodel. d) Vi ønsker at bygge en vindmølle med en effekt på 1000 kW. Hvor stor skal diameteren være? e) E n mølleejer beslutter at bygge nye møller, hvor vingerne er 1,5 gange større. Hvor mange gange større effekt vil han få ud af hver mølle?

Øvelse 5.20

Neptuns månesystem og Keplers tredje lov

Indtil man begyndte at sende satellitter ud i verdensrummet, kendte man kun to måner om den yderste gasplanet Neptun, nemlig Triton og Nereid. Frem til 2002 opdagede man yderligere 9, så man kendte følgende:

178

5. Potensmodeller

Navn Naiad Thalassa Despina Galatea Larissa Proteus Triton Nereid Halimedes Sao Laomeida

Diameter (i km) 52,0 – 96,0 52,0 – 108 128 – 180 144 – 204 168 – 216 402 – 436 2707 340 62,0 44,0 42,0

Middelafstand (i km) 48 227 50 074 52 526 61 593 73 548 117 647 354 759 5 513 818 16 611 000 22 228 000 23 567 000

Omløbstid (i døgn) 0,294 0,311 0,335 0,429 0,555 1,122 5,877 360,136 1879,080 2912,720 3171,330

a) Undersøg ved hjælp af potensregression, om de 11 måner opfylder Keplers 3. lov. b) Kort efter opdager man yderligere to meget fjerntliggende måner, der får navnene Psamathe og Neso. Man bestemmer Psamathes afstand til Neptun til ca. 48 096 000 km. Hvad er dens omløbstid?

Øvelse 5.21

De store gasplaneters månesystemer

På bogens website ligger tabeller over de store gasplaneters månesystemer. I 2017 havde man opdaget 69 måner om Jupiter, 62 måner om Saturn, 27 måner om Uranus og 14 måner om Neptun. Vælg en eller flere af dem, og undersøg ved hjælp af potensregression, om de opfylder Keplers 3. lov.

På bogens website finder du flere projekter med anvendelser af potens-regression.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver til afsnit 3.

4. Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? Potenssammenhænge har nogle karakteristiske skaleringsegenskaber.

4.1 Skalering – eller: Hvorfor findes der ikke kæmper? I eventyr og science fiction møder man ofte kæmper og gigantiske uhyrer. King Kong, Godzilla og insekter så store som huse er ikke nye fænomener i kunst og litteratur. Odysseus mødte kykloper på sin rejse i den græske mytologi, Thor kæmpede med den enorme Midgårdsorm i den nordiske mytologi, Hans kravlede op ad bønnestagen i Grimms eventyr og mødte en menneskeædende kæmpe i skyernes verden, og den engelske forfatter Jonathan Swift lod Gulliver møde både lilleputter og kæmper på hans forunderlige rejse.

179

Det er eventyr, og vi tror jo ikke rigtig på dem. Men kunne der mon eksistere sådanne overdimensionerede kæmper? Når der aldrig har eksisteret sådanne giganter i de 500 millioner år, der har været flercellede organismer på Jorden, skyldes det måske, at der er noget, der forhindrer det. I indledningen til kapitel 4 om eksponentielle vækstmodeller præsenterede vi kort Darwins evolutionsteori, som handler om, at arterne har overlevet og udviklet sig ved at tilpasse sig omgivelserne. Derved er der opstået en enorm artsrigdom med en fantastisk specialisering – der er liv overalt, på landjorden og i vandet, under jorden og i luften. Der har været store pattedyr, som elefanternes forfædre, der kunne blive op til fem meter høje, eller mere end dobbelt så høje, som dem vi kender. Så vidt vides, er Baluchiterium, der var i familie med næsehornet og havde en kropsvægt på ca. 30 ton, det største pattedyr, der nogensinde har levet på land. Blåhvalen er det største dyr, der nogensinde har levet. Den kan blive over 30 meter lang og veje op mod 200 ton. Men der har aldrig været en King Kong. Vi kan få en ide om, hvad problemet er, når vi ser, hvad der sker, hvis en stor hval strander. Der er ilt nok, men den bliver simpelthen knust under sin egen vægt. Forklaringen på, hvorfor der ikke er giganter så store som skyskrabere, findes i begrebet skalering. Hvis vi skalerer op med en faktor på fx 4, dvs. alle længder bliver fire 2 3 gange større, så bliver alle arealer 4 = 16 gange større, og alle rumfang bliver 4 = 64 gange større.

Øvelse 5.22

Skalering og vækst er forskellige ting

Skalering er ikke det samme som udvikling. King Kong er en voksen gorilla, der er skaleret op. Men et voksent menneske er ikke et barn, der er skaleret op. Hvis vi blot blev skaleret op, hvor meget ville en nyfødt dreng, der vejer 3,8 kg og er 52 cm lang, så veje, når han nåede sin maksimale højde på 188 cm? Beskriv forskellene i proportioner mellem en baby og en voksen, som kan forklare dette tal. Hvis vi skalerer op med en faktor k, dvs. et menneske eller et dyr bliver k gange så højt, får k gange så lange arme osv., hvad sker der så med vægten? Vægten vokser med rumfanget og kan med god tilnærmelse siges at være proportional med dette.

180

5. Potensmodeller

Rumfanget skaleres op med faktoren k , så gælder det samme altså om vægten, y. Dvs. der findes en konstant b1 så: 3

y = b1 · k (I)

Knoglernes bæreevne bestemmes af deres tværsnitsareal, og arealer bliver skaleret op 2 med k . Når knoglernes bæreevne S er proportional med tværsnitsarealet, findes altså en konstant b2, så: 2

S = b2 · k (II) Vi er interesserede i at finde sammenhængen mellem bæreevne S og vægt y, og vi ønsker at eliminere k fra de to ligninger. Man kan anvende sit værktøjsprogram til at løse dette problem. Men med mange symboler er det ofte lettere selv at styre det. Vi bemærker, at hvis k var i samme potens, kunne vi dividere ligningerne og dermed forkorte k’erne væk. Derfor sørger vi for, at k er i samme potens, ved at opløfte første ligning i 2. og anden ligning i 3.: y = b1 ⋅ k 3 ⇒ y 2 = ( b1 ⋅ k 3 )2 = b12 ⋅ ( k 3 )2 = b12 ⋅ k 6

S = b2 ⋅ k 2 ⇒ S3 = ( b2 ⋅ k 2 )3 = b23 ⋅ ( k 2 )3 = b23 ⋅ k 6

Overvej selv nøje, hvilke potensregler der er blevet anvendt her! Vi kan nu eliminere k ved at dividere de to nye udtryk: S

b2 ⋅ k 2

b1 ⋅ k

6 6

= b ( b er en ny konstant)

Vi kan nu isolere S:

S3 = b ⋅ y 2 ⇒ S = ( b ⋅ y 2 ) 3 = b 3 ⋅ ( y 2 ) 3 = b 3 ⋅ y 3 Vi har således vist, at bæreevnen S ikke vokser proportionalt med vægten y, men kun 2 proportionalt med y 3 .

Øvelse 5.23

Knoglers bæreevne

En voksen gorilla kan blive ca. to meter høj. Hvis King Kong er så stor som et højhus på 40 meter, hvor meget er King Kongs højde så skaleret op med? Hvad betyder det for vægten og for knoglernes bæreevne?

181

Øvelse 5.24

Red Woods-træernes højde (især for A-niveau)

I det nordvestlige USA vokser de største træer i verden, de såkaldte Sequoiacypresser (Red Woods). Sequoiaer kan blive op til 110 m høje og have en diameter (målt i 2 meters højde) på 8 meter. Nogle af træerne er så store, at der er en vej igennem dem. De største af træerne er 4000-5000 år gamle. a) K onstruer en geometrisk model af træet som en kegle, og beregn model3 træets vægt. Vægtfylden af den type træ er ca. 0,6 g / cm . b) H vis en bil vejer 1,5 ton, hvor mange biler skal der så til, for at vægten bliver det samme som træets? c) F or træer er bæreevnen også proportional med tværsnitsarealet. Bæreev3 nen for sådanne træer er ca. 300 ton / m . Hvor højt kunne et træ teoretisk set blive, før det ville blive knust under sin egen vægt?

Øvelse 5.25

Tagrør på 15 km

I P1's morgenprogram fortæller en naturvejleder om tagrør og rørskove og om denne græsarts fantastiske egenskaber. Den kan blive ca. 3 meter høj og har da en diameter ved roden på ca. 2 cm. For at visualisere, hvor stærk planten er, sammenlignede han med Eiffeltårnet, der er 321 meter højt (inklusiv antennen på toppen), og som ved fundamentet udspænder et kvadrat med en sidelængde på 125 m. ”Hvis et tagrør var så bredt, kunne det blive ca. 15 km højt, så stærkt er det”. Kommenter naturvejlederens påstand ved hjælp af dine egne beregninger.

Eksempel: Skalering hos Galilei I et af Galileis hovedværker, Afhandlinger og Beviser Vedrørende To Nye Videnskaber fra 1638, findes et afsnit, hvor han skriver, at der er grænser for, hvor store dyr og planter kan blive. Argumenterne er de samme, som vi har givet ovenfor. Man har set en lille hund bære to eller endog tre hunde af samme størrelse på sin ryg, men har man set en hest gøre det, spørger han. Værket ligger i en engelsk oversættelse på bogens website.

Eksempel: Skalering og fraktale strukturer (især for A-niveau) Vores iltoptagelse og stofskifte sker via de små blodårer, kapillærerne. Hos insekterne sker iltoptaget direkte igennem overfladen på det ydre skelet ("skallen"). Iltoptaget og dermed også stofskiftet er proportionalt med overfladearealet, hvorigennem ilten optages. a) A rgumenter for, at vi derfor rent teoretisk set vil forvente at finde en sammenhæng mellem stofskiftet S og vægten V, som er af typen: 2 (I) S = b⋅V 3

182

5. Potensmodeller

I afsnit 3 om potensregression gennemgik vi et empirisk materiale, som gav følgende resultat: S = 0, 39 ⋅ V 0,75 (II) b) Sammenlign de to formler, og beskriv forskellen. Forklaringen på forskellen mellem den teoretiske og den empiriske model er, at vores model for skalering er for grov. De små kapillærer hos mindre dyr bliver ikke forstørret til store blodårer hos større dyr – der sker en forgrening, hvor hele blodsystemet i stedet skaleres op til flere forgreninger med kapillærer, så blodet når ud til alle celler i kroppen hos store dyr. Man kan se det samme fænomen, når man sammenligner et lille træ med et stort – det store er ikke bare en forstørrelse, men indeholder også små fine grene. En finere model inddrager såkaldte geometriske fraktaler i beskrivelsen. Vi sammenfatter de foregående overvejelser om skalering i følgende:

Sætning 4: Potensfunktioners skaleringsegenskab a

Lad f(x) = b · x være en potensfunktion. Så gælder følgende: Hvis den uafhængige variabel x skaleres op med faktoren k, så bliver den afhæna gige variabel y = f(x) skaleret op med faktoren k .

Bevis a

Lad os betragte et tilfældigt punkt på grafen for potensfunktionen f(x) = b · x og kalde koordinaterne for dette (x1, y1). Da punktet ligger på grafen, gælder der, at: a

y = b · x1 1 Lad os nu antage, at x1 skaleres op med faktoren k til værdien: x 2 = k · x1 Lad os så udregne værdien af den y-værdi, der hører til x 2 (gør selv rede for, hvad der sker fra linje til linje): a y2 = b ⋅ x2 y2 = b ⋅ ( k ⋅ x1 ) a

y2 = b ⋅ k a ⋅ x1 a y2 = k a ⋅ b ⋅ x1 a y2 = k a ⋅ y1 a

Hermed har vi vist, at y1 er blevet skaleret op med faktoren k .

183

Øvelse 5.26

Eksempler på skalering

a) B etragt potenssammenhængen: E = 1 ⋅ m ⋅ v2 kin

Hvad sker der med energien, hvis hastigheden fordobles? b) B etragt potenssammenhængen: 2π T= ⋅ L g Hvis pendulsnoren bliver 4 gange så lang, hvad sker der så med svingningstiden? c) B etragt potenssammenhængen: 1 P =k⋅ V Hvis rumfanget halveres, hvad sker der så med trykket?

Øvelse 5.27

Beregning af a-tallet ud fra viden om skalering (især for A-niveau) a

Om en given potensfunktion y = b · x oplyses, at en fordobling af x-værdierne medfører en femdobling af y-værdierne. Bestem tallet a. (Hint: Opstil en ligning ved hjælp af sætning 4) På bogens website ligger et projekt om skalering, der tager udgangspunkt i Gullivers rejse, og som lægger op til et samarbejde med engelsk.

4.2 Procent-procentvækst Fra kapitel 4 om eksponentielle vækstmodeller ved vi, at en fremskrivningsfaktor eller skaleringsfaktor k kan skrives som (1 + r): Hvis en given x-værdi skaleres op med k = (1 + r), så svarer dette til, at x-værdien er vokset med r %. Og hvis der sker en nedskalering, dvs hvis k < 1, så svarer dette til, at x-værdien falder med en bestemt %. Derfor har vi en procentmæssig variant af sætning 4:

Sætning 5: Potensfunktioners %-%-egenskab a

Lad f(x) = b · x være en potensfunktion. Så gælder følgende: Hvis den uafhængige variabel x vokser med procenten rx (skrevet i decimaltal), så vil den afhængige variabel y vokse eller aftage med en procent ry (ligeledes i decimaltal), bestemt ved formlen:

184

(1 + ry ) = (1 + rx )

5. Potensmodeller

Bevis a

Lad os betragte to tilfældige punkter på grafen for potensfunktionen f(x) = b · x og kalde koordinaterne for disse (x1, y1) og (x2, y2). Da punkterne ligger på grafen, gælder der: a

y1 = b · x1

og y2 = b · x 2

Lad os nu antage, at skridtet fra x1 til x 2 svarer til, at startværdien x1 er vokset med procenten rx. x 2 er således slutværdien. Fra kapitel 4 om procentregning kender vi formlen:

slutværdi = startværdi · (1 + r) x 2 = x1 · (1 + rx) (*)

I samme proces er startværdien y1 vokset – eller aftaget – med procenten ry til slutværdien y2, så vi har: y 2 = y 1 · (1 + ry) (**) Vi udregner nu y2 på en anden måde, nemlig ud fra forskriften: y2 = b · x 2

y2 = b · (x1 · (1 + rx))

Udnyt (*), og indsæt x1 · (1 + r x ) på x2's plads

y2 = b · x1 · (1 + rx)

Anvend potensregel

y2 = y 1 · (1 + rx)

Indsæt y1 i stedet for b · x1

Sammenlign nu det sidste udtryk med (**). Vi ser heraf: y1 · (1 + r y ) = y1 · (1 + r x )

Forkort y1 væk

(1 + ry) = (1 + rx)

hvilket netop er det søgte udtryk.

Eksempel: Beregning af procent-procent-vækst 2

Hvis man øger antallet af planter pr. m , vil vægten af den enkelte plante ved høsten falde. For en bestemt plantesort har undersøgelser vist følgende sammenhæng mellem 2 plantens vægt y (målt i gram) og antal planter x pr. m

y = 175000 · x

–1,5

Vi vil bestemme, hvor mange procent den enkelte plantes vægt falder med, hvis man øger antallet af dyrkede planter med 25%. Løsning: Vi har fået oplyst, at rx = 0,25, og vi skal beregne ry. Vi indsætter i formlen:

(1 + ry) = (1 + rx) a

1 + ry = (1 + 0,25) –1,5 1 + ry = 0,716 ry = 0,716 – 1 = –0,284.

Konklusion: Den enkelte plantes vægt falder med 28,4%.

185

Øvelse 5.28 Sammenhængen mellem runde diamanters diameter og vægt kan med god tilnærmelse beskrives ved funktionen: y = 0,0033 · x3,06 hvor x angiver diameteren målt i mm, og y angiver vægten målt i karat. Ved sammenligning af to diamanter måles diameteren af den største til at være 20% større end diameteren af den mindste. Hvor mange procent er vægten af den store diamant større end vægten af den lille diamant?

Øvelse 5.29

Sammenhæng mellem billetpriser og passagertal (især for A-niveau)

Et trafikselskab har erfaring for, at når billetpriserne sættes op med 10%, vil passagertallet falde med 4%. Det antages, at sammenhængen mellem billettaksten p og antallet af passagerer N kan beskrives ved potensfunktionen:

N=b·p

a) Bestem tallet a. b) S elskabet sætter priserne op med 22%. Hvor stor vil faldet i passagertallet være? På bogens website ligger et projekt om priselasticitet og skatteministeriets afgiftspolitik, hvor anvendelsen af %-%-egenskaben er i spil.

Opgaver I opgavebogen ligger der opgaver til afsnit 4.

5. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter Hvis der i et koordinatsystem er givet to punkter, der ikke ligger lodret over hinanden, og hvor både x- og y-værdierne er positive, så gælder der som ved eksponentialfunktioner den umiddelbart overraskende påstand, at der gennem disse to punkter går præcis én graf for en potensfunktion. Årsagen, til at der er præcis én graf, er den samme som ved eksponentialfunktioner: Regneforskriften er bestemt af to tal, a og b, og når vi har to oplysninger, kan vi normalt bestemme tallene a og b ved at løse et ligningssystem med de to ubekendte, og dermed bestemme den graf, der går igennem punkterne.

186

5. Potensmodeller

Fremgangsmåden nedenfor, der illustrerer, hvordan vi bestemmer regneforskriften a f(x) = b · x ud fra to givne punkter på grafen, gælder generelt og er dermed samtidig et bevis for påstanden om, at der gennem to punkter med positiv 1.- og 2.-koordinat går én og kun én graf for en potensfunktion.

Eksempel: Beregning af en regneforskrift ud fra to kendte punkter på grafen Vi bestemmer den potensfunktion, hvis graf går gennem punkterne (4,7) og (11,15). 1. metode (sildebensmetoden) a

Vi skal bestemme konstanterne a og b i forskriften: f(x) = b · x Opstil de to punkter i en tabel: x

y a-værdien bestemmes: Når vi på x-aksen går fra tallet 4 til tallet 11, kan vi opfatte det som et gangestykke: 11 4 ganges med 11, idet 4 ⋅ = 11 4

 11 Derfor skaleres y-værdien op med   :  4 a  11 7 ⋅   = 15  4 a 15  11   =  4 7

 11  15  a ⋅ log   = log    4  7

Divider 7 over

Tag logaritmen, og anvend logaritmeregel

 15  log    7 = 0, 753 a=  11 log    4

Divider logaritmetallet over

b-værdien findes ved at indsætte den fundne værdi af a sammen med et af koordinatsættene i forskriften: a y=b·x

7 = b ⋅ 40,753 b=

7 40,753

= 2, 463

Indsæt punktet (4,7) Divider med 4

0,753

Konklusion: Regneforskriften er y = 2, 463 ⋅ x 0,753 Vi kan lave kontrol med det andet punkt:

15 = 2, 463 ⋅ 110,753

15 = 15 o.k.

Indsæt (11,15)

Bemærk: Selv om vi kun angiver tre decimaler, så lader vi værktøjet regne med alle decimaler.

187

2. metode (to ligninger med to ubekendte) Punkterne ligger på grafen og passer derfor ind i ligningen. Vi sætter punkterne (4,7) a og (11,13) ind i ligningen y = b · x : 15 = b ⋅ 11a 7 = b⋅4 a

Dette ligningssystem kan med et værktøjsprogram løses som to ligninger med to ubekendte: solve({15 = b · 11a, 7 = b · 4a } , {a,b}) a = 0,753 og b = 2,463 Her vil vi desuden demonstrere en "klassisk" metode til løsning af ligningssystemer. Hvis vi dividerer tallene i den første ligning med tallene i den sidste, kan vi se, at b forkortes væk, så vi ender med en ligning med en ubekendt, a: 15 = b ⋅ 11 b ⋅ 4a 7 a 15 11 = a Forkort b væk 7 4 a

15  11 = 7  4 

Anvend potensregel

Det er samme ligning, som vi fandt i 1. metode ovenfor, og herefter fortsættes på samme måde med anvendelse af logaritmer.

Øvelse 5.30 Bestem forskrifter for de tre potensfunktioner, hvis grafer går gennem henholdsvis a) (2,5) og (9,22) b) (3,17) og (16,2) c) (6,7) og (25,10)

Øvelse 5.31 Om en potensfunktion oplyses, at grafen går gennem punktet (350,7540), og at når x-værdien vokser med 20%, så vokser y-værdien med 25%. a) Bestem en regneforskrift for funktionen. b) Hvilken x-værdi svarer til y-værdien 20 000?

188

5. Potensmodeller

Øvelse 5.32 Om en potensfunktion oplyses, at grafen går gennem punktet (2150,9610), og at når x-værdien vokser med 1%, aftager y-værdien med 0,2%. a) Bestem en regneforskrift for funktionen. b) Hvis x-værdien vokser med 10%, hvad aftager y-værdien så med? c) Hvis x-værdien vokser med 100%, hvad aftager y-værdien så med?

Øvelse 5.33

En formel for a-tallet (især for A-niveau)

Den metode, der ovenfor er demonstreret i det gennemregnede eksempel, kan naturligvis også anvendes på to punkter, hvor vi kun har givet koordinaterne på symbolsk form: Bestem regneforskriften for den potensfunktion, hvis graf går gennem punkterne (x1,y1) og (x2,y2). Dette giver en formel for a-tallet for potensfunktionen. Udregningen, formlen og en diskussion heraf ligger på bogens website.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver til kapitel 5.

6. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 5. På websitet ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 9, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

189

Vektorer og trigonometri

1. 1.1 1.2 1.3

Hvor kommer vektorerne fra?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Danmarks kortlægning – de store landmålere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Caspar Wessel og de komplekse tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorbegrebet graves ud af firedimensionelle tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

191 191 192 196

2. Hvad er en vektor?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 2.1 Repræsentanter for en vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 2.2 Regning med geometriske vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 3. Vektorer i et koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Vektorer beskrevet med koordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Regning med koordinatvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forbindelsesvektorer og deres koordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorernes beskrivelseskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201 202 203 204 205

4. Pythagoras' sætning og længden af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 4.1 Længden af en vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.

E nsvinklede trekanter og skalering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6. Trigonometriske beregninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.1 Enhedscirklen – definitionen af sinus, cosinus og tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2 De trigonometriske formler for den retvinklede trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7. 7.1 7.2 7.3

Skalarprodukt af vektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarprodukt i koordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarprodukt og vinkler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cosinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

220 220 222 228

8. Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 8.1 Projektion af vektor på vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 9.

Tværvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

10. Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 10.1 De 5 trekantstilfælde og sinusrelationerne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 11.

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

I gymnasiet vil vi med vektorer forstå pile, der er bestemt af to ting, længde og retning, og som fx kan repræsentere hastigheder og kræfter. Forstået sådan er vektorbegrebet meget gammelt. Men det moderne vektorbegreb er opstået et helt andet sted, nemlig i arbejdet med at udvide talbegrebet. Vi indleder med fortællingen om den dansk-norske landmåler Caspar Wessels opdagelse af de komplekse tal og om, hvordan han ville anvende disse i beregninger af sider og vinkler i trekanter.

190

6. Vektorer og trigonometri

1. Hvor kommer vektorerne fra? 1.1 Danmarks kortlægning – de store matematikere som landmålere Opmålingen af verden var et af de helt store projekter i oplysningstiden. Hvor stor er Jorden? Hvor høje er bjergene? – og ikke mindst: Hvordan ser et nøjagtigt landkort over ens egen nation ud? Frankrig var det første land, hvor nøjagtige kort blev udarbejdet på grundlag af triangulering. Det skete i 1745, men projektet fortsatte ikke mindst for at få fastlagt en helt præcis og objektiv defineret ny måleenhed, det som blev til meteren. Den spændende historie, der udspillede sig midt under den franske revolution, kan du læse mere om via bogens website. I Danmark blev opmålingen af landet påbegyndt i sidste del af 1700-tallet. Matematikeren Thomas Bugge (1740-1815) blev sat til at lede dette arbejde, og han lavede selv en triangulering, som startede med en trekant nær København og siden blev udvidet til hele Sjælland.

Billedet viser det primære triangulationsnet, som blev bestemt af Thomas Bugge og Ole Christopher Wessel (med støtte fra bl.a. lillebroderen Caspar Wessel) i perioden 1765-1777. Nettet blev brugt til det generelle kort over Sjælland, som Caspar Wessel og Hans Skanke tegnede i 1777. Bemærk teksten i billedets øverste højre hjørne: "I øvrigt må man mærke, at ingen andre objekter på dette kort er anlagte end de som ved trigonometriske operationer er bestemte og beregnede". Via bogens website kan kortet forstørres, så detaljerne bedre kan ses. Tinghøj

Den markerede trekant på kortet ser ud som vist til højre, og det primære net blev bestemt ved at måle alle vinkler og udregne alle sider baseret på målinger af nogle få sider, som blev kaldt basislinjer. En basislinje blev valgt som et linjestykke mellem to trigonometriske stationer, hvor landskabet var specielt fladt og uden forhindringer.

B A

Rundetårn

Brøndbyhøj

Øvelse 6.1 Trianguleringen startede ved Rundetårn. Hvorfor mon?

Øvelse 6.2

I fodsporet af Bugge og Wessel – med brug af Google Maps og dynamisk geometri

På bogens website ligger en øvelse, hvor vi går i Bugges og Wessels fodspor og foretager den første opmåling – med moderne metoder: Brug af Google Maps og et dynamisk geometriprogram. Caspar Wessel (1745-1818) blev i 1764 udnævnt til geografisk opmåler under det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab. Hans arbejde med kortlægningen af Sjælland er levendegjort i en novelle af Georg Metz. Heri skriver Caspar Wessel til sin storebror, digteren Johan Hermann Wessel, om en samtale med Fru von Breck, hvor Casper Wessel fortæller om kortlægningen i 1777:

191

"Jeg berettede følgelig beredvilligt om min sendelse af Societets Direction og gjorde uden stor omstændelighed rede for den opmålingsmåde, som er brugt for de danske geografiske kort ligeledes for de trigonometriske og astronomiske som på samme tid er foretagne desangående. Jeg talte om landets forberedende inddeling i en række nord til sydgående parallelle hovedlinjer i afstanden af de 10000 alen, om at den vigtigste afstikning af de rette hovedlinjer har været foretagne ved hjælp af vore 7 fod lange afstikningsstokke og den regelmæssigt justerede 25 alen lange ståltrådskæde til udmålingens brug af længder. Om målebordets stationering på hovedlinjen og nedtegningen af sigtelinjer efter de i landskabet karakteristiske objekter, gik jeg ingenlunde i detaljer, eftersom jeg ikke var ganske vis på, at denne fordybelse i emnet var til hendes fornøjelse". (Uddrag fra samlingen De tider af Georg Metz)

Øvelse 6.3

En novelle om Caspar Wessel

På bogens website findes et større uddrag af novellen med oplæg til et samarbejde med dansk. Hvad fortæller ovenstående uddrag om, hvordan opmålingen af Danmark i 1777 foregik?

Senere, i 1779, blev Caspar Wessel udnævnt til trigonometrisk opmåler. Ideen med den trigonometriske opmåling var, ud over at bestemme et net af punkter ved triangulering, også at bestemme længdegrad og breddegrad for punkterne samt retningen af meridianen igennem dem ved hjælp af astronomiske målinger. Kortlægningen af først Europa og siden resten af verden var et gigantisk teknologisk projekt, der førte til betydelige fremskridt inden for videnskab og teknologi. Caspar Wessel gav et markant bidrag hertil, idet han som den første indså, at man kunne udvide talbegrebet ved at indføre tal i to dimensioner, de såkaldte komplekse tal. Vore traditionelle (endimensionale) tal på tallinjen er således et specialtilfælde af en mere omfattende verden af komplekse tal. Caspar Wessel indførte de nye tal som et redskab i sine beregninger, idet han opdagede, at længder og vinkler i trekanter kunne beregnes ved at gange komplekse tal sammen. Via bogens website er der adgang til et projekt, der giver en første introduktion til Wessels opdagelse af de komplekse tal og hans anvendelse af dem i sine trigonometriske beregninger. Caspar Wessel skrev på dansk og arbejdede i udkanten af det europæiske kulturområde, og hans revolutionerende arbejde opnåede derfor ikke den anerkendelse, det fortjente. Æren for opdagelsen af den komplekse talplan blev derfor dengang tilskrevet andre, bl.a. Gauss.

1.2 Caspar Wessel og de komplekse tal Caspar Wessel beskriver sin teori i afhandlingen "Om Directionens analytiske Betegning, et Forøg, anvendt fornemmelig til plane og sphæriske Polygoners Opløsning", der blev indleveret til Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab i 1797. Originalen, som er skrevet med gotisk skrift, samt en oversættelse til læseligt dansk og en oversættelse til engelsk med tilhørende omfattende kommentarer og artikler kan tilgås via bogens website.

192

6. Vektorer og trigonometri

Caspar Wessel stillede sig den opgave at regne med linjestykker, der har en retning og ikke kun en længde. Hvis vi ser på en tallinje, så kan vi betragte tallet +2 som det linjestykke, der har længden 2 og retningen 0º, mens –2 kan betragtes som det linjestykke, der har længden 2 og retningen 180º, som vist på figuren. 180°

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Men hvad med det linjestykke som har længden 2 og retningen 45º?

45°

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Caspar Wessel havde jo brug for at kunne dreje linjestykker i alle mulige retninger i sine trianguleringer. Han havde desuden brug for at kunne udføre de sædvanlige regneoperationer med linjestykker, som om de var tal, og han indførte derfor en slags todimensionale tal bestemt ved en længde og en retning. Disse tal svarer til det, vi i dag kalder "de komplekse tal". Bemærk, at der er tale om en udvidelse af de reelle tal og ikke et fuldstændig nyt talsystem, fordi de reelle tal jo bare svarer til alle de komplekse tal, der har retningen 0º eller 180º. Hent til brug for det følgende Caspar Wessels afhandling på websitet. Sidetallene henviser til uddraget på dansk. Caspar Wessel beskriver addition af disse todimensionale tal geometrisk (s. 5): "To rette linjer adderes, naar man først føier dem sammen, saaledes at den ene begynder, hvor den anden slipper, derefter drager fra de sammenføiedes første til sidste Punct en ret Linje og antager saa denne for de sammenføiedes Sum."

Øvelse 6.4

Addition af linjestykker i 2d

Omskriv Caspar Wessels formulering til naturligt sprog, og illustrer hans definition ved at tegne linjestykker i den 2-dimensionelle plan.

På figuren nedenfor ses tallene 2 (grøn) og 4 (rød), som har længden 2 hhv. 4 og begge retningen 0º. Summen 2 + 4 er så bestemt ved det linjestykke (blå), der går fra det første linjestykkes startpunkt til det andet linjestykkes slutpunkt (linjestykkerne lægges altså blot i forlængelse af hinanden), og vi får et linjestykke med længde 6 og retning 0, dvs. retningen bevares, mens længden bliver summen af de to tals længder:

–2

–1

193

Øvelse 6.5

Addition af linjestykker på den 1-dimensionelle linje

Udfør følgende additionerne 1 + 4 og 3 + 5 efter Caspar Wessels metode, idet du konstruerer tallene (linjestykkerne) og summen i et dynamisk geometriprogram (eller på et stykke kvadreret papir).

Øvelse 6.6

Subtraktion af linjestykker på den 1-dimensionelle linje

Hvordan håndterer Caspar Wessel subtraktion? (se s. 6). Sammenlign hans metode med, hvordan subtraktionen 5 – 3 kan opfattes som 5 + (–3). Inddrag figuren i en geometrisk illustration af subtraktion, idet vi konstruerer linjestykkerne med pile, der viser tallets retning:

–3

–2

–1

Men hvad så med tal, der har en anden retning end 0º og 180º?

Øvelse 6.7

eometrisk repræsentation af addition og subtraktion af linjestykker i G planen

Caspar Wessel beskriver i disse tilfælde summen ved hjælp at en trekant: "Ligeledes naar en Triangels ene Side strækker sig fra a til b, og den anden fra b til c, maa den tredje fra a til c og ab + bc have samme Betydning, eller ac = ab + bc = –ba + bc, dersom ba er det modsatte af ab." Benyt nedenstående figur (eller konstruer en selv) til at forklare ovenstående: c a

Øvelse 6.8

Hvordan summen afhænger af linjestykkernes retning

I fortsættelsen heraf skriver Caspar Wessel uddybende om betydningen af tegnet "+" i hans teori. Forklar hans beregning: ab + ba = 1 ab. Hvad mener han med, abat+ ba =er1 ab 2 2 2 2 "ingen del af summen"?

194

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.9

Regneregler for addition af linjestykker

Når der er tale om en udvidelse af de reelle tal, så skal alle de sædvanlige regneregler gælde. Dvs. når man lægger tal sammen, så skal rækkefølgen være ligegyldig: ab + bc = bc + ab. a) V is ved konstruktion i et dynamisk geometriprogram, at dette gælder, når addition beskrives som ovenfor: Konstruer to tal (linjestykker) som på figuren ovenfor med en tilfældig længde og retning, idet de lægges i forlængelse af hinanden på to forskellige måder ab + bc og bc + ab, og vis, at ac = ab + bc = bc + ab. Man skal også kunne lægge flere tal sammen uden at tage hensyn til rækkefølgen. b) K onstruer en firkant abcd, og argumenter for, at ad = (ab + bc) + cd = ab + (bc + cd). Da subtraktion jo bare er et specialtilfælde af addition, gik Caspar Wessel hurtigt hen over dette.

Multiplikation af to tal var en noget større udfordring for Caspar Wessel. Læs først selv § 4, s. 6-7. For overskuelighedens skyld vil vi nu benytte en anden notation, og lade z og w være to komplekse tal. Resultatet af multiplikationen z · w fastlægges som det linjestykke, hvis længde svarer til de to linjestykkers længder ganget sammen, og hvis retning svarer til de to linjestykkers retninger lagt sammen.

Øvelse 6.10

w z

Multiplikation af komplekse tal i dynamisk geometri

Benyt et værktøjsprogram til at konstruere eksempler på Caspar Wessels multiplikation: a) K onstruer to tal (linjestykker) z og w med samme startpunkt og med tilfældig længde og retning. b) M ål hver af de to tals længde og retning. c) K onstruer nu produktet af de to tal: z · w, dvs. et linjestykke med længden svarende til de to linjestykkers længde ganget sammen og en retning svarende til summen af de to linjestykkers retninger. d) Benyt din konstruktion til at udføre beregninger svarende til at gange to tal (linjestykker med retning) sammen, idet du ændrer på længde og retning af de to tal (linjestykker) z og w.

Caspar Wessels næste udfordring var at oversætte den geometriske beskrivelse til en algebraisk beskrivelse. Først skulle han finde et algebraisk udtryk for et komplekst tal med en vilkårlig længde.

195

Han beskrev dette i 3 trin: 1. Indførelse af en ny enhed 2. Algebraisk udtryk for et komplekst tal med længden 1 3. Algebraisk udtryk for et komplekst tal med vilkårlig længde Vi ser i det følgende på hvert af de tre trin. ε

–1

Trin 1: Indførelse af en ny enhed

Caspar Wessel indfører en ny enhed +ε, som skal måle udstrækning vinkelret på den sædvanlige tallinje, se figuren. Hermed får tallet +1 retningen 0º, og tallet +ε får retningen 90º.

–ε

Og hermed er den nye imaginære enhed, som vi i dag betegner i, født. I den videre del af sin afhandling argumenterer Caspar Wessel for, at i kan opfattes som −1. Via bogens website kan man tilgå et projekt, der rummer ovenstående afsnit 1.2, og hvor indførelsen af de komplekse tal fortsætter efter denne linje.

1.3 Vektorbegrebet graves ud af firedimensionelle tal Mange andre matematikere var også på jagt efter en geometrisk repræsentation af de komplekse tal, og nogle få årtier inde i 1800-tallet var dette en kendt teknik. Men selv om komplekse tal kan repræsenteres som pile i planen, så var forbindelsen til vektorer alligevel ikke etableret. For hvad med vektorer i 3D? Addition af 3D-vektorer kan foretages præcis som med 2D. Men kan man finde en måde at gange dem på? Spørgsmålet svarer til følgende: Findes der tredimensionelle "komplekse tal"? Det er et af de spørgsmål, hvor vi kan datere, hvor og hvornår svaret blev fundet. Det skete 16. oktober 1843 på en vandring langs Royal Canal i Dublin. William Hamilton (1805-1865), der havde bakset med problemet i mange år, var den dag på vej til et møde i det irske Royal Academy. Hans kone fulgte ham, og han gik og talte lidt fraværende med hende, indtil hans matematiske hjerne pludselig tog over og i et glimt gav ham svaret: Nej, der findes ikke tredimensionelle komplekse tal – men der findes firedimensionelle! Hamilton blev så overvældet, at han med en kniv ridsede de formler, han så for sig, ind i murværket på Brougham Bridge, som de netop passerede. De nye tal, Hamilton havde opdaget, kaldte han quaternioner, på dansk: Kvaternioner, se nærmere på bogens website. Hamilton viede resten af sit liv til at udvikle teorien om kvaternioner, og han var overbevist om, at de var et universalværktøj til at løse mange problemer i matematik og fysik. Hamilton var imidlertid ikke verdensmester i formidlingens kunst, så de værker, han skrev om kvaternioner, blev kun læst af få – selv nogle af de største matematikere gav op over for Hamiltons komplicerede fremstilling.

196

6. Vektorer og trigonometri

Men nogle af de største fysikere, som James Clark Maxwell (1831-1879) og Oliver Heaviside (1850-1925), så mulighederne. Det gik op for Maxwell, at hvis man betragter    ab × b som kvaternioner med 4.-koordinat 0, så to tredimensionelle pile (vektorer) a ×og giver Hamiltons regneregel for multiplikation af kvaternioner en 4-dimensionel størrelse, der med fordel kan brydes op i to dele: et tal (en skalar), som findes som første koordinat, og en tredimensionel vektor, som findes som de tre resterende   koordinater. Skalaren er det, vi i dag kalder skalarproduktet aa ××· bb , og den tredimensio  nelle vektor er det, vi i dag kalder for vektorproduktet a × b . Når det var fysikere, der kunne se dette, så skyldes det, at skalarproduktet er tæt knyttet til det fysiske begreb arbejde, og krydsproduktet er nær knyttet til de fysiske begreber kraftmoment og inertimoment. Men så begyndte matematikerne også at se mulighederne, ikke mindst efter at Josiah Gibbs (1839-1903) i 1884 udsendte matematikhistoriens første bog om vektorregning, Elements of Vector Analysis.

2. Hvad er en vektor? Det er lige så svært at svare på spørgsmålet "Hvad er en vektor?", som det er at svare på spørgsmålet "Hvad er et tal?" Både vektorer og tal er abstrakte begreber, der kan opfattes som repræsentanter for fysiske objekter. Børn i skolen lærer at tælle og regne med tallene ved at betragte fysiske objekter såsom æbler og pizza´er osv. Først senere løsrives regnestykkerne fra de konkrete objekter, og tallene bliver til symboler. I gymnasiet repræsenterer vi en vektor ved en pil (et orienteret linjestykke), der har en længde og en retning. Længden angives som et tal, og i dette kapitel vil vi kalde tal for skalarer. Inden for skalarernes verden er det klart defineret, hvordan vi regner – fx hvordan vi lægger sammen, trækker fra, ganger og dividerer. Da vektorer også har en retning, er det en lidt anden sag at regne i vektorernes verden, men meget arves fra tallene. I videregående matematik løsrives vektorerne fra pile og bliver til abstrakte symboler.

Praxis: Notation For at skelne mellem vektorer og skalarer (tal) skrives de forskelligt.  Vektorer skrives som bogstaver med en pil over: a Skalarer skrives på sædvanlig vis med kursiverede bogstaver: s.  En vektors længde angives ved at skrive vektoren imellem to lodrette streger: a  En vektor, der beskriver en flytning fra et punkt A til et punkt B,  betegnes med punkternes navne i rækkefølge og med en pil over: AB .    BA er derfor vektoren fra B til A. BA kaldes også den modsatte vektor til AB ,   og vi skriver: BA = – AB .

197

  a×b

2.1 Repræsentanter for en vektor   a×b

  a×b

Pile, der har samme længde og retning, er repræsentanter for den samme vektor, uanset hvor de befinder sig i planen eller rummet. Kan man med en parallelforskydning flytte en pil over i en anden, repræsenterer de samme vektor. De tre pile vist på figuren til venstre er således repræsentanter for den samme   vektor a .× b

Øvelse 6.11 Tegn en vektor, og tegn dernæst 3 andre repræsentationer af samme vektor. (Hint: Tegn på kvadreret papir/baggrund med gitterlinjer, så det er nemt at parallelforskyde ved at tælle tern).

Øvelse 6.12   b matematisk værktøjsprogram. a) Tegn en repræsentant for en vektor a ×i et   b) Afsæt tre punkter, og tegn repræsentanter for a ×udb fra de tre punkter.

Forestiller vi os formationsflyvninger, hvor fly eller fugle flyver med samme fart og retning, så vil vi kunne beskrive disse flys eller fugles fælles hastighed med én og samme vektor. I fysik taler man da også om hastighedsvektoren.

En bestemt vektor repræsenterer altså pile, der har samme længde og retning. Den fælles længde kaldes vektorens længde.

2.2 Regning med geometriske vektorer I fysik repræsenterer man kræfter og hastighed ved vektorer, fordi der både indgår en størrelse og en retning. Hvis vi forestiller os, at en genstand er påvirket af de to kræfter       b+ +bc,+så repræsenteret dved og = +a c har man siden oldtiden vidst, at den resulterende kraft, 3d= 3 a som påvirker genstanden, findes ved hjælp af "kræfternes parallelogram". Dvs. man tager både hensyn til størrelsen af en kraft og den retning, hvori den virker. Dette repræsenteres i vektorregning af addition af vektorer:

198

6. Vektorer og trigonometri

Definition: Geometrisk addition og subtraktion af vektorer Vi adderer vektorer geometrisk ved at afsætte repræsentanter for vektorerne i forlængelse af hinanden således, at der, hvor den ene pil slutter, begynder den næste osv. På figuren er det demonstreret med to vektorer i planen.     Vektoren a – b defineres som vektoren a + (– b).

 a

 b

 –b

  a–b

  a+b

 a

Øvelse 6.13         dd33d=3= a=a+,a+b+b+b +c+c c . På figuren ses tre vektorer og Tegn følgende vektorer:       a) d1 = a + b b) d2 = c − b         c) d3 = a + b + c d) d4 = c − a + b

Øvelse 6.14

    d3 = a + b + c        d3 = a + bd3+ =c a + b + c

Kræfternes parallelogram

    c fra startTegn videre på figuren, der illustrerer addition, ved at afsættedvektor ud 3 = a+b+     d = a + b + c punktet og vektor i forlængelse heraf. Hvad er det nu for en geometrisk figur, du har 3   tegnet? Hvad repræsenterer vektorsummen aa×+×bb i denne figur? Hvad repræsenterer   vektoren aa×–×bb i figuren?

Eksempel: Bevægelse under påvirkning af flere kræfter En luftballon bevæger sig under påvirkning af tyngdekraft, opdrift og vind. De to første giver samlet en lodret påvirkning, den sidste en vandret. Bevægelsen kan dermed betragtes som resultat af en vandret bevægelse og en lodret bevægelse. Repræsenterer vi ballonens lodrette og vandrette hastighed med vektorer, så kan vi illustrere ballonens resulterende hastighed frembragt af disse ud fra kræfternes parallelogram. Bemærk, at bevægelsesbanens stejlhed vil være afhængig af de to hastigheders størrelser.

Sætning 1: Regneregler for addition

   For alle vektorer a, b og c gælder:   1. V ektoradditionen a + b er uafhængig af, hvilke repræsentanter vi vælger for vektorerne. Vi siger, at addition er veldefineret.     2. a + b = b + a Vi siger, at den kommutative lov gælder for vektoraddition.       3. a + ( b + c ) = ( a + b) + c Vi siger, at den associative lov gælder for vektoraddition.

Bevis På bogens website ligger et udfoldet bevis for sætning 1.

199

Definition: Modsat vektor og multiplikation med skalar Modsat vektor:   Vektoren – a er den vektor, der har samme længde som a , men modsat   retning. Vi kalder – a for den modsatte vektor til a . Hvis vektoren er defineret ud fra sine endepunkter A og B med retning      fra A til B, dvs. a = AB , så er – a = – AB = BA , idet retningen ændres til at gå fra B til A. Multiplikation med skalar:  Vektoren s · a er den vektor, hvis længde er s gange større end læng   den af a , dvs. s · a  = s ·  a , hvor s betegner den numeriske værdi af skalaren.   Hvis s er positiv, dvs, s > 0, så er s · a og a enrettede.   Hvis s er negativ, dvs, s < 0, så er s · a og a modsatrettede.  Hvis s = 0, så er s · a = 0

Øvelse 6.15

  a×b



–3 · a 2

 –a B

 a A



2· a

Geometrisk multiplikation med skalar

a) T egn følgende vektorer ud fra de to vektorer, der er givet på figuren:         c = 2⋅ a d = −3 ⋅ a e = 1⋅b f = −b 2    1       3 ⋅ af⋅ b=i forhold −b b a × b? b) H vilken retning har hver af de fire vektorer c,=d2,=⋅ ea−=og til a ×henholdsvis 2 Stemmer det med skalarens fortegn?    1       3 ⋅ af⋅ b= −b b a × b? c) Hvad er længden af hver af de fire vektorer c,=d2,=⋅ea−= og i forhold til a ×henholdsvis 2

Sætning 3: Indskudsreglen

For tre punkter A, B og C gælder, at:       AB = AC + CB eller AB = CB – CA Vi siger, at vi har indskudt punktet C mellem A og B. For to givne punkter A og B er formlerne opfyldt for et hvilket som helst C, vi kunne vælge.

 AB  CB

 AC

Bevis

    = CB + AC første formel følger umiddelbart af definitionen på addition afCB de−toCA vektorer  Den     CB − CA = CB .+Den AC anden formel følger af definitionen på subtraktion: og     CB − CA = CB + −CA     Følger af definitionen på modsat vektor CB − CA = CB + AC                     Følger af sætning 1 samt den første formel CB −CB CA−=CA CB CB =+−CB CA ++ =AC CB −AC CA =CB CB+=+AC AB             CB −CB CA−=CA CB==+CB AC+ AC samt af definitionen på modsat vektor:

(

200

)

6. Vektorer og trigonometri

Sætning 3: Regneregler for skalarmultiplikation

  For alle vektorer a og b, og alle skalarer s og t gælder de distributive love:     1. s · ( a + b) = s · a + s · b    2. (s + t) · a = s · a + t · a

Bevis Forsøg selv at bevise punkt 1 ved hjælp af ensvinklede trekanter og forstørrelsesfaktor s. På bogens website ligger et udfoldet bevis for sætning 2.

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 2.

3. Vektorer i et koordinatsystem For at kunne udføre beregninger indfører vi nu et koordinatsystem. Et koordinatsystem har udgangspunkt i et punkt O, der kaldes for origo (samme ord som origin). O kaldes også ofte for begyndelsespunktet. Til ethvert punkt P i et koordinatsystem knytter vi en vektor, der beskriver punktets beliggenhed i forhold til O.

Definition: Stedvektor

En vektor, der går fra koordinatsystemets begyndelsespunkt O  ud til et punkt P, kaldes stedvektor for P og betegnes OP . På illustrationen ses to forskellige punkter P og Q samt de  tilhørende stedvektorer OP og OQ .

 OP



Øvelse 6.16 Tegn på kvadreret papir (baggrund med gitterlinjer) stedvektoren til hver af punkterne: A(2,6), B(–4,–5), C(3,9), D(6,–4), E(–8,3), F(4,–7), G(–2,–7), H(–1,9).

Øvelse 6.17 a) Afsæt fire punkter A, B, C og D i et matematisk værktøjsprogram. b) Tegn stedvektorer til hvert af de fire punkter. c) Tegn de mulige forbindelsesvektorer ud fra de fire punkter.

201

3.1 Vektorer beskrevet med koordinater

P(x,y)

 OP

 B etragt et punkt P(x,y) i planen, og den tilhørende stedvektor OP . Denne vektor er summen af de to vektorer, der er markeret på henholdsvis 1. og  2. aksen. Disse to vektorer er projektioner af OP ned på akserne. Derfor  tillægger vi vektor OP samme koordinater som punktet P.   E nhver vektor a =har OAen repræsentant med udgangspunkt i O og kan derfor     opfattes som stedvektor for et punkt A(a1,a2): a = OA . Vektor a =tillægges OA   samme koordinater som a = OA , dvs. som punktet A. Heraf følger, at koordinaterne svarer til projektionerne af en hvilken som helst repræsentant ned på akserne.

Definition: Koordinator for en vektor

  Ved koordinaterne for en vektor a forstår vi koordinaterne for det punkt A, som a  er stedvektor for. Koordinaterne for a kan også bestemmes som projektionerne (regnet med fortegn) af en vilkårlig repræsentant ned på 1. og 2. aksen. Vi anvender lodret koordinatnotation for vektorer for at kunne skelne mellem vektorer og punkter:   a a = OA =  1   a2 

Vi har således indført en ny repræsentationsform for vektorer, nemlig koordinatrepræsentationen, som i mange tilfælde gør problemløsning lettere. Bemærk, at i tilfældet, hvor punktet A vælges som punktet O(0,0), bliver stedvektoren:  0 OO =    0 Ifølge vores definition er det egentlig ingen vektor, da den ingen retning har, men vi  kalder den for nulvektoren og betegner den med o . Alle andre vektorer kaldes for egentlige vektorer.

y 2

Eksempel: Basisvektorer

I vektorregningen anvendes ofte enhedsvektorer, dvs. vektorer med   længden 1 enhed. På figuren ses to enhedsvektorer, i og j , markeret på hver af akserne i koordinatsystemet. Man kalder også disse to enhedsvektorer for koordinatsystemets basisvektorer, fordi de sammen med origo, dvs. O(0,0), definerer koordinatsystemet med begyndelsespunkt, enhed og orientering, dvs. man definerer positiv omløbsretning mod uret fra x-aksen. Man kalder også x-aksen for førsteaksen og y-aksen for andenaksen.

1 j –2

–1

1 –1 –2

202

i 2

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.18

Basisvektorernes koordinater

  1 Argumentér for, at de to enhedsvektorer således får koordinaterne: i =   og j =  0 .  0  1

Når man skal regne med vektorer i et matematiske værktøjsprogram, så kan man ikke altid bruge samme notation, som man vil gøre, når man skriver på papir. Du kan via bogens website finde en vejledning til, hvordan de gængse værktøjsprogrammer håndterer vektornotation.

Øvelse 6.19 a) Undersøg, hvordan man skriver vektorer i dit matematiske værktøjsprogram. b) Undersøg, hvordan man tegner vektorer i dit matematiske værktøjsprogram.

3.2 Regning med koordinatvektorer Ud fra definitionen kan man udlede regneregler for addition og subtraktion af koordinatvektorer og for multiplikation med en skalar.

Sætning 4: Regneregler for koordinatvektor a  b     a1  b Hvis a = OA a = OA =, 1= b1 og t er en skalar, så er a  2   a2  2   a + b    a −b 1) a + b = 1 1 og a − b =  1 1  Vi adderer og subtraherer koordinatvis.  a2 + b2  a2 − b2     Man kalder også a + b sumvektor og a – b differensvektor.  t ⋅ a1 2) t ⋅ a =   t ⋅ a2

Vi multiplicerer med en skalar koordinatvis.

Øvelse 6.20 a) B evis sætningens sumregel for vektor-addition på koordinatform ved at argumentere ud fra figuren:   a × b har negativ y-koordinat, og argumenter b) T egn selv en ny figur, hvor for, at sætningen stadig gælder, når en af koordinaterne er negativ. c) V is punkt 2 ved at betragte den ensvinklede og retvinklede trekant   b bestemt af kateterne a1, a2 og hypotenusen a .×Skalér op med forstørrelsesfaktoren t, og konkluder så ud fra definitionen på koordinater   for en vektor som t · a .× b

a1 + b 1 a2 + b2

  aa×+×bb   a×b

  a×b

203

Øvelse 6.25 Tre vektorer er givet ved:   5   1  a= , b= og c =  −4  −3  6  8 Beregn koordinatsættene til følgende vektorer:           d1 = a + b d2 = b − c d3 = b − a + 2c

    d4 = 3a − 4c − 5b

Praxis: Regning med vektorer i et værktøjsprogram Bruger man et værktøjsprogram, vil man typisk definere de opgivne vektorer fra start, så man kan regne videre med dem. Defineres:     1 −4 5 a:= , b:=   og c :=    8 6    −3      a + b, b – c , 2 · a og kan man bestemme koordinater for vektorer som    d := 2 · a – 3 · b blot ved at opskrive udtrykkene. Ønsker vi at regne videre med  en vektor, definerer vi den som en ny vektor, som vist med d .

Øvelse 6.26 Bestem ved beregning i et værktøjsprogram vektorerne nævnt i praxisboksen.

Forbindelsesvektorer og deres koordinater Når vi skal beskrive en geometrisk figur, fx en trekant med vektorer, så vil vi typisk angive koordinatsættene til trekantens hjørnepunkter. Når vi skal regne på trekanten, så får vi brug for at kende koordinatsættene til de vektorer, der beskriver trekantens sider. 

Sætning 5: Indskudsreglen og koordinaterne for forbindelsesvektoren AB For tre punkter A(a1,a2 ), B (b1,b2 ) og C (c1,c2 ) gælder, at:       AB = AC + CB eller AB = CB – CA Koordinaterne for forbindelsesvektoren   b − a1    b 1 = a1  – aa− b == 1 ABb==a =bOA  2 2  b2 − a2

y  AB

 OB

 OA

204

6. Vektorer og trigonometri

Bevis 1) Dette indgår i den geometriske version af indskudsreglen.    2) S æt C = O i indskudsreglen. Så er AB = OB − OA . Indsæt nu koordinaterne, og udnyt regnereglerne for koordinatvektorer.

Øvelse 6.27 Afsæt de tre punkter A(–5,2), B(6,7) og C(2,–4) i et koordinatsystem på kvadreret papir.            CB − CA = CB Tegn vektorerne til disse forbindelsesvektorer. CB,−og CAaflæs = CBkoordinaterne + AC AB +=, AC OB og − OA Udregn koordinaterne ved at anvende metoden i praxisboksen.

Praxis: Forbindelsesvektor i et værktøjsprogram Bruger man et værktøjsprogram, vil man typisk definere de opgivne punkter som stedvektorer fra start, så man kan regne videre med dem. Har vi fx givet A(2,3 ) og B(5,–4), kan vi gøre således:       3  2  5 OA :=  3  og OB := = − 7 = − 4 , og dermed AB := OB – OA =

Øvelse 6.28 Bestem koordinatsættene til forbindelsesvektorerne mellem følgende tre punkter både ved håndkraft og i et værktøjsprogram:A(3,–1), B(–1,6) og C(8,12).

Vektorernes beskrivelseskraft Højder, midtnormaler, medianer og vinkelhalveringslinjer har nogle geometriske egenskaber, som har været kendt siden oldtiden. Disse egenskaber kan undersøges eksperimentelt, og det kan bevises i klassisk geometri, men de kan også behandles elegant med brug af vektorer. Det ser vi nærmere på i et projekt, der ligger på bogens website. Et vigtigt eksempel er følgende sætning, der både kan vises med brug af ensvinklede og kongruente trekanter og med brug af vektorer.

Sætning 6: Midtpunkt af et linjestykke Koordinatsættet til midtpunktet M mellem de to punkter: A(a1,a2 ) og B(b1,b2 ) kan beregnes som: a +b a + b  M =  1 1 , 2 2  2 2 

Beviset kan findes via bogens website.

205

Øvelse 6.29

Midtpunkt af linjestykke

a) Bestem koordinaterne for midtpunktet mellem de to punkter A(2,6) og B(5,–1). b) Kontroller beregningerne ved en konstruktion i et geometrisk værktøjsprogram.

Praxis: Konstruktioner i et geometriprogram Man kan også plotte punkter i et geometriprogram, og konstruere vektorerne der ud fra. Herefter kan man benytte programmets indbyggede kommando til at bestemme koordinatsættene til vektorerne.

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 3.

4. Pythagoras' sætning og længden af en vektor Ved hjælp af Pythagoras' sætning kan vi bestemme længden af en vektor.

Definition: Den retvinklede trekant I en retvinklet trekant ABC, hvor vinkel C er den rette, kaldes siden c overfor den rette vinkel for hypotenusen, og de to andre sider a og b kaldes kateter.

Sætning 7: Pytagoras' sætning I en retvinklet trekant ABC, hvor vinkel C er den rette, gælder følgende: a 2 + b2 = c 2 , eller formuleret med ord: Kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kvadraterne på kateterne. Geometrisk set betyder det, at hvis man konstruerer kvadrater på hver af de to kateter, så skal summen af disse kvadraters arealer være lig med arealet af det kvadrat, man kan konstruere på hypotenusen.

206

Areal = b2

b A

a c

Areal = c2

Areal = a2 B

6. Vektorer og trigonometri

Pythagoras' sætning er måske den mest berømte sætning i matematikken. Samtidigt har den vist sig også at være en af de vigtigste sætninger i matematikken, med en betydning som rækker langt ud over dens anvendelse på almindelige plane retvinklede trekanter. Der findes over 100 forskellige beviser for sætningen. Du kan på bogens website hente to helt forskellige beviser og få adgang til en video om Pythagoras' sætning.

Øvelse 6.30

A nvendelse af Pythagoras' sætning til at bestemme længden af en vektor

  3 a) T egn på kvadreret papir i et koordinatsystem en repræsentant for vektor a = med  4   3 koordinaterne a =   med udgangspunkt i origo. 4   3 b) Vektor a = erstedvektor for punktet A. Afsæt punktet A i koordinatsystemet og angiv 4 koordinatsættet til punktet A. c) A fsæt et punkt B ved at trække et lodret linjestykke fra punktet A ned på x-aksen. Punkterne O, A og B danner nu en retvinklet trekant, hvor vinkel B er ret (90º). Hvor lang er den lodrette katete? Hvor lang er den vandrette katete?   3 d) Anvend Pythagoras' sætning til at beregne længden af a .=Længden af en vektor  4   3 =  betegnes  a . 4

Øvelse 6.31

Dynamisk version af Pythagoras' sætning

a) A fsæt en vektor med begyndelsespunkt i origo i et matematisk værktøjsprogram, således at slutpunktet P er et "frit punkt". b) N edfæld den vinkelrette linje fra slutpunktet til x-aksen vha. værktøjsprogrammets faciliteter. c) A fsæt skæringspunktet Q mellem x-aksen og den vinkelrette linje som et punkt.    OQ =og QP = QP − PQ −i værktøjsprogrammet. PQ d) Afsæt vektorerne OQ e) A fprøv den dynamiske illustration, når det frie punkt P flyttes til at ligge i de fire forskellige kvadranter. f) H vilken type trekant danner punkterne O, P og Q i alle tilfælde? Brug værktøjspro         OQ OQ =,=QP = QP QP −og −PQ −PQ PQ . grammets faciliteter til at bestemme længden af de tre vektorer OQ Hvilken sammenhæng er der mellem længderne af de tre vektorer i alle tilfælde?

Øvelse 6.32 Ofte vil en retvinklet trekant have andre betegnelser for siderne. a) Opskriv Pythagoras' sætning for en trekant PQR, hvor vinkel R er den rette. b) Opskriv Pythagoras' sætning for en trekant BCA, hvor vinkel A er den rette.

207

Øvelse 6.33 a) I en retvinklet trekant er længden af de to kateter henholdsvis 6 og 8. Bestem længden af hypotenusen. b) I en retvinklet trekant er længden af hypotenusen 23, og længden af den ene katete 15. Bestem længden af den anden katete.

På bogens website ligger et materiale med yderligere beviser for Pythagoras' sætning, og hvor man også kan lære selv at konstruere animationer af bestemte sammenhænge.

4.1 Længden af en vektor

  3 = OA Længden af stedvektoren a =  4 , hvor punktet A har koordinaterne A(a1,a2), svarer til længden af det linjestykke, der forbinder punktet A med O, dvs. OA. Da enhver vektor kan opfattes som en stedvektor, kan vektorers længde altid beregnes således. Som antydet på illustrationen kan en stedvektors længde beregnes ved at anvende Pythagoras' sætning.

Sætning 8: Længden af en vektor      2  a1 2 a1   a1  a = OA Længden af en vektor ==OAa1= + a2 . a = OA = er bestemt ved aa= a  2   a2   a2 

A(a1,a2 )

  a a = OA =  1   a2  a2

Bevis

  3   3 = OA Vi afsætter a = som stedvektor: a =    4 , og konstruerer den retvinklede trekant OPA 4   3  = OA som hypotenuse – se illustrationen. med a =  4 Således er de to kateters længder henholdsvis a1 og a2. Anvender vi Pythagoras' sætning, får vi: 2 a = a12 + a22 Anvender kvadratroden (omvendt operation til at kvadrere)  a = a12 + a22

Eksempel: Længden af en vektor

  4 Vi vil bestemme længden af vektoren a =   . 3  2 2 Vi indsætter i formlen: a = 4 + 3 = 16 + 9 = 25 = 5 .

208

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.34

Længder med værktøjsprogrammer

På bogens website ligger en vejledning til, hvordan man i de gængse programmer beregner længder. Undersøg, hvordan det gøres i dit program.

Øvelse 6.35 Bestem længden af følgende vektorer ved hjælp af længdeformlen:   5   − 3 c= d=  12  6 Kontroller dine beregninger med dit værktøjs facilitet.   3 a=  −4

  2 b=  −4

  − 6 e=  8

Sætning 9: Læmgden af en forbindelsesvektor – Afstand mellem to punkter

 Længden af forbindelsesvektoren AB mellem to punkter A(a1,a2 ) og B(b1,b2 ) kan beregnes ved:  AB = ( b 1− a 1 ) 2+ ( b 2 − a2 )2 Afstanden mellem to punkter er således bestemt ved forbindelsesvektorens længde.

Bevis

   Opskriv forbindelsesvektoren AB =med og anvend længdeformlen OB koordinatsæt, − OA    på AB .= OB − OA

Øvelse 6.36

Beregning af sidelængder i en trekant

 a) Givet A(2,6) og B(5,–4), vis at AB = 109 = 10,44 . b) G ivet tre punkter i planen: A(2,–1), B(4,6) og C(–3,5). Bestem sidelængderne i trekant ABC.

Øvelse 6.37

Længdebestemmelse i geometriprogrammer

Plot de tre punkter i øvelsen 6.36 punkt b) ovenfor i et værktøjsprogram, konstruer trekanten, og bestem sidelængderne ved anvendelse af programmets indbyggede kommandoer.

209

Eksempel: Regning med vektorlængder

  3   3   3 = hvor Længden af vektoren s · a =beregnes pr. definition ved: s · a = = s· a ,  −4  −4  −4 sbetegner den numeriske værdi af skalaren, dvs. 'talværdien' forstået på den måde, at uanset om s er positiv eller negativ, så regnes der med tallet, som var det positivt, fx   3   3   3   3   3   3 = 2 · a  eller = 3 · a . = = 2 · a = = 2· a = –3 · a = = –3· a =  −4  −4  −4  −4  −4  −4

Eksempel: Parallelle vektorer To rette linjer, der har samme hældningskoefficient, er parallelle. I vektorernes verden si   ab × b, der har samme eller modsat retning, parallelle, og vi skriver ger vi, at to vektorer a ×og   med symbolet for parallelitet: a ×|| b . For at undgå undtagelser i formler og sætninger, så vedtager vi som i videregående matematik, at nulvektoren er parallel med alle veltorer.        ab × b er parallelle vektorer, så findes et tal s, så a × b = s · a .×Dette b Hvis a ×og tal s kan bestemmes på følgende måde:             a × b = s · a ,×så b era × b = s · a , × bdvs. pr. definition:a × b = s·a × b(*) Hvis Bemærk, som i eksemplet ovenfor, at s betegner den numeriske værdi af tallet s,     b mens a × betegner længden af vektoren a .× b  b s =  I ligningen (*) kan vi nu isolere s: s= a

Bemærk: Vi kan dividere med længder, ikke med vektorer. Der er nu to muligheder for det endelige resultat: 



b b       s ==  , når a ×og ab × b er ensrettede eller s s= =–  , når a ×og ab × b er modsatrettede.

      × 0 , så era × ba= × 0 , så tallet bliver blot s = 0. a × ba = Hvis

Eksempel: Enhedsvektor med samme retning som en given vektor I nogle sammenhænge er det praktisk at kunne bestemme en enhedsvektor, dvs. en vektor med længden 1, med samme retning som en given vektor.   For en vilkårlig vektor a ×erben sådan  enhedsvektor bestemt ved    : e = 1 ⋅ a , der ofte skrives: e = a y a

Dette resultat fremkommer af forrige eksempel, hvor vi       a a × ba i× b = s · a ×være b lader vektor enhedsvektoren e ,=dvs.:   b

 e a

  a×b

1 a

s=  =  =  a

Et taleksempel kan illustrere dette:   3 Vi har givet vektoren a =   , og vi vil beregne en 5   enhedsvektor med samme retning som a .× b

  e = a a

 Vi bestemmer først længden af vektoren: a = 32 + 52 = 34 = 5,83 .  Dvs. vores enhedsvektor bliver: e =

1  1  3  0, 51 ⋅a = ⋅  =  . 5,83  5  0,86 34

    a  b · × be =  Bemærk: Formlen e = a giver også den nyttige formel: a ×=a a

210

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.38   4   5 Givet vektorerne a =   og b =   . 3 7 a) Bestem en enhedsvektor for hver af vektorerne med samme retning som vektoren selv. b) K ontroller dine beregninger ved at tegne vektorerne og konstruere enhedsvektorerne for hver af disse i et værktøjsprogram: Afsæt vektorerne som stedvektorer i et koordinatsystem, og tegn en cirkel med centrum i origo og radius 1 (kaldes også en enhedscirkel). Enhedsvektorerne må så være stedvektorer for skæringspunkterne mellem vektorerne og cirklen.

Eksempel: Cirkler beskrevet ved ligninger På bogens website ligger et materiale om en vigtig anvendelse af længdeformlerne, nemlig til beskrivelse af cirkler ved hjælp af ligninger. Dette emne vender vi også tilbage til i Hvad er matematik? 2.

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 4.

5. Ensvinklede trekanter og skalering Definition: Ensvinklede og ligedannede trekanter

To trekanter, ABC og A1B1C1, kaldes ensvinklede, hvis vinklerne A og A1, B og B1, C og C1 er parvist lige store.

To trekanter, ABC og A1B1C1, kaldes ligedannede, hvis der findes et tal k, så der gælder: k · a = a1 k · b = b1 k · c = c1

c A

Når vi taler om siderne i ensvinklede trekanter, vil vi betegne de sider, der ligger over for vinkler, der er parvist lige store, som ensliggende sider, dvs. her er fx a og a1 ensliggende, fordi vinklerne A og A1 er lige store. Tallet k har mange navne. Vi kalder det her i bogen normalt forstørrelsesfaktoren, men det kaldes også skalafaktoren eller målestoksforholdet. Der gælder følgende vigtige sætning:

Sætning 11: Ensvinklede og ligedannede trekanter 1. Hvis to trekanter ABC og A1B1C1 er ligedannede, så er de også ensvinklede. 2. Hvis to trekanter ABC og A1B1C1 er ensvinklede, så er de også ligedannede.

211

Beviset, der er overraskende vanskeligt, findes på bogens website. I nogle sammenhænge, hvor vi ser på ensvinklede trekanter, er vi interesserede i at beregne forholdet mellem ensliggende sider i de to trekanter, mens vi i andre sammenhænge er interessede i at beregne forholdet mellem to sider inden for den samme trekant. I begge tilfælde går det nemt, fordi der gælder følgende simple sammenhænge mellem sidelængderne i de to trekanter.

Sætning 12 Ensvinklede trekanters ydre og indre forhold Hvis trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede, så gælder der følgende om forhold mellem siderne: 1. De ydre forhold mellem ensliggende sider i de to trekanter er lige store, og hvert af disse tal er lig med målestoksforholdet k: a1 b1 c1 = = =k a b c 2. De indre forhold mellem siderne er parvist lige store, dvs. forholdet mellem to sider inden for den samme trekant er det samme som forholdet mellem de tilsvarende to sider i den anden trekant.

a b

a1 b1

a c

a1 c1

b c

b1 c1

Øvelse 6.41 a) Bevis sætningens punkt 1 ud fra definitionen ved at dividere med henholdsvis a, b og c. b) B evis sætningens punkt 2: k ⋅ a = a1

• Opskriv et ligningssystem bestående af to ligninger fra definitionen fx: k ⋅ b = b 1 k⋅a

• Dividér de to ligninger med hinanden: k ⋅ b = b1 1 • Forkort med k på venstre side, så fremkommer den første af ligningerne i sætningen. • Vis selv efter samme principper de to sidste ligninger i sætningen.

Praxis: Hvordan regnes opgaver om ensvinklede trekanter 1. H vis vi har fået opgivet forstørrelsesfaktoren k, så indsættes oplysningerne i den eller de relevante formler blandt: k · a = a1, k · b = b1 og k · c = c1, og opgaven løses enten ved at gange ud, eller ved at dividere k over. 2. H vis vi ikke har fået opgivet forstørrelsesfaktoren k, så skal man finde to ensliggende sider, hvor vi kender længderne. Er det fx c-siderne, så indsættes i k · c = c1, og k bestemmes ved at dividere c over. Herefter fortsættes som i punkt 1.

Øvelse 6.42 Trekanterne ABC og A1B1C1 er ensvinklede. Vi får oplyst, at a = 7, b = 5, b1 = 10, c1 = 6. Beregn c og a1.

212

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.43 B = B1

Trekant ABC er ensvinklet med A1B1C1. ABC ligger inden i trekant A1B1C1, således at B og B1 falder sammen, og AC er parallel med A1C1. Vi får oplyst, at BC= 6, A1C1= 27, AC= 9, og A1B1= 24.

6 9

BeregnAB og CC1. (Hint: Tegn de to ensvinklede trekanter, så de ligger ved siden af hinanden og sæt mål på. Så ser du bedre, hvilke sider der hører sammen).

På bogens website ligger et projekt – Tunellen på Samos – der rummer en række øvelser om ensvinklede trekanter.

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 5 om ensvinklede trekanter.

6. Trigonometriske beregninger De trigonometriske funktioner, sinus, cosinus og tangens hjælper os til at beregne ukendte vinkler. Sådanne funktioner har været kendt siden oldtiden. På bogens website ligger et projekt om dette.

6.1 Enhedscirklen – definitionen af cosinus, sinus og tangens Vi vil nu indføre sinus og cosinus via en enhedscirkel.

Definition: Enhedscirkel En cirkel med centrum i (0,0) og radius 1 kaldes en enhedscirkel.

  På figuren ses en enhedscirkel samt de to enhedsvektorer i og j i    CP = OP ,−som OC et koordinatsystem. Desuden ses en anden enhedsvektor er stedvektor for et punkt P, som ligger på enhedscirklen.    CP = OP −danner OC en vinkel v med x-aksen, og enhedscirklen Stedvektoren beskrives således ved alle de punkter, som stedvektorens pilespids gennemløber, når stedvektoren drejes 360º rundt om origo. Omvendt hører der til ethvert gradtal et punkt på cirklen, som har en stedvektor,  der fremkommer ved at dreje enhedsvektoren i v grader om origo. Drejningsvinklen regnes med fortegn, således at positiv omløbsretning er mod uret.

y sin(v)

   CP = OP − OC j v

–1

 i

P(cos(v),sin(v))

(cos(v)

–1

213

Definition: Cosinus og sinus til en vinkel Lad en vinkel v være afsat i origo, O, med højre ben langs 1. aksen, og kald skæringspunktet mellem   cos( v )  cos( v ) venstre ben og enhedscirklen for P. Vinklen v kaldes retningsvinkel for OP ,=mens OP = kaldes retnings sin( v )   sin( v )  vektor for v, og P kaldes retningspunkt for v.   cos( v ) Cos(v), der læses cosinus til v og sin(v), der læses sinus til v defineres som koordinaterne til OP ,=dvs.:  sin( v )    cos( v ) OP =  sin( v )    cos( v ) Da OP = er stedvektor for P, har P samme koordinatsæt P (cos(v),sin(v)).  sin( v ) 

Ordene sinus og cosinus har en meget speciel oprindelse og er egentlig fejloversættelser fra arabisk. Der ligger en lille fortælling herom på bogens website.

Øvelse 6.45

Eksperimentel undersøgelse af fortegn for cos(v) og sin(v)

a) A fsæt en skyder v i et matematisk værktøjsprogram. Værdierne, som skyderen v skal kunne antage, skal være vinkler målt i grader.  cos(v ) b) Afsæt vektoren  sin( v )  i værktøjsprogrammet. c) Afsæt et punkt P i vektorens slutpunkt.

   CPaf = OP .− OC d) Brug værktøjsprogrammets faciliteter til at bestemme længden e) A fprøv den dynamiske illustration, og beskriv, hvordan beliggenheden af punktet P i de forskellige kvadranter afhænger af vinklen v. 1

Øvelse 6.46

P(cos(v),sin(v))

Grundrelationen cos(v) 2 + sin(v) 2 = 1

a) V is ved brug af illustrationen og ved anvendelse af Pythagoras' sætning, at cos(v) 2 + sin(v) 2 = 1

1 v –1

cos(v)

sin(v) 1

(I ældre tider yndede nogle matematiklærere at kalde denne formel for "idiotformlen" – man var en "idiot", hvis man ikke kunne denne!) –1

Øvelse 6.47

Fortegn for cos(v) og sin(v) for spidse og stumpe vinkler

For spidse vinkler ligger P i 1. kvadrant, for stumpe vinkler ligger P i 2. kvadrant. a) Hvilke tal kan vi få som sinus- og cosinus-værdier? Begrund det ud fra definitionen. b) En udregning giver cos(v) = –0,8. Er vinklen stump eller spids? c) En udregning giver sin(v) = 0,3. Er vinklen stump eller spids? d) En udregning giver cos(v) = 2,7. Hvad er der galt?

214

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.48

a) K onstruer en enhedscirkel i et værktøjsprogram. Afsæt et punkt P som vist på figuren, og benyt programmets indbyggede kommando til at bestemme vinklen.

P(0.5,0.87)

sin(v)

v = 60º

b) B enyt konstruktionen til at bestemme koordinaterne for P, og udfyld tabellen nedenfor.

–1

cos(v)

c) Kontrollér aflæsningerne ved beregning i værktøjsprogrammet. d) Hvilken sammenhæng antyder tabellen? 10

60°

–1

80°

100°

120°

150°

170°

sin(v) cos(v)

Sætning 13: Overgangsformler For alle vinkler mellem 0º og 180º (0º ≤ v ≤ 180º) gælder: sin(180 – v) = sin(v) og cos(180 – v) = –cos(v) sin(– v) = –sin(v) og cos(– v) = cos(v)

Øvelse 6.49 Argumentér selv for sætningen ved hjælp af de to figurer: 1

(cos(180-v),sin(180-v))

(cos(v),sin(v))

(cos(v),sin(v)) 180 – v v

v –1

–1

–v

(cos(-v),sin(-v))

Vi kunne nøjes med disse to trigonometriske funktioner. Alle beregninger kan klares med sinus, cosinus og Pythagoras' sætning. Der er dog tradition for at indføre endnu en trigonometrisk funktion:

Definition: Tangens til en vinkel beskriver forholdet mellem sinus til vinklen og cosinus til vinklen, dvs. tan(v) =

sin(v) . cos(v)

215

Eksempel: Geometrisk fortolkning af tangens

Ligesom sinus og cosinus kan tangens bestemmes geometrisk ud fra    t ⋅ cos(v ) enhedscirklen. Betragt figuren. Stedvektoren OT = t ⋅ OP =forlænges til vektor    t ⋅ cos(v   t ⋅ cos(v )  t ⋅ sin(v )  ) OT = t ⋅ OP = er=stedvektor for et punkt T, der ligger på den tangent til t ⋅ OP  t ⋅ sin(vOT )  ,=som  t ⋅ sin(v )  cirklen, som rører cirklen i punktet (1,0). Tangenten er tegnet ind på sin(v)    t ⋅ cos(v )tan(v)  OT = t ⋅ OP = figuren.  t ⋅ sin(v )     t ⋅ cos( v )   t ⋅ cos(v ) Da forlængelse ⋅ OP = OT =ert en OT =af t ⋅ OP ,=så findes der et tal t, så v  t ⋅ sin(v )   t ⋅ sin(v )     t ⋅ cos(v ) OT = t ⋅ OP = O x cos(v)  t ⋅ sin(v )     t ⋅ cos(v ) Men hvis T skal ligge på cirkeltangenten, så må T og dermed OT = t ⋅ OP =  t ⋅ sin(v )  have x-koordinaten 1, dvs. 1 = t · cos(v). Heraf får vi: y

tan(v)

–1

1 1 sin( v ) ⋅ sin(v ) = = tan(v ) og y = t ⋅ sin(v ) = cos( v ) cos( v ) cos( v )

Dermed får T koordinatsættet T(1,tan(v)), dvs. tangens til v aflæses på figuren som y-koordinaten til T svarende til længden af det grønne lodrette linjestykke på figuren.

Eksempel: Tangens(v) som hældningskoefficient for linje Definitionen på hældningskoefficient a for en ret linje er: Den stigning eller det fald der forekommer på y-værdien, når x vokser med 1. Illustrationen i forrige eksempel viser nu, at vi har formlen: a = tan(v). Formlen kan både anvendes til at bestemme v ud fra a, og omvendt bestemme a ud fra v.

6.2 De trigonometriske formler i den retvinklede trekant Da alle trekanter kan opdeles i to retvinklede trekanter ved en passende valgt højde, er vi særligt interesserede i at kunne foretage simple beregninger med de trigonometriske funktioner i retvinklede trekanter. Vi vil vise, at der gælder følgende sætning:

Sætning 14: Trigonometriske formler i retvinklede trekanter – 1. version I en retvinklet trekant ABC, hvor vinkel C er ret, gælder der følgende sammenhænge mellem vinkel og sider: sin(A) =

a c

a a a b1 b = 1 =og1 cos(A) = =og tan(A) = b b1 c1 c c1

Bevis Vi lægger den retvinklede trekant ABC ind i et koordinatsystem. Enhedscirklen indteg   nes, og vi lægger en enhedsvektor langs med AB ,=se illustrationen. OB − OA Trekantens sidelængder er a, b og c.       x == OB  b  Med disse betegnelser får AB =koordinatsættet OB − OA AB  y   a − OA

216

6. Vektorer og trigonometri

   Enhedsvektoren er ensrettet med AB =ogOB har− OA vinkel A   cos( A) som retningsvinkel, så derfor har e = koordinatsættet  sin( A)    cos( A) e=  sin( A) 

c sin(A)

Fra afsnit 4 side 218 ved vi, at enhedsvektoren    ensrettet med AB =også OB −kan OAbeskrives   AB ved e =  , dvs.

   AB = OB − OA

  e = 1⋅b 2

–1

cos(A)

 b  AB 1  1  1  b   e =  =  ⋅ AB = ⋅ AB = ⋅   =  ca  c c  a   AB AB c

  cos( A) Sammenholder vi de to udtryk for e,=så får vi ligningen  sin( A)   b 1  1  1 Ab)  c  B   cos(  =  ⋅ AB = ⋅ eAB = = ⋅   =  a  c c Aa)     sin( B AB c

b⋅ a

–1

b⋅ a

og koordinatvist får vi derfor de to udtryk cos(A) = c cog sin(A) c= c ⋅ ⋅

Således har vi udledt de første to formler i sætningen. Den sidste kommer let, fordi tangens er defineret som forholdet mellem sinus og cosinus, og derfor får vi tan( A) =

sin( v ) cos( v )

a c b c

a ⋅c c b ⋅c c

a ⋅c c/ / b ⋅c c/ /

a b

hvor vi undervejs har brugt brøkreglerne med at forlænge og forkorte. De er omtalt i kapitel 7.

Øvelse 6.50 Lad os et øjeblik se bort fra vektorerne og blot betragte den retvinklede trekant ABC samt den lille retvinklede trekant (standardtrekant), der ligger inde i enhedscirklen med enhedsvektoren som hypotenuse. Det fremgår da, at de to trekanter er ensvinklede med forstørrelsesfaktor c, fordi hypotenusen i den lille trekant er 1. Overvej! Således vil siderne i den store trekant ABC være c gange længere end siderne i den lille (standard) trekant. Benyt dette til at vise følgende nyttige varianter af formlerne:

Sætning 14: Trigonometriske formler i retvinklede trekanter – 2. version I en retvinklet trekant ABC, hvor vinkel C er ret, gælder der følgende sammenhænge mellem vinkel og sider:

a = c · sin(A) , b = c · cos(A) og a = b · tan(A)

217

Eksempel: Bestemme ukendte sider ved beregning I en retvinklet trekant med ∠C = 90º er ∠A = 38º og hypotenusen c = 22. Vi bestemmer de ukendte sider og vinkler ved beregning: Da vinkelsummen i en trekant er 180º, får vi ∠B = 180º – ∠C – ∠A = 180º – 90º – 38º = 52º. Vi kan nu benytte formlerne i 2. version til at bestemme de to kateter: b = c · cos(A) = 22 · cos(38º) = 17,3 a = c · sin(A) = 22 · sin(38º) = 13,5 Hermed har vi fundet de ukendte sider og vinkler ved beregning. Konklusion: ∠B = 52º, b = 17,3 og a = 13,5

Eksempel: Bestemme ukendte sider ved konstruktion I en retvinklet trekant med ∠C = 90º er ∠A = 38º og hypotenusen c = 22. Vi bestemmer de ukendte sider og vinkler ved konstruktion: Vi konstruerer trekant ABC og beskriver konstruktionen undervejs:

B 22

22 38°

38°

38° A

Vi tegner en halvlinje fra A, (vinkel A's højre ben) og drejer denne 38º i positiv omløbsretning (så vi får vinkel A's venstre ben).

Vi konstruerer dernæst B, idet vi med en cirkel afskærer 22 af vinkel A's venstre ben, som netop indeholder siden c, der er 22 lang.

Endelig konstruerer vi C, idet vi konstruerer en linje gennem B vinkelret på vinkel A's højre ben, svarende til at vinkel C er 90º. B

Nu har vi konstrueret trekant ABC. Herefter benytter vi værktøjsprogrammets måleværktøj og får følgende resultater.

52° 13,5

Konklusion: ∠B = 52º, b = 17,3 og a = 13,5

38° A

17,3

Praxis: Løsning af opgaver ved konstruktion Hvis der ikke ønskes en bestemt metode til løsning af en trigonometrisk eller vektoriel opgave, så er det fuldt tilstrækkelig at løse opgaven ved hjælp af konstruktion i et matematisk værktøjsprogram, hvor man anvender de indbyggede kommandoer til at afsætte vinkler og linjestykker, tegne cirkler og bestemme skæringspunkter, nedfælde vinkelrette, tegne paralleller osv. Konstruktionen skal ledsages af tegninger, der viser konstruktionerne, og en forklarende tekst, der godtgør, at løsningen fremkommer logisk ud fra de tilladte konstruktioner.

218

6. Vektorer og trigonometri

Eksempel: Bestemme ukendte vinkler ved beregning En retvinklet trekant med ∠C = 90º har siderne a = 7 og c = 15. Vi bestemmer de ukendte sider og vinkler. Vi skal finde en formel, der indeholder de to sider, vi kender. Der er flere, men vi vælger den, som giver os mulighed for at bestemme vinkel A ud fra de to kendte sider: b⋅ a

sin(A) c= c ⋅ Indsæt: sin( A) =

7 15

I værktøjsprogrammet kan vi nu anvende sinusfunktionen modsat, så vi kan isolere A. At anvende en funktion modsat eller omvendt betegnes forskelligt i værktøjsprogrammerne:

7 7 7 ∠A = sin−1   , eller: ∠A = invsin   , eller: ∠A = arcsin    15   15   15 

og ved udregning på værktøjet får vi: ∠A = 27,8º. Heraf finder vi: ∠B = 180º – 90º – 27,8º = 62,2º Den ukendte side b kan findes ved Pythagoras' sætning, men vi vælger en trigonometrisk formel: b = c · cos(A) Indsæt:

b = 15 · cos(27,8) = 13,27

Konklusion: ∠A = 27,8º, ∠B = 62,2º, b = 13,27 Funktioner som sin –1 og cos –1 kaldes for omvendte eller inverse funktioner. Vi vender tilbage til dette emne i kapitel 8. I skriftlige opgavebesvarelser vil det, hvis ikke andet er krævet, være tilladt at bruge et solve-værktøj. På bogens website kan du finde en vejledning til, hvordan disse værktøjer anvendes korrekt.

Øvelse 6.51 Vi kan også løse ovenstående opgave ved konstruktion. Her ser du resultatet af konstruktionen. Opstil selv en ledsagende forklaring på, hvordan konstruktionen kan være fremkommet, og skriv en konklusion.

B 62,2°

15 cm

7 cm

27,8°

Øvelse 6.52

13,3 cm

I den retvinklede trekant ABC, hvor vinkel C er ret, gælder der, at a = 6, b = 8 og c = 10. a) Konstruer trekanten, og mål vinklerne. b) B estem vinkel A og vinkel B ved hjælp af formlerne for tangens, og sammenlign resultaterne med de målte værdier.

219

Øvelse 6.53 I trekant ABC er ∠A = 90º, ∠B = 63º og b = 7. a) Bestem vinkel C, og bestem trekantens øvrige sider ved hjælp af formlerne. b) K onstruer trekanten. Mål de resterende sider og den sidste vinkel, og sammenlign med a).

Opgaver I opgavebogen ligger en række opgaver i tilknytning til afsnit 6 om trigonometriske beregninger.

7. Skalarprodukt af vektorer Vi har set, at addition og subtraktion af vektorer giver mening både ved beregning og geometrisk konstruktion, dvs. vi kan lægge vektorer sammen og trække dem fra hinanden. I de komplekse tals verden, hvor to-dimensionale vektorer kan opfattes som tal, indfører man også en multiplikation og division. Det er beskrevet i den indledende fortælling. Men det vil vi ikke overføre til vektorer generelt, bl.a. fordi det ikke kan generaliseres til højere dimensioner: I vektorernes verden findes der ikke multiplikation og division. Derimod indfører vi en helt ny type operation, der godt nok hedder produkt, men hvor resultatet af operationen er et tal og ikke en vektor. Denne operation kaldes for et skalarprodukt.

7.1 Skalarprodukt i koordinater Definition: Skalarprodukt i koordinater

 b       a1    a1  b  a1 = og a = OA Antag, at vi har givet to vektorer a =ogOA a == OA b =i planen med koordinaterne b == b1 a     a a  2  2  2    2   a1   a1  Skalarproduktet af a =ogOA a =• OA = er defineret ved: b =betegnes b og  a2   a2     a a =• OA b = =a1 · 1b1 + a2 · b2  a2  Skalarproduktet kaldes ofte for prikproduktet, for at understrege, at det ikke er et normalt produkt. På engelsk og i værktøjsprogrammer kaldes det dotproduct. For at tydeliggøre forskellen til multiplikation markerer vi her i lærebogssystemet "prik" med symbolet • . Når vi udregner skalarproduktet mellem to vektorer, siger vi også, at vi prikker de to vektorer. Du kan via bogens website finde en vejledning til, hvordan skalarproduktet udregnes med en indbygget kommando, i de gængse værktøjer.

220

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.54    ab × b i planen i hvert af nedenstående Beregn skalarproduktet af de to vektorer a ×og tilfælde.       10    − 3 1 a × b = −  a×b = a) a ×= b 2 og b) a ×= b  og  6  4  0  2   3   a × b =  5 c) a ×= b  og  3  − 5

    −6 a×b =   d) a ×= b 2 og  6  2

Øvelse 6.55 Tegn ovennævnte vektorer parvist med fælles udgangspunkt, og overvej, hvad man kan sige om vinklen imellem vektorerne ud fra skalarproduktets værdi. Formuler den sætning, der ser ud til at gælde.

Sætning 16: Regneregler for skalarproduktet Der gælder følgende regneregler for skalarproduktet:   a     a  1) a =• OA siger, skalarproduktet opfylder den kommutative lov. OA =  1at b = =b • 1a.= Vi  a2   a2        a    a a1  2) ( s · a )=• OA at skalarproduktet opfylder reglen om at gange OA· = = siger, b == a =•1(s b)=1s · ( a =• OA b). Vi a a  2  2  a2  en skalar s på.   a       a    a1  at skalarproduktet opfylder den distributive lov. 3) a =• (OA b +=c ) 1= a =• OA b + =a=• 1OA c. Vi= siger, a  2  a2   a2 

Øvelse 6.56 Gennemfør selv beviset ved at indføre koordinater og udregne højre og venstre side hver for sig. Du kan evt. kontrollere med bogens website, hvor der ligger et detaljeret bevis.

Sætning 17: Kvadratsætninger og længder af vektorer Der gælder følgende vigtige formler for alle vektorer:       a   a  b 2 =  a1  1) ( a =+ OA b) •=( a =–1 OA b) == a2=1–OA a a    2 a   2 a22  2  2 a          a1  a a   a     2) ( a =+ OA +OA =  (1a =– OA b) == a 1=+OA b =+ 2 ·1 a =• OA b og b) 2 = a 2= b 2 =– 2 ·1 a =• OA b =  1 a a a a a a2        2 2 2 2 2      2 a1 a1 2  a1   a1    3) a =• OA a a == = OA a ===OA == OA =  a2  a2  a2   a2     a1  Bemærk: vi skriver skalarproduktet af en vektor med sig selv som a 2=, ligesom vi gør med tal. OA =  a2 

221

Øvelse 6.57 Bevis formlerne ved at indføre koordinater og anvende regnereglerne for skalarproduktet. Du kan evt. hente hjælp fra bogens website, hvor et udfoldet bevis ligger.

Øvelse 6.58    ab × b i hvert af nedenstående tilfælde, og Beregn skalarproduktet af de to vektorer a ×og kontroller dine resultater i et værktøjsprogram.     1 a × b = −  a) a ×= b 2 og  6  4

  3   a × b =  4 b) a ×= b  og  3  − 6

  − 2    7 a×b = c) a ×= b  og  6  5

7.2 Skalarprodukt og vinkler Skalarproduktet er helt uafhængigt af, hvilket koordinatsystem vi vælger. Det er meget mærkeligt, når vi ser på definitionen, der bygger på koordinaterne. Men det er samtidig uhyre nyttigt, da det betyder, at man frit kan vælge det koordinatsystem, hvor udregningerne bliver mest simple.

Øvelse 6.59

E ksperimentel undersøgelse af skalarproduktets afhængighed af koordinatsystemet

a) O pret i dit værktøjsprogram et punkt P med koordinatsættet P = (cos(v),sin(v)) og en skyder, hvor v kan antage værdier mellem 0º og 20º. b) Tegn en linje l igennem Origo og P. Skjul punktet P. c) Tegn en linje m, der står vinkelret på l. d) Afprøv den dynamiske illustration, når skyderen v varieres. Vi kalder linjerne l og m et drejet koordinatsystem, der er drejet med vinklen v.     a × b =  5 vha. dit værktøjsprogram. e) Bestem skalarproduktet af a ×= b 1 og  2  3   b nedfæld den vinkelrette linje n fra f) A fsæt et punkt A i slutpunktet for vektoren a ,×og punktet A til linje l. Skæringspunktet mellem linjen l og n kaldes Q. g) Bestem afstandene OQ og QA vha. værktøjsprogrammets faciliteter.  | OQ |   b h) Argumenter for, at vektoren  | QA |  svarer til koordinaterne for vektoren a ×i det drejede koordinatsystem. Afsæt denne vektor i værktøjsprogrammet, så vektoren ændres, når skyderen v ændres.   a × b, og nedfæld den vinkelrette linje n fra i) Afsæt et punkt B i slutpunktet for vektoren punktet B til linje l. Skæringspunktet mellem linjen l og n kaldes R.

222

6. Vektorer og trigonometri

j) Bestem afstandene OR og RB vha. værktøjsprogrammets faciliteter.  | OR |   a × b i det k) Argumenter for, at vektoren  | RB | svarer til koordinaterne for vektoren drejede koordinatsystem. Afsæt denne vektor i værktøjsprogrammet, så vektoren ændres, når skyderen v ændres.  | OQ |

 | OR |

l) Bestem skalarproduktet mellem vektorerne  | QA |  og  | RB | vha. dit værktøjsprogram.  | OQ |  | OR |   m) Beskriv sammenhængen mellem aa×•× bb (fra punkt e) og  | QA |  •  | RB | , når skyderen v varieres. n) Beskriv, hvad der sker med et skalarprodukt mellem to vektorer, når et koordinatsystem drejes.

Sætning 18: Skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystem Skalarproduktet afhænger ikke af det valgte koordinatsystem.

Bevis (især for B og A):

   ab × b. Beviset bygger på nogle de regneregler for skalar-proVi betragter to vektorer a ×og duktet, som er formuleret i sætning 17. Her udnytter vi:        2   ×+×b b + 2 · aa×•× bb 1) (aa×+×bb) • (aa×+×bb) = a 2a (Kvadratsætning)  2      2  c ⋅= =a 2c⋅  a= 2 ⋅ a 2) c ==2c⋅ a•= 2   Vi betragter sumvektoren aa×+×bb og anvender regnereglerne:       2     abb aa⋅×+× aa×+×bb = (aa×+×bb) • (aa×+×bb) Anvend 2) med c = 2   2  2   2   aa×+×bb = a a×+×b b + 2 · aa×•× bb Anvend 1)       2 2   2   a × b + 2 · aa×•× bb aa×+×bb = a × b+ Anvend 2)       2 2 2      2   2 a × b over aa×+×bb – a ×a–b× b = 2 · aa×•× bb Flyt a × b og     1   2  2  2   e = ⋅(a b a×+×bb – a ×a–b× b ) = aa×•× bb e = 1 ⋅) b Dividér med 2 (gang med 2

Skalarproduktet afhænger altså af de to vektorers længder samt sumvektorens længde. Men summen af to vektorer er jo defineret helt uafhængigt af koordinatsystemet, og det er længden af en vektor også! Altså er skalarproduktet uafhængigt af, hvilket koordinatsystem vi arbejder indenfor!

223

   ab × b giver os mulighed for at bestemme vinklen mellem de to Skalarproduktet af a ×og vektorer:

Sætning 19: Skalarprodukt og vinkel mellem vektorer Skalarproduktet af to egentlige vektorer kan beregnes ved produktet af de to vektorers længder og cosinus til vinklen mellem vektorerne, dvs.    a   a1   b a =• OA = · cos(v) b = =a =1 ·OA  a2   a2     a hvor v er vinklen mellem a =ogOA b. =  1   a2   Hvis én af vektorerne er o , så er der ingen vinkel, og skalarproduktet er 0.

Bevis (især for B og A): Vi ved, at skalarproduktet er uafhængigt af koordinatsystemet, så derfor vælger vi i   dette tilfælde at dreje koordinatsystemet i positiv omløbsretning og lægge det, så a × b   ligger langs med og er ensrettet med x-aksen. I dette koordinatsystem får a ×såb  koordinatsættet: a =  a  0. Overvej! y

  a×b

  a×b   a×b

–1

   1  a×b e = v ⋅b 2 1

–1

    a × b er en forlængelse af Retningsvinklen vatil× b er her positiv (positiv omløbsretning), og        b   cos( v )  , dvs. a × b a= × b · e .= 1 ⋅ b enhedsvektoren e =  , som også kan udtrykkes ved e =  2  sin( v )  b 

     cos(v )  b ⋅ cos(v ) Vi får derfor b = b ⋅ e = b ⋅  . =   sin( v )   b ⋅ sin( v )   × b ud fra deres koordinatsæt og får: Vi udregner nu skalarproduktet af de to vektorer a ×a ogb        ⋅ cos( v )v)          a a  b b⋅ cos( ⋅ b⋅ cos( ⋅ cos( ⋅ b⋅ sin( ⋅ sin( ⋅ b⋅ cos( ⋅ cos( ⋅ b⋅ cos( ⋅ cos( v )v+) +0 0⋅ b v )v=) =a a⋅ b v )v+) +0 0= =a a⋅ b v )v )  = =a a⋅ b a× •aabb b== =   •   0 0  b b⋅ sin( ⋅ sin( v )v) 

224

6. Vektorer og trigonometri

–1

  a×b

1 –1

1 x

  a×b

1 O

–v   e = 1⋅b

  a×b

  a × b er negativ Det samme gælder, hvis koordinatsystemet lægges, så retningsvinklen for (se figur). Da cos(–v) = cos(v), så bliver x-koordinaten til enhedsvektoren, der er ens  a × b, den samme, mens y-koordinaten skifter fortegn, fordi sin(–v) = –sin(v): rettet med   cos( −v )  cos( v )  = e= . sin( −v )   − sin( v )   ×b Men det er uden betydning, fordi a 's y-koordinat jo også i dette tilfælde er nul, så sidste del af skalarproduktet bliver stadig nul.         ab × b (uanset omløbsSåledes er a × • b = a×a·b× b· cos(v), når v er vinklen mellem a ×og retning).

Øvelse 6.60

Tilfældet: Parallelle vektorer

Vis, at formlen også er opfyldt, hvis vektorerne er parallelle.         a×b = s · a× b a× (Hint: Udnyt, at vi kan skrive , samt regnereglen: (s · aa× )× •bb = s · (a • b). Der er to tilfælde!)

Praxis: Vinkel mellem vektorer

    a1  Vinklen mellem de to vektorer betegnes også v = ∠( a ,=b). for v er OAGradintervallet =  a2  0º ≤ v ≤ 180º, og vi siger, at v er den vinkel, som den ene vektor skal drejes for at blive ensrettet med den anden. Vi regner ikke vinkler med fortegn, dvs.    a1    a1  ∠( a ,=b)OA = ∠( = b , a ).= OA =  a2   a2  Skalarproduktets fortegn er alene afhængig af fortegnet for cos(v), og dette afhænger   a ×,×bb) er spids eller stump. af, om vinklen v = ∠(a   Vinklen mellem vektorerne: v = ∠( ) Fortegn for cosinus a a×,×bb 0 ≤ v < 90º

cos(v) > 0

v = 90º

cos(v) = 0

90º < v ≤ 180º

cos(v) < 0

Fortegn for skalarprodukt   aa×•×bb > 0   aa×•×bb = 0   aa×•×bb < 0

225

Øvelse 6.61 Angiv fortegnet for skalarprodukterne af de viste par af vektorer:   a×b

  a×b

v v

  a×b

  a×b v

  a×b

Specielt lægger vi mærke til, at hvis to vektorer er ortogonale, så er deres skalarprodukt nul, og omvendt: Hvis skalarproduktet af to vektorer er nul, så er vektorerne enten ortogonale eller også er en eller begge vektorer en nulvektor. Dette er et vigtigt resultat, som vi derfor formulerer i en sætning:

Sætning 20: Ortogonale vektorer Skalarproduktet af to egentlige vektorer er nul, præcis når de er ortogonale:       a1  a med a =• OA a =⊥ OA = ensbetydende b er b = =0  1  a  2  a2 

Øvelse 6.62 Undersøg, om følgende par af vektor er ortogonale:   4   a × b =  6 a) a ×= b  og  − 3  8

  5   a × b =  2 b) a ×= b  og  3  − 4

  − 1    12 a×b = c) a ×= b  og  2  6

Eksempel: Bestem parameter for ortogonalt vektorpar To vektorer i planen er givet ved:    t   2⋅ t  a × bb ==   , hvor t er et tal, t ∈ R. a= og 4  − t − 4   Bestem de værdier af t, der gør, at a a×⊥×bb, dvs. at vektorerne er ortogonale. Løsningsmetode 1: Håndregning y

  a×b

  a×b   a×b O

Vi udregner skalarproduktet:      2 ⋅2t⋅ t   tt  ⋅ t⋅⋅tt⋅ +t +( −(t−−t −4)4) ⋅ 4⋅ 4= =2 2 ⋅ t⋅2t 2− −4 4 ⋅ t⋅ −t − 1616 a× •aabb b== = − t − 4 •4 = =2 2  − t − 4  4        t −16 16==00 Vi får heraf: a a⊥⊥bb⇔⇔aa•b b==00⇔⇔22⋅ t⋅2t 2−−44⋅ t⋅ − altså en andengradsligning i t, som har diskriminanten:

  a×b

d = (–4) 2 – 4 · 2 · (–16) = 16 + 128 = 144 > 0 Dvs. der er to løsninger: t=

226

−( −4) ± 144 4 ± 12 = = 1 ± 3 , dvs. t = –2 eller t = 4 2⋅2 4

6. Vektorer og trigonometri

  ×bb er ortogonale, når t = –2 eller t = 4. Konklusion: a a× og     a × b =  − 2 , hvis skalarprodukt er 0. Kontrol: t = –2 giver: a ×= b − 4 og  − 2

 4

  8    4 a×b = t = 4 giver: a ×= b  og , hvis skalarprodukt også er 0.  − 8

 4

Løsningsmetode 2: Brug af værktøjsprogram   2 ⋅ t     t  a × bb: = Vi definerer vektorerne aa:×=b og , og opstiller den ligning, der skal løses:  4  − t − 4   dotP( a, b ) = 0  2 ⋅ t 2 − 4 ⋅ t − 16 = 0 og løser den med solve:   solve(dotP( a, b ) = 0, t )  t = −2 ∨ t = 4 Herefter udregnes de ortogonale vektorpars koordinater med en betinget kommando:     −4  −2 a1 := a | t = −2 =   og b1 := b | t = −2 =    −2 4 og tilsvarende for den anden parameterværdi.

Øvelse 6.63 To vektorer i planen er givet ved:     a ×= b − 1 og a × b =  8 , hvor t er et tal, t ∈ R.  2  t   Bestem den værdi af t, der gør, at a a×⊥×bb .

Eksempel: Bestemme vinklen mellem to vektorer med anvendelse af skalarprodukt Bestem vinklen mellem vektorerne:      12 a ×= b 6 og a×b =  − 5  8 Løsningsmetode 1: Beregning i et værktøjsprogram Vi vil nu benytte skalarproduktet til at bestemme vinklen. Vi omskriver skalarproduktet og isolerer cos(v):   ab

cos(v ) =   a⋅ b

cos(v ) =

32  = 75,75° v = cos −1   10 ⋅ 13 

6 ⋅ 12 + 8 ⋅ ( −5) 2

6 + 8 ⋅ 12 + ( −5)

Indsæt udregning af skalarprodukt og længder

32 Reducer 10 ⋅ 13

Anvend den omvendte funktion til cosinus

Man kan også benytte et værktøjsprograms indbyggede faciliteter.

227

Man definerer de to vektorer      12 a×b = a ×= b 6 og  − 5  8 og indsætter i formlen, hvor vinklen er isoleret:  

dotP( a, b )   = 75,75° v = invCos    len( a ) ⋅ len( b ) 

Værktøjsprogrammerne har forskellig notation.

  a×b

Løsningsmetode 2: Konstruktion i et geometriprogram Konstruer vektorerne i et 2D-geometriprogram/ matematisk værktøjsprogram med fælles udgangspunkt i (0,0), og benyt en indbygget kommando i værktøjsprogrammet til at bestemme vinklen mellem vektorerne.

v = 75,75° x

  a×b

Øvelse 6.64 I et koordinatsystem er der givet tre punkter A(1,1), B(3,5) og C(–4,2).        − CA =AB CB +OB AC− OA a) Bestem vinklenCB mellem . =og    b) P lot de tre punkter i et geometriprogram, konstruer forbindelsesvektorerne AB =ogOB − OA     CB − CA = CB + AC , og bestem vinklen mellem disse med programmets facilitet.

7.3 Cosinusrelationerne Med sætningen om skalarproduktet kan vi udlede endnu en anvendelig sætning til trigonometrisk problemløsning, nemlig cosinusrelationerne. B

Sætning 21: Cosinusrelationerne – 1. og 2. version I en vilkårlig trekant ABC gælder der (1. version):

a2 = b2 + c2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos( A)

a A

b2 = a2 + c2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos( B )

c2 = a2 + b2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos( C )

Ved at isolere cos(A) osv. i formlerne får vi 2. version:

228

cos( A) =

b2 + c2 − a2 , 2⋅ b⋅ c

cos( B ) =

c2 + a2 − b2 , 2⋅c⋅a

cos( C ) =

a2 + b2 − c2 2⋅ a⋅ b

6. Vektorer og trigonometri

Bevis

                c ,= ⋅ aa=× b CB − CA +−2 AC Vi betegner siderne i trekant ABC med vektorerne AB===CB OB OA =− 2 ⋅OA a AB = c OB            der3 =aaa×+×+bbb=+ c , som vi omskriver ved at flytte a .×Hermed og CB −= CA =b CB + AC       = a +ab×=+bca –× b a × bd3over:        d 3 = a a+2×b=b+( ca –× b) 2 Kvadrer A   2    2  2   2       d 3 =a a+ × bb=+( ca –× b) Udnyt, at a × b= a × b CB − CA = CB + ACa =× b    2   2 2    d 3 = a a +×bb=+ cda3+×=ba +– b 2 +· ca × • b Udregn parentesen       2  2  2   2   2      2  2 b + c  + = a +– b d3 = a d+at ad× d3 =aa×+ b= b 2 +· ca × • b Udnyt, ac+b=+ c oga × b a=× b 3 3b=+ Anvend nu formlen for skalarproduktet:   2   2    2      b + c  + = a–+2b· + c a· × b · cos(A) a ×d d3 =aa×+ b= 3b

a2 = c2 + b2 – 2 · c · b · cos(A)

      = CA a×b CB − = CB +

  × ba osv. Udnyt, at a =

På tilsvarende måde kan de to andre formler udledes.

Øvelse 6.65 I trekant ABC er sidelængderne a = 16, b = 15 og c = 21. a) Konstruer trekanten i et dynamisk geometriprogram, og mål vinklerne. b) B eregn trekantens vinkler ved hjælp af cosinusrelationerne, og sammenlign resultaterne med de målte.

Eksempel: Beregning af ukendt side og ukendt vinkel med cosinusrelationerne To skibe forlader en havn C samtidigt og følger hver sin kurs ud over havet. Det ene skib A sejler i retningen 20° i forhold til nord med en hastighed på 8 knob. Det andet skib B sejler i retningen 56° i forhold til nord med en hastighed på 10 knob.

a) Hvor stor er afstanden mellem skibene efter to timers sejlads? b) I hvilken retning ses skibet B fra skibet A? En skitse af situationen viser hurtigt, at vi kender to sider og en vinkel i trekanten ABC, nemlig siderne a og b samt vinklen C. Da skibet A sejler med 8 sømil i timen, må det i løbet af to timer sejle 16 sømil, dvs. b = 16. Tilsvarende må B sejle 20 sømil, dvs. a = 20. Endelig må vinklen C være forskellen mellem sejlretningerne, dvs. C = 56° – 20° = 36°.

A 16 sømil

N 36°

20 sømil

20° C

229

Vi finder afstanden mellem de to skibe som længden af siden c: 2

c = a + b – 2 · a · b · cos(C) 2

c = 20 + 16 – 2 · 20 · 16 · cos(36)

Den relevante formel opskrives Tallene indsættes

c = 138,229

c = 138, 229 = 11, 7571

Konklusion: Afstanden mellem skibene er 11,8 sømil. For at finde retningen af B set fra A, skal vi bruge vinkel A. Vi finder den med cosinusrelationen b2 + c 2 − a 2 cos( A) = Den relevante formel opskrives 2⋅ b⋅ c 162 + 138, 229 − 202 cos ( A) = Tallene indsættes 2 ⋅ 16 ⋅ 11, 7571 cos( A) = −0, 015339 A = cos −1( −0, 015339 ) = 90, 9°

Vi anvender den omvendte cosinus

Konklusion: Trekantens vinkel A er 90,9°. Læg mærke til, at cosinusrelationen skelner mellem spidse og stumpe vinkler. Det er desværre ikke tilfældet med sinusrelationerne, som vi møder i sidste afsnit. Derfor foretrækkes altid at anvende cosinusrelationerne, når vi leder efter ukendte vinkler.

N A 11,8 sømil 16 sømil

90,9° 20°

B For at finde retningen i forhold til nord, lægger vi mærke til, at de 20° går igen oppe ved A. Vi kan derfor finde retningen således:

180° + 20° – 90,9° = 109,1°.

Retningen fra A til B i forhold til nord er derfor 109,1°.

Øvelse 6.66

En matematisk orienteringstur

På bogens website kan du finde en større udfordrende opgave i stil med eksemplet.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 7.

230

6. Vektorer og trigonometri

8. Projektioner At projicere et punkt ned på en linje betyder, at man trækker en ret linje gennem punktet vinkeltret ned på linjen, og skæringspunktet er således projektionen af punktet på linjen. På figuren er P projiceret ned i Q.

  a×b

   a × b a× b

  a×b   a×b

   a × b a× b

  a×b

    a × b fungerer efter samme princip og giver os en Projektion af en vektor a ×påb en vektor   b vist på figuren. Man kan opfatte det således, at ny vektor, projektionsvektorena a× b×som hvert enkelt punkt på den ene vektor projiceres ned på den anden vektor. Bemærk, at projektionsvektoren ikke behøver have samme retning og kun sjældent (Hvornår? Overvej!) har samme længde som den vektor, den projiceres ned på.

8.1 Projektion af vektor på vektor Øvelse 6.67

Eksperimentel undersøgelse af projektion af vektor på en vektor

a) A fsæt i et matematisk værktøjsprogram to frie punkter A og B i 1. kvadrant, således at andenkoordinaten til A er større end andenkoordinaten til B.     = OB . b) Afsæt de to vektorer a = OA aog c) Tegn en ret linje l igennem origo og punktet B. d) Tegn den vinkelrette linje m fra punktet A til linjen l. e) Afsæt skæringspunktet mellem linjerne l og m som punktet C.   a = OC . f) Afsæt vektoren g) Afprøv den dynamiske illustration, således at punktet A flyttes dynamisk.     a = OB , når punktet A flyttes dynamisk. a = OC i forhold til vektoren h) Beskriv vektoren

Sætning 22: Projektion af vektor på vektor

   a1     a1  Der er givet to egentlige vektorer a =ogOA b.=Projektionen af a =påOA b =er bestemt ved a a        2   a• =b OA    a1=  a1  a1=  a1   2  a• = OA   b vektoren: ab==OA=2 · b , der a2  har længden: a b==OA= a    2 a a b   2  b   2     a1   betegner den numeriske værdi af skalarproduktet. hvor a •= bOA =  a2 

231

      b samme retning som a × b, hvis tallet aa×•×bb er positivt, modsat retning, Bemærk, ata a× b×har       b nulvektoren, hvis aa×•×bb er nul. I det sidste tilfælde er hvis aa×•×bb er negativt, og ata a× b×er    a ×og ab × b ortogonale.

Bevis (især for B- og A-niveau)

    ××bb fora a× b×, som b Vi kalder projektionen af aapå vist på figuren.        b× b er parallelle, findes et tal s, så: a a× b×=bas ×· b. Daa a× b×aog Den vektor, der repræsenteres af pilen fra spidsen       × b figur), kaldes for a 's ×b afa a× b×tilb spidsen af a (se       an× b a×b b fra normalprojektion og betegnes an.×Ud definitionen på projektion gælder,       × b. at an×erb ortogonal apå a×b Vi har nu:    a × b a×b      a= ×aba× b×+ban× b          ×=bas ×· b b a ×= abs ×· b + an× Indsæt aa ×b         a ×· b + aan× a×b aa×•×bb = (s )×•bb Prik med        aa×•×bb = as ×· ab ×• b + an×• b Prik ind i parentes     2      2   × b × b , og at aan×⊥ ×bb aa×•×bb = sa · Udnyt, aat× ab×• ba=

  ab

s =  2 Isoler s b

   Indsættes nu udtrykket for s i a a× b×=bas ×· b, får vi den første formel. Formlen for længden af projektionen får vi af følgende udregning:         a b  a b  a b  a b  ab =  2 ⋅ b =  2 ⋅ b =  2 ⋅ b =  b

   hvor vi har anvendt, at der for et tal t og en vektor v gælder: t · v =t·v .

Øvelse 6.68     Opskriv selv formlen for projektionenaaf× b på a .× b

Eksempel: Geometrisk fortolkning af skalarprodukt Antag vinklen mellem vektorerne er spids. Omskriv formlen for længden af projektionen:    ab ab =  b

      a × b over a  b = ab ⋅ b Gang

    a  b = ab ⋅ b

Venstresiden er positiv, da vinklen er spids   Dvs. geometrisk kan vi fortolke skalarproduktet som længdenaaf× b ganget med læng    × bprojektion på a × b. den af a 's

232

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.69 Vis, at i den geometriske fortolkning er der symmetri mellem vektorerne, dvs. vi har     også: aa×•×bb = aa×·×bb a.× b

Eksempel: Projektion af vektor på vektor To vektorer i planen er givet ved:   6   a × b =  3 a ×= b  og  − 2  4     ×b a × b. Bestem a 's projektion på Løsningsmetode 1: Håndregning Vi udregner først skalarproduktet:   6 3 a  b =      = 6 ⋅ 3 + ( −2) ⋅ 4 = 10 > 0 ,  −2  4

  a × b. hvilket svarer til, at projektionsvektoren er ensrettet med   Vi bestemmer længdenaaf× b:  b = 32 + 42 = 25 = 5 . Ved indsættelse i formlen får vi derfor:  10  3  3  1, 2 ab = 2 ⋅   = 0,4 ⋅   =   4 4 1,6 5 Løsningsmetode 2: Værktøjsprogram Vi definerer først de to vektorer:   6    3 a × b =  4 a ×= b − 2 og og derefter udregner vi projektionen med værktøjets indbyggede kommando. Du kan på bogens website finde en vejledning i, hvordan dette sker i de gængse programmer. Løsningsmetode 3: Geometriprogram Afsæt de to vektorer som stedvektorer for de to punkter A(6,–2) og B(3,4).   a × b. Skæringspunktet Herefter konstrueres en linje gennem A og vinkelret på   a × b, som vi her mellem denne linje og linjen OB er projektionen af punktet A på har kaldt Ab. Da projektionsvektoren bliver stedvektor for Ab, får den samme koordinater. Vi aflæser koordinaterne for projektionspunktet Ab (1.2,1.6), og vi konkluderer:

  1, 2 ab = .  1,6

B(3,4)

  a×b   1, 2 ab = Ab (1.2,1.6)  1,6 O

  a×b A(6,–2)

233

Øvelse 6.70 To par af vektorer er givet ved:   1       6 4 a × b = −  a ×= b 5 og a × b = −  a ×= b −  og  2  6  3  9             ab× b, og bestem a × b's projektion a × ba ×på b ab×på b selv metode. Bestem a's× projektion b a.×Vælg

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 8.

9. Tværvektor   b i Den vektor, der fremkommer ved at dreje en vektor a ×90°   b positiv omløbsretning, kalder vi for tværvektoren til a.×Den   aˆ betegnes aˆ (kaldes sommetider "hat-vektoren", og processen kaldes sommetider "at hatte"). Da nulvektoren ikke har   positiv nogen retning, definerer vi 0 = 0 .   a×b

Sætning 23: Koordinater for en tværvektor      a1 =  a1  a = OA Har en vektor koordinaterne a == OA  a2   a2    –−aa22 a = OA så får dens tværvektor koordinaterne . a=  aa11

  a a = OA =  1   a2 

 =  − a2  a  a1 

  a a = OA = – 2  a1

   a1   a1  a = OA a = OA =  a2   a2    a a = OA =  1   a2 

Øvelse 6.71 Bevis sætningen ved brug af ovenstående illustration. Tegn selv andre beliggenheder   af vektor a.× b

234

6. Vektorer og trigonometri

Øvelse 6.72

Dynamisk konstruktion af tværvektor

a) Afsæt i et matematisk værktøjsprogram et frit punkt A i 1. kvadrant.   b) Afsæt vektoren a = OA .   c) Drej vektoren a = OA i en vinkel på 90° vha. værktøjsprogrammets faciliteter. d) Afsæt et punkt B i slutpunktet for den drejede vektor.   a = OB . e) Afsæt vektoren f) Afprøv den dynamiske illustration ved at flytte punktet A.     = OB , når punktet A g) B eskriv sammenhængen mellem koordinaterneatil= OA aog flyttes dynamisk.

Øvelse 6.73 Bestem koordinatsættet til tværvektoren af følgende vektorer:   3    − 2    4 b+ c =  . a ×= b 5a ,× b =d3 =7a +og −6

Øvelse 6.74  a    Vis, at a a = 0 , for enhver vektor a = 1 i planen.  a2 

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 9.

10. D eterminanter, arealberegning og sinusrelationerne    ab × b er ortogonale, netop når deres skalarprodukt er 0. Ved Vi ved, at to vektorer a ×og hjælp af tværvektorbegrebet kan vi nu få en ligeså enkel karakteristik af, om to vektorer er parallelle. Værktøjet hertil hedder determinant. Og som skalarproduktet har også determinantbegrebet meget bredere anvendelser.

Definition: Determinanten af et vektorpar

 b      a1  b  a1 = og a = OA Determinanten af et par vektorer a == OA b == b1 er defineret som a  2  a  2   2a  skalarproduktet af tværvektoren til a =med OA b: =  1  a2       a−a–a2  b1    =OA a==a •= b1= 2 ab =• b = –a2 · b1 + a1 · b2 det( a ,=b)OA  a2 a1  1  2

235

Øvelse 6.75           a ×,×bb) = –det( a × b, a ),× og b at det betyder, at a  b = − bˆ  a. Vis, at det(a

Øvelse 6.76 Bestem determinanten af følgende vektorpar:   2    4     2 a×b = a × b = −  a) a ×= b  og b) a ×= b 1 og  5  5  − 3  7

Sætning 24: Parallelle vektorers determinant

 b      a1  b  a1 = og a = OA Et par af egentlige vektorer == b1 er parallelle, netop når a == OA b  2  a2   a2     a1      a1  determinanten er nul: a  når det( a ,=b)OA = 0= = bOAnetop =  a2   a2 

  a×b  aˆ

  a×b

Bevis

      ab × b er parallelle, så må aˆ og a × b være ortogonale, og derfor er deres Hvis a ×og ˆ    a ×,×bb skalarprodukt nul: aa •× b = 0. Dermed er det(a ) = 0.         ab × b er nul, så er aaˆ •× b = 0, dvs. aˆ og a×b Omvendt, hvis determinanten af a ×og ˆ      b er ortogonale, så må a ×og ab ×b må være ortogonale, men da a og a ×også være parallelle.

Øvelse 6.77

Bestemmelse af parameter for parallelle vektorer

For hvilke værdier af s er følgende vektorpar parallelle?  s   12 a×b =   a) a ×= b  og  2  8

  4   a × b =  3 b) a ×= b  og s+1  6

    2 a×b =   c) a ×= b s  og s+1  3

Da determinanten af et vektorpar er defineret som et skalarprodukt, og da vi ved, dette er uafhængigt af koordinatsystemet, så er determinanten også uafhængigt af koordinatsystemet – dog skal man huske, at tværvektoren jo er bestemt ved en positiv drejning, dvs. omløbsretningen for det valgte koordinatsystem skal være den samme som i det oprindelige koordinatsystem.

Sætning 25: Determinant og vinkel mellem vektorer

   a1  Determinanten af et par af egentlige vektorer a =ogOA b =kan beregnes ved produk a2  tet af de to vektorers længder og sinus til vinklen mellem vektorerne, dvs.:       a1− a2  a det( a ,=b)OA =a = •= b = a ·= OA =  1  b· sin(v) a a2  a  2  1      a1   hvor v er vinklen fra a =tilOA med fortegn i forhold til omløbsretningen. = b regnet  a2 

236

6. Vektorer og trigonometri

Bevis

  b Vi vælger et koordinatsystem, så a ×ligger langs med og er ensrettet med   x-aksen. Drejningsvinklen fra aa×til×bb regnes med fortegn. På den øverste figur er drejningsvinklen positiv, mens den på den nederste figur er negativ.    a ×og ab × b får koordinaterne:

  a×b 1



   b ⋅ cos(v )   a a= og b =    0  b ⋅ sin(v ) 

   1  a×b v e = ⋅b 2 1 O

Overvej dette! y

 0     Tværvektoren til a ×erbgivet ved: a =  , og udregner vi aaˆ •× b, så får vi:  a      0   b ⋅ cos(v )     a  b =        = 0 ⋅ b ⋅ cos(v ) + a ⋅ b ⋅ sin(v ) = a ⋅ b ⋅ sin(v )  a   b ⋅ sin(v )    Bemærkning: Hvis aa×=×bb , så bekræfter sætningen relationen mellem       en vektor og dens tværvektor: det( a, a ) = a  a = a ⋅ a ⋅ sin(0° ) = 0 .

  a×b

1 v  1  e = ⋅b

  a×b

Praxis: Determinantsymbol og huskeregel Af og til benyttes et særligt determinantsymbol, som består af to lodrette streger, inden for hvilke vektorernes koordinater er placeret i et talskema:    a1 ab11 det( a ,=b)OA = =a b = a1 · b2 – a2 · b1 2 a22

Det kan være en hjælp til at huske beregningen, at man regner i en sløjfe inde i talskemaet:

På bogens website ligger en vejledning til, hvordan de gængse værktøjsprogrammer håndterer determinanter.   Determinantens fortegn afhænger af fortegnet for vinklen fra aa×til×bb, fordi   sin(–v) = –sin(v), dvs. hvis vinklen fra aa×til×bb er negativ, så er determinanten af de to vektorer negativ.     Med vinklen fra aa×til×bb menes altid den mindste drejningsvinkel fra aa×til×bb. y

  a×b

1 sin(v) v positiv

  a×b 1

v negativ

  a×b

sin(v)

237

Der gælder således (se figurerne):   Fortegn for vinklen fra a a×til×bb

Fortegn for sinus

0 ≤ v < 180º

sin(v) > 0

v = 0º eller v = 180º

sin(v) = 0

–180º < v < 0º

sin(v) < 0

   Fortegn for determinanten af a ×og a b× b   det(aa×,×bb) > 0   det(aa×,×bb) = 0   det(aa×,×bb) < 0

Øvelse 6.78 a) Udregn determinanten af følgende vektorpar i et værktøjsprogram:      −4     6   −3 a × b =  2 a × b =  5 a×b =   1) a ×= b 8 og 2) a ×= b  og 3) a ×= b  og  3  5  1  6  − 4  2   b) Kontroller fortegnet for drejningsvinklen fra aa×til×bb ved at tegne vektorerne.

Determinanten er også et værktøj til arealberegninger. Dvs. vi vil med vektorer kunne beregne arealer af trekanter og dermed af alle poygoner, fordi alle polygoner vil kunne trianguleres. Sætning 26 giver os en formel til beregning af arealet af det parallelogram    ab × b. (og den trekant), som udspændes af to vektorer a ×og

Sætning 26: Areal af parallelogram / trekant udspændt af to vektorer

   a1  Arealet af det parallelogram, som de to vektorer a =ogOA b =udspænder, kan beregnes ved:  a2          a a − a        1  Aparallelogram( a ,=b )OA = =det(  = =a •=1b= 2a ·= OA b)OA b · =sin(v)  a1  a ,=  a2 a1   a2   a2     a hvor 0 ≤ v ≤ 180° er vinklen mellem a =ogOA b.=  1   a2     a1  Arealet af den trekant, som de to vektorer a =ogOA b =udspænder, kan beregnes ved:  a2          1 1  a1  − a21  a1    Atrekant( a ,=b)OA = =2 a·1 det( a ,=b)OA  = =2 · a •=b= 2 · a ·= OA b · =sin(v)  a2   a1   a2   a2 

1 A

  a×b   e = 1⋅b 2

h   a×b

–1 y A

  a×b D

  e = 1⋅b 2

–1 

 a×b

238

Bevis (især for A)

   ab × b udspænder et parallelogram, som vi betegner D e to vektorer a ×og     b a × b danner siden AB. Vi lægger paralleABCD, hvor a ×danner siden AD og logrammet ind i et koordinatsystem, således at AD er grundlinje (se figur),     b ×b og så a ×ligger på og ensrettet med x-aksen. Dvs. grundlinjen er g = a .    Drejningsvinklen v fra aa×til×bb er positiv på figuren for oven og negativ på figuren for neden. I begge tilfælde har vektorerne koordinatsættene     b ⋅ cos(v )   a a= og b =   . 0  b ⋅ sin(v )    D en numeriske værdiaaf× b's y-koordinat giver os således parallelogram  a × b · sin(v). mets højde h =

6. Vektorer og trigonometri

Da arealet af et parallelogram beregnes ved grundlinje gange højde, får vi altså     Aparallelogram(a, b ) = a ⋅ b ⋅ sin(v ) = det( a, b ) Og da parallelogrammet deles i to lige store trekanter af diagonalen (differensvektoren, som antydet på figuren), bliver arealet af den trekant, som de to    ab × b udspænder vektorer a ×og   , 1   1 Ttrekant( a, b ) = ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(v ) = ⋅ det( a, b ) 2

hvilket er påstanden i sætningen. Bemærk: Når v er vinklen mellem vektorerne, dvs. uden fortegn, kan vi ophæve numerisk om sin(v).

Øvelse 6.79     a × b =  7 . a) Bestem arealet af trekanten udspændt af de to vektorer: a ×= b 3 og  5  1 b) I ndtegn vektorerne i et geometriprogram, og bestem arealet med programmet indbyggede kommando.

Øvelse 6.80 De tre punkter A(–3,1), B(2,7) og C(10,6) udspænder en trekant i planen. Bestem trekantens areal ved beregning og ved konstruktion i et 2D-geometriprogram. Allerede i oldtiden vidste man, at arealet kunne beregnes alene ud fra kendskab til siderne. Du kan på bogens website finde et projekt om Herons formel.

10.1 De 5 trekantstilfælde og sinusrelationerne Selv om cosinusrelationerne er effektive, så giver de ikke muligheder for at løse alle trekantstilfælde. Vi har brug for endnu et værktøj, sinusrelationerne. Man skelner traditionelt mellem 5 trekantstilfælde, hvor de to kan løses med cosinusrelationerne, de to med sinusrelationerne og det femte tilfælde hører til de ensvinklede trekanter. For at beregne alle 6 størrelser (sider og vinkler), skal man som udgangspunkt kende tre af dem: Vi kender:

Løses med:

1. Trekantstilfælde

tre sider

cosinusrelationerne

2. Trekantstilfælde

to sider og en mellemliggende vinkel.

cosinusrelationerne

3. Trekantstilfælde

to sider og en ikke-mellemliggende vinkel.

sinusrelationerne

4. Trekantstilfælde

en side og to vinkler

sinusrelationerne

5. Trekantstilfælde

tre vinkler

ensvinklede trekanter

239

Via bogens website kan du få adgang til et projekt, hvor man løser trekantstilfældende gennem konstruktion i et geometriprogram.

Øvelse 6.81 a) Overvej, hvorfor tilfældene 3 og 4 ikke kan løses med cosinusrelationerne. b) 4 . tilfælde ser ud, som om den rummer flere forskellige situationer. Argumenter for, at de forskellige situationer er helt ækvivalente.

Vi har altså brug for et nyt værktøj. Og det er så heldigt, at sætningen om arealberegning med determinanter kan give os det nye værktøj til trigonometrisk problemløsning, nemlig sinusrelationerne.

Sætning 27: Sinusrelationerne (1. og 2. version) I en vilkårlig trekant ABC gælder der 1. Version:

aaa

===

sin( sin( sin(A A)))

bbb

===

sin( sin( sin(B B)))

ccc sin( sin( sin(C C)))

og 2. version:

sin( A A) sin(B B) sin(C C) = = a b c

Bevis

           c ,= ⋅ aa=× b CB − CA +−2 AC Vi betegner siderne i trekant ABC med vektorerne AB===CB OB OA   B      a .×Dvs. og CB −= CA udspændes af hver to ud af de tre vekto=b CBtrekanten + AC      =− 2 ⋅OA a AB = c OB rer. Vi skal evt. vælge de modsatte vektorer, men da vi i determinant    = 2⋅ a a × b og c udspænder formlen regner numerisk, betyder det ikke noget.         trekanten. Derfor er arealet af trekanten = CA a×b CB − = CB + AC   1 1   TABC = ⋅ det( b, c ) = ⋅ b ⋅ c ⋅ sin( A) A 2 2      Anvender vi i stedet trekantens betegnelser for siderne, får vi CB − CA = CB + ACa =× b C

TABC =

1 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin( A) 2

Tilsvarende får vi følgende formler. TABC =

1 1 ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(C ) og TABC = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin( B ) 2 2

Alle de tre formler bestemmer det samme areal, nemlig arealet af trekant ABC, dvs. udtrykkene må være ens. Vi sætter dem lig med hinanden og omskriver, hvorved formlerne i sætningen fremkommer 1 1 1 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin( A) = ⋅ a ⋅ c ⋅ sin( B ) = ⋅ a ⋅ b ⋅ sin(C ) 2 2 2

b ⋅ c ⋅ sin( A) = a ⋅ c ⋅ sin( B ) = a ⋅ b ⋅ sin(C ) b ⋅ c ⋅ sin( A ) a ⋅ c ⋅ sin( B ) a ⋅ b ⋅ sin( C ) = = a⋅ b⋅c a⋅ b⋅c a⋅ b⋅c

240

Gang igennem med 2 Divider med a · b · c

6. Vektorer og trigonometri

sin( A ) sin( B ) sin( C ) = = a b c

Forkort

Dette var den første påstand. Den anden påstand følger af den første, da:

sin( A ) sin( B ) a b = ⇔ a ⋅ sin( B ) = b ⋅ sin( A) ⇔ = a b sin( A ) sin( B ) sin( A )

På samme måde giver= a er lige store.

sin( B ) sin( C ) b c = = os formlen , så alle tre brøker b c sin( B ) sin( C )

Eksempel: Sinusfælden Når vi skal bruge sinusrelationen til at finde en vinkel, skal vi passe på. Den omvendte sinus-operation giver altid en spids vinkel. Men den søgte vinkel kunne måske være stump! Hvis vi forsøger at finde en stump vinkel ved hjælp af sin –1, kan man risikere at falde i sinus-fælden. Ifølge sætning 13 er der nemlig to vinkler, der har den samme sinus-værdi: Den ene af disse vinkler er spids og den anden stump (og tilsammen giver de 180°). Vi risikerer altså at vælge den forkerte af de to! Vi er derfor nødt til ad anden vej at vide, om den vinkel vi prøver at finde er spids eller stump. For at kunne gardere sig mod sinus-fælden er det rart at have styr på, hvilke vinkler der eventuelt kan være stumpe. Her kan følgende sætning være til stor nytte:

Sætning 28 I en vilkårlig trekant vil den største side ligger overfor den største vinkel, og tilsvarende vil den mindste side ligge overfor den mindste vinkel.

Beviset for sætningen ligger på bogens website . Hvis vi sorterer siderne efter størrelse, får vi samtidigt sorteret vinklerne efter størrelse!

Eksempel: Beregning af ukendte sider med brug af sinusrelationerne Om en trekant ABC oplyses, at ∠A = 58°, ∠C = 75° og a = 26. Bestem de ukendte sider og vinkler. Løsning:

∠B = 180° – 75° – 58° = 47° a

⋅ sin( B ) = b ⋅ sin( A) ⇔ = sin( A ) sin( B ) 26 b = sin(58)

sin(47)

b = sin(47) ·

b = 22,4

26 b = sin(58) sin(47)

∠B findes ud fra vinkelsummen Sinusrelationerne opstilles for at finde b Tallene indsættes b isoleres

241

Øvelse 6.82 Bestem selv c i trekanten.

Eksempel: Beregning af ukendte vinkler med brug af sinusrelationerne Om en trekant ABC oplyses, at b = 8,3, c = 19,1 og ∠C = 105°. Bestem de ukendte sider og vinkler. Løsning: sin( A ) sin( B ) sin( C ) = = a b c

sin( B ) sin(105) = 8, 3 19,1 sin( B ) 8, 3

sin(B) = 8,3 =·

sin(105) 19,1

Sinusrelationerne opstilles for at finde ∠B Tallene indsættes sin(B) isoleres

sin(B) = 0,4197

B = sin –1(0,4197) = 24,8°

Den omvendte sinus anvendes

Hvorfor er vi sikre på, at det er den spidse vinkel, vi her skal vælge? Bruger vi i stedet en solve-kommando, skal vi huske at indskrænke løsningen til at ligge mellem 0 og 90, fx således: sin( B )

solve  =  8, 3

sin(105)  , B 0 < B < 90  19,1

Konklusion: = 24,8 ° Konklusion: B =B 24,8°

Øvelse 6.83 Bestem selv ∠A og siden a.

Øvelse 6.84 Om en trekant ABC får vi oplyst, at a = 8,5, b = 15,2 og ∠B = 110. Bestem de ukendte sider og vinkler. Overvej først, hvad vi ved om de to andre vinkler, og hvorfor vi her kan bruge sinusrelationerne uden problemer.

Via bogens website kan man hente en større sammenhængende opgave om beregning af højden af Mount Everest.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 10.

242

6. Vektorer og trigonometri

11. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 6. Det er bla. et projekt om, hvordan Galilei omkring 1610 var i stand til at bestemme højden af Månens bjerge, og et projekt om navigation og opdagelsesrejser, hvor man selv låner navigationsudstyr. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

243

Det matematiske sprog – tal og ligninger

1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Tal og talord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 Talsans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Talsymboler – om at skrive tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Positionstalsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Udvidelse af talbegrebet – nul, negative tal, brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

2. 2.1 2.2 2.3 2.4

Regning med tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Sådan regnes med tal og paranteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Brøker og decimaltal, eksakt og tilnærmet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 Sådan regnes med brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Eksponentiel notation – sådan skrives store tal og små tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Talmængderne (især for A-niveau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

4. 4.1 4.2 4.3

Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Formler – naturligt sprog og symbolsprog . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regler for løsning af ligninger – omvendte operationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Grafisk løsning og formelregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

Der findes flere tusinde sprog hvert med sine talord, som vi ikke forstår, når vi hører dem. Men talsymboler som 1, 3 og 8 kan næsten alle forstå. Da menneskene lavede symboler for tal, tog de samtidig de første skridt til at lave matematikkens sprog, som i dag er et fælles sprog overalt på kloden. I dette kapitel vil vi dykke ned i eksempler på tallenes historie og undersøge, hvordan talbegrebet har udviklet sig. Med symboler blev det lettere at opstille formler og løse ligninger. Men det koncentrerede symbolsprog stiller større krav til præcision, til at kende og følge regneregler for ligningsløsning og til at kunne oversætte frem og tilbage mellem symbolsprog, grafiske fremstillinger og almindeligt sprog. Fortællingen begynder hos de oprindelige folk og i urtiden langt tilbage.

244

267 267 270 273

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

1. Tal 1.1 Tal og talord På Ny Guinea findes et folk, som kun har to talord. En hedder urapun, og to hedder okosa. De kan godt tale om tre eller flere fisk ved at kombinere ordene. Tre hedder okosa urapun, fire hedder okosa okosa, og fem hedder okosa okosa urapun. De har ikke et skriftsprog og derfor heller ikke symboler for tal, så det bliver hurtigt meget besværligt at angive et større antal. Alle sprog, vi kender, har talord, men nogle altså kun ganske få. Hører man nyheder fra Grønland eller anden grønlandsk tale, kan man midt i det grønlandske sprog pludselig høre ord som syvogfirs eller fem hundrede og treogtyve. Altså danske talord. Men det betyder ikke, at det grønlandske sprog ikke selv har talord. På Grønland har man en slags tyvetalssystem, hvor der først tælles op til fem på den ene hånd, så skiftes til den anden hånd og fra 11 skiftes til fødderne. Efter 20 kombineres talordene efter samme metode som på Ny Guinea. I et moderne samfund med finanslove, månedslønninger og internationale flyforbindelser bliver det så besværligt, at grønlænderne i stedet anvender de danske talord.

Grønlandske talord 5 t allimat, jf. taleq arm, dvs. hele første hånd er talt 6a rfinillit, jf. arfak håndkant, dvs. der skiftes til anden hånd 10 qulit toppene, dvs. alle fingre er talt 11 isikkanillit, jf. isigak fod, dvs. der tælles videre på foden

Talord kan vi følge lige så langt tilbage, som vi har sprog, og overvejelser om tal og det at tælle endnu længere tilbage. Hvordan mennesker fandt på, at syv børn, syv fasaner eller syv pilespidser repræsenterede det samme talord syv, aner vi ikke. Men det vanskeligste punkt var givetvis at erkende, at et og to var tal og ikke bare ord. Dette kan man bl.a. se af den måde, hvorpå man danner adjektiver ud fra talord. Adjektiverne er ordene tredje, femte, ottende osv., der alle er dannet ved en simpel sproglig konstruktion ud fra tallene tre, fem, otte osv. Adjektiverne kaldes også ordenstal, og de anvendes netop til at sætte noget i orden såsom månedens dage eller ranglisten over de bedste 100-meter-løbere: Hun fylder år den femte maj. Hun er den tredje bedste 100-meter-løber i Danmark. Fingersymboler fra Luca Pacioli, Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita, 1494.

Tegningen viser et system for fingertælling fra det 8. århundrede.

245

Vi kan i alle gamle sprog og i de fleste moderne sprog se, at ordenstallene dannes af talordene efter bestemte regler, når vi er kommet forbi to. Men for tallene et og to er der i mange sprog ingen sammenhæng mellem talord og ordenstal.

Øvelse 7.1

Tælletal og ordenstal i forskellige sprog

Udfyld selv de tomme felter. Dansk

Engelsk

talord

ordenstal

talord

første

one

anden

tre

4 5

ordenstal

Spansk talord

ordenstal

Russisk talord

ordenstal

uno

odin

pervyi

two

dos

dva

vtoroi

tredje

three

tres

tri

tretij

fire

fjerde

four

cuatro

tjetyre

tjetvjortyj

fem

femte

five

cinco

pjat

pjatyi

Reglen gælder ikke for alle moderne sprog. Find selv modeksempler.

I alle sprog findes en lang række eksempler på, at tallet to har en anden status end de efterfølgende. Der er lavet mange konstruktioner, hvor man ønsker at angive, at der er to, men hvor man har lavet nye ord for hvert tilfælde. Nogle sproghistorikere mener, at ordet to og ordet du i de indoeuropæiske sprog har samme oprindelse. Jeg svarer til en, og du svarer til to. Sumer, der var et rige mellem Eufrat og Tigris forud for Babylonien, udviklede et skriftsprog så tidligt som 3300 f.v.t. Her er ordene for en og to de samme som ordene for mand og kvinde.

Øvelse 7.2

Tallene 1 og 2 har en særstatus i sprogene

a) T alordet for tallet 1 har i mange sprog sin egen grammatik. Det er forskellige ord alt afhængigt af, hvilket køn den genstand, vi taler om, har. På dansk har vi to køn som i fx: en stol, et bord. Hvordan er det i andre sprog? b) Undersøg oprindelsen til ordene: dobbelt, dialog, diskussion, balance, tvivl, tusmørke. Find selv flere ord, hvor det er indbygget, at der er tale om noget med "to". c) Find på engelsk eller et andet sprog tilsvarende eksempler.

246

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Sporene efter et urfolks talbegreb om en, to, mange kan man også finde i billedskriftsprog. I ægypternes hieroglyffer angiver tre krukker en oversvømmelse, tre tårer gråd og tre bølger angiver vand. I det kinesiske skriftsprog angiver tre træer en skov, tre mennesker alle og tre hår en pels. Vi ved ikke, hvornår menneskene fik et mere udviklet talbegreb. Men i 1937 fandt man i en hule i Tjekkiet en ulveknogle, som blev dateret med kulstof 14-metoden til at være ca. 30.000 år gammel. På knoglen er der snit, der leder tanken hen på, at de har haft et vist talbegreb. I knoglen har en af vore forfædre skåret 55 snit i grupper på 5, som man ser på billedet. Hvilket formål, det har tjent, kan man ikke vide, men snittene er udtryk for, at nogle mennesker allerede dengang havde et eller andet begreb om tal. Har de brugt knoglen til at fortælle andre i stammen om, hvor mange dyr en af jægerne har opdaget, eller hvor mange mennesker der er i en anden stamme, de har mødt? I Ishango i Congo har man gjort et tilsvarende fund, og der er også fra nyere tider fundet mange sådanne tællestokke, som de af og til kaldes.

Øvelse 7.3

Hulebjørnens klan: Et litterært bud på talbegrebets oprindelse

På bogens website ligger et uddrag af Hulebjørnens Klan samt arbejdsark hertil. Forfatteren Jean Auel har ladet sig inspirere af ulveknoglen til en lille fortælling om udviklingen af talbegrebet hos neandertalerne og hos Cro-Magnon-mennesker for ca 30.000 år siden.

Talordenes opbygning og grammatik gemmer i sig fortællinger om menneskets udvikling af et talbegreb, om folkevandringer og om, hvornår grupper gik hver sin vej og blev til selvstændige folkeslag. Meget er glemt, så vi kan næppe afdække tallenes oprindelse, men talord har været meget robuste og har kun ændret sig langsomt. Tallene en og to har som omtalt en særstatus. Men der er også stadig oprindelige folk, som har grammatisk forskellige ord for 1, 2, 3 og 4. Disse talord knytter sig til bestemte ting og genstande, da man umiddelbart kan overskue 3 heste, 4 mænd osv. Talordene fra 5 og opad har en anden grammatik i disse gamle sprog, de er selvstændige, abstrakte ord, løsrevet fra det, de taler om. Dette fortæller os, at herfra begyndte man at tælle.

Øvelse 7.4

Talordenes udvikling og slægtskab mellem forskellige sprog

På bogens website ligger et materiale om talordenes udformning og udvikling i en række sprog. Materialet kan evt. bruges til et samarbejde med sprogfag.

247

1.2 Talsans Man kan godt have en udviklet talsans, selv om man ikke har et udviklet talsystem. De oprindelige folks talsans har givetvis været på et helt andet niveau, end vores er i dag. Mange beretninger fortæller om, at folk i sådanne stammer med ét blik kan overskue, om alle er med, mennesker, hunde og heste. En jesuitermunk, Martin Dobrizhoffe, fortæller således om abiponerne, en af de mange indianske stammer der levede på sletterne i det, der i dag er Argentina og Paraguay, at når stammen måtte bryde op på grund af tørke og mangel på mad, så foregik det: "... i en lang kæde, hvor kvinderne var til hest, og hvor de var omgivet foran, bagved og langs siderne af utallige hunde. Fra deres sadler så indianerne sig hele tiden omkring og inspicerede folkevandringen. Hvis der manglede så meget som en enkelt hund fra den store mængde, så blev de ved at kalde indtil de havde styr på alle igen. Jeg har ofte siden undret mig over, hvordan de, uden at kunne tælle, midt i al forvirringen kunne holde styr på, at en enkelt hund manglede. De havde kun tre talord og afviste fuldstændigt at lære talrækken af de hvide mænd." Det foregik i 1700-tallet, hvor jesuitermunken gennem næsten 20 år havde tæt kontakt med abiponerne. Stammen blev udslettet gennem sygdomme samt krige mod spanierne. I 1800-tallet var de helt borte.

Øvelse 7.5

Hvor udviklet er din talsans?

Hvor udviklet er vores talsans? Lav nogle små bunker af tændstikker, eller tegn på et papir forskellige grupper af figurer, hver på mellem 5 og 12 figurer. Sørg for, at de andre i gruppen ikke ser dine grupperinger. Vis dem så i et kort glimt til de andre, og lad dem prøve, om de kan overskue antallet uden at nå at tælle.

Hvis der kun er 28 stole i et klasseværelse, hvor 1.a med 28 elever holder til, behøver man ikke at tælle eleverne for at se, om alle er mødt frem. Hvis der er faste pladser i en bestemt forsamling, behøver man ikke at kunne tælle for at afgøre, hvem der ikke er mødt frem. Når man efter et spil domino pakker brikkerne væk, behøver man ikke tælle efter for at afgøre, om alle brikker er med i æsken. Dette princip med at afgøre, hvor der er flest, eller om der er lige mange i to grupper, ved at forsøge at parre dem sammen to og to, er en version af det såkaldte skuffeprincip. Skuffeprincippet har sit navn fra den enkle konstatering, at skal man lægge tøj eller andre ting i nogle skuffer, og er der flere ting, end der er skuffer, så vil mindst to ting blive lagt i samme skuffe.

248

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

På engelsk hedder skuffeprincippet "pigeonhole-principle": Hvis n genstande skal anbringes i m dueslag, hvor n > m , så må mindst et dueslag indeholde mere end en genstand. Her er n = 10 duer og m = 9 dueslag, altså må et dueslag indeholde mere end en due!

Eksempel: Skuffeprincippet Et andet eksempel på anvendelsen af skuffeprincippet er følgende påstand: Der findes fire mennesker i København med det samme antal hår på hovedet. Argumentet er følgende: Der bor over 500.000 i Københavns Kommune. Antallet af hår på et menneskehoved angives af frisørkyndige til ca. 50.000, i ekstreme tilfælde op til 150.000. Hvis vi nu lægger de 500.000 mennesker ned i kasser nummereret fra 0 til 150.000, vil mindst en af skufferne have mindst fire personer.

Øvelse 7.6

Skuffeprincippet

Du kan på bogens website finde mere information om skuffeprincippet samt opgaver, der illustrerer, hvorledes dette simple princip kan bidrage til løsning af indviklede spørgsmål.

1.3 Talsymboler – om at skrive tal De mennesker, der skabte symboler for tal, havde allerede et abstrakt talbegreb. 7 er ikke bare 7 svaner eller præcis 7 brød, men slet og ret 7.

Øvelse 7.7 Anvend skuffeprincippet til at forklare tallet 7. Hvordan vil du forklare tallet 83 og tallet 5329? Hvordan vil du forklare tallet 2395810766942?

Talsymboler kender vi så langt tilbage, som vi kender skriftsprog. De tidligste symboler kan meget vel have deres oprindelse i det at ridse linjer ind i en knogle eller skære hak i træstokke. Tallene er de første eksempler på, at mennesker på tværs af sproglige og andre barrierer kan kommunikere entydigt ved hjælp af et symbolsprog. På en markedsplads i Istanbul kan vi læse priserne, og vil vi handle, kan vi på en seddel skrive vores tilbud. Mayaernes tal var fælles for alle folkeslag i det nuværende Guatemala, sydlige Mexico og Yucatan og fulgte dem i tusinder af år. Hieroglyffernes tal var de samme i hele det gamle Ægyptens historie. Romertallene blev udbredt med Romerriget og var stadig det dominerende talsystem omkring år 1500, dvs. 1000 år efter Romerrigets fald, også i områder uden nogen erindring om romernes latinske sprog.

249

Mayaernes talsymboler. Bemærk: De havde et tegn for 0.

Kinesiske tegn.

III

IIII

VII

VIII

VIIII

XXXX

LXXXX

100

500

1000

Romertal. På et tidspunkt justeres romertallene, så man også kan trække én fra: IV betyder 5 – 1 = 4, IX betyder 10 – 1 = 9.

Disse kulturer udviklede talsystemer, hvor man kun behøvede få symboler for at skrive store tal. Talsystemerne var hovedsageligt additive, dvs. tallets værdi var summen af de enkelte symboler, der indgik.

Eksempel: Oversættelse af ægyptiske tal De ægyptiske talord er følgende:

10 100

1000 10.000 100.000 1.000.000

Derfor er det ægyptiske tal: i vores talsystem tallet 46206

Eksempel: Oversættelse af romertal Romertallenes værdi er angivet ovenfor. Vi aflæser, at romertallet MDCCCLXXVII i vores talsystem er tallet

1000 + 500 + 3 · 100 + 50 + 2 · 10 + 5 + 2 · 1 = 1877

Når talsystemet er additivt, er det ret enkelt at lægge to tal sammen (addere to tal) I romertallenes matematik:

CCCLXXXII + CXXIV = CCCCLXXXXXIVII = DVI

Det er lidt mere kompliceret at trække fra (subtrahere) i det romerske talsystem. At gange (multiplicere) og dividere med romertal, uden brug af kuglerammer, var en sag for højtuddannede eksperter.

Øvelse 7.8 Forklar de to eksempler i alle detaljer, og oversæt resultatet i eksemplet med romertal til vores tal.

250

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Øvelse 7.9

Øvelser med andre talsystemer

På bogens website er der eksempler og øvelser vedrørende at læse, skrive og regne med ægyptiske tal, mayaernes tal, kinesiske tal og romertal. Via afsnit 6 kan man desuden finde projekter om bl.a. den ægyptiske regnekunst.

Øvelse 7.10

Etruskerne og romertallenes oprindelse

Før Rom begyndte at ekspandere fra ca. år 400 f.v.t. var det nuværende Midt- og Norditalien domineret af etruskerne. Den centrale del af etruskernes rige var det nuværende Toscana (der betyder: etruskernes land), men de bredte sig også i perioder til andre dele af Italien og havde en tid magten over Rom. Etruskernes sprog var ikke indoeuropæisk, og man kender det næsten udelukkende fra gravskrifter. De havde en højtudviklet teknologi, og det var af dem, romerne lærte at bygge akvædukter og kloakker, og også det romerske talsystem har rod hos etruskerne. På bogens website kan du finde et materiale om etruskerne og romertallenes historie.

I Grækenland udviklede man en avanceret matematik i årene fra ca. 500 f.v.t. til ca. 400 e.v.t. Men i stedet for at udvikle særlige talsymboler, anvendte de blot bogstaverne som symboler for tallene. Det gjorde det helt umuligt at regne med disse, og det er måske en del af forklaringen på, at grækerne skabte så store resultater i geometri og så beskedne resultater i talbehandling og ligningsløsning. Grækerne havde et højtudviklet samfund med produktion, minedrift, handel og håndværk, så naturligvis kunne de regne. De anvendte regnebrætter eller andre hjælpemidler af samme type som en kugleramme (en abacus).

1.4 Positionstalsystemer Øvelse 7.11

Kuglerammer bygger på et positionstalsystem

Hvad er princippet i en kugleramme (abacus)? Søg på nettet eller i leksika, og prøv at finde svaret på, hvordan man regner med brug af en kugleramme.

Tegning af kinesisk abacus, Suanpan.

Kopi af romersk abacus i bronze.

251

Romertallene og de ægyptiske tal er ikke positionstal. C betyder 100, uanset hvor det står. Men babyloniernes talsystem, der stammer fra ca. 1800 f.v.t., og som blev skrevet med kileskrift, var et positionstalsystem. Skriveren satte mærker i vådt ler med et skriveredskab. Når han skrev tal, så lavede han symbolet for "en" med kilens ene ende og symbolet for "ti" med den anden. Her ses en kileskrifttavle fra Ninive med en række astronomiske observationer. Babylonierne anvendte ikke 10, men 60 som grundtal, og de byggede alle tal op ved hjælp af de to symboler: Symbolet for 1 eller 60:

Symbolet for 10:

Den lodrette kile, tegnet for én, kan også betyde 60. Det er afhængigt af, hvor det står. Babylonierne havde ikke opfundet nullet, så har vi ikke andre oplysninger end selve tegnet, kan vi ikke være sikre på talværdien. Tallet:

kan betyde både 1 · 60 + 24 · 1 = 84, og også

1 · 60 + 0 · 60 + 24 · 1 = 3624 samt flere andre tal – hvilke? Den babyloniske matematik var ret avanceret. De havde tabeller. De kendte til pythagoræiske sammenhænge i retvinklede trekanter, og de kunne beregne ukendte stykker i trekanter, efter metoder der ligner trigonometrien.

Øvelse 7.12

Projekt om babylonsk matematik

På bogens website findes et projekt om babyloniernes talsystem med opgaver, deres elever skulle løse for 3000 år siden.

Øvelse 7.13

Regneregler i titalssystemet 2

Et tal som 247 betyder i titalssystemet: 2 · 10 + 4 · 10 + 7 · 1, dvs.: 2 · 100 + 4 · 10 + 7 (*) a) Opskriv tilsvarende tallet 519. b) O pskriv og udregn regnestykkerne 519 + 247 og 519 – 247, sådan som du har lært det i folkeskolen. Hvorfor går det godt? c) Gennemfør beregningerne, hvor tallene er skrevet på formen som (*). d) I folkeskolen lærer man om noget, der hedder "sætte i mente", og "det kan man ikke, så må man låne". Hvad betyder det? e) H vad er princippet i at gange i vores 10-talssystem? Opstil regnestykket, sådan som du har lært det i folkeskolen. Kan du argumentere for, at de metoder, du beskriver, vil give det korrekte resultat, når du udregner 74 · 12?

252

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

De talsymboler, der i dag anvendes over hele kloden, kaldes de arabiske tal eller af og til de hindu-arabiske tal efter deres oprindelse. Tallene fik en udformning, der ligner vore dages symboler allerede i 800-tallet. De kom til Europa med de norditalienske handelsfolk og med de hjemvendte korsfarere efter 1100-tallet. Men der var også megen modstand mod de nye tal, især fordi de var lettere at forfalske end de gamle romertal. Fx blev 0 til 6 og omvendt. De nye tal fandtes i en række udgaver, som illustrationen viser, mens romertal var standardiserede. I 1299 forbød Firenzes bystyre brugen af arabertal i bogholderi. I slægten Medicis regnskabsbøger kan man se, at der i begyndelsen af 1400-tallet endnu blev anvendt romertal; men fra 1439 optræder arabiske tal første gang i indførslerne, og fra 1496 står der udelukkende arabiske tal i regnskabsbøgerne.

De hindu-arabiske tal udvikling. De øverste to rækker er fra Indien år 100 og år 700. De to nederste er fra Vestarabien år 900 og Spanien år 1000.

Arabertallene fik først deres store gennembrud, da en matematiker fra Nederlandene, Simon Stevin (1548-1620), udsendte en regnebog i 1585, hvor han lærte almindelige mennesker at regne. Bogen hed blot Tierne og havde undertitlen: Undervisning i hvorledes alle beregninger, der er brug for i forretningslivet, kan udføres alene med brug af hele tal, uden brug af brøker. På bogens website ligger en engelsk oversættelse af bogen sammen med et projekt, hvor vi undersøger Stevins metoder. Bogen blev hurtigt oversat til de forskellige europæiske sprog. I bogen demonstrerede Stevin styrken i 10-talssystemet over for romertalssystemet, og da han brugte arabertallene, tog folk dem efterhånden til sig. Det var ikke mindst Stevins bøger, der udbredte kendskabet til de decimaltal, som vi finder helt naturlige i dag. Før Stevins tid blev alt nemlig udtrykt i brøker. Stevins metoder var stort set de samme som dem, vi undersøgte i øvelse 7.13 ovenfor. Havde vi haft 8 eller 12 fingre, havde vi sikkert haft talsystemer med 8 eller 12 som grundtal. Hvis 8 var grundtal, havde vi haft de 8 første talsymboler 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 og 7. Et tal, der skrevet i 8-talssystemet hedder 237, ville i 10-talssystemet være: 2 2 · 8 + 3 · 8 + 7 = 159 (i 10-talssystemet). I 2-talssystemet har vi kun to talsymboler, 0 og 1. Et tal, der skrevet i 2-talssystemet hedder 1101001, betyder 6 5 4 3 2 1 1 · 2 + 1 · 2 + 0 · 2 + 1 · 2 + 0 · 2 + 0 · 2 + 1 = 105 (i 10-talssystemet).

Øvelse 7.14

Talsystemer med andre grundtal end 10

Nogle talsystemer er gode at anvende til at løse bestemte problemer. Fx anvendes 2-talssystemet (det binære talsystem) i computere. På bogens website ligger et lille projekt om talsystemer med et andet grundtal end 10.

253

1.5 Udvidelse af talbegrebet – nul, negative tal, brøker Tallene 1, 2, 3, 4, . . . osv. i det uendelige kaldes for de naturlige tal. Selv om det er abstrakte symboler, så har vi alligevel en klar opfattelse af, at tallene "handler om noget", der findes i virkeligheden. 120 øl, 40.000 tilskuere osv. Nullet er uundværligt i et positionstalsystem, hvor 402, 420 og 42 er ret forskellige. Det er også netop her, det dukker op – måske først som en markør, når kuglerammens resultat skulle skrives ned. Hos babylonierne er der af og til en slags markør, hvor vi ville skrive 0, men de når ikke frem til at opfatte dette som et tal. Nullet fik i den vestlige verdens kulturkreds først et symbol sammen med arabertallenes udbredelse. De ældste optegnelser med en tydelig brug af et cirkelsymbol som "o" for nul er fra Indien, fra ca. år 800.

Matazero

Et særligt symbol 0 for "ingenting" er i grunden også sært. Hvordan kan det samme symbol 0 betegne, at ingen mødte frem (0 fremmødte), at alle brød var spist (0 brød), at der er totalt vindstille (vindhastigheden er 0) osv.? Mayaerne havde også symboler for nul, men de anvendte mange forskellige, yderst kunstfærdige symboler for tomhed som fx dette symbol kaldet matazero. Et andet mayasymbol for 0 er gengivet i afsnit 1.3.

Øvelse 7.15

Forklar, hvad tallet nul betyder

Hvordan vil du forklare, hvad 0 er? Via bogens website kan man finde materialer om nullet i forskellige kulturer.

De negative tal opstår endnu senere i Europa. Et regnestykke som 12 – 5 er til at forstå, men hvad skal man forstå ved tallet –3? Helt op til 1500-tallet var situationen den, at hvis man ved løsning af en ligning fik negative tal som resultat, blev en sådan løsning kaldt "fiktiv" (hørende til fantasien, ikke til virkeligheden), og man så bort fra den. Behovet for at kunne operere med og skrive negative tal opstod bl.a. i Norditaliens handelshuse i 1100-1200-tallet, hvor regnskaber af og til viste underskud. Sådanne negative tal blev mange steder skrevet som røde tal, og dette indgår stadig i sproget, når man i dag kommenterer regnskaber. Den samme praksis med at skrive underskud som røde tal blev i øvrigt også anvendt i Kina, og måske er skikken bragt hjem til Italien derfra.

Øvelse 7.16

Forklar, hvad et negativt tal betyder

Hvordan vil du forklare, hvad et negativt tal er? Fx tallet –3?

Brøkerne er meget ældre. Ægypterne opererede med brøker for 4.000 år siden, men det var dog begrænset til typerne 1 , 1 , 1 ... (stambrøker), samt tallet 32 . En udregning var 2 3 4 ikke færdig, før resultatet var omskrevet til en kombination af (forskellige) stambrøker.

254

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Der er mange måder, hvorpå en brøk kan skrives som en sum af stambrøker, og man prøver sig frem, indtil man måske finder et system. Fx: 5 = 1 + 4 = 1 +1

16 16 16 16 4 7 = 21 = 17 + 4 = 1 + 3 + 1 = 1 + 1 + 1 17

51 51

De ægyptiske matematikere (skriverne) anvendte brøkregning, når de skulle afregne med arbejderne, fx ved de store pyramidebyggerier. De havde ikke penge, lønnen blev udbetalt i fx brød og øl, så de skulle være i stand til at omregne næringsværdien i en type brød til en anden type, eller til næringsværdien af øl. De havde bestemte metoder til at dividere og dermed omskrive brøker. For dem ville omskrivningen ovenfor være:

5 = 1+ 1

16 4 16 7 = 1+ 1+ 1 + 1 17

136

Øvelse 7.17 a) Forklar, hvad der sker, trin for trin i omskrivningen ovenfor. b) Prøv at udfordre hinanden med omskrivning af brøker til sum af stambrøker.

Eksempel: Ægyptisk matematik På bogens website er der adgang til et projekt om den ægyptiske matematik.

2. Regning med tal 2.1 Sådan regnes med tal og med parenteser Symbolerne: +, – , ∙ , : og = stammer fra 1500-1600-tallet. Det første lighedstegn i historien findes således skrevet i en bog i 1557. Før den tid blev alt skrevet med ord. Regnestykket

3 + 4 ∙ 5 = 23

ville lyde: "Gang 4 med 5, resultatet heraf er 20. Læg 3 til 20, det er lig med 23. Dette er resultatet".

Øvelse 7.18 Skriv på samme måde med ord regnestykket:

15 – 12 : 3 = 11

255

Bogen fra 1557 er en lærebog i regning, skrevet af englænderen Robert Recorde (1510-1558). På siden, der er gengivet, kan vi fx se ligningen som oversat til moderne skriftform svarer til ligningen 14x + 15 = 71 Vi kan også læse Robert Recordes begrundelse for at benytte = i stedet for ord (her gengivet på moderne engelsk): "And to avoid the tedious repetition of these words: ’is equal to’ I will set as I do often in work use, a pair of parallels, or twin lines of one length thus: =====, because no 2 things can be more equal." De gamle regnestykker fylder meget, og de er lidt vanskelige at overskue. Men vi får at vide præcis, hvad vi skal. I et moderne regnestykke står der ikke, i hvilken rækkefølge tingene skal gøres. Derfor må vi have nogle faste regler.

Praxis: Regning med fortegn og parenteser Fortegnsregler: + · + = + + · – = – – · + = – – · – = + Parentesregler:

256

Nr.

Regel

Eksempel

Hvis der er en parentes, der kan regnes ud, gøres det først.

Hvis parentesen ikke kan regnes ud først, ganges den ud, eller den hæves.

5 · (7 + x) = 5 · 7 + 5 · x = 35 + 5x –3 · (2x + 1) = –3 · 2x – 3 · 1 = –6x –3 4 – (2 – 8x) = 4 – 2 + 8x = 2 + 8x 9 + (6x –5) = 9 + 6x – 5 = 4 + 6x

Hvis to parenteser ganges sammen, så ganges alle led fra den ene parentes med alle led fra den anden parentes.

(3 – 4x) · (5 + 6y) = 3 · 5 + 3 · 6y – 4x · 5 – 4x · 6y = 15 + 18y – 20x – 24xy

Hvis et udtryk (uden parenteser) indeholder flere af regningsarterne, så udregnes gange (∙) og division (:) først, og derefter plus og minus.

Korrekt: 2 + 3 · 4 = 2 + 12 = 14 Forkert: 2 + 3 · 4 = (2 + 3) · 4 = 5 · 4 = 20 Korrekt: 15 – 9 : 3 = 15 – 3 = 12 Forkert: 15 – 9 : 3 = (15 –9) : 3 = 6 : 3 = 2

5 · (7 + 3) = 5 · 10 = 50

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Øvelse 7.19

Hvorfor gælder fortegnsreglerne?

På bogens website findes et materiale, der giver to typer argumenter for fortegnsreglerne: • dels et aritmetisk argument ud fra systematikken i gangetabellerne • dels et geometrisk argument ud fra ligedannetheder.

Praxis: Kvadratsætninger De såkaldte kvadratsætninger er nogle specielle parentesregler. 1. ( a + b)2 = a2 + b2 + 2 ab Med ord siger vi: Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus det dobbelte produkt. 2. ( a − b)2 = a2 + b2 − 2 ab Med ord siger vi: Kvadratet på en toleddet størrelse er kvadratet på første led plus kvadratet på andet led minus det dobbelte produkt. 3. ( a + b) ⋅ ( a − b) = a2 − b2 Med ord siger vi: To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på første led minus kvadratet på andet led.

Øvelse 7.20

Kvadratsætningerne forlæns

Vis de tre kvadratsætninger ved at anvende parentesregel nr. 3 ovenfor. Kvadratsætningerne er uhyre nyttige, og vi vil møde dem mange forskellige steder i matematik.

Øvelse 7.21

Kvadratsætningerne baglæns

Kvadratsætningerne anvendes ofte "baglæns", fx til at omskrive et udtryk til et kvadrat, som følgende: 2 2 x + 10 x + 25 = ( x + 5)

Læg mærke til, at tallet 5 er det halve af koefficienten til x. Omskriv selv følgende: 1) x 2 + 12 x + 36

3) 4 y 2 − 9 z 2

2) x 2 − 8 x + 16 4) 4 m2 + 40 m + 100

257

Øvelse 7.22 a

Kvadratsætningerne geometrisk

Lad os antage, at a og b er positive tal, og lad os repræsentere dem med linjestykker af denne længde. a) G iv et geometrisk argument for den første kvadratsætning ved at lade a og b udgøre siderne i et rektangel som vist på figuren. b) K onstruer selv figurer, der kan anvendes i en argumentation for anden og tredje kvadratsætning.

Eksempel: Udregning ved brug af Pascals trekant Udregnes tilsvarende den tredje, fjerde osv. potens af (x + y) på et værktøj, får vi:

( x + y )2 = x 2 + 2 xy + y 2

hvor de tre koefficienter er: 1 2 1 hvor de fire koefficienter er: 1 3 3 1

( x + y )3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 xy 2 + y 3 ( x + y ) = x + 4 x y + 6 x y + 4 xy + y 4

hvor de fem koefficienter er: 1 4 6 4 1

Disse koefficienter kan opstilles i en trekant, hvor man meget enkelt får næste række ud fra den foregående som vist på figuren.

Trekanten kaldes Pascals trekant efter en af de matematikere, Blaise Pascal (1623-1662), der studerede denne. I kapitel 0 handler afsnit 2 om Pascals trekant. Sammenlign de tre øverste gule rækker med de tre formler oven for. Benyt den 4. gule række til at opskrive, hvad fx (x + y)7 er.

1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1

Øvelse 7.23 Har du brug for at genopfriske reglerne i hele dette afsnit, kan du finde træningsopgaver via bogens website.

258

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

2.2 Brøker og decimaltal, eksakt og tilnærmet Regning med brøker videreudvikledes i middelalderens og renæssancens Europa bl.a. i tilknytning til løsning af komplicerede arvesager. I Norditalien begyndte man i 5 1200-tallet at bruge brøkstreger og skrive tal som 16 , 127 osv. En brøk som 165 kunne være et udtryk for den andel af en arv, som en bestemt person ville få tildelt. Det var før decimaltallenes tid. Via bogens website kan du finde et dokument om, hvorfra vi har den moderne notation for brøker og decimalbrøker. 5 I dag vil vi normalt forholde os til tallet 16 ved at opfatte brøkstregen som en division 5 og lave divisionsstykket 5:16 på vores værktøj. Det giver 0,3125. Altså er 16 = 0,3125.

Øvelse 7.24

Fra brøker til decimaltal

a) O mskriv følgende brøker: 23 5

, 497 , 163 , 83 , 257 , 10 13

til decimaltal i et værktøjsprogram. b) Kan du se et mønster i dine omskrivninger? c) Beskriv, hvilke typer decimaltal vi kan få ved at omskrive brøker som ovenfor. d) Kan du argumentere for, at en omskrivning altid vil følge det mønster, du har beskrevet?

Hvis vi skriver 31 = 0, 333 , har vi smidt de efterfølgende cifre væk. 0,333 er ikke nøjagtig 1 det samme som 31 . Vi kalder 0,333 for en tilnærmet værdi (eller en afrundet værdi) til 3 . Når man anvender matematik i andre fag, er man normalt tilfreds med tilnærmede værdier.

Øvelse 7.25 Udregn med dit værktøjsprogram en tilnærmet værdi til:

2 med 4 decimaler

1) 2)

2 3

med 5 decimaler

3) sin(72) med 3 decimaler

Eksempel: Tallet π For år tilbage anvendte man af og til tallet 22 i stedet for π. Selv om 22 "ser præcis ud", 7 7 så er det også en tilnærmet værdi til π. Et værktøjsprogram giver med 9 decimaler:

π = 3,1415926536

22 = 3,1428571428 7 Begge tal er uendelige decimaltal, men det er helt forskellige typer af tal.

259

Tallet π kender man i dag med flere tusinde milliarder decimaler. Der er ikke noget mønster i rækken af decimaler. π er det, vi kalder et irrationalt tal. For tallet 22 ser vi, at der kommer en gentagelse af decimalerne efter en vis 7 periode. Et sådant tal kaldes et periodisk decimaltal. Man kan vise, at brøker og periodiske decimaltal i virkeligheden er det samme. Dette behandles nærmere i afsnit 3. Vi har en særlig skrivemåde for periodiske decimaltal: ver, at perioden på de 6 tal gentages i det uendelige. John von Neumann anvendte ENIAC, den første digitale computer, til at beregne π. Via bogens website kan man finde en kronologisk liste over, hvor mange af π’s decimaler man har kendt fra de ældste tider til vor tids rekord. Denne var i 2016 22.459.157.718.361, beregnet af Peter Trueb på en hjemmecomputer med programmet y-cruncher. Det tog 105 dage.

22 7

= 3,142857 , hvilket angi-

Det modsatte ord af tilnærmet værdi er ordet eksakt værdi. Tal som π, 2 og cos(25°) repræsenterer eksakte værdier. Det gør tal som 5 og 7 også. Er en sidelængde 5, så er den præcis 5. Men får vi oplyst, at et resultat er 5,0 kan vi ikke vide, om det er tilnærmet, eller om det er præcis 5. Det afhænger af sammenhængen. Man kan normalt ikke se på et facit, om der er regnet eksakt eller tilnærmet. Det afhænger af, hvilke værdier vi har fået oplyst.

Eksempel: Eksakte værdier skal ikke altid foretrækkes Hvis vi skriver 2 = 1,4 er det en (ret grov) tilnærmelse. Hvis vi skal udregne hypotenusen i en retvinklet trekant med kateterne a = 0,5 og b = 1,2, og resultatet afleveres som c = 1,3 , så har vi regnet eksakt. Hvis vi i denne trekant skal udregne vinkel A og afleverer resultatet som ∠A = 22,6°, så er det en tilnærmet værdi. Den eksakte værdi er ∠A = sin−1( 01,,35 ). Men der er ikke megen informationsværdi i dette resultat, så man kan ikke generelt sige, at eksakte resultater er bedre eller finere end tilnærmede. Det afhænger af situationen.

Øvelse 7.26

Eksakt eller tilnærmet beregning

Undersøg dit værktøjsprogram: a) Hvordan indstilles det til at regne eksakt? Hvordan til at regne tilnærmet? b) Hvordan indstilles det til at regne med et bestemt antal decimaler, fx 6?

Det er normalt meget lettere at regne med decimaltal end med brøker. Det er også let15 tere med ét blik at overskue størrelsen af tallet 0,306 end af tallet 49 . Når man sammenligner talstørrelser, er decimaltal uundværlige. Hvem kan uden en 37 omskrivning til decimaltal overskue, hvilket af tallene 2 og 26 der er størst? Hvis der ikke er et krav om at regne eksakt i en bestemt opgave, så omskriver vi normalt alle resultaterne til decimaltal.

Øvelse 7.27

Afsæt tal på en tallinje

Marker på en tallinje, hvor følgende tal ligger i forhold til hinanden: e, 10 , ln( 20 ), π,

260

35 . 13

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

2.3 Sådan regnes med brøker Ikke alle brøker, vi støder på, er rene talbrøker, der kan omskrives til decimaltal. Ofte indgår der bogstaver og ukendte størrelser i matematiske problemer. Derfor er det nødvendigt at kende reglerne for brøkregning.

Praxis: Brøkregler I en brøk kaldes tallet foroven for tælleren, og tallet forneden for nævneren. Nr.

Regel

Man må forlænge brøker ved at gange med samme tal både i tæller og i nævner:

5 5 ⋅ 3 15 = = 8 8 ⋅ 3 24 3 x 3 x ⋅ 6 18 x = = a a⋅3 6a

Man må forkorte brøker ved at dividere med samme tal både i tæller og i nævner:

15 15 / 5 3 = = 65 65 / 5 13

Kun brøker med samme nævner kan reduceres til én brøk. Har tallene forskellige nævnere, forlænges derfor til en fællesnævner:

3 1 3 8 3 + 8 11 + = + = = 16 2 16 16 16 16

Eksempel

Man ganger en brøk med et tal ved at gange tallet på tælleren:

Man dividerer en brøk med et tal ved at gange tallet på nævneren:

6 x2 ⋅ y 6 x ⋅ x ⋅ y 2 x = = 3x ⋅ y2 3x ⋅ y ⋅ y y

4 5 4 ⋅ 2a 5 8a 5 8a + 5 + = + = + = 3 a 6 a2 3 a ⋅ 2 a 6 a2 6 a2 6 a2 6 a2 5⋅

3 5 ⋅ 3 15 = = 7 7 7

3⋅

5 3⋅5 5 = = 6x 6x 2x

3 3 3 :5= = 7 7 ⋅ 5 35 5 1 5 :5= = 6x 6x ⋅ 5 6x

Øvelse 7.28

a) Forklar ved eksemplerne til hver af de fem regler, hvad der sker i hvert skridt.

b) Hvorfor hedder det tæller og nævner? Undersøg oprindelsen til ordene.

Øvelse 7.29

a) Forklar, hvorfor vi må forlænge? Hvorfor vi må forkorte?

b) Forklar, hvorfor vi må lægge brøker med samme nævner sammen, som vi gør? =c c er ens, når ad = bc. c) Argumenter for, at brøkerne a a= og bb dd

261

Øvelse 7.30

Vi behøver ikke flere brøkregler end de 5

I brøkregningen har man også andre regler, men det er faktisk tilstrækkeligt med de 5. a) D er findes en regel for division af brøker – hvordan lyder den? Giv et eksempel. Opstil divisionen, og anvend i stedet reglerne ovenfor. b) D er findes en regel for at gange to brøker – hvordan lyder den? Giv et eksempel. Opstil gangestykket, og anvend i stedet reglerne ovenfor.

Øvelse 7.31 Via bogens website kan du finde opgaver i brøkregning, hvis du har behov for at træne.

2.4 Eksponentiel notation - sådan skrives store tal og små tal Øvelse 7.32

At udtrykke store tal med ord

a) P røv at læse følgende tal højt: 5431, 75982, 127.226.870.663.541.369.449.751 Bemærk, vi har brugt et punktum som en såkaldt tusindtalsseparator for at lette overblikket over tallet. Dette gør man i mange fag, der arbejder med store tal. b) Hvor mange forskellige talord bruger vi for at kunne læse tallet 5431? c) Hvor mange forskellige talord bruger vi for at kunne læse tallet 75982?

Det er besværligt at læse meget store tal op på denne måde. Store tal gives normalt på en anden form, hvor vi samtidig laver tilnærmede værdier: • 127.226.870 skrives og udtales fx 127,2 mio. (millioner) • 63.541.369.449.751 skrives og udtales 63.541 mia. (milliarder) eller 63,5 billioner

Eksempel: Eksponentiel notation Selv om der også er talord for endnu større tal, så anvendes normalt eksponentiel notation i stedet, dvs. 8 • 127.226.870 skrives 1,27 · 10 13 • 63.541.369.449.751 skrives 6,35 · 10 Det er både kortere og lettere at overskue. I eksponentiel notation er det en regel, at tallet foran titalspotensen altid skal være et 8 7 9 tal mellem 1 og 10. Vi skriver 1,27 · 10 , og hverken 12,7 · 10 eller 0,127 · 10 . Eksponenterne 8 og 13 angiver, hvor mange pladser til højre kommaet skal flyttes. 8 Får vi oplyst tallet 1,27 · 10 , og ønsker vi at skrive det ud, bliver det 127.000.000. Så det er et tilnærmet tal.

262

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Øvelse 7.33 a) S kriv tallene i eksemplet ind i dit værktøjsprogram. Hvad står der på skærmen? 13 Ofte vil man møde notationen E13 i stedet for 10 , men det betyder det samme. 12

b) Udregn: 4,5 · 10 · 7,2 · 10 .

Eksponentiel notation udnyttes af mange forskellige fag til at angive meget store tal: Kemi:

Avogadros konstant, der er defineret som antallet af kulstof 12-atomer i 12 g af stoffet, og som anvendes i 23 stofmængdeberegninger, er ca. 6,02214 · 10 .

Fysik:

Anslået antal partikler i universet er 10 .

Astronomi:

Afstanden til Andromeda-galaksen er ca. 2,18 · 10 km.

Eksempel: Googol og googolplex I matematik opereres af og til med helt uvirkeligt store tal, som ikke findes repræsenteret noget sted i universet. Det største tal med et eget 100 navn var i en årrække tallet 10 , dvs. 1 efterfulgt af 100 nuller. Dette kaldes på dansk gogol og på engelsk googol. Det er dette ord, søgemaskinen Google har taget. Senere indførte andre matematikere ordet gogol gogolplex, som er 10 , dvs. 1 efterfulgt af gogol nuller. På engelsk hedder det googolplex, og det er deraf navnet på Googles hovedkvarter kommer. Find selv på nettet Apples adresse. Hvad betyder det?

Øvelse 7.34

Kan universets størrelse beskrives med tal?

Hvor mange sandkorn skal der til for at fylde universet? På bogens website ligger et projekt om, hvorledes Archimedes for 2000 år siden forsøgte at svare på spørgsmålet.

Også meget små tal kan skrives kort og overskueligt: –4 • 0,00057 skrives 5,7 · 10 –9 • 0,0000000039 skrives 3,9 · 10 Eksponenterne –4 og –9 angiver, hvor mange pladser kommaet skal flyttes til venstre. 1 1 = 1 Med denne vedtagelse er 10 −1 = 0,1 = 10 , og 10 −2 = 0, 01 = 100 osv. Dette er 102 helt i overensstemmelse med, hvordan vi generelt definerer potenser med negative eksponenter: a− n = a1n , fx 3−5 = 15 . Dette er omtalt nærmere i kapitel 3, Procent- og 3 rentesregning.

263

Eksponentiel notation udnyttes af mange forskellige fag til at angive meget små tal:

Eksempel fra biologi Virus er så små, at de ikke kan ses i almindelige mikroskoper. Derfor opdagede man dem også først for ca. 100 år siden (1892). I dag ved vi, at de er årsag til utallige sygdomme, fra forkølelser og influenza til kopper og HIV. –9 Længder i denne mikroverden måles ofte i nanometer, som er 10 meter. Virus er fra ca. 20 til ca. 300 nanometer. Det største kendte virus er koppevirus, der ses til venstre.

Eksempel fra kemi Hydrogen 1s1

Massen af et brintatom (hydrogenatom) er: –24 • 0,00000000000000000000000167 g = 1,67 · 10 g. Da brint er det første atom i rækken, blev dette i gamle dage anvendt som en enhed for 1 atomers masse, kaldet dalton. I dag anvendes enheden: 1 u = 12 af massen af kulstof 12-atomet, der har 12 partikler i atomkernen. u står for unit. –24 1 u = 1,66 · 10 g, altså næsten det samme som en dalton.

Eksempel fra fysik +

Man kender i dag fire fundamentale kræfter, som virker mellem elementarpartiklerne, nemlig den stærke kernekraft, den svage kernekraft, tyngdekraften og elektromagnetismen. Blandt dem er tyngdekraften den absolut svageste. Sættes den elektromagnetiske tiltrækning mellem en positivt og en negativt ladet par–38 tikel til 1 enhed, så svarer tyngdekraften mellem dem til 10 enheder. Men Jorden består af mange partikler, der alle påvirker os, så vi falder faktisk ned igen, når vi hopper.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 2.

3. Talmængderne (især for A-niveau) Tallene 1,2,3,4, … kaldes som tidligere nævnt for de naturlige tal. Mængden af naturlige tal betegnes i matematik med symbolet .

Øvelse 7.35

Primtal

Et primtal er et naturligt tal, der er større end 1, og hvor de eneste tal, der går op ved division, er tallet selv og tallet 1. Et sammensat tal er et tal, der ikke er et primtal. Tallene 7 og 13 er eksempler på primtal. Tallene 8 og 15 er eksempler på et sammensatte tal, da tallene 2 og 4 går op i 8, og tallene 3 og 5 går op i 15. a) Opskriv alle primtal under 30. b) Hvilke af tallene fra 80 til 89 er primtal?

264

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Øvelse 7.36

Der er uendeligt mange primtal

Der er uendeligt mange primtal. Men der er tilsyneladende ikke noget system i, hvordan primtallene ligger på tallinjen, og man kender ikke nogen metode til hurtigt at afgøre, om et tal er et primtal. Dette udnyttes i moderne kryptering til at lave koder, der ikke kan brydes. På bogens website ligger et projekt om primtal.

Når vi udvider mængden af naturlige tal, , med tallet 0 og med de negative tal, får vi alle de hele tal: … , –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … (osv. i det uendelige til begge sider). Mængden af hele tal betegnes i matematik med symbolet .

Øvelse 7.37

Sammenligning af uendeligheder

Set fra én synsvinkel er der flere naturlige tal, end der er lige tal. Sådan vil de fleste nok anskue det. Men det er uendelige mængder, og så sker der noget mærkeligt. Skuffeprincippet fortæller, at hvis vi kan parre skuffer og sokker sammen, eller generelt, hvis vi kan parre objekterne i to mængder sammen to og to, så er der lige mange i hver mængde. Dette princip udvides nu til at gælde for uendelige mængder: To mængder er lige store, hvis deres objekter kan parres sammen to og to. a) Vis, at der er lige mange positive lige tal og naturlige tal. b) Vis, at der er lige mange naturlige tal og kvadrattal, dvs. tallene 1, 4, 9, 16 … I Hvad er matematik? 3 vil vi fordybe os i begrebet "uendeligt", både uendeligt stort og uendeligt småt. Du vil godt kunne forstå det indledende materiale, som linkes til her. Når vi udvider mængden af hele tal med alle brøkerne mellem de hele tal, får vi de rationale tal. Mængden af alle rationale tal betegnes i matematik med symbolet .

Eksempel: Brøker og periodiske decimaltal I øvelse 7.24 argumenterede vi for, at en brøk altid kan skrives som et periodisk 409 = 1, 23939... = 1, 30769230769... og 330 decimaltal, som fx 17 13 De to decimaltal skrives også således:

17 13

409 = 1, 239 . = 1, 307692 , og 330

Der gælder også det omvendte, at et periodisk decimaltal kan omskrives til en brøk mellem to hele tal. 25693 Fx kan tallet 2,5718718… omskrives til brøken 9990 . På bogens website ligger et projekt om dette, hvor vi bla. viser, at 0,999…. = 1.

265

Eksemplet fortæller, at mængden af rationale tal er den samme som mængden af periodiske decimaltal, idet vi opfatter tal som 3 eller 2,5 som periodiske decimaltal med perioden 0. Ethvert decimaltal, også tal hvor decimalerne efter kommaet fortsætter i det uendelige, kan afsættes på en tallinje og repræsenterer derfor et tal. Mængden af alle tal på tallinjen kaldes for mængden af reelle tal. Mængden af alle reelle tal betegnes i matematik med symbolet . De reelle tal, som ikke er rationale, dvs. som ikke kan skrives som et periodisk decimaltal, kaldes for de irrationale tal. Der er ikke et særligt symbol for disse tal.

Øvelse 7.38

Inkommensurable forhold – irrationale tal

2 er et irrationalt tal, dvs. det kan ikke skrives som en brøk mellem to hele tal. Uden decimaltallene er det svært at forstå de irrationale tal. De græske matematikere kendte ikke decimaltal skrevet som talsymboler, men arbejdede fx med geometriske forhold. På bogens website er der et projekt om grækernes opdagelse af de såkaldte inkommensurable forhold i geometri, der netop svarer til opdagelsen af irrationale tal. Denne opdagelse gav i eftertiden anledning til mange overvejelser om matematikkens opbygning og er blevet kaldt den første grundlagskrise i matematikken.

Eksempel: Algebraiske og transcendente tal

π er et irrationalt tal, som endda er endnu mere kompliceret end tal som 2 . 2 har den pæne egenskab, at hvis vi opløfter det i anden, får vi et helt tal, nemlig 2. Man kan også sige det på en lidt anden måde. 2 2 er en løsning til ligningen: x – 2 = 0. 3 3 Tilsvarende er 7 en løsning til ligningen x – 7 = 0. Løsninger til ligninger som disse eller mere generelt til ligninger som 3 x 4 − 5 x 3 + x − 10 = 0 kaldes for algebraiske tal. Der findes ikke nogen ligning med hele tal som koefficienter, hvor π er en løsning. π er et såkaldt transcendent tal. I den græske tradition forstod man π geometrisk, nemlig som forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter. Tallet π kom de aldrig rigtig i nærheden af at forstå. Det var først i 1600-tallet, at den engelske matematiker John Wallis (1616-1703) foreslog, at π også kunne forstås som et tal. Men et tal, der var helt anderledes end de tal, man kendte. I 1882 beviste den tyske matematiker Ferdinand von Lindemann (18521939), at π hører til de transcendente tal. Det vender vi tilbage til på A-niveau.

266

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Øvelse 7.39

Eksempler på irrationale tals decimaludvikling

Man kan vise, at der er mange flere irrationale tal end rationale tal. Betragt følgende to tal: • 0,1010010001000010000010… • 0,1234567891011121314… a) Hvad er systemet i decimalerne? Opskriv de næste 8 cifre og b) Argumenter for, at tallene ikke er rationale tal. c) Opskriv selv to andre irrationale tal.

Praxis: Talmængder Vi anvender følgende betegnelser: De naturlige tal : {1,2,3,4, … } De hele tal : { … –3,–2,–1,0,1,2,3, …} De rationale tal : Mængden af alle tal, der kan skrives som en brøk med hele tal i tæller og nævner. De reelle tal : Mængden af alle tal på tallinjen.

Vi har nu udvidet talmængderne: → → → . Men det stopper ikke her. Næste trin er at gå fra endimensionale til todimensionale tal, dvs. tal der afsættes i hele planen. Denne udvidelse til de såkaldte komplekse tal, opdagede man for ca. 200 år siden. Dette er nærmere omtalt i indledningen til kapitel 6, Vektorer og trigonometri.

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 3.

4. Ligninger 4.1 Formler – naturligt sprog og symbolsprog Archimedes var den første, der opdagede formlen for arealet af en kugles overflade. Han udtrykte formlen således: Overfladearealet af en kugle er lig med arealet af fire cirkelskiver, der hver har samme radius som kuglens radius. I dag siger vi: Overfladearealet O af en kugle med radius r kan beregnes ved formlen: O = 4· π· r Da arealet af en cirkelskive med radius r er lig med 2

π · r 2, ser vi, det er samme formel.

267

Selv om Archimedes formulerede sig elegant om denne formel, er det klart, at det hurtigt kan blive kompliceret, hvis man kun anvender naturligt sprog og ikke symbolsprog til at beskrive variabelsammenhænge. Ideen med at anvende bogstaver som a, b, c, og x, y, z til tal og ukendte størrelser går tilbage til omkring 1600. Før den tid kendte man, som eksemplerne viser, også til formler, fx formler for arealer og rumfang. Man stillede sig opgaver, hvor der skulle beregnes ukendte størrelser. Det gælder både i oldtiden og i renæssancen. Men opgaverne var formuleret sprogligt, og når man beskrev løsningsmetoden, kaldte man ofte den ukendte for ’tingen’ (italiensk: la Cosa). Det blev siden forkortet til C, ligesom plus og minus på et tidspunkt bliver forkortet til p og m. Opgaverne i den sene middelalder og i renæssancen, dvs. i perioden 1100–1600, handlede som oftest om handel, håndværksarbejde, arvesager og lignende praktiske gøremål, men vi ser også her som i det gamle Grækenland, at matematikerne begynder at stille sig selv og andre rene matematikopgaver for at udfordre tanken. Hvor langt kan vi nå fx mht. ligningsløsning?

Øvelse 7.40

Ligningsløsning uden brug af symboler

På bogens website findes et projekt med eksempler på problembehandling og ligningsløsning fra før symbolernes tid.

Øvelse 7.41

Potenser og fysiske dimensioner

Grækerne repræsenterede både tal og ubekendte størrelser med linjestykker. y

x x+y

a) Hvis x (med moderne betegnelse) svarer til et bestemt linjestykke, hvad svarer så x 2 og x 3 til? 4

b) Hvordan skulle man forklare, hvad x betyder? c) Hvis x og y er linjestykker, hvordan ville grækerne så tolke udtryk som • x2 · y ? • 2x · y 2 + 3x 2 · y ? 3

d) Hvad ville grækerne sige til udtryk som 2x + 3x + 5x ? Da man i slutningen af middelalderen genopdagede den græske kultur og videnskab, opstod opfattelsen af, at det var en svunden guldalder. Den græske matematik og filosofi fik kolossal indflydelse, og vi skal helt frem til 1500-tallet, før man i Europa når nogle skridt længere end de græske matematikere. Da man i renæssancen begynder

268

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

at løse problemer, grækerne ikke kunne løse, bidrog det meget til den nye selvbevidsthed og tro på menneskets muligheder. I 1545 lykkes det således italienske matematikere at løse tredjegradsligninger, noget ingen før dem havde gjort. Men selv på det tidspunkt er man tilbageholdende med at opstille udtryk med et x i 4. potens, for hvad skulle det betyde? Der er ingen faste regler for, hvad de forskellige symboler i alfabetet anvendes til, men der er nogle traditioner knyttet til bestemte formler eller bestemte emner i matematik. Andre fag bruger ofte andre variabelnavne, end vi er vant til i matematik. Det er godt at vænne sig til, men det er også altid tilladt at skifte navn på en variabel, når blot man gør opmærksom på det. Førsteudgaven af Ars Magna, hvori forfatteren Cardano (15011576) præsenterer en formel for løsning af tredjegradsligninger. Bogens titel betyder Den store kunst og har som undertitel: Den første bog om algebraens regler. Algebra var dengang synonym med ligningsløsning.

I moderne værktøjsprogrammer vil det ofte være naturligt at indføre betegnelser for de variable, som ikke er begrænset til et bogstav. Undersøger man drenges og pigers præstationer, kan det være naturligt at betegne de variable som drenge og piger. Uanset i hvilke fag eller med hvilke formler man arbejder, er det vigtigt altid at fortælle, hvad bogstaverne eller de øvrige betegnelser står for. Ellers er det uforståeligt for andre.

Eksempel: Pythagoras' sætning som formel og som sprog 2

Hvad siger Pythagoras sætning? Hvis man blot svarer: Den siger at a + b = c , så er det meningsløst, for hvad er a, b, og c? Udtrykt med almindeligt sprog siger sætningen: I en retvinklet trekant gælder, at summen af kvadratet på kateterne er lig med kvadratet på hypotenusen. Udtrykt med formelsprog siger sætningen: I en retvinklet trekant, hvor kateterne er a og b, og hypotenusen er c, gælder formlen: 2 2 2 a +b =c.

Øvelse 7.42

Fra sprog til formel

Man får oplyst, at en person har indtaget 15 mg amfetamin, og at kroppen gennemsnitligt udskiller 16% pr. time af den mængde stof, man har tilbage i kroppen. Opstil en matematisk model, der beskriver situationen. t En elev svarer: y = 15 · 0,84 . Hvad mangler der i besvarelsen, for at den er tilfredsstillende?

Øvelse 7.43 Find tre formler fra andre fag, og forklar, hvad symbolerne betyder, og hvad formlerne udtrykker. Illustrer med taleksempler.

269

Øvelse 7.44

Formler med angivelser af forbehold

Når formler ikke gælder for alle tal, angiver man det ofte for at undgå misforståelser. I kapitel 1 viser vi under emnet lineære sammenhænge følgende: Den rette linje, der går gennem punkterne (x1,y1) og (x2,y2), har en hældningsy − y1 , hvor x1 ≠ x2 . koefficient a, der kan beregnes ved hjælp af formlen: a = 2 x2 − x1 Hvorfor skriver vi x1 ≠ x2 ? Hvordan ville linjen ligge i koordinatsystemet, hvis x1 = x2? Prøv evt. at indsætte tal.

4.2 Regler for løsning af ligninger – omvendte operationer En ligning er en påstand, der udtrykker, at to størrelser er ens fx: 2

7,3 = 5,1 + b

1,7x – 3,1 = 5,9x + 2,8 En ligning udtrykker, at de to størrelser er i balance. Man kan forestille sig det som en gammeldags vægt med to vægtskåle. Fjerner vi noget, eller tilføjer vi noget på den ene skål, bliver der ubalance, hvis ikke vi gør præcis det samme på den anden skål. Men foretager vi samme operationer på begge sider, gælder lighedstegnet stadig. Dette kaldes balanceprincippet. Vi har i det foregående løst mange ligninger og sammenfatter her reglerne for ligningsløsning:

Praxis: Regler for ligningsløsning Nr. Regel

270

Reglen i praksis

I en ligning må samme led lægges til eller trækkes fra på begge sider af lighedstegnet:

Når et led skifter side, skifter det også fortegn.

I en ligning må man gange eller dividere med samme tal på begge sider af lighedstegnet (blot ikke med tallet 0):

Når en faktor skifter side, bliver gange til division. Når en nævner i en brøk skifter side, bliver division til gange.

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Eksempel: Ligningsløsning med brug af reglerne Løses en simpel ligning som 6x – 3 = 2x + 7 efter disse regler, ser det således ud (forklar selv, hvor reglerne er i brug!):

Ligningsløsning med regler 6 x − 3 = 2x + 7

Ligningsløsning i praksis 6 x − 3 = 2x + 7

6 x − 3 + 3 = 2x + 7 + 3 6 x = 2 x + 10

6 x = 2 x + 10 4 x = 10

6 x − 2 x = 2 x + 10 − 2 x 4 x = 10 4 x 10 = 4 4 10 x= 4 5 x= 2 x = 2, 5 Konklusion: x = 2,5

10 4 x = 2, 5 x=

Eksemplet illustrerer, at ligningsløsning kan betragtes som en dynamisk proces, hvor vi hele tiden anvender modsatte eller omvendte funktioner af det, der står i udtrykkene, her: • –3 ophæves af det modsatte tal +3 • 2x ophæves af det modsatte led –2x • Gange med 4 ophæves af den omvendte operation: division med 4. Dette gælder generelt, også for trigonometriske, eksponentielle og logaritmiske ligninger eller ligninger med potenser og rødder: En bestemt operation ophæves ved samtidig at anvende den omvendte operation på den anden side af lighedstegnet.

Praxis: Omvendte operationer Operationen

Omvendte operation

Operationen

Omvendte operation

–

sin( .. )

sin ( .. )

–

cos( .. )

cos ( .. )

: (eller / )

tan( .. )

tan ( .. )

: (eller / )

(..)2

ln(x)

(..)2

(..)a a

log(x)

–1

ln(x) e

log(x) 10

(..)a

271

Eksempel: Brug af omvendte operationer a) cos(A) = 0,83 løses ved at bruge den omvendte operation: –1 A = cos (0,83) = 33,9° b) log(M) = 2,9 løses ved at bruge den omvendte operation: 2,9 M = 10 = 794,3 2,3

c) x = 68 løses ved at bruge den omvendte operation: 2,3 x = 68 = 6, 3 3x d) e = 200 løses ved at bruge omvendte operationer:

3 x = ln( 200 )

1 ⋅ ln( 200 ) = 1, 8 3

Bemærk: Før man kan bruge en omvendt operation til løsning af en ligning, skal den først være omskrevet og reduceret til simple former som dem i eksemplet ovenfor. Optræder den ubekendte kun ét sted, kan ligningen altid løses ved skridt for skridt at bruge omvendte operationer. De omvendte operationer skal anvendes på hele udtrykket, der står på hver side af lighedstegnet.

Øvelse 7.45

Euklids regler for ligningsløsning

Den mest berømte lærebog i matematik, der nogensinde er skrevet, hedder Elementer og er forfattet af Euklid ca. år 300 f.v.t. til brug for matematikundervisningen i Alexandria i Ægypten. Euklids Elementer består faktisk af 13 bøger. I starten af første bog er der oplistet 5 almindelige begreber (aksiomer), som man skal overholde i al slags matematik. De tre første af disse lyder:

• Størrelser, der er lige store med samme størrelse, er indbyrdes lige store. • Når lige store størrelser lægges til lige store størrelser, er summerne lige store. • Når lige store størrelser trækkes fra lige store størrelser, er resterne lige store.

Forklar, hvad dette har med regler for ligningsløsning at gøre. På bogens website ligger en oversigt over første bogs definitioner, postulater og aksiomer.

272

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

4.3 Grafisk løsning og formelregning Har man givet en formel af typen: "y = … ", der udtrykker en sammenhæng mellem to variable, vil man normalt starte med at lægge formlen ind i sit værktøjsprogram, idet formlen betragtes som et funktionsudtryk. Har man givet en ligning, hvor to udtryk er sat lig med hinanden, kan hver af de to sider i ligningen betragtes som separate funktionsudtryk. Det gælder også, hvis den ene side blot er en konstant som tallet 9. At løse en ligning svarer nu grafisk til at bestemme skæringspunktet mellem to grafer. 4= Grafisk løsning af ligningen 2x 2–x4− = –

1 x+6 2

Vi aflæser, at (4,4) er et fælles punkt. Det betyder, at x = 4 er en løsning til ligningen. Vi kan indsætte i de to funktionsudtryk og kontrollere, at vi får samme y-værdi, y = 4.

y y = 2x – 4 8 6 (4,4)

y = – 21 x + 6

Når funktionsudtrykkene er indtastet, er næste trin at skabe sig et overblik via tabeller over funktionsværdier. Tabellerne giver indtryk af, hvilke talstørrelser vi arbejder med, og hvordan vi skal indrette graf-vinduet. Endelig tegnes grafen eller graferne, og de grafiske billeder danner udgangspunkt for en grafisk løsning af de spørgsmål, vi er blevet stillet. Til slut skrives konklusionen i almindeligt sprog. Grafisk aflæsning af sammenhørende x-værdier og y-værdier: Her ser vi, at når x = 4, så er y = 7,78 og omvendt, når y = 4, så er x = 1 eller x = 11.

(4,7.78)

6 (11,4) 4

(1,4)

Fremgangsmåden er altså følgende:

√x

x x x

y x x x

...!

273

Øvelse 7.46

Flere strategier i ligningsløsning – formelregning og grafisk løsning

For en bestemt ørredtype i Gudenåen er sammenhængen mellem længden l (målt i cm) og kropsvægten v (målt i g) givet ved: v = 0, 00769 ⋅ l 3,10 a) Indtast formlen i et værktøjsprogram – du må gerne skifte variable først. b) O pstil en tabel over funktionsværdier, hvor l ligger mellem 10 cm og 70 cm, fx med et spring på 10. c) T egn grafen i et passende koordinatsystem, dvs. grafvinduet vælges, så man kan se et passende udsnit af grafen. d) Benyt modellen til at bestemme vægten af en ørred, der er 30 cm, både ved hjælp af formlen og grafisk. e) B enyt modellen til at bestemme længden af en ørred, der vejer 1 kg, både ved hjælp af formlen og grafisk.

Øvelse 7.47

Flere strategier i ligningsløsning – grafisk løsning og brug af solve

Den hastighed, hvormed lyd udbreder sig i luft, afhænger af luftens temperatur og af det atmosfæriske tryk. Ved normalt tryk er hastigheden v (målt i m/s) givet ved: t + 273 273 hvor t er temperaturen målt i °C.

v = 331⋅

a) I ndtast formlen, og opstil en tabel over funktionsværdierne, hvor t løber fra 0 °C til 40 °C, fx med et spring på 5. b) T egn grafen i et passende koordinatsystem, dvs. grafvinduet vælges, så man kan se et passende udsnit af grafen. c) Bestem grafisk hastigheden, når temperaturen er 0 °C og 10 °C. d) Bestem med brug af en solve-kommando luftens temperatur, når hastigheden er 340 m/s. Kontroller resultatet grafisk. e) L øs samme spørgsmål ved trin for trin at anvende de omvendte operationer i dit værktøjsprogram.

274

7. Det matematiske sprog – tal og ligninger

Praxis: Løsning med en solve-kommando Når man anvender en solve-kommando til at løse en opgave, vil man normalt begynde med at opskrive ligningen eller den relevante formel. Derved demonstrerer man, at man har forstået, hvad opgaven går ud på, og fortæller samtidig, hvilken metode der anvendes. Næste trin overlades til værktøjets solve-kommando, og værktøjet svarer i det sprog, som det pågældende værktøj anvender. Man skal afslutte besvarelsen med at konkludere i almindeligt sprog og med brug af almindelig matematisk notation.

Eksempel: Løsning af en trigonometrisk opgave med brug af solve I en retvinklet trekant, hvor ∠A = 57°, og siden b = 12, ønskes hypotenusen c beregnet.

De kendte størrelser defineres med passende betegnelser i et værktøjsprogram: A = 57, b = 12 Vi finder en formel, hvor de tre størrelser indgår b = c · cos(A) De kendte tal indsættes (automatisk i værktøj) 12 = c · cos(57)

57°

Ligningen løses mht. c ved at bruge en solve-kommando: solve(12 = c · cos(57), c)

b = 12

Resultatet bliver c = 22,03

Eksempel: Løsning af en opgave med brug af solve, hvor vi stiller en betingelse til løsningen

I en retvinklet trekant, hvor siden a = 17 og hypotenusen c = 24, ønskes ∠A beregnet . De kendte størrelser defineres med passende betegnelser i et værktøjsprogram: a = 17, c = 24 Vi finder en formel, hvor de tre størrelser indgår a = c · sin(A) De kendte tal indsættes (automatisk i værktøj) 17 = 24 · sin(A)

c = 24

a = 17

Hvis symbolet A er optaget, omdøbes A til vA. Hvis vi nu løser ligningen mht. c ved at bruge en solve-kommando, dvs. solve(17 = 24 · sin(vA), vA), så får vi et udtryk med mere end én løsning. Derfor sætter vi en betingelse på solve-kommandoen svarende til, at A er en vinkel i retvinklet trekant, dvs. den må være mindre end 90°. Det kan se således ud: solve(17 = 24 ⋅ sin(vA) , vA) | 0 < vA < 90 Resultatet bliver ∠A = 45,1°

. På bogens website ligger et lille projekt om løsning af to ligninger med to ubekandte.

Opgaver I opgavebogen findes en række opgaver i tilknytning til dette afsnit.

275

Øvelse 7.48

Krav til udformning af skriftlige besvarelser

Via bogens website kan man finde anvisninger på, hvordan man kan opfylde kravene til en skriftlig besvarelse, når man anvender en solve-kommando.

5. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 7. På websitet ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

276

7. Det matematiske sprog â&#x20AC;&#x201C; tal og ligninger

277

Familier af funktioner

1. Brokonstruktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 1.1 Kædelinjer og de hyperbolske funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Funktioners egenskaber og deres grafiske forløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Definitionsmængde og værdimængde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Maksimum og minimum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Monotoniforhold – voksende og aftagende funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Omvendt funktion – omvendt operation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Asymptoter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

286 286 288 289 291 293

3. 3.1 3.2 3.3

Parametriserede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Forskudt eksponentiel vækst: f(x) = M – b · a x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b Forskudt eksponentiel vækst: f(x) = b · (x – c) 2, g( x ) = b ⋅ x − c , h( x ) = . . . . x−c 2 Andengradspolynomier: p(x) = a · x + b · x + c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294 295 296 298

En verden af funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

Projekter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

I kapitel 1 fortalte vi om, hvordan funktionsbegrebet opstod. I første omgang så det ud til at være en vældig indskrænkning i forhold til begrebet kurve - fx er cirkler jo ikke med i familien af funktioner. Men det viste sig at være et utroligt produktivt begreb, som vi i dag opfatter som helt uundværligt, når der skal opstilles matematiske modeller. Det gælder i fysik, kemi og biologi, det gælder i samfundsfag og økonomiske fag, og det gælder i ingeniørfagene. Funktionsbegrebet er i centrum i den indledende fortælling om den franske ingeniør Gustave Eiffels fantastiske brokonstruktioner.

278

8. Sider og vinkler i vilkårlige trekanter

1. Brokonstruktioner Broer binder landsdele sammen. Broer har i alle civilisationer været en så afgørende del af infrastrukturen, at man med god ret kan hævde, at ingeniørvidenskaben er vokset ud af behovet for store og stabile brokonstruktioner. De store stenbroer og akvædukter er nærmest ikoniske for Romerrigets teknologiske kunnen. Man har anslået, at de byggede ca. 1000 større broer, hvoraf de 400 er velbeskrevne, og mange er forbløffende velbevarede. Stenbroer er i sagens natur ekstremt tunge. Derfor spænder de enkelte buer ikke over særPont du Gard var en del af en 50 km lang akvædukt, der hver dag ligt store distancer. Det største spænd i Pont ledte 20.000 m3 vand til den romerske by, hvor Nimes ligger. du Gard-broen er 24,6 meter. Hovedopgaven var at transportere vand. De romerske ingeniører var i stand til at konstruere akvædukterne med et beskedent fald på kun 1-2 promille, så vandet løb stille og roligt uden at ødelægge noget. Men de kendte ikke til en matematik, der kunne fortælle, hvad der er de mest stabile brokonstruktioner. Broerne er konstrueret ud fra de to mest enkle geometriske konstruktioner, cirklen og linjen. Cirkler er lette at konstruere, og i den græske og romerske naturopfattelse indgik cirkler og kugler som ideale figurer, som alt i naturen stræber efter. Også derfor må halvcirkelbuer være det naturlige valg. De er dog ikke de mest stabile konstruktioner. For en bro med en tyngde som de romerske stenbroer er parabelbuen den mest stabile konstruktion. Parabler ser vi nærmere på i afsnit 3.3. Parabelkurver var faktisk kendt af oldtidens matematikere. Parabler indgår sammen med cirkler, ellipser og hyperbler i en familie af kurver, der kaldes keglesnit. Disse blev dog i oldtiden opfattet som ren matematik, der ikke havde nogen umiddelbare anvendelser. Romerrigets undergang i 476 falder sammen med en kulturhistorisk katastrofe, som verden aldrig har set magen til. Der foregår i denne periode et tab af viden, som det tager mere end 1000 år at overvinde. Bogtabet med afbrændinger og destruktion er så omfattende, at de europæiske bibliotekers samlede bogbestand først i 1800-tallet når op på et niveau som i oldtiden. Du kan læse mere om denne historie via bogens website. I 15-1600 tallet kommer naturvidenskab og matematik langsomt på fode igen, og man finder bl.a. nogle af de glemte skrifter fra oldtiden om keglesnit. De var forfattet af Apollonius (ca. 262 –190 fvt.), der som Euklid var tilknyttet universitetet og biblioteket i Alexandria. Det var Apollonius, der gav de forskellige keglesnit navnene parabel,

279

ellipse og hyperbel. Da Kepler omkring år 1600 leder efter en model, der kan beskrive marsbanen, fører læsningen af Apollonius' skrifter ham på sporet: Planeterne bevæger sig i ellipser. Og da Galilei leder efter kurver, der kan beskrive projektilbaner, sker det samme: De følger parabelbuer. Disse keglesnit er åbenbart naturens "valg" af kurver. Da koordinatsystemet opfindes, og differential- og integralregningen udvikles midt i 1600-tallet, får matematikerne værktøjer, der kan forklare, hvorfor fx parablen er så central en geometrisk figur. Den praktiske ingeniørmæssige brug af denne viden kommer først i kølvandet på den industrielle revolution, hvor man får adgang til støbejern og siden stål i et omfang, så det kommer til at indgå i alle større konstruktioner. Jern er ganske vist tungt, men det har en styrke, så man kan bygge broer, der er lette i forhold til de gamle stenbroer.

Broen Pont de Pierre over floden Garonne ved Bordeaux var Eiffels første værk. Konstrueret 1857- 61.

Øvelse 8.1

Den mest berømte af disse ingeniører blev uden sammenligning Gustave Eiffel (1832 –1923). Foruden hans to mest spektakulære konstruktioner, Eiffeltårnet i Paris og Frihedsstatuen i New York, så har han været hovedkraften bag en lang række broer over hele verden. I den første periode var det broer som den i Bordeaux. Vi genkender ideen i den gamle Lillebæltsbro.

Trekant eller firkant? I broer som Eiffels ved Bordeaux, den gamle Lillebæltsbro, den berømte Firth of Forth ved Edinburgh, du ser her, eller de to øvrige Eiffel-broer, du ser nedenfor, bemærker vi, at den gennemgående geometriske figur er trekanten. Kunne det ikke lige så godt være firkanten?

Broer som de viste er forankret på bropiller, der er bygget ude i den flod eller fjord, broen skal række hen over. Du kan via bogens website se en film om, hvordan Lillebæltsbroens bropiller blev bygget. Men da Eiffel blev bedt om at bygge en bro over Duoro-floden ved byen Porto i det nordlige Portugal, måtte han tænke nyt. For floden er så dyb og har et så voldsomt løb, at man ikke kunne bygge nede på bunden af floden. Eiffel udviklede en konstruktionsmetode, der gør det muligt at lave ét stort spand på 160 meter over floden.

280

8. Familier af funktioner

Som Eiffels illustration viser, bygges der fra hver side, mens konstruktionen holdes fast med wirer. Buerne ligner parabelbuer, men det er ikke angivet direkte i kilderne. Maria Pia-broen over Duoro-floden ved byen Porto er fra 1877. Da den blev bygget, var det

Vi ved, at Eiffel kendte verdens længste spand. til disse konstruktioner, for han anvendte både ellipser og parabler, da han skulle konstruere den store centrale pavillon til verdensudstillingen i Paris in 1867. Og i kildematerialerne til en af hans næste store konstruktioner, Garabit- Garabit-broen over floden Truyere er en jernbanebro, fra 1884. broen i Massif Central, er det eksplicit forklaret, at buen konstrueres som en parabelbue. I forarbejdet til bygningen findes tegningen ovenfor. Kildematerialet kan tilgås via bogens website.

Øvelse 8.2

Eiffel anvender parabler i sine brokonstruktioner

a) Læg hver af de to parabelbuer ind i et passende koordinatsystem, og marker de punkter, du kender koordinaterne til. b) Anvend andengradsregression på dit værktøj til at få beregnet forskrifterne for de funktioner, der har parabelbuerne som grafer. Du kan på bogens website hente en vejledning i, hvordan det gøres. c) Tegn graferne for de funktioner, du bestemmer, og sammenlign.

Men hvorfor er parabelbuer så vigtige for konstruktionen af stærke og stabile broer? Det kan man bedst forstå ved at studere hængebroer, dvs. broer som Storebæltsbroen (højbroen), eller Golden Gate-broen. Det er karakteristisk for sådanne broer, at de bærende kabler på afstand virker som tynde tråde, der bærer brobanen. Når vi har en sådan situation, med bærende kabler, der vejer forsvindende lidt i forhold til den tunge massive kørebane, som kablerne

281

bærer, så vil tyngdekraften trække sådan i hele systemet, at de to bærende kabler vil følge en parabelbue. Når broen står der, er alle kræfter i ligevægt. Lad os betragte to vilkårlige punkter på det bærende kabel, A og C. Brobanen mellem disse punkter er påvirket af tyngdekraften og yder dermed et træk nedad på kablet. Det er    F1 + F2 + F3 på = 0tegningen, som vi har afsat i markeret som vektoren tyngdepunktet. Broen falder ikke ned, så dette træk modGoden Gate-broen udspændt over San Franciscosvares i de to punkter af modsatrettede reaktionskræfter bugten er et af verdens mest kendte ikoner. Da Golden    F1F+ F2F+ Fder 00 og følger kurvens tangentlinjer i de to punkter. Gate blev bygget, var den verdens længste hængebro. 1+ 2 ,+ 3F3= = Kæden er i ligevægt, så summen af de tre kræfter er lig nul:    F1 + F2 + F3 = 0 I fysik lærer man Newtons 2. lov, der siger, at kraften er lig med massen gange acC

   F1 + F2A+ F3 = 0

   F1 + F2 + F3 = 0

  celerationen. Acceleration lyder mærkeligt, når broen hænger stille, men man skal F1 + F2 + F3 = 0

forestille sig, at det er den acceleration, broen ville falde med, hvis kræfterne, der holder den oppe, pludselig forsvandt.

På A-niveau vil vi vende tilbage til denne vektorligning og oversætte den til en differentialligning, som vi kan løse. Og løsningen bliver, at kablet følger en parabel. Det interessante er nu, at hvis vi "fryser" dette system, dvs. betragter det som et helt stift system, og så vender det på hovedet, så er kræfterne stadig i ligevægt, og det er "naturens valg" af ligevægt. Og når vi har vendt systemet på hovedet, er kablet blevet til den bærende bue, vi ser på fx Garabitbroen. I afsnit 3.2 vil vi regne på Storebæltsbroens geometri. Men her vil vi gå videre ind i matematikken bag bro-konstruktionerne.

1.1 Kædelinjer og de hyperbolske funktioner Et kabel, der skal bære en hængebro, hænger som udgangspunkt frit mellem sine to ophængningspunkter. Senere ophænges brobanen i kablerne. Hvilken kurve følger kablet, før brobanen hænges på? For at undersøge det spørgsmål stiller vi det i en mere generel form: Hvis en snor, en kæde eller et kabel, der er uelastisk, men fuldkommen bøjeligt, hænger frit mellem to ophængningspunkter, hvilken kurve vil den da følge? Denne kurve, der naturligt nok kaldes kædelinjen, formes af naturens kræfter, og det er derfor ingen selvfølge, at den kan beskrives ved en simpel matematisk formel. Men det kan den, og det er naturligvis en stor hjælp for ingeniører,

282

8. Familier af funktioner

at de således kan aflure naturen denne optimale konstruktion. Den endelige løsning på problemet kom i 1691. Jakob Bernouilli (1654 –1705) havde i sit tidsskrift Acta Eruditorum formuleret det som en udfordring – han kunne ikke selv løse den – og der kom faktisk tre løsninger. Uafhængigt af hinanden havde Jakobs yngre bror, Johann Bernoulli (1667–1748), Gottfried Leibniz (1646 –1716), og Christian Huygens (1629 –1695) løst problemet. I dag er Johann anerkendt som den første, der opdagede formlen.

Trådene i et edderkoppespind følger kædelinjer.

Man starter med samme type vektorligning, som beskrevet ovenfor, men nu kun med kædens egen tyngde. Det bliver mærkeligt nok betydeligt sværere, og man ender med en såkaldt anden ordens differentialligning. Den analyse findes i Hvad er matematik? 3. Men den formel, der løser differentialligningen og beskriver kædelinjen, kan vi godt forstå. Og det er ret overraskende, at vi her møder eksponentialfunktionen ex. Kædelinjen følger grafen for en funktion af typen: f ( x ) = 21⋅k e k ⋅ x + 21⋅k e − k ⋅ x − 1k + c hvor kæden er indlagt i et koordinatsystem, der er symmetrisk om det nederste punkt, og hvor parameteren k indeholder information om det fysiske system, kædens masse osv. Kædelinjen beskrives ofte ved hjælp af funktionen hyperbolsk cosinus, der er defineret:

cosh( x ) =

Øvelse 8.3

e +e 2

−x

Kædelinjen skrevet med hyperbolsk cosinus

a) Vis, at med k = 1 og c = 1 er f ( x ) = 1 e k ⋅ x + 1 e − k ⋅ x − 1 + c lig med cosh(x). k 2⋅k 2⋅k b) Tegn grafen for cosh(x) c) T egn grafen for f ( x ) = 1 e k ⋅ x + 1 e − k ⋅ x − 1 + c , idet parametrene k og c indføres k 2⋅k 2⋅k med skydere i et værktøjsprogram. Forklar betydningen af de to parametre for grafens udseende. d) Vis, at f ( x ) = 1 e k ⋅ x + 1 e − k ⋅ x − 1 + c kan skrives 1 cosh( k ⋅ x ) − 1 + c k 2⋅k 2⋅k k k

283

Øvelse 8.4

Storebæltsbroens kabel før og efter der lægges brobaner på

Storebæltsbroens bærende kabler følger grafen for funktionen p(x) = 0,0002533 ·x 2 + 87, hvis vi indlægger broen i et koordinatsystem med x-aksen langs vandoverfladen og y-aksen langs parablens symmetriakse. Det kan man selv udlede i et projekt, der ligger på bogens website. Før brobanerne blev hængt op, fulgte kablet en kædelinje, der er graf for funktionen 1 1 k( x ) = cosh(0,000498 ⋅ x ) − + 87,53 0,000498 0,000498 a) T egn graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem. Giv de to grafer forskellig farve. Indret koordinatsystemet ud fra følgende: Afstanden mellem de store bropiller, pylonerne, er 1624 meter. Pylonerne selv rækker 254 meter over havoverfladen. Parablens laveste punkt er 87 meter over havoverfladen. Brobanens højeste punkt ligger 75 meter over havet. (Hint: Du skal ikke blive overrasket over, at du ikke kan se forskel.) b) G ør nu både x- og y-intervallerne snævrere, og se forskellen træde frem. Det kan fx se således ud: y

100 95 90 –200

–100

x 0

100

200

kædelinje parabel c) Undersøg selv områderne omkring pylonernes top.

Vi nåede i vores undersøgelse af, hvordan brokonstruktioner har udviklet sig, frem til den moderne matematik, som vi vil fordybe os mere i på B- og A-niveau. Vi introducerede til sidst den nye funktion cosh(x), der er en af de tre hyperbolske funktioner cosh(x), sinh(x) og tanh(x):

Definition: De hyperbolske funktioner De hyperbolske funktioner defineres således:

cosh( x ) =

e +e 2

−x

, sinh( x ) =

e –e 2

−x

og tanh( x )=

Definitionsmængderne er for alle tre alle reelle tal.

284

sinh( x ) cosh( x )

8. Familier af funktioner

De to nye funktioner er jo på en måde ikke nye, da de bare er kombinationer af det, vi kender. Men der er god grund til at selvstændiggøre dem. Dels optræder de i en række vigtige anvendelser – ovenfor så vi på kædelinjen, og begge funktioner er vigtige redskaber i Einsteins relativitetsteori. Men der åbner sig en ny verden, som også begrunder, at de både kaldes hyperbolske og trigonometriske.

Øvelse 8.5 Beslægtede formler hos hyperbolske og almindelige trigonometriske funktioner a) Bevis formlen (cos(x)) 2 – (sin(x)) 2 = 1 b) Hvordan ser den beslægtede formel med cos og sin ud? c) K urven med ligningen x2 – y2 = 1 kaldes en ligesidet hyperbel. Tegn kurven, og forklar sammenhængen mellem a) og c). (I kapitel 1, afsnit 9 er givet en vejledning i at tegne kurver ud fra ligninger).

Øvelse 8.6 Lige og ulige funktioner a) Vis ved hjælp af enhedscirklen, at cos(–x) = cos(x) og sin(–x) = –sin(x). b) Tegn graferne for cos og sin, og giv en grafisk fortolkning af formlerne. c) V is ved indsættelse, at cosh(–x) = cosh(x) og sinh(–x) = –sinh(x). d) Tegn graferne for cosh og sinh, og giv en grafisk fortolkning af formlerne. Funktioner med egenskaber f(–x) = f(x) kaldes lige funktioner, og funktioner med egenskaben f(–x) = –f(x) kaldes ulige funktioner. e) For hvilke hele tal n er p(x) = xn en lige funktion, og for hvilke er den ulige?

Der dukker mange andre lighedspunkter op mellem de trigonometriske og de hyperbolske funktioner inden for differential- og integralregningen. Det skyldes dybest set, at når vi udvider talområdet fra de reelle tal til de komplekse tal, så bliver eksponentialfunktionerne og de trigonometriske funktioner to sider af samme sag, bare i forskellige verdener. I den komplekse verden, hvor i betyder den imaginære enhed i = −1 , kan vi definere cos og sin til komplekse tal. Og så gælder der:

cos(x) =

Øvelse 8.7

i⋅ x

+e 2

− i⋅ x

og sin(x) =

i⋅ x

−e 2i

− i⋅ x

Formler der knytter hyperbolske og trigonometriske funktioner sammen

Prøv selv at opskrive formler, der knytter cosh og cos, samt sinh og sin sammen.

285

2. Funktioners egenskaber og deres grafiske forløb Matematiks anvendelser i andre fag og på stadigt nye problemstillinger er gennem de sidste 2-300 år vokset eksplosivt. Brændstoffet i denne udvikling har især været indførelsen af det matematiske symbolsprog og anvendelsen af grafiske repræsentationsformer. Et eksempel: Eksponentialfunktioner er vokset ud af eksponentielle vækstmodeller. Men når de har fået deres eget symbolske udtryk, og vi studerer dem som abstrakte funktioner, opdager vi, at de også er værktøjet til at beskrive kædelinjer, fx de bærende kabler i hængebroer. Og i Hvad er matematik? 3 vil vi se, at eksponentialfunktioner også er det grundlæggende redskab til at beskrive normalfordelingskurver inden for statistik. Altså to helt andre verdener. Vi vil i dette kapitel ved hjælp af nogle forholdsvis enkle metoder få en kraftig udvidelse i antallet af funktioner, vi har til rådighed, fx i modellering. Derfor har vi også brug for at have nogle skarpe og præcise værktøjer til at beskrive og undersøge nye funktionstyper. Det handler dette afsnit om.

2.1 Definitionsmængde og værdimængde Har vi en lineær funktion f(x) = a · x + b, kan vi frit vælge x-værdien og udregne den tilhørende funktionsværdi f(x) ved hjælp af forskriften. Det er ikke tilfældet for funktioner 1 som h( x ) = eller k ( x ) = x . Hvorfor ikke? x Af og til afgrænser vi selv de tilladte værdier, som i en model for befolkningstallets udvikling siden 1950: p(t) = 2,5 · 1,017t, t ≥ 0, hvor t angiver tiden målt i år efter 1950, og p(t) er befolkningstallet til tiden t.

Definition: Definitionsmængden for en funktion f(x) Mængden af de tal, vi kan vælge x i blandt, kalder vi for definitionsmængden for f. Definitionsmængden for funktionen f betegnes Dm(f).

Kan vi vælge x frit som ved lineære funktioner, så består definitionsmængden af alle de reelle tal, og den betegnes således: Dm(f) =  eller Dm(f) = ]–∞;∞[. I det sidste tilfælde siger vi, definitionsmængden er skrevet på intervalform.

Øvelse 8.8

Definitionsmængder

1 Angiv definitionsmængden for hver af funktionerne h( x ) = , k ( x ) = x t p(t) = 2,5 · 1,017 , t ≥ 0.

286

x og

8. Familier af funktioner

Når x-værdierne varierer, så vil funktionsværdierne normalt også variere.

Definition: Værdimængden for en funktion f(x) Mængden af de tal, der optræder som funktionsværdi, når x løber gennem definitionsmængden, kalder vi værdimængden for f. Værdimængden for funktionen f betegnes Vm(f).

For en lineær funktion med a ≠ 0 vil alle reelle tal kunne optræde som funktionsværdier. Værdimængden er da alle reelle tal, og vi skriver: Vm(f) =  eller Vm(f) = ]–∞;∞[.

Øvelse 8.9

Værdimængder

a) A rgumenter for påstanden Vm(f) = ]–∞;∞[ ved at se på eksemplet f(x) = 1,7 · x + 2,5. b) H vis definitionsmængden for funktionen indskrænkes til alle de positive tal, dvs. Dm(f) = ]0;∞[, som også betegnes +, hvad er så Vm(f)? c) Bestem værdimængden for henholdsvis h( x ) =

1 og k ( x ) = x

Definitionsmængde og værdimængde kan også aflæses grafisk. Til dette formål har man indført en notation, der skal fortælle, om grafen er begrænset, og hvis den er begrænset, om endepunkterne er med (udfyldt cirkel) eller ikke med (tom cirkel). Er der ingen sådan markering, fortsætter grafen i det uendelige.

Øvelse 8.10

Grafisk aflæsning af Dm og Vm

Bestem ved grafisk aflæsning definitionsmængde og værdimængde for nedenstående funktioner f, g og h, og opskriv svarene på intervalform. y

h f g 1

1 1

287

2.2 Maksimum og minimum Ekstrema er en fællesbetegnelse for minimum og maksimum. Disse ekstrema kan være enten lokale eller globale. Et globalt minimum er den mindste funktionsværdi, funktionen kan antage, og tilsvarende er et globalt maksimum den største funktionsværdi, funktionen antager, når x gennemløber funktionens definitionsmængde. Lokale ekstrema er funktionsværdier, der er ekstrema inden for et mindre område af grafen. På figuren nedenfor er dette illustreret ved cirkulære områder omkring de ekstreme punkter svarende til et x-interval omkring x-koordinaten i ekstremumspunktet. Vi formulerer ovenstående i to definitioner:

Definition: Globale ekstrema for en funktion f

Globalt maksimum for f y M

Globalt minimum for f y

m xm

Sprogligt

Symbolsk

Hvis alle funktionsværdier for f er mindre end eller lig med tallet M, og hvis tallet M selv er en funktionsværdi: f(xM )=M, så kaldes M for et globalt maksimum for f. Vi siger, at det globale maksimum antages i xM.

Antag, at M tilhører Vm(f), dvs. at der i Dm(f) findes en x-værdi, som har funktionsværdien M. M kaldes et globalt maksimum for f, hvis der for alle x-værdier i definitionsmængden for f gælder, at f(x) ≤ M.

Hvis alle funktionsværdier for f er større end eller lig med tallet m, og hvis tallet m selv er en funktionsværdi: f(xm )=m, så kaldes m for et globalt minimum for f. Vi siger, at det globale minimum antages i xm.

Antag, at m tilhører Vm(f), dvs. at der i Dm(f) findes en x-værdi, som har funktionsværdien m. m kaldes et globalt minimum for f, hvis der for alle x-værdier i definitionsmængden for f gælder, at f(x) ≥ m.

Øvelse 8.11 Nedenfor er givet tre grafer for henholdsvis funktioner f, g og h. Bestem ved grafisk aflæsning de globale ekstrema. Svaret angives altid på følgende form: f har globalt maksimum i x = … med værdi y = f(...).

1 1

288

8. Familier af funktioner

Definition: Lokale ekstrema for en funktion f

Lokalt maksimum for f y

xM1

Lokalt minimum for f y

m1 xm1

Sprogligt

Symbolsk

Hvis der i et interval omkring x-værdien xM1 gælder, at alle funktionsværdier er mindre end eller lig med tallet M1= f(xM1), så kaldes M1 for et lokalt maksimum for f. Vi siger, at det lokale maksimum antages i xM1.

Antag, at M1 tilhører Vm(f), dvs. at der i Dm(f) findes en x-værdi, som har funktionsværdien M1. M1 kaldes et lokalt maksimum for f, hvis der for alle x-værdier i et lille interval omkring x-koordinaten i det lokale maksimumspunkt, gælder at f(x) ≤ M1.

Hvis der i et interval omkring x-værdien xm1 gælder, at alle funktionsværdier er større end eller lig med tallet m1= f(xm1), så kaldes m1 for et lokalt minimum for f. Vi siger, at det lokale minimum antages i xm1.

Antag, at m1 tilhører Vm(f), dvs. at der i Dm(f) findes en x-værdi, som har funktionsværdien m1. m1 kaldes et lokalt minimum for f, hvis der for alle x-værdier i et lille interval omkring x-koordinaten i det lokale minimumspunkt, gælder at f(x) ≥ m1.

Bemærk: Et globalt ekstremum er også altid et lokalt ekstremum.

Øvelse 8.12 Se igen på funktionerne i øvelse 8.11. Angiv de lokale ekstrema, hvor de findes.

2.3 Monotoniforhold – voksende og aftagende funktion Vækstmodellerne er enten rent voksende, eller er rent aftagende. Men der er mange situationer, hvor billedet er mere blandet. Det gælder fx for funktionerne f, g og h i øvelse 8.11. Vi ser, at funktionen f har et globalt maksimum, og at f er voksende frem til dette maksimum og dernæst aftagende. Funktionen g har to lokale ekstrema, og g er voksende frem til det lokale maksimum, dernæst aftagende frem til det lokale minimum og endelig voksende igen efter dette. Læg mærke til, at vi taler om at funktionen er voksende eller aftagende, ikke om grafen. Det skyldes, at vi opfatter funktionen som noget dynamisk, mens grafen er et statisk billede, der ikke udvikler sig, men er fastlagt på én gang, når funktionen er givet. Når vi skal beskrive en funktions monotoniforhold, så betyder det i praksis, at vi bestemmer de x-intervaller, hvori funktionen er rent voksende eller rent aftagende.

289

Svaret angives altid på følgende, hvor f og g er funktionerne fra øvelse 8.11:

• f er voksende i intervallet ]–∞;1] f er aftagende i intervallet [1;∞[.

• g er voksende i intervallet ]–∞;–1] g er aftagende i intervallet [–1;3] g er voksende i intervallet [3;∞[.

Læg mærke til, at et tal som x = –1 er med både i første og andet interval hos g-funktionen. Det skyldes, at g vokser, til og med at vi er oppe på det lokale maksimum. ("Vi går op af en trappe, til og med vi er oppe på øverste trappeafsats"). Ovenfor har vi argumenteret ud fra vores intuitive opfattelse af, hvad det vil sige at vokse og aftage. Vi giver nu den præcise definition på, om en funktion er voksende eller aftagende i et x-interval.

Definition: Monotoniforhold for en funktion f

f er voksende y f(x2 )

Sprogligt

Symbolsk

Hvis funktionsværdierne bliver større og større (bevæger sig opad), når x-værdierne bliver større og større (bevæger sig mod højre), så er funktionen voksende.

En funktion f er voksende i intervallet [a;b], når der for to vilkårlige x-værdier x1 og x2 i intervallet [a ; b] gælder: Hvis x1 < x2, så er f(x1) < f(x2 )

Hvis funktionsværdierne bliver mindre og mindre (bevæger sig nedad), når x-værdierne bliver større og større (bevæger sig mod højre), så er funktionen aftagende.

En funktion f er aftagende i intervallet [a;b], når der for to vilkårlige x-værdier x1 og x2 i intervallet [a ; b] gælder: Hvis x1 < x2, så er f(x1) > f(x2 )

f(x1 ) x1

f er aftagende y f(x2 ) f(x1 ) x1

f er monoton

290

Hvis en funktion er enten voksende eller aftagende for alle x-værdier i funktionens definitionsmængde, så kaldes funktionen monoton. Et interval, hvori funktionen er monoton, kaldes et monotoniinterval.

8. Familier af funktioner

Øvelse 8.13 f(x) = 2ln(x) – x + 4

To funktioner f og g er givet ved f(x) = 2 · ln(x) – x + 4, x > 0

6 5 4 3 2 1

g(x) = x +k (6x –) =4 x , x > 0

a) Tegn graferne i et værktøjsprogram. b) B enyt programmets faciliteter til at aflæse ekstremumspunkternes koordinater.

–2

–1

–2 –3

c) O pskriv på baggrund af disse aflæsninger monotoniintervallerne for hver af funktionerne. d) Benyt værktøjsprogrammets faciliteter til at tegne en tangent til hver af graferne i punkter, du kan variere. Til højre ses en situation for grafen for f. e) K an du formulere en sammenhæng mellem monotoniforhold, ekstremum, og tangentens hældning? Dette uddybes på B-niveau.

Bemærkning: Via bogens website kan man finde en vejledning i at tegne tangenter til grafer i de gængse værktøjsprogrammer.

2.4 Omvendt funktion – omvendt operation I en række tilfælde, hvor en funktion indgår i en ligning, har vi brug for at kunne fjerne funktionen, så vi kan isolere den ubekendte, som fx i følgende fire ligninger: sin(x) = 0,8

ex = 36

(2x – 3) 5 = 10

ln(0,3x – 13,7) = 2,2

I tilfælde som disse kan vi fjerne funktionen og isolere den ubekendte ved at anvende den omvendte funktion: • Eksponentialfunktionen ex fjernes ved at anvende den naturlige logaritmefunktion ln. ln er således den omvendte funktion til ex. Det er behandlet detaljeret i et projekt, der kan tilgås via bogens website. • Den naturlige logaritme ln fjernes ved at anvende den naturlige eksponentialfunktion ex. ex er således den omvendte funktion til ln. Det er behandlet detaljeret i et projekt, der kan tilgås via bogens website. • sin og cos fjernes ved anvende henholdsvis sin –1 og cos –1. Disse funktioner kaldes også for Arcusfunktioner, og man skriver af og til Arcsin i stedet for sin –1 og Arccos i stedet for cos –1. Arcusfunktionerne er således de omvendte til de trigonometriske funktioner. 1

• Potensfunktionen x5 fjernes ved at anvende potensfunktionen x 5 , og generelt fjer1 nes xa ved at anvende x a . Så de omvendte funktioner til potensfunktioner er selv potensfunktioner.

291

Eksempel: Ligningsløsning med omvendt funktion Vi løser ligningen sin(x) = 0,8 ved hjælp af den omvendte funktion til sin, dvs. sin –1: sin –1 (sin(x)) = sin –1(0,8) x = sin –1(0,8) = 0,927 Vi løser ligningen ex = 36 ved hjælp af den omvendte funktion til ex, dvs. ln: ln(ex ) = in(36) x = ln(36) = 3,58

Øvelse 8.14 Løs selv ligningerne (2x – 3) 5 = 10 og ln(0,3x – 13,7) = 2,2

Definition: Omvendt funktion Givet en funktion f, der er defineret på et bestemt interval I. Hvis der for enhver y-værdi i værdimængden for f gælder, at ligningen f(x) = y har præcis én løsning x i definitionsmængden, så kalder vi den funktion, der løser ligningen ved at fjerne f , for den omvendte funktion til f , og vi betegner funktionen f –1. Den omvendte funktion f –1 er således defineret ved, at

Løsningen til ligningen f(x) = y er x = f –1(y).

(*)

Eller sagt på en anden måde:

f –1(y) er lig med det tal x, der opfylder, at y = f(x)

Grafisk bestemmes funktionsværdien y = f(x), ved at vi går lodret op fra x, til vi rammer grafen, og derfra vandret ind på 2. aksen, hvor y aflæses. Grafisk kan værdien af den omvendte funktion f –1(y) bestemmes som den xværdi, vi får ved at gå vandret ud fra punktet y på 2. aksen, til vi rammer grafen for f, og derfra lodret ned (eller op) til 1. aksen, hvor vi aflæser x-værdien.

292

8. Familier af funktioner

Bemærkning 1: Da vi har byttet om på 1. og 2. aksen i den grafiske bestemmelse af funktionsværdierne f –1(y), så kan hele grafen for f –1 fremkomme ved, at vi spejler grafen for f i linjen med ligning y = x. Denne spejling bytter jo netop om på de to akser. Bemærkning 2: Hvis vi kombinerer de to ligninger i (*), får vi: f –1 (f(x)) = x og y = f(f –1(y)) Dette er den generelle form, som vi så illustreret med de to eksempler på ligningsløsning ovenfor.

2.5 Asymptoter Når vi plotter en graf, ser vi kun et lille udsnit af denne, bestemt af det vindue vi har valgt. De fleste funktioner har imidlertid grafer, der strækker sig uendelig langt bort i en eller flere retninger. Det kan vi ikke se, men somme tider kan vi faktisk sige noget ret præcist om, hvad der sker uden for grafvinduet.

Definition: Asymptoter Givet en funktion f, hvis graf strækker sig uendeligt langt bort fra koordinatsystemets centrum. En asymptote til grafen for f er en ret linje, som grafen nærmer sig vilkårligt tæt, når punkterne på grafen bevæger sig uendeligt langt bort. Er linjen en vandret asymptote y = b, betyder dette, at afstanden f(x) – b mellem grafen og linjen går mod 0, når x går mod uendelig. Er linjen en lodret asymptote x = c betyder dette, at f(x) går mod uendelig, når x går mod c.

Grafen har både en vandret og en lodret asymptote.

Grafen har en vandret asymptote.

Skrå asymptoter vender vi tilbage til på B-niveau.

Øvelse 8.15 Vi har mødt asymptoter både i undersøgelsen af eksponentialfunktioner i kapitel 4 og af potensfunktioner i kapitel 5. Hvordan er de asymptotiske forhold for disse to familier af funktioner?

Opgaver I opgavebogen ligger opgaver i tilknytning til afsnit 2.

293

3. Parametriserede funktioner I nogle af de foregående kapitler har vi undersøgt følgende familier af funktioner: • Familien af lineære funktioner med regneforskrift f(x) = a · x + b • Familien af eksponentielle funktioner med regneforskrift f(x) = b · a x • Familien af potensfunktioner med regneforskrift f(x) = b · xa.

m a n gl e r Vi taler om familier af funktioner, fordi de har en række beslægtede egenskaber. Når funktioner er repræsenteret med regneforskrifter, hvori der indgår nogle parametre som a og b i eksemplerne ovenfor, er det let at se et slægtskab, og det er også forholdsvis let at undersøge en sådan families fælles egenskaber, udtrykt ved parametrene. På B-niveau giver differentialregningen os et værktøj til at argumentere helt præcist for nogle af de pågældende egenskaber.

Øvelse 8.16

Fælles egenskaber hos familier af funktioner

a) D er kan være nogle fælles begrænsninger på definitionsmængderne for sådanne familier af funktioner. Er der det i ovenstående tre tilfælde? b) V i opskriver regneforskrifter for familier af funktioner med brug af parametre som a og b. Men der kan godt være begrænsninger på, hvilke parameterværdier der er tilladte i de enkelte tilfælde. Er der sådanne begrænsninger i de tre eksempler? c) B eskriv monotoniforholdene for hver af de tre familier af funktioner. Inddrag gerne de grafiske repræsentationer. d) Giv for hver af de tre familier eksempler på anvendelser i en modellering.

De grafiske repræsentationer af funktioner inden for samme familie kan være ret forskellige. Det illustrerer potensfunktionerne, og vi får nedenfor en række yderligere eksempler. Det understreger igen styrken i den symbolske repræsentation i form af regneforskrifter med parameterværdier. De tre familier er stærke redskaber til at beskrive og modellere vækstfænomener samt en række biologiske og fysiske variabelsammenhænge. Ved enkle justeringer af forskriften kan vi imidlertid få en markant udvidelse af antallet af modelfunktioner, vi har til rådighed.

294

8. Familier af funktioner

3.1 Forskudt eksponentiel vækst: f(x) = M – b ⋅ ax Eksempel: Tak for kaffe – Newtons afkølingslov Hvis man har hældt en kop varm kaffe op, men så bliver forstyrret og glemmer kaffen, så vil kaffen stille og roligt blive afkølet. Kaffens temperatur er således en aftagende funktion af tiden. Det kan ikke være en lineært aftagende funktion (hvorfor ikke?). Temperaturen falder efter en lov, der kaldes for Newtons afkølingslov. Loven siger, at den hastighed, hvormed temperatur aftager, er proportional med forskellen mellem kaffens temperatur og omgivelsernes temperatur. Dette kan udtrykkes i en såkaldt differentialligning. På A-niveau lærer man at løse sådanne differentialligninger, og løsningen viser sig at være en funktionstype, der hedder forskudt eksponentiel vækst. Via bogens website er der adgang til et projekt på C-niveau, hvor afkølingsloven undersøges eksperimentelt.

Eksempel: Dosering og forbrænding af medicin Når alvorlige sygdomme behandles medicinsk på et sygehus, sker tilførslen af medicinen ofte intravenøst, dvs. patienten har et drop, hvorigennem medicinen langsomt flyder ind i blodbanerne. I behandlingen af en bestemt akut sygdom skal patienten eksempelvis i løbet af 3 timer op på at have mindst 100 µg af det aktive stof i blodbanerne. En for hurtig tilførsel kan bringe patienten i chok. Der lægges et drop, som tilfører en vis mængde af stoffet pr time. Der er erfaring for, at kroppen samtidig forbrænder (nedbryder) denne type medicin på en sådan måde, at der udskilles 3 % i timen af den mængde, kroppen indeholder. Medicinindholdet i blodet kan også beskrives ved en differentialligning. Hvis vi går ud fra, at patienten ved behandlingens start ikke har noget medicin i kroppen, så viser man på A-niveau, at patienten skal have tilført ca. 35 µg pr time, og at udviklingen i medicinindholdet vil følge en funktion med forskriften:

f(t) = 1160 – 1160 · 0,97t

som også er af typen forskudt eksponentiel vækst. Via bogens website er der adgang til et projekt på C-niveau om nedbrydning af rusmidler og medicin. De grafiske repræsentationer af funktionerne i ovenstående eksempler er følgende:

Type 1. Ændringen af temperaturen i kaffen

Type 2. Ændring af medicinindholdet i blodet

295

Det generelle formel-udtryk for eksponentiel vækst skriver vi ofte således: f(x) = M – b ⋅ a x. Vi vil nu undersøge, hvilken betydning de tre parametre, M, b og a har for det grafiske forløb.

Øvelse 8.17

Betydningen af M, b og a for det grafiske forløb

Vi vil nu undersøge, hvilken betydning de tre parametre har for grafens forløb ved hjælp af skydere i et værktøjsprogram, ligesom vi har gjort med vækstmodellerne. Tegn en graf for f(x) = M – b ⋅ a x med en skyder for hver af parametrene M, b og a. Brug fx x-intervallet fra 0 til 100 og y-intervallet fra –200 til 1000. Lad som udgangspunkt M løbe i intervallet –200 til 800, b løbe i intervallet –500 til 1000 og a løbe i intervallet 0,4 til 1,5. Husk: Variabelkontrol, dvs. flyt kun én skyder af gangen. a) T ilføj grafen for den konstante funktion m(x) = M, svarende til konstantleddet i funktionen. b) H vad sker der med graferne for f og m, når vi varierer på parameteren M? Hvilken betydning har parameteren M for grafens forløb? Hvad sker der, når x bliver stor? c) A ntag a < 1. Hvad betyder fortegnet for b i forhold til det grafiske forløb? Svar evt. med henvisning til "type 1" og type 2", jf. illustrationen ovenfor. d) Forestil dig, at du zoomer ud og ser en større del af grafen. Hvilken betydning har størrelsen af parameteren b for grafens form? e) H vad er den principielle forskel på, om parameteren a er over eller under tallet 1? Hvis vi koncentrerer os om situationen a < 1, hvilken betydning har a-tallet så for grafens form? På bogens website kan du finde en redegørelse for parametrenes betydning, herunder et bevis for, at b-tallets størrelse bestemmer, hvor langt grafen parallelforskydes i vandret retning.

Øvelse 8.18

Grafisk repræsentation ud fra sproglig beskrivelse

En sø forurenes, ved at der hver dag tilføres en bestemt mængde forurenet stof. Men samtidig er der en gennemstrømning af vand, så der hele tiden løber den samme mængde vand ind og ud. Argumenter for, hvordan forureningen vil udvikle sig. Tegn en graf, der repræsenterer dit bud. (Hint: Lad dig inspirere af et af eksemplerne i afsnittet).

3.2 Forskudt potensvækst: f(x) = b ⋅ (x – c) 2, g(x) = b ⋅

x – c og h(x) =

b x–c

Vi har fastlagt, at definitionsmængden for familien af potensfunktioner med forskriften f(x) = b · xa er mængden af alle positive tal: + = ]0;∞[. Nogle potensfunktioner har en naturlig udvidelse af definitionsmængden. Så vi burde strengt taget ikke kalde dem for potensfunktioner. Men det er en gråzone, og det er meget anvendelige modelfunktioner, der således fremkommer.

296

8. Familier af funktioner

Øvelse 8.19

Udvidelse af Dm

a) K an vi udvide definitionsmængderne for følgende potensfunktioner, og i givet fald: Hvad er den maksimale definitionsmængde?

1) p1(x) = x2

x) = 2) pk2((x)

3) ph3((x) x) =

1 x

b) Hvorfor kan vi betegne p2(x) og p3 (x) som potensfunktioner?

Naturligvis kan graferne for sådanne funktioner parallelforskydes i lodret retning, som vi så i forrige afsnit. Men vi vil oftere støde på vandrette parallelforskydninger, og det vil vi kort se på for funktionerne: b ) =⋅ x f(x) = b ⋅ x2 g(x)k (=xb h(x) = x

Først generelt (se illustrationen): Lad os antage, at grafen for en funktion p(x) forskydes vandret over i en ny graf. Derved føres et punkt (x, y) på grafen for p over i et punkt på den nye graf, der har koordinaterne (x1 , y1). Da (x, y) ligger på grafen for p, så gælder der: y = p(x) Hvis c er længden af det stykke som grafen forskydes, så gælder der:

x1 = x + c og y1 = y

Men så er også: x = x1 – c og y = y1 Indsæt nu i y = p(x): y1 = p(x1 – c) Konklusion: For et punkt (x1 , y1) på den parallelforskudte graf gælder, at y1 = p(x1 – c). Dette gælder selvfølgelig også, hvis vi omdøber. Så vi har derfor:

Praksis: Parallelforskydning af grafer i vandret retning Hvis en graf for en funktion p parallelforskydes stykket c i vandret retning, så vil den nye graf opfylde ligningen: y = p(x – c).

Øvelse 8.20

Grafen for f(x) = b ⋅ (x – c) 2

a) U ndersøg ved brug af skydere, hvilken betydning parametrene b og c har for det grafiske forløb af funktionen f(x) = b ⋅ (x – c) 2 b) V ælg nogle tal for b og c, tegn graferne for f(x) = b ⋅ x2 og f(x) = b ⋅ (x – c) 2 i samme koordinatsystem, og kontroller resultatet ovenfor, formuleret i praxisboksen.

297

Øvelse 8.21

Grafen for g(x) = b ⋅

x–c

a) U ndersøg ved brug af skydere, hvilken betydning parametrene b og c har for det grafiske forløb af funktionen g(x) = b ⋅ x – c c g(x) = b ⋅ x – c i samb) V ælg nogle tal for b og c, tegn graferne for g(x) = b ⋅ x –og me koordinatsystem, og kontroller resultatet ovenfor, formuleret i praxisboksen.

Øvelse 8.22

Grafen for h(x) =

b x–c

a) U ndersøg ved brug af skydere, hvilken betydning parametrene b og c har for det grafiske forløb af funktionen h(x) = x b– c b) V ælg nogle tal for b og c, tegn graferne for h(x) = xb og h(x) = x b– c i samme koordinatsystem, og kontroller resultatet ovenfor, formuleret i praxisboksen.

3.3 Andengradspolynomier: p(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c (Via bogens website er der adgang til et projekt, der indeholder en udvidet version af dette afsnit 3.3, hvor man bl.a. ved hjælp af vektorregning undersøger sammenhængen mellem grafen for det generelle andengradspolynomium p(x) = a · x 2 + b · x + c og grafen for pa (x) = a · x 2 ) Andengradspolynomier er en ny type funktioner, som bygger videre på førstegradspolynomier, der har forskriften f(x) = ax + b. Førstegradspolynomier kender vi fra kapitel 1, hvor de blev kaldt for lineære funktioner. Nu tilføjer vi et andengradsled til de to eksisterende led i forskriften. Et andengradsled er et led, hvor x opløftes til anden potens.

Definition: Andengradspolynomium Et andengradspolynomium er en funktion med forskriften

p(x) = a · x + b · x + c, a ≠ 0 2

Parametrene a, b og c kaldes andengradspolynomiets koefficienter. Grafen for et andengradspolynomium kaldes en parabel. Andengradspolyniomier har enten et globalt maksimum eller globalt minimum. I begge tilfælde kaldes det pågældende punkt for parablens toppunkt. Man kan vise, at x-koordinaten til toppunktet er x = – 2ba . y-koordinaten udregnes ved at indsætte dette tal i forskriften. Den lodrette linje gennem toppunktet kaldes parablens symmetriakse.

298

8. Familier af funktioner

Øvelse 8.23 Angiv koefficienterne a, b og c i de følgende andengradspolynomier: a) p(x) = 2 x 2 – 7x + 25 b) p(x) = 0,25 x 2 + 2x – 3,5

c) p(x) = –4x 2 + 2x + 1

d) p(x) = –x 2

f) p(x) = 3x 2 – 9

e) p(x) = x 2 – 4

Øvelse 8.24 a) Tegn graferne for funktionerne i b), c) og e) i forrige øvelse. b) Beregn toppunkterne for disse parabler, og kontroller med de grafiske billeder.

Øvelse 8.25

Betydningen af a, b og c for det grafiske forløb

Vi vil nu undersøge, hvilken betydning de tre koefficienter a, b og c har for grafens forløb. Vi gør dette ved hjælp af skydere i et værktøjsprogram, ligesom vi har gjort med vækstmodellerne. • Tegn en graf for andengradspolynomiet p(x) = a · x 2 + b · x + c med en skyder for hver af parametrene a, b og c. Brug fx x-intervallet fra –5 til 5 og y-intervallet fra –10 til 10. Sæt som udgangspunkt alle skyderne på værdien 1, og husk variabelkontrol, dvs. sæt undervejs de "inaktive" skydere på 1 eller 0. • Tilføj grafen for f(x) = c, svarende til den konstante del af andengradspolynomiet. Hvad sker der med graferne for f og p, når vi varierer på parameteren c? Hvilken betydning har parameteren c for parablens beliggenhed? Hvad sker der med parablen, hvis c har værdien 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for c? • Tilføj grafen for g(x) = b · x + c, svarende til den lineære del af andengradspolynomiet. Hvad sker der med graferne for g og p, når vi varierer på parameteren b? Hvilken betydning har parameteren b for parablens beliggenhed? Hvad sker der med parablen, hvis b har værdien 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for b? • Tilføj grafen for h(x) = a · x 2, svarende til andengradsleddet i andengradspolynomiet. Skjul evt. de foregående hjælpefunktioner f og g. Hvad sker der med graferne for h og p, når vi varierer på parameteren a? Hvilken betydning har parameteren a? Hvad sker der med parablen, hvis a får den forbudte værdi 0? Hvordan kan vi aflæse fortegnet for a?

Via bogens website kan du hente svarene på betydningen af parametrene.

299

Øvelse 8.26

Grafisk aflæsning af koefficienterne

Nedenfor ses fire parabler. Aflæs fortegnene for koefficienterne a, b og c for det tilhørende andengradspolynomium.

Øvelse 8.27

a·x 2 + b·x + c

Skitsér grafer ud fra koefficienterne

Skitsér grafen for en parabel, der opfylder betingelserne: a) a > 0, b > 0 og c > 0 b) a < 0, b < 0 og c > 0 c) a > 0, b > 0 og c < 0

Øvelse 8.28

Toppunktets beliggenhed

Hvor ligger parablens toppunkt i forhold til y-aksen, hvis a og b har samme fortegn? Hvor ligger det, hvis a og b har modsat fortegn?

Øvelse 8.29

Storebæltsbroens geometri

Storebæltsbroen var verdens største hængebro, da den blev bygget. Den har et frit spænd på 1624 meter, dvs. at afstanden mellem de store bropiller, pylonerne, er 1624 meter. Pylonerne selv rækker 254 meter over havoverfladen. At broen er en hængebro betyder, at brobanen bæres af de to store kabler, der går op over pylonerne og ned til de såkaldte ankerblokke, hvor kablerne er fastgjort. Hver ankerblok er på størrelse med en fodboldbane og vejer ca. 250.000 ton. Parablens laveste punkt er 87 meter over havoverfladen. Brobanens højeste punkt ligger 75 meter over havet. Vi lægger nu et koordinatsystem ind, hvor x-aksen følger vandoverfladen, og 2. aksen ligger lige midt imellem pylonerne og derved deler hængebroen symmetrisk. a) V is, at andengradspolynomiet p(x) = 0,000253 · x 2 + 0 · x + 87 er en model for den parabel, som kablet tegner. Via bogens website er der adgang til et projekt om Storebæltsbroens geometri.

300

8. Familier af funktioner

4. En verden af funktioner I kapitel 1 fortalte vi kort om, hvordan funktionsbegrebet opstod i 16-1700 tallet. I første omgang så det ud til at være en indskrænkning i forhold til begrebet kurve – fx er den mest enkle kurve, man kan tænke sig, en cirkel, ikke umiddelbart med i familien af funktioner. Cirkler og også mere komplicerede kurver blev dengang beskrevet ved hjælp af ligninger. Men funktionsbegrebet viste sig at være smidigt og let at generalisere, så det ikke udelukkede, men tværtimod inddrog flere og flere områder under sin kappe. På A-niveau, i Hvad er matematik? 3, vil man møde to forskellige slags generaliseringer. Den ene er indførelse af vektorfunktioner, hvis grafer netop bliver cirkler, ellipser og i almindelighed kurver der tegnes af en partikel, der bevæger sig. Den anden er indførelse af mere end én uafhængig variabel, så vi kan arbejde med fx funktioner af to variable. Både for vektorfunktioner og for funktioner med to variable er byggestenene de funktioner af én variabel, som vi har taget fat på at undersøge her i Hvad er matematik? 1. Vi har i afsnit 3.1 og 3.2 set, at selv om vi fra starten af vores færd ind i funktionernes verden kun havde de tre vækstmodeller til rådighed, så gav indførelse af parametre i regneforskrifterne en stor udvidelse af værktøjskassen, når der skal opstilles matematiske modeller. Ved hjælp af parametre kan vi fx parallelforskyde og spejle grafer. I mange situationer har vi brug for at kunne definere funktioner og tegne grafer, der fremkommer ved at "lime en række grafer sammen", og hvor den resulterende graf fremstår med en række knæk. Sådan ser en sumkurve ud, som vi mødte i kapitel 2. Og tilsvarende en skatteskala, hvor der betales forskellige procenter i forskellige intervaller. Via bogens website kan man hente et projekt om denne type funktioner, der af naturlige grunde kaldes for stykkevis definerede funktioner (på engelsk piecewise). Funktionstypen undersøges også nærmere på B-niveau. Logaritmefunktionerne, som vi mødte i kapitel 3, opstod som tabellagte funktioner, der skulle hjælpe med regnetekniske problemer. I afsnit 2.4 har vi introduceret omvendte funktioner, og det viser sig, at logaritmefunktionerne er de omvendte funktioner til eksponentialfunktionerne. De optræder derfor meget hyppigt i matematiske problemstillinger, og det er vigtigt at have et godt kendskab til dem. Via bogens website kan man hente et projekt om logaritmerne. Der ligger yderligere projekter om logaritmernes historie og om deres anvendelser i håndtering af Richterskalaen for jordskælv, decibelskalaen for lyd og pH-skalaen for surhedsgrad af syrer og baser.

5. Projekter På bogens website ligger en række projekter, der knytter sig til kapitel 8. På bogens website ligger yderligere særlige studieretningskapitler med oplæg til samarbejde mellem studieretningsfagene, samt kapitel 10, Matematik og kultur, med materialer og projekter, der kan anvendes i et samarbejde med humanistiske fag eller i selvstændige forløb.

301

Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Testet positiv – men er du syg?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

2. 2.1 2.2 2.3

Regning med sandsynligheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Stokastiske eksperimenter og udfaldsrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Symmetriske sandsynlighedsfelter og stokastiske variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 De store tals lov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

3. Kombinatorik – tællemetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 3.1 Permutationer og binomialkoefficienter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Overvejelser over risiko og forsøg på forudsigelser kender vi meget langt tilbage i tiden. Grækerne spurgte oraklet i Delfi til råds, og romerne tog varsler af fugles indvolde. Men en mere systematisk og videnskabelig tilgang til at udtale sig om det uforudsigelige dukker først op i 1600-tallet. Udgangspunktet er her terningspil og andre "lykkespil", som de blev kaldt, og som man i adelige kredse fordrev tiden med. Professionelle gamblere mente korrekt nok, at der måtte være en tendens i udfaldet af bestemte terningespil, hvis man spillede længe nok. Men nogle af disse tendenser eller empiriske resultater stred mod deres intuition. Så de skrev til matematikere, de kendte, og spurgte om de kunne forklare "paradokserne". Ud af disse brevvekslinger opstod fundamentet for sandsynlighedsregningen, som vi her vil tage de første skridt ind i. Vi indleder med en fortælling, der illustrerer, at det ikke kun er franske adelsfolk, som intuitionen driver gæk med. Det er meget let at tage fejl i sandsynlighedsregning og statistik.

302

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

1. Testet positiv – men er du syg? De første skridt ind i sandsynlighedsregningens verden er så lette, at det næsten er banalt: Vi kaster en terning – hvad er sandsynligheden for at få en sekser? Vi kaster en mønt, hvor vi kalder de to sider for plat og krone – hvad er sandsynligheden for at få krone? Vi trækker ét kort fra en godt blandet bunke med i alt 52 kort – hvad er sandsynligheden for at trække et billedkort? Det sidste spørgsmål var ikke så let som de første to. Vi opdager allerede ved sådanne indledende opgaver, at det er vigtigt at være omhyggelig og at kunne tælle mulighederne korrekt op: Hvis vi kun regner knægt, dame og konge med som billedkort, er der 12 3 i alt 12 af disse ud af de 52 kort. Så sandsynligheden er 52 , der er det samme som 13 .

Øvelse 9.1

Kast med to terninger

Vi kaster to terninger. Hvad er sandsynligheden for, at summen af øjnene er 5? (Hint: Kald de to terninger for rød og grøn. Betegn fx et resultat af kastet (3,4). Hvor mange kombinationer af rød og grøn terning er der i alt? Hvor mange af disse giver den ønskede sum på 5?) Ved kast med en terning er der 6 muligheder, og hvis terningen er pålideligt konstrueret, er der lige stor sandsynlighed for hver af mulighederne. Derfor fastlægges 1 sandsynligheden for at få en sekser til 6 . Samme argument ved møntkast og ved 1 1 trækning af ét kort giver sandsynligheder 2 og 52 . Men hvad er svaret, hvis vi spørger: Hvad er sandsynligheden for at trække en person med blodtype A, hvis vi helt tilfældigt udtrækker én dansker? For at svare på det, skal vi vide, hvor stor en andel af den danske befolkning, der har blodtype A. Dette er 44 %. Det eneste rimelige svar er derfor, at trækker vi helt tilfældigt, så er sandsynligheden for at få en med blodtype A 44 %. Dette kaldes også en empirisk bestemt sandsynlighed. I stedet for at regne med procenter er det som udgangspunkt ofte lettere at oversætte til antal: Vi har 100 personer, ud af hvilke 44 har blodtype A. Var tallet 44,3 % kunne det oversættes til: Vi har 1000 personer, ud af hvilke 443 har blodtype A. Lad os nu se på et lidt mere kompliceret spørgsmål:

Øvelse 9.2

Klassikeren fra Harvard

Mange amerikanske lærebøger om statistik indeholder følgende eksempel på, hvor let det er at slutte forkert i sandsynlighedsregning: 1 Sandsynligheden for at udvikle en bestemt hjertesygdom er 1000 . Der er udviklet en effektiv test, som fanger alle, der har sygdommen. Men denne test fanger yderligere 5 %, der faktisk ikke har sygdommen (i statistik kaldes dette: 5 % falsk positive).

303

En person bliver testet positiv. Hvad er sandsynligheden for, at vedkommende faktisk er syg? Spørgsmålet blev stillet til 60 studenter og videnskabeligt ansatte på Harvard Medical School. - Næsten halvdelen svarede: 95 %. - Det gennemsnitlige svar var: 56 %. - Kun 11 af de 60 svarede korrekt. Hvad er dit eget bud på et svar? Denne øvelse handler helt grundlæggende om at være god til at tælle og god til at opstille de forskellige tal logisk og overskueligt. Før vi giver det korrekte svar, så kan du hjælpes på vej ved at se en film, du kan hente på bogens website (se den indledende del, gem forskningsdelen til senere). Filmen giver flere eksempler på, hvor let det er at tage fejl i sandsynlighedsregning og statistik, bl.a. følgende:

Soldyrkere lever meget længere Ny forskning blandt 4,4 millioner danskere viser, at soldyrkere i gennemsnit lever seks år længere. Kræftens Bekæmpelse finder tallene spændende.

Overdreven solforskrækkelse

Gennemsnitsdanskeren – kvinder og mænd under ét – bliver i dag 80 år. Men når det gælder denne gruppe soldyrkere, kan vi altså se, at de i snit når at fejre 86års fødselsdagen. Og at de i øvrigt har en lavere forekomst af både blodpropper i hjertet og knogleskørhed HENRIK LARSEN end resten af befolkningen, siger en af forskerne bag Et hold danske forskere er på vej med en videnskabe- undersøgelsen, professor Børge Nordestgaard, Herlev Hospital. lig artikel, som rejser spørgsmålet: Er der særlige livsforlængende ’sager’ i solens stråler? Forskerne kan ikke påpege den direkte årsagssammenArtiklen står foran offentliggørelse i videnskabstids- hæng mellem soldyrkning og fundene: Men tallene skriftet International Journal of Epidemiology og som sådan lyver ikke. viser, at mennesker, som har været ivrige soldyrkere – og har fået såkaldt almindelig hudkræft, den ikkedø- POLITIKEN 15. okt. 2013 delige form for hudkræft – i gennemsnit lever seks år længere end befolkningen som helhed.

Øvelse 9.3

Soldyrkere lever længere

Giv et referat af den case om soldyrkning og hudkræft, som professor Susanne Ditlevsen præsenterer. Hvad er de fundamentale fejl, som forskerne begår? Svar med brug af begreber som population og stikprøve, og kommenter spørgsmålet, om der er tale om en repræsentativ stikprøve for populationen. Denne case vakte stor opsigt i den internationale statistiske forskerverden, dels fordi undersøgelsen blev bragt i et af de mest anerkendte statistiske tidsskrifter, trods det at undersøgelsen begik en af de store klassiske fejl i sandsynlighedsregning og statistik, og dels fordi den blev skudt ned af et andet dansk forskerteam. På bogens website ligger et projekt, som indeholder alle de autentiske materialer.

304

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Det centrale begreb i artiklen er gennemsnitlig levealder. Hvordan beregnes den?

Øvelse 9.3

Gennemsnitlig levealder

Antag, at vi har et land, hvor den demografiske struktur er meget stabil over tid og fordeler sig således, hvis vi fokuserer på levealder: Andel af befolkningen 15 % 10 % 20 % 30 % 20 % 5%

Alder når de dør under 45 år 45-55 55-65 65-75 75-85 85-95

For nyfødte børn gælder altså, at 20 % af dem bliver mellem 75 og 85, mens 15 % vil dø, inden de bliver 45. a) H vad skal vi forstå ved gennemsnitlig levealder? Udregn denne! (Hint: Middeltal af grupperede talsæt er omtalt i kapitel 2, afsnit 3.2) b) H vad er den gennemsnitlige levealder for dem, der er blevet 55? Og for dem der er blevet 75?

Resultatet af øvelse 9.3 giver den grundlæggende forklaring på, at forskerne tog fejl. Hvis en sygdom normalt først udvikles sent i livet, så tages stikprøven af syge blandt en gruppe af befolkningen, der i gennemsnit bliver betydeligt ældre end den normale levealder. En af statistikkens fædre, William Farr, som vi omtalte i kapitel 2 i fortællingen om Florence Nightingale, udtrykte det i en artikel så tidligt som i 1840’erne således: Når generaler, biskopper og dommere med stor sandsynlighed bliver ældre end sergenter, præster og notarer, er det hverken på grund af helbred eller arbejdsforhold dem, der udnævnes til sådanne titler, er allerede oppe i årene ved udnævnelsen. Situationen i sandsynlighedsregning kan sammenlignes med situationen i procentregning: • Når man skal beregne, eller man får oplyst nogle procenttal, skal man altid spørge, hvad det er procent af? Ellers kan man komme til at sammenligne procenttal, der ikke kan sammenlignes. En nyfødt har 5 % chance for at blive over 85 år gammel. 5 1 Men er man nået forbi 65, så er chancen for at blive over 85: = = 9,1% . 55

• Når man skal beregne sandsynligheden for en bestemt hændelse, skal man altid overveje, hvad det er for en afgrænset del af verden, vi undersøger. Hvad er sandsynligheden for, at man bliver ramt af en influenzaepidemi den kommende vinter? Det afhænger af, hvilken aldersgruppe vi ser på.

305

Vi vender nu tilbage til ”Harvard-klassikeren”. Sygdommen rammer en ud af 1000. Derfor opstiller vi en matrix, eller en antalstabel baseret på en population på 1000. Der er én syg, som testes positiv – det er markeret i det grønne felt. Der er ingen syge, der testes negativ, for testen fanger alle syge. Derfor 0 i det gule felt. Da der er en syg, er der 999 ikke-syge. Antal falsk positive er så 5 % af 999. Dette er lig med 50, hvilket er skrevet i det orange felt – vi regner ikke med decimaler af mennesker. Så i alt testes 51 positivt. Tilbage er der 949, som ikke er syge, og som ikke testes positiv – det blå felt. Test/Tilstand Positivt udslag Ikke positivt udslag I alt

Syg 1 0 1

Ikke syg 50 949 999

I alt 51 949 1000

Betragt nu tabellen. En person er testet positiv og er altså blandt de 51. I denne gruppe er der 1 syg. 1 Så sandsynligheden for at vedkommende har sygdommen er 51 . Vi skriver dette således:

P(syg, når man er testet positiv) = 1 = 1,96 % ≈ 2 % 51

Var det dit svar? Se evt. filmklippet igen for at høre Susanne Ditlevsens forklaring. På bogens website ligger et projekt, hvor man går dybere ned i sådanne problemstillinger. Denne del af sandsynlighedsregningen kaldes for betingede sandsynligheder.

2. Regning med sandsynligheder At kaste en terning, at trække et kort, at vaccinere en ældre, at udvælge en tilfældig stemmeberettiget eller at sætte kryds på en lottokupon kaldes alt sammen for et eksperiment. Den slags eksperimenter, vi her taler om, adskiller sig fra eksperimenter i fysik og kemi, hvor vi normalt forventer at kunne forudsige resultaterne. De omtalte eksperimenter har noget tilfældigt over sig. Ikke på den måde, at det er tilfældigt, om en vaccine slår an, men vi kan ikke vide det med sikkerhed. Tilfældigt er derfor ikke et godt ord, og vi indfører en ny betegnelse:

2.1 Stokastiske eksperimenter og udfaldsrum Praxis: eksperiment 1., 2., 3.,Stokastisk og 4. kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) Et og eksperiment, (-,-) til (+,-). hvor det i praksis er umuligt at forudsige resultatet, kalder vi et stokastisk eksperiment. Det er svært at foretage sig noget tilfældigt! Vi tror nok på, at lottoudtrækningen er retfærdig og tilfældig.

306

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Men hvad med kast med terning og mønter? Selv om vi ikke kan forudsige det, så er der i virkeligheden noget forudbestemt over det – vi kaster på en bestemt måde, terningen og bordet, den rammer, er lavet af materialer med kendte fjedrende egenskaber osv. Det er faktisk deterministisk som andre mekaniske fænomener. Men det er i praksis umuligt at forudsige.

Øvelse 9.4

Er dette stokastisk?

Hvilke af følgende eksperimenter er stokastiske:

• At kaste en pil mod en dartskive • At gætte det tal mellem 1 og 100, som din sidekammerat har skrevet på en seddel • At udfylde en tipskupon • At gætte rektors alder • At anslå, hvor mange på et givet plejehjem der rammes af influenza den kommende vinter

Formuler selv et stokastisk eksperiment.

Øvelse 9.5

Computerens randomfunktion

Vi benytter os normalt af en indbygget tilfældighedsgenerator i computeren, når vi skal vælge et tilfældigt tal. Men også denne tilfældighedsgenerator (random) er bestemt af en formel. Første gang alle i en klasse aktiverer denne, får de i mange programmer faktisk samme tal! Det virker ikke særlig tilfældigt – men funktionen indarbejder materiale fra det, du selv arbejder med, så derefter vil man få forskellige tal. På bogens website ligger en vejledning til de gængse programmer, om programmers indbyggede randomfunktioner. Undersøg, hvordan random-funktionen virker i dit program, og bestem et tilfældigt tal mellem 1 og 1000.

Øvelse 9.6

Udvælg en tilfældig person

Hvis du selv skulle tilrettelægge en opinionsundersøgelse, hvor du skulle vælge 10 tilfældige personer på dit gymnasium, og du ikke måtte bruge computerens randomfunktion, hvordan ville du så gøre det?

Når vi kaster en terning, er der 6 muligheder; trækker vi et kort ud af en godt blandet bunke, er der 52 muligheder; udvælges en tilfældig stemmeberettiget dansker, er der ca 4,2 millioner muligheder. De mulige resultater af et stokastisk eksperiment kaldes for udfald. For terningkastet er udfaldene {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Trækker vi et kort, er mængden af udfald alle de 52 kort. Vælger vi en tilfældig dansker, består de mulige udfald af alle 4,2 millioner stemmeberettigede.

307

Definition: Udfald, sandsynligheder og sandsynlighedsfelt 1) Til et givet stokastisk eksperiment hører et udfaldsrum U, som består af mængden af de mulige udfald, U = {u1, u2, ..., un}. 2) Til hvert af elementerne ui i udfaldsrummet U = {u1, u2, ..., un} knyttes en sandsynlighed pi . Sandsynlighederne skrives ofte som en funktion: P(ui ) = pi 3) De enkelte sandsynligheder ligger mellem 0 og 1: 0 ≤ pi ≤ 1 eller skrevet med P: 0 ≤ P(ui ) ≤ 1 4) Summen af sandsynlighederne er 1: p1 + p2 + ...+ pn = 1 n

Dette skrives også:

∑ P(u ) = P(u ) + P(u ) + 1

... + P(un ) = 1

Et udfaldsrum med tilhørende sandsynlighedsfunktion (U,p) kaldes under et for et sandsynlighedsfelt. 5) E n delmængde af udfaldsrummet kaldes for en hændelse. Hvis A er en hændelse, så er sandsynligheden for A, P(A) defineret som summen af alle sandsynligheder P(ui ), for de udfald ui, der er med i A. 6) A lle de udfald, der ikke er med i A, kaldes den modsatte (af og til: den komplementære) hændelse. Den betegnes af og til A. 7) Hvis alle sandsynligheder har samme værdi, så kaldes det for et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Bemærkning: Det er praktisk at tillade sandsynligheden 0 for et element, der umuligt kan trækkes, og 1 for et element, der trækkes med sikkerhed. Hvis ét af elementerne har sandsynligheden 1, tvinges de andre dog til at have sandsynligheden 0. I så fald er der strengt taget ikke længere tale om et stokastisk eksperiment, men derimod et deterministisk eksperiment, idet udfaldet jo i så fald er givet på forhånd. Vi holder ofte regnskab ved hjælp af en sandsynlighedstabel på formen: Udfald u

...

Sandsynlighed p

...

Øvelse 9.7 Vi har givet en sandsynlighedstabel, hvor noget er udfyldt: Udfald u

Sandsynlighed p

0,1

0,25

Færdigudfyld tabellen.

308

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Eksempel: Modsatte hændelser Ofte kan man skyde en genvej, når man skal beregne sandsynligheden for en bestemt hændelse, nemlig ved først at beregne sandsynligheden for den modsatte hændelse. Hvis sandsynligheden for hændelse A er lig med q, så er sandsynligheden for den modsatte hændelse, A nemlig lig med 1 – q. Argumentet er følgende: Ifølge punkt 5 er P(A) summen af alle sandsynligheder for udfaldene i A. Det samme gælder for P(A). Ifølge punkt 6 består A og A tilsammen af alle udfald. Ifølge punkt 4 er summen af alle sandsynligheder 1. Derfor er:

P(A) + P(A) = 1

Hvoraf: P(A) = 1 – P(A) og P(A) = 1 – P(A) Hvis P(A) = q, er formlen: P(A) = 1 – q

Eksempel: Opgavetypen – Bestem sandsynligheden for mindst én … I næste afsnit, 9.2, lærer vi, at sandsynligheder ofte kan ganges sammen. 1 Sandsynligheden for at få en sekser i ét kast er 6 . Sandsynligheden for at 1 3 få tre seksere i tre kast er derfor ( 6 ) . Men hvad er sandsynligheden for at få mindst én sekser ved tre kast? De kunne udregnes som summen af sandsynlighederne for at få præcis én, for at få præcis 2 og for at få tre seksere. Men det er meget lettere at sige: P(mindst én sekser i tre kast) = 1 – P(ingen én sekser i tre kast) 5 Sandsynligheden for ingen sekser i første kast er jo 6 , så 5

P(ingen én sekser i tre kast) = ( 6 ) = 0,5787 = 57,87 % dvs: P (mindst én sekser i tre kast) = 1 – P(ingen én sekser i tre kast) = 1 – 0,5787 = 0,4213 = 42,13 %

Øvelse 9.8

Sandsynligheden for gevinst mindst én gang

I et bestemt lotteri er der gevinst på 20 % af lodderne. Sandsynligheden for, at der er 1 gevinst på et lod, er derfor 5 . Børge har regnet ud, at køber han 5 lodder, er han sikker på at få gevinst. Men det er ikke helt rigtigt. Hvad er sandsynligheden for, at han får mindst én gevinst?

309

Øvelse 9.9

Fødseldagsparadokset

Vi antager i det følgende, at fødselsdage er spredt jævnt ud over året, så der er lige mange, der har fødselsdag på hver dag. Det er ikke helt rigtig, men det antager vi. a) H vad er sandsynligheden for, at to tilfældige elever ikke har fødselsdag på samme dag? Hvad er sandsynligheden for, at to tilfældige elever har fødselsdag på samme dag? b) H vad er sandsynligheden for, at der blandt 5 tilfældigt valgte elever er mindst to, der har fødselsdag på samme dag? c) E n klasse har 28 elever. Du kender dem ikke. Skriv på en seddel dit gæt på, hvad sandsynligheden er for, at der i klassen er mindst to, der har fødselsdag på samme dag. d) Udregn nu sandsynligheden for, at der i klassen er mindst to, der har fødselsdag på samme dag. Bemærkning: Udregningen indeholder et langt gangestykke – vi får senere et værktøj til at udregne dette hurtigere.

På bogens website ligger et projekt om fødselsdagsparadokset, hvor vi undersøger spørgsmålet eksperimentelt. På bogens website ligger et projekt om fødselsdagsparadokset, hvor vi undersøger spørgsmålet eksperimentelt.

2.2 Symmetriske sandsynlighedsfelter og stokastiske variable Sætning Definition1A: 1 Sandsynligheder i et symmetrisk sandsynlighedsfelt – Formel-repræsentation Akserne naturligt i 4 områder, som kaldes 1., 2., 3.,afog 4. Hvis A erinddeler en hændelse i etkoordinatsystemet symmetrisk sandsynlighedsfelt, dvs. A udgøres kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til et (+,-). en samling på k af de i alt n udfald, så er sandsynligheden for, at vi trækker k

element fra A, lig med: P(A) = n .

Bevis Hvis alle sandsynligheder har samme værdi, p, så gælder ifølge punkt 4:

p + p + p ... + p = 1

n · p = 1

Der er i alt n udfald

1 n 1

Nu ved vi, at hvert af udfaldene repræsenterer en sandsynlighed på p = . n A består af i alt k elementer. Derfor er ifølge punkt 5:

310

1 n

p= p+ = p+ = P(A)

1 1 k +p...= = n n n

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Hændelsen A kan ofte være beskrevet ved en eller anden egenskab, fx: A udgøres af: alle danskere med blodtype A. Når vi fokuserer på en sådan egenskab, så kaldes alle elementerne med den pågældende egenskab med et gammeldags ord ofte for de gunstige. Sætningen kan derfor formuleres således:

Sætning andsynligheder i et symmetrisk sandsynlighedsfelt – Definition1B: 1 S Sproglig repræsentation Akserne naturligt i 4 områder, som 1., 2., og 4. Hvis A erinddeler en hændelse i etkoordinatsystemet symmetrisk sandsynlighedsfelt, ogkaldes vi kalder de3., udfald, kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til 4. er mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-). der tilhører A for gunstige, så gælder P(A) = sandsynlighed for at få A =

antal gunstige . antal mulige

Øvelse 9.10 Når vi trækker kort fra en bunke på 52, så udgør billedkortene en hændelse. Bestem sandsynligheden for at trække et billedkort.

Øvelse 9.11 Opstil sandsynlighedstabeller for følgende stokastiske eksperimenter, og angiv, hvilke der er symmetriske: a) Kast med én mønt, udfaldet kan være plat eller krone. b) K ast med tre forskellige mønter, hvor udfaldet for hver mønt kan være plat eller krone. c) Kast med tre forskellige mønter, og tæl antallet af krone. d) Træk af et kort fra en bunke på 52 og observer farven. e) T ræk af et kort fra en bunke på 52 og observer, om det er henholdsvis et es, et billedkort eller et af de øvrige kort. f) Gæt på barnets køn, før der er lavet en scanning. Find relevant talmateriale på nettet.

Betragt det stokastiske eksperiment: 10 kast med en mønt. To forskellige udfald kunne være:

K P P K P P P K P K og P P K P K P P K K P

hvor K og P betyder krone og plat. Men vi er ligeglade med rækkefølgen, vi er alene interesseret i antallet af krone (og af plat). I stedet for at skrive resultatet som rækken af de 10 udfald, vil vi indføre en stokastisk variabel, X, der angiver antallet af krone, og for begge udfald gælder således: X = 4. Sandsynligheden for, at vi får 4 krone, skrives således: P(X = 4)

311

Definition: tokastisk variabel Definition 1S En stokastisk variabel X er en funktion, der laver udfaldene, i udfaldsrummet i Akserne inddeler naturligt koordinatsystemet i 4 områder, somukaldes 1., 2., 3., og 4. om til tal. Er u et udfald, så er X(u ) = x et tal, vi kan regne på. i kvadrant. Omløbsretningen fra 1. til i4. eri mod uret, fra (+,+) over (-,+) og (-,-) til (+,-). Sandsynligheden for, at ui indtræffer, er det samme som sandsynligheden for xi , der skrives: P(X = xi )

Bemærkning: Bag et bestemt xi kan der ligge flere forskellige udfald. Vi mister derfor noget information ved at gå fra udfaldsrum til stokastisk variabel. Men vi vinder i stedet for overblik: Udkaldsrummet med de 10 møntkast består af 210 = 1024 elementer! Antallet af mulige værdier for de stokastiske variable er 11! Til enhver stokastisk variabel X er der ligesom med udfaldene knyttet en sandsynlighedstabel:

Stokastisk variabel X

...

Sandsynlighed P(X = x1)

...

Øvelse 9.12

Summen af øjnene ved kast med to terninger

Vi ønsker at opstille en sandsynlighedstabel over summen af øjnene, når vi kaster med to terninger. Vi tænker på dem som farvede terninger, så vi kan skelne, og vi opstiller en krydstabel. rød \ blå

Inde i tabellen skal vi notere summen af øjnene, som angivet med tallet 5 (= 2 + 3). a) Hvor i tabellen ligger de udfald, der giver en sum på 5? Vi lader nu X være den stokastiske variabel, der angiver summen af øjnene. b) Udfyld tabellen: X = xi

P(X = xi )

1 36

(Hint: Det er normalt en fordel at arbejde i et symmetrisk sandsynlighedsfelt. Se derfor på hele tabellen med de 36 muligheder, og tæl antal gunstige.)

312

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Øvelse 9.13

Summen af øjnene undersøgt eksperimentelt

Benyt en random-funktion i et værktøjsprogram til at gennemføre en simulering af det stokastiske eksperiment: summen af øjnene i kast med to terninger. a) G ennemfør simuleringen 1000 gange, og registrer resultaterne i en liste. b) O pret en ny liste, hvor du har summeret op, hvor mange af resultaterne, der gav 2, 3, 4 osv. c) Præsenter fordelingen i et passende diagram. d) Udregn de relative andele, og præsenter disse i et diagram sammen med sandsynlighedstabellen fra øvelse 9.12. På bogens website ligger en vejledning til, hvordan sådanne lister genereres i de gængse programmer.

På bogens website er der adgang til et projekt, hvor man undersøger roulettespil eksperimentelt.

Eksempel: Vi kan skelne mellem terninger, men ikke mellem elementarpartikler I kvantemekanikken, der er den del af fysikken, som beskriver den atomare verden, anvendes i vid udstrækning sandsynlighedsregning og statistik. Men man kan ikke skelne mellem fx protoner og sige – "lad os antage den ene er rød og den anden blå" – heller ikke teoretisk. Derfor gælder der andre love i sandsynlighedsregningen blandt atomer.

Øvelse 9.14

Galileis dilemma – summen af øjnene ved kast med tre terninger

Du kan på bogens website finde et projekt om og analyse af et tilsvarende, men lidt sværere problem, nemlig summen af øjnene ved kast med tre terninger. Galilei løste det, og det er gået ind i sandsynlighedsregningens historie som Galileis dilemma.

2.3. De store tals lov Vi bygger ofte vores vurderinger og handlinger på vores intuition. Men i sandsynlighedsregning skal man også passe på med kun at bruge sin intuition – man kan tage grueligt fejl. Øvelse 9.9 ovenfor om fødselsdagsparadokset strider vist mod de flestes umiddelbare forestilling. På bogens website er der et projektmateriale, der indeholder flere overraskende fænomener.

313

Øvelse 9.15

Terninger husker ikke

a) A nna har kastet 12 gange med en terning og ikke fået én eneste sekser. Det er mistænkeligt, siger Anna. Hvad siger du? b) A nna trøstes af sin far, der siger, at det jo trods alt bliver mere og mere sandsynligt, at hendes næste slag vil være en sekser. Hvad siger du til farens trøst? 1

c) Hvad betyder det, når vi siger, at sandsynligheden for at få en sekser er 6 ? d) Anna og Nina beslutter sig til at slå med to terninger af gangen, for så er sandsynligheden for at få en sekser ifølge Anna dobbelt så stor. Med tre seksere ville sandsynligheden være tre gange så stor, men det skal også være lidt spændende, så derfor kaster de kun med to terninger. Hvad siger du til det regnestykke?

Andel for krone

Store tals lov 1

0,5

0 0

100

200

300

Selv om Annas fars argument ikke holder, så har han alligevel fat i noget. Hvis vi kaster 1 en terning mange gange, så vil vi forvente, at andelen af 6’ere nærmer sig 6 . Kaster vi en terning 6 gange, vil vi ikke sige, at der er noget galt, hvis vi ingen sekser får. Kaster 1 vi terningen 60 gange, vil vi forvente, at andelen af 6’ere nærmer sig 6 , dvs. nærmer sig 10. Får vi 7 eller 13, ville vi næppe sige, at der er noget galt. Men kaster vi den 600 gange og får 70 eller 130 6’ere, så ville vi nok påstå, at der er noget galt, det er ikke en "ærlig" terning. Dette er i overensstemmelse med en dyb sætning fra den teoretiske sandsynlighedsteori, en sætning der har fået navnet De store tals lov. Den siger, at hvis et basiseksperiment har sandsynligheden p for held, og hvis vi gentager eksperimentet mange gange, så vil andelen af gange, vi får held, dvs. frekvensen af udfaldet held, nærme sig p, som illu400 500 600 700 800 900 1000 streret på tegningen. Antal møntkast

Store tals lov: Når man kaster en mønt mange gange, vil andelen af krone nærme sig 0,5.

Det er De store tals lov, der begrunder vores definition af sandsynlighed.

Praxis: Teoretisk og eksperimentel sandsynlighed

Sandsynligheden for at få en sekser ved kast med en terning sættes til 6 , fordi der er lige stor sandsynlighed for at få hvert af de 6 mulige udfald. Dette er en teoretisk værdi, som kan efterprøves eksperimentelt: Hvis vi 1 gentager eksperimentet mange gange, så vil andelen af seksere nærme sig 6 . Mange gange betyder egentlig uendeligt mange gange. I praksis vil vi sige omkring 1000 gange! Hvis andelen ikke nærmer sig 1 , er det et udtryk for, at den teoretiske værdi 6 ikke er korrekt.

314

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

3. Kombinatorik – tællemetoder Eksempel: Poker – at tælle antal gunstige Vi spiller poker med et almindeligt spil kort bestående af 52 blade. Hver deltager får 5 kort. Hvad er sandsynligheden for, at en af deltagerne sidder med 4 ens kort (med samme værdi)? For at løse dette vil vi gerne føre situationen tilbage til et symmetrisk sandsynlighedsfelt og anvende formlen:

P(4 ens) =

antal gunstige antal mulige

Antal mulige er her: antal forskellige måder vi kan få 5 kort ud af de 52. Det har vi ikke lært endnu, men det er klart, at der må være et svar på det spørgsmål. Det vender vi tilbage til. Antal gunstige kan måske lettest regnes ud ved at bruge metoden fra summen af to terninger: Først nummererer vi de 5 kort: 1, 2, 3, 4, 5, så vi kan skelne mellem dem. Lad os nu prøve, om vi kan tælle op ved hjælp af et tælletræ (tegn selv med):

• Først vælges, hvilken værdi de 4 ens har: Her må være 13 muligheder. • Så vælges, hvilket af de nummererede kort, der ikke er med i de 4: Her må være 5 muligheder. • Dernæst vælges værdien af dette kort: Her er der 48 muligheder tilbage.

Tælletræet giver så, at antallet af forgreninger øverst er: 13 · 5 · 48 = 3120 gunstige Vi har set flere eksempler på ikke-symmetriske sandsynlighedsfelter, hvor tricket i udregningen af de enkelte sandsynligheder er at føre situationen tilbage til et bagvedliggende udfaldsrum, hvor der er symmetri. Her er det lettere at udregne sandsynlighederne, og så summerer vi til sidst op. Det betyder ikke, at alt kan føres tilbage til et symmetrisk sandsynlighedsfelt, men meget kan, og det er regneteknisk en stor fordel. I symmetriske sandsynlighedsfelter arbejder vi med formlen om antal gunstige og antal mulige. Vi har derfor behov for at sætte fokus på tællemetoder. Den mest elementære tællemetode er at opstille et tælletræ og se, hvor mange veje igennem der er.

Øvelse 9.16 Kan man på en restaurant vælge mellem n1 = 5 forretter, n2 = 3 hovedretter og n3 = 4 desserter, på hvor mange måder kan man så sammensætte en treretters menu? Tegn et tælletræ, der illustrerer valgsituationen, og udregn antallet af måder.

315

Øvelse 9.17 a) R estauranten har yderligere en café, hvor man tilbyder menuer bestående af salater og kager som dessert. Der er 6 salater og 5 kager at vælge mellem. Hvor mange cafémenuer kan vi sammensætte? b) H vor mange menuer i alt kan vi få i dette madhus – hvis vi antager, at vi ikke må blande restaurant og café?

Øvelserne illustrerer de to grundlæggende tællemetoder:

Praxis: Multiplikations- og additionsprincippet Hvis vi skal foretage k valg efter hinanden, og der i hver valgsituation er henholdsvis n1, n2, ... og nk valgmuligheder, så er det samlede antal, vi kan vælge: n1· n2· ... · nk (multiplikationsprincippet) Hvis det samlede antal valgmuligheder fremkommer ved, at vi enten skal foretage et valg blandt en gruppe på N1 elementer eller et valg blandt en anden gruppe på N2 elementer, så er det samlede antal, vi kan vælge: N1 + N2 (additionsprincippet)

En af konsekvenserne af disse tællemetoder er, at det giver os en metode til beregning af sandsynligheder, i tilfælde hvor vi kombinerer uafhængige hændelser. Begrebet uafhængige hændelse er vigtigt i sandsynlighedsregning. Vores definition af, om to hændelser A og B er uafhængige, er heldigvis i stor udstrækning i overensstemmelse med vores intuition: En viden om, at hændelsen B er indtruffet, må ikke påvirke sandsynligheden for, at A indtræffer. Hvis de to eksperimenter er: 1) kast med en terning, 2) kast med en mønt, så vil udfaldet af det ene ikke være afhængig af det andet. De er uafhængige. Men hvis det i stedet var: 1) spørg en tilfældig vælger, om holdningen til EU, 2) spørg samme vælger om, hvad vedkommende stemmer, så var det klart, at der var afhængighed.

Definition: Uafhængige hændelser To hændelser A og B, der begge er en del af et større udfaldsrum, siges at være uafhængige, hvis det er sådan, at en information om, at den ene hændelse er indtruffet, ikke påvirker sandsynligheden for, at en anden hændelse vil indtræffe. Hvis de to hændelser overlapper som på tegningen, kan dette udtrykkes: P(A og B) P (A) = P (B)

316

A og B

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Sætning 2: Sandsynligheder ved kombination af uafhængige hændelser 1) Hvis to hændelser M og N ikke har noget fælles udfald, så gælder der om sandsynlighederne: P(enten M eller N) = P(M) + P(N) 2) Hvis to hændelser A og B er uafhængige, så gælder der om sandsynlighederne: P(både A og B) = P(A) · P(B)

Øvelse 9.18 a) Bevis sætningen for et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

Øvelse 9.19

En sur ged eller en cadillac? - Monty Hall-problemet

Et amerikansk TV-show blev berømt på sin afsluttende konkurrence. Før vinderen får sin præmie, skal vedkommende gætte, bag hvilken af tre døre den nye bil står. Bag de andre to døre står en sur ged. Når man har valgt døren, så åbner TV-værten Monty Hall en af de andre to døre og viser, at her står en ged. Du får nu tilbuddet om at vælge om eller fastholde din dør. Hvad skal du gøre? Svaret indgår i et projekt om Monty Hall, hvor man også undersøger situationen eksperimentelt. Du kan finde projektet på bogens website.

3.1 Permutationer og binomialkoefficienter Tælletræer bliver ofte meget uoverskuelige. Hvor stor er sandsynligheden for, at 40 ud af 50 tulipanløg spirer: Man kunne stille det op i et tælletræ med 50 lag, hvor hvert lag repræsenterer et løg med valgmuligheden: Spirer – Spirer ikke. Illustrationen viser tre lag. Hvis vi siger, at spirer betyder, at vi går til venstre, så skal vi 40 gange op gennem træet gå til venstre og 10 gange til højre. Det forekommer umiddelbart svært at tælle op. Vi har brug for en bedre metode. På den anden side er det klart, at der findes et sådant tal, der angiver, på hvor mange måder vi kan vælge de ti, der ikke spirer ud af de 50 løg. Dette tal er helt centralt – ikke bare i sandsynlighedsregning, men også i mange andre dele af matematik.

osv.

Tredje løg: Spirer/Spirer ikke?

Andet løg: Spirer/Spirer ikke?

Første løg: Spirer/Spirer ikke?

Spirer

Spirer ikke

317

Definition: Binomialkoefficienter K (n,r ) Antallet af måder, hvorpå vi kan vælge en stikprøve på r individer ud af en population på n, betegnes K(n,r). Tallene kaldes binomialkoefficienter. n Af og til anvendes symbolet  r for K(n,r).

 

Øvelse 9.20

Opskriv samtlige muligheder

Bestem tallet K(5,3) ved at opskrive alle mulige delmængder bestående af 3 elementer valgt ud af de 5 bogstaver A, B, C, D, E.

Øvelse 9.21

Binomialkoefficienter på værktøjsprogrammet

Find ud af, hvordan du bestemmer binomialkoefficienterne i dit værktøjsprogram. Kontroller resultatet i den foregående øvelse.

Binomialkoefficienterne indgår i Pascals trekant. Opbygningen af Pascals trekant demonstreres i den venstre figur nedenfor. Hvert tal i trekanten er summen af de to ovenstående! Men tallene er også lig med binomialkoefficienterne. Tallene i den 5. række angiver nemlig antallet af måder, vi kan gå henholdsvis 0, 1, 2, 3, 4 eller 5 gange til højre i tælletræet ovenfor. Antallet af måder, vi kan gå 2 gange til højre, er altså 10. Men det svarer jo til antallet af måder, vi kan vælge 2 ud af 5 på, altså netop det tal, vi her har defineret som K(5,2). 1 K(0,0)

1 K(1,0) K(1,1)

1 1 1 1

3 4

6 10

K(2,0) K(2,1) K(2,2)

1 4

K(3,0) K(3,1) K(3,2) K(3,3)

1 5

K(4,0) K(4,1) K(4,2) K(4,3) K(4,4)

K(5,0) K(5,1) K(5,2) K(5,3) K(5,4) K(5,5)

Vi ser i trekanten, at K(5,2) er lig med tallet 10. Kontroller med dit værktøjsprogram!

Eksempel: Binomialformlen (især for A-niveau) Pascals trekant kan anvendes til at udregne binomialformler som (p + q) 3. På bogens website kan du finde et projekt om Pascals trekant, hvor vi går dybere ned i dette og redegør for den sumregel, vi omtalte ovenfor.

318

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Vi vil nu udlede en formel for binomialkoefficienterne. Dertil har vi først brug for følgende:

Definition: Fakultetstallene Ved n!, der læses "n fakultet", forstås produktet af de n første tal, dvs.

n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1

Bemærkning: Fakultetstallene er ligesom binomialkoefficienterne indbygget i værktøjsprogrammerne. Fakultetstallene vokser ekstremt hurtigt, således er

4! = 4 · 3 ·2·1 = 24

5! = 5 · 4 · 3 ·2·1 = 120

6! = 720.

Ved store fakultetstal er det derfor ikke sikkert, værktøjsprogrammet kan håndtere dem præcist længere. På A-niveau ser vi nærmere på, hvordan fakultetstallene kan udregnes, når n ikke er et naturligt tal. Fakultetstallet n! angiver antallet af måder, hvorpå man kan stille n individer i række. At stille fx 5 personer, tal eller ting på række, kaldes at foretage en permutation af de 5. Det virker måske overraskende, at er man blot 5 i en gruppe, så kan man stille sig op på 120 forskellige måder. Et fodboldhold på 11 spillere, der løber ind på banen i en lang række, kan gøre dette på 39 916 800 forskellige måder. På den første plads placeres en af de 11. Uanset hvem, så kan der vælges 10 forskellige til 2. pladsen. Og uanset hvem, så kan der vælges 9 forskellige til 3. pladsen osv. Multiplikationsprincippet giver nu resultatet.

Sætning 3: Formlen for binomialkoefficienten r

 

n K(n,r) =  =

n! r! · (n–r)!

Bevis Først ser vi på et taleksempel. 4 personer spiller kort og anvender et almindeligt sæt med 52 spillekort. Der fordeles kort, og hver spiller får 13. Man synes måske, man har set de kort før – men på hvor mange måder kan den enkelte spiller få en hånd med 13 kort? Svaret er, at det kan ske på K(52,13) forskellige måder. Dette tal kan nu bestemmes ved at stille et lidt andet spørgsmål: På hvor mange forskellige måder kan bunken med 52 kort blandes, dvs. på hvor mange måder kan de 52 kort lægges i række? Svaret herpå er 52! forskellige måder. Da vi skal til at lægge dem i række, taber vi kortene på gulvet. Først samler vi en bunke op på 13 kort ud af de 52. Det kan ske på K(52,13) forskellige måder. Dernæst lægger vi disse 13 i række. Det kan ske på 13! forskellige måder. Endelig tager vi de resterende 39 kort op fra gulvet (det kan ske på en måde) og lægger dem i række bagefter de 13.

319

Det kan ske på 39! forskellige måder. Multiplikationsprincippet giver nu, at det samlede antal måder, hvorpå kortene kan lægges i række, er K(52,13) · 13! · 39!. Men nu har vi udregnet dette på to måder og får derfor ligningen:

K(52,13) · 13! · 39! = 52! K(52,13) =

52! 13! · 39!

Isoler K(52,13)

Det er klart, at dette argument ikke har noget at gøre med, at der lige er 52 kort, eller at vi får en hånd på præcis 13. Så formlen gælder generelt.

Øvelse 9.22 a) Bestem tallet K(52,13). b) En klasse på 28 skal nedsætte et udvalg på 4. På hvor mange måder kan dette ske?

Øvelse 9.23 a) V is, at formlen for K(52,13) kan reduceres til følgende: K (52,13) =

52 ⋅ 51 ⋅ 50 ⋅ ... ⋅ 40 13 ⋅ 12 ⋅ 11 ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1

b) V is, at formlen for K(n,r) kan reduceres til følgende: K ( n, r ) =

(

)

n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2) ⋅ ... ⋅ n − ( r − 1) r ⋅ ( r − 1) ⋅ ( r − 2) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1

Øvelse 9.24 Udregn med brug af foregående øvelse værdien af binomialkoefficienten K(9,4) i hånden, dvs. uden brug af lommeregner, men ved at forkorte i brøken, og sammenlign dernæst med værktøjsprogrammets værdi.

Eksempel: Sandsynligheder i spil

Vi har nu tilstrækkeligt materiale til, at vi kan svare på spørgsmål om sandsynligheder i forskellige former for spil. Vi giver blot et eksempel her. I Opgavebogen ligger en lang række andre eksempler. Når man spiller en meget simpel udgave af poker, får man 5 kort ud af de 52. Full House er betegnelsen på en hånd, hvor der er henholdsvis 3 ens af en værdi, 2 ens af en anden værdi. Hvad er sandsynligheden for at få Full House? Alle hænder har samme sandsynlighed, så vi anvender formlen: antal gunstige P (Full House) = antal mulige Antal mulige er tallet K(52,5).

320

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Udregning af antal gunstige sker ved at anvende multiplikationsprincippet på følgende valgsituationer: Først vælges, hvilke to værdier der indgår. Trippelkortet kan vælges på 13 måder, dobbeltkortet på 12 måder. Dernæst vælges, hvilke 3 kulører af den første værdi der indgår. Det kan gøres på K(4,3) måder. Endelig vælges, hvilke 2 kulører af den anden værdi der indgår. Det kan gøres på K(4,2) måder. Antal gunstige er derfor tallet 13 ·12· K(4,3) · K(4,2). Og sandsynligheden for at få Full House er: 13 ⋅ 12 ⋅ K (4, 3) ⋅ K (4, 2) P (Full House) = = 0,00144 = 0,144% K (52, 5)

Sandsynlighedsregningen opstod i 1600-1700 tallet i tilknytning til adeliges tidsfordriv med spil. De stillede jævnligt spørgsmål til deres matematisk begavede venner, og ud af disse korrespondancer voksede en teori frem. Du kan på bogens website finde et projekt om nogle af de ikke helt lette spørgsmål, som spillefuglene tumlede med.

Opgaver I opgavebogener er der opgaver i tilknytning til afsnit 3.

321