Hvad er matematik? A_OPGAVEBOG by Alinea

Hvad er matematik? A OPGAVEBOG

Bjørn Grøn, Bjørn Felsager, Bodil Bruun og Olav Lyndrup

0. Diskret matematik Opgaver og facit til A-bogens kapitel 0 findes på bogens hjemmeside:

1. Kontinuitet 1. Uendelighed – de rationale og de reelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Kontinuitet, grænseværdi og kontinuerte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Hovedsætning om kontinuerte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2. Differentialregning A 2. Differentiabilitet og tangenter til grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3. Sammensat funktion, eksponential-, logaritmeog potensfunktioner . . . . . . . 23 4. Regneregler for differentiation – produktregel og brøkregel . . . . . . . . . . . . . . . 26 5. Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold . . . . . . . . . . . . 27 6. Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . 33 7. Supplerende opgaver. Modellering og optimering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3. Integralregning 2 2. Integration som den omvendte proces af differenriation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3. Metoder og algoritmer til integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4. Arealberegninger og rumfangsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5. Summer og integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 6. Anvendelse og blandede opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4. Første ordens differentialligninger 2. Introduktion til differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3. Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4. Eksakt løsning af differentialligninger – logistisk vækst . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5. Separation af de variable (supplerende stof). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 7. Supplerende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3 Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_00.indd 3

03/09/14 12.42

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum 3. Vektorer i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4. Skalarprodukt af vektorer i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Projektioner i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Determinanten for et vektorpar i planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7. Vektorprodukt (krydsprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Linjer og planer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Vinkel mellem linjer og planer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Skæring mellem objekter i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 11. Afstande i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6. Vektorfunktioner 1. Infrastruktur og trafikplanlægning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

2. Vektorfunktioner og banekurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3. Krumning for en banekurve. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4. Anvendelser af vektorfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7. Lineær og kvadratisk programmering (supplerende stof) 1. Operationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 2. Lineær programmering i to variable – følsomhedsanalyse. . . . . . . . . . . . . . . 123. 3. Andengradspolynomier i to variable – et mellemspil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 4. Kvadratisk programmering i to variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132. 6. Supplerende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof) 2. Introduktion til anden ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3. Analytisk løsning af anden ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4. Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5. Koblede differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

9. Regressionsmodeller (supplerende stof) 2.

Matematikken bag mindste kvadraters metode: Lineær regression. . 150

3. – 4.

Kvaliteten af en lineær regression – hypotesetest . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5 og 7

Multilineær og ikke-lineær regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158

4 Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_00.indd 4

25/08/14 10.46

Facitliste 1. Kontinuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167. 2. Differentialregning A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 3. Integralregning 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182. 4. FĂ¸rste ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 6. Vektorfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 7. LineĂŚr og kvadratisk programmering (supplerende stof). . . . . . . . . . . . . . . . . 215 8. Anden ordens differentialligninger (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 9. Regressionsmodeller (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

5 Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_00.indd 5

25/08/14 10.46

Kontinuitet

Uendelighed – de rationale og de reelle tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kontinuitet, grænseværdi og kontinuerte funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hovedsætning om kontinuerte funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1 Uendelighed – de rationale og de reelle tal Opgave 1.1 Sammenhængen mellem brøker og decimalbrøker kan illustreres af følgende tre eksempler: 1 = 0,25 4

1 = 0,333... = 0,3 , hvor 3 2 = 0,181818... = 0,18 . 11

stregen over 3 betyder, at 3 gentages "i det uendelige".

I første eksempel taler vi om en endelig decimalbrøk. I de andre eksempler taler vi om uendelige, men periodiske decimalbrøker. Perioden er her henholdsvis 1 og 2

a) Begrund hvorfor vi også i det første eksempel kan tale om en uendelig, periodisk decimalbrøk.

b) Omskriv tilsvarende:

10 11

7 5

5 7

c) H vorfra ved vi, at der i eksempel 3 er en periode, dvs. en bestemt talsekvens, der fortsætter med at gentage sig?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 6

25/08/14 10.54

1. Kontinuitet

Opgave 1.2

a) Omskriv

4 17

til en decimalbrøk.

Hvorfra ved vi, at der en periode, dvs. en bestemt talsekvens, der fortsætter med at gentage sig? 572

b) Begrund at tallet 811 kan skrives som en periodisk decimalbrøk og angiv et maksimum for perioden. (Hint: Du skal ikke foretage divisionen)

c) Argumenter selv for følgende sætning: p

Enhver brøk q , hvor p,q ∈ , kan skrives som en endelig eller en uendelig og periodisk decimalbrøk.

Opgave1.3 Endelige decimalbrøker omskrives let til brøker. Eksempelvis er: 0,237 =

237 . 1000

I virkeligheden har vi lavet følgende regnestykke:

x = 0,237 ⇔ 1000 x = 237 ⇔ x =

237 . 1000

Samme tankegang kan vi anvende til omskrivning af uendelige, periodiske decimalbrøker som eksempelvis tallet x = 0,57373 . . . :

–

1000x = 573,73 . . . 10x = 5,7373 . . . 990x = 568

Konklusion: x =

568 990

a) Omskriv efter samme idé tallene:

1) x = 0,234234234 . . .

2) x = 8,7565656 . . .

3) x = 52,321111 . . .

b) Argumenter selv for følgende sætning: Enhver endelig eller uendelig og periodisk decimalbrøk kan omskrives til en almindelig brøk, med hele tal i tæller og nævner.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 7

7 25/08/14 10.54

Opgave 1.4

a) Argumenter for at følgende tal er et irrationalt tal: x = 0,123456789011121314 . . .

b) Opskriv yderligere tre eksempler på irrationale tal, hvor der er et system i decimalernes rækkefølge.

Opgave 1.5 Anvend intervalruseteknikken til at vise Bolzano-Weierstrass sætning: Hvis x1, x2, x3, ..., xn er en følge af reelle tal, der er begrænset, dvs. der findes et interval [a;b], så alle xi ’erne ligger i dette, så har følgen et fortætningspunkt i [a;b], hvorved forstås et tal x0, hvorom der gælder, at der kan udtages en delfølge z1, z2, z3 af xi ’erne, som går mod x0: zk → x0 når k → ∞. (Hint: z1 kan bestemmes således: Halvér intervallet [a;b]: I mindst én af halvdelene ligger der uendeligt mange af xi ’erne. Vælg dette interval, og udtag et af xi ’erne som z1. Overvej nøje, hvor det er, vi anvender, at [a;b] er et lukket interval).

1.2 K ontinuitet, grænseværdi og kontinuerte funktioner I det følgende går vi ud fra de intuitivt indlysende regneregler for grænseværdi, der kort udtrykt siger: Hvis de funktioner, der indgår i et større regneudtryk, hver for sig har en grænseværdi, og vi ikke risikerer at dividere med 0, så udregnes grænseværdien af sum, differens, produkt og kvotient faktor for faktor, og led for led således: x + x ⋅ cos ( x ) 2

Når x → p vil

3 x − sin ( x )

→

π + π ⋅ cos ( π ) 2

3 π − sin ( π )

π −π 3π − 0

π (π − 1) 3π

π −1 3

Opgave 1.6 Bestem grænseværdien af:

a) 3(1 – x)(2 – x)

t 4−t

x −1 x +1

t + 3t − 10 t+5

for x → 2 for t → –4 for x → 1 og for x → –1

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 8

for t → –5

25/08/14 10.54

1. Kontinuitet

x + 2x x2 − 4

for x → –2

for x → –1

x +1 x +1

4+h −2 h 2

x −1 x+3 −2

for x → 0 (Hint: forlæng med 4 + h + 2)

for x → 1 (Hint: forlæng med

x + 3 + 2)

Opgave 1.7 Brøken

2x x

vil nærme sig 2, når x → x0.

Find tilsvarende brøker, der for x → x0 vil nærme sig 0,

1 2

og ∞.

Opgave 1.8 Er funktionen:  2 x − 1,5 for f ( x) =  1  2 x + 3,5 for

kontinuert i x0 = 3?

x≤3 x>3

Opgave 1.9 Undersøg, om funktionen  x3 + 2 x <1  f ( x ) = 3 x =1  2  x + x +1 x > 1

er kontinuert i x = 1.

(Vejledende eksempler på Eksamensopgaver i matematik, 3 årigt A niveau, 1998, Matematiklærerforeningen og UVM)

Opgave 1.10 Undersøg, om funktionen x<0 2 f( x) =  3 x x≥0 −  er kontinuert i x = 0 . (Vejledende eksempler på Eksamensopgaver i matematik, 3 årigt A niveau, 1998, Matematiklærerforeningen og UVM)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 9

9 25/08/14 10.54

Opgave 1.11 Bestem tallet c, så f bliver kontinuert i 0: 2  − x − 2 x + c for x < 0 f ( x) =  2  x − 3 x + 2 for x ≥ 0

Opgave 1.12 En funktion er givet ved  ax x <1  f ( x ) = 5 x =1  2  bx + x + 1 x > 1

Bestem a og b, så f er kontinuert i x = 1. (Vejledende eksempler på Eksamensopgaver i matematik, 3 årigt A niveau, 1998, Matematiklærerforeningen og UVM)

Opgave 1.13 Om en funktion oplyses: xxx−−−333 for for xxx<<<−−3−33 for  f f(f(x(x)x)=)==bbb for for xxx===−−3−33 for  222 ax −−−444 for for xxx>>>−−3−33 ax for  ax

a) Bestem konstanten a, når det oplyses, at f har en grænseværdi for x gående mod –3.

b) For hvilken værdi af b er f kontinuert i x = –3?

Opgave 1.14 Gør rede for, at funktionen  x2 − 1 x <1  x −1 f( x) =  5x − 1 x ≥ 1  2 x er kontinuert i x = 1. (Vejledende eksempler på Eksamensopgaver i matematik, 3 årigt A niveau, 1998, Matematiklærerforeningen og UVM)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 10

25/08/14 10.54

1. Kontinuitet

Opgave 1.15 En funktion er givet ved

 x4+ 2 x <1  f( x) =  b x=1  2  x + x +1 x > 1 a) Bestem lim f ( x ). x →1

b) Bestem b, så f er kontinuert i x = 1.

(Vejledende eksempler på Eksamensopgaver i matematik, 3 årigt A niveau, 1998, Matematiklærerforeningen og UVM)

Opgave 1.16 Anvendelse af ε – δ -metoden til en grafisk grænseværdibestemmelse. Definitionen på grænseværdi (2. version) siger:

f(x) → L når x → a,

hvis der til ethvert ε > 0 eksisterer et δ > 0, således at:

0 <x – a < δ ⇒ f(x) – L < ε

I de følgende delopgaver indtastes regneforskriften og grafvinduet indrettes således at x-værdierne ligger tæt ved tallet a, og y-værdierne tæt ved tallet L. Få dernæst en grafisk fremstilling af, hvilket krav det givne ε stiller til det interval, vi ønsker at lægge om a, ved at indtaste de to konstante funktioner y2 = L + ε og y3 = L – ε. Herved kan du finde en værdi af δ, der "matcher" ε.

a) Betragt funktionen f ( x ) =

Undersøg påstanden: f(x) → 0 når x → 0 ved at finde et δ, der matcher ε = 0,1

b) Betragt funktionen g ( x ) = 2 x + 3 Undersøg påstanden: g(x) → 3 når x → 3 ved at finde et δ, der matcher ε = 0,01

c) Betragt funktionen h( x ) =

1 x

Undersøg påstanden: h(x) → 2 når x → 0 ved at finde et δ, der matcher ε = 0,1

d) B etragt funktionen k ( x ) =

1 2

x +1

Undersøg påstanden: k(x) → 1 når x →

e) Betragt funktionen m( x ) =

1 2

ved at finde et δ, der matcher ε = 0,01

x−2 1+ x

Undersøg påstanden: m(x) → 0 når x → 2 ved at finde et δ, der matcher ε = 0,01

f) Betragt funktionen n( x ) =

x −x x

Undersøg påstanden: n(x) → –1 når x → 0 ved at finde et δ, der matcher ε = 0,01

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 11

11 26/08/14 15.29

Opgave 1.17 Anvendelse af ε – δ -metoden til en beregningsmæssig grænseværdibestemmelse. Definitionen på grænseværdi (2. version) siger:

f(x) → L når x → a,

hvis der til ethvert ε > 0 eksisterer et δ > 0, således at:

0 <x – a < δ ⇒ f(x) – L < ε

Start i de følgende opgaver med at skrive det ønskede resultat op: f(x) – L < ε, indsæt f(x) og L heri og før dette udtryk gennem omskrivninger tilbage til et udtryk med x – a.

a) Vis: 3x + 1 → 7 når x → 2 Lad ε være givet. Den ønskede konklusion er: (3x + 1) – 7 < ε, omskriv til et udtryk, hvor x – 2 indgår, og giv et bud på δ.

b) Vis, at 5 – 2x → 1, når x → 2.

c) Vis, at

x + 2x x+2

→ −2 , når x → –2

(Hint: Forkort brøken.) x → 1, når x → 1.

d) Vis, at

e) Vis, at 2 x + 3 → 3, når x → 3. (Hint: Forlæng 2 x + 3 –→33med dig til at se på fx x ≥ 12 .)

2x + 3 + →3.3 I din vurdering kan du indskrænke

f) V is, at x3 → 8, når x → 2. (Hint: Foretag polynomiers division med (x – 2).)

Opgave 1.18 Vis, at grænseværdier er entydige, dvs. hvis f(x) → L, når x → a, og f(x) → M, når x → a, så er L = M.

Opgave 1.19 Skitser grafen for kontinuerte funktioner, der hver for sig opfylder følgende:

a) Dm(f) = 

Vm(f) = ]0;1]

b) Dm(f) = [0;5]

Vm(f) = [0;5]

c) Dm(f) = ]0;5[

Vm(f) = ]–5;5[

d) Dm(f) = ]0;5[

Vm(f) = [0;5[

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 12

25/08/14 10.54

1. Kontinuitet

Opgave 1.20 Skitser grafen for kontinuerte funktioner, der hver for sig opfylder følgende:

a) Dm(f) = [0;5[

Vm(f) = [0;2[

b) Dm(f) = [0;5[

Vm(f) = 

c) Dm(f) = [0;5[

Vm(f) = [0;2]

d) Dm(f) = [0;5[

Vm(f) = ]0;2[

Opgave 1.21 Tegn i hvert sit koordinatsystem graferne for hver af følgende funktioner:  x 2 ⋅ sin  f ( x) =  0 

( 1x )

for

x≠0

for x = 0 Er funktionerne kontinuerte i 0?

 x 3 ⋅ sin  f ( x) =  0 

( 1x )

for

x≠0

for

x=0

(Hint: Tegn sammen med graferne for de to funktioner, graferne for nogle "styrefunktioner", der kan give et overblik over grafernes forløb.)

1.3 Hovedsætning om kontinuerte funktioner Opgave 1.22 Vis, at f(x) = x3 + x – 1 har et nulpunkt mellem x = 0 og x = 1. (Du behøver ikke at finde værdien af nulpunktet.)

Opgave 1.23 Vis, at ligningen: x3 – 15x + 1 = 0 har tre løsninger i intervallet [–4;4]. (Du behøver ikke at finde værdien af løsningerne.)

Opgave 1.24 Der er givet to funktioner g(x) = ex og h(x) = –x + 2.

a) Vis, at der findes en løsning til ligningen g(x) = h(x) i intervallet [0;2].

b) Vælg et kortere interval, og argumenter for, at en løsning tilhører dette interval.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 13

13 25/08/14 10.54

Opgave 1.25 Der er givet to funktioner g(x) = sin(x) og h(x) = 2x – 1. Vis, at der findes en løsning til ligningen g(x) = h(x) i intervallet 0; π2 .

Opgave 1.26 Der er givet to funktioner g(x) = ln(x) og h(x) = x2 – 2 . Vis, at der findes en løsning til ligningen g(x) = h(x) i intervallet [1;2].

Opgave 1.27 To funktioner g og h er kontinuerte i intervallet [a;b], og det gælder, at g(a) < h(a) og at g(b) > h(b). Vis, at der findes et c ∈ ]a;b[, så g(c) = h(c).

Opgave 1.28 Betragt funktionen f f(x) ( x) =

x2 + x − 2 x3

a) Bestem definitionsmængde og nulpunkter for f(x).

b) Angiv en fortegnslinje for f(x).

c) Løs uligheden f(x) < 0, og begrund din anvendelse af fortegnslinjen hertil.

Opgave 1.29 Løs ved anvendelse af en fortegnslinje uligheden x2 − 1

<0 og begrund din anvendelse af fortegnslinjen. x2 − 4

Opgave 1.30 Vis, at funktionen: f(x) = (x – a)2 · (x – b)2 + x antager værdien x ∈ [a;b].

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 14

a+b 2

for et eller andet

25/08/14 10.54

1. Kontinuitet

Opgave 1.31 Vis, at såfremt f er kontinuert i [0;1], og der gælder, at 0 ≤ f(x) ≤ 1 for alle x ∈ [0;1], så findes der et tal c ∈ [0;1], hvor f(x) = c. c kaldes et fikspunkt, og sætningen kaldes en fikspunktsætning. (Hint: Betragt funktionen g(x) = f(x) – 1, og anvend den første hovedsætning om kontinuerte funktioner.)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_1.indd 15

15 25/08/14 10.54

Differentialregning A

Differentiabilitet og tangenter til grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Sammensat funktion, eksponential-, logaritmeog potensfunktioner . . . . . . . . . 23

Regneregler for differentiation – produktregel og brøkregel . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

H ovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold. . . . . . . . . . . . . . 27

G rafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) . . . . . . . . . . . . . . . . 33

S upplerende opgaver. Modellering og optimering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Kernestoffet rummer også det stof, der er gennemgået i B-bogen, og dermed de opgavetyper, der rummes i B-bogens opgavebog. Der er nogle ganske få overlap, men det er bevidst - det er opgaver, der perspektiverer på B-niveau, og som hører til A-niveauet.

2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer Opgave 2.1 N

Grafen viser udviklingen i antal individer N i en bestemt population af dyr.

B estem væksthastigheden for antallet af individer i populationen til tidspunktet t = 50.

(stx B december august 2012 uden)

100 80 60 40 20

t/dage

80 100

Opgave 2.2 En funktion f er givet ved f(x) = 2x3 – x2 + 3x Bestem f ′(x). (stx A eksamen august 2011 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 16

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A (2)

Opgave 2.3

På figuren ses en skitse af graferne for tre funktioner f, g og h. Gør rede for, hvilken af funktionerne g og h der er den afledede funktion til f.

g (1) h

(stx A eksamen maj 2012 uden) (2)

Opgave 2.4 På figuren ses graferne A og B for de to funktioner henholdsvis f og dennes afledede f ′.

Gør rede for, hvilken af graferne A og B, der er graf for f, og hvilken der er graf for f ′.

B (1)

Opgave 2.5

På figuren ses en skitse af graferne for tre funktioner f, g og h. h

Gør rede for, hvilken af funktionerne g og h, der er den afledede til f.

x 1

Opgave 2.6

På figuren ses en skitse af graferne for tre funktioner f, g og h. Gør rede for, hvilken af funktionerne g og h, der er den afledede til f.

x 1

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 17

17 25/08/14 11.00

Opgave 2.7 f

På figuren ses en skitse af graferne for tre funktioner f, g og h. Gør rede for, hvilken af funktionerne g og h, der er den afledede til f.

g h 1

x 1

Opgave 2.8 Find f(2) og f ′(2) af følgende funktioner:

a) f(x) = 2x3 – 3x2 + x – 2

b) f(x) = x4 – 4x3 – 2x2 + 1

Giv en fortolkning af f ′(2) i begge tilfælde.

Opgave 2.9 Skitser en mulig graf for funktionen f, når følgende skal være opfyldt

● Dm(f) = [–2;8]

● f ′(–1) = 0

● f ′(4) = 0

● Vm(f) = [–3;10]

Opgave 2.10 Skitser en mulig graf for funktionen f, når følgende skal være opfyldt

● Dm(f) = [–2;8]

● f ′( x) > 0 for x ∈ ]–2;4[

● f ′(4) = 0

● f ′( x) < 0 for x ∈ ]4;8[

● Vm(f) = [1;8]

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 18

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.11 Tegn en mulig graf for en differentiabel funktion f, der opfylder følgende:

● f er defineret for alle x i intervallet ]–3;4[

● f(–1) = 10 og f(2) = –9

● fortegn og nulpunkter for f ′ er som angivet på tallinjen: –3

f ′(x)

–1 0

(stx A eksamen august 2012 uden)

–

4 +

Opgave 2.12 Tegn en mulig graf for en funktion f, der opfylder, at

f(0) = 5 og f(10) = –1

og at fortegn og nulpunkter for f ′ er som angivet på tallinjen: x

f ′(x)

–

(stx A eksamen december 2009 med)

–

(2)

Opgave 2.13 To andengradspolynomier f og g er givet ved

f(x) = –x2

g(x) = 2x2 + bx + c

Graferne for de to funktioner har en fælles tangent i punktet P(1,f(1)). (1)

Bestem tallene b og c. (stx A eksamen net maj 2013 uden)

Opgave 2.14 Et andengradspolynomium P er givet ved P(x) = a · x2 + b · x + c Grafen for P er en parabel, der går gennem punkterne A(0,1) og B(5,36). Tangenten til parablen i punktet A har hældningskoefficienten –3. Bestem tallene a, b og c. (stx A eksamen net maj 2013 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 19

19 25/08/14 11.00

Opgave 2.15

(2)

Et andengradspolynomium f er givet ved f(x) = ax2 + bx + c

B(2,5)

f t

Grafen for f går gennem de to punkter A og B. Grafen for f har i punktet A en tangent t, der har ligningen y = –2x + 1. Bestem en forskrift for f. A(0,1)

(stx A eksamen net maj 2012 uden) (1)

Opgave 2.16 Grafen for f(x) = x3 – 2x2 – 2 har to tangenter med hældningskoefficient –1. Bestem disse tangenters ligninger.

Opgave 2.17

(2)

En funktion f er bestemt ved t1

(1)

f(x) = –x3 + 3x2 – 2

f Grafen for f har netop to tangenter t1 og t2, der går gennem punktet (0,0).

Bestem en ligning for hver af disse tangenter.

(stx A eksamen december 2013 med)

Opgave 2.18 En funktion f er bestemt ved f(x) = 2x3 – 15x2 + 24x + 5

(2)

Tangenten til grafen for f i punktet P(5,f(5)) kaldes m. Som det ses på figuren, har grafen for f også en anden tangent l, der går igennem P.

Bestem en ligning for m, og bestem førstekoordinaten til røringspunktet for l. P

(1)

(stx A eksamen august 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 20

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.19 En linje l har ligningen y = –2x + 1 Det oplyses, at linjen l er tangent til grafen for funktionen f(x) = x2 + bx + c i punktet P(1,f(1)). Gør rede for, at f ′(1) = –2 og f(1) = –1, og bestem tallene b og c. (stx A eksamen juni 2010 med)

Opgave 2.20 En funktion f er bestemt ved 1 f f(x) ( x) = x + x

Bestem ligningen for tangenten til grafen for f i (4,f(4)).

Opgave 2.21 En funktion f er bestemt ved f(x) = 2x2 – 4x Bestem tallet c, så g(x) = 2x + c bliver tangent til grafen for f.

Opgave 2.22 En funktion f er bestemt ved ff(x) ( x) = x + a Bestem tallet a, så linjen y = 0,25 · x + 7 bliver tangent til grafen for f.

De resterende opgaver i afsnit 2.2 indgår ikke i kernestoffet, men kan anvendes til fordybelse i grundbogens afsnit 2.2

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 21

21 25/08/14 11.00

Opgave 2.23 Der er givet to funktioner f og g

f(x) = –4x + b for x ≤ 3

g(x) = (x – 5)2 – 1 for x > 3

Bestem b, så funktionen  f ( x ) for x ≤ 3 h( x ) =   g( x ) for x > 3

er differentiabel i 3.

Opgave 2.24 Afgør, om følgende funktioner er kontinuerte, og om de er differentiable:

 x + 1 for 1 2for x ≤ 2  x x+ ≤ a) h1( x ) = h1( x ) =  2 x 1 for x > −  2 − 12for x > 2

x +x1≤ 1for x ≤ 2  x 2 for b) h2 ( x ) = h1( x ) =  2  2 x + 1 fo  rxx−>11for x > 2

 0,5  0,5⋅ x⋅ 2x 2+ +22 c) h3h(3x( )x =) =   −  −x x+ +33

x ≤x 2≤ 2  4x4−x4− 4 forfor d) h4 (hx4)( x=) = 2 2 forfor x >x 2> 2  x x

for forx x≤ ≤−1 −1 for forx x> >−1 −1

Opgave 2.25 Bestem a, b og c, så følgende funktioner bliver differentiable:

3x x2 2 − xfor + bx ≤ 3 for x ≤ 1  − a)g(fx( x) =) =   ax  ax+ +8 b for x > 3 for x > 1

2 −x x+ +b b  −3−x32x − x )x=) =  b)g(g( ax + 8 ax + 8  

fofo r xr x≤ ≤1 1 for forx x> >1 1

xx22 −−aa⋅⋅xx x 2 − a ⋅ x for xx <<11 for x < 1 for   h(x x)) ==c) h( h( x ) =  −2 for xx ==11 for x = 1 for −−22  22  2 − + ⋅ + − + ⋅ + x b x c forr xx >>11 for x > 1 fo x b x c − + ⋅ + x b x c  

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 22

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.26 I denne opgave regner vi i radianer. Tegn i hvert sit koordinatsystem graferne for hver af følgende funktioner. Vær omhyggelig med at indrette grafvinduet, så du afslører forløbet tæt ved x = 0.

()

sin 1 x  a) f1 ( x ) =   0

 x 2 ⋅ sin  c) f3 ( x ) =  0 

for for

() 1 x

x≠0

x=0

for

x≠0

for

x=0

 x ⋅ sin  b) f2( x ) =  0 

()

 x 3 ⋅ sin  d) f4 ( x ) =  0 

1 x

() 1 x

for

x≠0

for

x=0

for

x≠0

for

x=0

Hvilke af funktionerne er kontinuerte i x = 0?

Opgave 2.27 Betragt igen funktionerne i opgave 2.26. Indtegn sammen med hver af de grafiske billeder også graferne for følgende funktioner i henholdsvis:

a) g1(x) = 1 og h1(x) = –1. 2

b) g2(x) = x og h2(x) = –x. 2

c) g3(x) = x og h3(x) = –x .

d) g4(x) = x3 og h4(x) = –x3.

Hvilke af funktionerne er differentiable i x = 0? (Hint: Se på sekanter gennem x = 0. Konvergerer de mod et bestemt tal?)

Opgave 2.28 Betragt igen funktionerne i opgave 2.26. Opskriv de afledede funktioner for de af funktionerne, som vi i 2.27 fandt var differentiable. Er de afledede funktioner kontinuerte? Er de differentiable?

2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritmeog potensfunktioner Opgave 2.29 1. Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner:

a) f(x) = (3x + 2)5

b) g(x) = 4(9x + 2)7

c) h(x) = (2x – 3)8

x) = 3x + 7 d) i(i(x)

x) = e) j(j(x)

1 3x + 7

f) k(x) = cos(2px + 3)

2. Differentier funktionerne.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 23

23 25/08/14 11.00

Opgave 2.30 1. Bestem en indre og en ydre funktion i følgende eksempler:

a) f(x) = (cos(x) + sin(x))2

c) h( x ) = cos( 2 x + 1) d) i ( x ) = 2 + sin( x )

e) j ( x ) =

g) l(x) = (x2 + 2x) –2

4 3

x +5

b) g(x) = 3ln(x4 + 9)

f) k(x) = cos2(x) + sin2(x) h) m(x) = e(0,25 · x – 25)

2. Differentier funktionerne.

Opgave 2.31 En funktion f er bestemt ved 2

f(x) = ex–0,8x

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx A eksamen maj 2010 med)

Opgave 2.32 En funktion f(x) er givet ved

f(x) = e –x

+2x+1

Gør rede for, at f(x) har et maksimum. (stx A eksamen august 2009 med)

Opgave 2.33 En funktion f er bestemt ved f(x) = x4 + ln(2x + 1) Bestem f ′(1). (stx A eksamen juni 2010 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 24

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.34 En funktion f er givet ved

f(x) = lnx – x + 3, x > 0

Bestem monotoniforholdene for f. (stx A eksamen december 2012 uden)

Opgave 2.35 En funktion f er bestemt ved

f(x) = lnx + x2, x > 0

Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(5,f(5)). (stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 2.36 I en model er udviklingen i antallet af tigre i Indien bestemt ved

f(x) = 3600 · 0,8544 x

hvor f(x) er antallet af tigre x år efter 2002.

a) Bestem f(0), og bestem halveringskonstanten for f(x).

b) Benyt modellen til at bestemme den årlige vækstrate for antallet af tigre i Indien.

c) Bestem f ′(5), og giv en fortolkning af dette tal. Kilde: www.jv.dk/artikel/336728.

Opgave 2.37 Når en varmluftballon svæver, så styres svævehøjden af temperaturen af luften i ballonen. I en model antages det, at ballonens højde over jorden kan beskrives ved funktionen

f ( x ) = 1500 − 1000 sin  π x  , 0 ≤ x ≤ 350 200

hvor x angiver tiden i minutter, og f(x) angiver højden over jorden målt i meter.

a) Tegn grafen for f, og bestem ballonens maksimale og minimale højde over jorden under flyvningen.

b) Bestem f ′(200), og giv en fortolkning af dette resultat.

(stx A Net prøvesæt 2010-11)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 25

25 25/08/14 11.00

Opgave 2.38 I forbindelse med en crash-test kan førerdukkens deceleration beskrives ved funktionen

a( t ) =

16400 2

( t − 68) + 400

1480 2

( t − 93) + 18

, 0 ≤ t ≤ 140

hvor a(t) betegner førerdukkens deceleration (målt i m/s2) til tidspunktet t (målt i ms).

a) Tegn grafen for a, og bestem førerdukkens største deceleration.

Kilde: Crash Tests and the Head Injury Criterion, Hans-Wolfgang Henne, Teaching Mathematics and its applications Volume 17, No. 4, 1998.

(Baseret på stx A eksamen aug 2012 ny med)

2.4 Regneregler for differentiation – produktregel og brøkregel Opgave 2.39 Bestem de afledede funktioner af følgende:

a) f ( x ) = x 2 ⋅ x

b) g(x) = x3 · ex

c) h(x) = cos(x) · (1 – x)

x) = x3 − 5 ⋅ d) k( k(x)

(

)

1 x

Opgave 2.40 En funktion f er givet ved

f(x) = x · e2x

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 2.41 En funktion f er givet ved

f(x) = (1 – x 2) · ex

a) Tegn grafen for f, og bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(Baseret på stx B eksamen december 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 26

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.42 En funktion f er bestemt ved f(x) = (x3 – 8) · ln(x), x > 0 a) Løs ligningen f(x) = 0.

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

(stx A eksamen maj 2012 med)

Opgave 2.43 En funktion f er givet ved f(x) = x2 ln(x) – 3x – 1, x > 0 a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

b) Benyt f ′( x) til at argumentere for forløbet af grafen for f.

(stx A eksamen december 2009 med)

Opgave 2.44 I en model kan den gennemsnitlige årlige CO2-udledning pr. person som funktion af tiden beskrives ved t 900000 ⋅ 1, 031 C( t ) = t + 38

hvor C(t) måles i kg, og tiden t betegner antal år efter 1950. Bestem C ′(72), og gør rede for, hvad dette tal fortæller om udviklingen i den gennemsnitlige årlige CO2-udledning pr. person efter 1950. (stx B eksamen august 2012 med)

2.5 H ovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold

(2) f′

Opgave 2.45 Figuren viser i intervallet [–3;6] grafen for den afledede funktion f ′ af en funktion f. Bestem monotoniforholdene for funktionen f i intervallet [–3;6].

(1) –2

(stx A eksamen maj 2011 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 27

27 25/08/14 11.00

Opgave 2.46 En funktion f er givet ved

f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1

Bestem de to værdier af k, for hvilke ligningen f(x) = k har præcis 2 løsninger. (stx A eksamen august 2012, uden)

Opgave 2.47 (2)

A(2,2)

En funktion f er givet ved

f(x) = a · x3 + b · x2

Grafen for f har et lokalt ekstremumspunkt i punktet A(2,2). (1)

Bestem konstanterne a og b. (stx A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 2.48 En funktion f er bestemt ved f(x) = ex + 7x Gør rede for, at f er en voksende funktion. (stx A eksamen maj 2013 uden)

Opgave 2.49 En funktion f er bestemt ved f ( x) = x3 − 3 x2 − 6x + 7 2

Bestem monotoniforholdene for f. (stx A eksamen august 2013 uden)

Opgave 2.50 En funktion f er givet ved

f(x) = x3 + 3x2 – 9x + 16

Bestem monotoniforholdene for f. (stx A eksamen december 2013 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 28

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.51 1

Givet funktionen f(x) = 3 x3 – 2x + 1. Bestem monotoniforhold og lokale ekstrema. Begrund ud fra dette, at funktionen har tre nulpunkter. Løs dernæst ligningen:

1 3 x 3

– 2x + 1 = 0

Opgave 2.51B Vis, at funktionen: f(x) = x4 + 2x3 – 4 har et nulpunkt i intervallet [0;2].

Opgave 2.52 En funktion f er bestemt ved

f(x) = 6lnx – 2x, x > 0

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx A eksamen net maj 2012 uden)

Opgave 2.53 En funktion f er bestemt ved

f(x) = 24 · ln(x) – x3, x > 0

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,f(1)).

b) Undersøg, om funktionen har maksimum når x = 2.

(stx A eksamen net maj 2013 uden)

Opgave 2.54 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x4 – 3x2 – 4

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(2,f(2)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx A eksamen august 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 29

29 25/08/14 11.00

Opgave 2.55 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x4 – 8x2 + 1

a) Løs ligningen f(x) = 0.

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(3,f(3)).

c) Bestem monotoniforholdene for f.

(stx B eksamen aug 2012)

Opgave 2.56 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x3 + 6x2 + 9x

a) Tegn grafen for f, og bestem funktionens nulpunkter.

b) Bestem monotoniforholdene for f.

En anden funktion g er bestemt ved

g(x) = –x2 + bx + c

hvor b og c er konstanter. Det oplyses, at graferne for f og g har en fælles tangent t i punktet P(1,f(1)).

c) Bestem en ligning for tangenten t, og bestem konstanterne b og c.

(stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 2.57 En funktion f er givet ved

f(x) = x2 – 50lnx, x > 0

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(3,f(3)).

b) Bestem monotoniforholdene for f.

Det oplyses, at der er netop én værdi af x0 således, at linjen med ligningen y = f ′( x0) · x er en tangent til grafen for f.

c) Bestem denne værdi af x0.

(stx A eksamen december 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 30

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.58 En funktion f er givet ved

f(x) = 3x4 – 8x3 – 30x2 + 72x + 27

Bestem f ′( x), og bestem de lokale ekstrema for f. (stx A eksamen august 2012) De resterende opgaver i afsnit 2.5 indgår ikke i kernepensum, men kan anvendes til fordybelse i grundbogens afsnit 2.5.

Opgave 2.59 Illustrer middelværdisætningen for funktionen

f( x) =

1 x

∈[1;2] [1;2] , xx ∈

ved at angive et tal c i intervallet, hvor grafens hældning svarer til hældningen på linjen mellem punkterne (1,f(1)) og (2,f(2)).

Opgave 2.60 Illustrer middelværdisætningen for funktionen

f(x) = x3 – 3x + 1, x ∈ [–2;2]

ved at angive et tal c i intervallet, hvor grafens hældning svarer til hældningen på linjen mellem punkterne (–2,f(–2)) og (2,f(2)).

Opgave 2.61 Betragt funktionen f(x) = x2 i intervallet [a;b].

a) Vis, at påstanden i middelværdisætningen er følgende: Der findes et tal c i intervallet [a;b], så f f' (′(cc)) =

b −a

b−a

b) Vis, at dette svarer til ligningen: f ′(c) = a + b.

c) Bestem det tal c, der opfylder denne ligning, og vis, at dette ligger i [a;b].

d) Illustrer resultatet grafisk.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 31

31 25/08/14 11.00

Opgave 2.62 To fly på ruten København – New York starter samtidig fra hver sin lufthavn. Turen for begge fly tog 8 timer. Vis, at de på et tidspunkt under flyveturen fløj med nøjagtig samme hastighed (bortset fra start- og sluthastigheden på 0 km/t).

Opgave 2.63 Vi betragter i det følgende x-værdier i intervallet x ≥ –1.

a) Vis, at der findes et tal c mellem 0 og x, således at: 1+ x − 1 =

1 2⋅

1+ c

⋅x 1

[0;x]) (Hint: Anvend middelværdisætningen på funktionen f(x) = 1 + x −i1intervallet = ⋅x 2⋅

1+ c

b) Vis, at der gælder:

1+ x ≤ 1+

x 2

(Hint: Opdel i to tilfælde: –1≤ x < 0 og 0 ≤ x)

Opgave 2.64 Vis, at der gælder:

ln(2 + x)1 +≤ xln(2) ≤ 1+

x 2

(Hint: Anvend middelværdisætningen på funktionen ln(x + 2), som i opgave 263)

Opgave 2.65 Bevis følgende uligheder:

a) sin(x) – sin(y) ≤ x – y

b) cos(x) – cos(y) ≤ x – y

(Hint: Anvend middelværdisætningen på hhv. sin og cos i intervallet [x;y])

c) Bevis ved hjælp af resultatet fra a), at når x > 0 gælder: sin(x) < x

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 32

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

2.6 G rafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) Opgave 2.66 Bestem for hver af nedenstående funktioner: – den anden afledede – evt. vendepunkter – konveksitetsintervaller (intervaller, hvor grafen er opad hul, hhv. nedad hul) og tegn graferne.

a) f(x) = ln(x)

b) f(x) = x

c) f(x) = 8x3 – 6x + 1

d) f(x) = x4 – 2x3 + 1

e) f(x) = x6 – 10x4

f) f(x) = x 2 · e –x

Opgave 2.67 Bestem for hver af nedenstående funktioner: – den anden afledede – evt. vendepunkter – konveksitetsintervaller (intervaller, hvor grafen er opad hul, henh. nedad hul) og tegn graferne. x

, x > 0 og x ≠ 1

a) f ( x ) =

c) f ( x ) = x ⋅ ( x − 1) 3, x ≥ 1

ln( x )

b) f ( x ) =

d) f ( x ) =

3x − 1 , x3 2

x − 2x ( x − 1)

x≠0

, x ≠1

Opgave 2.68 Bestem vendepunkt og konveksitets-intervaller for funktioner af typen: M f( x) = − b⋅ x 1+ c ⋅ e

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 33

33 25/08/14 11.00

Opgave 2.69 Blandt følgende 4 grafiske illustrationer findes en funktion f, dennes afledede f ′ samt dobbelt afledede f ′′ og endelig en helt fjerde funktion g. Hvilken graf hører til hvilken funktion? y

y 2

2 A

B x

x –3

–3

–2

2 y

2 y C

D x

–3

x –3

–2

Opgave 2.70 Blandt følgende 4 grafiske illustrationer findes en funktion f, dennes afledede f ′ samt dobbelt afledede f ′′, og endelig en helt fjerde funktion g. Hvilken grafer hører til hvilke funktioner? y y 2

2 A

B x

x –3

–3

–2

2 y

2 y C

D x

–3

–2

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 34

x –3

–2

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

2.7 S upplerende opgaver. Modellering og optimering Opgave 2.71 I et hushjørne er der en indhegning til kaniner. Indhegningen består af et kvadratisk tag og to rektangulære sider. Højden betegnes med h, og sidelængden i kvadratet betegnes med x (se figur). Det oplyses, at rumfanget af indhegningen er 9 m3. Bestem højden h udtrykt ved x. Bestem det samlede areal af de to rektangulære sider og det kvadratiske tag udtrykt ved x.

h x

(stx A eksamen december 2011 uden)

Opgave 2.72 I en træklods med længde l, bredde b og højde h er der udskåret en cylinder med diameter 6, som vist på figuren (alle mål i cm). Bestem volumen af træet i klodsen udtrykt ved l, b og h, når cylinderen er udskåret.

h 6

(stx B eksamen december 2012 uden) l

Opgave 2.73 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x3 + 6x2 + k , hvor k er et tal.

Bestem de værdier af tallet k, for hvilke grafen for f har netop to skæringspunkter med førsteaksen. (stx A eksamen december 2008 med)

Opgave.2.74 Bestem tallet a, så funktionen:

f(x) = ax3 + 2x2 + 4x – 1

får lokalt ekstremum for x = 2. Bliver det et lokalt minimum eller maksimum?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 35

35 25/08/14 11.00

Opgave 2.75 Funktionen f er givet ved forskriften f(x) = x2 – 8x + 16. Bestem den vinkel, som tangenten til grafen for f(x) i punktet (5,f(5)) danner med førsteaksen.

Opgave 2.76 Det oplyses, at graferne for ( x) = f(x) = x2 og gg(x)

1 x

har parallelle tangenter for x = x0. Bestem x0, og opstil de to tangentligninger.

Opgave 2.77 En rektangulær legemadras kan foldes på midten og danne en hule, som vist på figuren. Hulens indgang får herved form som en ligebenet trekant med højden h og grundlinjen 2x.

200

h x

a) Udtryk h ved x, og gør rede for, at rumfanget R som funktion af x kan beskrives ved R( x ) = 200 ⋅ x ⋅ 902 − x 2 b) Bestem den værdi af x, der gør rumfanget af hulen størst muligt, idet 0 < x < 90.

Opgave 2.78 40 km

M ellem to punkter A og B i to forskellige lande skal der etableres en vej APB som vist på figuren. Prisen for stykket AP er 50 mio. kr. pr. km, og prisen for stykket PB er 60 mio. kr. pr. km.

A x P

Grænse

46 km

b) Bestem prisen for vejen udtrykt ved x, og bestem den værdi af x, der gør vejen APB billigst mulig.

33 km

a) Bestem AP og PB udtrykt ved x, idet 0 ≤ x ≤ 46 (se figuren).

(stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 2.79 En tragt er sammensat af en åben cylinder og en kegle (se figuren øverst på næste side). Keglens grundflade og cylinderen har samme radius r, målt i dm. Keglens højde er det dobbelte af dens radius. Tragten kan rumme 40 dm3.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 36

(opgaven fortsættes)

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

a) Bestem cylinderens højde s som funktion af r, og gør rede for, at tragtens overflade O som funktion af r kan beskrives ved 4 3

O( r ) = π ( 5 − ) ⋅ r 2 +

80 r

b) Bestem r, således at tragtens overflade er mindst mulig, når 0 < r < 4. 2r

(stx A eksamen juni 2010 med)

Opgave 2.80 (2)

En funktion f er bestemt ved f(x) = (x – 3)2

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet (1,f(1)). Q

b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(a,f(a)), hvor 0 ≤ a < 3.

Tangenten skærer koordinatsystemets akser i punkterne Q og R.

c) B estem koordinatsættene til hvert af punkterne Q og R udtrykt ved a.

(1)

d) V is, at arealet T(a) af trekant OQR er givet ved T ( a) = 1 (9 − a2 )( a + 3) , 4

0≤a<3

e) Bestem den værdi af a, der gør arealet af trekant OQR størst mulig.

(Baseret på stx A eksamen maj 2011 med)

Opgave 2.81 En lukket beholder har form som vist på figuren. Beholderens endeflader har form som ligesidede trekanter med siden x, hvor 1 ≤ x ≤ 5. Beholderens længde er y.

a) Bestem beholderens rumfang, når x = 2 og y = 5.

x x

Det oplyses, at en bestemt type af sådanne beholdere har et rumfang på 1 m3. b) Gør rede for, at overfladearealet O af denne beholder som funktion af x er givet ved 3

O= x2 + 4 ⋅ x 2 c) Bestem x, så beholderens overflade er mindst mulig. (stx A eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 37

37 25/08/14 11.00

Opgave 2.82 Et stykke metal har form som et rektangel med sidelængderne h og 2r. To halvcirkler med radius r skæres ud af metalstykket som vist på figuren. Det tilbageværende metalstykke har omkredsen 6.

r h

a) Bestem h udtrykt ved r, og gør rede for, at arealet af det tilbageværende metalstykke som funktion af r kan beskrives ved

A( r ) = 6 r − 3π r 2 b) Bestem r, så metalstykkets areal bliver størst muligt.

(stx B eksamen maj 2012, med)

Opgave 2.83 På figuren ses symønsteret for en taskes ene side. Symønsteret har form som et rektangel, hvori der er udskåret en halvcirkel. Rektanglets sidelængder er 2x og y.

a) Opstil et udtryk, der beskriver symønsterets omkreds udtrykt ved x og y.

b) Bestem symønsterets areal som funktion af x, når omkredsen er 100 cm.

c) B estem x, således at symønsterets areal bliver størst muligt, når omkredsen er 100 cm.

(stx A eksamen august 2011, med)

Opgave 2.84 En bestemt type beholdere har form som en kasse med kvadratisk bund og et hult låg, der har form som en halvkugle sammensat med et kvadrat.

a) Bestem beholderens volumen udtrykt ved r og h.

Beholderens volumen er 5.

b) Bestem h udtrykt ved r, og gør rede for, at overfladen af beholderen udtrykt ved r er givet ved

O( r ) =

r r 2r

π +  8 −  ⋅ r 2 3

c) B estem r, så beholderens overfladeareal bliver mindst muligt, idet 0 < r < 50.

2r h

10 r

(stx A eksamen maj 2012 med)

låg

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 38

25/08/14 11.00

2. Differentialregning A

Opgave 2.85 En kile fremkommer ved at save en kasseformet træklods med kvadratisk bund midt over som vist på figuren. Sidelængden i bunden er x, og klodsens højde er h (begge målt i cm). Det oplyses, at kilens volumen er 100 cm3.

a) Bestem h udtrykt ved x, og gør rede for, at kilens overflade udtrykt ved x kan skrives som O( x ) = x ⋅ x 2 +

40000 x4

+ x2 +

400 x

b) Bestem x, så kilens overflade bliver mindst mulig, idet 0 < x < 10.

(stx A eksamen december 2012 med)

Opgave 2.86 En bestemt type plastikskraldespande har form som en cylinder sammensat med en halvkugle som vist på figuren.

radius

Cylinderrumfanget af en af disse skraldespande skal være 120 dm3. Indfør passende variable, og bestem radius i skraldespandens bundflade, så skraldespandens samlede overfladeareal bliver mindst muligt.

radius

(stx A Net, forsøgssæt 2010/11)

Opgave 2.87 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = x2 – 4x + 8 , og g(x) = 3x · e –x

Bestem den værdi af x, hvor den lodrette afstand mellem grafen for f og grafen for g er mindst mulig. (stx-A eksamen december 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_2.indd 39

39 25/08/14 11.00

Integralregning 2

Integration som den omvendte proces af differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Metoder og algoritmer til integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

Arealberegninger og rumfangsberegninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Summer og integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Anvendelse og blandede opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.2 I ntegration som den omvendte proces af differentiation Opgave 3.1 Bestem en stamfunktion til følgende funktioner

a) f(x) = 1 – 2x + 3x2 – 6x5

b) g(x) = x3 – x2 + x + 5

c) h(x) = x –2 + x –3 + x –10

d) i(x) = 5x –1 – 3x + 0,5x 3

e) j(x) = 4ex – 3e –x

f) k(x) = x + e4x

Opgave 3.2 Bestem en stamfunktion til følgende funktioner

a) f(x) = x 0,4 + 2 · x 1,5

c) h( x ) =

e) j(x) = 5sin(x) – 2cos(x)

2 x

+ 4 x

b) g(x) = 0,5 · x – 0,5 + 3 · x 0,5 d) i ( x ) =

3 ex

f) k(x) = 3sin(2x) + 4cos(0,5x)

Opgave 3.3 Bestem 22

a) ∫ ∫∫x∫x5+5− ++7 7dx 75dx dxdx −5 dx

∫

∫ 3⋅5

( (3x3x3x ) )

−k⋅x

7 4∫cos(2 −dx 5x)) +dx ( x∫ x−+x57))dxdxdx ∫∫(x3x+sin(

∫ (x( x

k⋅x

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 40

4x + 7 dx x

b) ∫

3 5

)

–−5) 52dx dx

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.4 I denne opgave er vi kun interesseret i de kanoniske stamfunktioner. Gør rede for, at

∫ ln( x ) dx = x ⋅ ln( x ) − x

x ) + 1dx x) ln(x) )dx==xx⋅⋅ln( ln(x) ∫ (ln(

Opgave 3.5 To funktioner f og g er givet ved

f( x) = x

− 21

⋅ ln( x ) og g( x ) = 2 x 2 ⋅ ln( x ) − 4 x 2

Gør rede for, at g er en stamfunktion til f.

Opgave 3.6 En funktion f er bestem ved

f(x) = 6x2 + 3

Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2,10). (stx A eksamen maj 2013 uden)

Opgave 3.7 En funktion f er givet ved

f(x) = 4 – 3x2

Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(2,5). (stx A eksamen december 2013 uden)

Opgave 3.8 En funktion f er givet ved

f( x) =

2 x

− 4 x 3, x > 0

Bestem en forskrift for den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(1,3). (stx A eksamen net maj 2012 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 41

41 25/08/14 10.59

Opgave 3.9 En funktion er givet ved

f ( x ) = 2 x + 1+ e x

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem punktet P(0,3). (stx A eksamen net maj 2013 uden)

Opgave 3.10 En funktion f er bestemt ved

1 x

f ( x ) = 2 x + , xx >> 00

Bestem den stamfunktion til f, hvis graf går gennem P(1,3).

Opgave 3.11 En funktion f er givet ved

1 x

f ( x ) = 10 x 4 + , x > 0

Bestem den stamfunktion F til f , der opfylder, at F(1) = 25.

Opgave 3.12 To funktioner f og g er givet ved

f(x) = x4 · ln(x) + x4 og g(x) = 4x3 · ln(x) + 5x3

a) Gør rede for, at f er en stamfunktion til g.

b) Bestem den stamfunktion til g, hvis graf går gennem P(1,3).

Opgave 3.13 Funktionen f, der er givet ved f(x) = x2 – 2x – 3 har to stamfunktioner, hvis grafer begge har linjen y = 2 som tangent. Bestem en forskrift for hver af de to stamfunktioner til f.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 42

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.14 Om en funktion F(x) gælder, at F(x) er stamfunktion til 3 f(x) = –x + 3x Linjen t med ligningen y = –2x + 8 er tangent til grafen for F, og det oplyses, at røringspunktet for t har negativ førstekoordinat. Bestem en forskrift for F(x). (stx A eksamen august 2009 med) y A

Opgave 3.15

På figuren ses graferne for funktionerne f og F. Det oplyses, at F er en stamfunktion til f.

a) Gør rede for hvilken af graferne, der hører til F.

b) Bestem

∫0 f ( x ) dx.

1 x 1

Opgave 3.16 Beregn integralet

∫ 0 (3 x

− 10 x ) dx.

(stx A eksamen august 2010 uden)

Opgave 3.17 Bestem integralet

∫ 1 (6 x 2

)

− 2 x dx.

(stx A eksamen maj 2011 uden)

Opgave 3.18 Bestem integralet

Opgave 3.19 Bestem integralet

∫ 1  2 x + x  dx.

∫ 0 (e 2

)

+ 3 dx.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 43

43 25/08/14 10.59

3.3 Metoder og algoritmer til integration Opgave 3.20 Bestem integralet

∫ (2 x − 1)

dx.

(stx A eksamen december 2008 uden)

Opgave 3.21 Bestem integralerne

a) b)

∫ (3 + 5 x ) dx −2 ∫ (2 + 3 x ) dx 9

Opgave 3.22 Bestem integralet

∫ 5 x + 2 dx.

Hvad er definitionsmængden for integranden, og hvad er den for stamfunktionen?

Opgave 3.23 Bestem integralet

∫x

2x 2

dx.

(stx A eksamen maj 2008 uden)

Opgave 3.24 Bestem integralerne x3

∫ 2x

∫ 3x

∫x

3x + 1 2

+ 2x + 5 3

x +1 4

+ 4x + 1

Opgave 3.25 Bestem integralet

2e x

∫e

dx.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 44

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.26 Bestem integralerne

cos( x )

∫ sin( x )

x ∈ ]0;p[

dx,

sin( x )

∫ cos( x ) dx,

x ∈ ]– p2 ; p2 [

(Bemærk, at de to integrander er henholdsvis cot(x), dvs. funktionen cotangens, og tan(x), dvs. funktionen tangens)

Opgave 3.27 Bestem integralet

cos( x )

∫ 1 + sin( x ) dx,

x ∈ [0;p].

Opgave 3.28 Bestem integralet

∫ 2x ⋅ ( x

+ 1)5 dx.

(stx A eksamen juni 2010 uden)

Opgave 3.29 Bestem integralet

∫ 6x

⋅ ( x 3 + 1)5 dx.

Opgave 3.30 Bestem integralet

∫ 5x

dx.

(stx A eksamen maj 2009 uden)

Opgave 3.31 Bestem integralet

∫x

dx.

Opgave 3.32 En funktion F er givet ved

F( x ) = x6 ⋅ ex + 3

Gør rede for, hvilken af nedenstående funktioner, F er stamfunktion til. f1( x ) = 6 x 5 ⋅ e x f2 ( x ) = 6 x 5 ⋅ e x + x 6 ⋅ e x f3 ( x ) = 6 x 5 ⋅ e x + x 6 (stx A eksamen maj 2012 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 45

45 25/08/14 10.59

Udfordringer samt partiel integration, der ikke er en del af kernestoffet på stx A.

Opgave 3.33 Bestem hvert af integralerne (vi undersøger ikke definitionsmængderne i denne opgave) cos( x )

∫

∫ 2x ⋅ 3

∫ x ⋅ ln( x ) dx

1 − sin( x ) x2

∫

2x − 1

∫

(ln( x ))7 x

∫ cos( x ) ⋅ e

sin( x )

Opgave 3.34 Bestem hvert af integralerne

∫ x ⋅e

∫x

⋅ e x dx

∫ x ⋅ sin( x ) dx

∫x

⋅ cos( x ) dx

Opgave 3.35 Bestem hvert af integralerne

∫ 2 x ⋅ ln( x ) dx

∫x

∫ 5x

⋅ ln( x ) dx 4

⋅ ln( x ) dx

Opgave 3.36 Bestem integralet

∫ ln( x ) dx.

(Hint: Anvend partiet integration, idet ln(x) opfattes som et produkt, hvor den anden faktor er funktionen 1)

Opgave 3.37 Bestem integralet

∫ x ⋅ 10

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 46

dx.

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

3.4 Arealberegninger og rumfangsberegninger (2)

Opgave 3.38 f

Bestem arealet af M. (stx A eksamen maj 2013 uden)

Opgave 3.39

(1)

En funktion f er bestemt ved

(2)

f(x) = ex + 2

Grafen for f, de to koordinatakser og linjen med ligningen x = 1 afgrænser i 1. kvadrant en punktmængde M (se figur). M

Bestem arealet af M. (stx A eksamen august 2013 uden)

(1) 1

Opgave 3.40

(2)

To funktioner f og g er givet ved

f(x) = x2 – 4x + 7

g(x) = –x2 + 6x – 1

Graferne for f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af M.

(1)

b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° om koordinatsystemets førsteakse.

(stx A eksamen maj 2010 med)

Opgave 3.41 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = 3x2

g(x) = –3x2 + 24

a) Bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g.

De to grafer afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Skitsér området M, og bestem arealet af M.

(stx A eksamen net maj 2013 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 47

47 25/08/14 10.59

Opgave 3.42 To funktioner f og g er bestemt ved f ( x ) = 1 x 2 og g( x ) = x 64

Graferne for funktionerne f og g afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. Bestem arealet af M . (stx A eksamen december 2009 med)

Opgave 3.43

f g

To funktioner f og g er givet ved

f(x) = 3x2 + 1 g(x) = 6x + 1

De to grafer afgrænser et område M, der har et areal (se figur).

Bestem arealet af M.

x (stx

A eksamen net maj 2012 uden)

Opgave 3.44 a) Bestem integralet

1 2x

∫0 x

b) Tegn grafen for f ( x ) =

+1 2x

dx. , og giv en fortolkning af resultatet i a).

x2 + 1

Opgave 3.45 (2)

En funktion f er givet ved f(x) = 4x3 – 16x2 + 12x

(1)

a) Bestem ∫ f ( x ) dx.

b) Det oplyses, at − ∫ f ( x ) dx =

32 . 3

Gør rede for betydningen af dette tal. (stx A eksamen net maj 2012 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 48

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.46

På figuren ses en skitse af grafen for en funktion f. Grafen afgrænser sammen med førsteaksen og linjerne x = –3 og x = 3 tre punkt7 mængder M, N og R. Arealerne af M og N er begge lig med 6, mens 16 arealet af R er lig med .

f 1 R

−2

∫−3 f ( x ) dx , ∫−2 f ( x ) dx

(2,0)

(–2,0)

Bestem hvert af integralerne

x=3

x = –3

∫−3 f ( x ) dx

Opgave 3.47 På figuren ses grafen for en funktion f(x). Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen to områder M og N. Det oplyses, at 16 arealet af M er 3 og at 3

∫−2 f ( x ) dx =

f N

125 12

a) Bestem ∫ f ( x ) dx.

b) Bestem arealet af N.

(–2,0)

−2

(3,0)

(0,0)

Opgave 3.48 På figuren ses graferne for to lineære funktioner f og g. Graferne afgrænser sammen med linjen med ligningen x = 6 et område M. Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stamfunktion til f og G er en stamfunktion til g.

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

y f

M 4 1

x 1

Bestem arealet af M.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 49

49 25/08/14 10.59

Opgave 3.49 y

På figuren ses graferne for to funktioner f og g. Graferne for f de to funktioner afgrænser et område M. Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stam funktion til f og G er en stamfunktion til g.

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

x 1

Bestem arealet af M.

Opgave 3.50 y

På figuren ses graferne for to funktioner f og g. Graferne for de to funktioner afgrænser et område M. f Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stam funktion til f og G er en stamfunktion til g.

x 1

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

Bestem arealet af M.

Opgave 3.51 y

På figuren ses graferne for to funktioner f og g. Graferne for de to funktioner afgrænser et område M. Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stamf funktion til f og G er en stamfunktion til g.

f(x)

g(x)

F(x)

G(x)

–1

M 4

x 1 2

Bestem arealet af M.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 50

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.52 På figuren ses graferne for to funktioner f og g. De to grafer afgrænser sammen med y-aksen et område M1, og sammen med linjen med ligningen x = 5 et område M2. Tabellen viser udvalgte funktionsværdier, hvor F er en stamfunktion til f og G er en stamfunktion til g.

f(x)

g(x)

F(x)

51 2

75 2

G(x)

33 2

65 2

10 9 7

x 1

Bestem det samlede areal af M1 og M2.

Opgave 3.53 En funktion f er bestemt ved f(x) = x2 – 10x + 30 Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x = 10 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af M.

b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring førsteaksen.

(stx A eksamen december 2008 med)

Opgave 3.54 En funktion f er givet ved 1 f( x) = + x x

Grafen for f, førsteaksen og linjerne med ligningerne x = 1 og x = 4 afgrænser et område M, der har et areal. Når området M drejes 360° om førsteaksen, fremkommer et omdrejningslegeme. Bestem rumfanget af dette omdrejningslegeme. (stx A eksamen maj 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 51

51 25/08/14 10.59

Opgave 3.55 To funktioner f og g er givet ved

f(x) = 17 – x2

g(x) = 8

Graferne for de to funktioner afgrænser et område M, der har et areal.

a) Tegn graferne og marker området.

b) Bestem arealet af M.

c) B estem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer når M drejes 360° omkring førsteaksen.

(stx A eksamen maj 2011 med)

Opgave 3.56 To funktioner g og h er givet ved

g(x) = 4(1 – e –x)

h(x) = ex – 1

a) Tegn graferne for g og h i samme koordinatsystem, og bestem førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem de to grafer.

Graferne for g og h afgrænser en punktmængde M, der har et areal

b) Bestem arealet af M. (Baseret på stx A eksamen august 2011 med)

Opgave 3.57 En funktion f er bestemt ved 1

f ( x) = 3x + , x > 0 x Grafen for f og linjen med ligningen y = 4 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af M.

b) Bestem rumfangent af det omdrejningslegeme, der fremkommer når M drejes 360° om førsteaksen.

(stx A eksamen december 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 52

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

(2)

Opgave 3.58 En funktion f er givet ved f( x) = 4 −

x2 4

Grafen for f og førsteaksen afgrænser i første og anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal (se figur 1).

(1)

Figur 1

a) Bestem arealet af M.

(2)

Fra punktmængden M er der udskåret et rektangel (se figur 2).

b) Bestem arealet af det skraverede område på figur 2 udtrykt ved x.

( x,f(x))

(stx A eksamen maj 2012 med) (1)

Figur 2

Opgave 3.59 En funktion f er bestemt ved f ( t ) = 1,4 ⋅ sin(0,15t − 3) + 3,6 , 0 ≤ x ≤ 30 Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen, andenaksen og linjen med ligning x = k en punktmængde M. k er et tal, der ligger i intervallet 15 ≤ x ≤ 30. (2) k

f M (1) 15

Den indre form af en såkaldt sinus-vase fremkommer ved, at punktmængden M roteres 360° om førsteaksen. Højden af vasen, målt i cm, er lig med k.

a) Bestem, hvor mange cm3 vand, der kan være i en 20 cm høj sinus-vase.

Vasens bund er ved x = 0 og vasens åbning er ved x = k. Vasens åbning har form som en cirkel.

b) Bestem vasens højde og diameteren i vasens åbning, når vasen skal indeholde 730 cm3.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 53

53 25/08/14 10.59

Opgave 3.60 En funktion f er givet ved

f(x) = 2 · sin(0,05 · p · x – 0,5 · p) + 2

a) Tegn grafen for f i intervallet [0;40].

(1)

I en model kan bicepsmusklen hos en bestemt person beskrives ved det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f drejes 360° omkring førsteaksen i intervallet [0;40]. b) Bestem bicepsmusklens volumen.

Styrken i bicepsmusklen er proportional med musklens maksimale tværsnitsareal.

c) Bestem bicepsmusklens maksimale tværsnitsareal.

(stx A eksamen august 2012 med)

Opgave 3.61 En funktion f er givet ved

(2)

f(x) = 1 + 0,1 · x2

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(5,f(5)). Grafen for f og tangenten til grafen for f i punktet P afgrænser sammen med koordinatakserne en punktmængde M (se figur). Formen for en bestemt lerskål fremkommer ved, at punktmængden M drejes 360° omkring førsteaksen. P

f M

(1)

b) Bestem førstekoordinaten til tangentens skæringspunkt med førsteaksen, og bestem skålens lerrumfang.

(stx A eksamen december 2012 med)

(1)

Opgave 3.62 En funktion f er bestemt ved f(x) = –0,2x2 + 2x + 2,5

I en model af en karaffel har karaflens nedre del form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f roteres 360° omkring førsteaksen i intervallet [0;10](se figur). Enheden på akserne er cm. 10 Bemærk, at førsteaksen er lodret på figuren. h

(2)

a) Bestem maksimum for f, og benyt dette til at bestemme bredden af karaflen, der hvor den er bredest.

Der fyldes væske i karaflen, så højden af væsken er h cm fra karaflens bund. (opgaven fortsættes)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 54

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

b) Bestem volumen af væsken udtrykt ved h, og bestem væskehøjden, når der fyldes 500 cm3 væske i karaflen.

(stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 3.63 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = –0,15x2 + 2,205x – 0,858

g(x) = –0,12x2 + 1,3x + 4,2

Graferne for f og g afgrænser sammen med koordinatsystemets akser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. En træskål har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M roteres 360° om førsteaksen. Enheden på begge akser er cm.

a) Tegn graferne for f og g, og bestem skålens højde.

b) Hvor stort er rumfanget af det træ, der udgør skålen?

(stx A eksamen august 2013 med)

Opgave 3.64 En funktion f er bestemt ved f(x) = (4 –x2) · e –x Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første og anden kvadrant et område M, der har et areal. Skitsér grafen for f, og bestem arealet af M. (stx A eksamen net maj 2012 med) (2)

Opgave 3.65 To funktioner f og g er givet ved

f(x) = –0,015625x2 + 1,25x + 200, x ≥ 0

g(x) = 200 – 0,000032x4, x ≥ 0

a) Bestem nulpunktet for hver af de to funktioner f og g.

Gavlen på et busskur har form som det område M, der afgrænses af graferne for f og g samt førsteaksen i første kvadrant (se skitse). Enheden på hver af akserne er cm. b) Bestem arealet af busskurets gavl.

f 100 M g (1)

(stx A eksamen december 2013 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 55

100

55 25/08/14 10.59

Opgave 3.66 Udetemperaturen (°C) i et døgn er en funktion f af tiden x målt i antal timer efter midnat. For et bestemt døgn er f givet ved f ( x ) = 17 − 3 ⋅ sin  π ⋅ x + π  , 0 ≤ x ≤ 24 12 2 Grafen for f ses på figuren sammen med den linje, der har ligningen y = 17. y f

y = 17

Funktionen f anvendes ved udregning af det såkaldte graddagetal, som er et mål for den energi, det kræves til rumopvarmning.Graddagetallet for det pågældende døgn 1 beregnes som 24 af arealet af den skraverede punktmængde, idet temperaturer over 17°C ikke bidrager til graddagetallet. Beregn graddagetallet for det pågældende døgn. (Eksamensopgave sommer 1999)

Opgave 3.67 (2)

To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = –x3 + x2 + kx + 3

g(x) = x2 + 3

hvor k er et positivt tal. N

Graferne for f og g afgrænser for x ≤ 0 et område M, der har et areal, og for x ≥ 0 et andet område N, der har et areal.

(1)

a) Beregn arealet af de to områder, når k = 2.

b) Gør rede for, at de to områder M og N har samme areal f or alle værdier af k.

(stx A eksamen maj 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 56

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.68 To funktioner f og g er bestemt ved

f(x) = x2 – k · x

g(x) = k · x

hvor k er et positivt tal. Graferne for f og g afgrænser en punktmængde M, der har et areal. Bestem k, så arealet af M er 36. (stx A eksamen august 2010 med)

Opgave 3.69 På figuren ses grafen for funktionen

(2)

f(x) = 80x – 10x2

samt to punktmængder M og Mk. Punktmængden M er afgrænset af grafen for f, koordinatsystemets førsteakse samt linjen med ligningen x = 4. Punktmængden Mk er afgrænset af grafen for f, koordinatsystemets førsteakse samt linjerne med ligningerne x = 4 og x = k, hvor k > 4.

100

Når punktmængderne M og Mk drejes 360º om førsteaksen, fremkommer to omdrejningslegemer med rumfang V og Vk.

f M

1 Bestem V, og bestem k, så Vk = 2 V .

(1)

(stx A eksamen august 2009 med)

Opgave 3.70 En funktion f er bestemt ved

f(x) = x4 – 4x2

Koordinatsystemets førsteakse og grafen for funktionen f afgrænser i fjerde kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

a) Bestem arealet af punktmængden M.

b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360º om førsteaksen.

For ethvert tal t, hvor 0 < t < 2, deler linjen med ligningen x = t punktmængden M i to punktmængder A og B.

c) Bestem den værdi af t , der svarer til, at M og N har samme areal.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 57

57 25/08/14 10.59

Opgave 3.71 (2)

To funktioner f og g har forskrifterne f ( x ) = 3 x + 9 og g(x) = x + 3 Graferne for f og g afgrænser i anden kvadrant en punktmængde M, g der har et areal. a) Bestem arealet af M. N f For k > 0 afgrænser graferne for de to funktioner sammen med linjen med ligningen x = k i første kvadrant en punktmængde N.

b) Bestem k, så arealerne af M og N er lige store.

(1)

–3

Opgave 3.72 En funktion f er givet ved f ( x ) = 36 − 6 x I første kvadrant afgrænser grafen for f og koordinatsystemets akser en punktmængde M, der har et areal.

a) For 0 < a < 6 er en linje ma bestemt ved ligningen x = a. Linjen ma deler punktmængden M i to punktmængder Va og Ha, hvor Va er den punktmængde, der ligger til venstre for ma, og Ha er den punktmængde, der ligger til højre for ma. Bestem a, så arealet af Va er lig med arealet af Ha.

b) Når punktmængden Ha roteres om førsteaksen, fremkommer et omdrejningslegeme. Bestem tallet a, så rumfanget af omdrejningslegemet bliver 12p.

3.5 Summer og integraler (supplerende stof) Opgave 3.73 Betragt funktionen f ( x ) =

1 x

på intervallet [1;2].

Opskriv, og udregn en højresum H5, venstresum V5 og midtsum M5 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 5 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 58

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.74 Betragt funktionen f(x) = x2 på intervallet [0;3]. Opskriv, og udregn en højresum H6, venstresum V6 og midtsum M6 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 6 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Opgave 3.75 Betragt funktionen f(x) = ex på intervallet [–2;2]. Opskriv, og udregn en højresum H4, venstresum V4 og midtsum M4 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 4 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Opgave 3.76 π

Betragt funktionen f(x) = cos(x) på intervallet [0; 2 ] . Opskriv, og udregn en højresum H5, venstresum V5 og midtsum M5 for funktionen svarende til en inddeling af intervallet i 5 lige store dele. Udnyt et værktøjsprogram til at udregne Hn, Vn og Mn for n lig med 10, 50 og 100. Hvilket tal vil du forvente, at summerne konvergerer mod?

Opgave 3.77 I statistik arbejdes med c2-fordelingen, når man eksempelvis vurderer, om der er sket signifikante ændringer i befolkningens holdninger til politiske eller andre spørgsmål. Ud fra den givne stikprøve fastlægger vi antallet af frihedsgrader og er der eksempelvis 6 frihedsgrader, anvendes c2-fordelingen med 6 frihedsgrader. Den funktion, hvis graf beskriver fordelingen, betegnes her (og i mange værktøjsprogrammer) c2(x,6).

a) Tegn grafen for denne funktion.

b) Kontroller, at arealet under grafen er lig med 1, svarende til 100%. Vær opmærksom på, at funktionens definitionsmængde er [0;∞[.

c) Hvilken x-værdi svarer til et signifikansniveau på 5%?

d) B etragt nu intervallet [0;20], og gennemfør selv en beregning af midtsummer for forskellige inddelinger af intervallet. Hvad ser du?

e) Gennemfør samme undersøgelse med intervallet [0;50]. Hvad er din konklusion?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 59

59 25/08/14 10.59

Opgave 3.78 I statistik arbejdes med normalfordelingen, når man eksempelvis vurderer, om børn følger en normal udvikling mht. højde og vægt. Alle normalfordelingskurver er bestemt af 2 parametre, middeltallet og spredningen, og kan derfor alle fremkomme ved at transformere den såkaldte standardnormalfordelingskurve, hvor middeltallet er 0 og spredningen er 1. Den funktion, hvis graf tegner standardnormalfordelingen har x2 1 forskriften ϕ(x) ö ( x) = ⋅ e− 2 . 2π

a) Tegn grafen for denne funktion.

b) Kontroller, at arealet under grafen er lig med 1, svarende til 100%. Vær opmærksom på, at funktionens definitionsmængde er ]–∞;∞[.

c) H vad er arealet under grafen mellem –1 og 1, dvs arealet af området under grafen, der ligger indenfor 1 sprednings afstand fra middeltallet?

d) H vad er arealet under grafen mellem –2 og 2, dvs arealet af området under grafen, der ligger indenfor 2 sprednings afstand fra middeltallet? Dette område kaldes det normale område. Værdier udenfor dette område opfattes som afvigende fra det normale.

d) B etragt nu intervallet [–3;3] og gennemfør selv en beregning af midtsummer for forskellige inddelinger af intervallet. Hvad ser du?

e) Gennemfør samme undersøgelse med intervallet [–5;5]. Hvad er din konklusion?

3.6 Anvendelser og blandede opgaver Opgave 3.79 En funktion f har forskriften

f(x) = –x3 + 3x2

a) Bestem monotoniforholdene for f.

b) Gør rede for, at x = 0 og x = 3 er de eneste løsninger til ligningen f(x) = 0.

Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

c) Skitsér punktmængden M, og bestem arealet af M.

(stx A eksamen net maj 2013 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 60

25/08/14 10.59

3. Integralregning 2

Opgave 3.80 En funktion f er givet ved

f ( x ) = 4 x − 1 x 2, 2

x≥0

a) Bestem monotoniforholdene for f.

Grafen for f og koordinatsystemets førsteakse afgrænser i første kvadrant et område M, som har et areal.

b) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring koordinatsystemets førsteakse.

(stx A eksamen august 2008 med)

Opgave 3.81 En funktion f er bestemt ved

f(x) = (x + 1) · e –x

a) Bestem monotoniforholdene for f.

Grafen for f afgrænser sammen med koordinatsystemets akser i anden kvadrant en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

c) Bestem rumfanget af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° om førsteaksen.

(stx A eksamen juni 2010 med)

Opgave 3.82 En funktion f er bestemt ved

f( x) =

1 ⋅ ln( x ), x

x>0

a) Bestem monotoniforholdene for f.

Grafen for f, koordinatsystemets førsteakse og linjen med ligningen x = 10 afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

b) Bestem arealet af M.

(stx A eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 61

61 25/08/14 10.59

Opgave 3.83 (2)

I St. Louis, Missouri, står Eero Saarinen’s “The Gateway Arch” (se foto), som blev bygget I perioden 1963-65. f

(1)

I en model, hvor buen er indlagt i et koordinatsystem, og hvor alle enheder er målt i meter, følger buen den positive del af grafen for funktionen

f ( x ) = 211,4885 − 10,4801⋅ (e0,0329x + e −0,0329x ) a) Bestem buens bredde.

Det oplyses, at buelængden af grafen for en differentiabel funktion f i et interval [a;b] kan beregnes ved b

2 ∫a (f ′( x )) + 1 dx

b) Bestem buens længde.

Kilde Gateway to Mathematics Equations of the St. Louis Arch, Paul Calter, Nexus Network Journal, Springer, 2006.

(stx A eksamen december 2011 med)

Opgave 3.84 En funktion f er givet ved

f ( x ) = ( a + x ) 2 , , a > 0a >x 0≥ 0x ≥ 0

Det oplyses, at længden l af grafen for f fra punktet P(0,f(0)) til punktet Q(b,f(b)), hvor b > 0, er bestemt ved b 2 l = ∫ (f ′( x )) + 1 dx 0

a) Bestem for b = 1 længden af grafen for f fra punktet P til punktet Q, når a = 1.

b) Bestem for b = 1 den værdi af a, der svarer til, at længden af grafen for f fra punktet P til punktet Q er 4.

Med M betegnes den punktmængde, der afgrænses af koordinatsystemets førsteakse, grafen for f samt linjen med ligningen x = 0 og linjen med ligningen x = b.

c) Bestem for a = 2 og b = 5 omkredsen af M.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 62

25/08/14 11.00

3. Integralregning 2

Opgave 3.85 På billedet ses Golden Gate Bridge indlagt i et koordinatsystem med enheden meter på begge akser. Koordinatsystemets nulpunkt ligger ved vandoverfladen hos den nordlige pylon til venstre i billedet. Bærekablets monteringspunkter på de to pyloner ligger 220 m over vandoverfladen, og kablets laveste punkt er 80 m over vandoverfladen. Afstanden mellem monteringspunkterne er 1280 m.

(2)

(1)

I en model beskrives bærekablet mellem de to pyloner ved en del af grafen for et andengradspolynomium

f(x) = ax2 + bx + c

a) Bestem en forskrift for f.

Det oplyses, at buelængden af grafen for en funktion f(x) i intervallet [x1;x2] er givet ved x2

2 ∫x (f ′( x )) + 1 dx

1 b) Benyt modellen til at bestemme længden af bærekablet mellem de to pyloner.

(stx A eksamen august 2013 med)

Opgave 3.86 En funktion f er givet ved

f(x) = 6,5sin(0,0849x) + 6

Grafen for f afgrænser sammen med koordinatakserne og linjen med ligningen x = 38 et område M, der har et areal.

a) Skitsér grafen for f, og bestem arealet af M.

En loftslampes ydre har samme form, som overfladen af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når M drejes 360° omkring førsteaksen, idet enheden på koordinatsystemets akser er 1 cm. Det oplyses, at overfladen af dette omdrejningslegeme kan beregnes ved integralet

O = 2π ∫

f ( x ) ⋅ 1 + f ′( x )2 dx

b) Bestem lampens overfladeareal.

(stx A eksamen maj 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 63

63 25/08/14 11.00

Opgave 3.87 En funktion f er bestemt ved

f(x) = sin(x) + x + 0,5

Grafen for f, koordinatakserne og linjen med ligningen x = 5 afgrænser i første kvadrant en punktmængde M, der har et areal. En vase har form som det omdrejningslegeme, der fremkommer, når punktmængden M drejes 360° om førsteaksen, og enheden i koordinatsystemet svarer til 1 dm. (2)

a) Bestem vasens volumen.

Det oplyses, at den krumme overflade af det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f(x), a ≤ x ≤ b drejes 360° omkring førsteaksen, kan beregnes ved (1) b

O = 2 π ⋅ ∫ f ( x ) ⋅ 1 + ( f ′( x )) dx

b) Bestem arealet af vasens krumme overflade.

(stx A Net, prøvesæt 2010/11)

Opgave 3.88 I forbindelse med en crash-test kan førerdukkens deceleration beskrives ved funktionen a( t ) =

16400 ( t − 68)2 + 400

1480 ( t − 93)2 + 18

, 0 ≤ t ≤ 140

hvor a(t) betegner førerdukkens deceleration (målt i m/s2) til tidspunktet t (målt i ms). a) Tegn grafen for a, og bestem førerdukkens største deceleration.

Som et mål for, hvor voldsomt førerens hoved påvirkes af crash'et, anvendes værdien Severity Index (SI), som er bestemt ved T

∫0 ( a(t ))

2,5

SI =

b) Bestem SI, når T = 140 ms.

dt, hvor T er tiden (målt i ms)

Kilde Crash Tests and the Head Injury Criterion, HANS-WOLFGANG HENN, TEACHING MATHEMATICS AND ITS APPLICATIONS Volume 17, No. 4, 1998.

(stx A eksamen august 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 64

25/08/14 11.00

3. Integralregning 2

Opgave 3.89 I et vandret terræn skal der anlægges en 100 m lang, lige kanal. Kanalen skal i hele sit forløb have samme lodrette tværsnit. På figuren er dette tværsnit indtegnet i et koordinatsystem, således at førsteaksen ligger i terrænets overflade. Kurven på figuren er en del af grafen for f( x) =

1 ⋅ (− x4 50

(2) meter 2

f M2

M3 (1)

+ 29 x 2 − 100)

Punktmængden M1 er et tværsnit af den jord, der skal graves væk, mens M2 og M3 er tværsnit af den jord, der skal fyldes på. Rumfanget af den jord, der skal graves væk, er arealet af M1 gange med kanalens længde.

a) Bestem rumfanget af den nord, der skal graves væk.

b) Bestem, hvor meget jord der skal fyldes på.

–5

–2

terræn

Opgave 3.90 Om en kontinuert funktion f oplyses følgende:

f er defineret for alle reelle tal

f(x) = k, for alle x i intervallet [11;14]

∫1

f ( x )dx = 78,3 og

∫1

f ( x )dx = 79,8

Bestem k.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_3.indd 65

65 25/08/14 11.00

Første ordens differentialligninger

Introduktion til differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Eksakt løsning af differentialligninger – logistisk vækst. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

S eparation af de variable (supplerende stof). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

S upplerende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2 Introduktion til differentialligninger Opgave 4.1 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er konstant. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 4.2 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med differensen mellem 30 og f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,45. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 4.3 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,65. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Opgave 4.4 Om en differentiabel funktion f får vi oplyst, at tangenternes hældning er proportional med produktet af f(x) og differensen af 30 og f(x). Proportionalitetskonstanten er 0,45. Opskriv en differentialligning, som f opfylder.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 66

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.5 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

y′

ln(2)

2ln(2)

4ln(2)

8ln(2)

a) Vi antager, at der er en lineær sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved lineær regression en differentialligning, som y opfylder.

b) Hvilken type differentialligning er der tale om?

Opgave 4.6 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

y′

ln(2)

2ln(2)

4ln(2)

8ln(2)

a) Vi antager, at der er en lineær sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved lineær regression en differentialligning, som y opfylder.

b) Hvilken type differentialligning er der tale om?

Opgave 4.7 Tabellen viser sammenhørende værdier mellem en funktion y og dens afledede y ′.

1,4621

1,7616

1,9051

1,9641

y′

0,3932

0,2100

0,0903

0,0353

a) Vi antager, at der er en kvadratisk sammenhæng mellem y og y ′. Bestem ved kvadratisk regression en differentialligning, som y opfylder.

b) Hvilken type differentialligning er der tale om?

Opgave 4.8 Til højre er der for tre forskellige begyndelsesværdiproblemer vist et plot af linjeelementer sammen med en løsningskurve.

1. 10

2. 10

3. 10

0 0

Hvilket af de tre plot hører til differentialligningen y ′= y, med begyndelsesbetingelsen y(2) = 3?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 67

67 25/08/14 11.05

Opgave 4.9 Nedenfor er der for tre forskellige begyndelsesværdiproblemer vist et plot af linje-elementer sammen med en løsningskurve. 1.

3. 10

0 0

Hvilket af de tre plot hører til differentialligningen y ′= 1 med begyndelsesbetingelsen y(1) = 3?

Opgave 4.10 Tegn for hver af følgende differentialligninger et plot af linjeelementer, og undersøg, hvilke typer af løsningskurver der findes. Er der blandt løsningskurverne nogle, hvor du kender funktioner med sådanne grafiske forløb?

a) y ′= 2 · y · (5 – y)

b) y ′= y – x

c) y ′= –3 · y d) yy′′==

y x

Opgave 4.11 I en model er antallet P af individer i en bestemt population en funktion af tiden t (målt i døgn). Den hastighed, hvormed P vokser til tidspunktet t, er proportional med produktet af antallet af individer til tidspunktet t og forskellen mellem 2600 og antallet af individer til tidspunktet t. Det oplyses, at væksthastigheden er 10, når der er 100 individer i populationen. Opskriv en differentialligning, som P må opfylde. (stx A eksamen maj 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 68

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.12 Gør rede for, at funktionen f(x) = e2x + 3 er en løsning til differentialligningen

dy dx

= 2 y − 6.

(stx A eksamen august 2008 med)

Opgave 4.13 a) Undersøg, om f(x) = e4x – 2x2 – x – dy dx

1 4

er en løsning til differentialligningen

= 24y y− + 68x2.

b) Beskriv, i hvilke områder af planen løsningskurverne er voksende, og i hvilke de er aftagende. (stx A eksamen august 2009 uden)

Opgave 4.14 Gør rede for, at funktionen f(x) = x2 · ex er en løsning til differentialligningen

dy dx

2y x

+ y.

(stx A eksamen december 2009 uden)

Opgave 4.15 Der løber vand fra en vandhane ned i et badekar med en hastighed på 0,4 l/s. Bundproppen i badekaret er lidt utæt, så vandet løber samtidigt ud af badekarret med en hastighed, der er proportional med vandmængden i badekarret (målt i l). Det oplyses, at proportionalitetskonstanten er 0,001 s–1. Indfør passende variable, og opstil en differentialligning, der beskriver, hvordan vandmængden i badekarret ændrer sig med tiden. (stx A eksamen december 2009 uden)

Opgave 4.16 Undersøg, om f(x) = xe x + 3x er en løsning til differentialligningen y ′ = y +

y x

− 3x.

(stx A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 4.17 Gør rede for, at funktionen f(x) = x · lnx er en løsning til differentialligningen y ′ =

y x

+ 1.

(stx A eksamen august 2010 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 69

69 25/08/14 11.05

Opgave 4.18 En funktion f er løsning til differentialligningen punktet P(2,4).

dy dx

x +1 , y

og grafen for f går gennem

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

b) Beskriv løsningskurvernes monotoniforhold alene ud fra differentialligningen.

c) A nvend et værktøjsprogram til følgende: Tegn linjeelementer, indtegn forskellige løsningskurver, og udfør grafisk kontrol af resultatet i b).

(Baseret på stx A eksamen juni 2010 uden)

Opgave 4.19 I en model for glukoseindholdet i blodbanen hos en person er g(t) mængden af glukose (målt i mg), der er absorberet fra mave/tarmsystemet t timer efter indtagelsen af glukosen. Det oplyses, at g ′(t) = 675000 · t · e –3t , 0 ≤ t ≤ 4, g(0) = 0 Hvor meget glukose er der ifølge modellen absorberet fra mave/tarmsystemet 4 timer efter indtagelse af glukosen? (stx A eksamen august 2010 med)

Opgave 4.20 En funktion f er bestemt ved f(x) = ex – x – 1. Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen (stx A eksamen maj 2011 uden)

dy dx

x +1 y

= y + x.

Opgave 4.21 Om en funktion f oplyses, at punktet P(1,3) ligger på grafen for f, samt at funktionen er løsning til differentialligningen 3

x +1 y

dy dx

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P.

b) Beskriv løsningskurvernes monotoniforhold alene ud fra differentialligningen.

c) Anvend et værktøjsprogram til følgende: Tegn linje-elementer, indtegn forskellige løsningskurver, og udfør grafisk kontrol af resultatet i b).

= 2x + xy

(stx A eksamen august 2011 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 70

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.22 Grafen for en funktion f går gennem punktet P(0,3). Funktionen f har den egenskab, at i ethvert punkt (x,y) på grafen, er tangentens hældningskoefficient proportional med funktionsværdien i punktet. Proportionalitetskonstanten er 0,17. Bestem hældningskofficienten for tangenten til grafen for f i punktet P, og opstil en differentialligning, der har f som løsning. (stx A eksamen december 2011 med)

Opgave 4.23 Gør rede for, at funktionen f(x) = (x + 1) · ex er en løsning til differentialligningen y dy = y+ x +1

(stx A eksamen maj 2012 uden)

Opgave 4.24 En funktion f er løsning til differentialligningen dy y − 1 = , x>0 dx

og grafen for f går gennem punktet P(2,7) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A eksamen december 2012 uden)

Opgave 4.25 En steg sættes til langtidsstegning i en ovn. I en model er stegens indre temperatur T (målt i ºC) en funktion af tiden x (målt i minutter). Den hastighed, hvormed stegens indre temperatur stiger til tidspunktet x, er proportional med forskellen mellem ovnens temperatur og stegens indre temperatur. Det oplyses, at ovnens temperatur er 150 ºC, og at proportionalitetskonstanten er 0,011. Opstil en differentialligning, som T må opfylde. (stx A eksamen maj 2013 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 71

71 25/08/14 11.05

Opgave 4.26 En funktion f er løsning til differentialligningen dy x 3 + 1 = 3y + 5 dx

Grafen for f går gennem punktet P(1,4). Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P. (stx A eksamen august 2013 uden)

Opgave 4.27 En funktion f er bestemt ved f(x) = x · ex – x Undersøg, om f er en løsning til differentialligningen dy y = + x ⋅ ex dx

(stx A eksamen net maj 2013 uden)

4.3 Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer Opgave 4.28 En funktion f er løsning til differentialligningen dy 1 = ⋅ y +1 dx

og grafen for f går gennem punktet P(1,4). Bestem en forskrift for f. (stx A eksamen august 2008 med)

Opgave 4.29 I en model antages det, at en bestemt populations vækst er sådan, at antallet N af individer i populationen til tidspunktet t (målt i døgn) tilfredsstiller differentialligningen dN 0, 08 t − 1 = N, t > 0,5 dt

Det oplyses, at antallet af individer i populationen til tidspunktet t = 1 er 1,2 · 106. Benyt modellen til at bestemme populationens væksthastighed til tidspunktet t = 1, og bestem det tidspunkt, hvor antallet af individer i populationen er mindst. (stx A eksamen august 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 72

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.30 I en model for sammenhængen mellem længde og alder for atlantiske havkatte antages, at en havkats længde L (målt i cm) som funktion af dens alder t (målt i år) er en løsning til differentialligningen dL = 0,619 ⋅ e −0,22 t ⋅ L dt

I modellen antages, at en 10 år gammel atlantisk havkat er 72 cm lang.

a) Bestem en forskrift for L(t).

b) Bestem ved hjælp af modellen længden af en 16 år gammel atlantisk havkat, og bestem, hvor gammel en atlantisk havkat er, når den er 40 cm lang.

Kilde: Northw. Atl. Fish. Sci., Vol. 13 s 53–61, Distribution, Growth and Food Habits of the Atlantic Wolffish (Anarhichas lupus) from the Gulf of Maine-Georges Bank Region, Gary A. Nelson and Michael R. Ross, J.

(stx A eksamen december 2008 med)

Opgave 4.31 I en model for udviklingen af befolkningstallet i Mexico efter 2007 antages det, at den årlige vækstrate r er en funktion af tiden t (målt i antal år efter 2007), som tilfredsstiller differentialligningen dr = −0,025 r dt

og at r(0) = 0,017.

a) Bestem r som funktion af t.

Endvidere antages det, at befolkningstallet N(t) (målt i mio.) som funktion af tiden t (målt i antal år efter 2007) tilfredsstiller differentialligningen dN = r (t ) ⋅ N dt

og at N(0) = 106,5.

b) Bestem N som funktion af t, og benyt N til at bestemme, hvor mange år der går fra 2007, til befolkningstallet når op på 200 mio.

(stx A eksamen maj 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 73

73 25/08/14 11.05

Opgave 4.32 Et vandbad opvarmes fra 20°C til 100°C. Den indre temperatur (målt i °C) i et bestemt objekt, der befinder sig i vandbadet under opvarmningen, er en funktion f af tiden t (målt i sekunder). Det oplyses, at f er en løsning til differentialligningen

y ′ = 0,03 · (g(t) – y)

hvor g(t) er vandbadets temperatur til tiden t. Endvidere oplyses det, at til tidspunktet t = 0 er objektets indre temperatur 10°C, og at g(t) = 20 + 0,25 · t, 0 ≤ t ≤ 320 Bestem objektets indre temperatur, når vandbadets temperatur bliver 100°C. (stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 4.33 Ved en bestemt sygdom tilføres en patient medicin intravenøst over en femtimers periode. Medicinen tilføres kontinuerligt med en bestemt mængde p (målt i mg) pr. time. Den mængde medicin M (målt i mg), som til tidspunktet t (målt i timer) er i patientens blodbaner, opfylder differentialligningen dM = p − 0,03M dt

Vi går ud fra M(0) = 0. For at kurere sygdommen, skal patienten efter 3 timer have 100 mg af medicinen i blodbanerne. Bestem en forskrift for M som funktion af t udtrykt ved p, og bestem mængden p. (stx A eksamen august 2009 med)

Opgave 4.34 I et bestemt kredsløb er strømstyrken I(t) (målt i ampere) en funktion af tiden t (målt i sekunder). Det oplyses, at I(t) er løsning til differentialligningen dI 0,4 ⋅ + 10 I = 9 dt

og I(0) = 0.

a) Bestem strømstyrkens væksthastighed, når strømstyrken er 0,3 ampere.

b) Bestem en forskrift for I(t).

(stx A eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 74

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.35 I en model for udviklingen i en bestemt type kræftsvulst er antallet af kræftceller en funktion af tiden, der opfylder differentialligningen dN = 0,82 ⋅ 0,88 t ⋅ N dt

hvor N er antallet af kræftceller (målt i mio.) til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at N(10) = 266.

a) Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 10.

b) Bestem en forskrift for N(t).

Kilde: IMA Journal of Mathematics Applied in Medicine & Biology (1987) 4, 379.

(stx A eksamen august 2011 med)

Opgave 4.36 Fra et rør løber forurenet vand ned i en tønde med rent vand. Med C(t) betegnes koncentrationen (målt i ppm) af det forurenende stof i tønden til tidspunktet t (målt i minutter). I en model antages det, at C(t) er en løsning til differentialligningen dC = 0,4 − 0,02 ⋅ C dt

Det oplyses, at C(0) = 0.

a) Bestem en forskrift for C(t).

b) Skitsér grafen for C(t), og bestem det tidspunkt, hvor koncentrationen af det forurenende stof i tønden er 10 ppm.

c) Bestem C ′(15), og giv en fortolkning af dette tal.

(stx A eksamen december 2011 med)

Opgave 4.37 I en model kan udviklingen i et barns højde de første 4 leveår beskrives ved differentialligningen dh = 5,24 − 0,045 ⋅ h, 0 ≤ t ≤ 48 dt

hvor t er barnets alder (målt i måneder), og h er barnets højde (målt i cm). I modellen er et barn 50 cm højt ved fødslen.

a) Benyt modellen til at bestemme væksthastigheden, når barnet er 100 cm højt.

b) Bestem en forskrift for h, og benyt denne til at bestemme barnets alder, når det er 100 cm højt.

(stx A eksamen maj 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 75

75 25/08/14 11.05

Opgave 4.38 Et kar med saltvand tilføres løbende en saltopløsning, mens der samtidig løber saltvand ud af karret. I en model kan udviklingen i saltmængden i karret beskrives ved en funktion S, der er løsning til differentialligningen 2 dS = 1,5 − ⋅S 100 + t

hvor S(t) er saltmængden (målt i kg) til tidspunktet t (målt i minutter). Det oplyses, at der er 30 kg salt i karret til tidspunktet t = 0.

a) Bestem en forskrift for S.

b) Bestem det tidspunkt, hvor der er 60 kg salt i karret.

(stx A eksamen maj 2012 med)

Opgave 4.39 I en model er en persons vægt som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dm k 42 = − ⋅m dt

7000

hvor m(t) er personens vægt (målt i kg) til tidspunktet t (målt i døgn), og k er personens kostindtag (målt i kcal/døgn). En bestemt person vejer 85 kg og indtager 3300 kcal/døgn.

a) Hvad er væksthastigheden for denne persons vægt?

Om en anden person oplyses, at personen vejer 87 kg til tidspunktet t = 0.

b) Bestem personens vægt udtrykt ved t og k.

c) Bestem k, så personen vejer 80 kg efter 100 døgn.

(stx A eksamen august 2012 med)

Opgave 4.40 I en model for farten af en raket, der skydes lodret op, er rakettens fart som funktion af tiden en løsning til differentialligningen dv dt

−

1 15 − t

⋅v =

300 15 − t

− 9,81, 0 ≤ t ≤ 14

hvor v(t) er rakettens fart (målt i m/s) til tidspunktet t målt i sekunder efter affyring. Til tidspunktet t = 0 er rakettens fart 0 m/s. Bestem en forskrift for v, og bestem det tidspunkt, hvor rakettens fart når op på 1000 m/s. (stx A eksamen december 2012 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 76

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.41 I en model for koncentrationen af et bestemt rygestopmiddel i blodet hos en person er koncentrationen c(t) (målt i µg/L) som funktion af tiden t (målt i timer efter indtagelsen af stoffet) en løsning til differentialligningen

c ′ = –0,035 · c

a) H vor hurtigt aftager koncentrationen af rygestopmidlet, når koncentrationen i blodet er på 1,5 mg/L?

b) Bestem en forskrift for c(t), når det oplyses at koncentrationen af rygestopmidlet er 2,0 mg/L til tidspunktet t = 0.

(stx A eksamen august 2013 med)

Opgave 4.42 En Pintado fodres med en bestemt slags krebsdyr, hvorved det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv forøges. I en model kan udviklingen i det relative kulstof-13-indhold i Pintadoens muskelvæv beskrives ved differentialligningen dM = 5,1742 − 0,1584M dt

hvor M betegner det relative kulstof-13-indhold (målt i promille) til tiden t (målt i døgn efter påbegyndt fodring). Det oplyses, at det relative kulstof-13-indhold var 20 promille, da fodringen blev påbegyndt.

a) Bestem en forskrift for M(t).

b) S kitsér grafen for M, og bestem den øvre grænse for det relative kulstof-13indhold i Pintadoens muskelvæv.

(stx A eksamen net 2012 med)

Opgave 4.43 En beholder er fyldt med en gas under tryk. Fra en lille ventil i toppen af beholderen strømmer gas ud. I en model er trykket i beholderen P (målt i atm) som funktion af tiden t (målt i minutter efter åbning af ventilen) en løsning til differentialligningen dP = − k ⋅ ( P − 1,0) dt

Det oplyses, at trykket til tidspunktet t = 0 er 5,0 atm, og at trykket til tidspunktet t = 25 er 2,0 atm. Bestem en forskrift for P(t), og skitsér grafen for P(t). (stx A eksamen net 2013 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 77

77 23/11/2016 09.14

4.4 Eksakt løsning af differentialligninger – logistisk vækst Opgave 4.44 I en model kan udviklingen i biltætheden (målt i antal biler pr. 1000 indbyggere) i Danmark i perioden efter 1968 beskrives ved differentialligningen dN = 0,0004 ⋅ N ⋅ (315 − N ) dt

hvor N betegner biltætheden til tiden t (målt i antal år efter 1968). a) Bestem en forskrift for biltætheden N som funktion af tiden t, idet det oplyses, at biltætheden i 1968 var 198.

b) Giv ved hjælp af den fundne funktion et skøn over biltætheden i 2008, og kommentér resultatet.

Kilde: Transportrådets Notat 99-02 fra 1999, Personbilparkens udvikling 1955-2010 – bestand, nybilsalg og ophugning.

(stx A eksamen maj 2008 med)

Opgave 4.45 I en model for udviklingen af antallet af individer i en population betegner N(t) antallet af individer til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at N er løsning til differentialligningen dN = 0,00013·N·(1000 − N ) dt

og, at der er 50 individer i populationen til tidspunktet t = 0. Bestem væksthastigheden til tidspunktet t = 0, og bestem antallet af individer til hvert af de tidspunkter, hvor væksthastigheden er 31 individer pr. døgn. (stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 4.46 I en model antages det, at en populations vækst kan beskrives ved differentialligningen

N ′ = 4 · 10 –6 · N · (K – N)

hvor N er antallet af individer til tiden t (målt i år). Endvidere antages det, at N(0) = 10000 og N ′(0) = 2000.

a) Bestem K.

b) Bestem væksthastigheden, når antallet af individer i populationen er 35000.

(stx A eksamen august 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 78

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

Opgave 4.47 I en model for udviklingen i antallet af bakterier i en bakteriekultur betegner B(t) antallet af bakterier til tiden t (målt i døgn). I modellen antages det, at dB = 1,55 ⋅ 10 −4 ⋅ B ⋅ (2000 − B ) dt

Det oplyses, at der til tidspunktet t = 0 er 50 bakterier i bakteriekulturen. Bestem antallet af bakterier i bakteriekulturen efter 15 døgn. (stx A eksamen december 2009 med)

Opgave 4.48 I en model betegner V vægten af en gris til tidspunktet t. I modellen antages det, at V er løsning til differentialligningen dV = 0,000193V (139,6 − V ) dt

hvor V måles i kg, og t måles i døgn efter at grisen er begyndt at indtage fast føde. Grisens vægt er 7,3 kg, når den begynder at indtage fast føde.

a) Bestem en forskrift for V.

b) Bestem ved hjælp af modellen grisens vægt til det tidspunkt, hvor væksthastigheden er størst.

Kilde: www.infosvin.dk

(stx A eksamen juni 2010 med)

Opgave 4.49 I en model for dyrkning af en bestemt afgrøde på en mark kan sammenhængen mellem høstudbyttet M (målt i ton) og mængden af tilført kunstgødning x (målt i kg) beskrives ved differentialligningen dM = 0, 000369·M·(15,50 − M ), 0 ≤ x ≤ 1000 dx

Det oplyses, at høstudbyttet er 13,1 ton, når der tilføres 400 kg kunstgødning.

a) Bestem en forskrift for M som funktion af x.

Salgsprisen for 1 ton af afgrøden er 700 kr., og 1 kg kunstgødning koster 1,97 kr.

b) Skitsér grafen for fortjenesten (målt i kr.) som funktion af x, og bestem den værdi af x, der giver den største fortjeneste.

Kilde: Mathematical models of crop growth and yield. Allen R. Overman, Richard V. Scholtz, 2002.

(stx A eksamen august 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 79

79 25/08/14 11.05

Opgave 4.50 SARS-epidemiens udvikling i Singapore i 2003 kan beskrives ved differentialligningen dN = 0,00526 ⋅ N ⋅ (209 − N ) dt

hvor N er antal smittede til tidspunktet t (målt i døgn). Det oplyses, at der efter 30 døgn var 103 smittede.

a) Bestem væksthastigheden til det tidspunkt, hvor antal smittede var 100.

b) Bestem N(t), og gør rede for, hvad tallet 209 i modellen fortæller om epidemiens udvikling. (stx A eksamen maj 2011 med)

Opgave 4.51 I en model betegner N antal traner i en tranebestand i Hokkaido-området i Japan. I modellen antages det, at N som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen dN = 0,00029N ⋅ (1500 − N ) dt hvor t er antal år efter 1975.

a) Bestem tranebestandens væksthastighed, da der var 500 traner i bestanden.

Det oplyses, at tranebestanden i 1975 var 194 traner. b) Bestem en forskrift for N.

c) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for tranebestanden var størst.

ilde: A simple population viability analysis of Tancho (Grus japonensis) in southeastern HokK kaido, Japan, Yoshiyuki Masatomi, Seigo Higashi and Hiroyuki Masatomi, 2007.

(stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 4.52 I en matematisk model kan udviklingen i antallet af guppyer i et bestemt akvarium beskrives ved differentialligningen dP = 0,0015 ⋅ P ⋅ (150 − P ) dt

hvor P betegner antallet af guppyer i akvariet til tiden t (målt i uger). Det oplyses, at der fra start sættes i alt 12 guppyer af forskelligt køn ned i akvariet.

a) Bestem en forskrift for P, og bestem den tid t, der går, før akvariet indeholder 80 guppyer. (opgaven fortsættes)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 80

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

b) Tegn grafen for P i et passende interval, og bestem den øvre grænse for antallet af guppyer i akvariet.

c) Bestem det tidspunkt, hvor væksthastigheden for antallet af guppyer i akvariet er størst.

(stx A eksamen december 2013 med)

Opgave 4.53 Over 90% af Kinas perleproduktion kommer fra en bestemt perleøsters, Pinctada martensii. Vægtudviklingen for en af disse perleøsters kan beskrives ved differentialligningen dV =0,00018 ⋅ V ⋅ (53,63 − V ) dt

hvor V(t) betegner vægten (målt i g) til tiden t (målt i døgn). Det oplyses, at vægten var 0,59 g, da man påbegyndte målingerne.

a) Bestem en forskrift for V(t).

b) Bestem det tidspunkt, hvor vægttilvæksten er størst.

Kilde: Growth of Cultured Pearl Oyster (Pinctada martensii) in Li’an Lagoon, Hainan Island, China, Gu Zhifenget m.fl., Journal of Shellfish Research, 28(3) 465-470. 2009.

(stx A eksamen net maj 2012 med)

4.5 Separation af de variable (supplerende stof) Opgave 4.54 Afgør hvorvidt hver af differentialligningerne er separable eller ej

a) y ′ ==

x y

b) y ′ = x – y

c) y ′ = 1 – y

d) y ′ =

y x

Opgave 4.55 En funktion f er løsning til differentialligningen dy =2 y 2 ⋅ ( x − 1) dx

og grafen for f går gennem punktet P(2, − 21 ).

a) Bestem en forskrift for f, og bestem definitionsmængden for f.

b) Bestem den værdi af x, for hvilken f(x) antager sin mindsteværdi.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 81

81 25/08/14 11.05

Opgave 4.56 I en model for en bestemt kemisk reaktion omdannes et stof A. Mængden af stoffet A som funktion af tiden er en løsning til differentialligningen dM = −k ⋅ M2 dt

hvor k er en konstant, og M er mængden af stoffet A (målt i mg) til tidspunktet t (målt i minutter). Til tidspunktet t = 0 er der 70 mg af stoffet A, og til tidspunktet t = 60 er der 20 mg tilbage af stoffet A.

a) Bestem en forskrift for M(t), og bestem konstanten k.

b) Bestem M ′(60), og gør rede for betydningen af dette tal.

Opgave 4.57 Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen dy 2 x − 5 = dx

og at f(0) = –2 .

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,–2).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Opgave 4.58 En funktion f er løsning til differentialligningen dy = − 5x4 ⋅ y2 dx

Grafen for f går gennem punktet P(1,2).

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,2).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Opgave 4.59 Om en funktion f oplyses, at f er løsning til differentialligningen dy = 3 x 2 ⋅ ( y − 1) dx

og at f(1) = 3.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1,3).

b) Bestem forskrift og definitionsmængde for f.

Om en anden løsning g til differentialligningen gælder, at g(0) = 0.

c) Bestem en forskrift for g.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 82

25/08/14 11.05

4. Første ordens differentialligninger

4.7 Supplerende og udfordrende opgaver Opgave 4.60 I en model for en bestemt fiskeart antages det, at en fisks længde (målt i cm) er en funktion l af tiden t (angivet i år). Det antages, at l er løsning til differentialligningen dy = 5 − 1 y (1) dt

a) Bestem den hastighed, hvormed længden af en fisk vokser på det tidspunkt, hvor fiskens længde er 15 cm.

b) Bestem en forskrift for l, når det oplyses, at l(1) = 8.

I samme model antages det, at en fisks vægt (målt i gram) er en funktion V af tiden t (angivet i år). Det antages, at V er løsning til differentialligningen

dy dt

= 5y 3 − y, 0 < y < 1000 2

(2)

c) Gør rede for, at enhver funktion af typen y = (10 − c ⋅ e

− 61 t 3

)

(3)

er løsning til differentialligningen (2). Det oplyses, at den fuldstændige løsning til differentialligningen (2) udgøres af funktioner af typen (3).

d) Bestem en forskrift for V, når det oplyses, at V(6) = 253.

e) Bestem tallet V∞ = lim V ( t ), og giv en fortolkning af dette tal. t →∞

Opgave 4.61 a) Vis, at F ( x ) = 1 ⋅ ln  3 + x  , x ∈ ]0;2[ 6  3 − x er en stamfunktion til

f( x) =

1 9− x

, x ∈ ]0; 2[

b) Bestem den løsning til differentialligningen dy = y , x ∈ ]0 ;2[ , 2 dx

9− x

hvis graf indeholder punktet P(1,2) . c) Bestem en ligning for tangenten til løsningskurven i punktet P.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_4.indd 83

83 25/08/14 11.05

Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Vektorer i koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Skalarprodukt af vektorer i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Projektioner i plan og rum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Determinanten for et vektorpar i planen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vektorprodukt (krydsprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Linjer og planer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vinkel mellem linjer og planer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.

Skæring mellem objekter i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

11.

Afstande i plan og rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.3 Vektorer i et koordinatsystem, længder, cirkler og kugler Opgave 5.1 y

P å figuren er repræsentanter for en række vektorer indtegnet.

a) Bestem koordinaterne for vektorerne.



a  b

 g

 c

x 1



d f

b) Bestem koordinater for differensvektorer        ne a – b, a – d, d – c, g – b, tegn repræsentanter for hver af dem, og kontroller dine resultater ved aflæsning. c) U dnyt den geometriske beskrivelse af vektoraddition til at tegne følgende vektorer:        2) g + d 3) a + d + 2c 1) a + b

ved aflæsning af koordinaterne. Udregn koordinaterne og kontroller resultaterne

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 84

25/08/14 11.07

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.2 a) Tegn vha. et geometriprogram repræsentanter for følgende vektorer i et koordinatsystem:

 0 a=   2  7 d =    1

 −3 b =   4  −5 e=   −1

 5 c=   −2  −6 f =   0

        b) Bestem, og indtegn differensvektorerne a – b, a – d, d – c, e – b.     c) Bestem, og indtegn en tværvektor til a, b, d og f .

Opgave 5.3 Tegn i hånden (og evt. også i et 3D-geometriprogram) repræsentanter for følgende vektorer i et 3D koordinatsystem   2 b =  −2  2

  3 a =  5    0

  2 c =  3    4

  0 d =  0    3

Opgave 5.4 3

På figuren ses en model af en klods indtegnet i et koordinatsystem med enheden 1m på alle akser.

Bestem ved aflæsning koordinaterne til alle hjørner. y x

Opgave 5.5

   −4 3  5 4 Der er givet følgende fire vektorer a =   , b =   , c =   og d =   .  3  7  0 1

a) Beregn længden af hver af de fire vektorer.

b) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for hver af de fire vektorer.

c) Bestem længden af vektorerne med geometriprogrammets facilitet.

Opgave 5.6

a) Vi har i et 2D koordinatsystem givet punkterne A(5,7), B( −2,1), C(10, −3).      Bestem koordinaterne for vektorerne AB, BC, AC, AA og BA.

b) Vi har i et 3D koordinatsystem givet punkterne A(1,0,3), B(5, −5, −6), C(0,7,2).      Bestem koordinaterne for vektorerne AB, BC, AC, AA og BA.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 85

85 25/08/14 11.07

Opgave 5.7

I G

iguren viser en model af Denver Museum indtegnet i et F koordinatsystem. Alle enheder er i feet.

B(52,109,0) D(40,158,59) z F(25,297,100) I(47,37,103)

A(106,141,68) C(25,117,9) E(65,169,85) G(87,25,85)

E A

y B C

a) O pskriv alle stedvektorerne hørende til punkterne,     og bestem vektorerne BA, CD, DE og AE . b) Bestem længderne af linjestykkerne BA, CD, DE og AE. c) Er linjestykkerne AG og IE parallelle? (baseret på stx A eksamen maj 2012 med)

Opgave 5.8 Vi har i et 2D koordinatsystem givet punkterne A(7,5), B( −3,3), C(8, −3).

a) Bestem koordinaterne for midtpunktet af siderne AB, BC og AC.

b) Konstruer midtpunkterne i et geometriprogram, og bestem koordinaterne dér.

c) Bestem længderne af linjestykkerne AB, BC og AC.

Opgave 5.9 I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i C(0,0,5), og punktet P(2,–1,7) ligger på kuglen. Bestem en ligning for kuglen.

Opgave 5.10 Følgende ligninger beskriver alle en cirkel. Angiv centrum og radius for hver af disse.

a) (x – 2)2 + (y – 5)2 = 9

b) (x + 1)2 + (y – 4)2 = 25

c) (x + 1)2 + (y + 4)2 = 100

d) (x – 2)2 + (y + 7)2 = 40

e) x2 + y2 = 81

f) x2 + (y – 1)2 = 121

Tegn cirklerne i et geometriprogram.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 86

03/09/14 12.44

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.11 Omskriv hver af følgende ligninger i x og y, så du kan afgøre, om ligningen beskriver en cirkel. Hvis det er en cirkel, bestem da centrum og radius.

a) x2 + 4x + y2 – 8y + 10 = 0

b) x2 – 9x + y2 – 2y = 100

c) x2 + y2 + 5x + 14y + 10 = 0

Opgave 5.12 Opskriv en ligning, hvor der indgår (x + ...)2 og (y + ...)2, og som ikke er en ligning for en cirkel.

Opgave 5.13 Følgende ligninger beskriver alle en kugle. Angiv centrum og radius for hver af disse.

a) (x – 2)2 + (y – 5)2 + (z – 7)2 = 4

b) (x + 1)2 + (y – 4)2 + z2 = 36

c) x2 + (y + 4)2 + (z – 12)2 = 121

d) (x + 102)2 + (y – 430)2 + (z – 731)2 = 1

Angiv for hver af kuglerne 3 forskellige punkter, der ligger på kugleskallen.

Opgave 5.14 En kugle er givet ved ligningen

x2 + 6x + y2 – 14y + z2 + 2z + 23 = 0

Bestem koordinatsættet til kuglens centrum og kuglens radius. (stx A eksamen august 2009 uden)

Opgave 5.15 En cirkel er givet ved ligningen (x + 1)2 + (y – 4)2 = 25. Afgør om følgende punkter ligger på cirklen, indenfor cirklen eller udenfor cirklen:

a) O(0,0)

b) A(3,1)

c) B(4,4)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 87

d) C(–4,–4)

e) D(2.5,0.5)

87 25/08/14 11.07

Opgave 5.16 I et koordinatsystem i rummet er en kugle givet ved ligningen

x2 – 2x + y2 + 6y + z2 + 2z + 2 = 0

Bestem kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum. (stx A eksamen december 2011 uden)

Opgave 5.17 I et koordinatsystem i rummet er en kugle bestemt ved ligningen

x2 – 6x + y2 + 2y + z2 = 6

Bestem kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum. (stx A eksamen maj 2010 uden)

Opgave 5.18 En cirkel er bestemt ved ligningen

x2 + 2x + y2 – 4y = 4

Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum. (stx A eksamen august 2012 uden)

Opgave 5.19 En cirkel har centrum i C(1,0) og radius 8. En linje er bestemt ved ligningen y = x – 1.

a) Tegn figurerne i et geometriprogram, og bestem koordinaterne til evt. skæringspunkter mellem linje og cirkel.

b) Bestem ved beregning koordinatsættet til de evt. skæringspunkterne mellem cirklen og linjen.

(punkt b er: stx A eksamen maj 2011 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 88

25/08/14 11.07

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

5.4 Skalarprodukt af vektorer i plan og rum, parameterfremstillinger Opgave 5.20 To vektorer er givet ved   3 −10 a =   og b =   5  6 Gør rede for, at de to vektorer er ortogonale. (stx A eksamen net maj 2012 uden)

Opgave 5.21

  3 t − 2 I planen er der givet to vektorer, a =  og b =   , hvor t er et tal.  −3  5    Bestem tallet t, så vektorerne a og b er ortogonale. (stx A eksamen maj 2008 uden)

Opgave 5.22

  2 4 To vektorer er givet ved a =   og b =   , hvor t er et tal.  t  3   a) Tegn i et geometriprogram repræsentanter for a og for fem forskellige udgaver af b.  2 b) Sæt OPt =   , og give en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne Pt  t ligger for et vilkårligt t.   c) Giv ud fra din geometriske konstruktion et bud på, for hvilken værdi af t a og b er ortogonale.   d) Beregn værdien af tallet t, så a og b er ortogonale.

Opgave 5.23 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved    −3 + 2t  , hvor t er et tal. OP a t ==  2 og b =   4   t

  a) T egn i et geometriprogram repræsentanter for a og b for fem forskellige værdier af t.   2  −3 + 2t  . Sæt OPt =  t  , og OQt =   4 

b) Giv en sproglig beskrivelse af, hvor i planen punkterne Pt og Qt ligger for et vilkårligt t.   2  + 2t  −3 ved hjælp af en skyder for tallet t, og giv ud fra din geomec) Konstruer OPt =og tOQt =  4    triske konstruktion et bud på, for hvilken værdi af t a og b er ortogonale.   d) Beregn værdien af tallet t, så a og b er ortogonale.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 89

89 25/08/14 11.07

Opgave 5.24

   1 5t − 1 Bestem tallet t, så vektorerne a = og b =  er ortogonale.  3   −2t  (stx A eksamen juni 2010 uden)

Opgave 5.25

  I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved   t − 1   2  a =  t + 1 og b =  3    a) Bestem de værdier af t, der gør a og b ortogonale.

b) Tegn vektorerne for de pågældende værdier af t.

(Baseret på stx A eksamen maj 2011 uden)

Opgave 5.26 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved  t + 1t + 1   t  t ogogogb = b a = a =  =   2t  2t   4  4 hvor t er et tal.

  a) Bestem t, så vektorerne a og b er ortogonale.

b) Tegn begge vektorer i et koordinatsystem.

Opgave 5.27

  t + 12t  t To vektorer er givet veda =a =   ogog b =   , hvor t er et tal.  2  4  t− t − 4   Bestem værdien af tallet t, så a og b er ortogonale. (stx A eksamen maj 2009 uden)

Opgave 5.28 Er der forskel på de to sætninger?     Sætning 1: "Hvis a · b = 0, så er a og b vinkelrette"     Sætning 2: "Hvis a og b er vinkelrette, så er a · b = 0"

Opgave 5.29

  6 −4 Vi har givet to vektorer a =   og b =   .  5  5 Afgør uden at beregne vinklen, om vinklen mellem disse to vektorer er ret, spids eller stump?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 90

25/08/14 11.07

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.30

  I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved   −3  ab==  1 og b =  2  2   Bestem vinklen mellem a og b.

Opgave 5.31 En linje l er bestemt ved parameterfremstillingen

 x  =  − 1  1  y  =  2 + t ·  1 ,       z  4  3

t∈

 2    = og en vektor a har koordinaterne  −3  1

 Bestem den spidse vinkel mellem log a. (stx A eksamen maj 2008 med)

Opgave 5.32 I et koordinatsystem er givet vektorerne   3   t − 1 a =  2  og b =  t  hvor t er et tal.   Bestem for t = 4 vinklen mellem a og b.

Opgave 5.33 I et koordinatsystem er givet vektorerne   3   t − 1 a =  2 t  og b =  t  hvor t er et tal.

  a) Bestem for t = 0 og t = –1 vinklen mellem a og b.

b) Bestem t, så vinklen mellem vektorerne er 60°.

(stx A eksamen maj 2010 med)

Opgave 5.34 En cirkel er givet ved ligningen x2 + 2x + y2 – 6y = 15, og en linje har retningsvektoren  2 r =   og går gennem punktet punktet P(2,2).  1 a) Bestem radius og centrum for cirklen.

b) Bestem en parameterfremstilling for linjen.

c) Bestem koordinatsættet til hvert af cirklens skæringspunkter med linjen.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 91

91 25/08/14 11.08

Opgave 5.35 En cirkel har centrum i C(3,–2) og går gennem P(8,10).

a) Bestem cirklens radius.

b) Tegn cirklen i et geometriprogram, og konstruer tangenten i punktet P.

c) Bestem en parameterfremstilling for tangenten i P.

Opgave 5.36 En cirkel er givet ved ligningen (x – 2)2 + (y + 1)2 = 100.

a) Bestem en parameterfremstilling for linjen m gennem cirklens centrum med  −4 retningsvektor r =   .  3

b) En anden linje l går gennem punktet P(2,0) og er vinkelret på m. Bestem en parameterfremstilling for l.

c) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem linjerne.

Opgave 5.37 To linjer l og m i rummet er bestemt ved

 x   0  −3 l :  y  =  1 + t  1         z   6  2

 x   9  3 og m:  y  =  1 + s  2        z   7  5

Det oplyses, at l og m skærer hinanden i et punkt P.

a) Bestem koordinatsættet til P.

b) Bestem vinklen mellem linjerne.

Opgave 5.38 Vi har givet følgende punkter i rummet:

A(7,3,0), B(1,1,6), D(1,8,0), E(4,2,3), F(–1,5,4)

a) Bestem vinklerne i trekant DEF.

b) Bestem en parameterfremstilling for linjen l gennem A og D, og en parameterfremstilling for linjen m gennem B og F.

c) D e to linjer skærer hinanden. Bestem skæringspunktet C, samt vinklen mellem de to linjer.

d) B estem afstanden fra B til skæringspunktet C.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 92

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.39 I et koordinatsystem i rummet er en kugle K givet ved ligningen

x2 – 4x + y2 + 2y + z2 – 2z = 36

og en linje l er bestemt ved parameterfremstillingen  x  =  − 8 =  − 5  y  =  2 + t ·  7 , t ∈    = − =  − 3 z  3 Undersøg, om l er tangent til K.

5.5 Projektioner i plan og rum Opgave 5.40

  I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved   −1   2 a =   og b =  2 3   1   a) Bestem tallet s, således at a + sb og v =  −  er ortogonale. 1   b) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. (stx A eksamen december 2008 med)

Opgave 5.41

  I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved      1 a =   og b =  −3 2 2   a) Bestem vinklen mellem a og b.   b) Bestem længden af projektionen af b på a. (stx A eksamen august 2009 med)

Opgave 5.42

  3   6 To vektorer er givet ved a =   og b =   . 2 4   Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b. (Baseret på stx A eksamen december 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 93

93 25/08/14 11.08

Opgave 5.43

  4 I et koordinatsystem er givet to punkter P(3,1) og Q(20,7) samt en vektor a =   . −3

a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l der går gennem P og Q.

 b) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på linjen l.

Opgave 5.44 I et koordinatsystem i planen er givet to punkter A(4,1) og B(8,5) samt en vektor

  −3 a=  6 a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l gennem A og B.  b) Bestem vinklen mellem a og linjen l.

 c) Bestem længden af projektionen af a på linjen l.

(Baseret på stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 5.45

 I et koordinatsystem er givet to punkter P(–3,5) og Q(9,–3) samt en vektor a =  3 .  2  a) Bestem en parameterfremstilling for linjen l, der går gennem P og har a som retningsvektor.

b) Bestem projektionen af punktet Q på l både ved beregning og ved konstruktion.  c) Bestem projektionen af vektor PQ på linjen.

Opgave 5.46

1   2    a =  1 og b ==  −3    3  1     Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b og af b på a. I et koordinatsystem i rummet er givet vektorerne:

5.6 Determinanten for et vektorpar i planen Opgave 5.47

  − 1   3 Vi har givet vektorerne a =   og b =   . 5 7   a) Bestem det(a,b). Hvilken geometrisk betydning har dette tal?     b) Bestem det(b,a). Sammenlign med det(a,b). Hvad ser du?

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 94

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.48 I et koordinatsystem er to vektorer givet ved   3    a =  t + 1 og b =   , hvor t er et tal. 4 2t   a) Bestem t, så vektorerne a og b er ortogonale   b) Bestem t, så vektorerne a og b er parallelle. (stx A eksamen august 2008 uden)

Opgave 5.49 I et koordinatsystem er givet vektorerne   3   t − 1 a =  2  og b =  t  , hvor t er et tal.   Bestem de værdier af t, for hvilke a og b er parallelle.

Opgave 5.50

  4    2  Bestem tallet t, så vektorerne a = 2t − 3 og b =  er parallelle. 7t − 5 (stx A eksamen august 2010 uden)

Opgave 5.51

  I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved   2   3 a =  t  og b =   8   Bestem t, så a og b er parallelle. (stx A eksamen december 2012 uden)

Opgave 5.52

  I et koordinatsystem er to vektorer a og b givet ved   − 2   3 a =   og b =   2 5

  Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer a og b udspænder. (stx A eksamen maj 2012 uden)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 95

95 25/08/14 11.08

Opgave 5.53

  I et koordinatsystem er to vektorer a og b bestemt ved   6   5 a =  − 10 og b =   8   a) Bestem koordinatsættet til projektionen af a på b .   b) Bestem arealet af parallelogrammet udspændt af a og b. (stx A eksamen maj 2011 med)

Opgave 5.54 To vektorer i planen er givet ved   3   5 a =   og b =   4 6 Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder. (stx A eksamen august 2011 uden)

Opgave 5.55

  I et koordinatsystem i planen er to vektorer a og b givet ved   1   − 3 a =   og b =  −  4 7   a) Bestem vinklen mellem a og b.   b) Bestem arealet af den trekant, der udspændes af a og b. (stx A eksamen august 2013 med)

Opgave 5.56 To vektorer er givet ved   3   8 a =  −  og b =   , hvor t er et tal. t 6

a) Bestem t, så de to vektorer er ortogonale.

b) Bestem arealet af det parallelogram, som de to vektorer udspænder, når t = 2.

(stx A eksamen net maj 2012 uden)

Opgave 5.57

  4 I et koordinatsystem er givet to punkter P(3,1) og Q(20,7) samt en vektor a =   . −3   a) Bestem arealet af det parallelogram, der udspændes af vektorerne PQ og a.   b) Bestem koordinatsættet til projektionen af PQ på a.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 96

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

5.7 Vektorprodukt (krydsprodukt) Opgave 5.58

a) Bestem krydsproduktet af følgende vektorpar ved hjælp af definitionen

−  3   1  1) a = − 1 og b =  6  4  5

−   4   6 2) a =  5 og b =  5    2  7

 2  − 8   3) a = − 6 og b =  24 − 4   1

b) Kontroller resultaterne med et værktøjsprogram. Forklar resultatet i 3).     c) Undersøg, om a × b er ortogonal på a og b.

Opgave 5.59 Vi har givet punkterne A(–3,0,2), B(5,1,1) og C(–1,–7,6).   a) Bestem krydsproduktet af AB og AC.

b) Ligger punkterne på en linje eller udspænder de en plan?   c) Bestem krydsproduktet af AB og BC. Sammenlign med resultatet i a), og kommenter.

Opgave 5.60 Vi har givet punkterne A(12,10,–2), B(13,21,5) og C(–5,–7,8).

a) Bestem arealet af trekant ABC med anvendelse af krydsproduktet.

b) Bestem vinklerne i trekant ABC med anvendelse af krydsproduktet.

Opgave 5.61

− 2 7   2     Betragt følgende vektorer: a =  5 , b =  2 og c =  3      0  0  0

a) Bestem retningen af følgende krydsprodukter, uden at udregne dem:       a × b, b × c og a × c

b) Kontroller med dit værktøjsprogram.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 97

97 25/08/14 11.08

Opgave 5.62 z

A(5,3,3) B(3,5,3) C(0,0,6) D(5,0,3) E(0,5,3)

Figuren viser en model af et vindfang indtegnet i et koordiC natsystem, hvor enheden på hver af akserne er meter. Koordinaterne for nogle af vindfangets hjørnepunkter er angivet ovenfor. Vindfangets glastagflader består af tre trekanter, og E vindfangets sider består af to kvadratiske glasflader på hver A B 3 m x 3 m. 3m

Bestem vindfangets samlede glasareal.

(Baseret på stx A eksamen december 2013 med)

5.8 Linjer og planer Opgave 5.63 Linjen l er givet ved

 x   4  −1 . = +t  y   5  1

a) Tegn linjen l i et geometriprogram.

Linjen m er givet ved 4x + 3y – 8 = 0.

b) Bestem en normalvektor og et punkt på m, og tegn m i samme koordinatsystem som l.

c) Bestem skæringspunktet mellem l og m.

d) Bestem vinklen mellem de to linjer.

Opgave 5.64 I et koordinatsystem i planen er givet to punkter A(1,1) og B(5,3). Linjen l går gennem A og B. Bestem en ligning for l på formen ax + by + c = 0.

z C(0,0,4)

Opgave 5.65 Figuren viser en trekant ABC i et koordinatsystem i rummet. Bestem en ligning for den plan a , der indeholder trekant ABC.

y A(2,0,0)

B(0,6,0)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 98

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.66

  1 I et koordinatsystem i planen er givet en vektor a = og et punkt P(3,8).  5  Bestem en ligning for den linje l, der går gennem P og er parallel med a. (stx A eksamen december 2009 med)

Opgave 5.67 I et koordinatsystem i rummet er der givet to vektorer

 −2   1  a =  4 og b =  −3      −2  5

  a) Bestem en ligning for den plan a , der er udspændt af a og b, og som indeholder punktet P(1,3,–6).

Opgave 5.68

a) Bestem en ligning for den plan a , som indeholder sidefladen AGBF. b) Bestem arealet af sidefladen ABCD.

A x

A(11,–1,3) B(8,26,12) C(12,22,0) D(12,0,0) E(–4,22,0) F(0,26,12) G(0,–1,3)

På figuren ses en model af en bygning indlagt i et koordinatsystem. Koordinatsættene til nogle af modellens hjørner er angivet på figuren.

D E

(Baseret på stx A eksamen maj 2012 med)

y C

5.9 Vinkel mellem linjer og planer Opgave 5.69 En linje l er bestemt ved parameterfremstillingen

 x   −1  1  y  =  2 + t ⋅  1 , t ∈         z   4  3

og en plan β er bestemt ved ligningen 2x – 3y + z = 7 Bestem den spidse vinkel mellem l og β. (stx A eksamen maj 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 99

99 25/08/14 11.08

Opgave 5.70 I et koordinatsystem i rummet er to planer a og b givet ved ligningerne

a : 2x – 3y + 6z = 10

a) Bestem gradtallet for den spidse vinkel mellem planerne a og b.

5x + y – 3z = 9

En linje l er bestemt ved parameterfremstillingen

 x   10  3  y  =  16 + t ⋅  4 ,        z   3  1

t ∈R

b) Undersøg, om linjen l er parallel med planen a.

(Baseret på stx A eksamen december 2008 med)

Opgave 5.71 Figuren viser en model af et vindfang indtegnet i et koordinatsystem, hvor enheden på hver af akserne er meter. Koordinaterne for nogle af vindfangets hjørnepunkter er angivet ovenfor. Vindfangets glastagflader består af tre trekanter, og vindfangets sider består af to kvadratiske glasflader på hver 3 m x 3 m. z

a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder tagfladen ABC.

Det oplyses, at den plan, der indeholder tagfladen ACD, har ligningen A(5,3,3) B(3,5,3) C(0,0,6) D(5,0,3) E(0,5,3)

3x + 5z – 30 = 0

b) Bestem den stumpe vinkel mellem tagfladerne ACD og ABC.

(stx A eksamen december 2013 med)

Opgave 5.72 På figuren ses en model af et ottekantet skur indtegnet i et z koordinatsystem. Koordinatsættene til nogle af tagets hjørT ner er angivet på figuren.

T(0,0,520) A(400,0,0) B(0,400,0) C(280,280,0)

Det oplyses, at tagfladen BCT ligger i planen b med ligningen B

O x

100

a) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder tagfladen ABT.

39x + 91y + 70z = 36400

b) Bestem vinklen mellem tagfladerne ABT og BCT.

y (stx A eksamen december 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 100

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.73

Figuren viser en model af et pyramideformet drivhus bygget op ad en mur. Koordinatsættene for drivhusets hjørner er angivet på figuren. Alle mål er i meter.

A(2,0,0) B(0,0,3) C(–2,0,0) D(0,2,0)

a) Bestem en ligning for den plan, der indeholder glasfladen ABD. A

Det oplyses, at den plan, der indeholder glasfladen BCD, har ligningen

D x

–3x + 3y + 2z = 6

b) Bestem vinklen mellem de to glasflader.

(stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 5.74 I et stykke legetøj går det ud på at samle tre pyramider, så de danner en kube. Figuren viser en model af en af de tre pyramider.

a) Bestem ligningen for den plan a , som fladen ABD er del af.

Det oplyses, at den plan b, som fladen BCD er en del af, har ligningen y+z=3

A(3,0,0) B(3,3,0) C(0,3,0) D(0,0,0)

b) Bestem den spidse vinkel mellem fladen ABD og fladen BCD. A

(stx A eksamen august 2013 med)

y B

5.10 Skæring mellem objekter i plan og rum Opgave 5.75 I et koordinatsystem i rummet er en kugle K givet ved ligningen

x2 – 4x + y2 + 2y + z2 – 2z = 36

og en linje l er bestemt ved parameterfremstillingen  x   −8  −5  y  =  2 + t ⋅  7 ,        z   −3  −3

t∈

Undersøg, om l er tangent til K. (stx A eksamen maj 2008 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 101

101 25/08/14 11.08

Opgave 5.76 I et koordinatsystem i rummet har en kugle ligningen

x2 + y2 + z2 + 4x – 6y – 8z + 4 = 0

a) Bestem kuglens radius og koordinatsættet til dens centrum.

b) Vis, at punktet P(1,–1,4) ligger på kuglen.

c) Bestem en ligning for tangentplanen til kuglen i P.

Opgave 5.77 Planen a er bestemt ved ligningen

3x + 4y – z = 2

og linjen l har parameterfremstillingen

 x   2  0  y  =  0 + t ⋅  3 ,        z   4  −2

t∈

Bestem vinklen mellem l og a. (stx A eksamen august 2008 med)

Opgave 5.78 z

A(10,–10,0) B(10,10,0) C(–10,10,4) D(–10,–10,4) F(0,0,2) T(0,0,22)

På figuren ses et koordinatsystem, hvori der er indtegnet et rektangulært skråplan ABCD og en lodret mast FT. Masten er forankret i skråplanet med 4 wirer. En af disse wirer er fastgjort i punktet S, og er parallel med vektoren

102

  −5  r =  5   −19

a) Bestem en parameterfremstilling for linjen gennem T og S, og bestem en ligning for den plan, som skråplanet ligger i. b) Bestem koordinatsættet til S, og bestem længden af wiren TS. (stx A eksamen august 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 102

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.79 I et koordinatsystem i rummet er planen a bestemt ved ligningen 2x – y – 2z – 6 = 0 Linjen l går gennem koordinatsystemets begyndelsespunkt O og punktet P(7,3,–2).

a) Bestem den spidse vinkel mellem planen a og linjen l.

b) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i P, og som tangerer a.

c) Bestem koordinatsættet til det punkt Q, som er projektionen af P på a.

(stx A eksamen juni 2010 med)

Opgave 5.80 I et koordinatsystem i rummet har en kugle centrum i C(0,0,5), og punktet P(2,–1,7) ligger på kuglen.

a) Bestem en ligning for kuglen.

En tangentplan a til kuglen er givet ved ligningen

x + 2y – 2z + 1 = 0

b) Bestem den spidse vinkel mellem a og linjen gennem C og P.

c) Bestem koordinatsættet til a’s røringspunkt med kuglen.

(stx A eksamen maj 2009 med)

Opgave 5.81

På figuren ses en glasbygning indlagt i et koordinatsystem. Glas-bygningen har hjørnerne O, A, B og T (se figuren).

a) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder sidefladen ABT.

En metalstang skal gå fra O til et punkt D på sidefladen ABT, således at metalstangen står vinkelret på sidefladen ABT.

O(0,0,0) A(4,5,0) B(0,7,0) T(0,0,5)

b) Bestem koordinatsættet til punktet D.

(stx A eksamen maj 2010 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 103

O B x A

103 25/08/14 11.08

Opgave 5.82 To linjer l og m i rummet er bestemt ved l:

 x   0  −3  y  =  1 + t  1         z   6  2

 x   9  3  y  =  1 + s  2        z   7  5

Det oplyses, at l og m skærer hinanden i et punkt P.

a) Bestem den spidse vinkel mellem l og m.

b) Bestem koordinatsættet til P.

c) Bestem en ligning for den plan, som l og m udspænder.

(stx A eksamen august 2010 med)

Opgave 5.83 z

En kugle i et koordinatsystem i rummet har centrum i C(0,0,5), og punktet P(2,–1,3) ligger på kuglen.

a) Bestem en ligning for kuglen, og bestem en ligning for kuglens tangentplan i P.

En anden tangentplan til kuglen er givet ved ligningen

a: 3x + 6y – 6z + 3 = 0

b) Bestem koordinatsættet til røringspunktet Q mellem kuglen og a.

(stx A eksamen august 2011 med)

Opgave 5.84 O(0,0,0) A(80,–50,125) B(0,0,150) C(0,300,150) D(80,350,125) E(0,300,0)

B A

P å figuren til venstre ses en model af et glasudhæng indlagt i et koordinatsystem, hvor enheden er 1 cm.

C D

y E

O x

G lasudhænget er symmetrisk og består af to ens trekantede endeflader OAB og ECD, frontfladen OADE samt tagfladen ABCD. Det oplyses, at den plan, der indeholder frontfladen, er bestemt ved ligningen –25x + 16z = 0 (opgaven fortsættes)

104

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 104

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

a) Bestem den spidse vinkel mellem endefladen OAB og frontfladen.

b) Bestem arealet af frontfladen.

I punktet B er der ophængt et spot, som anvendes til at fremhæve reklameskilte på frontfladen. Den centrale del af spottets lysstråle kan i modellen beskrives som en del af linjen med parameterfremstillingen

 x  0   16   y  =  0  + t ⋅  60  , , t ∈  t ∈R        z   150  −25 c) Bestem koordinatsættet til det punkt, hvori den centrale del af lysstrålen rammer frontfladen.

(stx A eksamen august 2012 med)

Opgave 5.85 I et koordinatsystem i planen er givet to punkter C(–1,4) og P(2,8).

a) Opskriv en ligning for den cirkel, der går gennem P og har centrum i C.

En linje i planen er givet ved parameterfremstillingen

 x   −3  1 , = +t⋅  y   15  7

b) Bestem koordinatsættet til hvert af linjens skæringspunkter med cirklen.

t∈

(stx A eksamen december 2012 med)

Opgave 5.86 En cirkel har centrum i punktet (0,0) og radius 2. Linjen l har parameterfremstillingen  x  3   1  y  =  −3 + t ⋅  −1 , t ∈  Opskriv en ligning for cirklen, og bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem linjen l og cirklen. (stx A eksamen maj 2013 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 105

105 25/08/14 11.08

Opgave 5.87 På figuren ses en skæv glaspyramide indtegnet i et koordinatsystem med enheden dm på akserne. Glaspyramidens bund er kvadratisk, og koordinatsættene for hjørnepunkterne er angivet på figuren. Pyramidens højeste punkt betegnes T. Linjen l, der går gennem punktet A og punktet T, har parameterfremstillingen l

A(16,16,0) B(–16,16,0) C(–16,–16,0) D(16,–16,0)

z T

a) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder glaspyramidens sideflade ATB.

Den plan b, der indeholder sidefladen BCT, har ligningen

C D x

 x   16  −27  y  =  16 + s ⋅  −16 , hvor s ∈         z  0   23

23x – 5z + 368 = 0

b) Bestem koordinatsættet til T, som er skæringspunktet mellem l og b.

c) Bestem den stumpe vinkel mellem a og b.

(stx A eksamen maj 2013 med)

Opgave 5.88 En cirkel har ligningen

x2 – 2x + y2 + 6y + 8 = 0

a) Bestem cirklens radius og koordinatsættet til cirklens centrum.

Linjen l er bestemt ved parameterfremstillingen

 x =  0  + t ⋅  1  ,  y   −2  −1

b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem cirklen og linjen l.

t∈

(stx A eksamen net maj 2012 med)

5.11 Afstande i plan og rum Opgave 5.89 Bestem afstanden mellem de to punkter

106

a) A(2,4) og B(–1,5)

b) A(–5,7) og B(1,–5)

c) A(–8,–10) og B(3,5)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 106

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum

Opgave 5.90 Bestem den korteste afstand mellem punktet A(2,3) og cirklen med ligningen

(x – 7)2 + (y – 9)2 = 4

Opgave 5.91 Bestem afstanden mellem punktet og linjen i følgende eksempler:

a) A(2,3) og x + y + 1 = 0

b) A(–2,3) og y = –3x + 4

c) A(–2,–3) og 5x – 2y + 5 = 0

d) A(2,–3) og 4x – 2y = 8

Opgave 5.92 Bestem afstanden fra punktet P(2,3,–1) til planen a med ligningen 4x – 2y + 4z – 5 = 0 (stx A eksamen august 2008 uden)

Opgave 5.93 I et koordinatsystem i rummet er en kugle K og en plan a bestemt ved KK:: ( x − 1)2 + ( y − 3)2 + ( z + 2)2 = 36 aá:: 2 x − y + 2 z − 13 = 0 Undersøg, om a er tangentplan til K. (stx A eksamen august 2010 uden)

Opgave 5.94 En bestemt type lampeskærm har form som en pyramidestub. På figuren ses en model af lampeskærmen indtegnet i et koordinatsystem med enheden 1 cm. Koordinatsættene for nogle af modellens otte hjørnepunkter er angivet på figuren. Den plan b , der indeholder BCFE, er givet ved

A(0,32,0) B(32,0,0) C(32,32,0) D(9,23,23) E(23,9,23) F(23,23,23)

z D

E F G

23x + 9z – 736 = 0 B

I punktet G(16,16,14) sidder en pære. x

a) Bestem afstanden fra punktet G til planen b .

b) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder sidefladen CADF.

c) Bestem vinklen mellem a og b .

(stx A eksamen maj 2011 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 107

107 25/08/14 11.08

Opgave 5.95 T(0,0,20) F(20,20,0) C(–20,20,0) D(–20,–20,0)

z En pyramideformet bygning skal bygges på en skråning. På figuren ses en model T af bygningen indtegnet i et koordinatsystem med enheden 1 m. Modellens fem hjørnepunkter betegnes A, B, C, D og T. D C I modellen svarer kvadratet EFCD til et y vandret gulv i bygningen, og bygningens x F grundplan ABCD svarer til en del af planen a a med ligningen

x + 3z + 20 = 0

a) Bestem afstanden fra T til a.

b) Bestem vinklen mellem a og sidefladen, der indeholder T, D og C.

c) B estem en parameterfremstilling for linjen gennem T og F, og bestem koordinatsættet til punktet B i planen a .

(stx A eksamen maj 2011 med)

Opgave 5.96

P å figuren ses en model af en stålkonstruktion, som danner indgangen til et underjordisk udstillingsrum i en museumshave. Hele konstruktionen er indtegnet i et koordinatsystem, hvor enheden på akserne er 1 m.

z B F

a) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder sidefladen ODE.

C y

Stålkonstruktionen ABC er en del af planen b , der har ligningen

x A

b) Bestem afstanden fra punktet F til sidefladen ODE.

5x + 6y + 7z = 53

c) Bestem den stumpe vinkel mellem sidefladen ODE og b .

(stx A eksamen december 2012 med)

108

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 108

25/08/14 11.08

5. Vektorer og analytisk geometri i plan og rum z

Opgave 5.97

På figuren ses en model af et ottekantet skur indtegnet i et koordinatsystem. Koordinatsættene til nogle af tagets hjørner er angivet på figuren. Det oplyses, at tagfladen BCT ligger i planen b med ligningen

T(0,0,520) A(400,0,0) B(0,400,0) C(280,280,0)

39x + 91y + 70z = 36400 Bestem afstanden fra O(0,0,0) til planen b .

(Baseret på stx A eksamen december 2011 med)

Opgave 5.98 I et koordinatsystem i planen er givet to punkter A(1,1) og B(5,3). Linjen l går gennem A og B.

a) Bestem en ligning for l på formen ax + by + c = 0.

En parabel har ligningen

y = x2 – 8x + 13,5

b) Bestem afstanden mellem linjen l og parablens toppunkt, T.

c) Bestem koordinatsættet til projektionen af parablens toppunkt på l.

(stx A eksamen maj 2012 med)

Opgave 5.99 z

Figuren viser en trekant ABC i et koordinatsystem i rummet.

a) Bestem en ligning for den plan a , der indeholder trekant ABC.

C(0,0,4)

En linje l er bestemt ved parameterfremstillingen

 x   1  1 l :  y  =  0 + t  −1 ,        z   0  2

t∈ B(0,6,0) A(2,0,0)

b) Bestem vinklen mellem l og a .

c) Bestem en ligning for den kugle, der har centrum i O(0,0,0) og har a som tangentplan.

(stx A eksamen december 2009 med)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_5.indd 109

109 25/08/14 11.08

Vektorfunktioner (supplerende stof)

Infrastruktur og trafikplanlægning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Vektorfunktioner og banekurver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Krumning for en banekurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Anvendelser af vektorfunktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

6.1 Infrastruktur og trafikplanlægning Opgave 6.1

B illedet viser firkløveret ved motorvejskrydset vest for Århus. I forbindelse med planlægning af et andet motorvejskryds overvejes en lignende vejføring. E n bil, der kører gennem vejføringen, kan antages at følge bane kurven givet ved for forskriften for vektorfunktionen r (t):  50 sin(k ⋅ t ) ⋅ cos( 1 k ⋅ t )   2 r (t ) =   , t ∈ 0; π   −50 sin(k ⋅ t ) ⋅ sin( 1 k ⋅ t )  k 2

T iden t måles i sekunder, og vektorfunktionens koordinater er i meter.  Bilens fart afhænger af k, og antages k at være k = 0,5 m –1 kan r (t) skrives som

 50 sin( 1 ⋅ t ) ⋅ cos( 1 ⋅ t )   2 4 r (t ) =   , t ∈ [0;2π ]  −50 sin( 1 ⋅ t ) ⋅ sin( 1 ⋅ t ) 2 4

 a) Tegn grafen for r (t).

b) Bestem hastighedsvektoren til tidspunktet t = 2.

Det viser sig, at bilen kører for stærkt gennem kurven for denne værdi af k. Bilen passerer punktet P, når t = 21k .

c) V is, at punktet P’s koordinater er uafhængig af værdien af k, og at koordinaterne altid er (23,226,–5,931).

Farten i P må højst være 50 km/t svarende til 13,889 m/s.

d) B estem den maksimale værdi, k kan antage, for at farten ikke overskrider 50 km/t.

(htx A eksamen december 2010)

110

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 110

25/08/14 11.11

6. Vektorfunktioner (supplerende stof)

6.2 Vektorfunktioner og banekurver Opgave 6.2

  t En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel: r ( t ) =  1  a) Opstil en tabel, der kan repræsentere r (t).

b) Tegn en banekurve med et passende parameterinterval, der kan repræ sentere r (t), og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

c) Findes der en reel funktion, der har en graf, som er identisk med banekurven?

 d) Giv en sproglig repræsentation af r (t) og dens graf.

 En anden vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel: s ( t ) =  1  t  e) Opstil en tabel, der kan repræsentere s ( t ).

f) T egn en banekurve med et passende parameterinterval, der kan repræsentere  s ( t ), og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

g) Findes der en reel funktion, der har en graf, som er identisk med banekurven?

 h) Giv en sproglig repræsentation af s ( t ) og dens graf.

Opgave 6.3

 t   En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel: r ( t ) = 3  t − 5t + 3  a) Opstil en tabel, der kan repræsentere r (t).

b) Tegn en banekurve med et passende parameterinterval, der kan repræsentere  r (t), og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

c) Findes der en reel funktion, der har en graf, som er identisk med banekurven?

d) B estem de punkter på banekurven, hvor tangenten er parallel med vektoren   1 v =  .  7

Opgave 6.4

2  t   En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel: r ( t ) = 3  t − 5t + 3  a) Opstil en tabel, der kan repræsentere r (t).

b) Tegn en banekurve med et passende parameterinterval, der kan repræsentere  r (t), og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

c) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

d) Bestem eventuelle dobbeltpunkter.   a e) Vis, at for enhver vektor v = findes der punkter på banekurven, hvor   b a  tangenten er parallel med v .=  b

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 111

111 25/08/14 11.11

Opgave 6.5

 cos( t )   3 ⋅ 3cos( t ) En vektorfunktion er givet ved: r ( t ) =  ⋅ sin(  3sin( t ) t )   3  a) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈ [–2p;2p]  b) Tegn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈ [–2p;2p],  c) Giv en sproglig repræsentation af r (t) og dens graf.

(Hint: Grafen er en kendt geometrisk figur. Hvilken? anvend cos2(t) + sin2(t) = 1)   10 sin( t ) En anden vektorfunktion er givet ved: s( t ) =  5 cos(t)    10 sin( t ) = dens graf. d) Besvar samme spørgsmål a) – c) for s( t ) og  5 cos(t) 

Opgave 6.6

  t2  En vektorfunktion er givet ved: r ( t ) =  sin( t )  a) Hvilke koordinatfunktioner består r (t) af?

b) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈ [–4;4].  c) Tegn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈ [–4;4], og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

d) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

e) Bestem eventuelle dobbeltpunkter, dvs punkter svarende til to forskellige parameterværdier.

f) Besvar b) og c), når t ∈ [–10;10].

Opgave 6.7

  t En vektorfunktion er givet ved: r ( t ) = e2 t   a) Hvilke koordinatfunktioner består r (t) af?

b) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈ [–2;2].  c) Tegn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈ [–2;2], og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

d) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

e) Bestem en hastighedsvektor for t = –1, t = 1 og t = 2.

f) Bestem en accelerationsvektor for t = –1, t = 1 og t = 2.

112

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 112

25/08/14 11.11

6. Vektorfunktioner (supplerende stof)

Opgave 6.8 I et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2 – 4 , t∈ y = t3 – t

a) Tegn banekurven i parameterintervallet t ∈ [–3;3],

b) Bestem koordinatsættet til dobbeltpunktet, og bestem vinklen mellem hastighedsvektorerne i dobbeltpunktet.

Opgave 6.9 I et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2 – 2 , t∈ y = t – t3

a) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven skærer en af koordinatsystemets akser.

b) Kurven har et dobbeltpunkt Q, dvs. et punkt svarende til to forskellige parameterværdier. Bestem dette.

c) Gør rede for, at banekurvens to tangenter i Q er ortogonale.

d) B estem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven har en tangent,  −1 der er parallel med vektoren v =  1  .

e) Bestem en ligning for hver af de to tangenter i punkt d).

Opgave 6.10 En partikel følger i et koordinatsystem en banekurve givet ved vektorfunktionen:

   t−2 r (t ) =   , t ∈]2;27]  −0,04t 2 + 0,8t 

a) Tegn banekurven.

b) Bestem koordinaterne til banekurvens skæringspunkt med x-aksen.

c) Bestem koordinaterne til det punkt, hvor kurven har vandret tangent.

   a d) Bestem de t-værdier, hvor r (t) står vinkelret på hastighedsvektoren v (t). =  b

(htx A eksamen maj 2009)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 113

113 25/08/14 11.11

Opgave 6.11 En vektorfunktion er repræsenteret ved følgende formel:

(2)

 4 cos(t) − cos(4t)   r (t ) =   4 sin( t ) − sin(4t )  a) Angiv koordinatfunktionerne. b) Opstil en tabel med værdier fra parameterintervallet t ∈[0;2p].  c) Tegn en banekurve for r (t) med parameterintervallet t ∈[0;2p], og indtegn i samme grafiske billede punkterne fra tabellen.

d) V ektorfunktionens graf kaldes for en epicykel. Undersøg på nettet, hvorledes epicykler har fundet anvendelser i videnskabshistorien.

e) I hvilke punkter skærer banekurven koordinatakserne?

f) Bestem en hastighedsvektor for t =

g) Bestem en accelerationsvektor for

h) Hvad viser f) og g) om bevægelsen.

4π 2π ,t= og t = 2p. 3 3 4π 2π t= ,t= og t = 2p. 3 3

Opgave 6.12

E t hjul bevæger sig på en vandret skinne. På figuren er et lodret snit ned gennem hjul og skinne indtegnet i et koordinatsystem, hvor skinnen er placeret langs førsteaksen. Et punkt P(x,y) på periferien af hjulet bevæger sig, således at der til tidspunktet t gælder, at

P(x,y)

(1) Størrelsesforholdene er ikke korrekte

 x   8t + 5 cos(2 t)  y  =  4 + 5 sin(2t )  , 0 ≤ t ≤ p

a) Bestem koordinatsættet til P til tidspunktet t = 0.

b) Bestem største og mindsteværdi af P’s andenkoordinat.   a c) Bestem hastighedsvektoren v (t)= til tidspunktet t.  b

d) B estem hastighedsvektoren til det tidspunkt, hvor P’s andenkoordinat er størst mulig.   a e) Bestem den mindste og største værdi af farten |v (t)|. =  b f) B anekurven kaldes for en cykloide. Undersøg på nettet, hvilken rolle cykloider har spillet i videnskabshistorien.

(Studentereksamen januar 2003)

114

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 114

25/08/14 11.11

6. Vektorfunktioner (supplerende stof)

6.3 Krumning for en banekurve (Krumning er supplerende stof på HTX. Det indgik i 2008 i det særlige forberedelsesmateriale)

Opgave 6.13 For hver af følgende vektorfunktioner ønskes krumningen af banekurven bestemt i de angivne parameterværdier

2    a) r ( t ) =  3 t  , t = –1, t = 1 og t = 2  t − 5t + 3

 cos( t )   3 b) r ( t ) =  ,  sin(t)  3

π , 2

2π 3

og t = p

  10 sin( t ) c) r ( t ) =  ,  5 cos(t) 

π , 2

2π 3

og t = p

  sin( t ) d) r ( t ) =  2  ,  t 

π , 2

2π 3

og t = p

Opgave 6.14 Bestem en formel for krumningen af grafen for følgende reelle funktioner:

a) f(x) = 3x + 2

b) f(x) = x2 + 2x + 5

c) f(x) = x3 – 4x2 + 5x + 2

d) f(x) = e3x

Opgave 6.15 Bestem en formel for krumningen af grafen for følgende reelle funktioner:

a) f(x) = ax + b

b) f(x) = ax2 + bx + c

c) f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

d) f(x) = ekx

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 115

115 25/08/14 11.11

Opgave 6.16

På billede ses en del af en togbane. I et passende valgt koordinatsystem kan en del af togbanen tilnærmelsesvist beskrives ved vektorfunktionen:  450t   r (t ) =   , t ∈[–5;5]  1200 − 30t 2− 7t 3

Alle mål er i meter.

a) Tegn banekurven.

b) Bestem krumningen k(t) for t = 1,808.

c) Bestem t-værdien, hvor krumningen er 10 –4 m –1. (htx A eksamen maj 2008)

6.4 Anvendelser af vektorfunktioner Opgave 6.17

En undsluppen abe fra zoologisk have skal indfanges. En dyrepasser prøver at ramme den med en bedøvelsespil. Figuren viser en del af bedøvelsespilens bane. Pilens bane kan beskrives ved hjælp af vektorfunktionen:  25t   r (t ) =    −4,91t 2 + 30 t + 0,95 

x Positionen måles i meter, tiden i sekunder. Pilen affyres til tiden t = 0. a) Bestem, i hvilken højde pilen affyres. Til tiden t = 0 danner pilen vinklen v med vandret, se figuren.

b) Bestem vinkel v.

Dyrepasseren sigter efter det røde punkt på aben. Idet pilen affyres slipper aben træet. Det røde punkt følger nu en ret linje givet ved vektorfunktionen:

8   q( t ) =    −4,91t 2 + 12  c) Rammer pilen det røde punkt på aben?

(htx A eksamen maj 2012)

116

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 116

25/08/14 11.11

6. Vektorfunktioner (supplerende stof)

Opgave 6.18 En basketballspiller skyder bolden mod kurven, se figuren. Boldens centrum bevæger sig langs banekurven givet ved vektorfunktionen:

y P

4t    r (t ) =    − 4,91t 2 + 6 t + 1,6

Positionen måles i meter, tiden i sekunder.

a) Bestem koordinaterne til boldens centrum til tiden t = 0,3.

b) Bestem, hvor højt boldens centrum kommer op.

Ringen i basketballkurven er cirkulær, med centrum i P(3.56,3.05).

c) Bestem boldens fart, når den passerer punktet P.

(htx A eksamen december 2013)

Opgave 6.19 Billedet viser en svirreflue, der står stille i luften. På figuren er svirrefluens vingebevægelse indlagt i et koordinatsystem, hvor kurven viser vingespidsens bevægelse. Vingerne bevæger sig igennem en hel cyklus, med en periode på 0,005. Vingespidsens bevægelse gennem én periode kan tilnærmelsesvis beskrives ved vektorfunktionen  x ( t )  −0,5 sin(800 ⋅ π ⋅ t ) , t ∈[0;0,005] = r (t ) =   y ( t )  3 cos(400 ⋅ π ⋅ t ) 

hvor t angives i sekunder, og x og y angives i mm.

a) Tegn grafen for vingespidsens bevægelse.

b) Bestem vingespidsens koordinater til tiden t = 0.

c) B estem tidspunktet t, hvor vingespidsen befinder sig i (0,0) for første gang.

d) Bestem farten af vingespidsen til tiden t = 0,00125.

(htx A eksamen maj 2013)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 117

117 25/08/14 11.11

Opgave 6.20

  På figuren ses en del af graferne for hver af vektorfunktionerne r (t) og b(t). y 1 P x 1

Funktionerne beskriver to flys bevægelse. Det røde fly skal til at lande, og det blå fly er ved at lette. Vektorfunktionerne er givet ved:    70t + 2  −204t + 17  b( t ) =  r (t ) =   , t ∈[0;t1]  , t ∈[0;t1]  140t 2   432t 2 − 72t + 3   hvor r (t) beskriver det røde, og b(t) beskriver det blå fly. t1 er tidspunktet, hvor det hvide fly lander. Tiden er angivet i timer og afstande i km. x-aksen følger landingsbanen, og y-koordinaten angiver flyets højde over landingsbanen.

a) Bestem tidspunktet t1, hvor det hvide fly lander.

b) Bestem farten for det hvide fly ved t = 0,08.

Det ses at de to flys banekurver skærer hinanden i et punkt P.

c) Bestem koordinaterne til punktet P.

d) Kolliderer flyene?

(htx A eksamen maj 2011)

Opgave 6.21 Bestem længden af banekurven for følgende vektorfunktioner i de angivne t-intervaller:  cos( t )        t2 b) r ( t ) =  3  , hvor hvor 0 ≤ t ≤ p. a) r ( t ) =  3  , hvor 1 ≤ t ≤ 7.  t − 5t + 3  sin(t)   3 

  10 sin( t ) c) r ( t ) =  , hvor 0 ≤ t ≤ p.  5 cos(t) 

  sin( t ) d) r ( t ) =  2  , hvor –2 ≤ t ≤ 2.  t 

Opgave 6.22 En modelbil, som vist på billedet, følger en bane, der kan beskrives ved kurven for en   vektorfunktion r (t). Forskriften for r (t) er:

118

  sin( t ) + 2  r (t ) =  , t ∈[0;4p]  3 sin(0,5t ) + 1

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 118

(opgaven fortsættes)

25/08/14 11.11

6. Vektorfunktioner (supplerende stof)

Tiden måles i sekunder og afstande i meter.  a) Tegn kurven for r (t).

  −1   −1 = hvor b) Bestem en forskrift for farten f(t) = |v (t)|, v (t)= er  1hastighedsvektoren.  1

Længden af kurven for en vektorfunktion er givet ved formlen: b

∫a

 v ( t ) dt, hvor t ∈[a;b]

c) Bestem, hvor langt bilen har kørt i det givne interval.

d) Bestem bilens mindste fart i intervallet t ∈[p;2p].

(htx A eksamen maj 2011)

Opgave 6.23 I et koordinatsystem i planen er en kurve givet ved parameterfremstillingen

x = ln(t)

y = –t 2 + 4t – 1,75

a) Beregn koordinatsættet til hvert af kurvens skæringspunkter med førsteaksen.

b) Tegn kurven.

, t>0

  1 For to værdier af t er hastighedsvektoren parallel med vektoren a =   .  1,5 c) Beregn de to værdier af t. Kurven afgrænser sammen med førsteaksen en punktmængde, der har et areal.

d) Beregn dette areal.

Opgave 6.24 I et koordinatsystem bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2

y = cos t +

a) Bestem koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori banekurven skærer førsteaksen.

b) Tegn banekurven i det angivne interval.

(

3π 2

)

, − 92 < t <

9 2

I første kvadrant afgrænser banekurven en punktmængde M, der har et areal.

c) Beregn arealet af M.

(htx A eksamen december 2002)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 119

119 25/08/14 11.11

Opgave 6.25 (2)

I et koordinatsystem bevæger et punkt P(x,y) sig således, at der til tidspunktet t gælder:

x = t2

y = 4t – t 5

a) Beregn koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem banekurven og den rette linje med ligningen x = 4.

M Q

t∈

Punktet Q er et dobbeltpunkt på kurven, dvs. punktet svarer til to forskellige (1) værdier af t.

b) Beregn arealet af det parallelogram, der udspændes af de to hastighedsvektorer i Q.

c) B eregn koordinatsættet til hvert af de punkter, hvori hastighedsvektoren er parallel med førsteaksen.

Kurven afgrænser en punktmængde M, der har et areal.

d) Beregn den eksakte værdi af arealet.

(Studentereksamen, højt niveau januar 1998)

Opgave 6.26 y

Figuren viser en kurve, beskrevet ved vektorfunktionen   sin( t )  , t ∈[0;p] r (t ) =   sin(2t )

0,5 0 0,2

0,4

0,6

0,8

–0,5

–1

a) Bestem koordinaterne til kurvens skæringspunkter med x- og y-akse. π b) Bestem en ligning for tangenten til kurven for t = . 6

K urven afgrænser i første og anden kvadrant et område, der har et areal. c) Bestem dette areal. π

Den del af kurven, der fremkommer, når t gennemløber [0; 2 ] kan også beskrives som grafen for funktionen f med forskriften:

f ( x ) = 2 x ⋅ 1 − x 2 , x ∈[0;1]

d) Vis dette.

e) Udnyt f(x) til at bestemme arealet af det område, du bestemte i punkt c).

(Baseret på htx A eksamen august 2009)

120

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 120

25/08/14 11.11

6. Vektorfunktioner (supplerende stof)

Opgave 6.27 I et koordinatsystem i planen bevæger et punkt P(x,y) sig således, at:

x = 2et

y = e2t – t

1 2

, hvor –1 ≤ t ≤ 1,5

Banekurven har i punktet T en tangent parallel med førsteaksen.

a) Bestem koordinatsættet til T.

Det oplyses, at længden L af denne del af banekurven er givet ved: 1,5  L = ∫ v ( t ) dt −1   −1 hvor v (t)= er  1hastighedsvektoren. 

b) Bestem L.

c) Gør rede for, at banekurven kan beskrives ved ligningen

y = 1 x 2 − ln( 1 x ) 8 2 Banekurven afgrænser sammen med førsteaksen, linjen med ligningen x = 2 · e –1 og linjen med ligningen x = 2 · e1,5 en punktmængde, der har et areal.

d) Skitser punktmængden, og beregn arealet.

Opgave 6.28 I planen er givet et koordinatsystem med begyndelsespunkt O. To punkter P og Q bevæger sig således, at der til tidspunktet t gælder:

  2 + 4t  OP =   9 − 2t 

  −5 + 3t  OQ =  , hvor –10 ≤ t ≤ 10  −20 + 5t 

a) Tegn de to parameterkurver i samme koordinatsystem.

b) Giv en sproglig beskrivelse af parameterkurverne.

c) Beregn koordinatsættet til skæringspunktet R mellem de to parameterkurver.

d) Til hvilket tidspunkt befinder P sig i punktet R?

e) Med hvor stor tidsforskel passerer P og Q punktet R?

Afstanden d mellem P og Q er en funktion af tiden t.

f) B estem en forskrift for d, og bestem den værdi af t, hvor afstanden mellem P og Q er mindst.

(Baseret på Studentereksamen maj 1998)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_6.indd 121

121 25/08/14 11.11

Lineær og kvadratisk programmering (supplerende stof)

Operationsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Lineær programmering i to variable – følsomhedsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Andengradspolynomier i to variable – et mellemspil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Kvadratisk programmering i to variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Supplerende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

7.1 Operationsanalyse Opgave 7.1: Et diætproblem En fattig studerende prøver at finde det billigste måltid, som giver det tilstrækkelige antal proteiner baseret på to typer fødevarer:

Bøf: Næringsindhold: 4 enheder protein/kg. Pris: 36 kr./kg Peanutsmør: Næringsindhold: 2 enheder protein/kg. Pris: 24 kr./kg

Studentens daglige proteinbehov er 4 enheder protein/dag. Hvordan skal studenten sammensætte sit daglige måltid? Overvej fx de følgende spørgsmål:

122

a) Antag, at han spiser x kg bøf og y kg peanutsmør hver dag. Hvilke uligheder må x og y så opfylde?

b) Skitser dét tilhørende polygonområde.

c) Hvor meget koster det daglige måltid udtrykt ved x og y?

d) Skitser en niveaulinje hørende til omkostningsfunktionen.

e) Bestem nu sammensætningen af det optimale måltid.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 122

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

Opgave 7.2: Et blandingsproblem En fabrikant af dyrefoder fremstiller et blandingsfoder til malkekvæg. Blandingen indeholder to aktive ingredienser og et fyldstof, for at give foderet en passende konsistens. Et kilogram foder må som minimum indeholde de følgende mængder fra hvert af de følgende fire næringsstoffer: Næringsstof

Gram

De aktive ingredienser har de følgende næringsværdier og omkostninger A

Omkostning (kr./kg)

Ingrediens 1 (gram/kg)

100

Ingrediens 2 (gram/kg)

200

150

Hvor meget skal fabrikanten blande af hver af de aktive ingredienser i et kilogram fodermix? Overvej fx de følgende spørgsmål:

a) Antag, at et kilogram fodermix indeholder x kg af ingrediens 1 og y kg af ingrediens 2. Hvilke uligheder må x og y så opfylde?

b) Skitser dét tilhørende polygonområde.

c) Hvor store er omkostningerne ved produktion af 1 kg fodermix udtrykt ved x og y, idet det antages, at vi kan se bort fra omkostningerne ved fyldstoffet?

d) Skitser en niveaulinje hørende til omkostningsfunktionen.

e) Bestem nu den optimale opskrift på sammensætningen af fodermix.

7.2 Lineær programmering i to variable – følsomhedsanalyse Opgave 7.3 I det følgende er en ret linje givet ved en ligning. Hvilke to halvplaner opdeler den rette linje planen i? Skitser situationen grafisk. Opstil en ulighed for hver af de to halvplaner.

a) 2x + 3y = 7

b) –5x + y = 10

c) 4y = 20

d) 5x – 45 = 0

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 123

123 25/08/14 11.13

Opgave 7.4 Hvilke punkter opfylder hver af følgende uligheder? Skitser hver af situationerne grafisk.

a) x + 2y ≥ 8

b) 10x + 40y ≤ 50

c) –2x ≥ 8

d) y ≥ 15

e) – x –

1 y 3

≤4

Opgave 7.5 Beskriv følgende polygonområder med et system af uligheder: a) b) y

y 10

x 1

9 10

c) d) y

x 1

124

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 124

9 10

x 2

8 10 12 14 16 18 20

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

Opgave 7.6 I opgave 7.5 tilføjes for hvert polygonområde en lineær kriteriefunktion og en niveaulinje. Ad a) K riteriefunktionen er givet ved f(x,y) = x + y. Tegn niveaulinjen N(6), og angiv det hjørne der er minimalt og det hjørne, der er maksimalt. Ad b) K riteriefunktionen er givet ved f(x,y) = x + 2y. Tegn niveaulinjen N(6), og angiv det hjørne der er minimalt og det hjørne, der er maksimalt. Ad c) Kriteriefunktionen er givet ved f(x,y) = x + y. Tegn niveaulinjen N(8), og angiv det hjørne der er minimalt og det hjørne, der er maksimalt. Ad d) K riteriefunktionen er givet ved f(x,y) = x + 2y. Tegn niveaulinjen N(20), og angiv det hjørne der er minimalt og det hjørne, der er maksimalt.

Opgave 7.7 Skitser hvert af de polygonområder, der fremkommer ud fra ulighederne: a) x ≥ 0 b) x≥0 c) x≥0 d) x≥0 y≥0 y≥0 y ≥ 0 y≥0 x≤8 x + 2y ≤ 4 3x + y ≤ 12 x + 2y ≤ 4 1 y≤7 –x + y ≤ 1 –x + y ≤ 1 –x + y ≤ 1 2 4x + 2y ≤ 12

Opgave 7.8 Et polygonområde er givet ved ulighederne 4x + y ≤ 4 x + 5y ≤ 5 4x + 3y ≤ 9 Polygonområdet og dets begrænsningslinjer er vist på figuren herunder. a) Angiv en ligning for hver af begrænsningslinjerne l1, l2 og l3.

Kriteriefunktionen, der er givet ved: f(x,y) = 3x + y, ønskes minimeret inden for polygonområdet.

b) Bestem det punkt P i polygonområdet, hvor kriteriefunktionen antager sin mindste værdi, og angiv denne værdi.

Kriteriefunktionen ændres nu til f(x,y) = ax + y, hvor a er en positiv konstant.

c) Bestem den største mulige værdi af a, hvor P er en optimal løsning til optimeringsproblemet.

l2 1

x 4

(Udgangspunkt: htx A eksamen maj 2010, hvor forberedelsesmaterialet omhandlede lineær programmering. Opgaven kan både løses uden og med hjælpemidler. Opstil en løsning baseret på en løsningsstrategi uden hjælpemidler og en baseret på en løsningsstrategi med hjælpemidler) Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 125

125 25/08/14 11.13

Opgave 7.9 y

Et polygonområde er givet ved ulighederne

x≥0 y≥0 4x + y ≥ 400 3x + 4y ≤ 1200 x + 3y ≥ 300

400 300 200

100

Polygonområdet er vist gråtonet på figuren.

100

Kriteriefunktionen, der er givet ved

200 300 400

f(x,y) = 4x + 3y

ønskes minimeret inden for polygonområdet.

a) Indtegn to niveaulinjer for kriteriefunktionen sammen med polygonområdet på papir og i et værktøjsprogram.

b) Bestem den minimale værdi for kriteriefunktionen inden for polygonområdet.

(htx august 2010, hvor forberedelsesmaterialet omhandlede lineær programmering. Opgaven kan både løses uden og med hjælpemidler. Opstil en løsning baseret på en løsningsstrategi uden hjælpemidler og en baseret på en løsningsstrategi med hjælpemidler)

Opgave 7.10 En virksomhed producerer to slags energibarer: BoostBar og ChocDelight. Til produktionen benyttes blandt andet hasselnødder, crunch og peanuts.

y 10000

BoostBar (x)

ChocDelight (y)

Lagerbeholdning

Hasselnødder (kg)

0,020

0,002

Crunch (kg)

0,015

0,005

Peunuts (kg)

0,030

0,050

400

Fortjeneste pr. bar (kr.)

3,30

2,10

8000

6000

4000

2000

4000

6000

a) Opskriv på baggrund af ovenstående skema en kriteriefunktion, der angiver fortjenesten i kroner ved salg af x stk. BoostBar og y stk. ChocDelight.

Virksomheden ønsker at benytte sin lagerbeholdning bedst muligt, dvs. at fremstille det antal af hver type energibar, der giver den største samlede fortjeneste. (opgaven fortsættes)

126

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 126

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

b) Opstil ulighederne, der beskriver problemets begrænsninger.

Ulighederne definerer et polygonområde, som er vist gråtonet på figuren ovenfor.

c) Indtegn niveaulinjerne N(20000) og N(25000) for kriteriefunktionen sammen med polygonområdet i et værktøjsprogram.

d) B estem antallet af hver af de to typer energibarer, som virksomheden skal fremstille for at få den størst mulige fortjeneste.

(htx A eksamen 2010, hvor forberedelsesmaterialet omhandlede lineær programmering)

Opgave 7.11 En virksomhed fremstiller paraplyer og parasoller. Fabrikationen foregår i tre afdelinger, der tager sig af henholdsvis syning, montering og pakning. Skemaet nedenfor indeholder de vigtigste oplysninger om fabrikationen. Paraplyer

Parasoller

Arbejdstid til rådighed i afdelingen (minutter)

Tidsforbrug til syning (minutter pr. stk.)

2500

Tidsforbrug til montering (minutter pr. stk.)

1000

Tidsforbrug til pakning (minutter pr. stk.)

700

Fortjeneste (kr. pr. stk.)

Den sidste søjle i skemaet angiver, hvor meget arbejdstid virksomheden har til rådighed i de forskellige afdelinger af en bestemt arbejdsdag. Virksomheden ønsker at planlægge dagens produktion, så fortjenesten bliver størst mulig. Benyt x til at betegne antallet af paraplyer og y til at betegne antallet af parasoller.

a) Opstil kriteriefunktionen for fortjenesten, og opstil de uligheder, der beskriver problemets begrænsninger. Du skal ikke finde den optimale løsning.

(htx A eksamen 2010, hvor forberedelsesmaterialet omhandlede lineær programmering)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 127

127 25/08/14 11.13

Opgave 7.12 En virksomhed producerer og afsætter to typer etuier til en bestemt mobiltelefon: RUBBER og SKINLOOK. Lad x angive antal producerede og afsatte RUBBER, og lad y angive antal producerede og afsatte SKINLOOK. Produktionen er underlagt følgende kapacitetsbegrænsninger: 10x + 20y ≤ 480 60x + 40y ≤ 1600 0 ≤ x ≤ 20 0 ≤ y ≤ 40 Dækningsbidraget på RUBBER er 10 kr. pr. stk., og dækningsbidraget på SKINLOOK er 15 kr. pr. stk. Funktionen f(x,y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag pr. dag.

a) Bestem forskriften for funktionen f, og tegn polygonområdet defineret ved ovenstående kapacitetsbegrænsninger.

b) Bestem det antal producerede og afsatte RUBBER pr. dag og det antal producerede og afsatte SKINLOOK pr. dag, der giver virksomheden det største samlede dækningsbidrag pr. dag.

c) A ntag nu, at dækningsbidraget for SKINLOOK holdes fast, og bestem grænserne for dækningsbidraget på RUBBER, når løsningen fra b) stadig skal fastlægge det største samlede dækningsbidrag.

d) A ntag nu, at dækningsbidraget for RUBBER holdes fast, og bestem grænserne for dækningsbidraget på SKINLOOK, når løsningen fra b) stadig skal fastlægge det største samlede dækningsbidrag.

(Udgangspunkt: hhx B eksamen august 2013)

Opgave 7.13 Virksomheden PS-Husflid producerer og sælger to slags billedrammer, A4 og A3. Begge rammer skal bearbejdes i virksomhedens to afdelinger, afdeling I og afdeling II. A4 bearbejdes 15 minutter i afdeling I og 20 minutter i afdeling II. A3 bearbejdes 30 minutter i afdeling I og 20 minutter i afdeling II. I hver afdeling har virksomheden 50 timer pr. uge til bearbejdning af billedrammerne. Dækningsbidraget pr. styk A4 er 30 kr., og dækningsbidraget pr. styk A3 er 40 kr.

a) Definer de variable x og y, og bestem a og b således, at funktionen f(x,y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag.

b) Opstil begrænsningerne, og tegn polygonområdet i et koordinatsystem.

(opgaven fortsættes)

128

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 128

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

c) Indtegn niveaulinjen N(2000) svarende til f(x,y) = 2000, og bestem hvor mange styk A4 og hvor mange styk A3 PS-Husflid skal producere og sælge pr.uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

d) A ntag nu, at dækningsbidraget for A3 holdes fast, og bestem grænserne for dækningsbidraget på A4, når løsningen fra c) stadig skal fastlægge det største samlede dækningsbidrag.

(Udgangspunkt: hhx B eksamen maj 2010)

Opgave 7.14 En virksomhed producerer og sælger produkterne Mini og Midi. Produkterne skal forarbejdes i afdelingerne A og B. I afdeling A tager det 1,5 time at forarbejde et styk Mini og 3 timer at forarbejde et styk Midi. I afdeling B tager det 1 time at forarbejde et styk Mini og 1 time at forarbejde et styk Midi. Til produktionen af de to produkter har virksomheden 24 timer pr. uge i afdeling A og 11 timer pr. i afdeling B. Dækningsbidraget for Mini er 1000 kr. pr. stk., og dækningsbidraget for Midi er 1500 kr. pr. stk. Funktionen f(x,y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag.

a) Definer de variable x og y, og bestem a og b således, at funktionen f(x,y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag.

b) Opstil uligheder, der beskriver begrænsningerne i produktionen, og indtegn i et almindeligt koordinatsystem det område, der afgrænses af disse uligheder.

En niveaulinje N(t) er defineret ved f(x,y) = t.

c) Indtegn niveaulinjen N(6000) svarende til f(x,y) = 6000, og bestem det antal Mini og det antal Midi, der skal produceres pr. uge for at opnå det størst mulige samlede dækningsbidrag.

d) A ntag nu, at dækningsbidraget for Mini holdes fast, og bestem grænserne for dækningsbidraget på Midi, når løsningen fra c) stadig skal fastlægge det største samlede dækningsbidrag.

(Udgangspunkt: hhx B eksamen august 2009. Opgaven med spørgsmålene a), b) og c) er også stillet i en anden version på A niveauet samme opgavetermin)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 129

129 25/08/14 11.13

Opgave 7.15

E t flyselskab ønsker at optimere sin samlede omsætning pr. afgang ved at ændre antallet af sæder på henholdsvis Business og Economy.

L ad x angive antallet af sæder på Business, og lad y angive antallet af sæder på Economy.

Der er følgende begrænsninger i forbindelse med optimeringen: y ≤ –x + 250 1 y ≤ – x + 200 3 0 ≤ x ≤ 100 y ≥ 50

Prisen på Business er 18000 kr. pr. sæde, og prisen på Economy er 9000 kr. pr. sæde. Omsætningen kan bestemmes ved

omsætning = (antal sæder) · (pris pr. sæde)

Funktionen f(x,y) = ax + by angiver den samlede omsætning pr. afgang.

a) Bestem en forskrift for funktionen f(x,y), og tegn polygonområdet ud fra de ovenfor nævnte begrænsninger.

b) Bestem det antal sæder på Business og det antal sæder på Economy, der giver flyselskabet den størst mulige samlede omsætning pr. afgang.

(hhx B eksamen maj 2010)

Opgave 7.16 En virksomhed producerer og sælger bl.a. varerne WOOD og STEEL. Det producerede og solgte antal enheder WOOD betegnes x og det producerede og solgte antal enheder STEEL betegnes y.

Produktionen pr. uge er underlagt følgende begrænsninger:

y = 100

y = –2x + 150

100 80

4x + 2y ≤ 300 0 ≤ x ≤ 60 0 ≤ y ≤ 100

40 20

x = 60

100

D isse begrænsninger definerer et polygonområde, der vist som det skraverede område til venstre. x

Dækningsbidraget for både WOOD og STEEL er 100 kr. pr enhed. F unktionen f(x,y) = ax + by angiver det samlede dækningsbidrag pr. uge ved salg af x enheder WOOD og y enheder STEEL. (opgaven fortsættes)

130

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 130

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

En niveaulinje N(t) er defineret ved f(x,y) = t.

a) Bestem en forskrift for funktionen f, og indtegn niveaulinjen N(5000) i polygonområdet i et værktøjsprogram.

b) Bestem det antal enheder WOOD og det antal enheder STEEL virksomheden skal producere og sælge pr. uge for at opnå det største samlede dækningsbidrag pr. uge.

(hhx B eksamen august 2011)

7.3 A ndengradspolynomier i to variable – et mellemspil Opgave 7.17 I det følgende er der givet et simpelt andengradspolynomium i to variable. Bestem diskriminant og typen af paraboloiden.

a) f(x,y) = 1 + 2x – 2y2

b) f(x,y) = x2 + y2 – 9x – 4y + 10

c) f(x,y) = x2 + y2 + 10x + 9y + 5

d) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 6y + 10

Opgave 7.18 I det følgende er der givet et simpelt andengradspolynomium i to variable. Skitser niveaukurver, og angiv typen af keglesnittet. Fastlæg et eventuelt toppunkt for funktionen. Illustrer graferne i et værktøjsprogram.

a) f(x,y) = 1 + 2x – 2y2

b) f(x,y) = x2 + y2 – 9x – 4y + 10

c) f(x,y) = x2 + y2 + 10x + 9y + 5

d) f(x,y) = x2 + y2 – 2x + 6y + 10

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 131

131 25/08/14 11.13

7.4 Kvadratisk programmering i to variable Opgave 7.19 En ellipse er givet ved ligningen 9x2 + 16y2 – 540x – 640y + 14356 = 0

a) Omskriv ligningen på standardformen ellipsens centrum og halvakser.

b) Skitsér ellipsen i et værktøjsprogram.

( x − x0 ) a

( y − y0 ) b

= 1, og bestem

Opgave 7.20 En ellipse er givet ved ligningen 3x2 – 120x + 4y2 – 200y + 3664 = 0

a) Omskriv ligningen på standardformen ellipsens centrum og halvakser.

b) Skitsér ellipsen i et værktøjsprogram.

( x − x0 ) a

( y − y0 ) b

= 1, og bestem

Opgave 7.21 En parabel er givet ved ligningen 4x2 – 96x – y + 612 = 0

a) Omskriv ligningen på standardformen y = a · (x – h)2 + k, og fastlæg parablens toppunkt og symmetriakse.

b) Skitsér parablen i et værktøjsprogram.

Opgave 7.22 En parabel er givet ved ligningen 5x2 – 4x – 200y + 2050 = 0

132

a) Omskriv ligningen på standardformen x = a · (y – h)2 + k, og fastlæg parablens toppunkt og symmetriakse.

b) Skitsér parablen i et værktøjsprogram.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 132

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

Opgave 7.23 En virksomhed sælger to varer A og B. Lad x angive afsætningen i stk. pr. uge af vare A, og lad y angive afsætningen i stk. pr. uge af vare B. Virksomheden har monopol på markedet for vare A, og prisen pr. stk. er givet ved

p(x) = –0,10x + 40, 0 ≤ x ≤ 3500

På det marked, hvor vare B sælges, er der fuldkommen konkurrence, og prisen pr. stk. er givet ved

q(x) = 20, y ≥ 0

Omsætningen for en vare kan bestemmes ved

omsætning = afsætning · (pris pr. stk.)

a) Gør rede for, at den samlede omsætning pr. uge kan bestemmes ved funktionen R med forskriften

R(x,y) = –0,01x2 + 40x + 20y

Afsætningen er underlagt følgende betingelser 0 ≤ x ≤ 3500 y≥0 1 y ≤ – x + 2000 2

Niveaukurven N(t) er defineret ved R(x,y) = t.

b) Gør rede for, at niveaukurven N(60000) er en parabel, og tegn denne samt betingelserne i et koordinatsystem.

c) Bestem det antal stk. af vare A og det antal stk. af vare B virksomheden skal afsætte pr. uge for at opnå maksimal omsætning.

(hhx A eksamen december 2011)

Opgave 7.24 En funktion af to variable er givet ved f(x,y) = x2 – 6x + y2 – 4y – 8

a) Vis, at niveaukurven N(4) er en cirkel, og bestem cirklens radius og centrum.

b) Beskriv N(z) for alle z ∈  .

(htx A eksamen august 2010)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 133

133 25/08/14 11.13

Opgave 7.25 En virksomhed producerer og sælger varerne A og B. Lad x henholdsvis y betegne antallet af solgte enheder af A henholdsvis B. Ved markedsundersøgelser har det vist sig, at prisen i kr. som funktion af afsætningen i stk. pr. måned af varen A er givet ved

p1 = G1(x) = –0,0025x + 32

Markedsprisen for B er 40 kr. Til denne pris kan virksomheden afsætte alt, hvad den kan producere: p2 = G2(y) = 40 Omkostningerne ved produktion af de to varetyper er v1 = 12 kr. pr. styk og v2 = 30 kr. pr. styk. Kapacitetsbegrænsningerne er 3x + 4y ≤ 10500 1,5x + 6y ≤ 15000 x≥0 y≥0 Virksomheden ønsker at få bestemt, hvor mange enheder af A og B, den skal producere pr. måned, for at dækningsbidraget bliver størst muligt.

a) Gør rede for at dækningsbidraget er givet ved forskriften D(x,y) = p1 · x + p2 · y – v1 · x – v2 · y

b) Niveaukurven N(t) er defineret ved D(x,y) = t. Gør rede for, at niveaukurven N(t) = 100000 er en parabel, og tegn denne samt kapacitetsbegræsningerne i et koordinatsystem.

c) B estem det antal stk. af vare A og det antal stk. af vare B virksomheden skal afsætte pr. uge for at opnå det største dækningsbidrag.

(Mogens Ditlev Hansen, Matematik, økonomi, optimering, side 114)

Opgave 7.26 En kvadratisk funktion af to variable f(x,y) er givet ved forskriften f(x,y) = –x2 + 800x – 0,25y2 + 300y Følgende betingelser for x og y er givet: 0 ≤ x ≤ 500 0 ≤ y ≤ 800 En niveaukurve N(t) er givet ved f(x,y) = t. (opgaven fortsættes)

134

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 134

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

a) Gør rede for, at N(240000) fremstiller en ellipse med centrum i (400,600) og halvakser a = 100 og b = 200.

b) Bestem det punkt indenfor polygonområdet defineret af betingelserne, der giver størsteværdien for f, og bestem denne værdi.

(hhx A eksamen august A 2013)

Opgave 7.27 En virksomhed producerer og afsætter to varer, A og B. Prisen pr. stk. A er givet ved funktionen p med forskriften

p(x) = –4x + 800, 0 ≤ x ≤ 200

hvor x angiver afsætningen pr. uge af A. Prisen pr. stk. B er givet ved funktionen q med forskriften

q(y) = –y + 300, 0 ≤ y ≤ 300

hvor y angiver afsætningen pr. uge af A. De variable enhedsomkostninger er 200 kr. pr. stk A og 100 kr. pr. stk B. Dækningsbidraget pr. uge kan bestemmes ved

dækningsbidrag = afsætning · (pris pr. stk. – variable omkostninger) a) Gør rede for, at det samlede dækningsbidrag kan beskrives ved funktionen DB med forskriften DB(x,y) = –4x2 + 600x – y2 + 200y

Niveaukurven N(t) er givet ved DB(x,y = t.

b) Gør rede for, at niveaukurven N(30000) er en ellipse.

Ud over begrænsningerne på x og y er produktionen begrænset af, at virksomheden maksimalt kan producere 400 enheder pr. uge, hvilket betyder x + y ≤ 400.

c) Bestem den afsætning af vare A pr. uge og den afsætning af vare B pr. uge, der giver det størst mulige samlede dækningsbidrag.

(hhx A eksamen (gl) august 2013)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 135

135 25/08/14 11.13

Opgave 7.28 En virksomhed producerer og sælger varerne A og B. På grundlag af markedsanalyser regner virksomheden med, at sammenhængen mellem pris og afsætning pr. måned er lineær og følger nedenstående tabel.

Vare A

Vare B

Pris pr. stk. kr.

 g

Afsætning stk.

Pris pr. stk. kr.

Afsætning stk.

5000

2500

4000

2000

3000

1500

2000

1000

500

De variable enhedsomkostninger er henholdsvis 12 kr. og 32 kr. A og B skal hver for sig behandles på to forskellige maskiner M1 og M2. Virksomheden er i besiddelse af en maskine af typen M1 og to maskiner af typen M2. Maskinen M1 har en månedlig kapacitet på 175 maskintimer. M2-maskinerne har en samlet månedlig kapacitet på 250 maskintimer. Til fremstilling af 1 enhed af varen A bruges 3,0 minutter på M1 og 3,0 minutter på M2. Til fremstilling af 1 enhed af varen B bruges 1,5 minutter på M1 og 6,0 minutter på M2. Virksomheden ønsker at få bestemt, hvor mange enheder af A og B, den skal producere om måneden, for at dækningsbidraget bliver størst muligt. a) Gør rede for, at dækningsbidraget er givet ved forskriften D(x,y) = –0,004x2 + 28x – 0,008y2 + 24y

b) Gør rede for at kapacitetsbegrænsningerne er givet ved 3x + 3y ≤ 10500 1,5x – 6y ≤ 15000 x≥0 y≥0 og skitser polygonområdet i et koordinatsystem.

c) G ør rede for, at niveaukurverne er ellipser med centrum i C(3500,1500). Skitser en typisk niveaukurve i samme koordinatsystem som polygonområdet.

d) Bestem den månedlige optimale produktionsplan.

(Mogens Ditlev Hansen, Matematik, økonomi, optimering, side 103-106).

136

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 136

25/08/14 11.13

7. Lineær og kvadratisk programmering

7.6 Supplerende opgaver Opgave 7.29: Strålebehandling Ved en strålebehandling bestråles en kræftsvulst med 2 strålekilder A og B. Vi lader x angive intensiteten fra strålekilde A og y angive intensiteten fra strålekilde B. Almindeligt sundt væv vil da modtage dosen f(x,y) =0,4x +0,5y (målt i kiloRøntgen). Strålebehandlingen tilrettelægges så det sunde væv modtager mindst mulig dosis. For andre typer væv involveret i strålebehandlingen gælder de følgende begrænsninger: Vævstype

Følsomt væv

Randen af svulsten

Centrum af svulsten

Dosis (kR)

0,3x + 0,1y

0,5x + 0,5y

0,6x + 0,4y

Begrænsning (kR)

Højst 2,7

Netop 6

Mindst 6

a) Giv en grafisk illustration af dette lineære programmeringsproblem, og gør rede for, at polygonområdet klapper sammen til et linjestykke.

b) Bestem den optimale behandlingsplan.

Opgave 7.30: Geometrisk optimering Lad der være givet to linjestykker AB og CD i planen, hvor A(–2,0), B(2,4), C(2,1) og D(6,–3). Vi ønsker at bestemme de to punkter, P på linjestykket AB og Q på linjestykket CD, som har den mindste indbyrdes afstand.

a) Illustrér problemstillingen grafisk.

b) Gør rede for, at linjestykket AB har parameterfremstillingen (x,y) = (–2 + 4t,4t), 0 ≤ t ≤ 1 og, at linjestykket CD tilsvarende har parameterfremstillingen (x,y) = (2 + 4u,1 – 4u), 0 ≤ u ≤ 1

c) Gør rede for, at kvadratet på afstanden mellem P og Q er et andengradspolynomium i t og u.

d) L øs nu det geometriske optimeringsproblem som et kvadratisk programmeringsproblem.

e) Løs samme opgave, men nu med C(6,8).

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_7.indd 137

137 25/08/14 11.13

Anden ordens differentialligninger (supplerende stof)

Introduktion til anden ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Analytisk løsning af anden ordens differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Anvendelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

K oblede differentialligninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.2 I ntroduktion til anden ordens differentialligninger Opgave 8.1 Undersøg, om funktionen:

f(x) = x4

er en løsning til differentialligningen:

yy′′″=

20 x2

⋅y

Opgave 8.2 Vis, at funktionen:

f(t) = 3e2t + 4e3t

er en løsning til

y ″– 5y ′+ 6y = 0

Opgave 8.3 a) Vis, at funktionerne

f1(t) = e2t og f2(t) = t · e2t begge er løsninger til differentialligningen

138

y ″– 4y ′+ 4y = 0

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 138

(opgaven fortsættes)

25/08/14 11.15

8. Anden ordens differentialligninger

b) Vis, at alle funktioner på formen

g(t) = a · e2t + b · t · e2t er løsninger til differentialligningen

y ″– 4y ′+ 4y = 0

Opgave 8.4 a) Vis, at funktionerne

−t

f1( t ) = e 2 ⋅ cos( 32 ⋅ t ) og f2 ( t ) = e 2 ⋅ sin( 32 ⋅ t ) begge er løsninger til differentialligningen

2y ″+ 2y ′+ 5y = 0

b) Vis at alle funktioner på formen −t

−t

g( t ) = a ⋅ e 2 ⋅ cos( 32 ⋅ t ) + b ⋅ e 2 ⋅ sin( 32 ⋅ t ) er løsninger til differentialligningen

2y ″+ 2y ′+ 5y = 0

Opgave 8.5 Undersøg, om funktionen:

f(x) = 2x2 · in(x)

er en løsning til differentialligningen: 4 yy′′″–− 33 ⋅· yy′ ′+ 422 ⋅⋅·yy==00 xx

Opgave 8.6 a) Vis, at i intervallet ]0;∞[ er begge funktioner:

f1( x ) =

x og f2 ( x ) =

1 x

løsninger til:

2x2 · y ″+ 3x · y ′– y = 0

b) Vis, at alle funktioner på formen

g( x ) = a ⋅ x + b ⋅

1 x

er løsninger til differentialligningen.

c) Bestem en løsning til begyndelsesværdiproblemet:

2x2 · y ″+ 3x · y ′– y = 0, og y(1) = 0 y ′(1)= 3

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 139

139 25/08/14 11.15

Opgave 8.7 Undersøg, om funktionen:

u(t) = 1 + t

er en løsning til begyndelsesværdiproblemet: (1 – 2t – t2)u ″= –2(1 + t)u ′ + 2u , u(0) = 1 og u ′(0) = 1

Opgave 8.8 Vis, at funktionen:

f(t) = 9e –2t – 7e –3t

er en løsning til begyndelsesværdiproblemet

y ″+ 5y ′+ 6y = 0, y(0) = 2 og y ′(0) = 3

Opgave 8.9 a) Gør rede for, at hvis man indsætter et andengradspolynomium y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c i venstresiden af differentialligningen y ″+ y ′– 6y = –6x2 + 26x –8, så reducerer venstresiden til et andengradspolynomium. b) G ør rede for, at koefficienterne a, b og c kan tilpasses, så andengradspolynomiet p(x) = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c er en løsning til differentialligningen y ″+ y ′– 6y = –6x2 + 26x – 8, og angiv forskriften for det specifikke andengradspolynomium, der løser differentialligningen.

Opgave 8.10 a) Bestem til hvert af de følgende fire differentialligninger koefficienterne til andengradspolynomiet a ⋅ x2 + b ⋅ x + c, så det er en løsning til differentialligningen

1) y ″+ y = x2 2) y ″= x2 + 4y

3) y ″– 2y ′+ y = x2

4) y ″– 2x ⋅ y ′+ y = x2 + 2x

Opgave 8.11 a) Gør rede for, at hvis man indsætter en harmonisk svingning på formen y = a ⋅ cos(x) + b ⋅ sin(x) i venstresiden af differentialligningen y ″+ y ′– 6y = cos(x) – 7 ⋅ sin(x), så reducerer venstresiden til en harmonisk svingning. b) Gør rede for, at koefficienterne a og b kan tilpasses, så den harmoniske svingning s(x) = a ⋅ cos(x) + b ⋅ sin(x) er en løsning til differentialligningen y ″+ y ′– 6y = cos(x) – 7 ⋅ sin(x) og angiv forskriften for den specifikke harmoniske svingning, der løser differentialligningen.

140

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 140

25/08/14 11.15

8. Anden ordens differentialligninger

Opgave 8.12 a) Gør rede for, at hvis man indsætter en eksponentiel linearkombination på formen y = a ⋅ e2x + b ⋅ e –2x i venstresiden af differentialligningen y ″+ 3y ′– 4y = e2x – 4 ⋅ e –2x, så reducerer venstresiden til en eksponentiel linearkombination af samme type. b) Gør rede for, at koefficienterne a og b kan tilpasses, så den eksponentielle linearkombination g(x) = a ⋅ e2x + b ⋅ e –2x er en løsning til differentialligningen y ″+ 3y ′– 4y = e2x – 4 ⋅ e –2x, og angiv forskriften for den specifikke eksponentielle linearkombination, der løser differentialligningen.

8.3 Analytisk løsning af anden ordens differentialligninger Opgave 8.13 Bestem den løsning til differentialligningen

y ″– 0,25y = 0

der opfylder, at grafen går igennem A(0,1) og i punktet A har en tangent med hældningen 1.

Opgave 8.14 a) Bestem den løsning til differentialligningen f ″(x) = 4f(x) der opfylder, at grafen går igennem (0,2) og (2,1). b) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. c) Den funktion, der er løsning, har et minimum. Bestem dette.

Opgave 8.15 En funktion f er løsning til differentialligningen

y ″= (in(3))2 · y

a) Bestem en forskrift for f, idet det oplyses, at grafen går igennem P(0,82) og Q(1,30)

b) Tegn grafen for f i et relevant grafvindue.

c) Bestem mindsteværdien for f.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 141

141 25/08/14 11.15

Opgave 8.16 En funktion f er løsning til differentialligningen

y ″= 9y

Grafen for f går gennem punktet P(13,e) og har vandret tangent i dette punkt.

a) Bestem en forskrift for f.

b) Bestem en stamfunktion til f.

Opgave 8.17 a) Bestem den løsning til differentialligningen f ″(x) = –4f(x) d er opfylder, at grafen går igennem P(0,2) og at tangenthældningen i punktet P er 5. b) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. c) Opskriv løsningen som én harmonisk svingning. d) Bestem perioden. e) Bestem funktionens største og mindsteværdi.

Opgave 8.18 En funktion f er løsning til differentialligningen 1 9

yy''″= − ⋅ y

a) Bestem en forskrift for f, idet det oplyses, at grafen går igennem P(0,5), og at tangenthældningen i punktet P er 1.

b) Tegn grafen for f.

c) Bestem største og mindsteværdi for f.

d) Opskriv løsningen som én harmonisk svingning.

Opgave 8.19

Differentialligningen

d y

2 1

–1 –2 –3

= −2 y x har to løsninger, hvis grafer indeholder punktet O(0,0), og som begge har størsteværdien 5 (se figur). dx 2

a) Bestem en forskrift for hver af de to løsninger.

b) Bestem den eksakte værdi af arealet af det skraverede område.

–4 –5

142

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 142

25/08/14 11.15

8. Anden ordens differentialligninger

Opgave 8.20 a) Bestem den løsning til differentialligningen

y ″+ 0,81y = 0

der opfylder, at grafen går igennem P(2,8), og at tangenthældningen i punktet P er 2. b) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. c) Opskriv løsningen som én harmonisk svingning.

Opgave 8.21 Bestem den løsning til differentialligningen

y ″(x) – 0,3y(x) = 0

der opfylder, at grafen går igennem P(1,6), og at tangenthældningen i punktet P er –2.

a) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue.

b) Bestem eventuelle lokale ekstrema (min og maks) for løsningen.

Opgave 8.22 En funktion f er den løsning til differentialligningen

d y dx 2

== −9y 2y

der opfylder, at f(0) = 6 og f ′(0) = 12.

a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(0,f(0)).

b) Bestem en forskrift for f.

c) Gør rede for, at funktionen g(x) = f(x) – 9x2 – 5 er en løsning til differential ligningen

d y dx 2

=– −9y 2 y= 81x2 + 27.

Opgave 8.23 En funktion f er den løsning til differentialligningen (*) y ″– 16y = 0

a) Bestem en forskrift for f, idet det oplyses at f(0) = 3 og f ( 1 ) = 3e. 4

Om en anden funktion g oplyses, at g også er en løsning til differentialligningen (*). Endvidere oplyses, at punktet P(0,5) ligger på grafen for g, og at grafen for g har vandret tangent i P.

b) Bestem en forskrift for g.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 143

143 25/08/14 11.15

Opgave 8.24 a) Bestem til differentialligningen y ″(x) + 2y ′( x) + y(x) = 0 løsningstypen ud fra det karakteristiske polynomium. b) Bestem til differentialligningen et eksakt udtryk for den løsning, der opfylder, at grafen går gennem P(0,2) og i punktet P har tangenthældningen 0. c) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue. d) Bestem monotoniforhold og eventuelle lokale ekstrema for løsningen.

Opgave 8.25 a) Bestem til differentialligningen

y ″+ 2y ′– 3y = 0 løsningstypen ud fra det karakteristiske polynomium.

b) Bestem til differentialligningen et eksakt udtryk for den løsning, der opfylder, at grafen går igennem (0,2) og i dette punkt har tangenthældningen 0. c) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue.

Opgave 8.26 a) Bestem til differentialligningen y ″(x) + 2y ′( x) + 2y(x) = 0 løsningstypen ud fra det karakteristiske polynomium. b) Bestem til differentialligningen et eksakt udtryk for den løsning, der opfylder, at grafen går igennem (0,2) og i dette punkt har tangenthældningen 0. c) Tegn grafen for løsningen i et relevant grafvindue.

Opgave 8.27 a) Bestem den fuldstændige løsning til

y ″+ 5y ′+ 4y = 0

b) Bestem den partikulære løsning f, hvorom der gælder, at f(0) = –4 og f ′(0) = –2.

Opgave 8.28 a) Løs begyndelsesværdiproblemet 4y ″+ 4y ′+ 5y = 0, y(0) = 3 y ′(0) = 2 b) Tegn grafen for løsningen. c) Betegn løsningen f(t). Hvad er lim f (t)? t →∞

144

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 144

25/08/14 11.15

8. Anden ordens differentialligninger

Opgave 8.29 a) Løs begyndelsesværdiproblemet y ″+ 4y ′+ 4y = 0, y(0) = 1 y ′(0) = 3 b) Tegn grafen for løsningen. c) Betegn løsningen f(t). Hvad er lim f (t)? t →∞

Opgave 8.30

1 10

To af de fire grafer til højre repræsenterer partikulære løsninger til differentialligningerne:

1) y ″= 0,09y

2 y

2) y ″= –0,09y

10 –10

–10

Argumenter for, hvilke der hører sammen uden at løse ligningerne.

–10

(Hint: Se fx på krumningen af grafen.)

x 10 –10

–10

Opgave 8.31

o af de fire grafer til højre repræsenterer partikulære T løsninger til differentialligningerne: 1) y ″ + y ′– y = 0

2 10

2) y ″ – y ′+ y = 0

Argumenter for, hvilke der hører sammen uden at løse ligningen.

10 –10

–10

(Hint: Find eksempelvis steder på grafen, hvor tangenthældningen eller funktionsværdien er lig med 0. Se på krumningen af grafen disse steder.)

10 –10

–10

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 145

x –10

Hvad er matematik? A, opgavebog

145 25/08/14 11.15

Opgave 8.32 1 15

2 De fire grafer til venstre repræsenterer løsningerne y til differentialligningerne 15

1) y ″ = 0,

2) y ″ = –2 + y, y(0) = 3, y ′(0) = –1

x 10 –10

–10

3) y ″ = 2 – y,

y(0) = 3, y ′(0) = –1

4) y ″ = 2 – y ′,

y(0) = 3, y ′(0) = –1

–5

–5 y

y(0) = 3, y ′(0) = –1

y i vilkårlig rækkefølge. 15 Bestem hvilke grafer, der hører til hvilke differentialligninger uden at løse differentialligningerne.

(Hint: Se på krumningen af graferne og sammenx x hold det med udtrykket for y ″) 10 –10

–10

10 –5

–5

8.4 Anvendelser Opgave 8.33

Bevægelsen af en bestemt løbers arm kan beskrives ved differentialligningen

d y dx 2

= 9p −22y · y = 0 +

hvor y angiver vinklen (målt i radianer) mellem overarmen og lodret, og t angiver tiden (målt i sekunder). Bestem y som funktion af t, når det oplyses, at y har maksimum

146

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 146

π 8

1 for t = . 2

25/08/14 11.15

8. Anden ordens differentialligninger

Opgave 8.34 En funktion f er løsning til differentialligningen

y ″ = 0,25y

a) Bestem en forskrift for f, idet det oplyses, at f(0) = 2 og f ′(0) = 0.

(*)

I bærende konstruktioner benyttede den spanske arkitekt Antonio Gaudi (1852-1926) ofte buer, der har form som grafer for funktioner af typen

h(x) = k – g(x)

hvor k er en positiv konstant, h ′(0) = 0 og g er en løsning til differentialligningen (*). For en bestemt bue gælder yderligere

h(2) = 0 og h ′(2) = –4

b) Bestem for denne bue en forskrift for h, og bestem højden h(0) af denne bue.

Opgave 8.35 Et svingende system, hvor der påtrykkes en ydre kraft, der har sin egen svingningstid, kan meget forenklet beskrives ved en differentialligning af typen:

y ″ = –ω 02 · y + A · cos(ω · t)

hvor y angiver udsvinget fra ligevægt, t angiver tiden, ω 0 angiver systemets egen frekvens, og ω er frekvensen af den ydre påtrykte kraft. I grundbogens afsnit 4.2 undersøges i større detaljer, hvad der kan gå galt i konstruktionen af broer som Milleniumbroen over Themsen. Her vil vi rent matematisk undersøge, hvor følsom en sådan ligning kan være på størrelsen af de parametre, der indgår. I hvert af tilfældene, hvor der løses et begyndelsesværdiproblem, skal du illustrere løsningerne grafisk. Husk at regne i radianer.

a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen

b) Løs begyndelsesværdiproblemet:

y ″ = – y + 2 · cos(3 · t)

y ″ = – y + 2 · cos(3 · t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0 og illustrer løsningen grafisk.

c) Skru nu på parameteren A = 2, fx ved at give den værdier fra –5 til 5. Hvad sker der med løsningskurven?

d) S kru nu en af gangen på de to begyndelsesværdibetingelser. Hvad sker der med løsningskurven? (opgaven fortsættes)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 147

147 25/08/14 11.15

Vi bemærker, at der ikke sker væsentlige ændringer i løsningskurvernes forløb i tilfældene ovenfor. Vi inddrager nu de øvrige parametre:

e) Løs begyndelsesværdiproblemet:

y ″ = – 4y + 2 · cos(2· t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0 og illustrer løsningen grafisk.

Giv en sproglig beskrivelse af, hvad der sker, når t bliver meget stor.

f) Løs begyndelsesværdiproblemet:

y ″ = – 2,25y + 2 · cos(1,5 · t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0

og illustrer løsningen grafisk.

Giv en sproglig beskrivelse af, hvad der sker, når t bliver meget stor.

Hvad er det fælles træk ved de to differentialligninger? Hvis du er i tvivl, kan du måske få en ide om svaret, ved at du i differentialligningen i a) ændrer koefficienten til y fra –1 til –9. Vi vil, nu undersøge, hvad der sker, hvis vi opstiller en differentialligning, der næsten følger samme mønster.

g) Løs begyndelsesværdiproblemet: y ″ = – 4y + 2 · cos(2,1 · t), y(0) = 0 og y ′(0) = 0

og illustrer løsningen grafisk. Vælg et grafrum hvor tiden løber til fx 100.

Giv en sproglig beskrivelse af det, du ser. Fænomenet kaldes ”stød”.

pstil selv lignende differentialligninger, hvis grafiske billede viser stød, og skru h) O selv på koefficienten til t.

8.5 Koblede differentialligninger Opgave 8.36 Omskriv følgende til et system af koblede differentialligninger:

a) y ″ – 2y ′– y = 0

b) y ″ – 3y ′+ 5y = 0

c) u ″ + u ′– 0,5u = 0

d) z ″ – 2z ′+ 3z = 0

Tegn retningsfelter (dvs. linjelementer tegnet som vektorpile, der angiver retningen for et gennemløb, når den uafhængige variable opfattes som tiden) for hvert af systemerne.

148

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 148

26/08/14 15.34

8. Anden ordens differentialligninger

Opgave 8.37 Omskriv følgende systemer af lineære koblede differentialligninger til andenordens differentialligninger:

 y ′= z a)   z ′= 3z – y

 y ′= z b)   z ′= –2z – 2y

 y ′= z c)   z ′= z – 2y

 y ′= z d)   z ′= – y

 y ′= z e)   z ′= 2z + y

 y ′= z f)   z ′= 2z – y

Opgave 8.38

a) Tegn retningsfelterne for de koblede systemer i opgave 8.37

I studiet af koblede systemer indgår begrebet ligevægtspunkt som et af de centrale. I et ligevægtspunkt er begge de afledede funktioner 0. Ligevægtspunkter kan være tiltrækkende (stabile) eller frastødende (ustabile), men de kan også være tiltrækkende i én retning og frastødende i en anden retning (saddelpunkt), og yderligere er det interessant at undersøge karakteren af det tiltrækkende og frastødende – er det lokalt lineært eller spiralerer kurverne ind / henholdsvis ud fra ligevægtspunktet?

b) I alle de 6 retningsfelter er punktet (0,0) et ligevægtspunkt (Hvorfor?). Læg begyndelsespunkter på retningsfelterne, hvorved der tegnes eksempler på faseplot. Træk rundt med disse punkter, og giv på baggrund heraf en karakteristik af de 6 ligevægtspunkter med brug af følgende begreber:

a) saddelpunkt b) tiltrækkende (stabilt) ligevægtspunkt c) frastødende (ustabilt) ligevægtspunkt d) centrumspunkt e) spiralt tiltrækkende ligevægtspunkt f) spiralt frastødende ligevægtspunkt

Opgave 8.39 a) Løs de fremkomne andenordens differentialligninger i opgave 8.37, a), b), d) og f). b) L øs på baggrund af a) systemet af koblede differentialligninger. i opgave 8.37, a) og d).

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_8.indd 149

149 23/11/2016 09.15

Regressionsmodeller (supplerende stof)

Matematikken bag mindste kvadraters metode: Lineær regression . . . . . . . 150

3. – 4.

Kvaliteten af en lineær regression – hypotesetest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

5. og 7.

Multilineær og ikke-lineær regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.2 Matematikken bag mindste kvadraters metode: Lineær regression Opgave 9.1 (Sammenligning af forskellige spredningsmål) I A-bogens kapitel 9 analyseres et datamateriale med informationer om U18 landsholdet i herrehåndbold. Data kan hentes via grundbogen. Vi fokuserer her alene på højderne:

150

183

192

189

194

191,5

181

200

189,5

195

190

203,5

186

185

192

195,5

195

199

186

198

196

196,5

193

a) Tegn et boksplot, og bestem kvartilbredden.

b) Definitionen på outliers er, at det er dataværdier, der ligger længere væk fra boksen end 1,5 · kvartilbredde. Indeholder datasættet outliers?

c) Vis, at middeltallet h for højderne er 192,3.

d) A rgumenter for, at hvis et datasæt er symmetrisk fordelt, så median = middeltal, så svarer reglen om outliers til, at dette er dataværdier, der ligger længere væk fra middeltallet end 2 · kvartilbredde. Giv en vurdering af, om datasættet kan siges at være symmetrisk.

e) Vis, at spredningen σ(h) er 5,6.

f) T egn et histogram med en passende søjlebredde. Højderne af søjlerne angives som procenttal skrevet som decimaltal. Dette valg kaldes i nogle programmer for tæthed.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 150

25/08/14 11.18

9. Regressionsmodeller

g) Tegn i samme koordinatsystem grafen for tæthedsfunktionen for normalforde3 (I nogle værktøjsprolingen med middeltal 192,3 og spredning 5,6: φ  x −5,192, 6  grammer hedder denne normpdf(x,192.3, 5.6)).

h) For normalfordelinger gælder, at - 5 % af observationerne ligger længere væk fra middeltallet, end 2 spredninger, og de ligger symmetrisk – 2,5% til hver side. - 32% af observationerne ligger længere væk fra middeltallet, end 1 spredning, og de ligger symmetrisk – 16% til hver side. Da vi kun har 22 observationer er vurderingerne naturligvis usikre, men giv alligevel en vurdering af, om højderne kan anses som normalfordelte.

Opgave 9.2 Gennemfør en undersøgelse efter samme opskrift som i opgave 9.1 af et materiale fra en sundheds- og konditionstest, jeres klasse, eller evt. hele skolen har gennemført. Fokuser fx på kondital. Alternativt: Gennemfør en undersøgelse over U18 landsholdets kondital: 57,5

47,2

57,6

48,5

50,8

59,6

55,9

56,8

49,9

56,1

55,5

56,3

51,9

54,8

42,7

57,7

49,5

57,8

43,7

60,5

Opgave 9.3 (Middeltallet er tallet med mindste variation) For en bestemt gruppe på 15 læger blev det undersøgt, hvor ofte de havde udført et kirurgisk indgreb, der medførte fjernelse af livmoderen. Antallet af sådanne operative indgreb var for hver de 15 læger henholdsvis:

27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 31, 37, 44, 20, 36, 59, 34, 28

a) Bestem middeltallet: x =

b) Definer: v ( x ) = variationen (antal indgreb) =

sum(antal indgreb) 15 2

sum((antal indgreb-x ) ) 15

Vis, at v(x) = x2 – 82,67 · x + 2104,8

c) Tegn grafen for v(x).

d) V is, at middeltallet x er lig med 1. koordinaten til toppunktet. Udtryk med ord, hvad dette betyder.

e) Bestem variansen v(x) og spredningen σ =

f) Vis, at variansen v(x) er lig med 2. koordinaten til toppunktet.

v(x)

(Baseret på opgave fra de vejledende eksamensopgaver stx A- niveau)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 151

151 25/08/14 11.18

Opgave 9.4 (Behandling af datamaterialet i opgave 9.3 ved hjælp af metoderne i lineær algebra) For en bestemt gruppe på 15 læger blev det undersøgt, hvor ofte de havde udført et kirurgisk indgreb, der medførte fjernelse af livmoderen. Antallet af sådanne operative indgreb var for hver de 15 læger henholdsvis:

27, 50, 33, 25, 86, 25, 85, 31, 37, 44, 20, 36, 59, 34, 28  a) Opret observationerne som en vektor x. Hvilken dimension har vektorrummet?

b) Argumenter for, at opgaven:

Bestem den værdi af t, der minimer summen af afstandskvadraterne: ( x1 − t )2 + ( x2 − t )2 + ...( x n − t )2

svarer til opgaven:

   estem den værdi af t, der minimerer længden af residualvektoren: e = x − t ⋅ d, B    e = xhvor − t ⋅ d er diagonalvektoren (1,1,...,1).

c) A rgumenter geometrisk for, at denne værdi af t kan bestemmes ud fra projektio    e =vektor x − t ⋅ d. Tegn en skitse, der illustrerer dit argument. nen af vektor x på          d lig med middeltallet e = x − x ⋅af d observad) B estem projektionen x⋅2d ⋅ d, og vis, at x⋅2d ⋅er d d tionerne.    e) Opskriv vektoren e = x − x ⋅ d, og udtryk i ord det resultat, vi er nået frem til i punkterne a)– d).

  2 f) Bestem variansen V ( x ) = n1 ⋅ ( x − x ) .     e g) Bestem spredningen σ( x ) = V ( x ), og vis, at σ ( x ) =  . d h) U dtryk afvigelsen mellem datasættet og middeltallet skrevet på vektorform    e = x −( x ⋅ d) som en vinkel i det n-dimensionale vektorrum.

Opgave 9.5 (Middeltallet er tallet med mindste variation) Gennemfør en analyse efter samme opskrift som i opgave 9.3 af en eller flere af kategorierne i jeres egne data over sundhed og kondital. Alternativt: Anvend materialet fra U18 landsholdet, og analyser en eller flere af kategorierne: Vægt: 83,5

88,1

83,4

90,2

89,5

68,8

97,0

91,7

83,6

90,2

116,0

71,7

77,7

88,1

85,0

75,0

105,4

82,2

101,7

75,1

108,4

90,0

Fitnesstal: 189

159

190

165

172

187

168

188

167

196

179

180

189

172

177

151

190

173

186

155

204

(opgaven fortsættes)

152

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 152

25/08/14 11.18

9. Regressionsmodeller

a) Bestem middeltallet x

b) Bestem variationen v(x)

c) Tegn grafen for v(x)

d) V is, at middeltallet er lig med 1. koordinaten til toppunktet. Udtryk med ord, hvad dette betyder.

e) Bestem variansen v(x) og spredningen σ =

f) Vis, at variansen v(x) er lig med 2. koordinaten til toppunktet.

g) Bestem spredningen, fremstil et histogram af datamaterialet, og sammenlign evt. med den tilsvarende normalfordeling, efter metoden beskrevet i opgave 9.1.

v(x).

Opgave 9.6 (Behandling af datamaterialet i opgave 9.5 ved hjælp af metoderne i lineær algebra) Gennemfør en analyse efter samme opskrift som i opgave 9.4 af en eller flere af kategorierne i jeres egne data over sundhed og kondital. Alternativt: Anvend materialet fra U18 landsholdet, og analyser en eller flere af datasættene, der er anført i forrige opgave.

a) Opret observationerne som en vektor. Hvilken dimension har vektorrummet?

b) Argumenter for, at opgaven: B estem den værdi af t, der minimer summen af afstandskvadraterne: ( x1 − t )2 + ( x2 − t )2 + ...( x n − t )2

svarer til opgaven:

   B estem den værdi af t, der minimerer længden af residualvektoren: e = x − t ⋅ d,    e = xhvor − t ⋅ d er diagonalvektoren (1,1,...,1).

c) Argumenter geometrisk for, at denne værdi af t kan bestemmes ud fra projektio    e =vektor x − t ⋅ d. Tegn en skitse, der illustrerer dit argument. nen af vektor x på          d lig med middeltallet e = x − x ⋅af d observad) B estem projektionen x⋅2d ⋅ d, og vis, at x⋅2d ⋅er d d tionerne.    e) Opskriv vektoren e = x − x ⋅ d, og udtryk i ord det resultat, vi er nået frem til i punkterne a) – d).

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 153

153 25/08/14 11.18

Opgave 9.7 (Den bedste proportionalitet – følgende er et uddrag fra kapitel 12, matematik-kemi i Hvad er matematik? C) I forbindelse med undersøgelse af en vandprøve vil man undersøge indholdet af nitrit. Nitrit omdannes normalt hurtigt videre til nitrat i vand. Hvis man finder nitrit i en vandprøve, er det ofte tegn på, at der ikke er dioxygen nok i vandet. Nitrit er et giftstof for dyr, der lever i vand. I fiskevand med gydning må indholdet af nitrit ikke overstige 0,1 mg NO2–/L, og i laksevand må nitrit ikke overstige 0,03 mg NO2–/L. (Kilde: I.C. Petersen Naturundersøgelser 1. De ferske vande, Nucleus, 1995, 1. udgave, 1.oplag). Nitrit kan ved en kemisk reaktion danne et rødt farvestof, og derfor vælges at benytte spektrofotometri som kemisk metode. I tabellen kan ses de målte værdier for sammenhængen mellem absorbans og indholdet af nitrit (i mg/L) i standardprøverne: Koncentration af nitrit (mg NO2–/L)

0,092

0,184

0,276

0,368

0,460

0,552

Absorbans

0,103

0,198

0,304

0,404

0,503

0,607

Modellen bør følge Lambert-Beers lov, hvilket betyder, at der er proportionalitet mellem koncentration af nitrit, som betegnes x, og absorbansen, som betegnes y. Opgaven går derfor ud på at bestemme det tal k, der giver den bedste proportionalitet: y = k · x.

a) Hvis værktøjsprogrammet har en facilitet, der kan give den bedste rette linje, som går gennem (0,0), så anvend den. Ellers udfør lineær regression. I begge tilfælde noterer vi os hældningskoefficienten til den rette linje.   b) Opskriv de to datasæt som vektorer, x og y. Hvilken dimension har vektorrummet?

Det tal k, der giver den bedste proportionalitet, må være det tal, der minimerer læng  den af vektoren y − k ⋅ x. Dette tal vil vi nu bestemme.

c) Definer: v ( k ) = variationen ( k ) =

sum((y − k ⋅ x ) ) 6

Vis, at v(k) = 0,12837 · k2 – 0,2816 · k + 0,15448

d) Tegn grafen for v(k), og bestem grafisk, hvor v(k) har minimum.

e) Bestem ved beregning, hvor andengradspolynomiet v(k) har minimum. Drag en foreløbig konklusion ved at sammenligne med resultatet fra punkt a).

2 1  f) A rgumenter for, at v ( k ) = ⋅ ( y − k ⋅ x ) og vis ved anvendelse af vektorregning, 6 at:     v(k ) = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + 1 ⋅ y 2 6 6 6     = x2 ⋅ k2 − 2⋅ x ⋅ y ⋅ k + y2 (opgaven fortsættes)

154

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 154

25/08/14 11.18

9. Regressionsmodeller

g) Vis, at den k-værdi, der giver den bedste proportionalitet er k* =

  x⋅y 2 x

  x⋅y ved at sammenligne med de tidligere resul h) U dregn værdien af k* , =ogkonkluder 2 x tater.

Opgave 9.8 (Den bedste rette linje) Tabellen viser sammenhørende værdier af trykket P, målt i Pa, og temperaturen t, målt i ºC. t P

5,0

10,1

29,9

40,0

70,2

90,1

231,1

235,1

251,1

260,2

285,1

301,5

a) Plot datasættet i et koordinatsystem.

b) Bestem middelværdierne = P .− a ⋅ t b = P − a ⋅ t bog

c) Gennemfør regression med et værktøjsprogram, og undersøg om tyngdepunktet ligger på regressionsgrafen.

d) Bestem variansen af temperaturen t: var( t ) = ( t − t )2 .

e) Bestem covariansen af temperatur og tryk: cov( t, P ) = ( t − t ) ⋅ ( P − P ).

f) B estem parametrene a og b med brug af formlerne for bedste rette linje: cov( t, P ) b = P − a⋅ t a= var( t )

og sammenlign med værktøjsprogrammets regressionsfomel.

Opgave 9.9 (Behandling af datamaterialet i opgave 9.8 ved hjælp af metoderne i lineær algebra) a) Opskriv de to datasæt på vektorform, = P ,−samt a ⋅ t diagonalvektoren b = P − a ⋅ t bog    e = x − t ⋅ d = (1,1,...,1). Hvilken dimension har vektorrummet?     b) Vis, at td = t ⋅ d og Pd = P ⋅ d.    c) I ndsæt tabelværdierne, og bestem normalprojektionerne t⊥ = t − td og    P⊥ = P − Pd .

d) K ombiner b) og c), og argumenter teoretisk for, at     1 t ⋅ P⊥ = cov( t , P ), samt at n1 ⋅ t⊥ 2 = var( t ). n ⊥     e) Bestem tallene t⊥ 2, P⊥ 2 og t⊥ ⋅ P⊥.

(opgaven fortsættes)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 155

155 25/08/14 11.18

f) A rgumenter for, at den bedste rette linje er den linje y = a · x + b, der minimerer     længden af vektoren z = P − a ⋅ x − b, hvilket er ensbetydende med at minimere 2 z .

g) Vis, at 2 z = 15667,07 ⋅ a2 + 490,6 ⋅ a ⋅ b − 137250,14 ⋅ a + 6 ⋅ b2 − 3128,2 ⋅ b + 411618,73 2 h) V is, at hvis z betragtes som et andengradspolynomium i b, så optræder minimum for en given værdi af a, når:

b = 260,6833 – 40,8833 · a

2 i) I ndsæt dette udtryk for b, og opskriv z som et andengradspolynomium i a: 2 z = A · a2 + B · a + C

j) V is, at koefficienterne A, B, og C i overensstemmelse med den teoretiske gennemgang i grundbogen svarer til værdierne, vi fandt i e):     A = t⊥ 2, B = 2 ⋅ t⊥ ⋅ P⊥, C = P⊥ 2

k) Bestem korrelationskoefficienten r, og giv en geometrisk tolkning af dette tal som en vinkel i vektorrummet.

(Baseret på opgave fra de vejledende eksamensopgaver stx A-niveau)

9.3 – 9.4 K valiteten af en lineær regression hypotesetest Opgave 9.10 Vi vil undersøge, om der er en lineær sammenhæng mellem vægt og kondital. Udgangspunktet er U18 landsholdets data, men disse data kan udskiftes med klassens egne.

156

vægt

83,5

88,1

83,4

90,2

89,5

68,8

97,0

91,7

83,6

90,2

116,0

kondital

57,5

47,2

57,6

48,5

50,8

59,6

49,0

55,9

56,8

49,9

55,0

vægt

71,7

77,7

88,1

85,0

75,0 105,4

82,2

101,7

75,1 108,4

90,0

kondital

56,1

55,5

56,3

51,9

54,8

57,7

49,5

57,8

60,5

42,7

43,7

a) Afsæt dataværdierne i et koordinatsystem med kondital som den afhængige variabel y og vægten som den uafhængige variabel x.

b) Gennemfør lineær regression med værktøjsprogrammet og vis at regressionsformlen giver: y = –0,2565x + 76,028.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 156

25/08/14 11.18

9. Regressionsmodeller

c) Beregn selv formlen for den bedste rette linje, og kontroller du får samme resultat.

d) B eregn korrelationskoefficienten r = programmets beregning.

e) Afsæt tyngdepunktet T ( x , y ) i koordinatsystemet, og kontroller, at det ligger på regressionslinjen.

cov( x , y ) , σ ( x ) ⋅σ ( y)

og sammenlign med værktøjs-

Selvom den lineære sammenhæng langt fra fortæller om en eksakt sammenhæng, er der dog en tydelig tendens. Denne vil vi nu undersøge nærmere, idet vi vil gennemføre en eksperimentel undersøgelse af nulhypotesen: Der er ingen sammenhæng mellem vægt og kondital, dvs vi antager hældningskoefficienten er 0, og at vores observationer kan forklares som tilfældige udsving.

H old kolonnen med kondital fast og gennemfør en ”omrøring” af værdierne i kolonnen med vægt, dvs vi tager de 22 værdier, blander dem og lægger dem tilbage igen. Derefter beregnes hældningskoefficienten for den bedste lineære sammenhæng mellem de simulerede vægte og konditallene. Anvend formlen for bedste ”a-tal”.

g) Histogrammet viser, at denne fordeling ikke giver anledning til en sammenligning med en normalfordeling, da fordelingen tydeligvis er meget skæv. Dette bekræftes også af et standard normalfordelingsplot. Hvis jeres egne data gør det, så gå frem som i svaret til opgave 9.1. 8

x = 88,2864

Hyppighed

0 60

100

110

120

z-score

Vægt 2

µ + 2σ

µ+σ

–1

µ–σ

x – 88,2864 11,9098

µ – 2σ

–2 60

90 Vægt

100

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 157

110

(opgaven fortsættes)

157 25/08/14 11.18

h) U ndersøg for din egen simulering, hvor mange værdier, der er lig med eller lavere end den observerede værdi på –0,2565. Hvad er din konklusion vedr nulhypotesen?

Vi kan vælge et histogram som grafisk repræsentation og tilnærme dette med en normalfordeling. Dertil skal vi estimere middelværdi og spredning. Hvordan vil du estimere disse værdier ud fra dine simulerede værdier? Resultatet kan se således ud: µ – 2σ

µ + 2σ

Hyppighed

160

120

Observeret hældningstal a

200

0 –0,4

–0,3

–0,2

–0,1 0 0,1 Simulerede hældningstal a

0,2

0,3

0,4

(Da estimeringen foretages på basis af simuleringen vil de konkrete værdier være en anelse forskellige for hvert eksperiment)

i) U ndersøg nulhypotesen ved hjælp af et normalfordelingstest med brug af den normalfordeling, du er nået frem til. I et normalfordelingstest undersøger vi, hvordan den observerede værdi ligger i forhold til middelværdi ± 2 spredninger. Disse grænser giver os de kritiske værdier, der adskiller acceptområdet fra forkastelsesområdet. Bestem de kritiske værdier. Hvad er konklusionen?

9.5 og 9.7: M ultilineær og ikke-lineær regression Opgaver inden for disse emner indgår i projekter i tilknytning til kapitel 9.

158

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_9.indd 158

25/08/14 11.18

Facitliste Kapitel 1 1.1 Uendelighed – de rationale og de reelle tal Opgave1.1 a) Efter 5-tallet kan der tilføjes uendeligt antal nuller. 11

= 0,90, = 1,4, = 0,714285 b) 5 7 10 c) Når der divideres med 7, vil perioden være på højest 6.

Opgave 1.2 a) 0,2352941176470588 Der er en periode på højst 16, når vi dividerer med 17. b) Der vil være en periode på maksimalt 810 tegn c) Brøken q1 vil have en periode på højest q–1. Når der ganges med p, vil periodens længde forblive uændret. I nogle tilfælde vil den uendelige, periodiske brøk kunne skrives som en endelig decimalbrøk.

Opgave1.3 a) 1)

2340 9990

8669 990

b) 0,13579111315 som ovenfor blot med ulige tal 0,2468101214 som ovenfor blot med lige tal 0,14710131619 hvert 3. tal, startende med 1

Opgave 1.5 I hvert trin halveres intervallængden. Derved får vi en intervalruse: [a;b], [a1;b1], [a2;b2], [a3 ;b3], ..., [an;bn], ... og aksiomet om konstruktionen af de reelle tal giver da, at der på bunden af denne ruse ligger ét reelt tal x*, som vi naturligt nok kalder fortætningspunktet. Hvis x* lå udenfor [a;b], ville der være en afstand til det nærmeste intervalendepunkt på d – dette ville ikke være tilfældet, hvis intervallet var åbent! Vi kan så bestemme et tal n, så 21n < d. x* ligger i alle intervallerne, specielt det n’te, og dette ligger derfor helt udenfor [a;b]. Men det kan ikke passe, da det n’te interval som alle intervallerne har endepunkter fra talfølgen, og talfølgen ligger helt inde i [a;b], dvs. det n’te interval ligger også helt inden for [a;b]. Så vi får en modstrid og antagelsen, at x* ligger udenfor [a;b] er forkert.

1.2 K ontinuitet, grænseværdi og kontinuerte funktioner

47089 900

b) Find det tal (10’er potens) q, som kan ganges med decimalbrøken, så perioden starter lige efter kommaet. Gang desuden tallet q med 10perioden, så du får tallet p. Tallet p – q vil være et helt tal, da begge tal har samme periode, og perioden starter lige efter kommaet. Der kan nu opstilles en ligning som i ovenstående spørgsmål.

Opgave 1.6 a) 0 e) 1

b) 2 f) 3

( x − x0 ) ( x − x0 )

( x − x0 ) x 2 x , ( x − x 0 )2

Opgave 1.8

a) Systemet i decimalerne er 0, 1, 2, 3, …, 9, 10, 11, 12, altså ingen periode.

Nej

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 159

d) –7 h) 8

Opgave 1.7

Opgave 1.4

Hvad er matematik? A, opgavebog

c) 0 og –2 g) 1

159 25/08/14 11.22

Opgave 1.9

e) 0 < | x – 3| < 52⋅ ε Ja f) U dnyt: x3 – 8 = 3 Opgave 1.10 x − 8 = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 2 x + 4) ≤ ( x − 2) ⋅ (32 + 2 ⋅ 3 + 4) = 19 ⋅ ( x − 2) Nej x 3 − 8 = ( x − 2) ⋅ ( x 2 + 2 x + 4) ≤ ( x − 2) ⋅ (32 + 2 ⋅ 3 + 4) = 19 ⋅ ( x − 2) , ε så 0 < | x – 2| < 19

Opgave 1.11

Opgave 1.18

c=2

Opgave 1.12 a = 5 og b = 3

Opgave 1.13 a) Da f har en grænseværdi for x → –3, må denne ifølge første gren være –3 – 3 = –6. Grænseværdien er ifølge tredje gren 9a – 4, 2 så a = − 9. b) b = –6

Til ethvert e findes et d, så |x – a| < d medfører, at |f(x) – L| < e og tilsvarende |f(x) – M| < e. Antag, at L og M er forskellige. Vælg så et e mindre end den halve afstand mellem L og M. Når |x – a| < d, skal f(x) både ligge i intervallet om L og i intervallet om M. Men det er umuligt. Så antagelsen, at L og M er forskellige, må være forkert.

Opgave 1.19 a)

y 1

Grænseværdien fra højre = f(1) = 2. 2 Da xx −−11 = x + 1 er grænseværdien fra venstre = 1 + 1 = 2. Konklusion: Der er en grænseværdi, og denne er lig funktionsværdien, altså er f kontinuert.

0,5

0 –5

–4

–3

–2

–1 0

Vm(f) = ]0;1]

Opgave 1.14

Dm(f) =  y

b) 5

Opgave 1.15

a) 3 b) 3

Opgave 1.16 a) b) c) d) e) f)

1 x

0 0

Dm(f) = [0;5]

Opgave 1.17 b) 0 < | x – 2| <

Vm(f) = [0;5]

δ = 0,01 δ = 0,02995 δ = 0,333 δ = 0,015 δ = 0,048 δ = 0,0099

a) 0 < | x – 2| <

ε 3

ε 2

c) 0 < | x – 2| < e

d) 0 < | x – 1| < e

y 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

f x

0 1

Vm(f) = ]–1;5[

2 3 4 5

Dm(f) = ]0;5[

160

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 160

25/08/14 11.22

Facitliste

y 2

Vm(f) = [0;5[

Vm(f) = [0;2] f

0 0

x 4

Dm(f) = [0;5[

1 x

d) P røv selv at eksperimentere med funktionen f ( x ) = 0,2 x ⋅ sin  5 −1 x  + 1. Graferne for de to Dm(f) = ]0;5[ lineære funktioner f1(x) = 0,2x + 1 og f2(x) = –0,2x + 1 kan opfattes som styrelinjer. Opgave 1.20 Som udgangspunkt er grafvinduet a) [0;5] x [0;2]. Vælg så fx [4.9;5] x [0;2], og y fortsæt selv. Du vil iagttage kaotiske fæno2 mener, fordi den skridtlængde tallet x bevæf Vm(f) = [0;2[ 1 ger sig med hen mod tallet 5 giver længere 50 0 x ⋅ sin  1  f ( x ) = skridt og længere 5 − x for 5 − x , der går mod 0 1 2 3 4 5 uendelig. Derfor bliver det i graftegningsprogrammet tilfældigt, hvilke værdier vi lige Dm(f) = [0;5[ rammer. Da sinus svinger mellem –1 og +1, b) Prøv selv at eksperimentere med grafvinduet vil grafen holde sig indenfor de to styrelinjer, 50  1  , idet du = ⋅ sin  1  f ( x ) for funktionen f ( x ) = 550 ⋅ sin  5 − x 5 − xog da 5 − x giver uendeligt mange perioder −x som udgangspunkt vælger [0;5] x [–100;100]. for sinus, når x nærmer sig 5, vil grafen fange Vælg så fx [4.9;5] x [–1000;1000], og fortalle reelle tal mellem 0 og 2, men uden at 50 sæt selv. Da 5 − x → ∞, når x nærmer sig 5 ramme disse to. 50  1  y ⋅ f ( xog ) = +1, sin og sinus svinger mellem –1 og da  5 − x 5− x 2 giver uendeligt mange perioder for sinus, når x nærmer sig 5, vil grafen fange alle reelle f Vm(f) = ]0;2[ 1 tal. 0

100

Dm(f) = [0;5[

60 40 20 x

Vm(f) = 

–20 –40 –60 –80 –100 Dm(f) = [0;5[

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 161

161 25/08/14 11.22

1.3 Hovedsætning om kontinuerte funktioner

Opgave 1.21 Begge funktioner er kontinuerte a) y

Opgave 1.22

y = x2 0,008 0,006 0,004 0,002 x –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 –0,002

Opgave 1.23

–0,004 –0,006

f(–4) = –3, f(–3) = 19, f(1) = –13 og f(4) = 5 Grafen må altså skære x-aksen 3 gange, da f(x) er kontinuert, og derfor er der mindst 3 løsninger i intervallet.

y = –x2

–0,008

 2 1  x ⋅ sin( x ) f( x) =  0

for

x≠0

Opgave 1.24

for x = 0

f(0) = –1, f(1) = 1 og funktionen er kontinuert. Sætningen om mellemliggende værdier (1. hovedsætning) siger da, at der er mindst et nulpunkt mellem x = 0 og x = 1. Bemærk: Det er samme argument i de følgende opgaver.

a) g(0) – f(0) = –1 og g(2) – f(2) = e2. Altså er der mindst en løsning i intervallet. b) g(1) – f(1) = e – 1 > 0 . Derfor er der en løsning i intervallet [0;1].

y 0,008

Opgave 1.25

0,006

g(0) – f(0) =1 og g( 2 ) – f( 2 ) = 2 – p < 0 . Altså er der mindst en løsning i intervallet.

0,004 0,002 x –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 –0,002 –0,004

y = –x3

–0,008

 3 1  x ⋅ sin( x ) f( x) =  0

for

g(1) – f(1) =1 og g(2) – f(2) = ln(2) – 2 < 0. Altså er der mindst en løsning i intervallet.

Opgave 1.27

–0,006 y = x3

Opgave 1.26

g(a) – h(a) < 0 og g(b) – h(b) > 0. Derfor er der mindst en skæring i x = c mellem de to funktioner.

x≠0

for x = 0

Opgave 1.28 Der må ikke divideres med 0, så definitionsmængden er \{0}. Rødder: x = –2 og x = 1 x f(x)

162

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 162

–2 –

0 +

1 –

25/08/14 11.22

Facitliste

Funktionen kan kun skifte fortegn, hvor der er et nulpunkt, eller hvor der er et hul i definitionsmængden. Derfor er løsningen til f(x) < 0 L = ]–∞;–2[ ∪ ]0;1[.

Opgave 1.29 Vi tegner en fortegnslinje, hvor vi afsætter nulpunkter, samt tal der ikke er med i definitionsmængden Fortegnslinje: x

–2

–1 0

–

+ +

Tæller

Nævner

–

– 0

f( x )

–

Opgave 2.2 f ′( x) = 6x2 – 2x + 3

Opgave 2.3 f ′( x) = g(x) (g(x) er positiv, når f(x) er voksende, og g(x) er negativ, når f(x) er aftagende).

Opgave 2.4 A er f(x) og B er f ′( x). A’s hældning bliver mindre og mindre, hvorfor B (f ′( x)) nærmer sig førsteaksen.

Opgave 2.5

Funktionen kan kun skifte fortegn, hvor der er et nulpunkt, eller hvor der er et hul i definitionsmængden. Derfor er løsningen til f(x) < 0 L = ]–2;–1[ ∪ ]1;2[.

Opgave 1.30 a+b

f(a) = a og f(b) = b. 2 er et tal mellem a og b. Derfor giver 2. hovedsætning, at denne værdi antages på et eller andet tidspunkt i intervallet.

Opgave 1.31 g(0) = f(0) ≥ 0 og g(1) = f(1) – 1 ≤ 0. Hvis der gælder lighedstegn et af stederne, så er pågældende tal et fikspunkt. Hvis ikke, dvs. hvis der gælder skarpe ulighedstegn, så er g(0) > 0 og g(1) < 0. Derfor har g(x) en rod c mellem x = 0 og x = 1. Der gælder altså, at g(c) = f(c) – c = 0 og dermed fås f(c) = c.

g(x) = f ′( x) (g(x) er positiv, når f(x) er voksende, og g(x) er negativ, når f(x) er aftagende).

Opgave 2.6 g(x) = f ′( x) (g(x) er positiv, når f(x) er voksende, og g(x) er negativ, når f(x) er aftagende).

Opgave 2.7 Grafen for f skærer 2. aksen i 4 og 1. aksen i ca. –1,3. Derfor er grafens hældning mindre end 4, så derfor er f ′( x) = h(x).

Opgave 2.8 a) f (2) = 4 og f ′(2) = 13. Funktionen er voksende i x = 2. Tangentens hældning i x = 2 er 13. b) f(2) = –23 og f(2) = –24. Funktionen er aftagende i x = 2. Tangentens hældning i x = 2 er –24.

Opgave 2.9 y 10 8 6 4 2 0 –2 –4 –2 –4

Kapitel 2 2.2 D ifferentiabilitet og tangenter til grafer

Vm(f) = [–3;10] x

01 2 3 4 5 6 7 8 Dm(f) = [–2;8]

Opgave 2.1 Tangent tegnes i t = 50. Hældningskoefficienten aflæses til 1. Dvs. væksthastigheden er 1.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 163

163 25/08/14 11.22

Opgave 2.10

Opgave 2.15

a = 2, b = –2, c = 1

8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –2

Opgave 2.16

f Vm(f) = [1;8]

x = 1: y = –x – 2 x = 31 : y = –x – 50 27

Opgave 2.17 x = 2 : y = (3 – 2 2 )x (afrundet y = 0,1716x) x = – 2 : y = (3 + 2 2 )x (afrundet y = 5,8284x)

x 01 2 3

5 6 7 8

Dm(f) = [–2;8]

Opgave 2.18 m: y = 24x – 120

Opgave 2.11

x + 165 (afrundet y = –4,125x + 20,625) l: y = – 33 8 8 Førstekoordinaten til røringspunktet for l er 45.

y 30

Opgave 2.19

20 (–1,10)

Linjens hældning, som er –2 skal være identisk med hældningskoefficienten for funktionen i x = 1. Derfor er f ′(1) = –2. Da l er tangent til grafen for f(x) i (1, f(1)), skal begge have samme y-værdi, når x = 1: y = –2 ⋅ 1 + 1 = –1. Derfor er f(1) = –1. b = –4 og c = 2

10 x

–3

–2

–1 0 –10

(2,–9)

–20 –30

Opgave 2.20

Dm(f) = ]–3;4[

Opgave 2.12

15 16

y = 2x −

9 2

Opgave 2.22

(0,5)

a=6

4 f

x –2

1 2

Opgave 2.21

0 1

9 (10,–1)

–4

Opgave 2.13 b = –6 og c = 3

Opgave 2.14

Opgave 2.23 b = 15

Opgave 2.24 a) h1 er kontinuert, men ikke differentiabel. b) h2 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel. c) h 3 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel. d) h4 er kontinuert og differentiabel.

a = 2, b = –3, c = 1

164

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 164

25/08/14 11.22

Facitliste

Opgave 2.25

c) Det grafiske billede:

a) a = 6 og b = -9 b) a = –7 og b = 5 c) a = 3, b = 1 og c = –2

y = x2 0,008 0,006

Opgave 2.26

0,004

a) Det grafiske billede:

0,002

y=1

1,0

–0,08 –0,06 –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08 –0,002

0,8 0,6

–0,004

0,4

–0,006

0,2 –0,08 –0,06 –0,04 –0,02

x 0 0,02 0,04 0,06 0,08

–0,4

–0,8

 2 1  x ⋅ sin( x ) f( x) =  0

–1,0

f3 er kontinuert.

–0,6

y = –1

 1 sin( x ) f( x) =  0

x≠0

for x = 0

x=0

for

d) Det grafiske billede:

x≠0

for

y = –x2

–0,008

f1 er ikke kontinuert.

0,008 0,006

b) Det grafiske billede:

0,004 y 0,002 x

0,008 –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 0 0,02 0,04 0,06 0,08

0,006 0,004

–0,004

0,002 x –0,08 –0,06 –0,04 –0,02 –0,002

0 0,02 0,04 0,06 0,08

–0,006 –0,008 y = –x

 1  x ⋅ sin( x ) f( x) =  0

for for

y = –x3

–0,008

 3 1  x ⋅ sin( x ) f( x) =  0

–0,004

y=x

–0,006 y = x3

for

x≠0

for x = 0

f4 er kontinuert.

x≠0 x=0

f2 er kontinuert.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 165

165 25/08/14 11.22

Opgave 2.27

e) j ′(x) =

a) f1 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel. b) f2 er ikke differentiabel. Sekanthældningen vil svinge mellem –1 og 1 afhængig af valgte punkter. c) f3 er differentiabel – sekanthældningen konvergerer mod 0. d) f 4 er differentiabel – sekanthældningen konvergerer mod 0.

f) k ′(x) = –2psin(2px + 3)

3 2 (3 x + 7)

Opgave 2.30

Indre og en ydre funktion: a) Indre: cos(x) + sin(x) ydre: x2 4 b) Indre: x + 9 ydre: 3ln(x) c) I ndre: 2 x + 1, som igen er en sammensat funktion med indre: 2x + 1 og ydre: x ydre: cos(x) Opgave 2.28 d) Indre: 2 + sin(x) ydre: x 4 3 a) + 5 ydre: e) Indre: x 1 1 2 x ⋅ sin x − cos x for x ≠ 0 x  2 2 f) E nten anvendes: cos (x) + sin (x) = 1. f3′ ( x ) =  0 for x = 0 Ellers ses det som to sammensatte funk 1 1  2 x ⋅ sin x − cos x for x ≠ 0 ′ f3 ( x ) =er ikke kontinuert, fordi andet led ikke tioner, som lægges sammen med indre  konvergerer mod00, når x går for modx0.= 0 på henholdsvis cos(x) og sin(x). Den ydre b) funktion til begge er x2. 2 1 1 3 x ⋅ sin − x ⋅ cos x for x ≠ 0 x  ydre: x–2 g) Indre: x2 + 2x f4′ ( x ) =  x=0 h) S ammensat indsat i sammensat. 3 x 2 ⋅ sin 1 0− x ⋅ cos 1 for for x ≠ 0 x x  – 25) 2 ′ 2 konverf4 ( x ) =erkontinuert, fordi beggeled : Først: e≠(0,25x 1 1 ⋅ − ⋅ 3 x sin x cos for x 0 x  for x =x0 0 f ′(0). 2  0, dvs. mod = ( x ) og ydre ex. gerer med indre: (0,25x – 25)  4 0 for x = 0  Dernæst (0,25x – 25)2: indre: 0,25x – 25 og ydre: x2.

()

2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritmeog potensfunktioner

()

2. De afledede funktioner: a) f ′( x) = 2(cos(x) + sin(x)) ⋅ (–sin(x) + cos(x))

b) g ′( x) =

12 x 3 x4 + 9

c) h ′( x) =

− sin

d) i ′( x) =

e) j ′( x) =

f) k ′( x) = 0

g) l ′( x) = –2(2x + 2) ⋅ (x2 + 2x) –3

h) 0,5(0,25x – 25)e(0,25x – 25)

Opgave 2.29 1. Indre og ydre funktion: a) Indre: 3x + 2 ydre: x5

b) Indre: 9x + 2

ydre: 4x7

c) Indre: 2x – 3

ydre: x8

d) Indre: 3x + 7

ydre:

e) Indre: 3x + 7

ydre:

f) Indre: 2px + 3

ydre: cos(x)

x 1 x

2. De afledede funktioner:

a) f ′( x) = 15(3x + 2)4

b) g ′(x) = 252(9x + 2)6

c) h ′(x) = 16(2x – 3)7 3 d) i ′(x) = 2 3x + 7

166

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 166

(

)

2x + 1

2x + 1 cos( x ) 2 2 + sin( x) 12 x 3

(x + 5)

Opgave 2.31 a) y = 0,733x + 1,954 b) f(x) er voksende i ]–∞;0.625[ og aftagende i [0.625;∞[.

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 2.32

Opgave 2.38

f ′( x) = 0 har løsningen x = 1. f ′(0) = 2e og f ′(2) = –2e, så der er maksimum i x = 1.

a) Det grafiske billede: Deceleration i m/s2

Opgave 2.33 f ′(1) =

(92.91,98.26)

100

14 3

Opgave 2.34

f ′( x) = 0 har løsningen x = 1. f ′(0,5) = 1 og f ′(2) = –0,5, så der er maksimum i x = 1.

f(x) er voksende i ]0;1] og aftagende i [1;∞[.

Opgave 2.35

20 Tid i ms

0 20

100 120 140

y = 10,2x – 24,391 Den maksimale deceleration er a(92,91) = 98,26 m/s2.

Opgave 2.36 a) f(0) = 3600 og T1/2 = 4,40 b) –0,1454 svarende til –14,54% c) f ′(5) = –257,9. I år 2007 falder antallet af tigre med 258 styk.

Opgave 2.37

Opgave 2.39

a) Det grafiske billede:

a) f ′( x) = 2 x x +

Højde i meter (300,2500)

2500

2 x

c) h ′(x) = –sin(x) ⋅ (1 – x) – cos(x) d) k ′(x) =

(200,1500)

1500

3x2 x

−

x3 − 5 x2

= 3x −

x3 − 5 x2

Opgave 2.40

1000

b) g ′(x) = 3x2 ⋅ ex + x3 ⋅ ex

2000

500

2.4 Regneregler for differentiation – produktregel og brøkregel

y = 15,7 ⋅ x – 1641,6 (100,500)

Tid i minutter

50 100 150 200 250 300 350

a) y = 3e2 ⋅ x – 2e2 b) f(x) er aftagende i ]–∞;– 21] og voksende i [– 21 ;∞[.

Den minimale højde er 500 m. Den maksimale højde er 2500 m. b) f ′(200) = 15,7. Dvs. i det 200. minut stiger ballonen med 15,7 m.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 167

167 25/08/14 11.23

Opgave 2.41

Opgave 2.46 Værdierne af k findes ved at løse f ′( x) = 0: x = 1 og x = 5 er de to søgte værdier af tallet k, se grafen.

a) Det grafiske bilede: 2

f(x) = (1 – x ) ⋅ e

y 1,5

f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 1

(0.41,1.25)

0,5

–6

–5

–4

–3

–2

(1,0)

f ′( x)

–

–1

(3,1) x

0 1

2 1

k –

Tangentens ligning: y = –2e ⋅ x + 2e

Antal løsninger

Opgave 2.47

b) f (x) er aftagende i ]–∞;–0.414] og i [0.414;∞[ samt voksende i [–0.414;0.414].

a = – 21 og b =

Opgave 2.42 a) x = 1 og x = 2 b) y = –7x + 7

f ′( x) = ex + 7. ex er altid positiv, og derfor er f ′( x) > 0 for alle x-værdier. Derfor er f(x) voksende.

Opgave 2.43

Opgave 2.49

a) y = –2x – 2 b) f ′( x) = 0 har løsningen x = 1,573. f ′(1) = –2 og f ′(2) = 1,77 dvs. f er aftagende i ]0;1,573] og voksende i [1,573;∞[.

f(x) er voksende i ]–∞;–1], aftagende i [–1;2] og voksende i [2;∞[.

Opgave 2.44 C ′(72) = 1580,0 kg. Dvs. ifølge modellen vil CO2-udledningen pr. person i 2012 stige med 1580,0 kg.

2.5 H ovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold Opgave 2.45 f(x) er aftagende i [–3;–2], voksende i [–2;3], aftagende i [3;5] og voksende i [5;6].

168

0.41 +

y=1

–1

–2.41

(1,5)

–1,5 x

y=5

–0,5

–2.14,0.43)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 168

3 2

Opgave 2.48

Opgave 2.50 f(x) er voksende i ]–∞;–3], aftagende i [–3;1] og voksende i [1;∞[.

Opgave 2.51 f(x) er voksende i ]–∞;–1,414], aftagende i [–1,414;1,414] og voksende i [1,414;∞[. f har lokalt maksimum i x = –1,414 med værdi f(–1,414) = 2,886, og lokalt minimum i x = 1,414 med værdi f(1,414) = –0,886. f(x) er et tredjegradspolynomium, hvor de to lokale ekstrema ligger på hver sin side af x-aksen. Derfor må f(x) have 3 nulpunkter. 1 3 x – 2x + 1 = 0 har løsningerne x = –2,669, 3 x = 0,524 og x = 2,145.

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 2.51 B f(0) = –4 og f(2) = 12. Sætningen om mellemliggende værdier giver da, at der eksisterer et nulpunkt i intervallet [0;2].

b) f (x) er voksende i ]–∞;–3], aftagende i [–3;–1] og voksende i [–1;∞[. c) y = 24x – 8. b = 26 og c = –9

Opgave 2.52

Opgave 2.57

a) y = 4x – 6 b) f(x) er voksende i ]–∞;–3] og aftagende i [3;∞[.

a) y = –10,667x – 13,930 b) f(x) er aftagende i ]0;5] og voksende i [5;∞[. c) x0 = 2,4182

Opgave 2.53

Opgave 2.58

a) y = 21x – 22 b) f ′(2) = 0. Da f ′(1) = 21 og f ′(3) = –19, har f maksimum i x = 2.

f ′( x) = 12x3 – 24x2 – 60x + 72 f har lokalt minimum i x = –2 med værdi f(–2) = –125, lokalt maksimum med værdi f(1) = 64 og lokalt minimum i x = 3 med værdi f(3) = 0.

Opgave 2.54 a) y = 20x – 40 b) f(x) er aftagende i ]–∞;–1.225], voksende i [–1.225;0], aftagende i [0;1.225] og voksende i [1.225;∞[.

For c = 2 er f ′( 2 ) lig hældningen mellem punkterne.

Opgave 2.55

Opgave 2.60

a) x = –2,806, x = –0,356, x = 0,356 og x = 2,806 b) y = 60x – 170 c) f(x) er aftagende i ]–∞;–2], voksende i [–2;0], aftagende i [0;2] og voksende i [2;∞[.

To mulige c-værdier: c =

Opgave 2.56 a) Det grafiske billede: f(x) = x3 – 6x2 + 9x

–4

–3

–2

f ′( x)

–3 +

y (b,b2)

a sekant = a + b

–4

(a,a2)

a tangent = a + b

–1 –

Nulpunkter: x = –3 og x = 0.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 169

–8 x

2 3

–1

(–1,–4)

a+b 2

f(x) = x2

(0,0)

eller c = –

a) De to endepunkter, der er i spil, er (a, a2) og (b, b2). Når disse indsættes i middelværdisætning, fås påstanden. b) Udnyt kvadratsætningen b2 – a2 = (b – a) ⋅ (b + a) c) f ′( x) = 2x så f ′(c) = 2c = a + b. d)

2 3

Opgave 2.61

Dermed er c =

(–3,0)

Opgave 2.59

x a

a+b 2

169 25/08/14 11.23

Opgave 2.62

2 1+ c

sin(c) =

− sin( x ) | y−x

1+ x − 1 1 = . x 1+ c 2 1+ x − 1 1 = 0, bliver x 0 < 1 + c < 1, så 2 1+ x − 1 1 =< 1. x 1+ c 2

der at

b) c os ′( x) = –sin(x). Bevises ellers efter samme metode som ovenstående. c) H vis vi benytter y = 0, fås |sin(x) – sin(0)| = |sin(x) – 0| ≤ |x – 0| = |x|. Hvis x > 0, fås resultatet.

der gæl-

2.6 G rafers krumning og den anden afledede (supplerende stof)

Når x ≥ 0, kan vi uden problemer gange med 1+ x − 1 1 = x 1 + c sider i uligheden og efterfølgenpå begge 2 de lægge 1 til. Dermed fås

x 2

1+ x < 1+ .

Opgave 2.66

Når –1 ≤ x < 0, vil c ligge i samme interval og 1+ x − 1 1 dermed er= 1 + c x 2 1+ x − 1 1 => 1. Da x x 1+ c 2

hedstegnet, når der som før ganges med 1+ x − 1 <

x 2

Dermed fås igen

x 2:

1 . x+2

−1

f(x) = ln(x)

1 1+ c 1

x 2

1+ x < 1+ . –1

Opgave 2.64 f ′( x) =

a) f ″(x) = − 12 , ingen vendepunkter. x f ″(x) er altid negativ, dvs. grafen er nedad hul.

> 1, da 0 < 1 + c < 1. Dvs. er negativ, vendes ulig1+ x

≤ 1. Ved at sætte numerisk

med |y – x| fås påstanden.

x −0

b) Omformer a) til Når x ≥

. Da –1 ≤ sin(c)≤ 1, må

værdi omkring tæller og nævner og gange

f(x) − f (0)

x = 1+ x − 1+ 0 .

2 1+ c

sin ( y ) − sin( x ) y−x

| sin ( y )

Ganger med x på begge sider og indsætter i 1

> 2 . Når der

a) sin ′( x) = cos(x). Ifølge middelværdisætningen findes et tal c mellem x og y, således at

mellem 0 og x, således at:

1 c+2

Opgave 2.65

a) f ′( x) = 2 1+ x Ifølge middelværdisætningen findes et tal c =

> 2 . Dvs.

ganges med x, vendes ulighedstegnet, da x < 0. Dermed fås samme resultat som før.

Opgave 2.63

1 c+2

–2 < x < 0:

Lad g(t) og h(t) angive afstanden, hver af de to fly har tilbagelagt, som funktion af tiden t. Sæt f(t) = h(t) – g(t), hvor t ∈ [0;8]. Da f(0) = f(8) = 0, vil der findes et c, hvor f ′(c) = 0. Men f ′(c) = h ′(c) – g ′(c), så h ′(c) = g ′(c), dvs. til tidspunktet c flyver de med samme hastighed.

–1

Ifølge middelværdisætningen findes

–2

et tal c mellem 0 og x, således at 1 c+2

ln ( x + 2 ) − ln(2) x

x ≥ 0: Da c ≥ 0, gælder ln ( x + 2 ) − ln(2) x

170

≤

1 . 2

1 c+2

≤ 2.

f ″(x)

0 –

S impel omrokering giver påstanden.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 170

25/08/14 11.23

Facitliste

1 b) f ″(x) = − x −1,5, ingen vendepunkter. 4

f ″(x) er altid negativ, dvs. grafen er nedad hul. f(x) = x

d) f ″(x) = 12x2 – 12x, vendepunkter: (0,1) og (1,0). Grafen er opad hul i ]–∞;0], nedad hul i [0;1] og opad hul i [1;∞[. f(x) = x4 – 2x3 + 1

2 1,5

(0,1)

x –1

4 0,5

0 (1,0)

f ″(x)

–

–1

c) f ″(x) = 48x, vendepunkt: (0,1) Grafen er nedad hul i ]–∞;0], opad hul i [0;∞[. f(x) = 8x3 – 6x + 1

3 (0,1)

0,5

1,5

–0,5

f ″(x)

–

e) f ″(x) = 30x4 – 120x2, vendepunkter: (–2,–96), (0,0) og (2,–96). Grafen er opad hul i ]–∞;–2], nedad hul i [–2;–2] og opad hul i [2;∞[.

–0,5

–1,2 –1 –0,8 –0,6 –0,4 –0,2 –1

f(x) = x6 – 10x4

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

–2 50 x f ″(x)

0 –

–4

–3

–2

–1

–50 –100 (–2,–96)

(2,–96)

–150

x f ″(x)

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 171

–2 +

2 –

171 25/08/14 11.23

f) f ″(x) = 2e –x – 4xe –x + x2e –x, vendepunkter: (0.586,0.191) og (3.414,0.384). Grafen er opad hul i ]–∞;0,586], nedad hul i [0,586;3,414] og opad hul i [3,414;∞[. f(x) = x3 ⋅ e x

b) f ″(x) =

6 ⋅ ( x − 2) x5

vendepunkter (– 2 ,–1.77) og ( 2 ,1.77) Grafen er nedad hul i ]– ∞;– 2 ], opad hul i [– 2 ;0[, nedad hul i ]0; 2 ] og opad hul i [ 2 ;∞[. f(x) =

0,5

3x2–1 x3

(3.414,0.3840)

0,4

(1.41,1.77)

0,3 0,2

(0.586,0.191) 0,1

x x

–1

–3

–2

–1

7 –1

0,586

3,414

f ″(x) +

–

–2

(–1.41,–1.77)

Opgave 2.67 1

+ a) f ″(x) == − , 2 3 ln ( x ) x ln ( x ) x vendepunkt i (e2,3.695) = (7.389,3.695). Grafen er nedad hul i ]0;1[, opad hul i ]1;7,389] og nedad hul i [7,389;∞[.

x f ″(x)

4 3(x

7,389

–

c) f ″(x) =

f(x) = ln(x)

1 − 1 )3

−

2 9

–

( x − 1) 3

vendepunkt i (1.2,0.41). Grafen er nedad hul i [1;1,2] og opad hul i [1,2;∞[.

(7.389,3.695)

f(x) = x ⋅ (x – 1)3

1,2 x –2

1 0,8

–2

0,6 0,4

–4

(1.2,0.41)

0,2 x x

f ″(x)

172

–

0 0,2

7,389 +

–

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 172

0,4

0,6

0,8 x f ″(x)

1,2

1,4

1,2 –

25/08/14 11.23

Facitliste

d) f ″(x) = −

6 4 ( x − 1)

Opgave 2.73

k = 0 eller k = –32

vendepunkter: ingen. Nedad hul i ]–∞;1[ og i ]1;∞[.

Opgave 2.74

x2– 2x f(x) = (x – 1)2

a = –1 og i x = 2 er der et lokalt maksimum.

Opgave 2.75

1,25

63,43°

1 0,75

Opgave 2.76

0,5 0,25 x –5 –4

–3

–2

–1 –0,25

0 1

Opgave 2.77

–0,5

a) h = 902 − x 2 Areal af grundflade er 21 ⋅ 2x ⋅ h, så figurens Rumfang bliver R(x) = x ⋅ h ⋅ 200. Når h indsættes fås R(x) = 200 ⋅ x ⋅ 902 − x 2 . b) x = 63,640

–0,75

f ″(x)

x = –0,794 Tangentligningerne: y = –1,588x – 2,519 og y = –1,588x – 0,630

–

Opgave 2.78 Opgave 2.68 Vendepunkt hvor f ″(x) = 0, dvs. i

a) |AP| =

 ln( c ) , M  .  b 2

ln( c ) M  ln( c ) M  Opad hul i ]–∞; ], og nedad hul i [ ,;∞[. b b 2 2

Opgave 2.69

Opgave 2.71 , Areal =

40 π ⋅r2

18 x

+ x2

Opgave 2.72 Rumfang = b ⋅ l ⋅ h – 9p ⋅ h



pr 2  π

Reducer ved at sætte r 2 udenfor kvadratroden som r, og gange parentesen ud. b) 2,416

2.7 S upplerende opgaver. Modellering og optimering 9

2 3

2 2 π ⋅ r r 2 + ( 2r ) + 2 ⋅ p π ⋅ r ⋅  − r + O(r)= p

B = f(x), C = f ′( x) og D = f ″(x)

Opgave 2.79 Indsætter:

Opgave 2.70

b) Vejpris = 50 x 2 + 402 + 60 x 2 − 92 x + 3205 Billigst, når x = 28,03 km.

a) s = −

C = f(x), A = f ′( x) og B = f ″(x)

2 x 2 + 402 og |PB| = x − 92 x + 3205

Opgave 2.80 a) y = –4x + 8 b) y = (2a – 6)x + 9 – a2 c) S kæring med x-akse: x =

1 3 a+ 2 2

Skæring med y-akse: y = 9 – a2 1 2

1 2

3 2

d) A real = ⋅ ( a + ) ⋅ (9 − a2 ). Sæt

1 3 auden + 2 2

for første parentes og det

ønskede udtryk fremkommer. e) Arealet er maksimalt, når a = 1.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 173

173 25/08/14 11.23

Opgave 2.81 a) 8,66 b) Bestem trekantens højde: h =

O ′(r) = 0 giver r = 2,67 3

Grafen illustrerer, at dette er et minimum.

2 4 Ligningen 1 a⋅ h+⋅ 3x ⋅ y = 1 giver y = . 2 2 3x2 Overfladen: O = 2 ⋅ 1 a⋅ h+⋅ 3x + 3 ⋅ x ⋅ y . 2 2

O(r) = 2p ⋅ r 2 +

240 r

Overfladeareal i dm2

Indsæt h og y, og reducer. c) x = 1,587

250 200

Opgave 2.82 a) h = p ⋅ r + 3, Areal = h ⋅ 2r – p ⋅ r 2 Indsæt det fundne h, og reducer. b) r = 0,318

150 (2.67,134.68)

100 50

Opgave 2.83

Radius i dm

a) Omkreds = 2 ⋅ x + 2 ⋅ y + p ⋅ x 1 3 b) Areal = 2 ⋅ x ⋅ y – pa ⋅+x2. 2 2 Isoler 2y i 2 ⋅ x + 2 ⋅ y + p ⋅ x = 100, indsæt i arealet og få: A(x) = –2x2 + 100x – 1,5 ⋅ p ⋅ x2 = –6,71x2 + 100x

Opgave 2.87

Opgave 2.84

Bestem minimum for forskellen f(x) – g(x): x = 1,802.

a) Volumen = 4r 2 ⋅ h + 1 6

b) h = − r ⋅ π +

5 4r 2

2π 3 r 3

1 2

3 2

+ ⋅ p ⋅ r2 – p ⋅ r2 2(2r)2 + 4h ⋅ 2r + a⋅ 4 Indsæt h, og reducer. c) r = 0,896

Opgave 2.85 200 x2

Overfladeareal =

a) h =

1 2

2 2 2 Overflade = x + 2 hx + hx + x h + x .

Indsæt h, og reducer. b) x = 5,520

Kapitel 3 3.2 I ntegration som den omvendte proces af differentiation Opgave 3.1 a) F(x) = x – x2 + x3 – x6 b) G G(x) ( x ) ==

1 4

1 3 1 2 x + x + 5x 3 2 1 −2 1 9 −1 c) HH(x) x = − x − x − x 2 9 3 2 1 4 x ) ==55ln|x| ln | x | − x + x d)I( I(x) 2 8

x4 −

( )

Opgave 2.86 Radius kaldes r og højden kaldes h. Cylinder-rumfang = p ⋅ r 2 ⋅ h

e) JJ(x) ( x ) == 4e x + 3e− x

Overfladeareal = 2p ⋅ r ⋅ h + 0,5 ⋅ 4 ⋅ p ⋅ r 2

f) KK(x) ( x) =

Isoler h i p ⋅ r 2 ⋅ h = 120,

1 2

1 4

x 2 + e4 x

indsæt i overfladearealet, reducer og få: O(r) = 2p ⋅ r 2 +

174

240 r

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 174

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 3.2 a) FF(x) ( x )==

5 7

Opgave 3.9 x

1,4

4 5

2,5

F(x) = x2 + x + ex + 2

( x ) = x 0,5 + 2 x 1,5 b) G G(x)

Opgave 3.10

3 2

8 3

( x ) ==22ln|x| ln | x | + x c)HH(x)

F(x) = x2 + ln(x) + 2

d) II(x) ( x ) = −2 x −2 − 3e− x

Opgave 3.11

e) J(x) = –5cos(x) – 2sin(x)

F(x) = 2x5 + ln(x) + 23

f) KK(x) cos ( 2 x )++ 8sin(0,5x) 8 sin(0,5 x ) ( x ) = − cos(2x)

Opgave 3.12

3 2

Opgave 3.3

( )

(

( )

)

( x) + x 4 +k

f x 4=x x ln 7x + x = 4 x ln 43x + 7 dx == 3ln dx = 4 x + 7ln x x ++7 xx+dxk ( x x+ 7)dx x

∫ ∫ ∫ 4x + 7 4x 7 ∫ x dx = ∫ x dx + ∫ x dx = 4 x + 7ln x + k

a) b)

∫ ∫ ∫

c) d) e)

−k⋅x k⋅x −k⋅ x 4 x k⋅x 7 e4 x ++7e dx dx = = e dx−+e dx = 4 x + 7ln x + k + k x2 x 2⋅ k x 4x + 7 4x 7 dx+ = dx)dx + = –3cos(x) dx = 4 x + 2sin(2x) 7ln x + + kk (3sin(x) 4cos(2x) x x x 4x + 7 4x x 7 dx== 3 5dx dx = 4 x + 7ln x + k 3 · x5xdx ++k x ln ( 5x)

4x + 7

14 x

)

1 x

+ 4 x 3 = 4 x 3 ln ( x ) + x 3 + 4 x 3

+ 4 x 3 = 4 x 3 ln ( x ) + x 3 + 4 x 3 = 4 x 3 ln ( x ) + 5 x 3 = g( x ) G(x) = f(x) + k

∫ ∫ ∫

Indsættes P, fås G(x) = x4 ⋅ ln(x) + x4 + 12

5 7

F(x) = 31 x3 – x2 – 3x + 11

∫ ∫ ∫

11 dx ==∫ x dx = x4 x+ +k7ln x + k −+ ∫ xx6dx + 25 ∫ (x5x– 5)dx 11x 3

(

' ff ′'( x) ( x )== x 4 ln ( x ) + x 4 ′ = 4 x 3 ln ( x ) + x 4

Opgave 3.13 F(x) = 31 x3 – x2 – 3x + 31 og

Opgave 3.4

Opgave 3.14

Udnyt produktreglen for differentiation: a) ( x ⋅ ln(x) – x) ′ = 1 ⋅ ln(x) + x ⋅ 1x – 1 = ln(x) + 1 – 1 = ln(x) b) ((x ⋅ ln(x)) ′ = 1 ⋅ ln(x) + x ⋅ 1x = ln(x) + 1

F(x) = 41 x4 + 32 x2 + 35 4

Opgave 3.15

a) Grafen A har vandret tangent i x = 3, og hører i øvrigt til en voksende funktion. B er graf Opgave 3.5 for en ikke-negativ funktion, der er 0 i x = 3. ' 1 ′ 1 1 1 1  1 − − − 1 hører F(x)−og −1 −1 Derfor A sammen. 2 1 ln(x) gg' (′(xx)) ==  2 x 2 ⋅ ln x ) − 4 x 2  = ⋅ x 2 ⋅ ln ( x ) + 2 x 2 ⋅ − 2 x 2 = x 2 ⋅ ln ( x ) + 2 x 2 − 2 x 2 = x 2 ⋅ ln ( x ) ( x 2 b) F(3) – F(0) = 3 – 0 = 3 '' 11 11 11  11 −− 11 −− 11 −− 11 −− 11 −− 11 22 −−22 '' 22 11 22 22 22 22 22 ln(x) gg ((xx)) == 22xx ⋅⋅ln ln((xx))−−44xx  == ⋅⋅ xx ⋅⋅ln ln ((xx))++22xx ⋅⋅ x −−22xx == xx ⋅⋅lnln((xx))++22xx −−22xx 22 == xx 22 ⋅⋅lnln((xx)) 2 x

1 −−1

22 == ⋅ ⋅xx 22

11 22

⋅ ⋅lnln((xx))++22xx

1 −−1

11 ⋅ ⋅ −−22xx xx

1 −−1

==xx

1 −−1

ln(x) ⋅ ⋅lnln ((xx))++22xx

1 −−1

−−22xx

1 −−1

== xx

ln((xx)) ln(x) ⋅ ⋅ln

Opgave 3.16 2

∫ 0 (3 x

− 10 x ) dx = −12

Opgave 3.6 F(x) = 2x3 + 3x – 12

Opgave 3.17 2 x ) dx==11 11 (6 x2 –−2x)dx ∫ 1 (6x 2

Opgave 3.7 F(x) = 4x – x3 + 5

Opgave 3.8

Opgave 3.18 2

F(x) = 2ln(x) – x + 4

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 175



1

(2) ∫ 1  2 x + x  dx = 3 + lnln(2)

175 25/08/14 11.23

Opgave 3.19

Opgave 3.27

3) dx==55++ e2 (ex ++ 3)dx ∫ 0 (e 2

cos( x )

∫ 1 + sin( x ) dx = ln 1+ sin( x ) + k,

3.3 M etoder og algoritmer til integration

Opgave 3.28

Opgave 3.20

Opgave 3.29

∫ (2 x − 1)

(

)

7 1 2 x –− 1) 17 (2x 14

dx =

∫ 2x ⋅ ( x

∫ 6x

Opgave 3.21 a)

∫ (3 + 5 x )

∫ (2 + 3 x )

dx =

−2

∫ 5x

10 x )10 + k ((33 ++55x)

1 50

dx = − ((2 2 ++ 33x) x ) –1 ++ kk

∫x

(

)+ k

1 ln (5x 5 x ++ 2) 2 5

2 5

Definitionsmængde for stamfunktion: x >

Opgave 3.23

∫x

(

)

∫ 2x

∫ 3x

∫x

+ 2x + 5

x3 + 1 4

(

1 8

)

dx = ln (2x 2 x44 ++ 3) 3 +k

3x + 1 2

+ 4x + 1

dx =

(

)

1 ln (3x 3 x22 ++ 2x 2x + 5 5) ++ kk 2

(

) ++ k

1 ln (xx44 ++ 4x 4 x –−7) 7 4

Opgave 3.25 2e x

∫e

(

dx = e x

dx =

1 x 3 +1 e + 3

Differentier F(x) og se, at det giver f2(x).

∫

b)∫

sin(sin( sin( x ) xx)) ==ln −−ln ++k, dxdx dx =− cos( ln cos( cos( x ) xx+))k, k,x cos( cos( cos( x ) xx))

π- ππ; ππ[ xx]∈∈ ∈ - ]]– ] -; ;[ [ 2 22 22

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 176

(ln( x ))7

∫ 2x ⋅ 3

∫

x x2

2x4 − 1 x2

dx = −2 1 − sin ( x ) + k

dx = dx = dx =

1 8

(ln ( x ))8 + k x2

3 ln(3) 2 3

+ k

x3 +

1 x

e) ∫ dx = 2ln (ln ( x )) + k x ⋅ ln( x ) f) ∫ cos( x ) ⋅ esin( x ) dx = esin( x ) + k 2

dx = ln sin( x ) +k, xx∈∈]0;]0;p[ π[

∫∫

cos( x ) 1 − sin( x )

∫

Opgave 3.26 a)

∫

176

)

Opgave 3.34

)

dx = 2ln (e exx ++ 11) ++kk

cos( x ) sin( x )

(

6 1 33 (xx ++ 1 1)6 + kk 3

Opgave 3.32 2 – 5

Opgave 3.24 a)

⋅ ( x 3 + 1)5 dx =

Opgave 3.33

1) ++ kk dx = ln (xx22 ++ 1

)

Opgave 3.31

Definitionsmængde for integrand: x ≠ –

(

6 1 22 (xx ++ 11)6 ++ kk 6

−1

1 3

Opgave 3.22

∫

+ 1)5 dx =

Opgave 3.30

1 dx 5x + 2

[0;p] x ∈ [0; π]

1) e ++ kk ∫ x ⋅ e dx = ((xx –− 1)e 2 x 2) exx++kk ( x22–−2x2 x++ 2)e ∫ x ⋅ e dx = (x sin ( x )–−xx⋅⋅cos(x) cos ( x )++kk ∫ x ⋅ sin( x ) dx = sin(x) 2 2 ∫ x ⋅ cos( x ) dx = x ⋅ sin ( x ) + 2 x ⋅ cos ( x ) − 2 sin ( x ) + k x

x2 ⋅ sin(x) + 2x ⋅ cos(x) – 2sin(x) + k

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 3.35 Bestem hvert af integralerne

( )

11 22xx ⋅⋅ln( xx −− xx22 ++ kk ln(x) ln(xx)) dx dx == xx ⋅⋅ln ln 22 11 11 ln(x) xx22 ⋅⋅ln xx −− xx33 ++ kk ln((xx)) dx dx == xx33 ⋅⋅ln ln 33 99 11 55xx44 ⋅⋅ln( xx −− xx55 ++ kk ln(xx)) dx dx == xx55 ⋅⋅ln ln ln(x) 55

∫ b) ∫∫ c) ∫ a)

(( )) (( ))

15 64

Opgave 3.36

( x ) –− xx + k ∫ ln( x ) dx = x ⋅ lnln(x)

5 x –2

Opgave 3.37

∫ x ⋅ 10

dx =

x ⋅ 10 ln ( 10 )

−

ln ( 10 )

–1

Areal = ∫ g( x ) − f ( x ) dx = 64 −2

Stamfunktion: –2x3 + 24x

Opgave 3.42

3.4 Arealberegninger og rumfangsberegninger

Førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g:

Opgave 3.38

Areal = ∫ g ( x ) − f ( x ) dx =

x = 0 og x = 16 16

64 3

∫0 f ( x ) dx = 20 4

Opgave 3.43

Opgave 3.39

Førstekoordinaten til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og grafen for g:

∫0 e

x = 0 og x = 2

+ 2 dx = e + 1

Areal =∫ g( x ) − f ( x ) dx = 4 0

Opgave 3.40 a)

Stamfunktion: –x3 + 3x2

∫1 g( x ) − f ( x ) dx = 9

4 4 2 2 b) π ⋅  ∫ ( g( x )) − ∫ ( f ( x )) dx  = 99 π = 311,02  1  1

Opgave 3.41 a) Førstekoordinaterne til skæringspunkterne: x = –2 og x = 2 b) Graferne:

Opgave 3.44 a)

1 2x

∫0 x

dx = ln(2)

b) G rafen: Integralet er arealet af det markerede område på figuren. y

0,5

ln(2) x 0

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 177

0,25

0,5

0,75

177 25/08/14 11.23

Opgave 3.45

Opgave 3.52

Areal = ∫ f ( x ) − g( x ) dx + ∫ g( x ) − f ( x ) dx = [ F ( x ) − G( x )]03 + [ G( x ) − F ( x )]53 = a) Areal = ∫ f ( x ) dx = 0 3 0 3 5 3 5 3 = F (3) − G (3) − F (0) (5) G((3) 13F ( x )]53 = ( ) ( 16 x ) dx = ∫[ F f( x( x) )−−Gg((xx)]) 0dx+ + [ G∫( − xg)G F (−x(0) ) −()x+ f ()](x53G) = dx −= F[ F(5) ( x))−−(G x )]−03 +F (3) [ G()x=) − Stamfunktion: Areal x 4 − = x∫03 f+( x6)x−2 g( x ) dx + ∫3 g( x ) − f ( Areal 0 3 5 3

( x )−dx + ∫) +g((G x(5) ) − f=−( x(FF)(5) dx [(F ((3) x)) −−(G x )])0−=+G13 [(0) G()x+) − ( x )]−3F=(5)) − (G(3) − F (3)) = 13 (3)) = −G (0) (GF(5) F (3) −=32 G∫(3)f ()x−) (−Fg(0) G(0) G(3) FF((3) = (Areal 3 0 − f ( x ) dx = 0, så ∫ 3 1 1 = ( F (3) − G(3)) − ( F (0) − G(0)) + (G(5) − F (5)) − (G(3) − F (3)) = 13 3 ∫ f ( x ) dx = 32 betyder, at arealet af områ− 3

b) − ∫ f ( x ) dx =

det mellem x-aksen og grafen for f(x) mellem

32 3

− ∫ f ( x ) dxx = 1 ∫ 0og− fx( x=) 3dxer= 1

Opgave 3.53

a) Grafen ligger helt over x-aksen. Areal =

Opgave 3.46 −2

∫−3 3

∫−3

f ( x ) dx =

7 − , 6

∫−2

7 6

16 3

f ( x ) dx =

16 3

∫0

og 10

)

(

)

10 x++30) 302 dx dx== b) Rumfang = π ⋅ ∫ (xx22–−10x 0

− 10 x + 30 dx =

7000 ⋅ π 3

∫−2

f ( x ) dx = −

dx =

b) ∫ f ( x ) dx = −2

= 7330,38

49 ⋅ π 4

= 38,48

Opgave N ) 3.55 ∫−2 f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx = −areal( M ) + areal( a)

∫−2 f ( x ) dx + ∫0 f ( x ) dx = −areal( M ) + areal( N ), så areal( N ) =

4 1  Rumfang = π ⋅ ∫  + x  dx = 1 x

16 3

7000 ⋅ π

= 7330,38

Opgave 3.54 Opgave 3.47

400 3

x 2 − 10 x + 30 dx = 10

Rumfang = π⋅∫ 7 0 − =3

f ( x ) dx = − +

125 12

16 3

189 12

63 4

Opgave 3.48 6

Areal = ∫ f ( x ) − g( x ) dx = [ F ( x ) − G( x )] 0 = ( F (6) − G(6)) − ( F (0) − G(0)) = (42 − 15) − 0 = 27 0

g( x ) dx = [ F ( x ) − G( x )] 0 = ( F (6) − G(6)) − ( F (0) − G(0)) = (42 − 15) − 0 = 27

5 x

Opgave 3.49 6

–4 –3 –2 –1

0 1

Areal = ∫ g( x ) − f ( x ) dx = [ G( x ) − F ( x )] 0 = (G(6) − F (6)) − (G(0) − F (0)) = (24 − 16) − 0 = 8 0

− f ( x ) dx = [ G( x ) − F ( x )] 0 = (G(6) − F (6)) − (G(0) − F (0)) = (24 − 16) − 0 = 8

b) Førstekoordinaten til skæringspunkterne: x = –3 og x = 3.

Opgave 3.50

Areal = ∫ 7 − x 2 dx = 36 = (G(3) − F (3)) − (G(0) − F (0)−3) = (20 − 18) − 0 = 2 Areal = ∫ g( x ) − f ( x ) dx = [ G( x ) − 2 3 0  3  c) Rumfang = π ⋅  ∫ (17 − x 2 ) dx − ∫ 82 dx  = 3 −3  −3  − f ( x ) dx = [ G( x ) − F ( x )] 0 = (G(3) − F (3)) − (G(0) − F (0)) = (20 − 18) − 0 = 2 2 3 3 π ⋅  ∫ (17 − x 2 ) dx − ∫ 82 dx  = 4176 ⋅ π = 2623, 86 5 −3  −3  3

3 F ( x )] 0

4176 ⋅π 5

= 2623, 86

Opgave 3.51 6

Areal = ∫ g( x ) − f ( x ) dx = [ G( x ) − F ( x )] 2 = (G(6) − F (6)) − (G(2) − F (2)) = (27 − 27) − ( −1 − 15) = 16 2

− f ( x ) dx = [ G( x ) − F ( x )] 2 = (G(6) − F (6)) − (G(2) − F (2)) = (27 − 27) − ( −1 − 15) = 16

G(6) − F (6)) − (G(2) − F (2)) = (27 − 27) − ( −1 − 15) = 16

178

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 178

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 3.56

Opgave 3.60

a) G rafen: Skæringspunkterne har førstekoordinaterne x = 0 og x = ln(2)

a) Grafen: y 4

y g

3 – 5ln(2)

1 1

x ln(2) 0 0,5

1,5

b) Bicepsmusklens volumen: ln(2)

b) Areal = ∫

Opgave 3.57

π⋅∫

g( x ) − h( x ) dx = 3 − 5 ⋅ ln(2) π⋅∫

har førstekoordinaterne x = Areal = ∫ 1 3 x + 3

1 x

(2 ⋅ sin(0,05 ⋅ π ⋅ x − 0,5 ⋅ π ) + 2)2 dx = 753,98 cm3

(2 ⋅ sin(0,05 ⋅ π ⋅ x − 0,5 ⋅ π ) + 2)2 dx = 753,98 cm3 c) f (x) har maksimum i x = 20. Bicepsmusklens maksimale tværsnitsareal = p ⋅ f(20)2 = 50,27 cm2.

a) Skæringspunkterne mellem grafen og linjen 1

1 3

og x = 1

4 3

dx = − ln(3) = 0,2347

b) Rumfang = 2  1  1 π ⋅  ∫ 1 42 dx − ∫ 1  3 x + 1x  dx  =  3  3

16 ⋅π 9

Opgave 3.61 a) y = x – 1,5 b) Førstekoordinaten til tangentens skæringspunkt med førsteaksen: x = 1,5 Rumfang =

= 5,59

Opgave 3.58

2 π ⋅ ∫ (1 + 0,1⋅ x 2 ) dx − π ⋅ ∫ ( x − 1,5 ) dx = 16,62 1,5

+ 0,1 x 2 )med dx − π ⋅ ∫ ( x − 1,5 ) dx = 16,62 π ⋅ ∫for(1f(x) a) Nulpunkterne er⋅ lig 0 1,5 x = –4 og x = 4. Opgave 3.62 Areal = 64 3 a) Maksimum for f(x) indtræffer i x = 5, b) Areal af skraverede område = med værdi: f(5) = 7,5. Areal(M) – Areal(rektangel) = 3 64 64 64 646464 x3 x3 x Maksimale bredde = 15 cm. f )(x=)== −−–8x − 2−–x22x ⋅xf ⋅(xf(x) 8−2x8x++x⋅ f+(x) = − 8 x + 3 3

3 33

Opgave 3.59

2 2

π ⋅ ∫ ( −0,2 x 2 + 2 x + 2,5 ) dx = π ⋅ ( 0,008 ⋅ h5 − 0,2 ⋅ h4 + h3 + 5 ⋅ h2 + 6,25 ⋅ h ) 0

a) Det indre rumfang = π⋅∫

2 5 4 3 2 b) π ⋅ ∫ ( −0,2 x + 2 x + 2,5 ) dx = π ⋅ ( 0,008 ⋅ h − 0,2 ⋅ h + h + 5 ⋅ h + 6,25 ⋅ h

(1,4 ⋅ sin(0,15 x − 3) + 3,6)2 dx = 458,626 cm3

Sæt fx π ⋅ ∫ ( −0,2 x 2 + 2 x + 2,5 ) dx = 500. 0

Ligningen giver h = 4,61 cm.

4 ⋅ sin(0,15 x − 3) + 3,6) dx = 458,626 cm3 2

b) π ⋅ ∫ (1,4 ⋅ sin(0,15 x − 3) + 3,6) dx = 730 cm3 2

giver k = 25,09 Diameter: 2 ⋅ f(25,09) = 9,14 cm

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 179

179 25/08/14 11.23

Opgave 3.63

Opgave 3.66

a) Graferne:

Grænserne for arealerne findes ved at løse f(x) = 17: x = 6 og x = 18 Graddagetallet = 24 1  6 3 ⋅ 17 − f ( x ) dx + ∫ 17 − f ( x ) dx  = π  24  ∫ 0 18

Opgave 3.67

a) Førstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = 0, x = − 2, x = 2

2 7,41 0

Areal af M = ∫

− 2 2

Areal af N = ∫

Ligningen: f(x) = g(x) giver højden = 7,41 cm b) Rumfang = π⋅∫

7,41 0

7,41

( g( x ))2 dx − π ⋅ ∫ 0 (f ( x ))2 dx = 485,2 cm3

Opgave 3.64

g( x ) − f ( x ) dx = 1

f ( x ) − g( x ) dx = 1

b) Førstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = 0, x = − k , x = k Det kan herefter bevises, at begge integraler 1 2 giver k . 4

Opgave 3.68

a) Grafen:

Førstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = 0 og x = 2k

2⋅ k

∫0

g( x ) − f ( x ) dx = 36 giver k = 3.

Opgave 3.69 4 2e2 + 6e –2

2 V = π ⋅ ∫ ( f ( x ) ) dx =

–1

= 171573,85

0,5 ⋅ π ⋅ ∫ ( f ( x )) dx = π ⋅ ∫ (f ( x )) dx giver k = 5,12

x –2

163840 π 3

Opgave 3.70 a) Nulpunkter for f(x): x = 0, x = –2, x = 2

b) Nulpunkter for f(x): x = –2 og x = 2 Areal =

∫−2 f ( x ) dx = 2e

+ 6e

−2

Arealet af M: ∫ 0 − f ( x ) = 0

64 15

b) Rumfang:

Opgave 3.65

π ⋅ ∫ ( f ( x ))2dx = 4096 ⋅ π = 40,85

a) Nulpunkt for f(x): x = 160 Nulpunkt for g(x): x = 50

160

∫0

b) Areal = ∫

f ( x ) dx − ∫

180

50 0

160 0

f ( x ) dx − ∫

50 0

315

∫0 f ( x ) dx = ∫t f ( x ) dx giver

t = 1,286

g( x ) dx = 18666, 7 cm

g( x ) dx = 18666, 7 cm2

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 180

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 3.71

Opgave 3.75

Førstekoordinaten til grafernes skæringspunkter: x = –3 og x = 0

H5 = 1⋅ f ( −1) + 1⋅ f ( 0 ) + 1⋅ f (1) + 1⋅ f ( 2 ) = 11,4752

a) Areal = b)

∫−3 f ( x ) − g( x ) dx =

∫0 g( x ) − f ( x ) dx =

3 2

giver k =

M5 = 7 3

∫0 f ( x ) dx = ∫a f ( x ) dx 6

H5 =

Opgave 3.73

M10 = 7,3502 M50 = 7,2576 M100 = 7,2547

π ⋅f 10

 π  + π ⋅ f  2π  + π ⋅ f  3 π  + π ⋅ f  4 π  + π ⋅ f  5π  = 0,8347  10  10  10  10  10  10  10  10  10 

3.5 Summer og integraler (supplerende stof) V5 =

V10 = 5,8994 V50 = 6,9674 V100 = 7,1096

Opgave 3.76

π ⋅f 10

= 7,8484

Summerne vil konvergere mod 7,2537 (arealet).

giver a = 2,22

b) π ⋅ ∫ ( f ( x )) dx = 12 ⋅ π giver a = 4 H5 =

H5 + V5 2

H10 = 8,8009 H50 = 7,5477 H100 = 7,3998

Opgave 3.72 a)

V5 = 1⋅ f ( −2 ) + 1⋅ f ( −1) + 1⋅ f ( 0 ) + 1⋅ f ( 1) = 4,2215

π ⋅f 10

(0) +

π f 10

⋅ 

V5 = π 10 

π ⋅f 10

(0) +

π f 10

⋅ 

π 10 

π ⋅f 10

 2 π π  3 π π  4 π  10  + 10 ⋅ f  10  + 10 ⋅ f  10  = 1,1488

 2 π + π ⋅ f  3 π + π ⋅ f  4 π = 1,1488  10  10  10  10  10  H +V

5 M5⋅ =f (2)5 = 0,6456 = 0, 9918 H5 = 0,2 ⋅ f ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) + 0,2 2 ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) + 0,2 ⋅ f (2) = 0,6456 H10 = 0,9194 V10 = 1,0765

M10 = 0,9980 H50 = 0,9842 V50 = 1,0156 M50 = 0,9999 V5 = 0,2 ⋅ f ( 1) + 0,2 ⋅ f ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) = 0,7456 H100 = 0,9921 V100 = 1,0078 M100 =1,0000 ⋅ f ( 1) + 0,2 ⋅ f ( 1,2 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,4 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,6 ) + 0,2 ⋅ f ( 1,8 ) = 0,7456 Summerne vil konvergere mod 1 (arealet) H +V M5 = 5 5 = 0, 6956 2

H10 = 0,6688 H50 = 0,6882 H100 = 0,6907

Opgave 3.77

V10 = 0,7188 M10 =0,6938 V50 =0,6982 M50 =0,6931 V100 = 0,6957 M100 =0,6932

a) Grafen y

Summerne vil konvergere mod 0,6931 (arealet).

0,15

0,05

Opgave 3.74

f(x) = χ2(x,6)

0,1 1

x = 12,591587 Arealet til højre for x er 0,05 = 5%

H5 = 0,5 ⋅ f (0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f ( 1,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 2) + 0,5 ⋅ f ( 2,50) + 20,5 ⋅4f ( 3 )6= 118,375 10 12 f (0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f ( 1,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 2) + 0,5 ⋅ f ( 2,5 ) + 0,5 ⋅ f ( 3 ) = 11,375 ∞ b) ∫ f ( x ) = 1 V5 = 0,5 ⋅ f ( 0 ) + 0,5 ⋅ f ( 0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f (1,5 ) + 0,5 ⋅ f (20) + 0,5 ⋅ f ( 2,5 ) = 6,875 c) x = 12,591587. Dermed bliver 5 ⋅ f ( 0 ) + 0,5 ⋅ f ( 0,5 ) + 0,5 ⋅ f (1) + 0,5 ⋅ f (1,5 ) + 0,5 ⋅ f (2 ) + 0,5 ⋅ f ( 2,5 ) = 6,875 M5 =

H5 + V5 2

= 9,125

H6 = 11,3750 H10 = 10,3950 H50 = 9,2718 H100 = 9,1354

V6 = 6,875 V10 = 7,695 V50 = 8,7318 V100 = 8,8655

M6 = 9,1250 M10 = 9,0450 M50 = 9,0018 M100 = 9,0004

Summerne vil konvergere mod 9 (arealet).

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 181

x 14

∫

∞

f ( x ) = 0, 05 .

12,592

d) Jo finere inddeling, jo tættere kommer resultatet på 0,997. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi større end 20 er ca. 0,3%. e) Jo finere inddeling, jo tættere kommer resultatet på 1. χ2-funktionen konvergerer således hurtigt mod 0. En forsvindende del af arealet ligger udenfor x = 50. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi større end 50 er stort set 0.

181 25/08/14 11.23

Opgave 3.78

c) Areal = ∫ − x 3 + 3 x 2 dx = 6,75

a) Grafen

y 0,4

ϕ (x) =

0,3 0,2

1 2π

⋅e

2 − x

f 2

27 4

0,1

x –4 –3 –2 –1

0 1

∞

∫ dx = 1 −∞

Opgave 3.80

c) 0,6827 d) 0,9545 d) J o finere inddeling, jo tættere kommer resultatet på 0,9973. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi, der er mere end 3 spredningsafstande fra middeltallet er ca. 0,27%. e) Jo flere intervaller der opdeles i, jo tættere kommer resultatet på 1,0000. Dvs. sandsynligheden for at få en værdi, der er mere end 5 spredningsafstande fra middeltallet er stort set 0.

3.6 A nvendelser og blandede opgaver a) f er aftagende i ]–∞;0] og i [2;∞[, mens funktionen er voksende i [0;2]. b) Tredjegradspolynomier vender højest to gange. I dette tilfælde vendes i x = 0 og x = 2. Da x = 0 også er en rod, ligger vendepunktet på x-aksen. Derfor er der højest to rødder. Ved indsættelse ses det nemt at x = 3 også er rod.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 182

a) f er voksende i [0;1,587] og aftagende i [1,587;∞[. b) Nulpunkter for f(x): x = 0 og x = 4 4

Rumfang = π ⋅ ∫ ( f ( x ))2 dx = 0

1152 ⋅π 35

= 103,403

Opgave 3.81 a) f er voksende i ]–∞;0] og aftagende i [0;∞[. b) Nulpunkter for f(x): x = –1 0

Areal = ∫ f ( x ) dx = e − 2 −1

c) R umfang = 0 π ⋅ ∫ ( f ( x ))2 dx = π ⋅  1 e2 − 5  = 1,876 4 4 −1

Opgave 3.82 a) f er voksende i ]0;e] og aftagende i [e;∞[. b) Nulpunkter for (x): x = 1

Opgave 3.79

182

Arealet = ∫ f ( x ) dx = 1

(ln(10)) 2

= 2,6509

Opgave 3.83 a) Nulpunkter for f(x): x = –91,253 og x = 91,253 Bredde = 182,5m b) Længde =

91,253

2 ∫−91,253 (f ′( x )) + 1 dx = 451,5 m

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 3.84

Opgave 3.88

a) f 1( x ) = (1 + x ) 2 , x ≥ 0 1

∫0 (f1′ ( x ))

Længde =

a) Grafen: Deceleration i m/s2

+ 1 dx = 2,09

100

3 2

b) f a ( x ) = ( a + x ) , x ≥ 0 1

∫0 (fa′ ( x ))

+ 1 dx = 4 giver a = 6,17

c) Omkredsen = Omkredsen = ∫

(f2′ ( x ))

(92.91,98.26)

+ 1 dx + f2 (5) + 5 + f2 (0) = 42,84

9,83 ⋅ 105 0

Opgave 3.85 a) U dfør fx andengrads regression på punkterne: (0,220), (1280,220) og (640,80):

1280

∫0

(f ′( x ))2 + 1 dx = 1319,73

80 100

120 140

Den største deceleration er 98,26 m/s2 b) SI =

f ( x ) = 0,000342 ⋅ x 2 − 0,4375 ⋅ x + 220 b) Længden =

Tid i ms

140

∫0

( a( t ))2,5 dt = 9,83 ⋅ 105

Opgave 3.89

a) Graves væk: 100 ⋅ ∫ − f ( x ) dx = 516, 27 m3 −2

b) Grafen er symmetrisk om andenaksen, så:

Opgave 3.86

Fyldes på: 2 ⋅ 100 ⋅ ∫

a) G rafen:

−5

12 8

∫1

380,85

∫1

4 x 0

10 38

∫0

b) O = 2π ∫

Opgave 3.87

f ( x ) dx = 849,6 m3

Opgave 3.90

x = 38

Areal =

−2

6,5 ⋅ sin(0,0849x ) + 6 dx = 380,85

f ( x ) dx =

∫1

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, så

f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 1

11 14

∫11 f ( x ) dx

Heraf får man ligningen: 3 ⋅ k = 79,8 – 78,3 så k = 0,5.

f ( x ) ⋅ 1 + f ′( x )2 dx = 2545,64

Kapitel 4 5

a) Areal = π ⋅ ∫ (sin( x ) + x + 0,5)2 = 169,69 dm3 0

b) O = 2 π∫ f ( x ) ⋅ 1 + f ′( x ) dx = 125,82 dm 2

4.2 I ntroduktion til differentialligninger Opgave 4.1 f ′( x) = k

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 183

183 25/08/14 11.23

Opgave 4.2

Dette er netop, hvor graferne får lodret asymptote.

f ′( x) = 0,45 ⋅ (30 – f(x))

Opgave 4.3

f ′( x) = 0,65 ⋅ f(x)

Opgave 4.4 f ′( x) = 0,45 ⋅ f(x) ⋅ (30 – f(x))

x –2

Opgave 4.5 a) y ′= ln(2) ⋅ y b) Typen y ′= k ⋅ y

2 –3

Opgave 4.6 a) y ′= 10ln(2) – ln(2)y b) Typen y ′= b – ay

Opgave 4.7 a) y ′= 0,5 ⋅ y2 + y = y(1 – (–0,5) ⋅ y) b) Typen y ′= y ⋅ (b – ay), altså logistisk vækst.

Opgave 4.8 Funktionen er voksende, og løsningskurven skal gå gennem punktet (2,3) samt have hældningen 3 i det punkt. Det er tilfældet i figur nr. 1.

b) Der findes tre typer af løsningskurver – på illustrationen har vi valgt de tre begyndelsesbetingelser (0,2), (0,1) og (0,–1). Den midterste genkender vi som grafen for en lineær funktion med forskrift y = x + 1. Ved indsættelse ser man, at dette er en løsning. Løsningskurver i området over den lineære løsningskurve er voksende, da y ′= y – x > x + 1 – x = 1 > 0. Løsningskurver i området under den lineære løsningskurve har alle et globalt maksimum, da y ′= 0 på linjen y = x. Differentialligningen er grundigt analyseret i bogens afsnit 4.2. y

Opgave 4.9

Figur nr. 2 er den korrekte, da den har hældningen 1 i punktet (1,3). x

Opgave 4.10

–10

a) Der findes 4 typer af løsningskurver – på illustrationen har vi valgt de 5 begyndelsesbetingelser (0,–1), (0,0), (0,2), (0,5) og (0,6), hvor de to, nemlig (0,0) og (0,5) giver de to konstante funktioner. Den midterste genkender vi som en traditionel logistisk løsningskurve. Den øverste og den nederste kurve har begge en lodret asymptote. Alle disse tre har samme type løsningsformel, men i den øverste og nederste medfører begyndelsesbetingelsen, at konstanten c i nævneren bliver negativ, så nævneren har et nulpunkt.

184

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 184

–6

c) D er findes tre typer af løsningskurver – på illustrationen har vi valgt de tre begyndelsesbetingelser (0,–2), (0,0) og (0,2). Den midterste er den trivielle y = 0. Den øverste genkendes som graf for en eksponentielt aftagende funktion, den nederste løsningskurve er en spejling af den øverste og genkendes også som graf for en forskudt

23/11/2016 09.17

Facitliste

eksponentiel funktion, hvor den vandrette asymptote er y = 0. y

Opgave 4.11 P ′(t) =

1 25000

P(t) ⋅ (2600 – P(t))

Opgave 4.12

f ′( x) = 2e2x 2y – 6 = 2(e2x – 3) + 3 = 2e2x Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

x –3

Opgave 4.13 –5

d) H er ser vi, at alle løsningskurver er af samme type, grafer for lineære funktioner, med konstantled 0, dvs. proportionaliteter med forskriften y = a ⋅ x, dog med et enkelt forbehold som fremgår nedenfor. Skrives differentialligningen på formen: y ′= 1x ⋅ y, genkendes den som modellen y ′= f(x) ⋅ y med løsningen y = c ⋅ eF(x). Da en stamfunktion til 1x er ln|x| ser vi ved nogle få omskrivninger, at den fuldstændige løsning netop er funktioner med forskriften y = a ⋅ x. Der er en vigtig detalje, som grafværktøjet ikke nødvendigvis afslører: Da funktionen 1x ikke er defineret for x = 0, er løsningerne til differentialligningen heller ikke. Derfor er definitionsmængden til en løsningen enten ]–∞;0[ eller ]0;∞[, afhængig af begyndelsesbetingelsen. Løsningskurverne går derfor ikke gennem (0,0), men er halv-linjer. y

a) f ′( x) = 4e4x – 4x – 1 4y + 8x2 = 4(e4x – 2x2 – x – 14 ) + 8x = 4e4x – 4x – 1 Begge sider giver det samme, altså er f en løsning. b) Funktionen er voksende, når 4y + 8x2 > 0, dvs. i området, hvor y > –2x2. Aftagende, hvor y < –2x2.

Opgave 4.14 f ′( x) = 2x ⋅ ex + x2 ⋅ ex 2y x

+y=

2x e x

+ x 2e x = 2 xe x + x 2e x

Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

Opgave 4.15 M(t): Vandmængden (målt i l) til tidspunktet t (målt i sekunder). dM = 0,4 – 0,001 ⋅ M eller M ′(t) = 0,4 – 0,001 ⋅ M(t) dt

Opgave 4.16 f ′( x) = ex + x ⋅ ex + 3

xe + 3 x

(–15,10)

(15,10)

–50

x 50

(15,–20)

(–15,–20) –35

y + − 3 x = xe x + 3 x + − 3 x = xe x + e x + 3 x x Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

Opgave 4.17 f ′( x) = ln(x) + x ⋅ y x

+1=

x ln ( x ) x

1 x

= ln(x) + 1

+ 1 = ln ( x ) + 1

Begge sider giver det samme, altså er f en løsning.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 185

185 25/08/14 11.23

Opgave 4.18 9

en, hvor y < –2. Vi ser, at løsningskurvernes forløb er i overensstemmelse med punkt b).

a) y = x − 4 2 b) y > 0: Voksende, når x > –1 og aftagende, når x < –1 y < 0: Voksende, når x < –1 og aftagende, når x > –1 Er ikke defineret for y = 0 c) På en illustration af linjeelementer er indtegnet en løsningskurve, hvor y > 0 og en, hvor y < 0. Vi ser, at løsningskurvernes forløb er i overensstemmelse med punkt b).

y 4 P(1,3)

x –4

y 4 P(2,4)

–4

Opgave 4.22

x –4

Tangentens hældning: 0,51 y ′= 0,17 ⋅ y

Opgave 4.23 f ′( x) = ex + (x + 1) ⋅ ex = 2ex + xex y+

–4

x +1

= ( x + 1) e x +

( x + 1) e x x +1

= 2e x + xe x

Opgave 4.19

Da begge sider giver samme resultat, er f(x) løsning til differentialligningen.

g(t) = 75000 – 75000 ⋅ (3t + 1) ⋅ e –3t g(4) = 74994 mg.

Opgave 4.24 y = 3x + 1

Opgave 4.20 f ′( x) = ex – 1 y + x = ex – x – 1 + x = ex – 1 Da begge sider giver samme resultat, er f(x) en løsning til differentialligningen.

a) y = 5x – 2 b) Funktionen er voksende, når 2x + x ⋅ y > 0. Dvs. når x(2 + y) > 0. Det gælder, når: y > –2 og x > 0 eller når y < –2 og x < 0. Tilsvarende bliver funktionen aftagende, når: x > 0 og y < –2 eller x < 0 og y > –2. c) På en illustration af linjeelementer er indtegnet en løsningskurve, hvor y > –2 og

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 186

Opgave 4.25 T ′( x) = 0,011 ⋅ (150 – T(x))

Opgave 4.26 y = 17x – 13

Opgave 4.21

186

Opgave 4.27 f ′( x) = ex + x ⋅ ex – 1 x y x xe − x + xe = + xe x = e x − 1 + xe x x x Da begge sider giver samme resultat, er f(x) løsning til differentialligningen.

25/08/14 11.23

Facitliste

4.3 Eksakt løsning af differentialligninger – de lineære typer

Opgave 4.36 a) C(t) = 20 – 20 ⋅ e –0,02t b) Grafen: C

Opgave 4.28

C(t)

f(x)=(ln(x)+4) ⋅ x 12

Opgave 4.29 Væksthastighed til t = 1: –1,104 ⋅ 106 individer/døgn N(t) er aftagende frem til t = 12,5, derefter voksende. Derfor er der et globalt minimum for t = 12,5.

(34.66,10)

C = 0,30t + 0,74

t –20

0 20

100 120

140

t = 34,66

Opgave 4.30 –2,81 ⋅ e –0,22t

a) y = 98,34 ⋅ e b) Havkatten er 90,5 cm lang, når den er 16 år. Efter 5,2 år er havkatten 40 cm lang.

Opgave 4.31 a) r(t) = 0,017e –0,025t –0,025t b) N(t) = 210,22e –0,68 ⋅ e Der går 104,5 år før befolkningstallet bliver 200 mio.

c) C ′(15) = 0,30, dvs. koncentrationen stiger med 0,30 ppm i det 15. minut.

Opgave 4.37 a) Væksthastighed: 0,74 cm/måned b) h (t) = 116,444 – 64,444 ⋅ e –0,045t Barnet er 100 cm højt efter 31 måneder.

Opgave 4.38 a) S(t) = 50 +

Opgave 4.32

1 2

x−

200000 ( 100 + x )

Vandbadets temperatur er 100°C, når t = 320. Den indre temperatur 91,7°C.

b) Karret indeholder 60 kg salt efter 40,3 min.

Opgave 4.33

a) Væksthastighed: –0,0386 kcal/døgn

M(t) = 33,33p – 33,33e p = 34,85 mg

–0,03t

⋅p

Opgave 4.34 a) Væksthastighed: 14 ampere/sekund b) I(t) = 0,9 – 0,9e –25t

Opgave 4.35 a) Væksthastighed: 60,75 mio/døgn t b) N(t) = 1588 ⋅ e –6,415 ⋅ 0,88

Opgave 4.39 b) M ( t ) =

1 k 42

− 3 t 500

⋅ (87 −

1 k) 42

c) k = 3002,4

Opgave 4.40 a) v ( t ) = −

152, 85t − 4, 905t t − 15

Efter 12,36 sekunder er hastigheden 1000 m/s.

Opgave 4.41 a) Koncentrationen aftager med –0,0525 i timen. b) c(t) = 2 ⋅ e –0,035t

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 187

187 23/11/2016 09.18

Opgave 4.42

Opgave 4.45 –0,1584t

a) M(t) = 32,665 – 12,665e b) Grafen: Når t går mod ∞, vil sidste led i M(t) gå mod 0. Derfor er der øvre grænse 32,665 promille. M

M = 32,665

Væksthastighed: 6,175 individer/døgn. Væksthastigheden er 31, når N = 392,6 og når N = 607,4 (afrundes til 392 og 607).

Opgave 4.46 a) Indsæt de oplyste værdier for N og N ′ til tidspunktet t = 0. Løses ligningen, fås: K = 60000. b) Væksthastighed: 3500 individer/år.

M(t)

Opgave 4.47 Bestem B(t) ved at løse differentialligningen. B(15) = 1456,8, dvs. afrundet 1456.

t 0

Opgave 4.48

a) V (t) =

Opgave 4.43 a) P(t) = 1 + 4e Grafen:

139, 6 1 + 18,123 e

−0,02694 t

Største væksthastighed optræder ved halvdelen af den maksimale vægt, dvs. ved 69,8 kg.

–0,0554t

Opgave 4.49

a) M ( x) =

(5,0)

15, 5 1 + 1, 8052e

−0,005720 x

b) Fortjenesten betegnes U(x):

c) U (x) = M(x) ⋅ 700 – 1,97x Grafen for U(x):

P(t) (25,2)

Fortjeneste i kr. 10000 t

(694.8,9125.1)

8000

U(x)

30 6000 4000

4.4 Eksakt løsning af differentialligninger – logistisk vækst

2000 Kunstgødning i kg 0

Opgave 4.44 a) N ( t ) =

315 1 + 0, 591e

−0,126 t

b) N(40) = 313,8, altså meget tæt på den øvre grænse, som jo er 315.

188

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 188

200

400

600

800

1000

Størst fortjeneste bestemmes ved grafisk metode, da definitionsmængden er lukket og begrænset: Maksimum indtræffer ved 694,8 tons kunstgødning.

25/08/14 11.23

Facitliste

4.5 S eparation af de variable (supplerende stof)

Opgave 4.50 a) Væksthastighed: 57 smittede/døgn b) N ( t ) =

209

Opgave 4.54

14 −1,09934 t

1 + 2,165610

209 er den øvre grænse for antallet af smittede.

Opgave 4.51 a) Væksthastighed: 145 traner/år b) N ( t ) =

Ja, funktionerne er f(x) = x og g(y) = 1 y Nej Ja, funktionerne er f(x) = 1 og g(y) = 1 – y Ja, funktionerne er f(x) = 1x og g(y) = y

1500 1 + 7,5714 e

Opgave 4.55

−0,435 t

c) t = 4,65, dvs. i år 1980

a) f ( x) = −

Opgave 4.52 a) P (t) =

a) b) c) d)

(Nævneren bliver aldrig 0) Definitionsmængden er 

150 1 + 11, 5 e

−0,225 t

Der går 11,45 uger inden der er 80 guppyer. b) Den øvre grænse er 150 guppyer. c) Ved 10,85 uger er væksthastigheden størst. P

k= P = 80

(11.45,80)

Opgave 4.56 70 70 ⋅ k ⋅ t + 1 k bestemmes af ligningen M(60) = 20:

P(t)

100

b) Differentialligningen viser: y ′< 0, når x < 1 og y ′> 0, når x > 1. Derfor antager funktionen globalt minimum i x = 1.

a) M (t ) =

P = 150

150 125

1 x2 − 2x + 2

1 1680

Indsæt k: M ( t ) =

(10.85,75)

70 1 t +1 24

b) M ′(60) = 0,238. Dvs. i det 60. minut falder mængden af stoffet med 0,238 gram.

50 25 t 0

Opgave 4.53 a) V ( t ) =

53, 63 1 + 89, 898 e

−0,00965 t

b) Efter 466 døgn er vægttilvæksten størst.

Opgave 4.57 5

a) y = x − 2 4 b) f ( x ) = − − x 2 − 5 x + 4 Definitionsmængde: [–5,701;0,701[

Opgave 4.58 a) y = –20x + 22 b) f ( x) =

2 2x5 − 1

Definitionsmængde: ]] 5 0,5; ∞[[

Opgave 4.59 a) y = 6x – 3 3 b) f(x) = 1 + 2e –1 ⋅ ex Definitionsmængde:  3 c) g(x) = 1 – ex

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 189

189 23/11/2016 09.24

5.3 V ektorer i et koordinatsystem, længder, cirkler og kugler

Opgave 4.60 a) Væksthastighed: 2,5 cm/år. b) I(t) = 30 – 25,991e –0,16667t c) Indsæt på venstre side af (2): 1 2

y′ =

− 61 t

(10 − c ⋅ e

) ⋅ c⋅e

−

Opgave 5.1   2   −5   −2 a) a =   , b =   , c =   ,  2  −1  4

1 t 6

Indsæt på højre side af (2): 2

5 y 3 − 21 y = 5((10 − c ⋅ e = 5(10 − c ⋅ e

− 61 t 3

) ) 3 − 21 (10 − c ⋅ e

− 61 t 2

) − 21 (10 − c ⋅ e

= (10 − c ⋅ e

− 61 t 2

= (10 − c ⋅ e

− 61 t

)

− 61 t 3

) ( 5 − 21 (10 − c ⋅ e 2

− 61 t 3

)

− 61 t

))

− 16 t 3

d) V ( t ) = ( 10 − 9,99e

)

e) Eksponenten i det sidste led går mod –∞, når t går mod ∞. Derfor er V∞ = 103 = 1000. Det betyder, at fiskens maksimale vægt er 1 kg.

Opgave 4.61 x ) == a) FF (′( x) '

(3 − x )2

1 1 6 ⋅ ⋅ 6 3+ x 3− x

1 3 − x 3 − x − ( −1)(3 + x )

⋅

6 3+ x 1 (3 + x )(3 − x )

(3 − x )2 =

1 1 6 ⋅ ⋅ 6 3+ x 3− x

1 9 − x2

Altså er F(x) stamfunktion til f(x). b) Differentialligningen er af typen y ′( x) = f(x)⋅ y med løsningsformlen y = c ⋅ eF(x). Brug nu svaret fra a) til at bestemme løsningen: y = 2 6 ⋅ e 6 ⋅ln( x −3 ) eller: y = 2 6 ⋅ 6 c) y =

1 5

9 5

x +3

x+3 x−3

  2    6    4 d= , f = , g=   2  −2  −1    7 b) Udregning af koordinater: a − b =   ,  2    0    4     9 a − d =   , d − c =   , g − b =    6  −1  0

− 1t ⋅ 21 c ⋅ e 6

Da begge sider giver det samme, er funktionen løsning til differentialligningen.

3 − x 3 − x − ( −1)(3 + x )

3+ x

Kapitel 5

4.6 S upplerende og udfordrende opgaver

en geometriske konstruktion af differensD vektorerne: y 4    7 a−b=    23

  2 a =      0 a4− d =    6

  29 g−b=     4 10   −5 g=  b=   2  2    −2 c= –5 –4 –3 –2 –1  −10 1  2 3 4  5 6 –1  2  6 d=  f =  2 −    −1  4    –2 1 1 d−c =   = 2 1 −   (3 + x )(3 − x ) 9− x

V ed aflæsning på tegningen finder vi de samme koordinatsæt. c) Geometrisk konstruktion af sumvektorerne: y 6 5 4    −3 a + b =  3  6 2   −5 1 b=   2

  2  4 a =  g =    4  2     0   6 x a + d + 2c =  g + d =    0  0 –5 –4 –3 –2  –1  −20 1 2 3 4 5 6   6 c =–1 f =   −1   2   −1 –2 d=   −2

V ed aflæsning finder vi samme koordinater som ved udregning:    −3    6     0 a + b =   , g + d =   , a + d + 2c =    6  0  0

190

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 190

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 5.2

Opgave 5.3

a) Geometrisk repræsentation y

  2 d =   c =  −2  −2  −1   −5 b=   2 y

  −53 b=   2 2   6 1 f =   −1 –6 –5 –4 –3 –2 –1    −2 e−b=    −5 –2

  2  a=  d= 2  −2  4 0 1

3 4 5   −2 c=   −1

  2 a=   4

6 7 x

b) Koordinaterne til differensvektorerne:

–2

   3     −7 a − b =  , a − d =  ,  1  −2

Opgave 5.4

   2    −2 d −c =  , e − b =    −5  3 Geometrisk repræsentation af differensvektorerne. Vi kan kontrollere koordinaterne: y    7 a − b =4    2 3    −2 e − b =    −25  −5b  =   2    2   6 1 a =    4 f =   −1 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2    −2 e−b=    −5 –2

–2

xy-plan: (0,0,0), (5,0,0), (5,3,0), (0,3,0) z = 4 planen: (0,0,4), (5,0,4), (3,3,4), (0,3,4)

Opgave 5.5

    a) a = 17 , b = 58 , c = 5 , d = 5 b) y

   0 a−d =    6   2 d=   −2

7 6

3 4 5 6 7   −2    4  c =   d−c =    −1  −1

  −2   −4   −1   0  c) aˆ =   , bˆ =   , dˆ =   , fˆ =    −3  0  7  −6

  −5 b=   2   −5 | b |== 7,62  2 

  −2 3 c=   −1 2   −2 | c |==5  1  −1 –4 –3 –2 –1

  2 | a | == 4,12    2   2  4 a=   |d  |2==5   4 d =   −2  −2 x 0 1 2 3 4 5

c) L a = 4,12, Lb = 7,62, Lc = 5, Ld = 5

7 ˆ 6 −21 d d= =  7  5 −2

Opgave 5.6

  −53 b=   2 2   2   2 d=    6 22a=  4 ˆ =1 −  −2 a f =  a =  0   −1  4 –6 –5 –4 –3 –2 0 1 2 3 4 5 6 7 −2–1 e−b=     −2 ˆ −5 − –2 0  c =   −4 5 ˆ  6 = b  −1 f = b =  −–3  f =    −−6  23 1 –4

–5

–6

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 191

  −7   12   5  a) AB =   , BC =   , AC =  ,  −6  − 4  −10   0   7 AA =   , BA =    0  6   4    −5   −1 b) AB =  −5 , BC =  12 , AC =  7  ,  −1  −9  8   0   −4 AA =  0 , BA =  5   0  9

191 25/08/14 11.23

Opgave 5.7

a) Stedvektorerne har samme koordinater som hvert punkt blot opskrevet på vektorform fx

10 8 6

  106 OA =  141  68 

  54   15 BA =  32 , CD =  41 ,  68  58

–12 –10 –8 –6 –4 –2 10

 b) BA = 92,54,  DE = 37,71,

–3 –2 –1

( x + 2)2 + (y – 4)2 = 10 centrum C(–2,4) radius 10 (x – 4,5)2 + (y – 1)2 = 121,25 centrum C(4.5,1) radius 11,01 (x + 2,5)2 + (y + 7)2 = 45,25 centrum C(–2.5,–7) radius 6,73

Opgave 5.12 Fx (x + 2)2 + (y + 2)2 = –10

Opgave 5.13

BC = 12,53

MAC (7.50,1.00)

MBC (2.50,0.00) 3

7 8

–2 –3

c) |AB| = 10,2

|BC| = 12,53

192

|AC| = 8,06

a) C(2,5,7), r = 2 Punkter: Fx (0,0,0), (0,7,0), (0,0,9) b) C(–1,4,0), r = 6 Punkter: Fx (5,0,0), (0,10,0), (0,0,6) c) C (0,–4,12), r = 11 Punkter: Fx (-11,0,0), (0,7,0), (0,0,1) d) C (–102,430,731), r = 1 Punkter: Fx (–101,0,0), (0,431,0), (0,0,732)

Opgave 5.9

Opgave 5.14

x2 + y2 + (z – 5)2 = 9

C(–3,7,–1)

Opgave 5.10

Opgave 5.15

a) C(2,5) r = 3 c) C(–1,–4) r = 10 e) C(0,0) r = 9

b) C(–1,4) r = 5 d) C(2,–7) r = 40 f) C(0,1) r = 11

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 192

Opgave 5.11

AC = 8,06

(2,–7)

–14

AB = 10,20

0 1

–4

MAB (2.00,4.00)

10 12

–12

a) Midtpunkt på AB: (2,4) på BC: (2.5,0) på AC: (7.5,1) b) y

6 8

–10

Opgave 5.8

–8

 CD = 73,40,  AE = 52,48

0 2 4

–6

c) N ej, der findes ingen skaleringsfaktor k, så   IE = k ⋅ GA

(0,1) 11 (0,0) 9

(–1,– 4)

  25   −41 DE =  11 , AE =  28     26  17 

3 (2,5)

5 4 (–1,4)

r=6

a) indenfor c) på cirklen e) indenfor

b) på cirklen d) udenfor

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 5.16 C(1,–3,–1)

Opgave 5.22 y

r=3

C(3,–1,0)

  2 a=   4

Opgave 5.17

r=4

  −5 b1=     −25 b0=    2

Opgave 5.18 C(–1,2) r = 3

–1

Opgave 5.19

–1

–2

a) Se figuren forneden. b) Skæringspunkter: Cirklens ligning er (x – 1)2 + y2 = 8 Substituer x – 1 i første parentes med y: y2 + y2 = 8, hvilket giver: y2 = 4, dvs. y = –2 eller y = 2 Bestem nu x, og dermed punkterne: (–1,–2) og (3,2). Kontroller på tegningen.

3 4   −5 b –1=    2   −5 b –2=    2

  −5 =  b –3  2

–3

b) Alle punkter Pt ligger på linjen x = 2. c) t ligger mellem –2 og –3. Tættest på –3. d) t = − 83 .

Opgave 5.23

y   −5   −5   −5  −5   −5 b –2=   b –1=   b0=  b 1=   b2=  2    2  2  2  4 2 

y=x–1 3

2 1

B(3,2)

2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 C

–2

A(–1,–2)

–1

–3

0 1

x 2

–2

–2 (x – 1)2 + y2 = 8

5.4 Skalarprodukt af vektorer i plan og rum, parameterfremstillinger

  −5 b=  42  t = 0,75

Opgave 5.21

t=7

Hvad er matematik? A, opgavebog

2 1

–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1

d) t =

Opgave 5.20 Prikproduktet giver 0.

  −5 a2= b     −25 a1= b   −25 a0= x b  2  2   −5 a –1= b     −25 a b–2=    2

b) Punkterne Pt ligger på linjen x = 2 (jo større numerisk t-værdi, jo længere væk fra x-aksen) og punkterne Qt ligger på linjen y = 4 (for t = 1,5 ligger Pt på y-aksen. Jo længere numerisk t-værdien ligger fra t = 1,5, jo længere fra y-aksen ligger punktet) c) Den geometriske konstruktion:

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 193

90°

0 1

  −5 a=  b x 2  2

3 4

193 25/08/14 11.23

Opgave 5.24

Opgave 5.28

t = –1

Ja – der byttes rundt på det givne, og det der skal vises i de to sætninger. Sætning 2 er altid korrekt. Sætning 1 er korrekt for alle egentlige vektorer. Hvis vi vedtager, at nul-vektoren er vinkelret på alle vektorer, så er sætning 1 også altid korrekt.

Opgave 5.25 a) t = − 51 b) Vektorerne for pågældende t-værdi: y

  −5 b–= 1   5  2

Opgave 5.29

Da prikproduktet giver 1, er vinklen mellem vektorerne spids – tæt på 90°.   −5 a –= 1 b 5   2 

x –1

Opgave 5.30 Vinklen = 82,87°

Opgave 5.31 Vinklen = 80,73°

Opgave 5.32 Opgave 5.26

Vinklen = 19,44°

a) t = 0 eller t = –9 b) 4

  −5 b –9=    2

–8

–6

–4

Opgave 5.33

–2

  −5 b0=     −25 a b0=    2 0

a) t = 0: v = 180° t = –1: v = 116,57° b) t = 1,300 eller t = –5,344 x

–2 –4 –6 –8 –10 –12

  −5 a b–9=    2

–14 –16 –18

Opgave 5.27

Opgave 5.34

a) Centrum = (–1,3), radius = 5  x   2  2 Linjen :   =   + t   b) Linjen:  y   2  1 c) K oordinaterne til skæringspunkterne: (–4,–1) og (4,3)

Opgave 5.35 a) Radius = 13 b) Cirklen tegnes med centrum i C(3,–2) og radius 13 (setegningen til højre). Punktet P(8,10) afsættes på cirklen. Radius CP tegnes, og tangenten i P konstrueres som en linje vinkelret på CP.  x  8   −12 c) Tangenten: Tangenten :   =   + t   y   10  5 

t = 4 eller t = –2

194

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 194

25/08/14 11.23

Facitliste

5.5 Projektioner i plan og rum

 −12  CP =   5 

P(8,10)

–2

Opgave 5.40

0 –1

a) s =

 5 CP =    12 

1 C(3,–2)

1 3

 − 4  b) ab =  85   5 

x 3

Opgave 5.41

–2

a) Vinklen = 82,87°  b) ba = 0,45

–3

Opgave 5.36

Opgave 5.42

 x  2   − 4 a) m :   =   + t    y   −1  3

  3,12 ab =   4,16

 x   2  3 b) l :   =   + s    y   0  4

Opgave 5.43

c) (x,y) = (1.52,–0.64)

 x   3  17 a) l :   =   + t    y   1  6

Opgave 5.37

  2,62 b) al =   0,92

a) P(6,–1,2) b) Vinklen = 82,53°

Opgave 5.44

Opgave 5.38

 x   4  4 a) l :   =   + t    y   1  4

  3    −2   −5 a) DE =  −6 , DF =  −3 , EF =  3  ,        3  4  1

b) Vinklen = 71,57°  c) al = 2,12

∠D = 52,66°, ∠E = 46,36°, ∠F = 80,97°  x   7  −6  x   1  −2 b) l:  y  =  3 + s  5  m:  y  =  1 + t  4   z   0  0  z   6  −2

Opgave 5.45

c) C(–5,13,0) og vinklen 33,25°

b) Beregning: Bestem fx Ql som skæringspunktet mellem l og en linje m vinkelret på l,

d) |BC| = 14,70

 x   −3  3 a) l :   =   + t    y  5   2

Opgave 5.39

 x  9   −2 m :   =   + s⋅   y   −3  3

Der er kun en skæring (–3,–5,0), hvorfor linjen må være tangent til kuglen.

Ql = (1.61,8.08) Konstruktion: Tegn linjerne l og m, og lad geometriprogrammet bestemme skæringspunktet (se tegningen på næste side).

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 195

195 25/08/14 11.23

c) S e tegningen: Projektionen er vektoren fra P til Ql, så:   1,61  −3  4,61 − = PQl =   8,08  5   3,08

1 3

t = 12 l

10 8

t= −

Opgave 5.51

 PQ l

Opgave 5.50

Opgave 5.52 Areal = 19

Opgave 5.53

6 4

  −3 a) ab =    −4

  −5 a=  b  2

b) Areal = 100 x

–4

–2

Opgave 5.54

–2 –4

Areal = 18 Q

Opgave 5.55 a) 170,84° b) Areal = 2,5

Opgave 5.46  2  7    3 ab =  −  7    1  7

 2  11   3 ba =   11    6  11

Opgave 5.56 a) t = 4 b) Areal = 34

Opgave 5.57

5.6 D eterminanten for et vektorpar i planen Opgave 5.47

a) Areal = 75   8 b) PQ a =    −6

  a) d et a, b ) = 26 det( A realet af parallelogrammet udspændt af de to vektorer giver 26.   b) d det( et b, a ) = −26 Der gælder, at     det( b, a ) = −26 det det( a, b ) = det 26

5.7 Vektorprodukt (krydsprodukt)

Opgave 5.48

b) Mht 3., så er de to vektorer parallelle, og derfor giver krydsproduktet nulvektoren. c) Udregn prikproduktet mellem krydsproduktet   og a henholdsvis b, og vis, det giver 0.

a) t = − 11 b) t = 2

Opgave 5.49

Opgave 5.58  −34 a) 1. 1)  −17  17 

 −25 2.  40   −50

 0 3.  0  0

t = 3 eller t = –2

196

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 196

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 5.59

c) Skæring i (–19,28) d) Vinkel = 8,13°

 −3  a)  −34  −58

Opgave 5.64

b) Punkterne udspænder en plan. Ellers ville krydsproduktet være nulvektoren.

    −2 Normalvektor til l : n = AB =    4

 −3  c)  −34 s amme resultat.  −58

Opgave 5.65

Da punkterne ligger i en plan, vil alle krydsprodukter give en normalvektor til planen. En figurbetragtning viser, at de to krydsprodukter peger i samme retning. Da arealet af trekant ABC svarer til halvdelen af længden af krydsproduktet, må de to krydsprodukter være ens.

Ligning for l: –2x + 4y – 2 = 0

a : 6x + 2y + 3z = 12

Opgave 5.66 l: –5x + y + 7 = 0

Opgave 5.67 a : 7x + y + 2z + 2 = 0

Opgave 5.60

Opgave 5.68

a) Areal = 156,51 b) Vinkel A = 113,18°, vinkel B = 45,7°, vinkel C = 21,08°

a) a: y – 3z +10 = 0 b) Arealet = 186,57

Opgave 5.61

    a) a × b peger nedad, b × c peger opad,   a × c peger opad

5.9 V inkel mellem linjer og planer

Opgave 5.62

Opgave 5.69

Areal = 9 + 9 + 8,746 + 9,055 + 8,746 = 44,547

Vinklen = 9,27°

Opgave 5.70

5.8 Linjer og planer

a) Vinklen = 74,60° b) Ja, da prikproduktet mellem normalvektor og retningsvektor giver 0.

Opgave 5.63   4 a + b) n =    3

Punkt P = (2,0)

Opgave 5.71

a) 3x + 3y + 8z = 48 b) Vinklen = 158,13°

B(–19,28) 25

8,13°

Opgave 5.72 a) a : 13x + 13y + 10z = 5200 b) Den stumpe vinkel, som er den søgte indre vinkel, er 160,36°.

15 m 10 5

–15

–10

–5

 −1 v   1

P(4,5)  n  4  3

0 A(2,0) 5

x 10

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 197

Opgave 5.73 a) 3x + 3y + 2z = 6 b) Vinklen = 79,52°

197 25/08/14 11.23

Opgave 5.74

Opgave 5.82

a) a : x + z = 3 b) Vinklen = 60°

a) Vinklen = 82,53° b) P(6,–1,2) c) K rydsproduktet af retningsvektorerne er en normalvektor til planen. Ligning: x + 21y – 9z = –33

5.10 Skæring mellem objekter i plan og rum Opgave 5.75

Opgave 5.83

Ja, l er tangent til K, fordi der er ét skæringspunkt mellem linjen og kuglen.

a) Kuglen: x2 + y2 + (z – 5)2 = 9 Tangentplanen: –2x + y + 2z = 1 b) Q = (1,2,3)

Opgave 5.76

Opgave 5.84

a) C(–2,3,4) r = 5 b) Når punktets koordinater indsættes i ligningen, bliver resultatet sandt. c) –3x + 4y = –7

a) Vinklen = 63,49° b) Del fx op i to trekanter og udnyt, at den halve længde af krydsproduktet er arealet af trekanten de to vektorer udspænder: Areal = 51924,9 cm3 c) (48,180,75)

Opgave 5.77 Vinklen = 49,60°

Opgave 5.85

Opgave 5.78

a) (x + 1)2 + (y – 4)2 = 9 b) De to skæringspunkter er: (–5,1) og (–4,8)

 x  0   −5  a)  y  =  0  + t  5  og x + 5z = 10  z   22  −19

Opgave 5.86 x2 + y 2 = 2 De to skæringspunkter er: (–1,1) og (1,–1)

b) S(–5,5,3) og TS = 411 = 20,27

Opgave 5.79

Opgave 5.87

a) Vinklen = 39,42° b) Radius = dist(P, a) = 3 Kuglens ligning: (x – 7)2 + (y – 3)2 + (z + 2)2 = 9 c) Q(5,4,0)

a) a : 23y + 16z – 368 = 0 b) T(–11,0,23) c) 96,97°

Opgave 5.80

Opgave 5.88

a) C(1,–3) og radius = 2 b) De to skæringspunkter er: (0,–2) og (2,–4)

a) x + y + (z – 5) = 9 b) Vinklen = 26,39° c) (1,2,3)

Opgave 5.81 a) a : 5x + 10y + 14z = 70 b) D kan bestemmes som projektionen af O på a : D(1.09,2.18,3.05)

198

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 198

25/08/14 11.23

Facitliste

5.11 Afstande i plan og rum

Opgave 5.98

Opgave 5.89

a) l : –x + 2y – 1 = 0 b) dist(T,l) = 4,47 c) Tl (2,1.5)

180

346

Opgave 5.90

Opgave 5.99

a) Den korteste afstand måles på linjen mellem punktet A og centrum C, og beregnes AC − radius = 61 − 2 = 7,81 − 2 = 5,81

a) a : 6x + 2y + 3z = 12 b) Vinklen = 35,68° c) R adius bestemmes som dist(O, a) Kuglens ligning: x2 + y2 + z2 = 2,94

Opgave 5.91 a) 4,24

b) 2,21

c) 0,19

d) 1,34

Kapitel 6

Opgave 5.92 dist ( P, a ) =

7 6

Ja – kuglens centrum har afstanden 6 til planen.

6.1 Infrastruktur og trafikplanlægning

Opgave 5.94

Opgave 6.1

Opgave 5.93

a) dist(G, b ) = 9,80 b) 23y + 9z – 736 = 0 c) Vinklen = 82,37°

Opgave 5.95

 a) Grafen for r ( t ) y x –5

a) dist(t, a ) = 25,30 b) Vinklen = 63,43°

–10

 x  0   −20 c)  y  =  0  + t  −20  z   20  20 

–20

skæringspunkt: B = (40,40,–20)

Opgave 5.96 a) a : 8x – y – 10z = 0 dist((FF,,a))== 4,13 4,13 b) dist c) 105,50°

Opgave 5.97 dist(O,b ) = 300,2

–15

0 5

15 20

P1= P

 r (′(1) t)

 r (t )

–25

–35

22,74 m/s

 r (′(2) t)

–30

–40

30 35 40

P3 17,12 m/s

k = 0,5 km –1

  6,811  b) r ′(2) =   15,707

 50sin( 1 )cos( 1 )    23,226 2 4  c) r  1  =   =  −5,931  2k   1 1   −50sin( 2 )sin( 4 )  1 d) L øser r '( ′ 2k ) = 13,889 , og det giver k = 0,305.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 199

199 25/08/14 11.23

6.2 V ektorfunktioner og banekurver

Opgave 6.3

 a) Tabelværdier for r ( t ):

Opgave 6.2

 a) Tabelværdier for r ( t ): t

–1

–2

–1

–2

–1

 b) Banekurven for r ( t ): y

  b og f) Banekurven for r ( t ) og s(t ): 12

 r (′(–2) t)

x=1 3

 r (t )

–1

P–1

8 P–1

y=1 P2

x 0

 1 s(t )

–1

 r (′(2) t)

P3 P–2

Q –1

 r (t )

c) Ja, den konstante funktion: y = 1.  d) r ( t ) gennemløber den vandrette linje med ligning y = 1 løbende fra –∞ til +∞.  e) Tabelværdier for s ( t ): t

–1

g) Nej – den lodrette linje er ikke grafen for en funktion.  h) r ( t ) gennemløber den lodrette linje med ligning x = 1 løbende fra –∞ til +∞.

200

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 200

P2 –2

2 P1

c) Ja: f(x) = x3 – 5x + 3   1  d) H astighedsvektoren r ′( t ) =  2  er pa 3t − 5   1 rallel med v =   , når deres determinant er  7 0, hvilket giver t = –2 og t = 2. Dvs. punkterne: (–2,5) og (2,1)

25/08/14 11.23

Facitliste



Opgave 6.4

b) Banekurven for r ( t ):

 a) Tabelværdier for r ( t ):

–2

–1

 r (t )

0,2

 b) Banekurven for r ( t ):

0,2

 r (t )

P–1

–0,2

P2p

–0,2 P–2

4 P0

(5,3)

P±

P3p 2

c) Da x 2 + y 2 =

P2 (0.431,0) 0

(3.364,0)

(6.205,0)

(

x 2 + y 2 =x 6

) +( )

cos( t ) 2 3

og y ( t ) =

 Tabelværdier for r ( t ):

0,5p

–5

)



b) Banekurven for r ( t ): y 5

 r (t ) Pp

P0 –5

sin ( t ) 3

0 –5

P2p

x 10

P3p 2

0,5p

0,333

–0,333

0,333

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 201

(

)

(

)

x y c) D a   +   = (sin( t ))2 + (cos( t ))2 = 1 10 5

1 1 =   ⋅ (cos( t )) 2+ (sin( t )) 2 =   ⋅ 1 =  3 3

1 1 1 =   ⋅ (cos( t )) 2+ (sin( t )) 2 =   ⋅ 1 =   3 3 3

–10

cos ( t ) 3

)

sin( t ) 2 3

d) a) x(t) = 10sin(t) og y(t) = 5cos(t)  Tabelværdier for r ( t ):

Opgave 6.5 a) x ( t ) =

(

) +(

cos( t ) 2 3

s er vi, at banekurven er en cirkel med cen1 trum i (0,0) og med radius på 3 .

c) y -aksen skæres i (0,3), mens x-aksen skæres i (0.431,0), (3.364,0) og (6.205,0) d) L øsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ± 5, og dermed dobbeltpunkt i (5,3).   2t  e) Retningsvektor for tangenten: r ′( t ) =  2   3t − 5   r ′( t ) er parallel med v , når deres determinant er 0. Det giver ligningen: 3a ⋅ t2 – 2b ⋅ t – 5a = 0 Diskriminanten: d = 4b2 + 60a2 > 0, da a og b ikke samtidig er 0. Derfor er der altid løsninger t og dermed punkter på banekurven, hvor tangenten er parallel med en given vektor.

sin( t ) 2 3

(

s er vi, at banekurven er en ellipse med stor-akse på 10, lilleakse på 5 og med centrum i (0,0).

201 25/08/14 11.23

Opgave 6.6

a) x(t) = t og y(t) = sin(t)  b) Tabelværdier for r ( t ):

–4

–2

0,757 –0,909 0

0,841 0,909 0,141 –0,757

P–4

0,5

 r (t )

P–5

1 P1

0 –0,5 P–1

P–6

P–3 P–2

–1

P–10

x 40

P–7

100

P–9

P–8

P10

c) Banekurven: y

Opgave 6.7 a) x(t) = et og y(t) = t2  b) Tabelværdier for r ( t ):

 r (t )

P1 0,5 P0 (0,0)

P–4

(p2,0) 10

P±p

P–3

–0,5

x 15

P–1

–2

–1

0,135

0,368

2,718

7,389

c) Banekurven:

P–2

–1

 r (′(2) t)

d) x -aksen skæres i (0,0) og i (9.870,0), mens y-aksen skæres i (0,0). e) Løsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ±p, dvs. (p2,0) = (9.87,0) er et dobbeltpunkt. f) I tabellen angives kun værdierne fra 5 til 10 (supplement til a)). Figuren er symmetrisk om x-aksen, så for de negative t-værdier skiftes blot fortegn på y-værdierne i forhold til den tilsvarende positive t-værdi. t

100

-0,959 –0,280 0,657

0,999

0,412 –0,544

6 4 2

P–1

 r (″t(2) )

 r (′(1) t) P–2   r ( t ) r (″t(–1) ) ″(1)

 r (t )

(1,0)

P0 2

 r (′(–1) t)

d) x -aksen skæres i (1,0). y-aksen skæres ikke, da et = 0 ikke har nogen løsning.   et  e) r ′( t ) =   . Indsæt t-værdier:  2t   0,368  2,718  7,389 t = –1:  t = 1:  t = 2:   −2   2   4    et  f) r ′′( t ) =   . Indsæt t-værdier: 2   0,368  2,718  7,389 t = 1:  t = 2:  t = –1:   2   2   2 

202

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 202

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 6.8

c) H astighedsvektorens koordinater:  x ′( t ) =  2t   y ′( t )  1 − 3t 2 

a) Banekurven: y

Indsæt t = ±1: De to hastighedsvektorer i Q  2 er  −2 og  −2 . Skalarproduktet mellem  −2

 r (″t(2) )

 r (′(2) t)

10 y

 r (′(–1) t)

5 P2  r (″t(1) )   r (′(–1) t) r (′(1) t)

 r (′(1) t)

x P0

–4 –2 0 2 4  r (″t(–1) ) –5 P–2

( 18

)

 1 e) Normalvektor til begge er −v =   .  1 For t = 1: x + y + 1 = 0

P±1

 r (t )

1 For t = − : x + y − 3

 r (t )

–10

disse to vektorer giver 0, hvorfor vektorerne er ortogonale. d) V ektorerne er parallelle, når determinanten er 0: 1 3t2 – 2t – 1 = 0 giver t = 1 eller t = − 3 . Dvs. −17 −8 , . punkterne er ( −1,0) og

67 54

Opgave 6.10

–15

a) Banekurven: –20

y P–3

P10 P11,60

b) Løsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ±1, dvs. der er dobbeltpunkt i (–3,0).

3 2 P19,10

Opgave 6.9 y

–1

0 1

 v

 1 r (′(– t ) 3) P0

–3

P–1

P±1

–2

 r (t )

P– 2

–3

–4 x

–1

–5

–6

–1

 r (′(–1) t)

P 2

 r (′(1) t)

–7

–2

a) x-aksen skæres i (–2;0) og (–1;0), mens y-aksen skæres i (0;– 2) og (0; 2) b) Løsning af ligningssystemet giver dobbeltpunkt for t = ±1, dvs. dobbeltpunktet ligger i (–1,0).

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 203

 r (t )

b) (4.263,0) 1    2 t −2 c) r ′( t ) =    −0,08t + 0,8 Vandret tangent, hvor –0,08t + 0,8 = 0, dvs. t = 10: (2.828,4) d) t = 11,604 eller t = 19,101

203 25/08/14 11.23

Opgave 6.11

celerationsvektoren peger i den retning, hvor der accelereres ud af spidsen, fx i den højre spids, hvor der accelereres ud langs den positive del af x-aksen (se figuren ovenfor).

a) x(t) = 4cos(t) – cos(4t) , og y(t) = 4sin(t) – sin(4t)  b) Tabelværdier for r ( t ): t

π 2

3π 2

Opgave 6.12

–1

–5

–1

–4

a) P0(5,4) b) sin(2t) løber mellem –1 og +1, så 4 + 5sin(2t) løber mellem 4 – 5 = –1 og 4 + 5 = 9   8 − 10sin(2t ) c) v ( t ) =   10 cos ( 2t ) 

c) Banekurven: y

 rr (″t( )2p ) 3

 π  −2 d) v   =   4  0  e) v ( t ) = 64 + 100((sin(2t ))2 + 100(cos(2t ))2 − 160 ⋅ sin(2t ) = 164 − 160 ⋅ sin

10 Pp

P1,385

 v ( t ) = 64 + 100((sin(2t ))2 + 100(cos(2t ))2 − 160 ⋅ sin(2t ) = 164 − 160 ⋅ sin(2t )

 r (t )

P2p   P2p ) p) v ( t ) =Pp 64 + 3100((sin(2 t ))2 + 100r ((″t(2cos(2 t x))2 − 160 ⋅ sin(2t ) = 164 − 160 ⋅ sin(2t ) –5

P4p

P3p 2

 rr (″t( )4p ) 3

Heraf ses, at den laveste fart er 2, mens den højeste fart er 18. f) S tudiet af cykloiden var central i infinitesimalregningens første periode, læs øvelse 6.3 i bogens kapitel 6, afsnit 2.3, side 315.

P4,898

–10

d) E picykler indgik i oldtidens verdensbillede, der især tilskrives Aristoteles og Ptolemaios, og som blev matematiseret af Ptolemaios. Det er bl.a. omtalt i C-bogens projekt 10.9. e) x-aksen skæres i (–5,0) og (3,0), mens y-aksen skæres i (0,4.607) og (0,–4.607)   −4 sin(t) + 4 sin(4 t)  . Indsæt: f) r ′( t ) =   4 cos( t ) − 4 cos(4t ) t=

 0  0

2π : 3

4π : 3

 0  0

2π : 3

 −6   10,39

4π : 3

Opgave 6.13 a) t = –1: 0,707 t =1: 0,707 t = 2: 0,0649 b) Krumningen er 3 i alle punkter. π 2 π : 2

c) t = : − d) t =

 0 t = 2p:  0

2 5

2π : –0,173 3 2π t = : 0,035 3

0,101

t = p: −

1 20

t = p: –0,008

Opgave 6.14

  −4 cos(t) + 16 cos(4 t) . Indsæt: g) r ′′( t ) =   −4 sin( t ) + 16 sin(4t )  t=

6.3 Krumning for en banekurve

a) 0

 −6   −10,39

t = 2p:  12  0

(

6x − 8

(

1+ 3x − 8x + 5

))

3 2 2

(1 + (2 x + 2) )

3 2 2

(1 + 9e )

3 6x 2

h) H astigheden i de tre punkter er 0, da det er der, hvor kurven vender (de tre spidser). Ac-

204

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 204

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 6.15 a) 0

(

(1 + (2ax + b) )

3 2 2

a) Banekurven: r(0) = (0,3) y

2 kx

6 ax + 2b

(

Opgave 6.19

1 + 3 ax + 2bx + c

))

3 2 2

k e

(1 + k e )

3 2 2 kx 2

P0  r (t )

Opgave 6.16

a) Banekurven:  r (t )

P0,00125 y

 r (′(–1,916) t) 1500

P–1,916

1000

–1

0 –1

P1,808  r (′(–1,808) t)

1 1 1000 ·

 r (′(0,00125) t)

–2

500

–3

–2000 –1500 –1000 –500 0 500 1000 1500 2000 –500 –1000

b) t =

0,00125 == 0,00125

 800 c) | r (0,00125)| = 3978,8

–1500 –2000

Altså er farten 3,97 m/s.

–2500

Opgave 6.20 –1

b) Krumningen = –0,0000676 m c) I det angivne interval er der en løsning: t = –1,916

6.4 Anvendelser af vektorfunktioner

a) t1 = 0,083 timer  b) |r (0,08)| = 204,02 km/t c) O mdøb den variable for det blå fly til s,   løs r ( t ) = b(s) og bestem punktet: (1.248,0.016) d) N ej, t- og s-værdierne er ikke de samme, så flyene passerer ikke P på samme tidspunkt.

Opgave 6.21 Opgave 6.17 a) Højden = 0,95 m b) v = 50,19° c) Ja, pilen og aben er samtidig i punktet (8,10.04).

a) b) c) d)

Kurvelængde = 317,93 Kurvelængde = 1,047 Kurvelængde = 24,221 Kurvelængde = 8,827

Opgave 6.18



a) r (0,3) = (1.2,2.958) b) Højden = 3,43 meter  c) Bestem t, ved at løse r (t) = P: t = 0,89.  Udregn |r (0,89)| = 4,85 m/s2

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 205

205 25/08/14 11.23

Opgave 6.22

Opgave 6.24

a) Banekurven:

a) (0,0) og (9.870,0) b) Banekurven:

y r ′(2,17) P4,11

4 3

y P2,17

1 4p

0,5

P±p

r ′(4,11)

0 2,5

7,5

12,5 15

17,5 20

–0,5

 r (t ) 1

–1 x

–1

0 1 r ′(10,40)

Opgave 6.25

P10,40

–2

c) Areal = 4p

P8,45 r ′(8,45)

b) f ( t ) = (cos ( t )) + 2,25(cos (0,5t )) 2

c) Bilen tilbagelægger 15,48 m i intervallet. d) Bilens mindste fart i intervallet er 0,90 m/s.

Opgave 6.23

Opgave 6.26 a) Skæringspunkter med x- og y-akse i (0,0) samt med x-aksen i (1,0)

a) (–0.693,0) og (1.253,0) b) Banekurven: y

 −2cos(2 ⋅ π )  −1  π 6 b) Normalvektor: r , ′( ) =   = 6  cos( π )   3    6 2

 r (′(0,5) t)

 r (′(1,5) t)

a) Skæringspunkter: (4,–24) og (4,24) b) Areal af parallelogram = 90,510 c) H astighedsvektoren er parallel med førsteaksen i (0.894,3.026) og (0.894,–3.026) d) Areal af M = 8,620

Ligning: − x + 1

1 4

=0 4 3

d) I ndsætter x = sin(t):

 ar ( t )

f(x) = 2sin(t) 1 − ( sin ( t )) = 2

2sin(t) ⋅ cos(t) = sin(2t)

P0,5

 r (t )

y−

c) A real i førte2kvadrant ∫ f ( x ) dx =

P1,5

P3,5

–1

3 2

Undervejs er formlerne

(cos(x))2 + (sin(x))2 = 1 (fra enhedscirklen)

og sin(2x) = 2sin(x)cos(x) benyttet. –1

e) 2 ∫ f ( x ) dx = 0

4 3

 1   c) Hastighedsvektoren v ( t ) =  t   −2t + 4  er parallel med a, når determinanten er 0. Det giver t = 0,5 eller t = 1,5. d) Areal = 2,595

206

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 206

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 6.27

c) Skæringspunktet: (10,5) d) Til tiden t = 2 e) Q passerer R til tiden t = 5, så der er en tidsforskel på 3.

a) T(2, 1) 2

b) L = 12,475

f) d (t) = 50 t 2 − 392t + 890

c) Indsætter x = 2et: y= y=

1 8

(2e ) t

1  − ln  2et  = 2 

(2e ) − ln  21 2e  = 21 e 1 − ln ( e ) = e − t 2

1 8

1 2t e 2

( )

− ln et =

1 2t e 2

−t

Afstanden mellem P og Q er mindst, når t=

98 25

3,92. = 3,92

d) Areal = 24,03 y

Kapitel 7

7.1 Operationsanalyse

 OP

Opgave 7.1: Et diætproblem

a) 4x + 2y ≥ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 b + d) T ilhørende polygonområde og niveaulinje hørende til omkostningsfunktionen (den røde linje):

24,03 2

P–1

 OP ′(0)

(Peanutbutter)

Opgave 6.28

a) Parameterkurverne: y

 OP

1,5

30 20

R Q5

–40 –30 –20 –10 –10

P2 P98

0 10 Q 98

0,5

(Bøf)

–20

–30

 OQ OP

0,5

1 36x + 24y = 18

–40

c) Pris dagligt måltid = 36x + 24y e) Det optimale (billigste) findes ved det første hjørne, som niveaulinjen rammer, dvs. det optimale er kun at spise bøf.

–50 –60 –70

b) De to parameterkurver beskriver to rette linjer. Den første går gennem (2,9) og har  retningsvektoren r =  4  , mens den anden  −2 linje går gennem (–5,–20) og har retningsvektoren s =  3 .  5

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 207

207 25/08/14 11.23

Opgave 7.2: Et blandingsproblem

b ) – 5x + y – 10 ≥ 0 og –5x + y – 10 ≤ 0. Den første hører til den venstre halvplan.

a) x ≥ 0, y ≥ 0, 100x + 200y ≥ 90,

80x + 150y ≥ 50, 40x + 20y ≥ 20, 10x ≥ 2, x+y≤1 b + d) P olygonområdet og Niveaulinje (rød linje):

11 10

–5x + y ≥ 10

9 1,0

0,8

0,6

0,4

5 A(0.37,0.27)

–5x + y = 10

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

c) Omkostninger: f(x,y) = 40x + 60y e) Den optimale opskrift (billigste som opfylder kriterierne) kræver pr. kg 370 gram af ingrediens 1 og 270 gram af ingrediens 2. Svaret aflæses som koordinaterne til det hjørnepunkt niveaulinjen slipper sidst, når den bevæges nedad.

1 x

–4

–3

–2

–1

0 –1

–5x + y ≤ 10

c) 4 y – 20 ≥ 0 og 4y – 20 ≤ 0. Den første hører til den øvre halvplan. y

7.2 L ineær programmering i to variable – følsomhedsanalyse

4y ≥ 20

6 4y = 20

Opgave 7.3

a) 2 x + 3y – 7 ≥ 0 henholdsvis 2x + 3y – 7 ≤ 0. Den første hører til den øvre halvplan.

3 4y ≤ 20

2x + 3y ≥ 7

–3

3 2

–2

–1

0 1

2x + 3y = 7

1 x

–1 –1

208

2x + 3y ≤ 7

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 208

25/08/14 11.23

Facitliste

d) 5 x – 45 ≥ 0 og 5x – 45 ≤ 0. Den første hører til den højre halvplan.

5x – 45 = 0

y ≥ 15

2 1

0 1

–1

–2

5x – 45 ≥ 0

5x – 45 ≤ 0

–3

10 11

–5

Opgave 7.4 a)

–x–

1 3

y≤4

–5

x + 2y ≥ 8

3 –5

2 1

–10

0 1

Opgave 7.5

a) b) c) d)

3 2 1 x

–1

x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 5, y ≤ 4 x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 5, y ≤ 4, x + y ≤ 7 x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 6, y ≤6, 9x + 10y – 90 ≤ 0 x ≥ 0, y ≥ 0, x ≤ 6, y ≤ 8, 13x + 10y – 130 ≤ 0, 18x + 8y – 144 ≤ 0

Opgave 7.6

10x + 40y ≤ 50

7 y

–2x ≥ 8

–6

–5

–4

–3

–2

–1

–2

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 209

N(6)

–7

Maks

2 1 –1 –1

Min 0 1

209 25/08/14 11.23

Opgave 7.7

8 7

6 5

Maks

4 N(6)

x=8

Min 0

–1

y=7

3 4

6 7

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

3 2 –x + y = 4

Maks (6,3.6)

N(8)

x + 2y = 4

Min 0

–1

1 2

3 4 5 6 7 8 9 10 11

6 –x + 12 y = 1

3x + y = 12

16 14

10 8

Maks (3.846,8)

N(20)

6 4

2 x

Min 0

2 x + 2y = 4

–x + y = 1 1

4x + 2y = 12 0

210

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 210

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 7.8

c) Den røde og den lilla linje er niveaulinjer

a) l1: På normalform: 4x + y – 4 = 0, som lineær funktion: y = –4x + 4 l2: På normalform: x + 5y – 5 = 0, som lineær funktion: y = – 51 x + 1 l3: På normalform: 4x + 3y – 9 = 0, som lineær funktion: y = – 43 x + 3 b) Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så det minimale hjørne er skæringspunktet mellem l1 og l2: P(0.789,0.842). c) Når a vokser, bliver den negative hældning på niveaulinjen stadigt større. Ved a = 4 har niveaulinjen samme hældning som l1, og alle punkter på l1 i polygonområdet, herunder P, er optimale. Derefter bliver det venstre punkt det optimale.

Opgave 7.9

400

300

N(600) (81.2,72.3)

200

N(20000)

4000

N(25000)

2000

4000

6000

d) K riteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den maksimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: 0,03x + 0,05y – 400 = 0 og l2: 0,015x + 0,005y – 75 = 0: P(2919,6250). Dvs. der skal produceres 2917 BoostBar og 6250 ChocDelight for at optimere fortjenesten.

Opgave 7.12

100

Maks (2916.7,6250)

6000

a) Kriteriefuktion: f(x,y) = 3x + 40y Begrænsninger: 3x + 50y ≤ 2500, 5x + 15y ≤1000, 2x + 10y ≤ 700, x ≥ 0 og y ≥ 0

200

Min

8000

Opgave 7.11

N(1200)

100

300

a) f(x,y) = 10x + 15y b) Polygonområde:

400

a) Den røde og den lilla linje er niveaulinjer. b) Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den minimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: 4x + y – 400 = 0 og l2: x + 3y – 300 = 0: P(81.8,72.2). Den minimale værdi bliver 545.

30 N(400) 20

Opgave 7.10 a) Fortjenesten: f(x,y) = 3,30x + 2,10y b) 0,020x + 0,002y ≤ 90, 0,015x + 0,005y ≤ 75, 0,030x + 0,050y ≤400, x ≥ 0, y ≥ 0

Maks

(16,16) 10

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 211

211 25/08/14 11.23

Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den maksimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: 10x + 20y – 480 = 0 og l2: 60x + 40y – 1600 = 0: P = (16,16). Dvs. der skal produceres 16 stk. af begge etuier. c) Hældningskoefficienten for niveaulinjen skal ligge mellem − 12 og − 32 . Det giver: 7,5 ≤ dækningsbidrag for x ≤ 22,5 d) H ældningskoefficienten for niveaulinjen skal ligge mellem − 12 og − 32 . Det giver: 6,67 ≤ dækningsbidrag for y ≤ 20.

Opgave 7.13

a) x er antal af produktet Mini, mens y er antal af produktet Midi. Dækningsbidraget: f(x,y) = 1000x + 1500y b + c) B egrænsninger: 1,5x + 3y ≤ 24, x + y ≤11, x ≥ 0 og y ≥ 0 Polygonområdet og niveaulinjen: y 8 6

Maks (6,5)

4 2

a) x er prisen for et styk A4, mens y er prisen for et styk A3, og dækningsbidraget er da: f(x,y) = 30x + 40y b + c) Begrænsninger: 15 60

Opgave 7.14

30 60

y ≤ 50 ,

20 60

y ≤ 50 ,

x ≥ 0 og y ≥ 0 Polygonområdet og niveaulinjen: y N(5000)

100 75

N(6000)

x 0

d) K riteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den maksimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: 1,5x + 3y – 24 = 0 og l2: x + y – 11 = 0: P(6,5). Dvs. der skal produceres 6 Mini og 5 Midi. e) Hældningskoefficienten for niveaulinjen skal ligge mellem −– 12 og –1 . Det giver: 1000 ≤ dækningsbidrag på Midi ≤ 2000

Maks

Opgave 7.15

(100,50) 25

N(2000)

100

a) f(x,y) = 18000x + 9000y Polygonområdet:

x 125

150

N(3150000)

Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den maksimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1 : l2 :

150

15 30 x + y − 50 = 0 og 60 60 20 20 x + y − 50 = 0: P(100,50). 60 60

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 212

(100,150)

Maks

100

Dvs. der skal produceres 100 styk A4 og 50 styk A3. d) H ældningskoefficienten for niveaulinjen skal ligge mellem −– 12 og –1 . Det giver: 20 ≤ dækningsbidrag på A4 ≤ 40

212

200

50 x 0

100

25/08/14 11.23

Facitliste

b) Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den maksimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: x + y – 250 = 0 og l2: x + 3y – 600 = 0: P(100,150). Dvs. der skal være 100 sæder på Business og 150 sæder på Economy.

Opgave 7.16

a) b) c) d)

D = 0 dvs. en parabolsk cylinder D = –4 dvs. en elliptisk paraboloide D = –4 dvs. en elliptisk paraboloide D = –4 dvs. en elliptisk paraboloide

a) Niveaukurverne er parabler. z = 1 + 2x – 2y2 z

y Maks

Opgave 7.17

Opgave 7.18

a) f(x,y) = 100x + 100y Polygonområdet med niveaulinje:

100

7.3 A ndengradspolynomier i to variable – et mellemspil

y = 100

(25,100)

80 60

z = 2,5

N(12500)

4x + 2y = 30

N(5000)

40 20

z=0

x x = 60

z = –2,5

x 0

–5

b) Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning, så den maksimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: 4x + 2y – 300 = 0 og l2: y = 100: P(25,100). Dvs. der skal produceres 25 stk WOOD og 100 styk STEEL.

A lle niveaukurverne har toppunkt på x-aksen (y = 0). b) Niveaukurverne er cirkler med centrum i (4.5,2) Toppunkt for den elliptiske paraboloide er i (x,y,z) = (4.5,2,–14.25) 2 2 z = x + y – 9x – 4y + 10

z=5 z=0 y x

z = –5 –12,5

12,5

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 213

213 25/08/14 11.23

c) Niveaukurverne er cirkler med centrum i (–5,–4.5) Toppunkt for den elliptiske paraboloide er i (x,y,z) = (–5,–4.5,–40.25) z = x2 + y2 + 10x + 9y + 5

7.4 Kvadratisk programmering i to variable Opgave 7.19 2

( x − 30 )

( y − 20 ) 3

Centrum i (30,20) og halvakserne er 4 og 3

z=0 y

b) Skitse: y

z = –15 z = –30 25

–45 –25

3 –25

(30,20) 25 15

d) N iveaukurverne er cirkler med centrum i (1,–3) Toppunkt for den elliptiske paraboloide er i (x,y,z) = (1,–3,0) z = x2 + y2 – 2x + 6y + 10

10 20

Opgave 7.20

9 z=8 z=5 z=2

( x − 20 )

( y − 25 ) 3

C(20,25) og halvakser er a = 2 og b = 3 b) Skitse: y

–1 –5 y –8

x 2

2 (20,25)

214

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 214

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 7.21

Opgave 7.23 2

a) y = 4 ( x − 12) + 36 Toppunkt = (12,36) Symmetriakse: x = 12 b) Parablen med toppunkt og symmetriakse: y

a) R (x,y) = x ⋅ (–0,1x + 40) + y ⋅ 20 (ved at gange ind i parentesen fås det ønkede) b) N(60000) har forskriften − 0,01x 2 + 40 x + 20 y = 60000. Hvis y isoleres, fås forskriften for andengradspolynomiet y = 0,0005 x 2 − 2 x + 3000. Skitse af polygonområdet samt parablen

1000

x = 12 800

3500 3000

600

N(62500)

2500

400

2000 1500

200

x 20

Toppunkt

500

x 0

Opgave 7.22 a) x =

5 (y 4

− 20 ) +

25 2

Toppunkt = (12.5,20) Symmetriakse: y = 20 b) Parablen med toppunkt og symmetriakse: y

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500

c) A lle niveaukurver har toppunkt på linjen x = 2000. Når t vokser, svarer det til, at parablen (niveaukurven) forskydes lodret opad. Den maksimale værdi optræder, hvor para-blerne lige slipper linjen y = − 21 x + 2000. 1. metode: Indsæt linjen i kriteriefunktionen, og bestem toppunktets første koordinat.

25 y = 20

N(60000)

(1500,1250)

1000

T(12,36) 0

Maks

2. m etode: Bestem den x-værdi, hvor 1 parablen har en hældning ypå= − 2 .x + 2000

T(12.5,20)

Konklusion: Der skal sælges 1500 styk af vare A og 1250 styk af vare B.

10 5 x 0

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 215

Opgave 7.24 a) Niveaukurven kan omskrives til cirkel-formen (x – 3)2 + (y – 2)2 = 25. Altså en cirkel med centrum i (3,2) og radius 5. b) Når z er større end –21, er niveaukurven en cirkel med centrum (3,2) og radius z + 21. Niveaukurven N(–21) er udartet til et punkt, (3,2). Der er ingen niveaukurver hørende til tal mindre end –21.

215 25/08/14 11.23

Opgave 7.25 a) p1 ⋅ x er indtjening for vare A, p2 ⋅ y er indtjening for vare B. v1 ⋅ x og v2 ⋅ y er de samlede udgifter for henholdsvis vare A og B. b) Ved indsættelse fås D(x,y) = –0,0025x2 + 20x + 70y. Ved at isolere y i ligningen 100000 = –0,0025x2 + 20x + 70y fås andengradsudtrykket y = 0000357x2 – 0,286x + 1428,57 y (250,2437.5)

2500

1500 N(100000)

1000

Toppunkt

500 x 0

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

c) Alle niveaukurver har toppunkt på linjen x = 4005,6. Når t vokser, svarer det til at parablen (niveaukurven) forskydes lodret opad. Den maksimale værdi optræder, hvor parablerne lige slipper polygonområdet. Det sker i skæringspunktet mellem de to skrå linjer (sammenlign fx parablens og linjernes tangenthældning i punktet). Der skal produceres 250 af vare A og 2437 (afrundet) af vare B.

Opgave 7.26 a) Ved at opskrive ellipsens ligning får vi: ( x − 400 ) 100

( y − 600 ) 200

= 1.

Ved at reducere dette, får vi det ønskede udtryk − x 2 + 800 x − 0,25 y 2 + 300 y = 240000. b) Da ellipsen ligger inden for polygonområdet findes størsteværdien for f(x,y) i punktet (400,600) – ellipsens centrum, og størsteværdien bliver f(400,600) = 250000.

Opgave 7.27 a) En udregning af D(x,y) = (–4x + 800 – 200) x + (–y + 300 – 100) y giver det ønskede

216

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 216

( x − 75 ) 25

( y − 100 )

= 1,

hvilket netop er ligningen for ellipsen med centrum i (75,100) og med halvakser på 25 og 50. c) D a centrum ligger i polygonområdet, så opnås det største dækningsbidrag i ellipsens centrum. Altså ved salg af 75 styk vare A og 100 styk vare B.

Opgave 7.28

Maks

2000

b) Ligningen med niveaukurven N(30000) kan omskrives til

a) x er antal solgte A-varer, mens y er salget for B. Salget af både x og y aftager lineært med følgende to funktoner: px = −

1 250

x + 40 og py = −

1 125

y + 56

D(x,y) udregnes som: D ( x, y ) =  −

1 250

x + 40 − 12 x + ( −

1 125

y + 56 − 32) y

12 og 32 er de variable enhedsomkostninger, som trækkes fra. Ved reduktion fås det ønskede udtryk. b) Det er klart, at både x og y skal være 0 eller positive, da det jo er salget af hver vare. 3x + 3y ≤ 10500 udtrykker begrænsningen på produktion af vare A idet de 175 timer svarer til 10500 minutter. 1,5x + 6y ≤ 15000 udtrykker begrænsningen på produktion af vare B, idet de 250 timer svarer til 15000 minutter. c) V ed hjælp af kvadratkomplettering kan niveaukurverne omskrives til formen ( x − 3500) 250

( y − 1500)

125

= 67000 − t.

Ved sammenligning med ellipsens ligning ( x − c) a

( y − d) b

ses, at der er tale om en ellipse med centrum i (3500,1500) og halvakser a = 250 ⋅ (67000 − t ) og b = 125 ⋅ (67000 − t )

25/08/14 11.23

Facitliste

Niveaukurve indtegnet i samme koordinatsystem som polygonområdet: y

Den minimale værdi optræder i skæringspunktet mellem l1: 0,5x + 0,5y = 6 og l2: 0,3x + 0,1y = 2,7: P(7.5,4.5). Den optimale plan er at give intensiteten 7,5 fra strålekilde A og 4,5 fra strålekilde B.

N(57000)

2500 N(61000)

2000 1500

Opgave 7.30: Geometrisk optimering

Maks (2500,1000)

1000

a) Grafisk illustration:

500

x 0

1000

2000

3000

4000

5000

5 B

d) D en maksimale værdi optræder, hvor niveaukurverne (ellipserne) lige slipper linjen y = –x + 3500. Indsæt linjen i kriteriefunktionen, og bestem toppunktets første koordinat. Den optimale produktion er: A = 2500 styk og B = 1000 styk.

2 C=Q

–3 –2 –1

5 6

–2 –3

-4

7.6 Supplerende opgaver Opgave 7.29: Strålebehandling a) Da der på randen af svulsten gælder, at 0,5x + 0,5y = 6, vil polygonområdet kun være et udsnit af denne linje (vist som linjestykket AB på figuren). y

–3 –2 –1

0,36x + 0,4y ≥ 6

–2 –3 -4

0,3x + 0,1y ≤ 2,7

0,5x + 0,5y = 6 B(Min) (7.5,4.5)

N(5,25)

b) Kriteriefunktionens værdi vokser i normalvektorens retning og aftager i den modsatte retning. Vi skal minimere kriteriefunktionen:

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 217

B=P

01 2 3 4

5 6 7

punkter på linjestykket fra A til B. x

 x   −2  4 b) AB =  y  =  0  + t  4 , da retningsvektoren  2 4 −2 fx er AB =   −   =   . Ved at lade  4  0   4 t gennemløbe værdierne fra 0 til 1, fås alle

8 A

9 8 7 6 5 4 3 2 1

 x  6   4 CD =  y  =  −3 + u  −4 , da retningsvek toren fx er CD =  6  −  2 =  4  . Ved at  −3  1  −4 lade u gennemløbe værdierne fra 0 til 1, fås alle punkter på linjestykket fra C til D.

217 25/08/14 11.23

t 2 − 40t 8.4 + 32u2 t+ 88u + 73 c) PQ = (( −2 + 4t ) − ( 6 + 4u )) + (4t − ( −3 − 4u )) = 32Opgave t 1 − 3 3 − 3 2 2 ' ′ 2 2 2 f1((tt)u) =+−88eu +2 73 cos  t  − e 2 sin  t  PQ = (( −2 + 4t ) − ( 6 + 4u )) + (4t − ( −3 − 4u )) = 32t − 40ta)+f132 2

6 + 4u )) + (4t − ( −3 − 4u )) = 32t 2 − 40t + 32u2 + 88u + 73 2

f11''″(t) (t ) =

d) D en korteste afstand er mellem P(0.5,2.5) og Q = C(2,1)

6 4

−

t 2

3 sin  t  − 2e 2

−

t 2

3 cos  t  2

t t 6 −t   − − '' ' 2 sin  3 t  − 2e 2 cos  3 t  + 2 − 1 e 2 cos  3 t  − 2y ″ + 2y ′ 5y = 2 y 2 y 5 y 2 e + +    2 2 2 2   2  2   2 e) PQ = (( −2 + 4t ) − 6) + (4t − ( −3 − u )) = 32t 2 − 40t + u2 + 6u + 8tu + 73  4 2 2 t t t t t 2   1 − − t + u2 3 − + 73 3 − PQ = (( −2 + 4t ) − 6) + (4t − (''−3 − u' )) = 32t 2 6− 40 + 6u + 8tu 3 3 − 3  3 2 y + 2 y + 5 y = 2  e 2 sin  t  − 2e 2 cos  t   + 2  − e 2 cos  t  − e 2 sin  t   + 5e 2 cos  t  = 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2     + 4t ) − 6) + (4t − ( −3 − u )) = 32t − 40t + u + 6u + 8tu + 73 t t t t t  1 og − − − f) D 6 en− korteste er mellem P(2,4) 3 afstand 3  3 3 − 3  3 2 y'' + 2 y' + 5 y = 2  e 2 sin  t  − 2e 2 cos  t   + 2  − e 2 cos  t  − e 2 sin  t   + 5e 2 cos  t  = 0 4 2 2  2 2 2  2 Q(6,4).  2 t 1 −2 2

f22' ′((t)t ) = − e

3 3 − 3 sin  t  + e 2 cos  t  2 2 2

−t −t f2''″(t) (t ) = − 6 e 2 cos  3 t − 2e 2 sin  3 t

Kapitel 8

 y = 2 − 2 yy″'' ++ 2 2yy'′ + 55y  4

t 6 −2 e

t   1 −t − 3 3 3 cos  t  − 2e 2 sin  t   + 2  − e 2 sin  t  2   2  2   2

8.2 I ntroduktion til anden ort t t  6 −t   1 −t  − − dens differentialligninger 3 3 3 3 − 3 3 2 y'' + 2 y' + 5 y = 2  − e 2 cos  t  − 2e 2 sin  t   + 2  − e 2 sin  t  + e 2 cos  t   + 5e 2 sin  t  = 0 Opgave 8.1 t  −



2 

 2 



2 

 2 

2 

t t t t    − 4 − − − 6  320t  − 2e 20 x2 sin  3 t 2 + 2 − 1 e 2 sin  3 t  + 3 e 2 cos  3 t  + 5e 2 sin  3 t  = 0 2 cos 2 2 y'' + 2 y' + 5 y = 2f ″(x) − =e12x    y = = 20 x  2x 2   2  2  2  2  2   4  2 x2 Konklusion: f(x) er ikke løsning til ligningen Konklusion: f (x) og f (x) er begge en løsning

Opgave 8.2 f ′(t) = 6e2t + 12e3t y ″ – 5y ′ + 6y =

b) Ifølge bogens kapitel 8, øvelse 8.5 er alle linearkombinationer af løsninger til en homogen, lineær differentialligning selv en løsning.

f ″(t) = 12e12t + 36e3t

12e12t + 36e3t – 5(6e2t + 12e3t) + 6(3e2t + 4t3t) = 0 Konklusion: f(x) er en løsning

Opgave 8.5

Opgave 8.3

f ′( x) = 4x ⋅ ln(x) + 2x f ″(x) = 4ln(x) + 4 + 2 = 4ln(x) + 6

3 4 a) f1′(t) = 2e2t og f1″(t) = 4e2t 4ln ( x + y ''″ –− yy'′ + 2 yy == ((4ln(x) ) +66) )–− 3x (4 x ln ( x ) + 2 x ) + x 2t 2t 2t x y ″ – 4y ′ + 4y = 4e – 4 ⋅ 2e + 4e = 0 3 ' 4 3 4 '' 4 x ln ( x )++2x 2 x) )++ 2 2 ln ( x )==00 2xx22ln(x) f2′(t) = e2t + t ⋅ 2e2t ogy − x y + x 2 y = ( 4ln ( x ) + 6) − x (4xln(x) x 2t 2t 2t Konklusion: f(x) er en løsning f2″(t) = 2e + 2e + t ⋅ 4e y ″ – 4y ′ + 4y =

4 x2

2 x 2 ln ( x ) = 0

Opgave 8.6 2e2t + 2e2t + t ⋅ 4e2t – 4(e2t + t ⋅ 2e2t) + 4t ⋅ e2t = 0 3 1 −1 a) f1 f′1(′(xx)) = x 2 f1f′′1″((x) Konklusion: f1(x) og f2(x) er begge en løsning x) = − 1 x− 2 2 4 b) Ifølge bogens kapitel 8, øvelse 8.5 er alle line2x2y ″ + 3xy ′ – y = 1 arkombinationer af løsninger til en homogen,  1 − 32  1 −2 2 '' ' 2 + − = − + − x =0 2 x y 3 xy y 2 x x 3 x x   lineær differentialligning selv en løsning.  4  2 x ) = 2 x −3 f2f′2(′(xx)) = − x −2 f2f′′2″((x)

218

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 218

25/08/14 11.23

Facitliste

2x2y ″ + 3xy ′ – y = 2 x 2 y'' + 3 xy' − y = 2 x 2 ( 2 x −3 ) + 3 x ( − x −2 ) −

1 x

Opgave 8.11

Konklusion: f1(x) og f2(x) er begge en løsning b) Ifølge bogens kapitel 8, øvelse 8.5 er alle linearkombinationer af løsninger til en homogen, lineær differentialligning selv en løsning. 1 c) g( x ) = a ⋅ x + b ⋅ x Ligningssystemet g(1) = 0 og g ′(1) = 3 giver følgende løsning: gg(x) ( x ) = 2 x − 2 1x

a) Ved indsættelse af y = a ⋅ cos(x) + b ⋅ sin(x) på venstre side fås: y ″ + y ′ – 6y = (b – 5a) ⋅ cos(x) + (–a – 5b) ⋅ sin(x) altså en harmonisk svingning. b) En løsning til y ″ + y ′ – 6y = cos(x) – 7 ⋅ sin(x) kan vi få ved at løse ligningerne: b – 5a = 1 og –a – 5b = –7. 18

forskriften er y = 1 ⋅ cos( x ) + 18 ⋅ sin( x ). 13

Opgave 8.7 u(t) opfylder klart, at u(0) = 1 og u ′(0) = 1. Ved indsættelse af u(t), u ′(t) = 1 og u ″(t) = 0 ses også, at u(t) er en løsning til differentialligningen.

Opgave 8.8 f(t) opfylder klart, at f(0) = 9 – 7 = 2 og f ′(0)= –18 + 21 = 3. Ved indsættelse af f(t), f ′(t) = –18e –2t + 21e –3t og f ″(t) = 36e –2t – 63e –3t ses også, at f(t) er en løsning til differentialligningen.

1 y = ya1 =⋅ cos( xb) = + x) + ⋅ xsin( ) x) ,⋅ cos( ,⋅ sin( dvs. L øsningen giver: 13 13 13 13 13

Opgave 8.12 a) Ved indsættelse af y = a ⋅ e2x + b ⋅ e –2x på venstre side fås: y ″ + 3y ′ – 4y = 7a ⋅ e2x + 3b ⋅ e –2x altså en eksponentiel linearkombination af samme type. b) En løsning til y ″ + 3y ′ – 4y = e2x – 4 ⋅ e –2x kan vi få ved at løse ligningerne: 7a = 1 og 3b = –4. x 44 −−22xx Løsningen giver: yay == 11,⋅ ⋅eeb22x= −− ⋅,⋅eedvs.

1 4 forskriften er y = ⋅ e2 x − ⋅ e −2 x 7

Opgave 8.9

a) Ved indsættelse af y = a ⋅ x2 + b ⋅ x + c på venstre side fås: 8.3 A nalytisk løsning af anden y ″ + y ′ – 6y = ordens differentialligninger y ′′ + y ′ − 6 y = −6 a ⋅ x 2 + (2a − 6 b) ⋅ x + (2a + b − 6c ) altså et andengradspolynomium. Opgave 8.13 b) En løsning til y ″ + y ′ – 6y = –6x2 + 26x – 8 1x −1x kan vi få ved at løse ligningerne: yy(x) ( x ) = a ⋅ e 2 + b ⋅ e 2 . Anvend, at y(0) = 1 og −6 a = −6 og 2a − 6 b = 26 og 2a + b − 6c = −8 y ′(0)= 1, og bestem a og b: a = −6 og 2a − 6 b = 26 og 2a + b − 6c = −8 Løsningen giver: a = 1, b = –24, c = 20, dvs. forskriften er y = x2 – 24x + 20

a) y(x) = a ⋅ e –2x + b ⋅ e2x. Anvend, at y(0) = 2 og y(2) = 1, og bestem a og b: f(x) = 0,01765 ⋅ e2x + 1,9823 ⋅ e –2x

a) y = x 2 − 1 2

b) y = −

3 2

+ e2

Opgave 8.14

Opgave 8.10 1 4

1 1 −2x 2

yy(x) ( x) = − e

x2 − 1 8

c) y = x 2 + 4 x + 6 1 2 d) y = − x 2 − 2 x + 3

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 219

219 25/08/14 11.23

b) Grafen:

Opgave 8.17

a) y(x) = a ⋅ cos(2x) + b ⋅ sin(2x). Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 5, og bestem a og b: sin(2x) cos(2x) ff(x) ( x ) == 22 ⋅ cos (2 x ) + 52 ⋅⋅sin (2 x ) b) Grafen for f (med punktet og tangenten som kontrol)

2,5 2 1,5

y 1

(0.448,3.202)

3 0,5 (1.180,0.374) 0

0,5

1,5

2,5

f(x)

1 x

c) Minimum: (x,y) = (1.180,0.374)

–1

Opgave 8.15

a) yy(x) ( x ) = a ⋅ e − ln(3)⋅ x + b ⋅ eln(3)⋅ x = a ⋅ 3− x + b ⋅ 3 x. Anvend, at y(0) = 82 og y(1) = 30, og bestem a og b: y = 81 3 –x + 3x b) Grafen: y 80

–2 –3 (2.019,–3.202)

c) f f(x) ( x) =

1 2

⋅ cos(2x – 0,8961) 41cos(2 x − 0,8961)

d) T = p 41 = −3,202 e) Mindste værdi: −

41 2

Største værdi:

60 50

Opgave 8.18

20 (2,18)

10 0

( )

(3 )

a) yy(x) ( x )== a ⋅ cos 31 x + b ⋅ sin 31 x . Anvend, at y(0) = 5 og y ′(0) = 1, og bestem a og b:

= 3,202

f f(x) ( x ) = 5 ⋅ cos 1 x + 3 ⋅ sin 1 x

b) Grafen for f:

c) Minimum: (x,y) = (2,18)

(1.621,5.831) 5

Opgave 8.16 –3x

a) y(x) = a ⋅ e + b ⋅ e . Anvend, at y(13) = e og y ′(13) = 0, og bestem a og b: yy(x) ( x) = b)Yy(x) ( x) =

1 40 −3 x 1 e e + e−38 e3 x 2 2 1 1 − e40 e−3 x + e−38 e3 x 6 6

x 0

–5 (11.046,–5.831)

c) M indste værdi: − 32 + 52 = − 34 = −5,831 32 + 52 = 34 = 5,831

Største værdi:

cos( x1− 0,5404) d) f f(x) ⋅ cos cos( ( xf )( x=) =3434 3 3 x − 0,5404) 1

220

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 220

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 8.19

b) Grafen (med punktet og tangenten som kontrol):

(x ) == a ⋅ cos ( 2 ⋅ x ) + b ⋅ sin ( 2 ⋅ x ) a) yy(x)

Anvend, at y(0) = 0, og bestem a = 0:

y (x ) = a ⋅ cos ( 2y(x) ⋅ x )=+ b ⋅ sin ( 2 ⋅ x ). Størsteværdien lig med 5 giver de to løsninger: y (x ) = a ⋅ cos ( f21(x) ⋅ x )=+5b⋅⋅ sin y ( x )2=⋅ xa)⋅ cos + b⋅⋅ sin ( 2 ⋅ x ) og ( f22 (x)⋅ x=) –5 π . b) Grænserne er a = 0 og b = π 2

∫0

Arealet = π π 2 2

f1( x ) − f2 ( x ) dx =

π 2

∫0

10 sin( 2 ⋅ x ) dx = 20

) dx= =∫ ∫ 1010 ) dx= =20 ⋅ sin( 2 2 sin( ⋅ x⋅ )xdx ∫ ∫ f1(f1x()x−) −f2 f(2x()xdx

20 2

(2.290,4.761)

0 0

(resultatet findes fx ved substitution t = 2 ⋅⋅ xx) f1 ( x ) = 5 ⋅ sin

(

π π 2 2

0 0

)

Opgave 8.20

a) y(x) = a ⋅ cos(0,9x) + b ⋅ sin(0,9x). Anvend, at y(2) = 8 og y ′(2) = 2, og bestem a og b: y(x) = –3,9817 ⋅ cos(0,9x) + 7,2859 ⋅ sin(0,9x) b) Grafen (med punktet og tangenten som kontrol): y P

–5

c) y(x) = 8,303 ⋅ cos(0,9x – 2,071)

c) M inimum i (2.290,4.761). Der er intet lokalt maksimum.

Opgave 8.22 a) y = 12x + 6 b) y(x) = a ⋅ e –3x + b ⋅ e3x. Anvend, at y(0) = 6 og y ′(0) = 12, og bestem a og b: f(x) = e –3x + 5 ⋅ e3x c) V i ved om f, at den indsat på venstre side giver 0. Vi kontrollerer så blot, at y = –9x2 – 5 opfylder differentialligningen.

Opgave 8.23 a) y(x) = a ⋅ e –4x + b ⋅ e4x. Anvend, at y(0) = 3 og y( 1 ) = 3e, og bestem a og b: 4 f(x) = 3e4x b) y(x) = a ⋅ e –4x + b ⋅ e4x. Anvend, at y(0) = 5 og y ′(0) = 0, og bestem a og b: gg(x) ( x) =

5 −4x e 2

+ 52 e4 x

Opgave 8.21 a) yy(x) ( x ) == a ⋅ e − 0,3 x + b ⋅ e 0,3 x. Anvend, at y(1) = 6 og y ′(1) = –2, og bestem a og b: y(x) = 0,6790 ⋅ e0,5477x + 8,3452 ⋅ e –5477x

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 221

Opgave 8.24 a) d = 0, så løsningen har formen −b y y((x) x ) = c1 ⋅ e x0 ⋅ x + c2 ⋅ x ⋅ e x0 ⋅ x, hvor x0 = : 2a −x −x y y((x) x ) = c1 ⋅ e + c2 ⋅ x ⋅ e b) Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem c1 og c2: y y((x) x ) = 2e − x + 2 xe − x

221 25/08/14 11.23

Opgave 8.26

c) Grafen (med punktet og tangenten som kontrol):

a) d = –4, så løsningen har formen

yy(x) ( x ) = e 2 a ⋅ x ⋅ (c1 ⋅ cos( ω ⋅ x ) + c 2 ⋅ sin( ω ⋅ x )), −b

−d : 2a

hvor ω =

1 x 0

–1

y(x) = e –x ⋅ (c1 ⋅ cos(x) + c2 ⋅ sin(x)) b) Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem c1 og c2: y(x) = e –x ⋅ (2cos(x) + 2sin(x)) c) G rafen (med punktet og tangenten som kontrol):

–2

d) F unktionen er voksende i ]–∞;0] og aftagende i [0;∞[. Der er globalt maksimum i punktet (0,2).

2 1

Opgave 8.25

a) d = 16, så løsningsformen er y(x) = c1⋅ ex1 · x + c2 ⋅ ex2 · x, hvor x1 og x2 er rødder: y(x) = c1e –3x + c2ex b) Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem c1 og c2:

–1

–1 –2

yy(x) ( x ) = e −3 x + e x 1 2

3 2

c) Grafen (med punktet og tangenten som kontrol): y

Opgave 8.27 a) d = 9, så løsningsformen er y(x) = c1ex1 · x + c2ex2 · x, hvor x1 og x2 er rødder. Den fuldstændige løsning: y(x) = c1e –4x + c2e –x b) Anvend, at y(0) = –4 og y ′(0) = –2, og bestem c1 og c2: y = 2e –4x + 6e –x

Opgave 8.28 1 x –1

a) d = –64, så løsningen har formen −b y ( x ) = e 2 a ⋅ x ⋅ (c1 ⋅ cos( ω ⋅ x ) + c 2 ⋅ sin( ω ⋅ x )), −d : 2a

hvor ω = y( x ) = e−

1 2

⋅ ( c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x ))

Anvend, at y(0) = 3 og y ′(0) = 2, og bestem c1 og c2: y ( x ) = e − 2 x ⋅ ( 3 cos( x ) + 3,5 sin( x )) 1

222

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 222

25/08/14 11.23

Facitliste

Opgave 8.30

b) Grafen (med punktet og tangenten som kontrol):

1) hører til graf nr. 3, fordi: når y < 0 vil grafen være konkav (nedad hul), da y ″ < 0. Herefter vil grafen være konveks (opad hul).

y 4

2 1

x 0 1

–1 –1

–10

–2 –3 –4 –10

c) lim f ( t ) = 0, da sin og cos er begrænsede og t →∞

y ( x ) = e − 2 x ⋅→ cos( x ) +x 3,5 sin( x )) ( 3 0, når → ∞. 1

2) hører til graf nr. 2, fordi: når løsningskurven er over y-aksen, vil den være konkav (nedad hul), da y ″ < 0 og så konveks (opad hul), når løsningskurven er under y-aksen. y

Opgave 8.29

a) d = 0, så løsningen har formen −b y(x) = c1 · ex0 · x + c2 · x · ex0 · x, hvor x0 = : 2a –2x –2x y(x) = c1 · e + c2 · x · e Anvend, at y(0) = 1 og y ′(0) = 3, og bestem c1 og c2:

x –10

y(x) = e –2x + 5x · e –2x c) Grafen (med punktet og tangenten som kontrol): –10

Opgave 8.31 1,5 1 0,5 x 0

0,5

1,5

d) lim f ( t ) = 0, da e –2x dominerer over 5x og går t →∞

1) Når y ′= 0 er y ″ = y. Dvs. løsningskurven skal være konveks over y-aksen og konkav under y-aksen i punkterne med vandret tangent. Det udelukker graf 2 og 4, og måske graf 3. Når y = 0 er y ″ = –y ′. Dvs. løsningskurven skal være konveks ved positiv hældning og konkav ved negativ hældning, når løsningen skærer xaksen. Det udelukker graf nr. 3. Egenskaberne passer altså kun med graf 1.

hurtigere mod 0, når x → ∞.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 223

223 25/08/14 11.23

kvadrant, og linjen, der er skrå asymptote, har hældning 2, dvs. y ′≈ 2 eller 2 – y ′≈ 0. En tilnærmelsesvis ret linje har krumning tæt på 0, og det stemmer overens med at y ″ ≈ 0.

y 10

x –10

8.4 Anvendelser

Opgave 8.33 y(x) = a ⋅ cos(3p · x) + b ⋅ sin(3p · x). Anvend, at y ( 1 ) = π og y ′( 1 ) = 0, og bestem a og b:

–10

2) Når y ′= 0 er y ″ = –y. Dvs. løsningskurven skal være konveks under y-aksen og konkav over y-aksen i punkterne med vandret tangent. Når y = 0 er y ″ = y ′. Dvs. positiv hældning giver konveks, mens negativ hældning giver konkav. Derfor passer kun graf 2. y 10

2 8 2 1 π 1 sin(3p yy(x) ( ) = ⋅og y ′( ·) x) = 2 8 2

Opgave 8.34 a) y(x) = a ⋅ e –0,5x + b · e0,5x. Anvend, at y(0) = 2 og y ′(0) = 0, og bestem a og b: f(x) = e –0,5x + e0,5x b) g er en løsning, der opfylder y(2) = k og y ′(2) = 4, dvs. g(x) g ( x )==

k −8 2e −1

⋅ e−0,5 x +

k + 8 0,5 x e 2e

h ′(0) = 0 giver g ′(0) = 0. Her ud fra bestemmes: k =

x –10

8e + 8e e−e

−1

≈ 10,504.

Indsæt k: h(x) = 10,504 – 3,404e –0,5x – 3,404e0,5x Højden af buen: h(0) = 3,70

–10

Opgave 8.35 a)y (y(t) sin(t) t ) ==c1ccos (t ) ++cc22sin (t ) −– cos(3t ) 1cos(t)

Opgave 8.32 Differentialligning nr. 1 hører til graf nr. 4, fordi rette linjer har krumning 0. Differentialligning nr. 2 hører til graf nr. 1, fordi krumningen er positiv, når –2 + y > 0 , dvs. når y > 2. Differentialligning nr. 3 hører til graf nr. 2, fordi krumningen er positiv, når y < 2, og negativ, når y > 2. Differentialligning nr. 4 hører til graf nr. 3, fordi ′ 2, specielt når krumningen er positiv, når y < ′ y , dvs. tangenthældningen, er negativ. Grafen ser ud til at være tilnærmelsesvis lineær i første

224

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 224

b) yy(t) cos(t) (t ) = cos (t ) –− cos(3t ) 1 4

1 4

0,4 0,3 0,2 0,1 –0,1

x 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

–0,2 –0,3 –0,4

c) Æ ndring på A har udelukkende betydning for det maksimale udsving. Ved negative A-

25/08/14 11.24

Facitliste

værdier spejles funktionen i x-aksen i forhold til ovenstående figur. d) B egyndelsesbetingelsen y(0) = k og y ′(0) = 0

Det fælles karakteristiske træk ved de to differentialligninger er, at w0 = w , dvs. systemets egen frekvens w0 og frekvensen af den ydre påtrykte kraft w er lige store. I dette tilfælde bliver den partikulære løsning til den Løsningsformlen: 11 11 1 1  inhomogene ( ) ( ) y t = cos t − cos(3 t ) yy(t) t = ( k + ) ⋅ cos t − cos 3 t = k ⋅ cos t + ⋅ cos t − cos ( 3t ) differentialligning, nemlig på cos(t) – = ( ) ( ) 44 (( )) 44 ( ) 4 4 formen c · t · sin(w0 · t). 1 1 1 1 = ( k + ) ⋅ cos ( t ) − cos ( 3t ) = k ⋅ cos ( t ) +  ⋅ cos ( t ) − cos ( 3t ) 4 4 4 4 200 200 21 g) yy(t) = cos ( 2 x ) − cos( x ) (t ) = 41 41 10 Jo større numerisk k-værdi, jo mere udvi Det grafiske billede illustrerer situationen, skes de små udsving. Ved k = 0 er de små hvor et helt antal perioder af den ene svingudsving størst. Jo større numerisk k-værdi jo ning svarer til et (andet) helt antal perioder af større udsving. den anden svingning. Så vil det overordnede Begyndelsesbetingelsen billede blive gentaget efter et vist antal pey(0) = 0 og y ′(0) = k rioder. Er det en model for lydsvingninger, vil Løsningsformlen: man opleve det som gentagne stød. 11 y (t ) + = k cos(3 cos cos(t) ⋅ sin(t) yy(t) − (tt))–− 1 cos(3t ) = (t ) = 1 cos

os (t ) + k ⋅ sin( t ) −

1 cos 4

(3t ) = k ⋅ sin ( t ) +  41 ⋅ cos ( t ) − 41 cos ( 3t )

Udsvinget er størst ved store k-værdier. Funktionen har altid rod i x = p · p, hvor p er et helt tal. e) yy(t) (t ) =

1 sin(2t) tt⋅ ⋅sin(2 t) 2

4 2 –60

–40

–20

x 0

–2

–4

–6

4 2

h) y ″ = –4y + 2cos(1,1x) giver en løsning, der umiddelbart ser mere kompliceret ud, men også her ser vi, at efter et vist antal perioder gentages hele det overordnede billede.

t –8 –6

–4

–2 –2

–4

Jo større t bliver, jo større bliver udsvingene. Matematisk set går udsvingene mod uendelig. f) yy(t) (t ) =

2 3 t ⋅ sin( t ) 3 2

1,5 1 0,5

–40

–20

4 x 0

–1,5

8 10

–4 –6

Jo større t bliver, jo større bliver udsvingene. Matematisk set går udsvingene mod uendelig.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 225

–0,5 –1

2 –10 –8 –6 –4 –2 –2

Prøv selv at eksperimentere med irrationale tal, fx: y ″ = –2y + 2 · cos(a · x), y(0) = 0 og y ′(0) = 0 hvor a er en tilnærmelse med et vist antal til 2 .⋅ x fdecimaler 1 ( x ) = 5 ⋅ sin

(

)

225 25/08/14 11.24

8.5 Koblede differentialligninger

d) z ′ = p og p ′ = 2p – 3z

p 5

Opgave 8.36

a) y ′ = z og z ′ = 2z + y z

–5

y –5

–20

Opgave 8.37 a) y ″ + 3y ′ + y = 0 c) y ″ – y ′ + 2y = 0 e) y ″ – 2y ′ – y = 0

–20

b) y ′ = z og z ′ = 3z – 5y z

Opgave 8.38

y 20

–20

b) y ″ + 2y ′ + 2y = 0 d) y ″ + y = 0 f) y ″ – 2y ′ + y = 0

–20

c) u ′ = z og z ′ = –z + 0,5u

Svar på a) og b) samlet: (0,0) er ligevægtspunkt i alle 6 retningsfelter, da indsættelse af y ′ = 0 og z ′ = 0 i alle de 6 ligninger giver, at y = 0 og z = 0. Retningsfelter med eksempler på faseplot: Ved at trække rundt med kurverne ser vi, at ligevægtspunktet (0,0) kan karakteriseres som angivet (bemærk, at de spiralt tiltrækkende og frastødende bevarer denne egenskab, hvis vi zoomer ind).

y u

–4

–20

–4 –20

226

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 226

a) Tiltrækkende

26/08/14 15.37

Facitliste

y –6

–4

b) Spiralt tiltrækkende

f) Frastødende

Opgave 8.39

a) De fuldstændige løsninger til differentialligningerne er y –6

−3− +3 +5 5 ⋅x ⋅x 2

c1e 2 a) y(x) y (yx(=)x=c) 1=c⋅1e

−3−3 −5 5 ⋅x ⋅x 2

+c22ce2⋅ e 2 +c

b) yy(x) ( x ) = e − x ⋅ (c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )) d) yy(x) ( x ) = c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )

–4

f) yy(x) ( x ) = c1 ⋅ e x + c2 ⋅ x ⋅ e x

c) Spiralt frastrødende z

b) Løsningerne til de koblede differentialligninger er:

y –6

z ( x ) = y ′( x ) = c1 ⋅

–4

−3 + 5 2

⋅e

−3 + 5 2

−3 + 5 ⋅x 2

+ c2 ⋅

⋅e

−3 + 5 ⋅x 2

−3 − 5 2

+ c2 ⋅

⋅e

−3 − 5 2

z ( x ) = y ′( x ) = e − x ⋅ (( c1 + c2 ) ⋅ cos( x ) − ( c1 + c2 ) ⋅ sin( x )) y 6

e) Saddelpunkt

Hvad er matematik? A, opgavebog

−3 − 5 ⋅x 2

⋅e

−3 − 5 ⋅x 2

d) y ( x ) = c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x ) z(x) = y ′( x) = c ⋅ cos(x) – c ⋅ sin(x) 1

–4

⋅e

−3 − 5 ⋅x 2

b) yy(x) ( x ) = e − x ⋅ (c1 ⋅ cos( x ) + c2 ⋅ sin( x )) −3 + 5 ⋅x zz(x) ( x )== y ′( x ) = c1 ⋅ −3 + 5 ⋅ e 2 + c2 ⋅ −3 −

d) Centrumspunkt

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 227

−3−3 −5 5 ⋅x ⋅x 2

+c22ce2⋅ e 2 +c

zz(x) ( x )== y ′( x ) = c1 ⋅

–6

−3− +3 +5 5 ⋅x ⋅x 2

c1e 2 a) y(x) y (yx(=)x=c) 1=c⋅1e

yy(x) f) ( x ) = c1 ⋅ e x + c2 ⋅ x ⋅ e x z (z(x) x ) == yy′(′(xx)) = ((c c1 ++ c22)) ⋅ e x + c2 ⋅ x ⋅ e x

227 26/08/14 15.38

Kapitel 9

e) σ (h ) =

(h ) = f)

Opgave 9.1 a)

Med

195

0 180

200

205 z-score

Højde

Kvartilbredde: 196 – 189 = 7 b) Grænserne for outliers er: 189 – 1,5 · 7 = 178,5 ingen outlier her 196 + 1,5 · 7 = 206,5 ingen outlier her c)

183 + 192 + … + 193 22

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 228

184

188

192 Højde

196

200

204

µ + 2σ

µ+σ

µ y=

–1

x – 192,295 5,74593

µ–σ µ – 2σ

–2 180

= 192,3

184

188

192

196

200

204

Højde

d) H vis datasættet er symmetrisk, vil fordelingen omkring middeltallet ligeledes være symmetrisk, og dermed må den midterste værdi (medianen) være identisk med middeltallet. Fra middelværdien til nedre/øvre være 0,5 kvartilbredde pga. symmetrien, og derfor må eventuelle outliers ligge 2 kvartilbredder fra middeltallet. Median = 192,5, så middelværdi og median er ikke helt identiske. Afstanden fra nedre kvartil til median og fra median til øvre kvartil er begge 3,5. Afstand fra mindste værdi til median og fra median til øverste værdi varierer kun med 0,5. Så data er nogenlunde symmetrisk.

228

µ+σ

µ–σ

190

x = 192,295

Kvartilbredde

185

= 5,6

Maks

Min

180

Hyppighed

9.2 Matematikken bag mindste kvadraters metode: Lineær regression

(192 − 192,3)2 + … + (193 − 192,3)2 (192 − 192,3)2 + … + (193 − 192,3)2 = 5,6

h) D vs. 95% af alle målinger skal ligge mellem 192,3 – 2 · 5,6 = 181,1 og 192,3 + 2 · 5,6 = 203,5. Der er kun en person uden for dette interval (181 cm). Det svarer til 1 ⋅ 100 = 4,5%. Så denne betingelse passer 22 fint. 32% af målinger skal ligge under 192,3 – 5,6 = 186,7 eller over 192,3 + 5,6 = 197,9. Der er 7 personer der 7 ⋅ 100 = 31,8%. Så gør, og det svarer til 22 denne betingelse passer fint. Så data er tilnærmelsesvist normalfordelt.

25/08/14 11.24

Facitliste

Opgave 9.2

µ + 2σ

µ+σ

Resultater vedrørende U18 landsholdets kondital:

Maks

Min Q1

z-score

Med

–1

µ – 2σ 40

50 Kondital

µ–σ

–2

Kvartilbredde

x – 53,3773 5,02583

52 Kondital

Opgave 9.3

a) Kvartilbredde: 57,5 – 49,5 = 8 a) x = 41,3 b) Grænserne for outliers er: b) Variationen 1 49,5 – 1,5 · 8 = 37,5 ingen outlier her v ( x) = (27 − x )2 + (50 − x )2 + (33 − x )2 + (25 − x )2 + (86 − x )2 + (25 − x ) 15 57,5 + 1,5 · 8 = 69,5 ingen outlier her ( x ) = 151 (27 − x )2 + (50 − x )2 + (33 − x )2 + (25 − x )2 + (86 − x )2 + (25 − x )2 + (85 − x )2 + (31 − x )2 + (37 − x )2 + (44 − x c) Middeltal =v53,38 2 2 2 2 2 2 2 2 2 33edian og−median − x ) =+ 55,25, x ) + (85 − x ) + (31 − x ) + (37 − x ) + (44 − x ) + (20 − x ) + (36 − x ) + (59 − x ) + (34 − x ) = 151 (27 − x )2 + (50 − x )2d)+ (M (25 − x så )2 +middelværdi (86 − x )2 + (25 ligger noget fra hinanden. Afstanden fra 2 2 2 2 2 − x ) + (86 − x ) + (25 − x ) + (nedre 85 − xkvartil x ) + (37er− 5,75, x ) + (mens 44 − xafstan)2 + (31til− median )2 + (20 − x )2 + (36 − x )2 + (59 − x )2 + (34 − x )2 + (28 − x )2 R eduktion giver det ønskede: den fra median til øvre kvartil er 2,25. Så man v(x) = x2 – 82,67 · x + 2104,8 kan ikke sige data er symmetrisk fordelt. Det y c) bekræftes også af boksplot fra a). e) Spredning = 4,91. 2500 f)

(

)

x = 53,3773

Hyppighed

2000 V(x)

1500

1000

500 (41.33,396.35)

0 40

52 56 Kondital

g) giver ikke nogen mening her.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 229

x 75

d) T oppunktets koordinater bestemmes: Se figur i c) V i ser, at middeltallet er 1. koordinaten til toppunktet. Tolkning: Vi får bekræftet, at middeltallet er tallet med den mindste variation. 396,4 og σ = 19,9 e) v( x )==41,3 f) Se figuren i c)

229 25/08/14 11.24

Opgave 9.4 a) Vektoren er en 1 × 15-vektor. Vektorrummet er 15-dimensionalt. b) Hver koordinat i vektoren har formen xi – t ⋅ 1. Kvadratsummen (x1 – t)2 + . . . + (xn – t)2 svarer derfor til kvadratet på længden af    e = x − t ⋅ d. Kvadratsummen har derfor    minimum, præcis når længden af e = x − t ⋅ d har det.    c) Længden af vektoren e = x − t ⋅ d bliver    e = x −på t ⋅ d. mindst mulig, når vektoren er ortogonal    e =når x − t ⋅ d svarer til projekDette er tilfældet,       =  e af = x −på t ⋅ d. tionen ee = x − tx⋅ d− t ⋅ d

( Det generelle bevis står nederst side 404 i A-bogen.)    h) V inklen mellem datasættet e = x −ogt ⋅diagonald    e = x − t ⋅ d er v = 25,72 °. vektoren

Opgave 9.5 Vi anvender her datamaterialet: Vægt a) Middeltallet: x =

sum af data 22

1942, 3 22

= 88,29

b) Variationen: v(x) = x2 – 176,57x + 7929,88 c) Grafen for v(x): y 800 600

V(x)

e = x – t· d

400 200 (88.29,135.37) xd = t· d

  x⋅d  d)  2 ⋅ d =

 1 … =    1

27 ⋅ 1 + 50 ⋅ 1 + … + 28 ⋅ 1 

1 +…+1

  x⋅d

620 15

 1 ⋅  … .    1

620

= 41,3 , t-værdien er derfor: t =  2 = 15 d    hvilket netopeer = x .− t ⋅ d   27 − 41,3 ⋅ 1 … e) Residualvektoren e =  .    28 − 41, 3 ⋅ 1

d) V i ser af grafen, at middeltallet er lig med 1. koordinaten til toppunktet (se figuren ovenfor). Tolkning: Vi får bekræftet, at middeltallet er tallet med den mindste variation. sum af data 1942, 3 = σ = 11,64 = 88,29 e) v( x )== 135,39 og 22 22 f) Se figuren i c) g) Denne fordeling giver ikke anledning til en sammenligning med en normalfordeling. Hvis jeres egne data gør det, så gå frem som i svaret til opgave 9.1.

Opgave 9.6

Konklusionen på a) – d) er: a) Vektoren er en 1 × 22-vektor. Vektorrummet Residualvektoren har den korteste længde, er 22-dimensionalt. når t er lig med middeltallet for observatiob) Hver koordinat i vektoren har formen xi – t ⋅1. nerne. Kvadratsummen (x1 – t)2 + . . . + (xn – t)2    f)e =v( x )−=t 396,4 ⋅d svarer derfor til kvadratet på længden af       g)e σ = ( x )−=t 19,9 ⋅d e = x − t ⋅ d. Kvadratsummen har derfor  2 2     e 2 2 længden af e = x − t ⋅ d 1 e(27 − 41, 3 ) + … + (28 − 41, 3 ) minimum, præcis når = 27 − 41,3 + … + 28 − 41,3 σ ( x ) = ( x ) =  ( ) ( ) 2 15 d d 2 2 har det. 1 +…+1

(27 − 41, 3)2 + … + (28 − 41, 3)2 2

1 +…+1

230

1 15

(27 − 41,3)2 + … + (28 − 41,3)2

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 230

25/08/14 11.24

Facitliste

   c) Længden af vektoren e = x − t ⋅ d bliver    e = x −på t ⋅ d. mindst mulig, når vektoren er ortogonal    e =når x − t ⋅ d svarer til projektioDette er tilfældet,    = x −på t ⋅ d. nene af

c) I ndsættes dataværdierne i v ( k ) = variationen ( k ) =

får vi efter en reduktion: v (k ) = 0,12837 ⋅ k 2 − 0,2816 ⋅ k + 0,15448 d) Grafen:

e = x – t· d

sum((y − k ⋅ x ) )

0,0008 0,0006

V(k)

0,0004 xd = t· d

0,0002 (1.097,0.00000424) 0 0,25

d) V ed udregning finder vi    x⋅d  1942, 3  ⋅ d = 88,29 ⋅ d, og 88,29 2 ⋅ d = 22

0,50

0,75

k 1,25

V i aflæser Toppunktets 1. koordinat: k = 1,097 e) Løser v ′(k) = 0 og får k = 1,097. Passer fint med a). f) Variansen er pr. definition

er middeltallet, jfr opgave 9.5.

1 n

  83,5 − 88,28 ⋅ 1 … e) e =     90 − 88,28 ⋅ 1 

(( y − kx ) + … + ( y 2

− kx n )

)

De enkelte led er kvadratet på koordinaterne   i vektoren y − k ⋅ x. Dette fås netop ved at   prikke vektoren y − k ⋅ x med sig selv. Ved at udnytte skalarproduktets regler fås:          v(k ) = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y 2 = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + 1 ⋅ y 2 = x 2 ⋅ k

Konklusionen på a)-d) er: Residualvektoren har den korteste længde, når t er lig med middeltallet for observationerne.    6 6 6 f)e =v( x )−=135,39 t⋅d    2 2 2      1 2 2 1 2 2 1   1 2 v ( k ) = ⋅ x ⋅ k − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y = ⋅ x ⋅ k − 2 ⋅ ⋅ x ⋅ y ⋅ k + ⋅ y = x ⋅ k − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y2 g)e σ= ( x )−=t 19,9 ⋅d 6 6 6 6 h) inklen findes som:  V           v ( k ) = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k +y 2 = 1 ⋅ x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ 1 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + 1 ⋅ y 2 = x 2 ⋅ k 2 − 2 ⋅ x ⋅ y ⋅ k + y 2 6 6 6 3  6 x⋅d  1942,  = 73,2° v = arccos     = arccos  Den sidste omskrivning følger af definitionen  x d  2060957, 38 ⋅ 22        af x 2 , x ⋅ y og y 2 .   x⋅d 1942, 3 = ° v = arccos     = arccos  73,2    x d g) Vi skal løse v ′(k) = 0: vv' (′(kk)) = 2 x 2 k − 2 xy = 0.  2060957, 38 ⋅ 22 

(

)

(

)

(

)

Når k isoleres fås som forventet k =

Opgave 9.7 a) y = 1,098x – 0,00033 dvs. hældningskoefficient på 1,098.

h) V ed udregning af 1,097.

1 6 1 6

 xy  xx

 xy 2 x

fås som forventet

  0,092   0,103 b) x =  …  og y =  …   0,552  0,607 Vektorrummet er 6-dimensionalt.

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 231

231 25/08/14 11.24

1 2 1 t = n t⊥ n ⊥

Opgave 9.8 a) Plot af datasættet:

y = 0,830x + 226,8 P = P = 260,68 (40.8833,260.683) 200 t = t = 40,88 100

t (°C) 0

b) t = 40,88 og P = 260,68 c) R egressionslinje P(t) = 0,8299t + 226,75 P(40,88) = 260,68 Ja, punktet ligger på linjen. d) var(t) = 939,73 e) cov(t,P) = 779,91 f) a =

779, 9081 939, 7314

1 ( ⋅ t n

   − t ⋅ d )⋅(t − t ⋅ d )

Og det giver præcis variansen, når prikpro-

P (Pa)

300

 ⋅ t⊥ =

= 0,8299

b = 260,6833 – 0,8299 ⋅ 40,8833 = 226,75 Der er fin overensstemmelse mellem de to resultater.

Opgave 9.9   1   5,0    231,1 a) t =  …  , P =  …  og d =  …  1  90,1  301,5

duktet udregnes.  2 e) t⊥ = 5638,39, P⊥ 2 = 3883,93,   t⊥ ⋅ P⊥ = 4679,45  f) F orskellen mellem datasættet P og det tilsvarende sæt af regressionspunkter på linjen skal være mindst mulig. Dvs. længden af vektoren, der forbinder de to sæt af værdier, skal være mindst mulig. 1. koordinat for denne vektor er 231,1 – a ⋅ 5,0 – b. Tilsvarende for de øvrige punkter. Den samlede afstand for alle disse punkter kan bestemmes som længden     af vektoren z = P − a ⋅ x − b bestående af de 6 punkter indsat:  −5 a − b + 231,1   −10,1a − b + 235,1        −29, 9 a − b + 251,1 z = P − a⋅ x − b =  −40 a − b + 260, 2     −70, 2a − b + 285,1   −90,1a − b + 301, 5  2 Denne kan vi minimere ved at minimere z . g) Ved udregning af prikproduktet       ( P − a ⋅ t − b ) ⋅ ( P − a ⋅ t − b ) fås det angivne resultat.   b Bemærk, at b =  … .    b h) N år der differentieres mht. b, fås 12b + 490,6a – 31282. Løses nu ligningen 12b + 490.6a – 31282 = 0 med hensyn til b, fremkommer det ønskede. 2 i) z = 5638,39a2 – 9358,90a + 3883,93

Vektorrummet er 6-dimensionalt.     5, 0 + 10,1 + … + 90,1  t d  d = t ⋅d b) t d = ⋅ 2 d = 6 d  90 Beregningerne for Pd foregår på samme = 4579,45, så påstandede passer ved j) 9358, 2 måde. sammenligning med e).  −29,58  −35,88 c)  −35,88  −29,58 cov ( t, P ) 779, 9081  25,58   30,78  k) r = = = 0,99996  −−30,78   −−25,58  σ ( t ) ⋅ σ (P ) 30, 65504 ⋅ 25, 44251          −−10,89  − 9,58 10,89    −9,58   Ligningen cos(v) = 0,9996 giver vinklen   PP⊥⊥ =  −0,48   t⊥t⊥ ==  −−0,88  0,88    −0,48   0,53°.  29,32   24,42   29,32    24,42   Tolkning: Datasættet og korrelationspunkter 49,22    40,82    40,82   49,22  ne ligger meget tæt ved hinanden, da vinklen         1  1 t⊥ ⋅så P⊥lille. d) cov ( t , P ) = ( t − t ) ⋅ ( P − P ) = n ( t − t ⋅ d ) ⋅ ( P − P ⋅ d ) = n er         1  1 cov ( t , P ) = ( t − t ) ⋅ ( P − P ) = n ( t − t ⋅ d ) ⋅ ( P − P ⋅ d ) = n t⊥ ⋅ P⊥

232

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 232

25/08/14 11.24

Facitliste

9.3–9.4 Kvaliteten af en lineær regression – hypotesetest Opgave 9.10 a) Plot af dataværdierne: 65 60 55

kondital = kondital (88.28,53.38)

50 y = 0,256x + 76,003

middelværdi på –0,00395 og en spredning på 0,0946 er den nedre kritikske værdi: –0,00395 – 2 ⋅ 0,0946 = –0,193. Så også dette medfører, at nulhypotesen forkastes. Den observerede værdi ligger tæt ved grænsen for 3 spredninger. Samlet konklusion: Trods det spredte billede dataplottet gav, forkastes nulhypotesen om, at der ikke er en sammenhæng, og at tendensen kunne forklares som tilfældige udsving. Det kan den ikke. Der er en sammenhæng, vi kan ikke udtale os nærmere om hvilken, men der er grundlag for at eftersøge en sådan sammenhæng.

vægt = vægt 40 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

b) Værktøjsprogrammet giver det anførte. c) a =

cov ( v, k ) V (v)

=−

764, 217 2978, 69

= −0,257

b = 53,377 – (–0,2566) ⋅ 88,286 = 76,003 cov (v, k )

d) r = σ ( ) σ ( ) = v ⋅ k

−764, 217 2978, 686 ⋅

530, 439

= −0,608

Identisk med svar fra værktøjsprogram. e) Tyngdepunktet (88.186,53.277) Tyngdepunktet er det grønne punkt på figuren. Se tegningen i e). f) o g g) Efter at have gennemført 1000 simuleringer af beregningen af a-tallene under nulhypotesen konstaterer vi, at det er en meget usædvanlig hændelse at få et resultat som det observerede, idet betydeligt under 1% af tilfældene lander på en tilsvarende eller mindre værdi. h) R esultatet af simuleringerne og beregningerne af a-tallene kaldes for «målinger». Vi estimerer middelværdien og spredningen af normalfordelingstilnærmelsen som middeltallet og spredningen af målingerne. i) I et normalfordelingstest ligger de kritiske værdier for 5%-signifikansniveauet ved middelværdien ± 2 ⋅ spredningen . Med en

Hvad er matematik? A, opgavebog

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 233

233 25/08/14 11.24

Hvad_er_Matematik_A_Opgaver_facit.indd 234

25/08/14 11.24