5. Vektorer 1 Introduktion Vektorregning bruges i mange forskellige sammenhænge. Ingeniører og økonomer bruger vektorer, når de bygger økonomiske modeller og bygningsværker. Og softwareudviklere bruger vektorregning, når de skaber avanceret grafik til spil, film, virtuel reality. E n vektor har en længde og en retning, der hører sammen, fx ”1 cm i nordvestlig retning”. En vektor svarer dermed til en mængde af pile med samme længde og retning.
2 Eksempel P å figuren ses to vektorer. De fem af pile der peger skråt op mod venstre er repræsentanter den ene af de to vektorer. De to pile der peger skråt op mod højre er repræsentanter for den anden vektor. a
A
E n vektor navngives som regel med et lille bogstav med en pil henover, eksem pelvis a .
AB B
E n vektor kan være fastlagt ved at den går fra et punkt A til et punkt B . Sådan en vektor betegner vi AB. A lle vektorer a kan skrives på formen AB. Vi kan altid lade pilens begyndelsespunkt starte i et punkt A og lade dens endepunkt være i et punkt B, og så har vi: a = AB.
A(a1,a2)
3 Eksempel a = AB
O
I koordinatsystemet ses en vektor a fastlagt ved repræsentanten OA, der går fra
origo O (0,0) til punkt A med koordinaterne (a1,a2). Vektoren OA kaldes for stedvektoren for punkt A.
4 Defintion Vektors koordinater
K oordinaterne til vektoren a defineres som punkt A’s koordinater, og de skrives
lodret for ikke at blande koordinater til punkter og vektorer sammen: a a = a1 . 2 E n vektors koordinater er dermed to tal a1 og a2 , som angiver, at man fra pilens begyndelsespunkt skal gå a1 enheder i x-aksens retning og derefter a2 enheder i y-aksens retning for at komme til pilens endepunkt.
94
5. Vektorer
y 3
5 Eksempel
I koordinatsystemet ses 3 repræsentanter for vektoren v = 23
2
For hver repræsentant gælder, at man kommer fra pilens startpunkt
1
til dens endepunkt ved at gå: 3 enheder i x–aksens retning og 2 enheder i y–aksens retning.
–1
0
1
2
3
x
6 Eksempel I et CAS program kan der også tegnes vektorer, og man kan få forskellige størrelser beregnet. Her har vi fået Geogebra til at beregne længden af vektoren a .
7 Definition
Den såkaldte nulvektor o = 0 har ingen længde og repræsenteres ved et punkt. 0 En vektor, der ikke er nulvektoren, kaldes en egentlig vektor.
v = v1 v2
8 Eksempel nulvektor
o = 00
I koordinatsystemet ses en egentlig vektor v = v1 og nulvektoren o = 0 . 0 v2
9 Sætning Koordinaterne til en vketor mellem to punkter A(a1, a2) og B(b1, b2) bestemmes ved at trække startpunktets koordinater fra endepunktets b − a koordinater: AB = 1 1 b2 − a2
B(b1,b2)
b2 A(a1,a2) a2 a1
b1
10 Øvelse
1 a. Tegn tre repræsentanter for vektoren u = i et koordinatsystem på kvadreret −2 papir.
11 Øvelse
En vektor a fastlægges ved at den går fra A til B, hvor A(2,1) og B(3,4). a. Indtegn punkterne A og B og vektoren AB i et koordinatsystem. b. Bestem koordinaterne til a = AB. c. Tegn yderligere en repræsentant for vektor a i samme koordinatsystem med startpunkt i (0,0).
12 Øvelse a. Afsæt punkterne A (–1,2) og B(2,1) i et koordinatsystem i et CAS program. b. Tegn vektoren AB og bestem koordinaterne til AB vha. CAS. c. Bestem også koordinaterne ved hjælp af formlen i sætning 9.
5. Vektorer
95
5.2 V ektorregneregler 1 F F 1
2
13 Introduktion Slæbebåden trækker i de to skrå stålwirer med ens kraft. På den tegnede vektormodel af situationen er vektorerne Fres
F1 og F2 de kræfter der trækkes med i de to liner. Længden af en vektor kan vise styrken i trækkraften – jo længere vektor, jo større kraft trækkes der med.
14 Definition
b = b1 b2 a a = a1
Summen af to vektorer er en ny vektor, hvor koordinaterne er summen af
a a =+ ba=1 b1 2 b 2
2
b = b1 b2
5
a a = a1 a 2 a =+ ba=1 b1 2 b 2
2 1
–1 0 1 –1
2
3
4
de to vektorers tilsvarende koordinater. a a +b For vektorerne a = a1 og b = b1 er summen af dem a + b = 1 1 . b2 a2 + b2 2 a b1 Geometrisk konstrueres summen ved at b =afsættes i endepunktet for a.= a1 b 2 a1 b a1 2 1 som pilen fra startpunktet for a =til endepunktet for b.= b1 Summen a =+ ba =findes a b2 2 b2 2
15 Eksempel
4 3
Summen af de to kræfter er lig med den blå vektor F = F1 + F2.
Summen af vektorerne a = 2 og b = 3 er: a + b = 2 + 3 = 5 5 1 5 + 1 6
I koordinatsystemet ses de tre vektorer. Bemærk at sumvektoren ligger som a b 1 sider. diagonalen i et parallelogram, der har vektorerne a =og ab1 =som b2 2
5
16 Eksempel I Geogebra er to vektorer a og b indført ved deres koordinater som fremgår af skærmbilledet. De tildeles navnene a og b af programmet. Kommandoen ”a + b” resulterer i vektoren sum-vektoren u.
17 Definition
En vektor multipliceret med et tal, k, er en ny vektor ka = k ⋅ a1 . k ⋅ a2 H vis k er positiv, har de to vektorer samme retning, er k negativ, har de mod-
satte retninger. For k = 0 fås en nulvektor uden retning.
6 5
a k · a = a1
4
18 Eksempel
2
3 2
a a = a1
1
2
0
96
1
2
3
5. Vektorer
4
5
a1 H vis en vektor a =har en repræsentant, der går fra punktet (0,0) til punktet (1, 2), så a1a2 vil vektor 3 · a =have a2 en repræsentant, der går fra punktet (0,0) til punktet (3, 6). 3 ⋅ 1 3 3a = = 3 ⋅ 2 6
19 Definition
a1 a1 Den modsatte vektor til en vektor a =kaldes a2 – a =og aer repræsenteret ved en pil med 2 a1 samme længde som vektor a,=men a2 modsat retning. Dens koordinater er givet ved −a 1 −a = − a2 . a1 a1 Den modsatte vektor er dermed det samme som vektoren (–1) · a =dvs a2 vektor a = a2 ganget med minus en. 3 2
20 Eksempel
a1 En vektor a =har a en repræsentant, der går fra punktet (0,0) til punktet (2,3). 2
Den kan ses som den sorte vektor på figuren til højre, og den modsatte a1 vektor – a =er vist a2 med rødt. Koordinaterne til den modsatte vektor er − a = −2 −3
a a = a1
1 –3
–2
2
0
–1
1
2
3
–1
a – a = a1
2 –2
–3
21 Parallelle vektorer
a b1 To vektorer a =og ab1 =er parallelle, hvis de har samme eller modsat retning. Symbolsk b2 a 2 1 b1 skrives parallelitet med to lodrette streger a =b. a2= b 2
22 Øvelse Tre vektorer er givet ved u = 3 , v = 1 og w = –2 1 3 2 3 1 3 –2 1 –2 a. Tegn en geometrisk fremstilling af vektorerne u =+ v ,= u =+ w =og v =+ w = 1 2 1 3 2 3
23 Øvelse Tre vektorer er givet ved u = 3 , v = 1 og w = –2 4 –5 2 3 1 3 –2 1 –2 a. Beregn koordinaterne for vektorerne u =+ v ,= u =+ w =og v =+ w = 1 2 1 3 2 3
24 Øvelse To vektorer er givet ved a b 1 b = b1 a. Bestem koordinaterne til vektorerne 3 a,=4ba=1og –2 b2 2 b2 a1 b b. Bestem koordinaterne til vektoren 2 a =+ 3ab= 1 b2 2
5. Vektorer
97
5.3 Vektorregneregler 2
25 Introduktion
Gymnasieeleverne i sejljollen får vinden ind fra siden. Derved skubbes jollen sidelæns samtidigt med, at den sejler fremad. Endvidere flytter vandmassen sig grundet havstrømme. Jollens retning henover bunden findes som resultatet af påvirkningen af alle de kræfter, der virker på båden. Det kan man bruge vektorer til at beregne. I det her afsnit skal vi se på nogle af de regneregler, der gælder for regning med vektorer. Der er både en geometrisk repræsentation og en analytisk/symbolsk repræsentation af reglerne.
26 Definition
a b1 ny vektor, der er defineret som sumDifferensen mellem to vektorer a =og ab1 =er en b2 2 a1 b b1 a =– ba=1= ba1 =+ (–a1b). men af vektor a =og aden modsatte vektor af vektor b,=dvs. a2 b2 a2 = b21 b2 2 a a = a1
b = b1 b2
2
– b = b1 b2
a a =– ba=1 b1 2 b 2 a b = b1 a = a1 a = a1 b2 2 a2 a a =+ ba=1 b1 2 b 2
27 Eksempel
a1 b = 1 Øverst i kvadratnettet ses to vektorer a =og ab. 2a1 bb2 1 med blåt. Midterst er summen af de to vektorer, a =+ b, a2=vist b2 D ifferensen fremstilles ifølge definitionen ved af fremstille summen a b 1 med grønt. a =+ (–a1b), = vist b2 2
28 Sætning
a b 1 Koordinaterne til a =– ba=1 er af de to vektorers tilsvarende koordinater. differensen 2 b2 a1 Hvis vektorerne er a = a og b = b1 , har differensen koordinaterne b2 2 a1 – b1 a – b= . a2 – b2
a u b
98
5. Vektorer
29 Eksempel
3 a D ifferensen af vektorerne a == a21 og b ==b1 er vektoren b21 25 2 − 3 −1 a −b = = . 5 − 1 4
I Geogebra kan vektordifferensen bestemmes ved at indføre vekto a b 1 kommandoerne ”a=vektor[(2,5]” og ”b=vektor[(3,1]”. rerne a =og ab1 =med b2 2 Herefter skrives ”a–b” i inputlinjen. 2 − 3 −1 −b = Programmet svarer med vektor u, hvis akoordinater er= . 5 − 1 4
30 Sætning Der gælder følgende regneregler for vektorer: a a1 1. a =+ ba1== bb1=+ ab1= a2 2 b2 b2 a1 b a1 b 1 + ( b =+c )1 2. ( a =+ b) a2 b2 a2=+ bc = a = 2 a1 b a1 b 1 + k b = 3. k( a =+ b) a2 b21 a2== bk a = 2 a a a1 4. (k + m) a == kaa1 =+ ma1a = a2 2 2 a1 a1 = a 5. (km) a == k(m a2 a) 2
31 Bevis for 25.4
a a a1 Vi skal bevise, at (k + m) a == kaa1 =+ ma1a =. Vi koordinaterne på begge sider af audregner 2
lighedstegnet og ser om de er ens. Venstre side: (k + m)
2
2
a1 ( k + m)a1 ka1 + ma1 = = a2 ( k + m)a2 ka2 + ma2
a a ka1 ma1 ka1 + ma1 Højre side: ka + ma = k 1 + m 1 = + = a2 a2 ka2 ma2 ka2 + ma2 Vi får samme resultat, og dermed er sætningen bevist.
32 Eksempel 5 To vektorer er givet ved uv == 31 og v = 5 . Vi vil udregne 3 u =+ 3 v3 .= 42 4 6 6 2 − ( −4) 6 18 Ifølge regneregel 25.3 er dette lig med: 3(u − v ) = 3 4 − 5 = 3 −1 = −3
33 Øvelse vektorgitterovelse
På kvadratnettet ses fem vektorer. Vektorerne c , d og e er
b = b1 b2
a a = a1 2
fremkommet som resultaterne af udregningerne: a1 b b a1 a1 =–1 a = 1 1 = a =+ b, og b =– 2ba. a2= b b2 b2 a2 a b2 a2 1 b1 a. Tegn vektor a =og ab=på kvadreret papir. b2 2 b. Vis de tre udregninger geometrisk og gør på den måde rede for, hvilke af vektorerne c , d og e der er resultater af hver af de tre udregninger.
c
d
e
c. Hvert kvadrattern udgør én enhed. Angiv koordinaterne til de fem vektorer.
34 Øvelse Tre vektorer er givet ved u = 3 , v = 1 og w = 5 –4 6 2 3 1 3 –2 1 –2 a. Beregn koordinaterne for vektorerne u =– v ,= u =– w =og v =– w .= 1 2 1 3 2 3
35 Øvelse a. Bevis en eller flere af de øvrige regler i sætning 25 ved at udregne koordinaterne på begge sider af lighedstegnet og kontrollere, at de er ens.
5. Vektorer
99
5.4 Længde af vektor B
31 Introduktion
c
P ythagoras fra øen Samos har lagt navn til sætningen a2 + b2 = c2.
a
S iden c er hypotenusen: Den længste side og den, som ligger overfor den rette vinkel. A
b
Vi kan udregne længden af en vektor med en formel der bygger på Pythagoras’ sætning. Vi starter derfor med at genopfriske brugen af Pythagoras' sætning. B
32 Eksempel D e to kateter a = BC og b = AC i trekant ABC har længderne 3 og 4. Vi vil først
c 3
omforme Pythagoras' sætning, a2 + b2 = c2 så størrelsen c bliver isoleret. Da a, b og c er længder og dermed positive tal, kan vi tage kvadratroden på begge sider af lighedstegnet.
A
4
C
Vi får: c = a2 + b 2 : Vi indsætter nu de kendte sidelængder for a og b og får: c = 32 + 4 2 = 5. Længden af hypotenusen er altså 5.
Der gælder en næsten tilsvarende formel til beregning af en vektors længde:
33 Sætning
Længden af en vektor v = v1 , er givet ved formlen | v |= v12 + v 22 . v2
34 Eksempel v
Længden af vektoren v = –4 kan udregnes ved indsættelse i længdeformlen. 3 Vær opmærksom på at fortegnet af x-koordinaten også skal i anden, så vi sætter en parentes om –4: v = ( −4)2 + 32 = 25 = 5 .
b − a 1 1 I vektor AB =udspændt mellem punkt A og B har koordinatene AB = b1 − a1 . b2 − a2 b2 − a2 I folængelse af sætning 33 gælder derfor tilsvarende:
35 Sætning Længden af vektoren udspændt af punkterne A og B med koordinaterne (a1, a2) og (b1, b2) er givet ved formlen: | AB |= (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 .
100
5. Vektorer
C
36 Eksempel
b − a 1 A(2, 1 Længden af vektor AB ,=hvor 1) og B(6,3) er: | AB |= (6 − 2)2 + (3 − 1)2 = 20 ≈ 4, 47 . b2 − a2
37 Eksempel I trekant ABC har vinkelspidserne koordinaterne A(–1,4), B(1,–1) og C(5,4).
A
Længden af siden AC er blot forskellen på førstekoordinaterne, da stykket
3
er vandret. Sidelængderne AB og BC beregnes ved hjælp af sætning 35.
2
| AB |= (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2
| BC | = ( c1 − b1 )2 + ( c2 − b2 )2
= (1− ( −1))2 + ( −1− 4)2
= (5 − 1)2 + (4 − ( −1))2
= 22 + ( −5)2
= 4 2 + 52
= 29
= 41
C
4
1
| AC | = 5 − ( −1) =6
–1
–1
0
1
2
3
4
5
6
B
38 Bevis for sætning 33
B
1 Vi ser først på en skrå vektor v ,=hvor begge koordinater v1 og v2 er forskellige 2 fra nul: Vi tegner linjer gennem vektorens endepunkter parallelt med koordinat-
AB
BC = v2
systemets akser. Vektorens endepunkter A og B danner sammen med linjernes skæringspunkt, C, en retvinklet trekant.
A
Vi anvender nu Pythagoras' sætning på trekant ABC, 2
2
AB = AC + BC
2
C
AC = v1
2 dvs. v = v12 + v 22 og dermed
v = v12 + v 22 . Herefter skal det vises, at formlen passer, hvis vektoren er lodret eller vandret.
39 Øvelse I trekant ABC, hvor C er en ret vinkel er a = 9 og b = 12. a. Beregn længden af hypotenusen.
40 Øvelse
a. Beregn længden af de to vektorer v = 2 og u = 1 . –2 3
41 Øvelse
4
I et parallelogram er to sider overfor hinanden lige lange og parallelle. a. Angiv koordinaterne til de fire punkter A, B, C og D. b− a 1 = = DC b. Bestem koordinaterne til vektorerne AB og . 1 b2 − a2 c. Gør rede for, at firkant ABCD er et parallelogram.
B
3 2 A
C
1
–2 –1 0 1 –1
2
3
4
5
6
7
8
9
–2
42 Øvelse
1 a. Bestem koordinaterne til en lodret vektor v ,=som har længden 5. 2 1 b. Bestem også længden af v =ved indsættelse af de fundne koordinater 2 i længdeformlen.
5. Vektorer
101
5.5 Skalarprodukt
43 introduktion
I opslaget her skal vi indføre det såkaldte skalarprodukt af to vektorer. Det er et meget nyttigt redskab, hvormed man ville kunne beregne det arbejde målt i kJ, der udføres når man kæmper med at løfte sig op imod tyngdekraften. Jakob Fuglsang i front klatre sig op ad Alpe D’Huez i Tour de France 2013.
44 Definition
a Skalarproduktet af to vektorer a = a1 og b = b1 er et tal, der er givet ved b2 2 a1 b 1 · b + a · b ). a =· b 1 1 2 2 a==2 (a b2 Skalarproduktet kaldes også prikproduktet.
45 Eksempel
46 Eksempel
a Prikproduktet af vektorerne a == a71 og b == b19 er tallet: b10 2 8 2 a a =· b a==1 7b·1 9 + 8 · 10 = 863. 2 b2
A d
F
B
På tegningen ses en model af en rød kugle der påvirkes af tyngdekraften F og derfor ruller strækningen d = AB .= b1 − a1 b2 − a2 Fra fysikken ved vi, at det arbejde W en kraft d udfører, når den virker over en strækning d , er lig prikproduktet af de to vektorer: W = F · d . − a1 1 I en model lader vi tyngdekraften være: F = 0 og strækningen: d = AB == b60 . –10 b–20 − a2 2 Det arbejde som tyngdekraften udfører kan beregnes ved skalarproduktet: 0 60 W = F ⋅d = ⋅ = 0 ⋅ 60 + ( −10) ⋅ ( −20) = 200 . −10 −20 Den fysiske enhed for kraft er Newton (N) og for strækning meter (m). Dermed er tyngdekraftens arbejde på kuglen lig med 200 Nm (Newton meter). Denne enhed kaldes også Joule. Arbejdet er altså 200 J. Hvilket igen svarer til 0,2 kJ (kilo-Joule).
47 Sætning Der gælder følgende regneregler for skalarprodukter: a1 b b a1 1 1. a =· b "Den kommutative lov" a==2 bb21=· ab= a2 2 a1 b a1 b a1 2. a =· (ba =+ c )1 = a =· b a=+2 ab21=·c )a2 "Den distributive lov" 2 b2 a a b a1 b 1 3. (k a)=· ba1== k(b1a =· b)a=1= associative lov" a1 =· (k ab) = b"Den 2 b2 2 b2 2 2 a a1 2 a1 4. a =· aa==1 aa = a2 2 2
102
5. Vektorer
48 Eksempel
a Vektoren a == a14 har længden 5, hvilket vi kan beregne således: –3 2 | a | = 4 2 + ( −3)2 = 25 = 5 . a1 Hvis vi prikker a =med a2 sig selv, får vi ifølge 47d.: a 2 = a ⋅ a = 4 ⋅ 4 + ( −3) ⋅ ( −3) = 16 + 9 = 25 . Vi får altså længden i anden, i overenstemmelse med sætningens påstand. Sætningen passer altså med de valgte tal i dette eksempel. Hvis vi vil bevise, at sætningerne gælder generelt, altså for alle vektorer må vi frigøre argumenterne for konkrete tal. Nedenfor vil vi bevise tre af sætningens påstande ved at regne med symbolske koordinater.
49 Bevis for sætning 47.4 Vi beviser påstanden ved at regne med koordinater på begge sider at lighedsregnet, og kontrollerer at vi får det samme. a1 b Venstre side: a =· b a==2 ab121·b1 + a2 · b2 a Højre side: b =· ab==1 ba11·a1 + b2 · a2 = a1 · b1 + a2 · b2. b2 2 Vi kan bytte rundt på faktorerne ved det sidste lighedstegn, da alle størrelserne blot er tal (koordinater). Da de to udregninger dermed giver samme resultat er sætningen bevist.
50 Bevis for sætning 47.2 Vi beviser igen påstanden ved at regne med koordinater på begge sider af lighedstegnet, og kontrollerer, at vi får det samme. På venstre side får vi: a ⋅ (b + c ) = a1 ⋅ (b1 + c1 ) + a2 ⋅ (b2 + c2 ) = a1b1 + a1c1 + a2b2 + a2c2 . På højre side får vi: a ⋅ b + a ⋅ c = a1b1 + a2b2 + a1c1 + a2c2 . Begge udregninger ender ud i at de samme 4 talstørrelser bliver adderet, og dermed er de lig med hinanden. Hermed er sætningen bevist.
51 Bevis for sætning 47.4 Vi skal bevise at en vektor prikket med sig selv giver dens længde i anden: a a1 2 a1 a =· aa==1 aa = . a2 2 2 Længden af en vektor er givet ved: | a | = a12 + a22 og dermed er længden i anden 2 a1 2 a= =a a1 + a22. 2 a1 a1 a1 2 2 Vi prikker a =med a sig selv og ser at vi får det samme: a =· aa==aa1 ·a1 + a2 · a2 = a1 + a2 . 2
Hermed er sætningen bevist.
2
2
52 Øvelse
a = 1 , b = 3 og c = 5 . 4 2 6 a1 b b a1 1 a =· c.a a. Beregn prikprodukterne a =· b, a=2 b b=·21 c bog 2 2 Tre vektorer er givet ved
53 Øvelse
5. Vektorer
103
5.6 Tværvektor og Determinant
54 Introduktion
Troitsky broen i Skt. Petersborg er ved at åbne broklappen. På billedet åbner den i samme retning som koordinatsystemet omløbsretning. Hvis den åbnede 90° ville dens højde være præcist lig med dens længde. Den ovenstående tænkemåde kan vi bruge i afsnittet her, hvor vi skal starte med at se på begrebet tværvektor.
a a = – a1 2
a a = a1
a a = a1 2
2
−a aˆ = 2 a1
55 Definition
a1 a1 Tværvektoren til vektor a =fremkommer ved at dreje a =90° a2 a2i positiv ˆ omløbsretning. Tværvektoren betegnes a , og kaldes ”vektor a hat”. a a = a1
a1 På illustrationen ses det, at når vektoren a =drejes a 90° i positiv om2
a a = a1 2
2
løbsretning, byttes der rundt på x- og y-koordinat, og der sættes et minus foran x-koordinaten.
56 Sætning
a −a Tværvektoren til en vektor a = a1 har koordinaterne aˆ = 2 . 2 a1
57 Eksempel
1 Tværvektoren til a = ifølge sætning 56 er: aˆ = −( −3) = 3 . −3 1 1 Tværvektoren er et nyttigt begreb i plangeometrien. Ved hjælp af tværvektorer er det eksempelvist meget let at skabe vektor som er vinkelret på en anden vektor. Vi kan også anvende tværvektoren til at indføre endnu et nyttigt begreb, nemlig determinanten af et vektorpar.
58 Definition
a1 b a 1 Determinanten af vektorparret a = a1 og b = b1 skrives det( a,=b)=aog b 2 b2 2 2 a1 bˆ − a2 b 1 1 er givet ved: det( a,=b)=a= a =· b == a1 · b2 – a2 · b1. 2 b2 a1b2 a b Determinanten kan også skrives: det(a , b ) = 1 1 . a2
b2
Skemaet har sin helt egen betydning, der kan ses på videoen.
104
5. Vektorer
59 Eksempel
a 1 : Vi beregner determinanten for a == a31 og b ==b–5 b2 2 24 3 −5 det(a , b ) = = 3 ⋅ 2 − 4( −5) = 26 4
2
Determinanter har flere anvendelsesmuligheder, og vi skal se nærmere på en af dem her. a b 1 På tegningen ses to vektorer a =og ab1 =udspænde et parallelogram (og dermed også en b2 2 trekant). Der gælder nu:
60 Sætning
a b 1 Arealet A af det parallelogram, som vektorerne a =og ab1 =udspænder, b2 2 er lig med den numeriske værdi af determinanten af vektorparret: a1 b A = det( a,=b). =a2 b21
a Tilsvarende er arealet T af den trekant, som vektorerne a =og ab1 = b1 b2 2 udspænder, lig med: a1 b 1 T = det( a,=b). =a2 b21 2
b = b1 b2
v a a = a1 2
61 Eksempel
a To vektorer a == a11 og b ==b12 udspænder en trekant. Vi bestemmer dens areal: b24 23 T=
1 1 1 det ( a, b ) = ⋅ 2 2 3
2 4
=
1 1 1 11 ⋅ |1 ⋅ 4 − 3 ⋅ 5| = ⋅ | 4 − 15| = ⋅ | − 11| = . 2 2 2 2
62 Øvelse
a 1 . To vektorer er givet ved a == a11 og b ==b–2 b2 1 23 ˆ a. Bestem aˆ og b . b. Tegn repræsentanter for de fire vektorer på kvadreret baggrund.
63 Øvelse
a De to vektorer a == a31 og b ==b11 udspænder et parallelogram. b27 25 a. Bestem parallelogrammets areal.
64 Øvelse
a De to vektorer a == a21 og b ==b14 udspænder en trekant. b21 24 a. Bestem trekantens areal. b. Tegn trekanten udspændt af de to vektorer i et koordinatsystem.
5. Vektorer
105
Opgaver – 5. Vektorer
Opgave 501
Opgave 505
Tegn et koordinatsystem og afsæt en repræsentant for følgende vektorer: a 2 og d = –3 1 , c = a == a11 , b == b–2 b23 –1 –2 22
I et koordinatsystem er givet punkterne A(0,2), B(2,5) og C(4,1).
a. Bestem koordinaterne til vektorerne AB , BC og CA .
Opgave 502 Tegn tre repræsentanter for vektorer, hvor man fra
Opgave 506
repræsentants begyndelsespunkt skal gå:
a. Tegn et koordinatsystem og afsæt repræsen 2 tanter for vektoren v = med startpunkt i 1 følgende punkter: (1, 2), (3,4), (5, –2), (–4, –3)
a. 2 enheder i x-aksens retning og derefter 3 enheder i y-aksens retning for at komme til pilens endepunkt. b. 4 enheder i x-aksens retning og derefter –2
Opgave 507
enheder i y-aksens retning (nedad, da –2) for at komme til pilens endepunkt. A
2
Opgave 503
3 b = b1 b2 d –2
–2
D
0
1
2
3
4
E
–2
a. Angiv koordinaterne til punkterne.
2
b. Tegn koordinatsystemet og punkterne af på
1
–1
–1
C
–1
a a = a1
2
F
1
a. B estem koordinaterne til vektorerne, der er tegnet på figuren:
B
3
0
1
2
3
e
–1
kvadreret papir.
c. Tegn vektorerne AB , AD , AF , BF , CB , DE , EC og EF .
4
c
–2
d. Angiv koordinaterne til hver af de 8 vektorer.
Opgave 504
Opgave 508
a. Tegn et tilsvarende koordinatsystem med punk-
A
terne.
3
b. B estem koordinaterne til punkterne. c. Tegn vektorerne AB , BC , DE , FA og FD
E 2
F
1
d. B estem koordinaterne til de fem vektorer. –2
D
3 C
2
D
–2
1
2 B
3
4 C
I koordinatsystemet er givet seks punkter A – F.
F
1 –1
0 –1
A
B
–2
–1
a. Angiv koordinaterne til punkterne. 0
1
–1 –2
2
3
b. Tegn koordinatsystemet og punkterne af på
4 E
kvadreret papir. c. Tegn vektorerne AB , AD , AF , BF , CB , DE , EC og EF . d. Angiv koordinaterne til hver af de 8 vektorer.
106
5. Vektorer
Opgave 509
Opgave 512
a Lad der være givet to vektorer a = a21 og b == b31 . b12 22 a1 b 1 a. Bestem koordinaterne til a =+ b. a = a b 2 b2 1koordinatb. I ndtegn vektorerne a =og ab1 =i et 2 b2 a1 b 1 system, og vis additionen a =+ b. a2= b 2 a b 1 c. Vis, at additionen b =+a 1=giver samme vektor b2 a2 a1 b 1 som a =+ ba =og ligger som diagonalen i et 2 b2 a1 b parallelogram med siderne a =og ab. = b21 2
Opgave 510 Lad der være givet tre vektorer a = 1 , b = 3 og c = –2 . 4 2 1 a1 b a1 b = a =+1 c og b =+ c . 1 a. Beregn koordinaterne til a =+ b, b2 a1 ab2 b2 a2 b. I ndtegn vektorerne a =og ab=i et 1koordinatsystem, a1 2 b b2 = 1 og vis additionen a =+ b. a2a1 b2 c. I ndtegn vektorerne a =og ac i et koordinatsystem, a 2 og vis additionen a =+ ca. 1 2 d. I ndtegn vektorerne b =og bc1 i et koordinatsystem, b2 og vis additionen b =+ cb. 1 b2
Opgave 511 5
4 b =3 b1 b2 2
c
d
a a = a1
–1 –1
0 1
2
3
c
4 b = b13 b2
a a = a1
2 1 –3
–2
–1 –1
d 2
0 1
2
3
4
5
Lad fire vektorer være givet som i koordinatsystemet. a. Indtegn de fire vektorer i et koordinatsystem. 1 a1 b c1 og 3 d. b. Indtegn vektorerne 2 a,=2b, a2=–2 b2
Opgave 513 Lad der være givet tre vektorer a = 1 , b = 3 og c = –2 . 4 2 1 a1 b b =og 41 c . a. Bestem koordinaterne til 3 a,=–2 a1 b a2 a1 b2 b =–2b =og 41 c b. I ndtegn vektorerne a,=b,=ac,31a, a2 b2 2 b2 i et koordinatsystem.
Opgave 514 To punkter er givet ved A(4, 6) og B(7, 8) a. Bestem koordinaterne til vektor AB . b. Bestem koordinaterne til vektor BA . c. Bestem koordinaterne til vektor –BA .
Opgave 515
2
1 –2
5
4
5
Lad fire vektorer være givet som i koordinatsystemet. a. I ndtegn vektorerne og deres modsatte vektorer i et koordinatsystem. b. Bestem koordinaterne til de tegnede vektorer
Lad der være givet to vektorer 2 –1 a= , b= . 3 3 a b a1 b 12 a =+ 3 b.= 1 a. Bestem koordinaterne til a =+ ba1=og a2 b2 a1 b 2 b2 1koordinatsystem, b. I ndtegn vektorerne a =og ab=i et a1 2 b b2 1 og vis additionen a =+ b. a2= b 2 a 1 b1 c. Vis desuden vektoren 2 a =+ 3ab. = b2 2
og deres modsatte vektorer.
5. Vektorer
107
Opgaver – 5. Vektorer Opgave 516
Opgave 521
Lad der være givet tre parallelle vektorer: 2 4 t a= , b= og c = . s 3 –3
3
2 a a = a1 b = b1 1 2 b2
a. Bestem tallene s og t.
a b a1 1 a =+ c . b. Bestem vektorsummerne: a =+ ba1=og a2 2 b2
Opgave 517 Bestem tallet k, så følgende vektorligninger er opfyldt: a. k 5 = 20 8 32
–3
–2
–1
0 1
2
3
a b 1 givet som i koordinatLad to vektorer a =og ab1 =være b2 2 systemet. a. Indtegn vektorerne i et koordinatsystem. b. T egn en grafisk fremstilling af vektorerne a b a1 b 1 a =– b.= 1 a =+ ba1=og a2 b2 2 b2 c. Tegn en grafisk fremstilling af vektorerne a b a1 b 2 a =– ba=1 og 1 a =– 2ab. = b21 2 b2 2
b. k 20 = 5 30 6 c. −2 = k 4 −5 10
Opgave 518
Opgave 522
Bestem de ubekendte koordinater i følgende
Tre vektorer er givet ved 2 –5 1 u == −13, v = 12 og w = 7 . 21 3 −614 9–4 12 −137 a. Bestem koordinaterne til u =– v −=13 og u =– w .= −1421 −149 b. Tegn en geometrisk fremstilling af vektorerne 127−13 −137 12 7 ,=u =– v ,=u12 u ,=v,=−w13 =– w =og v =– w .= 21 −14 9 −1421 −149 21 9
vektorligninger: 12 a 10 a. = 1 + 0 −2 b2 5 a 10 b. = 1 + 7 b2 5
Opgave 519 Tre vektorer er givet ved v = 12 , u = −13 og w = 7 21 −14 9 Beregn koordinaterne for vektorerne u =– v −,=1312 −1421 −137 12 7 u =– w =og v =– w .= −149 21 9
Opgave 520 b = b1 b2 a a = a1
2
2
1 0 1
2
3
4
5
a b 1 givet som i koordinatLad to vektorer a =og ab1 =være b2 2 systemet. a. Indtegn vektorerne i et koordinatsystem. b. T egn en grafisk fremstilling af vektorerne a b a1 b 1 a =– b.= 1 a =+ ba1=og a2 b2 2 b2
108
c
6 5 4 3 2 1
–3 –2 –1
4 3
Opgave 523
5. Vektorer
b = b1 b2 a a = a1 2
0 1
2 3 4
5
a1 b c1 være givet som vist i Lad tre vektorer a,=b=aog 2 b2 koordinatsystemet. a1 b c1 . a. Bestem koordinaterne til a,=b=aog 2 b2 b. Tegn fire koordinatsystemer og indtegn de nedenfor nævnte vektorer med begyndelsespunkt i (1, 1): a1 b a1 b 2c – b.= b1 a =– b, a =–1 ca, b =– c 1og a= b2 b b 2 2 2 2
Opgave 524
Opgave 526 5
C
4
4
3 B
2
0 1
a a = a1
1
A 2
3
2
4
0
En trekant i et koordinatsystem har vinkelspidser i
1
2
4
5
6
natsystemet.
Gør rede for, hvilke af følgende påstande der er sande: a. AB + BC = AC b. AB – BC = AC c. AB – BC = CA d. AC – AB = BC e. AB + BC = CA
b. Bestem længden af vektorerne.
Opgave 527 v = 12 21 b = b1 b2 w= 7 9
5
u = −13 −14 4 3
a a = a1
2
Opgave 525
2
1 –3
B
–2
–1
0
1
2
3
4
5
a. Angiv koordinaterne til vektorerne i koordinat-
4 3
3
a. Angiv koordinaterne til vektorerne i koordi-
punkterne A, B og C.
5
b = b1 b2
c
3
2 1
d
systemet.
C
A
2
b. Bestem længden af vektorerne.
1
D 0 1
2
3
4
5
Opgave 528
d
5
Parallelogrammet har vinkelspidser i punkterne
c
A, B, C og D. De to diagonaler er indtegnet med
4
henholdsvis grøn og rød farve.
2
Gør rede for, hvilke af følgende vektorudregninger der kan udgøre diagonaler: a. AB + BC b. AB + CD c. DC – CB d. AB – AC e. AB – DC f. AB – AD
e
3
–3
a 1 a = a1 –2
2
–1
b = b1 b2 0
1
2
3
4
5
–1
a. Angiv koordinaterne til vektorerne i koordinatsystemet. b. Bestem længden af vektorerne.
5. Vektorer
109
Opgaver – 5. Vektorer
Opgave 529
Opgave 533
a. I ndtegn fire punkter A, B, C og D, i et koordinat-
a. Tegn et koordinatsystem og afsæt en repræsen tant for vektorerne a = 23 og b = 14 med udgangspunkt i punktet P(1, 2). a b b. I ndtegn vektoren a =– ba=1 med 1 begyndelses2 b2 punkt i følgende punkter: (1, 2), (3, 5) og (2, 6).
system, så de danner et rektangel (siderne er parvist lige lange og vinklerne er rette). b. A ngiv to vektorer, der udspænder firkanten, og bestem deres koordinater. c. Angiv to vektorer, der er diagonaler i firkanten, og bestem deres koordinater.
Opgave 534 B
d. Bestem længden af diagonalerne. 15
Opgave 530
9
a. I ndtegn fire punkter A, B, C og D, i et koordinatsystem, så de danner et parallelogram (siderne er parvist parallelle). b. A ngiv to vektorer, der udspænder firkanten, og bestem deres koordinater. c. Angiv to vektorer, der er diagonaler i firkanten, og bestem deres koordinater. d. Bestem længden af diagonalerne.
A
b
C
Trekant ABC er retvinklet. Nogle af størrelserne fremgår af tegningen. a. Beregn længden af siden b. b. Vinkelsummen i en trekant er 180°. Brug denne oplysning til at gøre rede for at vinklerne A og B vil være spidse (dvs. mindre end 90°).
Opgave 531 a. Indtegn fire punkter A, B, C og D, i et koordinat-
Opgave 535
system, så de danner en rombe (et specialtilfælde
Om en trekant ABC gælder, at C = 90°, b = 6
af parallelogrammet, hvor alle sider er lige lange).
og c = 10.
b. A ngiv to vektorer, der udspænder firkanten, og bestem deres koordinater.
a. Bestem længden af siden a. b. Bestem summen af vinklerne A og B.
c. Angiv to vektorer, der er diagonaler i firkanten, og bestem deres koordinater. d. Bestem længden af diagonalerne.
Opgave 532
Opgave 536 Bestem længden af følgende vektorer: t 212 40 a == , b == og c == 0 . –3 s7 0 3 0
a. I ndtegn fire punkter A, B, C og D, i et koordinatsystem, så de danner et trapez, hvor to af
Opgave 537
siderne er parallelle, men ikke lige lange.
De tre punkter A(2,1), B(3,4) og C(5,2) udspænder
b. A ngiv to vektorer, der udspænder firkanten, og bestem deres koordinater. c. Angiv to vektorer, der er diagonaler i firkanten, og bestem deres koordinater. d. G ør rede for at to af siderne i dit trapez er parallelle ved at vise, at de to vektorer er parallelle (dvs. den ene er lig med den anden gange en konstant).
110
5. Vektorer
en trekant. a. Undersøg, om trekanten er ligesidet (dvs. alle tre sider er lige lange).
Opgave 538
Opgave 544
Lad der være givet to punkter A(1,2) og B(2,4).
Bestem de manglende koordinater i følgende
a. I ndfør et punkt C, således at punkterne ABC dan ner en ligebenet trekant udspændt af AB og BC .
vektorligninger: 13 a1 10 a. = – 0 –2 b2
b. Bestem længden af de tre sider i trekanten.
Opgave 539
a 11 b. 4 = 1 – 9 b2 15
Lad der være givet to punkter A(1,2) og B(2,4).
Opgave 545
a. I ndfør et punkt C, således at punkterne ABC dan ner en ligebenet trekant udspændt af AB og AC .
Bestem tallet x, så følgende vektorer har de an-
b. Bestem længden af de tre sider i trekanten.
givne længder: 5 + x a. har længden 10 8
Opgave 540
b.
x har længden 5 –4
c.
2x har længde 13 5
Lad der være givet to punkter A(–1,1) og B(3,5). a. I ndfør et punkt C, således at punkterne ABC ikke danner en trekant. b. I ndfør et punkt D, således at trekanten ud spændt af AC og AD bliver stumpvinklet (en af vinklerne er større end 90°). c. Bestem længden af AD .
Opgave 541
Opgave 546 a. B estem skalarproduktet af vektorerne 4 12 a == 3 og b == . 2s
Opgave 547
1 Om to vektorer oplyses det, at v == 12 2 og 21 −413 −1312 , og længden af vektor u =– v =er 5. u == −u14 −1421 2 a. Bestem den manglende koordinat u2.
Tre vektorer er givet ved t1 92 –2 4 a == , b == og c == . –3 s4 53 –6 a1 b a1 t 4 t a. Bestem prikprodukterne: a =· b, a=2 a b=·21 c a=og b =· c .=s –3 2 –3
Opgave 542
Opgave 548
a. Tegn et koordinatsystem og afsæt fire forskellige vektorer hver med længden 5 , hver med udgangspunkt i punktet (4,6) således, at vektorernes endepunkt rammer et gitterpunkt.
Opgave 543
x 2 9 a. Løs vektorligningen + 1 = 4 x2 18
ved at bestemme koordinaterne x1 og x2. 5 8 + x = 9 ved at bestemme 12 koordinaterne til vektor x .
b. Løs ligningen
4000 En kraft er givet ved vektoren F = 5000 (målt
i enheden Newton). Kraften påvirker en bil, der skubbes med blokerede bremser. Bilen som derved flyttes en stækning givet ved vektoren d = 3 2 (målt i meter). a. Beregn det arbejde kraften har udført (målt i Newton · m = Joule).
Opgave 549 Tre vektorer er givet ved –11 72 49 t a == , b == og c == . –3 10 83 s 12 a1 b a1 t 4 t a. Bestem prikprodukterne a =· b, a=2 a b=·21 c a=og b =· c .=s –3 2 –3
5. Vektorer
111
Opgaver – 5. Vektorer
Opgave 550
Opgave 555
Vi opfinder en ny regningsart (tilde) mellem a vektorer. Den skrives ~. Koordinaterne til a =~ ba1= b1 2 b2 er summen af de to vektorers førstekoordinater
En trekant er givet ved punkterne A(3, 4) , B(5, 5)
og differensen af de to vektorers andenkoordina a ter. Hvis vektorerne er a = a1 og b = b1 , har b2 2 ”tilden” af dem koordinaterne a1 + b1 a b = a −b . 2 2 Undersøg, om følgende regneregler gælder for ”tilde”: a1 b b a1 a. a =~ ba= = b 1=~ a 1= Kommutativ lov a21 bb2 b2 aa21 b 1 1 =~ c = a =~ ( b =~ c) Assosiativ lov b. ( a =~ b) aa2 1 bb2 a1a2 bb2 c. k( a =~ b) = k 1a =~ kab2 = b21 Distributiv lov a= 2 b2
Opgave 551 Tre vektorer er givet ved 14 26 4–3 t a == , b == og c == . –15 19 10 –3 s 3 a. Bestem tværvektorerne til hver af de tre vektorer.
Opgave 552 Tre vektorer er givet ved t3 32 –5 4 a == , b == og c == . –3 –1 53 s –7 a. Bestem koordinaterne til vektorerne t ˆa1 ˆ ˆ a =+ aa, a + b og c =+ aˆ . –3 2 b. Bestem længden af vektorerne t a ˆ a =+ aˆa,1 aˆ + b og c =+ aˆ . –3 2
Opgave 553
2 a. Bestem længden af vektor a == 12 . 35 b. Bestem koordinaterne til tværvektoren til aˆ . c. Bestem længden af aˆ og tværvektorens tværvektor.
Opgave 554 Undersøg, om tværvektoren til en tværvektor er lig med den oprindelige vektor?
112
5. Vektorer
og C(6, 3). a. Bestem trekantens areal.
Opgave 556 Beregn følgende determinanter: D1 =
1
3
2
4
, D2 =
−5
7
−6
8
og D3 =
−9
− 11
−10
−12
.
Opgave 557 Tre vektorer er givet ved 11 52 –3 t 4 a == , b == og c == . –13 s9 73 –3 a. Beregn determinanterne: a1 b a1 t 4 t 1 a,=c )=og det( b ,=c ).= det( a,=b), =adet( a2 –3 s –3 2 b2
Opgave 558
a11 b1 Om to vektorer a == a–2 og b = b2 ved vi, at 2 a1 b determinanten ==0 1og deres prikprodukt er a =· b a1ab2 b2 1 mellem dem er det( a,=b)=a=10. 2 b2 a. Opstil en ligning med to ubekendte ud fra oplysningen om skalarproduktet. b. Opstil en ligning med de samme to ubekendte ud fra oplysningen om determinanten. c. Isoler en af de ubekendte i ligningen fra delspørgsmål a. d. I ndsæt den isolerede ubekendte fra delspørgsmål c. i ligningen fra delspørgsmål b og løs den fremkomne ligning. e. I ndsæt løsningen i ligningen fra delspørgsmål a. f. Du har nu løst to ligninger med to ubekendte. Angiv nu koordinaterne til vektor b.= b1 b2 a g. Beregn arealet af den trekant, som vektorerne a = a1 2 b1 og b =udspænder. b2
Opgave 559
b3 a1 To vektorer a == a21 og b == b1 udspænder et 02 2 parallelogram.
Læg mærke til, hvilke pladser der leverer tallene i nævneren. Hvis nævneren i et ligningssystem bliver nul, er der enten ingen eller også uendelig
a. Find parallelogrammets areal.
mange løsninger.
b. Bestem højden mellem de skrå sider i
a. Løs på samme måde ligningssystemet:
parallelogrammet. c. Bestem parallelogrammets vinkler. d. Bestem længderne af parallelogrammets diagonaler.
1x + 3y = 10 8x + 4y = 28 b. Løs på samme måde ligningssystemet: 3x + 4y = 6 12x + 15y = 24
Opgave 560 En firkant har vinkelspidser i punkterne A (0,0), B(3,5), C(5,6 ) og D(2, 1). Undersøg, om firkant ABCD er et parallelogram?
Opgave 561 En firkant har vinkelspidser i punkterne A(1, 2), B(3,9), C(10, 4 ) og D(4, 1). Er firkant ABCD et parallelogram?
Opgave 562 Undersøg om følgende regneregel gælder for determinanter: a b a 1 a,=b)=a1 b1 det(– a,=b)=a=1 –det( 2 b2 2 b2
Opgave 563 To ligninger med to ubekendte kan løses med determinanter. Fx løses ligningssystemet 1x + 2y = 3 4x + 5y = 6 således: x=
y=
2 5
3 6
1 4
2 5
1 4
3 6
1 4
2 5
=
2 ⋅ 6 − 5 ⋅ 3 −3 = = 1 , og 1⋅ 5 − 4 ⋅ 2 −3
=
4 ⋅ 3 − 1⋅ 6 6 = =2 1⋅ 5 − 4 ⋅ 2 −3
Bemærk, at determinanten i tælleren mangler tallene i x-rækken, når x udregnes; og tallene i yrækken mangler i tælleren, når y udregnes.
5. Vektorer
113