Kernestof c hf korrektur by Alinea

Af Per Gregersen & Majken Sabina Skov

Kernestof Mat C Lindhardt og Ringhof

KERNESTOF MatC Per Gregersen & Majken Sabina Skov © 2017 Lindhardt og Ringhof Uddannelse, København – et forlag under Lindhardt og Ringhof Forlag A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Jan Krogh Larsen Billedredaktion: Ane Olsen Principlayout og omslag: andresen design Grafisk tilrettelægning: Schnalke Kommunikations-Design Tryk: Livonia Print 3. udgave 1. oplag 2017 ISBN 978 87 7066 835 4 www.lru.dk

Indhold

Forord 6

1. Modeller og variable 1.1 Ligninger og deres løsninger 1.2 1.3

Overslagsregning og principskitser Modeller med to variable Opgaver til kapitel 1 Trainingssider (1)

8 10 12 14 16 22

2. Lineære funktioner 24 2.1 At beregne a og b i forskriften f(x) = ax + b 26

2.2 2.3 2.4 2.5

Lineære modeller Lineær regression Lineær regression og residualplot Teori om de lineære funktioner Opgaver til kapitel 2 Trainingssider (2)

3. Statistik 3.1 Diagrammer og kvartilsæt 3.2 Boksplot 3.3 Grupperede observationer 3.4 Diagrammer for grupperede observationer Opgaver til kapitel 3 Trainingssider (3)

28 30 32 34 36 44

46 48 50 52 54 56 64

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik 66 4.1 Kombinatorik – tællemetoder 66

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Permutationer 68 Kombination og binomialeffekt 70 Sandsynlighedsregning 72 Sandsynlighedsfelt 74 Chancetræer og regneprincipper 76 Kombinatorikbeviser 78 Opgaver til kapitel 4 80 92 Trainingssider (4)

Indhold

5. Trigonometri 94 5.1 Navne og almindelige begreber 94 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8

Pythagoras' sætning og ligedannede trekanter 96 Konstruktion – de fem trekantstilfælde 98 Enhedscirklen 100 Cosinus og sinus i retvinklede trekanter 102 Areal af vilkårlig trekant og sinusrelation 104 Cosinusrelationerne 106 Ræsonnementer og beviser om retvinklede trekanter 108 5.9 Ræsonnementer og beviser om vilkårlige trekanter 110 Opgaver til kapitel 5 112 124 Trainingssider (5)

6. Procent 126 6.1 Procentregning og indekstal 128 6.2 6.3

beregning af start- og slutkapitel 130 Beregning af renter r og terminer n 132 Opgaver til kapitel 6 134 Trainingssider (6) 142

7. Eksponentielle funktioner 144 7.1 Bestemmelse af konstanterne a og b 146 7.2 7.3 7.4

Halverings- og fordoblingskonstant 148 Eksponentielle vækstmodeller 150 Ræsonnementer og beviser 152 Opgaver til kapitel 7 154 162 Trainingssider (7)

8. Proportionalitet 164 8.1 Ligefrem proportionalitet 164 8.2 Omvendt proportionalitet Opgaver til kapitel 8 Trainingssider (8)

Indhold

166 168 174

9. Potensfunktioner 176 9.1 Potensfunktioner 176 9.2 Teoretisk bestemmelse af a og b i potensfunktionen f(x) = b · x a 178 9.3 Potensregression og modeller 180 9.4 Vækst i procent for både x og y 182 9.5 Teori og beviser om egenskaber ved potensfunktionen f(x) = b · x a 184 Opgaver til kapitel 9 186 194 Trainingssider (9)

10. Funktionsteori 196 10.1 Ekstrema 198 10.2 M onotonioforhold 200 10.3 Grafers hældning 202 10.4 Stykkevist deginerede funktioner og lodret parallelforskydning 204 Opgaver til kapitel 10 206 Trainingssider (10) 214

11. Andengradspolynomier og logaritmer 216 11.1 Andengradspolynomier 216 11.2 11.3 11.4 11.5

Mere om andengradspolynomier 218 Logaritmefunktioner 220 Anvendelse af logaritmer 222 S upplerende stog til logaritmefunktionerne 224 Opgaver til kapitel 11 186 Trainingssider (11) 194

12. Lån og opsparing 234 12.1 Opsparingsannuitet 234 12.2 Terminsindbetaling, rente og antal terminer 236 12.3 Annuitetsån 238 12.4 A nnuitetslånets hovedstol, antal terminer og rentefod 240 12.5 Frem- og tilbageskrivning 242 12.6 Gennemsnittlig rente 244 12.7 Nominel og effektiv rente 246 Opgaver til kapitel 12 248

Facitliste

258

Indhold

Forord Denne bog præsenterer den første del af matematikken på den gymnasiale uddannelse stx. Den kan bruges alene på C-niveau, eller som første del af undervisningen på B- og A-niveau.

Matematik i opslag Sideopslagene indledes med en kort case, der introducerer det nye område med fokus på anvendelser, og indeholder teori, eksempler og øvelser. Der er facitliste til alle øvelser bagerst i bogen. I mere end 100 screencasts uddybes forklaringerne til begreber, eksempler, formler, sætninger og beviser. Efter hvert kapitel er der opgaver der følger kapitlets og bogens progression.

At forstå matematik Alt, hvad man forsøger at lære, bliver forstået, ved, at hjernen kobler det nye stof til de begreber, den allerede kender. Forståelse er knyttet til hjernens netværk af nerveceller. Hjernen har 125 milliarder nerveceller, der hver er forbundet til 10.000 andre. Når man forstår noget, er der skabt forbindelser mellem hjernecellerne. Hvad skal der til, for at hjernen kan danne disse nye forbindelser mellem de enkelte nerveceller – altså for at man forstår nye ting i matematik? Det er sådan set nemt nok, for det sker ubemærket, mens man kæmper med at bruge det nye begreb på alle mulige måder, tænker over det, prøver det af i alle mulige forbindelser og situationer og tager noter, laver et minilex, regner øvelser og opgaver, forklarer ting til andre i små oplæg eller snakker med em om begreber og opgaver. Stille og roligt hæfter begrebet sig fast de rigtige steder og danner forbindelse til andre relevante begreber.

To typer forståelse Lad os se på de to grundlæggende typer forståelse instrumentel forståelse og relationel forståelse. Instrumentel forståelse er en forståelse, hvor man (kun) ved, hvad man skal gøre for at løse en given problemstilling, men ikke rigtigt, hvorfor det virker. Den indledende forståelse af et nyt emne/matematisk område vil ofte være instrumentel. Forståelsen er ikke særlig dyb, fordi det nye stof (endnu) ikke er koblet til så mange andre begreber. Man genkender måske x + 2 = 3 som "en ligning", men er usikker på, hvad en ligning egentlig er. Man tænker, at nu skal man det der med at "trække over på den anden

Forord

side", og tager så 2-tallet og flytter over på den anden side, og skifter fortegn – sådan er reglen jo. Og der skrives fx: x + 2 = 3, derefter: x = –2 + 3, derefter: x = 1 Relationel forståelse er en forståelse, hvor man har fundet ud af, hvordan ting hænger sammen. Fx at x + 2 = 3 udtrykker en balance mellem to talstørrelser. Man ved nu, at det der med at "trække over på den anden side" er rent vrøvl! Det, der sker, er i virkeligheden, at man trækker 2 fra på begge sider, fordi man derved ikke forstyrrer balancen, samtidigt med at man får isoleret x på den ene side. Man skriver måske nøjagtigt det samme ned på papiret, som man gjorde tidligere, men nu med en dybere forståelse. Man ville nu kunne argumentere for metoden, hvis man blev spurgt.

Gå efter den relationelle forståelse Der er mange fordele ved at opbygge en relationel forståelse af matematik. Blandt andet er det smart at kunne forklare andre (en kammerat, en lærer – eller en censor ...), hvordan en bestemt metode virker. Den største fordel er dog, at en relationel forståelse gør det lettere at koble nye begreber på netværket – og dermed lettere at lære nyt stof. Gamle og nye elementer kan så indgår i en sammenhæng, der giver mening. Hvilken bogstavrække tror du for eksempel, du bedst vil kunne huske?   • "aekljtgjkltvtbtwertbrt" • "prøvathuskedetteher" Den effektive måde at skabe stærke forbindelser mellem begreber er ved aktivitet. Så man skal spørge, svare, forklare, regne, tegne og bruge masser af krussesdullepapir, hvor tankerne flyder, mens man skriver og tegner, hvad man mener, opgaven går ud på. Krussedullepapiret smides ud, når man har forstået det, man skulle. Krussedullepapiret er et frirum, hvor man kan udtrykke sig mere kreativt end på computeren, og man kan med fordel tænke i at have begge dele klar, når der skal arbejdes med matematikken. Nye begreber sidder ikke ordentlig fast, hvis du kun lytter eller læser. Du skal være i målrettet aktivitet. God fornøjelse med bogen. Majken og Per

Forord

1. Modeller og variable

1 Introduktion

Der skal købes is til en klasse.

Hvis der er 30 elever, og stykprisen er 25 kr. bliver udgiften 30 · 25 kr. = 750 kr.

Hvis der er n elever, bliver udgiften i kr. n · 25.

Udgift i kr. = 25 · n

Bogstavet n er her brugt som variabel for antal elever. En variabel er en størrelse, som kan antage forskellige værdier Ved at indføre en variabel kan vi nu regne på forskellige muligheder.

2 Eksempel En elev har 300 kr. og vil give is, der koster 12 kr. pr. styk. Hvor mange må der højst være i klassen, den dag isen skal købes? Variablen n betegner antal elever: 12n = 300

Her er ligningen løst i Geogebra. Det ses at løsningen er 25.

Altså må der højst være 25 elever i klassen.

3 Eksempel En lærer vil give is til 15 kr. pr. styk. til de elever der kommer til tiden en mandag morgen. Hvad vil det koste? Igen lader vi n stå for antal elever, og formlen til beregning af udgiften i kr. er: 15 · n = udgift. Her er udgiften i kr. udregnet for forskellige værdier af n n

udgift

240

255

270

285

300

315

330

345

360

375

390

405

420

435

450

For at kunne regne på sammenhænge fra virkeligheden indføres variable, og herefter beskrives deres sammenhænge med symbolsprog. I matematikken bruger man nogle gange bogstavet n som variabel, når det tal, som n betegner, er et helt tal. I eksemplerne har n stået for et helt antal elever og et helt antal år. De hele tal er tallene (…, –2, –1, 0, 1, 2, …) og denne talmængde har symbolet Z. I arbejdet med ligninger er det dog mere almindeligt at bruge bogstavet x som pladsholder. Talmængden bestående af alle tal kaldes ”de reelle tal”, og symbolet er R.

1. Modeller og variable

4 Eksempel En 1.g’er er 15 år og vil holde en rund fødselsdag sammen med sin 6 år ældre bror. Hun indfører nogle variable og opstiller en sammenhæng for at finde ud af hvor gammel hun vil være, når de fylder 40 år tilsammen: Hendes egen alder benævnes x. Hendes brors alder er dermed x + 6. Deres samlede alder er x + x + 6 = 2x + 6 Hun sætter nu 40 lig med 2x + 6 (som var deres samlede alder). Og løser ligningen 40 = 2x + 6 Vi ser, at løsningen er x = 17. De må altså vente til 1.g’eren er 17 år.

5 Den matematiske modelleringsproces Det er en god ide at lade x betegne den størrelse, man skal bestemme.

Problemstilling

Matematisk beskrivelse

I eksempel 4 var problemstillingen at be-

’ligning med x'

stemme 1.g’erens alder, derfor betegnede vi hendes alder med x. Herefter skal de øvrige oplysninger udtrykkes ud fra x.

Tolkning af x i forhold til problemstillingen

Matematisk løsning ’talværdi af x’

6 Øvelse En elev har 240 kr. og vil give is i en klasse, hvor der er 32 elever. a. Opstil en ligning, der kan bruges til at finde ud af, hvad isene må koste. b. Løs ligningen.

7 Øvelse En person har en 4 år ældre storesøster. Hvor gammel er søsteren, når: a. Personen er 15 år. b. Personen er n år?

8 Øvelse Din hund er 8 år yngre end dig, og du overvejer at fejre jeres ”tilsammen 30 års fødsesdag”. a. Indfør en variabel for din alder målt i år. b. Udtryk hundens alder ud fra variablen. c. Udtryk summen af jeres aldre og forkort udtrykket, så variablen kun optræder et sted. d. Opstil en ligning og løs den. e. H vor gammel er du, og hvor gammel er hunden, når I kan fejre 30-årsfødselsdag sammen?

1. Modeller og variable

1.1 Ligninger og deres løsninger

9 Introduktion

Disse to kvinder er i perfekt balance. Et matematisk lighedstegn udtrykker også en perfekt balance.

10 Definition Et lighedstegn er et symbol ’=’, der viser, at talstørrelserne på hver side af tegnet er ens. En ligning er to talstørrelser skrevet på hver sin side af et lighedstegn. Talstørrelserne kan være sammensat af tal og bogstaver. Typisk bruges et x for en ubekendt. En løsning er et tal, der gør ligningen sand, når det indsættes for x.

11 Eksempel 2x = 10 er en ligning, der er nemlig et lighedstegn og talstørrelser på hver side. Ligningen har løsningen 5. Det kan påvises ved at indsætte 5 på x’s plads og kontrollere, om lighedstegnet kommer til at passe: 2 · 5 = 10 10 = 10 Begge sider af lighedstegnet er nu lig med tallet 10, ligningen er sand, og det er vist, at 5 er en løsning. I eksempel 11 blev det påstået, at tallet 5 var en løsning, og det blev kontrolleret at det var sandt. Denne metode har en række ulemper: Det kan nemlig være svært at gætte en løsning, og der kan være flere løsninger end den gættede. For at finde frem til en løsning på en mere sikker måde, kan man omforme ligningen ved at bruge regneoperationer, bare man bruger de samme på begge sider af lighedstegnet.

12 Eksempel Vi løser ligningen 3x + 8 = –x – 4 3x + x + 8 = –x + x – 4

x er lagt til på begge sider

4x + 8 = -4

Ligningen er reduceret

4x + 8 – 8 = –4 – 8

8 er trukket fra på begge sider

4x = –12

Ligningen er reduceret

4 x −12 = 4 4

Begge sider er divideret med 4

x = –3

Løsningen er altså –3

Man kan også løse ligninger grafisk ved at indtegne dem i et koordinatsystem.

1. Modeller og variable

13 Eksempel

7 6

Løsningen på ligningen 2x – 3 = 5 findes ved at aflæse x-værdien til

skæringspunktet mellem linjen y = 5 og linjen y = 2x – 3.

Det ses, at graferne skærer i x = 4. Så x = 4 er løsning til ligningen

2x – 3 = 5

2 1 –1 0 –1

0 1

7 x

8 x

Som vi har set tidligere, kan ligninger også løses ved hjælp af et Computer Algebra System hvilket forkortes CAS. Der er flere forskellige CAS programmer, og deres skrivemåder (syntax) er lidt forskellige.

14 Eksempel Ligningen 2x + 14 = 2 – 4x kan løses således i programmet Geogebra. Ligningen kan også løses med kommandoen "solve".

15 Øvelse a. Vis, at x = 2 er en løsning til ligningen 4x = 8. Argumenter som i eksempel 11. b. Vis, at x = 5 ikke er en løsning til ligningen 4x = 8

16 Øvelse Løs ligningerne ved omformning og derefter i CAS. a. 4x – 2 = 18 b. 1 + 4x = 2 + 3x c. 3x + 1 = 2x

17 Øvelse På figuren ses graferne for y = –0,5x + 4 og y = x + 1

a. Aflæs løsningen til ligningen –0,5x + 4 = x + 1

7 6

b. Kontroller ved indsættelse, at løsningen er rigtig.

5 4

18 Øvelse

a. Opskriv en ligning, der har tallet 3 som løsning.

2 1 0 –1

0 1

1. Modeller og variable

1.2 Overslagsregning og principskitser 19 Introduktion H vor meget væske indtager du på et helt liv? Det er svært at beregne helt præcist, men vi kan lave en overslagsberegning: • Væskeindtag = dagligt indtag · antal levedage. • Dagligt indtag: 2 liter. • Der er 365 dage på et år og 36500 dage på 100 år. Dette afrundes til 35000 dage. Væskeindtag = 35 000 dage · 2 liter pr. dag = 70 000 liter. Overslagsregning handler om at regne sig frem til et kvalificeret gæt på størrelsen af noget uden at have adgang til hjælpemidler. Man kan strukturere processen ved at: • vælge nogle størrelser, som man mener, svaret afhænger af.   • bygge en formel, som viser, hvordan man skal regne med disse størrelser.   • gætte kvalificeret på nogle afrundede værdier af hver størrelse.   • beregne et cirka-svar på spørgsmålet.   • v urdere svaret: Virker cirka-svaret fornuftigt i forhold til spørgsmålet, eller skal formlen og/eller nogle af de kvalificerede gæt på talværdierne laves anderledes?

20 Eksempel Hvor lang tid tager det at tælle til 1 milliard? Vi vil vurdere, hvor mange tal der kan tælles pr. time, og hvor mange timer om dagen man kan tælle. • Det tager omkring 6 sekunder pr. tal, så man kan nå 10 pr. minut og dermed 600 pr. time. • Vi regner med, at man kan tælle 10 timer hver dag. Antal tal pr. dag = 10 timer · 600 tal pr. time = 6 000. Der er cirka 1 000 dage på 3 år, så der kan tælles 1 000 · 6 000 = 6 000 000. Det vil sige, at man kan nå 600 mio. tal på 300 år, og så er vi kun lidt over halvvejs. Et menneske kan altså ikke nå at tælle til 1 milliard på et helt liv. I de to indledende eksempler er der truffet en lang række valg, som indvirker på beregningerne. Usikkerhedsvurdering Det er relativt let at give et bud på usikkerheden ved en overslagsberegning. Eksempelvis kan man regne casen igennem med let ændrede tal.

1. Modeller og variable

21 Eksempel I modellen for, hvor lang tid det tager at tælle til 1 milliard, kan vi ændre tælletiden pr. tal. Måske tælles der hurtigere eller langsommere end 6 sek. pr. tal.? Husk at 90 % af tallene er større end 100 000 000. Prøv selv at tælle et minut, hvor du starter ved 143 736 415 (et hundrede tre og fyrre millioner syvhundrede seks og tredive tusind fire hundrede og femten). Måske mener du, at man ikke kan tælle 10 timer nonstop pr. dag 7 dage om ugen, og vil indføre lidt pauser og ferier osv. Principskitser En principskitse viser en overordnet sammenhæng mellem nogle størrelser.

22 Eksempel I økonomien taler man ofte om udbuds- og efterspørgselskurverne. Bemærk at mængde er afsat ud ad 1.aksen og pris op ad 2.aksen. Lad os se nærmere på

Pris

udbudskurven U, som er den røde opadgående kurve på figuren. Kurven skal ikke aflæses præcist – den viser en principiel sammenhæng: ”jo højere pris – jo større udbud”. Antal

23 Eksempel Kurven viser sammenhængen mellem levetid og højde for et menneske. På tidspunktet 0 fødes vi med en given længde. Herefter stiger højden, efterhånden som

Højde

tiden går, og på et tidspunkt omkring gymnasietiden stopper højdevæksten. I alderdommen falder man lidt sammen.

24 Øvelse a. Regn væskeindtaget fra eksempel 19 igennem med nogle antagelser du

Tid

mener også godt kunne være rigtige, og beregn den absolutte forskel på dine tal og eksemplets tal (dvs. forskellen i liter). Denne forskel er et godt bud på usikkerheden i beregningen.

25 Øvelse Tegn principskitser for: a. Sammenhængen mellem vægten og levetiden for et menneske. b. Årslønnen og levetiden.

26 Øvelse a. Giv et argument for, at den blå efterspørgselskurve er nedadgående.

27 Øvelse a. Hvor lang tid tager det at gå 5 kilometer? b. Hvor mange skridt tager man, når man går 1 kilometer? c. Hvor lang tid tager det at køre 5 kilometer gennem en by?

1. Modeller og variable

1.3 Modeller med to variable 28 Introduktion En person drømmer om at åbne en cafe. Han starter med at arbejde hos en ven, og han får 15 kr. pr. kop kaffe, han sælger. Hans indtægt pr. dag er en funktion af hvor meget han sælger pr. dag. Sælger han 20 kopper, tjener han 300 kr.: 20 · 15 kr. = 300 kr. Vi kunne have lavet en principskitse for, hvordan hans indtjening ville stige for hver kop, han solgte. Nu vil vi imidlertid beskrive mere præcist, hvordan to variable afhænger af hinanden. Vi starter med at se på de variable, der er i spil i cafe-eksemplet.

29 Eksempel Vi indfører to variable: x betegner det antal kopper, han sælger pr. dag. y betegner hans samlede indtægt i kr. pr. dag. x y I tabellen her har vi indsat en række valgte tal i x-kolonnen 0

– dvs. vi har udvalgt nogle forskellige antal solgte kopper,

for at regne på forskellige tilfælde.

5 10 50

Når x-værdierne er valgt, kan y-værdierne beregnes. 0 kopper: 15 · 0 = 0 1 kop: 15 · 1 = 15 5 kopper: 5 · 15 = 75, osv. x y 0

150

750

I tabellen her er y-værdierne sat ind.

Da der kun er én y-værdi til hver x-værdi, siger man, at ”y er en funktion af x”. Det kan man også skrive således: ”y = f(x)” Funktionen, der ligger bag tallene i tabellen, er altså y = f(x) = 15x eller blot f(x) = 15x

1. Modeller og variable

30 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x må kun være ét f(x). Grafen for en funktion er mængden af punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x). Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi. Vi har allerede set tre repræsentationer af den samme funktion. Sprogligt: Værdien af y er 15 gange værdien af x. Med en regneforskrift: f(x) = 15x Med en tabel i eksempel 29. Den fjerde repræsentationsform – den grafiske – ser vi på nu. Vi minder først om et par ting ved koordinatsystemet. y-aksen

31 Definition

4 3

Et koordinatsystem består af to akser, en vandret (første-

2. kvadrant (– , +)

aksen) og en lodret (andenaksen). Normalt kaldes den vandrette akse x-aksen og den lodrette akse y-aksen.

-4

Akserne skærer hinanden i punktet (0,0), og akserne inddeler planen i fire kvadranter.

-3

-2

1. kvadrant (+ , +)

2 1 0

-1

-1 3. kvadrant (– , –) -2

0 1

5 x-aksen

4. kvadrant (+ , –)

-3

32 Eksempel

Til højre ses grafen for funktionen f(x) = 15x Bemærk, at enhederne på de to akser er valgt forskelligt – ellers bliver grafen meget stejl. 10

33 Øvelse a. Hvilke to kvadranter løber grafen igennem?

-1

-10

34 Øvelse En funktion har regneforskriften f(x ) = 3x a. Udfyld en tabel som den viste x f(x)

–1

35 Øvelse a. Tegn grafen for funktionen f(x) = 2x – 3 i et CAS program.

1. Modeller og variable

Opgaver – 1. Modeller og variable

Opgave 101

Opgave 106

Et tal ganges med 3, og derefter trækkes der 2 fra,

I et andet vægtløft viste vægten 259 kg for Liao og

hvorefter det er lig 10.

jernet tilsammen. Jernet vejede 121 kg mere end

a. Kald tallet x og skriv ligningen op.

Liao. Sæt x = Liaos vægt.

b. Find tallet x.

a. Udtryk ved hjælp af x, hvor meget vægtene vejer. b. Udregn, hvor meget Liao vejer.

Opgave 102

c. Udregn, hvor meget han løftede.

H vis et bestemt tal ganges med 2,5 og der herefter lægges 4 til, så giver det 29.

Opgave 107

a. Bestem tallet.

5 små nødder og 10 g honning vejer 16 g i alt. a. Løs ligningen 5x + 10 = 16

Opgave 103

b. Hvad vejer en nød?

Halvdelen af et tal er dobbelt så stort som 3. a. Bestem tallet?

Opgave 108 a. Opskriv en ligning, der kan bruges til at finde

Opgave 104

den manglende sidelængde for hver af de fire

Antallet af gedekid i Skotland kalder vi x.

firkanter.

a. I Wales er der altid halvt så mange gedekid

x 1) 2)

som i Skotland. Skriv ved hjælp af x, hvor mange gedekid der er i Wales.

A = 16

8 x

A = 16

b. H vis der et år er 5.000.000 gedekid i Skotland, hvor mange gedekid er der så i Wales og Skotland tilsammen?

x 3) 4) 7

A = 41,3

90 x

A = 1 000

Opgave 105 b. Løs hver af de fire ligninger, du opstillede i opgave a., og kontroller, at resultatet passer med arealet.

Opgave 109 Olsens kolonihavehus er 56 m2. Den lange side måler han til 8 m. a. O pstil en ligning for ham, der kan beregne den På billedet ser vi Liao Hui, der repræsenterede Kina i en af mændenes lette vægtklasser ved Olympiaden 2008. Han løfter 190 kg i alt. Stangen og de

h uset, undtagen foran døren, der er 1 m bred.

små vægtskiver yderst vejer tilsammen 40 kg.

Hvor langt skal han regne med, at hans rosen-

a. Der er 6 store vægtskiver. Hvad vejer hver af de store vægtskiver? b. Ligningen 6x + 40 = 190 beskriver situationen. Hvad står x for?

manglende sidelængde, og løs den. b. O lsen skal plante roser hele vejen rundt om

1. Modeller og variable

bed bliver? c. Olsen kommer i tanke om, at han allerede har et 12 m langt rosenbed i haven, som han vil flytte over langs huset. Med hvilken ligning

regner han ud, hvor mange meter rosenbed

Opgave 114

han skal købe planter til?

Hvis søslangen i Loch Ness er 40 m plus halvdelen

1) x – 12 = 30 – 1

af sin egen længde, hvor lang er den så?

2) x + 12 = 30 – 1

3) x – 1 = 30

Opgave 115 a. Hvilken talmængde tilhører

Opgave 110 Ole og Line tømmer deres lommer. Ole har 20 kr.,

Opgave 116

men Line har glemt at tælle sine penge. Tilsam-

a. Nævn et tal, der ikke tilhører de hele tal Z.

men har de 45 kr. a. Kald Lines penge for x og opstil en ligning.

Opgave 117

b. Beregn, hvor mange penge Line havde.

a. Hvilken sammenhæng er der mellem længden af en række mursten, og antallet af mursten man bruger?

Opgave 111 Antag, at Line havde 75 kr., og Ole havde 50 kr.

Opgave 118

a. H vor mange penge havde de haft tilsammen,

a. H vilken sammenhæng er der mellem arealet af en muret væg og antallet af mursten i den?

hvis Ole havde haft dobbelt så mange penge? b. H vor mange penge skulle Ole have haft, hvis deres samlede beløb skulle være 160 kr.? c. H vor mange penge mangler de for at have

Opgave 119 a. H vilken sammenhæng er der mellem antallet af mursten i en stabel, og hvor mange kræfter man

160 kr.?

skal bruge på at lave stablen?

Opgave 112

Opgave 120 a. Definer begrebet ligning.

Opgave 121 Her er ligningen x + 4 = 6 løst: x+4=6 x + 4 – 4 = 6 – 4 x=2 Marco har en butik med håndlavede masker. Han har faste udgifter for 17.500 kr., og han sælger 200 masker om måneden. Han har brug for et over-

a. Forklar, hvad der sker i linjen med de røde tal,

og hvorfor.

b. Løs ligningen x + 3 = 5 på samme måde.

skud på 10.000 kr. om måneden. Hvad skal prisen

Opgave 122

på en maske være?

Her er ligningen 2x – 5 = 7 løst: 2x – 5 = 7

Opgave 113

2x – 5 + 5 = 7 + 5

Francesca bruger 3 dele mælk til en del kaffe. Hun

2x = 12

har 7 dl sødmælk i sin kande, og katten skal have 1

2x 12 = 2 2

dl mælk. Hvor meget kaffe kan hun lave?

x=6

1. Modeller og variable

Opgaver – 1. Modeller og variable

a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de røde tal,

Opgave 128

Løs følgende ligninger:

og hvorfor.

b. Løs ligningen 6x +1 = 19 på samme måde.

a. x = 7 b. 2x = 14

Opgave 123

c. 3x = 21

Her er ligningen 2x = 4x – 10 løst:

d. x + 1 = 8

2x = 4x – 10

e. 2x + 2 = 16

2x – 4x = 4x – 4x – 10

f. 3x + 3 = 18

–2x = – 10 –2x –10 = –2 –2

x=5 a. Forklar, hvad der sker i linjerne med de røde tal,

Opgave 129 3 blommer og 85 g ost vejer 145 g i alt. a. Løs ligningen 3x + 85 = 145  b. Hvad vejer en blomme?

og hvorfor.

b. Løs ligningen 2x = x + 3 på samme måde.

Opgave 124 Et tal adderes 5 gange, og resultatet bliver 20. a. Løs ligningen x + x + x + x + x = 20 b. Løs ligningen 5x = 20

Opgave 125 Løs følgende ligninger: a. x + x + x + x = 8 b. 3x = 18 c. 7x – 4 = 3 d. 2x + x = 6

Opgave 130 En motorcykel pakkes med tung, russisk litteratur på 5 kg i den ene sidetaske. I den anden sidetaske skal der ligge en flaske sodavand på 1,5 kg og to lige store madpakker. Motorcyklen skal være i balance. a. Løs ligningen 5 = 1,5 + 2x b. Hvad skal hver af madpakkerne veje?

Opgave 131 Et containerskib lastes med 17 tons mejetærskere og 50 containere til styrbord. Til bagbord er der plads til 215 containere. Skibet skal være i balance.

Opgave 126

a. Løs ligningen 17 + 50x = 215x

x personer gik i biffen en lørdag aften. Billetprisen

b. Hvad skal hver container veje?

var 85 kr. Alle købte popcorn for 30 kr. a. Hvad udregnes med ligningen 85x = 850?

Opgave 132

b. Hvor mange gik i biffen, hvis de købte popcorn

a. Opskriv en ligning, hvor løsningen er 2,5.

b. Opskriv en ligning, hvor løsningen er –7.

for 30x = 420 kr.?

c. Hvad udregnes med udtrykket x(85 + 30) = 1150?

Opgave 127 Løs følgende ligninger: a. 2x + 3 = 4 b. 2x + 4 = 5 c. 2x + 5 = 6 d. 2x + 17 = 18

1. Modeller og variable

Opgave 133 Løs følgende ligninger: a. 9x – 1 = 17 b. 4x + 1 = 5 c. 6 = 3x – 6 d. 2x +1 = 7 e. 3 = 4x + 7

f. 8x – 5 = 19

Opgave 138

g. x + x + x + 7 = 13

Lav et oplæg, hvor du redegør for følgende ved

h. 21 – 5x = 6

hjælp af eksempler:

i. 40 – x = 60

a. B etydningen af et lighedstegn.

b. H vordan man løser en ligning ved hjælp af

Opgave 134

omformning.

Løs følgende ligninger:

c. Betydningen af begrebet en ubekendt størrelse x.

a. 4 + x = 5x

d. H vad ligninger kan bruges til.

b. x + 6 = 3x

e. O pstilling af ligninger som matematisk model-

c. 4x = x + 3

lering.

d. 5x – 2x = 12 e. 6x = 4x + 14

Opgave 139

f. 8x = 8 + 7x

Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-

de spørgsmål:

Opgave 135

a. H vor mange på jeres undervisningshold har

Løs følgende ligninger:

fødselsdag i denne måned?

a. 4x + 10 = 2x + 4

b. H vor mange på jeres undervisningshold har

b. 11x + 13 = 17x + 1

fødselsdag i juleferien?

c. 2x + 9 = –x + 12

vor mange kuglepenne er der i rummet til c. H

Opgave 136

d. H vor mange penge tjener du i løbet af hele

jeres undervisningssessioner? Her er graferne for y = –x + 1 og y = –2x – 3

livet?

a. Aflæs løsningen til ligningen –x + 1 = –2x – 3 b. I ndsæt løsningen i ligningen og afgør, om du har læst rigtigt.

Opgave 140 Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål:

y 6

a. H vor mange penge bruger du i løbet af hele livet?

b. H vor mange timer bruger du på matematik i

4 3

løbet af hele livet?

c. Hvor mange elever kan der gå på din skole?

1 0 –5 –4 –3 –2

-1 0 1 –1

–2 –3

d. H vor mange undervisere er der brug for på din skole?

Opgave 141 Brug overslagsberegning til at svare på de følgen-

Opgave 137

de spørgsmål:

10 æg og et brød skal blive til 5 madpakker.

a. H vor meget maling skal der til at male undervis-

a. Hvor meget er der i hver madpakke? b. Isoler x i ligningen 10a + 1b = 5x

ningslokalet?  b. H vor mange popcorn skal der til at dække gulvet i klasseværelset?

1. Modeller og variable

Opgaver – 1. Modeller og variable

c. H vor mange sukkerknalder kan der være i en sodavandsflaske? d. Hvor meget fylder en million kapsler?

Opgave 146 a. Skitsér en graf, der viser, hvordan længden af et kalenderlys ændrer sig med datoen.

Opgave 142

Opgave 147

Brug overslagsberegning til at svare på de føl-

a. Skitsér en graf, der viser, hvordan vandtempera-

gende spørgsmål:

turen ændrer sig i en tændt elkoger.

a. Hvor meget luft indånder du på en nat?  b. Hvor mange soveværelser luft svarer det til?

Opgave 148

c. Hvor mange brusebade tager du på et liv?

a. Skitsér en graf, der viser, hvordan højden af et

d. Hvor mange blade er der på et træ?

træ udvikler sig.  b. Skitsér en graf, der viser, hvordan et menneskes

Opgave 143

højde udvikler sig.

Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål:

Opgave 149

a. Hvor mange cornflakes er der i en pakke?

a. Skitsér en graf, der viser, hvordan din indtjening

b. Hvor meget vokser du på en dag?

ændrer sig livet igennem.

c. Hvor meget vokser dit hår på en dag?  d. Hvor meget vokser dine negle på en dag?

Opgave 150 a. Skitsér en graf, der viser, hvordan temperaturen

Opgave 144 Brug overslagsberegning til at svare på de følgende spørgsmål: a. H vor mange omdrejninger når et hjul på en cykel at lave på 1000 km?

i et glas isvand udvikler sig. b. Skitsér en graf, der viser, hvordan dagens længde varierer gennem året. c. Skitsér en graf, der viser, hvordan din økonomi udvikler sig livet igennem.

b. H vor mange omdrejninger når et hjul på en bil at lave på 1000 km?  c. H vor meget benzin når en bil at bruge på 1000 km?

Opgave 151 a. Skitsér en graf, der viser, en bilist og en cyklist, der kører fra København til Sjællands Odde. b. Skitsér en graf, der viser, hvordan en opsparing

Opgave 145

vokser, når der ingen rente er på kontoen, og

Brug overslagsberegning til at svare på de føl-

der indsættes samme beløb pr. tidsenhed (fx

gende spørgsmål:

100 kr. hver måned).

a. H vad er den samlede omkostning ved at have haft en bil i fem år?  b. H vor meget skrald kommer der fra din familie i løbet af et år? c. vor meget skrald kommer der fra din by i løbet af et år?  d. Hvor mange børn lever i fattigdom?

1. Modeller og variable

Opgave 152 a. Afsæt følgende punkter i et koordinatsystem: (–10,1) (–10,5) (–9,2) (–9,4) (–8,3) (–7,4) (–6,5) (–4,2) (–4,4) (–3,1) (–3,5) (–2,2) (–2,4)

Opgave 153

a. Alder og højde på et menneske.

a. Tegn en enkel figur (højst ti punkter) i et

b. Areal og sidelængde i et kvadrat.

koordinatsystem, og sæt koordinater på. b. Giv din sidemand koordinaterne, og lad ham/

c. Alder og højde af børn, der skal til børneundersøgelse.

hende tegne din figur.

Opgave 159 Opgave 154

Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en

a. Udfyld et sildeben som dette:

forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den

x y=

hæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne

b. Tegn grafen for y =

bedste repræsentation af den mulige sammenrepræsentation kunne se ud.

x i et passende

koordinatsystem.

a. Tid og antal fisk i en sø.  b. Tid og temperatur i et hus.

c. For hvilke x-værdier er denne graf defineret?

c. Tid og temperatur i en køletaske.

Opgave 155

Opgave 160

En funktion er givet ved forskriften f(x) = 4x2

Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en

a. Find f(2)

forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den

b. Find f(–2)

bedste repræsentation af den mulige sammen-

c. Løs ligningen f(x) = 36

hæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne repræsentation kunne se ud:

Opgave 156 Du og vennerne skal ud og køre i limousine. Et firma tager 1100 kr. i timen for en limousine med

a. Tid og forbrug af naturgas til opvarmning af en bolig. b. Tid og hastighed af en bil der accelererer.

chauffør og champagne. a. Hvad koster det at leje limoen i 2 timer?

Opgave 161

b. B estem et regneudtryk, der kan bruges til at

Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en

beregne prisen ved et givent antal timer, hvori

forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den

du bruger de tre størrelser x, y og 1 1 00.

bedste repræsentation af den mulige sammenhæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne

Opgave 157

repræsentation kunne se ud:

En kasse har en kvadratisk bund (og låg) med en gi-

a. Tid og indestående på en opsparingskonto.

ven sidelængde. Kassen har et rumfang på 200 cm3.

b. Tid og tilbagebetaling af et lån med rente.

a. Angiv kassens samlede ydre overflade som funktion af sidelængden.

Opgave 158 Vurder i hvert af nedenstående tilfælde, om en forklaring, en tabel, en graf eller en formel er den bedste repræsentation af den mulige sammenhæng, og giv så et eksempel på, hvordan denne repræsentation kunne se ud.

1. Modeller og variable

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (1)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Regnearternes hierarki: Parenteser (a + b) Potenser og rødder an

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

1. Udregn:

2. Udregn:

3. Udregn: a. 4 −

a. 3 + 2 ·3 – 1

a. 2 · 32 – 1

b. 2 · 3 + 2 – 3

b. 3(3 – 1) – 6

c. 62 – 32 + 1

c. 2 · 72 – 72

4. Udregn:

12 + 2⋅3 4

a. 2 · (3 – 4 · 5) b. 2 · (8 : 2 – 2 · 5)

12 b. 4 −  + 2 ⋅ 3 4 

c. 2 – (3 · 5 – 4 · 5)

c. 2 · (3 + 2 – 3)

Ligninger: Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

5. Løs ligningerne:

8. Find fejlen og skriv omform-

9. Find fejlen og skriv omform-

2x + 1 = 7

ningen korrekt.

1 + 3x = 4

a. 3x + 1 = 8

a. 3x + 5 = 3

3x + 1 = 2 – x

6. L øs ligningerne a.

3x + 2 = 11

2x – 2 = 8

–6 + 4x = 10

7. Løs ligningerne a.

3x = 8

x=3

x= 8

1+x=3

b. 7 + 2x = 1

1=3+x

6 = 2x x=3

2=x c. 3 x + 2 = 1 – x

c. 2 x + 3 = 1 + x

2x + 2 = 1

3x + 3 = 1

4x + 3 = 11

b. 0,5x – 0,5 = 4,5 c.

3x = 9

2x = –1

x=–2 3

7 – 4x = 15

Reduktion: Husk at du ikke må sammenblande de variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 3a – b + 2a2 kan ikke reduceres.

10. Reducer udtrykket mest muligt

11. Reducer udtrykket mest muligt

a. 2a + b – b + 2

a. 5a – b + c – 3a – c

b. ab – b + 2ab

b. 2a – b – a + a2

c. 2a + b – a2 – b2 + 2b

c. 4 – 3a + 2 + a + b

d. 4 – 2a + b +3

d. 3 – a – b + 2a + 4 – b

Trainingssider

3x = –2

Parenteser: Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(a + 4) = 3a + 3 · 4 –(a + 4) = –a – 4 4 – (a + 4) = 4 – a – 4 = a

12. Ophæv parenteserne

13. Ophæv parenteserne

14. Ophæv parenteserne

a. 2a – (b – a)

a. – (4 +x)

og reducer

b. 2 – 3(4 – b)

b. 7 – (b +7)

a. 2 – (b + 3) +1

c. 3 – (b + 2)

c. 2x – (9 – x)

b. 4 + 3 (4 – a) – 16 + 3a c. 2 (– 4 – x) + 8 + 2x

15. Ophæv parenteserne

16. Ophæv parenteserne

17. Ophæv parenteserne

og reducer

a. a – (b + a)

a. 8 – (4 +a) + a

a. 3 – (a + 3) + a

b. 4 – 2(3 – x) + 2x

b. 21 + 3(b –7)

b. 4 + 3 (2 – x) – 6 + 3x

c. 3 – (b + 2) –1

c. 2b – (2 – b) + 2

c. 3 (–4 – b) + 4b + 12

Brøker: Forlænge:

a k ⋅a = b k ⋅b

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

Forkorte: a = a : k b

3⋅2

Eksempel:

b:k a b

Tal gange brøk: k ⋅ =

k ⋅a b

18. Omskriv til decimaltal 5 a . 100 24

b. 100 5

c. 50

4 4:4 1 = = 8 8:4 2 2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

3⋅2 5

19. Omskriv til decimaltal 2 a.

20. F orkort brøkerne med 2

24 100

b. 10

b. 60 c. 120

21. U dregn a. 4 ⋅

5 100

b. 8 ⋅

7 100

c. 4 ⋅

5 50

c. 30

22. Omskriv til decimaltal 5 a . 20 1

b. 4

1 c. 2

23. F orlæng brøkerne

24. Forkort brøkerne

med 3

med 2

5 a. 50

2 a. 4

5 b. 20

30 b. 60

1 c. 4 1 d. 2

16 c. 20

25. Udregn a. 2 ⋅

5 20

b. 4 ⋅ 1 4

c. 4 ⋅ 2 3

Trainingssider

2. Lineære funktioner 1 Introduktion Når Carmen danser flamenco forsvinder tid og sted, men inde bag overfladen forbrænder hendes krop hvert minut en energi på 20 kJ. Derudover har hun brugt 40 kJ på opvarmningen. Der er en lineær sammenhæng mellem det antal kJ, hun forbrænder, og det antal minutter, hun danser. Hvis x er tiden (målt i antal minutter), og f(x) er energien (målt i antal kJ), kan denne lineære sammenhæng beskrives ved funktionen f(x) = 20x + 40

2 Definition En lineær funktion har en regneforskrift af typen f(x) = ax + b, hvor a og b er reelle tal (dvs. de kan begge være ethvert tal). y 100

3 Eksempel

I tabellen ses, hvor mange kJ Carmen har forbrændt efter forskellige antal minutters dans. På figuren er grafen for funktionen f tegnet for x ≥ 0.

40 20

x [min.] f(x) [kJ]

0 0

4 x

0 40

1 60

2 80

3 100

Bemærk, at der er brugt 40 kJ ved 0 minutter, og at det forbrændte antal kJ stiger med 20, for hver gang x vokser med 1 – altså for hver gang, hun har danset et minut.

4 Sætning I en lineær funktion vokser f(x) med et fast tal, hver gang x vokser med et fast tal. Grafen for en lineær funktion er en ret linje. y 7

5 Eksempel

En høj person tager lange skridt, når han går. Hver gang han tager ét skridt,

kommer han 1,5 meter frem.

Vi kan modellere sammenhængen mellem skridt og afstand med funktionen

1,5

f(x) = 1,5x, hvor x er antal skridt, og f(x) er afstanden i meter.

x f(x)

1 0 0 1

2. Lineære funktioner

0 0

1 1,5

2 3

3 4,5

4 6

5 7,5

Bemærk, at en x-tilvækst på 1 enhed giver en f(x)-tilvækst på 1,5 enhed. Det er netop betydningen af konstanten a. I tabellen ses det ved, at når x-værdierne vokser 1, så vokser f(x) værdierne med 1,5.

6 Matematisk modellering af lineære forhold I situationer, hvor et eller andet vokser eller aftager med en bestemt værdi, når noget andet vokser med 1 (fx et beløb, der stiger, hver gang du køber en liter benzin mere, en afstand, der bliver større, hver gang du tager et skridt mere, osv), kan situationen modelleres med den lineære funktion f(x) = ax + b.

Det første skridt er at indføre variable og oversætte den virkelige problemstilling til matematisk symbolsprog.

7 Eksempel På en given crosstrainer forbrændes 60 kJ pr minut. Vi sætter variablen x til antal minutter og variablen f(x) til den samlede forbrænding i kJ, og konstanten 60 er det antal kJ, som forbrændingen stiger, hver gang der går et minut. Den samlede forbrænding kan så modelleres med funktionen f(x) = 60x. Vi har antaget at der trænes med en konstant intensitet.

8 Eksempel Hvis der allerede var forbrændt 210 kJ på opvarmningen, og vi gerne ville regne opvarmningen med i den samlede forbrænding, bliver funktionen f(x) = 60x + 210, idet vi blot lægger de 210 til. Tallet 210 bliver ikke ganget med x, for det tal skal ikke ændres, men bare konstant være 210.

9 Øvelse a. Udfyld resten af tabellen for f(x) = 3x + 1 b. Tegn grafen for f.

–1

f(x)

–2

10 Øvelse Opstil regneudtryk for lineære funktioner, der kan være matematiske modeller for følgende situationer: a. Prisen for småkager er 3 kr. pr. styk købt hos en bager, hvor x er antal kager, og f(x) er den samlede pris. b. Prisen for et givent antal liter benzin til 10,50 kr. pr. liter købt på en tankstation. c. Afstand gået af en person med en skridtlængde 1,2 m, der har taget et givent antal skridt. d. Vandmængden i et badekar, hvor der er 200 liter i starten, hvorefter der løber 5 liter ud, for hvert minut der går.

2. Lineære funktioner

2.1 B eregning af a og b i forskriften f(x) = ax + b 11 Introduktion En klasse vil spare op til en vandretur i Norge. Efter 2 måneder har de 800 kr. i klassekassen, og efter 7 måneder har de 2 200 kr. Hvis de fortsætter med den samme opsparingshastighed, hvor mange penge har de så efter 18 måneder (dvs. midt i 2.g)? I nden klassekassens saldo bestemmes, vil vi se på nogle nyttige

sætninger.

2.800

Vi starter med at se på, hvordan man kan bestemme en regne-

2.400 2.000

forskrift for en lineær funktion, ud fra koordinaterne til to punkter

(7,2200)

på grafen.

1.600 1.200 800 (2,800)

400 0 0

12 Sætning Hvis to forskellige punkter ( x1 ,y1) og ( x2 ,y2) ligger på grafen for en lineær funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes med formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1

13 Eksempel

Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne ( x1 ,y1) = (2,3) og

( x2 ,y2) = (4,9). Vi beregner hældningskoefficienten:

6 4

2 0 0

y 2 − y1 9 − 3 6 = = =3 x 2 − x1 4 − 2 3

Hældningskoefficienten er dermed a = 3

Når hældningskoefficienten a er beregnet, kan konstanten b beregnes ud fra følgende sætning:

14 Sætning Når a er kendt, og punktet ( x1 ,y1) ligger på grafen for den lineære funktion y = ax + b, kan konstantleddet b beregnes med formlen: b = y1 – ax1

2. Lineære funktioner

15 Eksempel I eksempel 13 beregnede vi hældningskoefficienten til 3. Vi vil nu beregne konstanten b for denne funktion. Vi vælger derfor et tilfældigt kendt punkt på grafen, eksempelvis (2,3), og indsætter det i formlen i sætning 14: b = y1 – ax1 = 3 – 3 · 2 = 3 – 6 = –3 Konstanten b er altså –3. Konstanterne a og b i forskriften for den lineære funktion hvis graf går gennem punkterne ( x1 ,y1) = (2,3) og ( x2 ,y2) = (4,9), er altså a = 3 og b = –3. Dermed er forskriften f(x) = 3x – 3.

16 Øvelse Beregn konstanterne a og b for de rette linjer, der går gennem de angivne punkter: a. (1,3) og (4,9). b. (3,5) og (5,17).

17 Øvelse a. Beregn hældningskoefficient og konstantled for den lineære funktion, hvis graf indeholder punkterne (1,7) og (4,22). b. Beregn konstantleddet for en ret linje, der har hældningen a = 3 og går gennem punktet (5,7). c. Bestem forskriften for den lineære funktion, hvis graf går gennem (–1,0) og (1,4).

18 Øvelse a. Beregn konstanterne a og b for klassens opsparingsfunktion i eksempel 11. b. Bestem regneforskriften for klassens opsparing som funktion af antal måneder, siden de startede. c. Benyt regneforskriften til at bestemme, hvor mange penge de har sparet op efter 18 måneder.

19 Øvelse Prisen for en tur med en bestemt cykeltaxa er en lineær funktion af antal kørte km. En tur på 1 km koster 25 kr., og en tur på 2 km koster 35 kr. Antal kørte km betegnes x og prisen i kr. for turen betegnes f(x). Regneforskriften for f(x) er af typen f(x) = ax+b. a. Brug oplysningerne til at beregne konstanterne a og b. b. Hvor meget koster taxaturen pr. km? c. Bestem taxaens startpris. d. Kan man køre en tur på 5 km for 70 kr.?

2. Lineære funktioner

2.2 Lineære modeller 20 Introduktion En økologisk høne kan lægge 306 æg om året. Hvor mange æg kan x økologiske høns så lægge? Vi vil opstille en model for dette, og bruge modellen til at besvare forskellige spørgsmål.

21 Lineære modeller En lineær model kan tegnes som en ret linje og opskrives symbolsk som y = ax + b eller f(x) = ax + b.

22 Eksempel Vi vil opstille en lineær model for, hvor mange æg man kan få ved varierende antal økologiske høns. Først vælger vi de variable: 5.000

Antal æg pr. år

4.000

Den ene variabel kaldes x og angiver antallet af økologiske høns i hønsehol-

3.000

det. Den anden variabel kaldes f(x) og betegner det samlede antal æg pr. år. Vi antager, at alle høns lægger det samme antal æg om året. Når antallet af

2.000

høns ganges op, vokser antallet af æg med samme faktor. Så hvis man ved,

1.000

at en høne kan lægge 306 æg om året, kan 2 høns lægge 2 · 306 = 612 æg

0 0

10 12 Antal høns

om året, og x høns kan lægge x · 306 æg om året.

a. Vi får dermed følgende model f(x) = x · 306 Skrevet på formen f(x) = ax + b bliver det f(x) = 306 · x eller kort: f(x) = 306x b. M odellen kan bruges til at forudse, hvor mange æg man vil få om året med 10 høns: f(10) = 306 · 10 = 3 060. Altså 3 060 æg om året. c. M odellen kan også bruges til at løse problemer: Hvor mange høns skal man have for at få en årlig produktion på 5 000 æg? Her drejer det sig om at løse ligningen: 5 000 = 306x 5 000 = 306x

Ligningen, der skal løses.

5 000 = x 306

Der er divideret med 306 på begge sider.

x = 16,33

Brøken er beregnet og afrundet.

Det er altså nødvendigt med 17 høns for at få 5 000 æg om året. (Der findes ikke brøkdele af en høne, så vi må op på 17 hele høns for at være sikre). Modellen med ægproduktionen hos de økologiske høns, er erfaringsbaseret, fordi det ikke er en naturlov, at en høne lægger 306 æg om året. Det er en en observation. I modsætning hertil står de mere teoretiske modeller.

2. Lineære funktioner

23 Definition En model, der udelukkende opstilles på baggrund af teori, matematik og logik, kaldes en teoribaseret model.

24 Eksempel

O=π·d

Vi vil opstille en model for omkredsen af en cirkel som funktion af diameteren. Fra definitionen af tallet π ved vi, at dette tal netop er forholdet mellem omkreds og diameter: π = O d

πd =

O ⋅d = O d

Vi isolerer d i to trin: d

Vi ganger med d på begge sider

Vores model bliver så O = π · d som er en lineær model med d som uafhængig variabel og O som den afhængige variabel.

25 Øvelse a. Brug modellen O = π · d, hvor O er omkreds, og d er diameteren, til at beregne omkredsen af et racercykelhjul, hvor diameteren er 64 cm.

26 Øvelse En flade har form som et kvadrat, men sidelængden kan variere, så den betegnes med en variabel x.

a. Opstil en model for omkredsen O af fladen udtrykt ved sidelængden x. b. Er modellen lineær?

27 Øvelse En have har form som et rektangel. Længden af den korte side er konstant 5 m, mens længden af den lange side kan variere.

a. O pstil en model for omkredsen O af haven udtrykt ved sidelængden af den aflange side x. b. Er modellen lineær?

28 Øvelse I gennemsnit forbrænder en voksen 0,15 promille alkohol pr. time. a. O pstil en matematisk model for den samlede alkoholpromille, f(x), der bliver forbrændt som funktion af tiden, x, målt i timer. b. Brug modellen til at bestemme, hvor lang tid det tager at forbrænde 1 promille.

29 Øvelse På en indisk restaurant er der et grundgebyr på 75 kr. pr. person, og herefter betaler man 15 kr. pr. 100 gram mad, der bestilles. a. O pstil en model over den samlede pris pr. person, som funktion af antal hundrede gram der bestilles. b. Benyt modellen til at beregne, hvor mange gram der kan bestilles, hvis man har 150 kr.

2. Lineære funktioner

2.3 Lineær regression 30 Introduktion En skovfoged passer forskellige naturområder. Han er sikker på, at der en sammenhæng mellem arealet af hvert område og antallet af bævere. Men hvordan kan han undersøge, om det er en lineær sammenhæng?

31 Empiriske modeller En model, der opstilles på baggrund af målte data, kaldes en tilpasset model eller en empirisk model. En tilpasset model kan i nogle tilfælde bruges som en forenklet fremstilling af en sammenhæng mellem to variable.

32 Eksempel

Antal bævere 7

En undersøgelse af antallet af bævere i forskellige naturområder vi-

ser følgende sammenhæng mellem områdets areal og antal bævere:

5 4 3

Areal (km 2)

Antal bævere

2 1

Vi har tegnet tabellens værdier ind som punkter i et koordinatsy-

0 0

Skovstørrelse

stem og ser, at punkterne med tilnærmelse følger en ret linje, som kan tegnes ind på øjemål eller i et regneark.

Når en række datapunkter som her grupperer sig tilfældigt omkring en ret linje, og afvigelserne er små og usystematiske, kalder man sammenhængen tilnærmelsesvis lineær.

33 Lineær regression En mere præcis modelbeskrivelse af punkterne i eksempel 32 kan skaffes ved ”lineær regression”. Ved lineær regression vil et CAS-værktøj udregne ligningen for den linje, der passer bedst muligt med punkterne. I Excel kan lineær regression udføres således: Indtast x-værdierne i en søjle og y-værdierne i søjlen ved siden af. Markér cellerne. Vælg "indsæt" i menuen øverst. Vælg "punktdiagram". Højreklik på et af punkterne, og vælg ”tilføj tendenslinje”. Vælg ”lineær”, og sæt hak ved muligheden "vis ligning i diagram".

34 Eksempel Her er udført lineær regression i Excel på tallene fra eksempel 32, hvor x er arealet målt i km2, og y er antal bævere. Regressionsmodellen er y = 2,4x – 2,5

2. Lineære funktioner

Med denne model kan vi eksempelvis udregne antallet af bævere i en skov på 20 km2 ved at indsætte i modellen: y = 2,4 · 20 – 2,5 = 45,5. Da vi ikke regner med halve bævere, konkluderer vi, at der ifølge modellen vil være 46 bævere i en skov på 20 km2.

35 Eksempel Modelleringsprocessen Der er ofte usikkerhed forbundet med brug af modeller. Man skal – ud fra sit kendskab til det konkrete eksempel – være opmærksom på, om det er sandsynligt, at udviklingen fortsætter. Matematisk model y = ax + b, hvor a=… b=…

Virkelig problemstilling Antal bævere på 20 km 2

Virkelig løsning

Matematisk løsning

Altså er svaret …

tal, graf, figur, eller …

Modelkritik Det er vigtigt at gøre sig klart, at der er tale om en model lavet ud fra 4 optællinger af antallet af bævere i små skovområder. Måske er de 4 optællinger usikre? Måske er sammenhængen mellem antal bævere og skovens areal ikke den samme for store skove på 20 km2 som for de små, der blev brugt til at lave modellen? Sådanne kritikpunkter betyder ikke, at vi skal undlade at modellere, men at vi skal forholde os kritisk til modellens resultater. I sidste ende kan usikkerhederne være så store, at vi måske bør modellere situationen igen med en justeret metode.

36 Øvelse Tabellen viser aktiekursen for cafekæden Starbucks i årene 2009 til 2014. Bemærk, at vi i tabellen har skrevet år efter 2009. Dette indebærer, at fx 0 betyder "0 år efter 2009", altså år 2009. I koordinatsystemet ses punkterne indtegnet.

Aktiekurs

30 20

År efter 2009 Aktiekurs $

7,26

12,18

20,10

26,66

32,76

38,96

a. Antag, at udviklingen er lineær, og udfør lineær regression på alle tabellens tal. b. Angiv værdierne af konstanterne a og b.

10 0 0

4 5 År efter 2009

c. Beregn aktiekursen for Starbucks i år 2018 ifølge modellen. d. Vurder, om den beregnede aktiekurs i år 2018 er realistisk.

2. Lineære funktioner

2.4 Lineær regression og residualplot

37 Introduktion

I alderen 5-12 år vokser man næsten lige meget hvert år. Der er altså en tilnærmelsesvis lineær sammenhæng mellem alder og højde i denne periode i livet.

Baggrunden for denne postulerede sammenhæng er ikke teoribaseret, men er baseret på målinger og statistik. Der er ikke tale om eksakt viden, og væksten af det enkelte individ (dig?) kan afvige fra modellen.

Når man står overfor et givet datasæt, kan man ikke vide 100 % sikkert, om det kan modelleres fornuftigt af en matematisk model i form af en forskrift, eller hvilken model der i givet tilfælde er bedst. I opslaget her skal vi se nærmere på, hvordan man vurdere om en given regressionsmodel er fornuftig.

38 Definition Forskellen mellem en faktisk målt værdi og den værdi, modellen forudsiger, kaldes et residual. Et diagram over residualerne kaldes et residualplot. Det kan benyttes til at vurdere, om modellen er en rimelig tilnærmelse til data.

39 Eksempel I en bestemt sportsgren måles præstationen i et pointsystem fra 100 til 200 point. Tabellen viser sammenhørende værdier for en sportsudøvers resultater og antallet af måneder, han har trænet op til en konkurrence. Antal måneder Point

115

119

124

125

132

136

135

140

143

144

147

Tallene fra tabellen er tastet ind i regnearket i Geogebra,

Måned

Point

115

og der er tegnet et tilhørende punktplot og en lineær

119

regressionsmodel.

119

124

x-aksen viser antal måneder, og y-aksen viser antal point.

125

132

136

135

140

143

144

147

Linjen har forskriften y = 3x + 112,06. For at afgøre, om modellen er god, kan vi udregne residualerne. Hertil bruger vi regressionslinjens ligning y = 3x + 112,06 og x-værdierne fra tabellen. I række tre ses modelresultaterne udregnet med ligningen y = 3x + 112,06 og i række fire er residualerne udregnet.

2. Lineære funktioner

Antal måneder Point Modelresultat Residual

115

119

124

125

132

136

135

140

143

144

147

115,06

118,06

121,06

124,06

127,06

130,06

133,06

136,06

139,06

142,06

145,06

148,06

-0,06

0,94

–2,06

–0,06

–2,06

1,94

3,06

–1,06

0,94

-1,06

I Geogebra kan residualdiagrammet tegnes ved at vælge dette i stedet for punktplot. Her ses månederne ud ad x-aksen og residualværdierne op ad y-aksen. Residualplottet viser, at afvigelserne er små, tilfældige og usystematiske. Variationen omkring nullinjen er stort set den samme for alle måneder. På den baggrund kan vi antage, at pointene med tilnærmelse vokser lineært med antal måneder i perioden fra 0 til 12 måneder. Bemærk, at vi ikke kan vide, om det fortsætter på den måde. Modellen kan kun med rimelighed bruges inden for det område, hvor der er data.

40 Eksempel I tabellen ses udviklingen i antal faste kunder for en større forretningskæde målt i år efter 2009. År efter 2009

Antal kunder

1485

1864

2376

2973

3686

4623

5527

6485

7356

På figuren ses punkterne og den lineære regressionsmodels regneforskrift. I dette tilfælde viser residualplottet imidlertid et meget klart mønster, som ikke virker tilfældigt. Derfor må vi antage, at vi har valgt en ubrugelig regressionsmodel. Punkterne ville i dette tilfælde passer meget bedre på en buet graf. Senere introduceres andre regressionsmodeller.

41 Øvelse Et band har lagt en musikvideo på YouTube og har registreret udviklingen i antal afspilninger i ugerne efter upload. Vi antager i første omgang, at udviklingen er lineær. Uger efter upload Tusind afspilninger

140

192

241

284

328

367

401

430

451

a. Lav lineær regression på alle tabellens tal og bestem derved a og b. b. Lav en tabel med residualerne. c. Tegn et residualplot. d. Vurder, om residualerne er små, tilfældige og usystematiske.

2. Lineære funktioner

2.5 Teori om de lineære funktioner

42 Introduktion

Et bevis er svaret på spørgsmålet ”Hvorfor?”.

I dette afsnit skal vi se nærmere på definitioner, sætninger og beviser. En definition kan sammenlignes med en navngivning. En sætning derimod er en påstand, der er sand, fordi der findes et matematisk bevis for den.

43 Definition I forskriften f(x) = ax + b kaldes tallet a for hældningstallet eller hældningskoefficienten. Det er nu fastlagt, hvordan vi skal benævne konstanten a i den givne regneforskrift. Men vi har ikke taget stilling til, hvad den kan bruges til, eller hvilke egenskaber den har. Den følgende sætning omhandler en bestemt egenskab ved a.

44 Sætning Hvis to forskellige punkter (x1 ,y1) og (x2 ,y2) ligger på grafen for en lineære funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes ved formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1 Vi har tidligere anvendt denne formel til beregning af konstanten a. Men hvordan kan vi give et argument, der er stensikkert i alle situationer, uanset hvordan værdien af a er? Hertil må vi have et argument, der er overbevisende for alle, der har de matematiske forudsætninger. Det er det, vi i matematikken kalder et bevis.

45 Bevis for sætning 44 y1 = ax1 + b

Koordinaterne (x1 ,y1) skal passe i ligningen y = ax + b

y2 = ax2 + b

Punktet (x2 ,y2) ligger også på grafen for y = ax + b

y2 – y1 = ax2 + b –y1

y1 er trukket fra på begge sider af lighedstegnet

y2 – y1 = ax2 + b – (ax1 + b) y1 er erstattet af ax1 + b på højre side y2 – y1 = ax2 + b – ax1 – b

Parentesen er ophævet

y2 – y1 = ax2 – ax1

+b og –b på højre side gik ud

y2 – y1 = a(x2 – x1)

a sættes uden for parentes (a er en faktor i begge led)

y 2 − y1 = a Der divideres på begge sider med tallet x2 – x1 x 2 − x1

Hermed er sætningen bevist

2. Lineære funktioner

46 Definition I forskriften f(x) = ax + b kaldes tallet b for konstantleddet.

47 Sætning Når a er kendt, og punktet (x1 ,y1) ligger på grafen for den lineære funktion y = ax + b, kan konstantleddet b beregnes med formlen: b = y1 – ax1.

48 Bevis for sætning 47 y1 = ax1 + b

(x1 ,y1) ligger på grafen og skal så passe i y = ax + b

y1 – ax1 = b

ax1 trækkes fra på begge sider af lighedstegnet.

Hermed er sætningen bevist.

49 Sætning I forskriften f(x) = ax + b angiver hældningskoefficienten, a, hvor meget y-værdien ændres, når x vokser med 1.

50 Bevis for sætning 49 f(x + 1) = a(x + 1) + b

x + 1 er indsat på x’ets plads i f(x) = ax + b

f(x + 1) = ax + a ·1 + b

Parentesen er udregnet

f(x + 1) = ax + a + b

a ·1 = a

f(x + 1) = ax + b + a

Rækkefølgen af a og b er ændret

f(x + 1) = f(x) + a

ax + b er erstattet af f(x)

Det vil sige, at f(x) ændres med tallet a, når vi lægger 1 til x-værdien. Hermed er sætningen bevist.

51 Sætning I forskriften f(x) = ax + b angiver konstantleddet, b, skæringspunktet med y–aksen.

52 Bevis for sætning 51 På y-aksen har alle punkter x-koordinaten 0. Vi indsætter 0 på x’s plads og udregner funktionsværdien: y = f(0) = a · 0 + b = 0 + b = b. Linjen med ligningen y = ax + b går altså altid gennem punktet (0,b). Hermed er sætningen bevist.

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger Opgave 201

Opgave 204

a. H vilke to af figurerne er grafer for lineære

Tabellerne repræsenterer hver sin lineære funktion. Tegn tabellerne af, og udfyld det manglende tal.

funktioner? 2.

1. y

3. y

–1

–2

3 8

2 9

10 3

b. Fuldfør, for hver tabel, sætningen ”Når x vokser med 1, så vokser y med _______."

Angiv a og b, hvis variabelsammenhængene er lineære. b. y = –2x + 4 c. y = 2x

d. y = 5 + x2 1

e. y = x + 4

Opgave 205 Udfyld en tabel med funktionsværdier (et sildeben) for hver af de tre funktioner: a. y = 2x + 3 b. y = –3x + 7

f. y = 9x – 5

c. y = 2,5x

Opgave 202

Opgave 206

a. E n graf for en lineær funktion går gennem (1,5) og (2,7). Tegn den. Er den voksende eller aftagende? Forklar, hvordan det ses. b. Går den gennem punktet (3,8)? a. U dfyld et sildeben som det nedenstående, og

Opgave 203 En graf for en lineær funktion går gennem punkterne (123,5746) og (271,767). a. Vil grafen være voksende eller aftagende? Argumenter for dit svar. b. G år den gennem (200 , 6003)? Argumenter for dit svar.

2. Lineære funktioner

tegn grafen for y = 3x – 2 x y = 3x– 2

–5

Opgave 207

Opgave 210

Tegn graferne for følgende fire lineære funktioner

a. Vis, ved beregning, at grafen for y = 6x + 3 går gennem punktet (0,3).

i samme koordinatsystem: 1 2

a. y = x + 2

b. Vis, ved beregning, at grafen for y = 45x + 114 går gennem (0,114).

b. y = –2x + 2 1 2

c. y = x – 2 d. y = –2x

Opgave 211 Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at den går gennem punktet (0,3). a. Argumenter for, hvilken forskrift der vil passe

Opgave 208 To forskellige grafer går begge gennem (2,1) og

med grafen.

f(x) = 2x + 1

f(x) = 3x

f(x) = x + 3

(3,3). Den ene er en lineær funktion, men den anden er ikke en lineær funktion.

Opgave 212

a. Tegn to grafer, der passer med teksten, i samme

En pige sælger is på stranden. Hun tjener 8 kr. på

koordinatsystem.

hver is, men skal betale 100 kr. for leje af køleboksen. a. Opskriv hendes fortjeneste som en lineær funktion af antal solgte is.

Opgave 209

b. Beregn fortjenesten ved salg af 56 is.

To kammerater har aftalt,

c. Tegn grafen for funktionen.

at de vil forsøge at tabe

d. Brug grafen til at finde ud af, hvor mange is hun

sig. Den ene løber en tur

skal sælge for at have en positiv fortjeneste.

og forbrænder 250 kcal. Han sætter sig derefter i

Opgave 213

vennens have og drikker

En brandsprøjte indeholder 15.000 liter vand og

hvidvin. Herved indtager

skyder 750 liter ud i minuttet, indtil den er tom.

han ca. 4 kcal pr. minut.

a. Opskriv vandmængden y i brandsprøjten som

Hans ven har lige spist

en rejemad på 100 kcal i

b. Hvor mange minutter går der, før beholderen

alt. Han er irriteret over

at være bagud i kalorieregnskabet og stiller sig

c. Hvis sprøjten starter kl. 13.00, hvad tid løber

derfor op og sjipper, hvorved han forbrænder 9

en funktion af tiden x. indeholder 4.000 liter? den så tør?

kcal i minuttet. a. Forklar, hvordan funktionerne y = 4x – 250 og

y = –9x + 100 hænger sammen med situationen ovenfor.

b. Redegør for betydningen af variablene x og y. c. Beregn skæringspunktet mellem de to linjer. d. Forklar, hvad skæringspunktet betyder for ham,

der sjipper.

Opgave 214 a. I et land koster strømmen 2 kr. pr. kWh og 1.000 kr. i årlig fast afgift. Opskriv en lineær funktion, der beskriver stømprisen som funktion af antal kWh. b. En rottefænger får 500 kr. for at møde op samt 20 kr. for hver død rotte, hun kan fremvise. Opskriv en lineær funktion, der beskriver hendes løn som funktion af antal rotter, hun fanger.

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger c. E n elev strikker i matematiktimerne. Han har

Opgave 216

allerede 70 cm halstørklæde, og han kan strikke

Bestem a og b for de lineære funktioner y = ax + b,

10 cm, for hver time, der går. Opskriv længden

hvor grafen går gennem punkterne:

af hans halstørklæde som en funktion af antal-

a. (2,4) og (4,6)

let af matematiktimer.

b. (0,–1) og (5,4)

d. E n oktoberdag var kursen (prisen) på en dollar

c. (–2,–2) og (4,10)

5,40 kr. I en vekselforretning var gebyret 18 kr.

d. (2,7) og (5,10)

Opstil en lineær model y = ax + b, der beskriver,

e. (–2,7) og (5,–10)

hvor mange dollars y der kan købes for x kr.

f. (–3,5) og (–4,12) g. (1.001, 3.765) og (1.003, 3.761)

Opgave 217

e. En ung mand har lige fået kørekort og låner en rød Fiat. Fiaten har kørt 35 000 km. Han har lyst til en god pizza og sætter derfor kursen mod Italien med en gennemsnitsfart på 100 km/t. Opskriv antallet af kilometer y, som bilen har kørt i alt, som en lineær funktion af tiden målt i timer x. f. Find selv på en historie, der kan vises med en

En bonde har en ko. Den spiser 60 kg foder om dagen.

lineær model. Udfyld sildebenet.

Opgave 215 a. Tegn et koordinatsystem, og afsæt punkterne

(–3,2) og (3,–1).

x (antal dage) y (antal kg)

30 1.200

3.000

b. Tegn den linje, som går gennem de to punkter. c. Ligger punktet (1,2) på linjen? d. Gør (–1,1)? e. Passer punkterne (–3,2) og (3,–1) ind i ligningen y = 10x – 3? f. Passer punkterne (–3,2) og (3,–1) ind i ligningen y = –0,5x + 0,5? g. Hvilken ligning passer til grafen, som du tegnede i spørgsmål b.?

2. Lineære funktioner

b. Opskriv en formel, der beregner, hvor meget foder han skal købe ind til x dage. Koen giver 26 liter mælk om dagen. c. Opskriv en forskrift for den funktion, der beskriver antal liter, den giver på x dage. En anden bonde har 80 lige så højtydende køer. d. H vad kan han udregne med forskriften y = 80 · 26 · x?

Opgave 218

En anden lineær funktions graf har samme hæld-

Hvorfor kan man ikke finde hældningskoefficien-

ning, men går gennem punktet (1,8).

ten for en linje, der går gennem (3,5) og (3,7)?

b. H vilket tal i forskriften kan du nøjes med at ændre i forhold til den første funktion: Er det

Opgave 219

Aflæs a og b på nedenstående tre grafer.

c. Tegn de to grafer i samme koordinatsystem.

a eller b?

Opgave 223 y

3 2

-4

-3

-2

-1

1 0 -1

-2 -3 -4

En maratonløber med et kunstigt ben får et forspring fra resten af feltet. Han løber med en

Opgave 220

konstant hastighed. Efter 1 time er han nået 18 km

Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at

fra startlinjen. Efter 1,5 time er han nået 22 km fra

den er voksende.

startlinjen.

a. Argumenter for, hvilken forskrift der vil passe

a. H vilken hastighed løber han med, og hvor stort et forspring fik han?

med grafen. f(x) = 2x + 1

f(x) = –3x

f(x) = 6

b. Hvad bliver hans tid 42 km fra startlinjen?

Opgave 221

Opgave 224

Om en graf for en lineær funktion oplyses det, at

På en fabrik faldt produktionen af majspiber med

den er aftagende og går gennem (0,1).

21 000 stk. om året i perioden 1979-1982. I 1979

a. Argumenter for, hvilken forskrift der vil passe

producerede fabrikken 200 000 stk. a. Opstil en model for antallet af majspiber y pr.

med grafen.

f(x) = –2x – 1 f(x) = –3x f(x) = x + 1

f(x) = – 2

år, hvor x er antal år efter 1979.

b. Hvor mange produceredes i 1982? x + 1

c. Hvis udviklingen fortsatte, hvornår ophørte

produktionen så helt?

Opgave 222 En lineær funktion har forskriften f(x) = 2x + 5. a. Kontroller om dens graf vil gå gennem punktet (1,7).

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger Opgave 225 (fortsættelse af opgave 224)

Opgave 228

Produktionen af cigaretpakker af mærket PINK steg med 12 000 stk. om året i perioden 19801983. I 1983 producerede fabrikken 140 000 stk. a. Opstil en model for antallet af cigaretpakker y

pr. år, hvor x er antal år efter 1980.

b. Hvor mange produceredes i 1982? c. Hvis udviklingen fortsatte, hvornår oversteg antallet af cigaretpakker antallet af majspiber? Grafen viser en ung mands efterspørgselskurve

Opgave 226

efter cheeseburgere.

Modeller

y 16

a. Forklar, hvad en lineær model er, og giv et

eksempel.

b. Forklar betydningen af a og b i din lineære

model.

c. G ennemgå et eksempel, hvor din model bruges

til at beregne en y-værdi.

4 2 0

d. G ennemgå et eksempel, hvor din model bruges til at beregne en x-værdi.

Opgave 227

0 5

25 30

50 x

a. Bestem regneforskriften for funktionen. b. Funktionen viser, hvor mange burgere han

efterspørger som funktion af prisen på dem.

Hvad er x, og hvad er y?

c. Hvor mange burgere vil han efterspørge, hvis

prisen er 7 kr.?

d. Hvor mange færre burgere vil han efterspørge,

når prisen sættes 1 kr. op?

e. Hvad er den maksimale pris, han vil give for en burger? Kokkefirmaet Chef lejer en kok ud til festlige

f. Hvor mange burgere vil han højst spise pr. dag?

lejligheder. Det koster 3 000 kr. i startgebyr, og derefter koster det et beløb pr. gæst. 21 gæster

Opgave 229

koster 8 250 kr. i alt.

Den unge mand fra opgave 228 bor i en mindre

a. Opstil en lineær funktion, der beskriver den

by, hvor der er 200 unge i hans aldersgruppe.

En model for hele gruppens efterspørgsel fås

samlede pris som en funktion af antallet af

gæster.

ved at gange konstanterne a og b i ligningen

b. Hvor mange gæster kan man invitere for

y = 15 ⋅ x + 15 med 200. Den samlede efterspørgsel 50

10 000 kr.? c. Hvor meget er prisen, hvis der er 50 gæster?

2. Lineære funktioner

y (antal burgere) kan så beskrives ved funktionen: y = –60x + 3 000, hvor x er prisen.

a. Hvor mange færre burgere bliver der spist, hvis

Opgave 232

a. Aflæs skæringspunktet mellem y = –4x + 3 og

prisen sættes op fra 6 kr. til 7 kr.?

b. Hvor mange flere burgere vil der blive spist,

b. Beregn skæringspunktet mellem graferne.

hvis prisen sættes ned fra 11 kr. til 10 kr.?

y = –3x + 2

c. Hvad er den maksimale pris, nogen i byen vil

give for en burger?

y 3

d. Hvilken usikkerhed er der forbundet med

denne model?

2 1

Opgave 230

En lystfisker fanger hornfisk. Han ved af smertelig

–2

-1

erfaring, at rensningen og nedpakningen i fryse-

–1

poser tager ham 12 min. pr. fisk. Vi betegner nu

–2

antallet af fisk med x. Så tager det x · 12 min. at rense fangsten på x styk fisk.

Opgave 233 Beregn skæringspunktet mellem a. y = 7x – 3 og y = 4x + 9 b. y = –2x + 2 og y = 3x– 8 c. y = –7x + 27 og y = 3x + 17

Opgave 234 Graferne for to givne lineære funktioner er parallelle. Den ene graf har ligningen y = 6x + 8. Den a. Hvad betegner y i ligningen y = 12 · x?

andens graf går gennem punktet (3,4). Find lignin-

b. H an havde glemt at indregne de 5 minutter, det

gen for den anden graf.

tog at gøre køkkenbordet klar til rensningen. Hvad kan han regne ud med denne funktion:

Opgave 235

y = 12x + 5?

a. Bestem forskrifterne for de to lineære funktio-

c. H vor lang tid skal han rense fisk, hvis han fanger 15 hornfisk? d. H vad bliver forskriften, hvis han i stedet fanger

ner på figuren.

b. Bestem koordinaterne til skæringspunktet, og

kontroller dem ved indsættelse i forskrifterne.

sild, som han kan rense på 2 min. pr. styk? y 6

Opgave 231 a. Isoler x i ligningen ax + b = cx + d

b. Forklar, hvad den formel, der fremkommer,

kan bruges til, når man har to rette linjer, linje 1

og linje 2, hvor linje 1 har forskriften y = ax + b,

og linje 2 har forskriften y = cx + d

0 –4

–2

–2 –4 –6

2. Lineære funktioner

Opgaver – 2. Lineære funktioner Opgaver - Ligninger Opgave 236

År

En fabrik, der fremstiller fyrværkeri målrettet til

Kilo

pensionister, kostede 70 mio. kr. at bygge, men

60,9

62,7

64,1

65,4

giver hvert år en indtægt til ejerne. Sammenhængen mellem tiden og ejernes cashflow er afbildet i

a. Indsæt tallene som punkter i et koordinat-

dette skema. Antal år Cashflow (mio. kr.)

system. 0 –70

1 –55

2 –43

3 –31

4 –18

b. Punkterne ligger tilnærmelsesvist på en ret linje.

Find en lineal, og tegn den bedst mulige linje.

Aflæs a og b, og opskriv ligningen. c. Den studerende mener ikke selv, at der er tale

om en udvikling hen mod en højere vægt.

Hun ser de forskellige resultater som tilfældige

udsving. Er du enig?

d. Den ligning, du har fundet, er en lineær model.

Hvad kan den studerende bruge denne model til?

Opgave 238 En kvinde kan løbe 4 km på en halv time. Hun vil gerne i bedre form og beslutter sig for at holde a. Afsæt punkterne i et punktdiagram i et regne-

sit løbetempo og samtidig øge løbetiden med

ark.

10 min. hver uge. Hun laver følgende målinger på

b. Indsæt en tendenslinje og få et regneark til at

sine næste fem løbeture:

beregne ligningen.

c. Beregn cashflowet efter 9 år.

Tid i min.

d. Brug grafen til at finde ud af, hvor mange år der

Antal km

5,8

6,4

går, før ejerne har et positivt cashflow.

Opgave 237

a. Afsæt punkterne i et punktdiagram i et regneark. b. Indsæt en tendenslinje og få arket til at beregne ligningen. c. Du har nu opstillet en lineær model. Forklar, hvad den er model for. d. For hvilke x–værdier synes du, at modellen

giver mening?

e. Kvinden ville gerne holde sit løbetempo, hvor hun løb 4 km på 30 min. Hvad skulle a have En studerende vejer sig 1. januar hvert år.

været, hvis hun skulle have opfyldt sit

Resultatet er vist i følgende skema.

mål? f. Tegn et residualplot for regressionen.

2. Lineære funktioner

Opgave 239

Opgave 241

En glaspuster får 80 kr. i timen. Derudover får

En lineær funktion er givet ved f(x) = ax + b. a. Vis at f(x + k) = f(x) + ak

hun 20 kr. pr glas, der kan sælges. Hun har la-

Opgave 242

vet et regnskab over sin

En lineær funktion er givet ved f(x) = ax + b.

gennemsnitlige timeløn

a. Vis at f(1) = a + b

de første 8 uger. Uge 0 er den første uge efter

Opgave 243

hendes ansættelse.

En lineær funktion er givet ved f(x) = ax + b. a. Vis at grafen for f skærer x-aksen i punktet S( −ab ,0)

Uge

Timeløn

110

120

Opgave 244 a. Argumenter for, at linjerne med ligningerne x = m og y = n skærer hinanden i punktet S(m,n).

a. Afsæt punkterne i et punktdiagram i et regneark.

Opgave 245

b. Indsæt en tendenslinje, og få et regneark til at

a. Tegn to parallelle skrå linjer, og to lodrette linjer

beregne ligningen.

c. H vad vil glaspusteren i følge modellen tjene i timen efter 100 uger?

med afstanden 1 imellem sig. b. Argumenter for, at de to skrå linjer må have samme hældningskoefficient.

d. Hvad tjente hun efter 5 uger ifølge modellen? e. For hvilke x-værdier er modellen en god model? f. Tegn et residualplot for regressionen, og vurder på den baggrund modellens brugbarhed.

Opgave 240 Hvis to forskellige punkter (x1 ,y1) og (x2 ,y2) ligger på grafen for en lineære funktion f(x) = ax + b, kan hældningskoefficienten a beregnes ved formlen: y −y

a = x 2 − x1 2 1 a. Vis, at a også kan beregnes med formlen y −y

a = x 1 − x2 1 2

2. Lineære funktioner

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (2)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Regnearternes hierarki: Parenteser (a + b) Potenser og rødder an

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

1. Udregn:

2. Udregn:

3. Udregn:

a. 4 + 3 · 2 – 3

a. 2 · 4 – 3

b. 6 · 3 – 6 + 3 · 3

b. 4(3 – 22) + 2

c. 3 – 2 – 5

c. 2 · 2 – 3

2−

4. Udregn:

6 +1 2

a. 3 · (3 – 2 · 6) b. 4 · (8 : 4 – 2 · 3)

b. 3 – 3 2 + 12  4 

c. 3 – (3 · 4 – 4 · 2)

c. 3 · (2 + 2 – 1)

Ligninger: Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

5. Løs ligningerne:

8. Beskriv fejlen og vis omform-

2x + 3 = 9

ningerne korrekt.

1 + 2x = 11

3x = 4 – x

6. L øs ligningerne a.

4x + 3 = 15

5x – 2 = 13

–4 + 3x = 11

7x + 4 = 18

b. 0,5x – 2,5 = 1,5 c.

ningen korrekt. 3(x + 2) = 6

x=9

3x + 3 = 6

2x + 1 = 5

3x = 3

2x = 6

b. 2(1 + x) – x = 4

x=3

2 + 2x – x = 4

c. 3 x+1=4–x

7. Løs ligningerne a.

x+1=8

9. F ind fejlen og skriv omform-

2 + 3x = 4 3x = 2

2x + 1 = 4

2x = 3 x= 3 2

–7 – x = –15

x= 3 5x + 3 = 1 + x 6x + 3 = 1 6x = –2 x=–1 3

Reduktion: Husk at du ikke må sammenblande de variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 3a – b + 2a2 kan ikke reduceres.

10. Reducer udtrykket mest muligt

a. 3a – 3 + c – 3a + c

b. ab – b + 2a + b

b. 2a2 – b – a + a2

11. Reducer udtrykket mest muligt

a. 3a + 2b – a + b c. 2a + b + 2b

c. 3a + 3 + a + a2

d. 4 – 2(a + b) +2a

d. –a + b + 2a + 4 – b – 22

Trainingssider

Rødder og potenser: 1

a n = n a = b, fordi bn = a Regel: Eksempel:

= 4, fordi 43 = 64

12. Udregn tallet

13. U dregn tallet

14. U dregn tallet

15. Udregn tallet

a. 81

125

1000

b. c.

100

Parenteser: Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(b – 4) = 3b – 3 · 4 = 3b – 12 –(a – 4) = –a –(– 4)

16. Ophæv parenteserne

17. Ophæv parenteserne

18. Ophæv parenteserne

og reducer

a. 4 – (b – 3)

a. – (4 – x)

a. 1 + 4 (x + 1) – 5

b. c – 4 (2 – c)

b. –6 + 2 (b +3)

b. 10 + 3 (2 – a) – 6 + 3a

c. 3 – (b + 2) + 6

c. 2 – x – (1 – x)

c. 2 (x – 3) + 8 – (2 – x)

Kvadratsætninger: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab (a + b)(a – b) = a2 – b2 Eksempel: (a – 3)2 = a2 + 32 – 2 · 3a = a2 – 6a + 9

19. U dregn a. (3 + b)2 b. (a + 2)2 x 2

c. (x – 1)

d. (4 + x)

20. Udregn

21. B eskriv fejlen og skriv 2

udregningen korrekt.

b. (x + 2)

a. (x – 6)2 = x2 – 6x + 36

c. (x + 1) (x – 1)

b. (x + 10)(x – 10) = x2 –20x – 100

a. (3 + b)

d. (a + 3) (a – 3)

Trainingssider

3. Statistik

Ikke-grupperede observationer

1 Introduktion

I en løbeklub tog man en stikprøve, hvor 30 løberes puls blev målt lige efter en træningstur: 147, 156, 176, 157, 155, 167, 138, 167, 176, 159, 165, 181, 148, 169, 156, 167, 165, 147, 154, 153, 172, 132, 163, 170, 152, 160, 153, 174, 148, 175. Det er svært at se det overordnede mønster i tallene. Statistik handler blandt andet om at beskrive sådanne tal på en overskuelig måde.

2 Definition En stikprøve består af nogle elementer udvalgt fra en population. Populationen er den mængde, der er genstand for undersøgelsen. Samlingen af observationer i stikprøven kaldes et datasæt eller observationssæt. I et ordnet observationssæt er observationerne ordnet i stigende rækkefølge.

3 Eksempel a. I en klasse lavede man et skema med elevernes skostørrelser. Hvis man opskriver skostørrelserne i ordnet rækkefølge 35, 35, 36, 37, 37, 38 … osv., får man et ordnet observationssæt. b. L øbeklubbens målinger i stikprøven på 30 løbere er et datasæt med enkeltstående tal, der ikke er ordnet i rækkefølge.

4 Definition I et ikke-grupperet observationssæt beskrives observationerne med enkeltstående tal, farver, rejsemål eller lignende. Ikke-grupperede observationer kan beskrives med forskellige tal, såkaldte statistiske deskriptorer. Den simpleste er observationssættets størrelse, N . Hvis alle observationerne er tal, er variationsbredden lig med forskellen på værdien af den største og mindste observation.

5 Eksempel Blandt 25 elever undersøgte man elevernes antal søskende. Svarene var: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4. Forskellen på det største og det mindste tal er 4 – 0 = 4, så variationsbredden er altså 4. Observationssættet har størrelsen N = 25.

6 Definition Hyppigheden h(x) af en observation x er det antal gange, som observationen forekommer i observationssættet, og frekvensen f(x) er den brøkdel eller procentdel, hyppigheden udgør af hele observationssættets størrelse. Den kumulerede hyppighed H(x) og den kumulerede frekvens F(x) af en observation x er summen af hyppighederne eller frekvenserne af alle de observationer, der er mindre eller lig med x.

3. Statistik

7 Eksempel Observationssættet med antal søskende fra eksempel 5 kan skrives op i en hyppighedstabel, hvori vi har beregnet de ovennævnte deskriptorer: Observation

Hyppighed

Kumuleret hyppighed

Frekvens

Kumuleret frekvens

0 1 2 3 4

4 8 6 4 3

4 12 18 22 25

4/25 = 0,16 = 16 % 32 % 24 % 16 % 12 %

16 % 48 % 72 % 88 % 100 %

8 Definition Et observationssæts typetal, er den observation, der optræder flest gange. Gennemsnittet eller middelværdien, x , er summen af observationerne divideret med observationssættets størrelse, N.

9 Eksempel Typetallet for observationssættet: 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2,2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4 er lig med 1, fordi tallet 1 er det tal med den største hyppighed i datasættet. Gennemsnittet er x=

0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 44 = = 1,76 25 25

10 Øvelse a. Opstil observationerne fra stikprøven i eksempel 1 i rækkefølge (omform til et ordnet observationssæt). b. Beregn variationsbredden og gennemsnittet.

11 Øvelse a. Slå op på 20 forskellige sider i denne bog og tæl antallet af billeder på siden. b. Stil observationerne op på en række i et ordnet observationssæt. c. Opstil en tabel med observationer, hyppigheder, frekvenser, og de kumulerede hyppigheder og frekvenser.

12 Øvelse a. Opstil en tabel med observationer, hyppigheder, frekvenser, og de kumulerede hyppigheder og frekvenser for observationssættet: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

13 Øvelse a. Bestem typetallet og gennemsnittet for observationssættet: 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9.

3. Statistik

3.1 Diagrammer og kvartilsæt 14 Introduktion Et malet portræt viser noget væsentligt om en person, men er mindre detaljeret end et fotografi. På samme måde viser statistiske diagrammer væsentlige træk ved et observationssæt uden at give alle detaljer.

15 Definition I et pindediagram vises observationernes hyppighed eller frekvens som længder af pinde. De kumulerede hyppigheder eller frekvenser kan afbildes i et trappediagram, hvor trappens højde på hvert trin er proportional med den kumulerede hyppighed/frekvens.

16 Eksempel En lille tebutik registrerede i 20 dage i træk, hvor mange kunder der kom i begyndelsen af åbningstiden fra kl. 10–11. Resultaterne fremgår af tabellen og er vist som et pindediagram for hyppighederne og et trappediagram for den kumulerede frekvens. På trappediagrammet er trappetrinnene høje, når de tilsvarende pinde er høje. Observation

Hyppighed h(x)

Kumuleret hyppighed H (x )

Frekvens f(x)

Kumuleret frekvens F (x )

0,05

0,10

0,15

0,20

0,35

0,25

0,60

0,30

0,90

0,10

1,00

Kumuleret frekvens 6

Hyppighed

0,8

0,6

3 0,4

0,2

1 0 –1

3. Statistik

0 0

8 10 Antal kunder

Kvartilsæt for ikke-grupperede observationer 17 Definition For ikke-grupperede observationer i et ordnet observationssæt defineres kvartiler således:   Medianen, M, eller anden kvartil, Q2, er den midterste observation. Ved et lige antal observationer vil der ikke være en midterste observation. Så tager man gennemsnittet af de to midterste. Første kvartil, Q1, er medianen af de observationer, der står til venstre for M.  Tredje kvartil, Q3, er medianen af de observationer, der står til højre for M. Tilsammen udgør de tre tal kvartilsættet (Q1, Q2 , Q3 ). Kvartilafstanden er Q3 – Q1 (kaldes også kvartilbredden).   I regneark og programmer som Geogebra kan du også udregne kvartilsættet. Tallene kan afvige lidt fra dem, der fås manuelt, fordi beregningsmetoden kan variere en lille smule mellem programmerne. Endvidere kan et kvartilsæt aflæses på diagrammer.

18 Eksempel Herunder ses højden i meter på et udvalg af 6 høje egetræer. 23,4

24,1 28,0

31,7

31,9

33,8

Medianen er gennemsnittet af de to midterste grå tal M = (31,7 + 28,0)/2 = 29,85 og de andre kvartiler er lig med de blå tal Q1 = 24,1 og Q3 = 31,9

19 Øvelse Herunder ses højden i meter for en gruppe på 9 høje træer. 23,4 24,1 28,0 31,7 31,9 32,9 33,1 33,8 37,2 a. Opskriv kvartilsættet for dette nye datasæt.

20 Øvelse a. Tegn et pindediagram og et trappediagram for besøgene om formiddagen på en kaffebar. Observationerne for 100 dage fremgår af tabellen: Antal kunder, x Hyppighed, h(x)

0 5

1 5

2 20

3 30

4 20

5 10

6 10

21 Øvelse 5 gamle fjender møder hinanden hver onsdag i kiosken, hvor de kan skule til hinanden, mens de spiller lotto. En uge ser gevinsterne i kr. således ud: 0, 0, 43, 1 000 000. a. Bestem medianen. b. Beregn gennemsnittet og forklar, hvad forskellen er på de to begreber median og gennemsnit.

3. Statistik

3.2 Boksplot

22 Introduktion

En elev vil gerne skabe sig et overblik over de karakterer, hun fik ved sin hf-eksamen, det kan hun gøre med et boksplot.

23 Definition

De fem værdier: mindste værdi, første kvartil, median, tredje kvartil og største værdi kaldes det udvidede kvartilsæt.  Et boksplot er en grafisk fremstilling af de fem værdier.

24 Eksempel En student fik eksamenskaraktererne: 00, 02, 02, 02, 02, 02, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 10, 10. Det udvidede kvartilsæt er (0, 2, 4, 5,5, 10).

25 Eksempel Sådan kan et boksplot tegnes: Tegn en tallinje, hvor værdien af observationerne er afsat. Sæt 5 lodrette streger ovenover: ud for (1) mindste værdi, (2) nedre kvartil, (3) median, (4) øvre kvartil og (5) største værdi. Tegn en boks rundt om selve kvartilsættet og en streg ud fra enderne af boksen til mindste og største værdi. Boksens højde har ingen betydning. Mange matematikprogrammer kan også tegne boksplot. Studenten fra eksempel 24 fik eksamenskarakterer med det udvidede kvartilsæt (0, 2, 4, 5.5, 10). Studentens kammerat tegnede på den baggrund dette boksplot over karaktererne i studenterhuen:

–3

–2

–1

Sammenligning af to datasæt, fx for to elevers karakterer, sker ved at tegne de to boksplot over den samme værdiakse, sådan som det er vist nedenfor. Man kan derefter fx sammenligne niveauforskelle ved at sammenligne medianerne. Man kan sammenligne spredningsforskelle, ved at sammenligne variationsbredderne eller sammenligne kvartilafstandene (Q3 – Q1) altså boksenes bredde. Kender man yderligere middelværdien af de enkelte datasæt, kan man også undersøge symmetriforskelle: højre-/venstreskævhed (middelværdiens placering i forhold til medianen). Ligger middelværdien fx til højre for medianen, kaldes Outliers-forskelle.

3. Statistik

26 Eksempel To klasser registrerede deres karakterer efter 1.g. Resultaterne blev illustreret med boksplot.

–4 –3

–2

–1

• Sammenligner man boksplottene herover, ser man først, at der er en niveauforskel, idet medianen på det øverste er 4, mens den er 7 i det nederste. Niveauet er altså en del højere på det nederste. • Kvartilafstanden er 5,5 – 2 = 3,5 på det øverste, mens det er 10 – 4 = 6 på det nederste, der dermed har en større variation end det øverste. • Dette understøttes også ved at se, at variationsbredden er 10 på det øverste, men 15 på det nederste. • M iddelværdien i det øverste datasæt kan ud fra tallene i eksempel 24 udregnes til 4,24. Da gennemsnittet er større end 4 og derved ligger til højre for medianen på 4, er dette datasæt højreskævt, det kan måske også anes ved at bemærke den store afstand fra medianen, 4, til størsteværdien, 10. Vi kender ikke middelværdien af det nederste datasæt og kan derfor ikke sammenligne de to sæt med hensyn til skævhed.

27 Øvelse En dyrlæge udarbejder sin egen lille kvantitative undersøgelse af granddanoishundes levealder (målt i antal år). Registreringerne i notesbogen er:  5, 6, 4, 8, 7, 6, 9, 8, 9, 7, 7, 5, 9, 11, 8, 12, 6, 8 a. Beregn det udvidede kvartilsæt.   b. Tegn boksplottet.

28 Øvelse Dyrlægen i øvelse 27 fik blod på tanden og besluttede sig for også at undersøge levealderen hos de gadekryds, der havde været tilknyttet lægeklinikken. Her var det udvidede kvartilsæt (1, 9, 12, 14, 17).  a. Tegn boksplottet og sammenlign de to undersøgelser.

29 Øvelse a. Aflæs største- og mindsteværdi. b. Aflæs kvartilsættet. c. Hvad fortæller medianen om datasættet? 6

3. Statistik

3.3 Grupperede observationer

30 Introduktion

I bogen ”Da Vinci mysteriet” af Dan Brown påstår hovedpersonen, at højden af et menneske divideret med afstanden fra navlen til gulvet er lig tallet 1,618 (Det gyldne snit). For at undersøge det, kan man jo måle efter på nogle tilfældigt valgte mennesker. Hvis der er mange mennesker med i undersøgelsen, kan man med fordel samle resultaterne i grupper for at få et bedre overblik.

31 Definition I et grupperet observationssæt samles observationerne i intervaller. Grupperede observationssæt bruges fortrinsvis til store datasæt med mange observationer, der er tal. Ligger en observation netop på grænsen mellem to intervaller, tælles observationen med i det nærmeste lavere interval. Intervalhyppigheden er antallet af observationer i intervallet, intervalfrekvensen er den brøkdel eller procentdel, som intervalhyppigheden udgør af observationssættets størrelse. Den kumulerede intervalhyppighed og den kumulerede intervalfrekvens er summen af intervalhyppigHøjde i cm 166 159 173 173 170 192 158 183 188 175 184 171 174 177 180 185 170 169 159 182 176 163

hederne eller frekvenserne i intervaller op til og med det aktuelle interval.

32 Eksempel En klasse på en ungdomsuddannelse ville undersøge menneskekroppens proportioner og startede med at måle hinandens højder. Resultatet ses i tabellen til venstre. Derefter samlede de observationerne i intervaller (åbne til venstre og lukkede til højre) og beregnede værdien af deskriptorerne intervalhyppighed, kumuleret intervalhyppighed, intervalfrekvens og kumuleret intervalfrekvens for de enkelte intervaller som vist i tabellen herunder: Højdeinterval; cm

Intervalhyppighed

Kumuleret intervalhyppighed

]155, 165]

4 22

= 0,18

0,18

9 22

= 0, 41

0,59

7 22

= 0, 32

0,91

2 22

= 0, 09

1,00

]165, 175] ]175, 180] ]185, 195] Antal i alt

9 7 2 22

Intervalfrekvens

Kumuleret intervalfrekvens

1,00

33 Definition Et grupperet observationssæts typeinterval, er det interval, der har flest observationer. Gennemsnittet eller middelværdien, x , beregnes ved at gange midtpunktet af hvert interval med intervalhyppigheden, lægge alle resultaterne sammen og dividere det hele med observationssættes størrelse. Alternativt kan man beregne middelværdien ved at gange hvert intervalmidtpunkt med den tilsvarende intervalfrekvens og lægge resultaterne sammen.

3. Statistik

34 Eksempel I tabellen i eksempel 32 er typeintervallet ]165, 175]. Den gennemsnitlige højde fra navle til gulv beregnes til x =

160 ⋅ 4 + 170 ⋅ 9 + 180 ⋅ 7 + 190 ⋅ 2 = 173,2 22

35 Øvelse På et gymnasium fordelte den samlede gennemsnitlige månedlige indtægt blandt de 692 elever sig således: Månedsindtægt i kr.

]0;2000]

]2000;4000]

]4000;6000]

]6000;8000]

384

207

Antal (hyppighed)

a. Bestem typeintervallet. b. Beregn middelværdien.

36 Øvelse 22 elever målte afstanden mellem navle og gulv og fik resultaterne (målt i cm): 100, 95, 104, 104, 100, 116, 97, 114, 116, 105, 107, 103, 109,108,114,116,106, 102, 95, 109, 108, 94 a. Grupper observationerne i passende intervaller og opstil en hyppighedstabel. b. Bestem typeintervallet og beregn middelværdien.

Formler for beregning af gennemsnit 37 Sætning Gennemsnittet x af tallene i en grupperet stikprøve med intervalmidtpunkter m1, m2, m3 … og de tilsvarende intervalhyppigheder h1, h2, h3 eller intervalfrekvenser f1, f2, f3 kan beregnes med formlen: x=

m1 ⋅ h1 + m2 ⋅ h2 +  , eller x = m1 ⋅ f1 + m2 ⋅ f22+ + . . ., hvor N er observationssættets N

samlede størrelse, og hvor alle intervalmidtpunkter og deres hyppigheder eller frekvenser regnes med.

38 Sætning Gennemsnittet x af tallene i en ikke-grupperet stikprøve med hyppigheder h(x) og samlet størrelse N kan beregnes med formlen: x=

x1 ⋅ h( x1 ) + x 2 ⋅ h( x 2 ) +  , hvor h(x1) er hyppigheden af observation x1 osv. N

39 Øvelse a. H yppighedstabellen viser hvilepulsen hos 50 unge. Brug formlen i sætning 37 til at beregne gennemsnits-hvilepulsen ud. Hvilepulsinterval ]40, 60] ]60, 80] ]80, 100] Antal i alt

Intervalhyppighed 21 18 11 50

Kumuleret intervalhyppighed 21 39 50

Intervalfrekvens 0,42 0,36 0,22 1,00

Kumuleret intervalfrekvens 0,42 0,78 1,00

3. Statistik

3.4 Diagrammer for grupperede observationer 40 Introduktion I en hyggelig lille dansk by var der et år 100 fødsler. Hvis mødrenes alder samles i intervaller på 5 år, vil man ikke kunne beregne median og kvartilsæt på samme måde som i et ugrupperet datasæt. I stedet for kan vi bruge den såkaldte sumkurve til at aflæse kvartilerne. Sumkurven er en af de grafer, vi ser nærmere på her.

41 Definition I et histogram vises observationernes hyppighed eller frekvens som arealet af søjler, der er tegnet med samme bredde som intervallerne. Hvis intervallerne har samme bredde, viser søjlernes højde observationernes hyppighed/frekvens i det pågældende interval. De kumulerede hyppigheder eller frekvenser kan afbildes i en sumkurve, med punkter, hvor x-koordinaten er intervallernes højre endepunkt, og y-koordinaten er intervallernes kumulerede frekvens. Den højeste værdi på y-aksen er altså 100 %. Punkterne forbindes med rette linjestykker.

42 Eksempel Herunder ses en grupperet opgørelse over 100 mødres alder med tilsvarende histogram og sumkurve. Alder

]15;20]

]20 ;25]

]25 ;30]

]30 ;35]

]35 ;40]

]40 ;45]

Frekvens

12 %

38 %

32 %

11 %

Kumuleret frekvens

17 %

55 %

87 %

98 %

100 %

Kumuleret frekvens [%]

Frekvens 100 90 75 % 80 70 60 50 % 50 40 30 25 % 20 10 0

35 30 25 20 15 10 5 0 10

45 Alder

3. Statistik

25 Q1

30 M

45 Alder

Kvartilsæt for grupperede observationer 43 Definition (flere deskriptorer for grupperede datasæt) Kvartilerne aflæses på x-aksen i en sumkurve ud fra y-værdierne 25% , 50% og 75% • Første kvartil, Q1, er det tal, der skiller de mindste 25 % af observationerne fra resten.   • M edianen, M, eller andet kvartil, Q2, er det tal, der skiller de mindste 50 % af observationerne fra de største 50 %.   • Tredje kvartil, Q3, er det tal, der skiller de mindste 75% af observationerne fra resten. • Kvartilsættet er talsættet (Q1; M; Q3) • Kvartilafstanden er Q3 – Q1 (kaldes også kvartilbredden).

44 Eksempel I eksempel 42 ovenfor aflæses kvartilsættet på x–aksen i sumkurven ud fra y-værdierne 25 % , 50 % og 75 %. Vi får: Q1 = 26, M = 29,3 og Q3 = 33.

45 Øvelse I et boligkvarter i København fordelte de barslende kvinder sig således mht. alder: Alder (år)

]15;20]

]20;25]

]25 ;30]

]30 ;35]

]35 ;40]

]40 ;45]

Frekvens

3 %

11 %

35 %

28 %

19 %

4 %

Kumuleret frekvens

3 %

14 %

49 %

77 %

96 %

100 %

a. Tegn et histogram over frekvenserne og en sumkurve over de kumulerede frekvenser.

46 Øvelse a. Aflæs kvartilsættet på sumkurven fra øvelse 45. b. Sammenlign kvartilerne med kvartilerne i eksempel 42. Hvad siger det om forskellen på storbyen og den lille by?

47 Øvelse En pakkecentral registerede vægten i kg af 50 pakker:

7 19 24 38 34 11 5 12 14 33 4 28 4 18 13 14 3

6 16

31 2 32 17 7 21 19 23 20 5 26 9 22 36 29 10 4 13 14 22 21 15 8 21 17 12 4 10 7 16 a. Grupper observationerne i fire grupper og opstil en hyppighedstabel. b. Tegn sumkurven. c. Aflæs kvartilsættet på sumkurven. d. Bestem den vægt, der afgrænser de letteste 75% fra de tungeste 25%.

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Opgave 301

d. Bestem største og mindste værdi.

Hans opdrætter høns. Han har en hane, ni høns,

e. Bestem variationsbredden.

der ruger på æg, og en enkelt høne, som er pen-

f. Bestem typetallet.

sioneret. Antallet af æg i rederne en dag i maj er

g. Bestem gennemsnittet.

0, 3, 4, 5, 4, 4, 4, 3, 4, 4

h. Bestem medianen.

Opgave 303 En cyklist synes altid, der er rødt, når hun skal over et bestemt kryds, og beslutter sig for at finde ud af, om det er en rigtig formodning. Ud af 42 gange hun ankom til krydset, var der rødt 21 gange, gult 4 gange og grønt 17 gange. a. Hvad er observationerne? a. Hvilke tal skal der stå i den nederste række i

b. Opstil resultaterne i et skema, hvor hyppighe-

skemaet?

derne fremgår.

c. Hvorfor kan gennemsnittet ikke beregnes? Antal æg

Hyppighed

Opgave 304 I opgaven med den irriterede cyklist kunne gen-

b. Hvad er antallet af observationer (observati-

onssættets størrelse)?

c. R edegør for, at det er et ikke-grupperet observationssæt.

nemsnittet ikke beregnes. Hvis nu vi sætter 0 = rød, 1 = gul og 2 = grøn, så går det bedre. a. Hvad er observationerne nu? b. Udregn gennemsnittet.

d. Beregn gennemsnittet af æg i rederne.

c. Hvilken farve er gennemsnitslyset?

e. Find største og mindste værdi, samt typetal.

d. Bestem typetallet.

Opgave 302

Opgave 305

Foreningen af Gymnasiale Knallertkørere spurgte klasserne på et gymnasium, hvor mange der havde kørt på deres egen knallert til skole i løbet af året. Svarene fra de forskellige klasser var: 1, 6, 4, 4, 8, 7, 3, 2, 4, 6, 2, 3, 7, 8, 2, 0, 5, 2, 4, 1, 3, 0, 6, 3, 3, 1, 0, 3, 1, 2 Observation Hyppighed

En tidligere erhvervsøkonomielev inspireres af sin a. Udfyld skemaet.

lærer og åbner en genbrugsbutik med modetøj.

b. Hvor mange klasser er der på gymnasiet?

Eleven kan stadig høre lærerens belæring om at en

c. R edegør for, at det er et ikke-grupperet obser-

”lærende organisation” udfører systematiske kunde-

vationssæt.

3. Statistik

undersøgelser. Eleven spørger derfor en tilfældig

dag sine kunder om, hvor mange kilometer de har

a. L av en tabel for de forskellige tider med hyppigheder, frekvenser og kumulerede frekvenser.

kørt for at besøge butikken. Svarene i km var:

b. Tegn et stolpediagram over stikprøvens

11, 3, 5, 9, 8, 21, 14, 6, 1, 4, 2, 4, 2, 27, 7, 4, 4

frekvenser.

a. Bestem kvartilsættet. b. Forklar, hvad kvartilsættet fortæller om hendes

c. F ind typetal og gennemsnit.

d. H vor stor forskel er der på typetal og gennem-

kunders afstand til butikken.

c. Budskabet i tallene er stadig lidt uklart for den

snittet fundet i spørgsmål c.?

friske iværksætter. Du bedes tegne et plot, så det ses tydeligt, hvordan kundernes afstande

Opgave 310

fordeler sig.

a. Tæl antallet af bogstaver i hvert hele ord i denne opgave.

Opgave 306

b. Lav så en tabel over antal bogstaver med

I et samfund besad de rigeste 10 % af befolknin-

frekvenser og kumulerede frekvenser.

gen 90% af den samlede kapital. Vil medianen el-

c. Tegn et stolpediagram.

ler gennemsnittet være det bedste tal at beskrive

d. Tegn et trappediagram.

indkomsterne med?

e. Find kvartilerne og kvartilafstanden.

Opgave 307

Opgave 311

Halvdelen af de handlende kvinder på en mode-

Tabellen viser alderen på 13 unge i alderen 18–21

messe var 25 år eller derunder. Hvad er medianen?

år, der i et lille landdistrikt afsluttede en ungdomsuddannelse i 2015

Opgave 308 I statistikafdelingen på et lille analysebureau lavede man et forsøg med at opsætte en automat med chokoladeknapper. Direktøren, som holdt meget af den slags undersøgelser, foretog en rundspørge

Alder i år 18 19 20 21

Antal 1 3 5 4

over forbruget på en tilfældig dag. 2 medarbejdere

a. Tegn et stolpediagram.

havde ikke fået chokoladeknapper den dag, 3 hav-

b. Bestem kvartilerne.

de smagt mellem 1 og 5 knapper, og 3 havde spist

c. Beregn gennemsnitsalderen på de 13 unge.

mellem 25 og 30. a. Direktøren vil gerne have et enkelt tal, der kan

Opgave 312

måle interessen for chokoladeknapper. Er me-

11 unge har målt deres armlængde fra skulder til

dianen eller gennemsnittet mon det bedste tal?

fingerspidser i dm. Resultaterne blev: 7, 7, 8, 8, 8, 9, 6, 8, 7, 7, 8, 8, 8, 7,

Opgave 309

8, 8, 7, 7, 7, 7, 8, 7.

30 ansatte samler Legofigurer på tid. Tabellen

a. Tegn et stolpediagram.

viser deres tider for at samle en bestemt Legofigur

b. Tegn et trappediagram.

(i minutter).

c. Bestem kvartilsættet.

11 17 16

15 13 19

15 15 10

14 12 15

18 14 15

10 13 12

16 11 17

12 18 13

14 17 15

12 13 16

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Opgave 313

Opgave 316

En skeptisk tilskuer har fået lov til at undersøge en

To naboveje i et finere villakvarter i det østlige

tryllekunstners terning. Han slår 20 tilfældige kast

Jylland battlede om, hvem der havde den nyeste

med terningen og får følgende resultater (i ordnet

bilpark. Her er bilernes aldre på de to veje angivet:

rækkefølge). A

1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6 a. Tegn et stolpediagram. b. Tegn et trappediagram.

c. Bestem medianen. d. Tror du, terningen er fair, eller er den måske

præpareret til at vise flere 6’ere? Begrund svaret.

a. Skriv kvartilsættet op for de to boksplot. b. Sammenlign de to boksplot.

Opgave 314

c. Skriv en kort overskrift på undersøgelsen set

Her er et boksplot.

fra vej A’s side, hvor du inddrager ordene

a. Marker kvartilsættet med stiplede linjer, og

median, største og mindste værdi.

opskriv det på formen (Q1 ,M,Q3).

d. Gør det samme set fra vej B’s side, hvor du ind-

drager ordene variationsbredde og øvre kvartil.

Opgave 317 I to klasser – en med sproglige studieretningsfag 30 35 40 45 50 55 60 65

og en med naturvidenskabelige studieretningsfag – blev skostørrelsen undersøgt. Resultaterne frem-

Opgave 315

går af de to boksplot.

Her er en række svar på spørgsmålet ”Hvor mange

a. Opskriv det udvidede kvartilsæt for begge klasser.

søskende har du?” 1, 0, 2, 1, 4, 1, 0, 2, 1, 4, 0, 7, 0, 1, 2, 1

b. S ammenlign resultaterne, der er vist i de to boksplot.

a. Bestem kvartilsættet. b. Tegn boksplottet. Resultaterne af en anden søskendeundersøgelse ses i dette boksplot.

32 34 36 38 40 42 44 46 48

Opgave 318 0 1 2 3 4

a. Tegn et boksplot over de afsluttende karakterer

til eksamen, som en elev angiver i dette

c. Bestem kvartilsættet for den anden undersø-

udvidede kvartilsæt (0, 2, 4, 7, 12).

gelse.

b. Tegn et boksplot mere. Denne gang over en

d. Sammenlign resultaterne af de to undersøgelser.

3. Statistik

elev, der fik ”bedre” karakterer.

Opgave 319

En elev kom for sent

I et land måltes følgende antal badedage i juni

på trods af store,

måned:

sunde fødder.

År

Badedage

1999

2000

2001

2002

2003

2004

h. Ændres typetallet?

2005

i. Hvor mange af de fem størrelser der indgår i

2006

2007

2008

Opgave 321

2009

Her er døgnlængden for otte af solsystemets pla-

2010

neter målt i jorddøgn (tallene er afrundede).

2011

Merkur: 176

Jupiter: 0,4

Venus: 117

Saturn: 0,4

Jorden: 1

Uranus: 0,7

Mars: 1

Neptun: 0,7

a. Bestem det gennemsnitlige antal badedage i

juni måned.

b. Bestem kvartilsættet.

g. Hvor meget ændres gennemsnittet, hvis vi

indregner én elev mere, og denne elev bruger

størrelse 46?

boksplottet ændres (begrund svaret)?

j. Hvad ændres i stolpediagrammet?

c. Vis resultaterne i et boksplot.

a. Hvad er et jorddøgn i timer?

d. Er det korrekt, at der i over halvdelen af årene

b. Beregn gennemsnittet af døgnlængden i timer.

c. Lav et boksplot.

var mere end 15 badedage?

Opgave 320

Opgave 322

På et biologihold registreredes elevernes sko-

a. Forklar, hvad et boksplot viser, som et stolpediagram ikke viser.

størrelser i forbindelse med et forsøg. Observationerne var:

b. Forklar, hvad man hurtigt ser på stolpediagram-

43, 37, 38, 37, 36, 39, 39, 43, 43, 38, 39, 44, 43, 38

a. Udregn gennemsnittet.

c. Kan man tegne et boksplot, hvis man kun har et

met, som man ikke lige ser på boksplottet. stolpediagram?

b. Udregn kvartilsættet. c. Angiv typetallet.

d. Kan man tegne et stolpediagram, hvis man kun

d. Tegn en hyppighedstabel.

har boksplottet?

e. Tegn et stolpediagram. f. Tegn et boksplot.

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Observations- Intervalinterval hyppighed

Opgave 323

Intervalfrekvens

Kumuleret intervalfrekvens

]8 ;11] ]11;14] ]14;17] ]17;20] ]20;23] Sum

100 100

b. Bestem typeintervallet. Sidsel opdrætter røde slanger. Hun har 110 ny-

Opgave 325

udklækkede unger, hvor længderne i cm fordeler

I NYT fra Danmarks Statistik nr. 320 fra 2011 kan

sig på følgende intervaller:

man se en opgørelse over danskernes foretrukne

Længde i cm ]10 ; 13] ]13 ; 16] ]16 ; 19] ]19 ; 22] ]22 ; 25] Hyppighed

feriesteder i udlandet (med mindst 4 overnatninger) i 2010.

Vi har indtastet i Excel, markeret cellerne og fået a. E r det et grupperet eller et ikke-grupperet

og indsat et diagram.

observationssæt? b. Hvad er observationssættets størrelse? c. Bestem typeintervallet. d. Beregn gennemsnittet.

Opgave 324 Gennem 42 år havde en metrolog registreret minimumstemperaturerne i juni måned. Her er resultaterne i grader celsius: 12,2

13,5

15,3

16,3

12,1

10,2

9,4

15,4

11,4

10,4

9,5

17,3

9,4

12,6

15,3

8,2

11,3

16,3

12,9

14,3

17,9

15,2

20,3

17,2

14,4

18,4

22,6

15,4

18,4

12,8

22,5

16,4

16,9

19,3

18,5

19,6

13,6

21,6

20,1

17,3

14,7

19,4

a. G rupper data fra ovenstående skema som fore- slået i efterfølgende tabel og udfyld resten af den.

3. Statistik

a. Er der tale om et søjlediagram eller om et histogram? b. Begrund dit svar i spørgsmål a.

Opgave 326

Histogrammet viser aldersfordelingen i en

Opgave 328

forening.

En dyreværnsforening, der kæmper for flere frit-

a. Udfyld tabellen.

gående svin, undersøgte aldersfordelingen blandt

Alder i år

15-30 30-45 45-60 60-75 75-90

deres medlemmer:

Intervalfrekvens Kumuleret intervalfrekvens

b. Tegn sumkurven. c. Hvor mange procent af foreningens medlem-

mer er under 40 år?

d. Hvor mange procent af foreningens medlem-

mer er over 67 år? Alder i år

Opgave 327

30-45

45-60

60-75

75-90

370

1.549

2.031

963

462

Antal

Et band har nu 11 egne numre, der varer mellem 3 og 7 min. Deres gennemsnitlige nummer varer

15-30

a. B estem intervalfrekvenser og kumulerede

3:47 min. (3 min. og 47 sek.). De undersøger, hvor

intervalfrekvenser for observationerne.

lang tid 93 tilfældigt udvalgte sange varer på You-

b. Tegn et histogram for denne fordeling.

Tube i deres favoritgenre: ”stonerrock”.

c. Tegn sumkurven for fordelingen.

Resultaterne ses i dette histogram:

d. Hvor mange procent af medlemmerne er over

50 år?

e. Bestem kvartilsættet for fordelingen. f. Forklar, hvad nedre kvartil fortæller om

fordelingen af medlemmernes alder.

Opgave 329 2

Numrenes varighed

a. Udfyld på baggrund af histogrammet en tabel,

hvor den kumulerede intervalfrekvens fremgår.

b. Tegn sumkurven. c. Brug sumkurven til at aflæse, hvor mange pro-

a. Tegn sumkurven for observationssættet her. b. Hvad fortæller kurvens udseende om observationerne? Observation

]0 ; 10]

Hyppighed

]10 ;20] ]20 ; 30] ]30 ;40] ]40 ;50] 5

cent af "stonerrock"-sangene, der varer mere end 4 min. d. H vor mange procent af sangene varer mindre end 3 min.?

3. Statistik

Opgaver – 3. Statistik Opgaver - Kapitalfremskrivning Opgave 330

Opgave 332

Her ses en sumkurve over et grupperet observa-

En ven til mekanikeren fra opgave 331 foreslår

tionssæt over nogle skruers længde.

ham at se på de klagende kunders alder i stedet for bilernes alder:

100

Kundens alder i år

90 80 70

]20 ;30] ]30 ;40] ]40 ;50] ]50 ;60] ]60 ;70] ]70 ;80]

Antal klager

60 50

a. Opstil en hyppighedstabel med intervalfre-

kvens og kumuleret frekvens for observations-

sættet i tabellen.

10 0

b. Tegn sumkurven. 0 5

c. Aflæs kvartilsættet for observationerne, idet

a. Den mindste fjerdedel af skruerne skal kasse-

du viser, hvordan du aflæser det, ved at sætte

stiplede pile på sumkurven.

res. Hvilke længder er det?

d. Skriv en overskrift til mekanikerens næste

b. Halvdelen af skruerne er under længden x.

nyhedsbrev, hvor du inddrager ordet ”median”.

Bestem x. c. Hvilken skruelængde adskiller de korteste 75 %

Opgave 333

af skruerne fra de længste 25 % ?

Læs opgaverne 331 og 332, hvis du ikke allerede

Opgave 331

har regnet dem.

En mekaniker registrerer antal klager fra sine

Er der belæg for at påstå følgende:

kunder. Han mistænker, at det er dem med ældre

a. At mekanikeren har mindst én kunde over 70 år?

biler, der klager, og at han dermed ikke har hele

b. At mekanikeren ikke har kunder under 20 år?

skylden i hvert fald.

c. At ingen af mekanikerens kunder kører i en bil,

a. Opstil en hyppighedstabel med intervalfre-

kvens og kumuleret frekvens for observations-

d. At mekanikerens unge kunder kører i gamle

sættet i tabellen (bilens alder er målt i år):

biler?

der er over 23 år gammel?

Bilens alder ]2;5] ]5;8] ]8; 11] ]11;14] ]14;17] ]17;20] ]20;23]

Opgave 334

Antal klager

Et nystartet ungdomshus afholder forskellige

koncerter og undersøger aldersfordelingen af b. Tegn sumkurven.

koncertgæsterne:

c . Aflæs kvartilsættet for observationerne, idet

du viser, hvordan du aflæser det, ved at sætte

stiplede pile på sumkurven.

Alder i år

10-15

15-20

20-25

25-30

Procent

31 %

42 %

18 %

d. I sit nyhedsbrev skriver mekanikeren:

a. Bestem de kumulerede frekvenser.

”Kundetilfredsheden afhænger af bilens alder!

b. Tegn en sumkurve.

En undersøgelse viser, at 75 % af klagerne kom-

c. Bestem kvartilsættet.

mer fra dem af jer, der har biler, der er mere end

d. Gør rede for, hvad medianen fortæller om

10 år gamle.” Er det korrekt?

3. Statistik

ungdomshusets koncertgæster.

Opgave 335

Opgave 337

En dag med strålende solskin i juli måned kom der

a. Opstil en hyppighedstabel med intervalfrekvens

319 tilskadekomne ind på en skadestue i Danmark.

og kumuleret intervalfrekvens for observations-

Skemaet herunder viser de tilskadekomnes alder.

sættet i tabellen:

Alder i år

]0;20]

]20;40]

]40;60]

]60;80]

Observation

]0 ; 3]

]3 ; 6]

Antal

163

Hyppighed

]6 ; 9] ]9 ; 12] ]12 ;15] 13

a. Tegn en sumkurve og aflæs kvartilsættet.

b. Tegn sumkurven.

b. Tegn et histogram.

c. Aflæs kvartilsættet for observationerne, idet

du viser, hvordan du aflæser det, ved at sætte

En regnfuld dag i januar måned kom der på

stiplede pile på sumkurven.

samme skadestue 240 tilskadekomne.

d. Aflæs på sumkurven, hvor mange procent af

Alder i år

]0;20]

Antal

observationerne, der er større end 10.

]20;40] ]40;60] ]60;80] 47

c. Tegn en sumkurve og aflæs kvartilsættet. d. Tegn et histogram.

Opgave 338 a. Tegn denne sumkurve af på kvadreret papir. b. Tegn en hyppighedstabel og udfyld rækkerne:

observationsintervaller og kumuleret frekvens.

e. Sammenlign de to observationssæt. 100

f. Hvorfor er de forskellige? g. Hvorfor har skadestuer interesse i denne slags

statistik?

60 40

Opgave 336

En hyppighedstabel har typisk fire kolonner: 1. Observationsinterval

2. Intervalhyppighed

3. Intervalfrekvens

4. Kumuleret frekvens

En af kolonnerne kan ikke udfyldes på baggrund af sumkurven alene, men de andre tre kan.

0 0

100

c. Kan kolonnen med frekvens udfyldes? d. Kan kolonnen med hyppighed udfyldes?

a. Tegn en hyppighedstabel og udfyld, hvad du

Opgave 339

a. Tegn kurven herunder af på kvadreret papir, og

kan på baggrund af sumkurven.

120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

skriv tal på akserne.

b. Tegn en hyppighedstabel og udfyld, hvad du

200

400

600

800

kan, på baggrund af sumkurven.

1.000

3. Statistik

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (3)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Regnearternes hierarki: Parenteser (a + b) Potenser og rødder an

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

1. Udregn:

2. Udregn:

3. Udregn:

4. Udregn:

a. 1 + 22 · 3 – 32

a. 32 + 3 · 3 – 1

a. 3 – 4/2 – 1

a. (22 + 3) · 5 – 5

b. 22 · 32 + 2 – 3

b. 3 – 23 – 3

b. 3 – 32 4

b. 22 + 3 · (5 – 5)

c. 2 – 4 +4

c. 2 · 3 – 3

c. 22 + 3 · 5 – 5

c. 2 – (2 + 3 ) + 9

Ligninger: Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

6. L øs ligningerne

7. Løs ligningerne

3x + 1 = 10

2x – 2 = 10

1–x=4

x – 2 = –x

b. 0,5x + 4,5 = 5,5

3(x + 1) = 0

–3 + 3x = 0

2x + 3 = –x 2–x=x+4

Reduktion: Husk at du ikke må sammenblande de variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 3a – b + 2a2 kan ikke reduceres.

8. Reducer udtrykket mest muligt

9. Reducer udtrykket mest muligt

a. 2a + b + b + 2

a. 5x – y + x – 3y – 4x

b. ab + b + 2ab

b. x(2 – x) + x2

c. 2a + b – a – b + 2b

c. 2 – 3x + 2 + 5(1 – x)

d. 4 – 2a + b +3

d. 3 (2 – x) + 2x2 + 4 – x

Rødder og potenser: Potensen an betyder at a ganges med sig selv n gange: an = a · a · a · ...· a (der er n faktorer med a). Der gælder desuden, at a0 = 1 (alle tal i 0’te er lig med 1, og at a1 = a (et tal opløftet i 1. giver sig selv).

10. Udregn tallet

12. U dregn tallet

13. Udregn tallet

a. 52 + 50

a. 72

a. 60

b. 34

b. 101

b. 18

b. (2 + 1)2

c. 4

11. U dregn tallet

a. 53

c. 0

Trainingssider

2 c. 5 1 5

c. (1 + 3)1

Parenteser: Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(a + 4) = 3a + 3 · 4 –(a + 4) = –a – 4 4 – (a + 4) = 4 – a – 4 = a

14. Ophæv parenteserne

15. Ophæv parenteserne

16. Ophæv parenteserne

og reducer

a. 2x – (3 – x)

a. y – (y + x) + 2x

a. 1 – (b + 1) + b

b. a – 3(a – 2)

b. a – (6 + a) + 3

b. 3(1 – a) –6 + 2a

c. x – (x + 2) + 1

c. x + 4(3 – x) + 3x

c. 2(3 – c) –8 + 3c

Kvadratsætninger: (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab (a – b)2 = a2 + b2 – 2ab (a + b)(a – b) = a2 – b2 Eksempel: (2 – b)2 = 22 + b2– 2 · 2b = b2 – 4b + 4

17. U dregn

18. Udregn 2

19. B eskriv fejlen og skriv udregningen korrekt.

a. (x + 5)

a. (x – 7)

b. (3 – x) (3 + x)

b. 2(x – 2)

a. (x – 2) (x + 2) = x2 + 4x + 4

c. 2(x – 1)2

c. (y + 3) (y – 3)

b. (2 – x)2 = 22 – x2 – 2 · 2x = 4 – x2 – 4x

Brøker: Forlænge:

a k ⋅a = b k ⋅b

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

Forkorte: a = a : k b

Eksempel:

b:k a b

Tal gange brøk: k ⋅ =

k ⋅a b

20. Omskriv til decimaltal a. 4 b. c. d. e.

3⋅2

5 66 200 8 50 3 100 44 50

4 4:4 1 = = 8 8:4 2 2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

3⋅2 5

21. Omskriv til decimaltal a. 4

1 62 b. 62 c. 3 5 12 d. 10

e. 25

100

22. F orlæng brøkerne med 4 a. 4

10 1 b. 2 c. 3 4 12 d. 10

e. 2 5

24. Forkort brøkerne med 4 a.

25. U dregn a.

23. F orkort brøkerne med 2 4

a. 10

b. 20 8

c. 12 12

d. 10 e.

20 50

26. Forkort brøkerne med 2 a.

Trainingssider

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.1 Kombinatorik – tællemetoder

1 Introduktion Blandt en gruppe på fem unge vælges en tilfældig rækkefølge af en person der har bind for øjnene. Hvis vi vil bestemme sandsynligheden for hændelsen ”rækkefølgen bliver som vist på billedet”, må vi finde ud af hvor mange muligheder der er i alt for rækkefølger blandt de fem mennesker. Sådanne metoder er en del af ”kombinatorikken”, og det skal vi se på her. Vi starter længst til venstre; der må være 5 muligheder for at vælge en person til at stå her, til næste plads er der nu kun 4 muligheder (da en person allerede er udtaget), osv. Skematisk har vi: 5 muligheder

4 muligheder

3 muligheder

2 muligheder

1 mulighed

Hvor mange muligheder giver dette nu i alt?

1. person På det påbegyndte tælletræ ses det, at for hver af de 5

mulige pladser som 1. person, vil der være 4 mulige pladser

2. person

som 2. person. For hver af dem er der 3 måder at vælge

3. person

næste person på og for hver af dem er der 2 måder at vælge næste person på og for

4. person 5. person

hver af dem er der 1 måde at vælge den sidste person på. Der vil i alt være 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 måder at stille fem mennesker op på række på.

2 Eksempel

Kufferthængelåsen har 3 hjul med 10 tal i hvert. Hvor mange muligheder er der for at indstille en kode? Vi kan angribe opgaven som før. Fra venstre mod højre er der 3 pladser hver med 10 muligheder.

10 muligheder

For hver af mulighederne på det første hjul er der 10 muligheder for det næste og for hver af dem er der 10 muligheder for det sidste. Dermed er der 10 · 10 · 10 = 103 = 1000 muligheder for at indstille en kode. Dermed har vi så i øvrigt:

P (en tyv gætter koden i første forsøg) = 1

1000

= 0,1 %.

3 Multiplikationsprincippet ”både og” Hvis man har en hændelse, der kan ske på m måder og en anden hændelse, der kan ske på n måder, så kan de tilsammen ske på m · n måder. Princippet gælder tilsvarende ved flere end to antal forskellige hændelser. Man multiplicerer blot antal måder de enkelte hændelser kan ske på.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4 Eksempel På hvor mange måder kan kuffert-låsen indstilles, hvis et tal kun må optræde i koden én gang? Fra venstre mod højre er der 3 pladser, men vi kan kun vælge blandt 10 tal på første plads. Herefter er der kun 9 muligheder og til sidst 8 muligheder. 10 muligheder

9 muligheder

8 muligheder

I alt er der altså 10 · 9 · 8 = 720 muligheder

5 Eksempel En nummerplade i danmark består normalt af 2 bogstaver (ikke æ,ø el. å) og 5 tal. Hvor mange forskellige nummerplader kan der laves på den måde? Fra venstre mod højre på pladen har vi: 25 mulige 25 mulige 10 mulige 10 mulige 10 mulige 10 mulige 10 mulige

Dermed er det i alt muligt at lave 25 · 25 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 252 · 105 = 62 500 000 forskellige standardnummerplader.

6 Additionsprincippet ”enten eller” Hvis man enten har et valg med m muligheder eller et andet valg med n muligheder, så har man i alt m + n muligheder. Princippet gælder tilsvarende ved flere end to antal forskellige hændelser. Man adderer blot antal muligheder de enkelte valg kan ske på.

7 Eksempel Du er ikke så sulten, så du beslutter, at du enten vil have forret eller dessert. Du kan enten vælge en blandt 4 forretter eller en blandt 3 desserter på restaurenten. I alt har du altså 4 + 3 muligheder.

8 Øvelse På et menukort er der 2 forretter, 4 hovedretter og 4 desserter. a. Beregn, hvor mange valgmuligheder der er, hvis kun en enkelt ret må vælges. b. Beregn, hvor mange valgmuligheder der er, hvis der skal vælges både en forret , og en hovedret og en dessert.

9 Øvelse En kodelås har fire hjul, der hver har 10 tal. Bestem antal muligheder for at indstille en kode: a. Når alle 10 tal må bruges på alle pladserne. b. Når der ikke må stå 0 på første plads. c. Når de fire tal skal være forskellige.

10 Øvelse a. Bestem det antal måder bogstaverne A B C D kan stilles i rækkefølge på. b. Opskriv alle måderne.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.2 Permutationer

12 Introduktion

I hestevæddeløb kan man spille på, hvem der bliver nr. 1, 2 og 3 blandt de deltagende heste. Der vil være en rimelig chance for at gætte rigtigt, hvis der kun deltager 3 heste i løbet. Hvis vi starter med førstepladsen har vi: 3 muligheder for guld

2 muligheder for sølv

1 mulighed for bronze

Alt i alt er der 3 · 2 · 1 = 6 mulige rækkefølger.

13 Definition Et antal elementer opstillet i en bestemt rækkefølge kaldes en permutation. Der var altså 3 · 2 · 1 = 6 mulige permutationer i hestevæddeløbet. På samme måde som 103 er en smart måde at skrive og udregne 10 · 10 · 10, er der en smart måde at skrive og regne for eksempel 3 · 2 · 1.

14 Definition Produktet af de første n tal i talrækken kaldes n-fakultet: n! = n · (n – 1) · (n – 2) ...1 og vi fastsætter yderlige, at 0! = 1

15 Eksempel 5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 8! = 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 40 320

16 Sætning Antallet af forskellige rækkefølger (permutationer), som kan dannes af n elementer er n!

17 Eksempel I et løb med 3 deltagere er der 3! = 6 permutationer, altså 6 muligheder for at danne nr. 1, 2 og 3. Otte personer kan stilles i rækkefølge på 8! = 40 320 måder. Vi skal nu se på det tilfælde, hvor det kun er nogle af pladserne, der skal stilles i rækkefølge. Vi vender tilbage til hestevæddeløbet, hvor vi nu antager, at der er 7 deltagende heste. Hvor mange muligheder er der nu for at besætte de tre første pladser? Førstepladsen kan nu vælges blandt syv heste, herefter er der kun seks heste at vælge imellem til andenpladsen og herefter fem heste til tredjepladsen. 7 muligheder

6 muligheder

5 muligheder

Ifølge multiplikationsprincippet er det samlede antal muligheder 7 · 6 · 5 = 210.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

18 Eksempel I CAS bruges kommandoen nPr til at udregner antallet af permutationer, der kan dannes af r elementer, som vælges ud af n elementer. Med tallene fra vores eksempel hvor, r = 3 og n = 7, indtastes nPr(7,3). Det tal kommandoen nPr udregner, kan også beregnes med følgende formel.

19 Sætning Antallet af forskellige rækkefølger (permutationer), som kan dannes når r elementer vælges ud af en større samling på af n elementer er givet ved: P(n, r ) =

n! ( n − r )!

20 Eksempel Vi beregner igen antallet af måder som de tre første heste kan arrangeres på blandt 7 deltagende heste. Med formlen fra ovenstående sætning får vi: P(7,3) =

7! 7! = . (7 − 3)! 4 !

21 Eksempel Ud af en stabel på 12 bøger skal 5 stilles op på en hylde i rækkefølge. Vi beregner antal måder hvorpå det kan gøres ved hjælp af formlen fra sætning 19 og indsætter n = 12 og r = 5: P(12,5) =

12! 12! = = 95040 . (12 − 5)! 7!

22 Øvelse a. Bestem det antal måder, 9 personer kan stille sig i rækkefølge på. b. Bestem antal permutationer, der kan dannes af 4 forskellige figurer på en hylde.

23 Øvelse En tryllekunstner har en æske med fire pladser i rækkefølge til fire kugler med farverne gul, rød, grøn og blå. Publikum lægger kuglerne tilfældigt i æsken og lukker låget. Tryllekunstneren fortæller nu uden at åbne æsken, hvordan kuglerne ligger i den. a. På hvor mange forskellige måder kan kuglerne lægges i rækkefølge i æsken?

24 Øvelse På en boghylde er der plads til 6 bøger. a. B eregn antallet forskellige rækkefølger man kan stille de 6 bøger op i, hvis man har 10 bøger i alt.

25 Øvelse I en klasse med 24 elever skal der vælges 3 elever. Den første der vælges, bliver bestyrer af klassekassen, den anden der vælges, skal være elevrådsrepræsentant og den sidste skal holde et indlæg på næste morgensamling på vegne af hele klassen. a. På hvor mange måder kan de tre vælges?

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.3 Kombination og binomialkoefficient 26 Introduktion Du har kun tid til 5 ture ud af dine 15 yndlingsture i Tivoli. Du er ligeglad med rækkefølgen af turene. På hvor mange måder kan du vælge de 5 ture? Sådanne spørgsmål skal vi studere nærmere på disse sider. Indtil videre har vi talt antal måder, hvorpå man kan sætte r elementer valgt blandt n elementer i rækkefølge. Problemstillingen ovenfor er anderledes. Her skal vi bestemme det antal måder, der kan udvælges r elementer blandt n elementer.

27 Definition Et antal elementer udvalgt (uden rækkefølge) af en samling elementer kaldes en kombination.

28 Sætning Antallet af forskellige udvalg (kombinationer), som kan dannes, når r elementer vælges ud af en større samling på af n elementer er givet ved: K (n, r ) =

n! ( n − r )! r !

29 Eksempel En klasse kommer hjem fra en studietur med 48 virkeligt vellykkede fotos. Heraf skal 4 fotos udvælges til brug på skolens hjemmeside. Det kan gøres på i alt: K (48, 4) =

48 ! 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 = = 194 580 måder. 44 ! 4 ! 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

30 Eksempel

5 ture ud af 15 kan vælges på K(15,5) måder. K (15,5) = 15! = 15 ⋅ 14 ⋅ 13 ⋅ 12 ⋅ 11 = 3003 10 ! 5!

5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1

31 Eksempel

På en burgerrestaurent vælger kunden selv 4 typer grøntsager blandt 9 forskellige.

Hvor mange forskellige burgere kan man lave?

Uden hensyn til rækkefølgen er svaret K(9,4) = 126.

Hvis vi tager hensyn til rækkefølgen som grøntsagerne puttes i burgeren, må der være flere. Svaret er P(9,4) = 3024.

I CAS udregnes K(9,4) og P(9,4) som vist.

32 Eksempel En mand har 5 slips i farverne Sort, Blå, Rød, Gul, Grøn, og pakker to af dem ned i en kuffert en sen aften i dårlig belysning. Hvor mange mulige måder kan slipsene være pakket på? K(5,2) = 10. Altså er der 10 mulige farvekombinationer af slipsene.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

33 Definition

 n Antallet af kombinationer: K(n,r) skrives også  r  og kaldes også en binomialkoefficient.

34 Eksempel

 4 På hvor mange måder kan man vælge 2 elever blandt 4? Svar:   = K (4,2) = 6 altså på  2 6 måder.

1 1

35 Pascals trekant

I Pascals trekant er tallene inde i trekanten lig med summen af de to tal, der står ovenover.

1 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1

Når tallene sættes op på denne måde, kan hvert tal regnes ud som en binomialkoefficient. Vi lader rækkernes nummerering starte med 0 og finder eksempelvis 6-tallet i 4. række. Det er tal nummer 2 fra venstre, hvis vi igen starter med at tælle første tal som 0. Og 6 er jo netop K(4,2). Tilsvarende ser vi, at K(5,2) = 10, idet 5. rækkes 2. tal er 10, og vi kan se, at det også må gælde, at K(5,3) = 10.

36 Øvelse a. På hvor mange måder kan man udvælge 8 fotos fra en samling på 48?

37 Øvelse a. Tegn Pascals trekant idet du tilføjer endnu en række.

 6 b. Brug din trekant til at beregne binomialkoefficienten    3

38 Øvelse En mand har 7 T-shirts, men kar kun plads til 2 i håndbagagen. a. På hvor mange måder kan man udvælge de 2 T-shirts blandt de 7 mulige? (Uden at tænke på rækkefølgen).

39 øvelse Du er på tapasrestaurent og skal vælge 5 retter ud af menukortets 16 retter. På hvor mange måder kan du gøre dette, når: a. du er ligeglad med rækkefølgen af retterne? b. rækkefølgen betyder noget?

40 øvelse Til en eksamen skal man besvare to spørgsmål, som trækkes tilfældigt blandt 10 spørgsmål ialt. a. På hvor mange måder kan man trække 2 spørgsmål blandt 10?

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.4 Sandsynlighedsregning

41 Introduktion

Sandsynlighedsregning er den matematiske måde at håndtere tilfældige eksperimenter på. Et tilfældigt eksperiment kunne være kast med en terning. Hvis terningen er ærlig, er der lige stor chance for, at den lander på hver af de 6 sider. Sandsynligheden for, at den lander på hændelsen ”4 øjne” er derfor én ud af seks, altså

1 1 ≈ 0,167. Symbolsk skriver vi dette således: P(4) = .≈ 0,167 6 6

Hvis vi kastede uendeligt mange gange med terningen, ville den lande på ”4 øjne” en sjettedel af gangene. Da det er tilfældigt, hvad terningen lander på, kan vi dog ikke regne med, at få hændelsen ”4 øjne” præcist 10 gange ud af 60 kast.

42 Definition Sandsynligheden for en given hændelse, skal forstås som frekvensen for hændelsen ved en uendelig række gentagelser af forsøget. I nogle tilfælde kan man udtænke hvad sandsynligheden for en given hændelse er uden at foretage et eksperiment. Det gjorde vi i eksemplet med terningen. Dette kaldes teoretisk sandsynlighed eller apriori (på forhånd) sandsynlighed. I andre tilfælde må vi foretage et eksperiment for at bestemme sandsynligheden. Måske har vi mistanke om at en terning er uærlig. Vi kan så bestemme sandsynligheden for at få 4 øjne med den terning, ved at foretage et meget stort antal kast med terningen, og så udregne frekvensen af observationen 4. Jo flere kast, jo mere præcist bliver vores resultat. Dette kaldes frekvensbaseret sandsynlighed.

43 Sandsynligheden for en bestemt hændelse kan bestemmes på to måder • Apriori. Ved hjælp af tællemetoder regner man sig frem til, hvad frekvensen vil være med uendeligt mange gentagelser. • Frekvensbaseret: Man gennemfører et eksperiment mange gange og udregner frekvensen af hændelsen.

44 Eksempel Hvad er sandsynligheden for hændelsen ”en tegnestift lander med spidsen opad”? Vi kan ikke udtænke dette på forhånd, og må bruge frekvensbaseret sandsynlighed. Vi kaster eksempelvis 1000 tegnstifter på et bord, 230 af dem lander med spidsen opad. Den frekvensbaserede sandsynlighed er med tilnærmelse: P(opad ) =

230 23 %. = 0,23 == 23% 1000

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

45 Eksempel Hvad er sandsynligheden for hændelsen ”at trække spar 2” fra et spil kort uden jokere? Denne sandsynlighed kan bestemmes apriori dvs. uden at foretage et eksperiment. Vi argumenterer således: Der er 52 kort hver med lige stor chance for at blive trukket, så sandsynligheden for at 1 få spar 2 er P( spar 2) = ≈ 0,019. 52

Altså er der knap 1,9 % chance for at trække en spar 2. Hvis vi lægger 3 jokere ind kortbunken, vil sandsynligheden for at trække spar 2 falde til P( spar 2) =

1 ≈ 0,018 . 55

46 Eksempel Vi trækker et kort fra et spil kort. Der er 13 kort i hver farve, så sandsynligheden for at vi 13 1 = . Dette er også et eksempel på apriori bestemt sandsynlighed. trækker en spar er 52

Man kunne også argumentere for resultatet således; der er 4 farver med lige mange kort, så derfor er sandsynligheden for at få en spar lig med en ud af fire.

47 Eksempel En fodboldspiller har i løbet af sin karriere scoret 63 gange ud af 88 straffespark. Hvad er sandsynligheden for, at han scorer i næste spark?

Vi bruger de data vi har og udregner P( scorer ) = 63 ≈ 0,716 . 88

Selvom vi ikke selv foretager et eksperiment, er dette frekvensbaseret sandsynlighed. Vi bruger nemlig data fra nogle virkelige erfaringer.

48 Øvelse Du har fået disse kort på hånden, men din modspiller har lov at trække et. Hvad er sandsynligheden for at hun trækker: a. en spar. b. en ruder. c. en 5’er. d. en 8’er. e. Er dine svar bestemt apriori eller frekvensbaseret?

49 Øvelse Nogle elever kaster en skæv mønt. Efter 100 kast er 59 landet på krone. Efter 1000 kast er 611 landet på krone, og efter 10000 kast er 6104 landet på krone. a. B estem på baggrund af forsøgene sandsynligheden for at den pågældende mønt lander på krone. b. Er sandsynligheden bestemt apriori eller frekvensbaseret? c. Bestem sandsynligheden for, at den lander på plat næste gang han kaster skoen.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.5 Sandsynlighedsfelt

50 Introduktion

Den russiske matematiker Andrei Kolmogorov (1903-1987) har indført nogle retningslinjer for, hvordan en teori om sandsynlighed kan stilles op. Her vil vi bruge forsimplede, men tilsvarende retningslinjer til at lave en model, for at kunne regne på tilfældige eksperimenter. Vi vil koncentrere os om eksperimenter, hvor der er et endeligt antal udfald.

48 Matematisk sandsynlighedsfelt En matematisk model af et eksperiment med tilfældigt udfald, der opfylder det nedenstående kaldes et sandsynlighedsfelt: 1. En afgrænsning og navngivning af de mulige udfald u i Udfaldsrummet U. 2. En sandsynlighed for hvert af disse udfald i U. 3. Sandsynligheden for et udfald P(u) er et tal hvorom der gælder at: 0 ≤ P(u) ≤ 1, og summen af sandsynlighederne for alle udfaldene i U er 1.

49 Eksempel

Du får tildelt 4 kort. Din modspiller skal trække et tilfældigt kort. Vi har nu et sandsynlighedsfelt:

1. Udfaldsrummet er: U = {ruder 5, spar 4, spar bonde, hjerter es}

2. P (ruder5) = 0,25, P (spar4) = 0,25, P (ruder bonde) = 0,25, P (hjerter es) = 0,25

3. H ver sandsynlighed er større end eller lig med 0 og mindre end eller lig med 1 (nemlig 0,25). Og summen af sandsynlighederne giver 1.

50 Definition En hændelse H er et eller flere udfald fra udfaldsrummet U. Disse udfald kaldes gunstige. De andre udfald, der ikke er med i H, kaldes den komplementære hændelse til H, og skrives H’. Sandsynligheden for en hændelse P(H) er summen af sandsynlighederne for de udfald, der er med i hændelsen. Den sikre hændelse har sandsynligheden 1, og den umulige hændelse har sandsynligheden 0.

51 Sætning Sandsynligheden for den komplementære hændelse er: P(H’) = 1 – P(H).

52 Eksempel Der kastes med en terning. Sandsynligheden for ikke at få en 4’er er P(ikke 4’er) = 1 – P(4’er) = 1– 1 = 5 6

Der trækkes et kort fra en bunke med 52 kort. Sandsynligheden for ikke at få Hjerte Es er P(ikke Hjerter Es) = 1 – P(Hjerte Es) = 1 – 1 = 51 52

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

53 Symmetrisk sandsynlighedsfelt Hvis alle udfaldene i U har lige stor sandsynlighed, siger man at sandsynlighedsfeltet er symmetrisk. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan sandsynligheden for en hændelse H beregnes ved P(ulige ) =

antal gunstige udfald 3 1 = = antal mulige udfald 6 2

54 Eksempel Hvis vi kaster med en fair terning er sandsynlighedsfeltet symmetrisk, da alle udfald har sandsynligheden 1 . 6

Sandsynligheden for at få hændelsen ”et ulige tal” (gunstige udfald er 1,3,5) er: P(ulige ) =

antal gunstige udfald 3 1 = = . antal mulige udfald 6 2

Hvis terningen havde været skæv var sandsynlighedsfeltet ikke symmetrisk. I så tilfælde kan vi ikke bestemme sandsynligheden apriori. Så var vi nødt til at bestemme sandsynligeheden frekventielt.

55 Eksempel Ved kast med to terninger kan man benytte en symmetrisk sand-

Terning B

synligheds model, hvis man opstiller udfaldene i en ”kombimatrix”

1 1

visning). I tabellen har vi sat √ ved de udfald, der svarer til at sum-

Terning A

med de 36 mulige udfald (kombinationerne af de to terningers men af terningernes øjne er 4. Der er tre af de udfald. Nu kan vi bestemme sandsynligheden for, at terningernes sum er 4: P( øjensum er 4) =

3 = 0,083 . 36

√ √ √

4 5 6

56 Øvelse En mønt flippes og vi registrer, om det blev plat eller krone. a. G ør rede for, at det er et sandsynlighedsfelt ved at følge fremgangsmåde i definition 48 og eksempel 49. b. Gør derudover rede for, om det er symmetrisk eller ej.

57 Øvelse Der trækkes et tilfældigt kort fra en bunke med 52 kort. Bestem sandsynligheden for at få: a. en 7’er.

b. en spar.

c. ikke en spar.

d. et billedkort.

e. ikke et billedkort.

58 Øvelse Der kastes to terninger – en rød og en grøn. a. Tegn en kombimatrix, der viser de mulige udfald. b. Sæt hak ved de udfald, der indgår i hændelsen ”øjensummen er 6”. c. Bestem sandsynligheden for at få øjensummen 6.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.6 Chancetræer og regneprincipper

59 Introduktion

Kompleksiteten stiger meget hurtigt når man har at gøre med sandsynlighedsregning. For at lette overblikket når der er flere hændelser kan man bruge forskellige metoder og regneprinicpper, som fx chancetræet og ”både-og” og ”enten eller” - principperne, som vi skal se nærmere på her.

60 ”Både og” sandsynligheder Hvis en hændelse består i at flere uafhængige hændelser skal ske efter hinanden, så findes sandsynligheden for den samlede hændelse ved at gange sandsynlighederne for de enkelte hændelser.

61 Eksempel I en krukke ligger 2 røde og 3 grønne bolde. Med bind for øjnene trækkes en bold, farven noteres og bolden lægges tilbage i krukken og der røres rundt. Herefter gentages forsøget. For hver trækning er udfaldrummet {rød, rød, grøn, grøn, grøn}. Det er symmetrisk, da hver bold har lige stor chance for at blive trukket. Dermed kan vi beregne sandsynlighederne med ”gunstige divideret med antal mulige”: P(rød ) =

ntal gunstige udfald 3 antal gunstige udfald 2 = P(rød ) = = antal mulige udfald antal 5mulige udfald 5

antal gunstige udfald 2 = og P( grøn) = antal gunstige udfald = 3 . antal mulige udfald 5 antal mulige udfald 5

Og summen giver 1. Vi vil nu bestemme sandsynligheden for den sammensatte hændelse ”der

antal gunstige udfald 2 e udfald 3 P(gunstige rød ) =2 udfald 3 = antal gunstige udfald = antal udfald 5 =e udfald = antal mulige P( grøn) =5 = antal muligeantal udfald mulige5udfald 5

trækkes to grønne bolde”.

Da vi skal trække to gange og bestemme den samlede sandsynlighed tegnes

et chancetræ for at få overblik over situationen. 3 3 for Vi så tidligere, at P( grøn) = . Givet, at denne er trukket, er der igen P( grøn) = 5

den næste bold. Da vi både skal have en grøn bold i første trækning og en grøn bold 3 3 5 5

i næste trækning, multipliceres sandsynlighederne: P( grøn og grøn) = ⋅ =

0,8

9 25

62 Eksempel En håndboldspiller scorer i gennemsnit 80 % af gangene hun tager et straffekast. I en kamp får hun 2 straffekast. Vi vil bestemme: P(scorer begge gange) og P(brænder først

0,8

0,2

og scorer så). Vi tegner derfor et chancetræ, hvor grenene opad er scorer, og nedad er brænder. Vi ser at: P(scorer begge gange) = 0,8 · 0,8 = 0,64 (ruten der ender i det grønne punkt)

0,2

0,8

P(brænder først og scorer så) = 0,2 · 0,8 = 0,16 (ruten der ender i det røde punkt) I ”både og” situationen ovenfor skal flere hændelser indtræffe; fx først brænder hun og så scorer hun. Her antages, at de enkelte skudforsøg er uafhængige af hinanden.

0,2

I andre situationer skal man regne på at der i én hændelse enten kan ske den ene hændelse eller den anden hændelse fra en samling af hændelser.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

64 ”Enten eller” sandsynligheder Hvis en hændelse består i enten at en bestemt hændelse indtræffer eller at en anden bestemt hændelse indtræffer, så adderes sandsynlighederne, hvis der ikke er overlap mellem hændelserne.

65 Eksempel En person har 5 forskellige t-shirts i farverne blå, rød, grøn, gul og hvid. Med bind for øjnene skal han tage en tilfældig. Hvis de ligger uordnet har vi fx P(han tager en rød)=0,2. Hvad er sandsynligheden for at han med bind for øjenene vælger en gul eller en blå eller en rød? Her er tale om en ”enten eller” situation uden overlap (den samme t-shirt kan ikke have flere farver), så vi adderer sandsynlighederne:

P(tager en gul) + P(tager en blå) + P(tager en rød) = 1 + 1 + 1 = 3 = 0,6 . 5

66 ”Både og” og ”enten eller” i chancetræer I mange situationer må vi både benytte ”både og” og ”enten eller”, og her kan et chancetræ give overblik Her svarer ”både og” situationen til at gå langs en rute og ”enten eller” til at gå til en ny rute .

0,8

67 Eksempel Hvad er sandsynligheden for hændelsen ”håndboldspilleren brænder et og scorer et”

0,8

0,2

på de to forsøg? På chancetræet er de to forskellige ruter, der fører til ovenstående hændelse markeret i endepunktet med rødt. Langs ruterne multipliceres sandsynlighederne og herefter 0,2

adderes de to ruters sandsynligheder.

0,8

Sandsynligheden for hændelsen ”brænder et og scorer et” udregnes nu således: P(scorer et og brænder et) = 0,8 · 0,2 + 0,2 · 0,8 = 0,16 + 0,16 = 0,32 .

0,2

68 Øvelse Et eksperiment består i et kast med tre mønter, der hver kan vise plat eller krone. a. Tegn et chancetræ, der viser de mulige udfald. b. Bestem P(3 krone) og P(3 plat) og forklar, hvilket regneprincip du har brugt. c. Bestem P(2plat og 1 krone) og forklar, hvilke regneprincipper du har brugt.

69 Øvelse I en kurv ligger 4 kugler – en blå og tre gule. En kugle trækkes tilfældigt, farven noteres og den lægges tilbage og der røres rundt. Eksperimentet gentages 3 gange. a. Tegn et chancetræ, der viser de mulige udfald. b. Bestem P(3 gule) og P(3 blå) og forklar, hvilket regneprincip du har brugt. c. Bestem P(2 blå og 1 gul) og forklar, hvilke regneprincipper du har brugt.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

4.7 Kombinatorikbeviser

70 Introduktion

Bevisførelse handler om at fremlægge et ræsonnement, der overbeviser nogen (evt. en selv) om en påstands rigtighed. I matematikken er en påstand typisk en sætning. Et ræsonnement er, når man argumenterer fornuftigt for sammenhængen mellem nogle præmisser og nogle konklusioner. En præmis kan fx være en definition af de symboler og begreber man bruger. Og konklusionen skulle gerne pege på, at sætningen er sand. Vi skal her se nogle ræsonnementer for nogle af de sætninger, vi har brugt undervejs i kapitlet.

(16) Sætning Antallet af forskellige rækkefølger (permutationer), som kan dannes af n elementer er n!

71 Bevis for sætning 16 Der kan vælges blandt n elementer på første plads. Til den næste plads er der et element mindre at vælge imellem (vi har jo brugt et til den første plads). Vi benytter ”både-og” princippet, da vi jo skal besætte både den første plads, og den anden plads og så videre indtil den n’te plads. Vi multiplicerer valgmulighederne for hver plads og får: P(n) = n · (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) ...1 = n!

(19) Sætning Antallet af forskellige rækkefølger (permutationer), som kan dannes, når r elementer vælges ud af en større samling på af n elementer er givet ved: P(n, r ) =

n! . ( n − r )!

72 Bevis for sætning 19 Antallet af rækkefølger hvor alle n elementer vælges ud af en samling af n elementer er P(n) = n! . Men vi interesserer os kun for rækkefølgerne af de første r elementer, så vi skal have divideret med det antal rækkefølger de sidste (n – r) elementer kan danne tilsammen. De sidste (n – r) elementer kan danne (n – r)! rækkefølger, så vores formel bliver: P ( n, r ) =

n ! . Dette var, hvad vi skulle vise. ( n − r )!

(28) Sætning Antallet af forskellige udvalg (kombinationer), som kan dannes, når r elementer vælges ud af en større samling på af n elementer er givet ved: K (n, r ) =

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

n! . ( n − r )! r !

73 Bevis for sætning 28 Antallet af forskellige rækkefølger (permutationer), som kan dannes, når r elementer vælges ud af en større samling på af n elementer er givet ved: P(n, r ) =

n! . ( n − r )!

Når vi kun interesserer os for udvalget (kombinationen) og ikke rækkefølgen, så skal vi have divideret med antallet af rækkefølger man kan få af de valgte r elementer, altså r!. Derfor er der r! gange færre kombinationen end permutationer: K ( n, r ) =

P ( n, r ) n! = . Dette var, hvad vi skulle vise. r! ( n − r )! r !

(51) Sætning Sandsynligheden for den komplementære hændelse er: P(H') = 1 – P(H).

74 Bevis for sætning 51 Sandsynligheden for den sikre hændelse med alle udfald må være 1 eller 100 %. En hændelse og dens komplementære hændelse udgør tilsammen alle udfald, derfor er P(H) + P(H') = 1. Vi trækker P(H) fra på begge sider og får P(H') = 1– P(H). Dette var, hvad vi skulle vise.

(53) Symmetrisk sandsynlighedsfelt Hvis alle udfaldene i U har lige stor sandsynlighed, siger man at sandsynlighedsfeltet er symmetrisk. I et symmetrisk sandsynlighedsfelt kan sandsynligheden for en hændelse H beregnes ved P( grøn P(H)) ==

antal gunstige udfald 3 = antal mulige udfald 5

75 Bevis for sætning 53 Vi ser på en sandsynlighedsmodel, der har n udfald hver med sandsynligheden 1 n

P(u ) = . Sandsynligheden for en hændelse er summen af sandsynlighederne for de udfald, der er med i hændelsen. Der for får vi P(H ) = som der er udfald i hændelsen. 1 n

Dvs P(H ) = ⋅ ( antal af udfald i hændelsen ) . Da n er antallet af alle udfald, får vi derfor: P(H ) =

1 1 1 + + i alt lige så mange led n n n

antal udfald i hændelsen H antallet af alle udfald

76 Øvelse Ræsonnementer af denne her art er indviklede. Man skal holde mange komplicerede bolde i luften. En god måde at arbejde på, er at skrive det ned man skal forstå (og måske senere selv vise) med egne ord. a. Skriv sætningerne og beviserne ned med egne ord.

4.Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver – 4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Opgave 401

Opgave 406

a. Bestem det antal måder, som eleverne Line, Ole,

På et bord står tre kasser, en med to forskellige

Jesper og Katrine kan stille sig op i rækkefølge på.

kugler, en med 5 forskellige terninger og en med 3 forskellige pyramider. Vi skal vælge en kugle, en

Opgave 402

terning og en pyramide, som hver især stilles på en

I et land har alfabetet 25 bogstaver, og alle bil-

valgt plads for kugler, bolde og pyramider.

nummerplader består af to bogstaver og tre tal,

a. På hvor mange forskellige måder kan de tre

hvor bogstaverne står først.

pladser besættes?

a. Bestem det maksimale antal forskellige num-

Opgave 407

merplader, der kan laves. b. Bestem, hvor mange nummerplader der kan laves med to bogstaver og fire tal. c. Bestem, hvor mange nummerplader der kan laves med tre bogstaver og tre tal.

I et almindeligt spil kort med 52 kort er der 13 kort i hver farve. Fra sådan et sæt kort trækkes 2 kort uden at der lægges tilbage. a. På hvor mange måder kan de to kort trækkes, når man også regner med nummerorden så fx

Opgave 403

"klør 5 og så spar 10" regnes forskelligt fra "spar

En gammel cykellås

10 og klør 5"?

har 6 små pinde der har 3 stillinger:

Opgave 408

De kan skubbes

En mand slår plat og krone tre gange i træk.

ind, hives ud eller

a. H vor mange forskellige muligheder er der for

lades være i midten.

forløbet, når man også holder regnskab med

Bestem antal

pladserne plat og krone kommer på?

muligheder der er for at indstille en

Opgave 409

kode:

Pladserne i en bus er nummererede og en ekskur-

a. Når alle tre indstillinger må bruges på alle pladserne.

sion på 32 studerende skal med bussen. a. På hvor mange måder kan pladserne besættes?

b. Når den første skal være Ude c. Når ingen må stå i midten.

Opgave 410 En signallampe har 5 lamper, der kan tændes og

Opgave 404

slukkes.

På en hylde står 2 matematikbøger, 4 danskbøger

a. H vor mange forskellige signaler kan lampen

og 3 religionsbøger. En elev skal vælge 3 bøger –

vise, når 5 slukkede lamper ikke regnes med

en fra hvert fag.

som signal?

a. På hvor mange måder kan det gøres?

Opgave 411 Opgave 405

En mand har 7 skjorter, 3 par bukser og 4 par sko.

6 bøger skal stilles i orden på en reol.

a. På hvor mange måder kan han kombinere sit

a. På hvor mange måder kan de stilles i rækkefølge?

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

tøj?

Opgave 412

Opgave 419

En kvinde har 4 bluser, 3 nederdele og 6 par strøm-

Pladserne i en bus er nummererede og en ekskur-

pebukser og 4 par sko.

sion på 32 studerende skal med bussen.

a. P å hvor mange måder kan hun kombinere sit

a. På hvor mange måder kan de første 5 pladser

tøj?

besættes?

Opgave 413

Opgave 420

På et menukort er der 3 forretter, 5 hovedretter og

a. På hvor mange måder kan man stille:

2 desserter.

a. 3 tal i rækkefølge på?

a. B eregn hvor mange valgmuligheder, der er hvis

b. 3 danske bogstaver i rækkefølge på?

kun en enkelt ret må vælges. b. B eregn hvor mange valgmuligheder, der er, hvis

c. 3 klasser op i rækkefølge på hvis der er 19 klasser på gymnasiet.

der skal vælges både en forret , en hovedret og en dessert.

Opgave 421 En tryllekunstner har en æske med tre pladser på

Opgave 414

en række. Han tager bind for øjenene, mens en fra

Beregn

publikum lægger en kugle ned i hver plads. De tre

a. 9!

kugler vælges tilfældigt blandt en: Sort, Hvid, Rød,

b. 12!

Blå, Gul, Brun og en Grøn. Tryllekunstneren fortæl-

c. 6 ! 5!

ler nu uden at åbne æsken, hvordan kuglerne

ligger i den.

d. 5!

a. På hvor mange forskellige måder kan kuglerne

Opgave 415

b. På hvor mange forskellige måder kan kuglerne

a. Udregn 8! og 6! gange 2!, er de to tal lige store?

lægges i rækkefølge i æsken? lægges i rækkefølge i æsken, hvis de tre kugler kun må vælges blandt en Sort, en Gul og en

Opgave 416

Rød?

5 lærere løber sækkeløb til en idrætsdag. a. På hvor mange måder kan deres placeringer ske?

Opgave 422 På en boghylde er der plads til 10 bøger.

Opgave 417

a. Beregn antallet forskellige rækkefølger man kan

12 gæster til en fest med buffet står i kø for at få

stille de 10 bøger op i, hvis man har 15 bøger i

mad.

alt.

a. På hvor mange måder kan køen dannes?

Opgave 423 Opgave 418

Hvor mange trecifrede tal kan der dannes af tal-

a. Bestem det antal måder 9 personer kan stille sig

lene 1,2,3,4, og 5 hvis:

i rækkefølge på. b. B estem antal permutationer, der kan dannes på med de første 4 pladser i rækkefølgen.

a. alle 3 cifre skal være forskellige? b. to cifre gerne må være ens? b. alle cifrene gerne må være ens?

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver – 4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Opgave 424

Opgave 430

a. H vor mange håndboldhold hvert bestående

En roklub har 20 medlemmer.

af 7 spillere, kan der dannes af en klasse på 15 elever? b. På hvor mange måder kan man ombytte de

a. Bestem antallet af måder, man kan udtage et hold til en 4 mandsbåd uden styrmand, når der ikke skal tages hensyn til rækkefølgen.

7 spillere på et håndboldhold på de forskelle pladser?

Opgave 431 Til juleaften skal 16 familiemedlemmer spise sam-

Opgave 425

men, men der er kun 12 pladser ved det store bord

a. Bestem antallet af trecifrede talrækkefølger,

og 4 må sidde for sig selv ved et mindre bord.

hvor alle cifre er forskellige. b. Find antallet af trecifrede talrækkefølger, hvor

a. På hvor mange måder kan familien deles mellem de to borde?

det første ciffer er nul. c. Find antallet af trecifrede tal, hvor alle cifre er

Opgave 432

forskellige, idet tal der begynder med nul ikke

En populær parkeringsplads i en lille by har 5 plad-

gælder med.

ser. Til et sportsstævne kommer familier i 50 biler. a. På hvor mange måder kan man udvælge de

Opgave 426

5 biler, der får lov at holde på de 5 populære

Til en eksamen skal man besvare tre spørgsmål,

pladser?

som trækkes tilfældigt blandt 12 spørgsmål i alt. a. På hvor mange måder kan man trække 3 spørgsmål blandt 12?

Opgave 433 En billedramme har plads til 6 fotos. Rammen skal fyldes med billeder fra et bryllup, der er 45 billeder

Opgave 427

at vælge imellem.

7 elever blandt 25 i en klasse skal udtages til et

a. Hvor mange mulige udvalg kan komme på tale?

håndboldhold. a. H vor mange mulige hold kan dannes, når man

Opgave 434

lægger vægt på pladsen på holdet: målmand,

Inde i Pascals trekant er et tal lig med summen af

back osv.?

de to tal, der står ovenfor tallet. a. Udfyld de næste 3 rækker af trekanten.

Opgave 428

a. På hvor mange måder kan man udvælge 6 par sokker fra en samling på 32 par sokker?

Opgave 429 a. Beregn antallet af måder, man kan vælge 5 kort ud af et spil på 52 kort, sådan at der både er

1 1

1 2

1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 b. Tallene i trekanten er binomialkoefficienter

netop to hjerter og netop tre klør blandt de fem

(hvor rækkenummeret starter øverst med num-

kort.

mer 0), og talnummmeret i en række tælles fra venstre – igen startende med nummer 0. Brug trekanten til at udregne K(7,3) og K(8,5).

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

 n c. H vilken binimialkoefficient  r  svarer til tallet på række 11 plads nummer 7 i Pascals trekant? d. Brug CAS til at finde ud af, hvilket tal der vil stå på den ovennævnte plads.

Opgave 404 Der går 28 elever i en 1. g klasse på et gymnasie. Heraf er 21 piger. Bestem sandsynligheden for, at en tilfældig udvalgt person er en: a. pige

Opgave 435

b. dreng

Du er på restaurent og skal vælge 4 retter ud af menukortets 14 retter. På hvor mange måder kan

Opgave 440

du gøre dette når:

En person vil undersøge, hvad sandsynligheden er

a. du er ligeglad med rækkefølgen af retterne?

for, at skoen lander på sålen hvis den kastes op i

b. rækkefølgen betyder noget?

luften. Han kaster 1000 gange og registrerer, at skoen

Opgave 436

landede på sålen 251 gange.

På et Nordisk Højskole ophold er der 5 danskere, 7

a. Bestem sandsynligheden for at den lander på

svenskere og 3 nordmænd. Til en paneldebat skal vælges 6 deltagere, to fra hver nationalitet. a. Bestem det antal måder de kan vælges på.

sålen næste gang han kaster skoen. b. Bestem sandsynligheden for at den ikke lander på sålen næste gang han kaster. c. Er der tale om apriori eller frekvensbasert sand-

Opgave 437 Der skal trækkes et kort fra et spil kort uden jokere. a. H vad er sandsynligheden for at trækker en

synlighed? d. Er der usikkerhed forbundet sandsynlighedsberegningen?

hjerter? b. Bestem sandsynligheden at trække en 8’er.

Opgave 441

c. Bestem sandsynligheden for at trække et bil-

Nogle elever kaster en skæv mønt. Efter 100 kast

ledkort.

er 33 landet på krone. Efter 1000 kast er 317 landet på krone, og efter 10000 kast er 3203 landet på

Opgave 438

krone.

En fodboldspiller har i løbet af sin karriere scoret

a. Bestem på baggrund af forsøgene sandsynlig-

30 gange ud af 50 straffespark. a. Bestem sandsynligheden for at han scorer i næste spark.

heden for, at den pågældende mønt lander på krone. b. Er sandsynligheden bestemt apriori eller frekvensbaseret?

Opgave 439 I almindelighed har omkring 5 procent af alle vine

c. Bestem sandsynligheden for, at den lander på plat næste gang han kaster skoen.

defekten "propsyge" som skyldes en skimmelsvamp i proppen. Denne propsyge ændrer smagen

Opgave 442

af vinen, så den smager lidt af sur karklud.

Der kastes en gang med en ærlig sekssidet terning.

a. H vad er sandsynligheden for at en tilfældig

Bestem sandsynligheden for

indkøbt vin lider af propsyge. b. Vurder hvordan de 5 procent er fremkommet – apriori eller frekvensbaseret?

a. at slå en 2’er. b. at slå enten 4, 5 eller 6. c. at slå 1 eller 2.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver – 4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Opgave 443

Opgave 447 Et spil kort har 52 kort hvoraf de fire er esser. a. H vad er sandsynligheden for at trække et es, når du trækker et kort helt tilfældigt? b. H vad er sandsynligheden for ikke at trække et es, når du trækker et kort helt tilfældig?

Opgave 448 Der findes mange typer terninger. Bestem sandsynligheden for: a. At slå en 5’er med en 10 sidet terning. b. At slå en 11’er med en 12 sidet terning. c. At slå et øje-antal mindre end eller lig med 8 med en 10 sidet terning. d. At slå et lige antal øjne med en 8 sidet terning. e. At slå en 4’er med en 4 sidet terning. Du har fået disse 10 kort på hånden, men din mod-

Opgave 444

spiller har lov at trække et.

En bestemt 4 sidet terning skal bruges i et rollespil.

a. Skriv udfaldsrummet op idet fx et kort som spar

Deltagerne har dog mistanke om, at den er skæv.

2 skrives S2.

a. Hvordan kan det afgøres?

b. Bestem P(H7)

b. Er dit svar på delspørgsmål a. frekvensbaseret

c. Gør rede for at vi har at gøre med et sandsynlig-

eller aprioribaseret?

hedsfelt. d. Bestem, hvor mange gunstige udfald der er i

Opgave 445 På en roulette i et kasino kan kuglen lande med

e. Bestem sandsynligheden for at trække en Konge.

samme sandsynlighed på numrene 0 til 36.

f. H vor mange udfald er der i hændelsen modspil-

a. Hvor mange forskellige numre er der? b. H vad er sandsynligheden for, at kuglen lander på 4?

Opgave 446 Et lotteri har 300 lodder og gevinsten er en bil. 100 lodder sælges i byen, 100 lodder på landet og 100 lodder bliver slet ikke solgt. Til sidst udtrækkes gevinsten blandt alle numre. a. H vad er sandsynligheden for at genvinsten vindes af en der har købt loddet i byen? b. H vad er sandsynligheden for at gevinsten bliver vundet?

hændelsen "trækker en ruder".

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

leren trækker et kort mindre end eller lig med 9. g. Er svaret i delspørgsmål b. og e. bestemt apriori eller frekvensbaseret?

Opgave 449

Opgave 452

Der kastes med to terninger og udfaldene er opstil-

Tag din ene sko af og kast den op i luften. Registrer,

let i en følgende tabel.

om den lander på siden eller opret på sålen. Gentag eksperimentet nogle gange.

Terning B 1

Terning A

Opstil en frekvensbaseret sandsynlighedsfelt for eksperimentet.

2 3

Opgave 453

I en skål ligger 20 glaskugler: 10 blå, 7 gule og

5 6

a. Tegn tabellen af. b. M arker hændelsen "summen er lig med 7" i tabellen. c. Bestem sandsynligheden for hændelsen "summen er 7".

3 grønne. Med bind for øjnene trækker en person en kugle tilfældigt. a. H vad er sandsynligheden for, at det er en gul kugle, der trækkes? b. H vad er sandsynligheden for, at det er en blå eller grøn kugle, personen trækker?

Opgave 454

d. Bestem på tilsvarende vis sandsynligheden for

Terning B

hændelsen "summen er 8".

e. Bestem P(sum = 9), P(sum = 10), P(sum = 11) og

Opgave 450 På et gymnasium og HF var der otte 1.års klasser A, B, C, D, P, Q , X, Y. De fire første er sproglige

Terning A

P(sum = 12)

1 2 3 4 5 6

studieretninger, de to midterste er HF klasser og

Der kastes med to fire-sidede terninger og udfal-

de to sidste er naturvidenskabelige klasser. Rektor

dene er opstillet i en Kombimatrix.

trækker med bind for øjenene en klasse, der skal

a. Tegn tabellen af.

rydde op i kantinen resten af året. Bestem sand-

b. M arker hændelsen "summen er lig med 4" i

synligheden for at det bliver: a. En sproglig klasse, b. En hf-klasse c. 1. X d. En HF klasse eller en naturvidenskabelig studieretning.

tabellen. c. Bestem sandsynligheden for hændelsen "summen er 4". d. Bestem på tilsvarende vis sandsynligheden for hændelsen "summen er 3". e. Bestem P(sum = 2), P(sum = 5), P(sum = 6), P(sum = 7) og P(sum = 8)

Opgave 451 En 8-sidet terning kastes en gang.

f. Opstil et pindediagram, der viser, hvordan sandsynlighederne for summerne 2 til 8 er fordelt.

a. Gør rede for, at vi har at gøre med et symmetrisk sandsynlighedsfelt.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver – 4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Opgave 455

Opgave 460

Bestem sandsynligheden for ved samtidigt kast

I en skål ligger 8 røde, 7 grønne og 5 blå kugler,

med en rød og en blå terning at få:

som er ens, bortset fra farven. En person med bind

a. Samme øjental på begge terninger.

for øjnene trækker 3 kugler.

b. Samme øjental på begge terninger og at ternin-

a. Bestem sandsynligheden for, at alle 3 kugler er

gernes øjental tilsammen er 10.

røde. b. Bestem sandsynligheden for, at de tre kugler er

Opgave 456

hver sin farve.

a. Bestem sandsynligheden for at få mere end 3 øjne, når man slår med en 6-sidet terning. a. Bestem sandsynligheden for at få mere end 3 øjne, når man slår med en 20-sidet terning.

Opgave 461 I kortspillet Bridge får hver spiller 13 kort. a. Bestem sandsynligheden for, at en spiller får netop alle de tretten spar.

Opgave 457 En kvinde spiller kortspillet "500" med sin familie.

b. Bestem sandsynligheden for, at en spiller får netop 3 esser og 10 kort, som ikke er esser.

Til at begynde med får hun 7 kort. a. H vis alle kort skal være hjerter, hvor mange

Opgave 462

måder kan man så vælge de 7 hjerter ud af de 13 mulige, der er i kortspillet? b. H vor mange måder kan man vælge 7 kort (uden hensyn til rækkefølgen) når det må være alle farver? c. Bestem er sandsynligheden for at hun får 7 hjerter til at begynde med.

Opgave 458 a. Bestem sandsynligheden for at få en hånd på

På lykkehjulet fylder det orange område 50 %, det

7 kort med tre esser og fire billedkort i et spil

blå 20 % og det røde 30 %.

kort med 52 blade, hvor der er 4 esser og 12

a. Beskriv sandsynlighedsfeltet.

billedkort i alt.

b. Gør rede for om sandsynlighedsfeltet er symmetrisk.

Opgave 459 a. Fra en kasse med 36 LED-pærer vælges en

c. Bestem sandsynligheden for at lykkehjulet ender på "blåt".

tilfældig stikprøve på 4 pærer. I kassen er der 6 defekte pærer. a. Bestem sandsynligheden for, at stikprøven kun indeholder fejlfri pærer. b. Bestem sandsynligheden for, at mindst én af stikprøvens pærer er defekte.

Opgave 463 En mand har 5 slips i farverne Sort, Blå, Rød, Gul, Grøn, og pakker to af dem ned i en kuffert en sen aften i dårlig belysning. a. Bestem sandsynligheden for, at han fik pakket et Gult og et Grønt.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgave 464

Opgave 467 Slå "plat og krone" med to mønter samtidig i alt 10 gange (eller flere, hvis du arbejder i en gruppe) og tæl antallet af "krone". a. Bestem den frekvensbaserede sandsynlighed for at få "krone" på begge mønster samtidig. b. Bestem en modelbaseret sandsynlighed, ud fra

Lykkehjulet drejes en gang.

antagelsen om, at hver mønt falder lige let på

a. Beskriv udfaldsrummet.

"plat" .

b. Gør rede for at det er et sandsynlighedsfelt. c. Bestem de gunstige udfald til hændelsen "kon-

Opgave 468 a. Opstil en sandsynlighedsmodel for gevinsterne

sonant". d. Forklar om sandsynlighedsfeltet er symmetrisk.

i en tombola, hvor der trækkes lod om præmier.

e. Forklar hvorfor vi ikke kan på baggrund af opga-

Der er 100 lodder i tombolaen, og de 94 er nitter

vens oplysninger kan bestemme sandsynlighe-

(uden gevinst) og 3 med gevinster på 200 kr.

den for hændelsen "konsonant".

og 2 med gevinster på med 500 kr. og 1 med en gevint på 1 000kr.

Opgave 465

a. Opstil en tabel med de mulige gevinster og

En person vil undersøge, hvad sandsynligheden er

deres sandsynligheder.

for, at skoen lander på sålen, hvis den kastes op i luften.

Opgave 469

Han kaster 200 gange og registrerer, at skoen lan-

a. Bestem sandsynligheden for ved samtidigt kast

dede på sålen 30 gange.

med en rød og en blå terning at få et ulige antal

a. Bestem sandsynligheden for, at den lander på

øjne på begge terninger.

sålen næste gang han kaster skoen. b. Bestem sandsynligheden for, at den ikke lander på sålen næste gang han kaster. c. Er der tale om apriori eller frekvensbaseret

Opgave 466

a. Bestem sandsynligheden for ved samtidigt kast med en rød og en blå terning at få et samlet antal øjne mellem 3 og 7.

sandsynlighed?

Opgave 470

Opgave 471 En terning kastes og vi

Et eksperiment består i et kast med 2 mønter, der

registrerer antal øjne.

hver kan vise plat eller krone.

ør rede for at det er et a. G

a. Tegn et chancetræ, der viser de mulige udfald.

b. G ør rede for at det er

sandsynlighedsfelt.

b. Bestem P(2 krone) og P(2 plat). c. Bestem P(1plat og 1 krone).

symmetrisk eller ej.

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver – 4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Opgave 472

Opgave 475

Et eksperiment består i samtidigt kast med to firesidede terninger. a. Tegn et chancetræ der viser de mulige udfald. b. Tegn også en tabel der viser de mulige udfald. c. Er der tale om et sandsynlighedsfelt? Og, i givet fald, er det symmetrisk? d. Bestem sandsynligheden P(en 4’er og en 5’er). e. Bestem sandsynligheden P(summen er lig med 6 eller mere). I en kasse ligger 36 Kinder-æg, og i 5 af dem er der

Opgave 473

en lille dragefigur, som er et samlerobjekt.

Der ligger 4 kort med bagsiden opad – 3 hjerter og

a. Bestem sandsynligheden for, at du får en drage,

1 spar. a. Bestem sandsynligheden for at få en hjerter, når der trækkes et tilfældigt kort.

når du får lov at vælge et æg tilfældigt? Du trækker nu to æg: b. Tegn et chancetræ over de mulige udfald.

I et eksperiment trækkes der nu 3 gange, og hver

c. Bestem sandsynligheden for, at du får to drager.

gang noteres, om det var hjerter eller spar, kortet

d. Bestem sandsynligheden for, at du får en drage

lægges tilbage og der blandes rundt.

i det andet æg men ikke det første, når du får

b. Tegn et chancetræ, der viser de mulige udfald af

lov at vælge to æg tilfældigt.

de tre trækninger. c. Bestem P(tre spar).

e. Bestem sandsynligheden for, at du trækker et uden en drage og et med en drage.

d. Bestem P(tre hjerter). e. Bestem P(to hjerter og en spar).

Opgave 476

f. Bestem P(to spar og en hjerter).

I en kurv ligger 6 kugler – en blå og to sorte og tre gule. En kugle trækkes tilfældigt, farven noteres

Opgave 474

og den lægges tilbage og der røres rundt. Eksperi-

Der ligger 5 kort med bagsiden opad 2 ruder og 3

mentet gentages 2 gange.

klør.

a. Tegn et chancetræ der viser de mulige udfald.

a. Bestem sandsynligheden for at få en klør når

b. Bestem P(3 gule) og P(3 blå).

der trækkes et tilfældigt kort. I et eksperiment trækkes der 3 gange, og hver

c. Bestem P(2 blå og 1 gul) og forklar, hvilke regneprincipper du har brugt.

gang noteres om det var ruder eller klør, kortet lægges tilbage og der blandes rundt.

Opgave 477

b. Tegn et chancetræ, der viser de mulige udfald af

Et eksperiment består i 4 kast med en sko der erfa-

de tre trækninger.

ringsmæssigt lander på sålen 15 % af gangene. Det

c. Bestem P(tre ruder).

registreres, om skoen lander på sålen eller ej.

d. Bestem P( ingen ruder).

a. Tegn et chancetræ der viser de mulige udfald.

e. Bestem P(to ruder og en klør).

b. Bestem P(den lander på sålen 4 gange)

f. Bestem P(to klør og en ruder).

c. Bestem P(den lander på sålen 0 gange) d. Bestem P(den lander på sålen 3 gange) e. Bestem P(den lander på sålen 2 gange)

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgave 478

Opgave 480 En Heavy Metal intresseret dreng har 10 forskellige sorte t-shirts, hvoraf 2 er med Motionless in White, 3 er med Black Sabbath, og 1 Five Finger Death Punch og 4 med Slayer. Hans mor synes, de alle sammen ligner hinanden og pakker to tilfældige ned i hans weekendtaske til hytteturen. a. Tegn et chancetræ over de mulige udfald han kan opleve, når han åbner tasken. Bestem:

På en roulette i et kasino kan kuglen lande med

b. P(en Five Finger Death Punch og en Slayer)

samme sandsynlighed på numrene 0 til 36.

c. P(to Motionless in White)

18 af numrene er røde,18 er sorte og et er grønt.

d. P(en Black Sabbath og en Slayer)

a. Hvor mange numre er der i alt? b. Bestem sandsynlighederne for at kuglen lander på (1) et sort felt, (2) rødt felt og (3) det grønne felt.

Opgave 481 a. H vad er mest sandsynligt: At få mindst én sekser ved samlet kast med seks terninger eller

I et eksperiment kastes kuglen to gange, og der

at få mindst to seksere ved samlet kast med 12

holdes øje med farven den lander på.

terninger?

c. Tegn et chancetræ der viser de mulige udfald af de to kast. d. Bestem sandsynligheden for, at kuglen lander på et rødt felt begge gange. e. Bestem sandsynligheden for at den lander på et sort felt og et rødt felt.

Opgave 482 I et kortspil får man 5 kort på hånden til at bliver det starte med. a. Bestem sandsynligheden for at man får en hånd med to røde billedkort og tre sorte billedkort.

f. Bestem sandsynligheden for at den lander på et sort felt og et grønt felt.

Opgave 483 I en klasse med 20 piger og 11 drenge skal man

Opgave 479

ved lodtrækning vælge en festkomite på 4 med-

En mesterlig dartspiller rammer Bulls Eye 30 % af

lemmer.

gangene. Hun får nu 3 forsøg, og det registreres

a. Bestem sandsynligheden for, at der kommer

kun, om hun rammer Bulls Eye eller ej.

1 pige og tre drenge i komiteen.

a. Tegn et chancetræ, der viser de mulige udfald. b. Bestem P(3 Bulls Eye).

Opgave 484

c. Bestem P(2 Bulls Eye)

I poker har man fem kort på hånden.

d. Bestem P(0 Bulls Eye)

a. Bestem sandsynligheden for, at man får en hånd

e. Gør rede for, hvor mange udfald der er i hæn-

med to tiere og tre 7’ere.

delsen i delspørgsmål c. "2 bulls eye".

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver – 4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik Opgave 485

Opgave 490

I en krukke er der 270 kugler, hvoraf de 30 er sorte

To symmetriske terninger, en rød og en blå kastes.

og de 240 er hvide. Der trækkes ti kugler.

a. Bestem sandsynligheden for, at den røde viser

a. Bestem sandsynligheden for, at man får netop to sorte og 8 hvide. b. Bestem sandsynligheden for at få ti hvide.

3 øjne. b. Bestem sandsynligheden for, at de begge viser tre øjne.

Opgave 486

Opgave 491

En person slår plat og krone tre gange i træk.

En symmetrisk mønt med siderne plat og krone

a. Bestem sandsynligheden for at få plat i det

kastes et antal gange. Bestem sandsynligheden

første kast. b. Bestem sandsynligheden for at få plat i alle tre kast.

for, at der netop går tre kast før: a. To kast med rækkefølgen plat-krone er opnået. c. Tre kast før to kast med rækkefølgen plat-plat er opnået.

Opgave 487 En person slår plat og krone indtil han har fået plat umiddelbart efterfulgt af krone. a. Bestem sandsynligheden for at få plat i det

c. Fire kast før to kast med rækkefølgen plat-krone er opnået. d. Fire kast før to kast med rækkefølgen plat-plat er opnået.

første kast. b. Bestem sandsynligheden for at få plat i alle tre kast.

Opgave 492 En tryllekunstner har en æske med fire pladser i rækkefølge til fire mønter med farverne gul, rød,

Opgave 488

grøn og blå. Publikum lægger mønterne tilfældigt

En symmetrisk terning har samme sandsynlighed

i æsken og lukker låget. Tryllekunstneren fortæller

for at falde på de seks forskellige øjental, der er på

nu uden at åbne æsken, hvordan mønterne ligger

dens sider.

i den.

a. Opstil en sandsynlighedsmodel med mulige ud-

a. På hvor mange forskellige måder kan mønterne

fald og deres sandsynlighed for den situation, at man samtidig kaster med to symmetriske terninger og udregner summen af øjentallet.

lægges i rækkefølge i æsken? b. Bestem sandsynligheden for, at rækkefølgen bliver blå, rød, gul og grøn. c. Bestem sandsynligheden for, at tryllekunstne-

Opgave 489

ren tager fejl af rækkefølgen, hvis han gætter

Et eksperiment består i at to symmetriske ternin-

tilfældigt.

ger med forskellige farver (en rød og en blå kastes og man noterer sig de viste øjental som et talsæt med den røde ternings tal først (r,b). a. Hvor mange forskellige udfald er der? b. Bestem sandsynligheden for de enkelte udfald. c. H vad bliver ifølge modellen sandsynligheden for, at den røde terning viser tre øjne?

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (4)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Ligninger Omformning: Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

1. Løs ligningerne

3. Løs ligningerne

a. 4x – 2 = 10 b. 2 – x = 5 c. 28(x – 1 )= 0

2. Løs ligningerne

5. Løs ligningerne

a. 2x + 3 = –x b. x + 4 = 5,3 c. 2 – 5x = –6x + 4

4. Løs ligningerne

a. 2x – 3 = 11 b. 3x – 2 = –x c. –2 + 2x = 0

a. 2x – 1,2 = 4,8 b. 8x – 12 = –x c. –3 + 3x = 3

6. Løs ligningerne

a. 2y + 3 = –y b. 0,5y + 1,5 = 2 c. 5 + 2x = x + 4

a. 2x + 3 = –3x b. 2,3x + 2,2 = 4,5 c. 2 + 3x = x + 1

Reduktion:

7. Beskriv fejlen og skriv omformningen korrekt a. 3(x + 1) = –2x 3x + 1 = –2x 3x = –2x – 1 5x = –1 x = – 15 b. 0,3x + 1,7 = 2,3 3x + 17 = 23 3x = 40 x = 40 = 20 6 3

Husk at du ikke må sammenblande de variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 3a – b + 2a2 kan ikke reduceres.

8. Reducer udtrykket a. b. c. d.

3x – y + 2x – 2y – 3x y(1 – y) –y2 x – 3x + x(1 – x) 2(4 – x) + x2 – 8 – x

9. Reducer udtrykket a. b. c. d.

2x – y + 2x – 3y y(2 – y) +y2 2 – 4x + 2 + 5(1 + x) 3(a – b) + 2a2 – b + a

Parenteser: Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(a + 4) = 3a + 3 · 4 –(a + 4) = –a – 4 4 – (a + 4) = 4 – a – 4 = a

10. Ophæv parenteserne

11. Ophæv parenteserne

12. Ophæv parenteserne

og reducer

a. 3x – (4 – x)

a. b – (b + 2a) + 2a

a. 3 – (b + 1) + 2b

b. b – 3(b – 3)

b. x – (5 + x) + 3

b. 2(1 – x) –4 + 2x

c. y – (y + 3) + 2

c. a + 4(2 – a) – 2a

c. 2 + 3(2 – a) –3 + 2a

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

Potenser: Potensen an betyder, at a ganges med sig selv n gange: an = a · a · a · ...· a (der er n faktorer med a). 1 Endvidere gælder der ifølge definition, at a − n = n , a0 = 1 a

Eksempel: 3−2 =

1 1 4 4 3 ⋅ 4 −3 = 4 3 ⋅ 3 = 3 = 1 2 og 3 4 4

13. Udregn tallet

15. Udregn tallet

a. 35 b. 24 c. 4–1

17. Udregn potenserne

a. 43 · 4-2 b. 1–5 2 c. 5 1

a. 6–1 b. a2 · a–2 · a3 c. 3a2 · a–2

14. Udregn tallet 2

16. Udregn potensen

–2

a. 7 · 7 b. 10–1 c. 13

–1

a. 6 b. a2 · a–2 c. b3 · b–2

Geometriske formler

a. 10 b. 102 · 10–2 · a3 c. 3a2 · 10–1

Areal

Cirkel med radius r Kvadrat med sidelængde s Rektangel med sidelængderne l og b Trekant med højde h og grundlinje g

a. 4 · 2–1 b. a0 · a–2 · a4 c. 4b3 · b–2

18. Udregn og reducer

19. Udregn og reducer

20. Udregn tallet a. 10–2 b. 3 · 10–3 c. 20 · 10–4

Omkreds

A=π·r A = s2 A = l · b A = 1 h · g 2

O = 2π · r O=4·s O=2·l+2·b O = s1 + s2 + s3

Eksempel En trekant har en højde med længden 4 og en grundlinje med længden 6. Trekantens areal er: T = 1 · 4 · 6 = 12. 2

20. Udregn arealet af

21. Udregn omkredsen af a. en cirkel med r = 2 b. en trekant, hvor s1=3, s2=4 og s3=5 c. et kvadrat, hvor s = 5 d. et rektangel med l = 3 og b =10

a. en cirkel med radius 3 b. en trekant, hvor h = 3 og g=6 c. et kvadrat, hvor s = 5 d. et rektangel med l = 3 og b = 10

23. Isoler a. b. c. d.

l i formlen A = l · b b i formlen A = l · b s i formlen O = 4 · s r i formlen O = 2π · r

24. I soler a. b. c. d.

r i formlen O = 2π · r π i formlen O = 2π · r 1 h i formlen A = 2 h · g π i formlen O = 2π · r

22. Udregn a. Omkredsen af en cirkel, hvor r = 1 b. Arealet af en trekant, hvor h = 6 og g = 10 c. Arealet af et kvadrat, hvor s = 1 d. Omkredsen af et rektangel l = 2 og b = 4

25. Isoler a. b. c. d.

g i formlen A = 2 h · g r2 i formlen A = π · r2 s2 i formlen O = s1 + s2 + s3 g i formlen A = 1 h · g 2

Brøker: Forlænge:

a k ⋅a = b k ⋅b

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

Forkorte: a = a : k b

3⋅2

Eksempel:

b:k

a b

Tal gange brøk: k ⋅ =

k ⋅a b

4 4:4 1 = = 8 8:4 2 2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

3⋅2 5

4. Sandsynlighedsregning og kombinatorik

5. Trigonometri 5.1 Navne og almindelige begreber 1 Introduktion Hotel Bella Sky i Ørestaden i København består af to tårne, der hælder 15° med til hver side. De 15° måles i forhold til lodret, som vist på den tegnede model. Hoteltårnene hælder 4 gange så meget som det skæve tårn i Pisa.

2 Definition

En ret vinkel er 90°. En spids vinkel er mindre end 90°. En stump vinkel er større end 90°. Der er 360° rundt i en cirkel. En lige vinkel er 180°, så en linje er en lige vinkel.

På figuren ses en vinkel v, som kan skabes ved at gå fra A til B til C.

Dette kan skrives med symboler således: ∠v = ∠ABC.

3 Definition c

En side i en trekant benævnes med samme bogstav som vinkelspidsen overfor. Der bruges store bogstaver til vinkler og små bogstaver til sider. En trekant med vinklerne A, B og C kaldes trekant ABC.

4 Definition Længder angives med to lodrette streger, som er magen til numerisk tegn. Længden af siden a skrives: |a|, og ”længden af stykket fra A til B” skrives: |AB|.

5 Definition En højde h tegnes fra en vinkelspids og vinkelret ind på siden overfor. Siden, som højden tegnes ind på, kaldes grundlinjen g. Tegnes en højde ned på en grundlinje, der kaldes b, benævnes højden hb. Somme tider må grundlinjen forlænges for at højden kan tegnes. B

B c

5. Trigonometri

6 Sætning

Arealet af en trekant kan beregnes med formlen T = 12 · h · g, hvor h er højden ned på grundlinjen g.

7 Eksempel

Arealet af trekant ABC bestemmes med T = 12 · h · g, hvor g er siden b.

hb = 4

Altså har vi T = 12 · 4 · 6 = 12. Arealet er 12.

b=6 B c

8 Definition En median m tegnes fra en vinkelspids og ned til midtpunktet af siden overfor.

9 Definition

En vinkelhalveringslinje v er en linje, der deler en vinkel i to lige store vinkler.

vb C

10 Øvelse a. Tegn en trekant ABC, hvor |AB| = 3 og ∠ABC = 90º. Resten af trekantens størrelser er op til dig.

11 Øvelse a. Beregn arealet af trekant ABC.

hb = 8

12 Øvelse A

a. Tegn en trekant efter eget valg.

b = 11

b Sæt benævnelser på for vinkler og sider. c. Skitser vinkelhalveringslinjen va (behøver altså ikke være helt præcist tegnet). d. Skitser medianen mc.

12 Øvelse Figuren viser en trekant ABC.

38,3

28,7

a. Bestem placering og længder af siderne a, b og c.

h = 27,6

b. Hvilken en af siderne er grundlinje? c. Gør rede for, om højden h bør kaldes ha , hb eller hc. d. Beregn arealet af trekant ABC.

41,2

5. Trigonometri

5.2 Pythagoras' sætning og ligedannede trekanter 13 Introduktion Pythagoras fra øen Samos har lagt navn til sætningen a2 + b2 = c2. Sammenhængen gælder, når siden c er hypotenusen, dvs. den længste side og derved den, som ligger overfor den rette vinkel. De to andre sider, der er hosliggende (ligger op til) til den rette vinkel, kaldes kateter. B

14 Eksempel a

I trekant ABC er a = 6 og b = 8. Vi vil bestemme længden af kateten c. Ifølge Pythagoras sætning er c2 = 62 + 82, og da c er en længde, ved vi, tallet er positivt. Derfor er c = 62 + 82 == 10. 10 Hypotenusen c har altså længden 10.

C B

15 Eksempel I trekant ABC er a = 6 og c = 10. Vi vil bestemme længden af kateten b. Pythagoras sætning omformes, så længden b (der er positiv) isoleres: a2 + b 2 = c 2 b 2 = c 2 − a2

b = c 2 − b2 Vi indsætter længderne for a og c og får: b = 102 − 62 = 8 .

En anden nyttig egenskab om trekanter vi skal have på plads, handler om ensvinklede trekanter.

16 Definition

Når to trekanter parvist har samme de samme vinkler, kaldes de ensvinklede eller ligedannede.

B1 B

17 Sætning

Hvis to trekanter er ensvinklede, er der en bestemt skalafaktor k

mellem deres parvist ensliggende sidelængder: A

C1 b 1

B c A

2 5

a1 = ka, b1 = kb og c1 = kc

18 Eksempel

B1 Trekanterne ABC og A1B1C1 er ligedannede. Vi vil beregne sidelæng-

derne af c og a1. Skalafaktoren bestemmes ud fra b1 = kb.

Med indsatte tal får vi ligningen 10 = 5k. A1

5. Trigonometri

Denne ligning løses for k og vi finder, at skalafaktoren k = 2.

Vi kan nu beregne længden af a1 med formlen a1 = ka, som med indsatte tal giver: a1 = 2 · 2 = 4. Så a1 = 4. Og længden af c med formlen c1 = kc, som med indsatte tal giver: 8 = 2c . Denne ligning løses for c ved at dividere med 4 på begge sider af lighedstegnet, og vi får c = 4.

19 Eksempel

Trekanterne ABC og A1B1C1 er ligedannede. Vi vil beregne side-

længderne af b1. Skalafaktoren bestemmes ud fra a1 = ka. Med indsatte tal får vi ligningen 2 = k4.

Denne ligning løses for k og vi finder, at skalafaktoren k = 12 .

2 b1

2 4

Vi kan nu beregne længden af b1 med formlen b1 = kb,

som med indsatte tal giver: b1 = 12 · 6 = 3. Vi ser altså, at b1 = 3.

20 Eksempel solskinsmåling En person vil bestemme højden af det brune vandtårn. En solskinsdag måler han længden af sin kærestes skygge til 1,3 m. Kæresten er 180 cm høj. Tårnets skygge er 8,7 m. Hvor højt er tårnet? Vi indser at der dannes to ligedannede trekanter og bestemmer skalafaktoren ud fra grundlinjen (skyggelængden): 8,7 = k 1,3 og derfor k = 8,7 8,7 ⋅ hkæreste = ⋅ 1,80 = 12,05. Tårnet er altså 12 m højt. Vi har nu: htårn = 1, 3 1, 3

8,7 . 1, 3

21 Øvelse

I trekant ABC, hvor C er en ret vinkel, er a = 9 og b = 12. a. Beregn længden af hypotenusen. c

22 Øvelse

a. Beregn længden af siden c.

23 Øvelse a. Tegn en skitse af en trekant ABC med sidelængderne a = 4, b = 2 og c = 4.

b. Tegn skitser af en trekant A1B1C1 der er ligedannet med ABC, hvor skalafaktoren er 12 , når man går fra A1B1C1 til ABC.

24 Øvelse a. Tegn en skitse af en trekant ABC med sidelængderne a = 4, b = 2 og c = 4. b. Beregn højden hb ved hjælp af Pythagoras' sætning.

25 Øvelse Hvis et tårn på 100 meter kastede en skygge på 25 meter, ville skyskraberen Burj Khalifa i Dubai kaste en skygge på 207 meter. a. Hvor høj er Burj Dubai?

5. Trigonometri

5.3 Konstruktion – de fem trekantstilfælde 26 Introduktion Passeren er en genial opfindelse. Fra hulemalerier og lertavler vides det at allerede i oldtiden kendte man til at bruge passer eller snor og tegneredskab til at tegne cirkler (og dermed også trekanter). I dag bruger vi ofte CAS til at tegne geometriske figurer, men som det vil fremgå er det stadigvæk de flere tusinde år gamle metoder vi benytter når vi fx skal tegne en trekant med sidelængderne 5, 3 og 6.

27 Eksempel Konstruktion i CAS af en trekant ud fra de tre sidelængder. C 6

3 5

Vi vil konstruere en trekant med sidelængderne 5,3 og 6: • Der afsættes et linjestykke AB med længden 5. • Der tegnes en cirkel med radius 3 med centrum i A og en cirk med radius 6 med centrum i B. B • Det (øverste) skæringspunkt mellem de to cirkler findes med skæringsværktøjet og kaldes C. Trekant ABC kan nu tegnes og er entydigt konstrueret. Vælges det nederste skæringspunkt mellem de to cirkler, fås den samme trekant blot spejlet.

28 De fem trekantstilfælde I en trekant med vinkelspidser i A, B og C og siderne a, b og c er der altså 6 variable, vi kan skrue på. Kendes kun de 3, kan man ikke entydigt tegne trekanten. Det så vi på forrige side under ligedannethed. Kender man derimod 3 andre oplysninger end de tre vinkler, kan man tegne en entydig trekant ud fra oplysningerne. Der er i alt fem ”trekants-tilfælde”: Tilfælde 1

Tilfælde 2

Tilfælde 3

Tilfælde 4 og

Tilfælde 5

Vi har i eksemplet ovenfor set på tilfælde 1, og i de næste fire eksempler viser vi, hvordan de øvrige kan konstrueres. C

29 Eksempel: Tilfælde 2 Konstruktion i CAS af en trekant ud fra to sider og en mellemliggende vin

B' 5

60º A

kel. Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor A = 60º, |AB| = 4 og |AC| = 5. • Der afsættes et linjestykke AB med længden 4. • Der afsættes en vinkel i A mod uret på 60º (Geogebra danner også et ”sigtepunkt” B’) • Der afsættes en halvlinje fra A gennem hjælpe-sigtepunktet B’. • Der tegnes en cirkel med radius 5 med centrum i A . • Trekantens punkt C er skæringspunktet mellem halvlinjen og cirklen, som findes med skæringsværktøjet. Trekant ABC kan nu tegnes og er entydigt konstrueret.

5. Trigonometri

30 Eksempel: Tilfælde 3

Konstruktion i CAS af en trekant ud fra to sider og en vinkel modstående en af siderne. Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor A = 40°, |AB| = 4 og |BC| = 3.

• Siden AB med længden 4 afsættes. • Der afsættes en vinkel i A på 40° (hjælpe-sigte-punkt B’ tegnes). • Halvlinjen fra A gennem B’ tegnes. • En cirkel med centrum i B og radius BC = 3 tegnes. • Punkterne C1 og C2 er begge skæringspunkteter mellem cirklen og halvlinjen, og de er fundet med skæringsværktøjet i CAS.

40º 4

B C

Dermed er vi endt med to trekanter ABC1 og ABC2, som begge passer med konstruktionskravene. Vi kan kun løse opgaven, hvis vi får en yderligere oplysning. B'

Det er kun nogle gange vi ender med en dobbelttydig situation. Hvis nu |BC| = 5, ville cirklens radius være større end AB og derved ville der kun have været ét skæringspunkt, og dermed ville trekantens punkt C være entydigt.

40º B

31 Eksempel: Tilfælde 4 Konstruktion i CAS af en trekant ud fra en side og to hosliggende vinkler. Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor |AB| = 3, vinkel BAC = 47° og vinkel ABC = 61°.

Siden AB afsættes med længden 3.

Vinklen BAC afsættes 47° (hjælpe-sigte-punkt B’ tegnes)

Vinklen ABC afsættes 61° (hjælpe-sigte-punkt A’ tegnes) Halvlinjerne fra A gennem B’ og fra B gennem A’ tegnes. Punkt C findes som skæringspunktet mellem de to halvlinjer, som bestemmes med CAS.

47º

61º

Trekant ABC kan nu tegnes og er entydigt konstrueret.

32 Eksempel: Tilfælde 5

Konstruktion i CAS af en trekant ud fra en side, en hosliggende vinkel og en modstående vinkel.

Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor |AB| = 4, vinkel BAC = 40° og vinkel ACB = 60°. I dette tilfælde udnytter vi, at vinkelsummen i en trekant er 180°.

B' 60º

Vinkel ABC er derved 180° – 40° – 60° = 80°. Resten af konstruktionen foregår nu på tilsvarende vis som i eksempel 18. 40º

Trekant ABC kan nu tegnes og er entydigt konstrueret.

33 Øvelse

80º B

Konstruer trekant ABC, hvor: a. |AB| = 5, |AC| = 4 og |BC| = 7. b. A = 54° , |AB| = 3 og |AC| = 4 c. B = 45°, |AB| = 3 og |BC| = 2,5. d. |AB| = 6, A = 43° og B = 60°. e. |AB| = 6, vinkel A = 50° og vinkel C = 60°.

5. Trigonometri

5.4 Enhedscirklen

34 Introduktion

Kabine

The London Eye har en radius på 60 m. Der kan sidde 25 personer i hver af de 32 kabiner. Den samlede højde er 135 m. I koordinatsystemet er der tegnet en model af

situationen med en enkelt kabine. Pilen viser, at omløbsretningen er mod uret. Hvis der blev tabt noget fra kabinen fra den position, den har på tegningen, ville man kunne finde det nede på jorden (x-aksen) ved 40.

En næsten tilsvarende tænkemåde ligger bag den såkaldte enhedscirkel. Den har blot radius lig med 1 og har centrum i origo (0,0).

En enhedscirkel tegnes med centrum i (0,0) og har en radius med længden P ( cos(v), sin(v) )

sin(v)

–1

35 Definition en enhed. Vinklen mellem radius og førsteaksen indtegnes med en lille bue. Punktet, hvor radius skærer cirklen, angives med P.

v cos(v) 1

Funktionen cos(v) angiver værdien af førstekoordinaten til retningspunktet P. Funktionen sin(v) angiver værdien af andenkoordinaten til retningspunktet P.

–1

Værdierne af cos(v) og sin(v) kan man se i tabellen til højre. Og CAS har cos(v) og sin(v) som indbyggede funktioner.

36 eksempel Når vinklen er 60°, er P(cos(60) , sin(60)) =

Når vinklen er 131°, er

P(0,5 ; 0,87 )

P( –0,66 ; 0,75 )

1 sin(60) –1

P(cos(131) , sin(131)) = P (–0,66 ; 0,75)

–1

sin(90) P (0 ; 1) 1

1 sin(131)

P (0,5 ; 0,87) v cos(60) 1

Når vinklen er 90°, er P(cos(90) , sin(90)) = P(0 ; 1)

v –1 cos(131) 0

–1

0 –1

v cos(90) 1

–1

Ved hjælp af funktionerne Cosinus og Sinus kan vi altså bestemme x-koordinaten og y-koordinaten til punktet P, når vi kender vinklen.

37 Eksempel Når vinklen er 30°, ser vi i tabellen at cos(30) = 0,87 og sin(30) = 0,50. Dermed er koordinaterne til retningspunktet, når vinklen er 30 grader P(0,87 ; 0,50). Man kan også gå den anden vej, og bestemme den vinkel, der passer til en bestemt x-koordinat og y-koordinat.

100

5. Trigonometri

cos(v)

1,0000 0,0000

0,9998 0,0175

38 Eksempel

0,9994 0,0349

I tabellen ses, at, hvis et punkt på enhedscirklen har en x-koordinat ( cos(v)) på 0,6428,

0,9986 0,0523

0,9976 0,0698

0,9962 0,0872

0,9945 0,1045

0,9925 0,1219

0,9903 0,1392

så passer det med en vinkel på 50°, da cos(50) = 0,6428. På CAS kan vi bestemme den vinkel, der passer til en given x-koordinat med kommandoen cos–1 eller arccos. Vi ser, at cos–1(0,6428) = 50°.

sin(v)

0,9877 0,1564

0,9848 0,1736

0,9816 0,1908

Vi vil bestemme en vinkel, der passer med, at y-koordinaten til et punkt på enheds-

0,9781 0,2079

cirklen er 0,8716. Da det er y-koordinaten bruger vi sin(v). I tabellen ses det, at

0,9744 0,2250

0,9703 0,2419

0,9659 0,2588

0,9613 0,2756

0,9563 0,2924

0,9511 0,3090

0,9455 0,3256

0,9397 0,3420

0,9336 0,3584

0,9272 0,3746

0,9205 0,3907

0,9135 0,4067

0,9063 0,4226

0,8988 0,4384

0,8910 0,4540

0,8829 0,4695

0,8746 0,4848

0,8660 0,5000

0,8572 0,5150

0,8480 0,5299

0,8387 0,5446

0,8290 0,5592

0,8192 0,5736

0,8090 0,5878

0,7986 0,6018

0,7880 0,6157

0,7771 0,6293

0,7660 0,6428

0,7547 0,6561

0,7431 0,6691

0,7314 0,6820

0,7193 0,6947

0,7071 0,7071

0,6947 0,7193

0,6820 0,7314

0,6691 0,7431

0,6561 0,7547

0,6428 0,7660

0,6293 0,7771

0,6157 0,7880

0,6018 0,7986

0,5878 0,8090

0,5736 0,8192

0,5592 0,8290

0,5446 0,8387

0,5299 0,8480

0,5150 0,8572

44 Øvelse

0,5000 0,8660

a. Tegn en enhedscirkel og vis på samme måde som i eksempel 41, hvordan det kan

0,4848 0,8746

0,4695 0,8829

0,4540 0,8910

39 Eksempel

sin(50) = 0,8716. Vinklen er altså 50°. sin–1(0,8716) = 50°.

40 Eksempel Da sin(v) er y-koordinaten til det retningspunkt der svarer til

P130

vinklen v, kan vi se af tegningen af enhedscirklen, at sin(50) og sin(130) må have samme værdi. x-koordinaterne til de to retningspunkter ved vinklerne 50° og

P50 v

–1

sin(130) = sin(50)

v 0 cos(50)

cos(131)

130° bestemmes med cos(50) og cos(130). Ud fra tegningen kan vi se, at punkterne ligger symmetrisk i samme afstand fra centrum. Vi så i eksempel 25, at cos(50) = 0,6428, og der må ud fra symmetri-

–1

argumentet gælde, at cos(130) = –0,6428.

41 Eksempel

1 P30

I enhedscirklen regner man også med negative vinkler. Det svarer til, at gå mod omløbsretningen. I koordinatsystemet kan det ses, at cos(–30) = cos(30). Vi kunne også have skrevet cos(330) = cos(30),

v –v

da punktet i 330° ligger samme sted som –30°.

42 Øvelse

1 P–30

–1

a. Tegn en enhedscirkel, hvor radius er afsat, så vinklen er 25°. b. Brug tabellen til at bestemme cos(25) og sin(25). c. Vis med stiplede linjer, hvordan vinklen og P’s koordinater hænger sammen.

43 Øvelse a. Brug tabellen til at bestemme en vinkel, der indsat i cosinus-funktionen giver 0,6018. b. Tegn en enhedscirkel og vis, hvordan vinkel og punkt P’s x-koordinat hænger sammen. c. B estem y-koordinaten til P, og vis med stiplet linje, hvordan vinkel og P’s y-koordinat hænger sammen.

være, at cos(310) = cos(50).

cos(30) = cos(–30)

5. Trigonometri

101

5.5 Cosinus og sinus i retvinklede trekanter

45 Introduktion

I en model af buen i huset her tegnes en halvcirklen med radius 3 m. Denne udgør hypotenusen i den røde trekant. Højden af trekanten er 2,4 m, hvilket er nødvendigt for at en lastbil med en højde på 2,4 m kan komme i gennem.

46 Eksempel Buemodel-enhedscirkel

I koordinatsystemet er der tegnet et udsnit af en enhedscirkel. Der sin(A)

er også tegnet en lille rød retvinklet trekant. De to kateter i denne

trekant må have længderne cos(A) og sin(A), fordi koordinaterne til

punkt B er ( cos(A), sin(A)) .

cos(A)

I sætningen nedenfor fastlægges, hvordan cosinus og sinus forbinder sidelængder og vinkler i en vilkårlig retvinklet trekant. B c a

47 Sætning For en retvinklet trekant ABC som vist på figuren, gælder: a = c · sin(A) og b = c · cos(A)

B 5 a

Vi vil bestemme længderne af de to ukendte sider i trekant ABC. På tegningen ses, at A = 42° og c = 5, og dette indsættes i sætning 47. Vi får med 2 decimaler: a = 5 · sin(42) = 3,35 og b = 5 · cos(42) = 3,72.

42° A

48 Eksempel

Ofte isoleres sin(A) og cos(A) i formlerne i sætning 47, så sætningen i stedet udtrykkes således:

49 Sætning sin( A) =

a sinus til en spids vinkel er lig med længden af den modstående c

katete divideret med længden af hypotenusen.

cos( A) =

b c

cosinus til en spids vinkel er lig med længden af den hosliggende katete divideret med længden af hypotenusen.

Vi kan bestemme vinkler i retvinklede trekanter ved at bruge de omvendte funktioner til cosinus og sinus. I forlængelse af sætning 49 har vi altså, at: a b A = sin−1   og A = cos −1   c c

102

5. Trigonometri

50 Eksempel Vi vil bestemme siden c og vinklen A i trekant ABC. Hypotenusens længden bestemmes med Pythagoras sætning: c2 = 32 + 42 og dermed: c =

32 + 42 =

9 + 16 =

25 = 5

Vi kan nu bestemme A med sætning 49. Vi indsætter sidelængderne og får: 4 A = sin−1   = 53,13°  5

Ud over cosinus og sinus har vi også funktionen tangens. Den er defineret således:

51 Definition Tangens til v er defineret ved: tan(v ) =

sin(v ) , hvor cos(v) ikke må være lig med 0. cos(v ) B

52 Sætning For tangens i en retvinklet trekant ABC gælder: tan( A) =

a b

53 Eksempel I trekanten fra eksempel 50 kunne vi også have beregnet A således: 4 A = tan−1   = 53,13° .  3

54 Øvelse a. Tegn en skitse af en retvinklet trekant ABC, hvor C er ret, er A = 55° og c = 4. b. Udregn længden af den hosliggende katete til vinkel A. c. Bestem vinkel B.

55 Øvelse I trekant ABC er C = 90° og A = 25° . Endvidere oplyses det, at b = 10. a. Tegn en skitse af trekant ABC. b. Beregn længden af siden a. c. Beregn vinkel B og siden c. B

56 Øvelse c

I trekant ABC er medianen mb indtegnet og det oplyses, at |AC| = 4 og |BC| = 3.

a. Bestem |DC|. D

b. Bestem |mb|. c. Bestem vinkel BDC.

5. Trigonometri

103

5.6 Areal af vilkårlig trekant og sinusrelation

57 Introduktion

På billedet ses sammenløbet af floderne Eufrat og Tigris i det sydlige Irak. I oldtidens Mesopotamien arbejde matematikkyndige her med at konstruere kunstvanding, således at man kunne dyrke afgrøder. Arealberegning indgik i arbejdet, og formentligt stammer det at sætte størrelsesorden på en flade herfra. Mange tusinde år senere, men stadig 4-500 år før vores tidsregning, blev matematikken akademiseret og skrevet ned af grækerne. Herfra stammer de første kordetabeller, som kunne minde lidt om de tabeller, vi har set på tidligere over cosinus og sinus. Vi skal nu se på nogle sætninger hvormed man kan beregne sider, vinkler og arealer i vilkårlige trekanter. B c

1 2

således: T = ab sin(C ) = ac sin(B ) = bc sin( A)

58 Sætning

For en vilkårlig trekant med figurens betegnelser, kan arealet T beregnes

59 Eksempel B

I trekant ABC er A = 22°, b = 4 og c = 5. Vi vil beregne arealet. De tre kendte størrelser svarer til dem, der indgår efter det sidste ligheds1 2 1 = 3,75 · sin(22) = 3,75. Arealet af trekanten er altså 3,75. TT == ⋅ ·44⋅ 5·⋅5sin(22) 2

tegn. Vi bruger altså formlen: T = bc sin( A) og får med indsatte størrelser:

Med udgangspunkt i arealformlen kan vi udlede nogle nyttige sammenhænge, der kan bruges til at bestemme sider og vinkler i vilkårlige trekanter, de såkaldte sinusrelationer.

60 Sætning

For en vilkårlig trekant med figurens betegnelser, gælder sinusrelationerne,

der kan skrives c

104

5. Trigonometri

således:

sin( A) sin( B ) sin(C ) = = a b c

eller således:

a b c = = sin( A) sin( B ) sin(C )

61 Eksempel I trekant ABC er A = 19,9° C = 104,7° og a = 16,5. Vi vil beregne længden af siden c.

c a b = Vi kan bestemme længden af c ved at tage udgangspunkt i = sin(AB) )===sin( sin( A) sin( sin(BC) ) sin(C )

Vi isolerer c ved at multiplicere med sin(C) på begge sider af lighedstegnet: a c = sin(C ) ⋅ , og med indsatte tal får vi sin( A)

c = sin(104,7) ⋅

16, 5 = 46,9 sin(19, 9)

Altså er længden af siden c = 46,9.

C C2

62 Eksempel Sinusrelationerne kan også bruges til at bestemme vinkler med. Måske har man op-

lysningerne A = 40°, a = 3 og c = 4, og tænker, at vinklen C kan bestemmes entydigt

med en sinusrelation.

Men her skal man passe på det dobbelttydige tilfælde. På tegningen ses figuren fra eksempel 30 i afsnit 5.3 om konstruktion. Af tegningen fremgår det, at at der er to trekanter, der svarer til oplysningerne A = 40°, a = 3 og c = 4.

40º 4

Problemstillingen kan også forklares ud fra enhedscirklen. Igen vender vi tillbage til P130

tidligere gennemgået stof. Vi så i eksempel 40 i afsnit 5.4 om enhedscirklen, at der

sin(130) = sin(50) P50

altid vil være to vinkler i området fra 0 til 180 grader, hvor sinus til vinklerne giver det v

samme tal. –1

v 0 cos(50)

cos(130)

Det vil altså ikke være muligt at starte med et tal (y-koordinat) og dernæst bestemme vinklen entydigt med sinus. Medmindre, at man er så heldig, at de kendte vinkel er stump, for da må de to andre vinkler være spidse, og man vil derfor godt kunne bruge

–1

sinus i det tilfælde. I næste afsnit skal vi se på en mere sikker metode til bestemmelse af vinkler ud fra sidelængder i trekanter.

63 Øvelse I en trekant ABC er B = 70°, a = 6 og c = 7. a. Beregn arealet af trekanten.

64 Øvelse I en trekant ABC er A = 40°, B = 85° og a = 6. a. Beregn længden af siden b.

65 Øvelse I en trekant ABC er A = 30°, a = 4 og c = 3. a. Tegn en skitse af de to trekanter, der opfylder betingelserne og bestem de to tilhørende vinkler C.

5. Trigonometri

105

5.7 Cosinusrelationerne

66 Introduktion

At kunne beregne vinkler er vigtigt i konstruktion, design og bygning. Her ses bygningen 8tallet fra Ørestaden i København. Vi skal nu se på de såkaldte cosinusrelationer, som på samme måde som sinusrelationerne, kan bruges til at beregne sidelængder og vinkler i vilkårlige trekanter. sin(130) = sin(50)

P130

v –1

Cosinusrelationerne er en sikker måde at beregne vinkler på ud fra en

P50

modsætning til sinusfunktionen, giver forskellige (x-) værdier for ”trekants-

vinklerne” imellem 0 og 180 grader”.

0 cos(50)

cos(130)

trekants sidelængder. Vi kan se på enhedscirklen, så cosinusfunktionen i

–1

67 Sætning

For en vilkårlig trekant med betegnelser som i figuren, gælder cosinusc

relationerne:

a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos( A) b 2 = a2 + c 2 − 2ac cos(B )

c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos(C )

B a

c A

68 Eksempel Vilktrekant5

I trekant ABC er A = 29°, b = 40 og c = 15,9. Vi vil beregne længden af siden a.

a = 402 + 15,92 − 2 ⋅ 40 ⋅15,9 ⋅ cos(29) = 27,2083

Da oplysningerne blev givet med 1 decimal, afrunder vi også facit til 1 decimal. Altså er svaret, at a = 27,2.

69 Sætning

I cosinusrelationerne kan vinklerne isoleres. Så skrives de således:

 b 2 + c 2 − a2   a2 + c 2 − b 2   a2 + b 2 − c 2  A = cos −1  , B = cos −1  og C = cos −1          2bc 2ac 2ab

70 Eksempel

Vi vil beregne vinkel B i ABC. Vi bruger derfor cosinusrelationen

3,27

1,79

2,29

106

5. Trigonometri

 a2 + c 2 − b 2  B = cos −1    2ac og får de de indsatte sidelængder:  1,79 2 + 3, 272 − 2, 922  B = cos −1   = 62,6924  2 ⋅ 1,79 ⋅ 3, 27 Altså er B = 62,69°.

Cosinus- og sinusrelationerne gælder for vilkårlige trekanter. Det betyder, at de også gælder for specialtilfældet med de retvinklede trekanter. Sammenhængene, som vi undersøgte i afsnit 5.5 er dermed på en måde overflødiggjort. Når det alligvel godt kan betale sig at lære dem at kende, er det, fordi man ofte støder på retvinklede trekanter, og da er de enkle formler lettere at bruge end cosinus- og sinusrelationerne.

71 eksempel I trekanten ABC er a = 1,8, b = 2,4 og c = 3,0. Vi vil beregne vinkel C med en cosinusrelation. 2 2 2  b 2 + c 2 − a2   a2 + b 2 − c 2  −1  a + c − b  A = cos −1  Vi bruger , derfor B = coscosinusrelationen og C = cos −1           2bc 2ac 2ab og får de de indsatte sidelængder: B = cos −1

0   1, 8 2 + 2, 4 2 − 3, 22  = cos −1  = cos −1 ( 0 ) = 90  2 ⋅ 1, 8 ⋅ 2, 4  8, 64 

Altså er C = 90°. Trekanten er altså retvinklet.

72 Øvelse I trekant ABC er B = 41°, a = 20 og c = 7,4. a. Tegn en skitse af trekant ABC. b. Beregn længden af siden b.

73 Øvelse I en trekant ABC er a = 4, b = 6 og c = 5. a. Tegn en skitse af trekanten. b. Beregn vinkel A. c. Beregn de to resterende vinkler.

74 Øvelse På figuren ses en trekant ABC, hvor A = 46,2°, b = 3,97 og c = 2,18. Linjen va er vin-

kelhalveringslinjen fra vinkel A ind på siden a, som den møder i punktet D. |BD| = 1,04. Bestem:

a. Længden af va (vink: brug vinkel ABD og |AD|) b. Længden af siden a. c. Vinkel B og C.

75 Øvelse Øvelse 74 kan også løses ved konstruktion: a. Afsæt først stykket c = AB. b. Konstruer trekanten med vinkel- og cirkelværktøjerne. c. Brug vinkelhalveringsværktøjet og tegn va. d. Brug skæringsværktøjet til at bestemme punkt D. e. Brug konstruktionen til at beregne de øvrige vinkler i ABC.

5. Trigonometri

107

5.8 Ræsonnementer og beviser om retvinklede trekanter

76 Introduktion

Arbejde med beviser i matematikken handler som regel om at forstå nogle andre menneskers ræsonnementer om sandheden af en påstand. Her skifter man mellem individuelt arbejde med at nedskrive og reflektere og arbejde sammen med andre, hvor man kan forsøge at fremlægge bevisførelsen. Ideen er, at man ender med, at man forstår argumenterne i beviset og derfor kan forklare det til andre uden at skulle støtte sig for meget til noter. B

77 Pythagoras' sætning Pythagoras sætning forbinder de tre sidelængder i en retvinklet trekant, sådan at den

c a

ene katetes længde i anden adderet med den anden katetes længde i anden er lig med hypotenusens længde i anden. Hvis vinkelspidser er placeret som på tegningen, kan sætninegn skrives symbolsk således: a2 + b2 = c2.

78 Bevis for 77 Der tegnes et kvadrat med sidelængden a + b. Arealet af kvadratet er dermed (a + b)2. b

Delepunkterne på siderne forbindes, hvorved der opstår et lille kvadrat på skrå. Dets areal er tilsvarende c2. Arealet af det lille kvadrat er lig med arealet af det store kvadrat minus arealet af de

c a

a b

fire trekanter. Dette kan vi skrive sådan: 1 2

c 2 = (a + b )2 − 4 ⋅ ab c 2 = a2 + b 2 + 2ab − 2ab c 2 = a2 + b 2

Inden man kan sige, at man er helt færdig med beviset, må vi have et argument for, at firkanten inde i midten rent faktisk er et kvadrat. For at en firkant med lige lange sider skal være kvadrat, skal alle vinklerne være 90 grader.

? a

a b

Se på trekant ABC nederst til højre. Den er retvinklet og har to spidse vinkler ved A (rød vinkel) og B (grøn vinkel), der tilsammen giver 90° (da vinkelsummen er 180°). Der er 4 ens trekanter og eksempelvis ved punktet A møder to spidse vinkler hinanden – en grøn fra den venstre trekant og en rød fra en højre trekant. Vi ved nu, at de er 90° tilsammen. Da de vinkler, der mødes, tilsammen danner en lige vinkel på 180°, må den sorte ved spørgsmålstegnet også være 90 grader. Tilsvarende argument gælder alle hjørner i firkanten. Dermed er firkanten altså et kvadrat (og ikke et parallelogram). Dermed har vi bevist Pythagoras' sætning.

108

5. Trigonometri

(46) Sætning For en retvinklet trekant ABC, hvor C er ret, gælder: a = c · sin(A) og b = c · cos(A)

79 Bevis for sætning 46

I koordinatsystemet ses et udsnit af en enhedscirkel. I den røde trekant er længden af hypotenusen lig med 1,

da det er radius i enhedscirklen, og vinklen er A.

c sin(A)

Dermed har B1 koordinaterne ( cos(A), sin(A)) .

Da punkt B1’s y-koordinat svarer til længden af B1C1.

I den røde trekant er længden af B1C1 lig med sin(A).

sin(A) C

cos(A) C1 c cos(A)

Den sorte trekant ABC er ligedannet med den røde AB1C1, da begge er retvinklede og deler vinkel A. Herved er også den sidste vinkel ens. Hypotenusen c i trekant ABC er c gange længere end 1. Skalafaktoren er derfor c. Dermed er siden a i trekant ABC lig med c · sin(A), altså: a = c · sin(A) Tilsvarende gælder, at siden b i trekant ABC lig med c · cos(A), altså: b = c · cos(A) Hermed er sætningen bevist. Vi kan isolere cos(A) og sin(A) og få cos( A) =

a b og sin( A) = . c c

(52) Sætning For tangens i en retvinklet trekant ABC gælder: tan( A) =

B c a a b A

80 Bevis for sætning 52

sin(v ) , hvor cos(v) ikke må være lig med 0. cos(v ) sin(v ) a Når vinklen kaldes A, har vi: tan(v ) = , og vi kan nu indsætte sin( A) = og c cos(v ) b cos( A) = i definitionen for tangens. c a c Herved får vi: tan( A) = , og efter at have brugt reglen om, hvordan en brøk divideres b c a med en anden brøk har vi nu, at: tan( A) = , hvilket var det, vi skulle vise. b

Tangens til v er defineret ved: tan(v ) =

81 Øvelse a. Nedskriv alle sætninger og deres beviser på papir. Det behøver ikke være fint og pænt stillet op. Tænk på det som en form for ”proces-skrivning” eller rettere ”proces-læsning”, hvor din nedskrivning i virkeligheden er en slags meget grundig og langsom læsning. b. S mid arbejdet fra delspørgsmål a. ud, og skriv det hele ind igen – denne gang med lidt større omhyggelighed, små detaljer du ikke bemærkede fra første gennemskrivning dukker måske op. c. Overvej, om processen med udsmidning og genskrivning skal gentages.

5. Trigonometri

109

5.9 Ræsonnementer og beviser om vilkårlige trekanter

82 Introduktion

I oldtidens grækenland skrev Euklid i det 3.århundrede før vores tidsregning et omfattende værk om geometri, der hed Elementerne. Billedet viser et bevaret fragment af det originale værk. Det var en sammenhængene fremlæggelse af matematikken, hvor man nøje kunne følge, hvordan hele teorien blev bygget op skridt for skridt. I Elementerne finder man også sætning og bevis for den sætning, vi i dag kalder Pythagoras' sætning. I1897 oversatte Thyra Eibe bøgerne til dansk. Selvom sproget er meget tungt, er det stadig muligt at gennemføre dele af den gymnasiale geometriundervisning efter de mere end 2000 år gamle bøger. B

(58) Sætning

a For en vilkårlig trekant med figurens betegnelser, kan arealet T beregnes

således b

1 2

T = ab sin(C ) =

1 1 ac sin(B ) = bc sin( A) 2 2

83 Bevis for sætning 58

T = ab sin(Clighedstegn: ) = ac sin(BT) = bc sin( A) Vi beviser første

I trekanten til højre er grundlinjen b, og vi nedfælder nu en højde fra B til b.

1 2

1 2 1 1 1 T = gælder ab sin(Carealformlen ) = ac sin(BT) = bc ) · hsin( · g,Ahvor h er højden og g I en vilkårlig trekant 2 2 2

er grundlinjen.

Højden h deler trekanten i to retvinklede trekanter. I den venstre trekant c

gælder

sin( A) =

h c

⇔

h = c ⋅ sin( A).

1 1 Vi har nu: T = ⋅ h ⋅ g = ⋅ c ⋅ sin( A) ⋅ b . 2 2

Vi er nu kommet frem til det, vi skulle bevise.

Sætningens første lighedstegn kan bevises tilsvarende ved at tage udgangspunkt i den højre trekant. Og sætningens midterste lighedstegn kan bevises ved at tegne en højde fra A til a eller fra C til c, og herefter tage udgangspunkt i den retvinklede trekant, hvor B er spids vinkel. B c

110

5. Trigonometri

(60) Sætning

For en vilkårlig trekant med figurens betegnelser, gælder sinusrelationerne, der kan skrives

således:

sin( A) sin( B ) sin(C ) = = a b c

eller således:

a b c = = sin( A) sin( B ) sin(C )

84 Bevis for sætning 60

1 2

T = ab sin(C ) = Ifølge arealformlen i sætning 58 gælder 1 2

1 2

1 1 ac sin(B ) = bc sin( A) 2 2

T= ab sin(C ) igennem = ac sin(med B ) = bc ) Vi dividerer abcsin( ogAfår: 1 ab sin(C ) 2 1 abc 2

1 ac sin( B ) 2 1 abc 2

1 bc sin( A) 2 1 abc 2

a b c = = sin( A) sin( B ) sin(C )

I hver brøk går 3 faktorer ud og vi ender med: Hvilket var det, vi skulle bevise.

(67) Sætning

For en vilkårlig trekant med betegnelser som i figuren gælder cosinusrelationerne:

a2 = b 2 + c 2 − 2bc cos( A)

b = a + c − 2ac cos(B ) 2

c 2 = a2 + b 2 − 2ab cos(C )

85 Bevis for cosinusrelationerne sætning 67 Højden h deler trekant ABC i to retvinklede trekanter. Siden b deles i punktet D,

og de to længder på hver side kaldes x og b – x. Ved brug af Pythagoras' sætning kan vi finde to udtryk for h2:

c h

Ud fra trekant ABD: c2 = h2 + x2 ⇔ h2 = c2 – x2 2

Ud fra trekant BCD: a = h + (b – x)

⇔ h = a – (b – x) 2

Sættes de udtryk lig hinanden fås: a2 – (b – x)2 = c2 – x2

b–x

Der er her brugt en kvadratsætning på (b – x)2 : a2 – (b2 + x2 – 2bx) = c2 – x2 Parentesen er hævet: a2 – b2– x2 + 2bx = c2 – x2 Leddene x2 gik ud mod hinanden: a2 – b2 + 2bx = c2 Leddet a2 er isoleret på venstre side: a2 = c2 + b2 – 2bx Vi finder et udtryk for x vha. cosinus i den retvinklede ABD: cos( A) =

x c

⇔

x = c ⋅ cos( A)

Udtrykket for x indsættes: a2 = c2 + b2 – 2bx · cos(A) Vi er kommet frem til den øverste cosinusrelation. De øvrige kan bevises på samme måde. Cosinus kan også bevises i de tilfælde, hvor højde falder udenfor trekanten. Hermed er cosinusrelationen bevist.

86 Øvelse a. Nedskriv alle sætninger og deres beviser på papir. Det behøver ikke være fint og pænt stillet op. Tænk på det som en form for ”proces-skrivning” eller rettere ”proces-læsning”, hvor din nedskrivning i virkeligheden er en slags meget grundig og langsom læsning. b. Smid arbejdet fra delspørgsmål a. ud, og skriv det hele ind igen – denne gang med lidt større omhyggelighed, små detaljer du ikke bemærkede fra første gennemskrivning dukker måske op. c. Overvej om processen med udsmidning og genskrivning skal gentages. 5. Trigonometri

111

Opgaver – 5. Trigonometri Opgave 501

Opgave 505

En matematikelev belønner sig selv med en

Tegn en retvinklet trekant, hvor den rette vinkel

frokostpizza, fordi han har styr på sine vinkler.

kaldes U og den mindste vinkel kaldes S og den-

a. Hvis han vil skære pizzaen i retvinklede stykker,

nes hosliggende katete kaldes t. Indsæt bogstav-

hvor mange stykker pizza får han så?

betegnelser for resten af siderne og vinklerne.

b. Hvis han vil have 7 lige store stykker, er de så

Opgave 506

spidsvinklede eller stumpvinklede?

c. Hvor mange stumpvinklede stykker kan han

a. Hvilke bogstaver har kateterne? b. Hvilket bogstav har den rette vinkel?

højst få?

c. Hvilket bogstav har hypotenusen? Opgave 502

d. Hvis j = 12 og i = 8, hvad er så arealet?

a. Tegn en trekant nogenlunde magen til den her.

e. Hvis hk = 7 og k = 10, hvad er så arealet?

b. Kald vinkelspidserne for A, B og C og navngiv

siderne. c. Indtegn højden ha.

Opgave 503 Beregn arealet af trekanterne på skitserne:

Opgave 507 Gamle Guldtand har begravet en skat under

en palme på en øde ø. Han har tegnet et helt hb = 3 og b = 7

nøjagtigt kort over øen. Palmen, en klippe og en

gammel ruin udgør en trekant. På Gamle GuldA

tands kort er der 5 cm mellem ruinen og klippen. I virkeligheden er der 10 m.

hb = 4

a. Hvilken skalafaktor skal man bruge for at regne A

afstanden på kortet om til afstanden i virkelig-

heden? b. Der er 8 cm fra klippen til palmen. Hvor langt

Opgave 504

er der i virkeligheden?

a. Trekanten her kaldes PQR. Skriv betegnelser på

siderne, og indtegn højden hr

Opgave 508

b. Hvis hr = 5 og r = 8, hvad er så arealet af tre-

a. Tegn en skitse af en trekant med sidelængderne

kanten?

a = 4, b = 5 og c = 6.

b. Tegn en skitse af en ligedannet trekant, hvor

a’ = 3.

c. Beregn længderne af b’ og c’.

112

5. Trigonometri

Opgave 509

Opgave 512

Til en reklame for badebukser har fotografen fun-

Eva vil gerne have et rødt æble fra toppen af et

det et smukt stykke strand. Der står bare et 11 m

gammelt æbletræ. Desværre ligger der en slange

højt fabrikstårn på stranden. Fotografen tager bil-

rundt om træets fod. Adam snitter en stige for at

ledet nedefra og forsøger at få modellens krop til

kunne plukke æblet.

at dække skorstenen. Modellen er 2 m høj. Der er

a. Hvor lang skal stigen være, når æblet er 8 m

18 m fra fotografen til tårnet og 3 m fra fotografen

oppe, og afstanden fra træets fod til stigen skal

til modellen.

være 6 m på grund af slangen?

a. På tegningen er der to trekanter. Argumenter for, at de er ligedannede.

Opgave 513

b. Beregn højden af den store trekant.

Skemaet viser sidelængderne i nogle trekanter

c. Kan modellen dække skorstenen med sin krop?

ABC, hvor C er en ret vinkel.

2 18

14,16

18,91

0,1

0,35

Opgave 510 I en retvinklet trekant ABC, hvor C er en ret vinkel,

10.050

60.000

er a = 3 og b = 4. a. Beregn c.

a. Beregn de manglende sider Tip: tegn evt. skitser på krussedullepapir for lige at

Opgave 511

få et overblik over, hvad du skal beregne.

Solen skinner dejligt over bjerget her. Dejligt fordi du troede, at du så kunne beregne højden af det

Opgave 514

vha. en pind og nogle skygger og to ligedannede

I en retvinklet trekant PQR, hvor R er en ret vinkel,

trekanter. Men ak, nej. Metoden fra eksempel 19

er p = 6 og r = 9.

kan ikke bruges her.

a. Tegn en skitse af trekanten.

a. Hvorfor ikke?

b. Beregn q. Opgave 515 a. Beregn længden af den sorte bane.

5. Trigonometri

113

Opgaver – 5. Trigonometri Opgave 516

Opgave 519

Europas højeste bjerg er Mont Blanc på ca. 4.807 m

En trekant ABC har sidelængderne |AC| = 7, |AB| = 7,8

alt afhængigt af, hvor meget is og sne der ligger på

og |BC| = 4,5

toppen. Gennem bjerget går en tunnel på 11,6 km.

a. Konstruer en målfast tegning af trekanten, og

a. Hvis man skulle opsætte en svævebane fra bjergets fod til toppen, hvor lang skulle den så være? (Antag, at tunnelen starter ved bjergets

forklar konstruktionen. b. B enyt konstruktionen til at bestemme vinkel C med 5 decimaler.

fod, og at midten af tunnelen ligger lige under

For et punkt P gælder, at |AP| = 6 og |CP| = 3,5.

toppen.)

c. U ndersøg, om punktet P kan ligge inde i trekant ABC.

Opgave 517 (udfordring) Opgave 520

Man kan bevise kvadratsætningen 2

(a – b) = a + b – 2ab for a > b > 0 ud fra en figur

En trekant ABC har sidelængderne |AC| = 5, |AB| = 7

som denne:

og |BC| = 5,5. a. Konstruer en målfast tegning af trekanten, og

forklar konstruktionen. b. B enyt konstruktionen til at bestemme vinkel A med 5 decimaler. For et punkt P gælder, at |AP| = 4 og |CP| = 7.

ndersøg, om punktet P kan ligge inde i trekant c. U ABC.

Opgave 521 En trekant ABC har sidelængderne |AC| = 2,3, a. Tegn figuren af.

|AB| = 2,8 og |BC| = 4.

b. I nddel figuren i 4 figurer: det røde kvadrat,

a. Konstruer en målfast tegning af trekanten, og

og et kvadrat med sidelængden (a – b) og to rektangler.

forklar konstruktionen. b. B enyt konstruktionen til at bestemme vinkel B

c. Udtryk de 4 figurers areal med bogstaver og sæt det lig med hele figurens areal a2.

med 5 decimaler. For et punkt P gælder ,at |AP| = 1,8 og |CP| = 1.

d. Forkort dit udtryk.

c. U ndersøg, om punktet P kan ligge inde i trekant

e. Isoler størrelsen (a – b) 2.

ABC.

Opgave 518 (udfordring)

Opgave 522

a. Tegn et rektangel, hvor den ene side er a + b

I en trekant ABC er A = 50o, |AB| = 4 og |AC| = 5.

lang og den anden side er a – b lang. 2

a. K onstruer en målfast tegning af trekanten, og 2

b. Argumentér for at (a + b)(a – b) = a – b .

forklar konstruktionen. b. B enyt konstruktionen til at bestemme vinkel B med 5 decimaler. c. B enyt konstruktionen til at bestemme |BC| med 5 decimaler.

114

5. Trigonometri

Opgave 523

Opgave 527

I en trekant ABC er A = 110o, |AB| = 2,6 og |BC| = 6,3.

Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor A = 130,5°,

a. K onstruer en målfast tegning af trekanten, og

|AB| = 3,8 og |BC| = 2,9.

forklar konstruktionen.

a. Tegn en skitse af trekant ABC.

enyt konstruktionen til at bestemme vinkel C med b. B 5 decimaler.

b. Konstruer en målfast tegning af trekanten. c. Ofte opstår et dobbelttydigt tilfælde, hvor den

c. B enyt konstruktionen til at bestemme |AC| med 5 decimaler.

ene trekant er stumpvinklet og den anden er spidsvinklet, når man konstruerer en trekant ud fra to sider og en vinkel, der er modstående til

Opgave 524

den ene. Gør rede for, hvorfor man ikke får et o

I en trekant ABC er C = 63 , |AC| = 7,1 og |BC| = 4.

dobbelttydigt tilfælde i denne opgave.

a. Konstruer en målfast tegning af trekanten, og forklar konstruktionen. b. Benyt konstruktionen til at bestemme |AB| med 5 decimaler. c. Benyt konstruktionen til at bestemme vinkel B med 5 decimaler.

Opgave 528 Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor |AB| = 7,4, vinkel BAC = 54,5o og vinkel ABC = 67,1o. a. Tegn en skitse af trekant ABC. b. Konstruer en målfast tegning af trekanten.

Opgave 525

Opgave 529

Om trekant ABC oplyses det, at A = 43°, |AB| = 3,5 og

Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor |BC| = 4,1,

|BC| = 2,7.

vinkel ABC = 114,2o og vinkel BCA = 40,7o.

a. Tegn en skitse af trekant ABC.

b. Konstruer en målfast tegning, der viser de to

b. Konstruer en målfast tegning af trekanten.

trekanter, der kan være tale om.

c. Om et punkt P gælder, at |AP| = 3 og |BP| = 3. Undersøg, om P kan ligge inde i trekanten.

Opgave 526 Om trekant ABC oplyses det, at A = 43°, |AB| = 3,5 og

d. Bestem afstanden fra C til P og angiv facit med 5 decimaler.

|BC| = 4,1. a. Tegn en skitse af trekant ABC.

Opgave 530

b. Konstruer en målfast tegning af trekanten.

Vi vil konstruere en trekant ABC, hvor |AB| = 12,3,

c. Ofte opstår et dobbelttydigt tilfælde, når man

vinkel CAB = 62,6o og vinkel ACB = 35,1o.

konstruerer en trekant ud fra to sider og en vinkel,

a. Konstruer en målfast tegning af trekanten.

der er modstående til den ene. Gør rede for, hvorfor

b. B rug konstruktionen til at beregne |BC|, og angiv

man ikke får et dobbelttydigt tilfælde i denne

facit med 5 decimaler.

opgave. Brug evt. besvarelsen af opgave NN som en del af argumentationen.

Opgave 531 Om en trekant ABC gælder, at |AB| = 5,3, vinkel BAC = 43,1° og vinkel ACB = 56,4°. a. Tegn en skitse af trekant ABC. b. Udregn vinkel ABC. c. Konstruer en målfast tegning af trekanten.

5. Trigonometri

115

Opgaver – 5. Trigonometri Opgave 532

Opgave 536

Om en trekant ABC gælder, at |BC| = 4,2, vinkel

Tegn en enhedscirkel, og brug den til at argumen-

ABC = 60,1° og vinkel BAC = 71,9°.

tere for at:

a. Tegn en skitse af trekant ABC.

a. sin(70) = sin(110)

b. Udregn vinkel CAB.

b. cos(30) = cos(–30)

c. Konstruer en målfast tegning af trekanten. d. Om et punkt P gælder, at |AP| = 2 og |CP| = 3.

Opgave 537

Undersøg om punktet kan ligge inde i trekanten.

e. Gør rede for, om punkt P kan bestemmes entydigt (cos(154), sin(154))

eller om det er dobbelttydigt.

-1

Opgave 533 Om en trekant ABC gælder |AB| = 8,2, vinkel CAB = 29,7° og vinkel BAC = 22,6°.

-1

a. Konstruer en målfast tegning af trekanten. b. Brug konstruktionen til at beregne |BC|, og angiv

Vinklen i enhedscirklen på figuren er 154°. a. Aflæs sin(154)

facit med 5 decimaler.

b. Aflæs cos(154) Opgave 534

c. Hvor mange grader er der yderligere ned til

Tegn en enhedscirkel.

førsteaksen?

a. Afsæt punktet P til en vinkel på 160°.

d. Ved hvilken anden vinkel ville man aflæse

b. Afsæt P til en vinkel på 500°.

c. Afsæt P til en vinkel på –35°.

e. Ved hvilken anden vinkel ville man aflæse

samme sinus på andenaksen? samme cosinus på førsteaksen?

Opgave 535 Opgave 538 P v

1 J 1

-1

v 1

2 -1

-1

På figuren er vinklen v = 120°. Førstekoordinaten (x-værdien) til punktet P er cos(120) = –0,5. a. Find andenkoordinaten til

P = ( cos(120), sin(120)) .

b. Hvis vi ikke kendte vinklen, men vidste, at

a. Aflæs bedst muligt de fem værdier af sinus og

cosinus, og udfyld et skema som dette: Vinkel

førstekoordinaten var –0,5, så kunne vi finde

vinklen ud fra ligningen cos(v) = –0,5, hvor v

sinus

skal findes. Tryk cos–1(–0,5), som giver 120°.

cosinus

Prøv selv.

116

5. Trigonometri

100

135

200

300

Opgave 542

Opgave 539 a. Brug lommeregneren til at udfylde et skema

som dette: Vinkel

90 150 180 210 270 330 360

P 260

sinus

0 -1

cosinus

260 -260

1 P 0 -26

-1

Opgave 540 På enhedscirklen er punktet E (cos(60) , sin(60)) indtegnet. D(cos(v),sin(v))

E (cos(60),sin(60))

v 0

-1

B 1

-1

a. Aflæs koordinaterne til det punkt, og kontroller i tabellen eller på lommeregner, at du har aflæst omtrentligt rigtigt. b. D u kan se, at der er et andet punkt der har samme y-koordinat, altså samme sin(v) værdi.

Giv et argument, hvor du inddrager noget om symmetri til at påstå, at sin(60) = sin(120), og altså at den indtegnede vinkel er 120°.

Vend nu blikket mod x–aksen og cos(60). Det ses, at førstekoordinaten til punkt E er 0,5. Og førstekoordinaten er også cosinus, så cos(60) = 0,5. –1 c. Tast nu cos (0,5) på en lommeregner.

Opgave 541 2 2 a. B evis, at sin(v) + cos(v) = 1

(Spørg bare Pythagoras).

a. Tegn en skitse af figuren med vinkler, punkter, betegnelser og det hele. b. Aflæs koordinaterne til punkterne P26 og P–26 og tegn dem ind i din skitse. c. Grundet symmetrien har punkterne samme førstekoordinat. Er cos(26) = cos(–26)? d. Grundet symmetrien har punkternes anden koordinat samme numeriske størrelse, men forskelligt fortegn. Er sin(26) = –sin(–26)? e. Tegn en ny skitse, og vis på den, at cos(60) = cos(–60) f. Tegn en ny skitse, og vis at sin(60) = – sin(–60) Opgave 543 a. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(50) er større end 0,1. b. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(–50) er større end 0,1. c. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(90) er mindre end 0,17. d. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(180) mindre end –0,41. e. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(270) er større end 0,1. f. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(90) = 0. g. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(210) er mindre end 0. h. Tegn en skitse af en enhedscirkel, og forklar ud fra den, om cos(360) er større end 0,87. ”Ja”, væn dig til altid at tegne en skitse af en enhedscirkel i trigonometriske opgaver.

5. Trigonometri

117

Opgaver – 5. Trigonometri Opgave 544

Opgave 547

Tegn en skitse som en del af svaret til hvert eneste

I en retvinklet trekant ABC er A = 30° og C er ret.

spørgsmål herunder.

Hypotenusen har længden 5.

a. Er sin(50) større end 0,1?

Vi skal have beregnet længden af den hosliggende

b. Er sin(80) mindre end 0,5?

katete ved at arbejde med nedenstående punkter:

c. Er sin(10) < 1?

a. Tegn en skitse, og indsæt betegnelser for

d. Er sin(90) = 0?

e. Er sin(180) = 0?

b. Vælg, om der skal bruges cos, sin eller tan ud

f. Er sin(45) = cos (45)?

g. Er sin(80) = sin (100)?

liggende katete og har hypotenusen.

h. Er sin(0) = sin (180)?

c. Omform formlen og regn.

i. Er sin(270) > 0,8 ?

d. Opgavens facit er 4,33. Dit facit er din doku-

vinkelspidser og sider. fra oplysningerne om, at du skal finde den hos-

mentation for, at du har arbejdet med a) til c), Opgave 545 a. Tegn et koordinatsystem, hvor alle 4 kvadranter

og dermed kan forklare, hvordan facit udregnes. e. Beregn nu længden af A’s modstående katete.

er lige store.

b. x- og y-akserne skal gå fra –2 til +2, men være

Opgave 548

Tegn en skitse af hver trekant, påfør skitserne

pænt store på tegningen.

c. Tegn en enhedscirkel.

betegnelser for vinkelspidser og sider, og beregn

d. Indtegn en radius, så den danner en vinkel på

størrelsen af dem.

60° (sådan cirka) med førsteaksen.

e. Indtegn punktet P1, der hvor radius skærer

40o

cirklen. f. Indtegn yderligere et punkt på cirklen P2, der

50o

har samme y–koordinat som P1, men en negativ x-koordinat. g. Tegn en radius ud til den også. 60º

h. M arker vinklen mellem P2’s radius og førsteaksen, og kald den w. i. Hvilket gradtal har vinklen w? j. Vis med en stiplet linje fra punkterne ind til y-

aksen, at P1 og P2 har samme y-koordinat.

k. Tegn en stiplet linje fra de to punkter vinkelret

ned til x-aksen.

l. Argumenter for, at de to x-koordinater ligger

lige langt fra Origo.

Opgave 549 a. Navngiv sider og vinkler i trekanten nedenfor, –1 og beregn B ved at bruge sin .

b. Beregn størrelsen på den anden spidse vinkel. c. Beregn længden af den sidste side.

Opgave 546

d. Beregn trekantens areal.

Tegn en enhedscirkel, og tegn en vinkel v samt vinklen: ”v + 90°”.

a. Vis på tegningen, at cos(v + 90) = –sin(v) b. Vis også, at sin(v + 90) = cos(v) B

118

5. Trigonometri

Opgave 550

Opgave 553 I en retvinklet trekant ABC, hvor C er ret, brug da 8

huskereglen cos(v) =

hos til at beregne: hyp

a. Siden a, når B = 80° og c = 20

b. Siden b, når A = 50° og c = 50

a. Navngiv sider og vinkler, og beregn vinkel A i

c. Vinklen A, når b = 30 og c = 31

d. Vinklen B, når a = 5,43 og c = 8,1

trekanten nedenfor.

b. Bestem de to sidste vinkler. c. Beregn længden af vinkel A's hosliggende

Opgave 554

katete.

I en retvinklet trekant ABC, hvor C er ret, brug da

d. Beregn arealet af trekanten.

huskereglen tan(v) =

mod til at beregne: hos

Opgave 551

Vinklen A, når a = 6 og b = 8

a. Bestem, om der skal stå + eller – i de tomme

Vinklen B, når a = 57 og b = 78

felter i dette skema over fortegnene for cosinus,

sinus og tangens. Opgave 555 Vinkel v i grader

cos(v)

sin(v)

tan(v)

]90 ;180[

a. I trekanterne er vinkel C ret. Bestem de øvrige vinkler.

]0 ; 90[ –

–

b. Bestem herefter den sidste side i hver trekant. B

]180 ; 270[ ]270 ; 360[

Vink: Tegn skitser af enhedscirkler og indtegn så

vinkler i intervallerne nedenfor, og tænk over hvor

cos(v), sin(v) og tan(v) aflæses.

Opgave 552 I en retvinklet trekant ABC, hvor C er ret, brug da huskereglen sin(v) =

mod til at beregne: hyp

a. Siden a, når A = 23° og c = 5. b. Siden b, når B = 70°, og c = 7 c. Vinklen A, når a = 3 og c = 10 d. Vinklen B, når b = 4,56 og c = 7,89

Opgave 556 En retvinklet trekant ABC, hvor siden c er hypotenuse, er c = 8 og a = 5. a. Tegn en skitse af trekanten, og bestem vinkel B. b. Beregn den sidste side i trekanten. c. Beregn trekantens areal.

5. Trigonometri

119

Opgaver – 5. Trigonometri Opgave 557

Opgave 561

I en vilkårlig trekant ABC er arealet T = 20, og

I en trekant ABC er B = 30°, a = 7 og c = 9.

vinkel A = 75° og siden b = 5.

a. Tegn en skitse af trekanten.

a. Bestem siden c.

b. Beregn arealet af trekanten.

b. Beregn vinkel B. Opgave 562 Opgave 558

I en vilkårlig trekant ABC er A = 75°, a = 5 og b = 8.

c. Beregn vinkel B. d. Tegn trekanten. e. Tegn en enhedscirkel, og vis på den med stiplede linjer, at der er en anden vinkel, der har samme sinus-værdi.

f. Bestem denne vinkel.

g. Tegn den trekant der hører til denne vinkel. Opgave 563

På tegningen af den vilkårlige trekant ABC fremgår tre størrelser. C

a. B eregn arealet af den spidsvinklede trekant nedenfor, idet det oplyses at længden siden BC = 5. b. B eregn vinkel C i den stumpvinklede trekant, idet det oplyses at arealet T = 6.

a. Beregn længden af siden c. Opgave 559

b. Beregn arealet af trekanten.

I en vilkårlig trekant ABC er B = 12°, a = 2 og c = 5. a. Tegn en skitse af trekanten, og beregn trekantens areal.

Opgave 564 I en vilkårlig trekant ABC er a=16, c=9 og vinkel C=25°.

Opgave 560 I en vilkårlig trekant ABC med arealet 34, er a = 11 og b = 15 .

a. B eregn vinkel A idet det oplyses at den er stump. b. Tegn en skitse af trekanten.

a. B estem en af vinklerne i trekanten efter eget Opgave 565

valg.

I en trekant ABC er B = 30°, a = 7 og c = 9. a. Tegn en skitse af trekanten. b. Beregn arealet af trekanten.

120

5. Trigonometri

Opgave 566

Opgave 569

På tegningen ses to trekanter. For begges ved-

En kvinde sidder på en gynge, der hænger 2,5 m

kommende oplyses der tre størrelser.

under træet, og hvor der er 0,7 m fra sædet til

a. B eregn resten af siderne og vinklerne i hver

jorden.

trekant.

a. H vilken vinkel danner gyngen med lodret,

b. H vor mange størrelser skal man mindst have oplyst for at kunne udregne resten i en vilkårlig

når hun gynger så højt, at der er 1,8 m til jorden?

trekant? B

B C

A A

Opgave 567 En socialdemokratisk politiker køber et hus, hvor hoveddøren er 2,3 m høj. Hans portræt af Stauning skal bæres, så det hælder 32° for at kun-

Opgave 570

ne komme ind i huset. Hvor højt er dette portræt?

En olympisk mester i spydkast vil have spot på sin guldmedalje. Medaljen hænger på væggen 0,75 m under loftet. Spotlampen i loftet sidder 2 m væk fra væggen. a. Hvilken vinkel skal spottet indstilles til? Opgave 571 I et smukt hovedspring fra femmetervippen lander en svømmer 2,8 m ude i vandet. a. Hvilken vinkel rammer hun vandet med? Opgave 572 (udfordring) Tegn en tegning, og argumenter for sætningen: Hvis en ret linje med ligning y = ax + b skærer x-aksen med vinklen v, så er tan(v) = a.

Opgave 568 En larve gnaver sig 6 mm op gennem huden på en uopmærksom matematikelev i en vinkel på 40°

Husk, at a =

y2 – y1

x2 – x1

med vandret. Her lægger den sine æg. a. Hvor langt inde under huden ligger æggene?

5. Trigonometri

121

Opgaver – 5. Trigonometri Opgave 573

Opgave 579

For en trekant kendes følgende størrelser:

En alternativ behandler planter sine urter i et tre-

C = 65

a = 7

b=5

kantet bed med sidelængderne 7 – 9 – 13.

a. Beregn de øvrige størrelser.

a. Hvilke vinkler har bedet?

Opgave 574

Opgave 580

a. Isolér cos(A) i cosinusrelationen.

En københavner er kommet i havsnød ude på

a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cos(A)

Vesterhavet. Han befinder sig mellem to livreddere på kysten. Fra livredder A er der 350 m til

Opgave 575

københavneren i en vinkel på 30°. Der er 500 m

a. I en trekant ABC, beregn da talværdien af A, når

mellem livredder A og livredder B.

a. H vem har den korteste afstand til køben-

 52 + 6,672 − 72  A = cos −1   2 ⋅ 5 ⋅ 6,67 

havneren?

b. Hvor lang er siden a?

Opgave 581 Opgave 576

En vinmark på en sydvendt bakkeskråning hælder

a. Beregn hvilke tal, der skal stå i de tomme felter

med 30°. Marken er 400 m lang. Nordsiden af bak-

for hver af de to trekanter ABC. A

Trekant 1

Trekant 2

ken er 250 m lang. b

3 45

4,5

a. Hvor meget hælder nordsiden? Opgave 582 Guinevere står 0,75 m fra Arthur og 1,3 m fra Lancelot. Der er 0,9 m mellem mændene.

Opgave 577

a. Hvilke vinkler har denne trekant?

a. Tegn et linjestykke på 5 cm, og kald endepunk-

terne for hhv. A og B. Tegn en cirkel med radius

3 cm og centrum i B. Tegn en stiplet linje gen-

Mundtlige opgaver

nem A, der skærer linjestykket fra A til B i en

Opgave 583

a. Tegn en retvinklet trekant DEF, hvor vinkel F er

vinkel på 20°.

b. Forklar ud fra din tegning, at der findes to mu-

lige trekanter, hvor c = 5, a = 3 og A = 20°.

en ret vinkel, og skriv betegnelser for siderne på skitsen. b. U dtryk med trekantens betegnelser, at cosinus

Opgave 578

til en spids vinkel i en retvinklet trekant er lig

En klapstol har ben på 60 cm,

med den hosliggende katete divideret med

der står i en vinkel på 150° med ryggen, der er 45 cm høj.

a. B eregn længden fra jorden til stolens øverste kant.

122

5. Trigonometri

hypotenusen. c. U dtryk, hvad der gælder om sin(D) i trekanten.

Opgave 584 a. Tegn en stor enhedscirkel, hvor du afsætter to radiusser, som danner vinklerne 30° og 150° (brug øjemål) b. Forklar, hvad cos(v) og sin(v) er. c. Forklar ud fra enhedscirklen, hvad der forstås ved "sin–1(0,5)" Opgave 585 Tegnestuen no. 66 skal deltage i en konkurrence om fremtidens bolig med et stort prestigeprojekt, hvor tallet 66 skal indgå så mange gange som muligt. a. Lav en model af et udsnit af fremtidens bolig,

eksempelvis en altan, et badeværelse eller en

stue. Tallet 66 skal optræde i så mange længder

og vinkler som muligt. (Du kan tegne på papir

eller bygge med tændstikker eller bruge mode-

lérvoks…) b. Brug mindst én sinusrelation til at demonstrere,

at tallet 66 optræder.

c. Brug mindst én cosinusrelation til at demon-

strere, at tallet 66 optræder.

d. Fremlæg dit projekt.

5. Trigonometri

123

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (5)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Ligninger Omformning: Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

1. Løs ligningerne

3. Løs ligningerne

a. x – 3x – 2 = 8 b. 5 + x = 6x c. 2 + 3(x – 1) = 2

2. Løs ligningerne

a. 2(x – 4) = -6 b. 8x – 3 = 3x + 2 c. 1 + 3(x – 2) = 3

4. Løs ligningerne

a. 4 (2 – x) + 3 = 6 b. 4x + 3 = x c. 2 + 5x = 17

6. Løs ligningerne

a. 5x + 1 = 6 + x b. 6 (x + 0,5) = 12 c. –4 + 2x = 8

7. Beskriv fejlen og skriv omformningen korrekt a. 3 – (x + 1) = 2 + x 3–x+1=2+x 3 + 1 = 2 + 2x 4 = 2 + 2x 2 = 2x 1=x

5. Løs ligningerne

a. 2 + 2x = 2 + x b. 4x + 4 = 5 c. 2 – 3x = –2x +3

b. 2 – (x – 3) = 4 + 2x 2 – x – 3 = 4 + 2x 2 – 3x – 3 = 4 3x = 5 x = 35

a. 2x + 3 = 11 – 6x b. 1,2x + 1,1 = 3,4 c. 7 + 2x = x + 1

8. Beskriv fejlen og udregn korrekt b. 2 – x = 3(4 – x) 2 – x = 12 – 4x 3x =10 x = 10 3

a. 3 + 3(x – 1) = 2x – 1 3 + 3x – 1 = 2x – 1 2 + 3x = 2x – 1 2 + x = –1 x = –3

Reduktion: Husk at du ikke må sammenblande de variable som a, b, a2 osv. Eksempel: 3a – b + 2a kan reduceres til 5a – b. 3a – b + 2a2 kan ikke reduceres.

9. Reducer udtrykket a. b. c. d.

124

a + 2b – 2a(b + 2) + a a – ab – (b + 2a) b2 + b – 2a2 – (b2 + 2b) 5 + a(2 + a) + 2a2

5. Trigonometri

10. Reducer udtrykket a. b. c. d.

3x – (y + 2x – 2) + y y (1 – y) + 2yvv2 x – (3x + 2) – x x (4 – x) + x2 – 8 – x

11. Reducer udtrykket a. b. c. d.

2x – x2 + 2x – 3x2 a(2 – a) + a2 – 2a x2 + 4(x + 2) – 5x (1 + x) a(b – a) + 2a2 – b + a

Potenser: Husk, dt der ifølge en definition gælder, at a − n =

1 , a0 = 1 an

Endvidere kan det vises, at der gælder følgende regler: an · am = an+m og Eksempler: 3−2 =

an = a n–m am

3 1 1 4 4 3 ⋅ 4 −3 = 4 3 ⋅ 3 = 3 = 1 2 og 3 4 4

43 – 42 = 43–2 = 41 = 4 og

12. Udregn tallet

5 6 = 56–4 = 52 = 25 54

14. Udregn tallet

a. 24 b. 3–3 c. 4–2

16. Udregn potenserne

a. 45 · 4-2 b. 25 · 2-3 4 c. 43

a. 96 · 9-4 b. 29 · 2-5 7 c. 105

13. Udregn tallet

15. Udregn potensen

a. 73 · 7–2 b. 104 · 10–2 c. 34 · 3–1

17. Udregn og reducer

a. 52 · 5–1 b. 23 · 2–3 7 c. 34

Cirkel med radius r Kvadrat med sidelængde s Rektangel med sidelængderne l og b Trekant med højde h og grundlinje g

a. x8 · x–6 x7 x3 7 c. a0 a

a. a6 · a–3 b. b8 · b–5 7 c. a5 a

Geometriske formler

18. Udregn og reducer

Areal

Omkreds

A=π·r A = s2 A = l · b A = 1 h · g 2

O = 2π · r O=4·s O=2·l+2·b O = s1 + s2 + s3

Eksempel En trekant har en højde med længden 4 og en grundlinje med længden 6. Trekantens areal er: T = 1 · 4 · 6 = 12. 2

19. Udregn arealet af a. en cirkel med radius 5 b. en trekant, hvor h = 6 og g = 3 c. et kvadrat, hvor s = 2 d. et rektangel med l = 2,5 og b = 2

20. Udregn omkredsen af a. en cirkel med r = 3 b. en trekant hvor s1 = 1, s2 = 2 og s3 = 1,5 c. et kvadrat, hvor s = 2,25 d. et rektangel med l = 9 og b = 12,5

22. Isoler a. b. c. d.

b i formlen A = l · b r i formlen O = 2π · r π i formlen O = 2π · r h i formlen A = 1/2h · g

23. Isoler a. π i formlen O = 2π · r b. h i formlen A = 1/2h · g c. r i formlen A = π · r2 d. s2 i formlen O = s1 + s2 + s3

21. Udregn a. Omkredsen af en cirkel, hvor r = 10 b. Arealet af en trekant, hvor h = 60 og g = 4 c. Arealet af et kvadrat hvor s = 8 d. Omkredsen af et rektangel l = 4 og b = 5 5. Trigonometri

125

6. Procent

1 Introduktion

62 procent af alt det affald, der fjernes fra verdenshavene, er plastik, og det meste heraf er emballage. I 2014 blev der produceret 311 millioner ton plastik i verden, og af denne mængde blev 26 procent brugt til emballage og resten til forskellige produkter.

2 Definition

Procent betyder ”per hundrede” eller ”hundrededel” 1% = 1 = 0,01. 100

3 Eksempel 5 % = 0,05

26 % = 0,26

100 % = 1

129 % = 1,29

4 Eksempel Vi vil fortsætte intro-eksemplet ved at beregne, hvor mange millioner ton plastik der bruges til emballage i 2014. Vi skal altså have beregnet, hvor meget 26 % er ud af 311 millioner ton. Det kan gøres ved at dividere med 100 for at finde mængden sva311 ⋅ 26 = 80,86 . Der blev altså produceret rende til 1 % og herefter gange med 26: 100

80,86 millioner tons plastik til emballage i 2014.

Vi kunne imidlertid noget hurtigere have beregnet 26 % af 311 således: 311 ∙ 0,26 = 80,86.

5 Eksempel En næsering koster 196 kr., før momsen på 25 % lægges til. Hvad bliver prisen inkl. moms? Momsbeløbet:

196 ∙ 0,25 = 49

Prisen inkl. moms: 49 + 196 = 245. Altså bliver prisen 245 kr. inkl. moms. De to udregninger kan slås sammen til én blot ved at gange med 1,25: 196 ∙ 1,25 = 245. Årsagen er, at vi kan opfatte tallet 1,25 som summen 1 + 0,25, og dermed har vi: 196 ∙ (1 + 0,25) = 196 ∙ 1 + 196 ∙ 0,25 = 196 + 49 = 245.

6 Eksempel En aktiebeholdning har først en værdi på 278 000 kr. Aktierne stiger med 5 %. Vi vil bestemme værdien efter 5 % stigningen: 278 000 ∙ 1,05 = 291 900. Aktieposten er altså 291 900 kr. værd efter stigningen. I de to eksempler er der multipliceret med hhv. 1,25 og 1,05 for at lægge hhv. 25 % og 5 % til. De to tal 1,25 og 1,05 kaldes ”fremskrivningsfaktorer”.

126

6. Procent

7 Definition Fremskrivningsfaktoren (1 + r) er den faktor, man skal gange med for at lægge r ∙ 100 % til. Tallet r kaldes vækstraten. Hvis der skal trækkes r ∙ 100 % fra, er r negativ.

8 Eksempel En studerende betaler 900 kr. for et værelse. Huslejen stiger 17 %. Vi vil beregne den nye husleje. Vækstraten er 0,17 og fremskrivningsfaktoren 1 + 0,17 = 1,17. Vi ganger huslejen med fremskrivningsfaktoren: 900 ∙ 1,17 = 1053. Altså er den nye husleje 1053 kr.

9 Eksempel I et akvarium på 300 liter fordamper ca. 5 % af vandet om måneden. Da der forsvinder vand, er vækstraten negativ, r = –0,05. Fremskrivningsfaktoren er nu mindre end en: ( 1 + (–0,05)) = 0,95. Vi beregner antal liter vand efter en måned ved 300 ∙ 0,95 = 285. Der altså være 285 liter vand i akvariet efter en måned.

10 Øvelse Omskriv 32 % til decimaltal. Beregn 32 % af 1 074 kr.

11 Øvelse I 2014 blev der solgt 9 912 tons økologiske æg i Danmark. Denne mængde steg 4 % i 2015. Bestem vækstrate og fremskrivningsfaktor. Beregn, hvor mange tons økologiske æg der blev solgt i Danmark i 2015.

12 Øvelse I en reklame fremgår det, at man kan spare 23 % ved at udskifte gamle termostater med nye. I et bestemt hus bruger man 15 500 kr. pr. år til varme og vil skifte termostater. Bestem vækstraten og fremskrivningsfaktoren. Bestem den nye udgift til varme.

13 Øvelse I 2014 blev der solgt 843 tons økologisk svinekød i Danmark. Denne mængde steg 30 % i 2015. Bestem vækstrate og fremskrivningsfaktor. Beregn, hvor meget den solgte mængde steg til i 2015. Bestem, hvor meget økologisk svinekød der sælges i Danmark i 2016, hvis vækstraten igen er 30 %.

6. Procent

127

6.1 Procentregning og indekstal

14 Introduktion

Prisen på en vare bliver sat 45 kr., svarende til en prisstigning på 7 % . Vi vil beregne den nye pris. Da vækstraten er 7 %, har vi en fremskrivningsfaktor på 1,07. Dermed gælder der, at 1,07 ∙ førprisen = førprisen + 45 kr. Vi indfører nu variablen x som førprisen i kr. og har derved ligningen: 1,07x = x + 45. Denne løses ved omformning: 1,07x = x + 45

1,07x – x = x + 45 – x

0,07x = 45 45 , som med 2 decimaler er lig med 642,86. x = 0,07

Førprisen er altså 642,86 kr. Den nye pris i kr. er: 642,86 kr. + 45 kr. = 687,86 kr. De fleste procentopgaver kan med fordel løses med en ”mini-modelleringsproces” som den ovenstående. Vi vil først se nærmere på yderligere et eksempel, og herefter bruge metoden på de såkaldte indekstal.

15 Eksempel Eksporten af økologiske varer satte rekord for 10. gang i år 2015, hvor Danmark eksporterede for 1 983 mio. kr. I år 2014 var eksporten på 1 721 mio. kr. Vi vil bestemme den absolutte og den relative stigning. Den absolutte stigning er blot forskellen på tallene: 1 983 mio. kr. – 1 721 mio. kr. = 262 mio.kr. Den relative stigning er stigningen fra 1 721 til 1 983 i procent. Vi lader x betegne fremskrivningsfaktoren og kan nu opstille ligningen: 1 721 ∙ x = 1 983. Vi løser denne ligning ved division med 1 721 på begge sider af lighedstegnet og får x = 1983 1721 =1,15 Fremskrivningsfaktoren x er altså 1,15 og vækstraten 0,15. Den relative stigning er altså 15 %. Når man skal beskrive en udvikling i nogle tal, som fx den danske økologiske eksport, bruger man ofte indekstal. De beskriver den relative udvikling.

16 Indekstal Først vælges et bestemt år som udgangspunkt. Dette kaldes basisåret. Herefter beregner man fremskrivningsfaktorerne for de følgende år, ganger dem med 100 og skriver dem i en tabel.

128

6. Procent

17 Eksempel Eksporten af økologiske varer målt i mio. kr. for årene 2009 til 2015 ses i nedenstående tabel. År

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Eksport i mio. kr.

745

857

1038

1166

1533

1721

1983

Vi vælger 2009 som basisår og beregner fremskrivningsfaktoren fra år 2009 til år 2010 med samme metode, som vi benyttede i eksempel 15: Vi indfører derfor ligningen 745 ∙ x = 857 og løser den ved division x = 857 745 = 1,15. Fremskrivningsfaktoren er altså 1,15 og indekstallet er derfor 115. Fremskrivningsfaktoren fra 2009 til 2011 udregnes således: 745 ∙ x = 1 038 =1,39 x = 1038 745

Fremskrivningsfaktoren er altså 1,39 og indekstallet er derfor 139. På tilsvarende vis udregnes resten og det hele opstilles i en tabel: År

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

Indekstal

100

115

139

157

206

231

266

Vi kan nu let danne os et overblik over den relative udvikling. Eksempelvis kan vi se, at eksporten fra 2009 til 2012 er vokset 57 %, og at den fra 2009 til 2015 er vokset hele 166 %.

18 Øvelse Beregn den absolutte og relative ændring når et tal ændres fra: a. 50 til 60. b. 1000 til 850.

19 Øvelse Befolkningstallet på jorden var omkring 6 600 mio. i slutningen af 2006. Dette tal steg til 7 000 mio. i slutningen af 2011. Her blev pigen Danica May Camcho født og symbolsk udpeget som menneske nummer 7 millard af FN. a. Bestem den absolutte stigning i befolkningtallet fra 2006 til 2011. b. Bestem den relative stigning i befolkningstallet fra 2006 til 2011.

20 Øvelse Tabellen viser befolkningsantallet på jorden i millioner individer i udvalgte år. År

2000

2005

2010

2015

Import i mio. kr.

6 127

6 520

6 930

7 349

a. Beregn fremskrivningsfaktoren fra år 2000 til 2005. b. Opstil tabellen som indekstal, hvor år 2000 = 100. c. Er år 2000 basisåret?

21 Øvelse Shutterstock256788508 Tabellen viser indekstal for solgte el-biler i årene 2013-2017.

6. Procent

129

6.2 Beregning af start- og slutkapital

21 Eksempel

En velhaver køber aktier for 100 000 kr. til sit barnebarn. Hun regner med et årligt afkast på 15 %:

• I år 1 er værdien 100 000 ∙ 1,15 = 115 000 kr.

• I år 2 er værdien 100 000 ∙ 1,15 ∙ 1,15 = 100 000 ∙ 1,152 = 132 250 kr.

• I år 3 er værdien 100 000 ∙ 1,15 = 152 088 kr.

• I år 4 er værdien 100 000 ∙ 1,15 = 174 901 kr.

3 4

Bemærk at når værdien i år 4 udregnes, så ganges startbeløbet med fremskrivningsfaktoren opløftet i 4. potens. Sådan er det generelt og derved kan sammenhængen udtrykkes i en formel. 23 Sætning Renteformlen Hvis et bestemt beløb (startkapital) vokser med en bestemt vækstrate gennem flere terminer med fast rente, så beregnes slutkapitalen med denne formel: K n = K0 ∙ (1 + r )

K0 er startbeløbet (startkapitalen) K n er slutbeløbet (slutkapitalen) n er antallet af terminer 1 + r er fremskrivningsfaktoren r er vækstraten Antallet af terminer er det antal gange, hvor der tilskrives rente. Hvis renten er 2 % p.a. betyder det, at der tilskrives 2 % p.a., altså 1 gang om året. Antallet af terminer er da lig med antallet af år.

Om at beregne slutbeløbet K n 24 Eksempel Et person investerer 20 000 kr. og forventer, at værdien stiger 4 % pr. år. Vi vil bestemme den forventede værdi efter 5 år: De kendte størrelser er: K0 = 20 000, r = 0,04 og n = 5 Størrelserne indsættes i formlen, og vi udregner resultatet: K5 = 20 000 · 1,045 = 24 333,06. Altså er den forventede værdi 24 333 kr. efter 5 år.

130

6. Procent

Om at beregne startbeløbet K0 25 Eksempel Efter 3 år står der 1 500 kr. på en konto, hvor renten konstant har været 6 % p.a. Vi vil bestemme, hvor meget blev der indsat fra start. De kendte størrelser er: K3 = 1 500, r = 0,06 og n = 3. Disse indsættes i renteformlen: 1 500 = K0 · 1,063 For at løse ligningen, må vi i dette tilfælde enten omforme ligningen for at isolere K0 eller løse ligningen i et CAS-værktøj. Ved omformning isoleres K0 ved at dividere med 1,063 på begge sider af lighedstegnet: 1500 = K0 · 1,063 K0= 1500 1,06 3

K0= 1259,43

I CAS løses ligningen ved: solve(1500 = K0 · 1,063, K0) → 1259,43 Altså blev der indsat 1 259,43 kr. til start.

26 Eksempel Værdien af en båd faldt 15 % om året i 4 år i træk. Den endte med at blive solgt for 250 000 kr. Hvad kostede den oprindeligt? De kendte størrelser er: K4 = 250 000, r = –0,15 og n = 4. Fremskrivningsfaktoren er nu: 1– 0,15 = 0,85, og vi har derfor ligningen: 250 000 = K 0 ⋅ 0,854 ⇔ K 0 =

250 000 = 478 921, 47 0, 854

Båden kostede altså oprindeligt 478 921 kr.

27 Øvelse En person køber et investeringsbevis på 10 000 kr. med en garanteret forrentning på 6 % p.a. a. Bestem værdien af hendes investering efter 1 år. b. Bestem værdien af hendes investering efter 4 år.

28 Øvelse På en konto med en fast rente på 3 % p.a. indsættes 5 000 kr. a. Bestem hvor meget beløbet er steget til efter 4 år. b. En ladcykel til 15 000 kr. anslås til at tabe 12% i værdi om året. Hvad kan den sælges for efter 6 år?

29 Øvelse Værdien af bestemt ny bil antages af falde 27 % om året de første tre år efter købet. Efter 3 år var den 180 000 kr. værd. a. Hvad kostede bilen fra ny? b. B estem, hvor meget bilen er værd, når den er 6 år gammel, hvis den taber 15 % i værdi om året fra år 3 til 6. 6. Procent

131

6.3 Beregning af renter r og terminer n

30 Introduktion Billedet er fra gammel udgave s.88,

En person indsatte kr. 1 800 på en speciel opsparingskonto med fast rente. Efter 4 år var saldoen vokset til kr. 3 000. Vi vil nedenfor bestemme den årlige rentesats ved hjælp af renteformlen: K n = K0(1 + r)n.

Om at beregne renten r 31 Eksempel Vi fortsætter eksemplet fra introduktionen. De kendte størrelser er:c = 1800, n = 4 og K4 = 3000. I renteformlen K n = K0(1 + r)n kan r isoleres ved omformning, hvorved man får formlen: r=n

Kn −1 . K0

Vi indsætter de kendte størrelser og får: r=4

3000 1 1800 −

r = 0,1362 Renten er altså 13,62 % p.a. Vi kan også bestemme r ved at indsætte de kendte størrelser i renteformlen og løse ligningen med et CAS-værktøj: solve( 3000 = 1800 · (1 + r)4, r) → 0,1362 Når ligningen løses i CAS, er der nogle ting man skal være opmærksom på. Der vil komme en negativ løsning også, og CAS vil måske udtrykke løsningen med eksakte tal.

Om at beregne antal terminer n 32 Eksempel Der indsættes 1 000 kr. på en konto, hvor renten fast er 8 % p.a. Hvor mange terminer vil der gå før der står 2 000 kr. på kontoen? De kendte størrelser er: K0 = 1000, r = 0,08 og K n = 2000. I renteformlen K n = K0(1 + r)n kan n isoleres ved omformning, hvorved man får formlen: n=

log 

Kn   K 0 

log(1 + r )

Størrelserne indsættes i formlen: n=

log 

2000  1000 

log(1 + 0, 08)

n = 9,00647 Der går altså 9 terminer før der står 2 000 kr. på kontoen. Vi kan også bestemme n ved at indsætte de kendte størrelser i renteformlen og løse ligningen med et CAS-værktøj: solve(2000 = 1000 · 1,08n, n) → 9,00647

132

6. Procent

Udledning af formlerne 33 Begyndelsesværdien K0

35 Antal terminer n

Der divideres med (1 + r)n på begge

Først divideres med K0 på begge sider,

sider af lighedstegnet og byttes rundt

herefter tages logaritmen på begge sider,

på højre og venstre side.

så udnyttes en logaritmeregneregel på

K n = K 0 (1+ r )

højre side. Til sidste divideres med

Kn K0 = n (1 + r )

log(1 + r) på begge sider af lighedstegnet.

34 Renten r Der divideres med K0 på begge sider, herefter tages den n’te rod på begge sider og endeligt trækkes der 1 fra på begge sider. K n = K 0 (1+ r )n Kn = (1+ r )n K0 n

Kn = 1+ r K0

r=n

K n = K 0 (1+ r )n Kn = (1+ r )n K0

K  log  n  = log((1+ r )n )  K0  K  log  n  = n ⋅ log(1+ r )  K0   Kn   K 0 

log 

log(1 + r )

Kn −1 K0

36 Øvelse En person køber aktier for 4 000 kr. Efter 3 år er aktierne 5 470 kr. værd. a. Bestem vækstraten pr. år (”renten p.a.”) i perioden.

37 Øvelse En anden person graver 4 000 kr. ned i haven. Efter 3 år har hun kun 3 650 kr. i købekraft, fordi der havde været inflation, og nu var pengene mindre værd. a. Bestem vækstraten i perioden (bemærk, at den er negativ).

38 Øvelse Der indsættes 1 700 kr. i år 0 på en konto. Renten er konstant 3 % p.a. a. Bestem, hvor mange terminer der går, før der står 2 000 kr. på kontoen.

39 Øvelse Brug den relevante formel og beregn: a. Startkapitalen, når slutkapitalen er 4 500 kr. efter 8 terminer til en rente på 3 % p.a. b. R enten, når startkapitalen er 10 000 kr., og slutkapitalen er 12 000 kr. efter 5 terminer c. A ntallet af terminer, når 20 000 kr. i startkapital ved en konstant rente på 5 % vokser til 34 000 kr.

6. Procent

133

Opgaver – 6. Procent Opgave 601

Fordeling af blodtyper i Danmark

a. Når du koger ris, skal du for hver 3 dele ris

bruge 5 dele vand. Der er 8 dele i alt. Hvor

mange procent udgør vandet?

Rhesus

b. 1 del saft blandes med 9 dele vand. Hvor

mange procent af den færdigblandede drik er

saft? c. 3 ud af 5 vinder i varelotteriet. Hvor mange

mange procent mandlige elever, der var.

b. Ud af husprisen på 4 mio. kr. havde det unge par lånt 1,6 mio. kr. i banken. Hvor meget

udgør lånet i procent?

35 %

Rhesus

a. 510 ud af 790 elever var mænd. Beregn, hvor

D negativ

37 %

Fordeling af blodtyper på Island

procent er det?

Opgave 602

D positiv

D negativ

26 %

48 %

Opgave 605

c. I en butik var der 1.250 kr. i kassen. En bedrager

a. I 2011 var 55% af 123.400 studerende på de

snuppede 400 kr. Hvor mange procent blev der

længere videregående uddannelser kvinder.

Hvor mange studerende var det?

taget? d. En skjorte kostede 600 kr. og blev sat 250 kr.

b. J ames Bonds yndlingsdrink er Dry Martini. Den blandes af 3 dele gin og 1 del vermouth.

ned. Hvor stor var rabatten i procent?

Hvor mange procent af den færdige blanding Opgave 603 På et hf-center undersøgte man de studerendes

er gin? c. 45% af 382 elever på et hf-center var mænd. Find antallet af mandlige elever.

uddannelsesmæssige baggrund. Ud af 461 elever havde 149 elever mindst én forældre med en gym-

d. 76% af husprisen på 2 mio. kr. var lånt i banken. Hvor meget var lånt i kroner?

nasial uddannelse. På et gymnasium gjaldt dette for 308 elever ud af 991 elever. a. På hvilken skole var procentdelen af elever med

Opgave 606

En gruppe unge laver budget for en varm-kakao-

mindst en gymnasialt uddannet forælder størst?

bod på en rockfestival. De regner med, at der bliOpgave 604

ver variable omkostninger (kakaopulver, vand og

Blodtypen er vigtig at kende, hvis man skal have

plastikkrus) på 2 kr. pr. kop. Salgsprisen skal være

en blodtransfusion, fx som følge af en ulykke.

5 kr. pr. kop, og de regner med at få solgt 800 kop-

Blodtypefordelingen i befolkningen er forskellig

per om dagen. Rockfestivalen varer fire dage.

fra land til land.

a. H vor mange penge sælger de kakao for på de 4 dage (dette tal kaldes omsætningen)?

På et biologihold måltes blodtyperne: 7 elever var AD-positiv, 1 AD-negativ, 10 0D-posi-

b. Hvad tjener de, efter at de variable omkostninger er fratrukket (dette tal kaldes dækningsbi-

tiv 2 0D-negativ, 3 BD-positiv og 1 AB-positiv.

draget)?

a. Se på de to tabeller: Hvad er mest sandsynligt, at klassen er dansk eller islandsk?

c. Beregn dækningsbidraget i procent af omsæt-

134

6. Procent

ningen (dette tal kaldes dækningsgraden).

Opgave 607(svær)

d. Hvad bliver slutbeløbet, hvis der startes med

AM-bidrag er en skat. Den udgjorde i 2017 8 % af

alt, hvad man tjente hos sin arbejdsgiver.

e. Hvor mange procent falder et tal, der ganges

a. H vor mange procent var der tilbage af lønnen

efter AM-bidrag?

3 000 kr., og der så skal fratrækkes 4%? med 0,90 ?

f. Et viskelæder koster 2 kr. og bliver nu sat 25%

b. E n person tjener 600 000 hos sin arbejdsgiver.

op. Hvad koster det så?

Beregn AM-bidraget i kroner. I 2017 betalte man også 15 % i topskat af den

Opgave 611

del af ens indkomst, som, efter AM-bidraget var

Beregn fremskrivningsfaktoren og vækstraten,

fratrukket, lå over 479 600 kr.

når noget vokser:

c. Beregn personens topskat i kroner.

a. Fra 105 til 132

d. Hvor mange procent er topskatten, når man tager i betragtning, at den beregnes af et beløb, hvori

b. Fra 16 til 50 c. Fra 1100 til 2800

der allerede er fratrukket 8%? Opgave 612 Opgave 608

Beregn fremskrivningsfaktoren og vækstraten,

a. Hvad er vækstraten, når fremskrivningsfaktoren

når noget aftager:

er: 1,17 1,04 0,92

a. Fra 132 til 110

b. Hvad er vækstraten, når fremskrivningsfaktoren

b. Fra 30 til 27

er: 1,01 1,16 0,04

c. Fra 1100 til 946

c. Hvad er vækstraten, når fremskrivningsfaktoren

er:

1,045

0,77

1,98

Opgave 613 Udviklingslandenes bilsalg steg 61% i perioden

Opgave 609

2008 – 2011. De udviklede landes bilsalg faldt 14%

a. Hvad er fremskrivningsfaktoren, når vækstraten

i samme periode.

a. Beregn tallene, der skal stå i sidste kolonne i

er:

0,13

16 %

0,04

b. Hvad er fremskrivningsfaktoren, når vækstraten er: 45% 0,07 –0,21 c. Hvad er fremskrivningsfaktoren, når vækstraten

er:

0,09

–4%

89 %

Opgave 610 a. Et par øreringe koster 20 000 kr. før moms.

Hvilken fremskrivningsfaktor skal du gange

med for at finde prisen inkl. moms? Og hvad

bliver prisen i butikken? (moms = 25 %)

tabellen. Bilsalget i 2008 og 2011

2008

Udviklingslande (fx Kina eller Chile)

26 mio. biler

Udviklede lande (fx USA el. Frankrig)

42 mio. biler

2011

b. Der indsættes 5 000 kr. til 7 % i rente p.a. Hvor meget står der på kontoen efter 1 år? c. 300 g tørret hundefoder koster 90 kr.

og bliver sat 12 % ned. Hvad bliver tilbuds-

prisen?

6. Procent

135

Opgaver – 6. Procent Opgave 614

Opgave 616

En husejer bruger 20 000 kr. på opvarmning af sit

En lækker ultrabook koster 12 000 kr. ekskl. moms,

hus. Ved at efterisolere huset regnes der med en

og den sættes nu på tilbud med rabat på 40%. Du

besparelse på varmeregningen på 5 %.

får nu valget, om du helst vil have rabatten regnet

a. Beregn den fremskrivningsfaktor, en husejer

af prisen inkl. moms eller ekskl. moms.

a. Hvad svarer du?

skal bruge for at udregne besparelsen på efter-

isoleringen. b. Brug fremskrivningsfaktoren til at beregne

Opgave 617

I 2008 vedtog folketinget, at CO2-udslippet i

besparelsen i kroner.

Ved at skifte til et mere moderne naturgasfyr reg-

Danmark skal være 30% lavere i 2020, end det var

nes der med en besparelse på 10 %.

i 1990.

c. Beregn den fremskrivningsfaktor, en husejer

a. I 1990 var udslippet 70 mio. tons – hvor mange tons CO 2 må der maksimalt udslippes i 2020?

skal bruge for at udregne besparelsen på ud-

skiftningen af fyret.

b. I 2011 fik Danmark en ny regering bestående af Socialdemokraterne, SF og Radikale Venstre.

d. Brug fremskrivningsfaktoren til at beregne

De vedtog sammen med Enhedslisten, at re-

besparelsen ved udskiftningen i kroner.

duktionen skal øges til i alt 40% i forhold til

e. Beregn den fremskrivningsfaktor, en husejer

skal bruge for at udregne besparelsen på først

1990-tallene. Hvor mange tons må CO2-udslip-

at efterisolere og så udskifte fyret.

pet nu være i 2020?

f. Brug fremskrivningsfaktoren til at beregne

besparelsen i kroner ved de to tiltag.

Opgave 618 Når en aktie er faldet 90 %, så skal den stige 1 000 %

Opgave 615

for at få førværdien tilbage. Passer det?

Herunder ses en graf over udviklingen i salget af hybrid-elektriske biler (biler, der kører på både el

Opgave 619

og benzin) i USA.

En forretning holder udsalg med 50% rabat. Det er sidst på ugen, og nu lyder det ”Yderligere 20% fratrækkes ved kassen”. a. Et par skibukser kostede inden udsalget 1.800 kr. Hvad bliver prisen på dem? b. Hvor mange procent er den samlede rabat på? c. Forklar, hvorfor rabatten ikke er på 70% d. Hvad bliver prisen, hvis rabatterne var i omvendt rækkefølge (20 % rabat, og yderligere 50% fratrækkes ved kassen)?

a. Hvor mange styk hybrid-elektriske biler (i tabellen: HEV) blev der i alt solgt i 2005 i USA?

Opgave 620

b. Hvor meget voksede det totale salg på de fem

Ifølge Penge & Privatøkonomi nr. 10, oktober 2011

var 16,6% af alle huse til salg, fra 60'erne, mens

år fra 2005 til 2010?

c. Hvad er vækstraten pr. 5 år?

14,8% af alle huse til salg, var fra 70'erne.

d. Hvor meget voksede salget af Toyota Prius i

Hvor mange procent er 16,6% større end 14,8% ?

samme periode?

a. Hvor mange procent er andelen af 60’er-huse

136

6. Procent

større end andelen af 70’er-huse?

Opgave 621

Opgave 626

a. Dej hældes i et målebæger. Efter 20 min. er

Det kostede i slutningen af 2011 ca. 10 Euro at

den vokset fra 60 ml. til 80 ml. Find den procen-

udlede et ton CO2 ud i atmosfæren. Det var billigt,

tuelle vækst.

for det havde tidligere kostet over 25 Euro pr. ton.

b. På en konto indsættes 3 000 kr. Et år efter var beløbet vokset til 3 400 kr. Hvor meget var renten?

a. Hvor meget var prisen for at udlede CO2 i atmo-

sfæren faldet i procent?

c. Topfarten i en bil var 200 km/t. Efter en mindre

tuning var den 209 km/t. Hvor mange procent

Opgave 627

er topfarten forøget?

a. Der står 4 000 kr. på en konto med renten 4%

Opgave 622

p.a. Hvor meget blev der indsat året før?

b. Et par bukser kostede 450 kr., efter at de var sat 30% ned i pris. Hvad kostede de før?

I en butik skulle der ifølge kassestrimlen være 21 300 kr. Ved en optælling fandt man, at der var 22 500 kr. i kassen.

Opgave 628

a. Hvor mange procent var der for meget?

Flodhesteungen Owen blev vejet til 300 kg. Den havde taget 10% på siden sidste vejning.

Opgave 623

Hvad vejede den før?

De såkaldte HNWI’er (HNWI = High Net Worth Individual) har mere end 1 mio. dollars ud over værdien af deres hus. Det er en af de hurtigst voksende befolkningsgrupper i verden. I Kina var der 477 000 HNWI’er i 2009 og 535 000 HNWI’er i 2010. a. Beregn vækstraten. b. Hvor mange HNWI’er vil der være i 2011, hvis

vækstraten er uændret?

Billedet viser Owen, som blev væk fra sin mor under Tsunamien og i stedet knyttede et stærkt bånd til den 100 år gamle skildpadde Mzee i en nationalpark i Kenya.

Opgave 624 Hvis 3 dele ris blandes med 5 dele vand og koges i 20 min., er vi klar til at spise.

Opgave 629

a. Hvor mange procent er det enkelte riskorn

a. Vinforbruget pr. indbygger i Sverige var 20,64

liter pr. år i 2009, og da var det steget 27,9 %

egentligt vokset, hvis alt vandet er optaget?

siden 2006. Opstil en ligning med fremskriv-

Opgave 625

ningsfaktoren, og beregn vinforbruget i 2006.

En bil kører 16 km/liter. Ved økonomisk kørsel får

b. Et beløb blev investeret og steg 11%. Værdien var nu 20 450 €. Hvor stort var beløbet før?

ejeren den til at køre 18 km/liter. a. Hvor mange procent kører den mere pr. liter?

c. Den tre år gamle Audi havde mistet 25% af sin

b. Hvor mange procent mindre benzin bruger den

værdi og var nu 300 000 kr. værd. Hvad kostede

den fra ny?

på en køretur med den økonomiske fører?

6. Procent

137

Opgaver – 6. Procent Opgave 630

Opgave 634 1

Ifølge bladet Penge & Privatøkonomi er huspriser-

Tabel over antal elever på Hulenissegård-skolen

ne steget 70 % i perioden 1. jan. 2000 til juni 2011. Lejligheder er i samme periode steget 80 % og danske aktier 50 %. Hvad blev der i 2000 betalt for:

År

2005

2010

Antal elever

750

840

a. et hus, der i juni 2011 koster 2 000 000 kr.?

a. Løs ligningen: 750 ∙ x = 840

b. en lejlighed, der i juni 2011 koster 2 000 000 kr?

b. Udfyld tabellen nedenfor.

c. aktier, der i juni 2011 koster 2 000 000 kr.? Tabellen over udviklingen i antal elever på Opgave 631

Hulenissegård-skolen, år 2005 = 100

Danske husejere havde i år 2009 en af verdens

År

2005

højeste gældskvoter (gælden udtrykt i procent

Elever

100

af husstandsindtægten) på 310 %. I år 2000 var

2010

gældskvoten i Danmark kun 158 %. a. Hvor stor var den typiske gæld i en dansk hus-

Opgave 635

stand med en samlet indkomst på 900 000 i

Tabellen viser antal elever i en kommune med

2009?

bærbare PC’ere

b. Hvor stor ville den typiske gæld have været i år

2000 for en husstand, der tjente 900 000?

Opgave 632

År

2006

2009

Antal

3856

5421

a. 2006 vælges som basisår, så hvilket indekstal får antallet 3856? b. Beregn indekstallet for antallet med bærbare

PC’ere i 2009.

Opgave 636 Vi vil gerne sammenligne udviklingen i antallet af børn i de to børnehaver ”Børneland” og ”BørneI perioden fra 1. jan. 2000 til juni 2011, hvor en

huset”.

ejerlejlighed i gennemsnit steg 80 %, var en af de

I Børneland var der 1 000 børn i 2009 og 1.160

bedste investeringer ifølge Penge & Privatøkonomi

børn i 2010.

en Ferrari 275GTB/4 fra 1968. Sådan en steg nem-

I Børnehuset var der 45 børn i 2009 og 54 børn i

lig 400 % i værdi. Bilen kostede omkring 10 mio.

2010.

kr. i 2011. Hvad kostede den i år 2000? Opgave 633 a. Øl steg i perioden fra 1. jan. 2000 til juni 2011

138

2009

Børneland

100

Børnehuset

100

2010

88 %, så hvad kostede en øl i år 2000, der i dag

a. Løs ligningerne 1000 ∙ x = 1160 og 45 ∙ x = 54

koster 5 kr.?

b. Udfyld en tabel som den ovenstående.

b. Aviser steg hele 703 % i perioden. Hvad koste-

Institution

de en avis i år 2000, der i dag koster 22 kr.?

6. Procent

c. Hvilken institution havde størst fremgang?

Opgave 637

Opgave 640

a. Beregn indekstallene for 2012.

a. Beregn, hvor mange procent disse indekstal

Antal børn

2009

2012

Gul stue

Fjordrejen

131

140

Indekstal

2009 = 100

Gul stue

100

Fjordrejen

100

2012

stiger eller falder: 2008

2009

Ændring fra 2010 2008-2009 i %

100

104

126

100

145

132

Opgave 638

Opgave 641

Ifølge forbrugerbladet Tænk (jan. 2012) var prisen

BNP i tre lande, opgjort i USD:

på følgende varer det seneste år steget: Oksekød 20%

Kaffe 31 %

År 1

Benzin 14%

Prisstigningerne vist som indekstal

År 2

År 3

Ændring fra 2009-2010 i %

År 4

År 5

Land 1

4.656 646

5 056 456

5 042 657

Land 2

745 547

957 756

977 438

Land 3

15 458

16 890

19 757

Januar 2011

Januar 2012

Oksekød

100

120

De tre første af indekstallene i tabellen er her

Kaffe

100

131

beregnet:

Benzin

100

114

Hvad kostede en liter benzin for et år siden, hvis prisen er 12,68 kr. pr. liter i januar 2012? x ∙ 1,14 = 12,68

(Opstiller ligning med fremskriv-

ningsfaktoren 1,14 (x er prisen

for et år siden) )

a. Løs ligningen og angiv prisen.

År 1

År 2

År 3

Land 1

100

101,9

106,4

Land 2

100

102,5

112,2

Land 3

100

105,6

99,4

År 4

År 5

Tegn to tabeller som de ovenstående, og udfyld de tomme felter.

b. I 2012 kostede kaffe 47 kr. Udregn på samme måde, hvad den kostede i 2011.

Opgave 642 (mundtlig opgave) a. Gør rede for begreberne procent, fremskriv-

Opgave 639

a. Beregn antallet af børn i 2013

b. Giv et eksempel på, hvordan disse begreber

Antal børn

2008

Grøn stue

Muslingen

400

2013

ningsfaktor og vækstrate. hænger sammen.

Opgave 643 (mundtlig opgave) a. Gør rede for begrebet indekstal.

Indekstal

2008= 100

2013

Grøn stue

100

105

Muslingen

100

120

b. Giv eksempler på anvendelse og beregning.

6. Procent

139

Opgaver – 6. Procent Opgave 644

Opgave 651

a. Hvor meget vokser 1 250 kr. til, når de står på

å en konto indsættes 1 000 kr. Efter 5 år var a. P

en konto, der giver 4 % i rente p.a., i 3 år?

beløbet vokset til 2 000 kr. Renten har været uændret i alle årene. Hvor meget har renten

Opgave 645 a. Hvad er der tilbage efter 4 år, hvis der købes

en vare til 10 000 kr., og den mister 9 % i værdi

om året?

været? b. H vad har vækstraten på kontoen været, når 1 500 kr. på 12 år er vokset til 4 000 kr.? c. E t lille sommerhus med havudsigt og hybenroser er solgt til 2 400 000 kr. Sælgerne havde

Opgave 646

givet 1 600 000 kr. for det 10 år før. Hvad har

a. Et beløb på 680 500 kr. forrentes med 4,5 % p.a.

deres årlige forrentning været?

i 7 år. Hvad bliver slutbeløbet? Opgave 652 Opgave 647 Der indkøbes aktier for 5 000 kr. i en støvsugerfabrik. Aktierne stiger 7% p.a. a. Hvor meget er de værd efter 4 år? Opgave 648 Judas satte 30 kr. i banken til sine efterkommere og bandt dem til 2,5% i rente i 2 000 år. a. H vilket beløb kunne Judas’ efterkommere hæve 2 000 år senere? Opgave 649 Ejeren af en smartphone regner med, at den mi-

På grund af inflation stiger en gennemsnitsvares

ster 20% i værdi for hvert år, der går.

pris i Danmark ca. 2% pr. år.

a. Hvor meget er den værd efter 5 år, hvis hun gav

a. Hvad kostede en vare til 85 kr. for 10 år siden?

b. H vad kostede en chokoladebar, der i dag

5 000 kr. for den i forretningen?

b. Hvor meget er en smartphone til 6 000 kr. værd

koster 16 kr., dengang mormor var ung (for 50

år siden)?

efter 3 år?

c. Hvad har du forudsat i beregningerne? Opgave 650 Onkel Ib er 53 år og arver 45 000 kr. Han vil gerne

Opgave 653

holde fest for familien, når han fylder 60.

a. En zoologisk have indkøber 700 sommerfugle.

a. Hvor mange penge kan han holde fest for, hvis

Efter 4 perioder med forpupninger kan med-

arbejderne tælle 1240 sommerfugle. Hvad har

renten p.a. er 3,5%?

b. Hvor mange penge kan han holde fest for, hvis

han får 4,5 % p.a. i rente?

vækstraten været? b. Natsværmerne er ikke den store succes hos publikum, og medarbejderne har ikke held med pasningen. Efter 4 perioder med forpupninger er antallet faldet fra 25 til 13. Hvad var vækstraten her?

140

6. Procent

Opgave 654

Opgave 657

Onkel Bo er 53 år og arver 45 000 kr. Han kan lide

På samme tid køber to ægtepar hver deres hus til

at møde nye mennesker. Han vil derfor købe et

2 300 000 kr. Det ene ægtepar køber i et populært

luksuscruise med et skib i Caribien, når han fylder

område, hvor husene historisk set er steget 10%

60. Dertil skal han bruge 65 000 kr.

om året, og det andet par køber i et område, hvor

a. H vad skal renten være, for at der er penge nok

priserne blot er steget 2,5% om året.

på kontoen? b. H vis han vælger en lidt kortere rejse og en mindre kahyt, kan han få rejsen ned på 58 000 kr. Hvilken rente skal han mindst have nu?

vis vækstraterne fortsætter, hvor længe går a. H der så, før husene hver især er steget til den dobbelte værdi? b. P å et tidspunkt vil det hus, der stiger mest, være dobbelt så meget værd som det andet. Hvor mange år går der, før det sker? Opgave 658 Et forældrepar indsætter 100 000 kr. på en børneopsparing, der giver 4% p.a., allerede fra fødslen af deres barn. a. H vor mange penge står der på kontoen, når barnet bliver 18 år? b. H vor mange penge ville der stå på kontoen, hvis de først oprettede kontoen, da barnet

Opgave 655 a. Hvor lang tid skal 25 000 kr. stå i banken til 5 % p.a., før der står 30 000 kr. på kontoen?

startede i skole som 6-årig? c. Hvor mange år skal pengene stå til 4%, før pengene er vokset til 1 mio. kr.?

b. En ældre dame fandt en bankbog bag et billede af sin afdøde mand. Den lød på 500 kr. og en garanteret rente på 3 % p.a. Beløbet var nu steget til 5 000 kr. Hvor gammel var bankbogen? Opgave 656 På en konto får man 3 % p.a. Der indsættes 5 000 kr. a. Hvornår har man 10 000 kr.? b. Hvor mange terminer går der, før et beløb bliver fordoblet, hvis renten er 5 % p.a? Opgave 659 En tommelfingerregel om bilers værditab siger, at den mister 25% om året i værdi. En direktionsvogn i et firma var 4 år gammel og havde værdien 253 125 kr. a. Hvad havde den kostet fra start? b. Hvad er værdien af bilen efter yderligere 3 år?

6. Procent

141

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (6)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Overslagsregning Gode råd Når du adderer eller multiplicerer to tal. Rund det ene op og det andet ned. Når du subtraherer eller dividerer to tal. Rund begge op eller begge ned Eksempler 443 + 254 første led rundes op, det andet rundes ned, så vi har 450 + 250 = 700 45 · 68 første faktor rundes op, den anden rundes ned, så vi har 40 · 70 = 2800 842 –336 begge rundes op, så vi har 850 – 350 = 500 653 begge rundes op, så vi har 700 = 70 10 9

1. Udregn et overslag på:

3. Udregn et overslag på:

a. 65 + 14 b. 562 + 246 c. 143 + 856

a. 196 – 145 b. 1954 – 589 c. 512 – 156

2. Udregn et overslag på:

4. Udregn et overslag på:

a. 61 · 18 b. 134 · 107 c. 947 · 11

a. 324 : 31 b. 890 : 98 c. 7646 : 104

5. Udregn et overslag på: a. 6,6 + 1,9 b. 5,62 + 2,44 c. 0,143 + 0,856

7. Udregn et overslag på: a. 0,496 – 0,189 b. 19,54 – 4,29 c. 50 900 – 30 756

6. Udregn et overslag på: a. 6,22 · 1,81 b. 12,8 · 10,4 c. 9390 · 110

8. U dregn et overslag på: a. 33,4 : 3,1 b. 96,6 : 9,8 c. 16,33 : 4,13

Rødder og potenser 1

a n = n a = b, fordi bn = a Regel: Eksempel:

= 4, fordi 43 = 64

9. Udregn tallet

10. U dregn tallet

a. 81 7

b. c.

11. U dregn tallet

125

12. Udregn tallet a.

100

1000

Parenteser Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(b – 4) = 3b – 3 · 4 = 3b – 12 –(a – 4) = –a –(– 4)

13. Ophæv parenteserne

142

14. Ophæv parenteserne

15. Ophæv parenteserne

og reducer

a. 4 – (b – 3)

a. – (4 – x)

a. 1 + 4 (x + 1) – 5

b. c – 4 (2 – c)

b. –6 + 2 (b +3)

b. 10 + 3 (2 – a) – 6 + 3a

c. 3 – (b + 2) + 6

c. 2 – x – (1 – x)

c. 2 (x – 3) + 8 – (2 – x)

6. Procent

Brøker a k ⋅a = b k ⋅b

Forlænge:

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

Forkorte: a = a : k b

Eksempel:

b:k a b

Tal gange brøk: k ⋅ =

k ⋅a b

16. F orlæng brøkerne med 4 a. b. c. d.

3⋅2

4 10 1 2 3 4 12 10

e. 2 5

4 4:4 1 = = 8 8:4 2 2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

3⋅2 5

17. Forkort brøkerne med 2 a . b. c. d.

4 10 10 20 8 12 12 10

20 e. 50

18. Udregn

19. Udregn

5 a. 2 · 10 b. 3 · 1 10 c. 2 · 3 100

a. 3 · 3

d. 12 · 1 3

d. 8 · 1 80 e. 10 · 1 2

e. 10 · 1 5

6 b. 1 · 1 4

c. 16 · 2

Fremskrivningsfaktor og vækstrate 20. Bestem vækstraten,

21. Bestem vækstraten,

22. Bestem fremskriv-

23. Bestem fremskriv-

når fremskrivningsfaktoren er a. 1,03 b. 1,06 c. 1,23 d. 1,38

når fremskrivningsfaktoren er a. 1,82 b. 0,50 c. 0,24 d. 1,81

ningsfaktoren, når vækstraten er a. 0,31 b. 0,15 c. 0,71 d. –0,20

ningsfaktoren, når vækstraten er a. 0,98 b. 0,07 c. 0,33 d. –0,02

6. Procent

143

7. Eksponentielle funktioner 1 Introduktion Sociale netværk kan vokse meget hurtigt, fordi hvert nyt medlem skaffer flere nye medlemmer som skaffer flere nye medlemmer osv. I en model antager vi, at et netværk, der starter med 100 medlemmer, vokser 15 % om måneden. Hvis f(x) betegner netværkets størrelse og x er antal måneder efter starten er forskriften f(x) = 100 · 1,15x. Allerede efter 3 år er der mere end 15000 medlemmer i netværket, hvis vækstraten på 15 % pr. måned fortsætter. Det beregnes ved at indsætte x = 36 i forskriften. Vi finder, at f(36) = 100 · 1,1536 = 15315,2.

2 Definition En eksponentiel funktion har forskriften: f(x) = b · ax Tallet b kaldes begyndelsesværdien, og tallet a kaldes fremskrivningsfaktoren. Både a og b er positive tal, og a må ikke være lig med 1. Defintitionsmængden er de reelle tal, dvs. x kan være ethvert tal.

Eksponentielle funktioner kan modellere vækstsituationer, hvor en størrelse vokser eller aftager med en bestemt procent, hver gang en anden størrelse vokser med en bestemt enhed. Det har vi set eksempler på tidligere med renteformlen Kn = K0 · (1 + r)n , og der er også en nær sammenhæng mellem den eksponentielle funktion f(x) = b · ax og renteformlen. I renteformlen kan renten r være negativ. Derved bliver fremskrivningsfaktoren 1 + r mindre end 1. I den eksponentielle funktion f(x) = b · ax gælder der tilsvarende, at hvis fremskrivningsfaktoren a er mindre end 1, svarer det til en negativ vækstrate. Derfor er den aftagende, hvis a er mindre end 1:

3 Sætning For f(x) = b · ax gælder om fremskrivningsfaktoren a, at hvis: 0 < a <1, så er den eksponentielle funktion aftagende, a > 1, så er den eksponentielle funktion voksende.

a>1

144

7. Eksponentielle funktioner

0<a<1

4 Eksempel

800 y

På figuren vises grafen for den eksponentielle funktion der blev nævnt introduktionen: x

600

f(x) = 100 · 1,15 .

400

Værdierne af de to konstanter, a = 1,15 og b = 100, har betydning for grafens forløb.

200

• Grafen går opad, fordi funktionen er voksende, og funktionen er voksende, fordi konstanten a = 1,15 er større end 1.

0 5

• Grafen skærer y-aksen ved værdien 100, fordi konstanten b = 100.

5 Sætning Grafen for en eksponentiel sammenhæng f(x) = b · ax skærer y-aksen i punktet (0,b).

6 Eksempel En eksponentiel funktion har regneforskriften f(x) = 2 · 1,1x. Dens graf skærer y-aksen i (0,2). Indsætter vi x = 0, får vi da også f(0) = 2 · 1,10 = 2 · 1 = 2

7 Sætning • Værdimængden for en eksponentiel sammenhæng f(x) = b · ax er alle positive reelle tal. • Grafen har x-aksen som asymptote.

8 Øvelse En eksponentiel funktion har regneforskriften f(x) = 21 · 1,07x. a. Bestem fremskrivningsfaktoren. b. Bestem begyndelsesværdien. c. Afgør om grafen vil være voksende eller aftagende, begrund svaret. d. Bestem skæringspunktet mellem grafen og y-aksen.

9 Øvelse En eksponentiel funktion har regneforskriften f(x) = 4 · 0,9x. a. Bestem værdien af fremskrivningsfaktoren og begyndelsesværdien. b. Er grafen voksende eller aftagende (begrund svaret)? c. Bestem skæringspunktet mellem grafen og y-aksen. d. Tegn grafen for f, gerne i CAS.

10 Øvelse I en model antages det, at en bestemt mønt steg 30 % i værdi hvert år fra år 2000 og frem. Mønten købes til 2 400 kr. i år 2000. a. Bestem fremskrivningsfaktoren ud fra oplysningen om, at vækstraten r = 0,30. b. Bestem forskriften for den funktion, der udtrykker møntens værdi f(x) som funktion af antal år efter 2000, x. c. Udregn f(20), og bestem, hvor meget mønten er steget til i år 2020?

7. Eksponentielle funktioner

145

7.1 Bestemmelse af konstanterne a og b 11 Introduktion Retsmedicinere kan bestemme det omtrentlige dødstidspunkt ud fra to målinger af kropstemperaturen, hvis liget ikke er helt afkølet. For en nylig afdød kan forskellen mellem legemstemperaturen og stuetemperaturen nemlig modelleres med en aftagende eksponentialfunktion f(x) = b · ax. Bankrøveren John Dillinger var den første der blev kaldt “Public Enemy Number One” af FBI chefen J. Edgar Hoover. AP photo of Dillinger’s body at the Cook County Coroner’s office. Online, courtesy Library of Congress.

12 sætning For en eksponentiel funktion med forskriften f(x) = b · ax, hvis graf går gennem de to punkter

P1(x1,y1)

(x1 , y1) og (x2 , y2) gælder det, at konstanterne a og b kan bestemmes ud fra formlerne: a. a = x2 − x1 b. b =

y1 a

y2 y1

P2(x2,y2)

13 Eksempel

En eksponentiel funktions graf går gennem punkterne (–1,3) og (2,24). Vi vil bestemme konstanterne a og b. Vi sætter derfor

x1 = –1, y1 = 2, x2 = 2 og y2 = 3, og indsætter i formlerne i sætningen.

a = 2−( −1)

24 3 = 2 og b = −1 = 6 . 3 2

Forskriften for den eksponentielle funktion er dermed f(x) = 6 · 2x.

0 –1

3 x

Formlerne i sætning 12 bør kun bruges, hvis man er sikker på at punkterne ligger præcist på en graf for en eksponentiel funktion. Hvis der er tale om at tilpasse en model og der er usikkerhed forbundet med koordinaterne må man have flere data i form af flere punkter, og i stedet foretage ”eksponentiel regression”.

14 Eksempel Billedet viser en Osborne Executive bærbar computer fra 1982, og en Iphone fra 2007. Osborne Executive vejer 100 gange så meget, fylder 500 gange så meget, kostede omkring 10 gange så meget og har en 1

ydeevne på 100 af Iphonen. Moores lov siger, at det maksimale antal transistorer i en chip i en almindelig computer vil fordobles ca. hvert andet år. Moores lov er et eksempel på eksponentiel vækst, fordi antallet af transistorer påstås at vokse med en bestemt procentdel hver gang vi går et bestemt antal år frem. Funktionsværdierne vokser med et fast relativt tal når x-værdierne vokser med et fast absolut tal.

146

7. Eksponentielle funktioner

15 Eksempel

y 60000

I tabellen ses data om antallet af transistorer i en chip. Årstal

1971

1972

1974

1976

1979

1982

Transistorer

2 300

3 500

4 500

6 500

29 000

55 000

I koordinatsystemet er disse punkter plottet ind, og endvidere ses grafen

40000

20000

for den eksponentielle funktion f(x) = 2157 · 1,34144x der fitter disse data bedst muligt. Forskriften er fundet vha. eksponentiel regression.

0 0

20 x

16 Eksempel Tabellen viser udviklingen i antallet af indbyggere i New York i perioden 1790–1900. År

1790

1800

1820

1840

1860

1880

1900

124

312

813

1 912

3 437

Indbyggerantal i tusinde

y 4000

3000

Vi har antaget at indbyggerantallet i perioden kan modelleres af en eksponentiel model og har indtastet data, hvor x er antal år efter 1790 i geogebra.

2000

f(x) = 36,28 · 1,04x. Regressionen er tilsyneladende gået godt, men alligevel er der noget galt.

1000

Der boede 8,5 mio. mennesker i New York i 2015. 2015 er 225 år efter 1790. Ved ukritisk brug af modellen ville man beregne sig frem til, at der var

f(225) = 246 699,7 tusinder. Altså næsten 247 mio. mennesker.

100

Så hvad er der galt med modellen? Ingenting. Den kan blot ikke bruges på år der rækker ret langt ud over de tal, vi ser i modellen.

17 Øvelse En graf for en eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (1,10) og (3,40). a. Beregn først konstanten a og dernæst konstanten b. En graf for en anden eksponentiel sammenhæng går gennem punkterne (0,4) og (3,9). b. Bestem konstanten b ved at tænke lidt over oplysningerne, og beregn så konstanten a.

18 Øvelse En belgisk pate skal opbevares på køl. I skemaet er data fra en række målinger af holdbarheden ved forskellige temperaturer. Vi antager, at holdbarheden aftager eksponentielt med temperaturstigningen, og at sammenhængen derfor kan beskrives ved en funktion af typen f(x) = b · ax. Temperatur

Holdbarhed i døgn

a. Bestem a og b. b. Tegn grafen for funktionen. c. Beregn holdbarheden ved en temperatur på 3 °C.

7. Eksponentielle funktioner

147

7.2 Halverings- og fordoblingskonstant 19 Introduktion Udviklingen i antal millioner solgte billetter i krydstogtindustrien som funktion af tiden (målt i antal år efter 1980) er i en matematisk model beskrevet ved den eksponentielle funktion f(x) = 2,25 · 1,076x. I forskriften er begyndelsesværdien b = 2,25 og fremskrivningsfaktoren a = 1,076. Modelbyggeren regner altså med, at der blev solgt 2,25 mio. billetter i 1980 og at antal solgte billetter herefter vokser 7,6 % pr. år. En anden måde at angive væksten på er ved at udregne den tid der går før antallet af billetter er fordoblet. Det viser sig at være et fast tal når man har at gøre med eksponentiel udvikling. Det stykke på x-aksen, man skal gå frem for at y-værdien bliver fordoblet kaldes for fordoblingskonstanten (eller fordoblingstiden, hvis x-aksen er en tidsakse).

20 Sætning

For en voksende eksponentiel funktion f(x) = ba

kan fordoblingskonstanten T2 beregnes med formlen: log(2) ln(2) T2 = = log( a ) ln( a )

y 40

4y 2y y x

x + T2

x + 2 · T2 x

21 Eksempel

I forlængelse af introduktionen kan vi udregne fordoblingstiden for antal solgte billetter i krydstogtindustrien:

T2 =

log(2) = 9, 46 . log(1, 076)

Altså fordobles antallet af solgte billetter hver gang der er gået 9,46 år

ifølge modellen. På grafen ses dette ved at hver gang vi går 9,46 ud på 0

x-aksen, så fordobles y-værdien.

For en aftagende eksponentiel funktion kaldes den tilsvarende konstant for halveringskonstanten (eller halveringstiden).

22 Sætning For en afragende eksponentiel funktion f(x) = bax

kan halveringskonstanten T1 beregnes med formlen: T1 = 2

1 log   2

log( a )

1 ln  

ln( a )

T1 2

148

7. Eksponentielle funktioner

T1 2

23 Eksempel Når en organisme dør, stopper optagelsen af det radioaktive kulstof 14. Mængden vil efter døden aftage med en halveringstid på ca. 5 730 år. Ved at måle indholdet af kulstof 14 kan man derved udregne, hvornår et oldtidsfund var levende. Hvis en egetræsplanke, der bruges til kølen på et vinkingeskib, indeholder 0,16 mikrogram kulstof 14, så vil planken 5 730 år senere kun indeholde 0,08 mikrogram kulstof 14.

24 Eksempel Graver man kontanter ned i haven i et land der har en inflation på 5 %, vil købekraftværdien af pengene blive forringet med 5 % pr. år. VI antager, at 10 000 kr. graves ned, og vi vil udregne halveringstiden for pengenes værdi. Regneforskriften for en model over værdien f(x) som funktion af antal år x er f(x) = 10000 · 1,95x. Halveringstiden for pengenes købekraft-værdi udregnes ved brug af formlen i sætning 22: T2 =

1 log   2

log(0, 95)

= 13,51 .

Altså halveres værdien hver gang der er gået 13,5 år ifølge modellen. Da variablen x ikke indgår i de to formler, er det ligegyldigt hvor på kurven vi starter:

25 Sætning Uanset hvor på kurven vi starter, vil funktionsværdien fordobles når vi går T2 frem ved en eksponentielt voksende funktion og halveres, når vi går T1 frem ved en eksponentielt aftagende funktion.

Ved hjælp af CAS kan fordoblingstiden og halveringstiden derfor let beregnes, hvis formlen for den eksponentielle vækst er kendt. Ved udregning af fordoblingskonstanten leder vi efter den x-værdi, der får y-værdien fordoblet, og derfor kan vi bruge en kommando af typen solve(a^x=2, x). Ved halvering bruges en kommando af typen solve(a^x=1/2, x).

26 eksempel Halveringstiden målt i år for de nedgravede penges købekraft kan beregnes således i CAS: solve(0,95^x=1/2, x) → 13,51 Fordoblingstiden målt i år for antal solgte billetter i krydstogtindustrien kan beregnes således: solve(1,076^x=2,x) → 9,46

27 øvelse I perioden 1964 til 2014 fik Warren Buffett den investerede kapital til at vokse med 20 % pr. år. Regneforskriften for den funktion der modellerer udvikligen af 1000 kr. investeret hos Warren Buffett som funktion af antal år siden 1964, er f(x) = 1000 · 1,20x. a. Bestem fordoblingskonstanten (og husk enhed).

28 Øvelse En person indtager en pille med en bestemt type medicin, hvor der er 2 mikrogram

7. Eksponentielle funktioner

aktivt stof. Indholdet af det aktive stof i kroppen aftager eksponentielt med 2,7 %

pr. time. Lad f(x) betegne antal mikrogram aktivt stof og x betegne antal timer efter

149

7.3 Eksponentielle vækstmodeller 29 Introduktion Billedet viser et af de datacentre der opbevarer data fra internettet. Man regner med at datamængden vokser mindst 40 % om året. Hvis vi sætter datamængden et givet år til indeks 100, kan udviklingen modelleres med funktionen f(x) = 1000 · 1,40x, hvor x er antal år efter startåret. Der er flere måder at opstille eksponentielle vækstmodeller på: Modelforskriften kan opskrives på baggrund af viden om halverings- eller fordoblingstid, ud fra to punkter på grafen, ved eksponentiel regression eller som her ud fra nogle antagelser om vækstraten. Vi skal her se lidt nærmere på modelleringsprocessen og nogle af de problemstillinger der er knyttet til brug af modeller.

30 Eksempel Et nystartet tv-show har 500 000 seere i januar 2017, og i de seneste 6 måneder er der i gennemsnit kommet omkring 10 % flere seere til hver måned. Vi vil bestemme antal seere i januar 2018 og om 5 år.

Modelleringsprocessen Problemstilling Hvormange seer har showet om 1 og om 5 år?

Model f(x) = bax a = 1,10 b = 500 000 x = antal måneder efter januar 2017

Konklusion Der vil være 1,5 mio. seere i januar 2018 og 152 mio. seere i januar 2022, ifølge modellen. Vi vil være meget skeptiske omkring især beregningen 5 år frem. Se mere nedenfor.

Matematisk løsning Vi indsætter x = 12 og x = 60: f(12) = 500 000 · 1,112 = 1 569 214 f(60) = 500 000 · 1,160 = 152 240 820

31 Modelkritik Det virker urealistisk med over 150 mio. seere efter 5 år. Vækstraten vil sandsynligvis aftage til under 10 % pr. måned inden der er gået fem år. Vi har imidlertid ikke nok informationer til at vurdere hvordan den vil aftage. Som en grov tommelfingerregel skal vi være meget forsigtige med at bruge vækstraten længere frem i tiden end det tidsrum den er estimeret ud fra. De 10 % pr. måned var estimeret ud fra 6 måneder i eksemplet her, så allerede vores første beregning for 1 år må antages at rumme store usikkerheder.

150

7. Eksponentielle funktioner

32 Alternativ repræsentationsform for den eksponentielle forskrift Ind imellem ses eksponentielle forskrifter skrevet på formen f(x) = c · ekx i x

stedet for f(x) = b · a . Man har sat fremskrivningsfaktoren a = e og begyndelsesværdien er omdøbt, så b = c.

Bogstavet e i fremskrivningsfaktoren er en talkonstant, der kaldes Eulers konstant.

Det er et irrationalt tal, der med 4 decimaler er lig med 2,7183. 0

I koordinatsystemet ses graferne for g(x) = 0,5 · e

–0,8x

og f(x) = e

0,4x

4 x

Ideen med at bruge repræsentationsformen f(x) = c · ekx er, at funktionen er voksende, når konstanten k er positiv og aftagende, når k er negativ.

33 Eksempel Vi ser på f(x) = 5 · 2x. Når vi skal omskrive til f(x) = c · ekx, udnytter vi, at er a = 2, så 2 = ek.

Vi kan bestemme k med CAS: solve(ek = 2,k)→ k = 0,69. Forskriften er altså g

f(x) = 5 · e0,69x.

Vi ser så på g(x) = 3 · e–2x. Når vi skal omskrive til g(x) = b · ax udnytter vi at a = e–2 = 0,14 (med 2 decimaler). Forskriften er altså f(x) = 3 · 0,14x.

0 0

34 Øvelse En smertestillende pille indeholder 50 mikrogram aktivt stof. Stoffet optages i blodet og mængden i blodet aftager derefter eksponentielt med tiden. Nogle forskere regner med, at der nedbrydes 2 % pr. time. Men grundet fysiologi, højde og vægt osv. vil nedbrydningshastigheden variere lidt fra menneske til menneske. a. Argumenter for, at vi har at gøre med en eksponentiel model, og at den er aftagende. b. O pstil en model på formen f(x) = b · ax, der beskriver udviklingen i medicin i blodet, hvor x er antal timer efter indtagelsen. c. Brug modellen til at vurdere, hvor mange mikrogram der er tilbage efter 8 timer.

35 Øvelse a. Skriv forskriften for f(x) = 4 · 1,6x på formen f(x) = c · ekx. b. Skriv forskriften for f(x) = 100 · e–2,4x på formen f(x) = b · ax.

7. Eksponentielle funktioner

151

7.4 Ræsonnementer og beviser

(3) Sætning

For f(x) = b · ax gælder om fremskrivningsfaktoren a, at hvis:

0 < a < 1, så er den eksponentielle funktion aftagende,

a > 1, så er den eksponentielle funktion voksende.

Vi vil ikke bevise denne sætning, men godtgøre at den er sand. Vi ved fra rentesregningen, at når en fremskrivningsfaktor a = 1 + r er større end 1, så lægger vi procenter til og derved bliver funktionsværdien større og større, altså er funktionen voksende.

Omvendt, når a = 1 + r er mindre end 1. Da er funktionen aftagende.

(5) Sætning

Grafen for en eksponentiel sammenhæng f(x) = b · ax skærer y-aksen i punktet (0,b). y

36 Bevis for sætning 5

På y-aksen er x-værdien 0. Vi indsætter 0 på x’s plads og beregner funktionsværdien: f(0) = b · a0 = b · 1 = b. Funktionsværdien i 0 er altså altid lig med

konstanten b. Derfor kan vi konkludere, at grafen går gennem punktet (0,b).

(7) Sætning

Værdimængden for eksponentiel sammenhæng f(x) = b · ax er alle positive reelle tal. Grafen har x-aksen som asymptote. Vi vil ikke på C-niveau give et bevis, men snarere en godtgørelse for påstanden. Konstanterne a og b i forskriften er begge positive. Hvis vi opløfter a i hvilket som helst tal, får vi et positivt tal. Funktionsværdierne vil altså være positive og derfor også værdimængden.

P1(x1,y1)

(12) sætning

For en eksponentiel funktion med forskriften f(x) = b · ax, hvis graf går gennem de to punkter (x1 , y1) og (x2 , y2), gælder det, at konstanterne a og b kan bestemmes ud fra formlerne: P2(x2,y2)

2 a. a = x2 − x1 y 1

b. b =

y1 a

37 Bevis for sætning 12

Hvis en eksponentiel funktion med forskriften f(x) = b · ax går gennem to punkter med koordinaterne (x1 , y1) og (x2 , y2), så passer disse to punkters koordinater i forskriften:

152

7. Eksponentielle funktioner

y1 = b · ax1 og y2 = b · ax2

Vi regner nu således for at vise formlen

Og vi regner således for at vise

til beregning af a (vi husker at a > 0):

formlen til beregning af b:

y2 b⋅a = x y1 b⋅a

y1 = b ⋅ a x1

y1 x = b a

y2 a = x y1 a

y2 = a x2 − x1 y1 x 2 − x1

y2 =a y1

(20) Sætning Fordoblingskonstanten T2 kan beregnes med formlen: T2 =

log(2) ln(2) = log( a ) ln( a )

38 Bevis for sætning 20

T2 er en afstand, der, lagt til x, vil give den x

dobbelte y-værdi, dvs. 2ba , derfor gælder: 2ba = ba x

2ba = ba x

8bax

x +T2

2a x = a x +T2

2a x = a x aT2

x +T2

2a x = a x +T2 I dennex ligning isoleres størrelsen T2 2a = a x aT2 ved en række omformninger.

4bax

2 = aT2 log(2) = T2 log(a)

2bax

log(2) ln(2) T2 = = log( a ) ln( a )

bax x

x + T2

x + 2T2 x + 3T2

(25) Sætning Uanset hvor på kurven vi starter, vil funktionsværdien fordobles, når vi går T2 frem ved en eksponentielt voksende funktion og halveres, når vi går T1 frem ved en eks2

ponentielt aftagende funktion.

39 Bevis for sætning 25 I beviset ovenfor for sætning 20 havde vi foretaget udregningen: 2ba x = ba x +T2 2a x = a x +T2 2a x = a x aT2 2 = aT2 Derved kan det ses at variablen x er gået ud, og at T2 udelukkende afhænger af fremskrivningsfaktoren a. Når a er kendt, kan T2 altså bestemmes ved at løse ligningen: 2 = aT2

40 Øvelse Bevis, at: Halveringskonstanten T1 kan beregnes med formlen: T1 = 2

1 log   2

log( a )

1 ln   2

ln( a )

7. Eksponentielle funktioner

153

Opgaver – 7. Eksponentielle funktioner Opgave 701

som Kazakhstan er inddelt i), hvor y er millioner

For hver af de nedenstående grafer mærket f1 , f2

borgere, og x er antal år efter 1990.

og f 3 bedes du:

d. Udregn værdien y, når x = 5 og forklar, hvad det

a. Afgøre om konstanten a er mellem 0 og 1, eller

større end 1. b. Aflæse konstanten b.

f. Hvilken værdi har y, når x = –3? Opgave 704

Kun to af de nedenstående forskrifter er ekspo-

5 4

-3 -2 -1

udtrykker i modellen.

e. Hvad udtrykker y, der hvor x = –3?

nentielle sammenhænge. Tegn grafen for disse to. a. y = 5 ∙ 0,8

b. y = –3 ∙ 0,9x

c. y = 12 ∙ x3

d. y = 7 ∙ 0,4x 0 1

-1

3 4

7 x

e. y = 4x + 7 Opgave 705

Opgave 702

x y = 10 · 1,25 viser en eksponentiel sammenhæng

Her er fem forskrifter for eksponentielle sammen-

mellem de to variable x og y.

hænge, og nedenfor er fem grafer. Hvad hører

a. U dfyld en tabel som den herunder ud fra

sammen?

formlen.

a. y = 0,2 ∙ 1,3

b. Giv et bud på, hvorfor y værdierne i din tabel

b. y = 7 ∙ 0,5x

er voksende (dvs. bliver større, når x bliver

c. y = 3,5 ∙ 1,7

større).

x d. y = 2 ∙ 0,75

e. y = 2 ∙ 1,3

(2)

12,5

formlen. b. Hvorfor er y-værdierne i tabellen aftagende?

(5)

2 -2

a. Udfyld en tabel som den herunder ud fra

(3)

6 4

-2

10 12 x

Opgave 703 a. Tegn grafen for y = 0,6 ∙ 1,04x b. Hvad er fremskrivningsfaktoren? c. Had er vækstraten? Forestil dig nu, at f er en model for befolkningsantallet i Kyzylorda (som er en af de 14 ’oblaster’

154

x y = 10 · 0,92 er en eksponentiel sammenhæng.

-4

Opgave 706

(1)

-6

(4)

7. Eksponentielle funktioner

Opgave 707 Grafen for en eksponentiel sammenhæng går gennem punktet (2,5), og vækstraten er 12%. Beregn forskriften.

Opgave 708

Opgave 710

Herunder er 4 forskellige funktioner beskrevet på

På figuren viser grafen den aftagende eksponen-

en af de måder, en funktion kan beskrives på:

tielle sammenhæng y = 2 ∙ 0,72

• en forskrift

a. U dfyld et sildeben for funktionen, hvor x vær-

• et sildeben med udregning af funktionsværdier

dierne vælges til: {–2, –1 , 0 , 1 , 2} b. Forklar hvorfor man uden at regne kunne have

• en sproglig beskrivelse

indset, at grafen ville gå gennem punktet (0,2)

• en graf For hver af dem bedes du nu tegne/skrive/beregne de tre repræsentationer, der mangler.

c. Forklar ud fra forskriften og dit sildeben, hvorfor grafen er aftagende.

a. y = 1,5 ∙ 0,96 (altså, formuler denne med ord, y

opskriv tabellen og tegn grafen) b.

7 –2

–2

0,5 ∙ 2,1 = 0,11

0,5 ∙ 2,1 = 0,5 ∙ 1 = 0,5

0,5 ∙ 2,1 = 0,5 ∙ 2,1 = 1,05

0,5 ∙ 2,1 = 2,21

2 1

c. ”Funktionen her opløfter 2 i et tal, du selv væl-

ger, og ganger det så med 4”.

-3 -2 -1

0 1

7 x

Opgave 711

Bestem forskriften for de fire forskellige ekspo-

nentielle sammenhænge, hvor:

a. B egyndelsesværdien er 300, og grafen går

4 3

gennem (4,732). b. Grafen går gennem (0,50), og vækstraten

er 10%.

1 -3 -2 -1 0 1 -1

7 x

c. Grafen går gennem (1,12) og (4,324). d. Fremskrivningsfaktoren er 1,479, og grafen går gennem punktet (10,50).

Opgave 709 Find et eksempel på en ligning for en eksponentiel

Opgave 712

sammenhæng, der:

Find forskrifterne for de eksponentielle sammen-

a. skærer y-aksen i punktet (0,5), og hvor grafen

hænge, hvor punkterne herunder ligger på grafen.

er aftagende.

a. (1 , 20) og (3 , 80)

b. er voksende og skærer y-aksen i 3.

b. (0,4 ; 6) og (3,4 ; 750)

c. b eskriver noget med begyndelsesværdi på 100

c. (2 ; 250) og (5 ; 31,25)

og har vækstraten 40 %.

d. (3 ; 0,844) og (4 ; 0,633) e. (2 , 48) og (6 ,12288) f. (–1 , 8000) og (3 , 17280)

7. Eksponentielle funktioner

155

Opgaver – 7. Eksponentielle funktioner Opgave 713

og han overvejer seriøst at sælge, men regner

Fra et menneske er 60 år falder muskelstyrken

lige på det først. Penge bliver mindre værd, og

cirka 1,5% om året. En veltrænet gentleman på

fremtiden er altid usikker, så han regner med,

60 år kan løfte 80 kilo i bænkpres. Idet vi antager

at indtægten i virkeligheden bliver 10% mindre

at der er en direkte sammenhæng mellem løfte-

værd for hvert år, der går.

evenen og muskelstyrken: a. Hvor meget kan han højst løfte om et 3 år? b. Hvornår kan han højst løfte 65 kg? Opgave 714 T Det fremgår af bevis 26, at 2 = a . 2

Brug den oplysning til at opskrive en formel, der beregner fremskrivningsfaktoren, når du kender fordoblingskonstanten. Opgave 715 En ejer af en enarmet tyveknægt regner med, at

År Indtægt

2011

2012

10 000

2013 10 000 1

Nutidsværdi

10 000

10 000∙(1-0,10) = 9.000

År

2014

2015

2016

2017

I alt

10 000

70 000

Indtægt Nutidsværdi

a. B rug et regneark til at udfylde skemaet, og find ud af, om han skal acceptere de 50000 kr.

den giver 10.000 kr. i indtægt om året (bl.a. fordi den står et super godt sted hos en frisør, hvor der

Opgave 716

ofte er ventetid). Vi skriver år 2011, og den må kun

a. B eregn a for en eksponentiel udvikling, hvor

stå hos frisøren til år 2017.

y-værdien fordobles, når tallet 4,5 lægges til x. Opgave 717 I 1981 købte Sofie Amalie 100 cm medister for 70 kr. Vi regner med, at medister er blevet 2% billigere for hvert år siden da. Grafen herunder x har forskriften y = 100 ∙ 0,98 . Grafen illustrerer,

hvor mange centimeter medister man kan købe for 70 kr. i årene efter 1981. a. Hvilke enheder har akserne? b. H vor aflæser man, hvor mange cm medister man kunne købe i 1981? c. H vor mange cm medister kunne man købe for 70 kr. i 2001? d. H vor mange cm medister kunne man købe for 70 kr. i 2011? Ejeren får et tilbud fra en, der vil købe maskinen og dens gode placering. Tilbuddet lyder på 50 000 kr.,

e. H vor mange år gik der mellem, at man kunne købe 100 cm og 50 cm – hvad er halveringstiden?

156

7. Eksponentielle funktioner

Opgave 720 Markedet for økologi i Danmarks nære markeder,

fx Sverige, Tyskland og Frankrig oplevede ifølge

100 80

Økologisk Landsforening (i 2010) vækstrater på

knap 10% om året. a. H vis denne udvikling fortsætter, hvornår er

markedet for økologiske produkter så dobbelt

så stort i disse lande, som det er i dag? 5

b. D anmarks eksport af økologiske varer satte rekord i 2010. På fire år er eksporten godt tre-

Opgave 718

doblet, og i 2010 blev eksporten opgjort til

En gartner har plantet druer i kongens lysthus, og

857 mio kr.

han konstaterer med glæde, at antallet af druer stiger eksponentielt. 2 år efter opførelsen af lysthuset høstede han 16 vindruer, og 4 år efter kan han høste 256. a. Opskriv antallet af vindruer som en funktion af årene. b. Hvor mange druer havde gartneren i år 0? c. H vor mange procent stiger antallet af vindruer hvert år? d. Hvad er fordoblingskonstanten?

U dregn eksportens vækstrate pr. år i perioden fra 2006 til 2010 ud fra oplysningerne i teksten.

c. D et tal, du udregner i b., er ikke ”knap 10 %”. Forklar, hvordan det kan passe. d. U dregn, hvor stor eksporten af disse varer vil være i 2012, hvis udviklingen fortsætter. e. U dregn, hvad eksporten af økologiske varer vil være i år. f. Find evt. ud af, hvad eksporten er i virkeligheden, og prøv at forklare eventuelle afvigelser.

e. Hvor mange vindruer har kongen efter 5,5 år? Opgave 721 Opgave 719

Kinesernes gennemsnitlige husstandsindkomst

På et gerningssted fandt detektiverne en kande te,

ventes at blive fordoblet fra 55 000 yuan (46 600 kr.)

hvis temperatur de ved ankomsten kl. 09:00 målte til 57 o C. Lige inden de gik kl. 09:40 målte de igen

til 110 000 yuan (93 200 kr.) i de ti år fra 2011 til

temperaturen af teen, som nu var faldet til 26 oC.

Antag, at indkomsten som funktion af tiden efter

De ved, at teens temperatur y aftager eksponen-

2011 kan modelleres som en eksponentiel udvikling.

tielt med tiden x (hvor x er antal minutter efter

a. Opstil modellen.

ankomst).

b. B rug modellen til at udregne den forventede

a. Opstil en ligning for den eksponentielle sammenhæng, der er mellem temperatur og tid.

2021.

gennemsnitlige hustandsindkomst i 2014. c. D en danske husstandsindkomst var i 2011 godt

b. Hvilken værdi havde x, da de gik?

600 000 kr. (men dels er vores prisniveau meget

c. Kontroller at y = 26, da de gik, og forklar

højere end i Kina, og dels er væksten kun på

hvorfor y overhovedet skal være 26 på det

2-3%). Hvornår tjener Kineserne 600 000 kr. i

tidspunkt.

gennemsnitlig hustandsindkomst?

d. Eftervis, at teen blev brygget 28 minutter før de kom, (dvs. en negativ tid).

7. Eksponentielle funktioner

157

Opgaver – 7. Eksponentielle funktioner Opgave 722

Opgave 725 Herunder vises trafiktal for 2011 for de fire største

nordiske lufthavne og vækstraten siden 2010:

Københavns Lufthavn: 22.725.517 passagerer og

en vækst på +5,7% Oslo, Gardermoen:

21.103.199 passagerer og en vækst på +10,5%

Stockholm, Arlanda:

19.069.065 passagerer og en vækst på +12,4%

14.865.871 passagerer og

Helsinki, Vantaa: a. Aflæs fordoblingskonstanten på hver af de tre grafer.

en vækst på +15,5% a. Opskriv en model for trafikken (målt i millioner

b. Hvad er firedoblingskonstanten? c. H vor meget skal x vokse med, hvis y skal vokse med 50%?

passager) som funktion af tiden (målt i år efter 2011), for hver af de fire lufthavne. b. B eregn fordoblingstiden for trafikken gennem disse hovedlufthavne.

Opgave 723

c. H vad vil trafikken ifølge modellen være i år

d. H vis disse vækstrater fortsætter, hvornår er

2016 i København? Københavns lufthavn så den lufthavn med mindst trafik? Opgave 726

f1 f3

Produktionen af solenergi er i gennemsnit steget

f2 x

a. Aflæs halveringskonstanten på hver af de tre grafer. b. H vor meget skal x vokse med, hvis y skal falde med 50 %?

48% om året i perioden 2002 til 2007. a. Hvor mange år er fordoblingstiden? b. I år 2007 var produktionen på ca. 3 800 MW. Opstil en eksponentiel model for udviklingen, hvor produktionen af solenergi i MW er en funktion af årene efter 2007, hvis udviklingen fortsætter.

Opgave 724

Opgave 727

I 1970-2010 er flytrafikken blevet fordoblet hvert

En mand køber en bil for 400 000 kr. og afskriver

15. år.

den med 25% om året (værdien af den aftager

a. Hvilken vækstrate pr. år svarer det til?

med 25% pr. år). Grafen viser den eksponentielle

b. K rydstogt-industrien har haft vækstrater på

udvikling med forskriften y = 400 · 0,75x.

7,6 % de sidste 30 år. Hvad er fordoblingstiden på krydstogt-trafikken?

y 350 300 250 200 150 100 50 -2 -1

158

7. Eksponentielle funktioner

0 1

9 10 11 12

x a. H vad har y = 400 · 0,75 med bilens afskrivnin-

ger at gøre?

c. I ndtegn punkterne fra tabellen på grafen med en prik, og forklar eventuelle afvigelser mellem

b. Aflæs på grafen, hvor lang tid der går, før bi-

punkter og graf. d. Hvornår er din kakao i følge modellen 10o varm?

lens værdi er halveret. c. Beregn halveringskonstanten.

Opgave 731 Opgave 728

Figuren herunder viser udviklingen på verdens-

I et land foreligger der en politisk beslutning om

plan i kapaciteten af vindmølleenergi. Udviklin-

at reducere CO 2-udslippet med 2 % om året.

gen kan beskrives med en eksponentiel model.

a. B eregn, hvor lang tid der går før det nuvæ-

a. I det følgende betegner y mængden af energi

rende udslip i 2010 på 50 mio. tons er halveret. b. O pstil et regneudtryk som modellerer CO2-udslippet i årene efter 2010.

og x årene efter 1996. Bestem ved regression den bedste eksponentielle model for mængden af energi y som funktion af årene efter

c. B eregn ved hjælp af modellen, hvad udslippet er i år 2020.

1996 x. b. Beregn fordoblingstiden. c. Beregn kapaciteten i år 2020.

Opgave 729

d. H vornår er kapaciteten på 300 GW ifølge mo-

Lægemiddelet Paracetamol optages hurtigt og

dellen?

næsten fuldstændigt i kroppen. Den dosis, som patienten har i kroppen, har en halveringstid på ca. 2,5 timer. a. H vor meget er der tilbage af 500 mg efter 2,5 timer? b. Hvor meget er tilbage efter 5 timer? c. O pstil en model, der viser, hvor meget Paracetamol der er tilbage efter x timer. Opgave 732 Opgave 730

En god, koldhævet gærdej fyldte 1,2 liter, da den

Du beslutter dig for at holde picnic med varm ka-

var blevet æltet sammen. Den skulle hæve til

kao i sneen. Samtidig kan du afprøve om tempera-

mindst dobbelt størrelse. Eftersom bageren var

turen aftager eksponentielt med tiden. Du sætter

sulten, var han adskillige gange i køleskabet for at

en kop kakao ud i kulden en snevejrsdag og måler

undersøge dejens rumfang.

følgende temperaturer:

Timer

x (tid, minutter der er gået)

y (temperatur i o C)

a. B estem ved regression forskriften for den eks-

Rumfang i liter

1,2

1,26

1,4

1,5

1,8

a. G æren får dejen til at hæve med en fast procentdel per time. Udfør eksponentiel regres-

ponentielle udvikling, der beskriver sammen-

sion, og find en model for dejens rumfang som

hængen bedst.

funktion af antal timer.

b. Tegn grafen for den forskrift, du fandt frem til.

b. Hvor mange procent hæver dejen hver time? c. Hvornår er den hævet til dobbelt størrelse?

7. Eksponentielle funktioner

159

Opgaver – 7. Eksponentielle funktioner Opgave 733

a. Er det (i) y = 1,10 · 4,4x eller (ii) y = 0,10 · 4,4x

En hindbærbrus, der smager af sol og sommer,

hældes op i et glas. Det er rimeligt at antage, at

BNP-udvikling over tid regnet i antal år efter 1990?

skumhøjden på væsker med brus og bobler vil aftage eksponentielt. Det vil nemlig være en vis procentdel af boblerne, der brister pr. tidsenhed. Sekunder

4,5

Skumhøjde i cm

3,5

1,3

a. Udfør eksponentiel regression og bestem en forskrift for modellen. b. H vor mange procent aftager skumhøjden hvert sekund? c. Hvad er halveringskonstanten?

eller (iii) y = 4,4 · 1,10x , der er model for Kinas

b. Tegn grafen for det kinesiske BNP for årene

2008 til 2020.

Væksten i BNP i samme periode i USA var på omkring 3% p.a. I 2008 var BNP i USA på 14,3 billioner $. c. Tegn grafen for USA’s BNP i årene 2008 til 2020 i samme koordinatsystem som den for Kina. d. S andsynligvis fortsætter vækstraterne for Kina ikke med at være så høje. Prøv at vurdere hvorfor, og hvornår faldet i vækstraten kunne tænkes at sætte ind. e. Find ud af, i hvilket år BNP i Kina vil blive dob-

Opgave 734 Selvom væksten i BNP’en svinger meget, er det tydeligt, at den kinesiske økonomi har en meget

belt så stort som i USA. f. H vilke antagelser om udviklingen har du gjort i besvarelsen af spørgsmålene ovenfor?

højere vækstrate end et europæisk land som fx Danmark.

Opgave 735 Danmarks BNP i 2008 var 341 milliarder $, og de seneste år har væksten været på omkring 2% p.a. a. Opstil en formel, der beskriver sammenhængen mellem BNP og antal år efter 2008 for Danmark. b. I hvilket år er vores BNP 458 milliarder $, hvis udviklingen fortsætter. Opgave 736 Kazakhstans BNP i 2008 var knap 133 milliarder $, og de seneste år har vækstraten pr. år været omkring 9 %.

Væksten i BNP i perioden efter år 1990 i Kina er på ca. 10% p.a. I 2008 var BNP på 4,4 billioner $.

a. Opstil en formel, der beskriver sammenhængen mellem BNP og antal år efter 2008 for Kazakhstan. b. I hvilket år er deres BNP 458 milliarder $, hvis udviklingen fortsætter?

160

7. Eksponentielle funktioner

Opgave 737 En bekymret haveejer har opdaget en rund

Mundtlige opgaver

monster-mosplet. Dens radius er allerede 10 cm

Opgave 738

og vokser 3% pr. dag, mener han bestemt. Han

Gør rede for forskriften for en eksponentiel sam-

bliver nervøs for sit dejlige tulipanbed og det fine

menhæng, og for konstanternes betydning for

marmorfuglebad og beslutter sig for at regne

grafens udseende.

lidt på sagen i Excel. Han har indtastet dagene i

Tag gerne udgangspunkt i et par eksempler.

kolonne A og en formel, der beregner radius som funktion af antal dage, i kolonne B.

Opgave 739 a. G ennemgå et eksempel på hvordan man finder forskriften for funktionen ud fra kendskabet til

a. E r formlen i B4: = 10 ∙ 1,03^A4

eller

= 10 + 1,03 ∙ A4

koordinaterne til to punkter på grafen. b. B evis formlene hvormed man kan beregne forskriften for en eksponentiel sammenhæng ud fra koordinaterne til to punkter på grafen. Opgave 740 a. Forklar om fordoblings- og halveringskonstanten ved at gennemgå begreberne som de kommer til udtryk på en graf for en eksponentiel udvikling. b. B evis formlerne hvormed man kan bestemme dem. Opgave 741

b. To af punkterne på figuren nedenfor ligger lidt

Forklar, hvordan man laver eksponentiel regres-

væk fra de andre. Det ene af dem er OK, men

sion vha. et matematik-program, regneark eller

for det andet er beregningen gået galt.

lignende.

Hvilket af dem er det? c. H vad har de øvrige punkter tilfælles, som gør,

Opgave 742

at du opfatter punkterne som en smuk ekspo-

Bevis, at når man lægger et fast tal k til x-værdien i

nentielt voksende kurve?

en eksponentiel sammenhæng, så ganges y-værdien med et fast tal, som er fremskrivningsfaktoren opløftet i k'te.

7. Eksponentielle funktioner

161

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (7)

1. Udregn et overslag på: a. 65 + 14 b. 562 + 246 c. 143 + 856

2. Udregn et overslag på: a. 61 · 18 b. 134 · 107 c. 947 · 11

3. Udregn et overslag på: a. 196 – 145 b. 1954 – 589 c. 512 – 156

4. Udregn et overslag på: a. 324 : 31 b. 890 : 98 c. 7646 : 104

5. U dregn et overslag på: a. 6,6 + 1,9 b. 5,62 + 2,44 c. 0,143 + 0,856

7. U dregn et overslag på: a. 0,496 – 0,189 b. 19,54 – 4,29 c. 50 900 – 30 756

6. Udregn et overslag på: a. 6,22 · 1,81 b. 12,8 · 10,4 c. 9390 · 110

8. U dregn et overslag på: a. 33,4 : 3,1 b. 96,6 : 9,8 c. 16,33 : 4,13

Parenteser: Regel: a(b + c) = ab + ac Eksempler: 3(a + 4) = 3a + 3 · 4 –(a + 4) = –a – 4 4 – (a + 4) = 4 – a – 4 = a

9. Ophæv parenteserne

10. Ophæv parenteserne

11. Ophæv parenteserne

og reducer

a. 2x – (3 – x)

a. y – (y + x) + 2x

a. 1 – (b + 1) + b

b. a – 3(a – 2)

b. a – (6 + a) + 3

b. 3(1 – a) –6 + 2a

c. x – (x + 2) + 1

c. x + 4(3 – x) + 3x

c. 2(3 – c) –8 + 3c

Fremskrivningsfaktor og vækstrate 12. Bestem vækstraten,

13. Bestem vækstraten,

når fremskrivningsfaktoren er a. 1,04 b. 1,09 c. 1,43 d. 1,98

når fremskrivningsfaktoren er a. 1,84 b. 0,90 c. 0,84 d. 1,84

162

7. Eksponentielle funktioner

14. Bestem vækstraten i procent, når fremskrivningsfaktoren er a. 1,96 b. 2,04 c. 0,77 d. 1,25

15. Bestem fremskrivningsfaktoren, når vækstraten er a. 0,32 b. 0,12 c. 77 % d. –29 %

16. Bestem fremskriv-

17. Bestem fremskriv-

18. Bestem fremskriv-

ningsfaktoren, når vækstraten er a. 0,05 b. 45% c. 75,5% d. –0,03

ningsfaktoren, når vækstraten er a. 0,125 b. 52 % c. –0,01 d. –2,5 %

ningsfaktoren, når vækstraten er a. 13 % b. –3 % c. 8,4 % d. 100 %

Potenser: Husk, dt der ifølge en definition gælder, at a − n =

1 , a0 = 1 an

Endvidere kan det vises, at der gælder følgende regler: an · am = an+m og Eksempler: 3−2 =

an = a n–m am

3 1 1 4 4 3 ⋅ 4 −3 = 4 3 ⋅ 3 = 3 = 1 2 og 3 4 4

43 – 42 = 43–2 = 41 = 4 og

19. Udregn tallet

5 6 = 56–4 = 52 = 25 54

21. Udregn tallet

a. 24 b. 3–3 c. 4–2

23. Udregn potenserne

a. 45 · 4-2 b. 25 · 2-3 4 c. 43

a. 96 · 9-4 b. 29 · 2-5 7 c. 105

20. Udregn tallet

22. Udregn potensen

a. 73 · 7–2 b. 104 · 10–2 c. 34 · 3–1

a. 52 · 5–1 b. 23 · 2–3 7 c. 34

Cirkel med radius r Kvadrat med sidelængde s Rektangel med sidelængderne l og b Trekant med højde h og grundlinje g

a. x8 · x–6 x7 x3 7 c. a0 a

a. a6 · a–3 b. b8 · b–5 7 c. a5 a

Geometriske formler

24. Udregn og reducer

25. Udregn og reducer

Areal

Omkreds

A=π·r A = s2 A = l · b A = 1 h · g 2

O = 2π · r O=4·s O=2·l+2·b O = s1 + s2 + s3

Eksempel En trekant har en højde med længden 4 og en grundlinje med længden 6. Trekantens areal er: T = 1 · 4 · 6 = 12. 2

25. Udregn arealet af a. en cirkel med radius 5 b. en trekant, hvor h = 6 og g = 3 c. et kvadrat, hvor s = 2 d. et rektangel med l = 2,5 og b = 2

26. Udregn omkredsen af a. en cirkel med r = 3 b. en trekant hvor s1 = 1, s2 = 2 og s3 = 1,5 c. et kvadrat, hvor s = 2,25 d. et rektangel med l = 9 og b = 12,5

28. Isoler a. b. c. d.

b i formlen A = l · b r i formlen O = 2π · r π i formlen O = 2π · r h i formlen A = 1/2h · g

29. Isoler a. π i formlen O = 2π · r b. h i formlen A = 1/2h · g c. r i formlen A = π · r2 d. s2 i formlen O = s1 + s2 + s3

7. Eksponentielle funktioner

163

8. Proportionalitet

8.1 Ligefrem proportionalitet

1 Introduktion

I forbindelse med noget vejarbejde bruges 0,6 tons asfalt pr. meter vej der skal anlægges. Der bruges altså en fast mængde asfalt for hver meter vej der anlægges. Man kan udtrykke dette på følgende måde: ”Mængden af asfalt er ligefrem proportional med længden af vejen”.

x Vejlængde [meter]

100

y Asfaltforbrug [tons]

0,6

1,2

1,8

2,4

H vis vejlængden i meter betegnes med x og asfaltforbruget i tons med y, er modellen y = 0,6x.

2 Definition

Man siger, at y er ligefrem proportional med x, hvis sammenhængen kan skrives y = k · x.  Tallet k benævnes proportionalitetsfaktoren. k må ikke være 0.

3 Eksempel

I modellen ovenfor er proportionalitetsfaktoren k=0,6.

H vis vejen havde været bredere og der skulle bruges 1,3 tons asfalt pr. meter vej, ville proportionalitetskonstanten have været k=1,3 og modellen havde været y = 1,3x.

På figuren er de to proportionaliteter vist grafisk. 0

Den røde linje er graf for y = 1,3x og den blå er graf for y = 0,6x.

4 Eksempel

3 x

En urtehave skal planlægges med form som et rektangel. Arealet udregnes ved at gange længden med bredden: A = l · b. Havens bredde er fast være

4 m, så b er en konstant (b = 4). Længden l er ikke givet på forhånd og skrives derfor som en variabel. 4

Arealet vil variere med længden af haven. Sammenhængen er A = l · 4, hvilket man ville skrive A = 4 · l (man sætter som regel tal forrest)

Arealet A er altså ligefremt proportionalt med længden l. Proportionalitets-

faktoren er 4. 5

I tabellen ses udvalgte værdier af 0

164

8. Proportionalitet

de to variable størrelser.

l [m]

1 2 2

Areal [m ]

4 8 12 16 20

Somme tider kan det betale sig at omforme det symbolske udtryk for ligefrem proportionalitet, så det udtrykker, at forholdet mellem y og x er konstant: At y er ligefrem proportional med x, har vi hidtil udtrykt med formlen y = k · x. Ved at y

dividere med x på begge sider af lighedstegnet kan formlen omformes til: x = k her må vi kræve at x ≠ 0.

5 Eksempel Forholdet mellem arealet A og længden l i fra tabellen i eksemplet ovenfor er konstant lig med 4: 4 = 8 = 12 = 16 = 20 = 4 1

6 Øvelse På billedet ses nogle pilgrimme, der er ved at gennemføre Caminoen. Vi antager de går med en konstant hastighed på 3 km/t. Distancen y er ligefrem proportional med antal timer x som de går. a. Bestem hvor langt er de kommet efter 5 timer. b. Tegn tabellen af og udfyld den. c. Bestem proportionalitetskonstanten.

Timer

0 1 2 3 4 5

Distance

d. Skriv sammenhængen mellem distance (i km) og tid (i timer) op som en formel. e. Tegn grafen for sammenhængen.

7 Øvelse En person tanker sin bil op med benzin til 9,50 kr. pr. liter. Hun funderer over, om beløbet hun skal betale, er ligefrem proportionalt med antal liter hun hælder på. a. F uldfør sætningen og skriv den ned ”betalings-beløbet er ligefrem proportionalt med …” b. S kriv sammenhængen mellem det samlede beløb B og antal liter l op med symbolsprog, dvs. som en formel. c. Brug formlen til at beregne, hvor meget hun skal betale for 53 liter. d. Tegn grafen for sammenhængen i CAS, hvor enhederne på y-aksen er faktor 10 større end på x-aksen.

8 Øvelse a. Forklar, hvorfor der er en ligefrem proportional sammenhæng mellem x og y i denne tabel.

x 2

y 8 20 32 100

b. Bestem proportionalitetskonstanten.

9 Øvelse En samling ens mønter stables i lodrette stakke. For hver stak bestemmes højden i cm og antallet af mønter i stakken. a. B egrund, at højden, h i cm, er ligefrem proportional med antallet af mønter i stakken, N dvs. h = k · N b. Forklar hvad proportionalitetsfaktoren angiver.

8. Proportionalitet

165

8.2 Omvendt proportionalitet 10 Introduktion En filmklub for italienske film skal se filmen 8½ af Fellini. Filmklubben har 24 medlemmer, og et af medlemmerne har bagt en bradepande med olivenbrød til fælles spisning. Brødet skal deles i 24 stykker. Hvis brødet deles i 12 lodrette søjler, skal der være 2 vandrette rækker. Hvis det deles i 8 lodrette søjler, skal der være 3 rækker. Og med 6 søjler, skal der være 4 rækker. Antallet af søjler y er omvendt proportionalt med antallet af rækker x, og y · x = 24.

11 Definition To positive variable x og y er omvendt proportionale, hvis den ene bliver k gange mindre, når den anden bliver k gange større. Udtrykt med symbolsprog: x · y = k Grafen for en omvendt proportionalitet kaldes en hyperbel.

12 Eksempel E n stor firkantet kage skal deles i x–rækker og y søjler og delingen skal give i alt 28 stykker. De to variable x og y er omvendt proportionale og opfylder ligningen x · y =28. H vis kagen deles i 4 rækker, kan vi finde antallet af søjler af ligningen 4 · y =28 dvs. y = 28 = 7. Kagen skal altså deles i 4 rækker og 7 søjler. 4

13 Eksempel Et sommerhus skal have et rektangulært grundplan på 36 m2 . Det er dog ikke besluttet, hvor bredt eller hvor langt huset skal være. B redden b og længden l på sommerhuset er omvendt proportionale størrelser fordi: b · l = 36 . Hvis b = 2, kan vi finde lænden l af ligningen 2 · l =36 dvs. l = 36 = 18 . 2

Sommerhuset skal altså være 18 m langt, hvis vi sætter bredden til 2 m.

14 Sætning At x og y er omvendt proportionale kan også skrives således: y = 1 kan omskrives til y = k . x

166

8. Proportionalitet

k som igen x

15 Eksempel Her er fem variabelsammenhænge mellem x og y. 1 x

a. y = 3 ⋅ + 6

b. y = 2x

c. y = 3 x

d. y =

x +2 6

e. y = 5 ⋅

1 x

Kun to af dem er omvendte. Nemlig c. og e. Variabelsammenhængene i b. og d. er lineære, og b. er også en ligefrem proportionalitet. Udtrykket i a. er ikke en navngiven variabelsammenhæng.

16 Eksempel I tabellen ses to variable x og y. Vi kan gøre rede for, at sammenhængen er en omvendt proportionalitet

ved at kontrollere, at der gælder x · y = k.

y 10 5

4 10 20 2

Vi udregner produktet (tallene ganges sammen) af sammenhængende værdier af x og y, og får: 2 · 10 = 4 · 5 = 10 · 2 = 20 · 1 = 20. Produktet af de to variable gav altså konstant 20 og variabelsammenhængen er derfor en omvendt proportionalitet.

17 Eksempel En løber varmer langsomt op med at jogge med hastigheden 6 km/t. Distancen der skal løbes er 24 km. Det vil tage 4 timer med den hastighed: 6 km/t · 4 t = 24 km Forøges hastigheden til 12 km/t, vil det tage 2 timer: 12 km/t · 2 t = 24 km

y 6 4 2

De to variable hastighed v og tid t er omvendt proportionale, når

0 5

20 x

distancen er konstant. Vi kan eksempelvis beskrive den omvendte proportionalitet med de to udtryk: v · t = 24 eller t =

24 . v

18 Øvelse En person skal løbe 16 km. Bestem, hvor lang tid løbet vil tage med hastigheden: a. 4 km/t.

b. 8 km/t.

c. 16 km/t.

Vi indfører nu de to variable: hastighed v og tid t . d. Gør rede for, at hastighed v og tid t er omvendt proportionale. e. Opskriv en ligning, der viser variabelsammenhængen mellem v og t.

19 Øvelse I tabellen ses hvor lang tid i minutter en bestemt ret skal have i mikroovn

Tid

ved bestemte effekter. Det oplyses at tid og effekt er omvendt proportionale.

Effekt

1000

20 500

a. Tegn tabellen af og udfyld den.

20 Øvelse I tabellen ses to variable x og y.

a. Gør rede for, at der er en omvendt proportional sammenhæng mellem x og y.

y 10 5

b . Tegn en graf i CAS, der viser sammenhængen.

4 10 20 2

8. Proportionalitet

167

Opgaver – 8. Proportionalitet Opgave 801

Opgave 804

a. y er ligefrem proportional med x. Udfyld resten

I 1783 fløj verdens første bemandede luftballon

hen over Paris. Den fløj 12 km på 25 min. Antag, at

af tabellen. x

0,5

afstanden er ligefrem proportional med flyvetiden. a. Opstil en ligefrem proportionalitet. (Det er nemmest at vælge enheden på propor-

Opgave 802

tionalitetskonstanten til at

Et almindeligt stearinlys brænder ca. 0,1 g

være km/min.).

stearin pr. min. ”antal gram der er brændt” = 0,1 ∙ ”antal minutter”

Opgave 805 En ung pige er 163 cm høj. Hendes body mass index (BMI) udregnes efter denne formel: BMI =

1 ∙ vægt 1,63 2

a. Forklar, hvorfor hendes BMI og vægt er ligefrem proportionale, og bestem proportionalia. Hvor mange gram brænder på 20 min.? b. Hvis nu x betegner antal minutter, og y beteg-

tetsfaktoren. b. D et gælder også, at BMI ∙ k = vægt. Hvad er

ner antal gram, hvordan kan sammenhængen

proportionalitetsfaktoren k for denne lige-

mellem x og y så skrives op?

fremme proportionalitet?

c. Er x og y ligefrem proportionale?

c. Beregn hendes BMI, når hendes vægt er 59 kg. d. Man er som tommelfingerregel undervægtig,

Opgave 803

hvis man har et BMI på mindre end 18,5 og

En euro koster ca. 7,5 kr.

overvægtig med et BMI på 25 eller derover.

a. O pstil en ligefrem proportionalitet, hvor kroner

Find det interval i kilo, hvor den unge pige er

er y, og hvor euro er x. b. Hvad er proportionalitetsfaktoren? c. Beregn, hvor mange kroner 20 euro koster.

normalvægtig. e. Hendes bror er 1,92 m høj og vejer 88 kg. Er han normalvægtig?

d. Beregn, hvor mange euro man kan få for 150 kr. e. O pstil en ligefrem proportionalitet hvor euro er y og kroner er x. f. Hvad er proportionalitetsfaktoren nu?

Opgave 806 Der er ca. 35 kcal i 100 g broccoli. Man forbrænder 5 kcal/min. ved at dyrke aerobic. a. Opskriv en ligefrem proportionalitet mellem vægten af broccoli og det samlede antal kcal. b. B eregn, hvor meget broccoli man skal spise for at have energi til 14 min. aerobic.

168

8. Proportionalitet

Opgave 807 a. Beregn, hvilke tal der skal stå i resten af ske-

maet, når man ved, at k = y ∙ x. x y

Opgave 808 En families indkomst efter skat kan enten forbruges eller spares op. For middelgruppen i befolk-

c. Hvor stor en effekt rammes du med ved den

ningen vokser forbruget proportionalt med indkomst og formue.

tredobbelte vindhastighed 18 m/s? (hård kuling) d. Hvor stor en effekt rammes du med ved den

seksdobbelte vindhastighed 36 m/s? (orkan)

Antag, at en familie med to voksne i middelgrup-

e. Hvor mange gange hårdere modvind får du i

pen tjener 400.000 kr. efter skat. Forbrugskvoten

en orkan end i hård kuling?

(andelen af den disponible løn der går til forbrug) i den lønklasse kunne være omkring 0,92.

Opgave 810

a. Hvor meget sparer familien så op i procent af

a. Når x og y er ligefrem proportionale, bliver y

deres indkomst?

så større eller mindre, når x bliver større? (leg

b. Hvor mange kroner sparer familien pr. år?

evt. med den ligefremme proportionalitet

c. Hvor mange penge bruger familien på forbrug?

y = 0,7 ∙ x på et stykke krussedullepapir)

Forbruget y vokser proportionalt med

b. Når x og y er omvendt proportionale, bliver y

indkomsten x.

d. Opstil en regneforskrift for udsagnet ovenfor.

så større eller mindre, når x bliver større? (leg

evt. med den omvendte proportionalitet

y ∙ x = 3)

e. Brug regneforskriften til at beregne familiens

forbrug efter moderens forfremmelse, der førte

Opgave 811

til et indkomstløft til 514.000 kr. efter skat.

I cafeen købte Marcel Madeleine-kager til 2 euro stykket. Antallet af kager kaldes x og prisen på x

Opgave 809

styk af dem kaldes y.

Effekten y i et vindpust, som rammer en bestemt

a. Opskriv formlen, hvormed man kan beregne y.

overflade, er proportional med vindhastigheden x

b. Er y ligefrem proportional med x?

i tredje (hvor vindhastigheden er i m/s og effekten

Hvis en person fortæller, at hun brugte 10 euro,

er i Watt). Den ligefremme proportionalitet er:

kan vi finde antal kager.

3 y = 0,42 ∙ x .

c. Opskriv antallet af kager som en funktion af

a. Hvor stor en effekt rammes du med ved en

vindhastighed på 6 m/s? (jævn vind: alminde-

d. Er y og x stadig ligefrem proportionale?

lig godt sejlervejr.)

prisen – nu er antal kager altså y og prisen x.

b. Hvor stor en effekt rammes du med ved den

dobbelte vindhastighed 12 m/s? (hård vind)

8. Proportionalitet

169

Opgaver – 8. Proportionalitet Opgave 812

Opgave 814

y er ligefrem proportional med x.

Viggo sælger tørrede oksepenisser som hunde-

Tegn tabellerne af. Bestem proportionalitetsfakto-

foder til 30 kr. pr. pose.

ren, og udfyld de tomme felter.

Salgsindtægten y er proportional med antal poser x .

10 1

1,4

0,25

0,0001

0,05

750

a. Opstil den ligefremme proportionalitet, hvor-

250000

med man kan beregne hans salgsindtægt for x

Opgave 813

poser oksepenis.

Størrelserne x og y er omvendt proportionale.

b. Hvad får han af indtægt på de 529 poser med

Tegn tabellerne af. Bestem proportionalitets-

faktoren, og udfyld de tomme felter.

c. Hvad er proportionalitetskonstanten?

d. Hvor mange oksepenisser skal han sælge for at

tjene 10.000 kr.?

10 1

tørrede oksepenisser, som han solgte i 2012?

3 7,5

Opgave 815

For hver af de nedenstående funktioner bedes du

3,75

besvare spørgsmålet: c.

200

400

0,1

Hvor meget vokser variablen y med, hver gang varia-

1000

blen x vokser med 1?

a. For funktionen defineret via forskriften y = 2,3x d.

x y

0,1

5 0,005

10 0,001

500

b. For funktionen defineret via grafen.

0,01 y 5 4 3 2 1 -3 -2

-1 0 1 –1

8 x

–2 –3

c. For funktionen defineret ved teksten: “Den

170

8. Proportionalitet

afhængige variabel udregnes ved at gange den

uafhængige (den der kan vælges frit) med 2,1.”

Opgave 816 "Antallet af husstande, som anskaffede sig et fjern-

a. Opskriv en forskrift for proportionaliteten.

syn, voksede hurtigt – fra ca. 1 % i 1956 til 50 % i

b. Find Danmark i figuren. Skal proportionalitets-

1963, til 84% i 1975 for at nå 96 % i 1990. Samtidig

konstanten være større eller mindre, for at gra-

voksede forbruget af tv også, fra 1,36 timer pr. dag

fen kommer tættere på Danmark?

i 1964 til 1,54 timer pr. dag i 2002 for at nå 3,09

c. Hvad kan man på den baggrund sige om

timer pr. dag i 2009.

energiforbruget i Danmark i forhold til de

Tv-forbruget er vokset proportionalt med ad-

andre lande?

gangen til flere kanaler, især når disse sender på

d. Giv et velargumenteret bud på, hvad Danmarks

dansk."

a. Omskriv tallene for tv-forbruget til minutter i

energiforbrug pr. indbygger vil være, hvis vi når

et BNP på 20.000 $ pr. indbygger.

stedet for timer

b. I 1988 ophørte DR’s monopol efter ca. 40 år.

Opgave 818

I 2013 er der omkring 50 dansksprogede

En cylinders rumfang beregnes ved formlen

kanaler. Formuler den sidste sætning i citatet

V=π∙h∙r

ovenfor med egne ord, uden at bruge ordet

Et bryggeri, der sælger økologiske sodavand, har

”proportional”.

3 brug for dåser, der kan indeholde 330 cm .

c. E r procentdelen, der har et tv, vokset proportionalt med antal år efter 1956? d. Vokser forbruget af tv proportionalt med antal år efter 1964?

a. Redegør for, at tallet h er omvendt proportionalt

2 med tallet r .

b. Til ”Mosebrygget” (en brombærsodavand)

ønsker bryggeriet en dåse med højden 5 cm.

2 Hvad bliver r ?

Opgave 817

c. Til ”Midsommerdug” (en citronvand) ønskes en

Nedenstående graf viser en næsten ligefrem pro-

høj, slank dåse. Hvilke mål vil du foreslå?

portionalitet mellem velstand (BNP i $ pr. indbygger) og energiforbrug (målt i Giga Joule pr.

Opgave 819

indbygger).

2 En gedehyrde har en mark på 10.000 m . Marken

er omgivet af stejle klippeskråninger, så der er ikke mulighed for mere græsningsareal, men til gengæld er der en fantastisk udsigt. a. Opstil en omvendt proportionalitet mellem antallet af geder og det areal, hver ged kan bruge til græsning. b. Hvor mange geder kan hyrden have, hvis hver

2 ged skal bruge 130 m ?

2 c. Hvor mange m har hver ged, hvis der er 130

geder?

8. Proportionalitet

171

Opgaver – 8. Proportionalitet Opgave 822 a. Opstil en omvendt proportionalitet med 100 kr. i pungen og jordbær, der skal købes. b. Opstil en ligefrem proportionalitet med pris og jordbær.

Mundtlige opgaver Opgave 823 Opgave 820

Udarbejd et oplæg om følgende punkter:

Kamille køber 2.500 blomsterfrø.

a. Hvad er ligefrem proportionalitet? 2

a. Redegør for, at antallet af frø pr. m og det

samlede antal tilsåede kvadratmeter er om-

vendt proportionale. 2 blomstre med 100 frø/m ?

c. Forklar, at når y er ligefrem proportional med x,

c. Hvor mange kvadratmeter kan hun få til at

nalitet ud, og hvordan kan konstanterne i ligningen aflæses?

b. Hvor mange kvadratmeter kan hun få til at

b. H vordan ser grafen for en ligefrem proportio-

2 blomstre med 50 frø/m ?

så er x også ligefrem proportional med y.

d. Giv eksempler på sammenhænge mellem varia-

ble, der kan beskrives med ligefrem proportio-

nalitet. Opgave 821

e. Forklar forskelle og ligheder mellem lineære

For bølger gælder sammenhængen v = f ∙ λ, hvor v

funktioner og ligefremme proportionaliteter.

er bølgens hastighed, f er bølgens frekvens, og λ er bølgens længde.

Opgave 824

a. En stille sommerdag slikker små bølger med

Udarbejd et oplæg om følgende punkter:

længden 1,3 m op om tæerne på en strandgæst.

a. Hvad er omvendt proportionalitet?

Opstil en ligefrem proportionalitet.

b. H vordan ser grafen for en omvendt proportio-

b. H vad er bølgernes hastighed, når frekvensen

nalitet ud, og hvordan kan konstanterne i

–1

er 0,12 s ?

ligningen aflæses ud fra grafen?

c. H vad er enheden for de små bølgers hastighed?

d. Ligningen gælder også for lysbølger. Lysets

hastighed i vakuum er 299.792.458 m/s. Opstil

en omvendt proportionalitet.

e. Herunder ses en tabel med eksempler på bølgelængder, der vil give farvet lys. Vælg din yndlingsfarve, og beregn frekvensen. Angiv enheden. λ i m ∙ 10–9

172

c. Giv eksempler på sammenhænge mellem varia-

700

600

8. Proportionalitet

550

500

450

400

ble, der kan beskrives med omvendt proportio-

nalitet.

8. Proportionalitet

173

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (8)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Ligninger Omformning: Husk, at lighedstegnet udtrykker en balance mellem talstørrelserne på hver side af det.

1. Løs ligningerne:

2. Løs ligningerne

a. 2x + 1 = 4 b. 3 + 2x = 5 c. 3x + 1 = 7 – 3x

3. Løs ligningerne

a. 4x + 2 = 14 b. 2x + 1 = 17 c. 6 – 4x = –10

4. L øs ligningerne

a. 5x + 3 = 18 b. 0,1x – 0,5 = 1,5 c. 4(x – 2) = 4

5. Løs ligningerne

a. 7 + 2x = 7 b. 16 = 8 – 2x c. 0,1x = 3

a. b. c. d.

6. Beskriv fejlen og skriv omformningen korrekt a. 0,2x + 2 = 4 0,2x – 0,2 + 2 = 4 – 0,2 0,2x + 1,8 = 3,8 0,2x = 4 x = 20

2x – 3 = 1 + x 3x + 3 = 12 4 + 3x = –2 5 x = –25

7. Beskriv fejlen og skriv a. 1 + 3x = x 1 + 3x – x = 1 1 + 2x – 1 = 1 – 1 2x = 0 x=0

8. Beskriv fejlen og skriv a. 4 – x = 1 – 2x 2x + 4 – x – 4 = 1 – 2x – 4 x = –2x – 3 3x = –3 x = –1

Fremskrivningsfaktor og vækstrate 9. Bestem vækstraten, når

fremskrivningsfaktoren er a. 1,02 b. 1,38 c. 1,50 d. 1,685

10. Bestem vækstraten i

procent, når fremskrivningsfaktoren er a.1,06 b. 0,91 c. 1,21 d.1,25

11. Bestem vækstraten i

procent, når fremskrivningsfaktoren er a. 0,96 b. 2,18 c. 0,01 d. 1,259

12. Bestem fremskrivnings-

faktoren, når vækstraten er a. 17 % b. – 5 % c. 43 % d. -10 %

13. Bestem fremskrivningsfaktoren, 14. Bestem fremskrivningsfaktoren, 15. Bestem fremskrivningsfaktoren, når vækstraten er a. 94 % b. 3,5 % c. –4 % d. –27 %

174

Trainingssider

når vækstraten er a. 17,5 % b. –32 % c. –9,5 % d. –98 %

når vækstraten er a. –50 % b. 0,05 % c. 0,096 % d. 145 %

Brøker a b

Tal gange brøk: k ⋅ =

k ⋅a b

2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

Brøk multipliceret med brøk :

3⋅2 5

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

6 3 2 3 2⋅3 = . ⋅ = , som kan udregnes og forkortes til 20 10 4 5 4 ⋅5

Eksempel:

Brøk divideret med brøk: 1 13 3 2 24 4

a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

1 14 4 2 23 3

1⋅ 41⋅ 41⋅ 4 4 4 4 2 2 2 2 ⋅23⋅ 23 ⋅ 3 6 6 6 3 3 3

Eksempel: : : === ⋅ ⋅ , som kan udregnes og forkortes til = === === =.

16. Udregn

17. Udregn og forkort

18. Udregn

19. Udregn og forkort

a. 2⋅

5 10

a. 2⋅

4 20

a. 3⋅

6 7

a. 4 ⋅

6 20

b. 3⋅

4 7

b. 4 ⋅

3 16

b. 2⋅

12 15

b. 4 ⋅

5 15

c. 4 ⋅

2 12

c. 3⋅

55 100

c. 2⋅

c. 32⋅

1 100

20. Udregn og forkort, hvis muligt 4 5 ⋅ a. 10 4

21. Udregn og forkort, hvis muligt 2 3 a. ⋅ 4 4

22. Udregn og forkort, hvis muligt 4 8 a. ⋅ 6 4

18 12

23. Udregn og forkort, hvis muligt a.

2 1 ⋅ 6 3

2 5 ⋅ 3 10

4 10 ⋅ 10 4

1 28 ⋅ 6 7

4 5 ⋅ 1 20

4 15 ⋅ 6 20

1 10 ⋅ 2 4

4 12 ⋅ 4 16

1 5 ⋅ 5 25

24. Udregn 4 5 : a. 10 4

25. Udregn og forkort, hvis det er muligt 3 1 a. : 8 4

4 4 : b. 10 10

1 1 : 4 2

26. Udregn og forkort, hvis det er muligt

27. Udregn og forkort, hvis det er muligt

6 1 : 10 5

9 2 : 10 4

7 14 : 4 2

8 1 : 12 2

4 1 : 10 5

4 2 : 5 3

1 2 : 5 3

1 1 : 2 10

Trainingssider

175

9. Potensfunktioner 1 Introduktion Varmen fra et bål aftager med ”kvadratet på afstanden” fra bålet. En person, der står 3 m fra bålet, oplever dermed 32 = 9 gange mindre varmestråling end en der står 1 m fra bålet. Går man 5 m væk er der 52 = 25 gange mindre varmestråling end ved 1 meters afstand. Variabelsammenhængen mellem varmen og afstanden kan minde lidt om omvendt proportionalitet, og her skal vi se nærmere på den funktionstype, som både den lineære og den omvendte proportionalitet er eksempler på, nemlig på de såkaldte potensfunktioner.

2 Definition  En potensfunktion er en sammenhæng mellem en positiv variabel x og en anden variabel f(x), som er givet ved f(x) = b · xa. Konstanten b skal være et positivt tal (b > 0). y

3 Eksempel

På grafen for potensfunktionen f(x) = 16 · x–2 ses det, at funktionsværdierne

tionsværdier beregnet.

falder kraftigt, når x-værdierne bliver større og større. I tabellen er udvalgte funk-

f(x) 16 4 1,78 1 0,64

Da x skal være et positivt tal, skærer grafen ikke y-aksen.

onstanten b i forskriften har en anden betydning for potensfunktioner end for K lineære funktioner og eksponentielle funktioner, hvor værdien af b var lig med skæringspunktet med y-aksen. Vi skal nu se nærmere på betydningen af konstanten b for potensfunktioner. y

4 Eksempel

I koordinatsystemet ses grafen for potensfunktionen f(x) = 2 · x3 , hvor konstanten b = 2. Det ser ud til, at grafen går gennem punktet (1,2). Vi vil kontrollere dette

ved at udregne funktionsværdien, når x er 1. Udtrykt med symbolsprog skal vi

altså udregne f(1). Vi sætter ind i forskriften og får: f(1 ) = 2 · 13 = 2 · 1 = 2. 0

Da f(1) = 2, går grafen altså ganske rigtigt gennem (1,2).

5 Sætning  For potensfunktionerne f(x) = b · xa, gælder, at grafen går gennem punktet (1,b).

176

9. Potensfunktioner

6 Eksempel

På figuren ses graferne af tre potensfunktioner, hvor b = 1.

Den blå er graf for f(x) = x2,4, den grønne for g(x) = x 2 og den røde for h(x) = x–1

Bemærk, at de alle går igennem punktet (1,1).

Bemærk også, at både den blå og grønne graf stiger, når vi går mod højre, mens den røde graf falder, når vi går mod højre. Det har at gøre med, om funktionerne er voksende eller aftagende, og det har igen at gøre med fortegnet på konstan-

ten a.

7 Sætning  For potenssammenhængen y = b · xa, gælder:  Hvis a > 0, er potenssammenhængen voksende.  Hvis a = 0, er potenssammenhængen konstant (grafen er en vandret linje). Hvis a < 0, er potenssammenhængen aftagende.

y a>1

8 Sætning

a=1

Potensfunktioner, hvor a > 0, vokser på tre forskellige måder:

0<a<1

Når 0 < a < 1, vokser de langsommere og langsommere (grafen er konkav) Når a = 1, vokser de konstant (grafen er en ret linje)

Når a > 1, vokser de hurtigere og hurtigere (grafen er konveks). x

9 Øvelse En potensudvikling er givet ved regneforskriften f(x) = 3 · x2 a. Bestem værdierne for konstanterne a og b. b. Tegn grafen for f. c . Forklar, hvordan betydningen af konstanten b ses på grafen. d. Forklar, hvordan betydningen af fortegnet på konstanten a kan ses på grafen. e. Bestem y, når x = 4.

10 Øvelse I koordinatsystemet vises graferne for potensfunktionerne: f(x) = 3x

1,7

g(x) = 2x

1 3

h(x) = 3x

–1,3

a. Undersøg, hvilken graf der hører til funktionen g(x). Argumenter for svaret ud fra den grafiske betydning af værdien af a eller b eller dem begge.

2 1

b. U ndersøg, hvilke to forskrifter der hører til de to sidste grafer. Argumenter igen ud fra den grafiske betydning af konstanterne i regneforskrifterne.

11 Øvelse I en model er den fysiske lydintensitet som funktion af afstanden givet ved potensfunktionen f(x) = 400 · x–2, hvor x er afstanden, og y = f(x) er lydintensiteten (målt i W2 ). m

a. Benyt modellen til at bestemme lydintensiteten f(x), når vi er 10 m fra lydkilden. b. Bestem også lydintensiteten i afstanden 20 m fra lydkilden. c. B liver den fysiske lydintensitet halveret, når afstanden forøges fra 10 til 20 meter?

9. Potensfunktioner

177

9.2 T eoretisk bestemmelse af a og b i potensfunktionen f(x) = b · xa 12 Introduktion De kugleformede bygninger på billedet ligger i bydelen Pudong i Shanghai. Vi kan beregne volumen V af en kugle med radius r med volumenformlen V = 4 π ⋅·rr33. 3

F ormlen et eksempel på en potensudvikling f(x) = b · x , hvor konstanterne er: 3 a = 3. bV == 4 π ⋅ rog 3

13 Eksempel

1000

3 3 Hvis kuglernes radius er 50 m, vil volumen være V = 4 π ⋅·r50 = 523599,

altså 523 599 m3.

500

På figuren ses grafen for volumen V som funktion af radius x, altså V(x). Skalaen på y-aksen er i hele tusinder. Vi har markeret punktet (50;523,599). 0

14 Eksempel A realet A af det blå kvadrat findes ved at gange sidelængen x med sig selv, altså:

A = x2. Arealet er dermed en potensfunktion af sidelængden. Hvis f(x) betegner arealet og x sidelængden har vi: f(x) = x2. x

I de to ovennævnte tilfælde kender vi altså konstanterne a og b, fordi volumenformlen for en kugle, og arealformlen for et kvadrat er teoribaserede modeller. O fte bliver man imidlertid nødt til at bestemme konstanterne a og b på en anden måde. Vi skal nu se på, hvordan konstanterne kan bestemmes, hvis man kender koordinaterne til to punkter på grafen. Senere skal vi se på, hvordan konstanterne bestemmes ud fra empiriske data. y 3

15 Sætning

H vis to forskellige punkter P1(x1 ,y1) og P2(x2 ,y2) ligger på grafen for f(x) = b · xa,

kan konstanten a bestemmes med formlen:

log 



y2  y1 

x log  2   x1 

log( y 2 ) − log( y1 ) log( x 2 ) − log( x1 )

16 Eksempel

y 10

På figuren ses grafen en potensudvikling f(x) = b · xa. Grafen går gennem punkterne P1(1,2) og P2(9,6).

P2 5

Vi vil bestemme konstanterne a og b: Konstanten b kan bestemmes ud fra oplysningen om at grafen går gennem

P1 0

178

punktet P1(1,2). 5

9. Potensfunktioner

Vi ved fra tidligere, at potensfunktioners grafer går gennem (1,b), og kan konkludere, at konstanten b = 2. Vi mangler nu at bestemme konstanten a. Vi indsætter punkternes koordinater i formlen i sætning 15: a=

6 log   2

9 log  1 

log (3)

log ( 9 )

1 2

Vi ser altså at a = 1 . Da vi endvidere ved, at b = 2, kan vi nu opskrive regneforskriften: 1

f(x) = 2 · x 2 .

Det var belejligt, at grafen i eksempel 16 gik gennem et punkt med første koordinaten 1, fordi vi da kunne bestemme konstanten b. Hvis den ikke gør det, kan man bruge følgende sætning til at bestemme b:

17 Sætning Hvis grafen for f(x) = b · xa går gennem punktet P(x1 ,y1), kan b beregnes med formlen: b=

y1 . x1a

18 Eksempel

y –2

På figuren ses grafen for en potensudvikling f(x) = b · x . Grafen går gennem

punktet P(4,1). Konstanten a = –2 er givet i regneforskriften. Konstanten b bestemmer vi nu med formlen i sætning 15: Punktets koordinater indsættes, og vi får: b =

1 = 16 . −2 4

Vi ser altså, at konstanten b = 16. Forskriften for f er dermed f(x) = 16 · x–2.

19 Øvelse På figuren ses grafen for en potensfunktion f(x) = b · xa. Grafen går gennem punkterne P1(4,6) og P2(9,9).

y 10 P2

a. Bestem konstanten a. b. Bestem konstanten b.

c. Bestem forskriften for f. d. Beregn f(16). e. G ør rede for, om grafen er konkav eller konveks, og sammenhold dette med værdien af konstanten a.

20 Øvelse Bestem forskrifterne for de potensudviklinger, hvis grafer går gennem punkterne a. (1,2) og (8,4). b. (2,3) og (4,12). c. Gør rede for, om graferne stiger konkavt eller konvekst.

9. Potensfunktioner

179

9.3 Potensregression og modeller 21 Introduktion Tabellen viser sammenhængen mellem alderen og den gennemsnitlige længde og vægt af dybhavsrødfisken Sebastes Mentella. Sammenhængen mellem længden l i cm og vægten W i gram, kan beskrives ved en potensfunktion W(l) = b · la, hvor vægten er en funktion af længden. Alder [år]

Længde [cm]

5,2

Vægt [gram]

8,5 11,5 14,3 16,8 19,2 21,3 23,3 8

9 25

26,7 28,2 29,6 30,8

34,9 36,4 37,1 37.7

117 148 190 264 293 318 371 455 504 518 537 651 719 726 810

Data for længde og vægt er tastet ind i Geogebra, og dernæst er der valgt regressionsanalyse med de to variable. Herefter er punktplottet med potens-regressionskurve tegnet. For at vurdere kvaliteten af regressionen tegnes et residualplot vha. geogebras indbyggede funktion. Vi bemærker at residualerne ikke viser et systematisk mønster, snarere en tilfældig samling punkter. Regressionen er troværdig. Modellen ifølge regressionen er y = 0,01 · x3,05, hvilket med vores betegnelser er W(l) = 0,01 · x3,05.

22 Eksempel En person har nogle data fra sit bungy jump. På grund af måleusikkerhed, vindmodstand og en række andre usikkerhedsfaktorer ligger de enkelte punkter ikke nøjagtigt på grafen for en potensudvikling. Derfor bruges regression til at bestemme modellen. I regnearket er seks måling af tiden i sekunder fra udspringet, og afstanden i meter fra toppen indsat. Disse data markeres og vælges Regressionsanalyse. Herefter tegnes et punktplot, og i dette tegnes endvidere grafen for potensmodellen, der fitter punkterne bedst muligt. For at vurdere kvaliteten af regressionen, tegnes et residualplot, og vi ser, at punkterne ikke udviser et mønster, men virker helt tilfældigt. Regressionen er god. Bemærk, at selvom regressionen er god inden for området med målte værdier, skal vi passe på med at anvende modellen alt for langt ud over det tidsrum, der er brugt til som datagrundlag.

180

9. Potensfunktioner

Modellerne i de to ovenstående eksempler er empiriske, fordi modellerne er opstillet ud fra data, der er hentet fra observationer og erfaringer (empiri). Modellerne ovenfor er altså ikke givet ud fra naturlove eller en teoretisk matematisk lovmæssighed. Derved skal man passe på ikke at strække anvendelsesmulighederne eller tolkningen af modellerne for meget. Eksempelvis kan man ikke uden videre indsætte længden 49,3 cm ind i modellen over rødfiskens vægt som funktion af længden. Hvem ved, om rødfisk overhovedet bliver så lange? I eksempel 22 ved vi, at når elastikken er helt udspændt, stopper bevægelsen og ændrer retning opad, senere igen nedad etc. Modellen kan altså kun bruges for den første del af springet.

23 Øvelse x [meter]

f(x) [minutter]

219

147 98 72 56 45 37 29

14 16 18 20 22 25

Tabellen viser samhørende værdier af sammenhængen mellem dybden i meter og neddykningstiden uden risiko for dykkersyge for professionelle dykkere (kilde Jyllandsposten 21.8.1995 Sammenhængen er givet ved en potensfunktion f(x) = b · xa. a. Bestem ved regression tallene a og b. b. Bestem forskriften for f. c. Bestem f(30), og forklar, hvad dette tal fortæller en dykker.

24 Øvelse diameter i mm

brudstyrke i kg

250

400

600

750

1000

1550

4000

6000

10000

Tabellen viser samhørende værdier af brudstyrken og diameteren af en bestemt type polyester tov. Sammenhængen er givet ved en potensfunktion f(x) = b · xa. a. Bestem ved regression tallene a og b. b. Bestem forskriften for f. c. Bestem f(30) og forklar, hvad dette tal fortæller om tovværk.

25 Øvelse Tryk (bar)

0,7

1,1

1,7

2,8

4,1

Hastighed l/minut

356

447

556

681

871

Tabellen viser samhørende værdier af tryk og vandhastighed for en bestemt brandslange. Sammenhængen er givet ved en potensfunktion f(x) = b · xa. a. Bestem ved regression tallene a og b. b. Bestem forskriften for f. c. Bestem f(6) og forklar hvad dette tal fortæller om brandslanger. 9. Potensfunktioner

181

9.4 Vækst i procent for både x og y

26 Introduktion

I 1932 fandt forskeren Max Kleiber en lovmæssighed om stofskiftet i forhold til vægten for dyr. Loven gælder fra bakterier til hvaler, og siger, at stofskiftet 3

stiger med massen opløftet i 4 .

Hvis y er stofskiftet og x er dyrets masse, er sammenhængen y = x 4 . En elefant på 5 tons vejer 100 000 gange så meget som en mus på 50 gram. Men elefanten skal altså ikke have 100 000 gange så meget mad som musen. Den skal ”kun” have 32 000 gange så meget mad ifølge Kleibers lov. På disse sider skal vi se nærmere på den formel, hvormed vi beregnede de 32 000 i eksemplet ovenfor, og hvormed vi kan beregne, hvor meget en variabel ændres i procent, når en anden variabel ændres i procent.

Sådanne ”% – %” variabelændringer er et særkende for potensfunktioner.

27 Sætning For en potensfunktion y = b · xa gælder, at når x ganges med fremskrivningsfaktoren 1 + r x , så ganges f(x) med fremskrivningsfaktoren 1 + r x : 1 + r y = (1 + r x)a En anden måde at repræsentere dette på er ved at sige, at fremskrivningsfaktoren på y-variablen er lig med fremskrivningsfaktoren på x-variablen opløftet i a’te.

28 eksempel En potensfunktion har forskriften f(x) = 4x2,1. Vi vil bestemme, hvor mange procent variablen y = f(x) ændres, hvis variablen x vokser 35 %. Vi indsætter a = 2,1 og 1 + r x = 1 + 0,35 = 1,35 i formlen ovenfor og får: 1 + r y = 1,352,1 = 1,878 En fremskrivningsfaktoren 1 +r y = 1,878, svarer til vækstraten r y = 0,878, hvilket igen er lig med 87,8 %. Stigningen i værdien af variablen y er altså 87,8 %, når værdien af variablen x vokser 35 %.

29 eksempel

En Hereford tyr kan veje over 1 000 kg. Den tager næsten 50 kg på om måneden under opvæksten, og fodermængden skal tilpasses undervejs. Sammen3

hængen mellem vægten x og stofskiftet y er givet ved Kleibers lov: y = x 4 .

Kleibers lov er en potensfunktion med konstanterne b = 1 og a = 4 .

Vi vil bestemme, hvor mange procent stofskiftet ændres, hvis vægten x på en tyr stiger 20 %. Vi har nu fremskrivningsfaktoren på x: 1 + r x = 1,20,

182

9. Potensfunktioner

og vi indsætter i formlen: 1 + r y = (1 + rx)a. 3

Vi regner således: 1 + r y = 1,20 4 = 1,1465. Med to decimaler er 1 + r y = 1,15. En fremskrivningsfaktor på 1 + r y = 1,15, svarer til vækstraten r = 0,15, hvilket igen er lig med 15 %. Stigningen i værdien af stofskiftet y er altså 15 %, når vægten stiger 20 %. Fodermængden skal dermed reguleres 15 % op.

30 Eksempel For en virksomhed, der laver cirkelformede badekar, koster det 15 % ekstra i produktionsomkostninger hver gang radius forøges 10 %. Derved kan en potensfunktion modellere sammenhængen mellem produktionsomkostninger og radius. Hvis vi lader variablen x betegne radius og f(x) betegne produktionsomkostningerne er regneforskriften f(x) = bxa. Vi vil bestemme konstanten a ved hjælp af sammenhængen: 1 + r y = (1 + r x)a. Vi indsætter fremskrivningsfaktorerne og har 1,15 = 1,10a. Vi kan løse denne ligning på et CAS værktøj: solve(1.15=1.10a, a) → 1,05. Vi ser, at ligningen har løsningen a = 1,05, og dermed at f(x) = bx1,05. Konstanten b kan let bestemmes, hvis vi kender en bestemt produktionspris ved en bestemt radius.

31 Øvelse Sammenhængen mellem tykkelsen x og brudstyrken f(x) af et bestemt type reb er givet ved potensfunktionen f(x) = 17x2,08. a. Beregn, hvor meget brudstyrken ændres, når diameteren forøges 30 %.

32 Øvelse Potensfunktionen f(x) = 36422x–2,2314 kan modellere sammenhængen mellem dybden x og den tid f(x), som erhvervsdykkere kan opholde sig under vandet uden at få dykkersyge. a. Bestem, hvor meget kortere en erhvervsdykker kan opholde sig under vandet, hvis dybden forøges 40 %. b. Bestem, hvor meget kortere en erhvervsdykker kan opholde sig under vandet, hvis dybden fordobles (altså forøges 100 %).

33 øvelse En opdrætter af dværgschnauzere vil beregne den korrekte fodermængde ud fra Kleibers lov. På et tidspunkt vejer hundene 4 kg og får 100 gram mad pr. dag. a. Bestem, hvor mange procent stofskiftet forøges, hvis vægten af hundene stiger 25 %. b. Bestem, hvor mange gram fodermængden skal sættes op, hvis vægten stiger 25 %.

34 Øvelse Et firma laver cirkelformede udendørs badekar. Firmaet laver altid badekarrene 0,40 m høje, men tilbyder forskellige størrelser. Vi kan bestemme, hvor meget vand et kar (en cylinder) med højden h og radius r kan indeholde med formlen V = πhr2. Rumfanget er dermed en potensfunktion med forskriften: f(x) = 0,4πr2 a. Bestem, hvor mange procent rumfanget på badekarret vokser med, når radius

9. Potensfunktioner

183

9.5 Teori og beviser om egenskaber ved potensfunktionen f(x) = b · xa 35 Introduktion Beviser handler ofte om at ræsonnere sig frem til en sandhed om et udsagn. Undervejs i bevisførelsen er der store krav til symbolbehandlingskompetencen, fordi vi næsten udelukkende regner med variable og konstanter. Vi ser her på en række beviser for nogle af de egenskaber og sammenhænge, der er anvendt i kapitlet. Men vi starter med at se på nogle egenskaber, der sætter fokus på en anden matematisk kompetence, nemlig repræsentationskompetencen: At repræsentere et begreb på flere forskellige måder.

36 eksempel Potensfunktioner er forunderlige. Eksempelvis gælder: •B åde ligefrem (y = bx1) og omvendt proportionalitet (y = bx–1), er eksempler på potensammenhænge. •D en ligefremme proportionalitet er også et eksempel på en lineær sammenhæng, hvilket ses tydeligt, hvis vi skriver den på formen f(x) = ax + 0. Den er altså både lineær og potensiel. •K vadratrodsfunktionen f ( x ) = x en potensfunktion, fordi den grundet en potens1

regneregel er lig med f(x) = x– 2 .

(5) Sætning  For potensfunktionerne f(x) = b · xa, gælder, at grafen går gennem punktet (1,b).

37 Bevis for sætning 5 Vi skal bevise, at grafen for en potensfunktion f(x) = bxa går gennem punktet (1,b). Vi kan bevise dette ved at udregne funktionsværdien for x = 1 ( altså ved at udregne f(1)) og kontrollere, at vi får tallet b: f(1 ) = b ·1a = b ·1 = b. Vi ser, at en potensfunktion f(x) = bxa får y-værdien b, når x-værdien er 1. Dermed er beviset slut.

(17) Sætning Hvis grafen for f(x) = bxa går gennem punktet P(x1,y1), kan b beregnes med formlen: b=

y1 x1a

38 bevis for sætning 17 Vi skal bevise, at hvis punktet P(x1,y1) ligger på grafen for f(x) = bxa, hvor a er kendt, så kan b beregnes således b =

184

9. Potensfunktioner

y1 . Vi starter med at indse, at hvis P ligger på grafen vil x1a

P’s koordinater opfylde forskriften, således at: y1 = f(x1) = bx1a eller bare y1 = bx1a. I denne ligning isoleres b ved division på begge sider af lighedstegnet med x1a, hvorved vi får: b =

y1 . Hermed er sætningen bevist. x1a

y 3

(15) Sætning Hvis to forskellige punkter P1(x1 , y1) og P2(x2 , y2) ligger på grafen for f(x) = bxa, kan a bestemmes med formlen: a=

y log  y2   1

x log  x2   1

39 bevis for sætning 15

Vi skal vise, at hvis to forskellige punkter P1(x1 , y1) og P2(x2 ,y2) ligger på grafen for f(x) = bxa, så kan a beregnes ved denne formel:

log  y2   1 y

log  x2   1 x

Som i beviset ovenfor skal det først indses, at hvis punkterne P1(x1 ,y1) og P2(x2 ,y2) ligger på grafen for f(x) = bxa, så vil punkternes koordinater opfylde forskriften. Dvs. at der gælder: y1 = bx1a og y2 = bx2a. Resten af beviset består i at dividere y2 med y1 og herefter foretage en lang række omformninger for at få isoleret a. Se evt. mere på QR-koden.

(27) Sætning For en potensfunktion y = b · xa gælder, at når x ganges med fremskrivningsfaktoren 1 + r x , så ganges f(x) med fremskrivningsfaktoren 1 + r x : 1 + r y = (1 + r x)a

40 Bevis for sætning 27 I potensudviklingen f(x) = bxa  ændrer vi x-værdien ved at gange den med fremskrivningsfaktoren k = 1 + r x . Derved får vi: f(x · k) = b · (x · k)a.

(*)

Vi kan omskrive faktoren til højre (x · k)a med en potensregneregel: (x · k)a = xa · ka. Indsættes dette i (*), får vi: f(x · k) = b · xa · ka I dette udtryk er de to første faktorer lig med f(x). Dette indsættes, og vi får derved: f(x · k) = f(x) · ka. Denne sidste ligning udtrykker, at hvis x i vores potensudvikling ganges med fremskrivningsfaktoren k = 1 + r x, så ganges funktionsværdien f(x) med ka =(1 + r x)a. En anden måde at repræsentere dette på er ved at sige, at fremskrivningsfaktoren på y-variablen er lig med fremskrivningsfaktoren på x-variablen opløftet i a’te.

9. Potensfunktioner

185

Opgaver – 9. Potensfunktioner Opgave 901

Opgave 905

2 f(x) = 0,3 ∙ x er model for, hvor meget jord der skal

En turist taber en softice fra toppen af Rundetårn.

bruges ved bestemte sidelængder af et kvadratisk

Hvis man ser bort fra luftmodstanden, kan isens af-

urtebed.

stand y fra toppen af Rundetårn beregnes ved den-

dregn f(x), når x er lig med 0, når x er lig med a. U

2 ne funktion af tiden t regnet i sekunder: f(x) = 4,91 ∙ t .

a. Hvad er isens afstand fra toppen af Rundetårn

1 og når x er lig med 2. b. Indtegn de tre punkter i et koordinatsystem.

efter 2 sek?

b. Rundetårn er 34,8 m højt. Hvornår rammer En model for en kilopris ved køb af x kilo jord har

isen ned på Købmagergade?

–2 forskriften f(x) = 0,3 ∙ x .

c. U dregn f(x), når x er lig med 1, når x er lig med 2 og når x er lig med tre.

Opgave 906 Nedenfor er fem forskrifter for funktioner. Kun tre

d. F orklar, hvorfor f(x) ikke kan udregnes, når x er lig med 0. e. Hvorfor må x ikke være lig 0 i potensudviklinger?

af dem er potensudviklinger. f(x) = 4 ∙ x3

f(x) = x 2

f(x) = 3x2,7

f(x) = 3x–2

f(x) = 3 ∙ 7x

Opgave 902 a. H vilken forskrift for en potensudvikling kan

a. Hvilke tre er det? b. Bestem a og b i hver af de tre potensudviklinger.

ligge bag følgende tabel. x

c. To af dem er ikke potensudviklinger. Forklar, hvilke typer funktioner de så er. Opgave 907

b. Eftervis, at dit gæt passer

Et kasino holder åbningsfest, og der skal være et springvand med husets egen drink vodka d’ice.

Opgave 903

Kasinoet har bestilt et terningeformet glas til hver

a. H vilken forskrift for en potensudvikling kan

af gæsterne.

ligge bag følgende tabel.

a. På en terning er alle sider lige lange. Hvis terningen har en indvendig sidelængde på 5 cm,

3 hvor mange cm vodka d’ice kan der så være i

glasset? (Det bliver fyldt til randen). b. K asinoet har inviteret 600 gæster. Udtænk en

b. Eftervis, at dit gæt passer

forskrift for en funktion, der viser sammenhængen mellem glassets sidelængde x og an-

Opgave 904

3 tallet af cm y, som der skal være i springvan-

a. H vilken forskrift for en potensudvikling kan

det for at fylde alle gæsternes glas til randen. 3 c. H vor mange cm vodka d’ice skal der være i

ligge bag følgende tabel.

springvandet, hvis glassene har en sidelængde x

128

på 8 cm?

3 d. H vis der er 2 058 000 cm i springvandet,

hvor store glas skal kasinoet så bestille? b. Eftervis, at dit gæt passer

186

9. Potensfunktioner

3 e. Hvor mange liter er 2 058 000 cm ?

Opgave 908

Opgave 911

a. Tegn og udfyld en tabel som den viste, og plot så grafen for f(x) = 2 ∙ x x

0,1

0,5

Et pendul er i grove træk en snor med en vægt for neden, der sættes til at svinge frem og tilbage.

Hvis man ser bort fra vægten af pendulet, vil der

gælde følgende lov om, hvor lang tid T det tager

et pendul med en bestemt længde L at foretage en hel svingning:

b. Tegn en tabel og plot så grafen for f(x) = 3 ∙ x

–1

Opgave 909

2 ⋅ π⋅ L2 g

Hvor g er tyngdeaccelerationen, som er ca.

Aflæs b på graferne nedenfor. Hvad kan du for hver graf sige om konstanten a?

9,82 m2 s

T måles i sekunder og L i meter.

a. R edegør for, at der er tale om en potensudvik-

ling (bestem, hvad der er a, og hvad der er b).

b. I 1851 satte fysikeren Leon Foucault et pendul

op i Pantheon i Paris til en demonstration af, at

jorden drejer om sin egen akse. Pendulet målte

67 m i længden. Hvad var svingningstiden?

2 1

c. På Institut for Geografi og Geologi i København

3 0 1

og på Steno Museet i Århus kan man se kortere versioner af Foucaults pendul. På Steno Museet måler pendulet 11 m. Hvad er svingningstiden?

Opgave 910

d. H vis der ønskes en svingningstid på 2 sek.,

Butikken ”Dejligt dyr” sælger madskåle til leguaner. Skålene har alle højden 5 cm, men da leguaner

hvor lang skal snoren til pendulet så være? e. J o længere tid et pendul har været i gang, jo

er meget forskellige i størrelsen (op til 180 cm

kortere bliver svingbuen. Formlen siger imid-

i længden), er sidelængden på bunden valgfri.

lertid, at dette ikke har betydning for sving-

Bunden er kvadratisk.

ningstiden. Hvad betyder dette for hastigheden

a. H vor mange cm er rumfanget af en skål, hvor bundens sidelængde er 10 cm? b. R umfanget y af madskålene er en potens-

af pendulets bevægelse? f. H vad er det smarte i forhold til at bruge ure med penduler til tidsmåling?

udvikling af sidelængden x på bunden. Opskriv denne funktion. c. H vor stor skal sidelængden være, for at skålen 3 kan rumme 2 000 cm frisksnittet salat?

9. Potensfunktioner

187

Opgaver – 9. Potensfunktioner Opgave 918

Opgave 912 Bladr tilbage til

y log   y 2

log( y 2 ) − log( y1 ) beviset for formlen a = = log( x 2 ) − log( x1 ) x log  2  1

x a. Træn beviset for formlen ved at nedskrive alt på 1

et hvidt stykke papir.

Punkterne (0,5 ; 0,5) og (1 ; 4) ligger på grafen for a en potensudvikling f(x) = b ∙ x .

a. Bestem tallene a og b. b. Bestem f(2) c. Løs ligningen f(x) = 50

Opgave 913

Opgave 919

Punkterne (2,16) og (3,54) ligger på grafen for en

a. Punkterne (1 ; 0,1) og (4 ; 102,4) ligger på grafen

potensudvikling. a. Beregn a og b a b. I ndsæt a og b i ligningen f(x) = b ∙ x for en

potensudvikling.

a for en potensudvikling f(x) = b ∙ x .

Bestem tallene a og b. b. Bestem f(47) c. Løs ligningen f(x) = 47

Opgave 914

Opgave 920

Punkterne (1;1,5) og (2; 12) ligger på grafen for en potensudvikling.

1 ) og (11 , 1331) ligger på Punkterne ( 6 , 72 a grafen for en potensudvikling f(x) = b ∙ x .

a. Beregn a

a. Bestem tallene a og b.

b. Beregn b

b. Bestem f(12)

c. Opskriv forskriften for potensudviklingen.

1 c. Løs ligningen f(x) = 128

Opgave 915

Opgave 921

I en model for en potensudvikling er lydintensite-

En blomsterhandler planlægger sit salg af røde

ten y målt til 160 W/m2 i afstanden 8 m og til

roser til den kommende Valentinsdag 14. februar.

10 W/m i afstanden 32 m.

Hun vil gerne give lidt mængderabat på prisen.

a. Bestem forskriften for potensudviklingen.

Hun synes, at det vil være passende med en po-

b. Beregn intensiteten 20 m fra lydkilden.

a tensudvikling, så prisen = b ∙ roser .

Hun beslutter, at 300 roser skal koste 3 383,50 kr. Opgave 916

og 400 roser skal koste 4 446,75 kr.

Punktet (3,1;3,5) ligger på grafen for en potensudvikling, og det vides desuden, at y = 1, når x = 4. a. Beregn a b. Beregn b c. Opskriv forskriften for potensudviklingen. 0,95

Opgave 917

a. Vis at potensudviklingen bliver y = 15 ∙ x

Punkterne (2,12) og (3,27) ligger på grafen for

b. Hvad koster 1 rose?

a en potensudvikling f(x) = b ∙ x .

c. En nybagt far bestiller 500 røde roser til sin

a. Bestem tallene a og b og opskriv ligningen b. Bestem f(4) c. Løs ligningen f(x) = 252

kone. Hvad koster de? d. En anden kunde er på SU og har derfor præcis 53 kr. til at købe roser for. Hvor mange roser er det?

188

9. Potensfunktioner

Opgave 922

Opgave 924

En matematiker planter en palme for at have sel-

Badeserien Mynte og Mimoser sælges i cylindriske

skab, mens han studerer potensudviklinger. Han

3 dåser, der kan indeholde ca. 250 cm . Højden y

måler palmens højde og diameter, da han planter

kan beregnes som en potensudvikling af dåsens

den, og han måler den igen, da han er færdig med

radius x. Dåsen til badesalt har radius 4 cm og

sine studier. Matematikeren tænker, at palmens

højde 5 cm. Dåsen til bodylotion har radius 1,5 cm

højde y må være en potensudvikling af palmens

og højden 35,4 cm.

diameter x.

a. Opskriv ligningen for potensudviklingen.

Matematikerens målinger giver ham punkterne

b. Beregn højden af dåsen til læbepomade, hvor

(30,200) og (34,270).

a. H vad var palmens højde, da han startede sine

c. Beregn radius for en dåse, der er 10 cm høj.

radius er 6 cm.

studier? b. H vad var palmens diameter, da han afsluttede

Opgave 925 Bestem skæringspunkterne mellem graferne for

sine studier? c. Beregn a og b.

følgende funktioner:

d. S enere har palmen en diameter på 40 cm og

3 5 a. f(x) = 12x og f(x) = 3x

en højde på 420 cm. Hvordan passer det med

b. f(x) = 2x2,5 og f(x) = 18x2

modellen, som matematikeren lavede? Opgave 926 3 y = 5 ∙ x er en potensudvikling.

Opgave 923 På juletræet hænger der en mængde kræmmerhu-

a. Hvilket tal bliver y ganget med, når x bliver

se, som naturligvis er π cm høje. En potensudvik-

ling kan bruges som model over sammenhængen

b. Når x ganges med 1,07, bliver y ganget med

mellem radius x på kræmmerhuset og rumfanget y.

3 1,07 = 1,23. Så hvor mange procent vokser y

ganget med 3?

med, når x vokser med 7%?

Når radius er 1,5 cm, er rumfanget 7,4 cm . Når

3 radius er 3 cm, er rumfanget 29,6 cm .

c. Hvis x bliver ganget med 1,08, hvad bliver y så

a. B eregn a og b, og opskriv ligningen for potens-

udviklingen.

ganget med? Hvilken vækst i procent svarer det

til?

b. H vor stort er rumfanget, når radius er 4 cm?

d. Hvis x vokser med 6%, hvor mange procent

Kræmmerhusene er fyldt med små blåbær

vokser y så med?

overtrukket med hvid chokolade. Rumfanget af

e. Vælg en tilfældig x-værdi, og udregn y her. Lad

en kugle er en funktion af kuglens radius, hvor

så x-værdien vokse med 8%. Udregn y-værdien

og kontroller, at den voksede det antal procent

du fandt i c.

4 ∙ π ∙ x 3. 3

c. Beregn rumfanget af et blåbær med en radius

på 0,3 cm.

d. Hvor stor er blåbærrets radius, hvis det fylder

3 0,2 cm ?

e. H vor mange gange større bliver y, når x bliver 2 gange større?

Opgave 927 En kunstner sælger badeænder. Hans kone beregner, at fortjenesten pr. and bliver større, jo flere ænder kunstneren laver. Faktisk gælder følgende formel for fortjenesten pr. and y som funktion af x 0,2 antal af ænder: y = 7x .

9. Potensfunktioner

189

Opgaver – 9. Potensfunktioner Hun forklarer, at hvis antallet af ænder stiger med

Opgave 930

10%, så stiger fortjenesten pr. and med næsten 2 %.

Online-spillet Darlings and Dragons har 1.000

a. Kunstneren kan gøre helt utrolige ting med

registrerede brugere og en spilleaktivitet på 3,5

farven gul, men desværre bryder han sig ikke

time om måneden pr. bruger. Fra lignende spil

om funktioner. Forklar ham, hvad y og x står

ved man, at hvis brugertallet øges med 10% vil

0,2

spilleaktiviteten pr. bruger øges med 5%.

for i ligningen y = 7x . b. Han laver nu 500 badeænder af gangen. Hvad

a. Opstil en funktion, hvor x er antal brugere, målt i 1.000 brugere, og y er spilleaktiviteten

er fortjenesten pr. and? c. H vis x ganges med tallet 1,1, hvilket tal ganges

pr. bruger. b. H vor mange registrerede brugere skal der

y så med? d. E r det sandt, at fortjenesten pr. and stiger med næsten 2%, når antallet af ænder stiger med

være, før spilleaktiviteten er oppe på 10 timer om måneden?

10%? Opgave 931 Hans og Henrik er marinbiologer og optræder i

Opgave 928 a

a. Løs ligningen 1,5 = 1,05 .

frømandskostumer til polterabends. Overskuddet

b. O pskriv en potensudvikling, hvor b = 1, og

går ubeskåret til bevarelsen af danske vandmænd.

hvor y vokser med 50 %, når x vokser med 5 %.

a. Hans beregner sine drikkepenge på følgende måde: Han får normalt 100 kr. med det samme

Opgave 929

og derefter stiger hans fortjeneste med 2% i

Inden for biologien siger Kleibers lov, at det dag-

minuttet. Opstil en ligning, hvor Hans’ drik-

lige energiforbrug for pattedyr stiger med 7,41 %,

kepenge beregnes som en funktion af, hvor

når dyrets vægt stiger med 10 %.

mange minutter der er gået. a

a. B eregn a, og opstil en ligning y = x , hvor y er energiforbrug og x er vægt.

Hint: det er en eksponentiel udvikling. b. Henrik beregner sine drikkepenge på følgende

b. En kat vejer ca. 100 gange så meget som en

måde: Efter 1 min. har han normalt 100 kr. Der-

mus. Hvor mange gange musens energi om-

efter stiger hans fortjeneste med 2%, når hans

sætter katten?

tidsforbrug stiger med 41%. Opstil en ligning,

c. S kal meget små mennesker spise mere end store mennesker?

hvor Henriks drikkepenge beregnes som en funktion af, hvor mange minutter der er gået. Hint: det er ikke en eksponentiel udvikling. c. Hvor mange penge har Hans efter 2 min.? d. H vor mange penge har Henrik efter 2 min.? e. Hvilken funktion vokser herefter mest? f. Hvem ser altså bedst ud?

190

9. Potensfunktioner

Opgave 933 Eksponentiel vækst

Opgave 932 Herunder ses graferne for y = 1,5x + 3, y = 2 ∙ 1,2 og y = 0,5 ∙ x

1,2

tiel udvikling, og bestem, hvad der er a og b i

y=3∙2

skitse af grafen. x

–5

–3

c. Forklar, hvordan man kan aflæse b på grafen. 0 1 2

4 5 6

7 8

d. Aflæs to punkter på grafen, og brug punkterne

til at vise, hvordan man beregner tallene a og

b, hvis man ikke kender dem i forvejen.

e. Aflæs fordoblingskonstanten T2. Vælg selv to

9 8 7 6 5 4 3 2 1

punkter, der illustrer hvad T 2 er.

f. Beregn fordoblingskonstanten, og kontroller at

din grafiske aflæsning var korrekt.

Opgave 934 Potensvækst a. Opskriv den generelle ligning for en potensud- 0 1 2

–4 –3 –2 –1

b. Udfyld en tabel som den følgende, og tegn en

9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

a. Opskriv den generelle ligning for en eksponen-

4 5 6

7 8

2 vikling, og bestem hvad der er a og b i y = 3 ∙ x .

b. Udfyld en tabel som den følgende, og tegn en

y 9 8 7 6 5 4 3 2 1 –4 –3 –2 –1

skitse af grafen. x

c. Forklar, hvordan man kan aflæse b på grafen for

2 y=3∙x .

d. Aflæs to punkter på grafen, og brug punkterne 0 1 2

4 5 6

7 8

a. Hvordan kan man aflæse a og b på graferne?

til at vise, hvordan man beregner tallene a og

b, hvis man ikke kender dem i forvejen.

e. Vælg to punkter på grafen og aflæs, hvor mange

b. Aflæs to punkter på hver graf, og brug punkter-

gange større y bliver, når x bliver ganget med 3.

ne til at vise, hvordan man beregner tallene a og b, hvis man ikke kender dem i forvejen.

Vis din tankegang tydeligt på grafen. f. Beregn, hvor mange gange større y bliver, når x

c. Hvor meget større bliver y, når x vokser med 1?

bliver ganget med 3, og kontroller, at din grafi-

d. H vorfor giver spørgsmål c ikke mening for

ske aflæsning var korrekt.

potensudviklingen?

9. Potensfunktioner

191

Opgaver – 9. Potensfunktioner Opgave 935

Accelerationen for et legeme, der glider på et

6 år i træk fører en matematiklærer et hf-hold til eksamen i MatC. Hun indleder et forsøg sammen

skråplan, er teoretisk set bestemt ved a =

h ∙ g, l

med idrætslærerne efter det første år. Matematik-

hvor h er planets højde, l er planets længde og g

timerne kombineres med gymnastik om morge-

er tyngdeaccelerationen, hvor g = 9,82.

nen og efterhånden også med gåture om efter-

c. F jeldets top ligger 7 m over nedkørslens slut-

middagen, klassisk musik og urtete, hvis der er undervisning efter kl. 15. Hun registrerer gennemsnittet af elevernes karakterer ved deres eksamen og fremlægger følgende resultater for ledelsen: År Gennemsnit

6,7

6,95

7,17

7,30

7,35

7,46

a. K araktergennemsnittet følger en potensudvikling af årene. Beregn en ligning alene ved hjælp af de to første punkter.

ning, og nedkørslen er 35 m lang. Hvilken acceleration giver det? d. H vor lang tid ville skiløberen være om nedkørslen med accelerationen fra c?

Mundtlige opgaver Opgave 937 a. Forklar ved hjælp af et eksempel på en graf for en potensudvikling, at en procentvækst i x-

b. B eregn en ligning ved regression i regneark

værdien vil give en procentvækst i y-værdien. a b. Forklar ved hjælp af ligningen y = b ∙ x , at en

eller på et CAS-værktøj. c. Hvilken ligning beskriver situationen bedst?

procentvækst i x–værdien vil give en procent-

d. U dregn ved hjælp af begge ligninger, hvad

vækst i y-værdien for en potensudvikling.

gennemsnittet vil blive året efter, hvis udvikOpgave 938

lingen fortsætter. e. Forklar, hvorfor det kan gå virkeligt galt, hvis

a. Giv eksempler på potensudviklinger, der bruges som matematiske modeller.

du bruger metoden under a.

b. Forklar ved hjælp af et eksempel, hvordan man Opgave 936

udfører potensregression.

En langrendsløber har fået nye, velsmurte ski. Han finder en fjeldtop, hvor der er en stejl, lige nedkør-

Opgave 939

sel, og han løber ned nogle gange for at se hvor

a. Vis ved hjælp af et eksempel, hvordan man beregner konstanterne i ligningen for en potens-

høj en acceleration, han kan opnå. Tid i sekunder Acceleration m/s

4,4

4,5

4,8

5,1

1,8

1,7

1,52

1,35

a. Accelerationen y er en potensudvikling af

punkter på grafen. b. Bevis formlen for at bestemme a. Opgave 940

tiden x, som langrendsløberen bruger. Bestem

Hvis du får oplyst to punkter, fx (2,16) og (4,128),

ligningen ved regression i regneark eller på et

som en graf for en potensudvikling går igen-

CAS-værktøj.

nem, kan du bestemme konstanterne a og b ved

b. I nden han løber videre til vaffelstuen, vil han gerne ned på 4,3 sek. Hvilken acceleration giver det?

192

a sammenhæng y = b ∙ x , når man kender to

9. Potensfunktioner

at udnytte, at koordinatsættene skal passe ind i forskriften. Vi får: 16 = b · 2a og 128 = b · 4a

Vi tager nu ligningen 128 = b · 4a og dividerer med 16 på begge sider af lighedstegnet. På højre side af lighedstegnet udnytter vi, at 16 er lig med b · 2 a, så der dividerer vi med b · 2a Vi får da følgende:

128 16

b⋅4

b⋅2

a. Forkort brøkerne på begge sider ved brug af en brøkregneregel og en potensregneregel. b. Beregn så a. c. Beregn herefter b ved simpel ligningsløsning. d. H vilken sætning i bogen er denne fremgangsmåde et alternativ til? e. H vis du ikke har adgang til en lommeregner, og koordinaterne er ”pæne”, er en af metoderne nok den letteste. Hvilken?

9. Potensfunktioner

193

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (9)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Regnearternes hierarki: Parenteser (a + b) Potenser og rødder an

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

1. Udregn:

2. Udregn:

3. Udregn:

a. 3 + 22 · 3 – 12

a. 4(32 – 1)

b. 2 · (32 + 2) – 3

b. 2 23 + 1 − 6

c. 3(4 – 3 ) – 21

c. 2 · 7 – 7

4. Udregn:

a. 2 33 + 32 − 11

a. 2 (1+ 22 )2 − 10

b. 14 − 2  15 + 2

36 b. 8 − 4  − 10 3

c. 2 · (5 + 3 · 20 – 50)

c. 3 · (5 + 2 · 3)

Potenser og rødder Regler:

(an)m = an · m Eksempler:

−1 4

ar r −s s =a a

ar + as = ar+s

a0 = 1

ar  a  r r =  b b

1 4

1 1 = 4 16 2

a−r =

1 ar

ar = r a

(a · b)r = ar · br 1 4 2

(3 )

4⋅ 1 2

= 32 = 9

−1 2

= 11 = 1 = 1 25 2

Brug potensreglerne til at reducere udtrykkene mest muligt:

5. a. 4–2

6. a. 10–2

9. a. 27 13

8. a. 9 2

b. 4 · 2–2

b. 4 · 10–2

b. 20 · 10–2

b. 25– 2

c. 5 ·10–1

c. 50 · 10–1

c. 10–3 · 100

c. 8 3

4 2 4

12. a.

7 72

b. 64– 2

4 b. 32

3 36

c. 5 ·5–1

6 c. 23

10 c. 28

10. a. 49–

1 2

194

7. a. 16–2

Trainingssider

11. a.

13. a . 73 · 72 b. 37 · 36 c. 210 · 28

b. 8– 3 1

c. 125 3

Ligninger og paranteser: Eksempel: 3 – 2(2 – x) = 5 3 – 4 + 2x = 5 –2 er ganget ind i parentesen. –1 + 2x = 5 Der regnes sammen for at få overblik 2x = 6 Der er lagt 1 til på begge sider af lighedstegnet x = 3 Der er divideret med 3 på begge sider af lighedstegnet. Løs ligningerne og vis alle mellemregninger, så det er tydeligt hvordan du har tænkt.

14. a. 2(x – 1) = 4

15. a. 5 + 3(6 – x) = 8

b. 1 – x = –3x + 3 c. 2 –(x –1) = 4

16. a. 7 – 3(x – 3) = 2(1 – x)

b. 1 – 2(2 – x) = x c. 2 – 3(1 + 2x) = 5

b. 6 + 4(3 – 2x) = 4x c. 9 – 3(2 – x) = 2 – 3(1 – x)

Brøker: Forlænge:

a k ⋅a = b k ⋅b

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

a b

Tal gange brøk: k ⋅ = Brøk gange brøk :

3⋅2

4 4:4 1 Eksempel: = = 8 8:4 2

Forkorte: a = a : k b b:k k ⋅a b

2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

3⋅2 5

Eksempel: 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 5

⋅ Ved division med en brøk ganges med den omvendte: a = a ⋅ c = a c og bc = a ⋅ d b b b b c 2

2 2 5 = 5 = 2⋅ 1 = 2 = 1 4 4 5 4 20 10 1

2 4 8 Eksempel: 53 = ⋅ = , 4

5 3

” En halv er, tænk nu hvor aparte, to tredjedele af tre kvarte.” Piet Hein Udregn og forkort mest muligt:

17. a.

1 5 2 3 3

b. 5 6 2

18. a.

4 2 3

b. 65 2

19. a.

2 3 4

4 20. a. 3⋅ 6

b. 2

b. 2⋅

2 21. a. 10 ⋅ 5

3 2

c. 40 ⋅

1 5

b. 6 ⋅

2 3

c. 0,1⋅

22. a .

3 2 ⋅ 2 5

b. 20 ⋅ 1 5 5

10 2

c. 2 ⋅ 3 3 4

Trainingssider

195

10. Funktionsteori 1 Introduktion Leonhard Euler 1707-1783 var en af de mest betydningsfulde matematikere nogensinde. I 1755 udgav han værket Institutiones Calculi Differentialis, hvori en funktion blev opfattet som en sammenhæng mellem to variable. Hermed blev funktionsbegrebet helt centralt i matematikken.

2 Definition En funktion er en sammenhæng mellem to variable størrelser: en uafhængig, som vi kalder x, og en, der afhænger af x, som vi kalder f(x) eller y. Sammenhængen beskrives med en regneforskrift, tabel, graf eller tekst. Til ét x kan kun være ét f(x). Grafen for en funktion er mængden af punkter (x,y), der opfylder, at y = f(x). Det betyder, at en given y-værdi fremkommer som funktion af en x-værdi.

Indtil videre har vi især set på tre bestemte typer funktioner: lineære, eksponentielle, potensfunktioner. De er hver især vigtige fordi de kan beskrive tre forskellige former for vækst. f(x) = 2x + 1

f(x) = 0,5 · 2x

f(x) = x0,53

I lineære og eksponentielle funktioner kan x-værdierne være alle reelle tal. Men i potensfunktioner gælder, at x > 0.

3 Definition De tilladte tal x, som funktionen må bruges på, kaldes definitionsmængden. Vi vil forkorte den Dm(f).

4 Eksempel Funktionen f ( x ) = x , x ≥ 0 er kun defineret for x lig

med nul eller et positivt tal. Det kan man skrive som vist med ”større end eller lig med tegnet” som man

skriver efter et komma efter regneforskriften. En anden mulighed er at bruge intervalklammer, vi kan skrive: Dm(f) = [0;∞[.

196

10. Funktionsteori

Når en intervalklamme vender ind mod tallet er det med i mængden, og hvis den vender væk fra tallet er det ikke med i mængden. Symbolet for uendelig kan aldrig være med, da det ikke er et tal. y

5 Eksempel

Funktionen på figuren er defineret ud fra sin graf.

Den udfyldte bolle ved x-værdien –4 betyder, at –4 er med. Bollen ved x-værdien 8 betyder, at tallet 8 ikke er med. Vi har altså, at Dm(f) = [–4;8[.

–4

–2

6 Definition De værdier, som f(x) antager, når x-værdierne gennemløber definitionsmængden, kaldes værdimængden. Vi forkorter den Vm(f).

7 Eksempel • Kvadratrodsfunktionen i eksempel 4 har værdimængden Vm(f) = [0;∞[. • Funktionen i eksempel 5 har værdimængden Vm(f) = [–2;4]. • Lineære funktioner har værdimængden alle tal: Vm(f) = R eller Vm(f) = ]–∞;∞[. • B åde eksponentielle og potensielle funktioner har værdimængden Vm(f) = ]0;∞[. Graferne vil altså aldrig røre x-aksen.

8 øvelser

På figuren ses grafen for en funktion f. Bestem: a. Dm(f).

b. Vm(f). –4

–2

9 Øvelse

x +2

a. Dm(f) = [0;∞[ b. Dm(f) = [2;∞[

8 6

d. Vm(f) = [0;∞[

f. Vm(f) = ]2;∞[

10 Øvelse

c. Dm(f) = ]2;∞[ e. Vm(f) = ]0;∞[

–2

På figuren ses grafen for en funktion f ( x ) = 1 , x > 2 Hvilken Dm(f) og Vm(f) passer med grafen?

2 0

Tegn grafer for f1, f2, f3 og f4 i hver sit koordinatsystem på ternet papir, hvor: a. Dm(f1) = [0;3[ b. Dm(f2) = [–2;8] c. Dm(f3) = ]–1;4[ og Vm(f3) = [0;2[ d. Dm(f4) = [–3;2[ og Vm(f4) = [–2;3]

10. Funktionsteori

197

10.1 Ekstrema

11 Introduktion

På billedet ses et lille stykke af den næsten 9 000 km lange kinesiske mur, der bugter sig op og ned gennem det kinesiske landskab. Går vi fra det fjerneste sted på billedet til det nærmeste sted, går det først nedad, til det laveste sted, og så går det opad igen, der kommer et lille bump, og så går det videre op. y

12 Eksempel

lok. maks: lok. min: f(x2) På f(x3)

illustrationen ses en graf for en funktion, der ligner forløbet

af muren på billedet. Bemærk, at der er to steder, hvor der er et minimum. Det ene, ved x1 , er det laveste punkt overhovedet på det

x1 x2

udsnit vi ser og det andet, ved x3 , er det laveste punkt lokalt i et mindre område.

lok. min: f(x1)

13 Definition Hvis det om x1 gælder, at funktionsværdien f(x1) er mindre end eller lig med de andre funktionsværdier i et interval omkring x1, så kaldes f(x1) et lokalt minimum. Hvis f(x1) er mindre end eller lig med alle andre funktionsværdier i hele funktionens definitionsmængde, kaldes f(x1) det globale minimum. Tilsvarende, hvis f(x1) er større end eller lig med de andre funktionsværdier i et interval omkring x1, så kaldes f(x1) et lokalt maksimum. Hvis f(x1) er større end eller lig med alle andre funktionsværdier i hele funktionens definitionsmængde, kaldes f(x1) det globale maksimum. De lokale og globale ekstremaers x-værdier kaldes under et for ekstremumssteder.

14 Eksempel

På figuren ses grafen for en funktion f, hvor : DM(f) = ]0;4].

Der er et lokalt maksimum ved x = 3, man siger, der er et ”maksimumssted” i x

= 3. Det lokale maksimum har værdien 2. Dette lokale maksimum er også det

(4,1) 0

globale maksimum, fordi alle andre funktionsværdier er mindre end 2. x

Der er intet minimum, fordi funktionens værdier kan nærme sig mere og mere til værdien y = –1, men uden at nå den, fordi funktionen ikke er defineret for x = 0.

(0,–1) 4–x

15 Eksempel En indhegning har en omkreds på 8, og er x på den ene led og 4-x på den anden led. Andengradspolynomiet f(x) = –x2 + 4x er model for arealet af indhegningen.

Dm(f) = ]0;4[. Vi vil bestemme den sidelængde x, der giver det største areal. Vi aflæser, at der er globalt maksimum for x = 2. Arealet er altså størst for

198

10. Funktionsteori

sidelængden x = 2 meter. Det størst mulige areal aflæses på grafen til A = 4 kvadratmeter.

16 Eksempel Vi vil bestemme ekstrema for funktionen f(x) = x2 – 6x + 10. Det kan vi

gøre i CAS ved at tegne grafen for f og så bruge grafiske værktøjer til at bestemme eventuelle ekstrema. CAS svarer (3,1). Vi tolker selv, at

dette er et lokalt minimum, hvor x = 3 er minimumsstedet og y = 1

er minimum. 2

Om dette punkt også er et globalt minimum, kan vi svare på, hvis vi kender grafens forløb udenfor skærmbilledet. I tilfældet her er grafen

–2

en parabel, fordi f er et andengradspolynomium. Vores lokale mini-

–2

mum er derfor også det globale minimum. y

17 Eksempel På figuren ses grafen for en funktion, der er defineret i intervallet [1;4[.

(4,2)

2 1

Funktionen har et lokalt maksimum i (2,1) og et lokalt minimum i (3,0). Funktionen har et globalt minimum i (1,–1).

Funktionen har intet globalt maksimum.

(1,–1)

18 Øvelse

a. Bestem ekstremaer for den funktion, hvis graf vises på figuren.

(0,2) (4,1)

19 Øvelse Benyt et CAS program til at bestemme lokale ekstremaer for andengradspolynomierne:

1 0

a. f(x) = x2 – 4x + 3 b. f(x) = 3x2 – 6x + 1

c. f(x) = –x + 2x + 3 4

20 Øvelse

På figuren ses grafen for funktionen f(x) = –x2 + 4. a. Bestem funktionens ekstrema i intervallet ]–2, 2] ud fra grafen.

21 Øvelse Figuren viser grafen (en parabel) for en funktion f, der er model for virksomheds fortjeneste i tusinde kr. som funktion af prisen for en bestemt vare i kr. a. Bestem maksimumsted og maksimum for f. b. Oversæt til almindeligt sprog i modelleringscasen (husk enheder). c. G ør rede for hvilke faktorer der kan gøre at den samlede fortjeneste falder, når prisen bliver højere end en bestemt værdi.

–2

200 150 100 50 0

10. Funktionsteori

199

10.2 Monotoniforhold 22 Introduktion Foran børsen i Frankfurt står en bjørn og en tyr. I aktieverden taler man om et ”bullmarket”, når kursgraferne er stigende (tyren angriber opad) og et ”bearmarket”, når kursgraferne er faldende (bjørnen angriber nedad). Et bullmarket varer typisk 5-7 år og et bearmarket typisk omkring 2 år. 22000

20000 18000

P å figuren ses Dow Jones aktieindexet i New York i perioden 2003 til 2017. I den viste periode var der:

16000 14000 12000 10000 8000

• et bull market frem til 2007

• et bearmarket mellem 2007 og 2009

2003 2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

• et bullmarket fra 2009 til 2017. 2016

23 Definition

En funktions monotoniforhold er en liste over de intervaller, hvori funktionen er voksende eller aftagende. y

24 Eksempel

På figuren ses grafen for en funktion f, hvor Dm(f) = ]0;4].

f er voksende i ]0;3]

f er aftagende i [3;4]

2 1

(4,1) 0

(0,–1) y (4,2)

2 1

25 Eksempel

På figuren ses grafen for en funktion f, der er defineret i [1;4[.

Monotoniforholdende er: f er voksende i [1;2] og i [3;4[

f er aftagende i [2;3]

(1,–1)

y 15

26 Eksempel

Figuren viser grafen for en funktion, der er model for temperaturen (°C) f

10 5

i et bestemt geografisk område som funktion af tiden (måneder).

f er aftagende i [0;3] og [9;12]

f er voksende i [3;9]

Hvis førsteaksen viser måneder efter nytår, er temperaturen aftagende 0 1 2

200

5 6

9 10 11 12 x

10. Funktionsteori

fra januar til marts, hvorefter temperaturen er stigende indtil den topper i september og begynder at aftage til december.

27 Eksempel Figuren viser grafen for f(x) = 2x3 – 4x2 + 2 . Vi vil gøre rede for funktionens monotoniforhold vha. CAS idet vi antager, at funktionen antager vilkårlig store positive værdier for store x-værdier og vilkårlig store negative værdier for store negative x-værdier. I Geogebra tegnes grafen for f. Herefter vælges ”Ekstremum” i Punktmenuen. Geogebra viser de lokale ekstremaer. Det er x-værdierne vi bemærker. Vi kan nu konkludere: f er voksende i ]–∞;0] og i [1,33;∞[ f er aftagende i [0;1,33] y (0,2)

28 Øvelse

(4,1)

Figuren viser grafen for en funktion f.

a. Gør rede for funktionens monotoniforhold 0

5 6

29 Øvelse Figuren viser grafen for en funktion f, der er model for aktiekursen (kr) for en bestemt aktie som funktion af tiden (måneder). a. Bestem monotoniforholdende for f ved aflæsning. b. O versæt resultaterne til almindeligt sprog i modelleringscasen. ”kursen er faldende…” osv.

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2

9 10 11 12

30 Øvelse Figuren viser grafen for f(x) = – x2 + 4

a. Gør rede for funktionens monotoniforhold i intervallet [–2,2] ud fra grafen eller vha. CAS

–2

31 Øvelse

Figuren viser grafen for f(x) = –3x3 + 5x2 a. Gør rede for funktionens monotoniforhold vha. CAS, idet vi antager,

at funktionen antager vilkårlig store værdier for store negative x-værdier og vilkårligt store negative værdier for store x-værdier.

10. Funktionsteori

201

10.3 Grafers hældning

32 Introduktion

Der bliver udledt mere og mere CO2 i atmosfæren, som følge af kraftvarmeproduktion med fossile brændstoffer (olie, kul og gas), og fabrikkers produktion og transport med benzin- og oliedrevne fly, køretøjer og skibe.

På grafen ses CO2-indholdet i atmosfæren i perioden 1750 til 2012.

Bemærk:

(1) grafen går opad, dvs. der er mere og mere CO2 i atmosfæren.

(2) den bliver stejlere og stejlere, dvs. CO2 stigningen pr. år stiger også.

Stejlheden to forskellige steder er illustreret med de to røde tangenter til kurven. y

33 Definition En tangent er et linjestykke, der rører en kurve i ét enkelt punkt.

Tangentens hældning betegner vi med at. x

Grafens hældning i et givet punkt defineres som tangentens hældning at i punktet. y

34 Eksempel Parablen på figuren er graf for funktionen f(x) = x2 – x – 1

Parablen går gennem punktet (2,1), og i dette punkt er

en tangent indtegnet. Tangenten udtrykker hældningen af parablen i dette punkt. Tangentens hældning at = 3 er beregnet i CAS.

35 Eksempel I koordinatsystemet ses et zoom af tangenten til grafen i eksempel 34. Vi ser at tangenten går gennem punkterne (2,1) og (3,4). Derved kunne vi også have beregnet y −y hældningen med den sædvanlige formel at = 2 1 . x 2 − x1 4 −1 3 Vi indsætter og finder: at = = = 3. 3−2 1

–1

3 2 1 0

Hældningen af en tangent fortæller noget om hvor hurtigt funktionen vokser i det pågældende punkt. Det kalder man funktionens væksthastighed. Når funktionen og grafen er model for en virkelig situation får denne væksthastighed fysiske enheder.

202

10. Funktionsteori

Da tangentens hældning beregnes ved at dividere y-tilvæksten (y2 – y1) med x-tilvæksten (x2 – x1), gælder følgende:

36 Enheden for tangenthældningen Regnes der med enheder, har tangentens hældning enheden:

enhed på y − aksen enhed på x − aksen

37 Eksempel cykeltur

Den grønne graf for funktionen f(x) = 3x , x > 0 er model for en cykeltur,

hvor x er tid målt i timer og y er tilbagelagt afstand målt i km.

I punktet P(2,12) er der tegnet en tangent t. Denne har hældningen 12.

I forhold til modellen er cyklisten altså kommet 12 km efter 2 timer og kører 12 km/t. Man siger også, at væksthastigheden er 12 km/t til tidspunktet 2 timer.

f t

10 0

38 Øvelse Øvelsen ligger i forlængelse af eksempel 37. a. Tegn grafen for f(x) = 3x2 , x > 0 i et CAS program. Indret koordinatsystemet, så grafen ses pænt for x-værdier mellem 0 og 3. b. Tegn et punkt, der viser, hvor cyklisten er kommet til efter 1 time, og angiv den tilbagelagte afstand. c. Bestem hastigheden efter 1 time. d. Bestem på samme måde tilbagelagt afstand og hastighed efter 3 timer.

39 Øvelse a. Tegn grafen for f(x) = x2 – 4x + 5 i et CAS program. b. Indtegn tangenten i punktet (1,2) og bestem hældningen. c. Indtegn tangenten i punktet (2,1) og bestem hældningen. d. Bestem det lokale minimumssted.

2 1

e. Bestem det lokale minimum. f. Bestem monotoniforholdende for f i intervallet [1;3]

40 Øvelse eksponentieltangent x

b. Indtegn tangenten i det punkt der har x-koordinaten 3.

c. Bestem tangentens hældning.

d. Bestem enheden for tangenthældningen idet det oplyses, at enheden

modellerer, hvor meget nogle penge vokser, når tiden går.

a. Tegn grafen for f(x) = 2 · 1,3 i et CAS program.

på y-aksen er kroner, og enheden på x-aksen er minutter, og at grafen

1 0 1

10. Funktionsteori

203

10.4 Stykkevist definerede funktioner og lodret parallelforskydning 41 Introduktion Et grossist-firma sælger kaffe til restauranter og cafeer efter følgende priser: 0-10 kg 100 kr./kg, 10-20 kg 50 kr./kg, over 20 kg 25 kr./kg. Da der er 3 forskellige priser, som kommer i spil ved forskellige mængder, må vi bruge en funktion med 3 forskellige forskrifter. Dertil bruger vi de såkaldte stykkevist definerede funktioner.

42 Definition En stykkevist defineret funktion er en funktion hvor definitionsmængden er

opdelt i intervaller.

2 f

43 Eksempel

–1

–1 –2

for forxfor xx<<<11x1 < 1 for 222xxx2 x Funktionen er stykkevist defineret. f f(f(x(xx)f))=(==x)=  for xx≥≥≥11x1 ≥ 1 forxfor −−−xxx++−+3x33 + 3 for I CAS håndteres stykkevise funktioner lidt forskelligt.

44 Eksempel

Priserne for kaffen i introduktionen kan modelleres med funktionen: 1500

x xx for for <<<x x≤x ≤10 100 for000 ≤10 10 100 100 f (ffx((x)x= ))==50 x x+ 500 500 for <<<x x≤x ≤≤ 2020 50 x ++ 500 for for1010 10 20 50 25 25 x x+ for 2020 +1000 x +1000 1000 for forx x>x >> 20 25

1000 500 0 5

15 20

hvor x er antal kilo og f(x) er den samlede pris. Prisen på 30 kg kaffe kunne

25 30 x

aflæses grafisk, hvis vi enten havde tegnet den i stor opløsning på kvadreret papir, eller hvis vi havde adgang til grafen via et CAS program. Her vil vi i stedet udregne den som f(30) = 25 · 30 + 1000 = 1750. Altså 1 750 kr. y 2

45 Eksempel f

2  − x+− 1x + 1 for xfor< x2 <er Funktionen stykkevist defineret. f ( x f) (=x ) =  x ≥ x2 ≥ 2 2 x−2 5x − 5 for for a. Vi ser på grafen, at der er et lokalt minimum i x = 2. Den lokale minimumsværdi er –1.

–1

b. Vi kan endvidere se, at f er aftagende i ]–∞;2] og voksende i [2;∞[.

–1

x+2 4 2

1 –1

204

–1

I koordinatsystemet ses graferne for f(x) = x med

–2 –1 0 1 2

blåt og g(x) = x + 2 tegnet med rødt. Forskellen på

f(x) = x

–2 –1 0 1 2

for g. Som det ses i tabellen over funktionsværdier

–2 –1 0 1 2

betyder det, at alle funktionsværdier i g er 2 større

g(x) = x + 2 0

de to forskrifter er konstanten +2 i regneforskriften

–2

Lodret parallelforskydning

0 1

10. Funktionsteori

end i f.

2 3 4

Og som det ses i koordinatsystemet, betyder det, at grafen parallelforskydes opad med 2 enheder.

46 Eksempel

2 x − 1 for x ≤ 1 I koordinatsystemet ses grafen for f ( x ) =   − x + 4 for x > 1 y

Som det fremgår springer grafen ved x-værdien 1.

Det vil vi gerne ændre således, at funktionerne mødes

i punktet (1,1). Vi vil derfor parallelforskyde linjen

–x + 4 to enheder lodret ned, og vi trækker altså 2 fra i regneforskriften.

2 x − 1 for x ≤ 1 Den ændrede forskrift er f ( x ) =   − x + 2 for x > 1

2 –1

1 0 1

f 2

–1

47 Øvelse En fabrikant køber noget frugtsaft til følgende priser: Fra 0 til og med 20 liter 6 kr. pr. liter Fra 20 til og med 60 liter 4 kr. pr. liter. Øvelsen handler om at opstille en model for situationen, hvor f(x) betegner prisen og x er antal liter. a. Bestem regneforskriften for prisen fra 0 til og med 20 liter. b. Bestem prisen for 20 liter. c. Brug oplysningerne fra teksten og svaret på b. til at bestemme regneforskriften for prisen fra 20 til og med 60 liter. d. Skriv regneforskriften for den stykkevist lineære funktion op. e. Bestem prisen for 50 liter af ingrediensen. f. Tegn grafen i et koordinatsystem, hvor x-værdierne går fra 0-60 og y

y-værdierne fra 0-300. g. Løs ligningen f(x)=200 og oversæt til modelleringscasen hvad du har

bestemt (husk enheder).

5 4

48 Øvelse

Her ses grafen for en stykkevist defineret funktion.

a. Bestem y-værdien når x-værdien er 1.

b. Bestem x-værdierne når y-værdien er 4. c. Bestem ekstrema og monotoniforhold for f.

–1

49 Øvelse På figuren ses en stykkevist defineret funktion, der består af funktionerne

x + 3 og x + 1. Funktionen er defineret for alle reelle tal.

a. Bestem den x-værdi, hvor definitionsmængden for f skal opdeles.

b. Skriv funktionens forskrift med en væltet tuborgparentes. c. Benyt grafen til at bestemme monotoniforholdende for f.

1 –3

–2

–1

10. Funktionsteori

205

Opgaver – 10. Funktionsteori Opgave 1001

Opgave 1005

6 4

2 0

–2

–2 0 2 4 –2

–2

På figuren ses grafen for en funktion f. Bestem:

a. Dm(f)

b. Vm(f)

Opgave 1002

Opgave 1006 y

8 6 4 2

4 2

–2 0 1 2 –2

6 8

–2 0 2 –2

På figuren ses grafen for en funktion f. Bestem:

a. Dm(f)

b. Vm(f)

Opgave 1003

Opgave 1007

Tegn grafer for f1, f2, f3 og f4. i hver sit koordinat-

system på ternet papir, hvor:

a. Dm(f1) = [1;7[

2 –2 0 2 –2

b. Dm(f2) = ]–1;4] 4

6 x

c. Dm(f3) = ]–1;3] og Vm(f3) = [1;4[ d. Dm(f4) = [0;5[ og Vm(f4) = [–1;4]

På figuren ses grafen for en funktion f. Bestem:

Opgave 1008

a. Dm(f)

b. Vm(f)

Opgave 1004

y 3

2 1 –1 0 1 –1

På figuren ses grafen for funktionen f, der er 2

3 x

defineret for alle reelle tal. a. Bestem x-værdien ved det lokale maksimum.

På figuren ses grafen for en funktion f. Bestem:

b. Bestem x-værdien ved det lokale minimum.

a. Dm(f)

c. Bestem værdien af det lokale maksimum.

b. Vm(f)

d. Bestem værdien af det lokale minimum.

206

10. Funktionsteori

Opgave 1009

Opgave 1011

y 10

y 3000

2000

1000

4 2 –2 –2

0 1 0 2

8 x

På figuren ses grafen for en funktion, der beskriver

–4

indtjeningen i kr. hos en virksomhed som funktion

–6

af tiden i år.

–8

a. Bestem den maksimale indtjening i perioden På figurens ses grafen for funktionen 2

f(x) = –0,5x + 2x + 8, der er defineret i intervallet ]–2;8]

mellem 1 og 3 år efter start. b. Bestem den maksimale indtjening det er muligt for virksomheden at have i perioden mellem 0

a. Bestem for hvilke x-værdier der er eventuelle lokale ekstrema.

og 4 år, og i hvilket år dette sker. c. Bestem den mindste indtjening virksomheden

b. Bestem for hvilke x–værdier er der et globalt

har i perioden fra 2-4 år efter start.

maksimum. c. Bestem for hvilke x–værdier er der et globalt

Opgave 1012

minimum.

d. Bestem værdien af det globale maksimum.

e. Bestem værdien af det globale minimum.

Opgave 1010

–2

y 6

0 2

6 x

b. Bestem x-værdien ved det lokale ekstrema, som

–2

På figuren ses grafen for en funktion f. Bestem:

–1

også et globalt ekstrema. 0 1

På figuren ses grafen for en funktion der er define-

a. Bestem x-værdien ved det globale ekstrema, som ikke er et lokalt ekstrema. c. Bestem størrelsen af de to ekstremaer.

ret på [–2;3[. Grafen har et knæk i punktet (1,0). a. Bestem x-værdierne for lokale og globale ekstremaer.

Opgave 1013 a. Tegn en skitse af en graf for en funktion defi-

b. Bestem det globale maksimum.

neret i [0,4] med globalt minimum for x = 3 og

c. Bestem det globale minimum.

med minimumsværdien lig med 1. b. Tegn en skitse af en graf for en funktion defineret i ]0,5[ med globalt minimum for x = 3, men uden noget globalt maksimum.

10. Funktionsteori

207

Opgaver – 10. Funktionsteori Opgave 1014

Opgave 1016

Dagens længde i et bestemt år varierer med tiden

Regn først opgaven ovenfor.

målt i antal dage efter forårsjævndøgnet, som er

a. Bestem sidelængden af indhegningens vand-

den 20. marts (hvor dagslængden målt fra solop-

rette side for den x-værdi, hvor omkredsen er

gang til solnedgang er 12 timer).

mindst.

a. Ved hvilket antal dage er dagens længde maksi-

Opgave 1017

mal? b. Ved hvilket antal dage er dagens længde mini-

mal?

c. Bestem de to ekstremumsværdier (omtrentligt)

d. Skitser grafen, som kan være model for dags-

længdens variation over et år.

–2

Opgave 1015

–2

0 2

6 x

På figuren ses grafen for en funktion f. a. Bestem ekstremaer (type, sted og værdi).

Omkreds

b. Bestem monotoniforholdene for f. 20

Opgave 1018

Sidelængde x 0 2

8 6 4 2

–2 0 1 2 –2

Figuren viser grafen for en funktion f(x) = 2x + 20 x , der er model for omkredsen af en rektangulær 2

indhegning med et areal på 10 m .

6 8

På figuren ses grafen for en funktion f. a. Bestem ekstremaer (type, sted og værdi). b. Bestem monotoniforholdene for f.

Indhegningens omkreds opfattes som en funktion af sidelængden x på en af siderne. Vi vil bestemme

Opgave 1019

den sidelængde i intervallet 1 < x < 10, der giver

den mindste omkreds.

a. I ndfør funktionen i et CAS program, og tegn grafen. b. Bestem vha. CAS den x-værdi, hvori der er

4 2 –2 0 2 –2

6 x

minimum. På figuren ses grafen for en funktion f. a. Bestem ekstremaer (type, sted og værdi). b. Bestem monotoniforholdende for f.

208

10. Funktionsteori

Opgave 1020

Opgave 1023

a. Tegn grafen for funktionen f(x) = 1,3 · 1,2x

b. Beskriv funktionens monotoniforhold.

Opgave 1024

4 2 –1

–2

0 1

–4

Figuren viser grafen for en funktion, der er defineret i intervallet [–2,4]. a. B estem ved aflæsning, hvor på x-aksen der er maksimumssted og miniumumssted. b. Bestem monotoniforholdene for funktionen.

y 5 4 3 2 1 0 –1 –2 –3 –4 –5

1 2 3 4

5 6 x

Figuren viser grafen for en funktion f, der er defineret i intervallet [0,6]

Opgave 1021

a. Bestem ved aflæsning de x-værdier, hvori der er ekstrema.

y 5

b. Bestem funktionens monotoniforhold.

c. Hvad er den globale maksimumsværdi?

3 2

Opgave 1025

y 0 1

6 x

Figuren viser grafen for en funktion f, der er defineret i intervallet [1,5]. a. Bestem funktionens ekstremaer. b. Bestem funktionens monotoniforhold.

6 4 2 –2 0 2 4 –2

–4

På figuren ses grafen for en funktion f.

Opgave 1022

a. Bestem ekstremaer (type, sted og værdi). b. Bestem monotoniforholdende for f.

y 5 4

Opgave 1026

2 0 1

Figuren viser grafen for en funktion f, der er defineret i intervallet ]1,5]

–1

0 1

3 x

–1

a. Bestem funktionens ekstremaer.

På figuren ses grafen for en funktion f.

b. Bestem funktionens monotoniforhold.

a. Bestem ekstremaer (type, sted og værdi). b. Bestem monotoniforholdende for f.

10. Funktionsteori

209

Opgaver – 10. Funktionsteori Opgave 1027

Opgave 1034 y

y 6

(–2,8)

2 –2 0 2 –2

(3,2) 4

x 0

4 x

På figuren ses grafen for en funktion f.

På figuren ses grafen for en funktion, der er define-

a. Bestem ekstremaer (type, sted og værdi).

ret på [–2;3[. Grafen har et knæk i punktet (2,0).

b. Bestem monotoniforholdende for f.

a. Bestem funktionens monotoniforhold.

Opgave 1028

Opgave 1035

a. Tegn en skitse af en mulig graf for en funktion,

En bowlingkugle trilles vandret afsted til tiden

der er defineret i intervallet [–1,5] og som er

t = 0, og den rammer keglerne til tiden t = 2 sek.

voksende i [–1,2] og aftagende i [2,5].

a. Tegn et koordinatsystem, hvor der er strækning op ad y-aksen og tid ud af x-aksen, og tegn en

Opgave 1029

skitse af grafen for boldens tilbagelagte vej-

a. Tegn en skitse af en mulig graf for en funktion,

strækning som funktion af tiden.

der er defineret i intervallet [0,10] og som er

b. Bestem modelfunktionens monotoniforhold.

konstant i [0,5] og aftagende i [5,10].

Opgave 1036 Opgave 1030

En funktion viser dagens længde i et bestemt år

a. Tegn en skitse af en mulig graf for en funktion,

som funktion af tiden målt i antal dage efter for-

der er defineret i intervallet [–5,5] og som er

årsjævndøgn (20 marts).

aftagende i [–5,0] og konstant i [5,10].

a. Bestem funktionens monotoniforhold.

Opgave 1031

Opgave 1037

a. Tegn en skitse af en mulig graf for en funktion,

I en model af en lang løbetur indgår funktionen

der er defineret i intervallet [1,12] og som er

f(x) = 2x2, x > 0. Variablen x betegner tiden i timer

aftagende i [1,12].

og f(x) den tilbagelagte afstand i km. a. Tegn grafen for f(x) = 2x2, x > 0 i et CAS program.

Opgave 1032 a. Tegn grafen for funktionen med forskrift f(x) = 2x + 1 i intervallet [0,5] b. Bestem funktionens monotoniforhold.

b. Tegn et punkt, der viser hvor løberen er kommet til efter 1 time, og angiv den tilbagelagte afstand. c. Bestem hastigheden efter 1 time. d. Bestem på samme måde tilbagelagt afstand og

Opgave 1033 a. Tegn grafen for funktionen med forskrift f(x) = –3x + 6 i intervallet [0,2] b. Bestem funktionens monotoniforhold.

210

10. Funktionsteori

hastighed efter 2 timer og 3 timer.

Opgave 1038

Opgave 1040 (Opgaven kan med fordel ses i sammenhæng med

opgaven ovenfor)

a. Opstil en matematisk model (som mindst består af en regneforskrift og graf ) over en cykeltur,

der varer 4 timer, og hvor cyklisten kører lidt hurtigere end i opgave 1139. 0

a. Tegn grafen for f(x) = x2 – 4x + 5 i et CAS program.

b. Angiv cyklistens kørte distance og hastighed efter 1 time. c. Angiv cyklistens kørte distance og hastighed

b. I ndtegn tangenten i punktet (1,2) og bestem

efter 3 timer.

hældningen. c. I ndtegn tangenten i punktet (2,1) og bestem hældningen.

Opgave 1041 y

d. Bestem det lokale minimumssted.

e. Bestem det lokale minimum.

f. Bestem monotoniforholdende for f i intervallet [1;3]

B f A

2 1 0 1

Opgave 1039 y 100

Funktionen f(x) = 2 · 1,23x er for 0 < x < 5 model for en værdi af nogle aktier, hvor f(x) er beløbet i

80 B

tusinde kr. og x er tiden i år siden start.

a. Tegn grafen for f i et CAS program, hvor koordi-

0 1

natsystemet er indrettet som vist. 2

Funktionen f(x) = 5x2 +5x er for 0 ≤ x ≤ 4 model for en cykeltur, hvor f(x) er afstanden og x er tiden i

b. I ndtegn tangenten i punkt A (hvor førstekoordinaten er 1) og bestem hældningen. c. O versæt til modelleringscasen idet du forklarer,

timer siden start.

hvilken værdi aktierne har, hvor lang tid der er

a. Tegn grafen for f i et CAS program, hvor koordi-

gået siden starten og hvor meget værdien stiger

natsystemet er indrettet som vist. b. I ndtegn tangenten i punktet A(1,10) og bestem hældningen. c. O versæt til modelleringscasen idet du forklarer hvor langt cyklisten er kommet, hvor lang tid

pr. år netop der. Husk enheder. d. I ndtegn tangenten i punktet B og bestem hældningen. e. O versæt igen til modelleringscasen, på samme måde som i spm. c..

der er gået siden starten og hvor hurtigt hun kører ved punktet A. Husk enheder. d. I ndtegn tangenten i punktet B og bestem hældningen. e. O versæt igen til modelleringscasen, på samme måde som i spm. c..

10. Funktionsteori

211

Opgaver – 10. Funktionsteori Opgave 1042

Opgave 1044

(Opgaven kan med fordel ses i sammenhæng med opgaven ovenfor) a. Opstil en matematisk model (som mindst består af en regneforskrift og graf ) over hvordan værdien af nogle aktier stiger de første 5 år efter investeringen. Vælg en mindre årlig stigning end i opgaven ovenfor. b. Angiv værdien og værdistigningen i kroner/år

16 14 12 10 8 6 4 2 A 0

0,5

1,5

2 x

Grafen på figuren viser en model over en løbers tilbagelagte afstand i km som funktion af tiden i

efter 1 år. c. Angiv værdien og værdistigningen i kroner/år

timer fra punkt A til B. a. Kopier grafen som en skitse på et nyt papir.

efter 4 år.

b. Bestem væksthastigheden i punktet ved

Opgave 1043

x = 1,25 time.

c. Bestem ved at indtegne tangenter med en

lineal, hvornår løberens hastighed er mindst.

d. Beregn gennemsnitshastigheden for hele

løbeturen.

3 2 1

Opgave 1045 0 1

Opstil tre små modeller i form af grafer (volumen

a. Tegn grafen for f(x) = 2 · 1,3x i et CAS program.

på y-aksen og tid på x-aksen), der viser indholdet i

b. I ndtegn tangenten i det punkt der har x-ko-

liter i en flaske saft, der hældes ud med en hastig-

ordinaten 3.

hed, der:

c. Bestem tangentens hældning.

a. stiger og stiger indtil flasken er tom.

d. Bestem enheden for tangenthældningen idet

b. har en jævn hastighed indtil flasken er tom.

det oplyses, at enheden på y-aksen er milligram

c. falder og falder indtil flasken er tom.

og enheden på x-aksen er timer, og at grafen modellerer, hvor meget vægten af nogle

Opgave 1046

myggelarver vokser når tiden går.

a. Opstil en model i form af en graf, der viser antal-

e. Forklar, hvad tangenthældningen i punktet be-

let af bakterier i en bakteriekultur, hvor bakte-

tyder i forhold til casen, idet du kommer ind på

rietilvæksten bliver større og større med tiden.

antal myggelarver, tiden og væksthastigheden.

Opgave 1047 a. Opstil en model i form af en graf, der viser indbyggertallet i et land, hvor befolkningstilvæksten bliver mindre og mindre med tiden indtil befolkningstallet til sidst er konstant.

212

10. Funktionsteori

Opgave 1048

Opgave 1051 y

Diameter i cm

2 1

Tid i dage –1 0

–1

Grafen på figuren viser en model over diameteren på en blomst som funktion af antal dage siden

Parablen er grafen for funktionen f(x) = x2 – x – 1.

blomsten sprang ud.

Denne parabel går gennem punktet (0,–1), og i

a. Bestem modellens monotoniforhold i intervallet

dette punkt er en tangent indtegnet. a. Bestem tangentens hældning.

[0,10]. b. I hvilket interval er diameteren størst (omtrentligt)? c. Til hvilket tidspunkt er tilvæksten i diameter

b. Bestem hældningen på den tangent til grafen for f, der har x-værdien 1.

størst? d. H vis blomstens diameter måles i cm, hvilken enhed måles tilvæksten i diameteren så i?

Opgave 1052 En bil accelererer fra 0 til 100 km/h på 9 sek. a. H vad er den gennemsnitlige stigning i hastig-

Opgave 1049

heden?

y f

b. Hvilken enhed har stigningen i hastighed?

3 2

Opgave 1053

En løber er på træningstur og løber først 30 0 1

–1

minutter med en konstant hastighed på 120 m per minut. Derefter løber hun 30 minutter med en

–1

Figuren viser et udsnit af grafen for 2

f(x) = 0,5x – 2x + 1, hvor Dm(f) = [–1;4]. a. I ndfør funktionen i et CAS program, hvor definitionsmængden begrænses, så Dm(f) = [–1;4] b. Tegn grafen. c. Bestem det lokale ekstrema. d. Afgør om det lokale ekstrema også er et globalt ekstrema. e. Bestem monotoniforholdende for f. f. Bestem tangenthældningen i det lokale ekstrema.

hastighed på 80 m per minut. a. H vor langt kommer hun på den første halve time? b. H vor lang kommer hun på den anden halve time? c. I ndret et koordinatsystem, hvor x-aksen går fra 0-60 (minutter) og y-aksen fra 0-5000 (meter), og tegn grafen der modellerer hendes løbetur. d. Gør rede for hvordan de to hastigheder kan ses på grafen. e. H vad er gennemsnitshastigheden for hele

Opgave 1050

turen?

a. Indfør funktionen f(x) = –x2 + 2x + 3, hvor Dm(f) = [–1;3] i et CAS program, og tegn grafen. b. Benyt CAS til at bestemme det lokale ekstrema. c. Bestem monotoniforholdende for f. d. Bestem tangenthældningen i punktet (2,3) e. Bestem tangenthældningen i punktet (1,4).

10. Funktionsteori

213

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (10)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Potenser og rødder ar r −s s =a a

ar + as = ar+s

a0 = 1

Regler:

(an)m = an · m

ar  a  r r =  b b

1 ar

ar = r a

(a · b)r = ar · br

1 4 2

(3 )

1 1 3 34 ⋅   =  3 ⋅  =   = 14 = 1  3  3  3

Eksempler:

a−r =

4⋅ 1 2

= 32 = 9

−1 2

= 11 = 1 = 1 25

25 2

Brug potensreglerne til at reducere udtrykkene mest muligt:

1. a . 24 ⋅  1 

b. 53 ⋅  1  5

3 c. 23 ⋅   6

2. a. 24 ⋅  2 

2 b. 4 3 ⋅   8

6. a. 81– 2

c. 54 · 0,24 3

7 2 7 4 2 b. 2 2

7. a. 1

b. 100– 2 c. 14 · 7–1

6 c. 4 3

3. a. 102 ⋅  1  10 1 b. 53 ⋅   5

c. 48 · 0,258 3

1 2 1 7 b. 10 6 10

8. a.

15 c. 213 2

4. a. 16 2

5. a. 8 3 1

b. 36– 2

b. 8– 3

c. 125 3

c. 1000 3

9. a. 32 · 22 b. 24 · 24 c. 210 · 2–8

Ligninger og paranteser Eksempel: 3 – 2(2 – x) = 5 3 – 4 + 2x = 5 –2 er ganget ind i parentesen. –1 + 2x = 5 Der regnes sammen for at få overblik 2x = 6 Der er lagt 1 til på begge sider af lighedstegnet x = 3 Der er divideret med 3 på begge sider af lighedstegnet. Løs ligningerne og vis alle mellemregninger, så det er tydeligt hvordan du har tænkt.

10. a. 3(x – 2) = 4

12. a. 7 + 3(x – 1) = 2(1 – x)

b. 1 – 3(2 – x) = x

b. 6 + 4(3 + 2x) = 4 + x

c. 2 –(x – 1) =6

c. 2 – 3(1 + 2x) = 7

c. 4 – 3(1 – x) = 2 + 2(1 – x)

13. a. x + 3(x – 2) = 10

214

11. a. 5 + 3(3 – x) = 14

b. 1 – 2x = –3x + 1

14. a. 1 + 2(1 – 4x) = 19

15. a. 4 – 3(x – 2) = 7x

b. 3 – 2x + 1 = 2

b. 2 – x(7 – 2) = 6x

b. 6 + 2(7 + x) = 30

c. 4 – 2(x – 1) = 3

c. –3(2 – x) = 2 – x

c. 2(3 – x) = –4 – 3x

Trainingssider

Brøker Forlænge:

a k ⋅a = b k ⋅b

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

a b

Tal gange brøk: k ⋅ = Brøk gange brøk :

3⋅2

4 4:4 1 Eksempel: = = 8 8:4 2

Forkorte: a = a : k b b:k k ⋅a b

2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

3⋅2 5

Eksempel: 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 5

⋅ Ved division med en brøk ganges med den omvendte: a = a ⋅ c = a c og bc = a ⋅ d b b c b b 2

2 4 8 Eksempel: 53 = ⋅ = , 4

5 3

2 2 5 = 5 = 2⋅ 1 = 2 = 1 4 4 5 4 20 10 1

16. Udtryk følgende med brøker: a. ”En halv er, tænk nu hvor aparte, to tredjedele af tre kvarte.” Piet Hein b. Halvdelen af halvdelen er en kvart. c. En sjettedel af en halv er en tolvtedel. Udregn og forkort mest muligt:

17. a.

2 3 6 5

18. a.

b. 3

2 4

21. a. 3⋅ 6 9

b. 2⋅

2 3 5

19. a.

1 3 2

22. a. 2⋅

2 5 2

23. a.

3 4

4 6

c. 2 ⋅ 3

b. 6 ⋅

3 2

c. 8 ⋅

20. a.

2 4 3

b. 86

3 2 ⋅ 2 5

2 10

9 18

c. 10 ⋅

2 6 3

20 1 ⋅ 5 5 3 4

Trainingssider

215

11. Andengradspolynomier og logaritmer 11.1 Andengradspolynomier 1 Introduktion K ablerne mellem pylonerne på Storebæltsbroen følger en kurve, der kan modelleres med en parabel. En parabel er en graf for funktionstypen andengradspolynomier, som vi allerede har mødt i tidligere kapitler. Andengradspolynomier er vigtige funktioner bl.a. fordi de kan bruges til at modellere mange forskellige problemstillinger, lige fra fysiske forhold til økonomiske og arkitektoniske problemstillinger.

2 Definition E t andengradspolynomium er en funktion med forskriften f(x) = ax2 + bx + c. D e tre konstanter a, b og c kaldes koefficienter, de kan antage alle værdier, dog må a ikke være 0. En graf for et andengradspolynomium kaldes en parabel.

3 Eksempel Tre andengradspolynomier og deres grafer. f(x) = –0,5x2 + 4 f

f(x) = x2

f(x) = x2– 4x + 4

De markerede punkter på graferne kaldes toppunkter. På den røde graf er toppunktet øverst og grenene vender nedad. På de to blå grafer er toppunktet nederst og grenene f

vender opad. De to grafer til venstre har y-aksen som symmetriakse.

4 Sætning En parabel er symmetrisk om den lodrette linje der går gennem toppunktet. T

På figuren er symmetriaksen vist med en stiplet linje. Vi skal nu se på, hvordan fortegnet på koefficienten a påvirker grafens forløb.

216

11. Andengradspolynomier og logaritmer

5 Sætning Parablen vender grenene opad, hvis koefficienten a er større end 0, og nedad, hvis koefficienten a er mindre end 0. Koefficienten a påvirker også parablens udseende på andre måder.

a<0

a>0

På figurerne ses graferne for f1(x) = 0,2x2 og f2(x) = 1,5x2. Bemærk, at den eneste forskel i regneforskrifterne for de to funktioner er, at koefficienten a er mindre i f1 end i f2. Der er en grafisk betydning af denne forskel: Når koefficienten a er et større tal, er parablen f(x) = 1,5x2

f(x) = 0,2x2

smallere. Vi ser da også, at grafen for f2 er en smallere parabel end grafen for f1.

a = –0,75

6 Eksempel

I de fleste CAS programmer er det let at oprette skydere, der kan variere værdien –1

og fortegnet af koefficienterne.

–1

7 Eksempel Vi vil beskrive de to andengradspolynomier f(x) = x2 – 4x + 3 og g(x) = –2x2 + 4x, samt deres grafer med de indførte begreber.

I andengradspolynomiet f er koefficienterne: a = 1, b = –4 og c = 3.

f g

Grafen for f er en parabel med toppunkt i (2,–1), hvor grenene vender 0

–1

opad, da a er et positivt tal.

–1

I andengradspolynomiet g er koefficienterne: a = –2, b = 4 og c = 0. Grafen for g er en parabel med toppunkt i (1,2), hvor grenene vender nedad, da a er et negativt tal.

f 3

8 Øvelse I koordinatsystemet ses to parabler.

a. Hvilken en af dem har en forskrift hvor koefficienten a er negativ?

b. Bestem koordinatsættet til deres toppunkter. –2

c. Bestem hvilken parabel der skærer y-aksen i (0,2)

–1

9 Øvelse I koordinatsystemet ses graferne for andengradspolynomierne f(x) = –2x2 + 4x + 1

og g(x) = x2 –4x + 4 a. Bestem værdierne af koefficienterne a, b og c i regneforskrifterne for f og g

b. Gør rede for, at de to grafer er parabler.

c. Gør rede for, hvilken graf der hører til f og hvilken der hører til g

d. Bestem koordinatsættet til deres toppunkter.

e. Aflæs skæringspunktet med y-aksen for begge grafer. f. D en brune parabel er smallere end den grønne. Gør rede for, hvordan dette

kan ses på forskriften for f i forhold til forskriften for.

11. Andengradspolynomier og logaritmer

217

11.2 Mere om andengradspolynomier 10 Introduktion Vulkanen Etna på Sicilien i udbrud. Vulkanen er over 3 km høj og dermed Europas højeste vulkan. Lavaen skydes ud som et skråt kast og følger en bane, der er meget tæt på at være parabelformet, hvorfor den kaldes en kasteparabel. Når vi skal modellere forskellige ting fra virkeligheden med andengradspolynomiet eller dens graf parablen, får vi brug for at kunne tilpasse dens udseende, uden at ændre dens grundform som parabel. Vi skal her se på, hvordan koefficienterne b og c i regneforskriften for andengradspolynomiet f(x) = ax2 + bx + c har betydning for grafens udseende. Vi starter med at se på konstanten c.

11 Eksempel Nedenfor er tegnet grafer for tre andengradspolynomier. Den eneste forskel på forskrifterne er, at konstanten c varierer. Bemærk, hvordan grafen påvirkes. f1(x) = –x2 + 2x + 2

f2(x) = –x2 + 2x + 1

f3(x) = –x2 + 2x

–1

Konstanten c står i et led for sig selv, hvori der ikke indgår et x. Derfor er c et fast tal, der lægges til eller trækkes fra alle funktionsværdierne. Parablen til et andengradspolynomium kan altså parallelforskydes op og ned ved at vi ændrer konstanten c.

12 Eksempel f

I Geogebra har vi først indtastet ”f(x) = x2 – x + c” i inputfeltet. Grafen for anden-

c = –1

gradspolynomiet kan ikke tegnes, da konstanten c ikke er bestemt.

Vi vælger nu ”Opret skydere”, hvorved vi får mulighed for at variere talværdien for –1

konstanten c med en skyder i tegneblokken.

–1

På figuren er c = –1, og bemærk at parablen skærer y-aksen i værdien –1. Dette er ikke helt tilfældigt. Der gælder nemlig følgende:

13 Sætning Parablen til et andengradspolynomium f(x) = ax2 + bx + c skærer y-aksen i punktet (0,c).

218

11. Andengradspolynomier og logaritmer

14 Bevis for 13 Vi skal vise at grafen for f(x) = ax2 + bx + c går gennem punktet (0,c). Hvis grafen går gennem (0,c), er f(0 = c. Vi kontrollerer dette ved udregning: f(0) = a · 02 + b · 0 + c = c. Beviset er slut.

15 Eksempel I andengradspolynomiet f(x) = 2x2 + x – 3 er koefficienten c = –3. Parablen skærer y-aksen i (0,–3). Koefficienten b har en lidt mere kompliceret betydning for grafens udseende. Den udtrykker nemlig tangentens hældning i punktet (0,c).

16 Sætning For en parabel, der er graf for f(x) = ax2 + bx + c, er

tangenthældningen i punktet (0,c) til lig med b. 2

17 Eksempel

På figuren ses parablen til andengradspolynomiet f(x) = –x2 + 2x + 1. Endvidere er tangenten til parablen der, hvor den skærer y-aksen i (0,c) indtegnet. Da koefficienten b = 2, så er tangenthældningen for den røde

–1

tangent 2.

18 Eksempel

b =–2,3

I Geogebra har vi indtastet f(x) = 2x2 + bx + 1 , og konstanten b er oprettet

som skyder. På figuren har parablen en tangenthældning på –2,3 der,

hvor den skærer y-aksen. Det er, fordi skyderen b er indstillet til denne værdi. –1

–2

19 Øvelse

–1

Et andengradspolynomium har regneforskriften f(x) = 3x2 – 2x +1 a. Bestem koefficienterne a, b og c. b. Gør rede for, hvordan man kan se, at parablens grene vil vende opad. c. Bestem parablens skæringspunkt med y-aksen. d. Bestem hældningen af tangentent til grafen i skæringspunktet med y-aksen. e. Tegn grafen for f. 2

21 Øvelse I koordinatsystemet vises graferne for f(x) = x2 – 3x + 1 og g(x) = 3x2 – 1.

a. Gør rede for, hvilken graf der hører til hvilken regneforskrift. b. Bestem så mange kendetegn som muligt.

3 x

–1

20 Øvelse a. Opret et CAS dokument og indtast regneforskriften f(x) = 3x2 + bx + c b. O pret skydere til koefficienterne b og c, og eksperimenter med værdierne en af gangen.

11. Andengradspolynomier og logaritmer

219

11.3 Logaritmefunktioner 21 Introduktion Andreas billedet er hentet fra s. 78 i 2.udg. Bakterier formerer sig ved deling. En bakterie kan blive til 10, for hver time der går. Efter 4 timer er hver bakterie blevet til: 104 = 10 000 styk. x (timer) x

f(x)=10 (bakterier)

100

1000

10 000

Vi skal her se på den omvendte funktion til 10x. Den kaldes f(x) = log10(x) og gør det omvendte af 10x , så tabellen med funktionsværdier bliver også omvendt. x (bakterier)

100

1000

10 000

f(x)=log(x) (timer)

22 Definition Titalslogaritmen f(x) = log10(x) er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen 10x. Den er defineret for alle positive tal. Grafen for f(x) = log10(x) findes ved at spejle grafen for 10x i linjen y = x. I koordinatsystemet er graferne for funktionerne log10(x) og 10x tegnet. 10x

Endvidere er linjen y = x vist med stiplet linje. log10(x)

• At funktionen log10(x) er omvendt funktion til funktionen 10x betyder, at vi bytter om på x og y-værdierne. • Når vi spejler i linjen y = x, byttes rundt på x-koordinat og y-koordinat. • Man finder altså log10 (100) ved at forestille sig, hvad der skal stå på x-plads i 10x for at det giver 100. Vi har altså log10 (100) = 2, fordi 102 = 100.

23 Eksempel Vi vil se nærmere på udvalgte funktionsværdier for f(x) = log10 (x). log10 (1 000) er lig med 3, fordi 103 = 1 000. log10 (100 000) er lig med 5, fordi 105 = 100 000.

24 Eksempel Titalslogaritmen skærer x-aksen i x = 1: log10 (1) = 0, fordi 100 = 1. Og for tallene tæt på nul bliver logaritmen negativ: log10 (0,1) = –1, fordi 10–1 = 0,1. log10 (0,0001) = –4, fordi 10–4 = 0,0001.

220

11. Andengradspolynomier og logaritmer

25 eksempel

På figuren ses grafen for funktionen f(x) = log10(x). Den viser, at funktionen er konstant voksende, men også at funktionen vokser meget hurtigt for små

x-værdier og langsomt for store x-værdier.

f(1) = 0 f(100) = 2

f(1000) = 3

200

400

600

800

–2

f(1000000) = 6 Kurven når altså ikke y-værdien 6 før x-værdien er 1 million! Der findes uendeligt mange forskellige logaritmefunktioner, idet alle tal kan være grundtal på samme måde som tallet 10 er det i 10-talslogaritmen.

26 Definition Den naturlige logaritme skrives ln(x) eller loge(x) og er den omvendte funktion

til eksponentialfunktionen f(x) = ex.

loge(x)

Titalslogaritmen og den naturlige logaritme er de mest almindeligt brugte logaritmer. ln(x)

27 Eksempel

log10(x)

På figuren vises graferne for de to logaritmefunktioner. Alle logaritmefunktionernes grafer går gennem punktet (1,0).

(1,0)

28 Øvelse Beregn følgende uden CAS, men brug gerne tabellen med udvalgte funktionsværdier for f(x) = 10x : x 10

–3

–2

–1

0,001

0,01

0,1

100

1000

10 000

100 000

1 000 000

a. log10(10) b. log10(1 000 000) c. log10(0,01) d. log10(0,001) e. ln(e).

29 Øvelse a. Tegn grafen for ln(x) i et CAS program. b. Indtegn en tangentlinje i punktet (1,0). c. Bestem hældningen af tangenten i (1,0).

11. Andengradspolynomier og logaritmer

221

11.4 Anwendelse af logaritmer 30 Introduktion Lydtryksniveau måles med decibelskalaen (dB). Ved en rockkoncert tæt på højttaleren er lydtryksniveauet tæt på smertegrænsen på 130 dB. Når smertegrænsen kun ligger dobbelt så højt på skalaen som almindelig tale, skyldes at dBskalaen er logaritmisk. Den fysiske enhed for lydintensitet er watt pr. m2. Man kan forestille sig et areal i luften på 1 m2 og lydintensiteten er så det antal watt, der kommer gennem arealet. • 70 db svarer til 0,00002 w/m2 • 96 db svarer til 0,004 w/m2 (altså 200 gange større lydintensitet end ved 70 db) • 130 db svarer til 10 w/m2 (altså 500 000 gange større lydintensitet end ved 70db) Det er svært at tegne en graf i et koordinatsystem, hvor en af y-værdierne er ½ mio. gange større end en anden.

31 Enkeltlogaritmisk koordinatsystem Et koordinatsystem hvor y-aksen er logaritmisk, kaldes et enkeltlogaritmisk koordinatsystem. Man kan konstruere et koordinatsystem med logaritmisk skala ved at starte med et almindeligt koordinatsystem. På y-aksen opfattes tallene nu som eksponenter i 10x. Der, hvor der står 2 skal der nu stå 102 = 100 og der, hvor der står 3, skal der stå 1000, da 103 = 1000, osv. 3

103 = 1 000

102 = 100

101 = 10 0

100 = 1

32 Eksempel G rafen for f(x) = 5x er svær at tegne i et almindeligt koordinat-

103 = 1 000

system, hvis man skal kunne se de tre punkter i tabellen. Her er

10 = 100

en logaritmisk skala smart. Bemærk, at grafen f(x) = 5x, der er

101 = 10

en eksponentiel funktion, bliver en ret linje. Dette gælder for

100 = 1 0

222

alle eksponentielle funktioner; deres graf er en ret linje, når y-aksen er logaritmisk.

11. Andengradspolynomier og logaritmer

f(x)=5x

625

33 Logaritmer i vækstmodeller Ved logaritmisk regression fås en model af typen f(x) = b + a · ln(x) Ligninger med logaritmefunktioner løses i CAS.

34 eksempel

E n majsplante gror kraftigt, når den er ganske

300

lille og siden aftager vækstens hastighed be-

200

tydeligt. Sådanne vækstforhold kan ofte mo-

100

delleres med funktioner, hvor der indgår 0

logaritmer.

100

150

Grafen og regneforskriften på figuren er fundet ved logaritmisk regression over nogle data for majsplanters højder i forskellige antal dage efter plantningen. I næste opslag kan der evt. arbejdes videre med logaritmisk regression.

35 Eksempel Vi vil benytte modellen ovenfor til at beregne, hvor mange dage efter plantningen der vil gå før planterne er 100 cm høje. Vi skal altså løse ligningen f(x) = 100 som er lig: –188 + 94 · ln(x) = 100. I CAS skriver vi: solve(–188 + 94 · ln(x) = 100, x) → 21.4. Der går altså 22 dage før planterne er 100 cm høje ifølge modellen. C

36 Øvelse

105 = 1 000 000

I det enkeltlogaritmiske koordinatsystem er afsat fem punkter.

104 = 100 000

a. Angiv de fem punkters koordinatsæt.

103 = 1 000

102 = 100

37 Øvelse a. Indfør funktionen f(x) = log(x) i et CAS program.

101 = 10

b. Løs ligningen f(x) = 4.

100 = 1 0

c. Tegn grafen for f.

38 Øvelse a. Indfør funktionerne f(x) = log(x) og g(x) = –2x + 6 i et CAS program. b. Løs ligningen f(x) = g(x). c. Beregn koordinatsættet til deres skæringspunkt, og angiv svaret med 2 decimaler.

39 Øvelse a. Tegn en talakse, der er logaritmisk, som går fra 1 til 100 000 000 (100 mio). b. Afsæt punkter ved 100, 10 000 og 10 000 000.

11. Andengradspolynomier og logaritmer

223

11.5 Supplerende stof til logaritmefunktionerne 40 Eksempel I slutningen af 1900 tallet var det almindeligt at regne med en regnestok, der havde logaritmiske skalaer, der kunne forskydes i forhold til hinanden, så resultatet af en multiplikation og/eller division let kunne aflæses. I dag har vi regnemaskiner og CAS, så vi har ikke længere brug for logaritmerne, når vi skal regne. Men vi bruger stadig logaritmeregneregler, når vi uden brug af CAS skal løse eksponentielle ligninger som fx 2x = 3. Vi vil fremover benytte skrivemåden log(x) om log10(x) for overskuelighedens skyld.

41 Sætning logaritmeregneregler 1. log(a · b) = log(a) + log(b). 2. log( a ) = log(a) – log(b). b

3. log(ab) = b · log(a).

42 Eksempel Vi vil løse ligningen 2x = 5 uden brug af CAS. log(2x) = log(5)

Vi har taget logaritmen på begge sider af lighedstegnet.

x · log(2) = log(5)

Vi har brugt regel 3 på venstre side.

log(5) log(2)

Vi har divideret med log(2) på begge sider af lighedstegnet.

Med to decimaler kan det udregnes til x = 2,32.

43 Eksempel Fordi log(x) er omvendt funktion til 10x gælder der om ethvert positivt tal x, at: x = log(10x) og x = 10log(x). Om tallet 7 gælder eksempelvist 7 = 10log(7). Med erkendelserne fra eksempel 43 af, hvad det vil sige, at funktionerne log(x) og 10x er hinandens omvendte, kan vi nu bevise tre nyttige sætninger:

44 Bevis for 41.1 Vi omskriver venstre side ved hjælp af erkendelserne ovenfor og en potensregneregel og får: log(a ⋅ b ) = log(10log( a ) ⋅10log( b ) ) = log(10log( a )+log( b ) ) = log(a) + log(b ) . Beviset er slut.

45 Bevis for 41.2 Vi omskriver venstre side ved hjælp af erkendelserne ovenfor og en potensregneregel og får: a  10log( a )  log   = log  log( b )  = log(10log( a )−log( b ) ) = log(a) − log(b ) . Beviset er slut.  b  10 

224

11. Andengradspolynomier og logaritmer

46 Bevis for 42.3 Vi omskriver venstre side ved hjælp af erkendelserne ovenfor og en potensregneregel og får:

( )

((

log ab = log 10log( a )

) ) = log(10 b

b⋅log( a )

) = b ⋅ log(a) .

Beviset er slut.

47 Sætning Grafen for en eksponentiel funktion bliver en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem.

48 Bevis for sætning 47 Vi skal vise, at når man tager log til en eksponentiel funktion f, altså log( f(x)), så bliver grafen en ret linje. En ret linje har ligningen y= ax + b (altså ”y er lig med en konstant gange x plus en anden konstant”. f(x) = bax

Dette er forskriften for en eksponentiel funktion.

= log(ba ) Vi har taget logaritmen på begge sider af lighedstegnet. = log(b) + log(ax) Vi har brugt logaritmeregneregel 41.1 log( f(x)) = x · log( a) + log( b) Vi har brugt logaritmeregneregel 41.3 log( f(x))

log( f(x))

Da log(a) og log(b) blot er konstanter, består højresiden af ”en konstant gange x plus en anden konstant”. Beviset er slut.

Logaritmisk regression 49 Eksempel

Dage

For et bestemt udsnit af en majsmark registreres planternes

et punktplot og til sidst er der lavet logaritmisk regression. Den logaritmiske regressionsmodel har forskriften:

Højde (cm) 10 46 122 152 180 185

højde som funktion af antal dage siden de blev plantet. Disse data er indtastet i Geogebra. Herefter er der tegnet

200 100

y = 188,2939 + 94,2611 · ln(x).

50 Øvelse Den menneskelige hukommelse kan modelleres med logaritmiske

Antal måneder

modeller. Nogle elever tog en test hver måned i 6 måneder efter de

Point

91 81 76 73 69 67

havde taget et bestemt fag. Resultaterne ses i tabellen. Her vil vi bruge en model af typen f(x) = b + a ln(x). a. Bestem a og b, og angiv regneforskriften. b. Bestem, hvor mange point en elev kan huske efter 8 og 12 måneder ifølge modellen.

51 Øvelse Den omvendte funktion til ln(x) er eksponentialfunktionen ex. Brug denne sammenhæng, og inspiration fra de øvrige beviser, til at besvare a. til c.: a. Bevis, at ln(a · b) = ln(a) + ln(b). b. Bevis, at ln( a ) = ln(a) – ln(b). b

c. Bevis, at ln(ab) = b · ln(a).

11. Andengradspolynomier og logaritmer

225

Opgaver – 11. Andengradspolynomier og logaritmer Opgave 1101

Opgave 1104

a. Opret et Geogebra dokument og indtast regneforskriften f(x) = ax2. b. Opret en skyder (fra –5 til 5) til koefficienten a

og eksperimenter med værdierne af a. d. Hvilken forskel gør det, at a skifter fortegn?

c. Hvilken forskel gør det, at a bliver større?

Opgave 1102

0 1

I koordinatsystemet ses to parabler, der er graf for funktioner med forskrift af typen

f(x) = ax2 + bx + c. De to parabler har a-værdier

med modsat fortegn.

1 0 1

a. Hvilken en af dem har en forskrift, hvor c = 1? b. Hvilken en af dem har en forskrift, hvor c = 2? c. H vis man ser bort fra fortegnet, hvilken parabel

I koordinatsystemet ses to parabler. a. H vilken en af dem har en forskrift, hvor koefficienten a er negativ?

har så den største talværdi for konstanten a? d. Bestem minimumsstedet for den af de to funktioner, der har et minimum.

b. Bestem koordinatsættet til deres toppunkter. c. Bestem hvilken parabel der skærer y-aksen i (0,2).

Opgave 1105

d. G ør rede for, hvilken parabel der er graf for

Et andengradspolynomium har regneforskriften

den funktion, hvor koefficienten a i forskriften

f(x) = 2x2 – 3x + 2.

har den mindste værdi (hvis man ser bort fra

a. Bestem koefficienterne a, b og c.

fortegnet).

b. Gør rede for, hvilken vej parablens grene vil vende.

Opgave 1103

c. Bestem parablens skæringspunkt med y-aksen. d. B estem hældningen af tangenten til grafen i

5 4 3 2 1

skæringspunktet med y-aksen. f

0 1 2

3 4

I koordinatsystemet ses graferne for anden-

e. Tegn grafen for f.

Opgave 1106 A

gradspolynomierne f(x) = –x2 + 4x + 1 og

g(x) = x2 + 2x + 4.

a. Bestem værdierne af koefficienterne a, b og c i

regneforskrifterne for f og g.

–1

0 1

b. Gør rede for, at de to grafer er parabler. c. Gør rede for, hvilken graf der hører til f og hvilken der hører til g. d. Bestem toppunktets koordinater til begge grafer. e. Aflæs skæringspunktet med y-aksen for begge grafer.

226

11. Andengradspolynomier og logaritmer

I koordinatsystemet ses graferne for f(x) = x2 + 3x + 2 og g(x) = 2x2 – 3x + 2. a. Gør rede for, hvilken graf der hører til hvilken regneforskrift. b. Bestem så mange kendetegn som muligt.

Opgave 1107

Opgave 1109 A

g 3

2 1

0 0 1

I koordinatsystemet ses graferne for anden-

I koordinatsystemet er graferne for

gradspolynomierne f(x) = –2x2 + 4x + 1 og

f(x) = x2 – 3x + 1 og g(x) = 3x2 – 1 tegnet.

g(x) = x2 – 4x + 4.

Begge funktioner er af typen f(x) = ax2 + bx + c.

a. B rug grafen til at afgøre, hvilken en af dem har

a. G ør rede for, hvilken funktion der har den

en forskrift, hvor c = 1? b. B rug grafen til at afgøre, hvilken en af dem har en forskrift, hvor c = 4? c. Hvilken parabel har et minimum? d. H vordan ser man på forskriften, at parablen har et minimum og ikke et maksimum?

mindste a-værdi, (brug gerne grafen). b. H vilken graf har en vandret tangent ved skæringen med y-aksen? c. Gør rede for, hvilken parabel der er graf for g ved at argumentere ud fra tangenthældningen ved y-aksen.

e. D en grønne parabel rammer x-aksen, når x = 2. Passer det med forskriften ( dvs. er g(2) = 0) ?

Opgave 1110 a. Tegn tre forskellige grafer (parabler) for funktio-

Opgave 1108

ner af typen f(x) = ax2 + bx + c, hvor a + b + c = 6

Et andengradspolynomium har regneforskriften

b. H vilke koordinater har det fælles skæringspunkt

f(x) = x2 + 5x – 6.

for de tre parabler?

a. Bestem koefficienterne a, b og c. b. Gør rede for, hvordan man kan se, at parablens grene vender opad?

Opgave 1111 a. Tegn tre forskellige grafer (parabler) for funktio-

c. Bestem skæringspunktet med y-aksen.

ner af typen f(x) = ax2 + bx + c, hvor a + b + c = 0

d. Bestem hældningen for tangenten i skærings-

b. H vilke koordinater har det fælles skæringspunkt

punktet med y-aksen.

for de tre parabler?

e. Bestem et skæringspunkt med x-aksen uden brug af CAS. f. Tegn grafen for f.

Opgave 1112 a. Tegn graferne for funktionerne f(x) = x2 – 5x + 6 og g(x) = x2 + 5x + 6. b. Bestem koordinaterne til grafernes skæringspunkt.

11. Andengradspolynomier og logaritmer

227

Opgaver – 11. Andengradspolynomier og logaritmer Opgave 1113

Opgave 1116

Tabellen viser nogle sammenhørende x- og y5

værdier for funktionen f(x) = x2. x y

ln(x)

a. Udregn tilvæksten i y-værdi svarende til at xværdien stiger med 1, og skriv det ind i en tabel som nedenstående: Begyndelses x Tilvækst i y

log2(x)

y=x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -9 1 7

b. Plot de sammenhørende x-værdier og tilvækst værdier i et X-Y plot.

log10(x)

2 1 0

På figuren vises tre logaritmefunktioner og log2(x), ln(x) og log10(x) sammen med funktionen f(x) = x i samme koordinatsystem. a. H vilke grafer går gennem (0,1) og hvilke gen-

c. H vilken type funktion ser tilvæksterne ud til at følge?

nem (0,0)? b. Benyt tegningen og sorter følgende funktionsværdier i stigende rækkefølge; f(5), ln(5),

Opgave 1114

log10(5) og log2(5).

Beregn følgende uden CAS, men søg gerne inspi-

c. Benyt tegningen og vurder, hvilken af de fire

ration i tabellen over udvalgte funktionsværdier af

funktioner, der vokser hurtigst, når x =5.

f(x) = 10 : x

–3

d. B enyt tegningen og vurder ud fra den, hvilken –2

–1 0 1

10 0,001 0,01 0,1 1 10 100 1000 10 000 100 000 1 000 000

af de fire funktioner der vokser hurtigst, når x =1. e. Benyt tegningen og vurder, hvilken af funktio-

a. log10(10 000)

nerne f(x) = x og ln(x) der vokser hurtigst, når

b. log10(100 000 000)

x = 0,5.

c. log10(0,00001) d. log10(10)

Opgave 1117

Opgave1115

funktionen 10x betyder, at vi bytter om på x og

At funktionen log10(x) er omvendt funktion til

a. Tegn grafen for log10(x) +2 i et CAS program.

y-værdierne. Når vi spejler i linjen y = x, byttes

b. Indtegn en tangentlinje i punktet (1,2).

rundt på x-koordinat og y-koordinat.

c. Bestem hældningen af tangenten i (1,2).

a. Tegn de to funktioner 10x og og10(x) samt linjen y = x i samme koordinatsystem.

10x log10(x)

b. Afsæt to sæt symmetriske punkter, hvor det ses, at der er byttet rundt på x- og y-koordinaterne.

228

11. Andengradspolynomier og logaritmer

Opgave 1118

Opgave 1121

a. Brug et CAS program til at bestemme tangenthældningen for ln(x), når x = 2.

105 = 1 000 000

E C

104 = 100 000

Opgave 1119 Surhedsgraden af en væske måles i enheden pH. PH værdien er den negative titalslogaritme til kon-

103 = 1 000 102 = 100

centrationen af H3O -ioner dvs.

101 = 10

pH = –log( [H3O+]) .

100 = 1

a. I et glas appelsinsaft måles pH-værdien til 4.

Hvor stor er koncentrationen af [H3O+] i appelsinsaften? b. I et glas med saft fra en grapefrugt måles en pH værdi tæt på 3,5. Hvor stor er koncentrationen af [H3O ] i grapesaften?

I det enkeltlogaritmiske koordinatsystem er afsat fem punkter. a. Angiv de fem punkters koordinatsæt.

c. H vor mange gange er koncentrationen af [H3O+] større i grapesaften sammenlignet med appelsinsaften?

Opgave 1122 a. I ndfør funktionen f(x) = log10(x) i et CAS program. b. Løs ligningen f(x) = 4.

Opgave 1120

c. Tegn grafen for f.

Opgave 1123 a. I ndfør funktionerne f(x) = log(x) og g(x) = –x – 3 i et CAS program. b. Løs ligningen f(x) = g(x). c. Beregn koordinatsættet til deres skæringspunkt og angiv svaret med 2 decimaler. Højden af en bestemt etårig plante kan modelleres med funktionen f(x) = –65 + 37 · ln(x), hvor f(x)

Opgave 1124

er højden af planten i cm, og x er antal uger efter

Løs ligningerne vha. logaritmeregneregler.

udplantningen.

Vis udregningerne. Kontroller evt. vha. CAS.

a. Bestem højden af planterne efter 10 uger ifølge

a. 3x = 7

modellen. b. Bestem, hvor mange uger der går før planterne er 150 cm høje.

b. 10x = 0,01 c. 2 · 3x = 54 d. 3 · 5x = 75

c. Løs ligningerne f(x) = 0 og f(x) = 52 d. Benyt svarene i delopgave c. til at foreslå en fornuftig definitionsmængde for f.

11. Andengradspolynomier og logaritmer

229

Opgaver – 11. Andengradspolynomier og logaritmer Opgave 1125

Opgave 1129

Bestem (brug evt. en graf ): a. den vandrette afstand mellem y-aksen og grafen for f(x) = log10(x), når log10(x) = –1, log10(x) = –2 og log10(x) = –3. b. den lodrette afstand mellem x-aksen og grafen for f(x) = log10(x), når x = 1, x =10 og x =100. c. den lodrette afstand mellem x-aksen og grafen

På billedet kan du se, at citronsaft farver lakmus-

for f(x) = log3(x), når

papir rødt, citroner indeholder syre. Surheds-

x = 1, x = 3, x = 9 og x = 27.

graden af en væske måles i enheden pH. Neutralt vand har pH-værdien 7. PH værdien er den

Opgave 1126

negative titalslogaritme til koncentrationen af

Løs ligningerne

H3O+-ioner.

a. 2 · 3x + 7 = 25 x

b. 3 · 5 + 4 = 179

pH = –log( [H3O+]) . For almindeligt vand er koncentrationen af [H3O+] = 10–7 mol/liter , derfor er pH værdien 7.

Opgave 1127

a. Citronsaft har pH-værdien 2. Hvor stor er kon-

Løs ligningerne

centrationen af [H3O+] i citronsaft?

b. M enneskers blod har en pH værdi tæt på 7,4 .

Hvor stor er koncentrationen af [H3O+] i blod?

a. 4 · 2 = 20 b. 5 · 3 = 22

c. En syreblanding har en pH-værdi på 1. Hvor

Opgave 1128

mange gange er koncentrationen af [H3O+]

Alle logaritmefunktioners grafer kan fremkomme

større end i citronsaft?

ved at multiplicere en af de andre logaritmers graf med en konstant. a. Beregn, hvor mange gange ln(10) er større end log10(10). b. H vor stor er proportionalitetskonstanten k i ligningen ln(x) = k · log10(x)?

230

11. Andengradspolynomier og logaritmer

231

Opgaver - Kapitalfremskrivning Trainingssider (11)

Vedligeholdelse af regnefærdigheder Regnearternes hierarki Parenteser (a + b) Potenser og rødder an

Multiplikation og division a · b, b , a : b Addition og subtraktion a + b, a – b

1. Udregn:

2. Udregn:

3. U dregn:

4. Udregn:

a. 5 + 32 · 4 – 12

a. 2(42 – 1)

a. 2 23 + 22 − 24

a. 5 (2 + 22 ) − 2 − 10

b. 3 · (32 + 3) – 3

b. 3 32 + 91 − 6

 10 + 1 b. 13 − 2 2 

24 b. 10 − 4  − 10

c. 2(5 – 3 ) – 25

c. 4 · 5 – 2 + 5

c. 2 · (5 + 3 · 20 – 50)

c. 3 · (5 + 2 · 3)

Potenser og rødder ar r −s s =a a

ar + as = ar+s

a0 = 1

Regler:

ar  a  r r =  b b

(an)m = an · m 4

1 ar

ar = r a

(a · b)r = ar · br

1 1 3 34 ⋅   =  3 ⋅  =   = 14 = 1  3  3  3

Eksempler:

a−r =

1 4 2

(3 )

4⋅ 1 2

= 32 = 9

−1 2

= 11 = 1 = 1 25

25 2

Brug potensreglerne til at reducere udtrykkene mest muligt: 1 5. a. 54 ⋅   5

6. a. 34 ⋅  6  18

b. 83 ⋅    16 

c. 63 ⋅    12 

b. 411 ⋅    8 2

12. a. 3 2 · 3 2

b. 23 · 2 3

b. (103) 3 1

c. 144 · 14 4

232

c. 84 · 0,1254 1

11. a. 74 · 7 4

Trainingssider

c. (2 5)10

1 7. a. 103 ⋅   10

b. 74 ⋅    7 1

14. a. 6

b. 104 · 10– 2 1

c. (2 5)10

b. 1000– 3 1

c. 27 3

13. a. 2 2 · 2 2

10. a. 49– 2

9. a. 64 3

b. 100– 2

c. 108 · 0,18 1

8. a. 9 2

c. 100 2

7 3 7

15. a. 4

30 3 30

14 3 14

1 18 1

b. 1– 2 c. 4 · 8–1

16. a. 62 · 22 7

b. c.

10 3 10 2

b. 33 · 42 c. 25 · 2–2

17. a. 2(x + 3) = 4

18. a. 5 – 3(6 – x) = 8

19. a. 4–2(x–1)=3(1–x)

b. 1 + x = –3x –3

b. 5 –(2 – x) = –x

b. 6+4(3+2x)=2x

c. 2 – 4(x – 1) = 4

c. 1 – 3(1 – 2x) = 4

c. 8+3(2+x)=2+2(1+x)

20. a. 4x–4=2(2–x)

21. a. 2(4x + 1) = 10

22. a. 4x + 2 = –(2x – 1)

b. 6(x+1)=3–(1–x)

b. 7 = 3 + 2(2 + x)

b. 2(x – 1) = 2(1 – x)

c. 2x–2 = 2(2x–2)

c. 9 + x = 7 – (2x + 1)

c. x(1 + x) = x2 + 2

Brøker Forlænge:

a k ⋅a = b k ⋅b

Eksempel: 1 = 3 ⋅ 1 = 3

Forkorte: a = a : k b

Eksempel:

b:k a b

Tal gange brøk: k ⋅ = Brøk gange brøk :

3⋅2

k ⋅a b

4 4:4 1 = = 8 8:4 2 2 5

Eksempel: 3 ⋅ =

a c a⋅c ⋅ = b d b⋅d

3⋅2 5

Eksempel: 3 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 5

⋅ Ved division med en brøk ganges med den omvendte: a = a ⋅ c = a c og bc = a ⋅ d b b b b c 2 5 = 2⋅4 = 8 3 5 3 15 , 4

Eksempel:

2 2 5 = 5 = 2⋅ 1 = 2 = 1 4 4 5 4 20 10 1

Udregn og forkort mest muligt:

23.

1 5 a . 4

24.

2 b. 23

25.

1 2 3 a. 2 3 b. 4

1 b. 4 4

27. a. 10 ⋅ 4

28. a. 15⋅ 2

29. a.

4 2 ⋅ 3 5

1 2

1 2 ⋅ 3 3

4 1 ⋅ 3 6

12 6

3 10 ⋅ 4 2

2 3 ⋅ 3 2

b. 20 ⋅ c. 5⋅

2 a . 5 10

26. a.

1 2 2

1 2 b. 6

Trainingssider

233

12. Lån og opsparing

12.1 Opsparingsannuitet

1 Introduktion

En person vil spare 10 000 kr. op hvert år i fire år, og hæve pengene straks efter den sidste indbetaling. Renten er 5 % p.a. I skemaet beskrives opsparingen. Det skal læses således.: Vi forestiller os, at kontoen blev oprettet i starten af året. Herefter indsættes der straks 10 000 kr. Sidst på året tilskrives der rente på 5 %: 0,05 · 10 000 = 500. Saldoen efter rentetilskrivningen er så 10 500 kr. Primo betyder første dag i den periode, man betragter og ultimo betyder sidste dag i perioden. År

Saldo ved årskiftet

Indbetaling primo

Saldo efter primo indbetaling

5 % rente

Saldo ultimo

10 000

500

10 500

10 000

20 500

1 025

21 525

10 000

31 525

1576,25

33 101,25

33 101.25

10 000

43 101,25

I 2. række er startsaldoen lig med slutsaldoen året før. Så indsættes der igen 10 000 kr., og derfor stiger saldoen til 20 500 kr. Sidst i år 2 beregnes der rente af dette beløb: 20 500 · 0,05 = 1 025 kr., Saldoen efter renteskrivningen er 21 525 kr. Og sådan fortsætter det, indtil år 4, hvor hele beløbet straks hæves efter den sidste indbetaling. Vi ser, at der vil stå 43 101,25 kr. på kontoen lige efter den 4. indbetaling. Det kan virke underligt, at vi slutter med at indbetale 10 000 kr. og straks derefter hæve opsparingen. Det skyldes at vi skal arbejde med en vigtig formel i sætning 4, hvormed man kan berege slutværdien af en opsparingen som den ovenstående, og i den formel er man nødt til at regne med en sidste indbetaling, som ikke når at trække renter. Når man sparer et fast årligt beløb op, kommer der hele tiden nye indbetalinger til, samtidigt med at de tidligere indbetalinger bliver forrentet. Dette kaldes en annuitet.

2 Definition En annuitet er en betalingsrække, hvor lige store indbetalinger b sker med lige store tidsintervaller.

234

12. Lån og opsparing

3 Eksempel Opsparingen kan også modelleres med følgende skema.

10 000

Her udregnes hvor meget hver indbetaling er blevet til

10 000,00

i år 4, lige efter den sidste indbetaling. 10 000 · 1,051

Somme tider vil man kun udregne slutsaldoen lige efter

10 000 · 1,052

den sidste indbetaling. Den kan udregnes med formlen i

10 000 · 1,053

den følgende sætning.

10 500,00 11 025,00 11 576,25 43 101,25

4 Sætning Slutværdien af en opsparingsannuitet A n, efter n indbetalinger, hvor renten er r og n indbetalingen b, beregnes med formlen: An = b ⋅ (1+ rr) − 1

5 Eksempel Vi vil beregne saldoen umiddelbart efter den sidste indbetaling i en annuitet, hvor r = 0,05, b = 10 000 kr. og n = 4. Vi indsætter i formlen og får An = 10000 ⋅

(1 + 0, 05) − 1 = 43101,25 kr. 0, 05 4

Vi får altså slutsaldoen, som vi også beregnede i introduktionen og i eksempel 3.

6 Eksempel Familien Olsen sparer 20 000 kr. op om året i 8 år. Renten er 3 %. Hvor stort et beløb har de efter 8 år? Vi indsætter tallene i formlen: An = 20000 ⋅

(1 + 0, 03) − 1 = 177846,72 . 0, 03 8

De har altså kr. 177 846,72 om 8 år.

7 Eksempel Familien Olsens opsparing på 20 000 kr. op om året i 8 år til 3 % i rente p.a. kan også modelleres i et regneark. Herved kan vi følge mere præcist med i opsparingens forløb år for år.

År 1 2 3 4 5

I tabellen er kolonnen med ”Saldo 1.jan” er lig med ”Saldo 31.jan” året før tillagt opsparingen på 20 000.

6 7 8

Saldo 1,jan 20000,00 40600,00 61818,00 83672,54 106182,72

Årets rente 600,00 1218,00 1854,54 2510,18 3185,48

Saldo 31,dec 20600,00 41818,00 63672,54 86182,72 109368,20

3881,05 4597,48

133249,24 157846,72

129368,20 153249,24 177846,72

8 Øvelse Familien Buchwald sparer 7 000 kr. op om året i 6 år. De får en rente på 2 % p.a.. a. Benyt formlen i sætning 31 til at beregne deres saldo lige efter deres sjette indbetaling.

9 Øvelse a. Brug et regneark til at lave en tabel over Familien Buchwalds opsparing over de 6 år, stadigvæk i en situation hvor de sparer 7 000 kr. op om året i 6 år, og får en rente på 2 % p.a.. De hæver beløbet straks efter den 6. indbetaling.

12. Lån og opsparing

235

12.2 Terminsindbetaling, rente og antal terminer 10 Introduktion Et par venner skal bruge 100 000 kr. til en kæmpe fest om 8 år. De får 4 % i rente p.a. Vi vil gætte kvalificeret på, hvor meget de skal spare op pr. år. Hvis vi ser bort fra renten, så skulle de spare 12 500 kr. pr. år, da 8 · 12 500 = 100 000. M en de får jo rente undervejs, så de kan sikkert nøjes med at indbetale lidt mindre. Måske kun 11 500 kr. pr. måned? Vi skal i opslaget her se på, hvordan man kan beregne terminsindbetalingen, antallet af terminer og renten i en annuitetsopsparing. Vi gennemgår det ved hjælp af eksempler, hvor der bruges CAS til at bestemme løsningerne.

Terminsindbetalingen 11 Eksempel Den årlige indbetaling hvis der skal spares 100 000 op på 8 år med en rente på 4 % kan beregnes med CAS ud fra formlen for fremtidsværdien for en opsparingsannuitet: n An = b ⋅ (1+ rr) − 1 .

I denne formel er det størrelsen b vi skal have bestemt. solve(100000 = b ⋅

(1 + 0, 04) − 1 , b) → 10 852,78 0, 04 8

Altså skal der kun indbetales kr. 10 852,78 kr. pr. år i 8 år for at have 100 000 kr.

Antal terminer 12 Eksempel En person kan spare 15 000 kr. op pr. år. Renten er 5 % p.a. og der skal i alt spares 261 000 kr. op. Den problemstilling kan vi løse i CAS ved at indsætte tallene i annuitetsopsparingsformlen og bruge kommandoen solve: solve(261000 = 15000 ⋅

(1 + 0, 04) − 1 , n) → 12,83. 0, 04 n

Det vil altså tage knap 13 terminer før personen har 261 000 kr.

236

12. Lån og opsparing

Renten 13 Eksempel En ung student planlægger sin økonomi. Hun vil have 5 mio. kr. om 30 år, og hun vil indbetale 25 000 kr. om året. Hvilken rente p.a. skal hun have for at det kan lade sig gøre? solve(5000000 = 25000 ⋅

(1 + r ) − 1 , r) → 0,11. r 30

Altså skal hun have 11 % i rente.

14 Øvelse En familie har fået ny bank, som lover 6 % i rente p.a. De skal bruge 30 000 kr. om 7 år. a. Beregn, hvor meget skal de indbetale pr. år for at have 30 000 kr. om 7 år.

15 Øvelse En gruppe unge vil starte virksomhed og sparer 4 000 kr. op tilsammen pr. måned, på en særlig konto der giver 1 % rente pr. måned. a. Beregn, hvor mange måneder går der før de har 100 000 kr.

16 Øvelse En person sparer 65 000 kr. op om året for at have 500 000 kr. at starte et småkagebageri om seks år. a. Hvilken rentesats skal han have, for at drømmen kan realiseres?

(4) Sætning Slutværdien af en opsparingsannuitet An, efter n indbetalinger, hvor renten er r og n indbetalingen b, beregnes med formlen: An = b ⋅ (1+ rr) − 1

17 Bevis for sætning 4 Slutværdien af en lang række med n indbetalinger er: An = b + b ⋅ (1+ r )1 + b ⋅ (1+ r )2 + ... + b ⋅ (1+ r )n−1 Herefter ganges begge sider med (1+r), og der foretages en række omformninger og forsimplinger. Scan QR koden for en gennemgang af beviset. An ⋅ (1+ r ) = b ⋅ (1+ r ) + b ⋅ (1+ r )2 + b ⋅ (1+ r )3 + ... + b ⋅ (1+ r )n An ⋅ (1+ r ) − An = b ⋅ (1+r)n − b

(

)

An ⋅ ((1+ r ) − 1) = b ⋅ (1+r)n − 1

(

)

An ⋅ r = b ⋅ (1+r)n − 1 An =

b ⋅ (1+r) − y (1+r) − 1 = b⋅ r r n

12. Lån og opsparing

237

12.3 Annuitetslån 18 Introduktion Efter en bestået køreprøve låner en kvinde kr. 35 000 til en brugt bil. Forhandleren tilbyder et lån hvor renten er 8 % p.a. og hvor hun skal indbetale 7 571,04 kr. pr. år i 6 år. I opslaget her skal vi se på, hvordan man beregner en ydelse som de 7 571,04 kr. pr. år. Og hvordan man udfylder en såkaldt amortisationstabel, som er en beskrivelse af, hvordan et lån afdrages. Vi ser først på nogle begreber tilknyttet finansielle beregninger:

19 Definition Hovedstolen er det beløb man låner. Primo restgæld er restgælden den første dag i terminen. Rentefoden er den procentuelle rente der skal betales af primo restgælden. Afdraget er den sum man nedbringer gælden med sidst i terminen. Ydelsen er summen af afdraget og renten, altså det man faktisk betaler hver termin. Ultimo restgæld er restgælden den sidste dag i terminen. Et annuitetslån er et lån, hvor ydelsen er konstant og der tilbagebetales med samme beløb med jævne mellemrum.

Inden man kan udfylde en tabel, der viser, hvordan lånet afbetales, er man nødt til at beregne den ydelsen på lånet. Til det skal vi bruge følgende sætning:

20 Sætning Ydelsen på et lån over n terminer, hvor renten er r og lånebeløbet er G kan beregnes med følgende formel:

y = G⋅

r −n 1 − (1 + r )

I introduktionscasen var hovedstolen G = 35 000, rentefoden r = 0,08 og antal indbetalinger n = 6. Vi indsætter størrelserne i formlen i sætning 20 og får: y = 35000 ⋅

0, 08 1 − (1 + 0, 08)

−6

= 7571,04

Med ydelsen beregnet kan vi nu udfylde en amortisationstabel.

21 Definition En amortisationstabel er en skematisk oversigt over, hvordan restgælden, ydelsen, afdragene og renterne udvikler sig, indtil lånet er betalt (mortis betyder død).

238

12. Lån og opsparing

Vi fortsætter introduktionscasen og får følgende tabel: Termin

Primo restgæld

Ydelse

Rente

Afdrag

Ultimo restgæld

35 000,00

7 571,04

2 800,00

4 771,04

30 228,96

7 571,04

2 418,32

5 152,72

25 076,24

7 571,04

2 006,10

5 564,94

19 511,30

7 571,04

1 560,90

6 010,14

13 501,16

7 571,04

1 080,09

6 490,95

7 010,21

7 571,03

560,82

7 010,21

De enkelte kolonner er beregnet således: Primo restgæld i termin 1 er lig hovedstolen A0. Primo restgæld i resten af terminerne lig med ultimo restgæld terminen før. Ydelsen er konstant og beregnet med formlen y = A0 ⋅

r −n 1 − (1 + r )

Renten er udregnet ved at tage tallet fra primo restgæld og gange med rentefoden på 8 %. Afdraget er udregnet som ydelse – rente. Ultimo restgæld er primo restgæld – afdrag.

22 Øvelse En familie optager et lån over 5 år med en hovedstol på 100 000 kr. Nedenfor ses amortisationstabellen. Termin

Primo restgæld

Rente

Afdrag

Ydelse

Ultimo restgæld

100 000,00

6 000,00

17 739,64

23 739,64

82 260,36

4 935,62

18 804,02

23 739,64

63 456,34

3 807,38

19 932,26

23 739,64

43 524,08

2 611,44

21 128,20

23 739,64

22 395,89

1 343,75

22 395,89

23 739,64

a. Bestem rentefoden på lånet ud fra amortisationstabellens første linje. b. Angiv afdraget på lånet i år 2. c. Eftervis hvordan ydelsen på 23 739,64 er beregnet vha. sætning 20.

23 Øvelse Et lån skal afdrages over 6 år og har en hovedstol på 50 000 kr. og en rentesats på 7 % p.a. a. Beregn ydelsen ved hjælp af formlen i sætning 20. b. Opstil en amortisationstabel over lånet.

12. Lån og opsparing

239

12.4 Annuitetslånets hovedstol, antal terminer og rentefod 24 Introduktion Sonja har råd til at undvære 3 000 kr. om året i 5 år og vil købe en Scooter. Hun tilbydes et lån med en ydelse på 3 000 kr.om året, og en renten på 10 % p.a. og 5 terminer. Hvor meget kan hun låne? Vi skal her se på, hvordan man bestemmer de øvrige tre størrelser som indgår i formlen til bestemmelse af ydelsen i annuitetslån. Endvidere ser vi på begrebet årlige omkostninger i procent ÅOP. Det gennemgås ved hjælp af eksempler. Og alle beregninger sker i CAS i stedet for at anvende finansielle formler.

Beregning af annuitetslånets hovedstol G 25 Eksempel Vi vil beregne, hvor meget Sonja kan låne med de betingelser, der er sat op i introduktionen. Vi indsætter i formlen fra sætning 20 y = G ⋅

r og løser ligningen i CAS: −n 1 − (1 + r )

solve(3000 = g * 0.1 / (1 – 1,1 ^ (–5)), g) → 11372.4. Hun kan altså tilbydes et lån med en hovedstol på kr. 11 372,40.

Beregning af antal terminer n

26 Eksempel

En mand ønsker sig brændende båden på billedet, som desværre koster 86 000 kr. Hvor mange terminer skal lånet løbe over, når han højst betale kr. 1300 pr. måned?

solve(1300 = 86000 * 0.01 / (1 – 1,01 ^ (–n)) , n) → 108,875

Altså skal hans lån løbe over 109 terminer. Det vil sige 109 måneder, hvilket svarer til 9 år og 1 måned.

Beregning af renten r 27 Eksempel En kommende ejer af en isbod mangler 100 000 kr. for at starte det hele op. Hun kan sidde for en ydelse på 2 000 kr. om måneden, og hun vil maksimalt afdrage lånet over 60 måneder. Hvilken månedlig rentefod kan der højst være på lånet for at det skal kunne lade sig gøre?

240

12. Lån og opsparing

Vi indsætter oplysningerne i Annuitetslånsformlen og løser i CAS: solve (100000 = (2000 * (1 + (1 + r) ^ (–60)))/r , r) | r > 0 Hun kan altså betale en rente på 0,006183 svarende til 0,6183 % pr. måned.

De årlige omkostninger i procent 28 Definition De ”årlige omkostninger i procent” forkortes ÅOP og er den reelle rentefod man betaler for sit lån, hvor alle gebyrer og stiftelsesomkostninger på lånet er regnet med.

29 Eksempel Du opretter et hurtigt lån i et supermarked på kr. 30 000. Renten på lånet er 4 % p.a. Der er et årligt administrationsgebyr på 300 kr. Renten det første år er kr. 30 000 · 0,04 = 1 200, men hertil skal lægges kr. 300 i administrationsgebyr. Du betaler altså kr. 1 500 det første år. Men kr. 1 500 er 1 500/30 000 = 0,05. Altså 5 %. Den reelle rente på lånet er altså 5 % det første år. Dvs. ÅOP er 5 % det første år.

30 Øvelse Et nyuddannet par vil købe ejerlejlighed i København. De vil finansiere købet med et 30-årigt lån med en fast rente på 3 %. De har råd til at sidde for 85 000 kr. om året. Hvor stort et lån kan de optage?

31 Øvelse To venner vil starte en mindre produktion af bycykler. De skal bruge 120 000 kr., og de regner med at kunne låne til en rente på 4 % p.a. De vil afdrage lånet på 5 år. Hvad bliver deres ydelse?

32 Øvelse I et lån er hovedstolen 60 000 kr., renten er 8 % p.a. og lånet skal afdrages på 10 år. a. Beregn den årlige ydelse. b. Opstil en amortisationstabel for lånet. c. Bestem restgælden efter 3 år.

33 Øvelse I et lån med en hovedstol på 10 000, en rente på 9 % er der et årligt administrationsgebyr på 100 kr. a. Bestem renteudgiften i kr. det første år. b. Bestem summen af renteudgiften og gebyret det første år. c. Bestem den reelle rente , altså ÅOP det første år.

12. Lån og opsparing

241

12.5 Frem- og tilbageskrivning

34 Introduktion

Hvis du skulle vælge mellem at få 500 000 kr. her og nu eller 520 000 kr. om to år, hvad vælger du så? 500 0

K1 1

K2 For 2

år

520 En

år

at vurdere de to muligheder i forhold til hinanden, kan vi udregne, hvad

500 000 kr. er værd om 2 år (med renteformlen). anden mulighed er, at udregne hvad 520 000 kr. om 2 år er værd i dag

(det kan man også bruge renteformlen til).

Der er flere årsager til, at man bør have en kompensation for at vente med at få penge, man ellers kunne have fået nu. Man kender ikke fremtiden og måske indtræffer der et eller andet (fysisk eller psykisk sygdom, død, arv) som gør at man ikke får glæde af pengene. Derudover er der næsten altid inflation (prisstigninger) og så mister man købekraft for pengene, hvert eneste år man venter med at få pengene. Det kunne jo også være, at man kunne have investeret pengene og fået et godt afkast hvert år. Det er man så gået glip af. Vi skal nu se på hvordan man udregner fremtidsværdien af et beløb man har nu, og nutidtidsværdien af et beløb man får i fremtiden. Vi bruger den tidligere indførte renteformel, men omdøber startkapital til nutidsværdi og slutkapital til fremtidsværdi.

35 Sætning a. Fremtidsværdien af et beløb K0 efter n terminer på kan beregnes med formlen K n = K0 ∙ (1 + r)n, hvis beløbet forrentes fast med rente r. b. N utidsværdien K0 af et beløb K n, der i n terminer er tilskrevet med renten r, kan beregnes med formlen: K0 = K n · (1 + r)–n.

36 Eksempel For at vurdere, om vi skal vælge 500 000 kr. nu eller 520 000 kr. om 2 år, bruger vi metoden med at tilbageskrive de 520 000 kr. fra 2 år inden i fremtiden tilbage til nutiden. Vi beslutter at fastætte ”vente-renten” til 4 % p.a. (p.a. står for pro anno altså pr. år), og modellerer situationen med kapitalfremskrivningsformlen: K n = K0 ∙ (1 + r)n K0: Startbeløbet K2: Slutbeløbet = 520 000 r: Renten r = 0,04 n: Antal terminer n = 2

242

12. Lån og opsparing

Vi indsætter og løser i CAS: s olve(520000 = K0 · (1,04) 2 , K0) → 480769,23 Altså svarer det at have 520 000 kr. om to år kun til at have 480 769 kr. i dag. Det kan dermed ikke betale sig at vente, når vi bruger en rente på 4 % p.a.

37 Eksempel En person sætter 50 000 kr. ind på en konto, der giver 2,5 % p.a. i rente. Bestem, hvor meget beløbet er vokset til om 4 år. Vi indsætter K0 = 50 000, r = 0,025 og n = 4 i kapitalfremskrivningsformlen: K4 = 50 000 · 1,0254 = 55 190,64. Der står altså 55 190,65 kr. på kontoen om 4 år.

38 Eksempel Om tre år får en person 125 000 kr. udbetalt fra en børneopsparing. Renteniveauet er 7 % p.a. Vi vil finde nutidsværdien K0 af de fremtidige penge K3 =125 000 kr. – og indsætter derfor beløbet i kapitaltilbageskrivningsformlen: K0 = 125 000 · (1,07)–3 = 102 037,23. Nutidsværdien er altså 102 037,23 kr.

39 Øvelse Et beløb på 10 000 kr. sættes ind på en opsparingskonto, der giver 3 % p.a. i rente. a. Bestem, hvor meget beløbet er vokset til efter 8 år.

40 Øvelse Om 5 år får en person 300 000 kr. udbetalt. a. Bestem, hvor meget dette beløb er værd i dag, når vi benytter en rente på 4 % som ”vente-betaling”.

41 Øvelse Om et år står der præcist 50 000 kr. på en opsparingskonto, hvor renten er fast 5 % p.a. a. Bestem nutidsværdien af de 50 000 kr.

42 Øvelse En husejer skal først om 10 år afdrage sin gæld på 8 000 000 kr. a. Anvend en rentesats på 2,5 % p.a. og beregn, hvor meget de 8 000 000 kr., han skal til at afdrage om ti år, er værd i dag. b. H vor meget bliver gælden mindre (som ved det rene trylleri), inden husejeren skal i gang med at afdrage på gælden?

12. Lån og opsparing

243

12.6 Gennemsnittlig rente

43 Introduktion

En person køber nogle investeringsbeviser og får 5 % i rente 1. år,

7 % i rente det andet år og 2% det tredje år. En anden person har købt aktier i Hennes og Mauritz og fået 4,8 % p.a. i aktieudbytte. Hvem af de to har tjent mest på 3 år? Det kan vi bruge nedenstående formel til at beregne.

44 Sætning Den gennemsnitlige forrentning af et beløb, der forrentes med r1 den første termin, r2 den anden termin, og r3 en tredje termin osv., er givet ved formlen: r = n (1+ r1 ) ⋅ (1+ r2 ) ⋅ (1+ r3 ) ⋅ ... ⋅ (1+ rn ) − 1, hvor n er det samlede antal terminer.

45 Eksempel Vi vil udregne den gennemsnitlige årlige ændring af personens investering i investeringsbeviserne der gav 5 % første år og 7 % andet år og 2 % det sidste år. Vi indsætter i formlen: r = n (1+ r1 ) ⋅ (1+ r2 ) ⋅ (1+ r3 ) ⋅ ... ⋅ (1+ rn ) − 1 og får: r = 3 (1+ 0,05) ⋅ (1+ 0,07) ⋅ (1+ 0,02) − 1 = 0,0465 Altså har den gennemsnitlige forrentning på investeringsbeviserne været 4,65 % pr. år. Og dermed lidt mindre end aktieudbyttet fra ejerskabet af aktierne i Hennes og Mauritz.

46 Eksempel

En bestemt landbrugsejendom oplever i 3 år meget svingende ejendomsvurderinger. Det ene år stiger den 17 %, det næste stiger den 4 %, men falder så 10 % det tredje år. Vi vil udregne den gennemsnitlige årlige ændring i vurderingen og indsætter i formlen fra sætning 12:

244

12. Lån og opsparing

r = 3 (1+ 0,17) ⋅ (1+ 0,04) ⋅ (1− 0,10) − 1 = 0,0308 Altså har den gennemsnitlige forrentning været cirka 3%.

47 Øvelse En tøjforretning forrenter den af ejeren indskudte kapital med 21 % år 1 og 6 % i år 2, men der er et tab på 19 % år 3. a. Beregn den gennemsnitlige stigning pr. år for de tre år. b. Beregn den gennemsnitlige stigning pr. år for de to første år.

48 Øvelse En virksomheds succes kan bl.a. måles på, hvor god den er til at forrente den indskudte kapital. (dvs. evne til at få ejernes penge til at yngle). En virksomhed oplyser følgende tal.

År Forrentning

2015

2016

2017

5 %

–7 %

12 %

a. Udregn den gennemsnitlige årlige forrentning gennem de tre år. b. E n bank tilbyder 5,3 % i rente p.a. på nogle obligationer. Havde det været bedre, om virksomhedsejerne havde købt obligationer i stedet for at drive virksomhed i de tre år?

49 Bevis for sætning 44 Slutkapitalen K n af af en startkapital K0, der i første termin har renten r1 og i anden termin har renten r2 , i tredje har renten r3 osv. frem til den n’te termin med renten rn , kan skrives sådan: K n = K0 · (1+ r1) · (1+ r2) (1+ r3)… (1+ rn) Hvis renten i stedet havde været den samme i alle n terminer, havde vi anvendt kapitalfremskrivningsformlen til beregning af slutkapitalen: K n = K0 · (1 + r)n Vi sætter de to udtryk for K n lig hinanden: K0 · (1 + r)n = K0 · (1+ r1) · (1+ r2) (1+ r3)… (1+ rn) Nu isolereres r ved at der først divideres med K0 på begge sider. (1 + r)n = (1+ r1) · (1+ r2) (1+ r3)… (1+rn) Herefter uddrages den n’te rod på begge sider 1+ r = n (1+ r1 ) ⋅ (1+ r2 ) ⋅ (1+ r3 ) ⋅ ... ⋅ (1+ rn ) Herefter trækkes 1 fra på begge sider: r = n (1+ r1 ) ⋅ (1+ r2 ) ⋅ (1+ r3 ) ⋅ ... ⋅ (1+ rn ) − 1 Vi er nu kommet frem til det, vi skulle vise, så beviset er slut.

12. Lån og opsparing

245

12.7 Nominel og effektiv rente

50 Introduktion Eksempel

En kursist på 18 år vinder 25 000 kr. i et lotteri. Når hun er blevet HF-student, vil hun gerne bo et par måneder i London. Hun sætter derfor pengene i en højrisiko investeringsforening, der lover en månedlig rente på 1 %. Hvor mange penge har hun efter et år? Vi får svaret ved at indsætte i kapitalfremskrivningsformlen: K12 = 25 000 – (1 + 0,01) = 28 170,63. Altså har hun kr. 28170,63 efter et år. Men hvor meget er beløbet steget i procent på det år? For at bestemme det, skal vi løse ligningen 28 170,63 = 25 000 · (1 + r): solve(28 170,63 = 25 000 · (1+r),r) → 0,1268 Hendes årlige rente er altså 12,68 %. I opslaget her skal vi se på nogle begreber og formler til at håndtere situationer, hvor rentefoden udtrykkes i forhold til forskellige tidsperioder.

51 Definition Den nominelle rente er den indgåede aftales pålydende rente. Den effektive rente er den faktiske årlige rente, der modtages eller betales.

52 Eksempel Elevens investering nævnt i introduktionen er 1 % pr. måned, eller ”12 % p.a. tilskrevet månedligt”. Den effektive rente er 12,68 %.

53 Sætning Den effektive rente kan udregnes med formlen reffektiv = (1 + r)k –1 , hvor k betegner antal terminer pr. år, og r er den nominelle rente.

54 Eksempel En person får 2 % i rente hver 3. måned. hvilket svarer til at få 8,24 % pr. år. Her er den nominelle rente 2 % og den effektive rente er 8,24 %.

55 Eksempel En person får 1 % i rente hver 3.måned. Den nominelle rente er 1 % hver 3. måned. Der tilskrives rente 4 gange om året. Den effektive rente udregnes således: reffektiv = (1+ 0,01)4 − 1 = 0,0406 . Den effektive rente pr. år er altså 4,06 %

246

12. Lån og opsparing

56 Eksempel Et kreditgivningsselskab tilbyder et lån, hvor renten er 5,3 % pr. kvartal. Der er fire kvartaler på et år, så vi indsætter k = 4 og r = 0,053 reffektiv = (1 + 0,053)4 –1 = 0,2265. Den effektive rente er altså cirka 23 %

57 Øvelse Investeringsforeningen Kuul-invest lover en rente på 6 % pr. halvår i deres salgsmateriale. a. Hvilken effektiv rente svarer det til? Du skal lave noget marketingmateriale for Kuul-invest, hvor størrelsen af den nominelle rente og den effektive rente skal formidles til kunderne. b. Hvilken nominel rente tilbyder Kuul-Invest?

58 Øvelse Kuul-invest har et andet produkt, hvor de tilbyder en forrentning på 0,8 % i rente pr. måned. a. Bestem den nominelle rente. b. Udregn den effektive rente.

59 Øvelse SafeandSecure-invest konkurrer med Kuul-invest og reklamerer med 2,5 % i rente pr. kvartal. a. Hvad er den nominelle rente? b. Udregn den effektive rente. c. Hvilken forening har det bedste tilbud?

60 Bevis for sætning 53 K n = K0 (1 + reffektiv)

Sådan ville vi beregne K n, hvis der var én enkelt termin med renten reffektiv.

K n = K0 (1 + r)k

Kapitalfremskrivningsformlen opskrevet med k terminer.

K0 (1 + reffektiv) = K0 (1 + r)k Første og anden linje er begge lig Kn. De sættes lig hinanden. (1 + reffektiv) = (1 + r)k reffektiv = (1 + r)k –1

Vi har divideret med K0 på begge sider. Vi har trukket 1 fra på begge sider.

Vi har opnået det, vi skulle. Beviset er slut.

12. Lån og opsparing

247

Opgaver – 12. Lån og opsparing Opgave 1201

Opgave 1205

En investeringsforening lover 9 % i årligt afkast.

En opsparing skal ende med at være på 55 000 kr.

Familien Jensen indbetaler 60 000 kr. pr. år i syv

Renten er 3% p.a., og indbetalingen er 7 800 kr.

år til investeringsforeningen, som holdt hvad den

pr. år.

lovede.

a. Hvor mange år vil det tage at nå op på

a. Bestem slutbeløbet umiddelbart efter den 7. indbetaling. b. Hvor meget var pengene blevet til, hvis inves-

55 000 kr. ? Opspareren overvejer et alternativ, hvor renten er 0,3% pr. måned og indbetalingen er 900 kr. om

teringsforeningen havde kunnet generere 10 %

måneden.

i årligt afkast?

b. Hvor lang tid vil det tage med disse betingelser at nå op på 55 000 kr.?

Opgave 1202 Der indsættes 5 000 kr. om året på en konto med

Opgave 1206

en garanteret rente på 3 % p.a.

Saldoen på en opsparingskonto skal ende med at

a. Hvor meget står der umiddelbart efter den 7. indbetaling?

være på 10 000 kr. Renten er 2% p.a., og indbetalingen er 700 kr. pr. år. a. Hvor mange år vil det tage at nå op på

Opgave 1203

10 000 kr. ?

Der indsættes 8 000 kr. om året på en konto med

Opspareren overvejer et alternativ, hvor renten er

en garanteret rente på 7 % p.a.

0,15% pr. måned og indbetalingen er 250 kr. om

a. Hvor meget står der efter 12 år?

måneden. b. Hvor lang tid vil det tage med disse betingelser

Opgave 1204

at nå op på 10 000 kr.?

En familie sparer op til drømmebåden, som de vil sejle jorden rundt i. De har regnet ud, at de skal

Opgave 1207

spare 400 000 kr. op, og de vil af sted om seks år. De regner med at sætte pengene i virksomhedsobligationer, som burde give et afkast på cirka 0,6 % pr. måned. a. Bestem deres månedlige indbetaling. Familien indser, at de har sat sig for hårdt. De har maksimalt råd til en indbetaling på 3 000 kr. pr. måned. b. Bestem antal måneder, der nu vil gå, før de har de 400 000 kr.

En virksomhed skal bruge noget kapital til en udvidelse af produktionen med en række mobile knusere. De vil helst ikke låne yderligere, da de allerede har en betragtelig gæld, så de beslutter sig for at udskyde købet, til de har sparet op. Indkøbet vil koste 19 mio. kr. og de regne med at kunne sætte 1 mio. kr. til side hvert år.

248

12. Lån og opsparing

a. Bestem det antal terminer, som opsparingen vil tage, hvis renten er 1,7 %. p.a. b. Bestem det antal terminer, som opsparingen vil

Opgave 1211 Et lån på 40 000 kr. betales tilbage over 36 terminer med en rente på 0,8% pr. termin.

tage, hvis de kan få en rente på 4,3 % p.a.

a. Gør rede for, at ydelsen er 1 283,19 kr. pr. termin.

Virksomheden får pludseligt travlt med indkøbet

b. Bestem ydelsen, hvis renten havde været 0,6%

grundet en intensivering af konkurrencen. De er

pr. termin i stedet.

nødt til at have opsparingen klar allerede om fem år. c. Hvad bliver indbetalingen med den lave rente på 1,7 % p.a.? d. Hvad bliver indbetalingen med den høje rente på 4,3 % p.a.?

Opgave 1212 En familie låner 150 000 til en bil. De betaler 39 000 kr. om året til autoforhandleren, der har ydet lånet, og det første år er renteudgiften 18 000 kr. a. Hvor stor var ydelsen?

Opgave 1208 (fortsættelse af opgave 1207)

b. Hvor stort var afdraget?

Ledelsen indser, at der overhovedet ikke er tid til at vente med investeringen. De går til bestyrelsen,

Opgave 1213

hvor de får lov til at optage yderligere gæld, hvis banken går med til det. Banken tilbyder virksomheden et lån på 19 mio. kr. til en rente på 7,5 % pr. år. a. Bestem indbetalingen, hvis lånet skal afdrages over 15 år. b. Bestem indbetalingen, hvis lånet skal afdrages over 12 år.

Ejeren af en Peugoet RCZ 1,6 til 500 000 kr. afskriver bilen med 25% pr. år.

Opgave 1209

a. Bestem værdien efter seks år.

En familie sparer 500 kr. op om måneden på en

Han havde finansieret sit køb med et lån over

konto med en garanteret rente på 5% p.a.

72 måneder med en månedlig rente på 0,3%

a. Hvor meget indbetales pr. år?

b. Bestem ydelsen på lånet.

b. Hvor meget står på kontoen efter 36 ind-

c. Bestem restgælden efter 36 måneder.

betalinger?

d. Hvis bilen sælges til afskrivningsværdien efter 36 måneder, kan lånet så indfries for pengene?

Opgave 1210 En familie sparer 1.500 kr. op om måneden på en

Opgave 1214

konto med en garanteret rente på 4% pr. år.

Ydelsen på et lån er 4 000 kr. om året. Renten er

a. Hvad svarer den årlige rente til pr. måned?

5% p.a. Løbetiden er syv år.

b. Hvor meget står på kontoen efter 36 indbeta-

a. Hvor stor er hovedstolen?

linger? Opgave 1215 Et lån med 8% rente pr. år og en løbetid på 10 år har en ydelse på 10 000 kr. om året. a. Hvor stort er lånet?

12. Lån og opsparing

249

Opgaver – 12. Lån og opsparing Opgave 1216 En yngre aktuar arbejder meget og tjener godt.

a. Gør rede for, at lånet er vokset til 842 418,25 kr. pr. 1. januar 2013.

Så godt, at han planlægger at spare 2 000 000 kr.

Nu vil virksomheden begynde at afdrage gælden

op i løbet af otte år. Hans bank tilbyder 3,4 % i

over 16 lige store ydelser, og den første falder den

rente p.a.

1. april 2014. Renten er 1,2 % pr. kvartal.

a. Bestem ydelsen.

b. Bestem ydelsen.

Aktuaren nåede sit mål og planlægger herefter at flytte til Indien, hvor han mener at kunne leve for

Opgave 1219

175 000 kr. om året. b. Hvor mange år kan han leve for de 2 000 000 med en ydelse på 175 000, hvis renten er uændret? c. Hvor mange år kan han leve for de 2 000 000 med en ydelse på 175 000, hvis renten kan presses op på 5% p.a.? Opgave 1217

Et byggelån på 1 500 000 kr. optages 1. januar

Rentesatsen på et lån, som familien Levander

2010 for at bygge dette smukke udendørs rum.

netop har optaget, er på 0,4 % pr. måned. De har

Der betales ikke ydelse på lånet de første fem år.

lånt kr. 90 000 og skal betale 1 476 kr. om måneden

Men det tilskrives en rente på 1,1% pr. kvartal.

i ydelse.

a. Gør rede for, at lånet er vokset til 1 710 429,30 kr.

a. Bestem det antal terminer, som lånet løber over.

pr. 1. januar 2013.

Familien overvejer forskellige muligheder. Blandt

Nu vil ejerne begynde at afdrage gælden over 30

andet at sætte forbruget lidt ned for at få ydelsen

år. Renten er uændret 1,1% pr. kvartal.

lidt op og gælden afdraget hurtigere.

b. Bestem antallet af kvartaler, lånet vil løbe over.

b. Bestem det antal terminer lånet vil løbe over,

c. Bestem den kvartalsvise ydelse.

hvis de kan betale 2 000 kr. pr. måned. Familien overvejer også at skifte til nabobanken,

Opgave 1220

der kan tilbyde en rente på 0,35 % pr. måned. Men

Et lån på 500 000 kr. optages 1. januar 2009. Lånet

de ved ikke rigtigt, om det er værd at skifte for så

er afdragsfrit de første tre år, men der tilskrives ren-

lille en forskel.

ter på 0,2% pr. måned, og de skal betales løbende.

c. Bestem det antal terminer, lånet vil løbe over,

a. Bestem den månedlige renteudgift.

hvis de skifter bank men beholder ydelsen på

Låntageren regner med, at inflationen er 2,5%

de 1 476 kr. pr. måned.

p.a., og overvejer om det er mere eller mindre end

d. Bestem også det antal terminer, lånet vil løbe

renteudgiften.

over, hvis de skifter bank og beholder ydelsen

b. Bestem den effektive rente på lånet.

på de 2 000 kr. pr. måned.

c. Sammenlign rentesatsen med inflationen. Efter de tre første år er gået, skal gælden afdrages

Opgave 1218

over 17 år, sådan at lånet i alt løber i 20 år.

Et byggelån på 800 000 kr. optages 1. januar 2012.

d. Bestem antallet af resterende måneder.

Der afdrages ikke, men lånet tilskrives en rente på

e. Bestem ydelsen pr. måned, idet renten holdes

1,3 % pr. kvartal.

250

12. Lån og opsparing

konstant lig med 0,2% pr. måned.

Opgave 1221

Opgave 1224

Et lån på 300 000 kr. optages 1. januar 2012. Lånet

Nedenfor er en tabel. Den passer med to af de

er afdragsfrit de første to år, men der tilskrives ren-

tre følgende problemstillinger. Forklar for hver af

ter på 0,7% pr. kvartal, og de skal betales løbende.

dem, hvorfor den passer eller ikke passer.

c. Bestem den kvartalsvise renteudgift.

a. En person sparer 6 000 kr. op over en 3-årig periode.

Efter præcis to år påbegyndes afdraget af lånet med en ydelse på 15 000 kr. pr. kvartal.

b. En person betaler en gæld på 6 000 kr. af over en 3-årig periode.

d. Bestem antallet af terminer (kvartaler), som det vil tage at afdrage lånet.

c. En person får udbetalt et beløb på 6 000 kr. over en 3-årig periode.

e. Beregn, om restgælden er 166 859,71 kr. eller 164 695,42 kr. pr. 1.juli 2017.

Termin

Kapital primo

Ydelse

Rente

Ændring i kapital

Kapital ultimo

Et hightech iværksættergruppe har mødt hinanden

6000,00

2203,25

300,00

1903,25

4096,75

på matematisk institut. Deres forretningside kræver

4096,75

2203,25

204,84

1998,41

2098,34

en startkapital på 2 400 000 kr., og de får et tilbud

2098,34

2203,25

104,92

2098,33

0,00

Opgave 1222

fra en bank, hvor den månedlige rente er 0,4 %. a. Vis, at den effektive rente er 4,91 %.

Opgave 1225

De vælger at acceptere tilbuddet om at låne de

Line har sparet 60 000 kr. op. Pengene står på en

2 400 000 kr.

konto, der giver 3% p.a. i rente.

b. Bestem ydelsen, under forudsætning af at de

Hun vil nu have dem udbetalt over fire år med en

afdrager lånet på fem år (60 måneder). c. Bestem ydelsen, under forudsætning af at de

fast ydelse. a. Hvad bliver ydelsen?

afdrager lånet på 10 år (120 måneder). De unge gutter er ikke helt tilfredse og regner lidt

Opgave 1226

mere på tilbuddet. De finder ud af, at de vil betale

En bankansat har sparet op til sin pension ved at

en ydelse på 28 757 kr. i 100 måneder.

indbetale 7.000 kr. om måneden på en pensions-

d. Bestem den rente, de har forudsat i deres ud-

ordning, der giver 0,6% i rente pr. måned.

regning.

a. Hvor meget står der på pensionsordningen efter 25 år?

Opgave 1223

Pengene flyttes efter de 25 år over på en konto,

Hansine låner til en husbåd. I tilbuddet fremgår

der giver 3% p.a. Og de bliver nu udbetalt med

det, at den månedlige rente er 0,56 %.

fast ydelse de efterfølgende 10 år.

a. Vis, at den effektive rente er 6,93 %.

b. Bestem denne ydelse.

Hansine vælger at låne 550 000 kr. Ydelsen bliver så 4 172,20 kr. pr. måned med de 0,56% i månedlig rente. b. Bestem antallet af ydelser hun skal betale.

12. Lån og opsparing

251

Opgaver – 12. Lån og opsparing Opgave 1227

Hun indhenter et andet tilbud fra en anden bank,

Line har oprettet en pensionsopsparing, der giver

som sender hende den nedenstående amortisa-

0,3 % i rente pr. måned. Hun indsætter hver må-

tionsplan.

ned 4500 kr., og der er nu gået 35 år.

b. Hvilken årlig rente tilbyder denne bank?

a. Gør rede for, at opsparingen er blevet til

c. Bestem størrelsen af den sidste ydelse.

5 277 833,67 kr. Pengene skal nu udbetales, med fast årlig ydelse i

Termin

Kapital primo

Ydelse

Rente

Afdrag

Kapital ultimo

15 år. Renten er nu 6 % p.a.

24000,00

4728,42

1200,00

3528,42

20471,58

b. Bestem ydelsen.

20471,58

4728,42

1023,58

3704,84

16766,74

4728,42

838,34

3890,08

12876,66

4728,42

643,83

4084,59

8792,07

4728,42

439,60

4288,82

4503,25

Opgave 1228 a. Tegn den nedenstående amortisationstabel af og udfyld de manglende felter.

b. Tilpas beløbene i den nederste linje, så restgælOpgave 1230

den ender på 0.

Tabellen nedenfor viser de første seks terminer i Termin

Restgæld Ydelse primo

Rente

Afdrag

40000,00

2000,00

7238,99

32761,01

9238,99

1638,05

3 5

32761,01 25160,07

7980,99

Restgæld ultimo

17179,08

858,95 8799,05

439,95

8799,04

0,01

en amortisationsplan for et annuitetslån. Ter- Kapital

Ydelse

Rente

Afdrag

Kapital ultimo

100000,00

17775,75

8000,00

9775,75

90224,25

17775,75

4511,21

13264,54

76959,71

17775,75

3847,99

13927,76

63031,95

min

primo

1 2 4

63031,95

17775,75

3151,60

14624,15

48407,80

Opgave 1229

48407,80

17775,75

2420,39

15355,36

33052,44

En ung kvinde vil starte et sandwich udsalg. Hun

mangler 24.000 kr. til en sandwich counter og vil

låne til det. Banken tilbyder et lån med en rente på 8 % p.a. Lånet skal betales tilbage over seks

a. Bestem lånets hovedstol.

årlige terminer.

b. Bestem lånets ydelse.

a. Bestem den årlige ydelse.

c. Bestem lånets rentefod pr. termin. d. Bestem restgælden umiddelbart efter den 6. ydelse er betalt. e. Tegn en tabel med de tre nederste linjer, idet du selv udfylder de to nederste.

252

12. Lån og opsparing

Opgave 1231

Opgave 1235

a. Tegn amortisationstabellen af og udfyld de

En studerende låner de to første år af sine studier. Hun får udbetalt 3 100 kr. pr. måned i 24 måneder.

manglende felter. b. Forklar, hvorfor sidste ydelse er to ører højere

Renten på lånet er 0,3% pr. måned. a. Bestem hvor meget den studerende skyldte

end de øvrige.

umiddelbart efter den sidste indbetaling. Termin

Restgæld primo

Ydelse

Rente

Afdrag

Restgæld ultimo

12000,00

1856,66

600,00

1256,66

10743,34

537,17

1319,49

9423,85

b. Hvor meget er gælden steget til?

471,19

1385,47

3 4

1856,66 8038,38

1454,74

5 6

Tre år senere har den studerende stadig ikke betalt noget af lånet tilbage. Renten er uændret. Den studerende får sig straks et job og begynder

6583,64

at afdrage gælden.

5056,16

c. Hvor stor bliver ydelsen, når den tidligere studerende vil have gælden afdraget over fire år?

5056,16

1856,66

252,81

1603,85

3452,31

1768,26

1856,68

88,41

1768,27

0,00

7 8

Opgave 1236

Opgave 1232 Et annuitetslån på 600 000 og en rente på 11 % p.a. skal afdrages over 20 år. a. Hvad bliver den årlige ydelse? Familien der optog lånet overvejer at indfri det allerede efter seks år, fordi de har arvet.

En hi-fi entusiast forelsker sig i en grammofon til

b. Hvor stor en restgæld er der på det tidspunkt?

70 000 kr. Forhandleren tilbyder en afdragsordning med en rentesats på 1% pr. måned og en

Opgave 1233

fast månedlig ydelse i 36 måneder.

En velhavende person låner penge ud på følgende

a. Bestem den månedlige ydelse.

betingelser: Rentesats 8 %, og 600 kr. i årligt admi-

b. Bestem den effektive rente.

nistrationsgebyr.

Umiddelbart efter den 20. ydelse er betalt, ønsker

a. Hvad bliver de årlige omkostninger i procent

entusiasten at indfri lånet.

det første år, hvis der lånes 75 000 kr.?

c. Hvad er restgælden på det tidspunkt?

Opgave 1234

Opgave 1237

Et lån med en rentesats på 5% p.a. pålægges et

En virksomhed lever af at tilbyde pantebreve til

bidrag på 0,7% p.a.

husejere, der ikke kan låne i banken. Pantebrevene

a. Hvad bliver de årlige omkostninger i procent?

har en pålydende rente på 9% p.a., men dertil kommer et årligt administrationsgebyr på 1 200 kr., og en ”bidragssats” på 0,4% p.a. a. En person låner 180 000 kr. Hvad bliver de årlige omkostninger i procent (ÅOP) det første år? b. En anden låner 18 000 kr. Hvad bliver de årlige omkostninger i procent (ÅOP) det første år?

12. Lån og opsparing

253

Opgaver – 12. Lån og opsparing Opgave 1238 (fortsættelse af opgave 1237)

Opgave 1242

En midaldrende kvinde skal bruge 100 000 kr. og

Efter Johannes blev student, arbejdede han to år

indgår kontrakt med virksomheden i opgave 6100

for at tjene penge til at kunne læse et treårigt stu-

om at gælden skal afdrages over 10 år.

die i USA. Han sparede 4 000 kr. op om måneden

a. Opstil en amortisationstabel for de tre første år.

på en konto, hvor den månedlige rente var 0,3%.

b. Hvad er de årlige omkostninger i procent det

a. Bestem indeståendet umiddelbart efter den

andet år?

sidste indbetaling.

c. Hvad er ÅOP i det tredje år?

Han starter på studiet og får udbetalt sin opspa-

d. Hvorfor stiger ÅOP, efterhånden som tiden går?

ring i lige store månedlige rater. Renten er uændret 0,3% pr. måned.

Opgave 1239

b. Bestem den ydelse, han får udbetalt pr. måned.

En familie overvejer at starte en mindre virksomhed. Budgettet holder kun, hvis den årlige ydelse

Opgave 1243

højst er kr. 60 000.

Hovedstolen til et annuitetslån kan beregnes med

a. Hvad kan de maksimalt låne, hvis rentesatsen

formlen:

er 4% p.a.? er 5% p.a.?

1 − (1 + r ) r

−n

  (1 + r)6 solve  10000 = 1200 ⋅ ,r  r  



b. Hvad kan de maksimalt låne, hvis rentesatsen

A0 = y ⋅

r = 0.130505

Denne ligning er indtastet i en Solve kommando Opgave 1240

på et CAS-værktøj med tre af størrelserne indsat.

Et ungt par afbetaler på et billån over otte år med

Du bedes bestemme:

en fast rente på 7% p.a. De synes renten er lidt høj

a. Hovedstolen på lånet.

og overvejer at skifte til et andet lån. De tog lånet

b. Antal terminer lånet løber over.

med en hovedstol på 90 000 kr. for præcist tre år

c. Ydelsen på lånet.

siden.

d. Renten på lånet.

a. Hvad er deres restgæld i år tre? b. Hvad er deres ydelse nu?

Opgave 1244

c. Hvad bliver ydelsen, hvis de optager et lån med

En bank tilbyder en af sine stamkunder følgende

en fast rente på 4% ? d. Kan det betale sig for dem at skifte, når banken

lån, da kunden vil starte sin egen virksomhed. Hovedstol: kr. 200 000, afdragstid: fem år,

tager 4% af restgælden og 1200 kr. i gebyr for

rente: 10% p.a.

at skifte?

a. Udregn ydelsen. b. Opstil en amortisationstabel.

Opgave 1241 Et forældrepar har sparet op, så de kan støtte de-

Opgave 1245

res datters uddannelse. Da hun starter på studiet,

En investering på 10 000 kr. stiger det ene år

står der 105 000 kr. på kontoen. Renten er 0,4%

100%, og falder det andet år 100%.

pr. måned. Hun får udbetalt lige store beløb hver

a. Hvor meget er det blevet til efter de to år?

måned i de tre år, studiet varer. a. Bestem den ydelse, hun får udbetalt pr. måned.

254

12. Lån og opsparing

Opgave 1246

Opgave 1250

Tre unge aktieanalytikere konkurrerer om det

I Berlingske Bussiness 13. januar 2009 stod føl-

bedste afkast over en periode på tre år.

gende:

Person A tjente 23 % det første år, 14 % det næste

"En kursstigning på aktiemarkederne på 60 procent

og tabte så 2% det sidste år.

ét år efterfulgt af kurstab på 40 procent giver en årlig,

Person B tjente 95 % det første år, men tabte 20%

gennemsnitlig kursstigning på ti procent. Men faktisk

p.a. i gennemsnit på de to sidste år.

er investeringen i kroner og øre faldet – 100 kroner er

Person C’s investeringer steg 32 % over perioden

blevet til 96 kroner."

på de tre år.

a. Er det sandt?

a. Lav en benchmarking af grupperne efter deres

b. Hvad menes med vendingen ”… giver en årlig,

evne til at investere.

gennemsnitlig kursstigning på ti procent”?

Opgave 1247

Opgave 1251

En investering på 4 000 000 kr. stiger 18 % det

To tidligere husejere mødes i himlen og praler af,

første år, og falder så 18 % året efter.

hvor meget deres huse var værd. Den enes hus

a. Hvor meget er det blevet til?

blev solgt for 4 200 000 kr. i 2006, og den andens hus blev solgt for 3 700 000 i 1995. Inflationen i

Opgave 1248

den periode har været 3% i gennemsnit.

En investeringsforening tjente 12 % på sine inve-

a. Hvem har haft det dyreste hus, den ene eller

steringer i 2007, tabte 28 % på sine investeringer i

den anden?

2008, men tjente 59% i 2009. a. Hvad var den gennemsnitlige årlige fortjeneste i procent på de tre år?

Opgave 1252 Du skal spare 1 000 kr. op på et år, og skal vælge mellem to tilbud:

Opgave 1249

Bank A: 12% i rente pr. år. og Bank B: 1% i rente pr. måned. Du opstiller to regnestykker: i. 1.000 · (1 + r)12 = K12 ii. 1.000 · (1 + r)1 = K1 a. Hvilket regnestykke svarer til hvilken bank? b. Udregn de to regnestykker med de indsatte værdier fra bankerne.

Du arver din mosters guldsmykker, og guldprisen stiger året efter 20 %, så du vælger at se tiden an og sælger ikke. Næste år stiger deres værdi med

c. Forklar i ikke-matematisk sprog, hvorfor de to udregninger ikke giver samme tal. d. Brug formlen i sætning 29 til at udregne, hvil-

12 %, og i det tredje år med 3 %.

ken månedlig rente man skal have, for at det

a. Hvad har den gennemsnitlige årlige stigning i

svarer til, at man præcist fik 12% pr. år.

procent været?

12. Lån og opsparing

255

Opgaver – 12. Lån og opsparing Opgave 1253

Opgave 1259

Renten på en bestemt konto er 2 % pr. kvartal.

Et stående lån er et lån, der ikke afdrages på

a. Hvilken effektiv rente svarer det til?

løbende. I stedet forfalder hele restgælden til betaling på et bestemt fremtidigt tidspunkt

Opgave 1254

(man betaler dog løbende de renter, der påløber

Renten på en konto er 0,5 % pr. måned.

gælden).

a. Hvilken effektiv rente svarer det til?

Simon optager et stående lån på 10 000 kr., der først skal tilbagebetales om fem år. Grundet infla-

Opgave 1255

tionen bliver pengene mindre og mindre værd. Vi

Bank A tilbyder sine kunder, at de får 9 % i rente

regner med 2,5% inflation p.a. i perioden.

på tre år, hvis de binder pengene i tre år.

a. Bestem nutidsværdien af de 10 000 kr. som han

Bank B tilbyder sine kunder, at de får en rente

skal betale om fem år?

svarende til 6 % hvert andet år, hvis de binder

Tatiana fra Rusland får samme ide. Specielt fordi

pengene i tre år.

inflationen i Rusland er omkring 7% p.a.

Bank C tilbyder sine kunder, at de får 0,2% pr.

b. Bestem nutidsværdien af de 10 000 rubler, der

måned i rente, hvis de binder pengene i tre år. a. Beregn den effektive rente pr. år for de tre bankers tilbud.

forfalder om fem år? Endelig har vi Konomi fra Japan. Hun hører om de to andre og gør det samme. Imidlertid har Japan deflation (pengene bliver mere og mere værd) på

Opgave 1256

omkring 2% p.a. i den periode, hun har lånet.

Bestem den effektive rente, når den nominelle

c. Bestem nutidsværdien af de 10 000 yen, der

rente er:

forfalder om fem år?

a. 1% pr. måned b. 1,4% pr. måned

Opgave 1260

c. 2% pr. kvartal

a. Et beløb på nu 6 000 kr. var de seneste fire år

d. 0,9% pr. kvartal e. 5% pr. 2 år

blevet forrentet med 3% p.a. Hvad blev der indsat for fire år siden? b. Et beløb skal om fire år være steget til 6 000 kr.

Opgave 1257 Et et-årigt lån starter med at have en månedlig

Du får 3% p.a. Hvad skal du indsætte? c. I EU-zonen er inflationen ca. 3%. En vare der

rente på 1% de første seks måneder, herefter sti-

koster 6 000 kr. i dag kostede altså færre kroner

ger den til 1,3% pr. måned de sidste seks måneder

for fire år siden. Hvad kostede den i kroner for

a. Bestem den gennemsnitlige månedlige rente.

fire år siden?

b. Bestem den effektive rente. Opgave 1261 Opgave 1258

a. Om et år skal der stå 3 500 kr. på en konto, hvor

En investering på 15 000 kr. vokser 1 % pr. måned

man får 9% p.a. Hvad skal der indsættes nu?

i seks måneder. Herefter vokser investeringen 3 %

b. En forfatter får 3 500 kr. udbetalt om præcist et

pr. kvartal i to kvartaler.

år. Inflationen er 9% p.a. Hvad er nutidsværdien

a. Bestem værdien af investeringen efter et år.

af pengene?

b. Bestem den samlede gevinst i procent.

c. En forfatter får 67 000 kr. udbetalt om præcist

c. Bestem den gennemsnitlige månedlige rente.

et år. Inflationen er 6% p.a. Hvad er nutidsvær-

d. Bestem den effektive rente.

dien af pengene?

256

12. Lån og opsparing

Opgave 1262 Beregning af fremtidsværdi af et nutidsbeløb. Iben og Jens sætter 150 000 kr. i nogle investeringsbeviser, der lover et årligt afkast på 12 %. De har tænkt sig at binde pengene i otte år, og derefter købe en kæmpestor BMW, der brugt koster 400 000 kr. a. Bliver der råd til bilen? b. Hvis der gør, hvor meget har de så sat for meget ind til start? c. Hvis der ikke gør, hvor meget har de så sat for lidt ind til start?

12. Lån og opsparing

257

Opgaver - Kapitalfremskrivning Facitliste

1. Modeller og variable

25 a. Der er flere rigtige svar fx

Vægt

a. 240 = 32x b. x = 7,5

8 a. Alderen kaldes x (måles år) Alder

b. Hundes alder er x – 8 år c. Sum af alder er x + x – 8 d. 2x – 8 = 30

Vægten stiger, når man vokser, og til sidst skrum-

e. x = 19

per mange i alderdommen.

f. Du er 19 år, og hunden er 11 år.

Årsløn

15 a. 2 er løsningen, fordi 2 · 4 = 8 b. 5 er ikke løsningen, fordi 2 · 5 = 10 og ikke lig med 8. Alder

16 a. x = 4

Som barn er der ingen eller lille løn, som teenager

b. x = 1

mere, voksen endnu mere og på pension måske

c. x = –1

mindre igen.

a. x = 2

a. Når prisen (y) falder, er der flere (x), der vil købe produktet.

18 a. Der er mange rigtige svar fx 2x – 1 = 5

27 Der er flere forskellige rigtige svar fx

a. 1,7 time

a. Vi kunne eksempelvis regne med 30 000 dage

b. 1 333 skridt på en km.

a 2,5 liter.

c. 6 min, medmindre der er meget trafik

Dette vil give 75 000 liter.

eller stoplys.

En absolut forskel på 75 000 – 70 000 = 5 000 liter.

33 a. Grafen ligger i kvadrant I og III. 34. x f(x)

258

Facit

–1 –3

0 0

1 3

2 6

3 9

a. a = 280 og b = 240

b. 5 280 kr.

f(x) = 2x – 3

6 4

2 0 –2

–2

0 2

a. a = 10 og b = 15

10 12 14 16 18

b. 10 kr. pr. km

–4

c. 15 kr. d. Ja (den vil koste 65 kr.).

2. Lineære funktioner

25 a. O = 201 cm

9 a.

–1

f(x)

–2

26 a. O = 4x b. Ja.

27 a. O = x + 5 + x + 5 = 2x + 10

b. Ja.

28 a. f(x) = 0,15x 2

b. 6,67 timer eller 6 timer og 40 minutter.

a. f(x) = 3x

a. f(x) = 15x + 75

b. f(x) = 10,5x , hvor x er antal liter, og f(x) er den

b. x = 5.

samlede pris

Dvs. 500 gram mad.

c. f(x) = 1,2x , hvor x er antal skridt, og f(x) er den tilbagelagte afstand i m d. f(x) = –5x + 200, hvor x er antal minutter efter

36 a. –

proppen er taget ud, og f(x) er antal liter i

b. a = 6,48 og b = 6,79

badekarret.

c. 65,11 $ d. Den lineære tendens virker overbevisende i

koordinatsystemet. Men pas på. Den lineære

a. a = 2 og b = 1

tendens kan ikke antages at fortsætte ud over

b. a = 6 og b = –7

årene i tabellen (2009-2014).

17 a. a = 5 og b = 2 b. b = –8

Facit

259

Opgaver - Kapitalfremskrivning

a. Svarene af hænger af valgte sider, de kan fx være: b. 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4 c. Observationer Hyppighed Frekvenser Kumulerede hyppigheder Kumulerede frekvenser

b. Uger efter Tusinde y=39,35x+157,49 Residual upload afspilninger 0

140

157,49

17,49

192

196,84

4,84

241

236,19

–4,81

284

275,54

–8,46

328

314,89

–13,11

367

354,24

–12,76

401

393,59

–7,41

430

432,94

2,94

451

472,29

21,29

0 1 2 3 4 1 6 9 2 2 0,05 0,30 0,45 0,10 0,10 1

0,05 0,35 0,80 0,90 1,00

12 a. Observationer Hyppighed Frekvenser Kumulerede hyppigheder Kumulerede frekvenser

5 2 0,2

6 1 0,1

7 4 0,4

8 2 0,2

9 1 0,10

0,2

0,3

0,7

0,9

1,00

13 a. Typetallet er 7, gennemsnittet er 6,9.

19 Q1 = 26,1; Q2 = 31,9; Q3 = 33,5

20 a.

Hyppighed

30 25 20 15

d. Residualplottet viser en klar systematik. Derfor kan vi ikke bruge vores lineære regression. Sammenhængen er ikke lineær.

3. Statistik

10 5 0 –1

120

5 6 Antal kunder

Kumuleret hyppighed

100

a. 132, 138, 147, 147, 148, 148, 152, 153, 153, 154, 155, 156, 156, 157, 159, 160, 163, 165, 165, 167, 167, 167, 169, 170, 172, 174, 175, 176, 176, 181 b. Variationsbredde (181 – 132) = 49, gennemsnit: x = 160,1

60 40 20 0 0

260

Facit

10 12 Antal kunder

a. M = 21,5

a. 13 og 7

b. x = 250010,75 . Medianen svarer til den mid-

b. (9 , 10 , 12)

terste observation i et ordnet datasæt, mens

c. At halvdelen af observationerne er mindre

gennemsnittet er summen af observationer delt

end eller lig med 10.

med antallet af observationer. Hvis den største observation bliver udskiftet med en dobbelt så

stor observation, vil medianen være uændret,

a. Typeintervallet er ]0; 2000]

mens gennemsnittet bliver større.

b. Middelværdien er x = 2248,6

a. Min = 4, Q1 = 6, M = 7,5, Q3 = 9, Max = 12

Interval i cm

Hyppighed

]90, 95] ]95, 100] ]100, 105] ]105, 110] ]110, 115] ]115, 120] 2

3 3 5 6 2 3

b. Typeintervallet er ]105; 110].

96,36 Middelværdien er x = 2248,6

28 45 4

I det nederste boksplot ses det udvidede kvartilsæt

Frekvens

0,3

for gadekrydsene. Det fremgår klart, at levealderen her generelt er højere, idet hele boksen er på et

0,2

højere niveau: Eksempelvis er Q1 for gadekrydsene på niveau med Q3 for granddanois, og 50 % af gade-

0,1

krydsene bliver ældre end den ældste granddanois. Endvidere er spredningen større for gadekrydsene.

0 15

Mindsteværdien af levealderen for gadekryds var kun et år. Der er dog stor sandsynlighed for, at det er et enkelttilfælde, da observationen er en ”outlier”.

Alder

90 80

danois, mens den er 16 (17 – 1) for gadekryds.

større end for granddanois, hvor den var 3. Vi kan

100

Variationsbredden er således 8 (12 – 4) for grandKvartilafstanden er 5 for gadekryds, hvilket også er

60 50 40

ikke beregne gennemsnittet for gadekrydsene, så

skævheden kommenteres ikke.

20 10 0

Q1 15

Q3 35

Facit

261

Opgaver - Kapitalfremskrivning

6. Procent

46 a. Q1 = 26, M = 30,5, Q3 = 34,5 b. Første kvartil er ens, så 25 % af kvinderne, der føder, er i begge byer under 26 år gamle. I det

10 a. 0,32 og 343,68 kr.

store og hele er de fødende kvinder i København lidt ældre end i den lille by.

Fx er halvdelen af kvinderne under 29 år gamle

a. Vækstrate 0,04 og fremskrivningsfaktor 1,04

i den lille by, mens halvdelen af kvinderne er

b. 10 308 tons

under 30,5 år gamle i København. Andelen af

kvinder, der føder i en sen alder (over 40 år), er

dobbelt så stor i København som i den lille by.

a. r = –0,23 og (1 + r) = 0,77 b. 11 935 kr.

47 a.

Kumuleret Vægt IntervalintervalIntervalinterval hyppighed hyppighed frekvens

Kumuleret intervalfrekvens

[0 ; 10]

0,3

]10 ; 20]

0,36

0,66

]20 ; 30]

0,22

0,88

]30 ; 40]

0,12

13 a. Vækstrate 0,30 og fremskrivningsfaktor 1,30 b. 1 095,9 tons c. 1 424,7 tons

14 a. r = –0,23 og (1 + r) = 0,77 b. 11 935 kr.

a. Absolut ændring 10 og relativ ændring 20%.

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

b. Absolut ændring –150 og relativ ændring –15%.

19 a. 400 mio. b. 6,06%. 0

c. (8,3, 15,6, 24,1) d. 24,1 kg. dvs. 75% af pakkerne vejer mindre end eller lig med 24,1 kg.

20 a. 1,06 b. År Import i mio. kr.

c. Ja

21 a. 2013 b. 23% c. 62%

262

Facit

2000 100

2005 106

2010 113

2015 120

a. 10 600 kr.

b. 12 624,77 kr.

a. 5 627,54 kr. b. 6 966,06 kr.

7 29

a. ”betalings-beløbet er ligefrem proportionalt

a. 462 705 kr.

med det antal liter der hældes på”

b. 110 543 kr.

b. B = 9,5l

c. B = 9,5 ∙ 53 = 503,50. Altså betaler hun 503,50 kr. y d.

a. r = 11%

37 a. r = –3% x

38 a. n = 5,49 dvs. først efter 6 terminer står der

8 a. Forholdet y/x er konstant 4:

2 000 kr. på kontoen.

8 = 20 = 32 = 100 = 4 2 5 8 25

b. Konstanten er 4.

a. 532,34 kr. b. 3,71% per termin.

c. n = 10,87 dvs. der går 11 hele terminer før

a. Højden h af en stak er ligefrem proportional

beløbet er vokset til 34 000 kr.

med antal mønter N i stakken, fordi højden bliver præcist en mønts tykkelse højere hver gang endnu en mønt lægges i stakken.

8. Proportionalitet

b. Proportionalitetsfaktoren (eller proportionalitetskonstanten) er tykkelsen af en mønt, fordi

højden netop bliver denne tykkelse højere, når

a. 15 km

antallet vokser med 1.

b. Timer Distance

0 1 2 3

0 3 6 9 12 15

18 a. 4 timer

c. k = 3

b. 2 timer

d. y = 3x, hvor y er antal km og x er antal timer.

c. 1 time d. v er omvendt proportional med t, da v gange t er et kontant tal: v ∙ t = k e. Det kan udtrykkes på flere måder, fx v ∙ t = 16 eller v =

16 . t

Facit

263

a. Tid Effekt

2000

1000

800

500

400

a. Der er et lokalt og globalt maksimumsted i x = 40 med værdien 200. b. Når varen koster 40 kr., er indtjeningen maksimal, nemlig 200 000 kr.

c. Når varen bliver rigtigt dyr, går salg og dermed

a. Sammenhængen mellem x og y er omvendt

fortjeneste ned, fordi kunderne begynder at

proportional.

falde fra.

Deres produkt er konstant (lig 20): 2 ∙ 10 = 4 ∙ 5 = 10 ∙ 2 = 20 ∙ 1 = 20. b.

21 a. Lokalt og globalt minimum i 2 med værdien –1

b. Lokalt og globalt minimum i –1 med værdien –2

c. Lokalt og globalt maksimum i 1 med værdien 4.

28 a. Funktionen f er aftagende i [0;3] og f er vok0

sende i [3;4].

10. Funktionsteori

a. Funktionen f er aftagende i [0;2] og i [9;12], og f er voksende i [2;9]. b. Kursen er faldende i januar og februar, stiger så

i perioden marts til september og falder igen

a. Dm(f) = ]–4;4]

fra september til december.

b. Vm(f) = [–2;6[

30 9

a. Funktionen f er voksende i [–2;0] og f er afta-

c. og e.

gende i [0;2].

–

a. Funktionen f er aftagende i ]–∞;0] og i [1,11;∞[ , og f er voksende i [0;1,11]

18 a. Der er globalt maksimum i 0, som har værdien 2.

Der er et lokalt (og globalt) minimum i 3 med

værdien 0.

y 30 20

19 a. Der er et lokalt (og globalt) maksimum i 0 med værdien 4, og der er et globalt minimum i 2 med værdien 0.

264

Facit

0 1

b. Ved punktet A(1,3) har cyklisten cyklet i 1 time c. Tangentens hældning i punktet (2,1) er 0.

og er kommet 3 km. y

y=1

A 0 1

c. I punktet A(1,3) er tangentens hældning 6.

3 x

d. Det lokale minimumssted er x = 2. Der er altså

Cyklisten kører altså 6km/t ved dette sted.

vandret tangent i dette lokale minimum. e. Minimumsværdien er 1.

y 30

f. f er aftagende fra i ]–∞;2], og f er voksende

i [2;∞[.

y = 6x – 3

0 1

40 a.-d. Hældningen af tangenten er 1,15. Enheden er

d. I punktet A(3,27) er tangentens hældning 18.

kroner/minut.

Efter 3 timer er cyklisten altså kommet 27 km og

kører 18 km/t.

6 5

3 2

y = 18x – 27

A 0 1

t: y = 1,15x + 0,94 0 1

47 a. y = 2

39 a.

b. x = 0 og x = 3 c. Ekstrema: Der er lokalt og globalt minimum i

y 2

x = 1 med værdien 2. Der er globalt maksimum

i x = –1 med værdien 6. 0

3 x

Monotoniforhold: f er aftagende i [–1;1] og voksende i [1;4]

b. Tangentens hældning i punktet (1,2) er –2. y

y = –2x + 4

48 a. Definitionsmængden skal opdeles i x = –1

1 0

3 x

 x + 3 for x ≤ −1 (det er underordnet i b. f ( x ) =  2  x + 1 for x > −1 dette tilfælde, om x = –1 medtages i den øverste eller nederste regneforskrift) c. f er voksende fra ]–∞;–1] og i [0;∞[. f er aftagende fra [–1;0]

Facit

265

a. 6x

a. 6 %

b. 120 kr. for 20 liter.

b. kr. 18 804,02

c. 4x + 40 (de 40 bestemmes ud fra oplysningen

c. y y= =100 000 100000·⋅

om at x = 20 skal give 120 i funktionsværdi) for 0 ≤ x ≤ 20 6 x d. f ( x ) =  4 x + 40 for 20 < x ≤ 60

e. f(50) = 240, altså koster 50 liter 240 kr. y

0, 06 = 23739,64 23 739,64 −5 = 1 − (1 + 0, 06)

23 Et lån skal afdrages over 6 år og har en hovedstol på 50 000 kr. og en rentesats på 7 % p.a. a. kr. 10 489,79 b.

300 200

100

g. Ligningen f(x) = 200 har løsningen x = 40.

År

Primo restgæld

50 000,00 3 500,00 6 989,79 10 489,79

43 010,21

43 010,21 3 010,71 7479,08 10 489,79

35 531,13

35 531,13 2 487,18 8 002,61 10 489,79

27 528,52

27 528,52 1 927,00 8 562,79 10 489,79

18 965,73

18 965,73 1327,60 9 162,19 10 489,79

9 803,54

Rente

Afdrag

Ydelse

Ultimo restgæld

686,25 9 803,54 10 489,79

0,00

Altså koster 40 liter 200 kr.

12. Lån og opsparing

a. En hovedstol G på kr. 4 043 910,33.

31 8

a. De kommer til at få en ydelse på kr. 22 955,25.

a. kr. 44 156,80

32 9

a. y = 8 941,77 kr.

År 1 2 3 4 5 6

Primo saldo 7000,0 14140,0 21422,8 28851,3 36428,3 44156,8

Rente 140,0 282,8 428,5 577,0 728,6

Ultimo saldo 7140,0 14422,8 21851,3 29428,3 37156,8

14 a. kr. 1 197,10

b. År 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Primo restgæld 60 000,00 55 858,23 51385,12 46 554,16 41 336,72 35 701,89 29 616,27 23 043,80 15 945,53 8 279,41

a. 22,4 måneder, dvs. der går 23 måneder før de har kr. 100 000.

16 a. 9,9 % pa.

266

Facit

c. kr. 46554,16

Rente

Afdrag

4 800,00 4 468,66 4 110,81 3 724,33 3 306,94 2 856,15 2 369,30 1 843,50 1 275,64 662,35

4 141,77 4 473,11 4 830,96 5 217,44 5 634,83 6 085,62 6 572,47 7 098,27 7 666,13 8 279,42

Ultimo restgæld 8 941,77 55 858,23 8 941,77 51 385,12 8 941,77 46 554,16 8 941,77 41 336,72 8 941,77 35 701,89 8 941,77 29 616,27 8 941,77 23 043,80 8 941,77 15 945,53 8 941,77 8279,41 8 941,77 –0,01 Ydelse

33 a. kr. 900 b. kr. 1 000 c. ÅOP = 10 %

39 a. kr. 12 667,70

40 a. kr. 246 578

41 a. 47 619

42 a. kr. 6 249 587 b. kr. 1 750 413

47 a. 0,0128 = 1,28 % b. 0,1352 = 13,52 %

48 a. 0,0303 = 3,03 % b. Ja, alt andet lige.

57 a. 12,36 % p.a. b. 6 % pr. halvår

58 a. 0,8 % pr. måned. b. 10,04 % p.a.

59 a. 2,5 % pr. kvartal. b. 10,38 % p.a. c. Det har Safeandsecure-invest, hvor man udelukkende ser på renten.

Facit

267

Opgaver - Kapitalfremskrivning

268

De grĂĽ sider