Hvad er matematik? 1, OPGAVEBOG by Alinea

Hvad er matematik?

1 Opgavebog Bjørn Grøn Bodil Bruun Olav Lyndrup

L&R Uddannelse

9788770668613_indhold.indb 1

05/12/2018 10.37

Hvad er matematik? 1, Opgavebog Bjørn Grøn, Bodil Bruun, Olav Lyndrup © 2019 L&R Uddannelse, København - et forlag under Lindhardt og Ringhof A/S, et selskab i Egmont Mekanisk, fotografisk, elektronisk eller anden gengivelse af denne bog eller dele heraf er kun tilladt efter Copy-Dans regler. Forlagsredaktion: Iben Stampe Sletten Grafisk tilrettelægning: Andreas Schnalke, Kommunikations-Design Omslagslayout: Ulla Korgaard, Designeriet Tryk: Livonia Print Sia 1. udgave, 1. oplag 2019 ISBN 978 87 7066 861 3

www.lru.dk

Bogens illustrationer: Omslag: Scanpix, Polfoto, Center for Advanced Biotechnology and Medicine, RSA Security, Kroppedal Museum, Museo Galileo, Wikimedia, Nasa, The Royal Household, Rick Steves, University of British Columbia, Lessing Photo Archive Tidslinje: Tate, Lessing Photo Archive, Det kongelige Bibliotek, Library of Congress, Scala Archives, Branislev L. Slantcher, Deutsche Bundesbank, National Maritime Museum, Thinkstock Acciona Energy: 79 Colourbox: 18, 99 Chad K: 125n Det Kgl. Bibliotek: 91 DSB, Lillebæltsbroen, Aage Rasmussen: 58 Kadellar: 214n Library of Congress: 55 Library, Columbia University: 137 Peter Beier: 136 Photos.com: 108 Polfoto: 47/john Cordes, 71, 119 Post & Telemuseum/Postens frimærkecenter: 50 Røed: 123 Segui Vilar: 34n Shutterstock: 34ø T. Hansen Gruppen: 124ø Thinkstock: 24, 66, 100, 104, 106, 181 Wikimedia: 39, 97, 121, 125ø, 129, 159

HEM_1_Opgaver_00.indd 2

05/12/2018 13.28

Indholdsfortegnelse

Forord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0. Hvad er matematik? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Kan vi bevise det? Om vinkelsummer i trekanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner . . . . . . . . . . . . 9 Matematikkens skønhed. Om de regulære polyedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 1. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Uafhængig og afhængig variabel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Koordinatsystemet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge . . . 1.7 Lineær regression. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Lineære funktioner f(x) = a · x + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 17 18 19 20 20 25 35 38

2. Beskrivende statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.0 2.2 2.3 2.4 2.5

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 2 . . . . . . . . . . . . . . . Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kategoriske variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 42 49 55 56

3. Procent og rentesregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.0 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . Procentregning og kapitalfremskrivning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potenser og potensregneregler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Summer af potensrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Opsparingsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Gældsannuitet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Amortisationstabeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 61 66 67 68 69 70

4. Eksponentielle vækstmodeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.0 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 4. . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentialfunktionerne f(x) = b · a x og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udregning af regneforskrift ud fra to punkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fordoblings- og halveringskonstanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 75 79 83 84 88

9788770668613_indhold.indb 3

05/12/2018 10.37

5. Potensmodeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.0 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 5 . . . . . . . . . . . . . . . 91 Potensfunktionerne f(x) = b · x a og deres grafer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Potensregression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Hvad er karakteristisk for potenssammenhænge? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Udregning af regneforskrift ud fra to punkter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Potenssammenhænge – udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6. Vektorer og trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 6 . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Hvad er en vektor?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Vektorer i et koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 Pythagoras’ sætning og længden af en vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ensvinklede trekanter og skalering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Trigonometriske beregninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.7 Skalarprodukt af vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.8 Projektioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.9 Tværvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.10 Determinanter, arealberegning og sinusrelationerne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.11 Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107 112 114 118 119 122 126 128 131 131 136

7. Det matematiske sprog – Tal og ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

7.0 7.1 7.2 7.3 7.4

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 7. . . . . . . . . . . . . . . Andre talsystemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Regning med tal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Talmængder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140 144 147 149 151

8. Familier af funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

8.0 8.2 8.3 8.4

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 8 . . . . . . . . . . . . . . Funktioners egenskaber og deres grafiske forløb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parametriserede funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . En verden af funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

158 161 161 171

9. Sandsynlighedsregning og kombinatorik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

9.0 9.2 9.3 9.4

Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 9 . . . . . . . . . . . . . . Regning med sandsynligheder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kombinatorik – tællemetoder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

172 175 178 180

Facitliste. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Hvad er matematik?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Variabelsammenhænge og lineære funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beskrivende statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Procent og rentesregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eksponentielle vækstmodeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potensmodeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektorer og trigonometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Det matematiske sprog – Tal og ligninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Familier af funktioner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sandsynlighedsregning og kombinatorik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 184 191 194 198 202 205 212 215 216

9788770668613_indhold.indb 4

05/12/2018 10.37

Forord

Opgavebogen er skrevet til grundbogen Hvad er matematik? 1 og følger dennes inddeling i kapitler og afsnit. Alle kapitler har derudover fået en ny facilitet i forhold til de tidligere opgavebøger til C, B og A, nemlig et afsnit 0:

”Begreber, sætninger og formler du skal kende fra kapitel [ X ] ”

Dette afsnit er først og fremmest tænkt som en hjælp til den daglige lektielæsning og til en afsluttende repetitionsfase. Afsnit 0 retter sig altså i lige så høj grad mod fagets mundtlige dimension som mod den skriftlige. Vi har bestræbt os på at skrive grundbogen, så eleverne faktisk kan læse en matematisk tekst. Men for enhver faglig tekst gælder, at det første gang man læser den, er svært at vide, hvad der er de vigtigste begreber og oplysninger. Hvad er det især, man skal have tilegnet sig, efter at have læst teksten? Det fremgår af spørgsmålene i afsnit X.0. Eleverne kan således med spørgsmålene selv evaluere, om de har styr på det faglige emne. Og lærerne kan anvende disse opgaver, når man giver lektier for, ved at udpege de relevante opgaver i afsnit X.0 for eleverne. Endelig kan de anvendes i en repetitionsfase, hvor eleverne med brug af disse opgaver selv kan arbejde stoffet igennem. Der er derfor ikke facit til spørgsmålene i afsnit X.0, men alle opgaver kan besvares ved opslag i grundbogens kapitel X. Man kan evt. bruge stikordsregistret. Vi har valgt også at lægge spørgsmål ind til alle de indledende fortællinger i afsnit 1 i grundbogens kapitler. Man skal i undervisningen dække både den historiske og den anvendelsesmæssige dimension af det faglige stof, og de indledende fortællinger er velegnede hertil. Men det enkelte hold vil sikkert kun gennemgå nogle få af disse, og der er frit valg her. Derfor har vi lagt spørgsmål ind til alle afsnit. De fleste kapitler afsluttes med et afsnit med udfordrende opgaver. Disse opgaver har emner eller en sværhedsgrad, der ligger over det niveau, eleverne vil møde til en skriftlig prøve. Opgaverne i alle de øvrige afsnit dækker fuldt og helt pensum til en skriftlig prøve i de faglige emner, der er behandlet i Hvad er matematik? 1.

Bjørn Grøn

Bodil Bruun

Olav Lyndrup

9788770668613_indhold.indb 5

05/12/2018 10.37

Hvad er matematik?

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 0 . . . . . . . . . . . . . .

1. Kan vi bevise det? Om vinkelsummer i trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2. Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner . . . . . . . .

3. Matematikkens skønhed. Om de regulære polyedre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0.0 B egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 0 Opgave 0.1 a) Hvor mange grader svarer en hel cirkel til? b) Hvor mange grader er en lige vinkel? c) Hvad kaldes en vinkel på 90º?

Opgave 0.2 Hvad er vinkelsummen i en plan trekant?

Opgave 0.3 a) Hvad er vinkelsummen i en plan firkant? b) Hvad er vinkelsummen i en plan femkant?

Opgave 0.4 a) Hvilken fælles betegnelse anvendes for trekanter, firkanter, tyve-kanter osv.? b) Hvad er formlen for vinkelsummen i en n-kant?

Opgave 0.5 Hvad gælder der om vinklerne i en regulær n-kant (trekant, firkant, femkant osv.)?

Opgave 0.6 a) Hvad er en topvinkel? b) Hvad er det for en sætning, der gælder om topvinkler?

6 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 6

05/12/2018 10.37

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.7 Den ældste kendte matematikbog er fra 300 fvt. Hvad hedder forfatteren? - og hvad hedder bogen?

Opgave 0.8 a) Hvilken definition vil du give på parallelle linjer? b) N ævn én yderligere egenskab ved parallelle linjer ud over den, du har nævnt i din definition.

Opgave 0.9 Hvad kaldes en påstand, der i matematik accepteres uden bevis?

Opgave 0.10 Et matematisk bevis er en kæde af argumenter eller omskrivninger, der fører fra noget, vi ved, til noget nyt. Redegør for, hvilke af følgende man må bruge i et matematisk bevis: – logiske regler – intuition – aksiomer – regler man selv finder på, blot disse er klart formulerede – definitioner – alt, hvad man tidligere har bevist

Opgave 0.11 a) Hvad er et regulært polyeder? b) Der findes uendeligt mange regulære polygoner, men kun et meget begrænset antal regulære polyedre. Hvor mange findes der? c) De regulære polyedre har særlige navne. Nævn så mange du kender.

Opgave 0.12 De regulære polyedre indgik i en af de konkurrerende modeller for solsystemets opbygning, der var i spil i 1500- og 1600-tallet. Hvem udformede denne model?

Opgave 0.13 I den græske tankeverden var den dominerende teori om verdens opbygning, at alt var opbygget af 4 elementer, der var knyttet til de 4 første regulære polyedre, man kendte. Hvad hedder de 4 elementer, alt er opbygget af?

7 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 7

05/12/2018 10.37

0.1 K an vi bevise det? Om vinkelsummer i trekanter Opgave 0.14 a) I en trekant ABC har vi fået at vide, at vinkel A er 23°, og vinkel B er 81°. Hvor stor er vinkel C?

Opgave 0.15 a) Hvad er en stump vinkel ν, og hvad er en spids vinkel ν?

Opgave 0.16 a) Hvad er en ligesidet trekant, og hvad er en ligebenet trekant?

Opgave 0.17 a) Trekant ABC er en ligesidet trekant. Hvor store er vinklerne?

Opgave 0.18 a) T rekant ABC er en ligebenet trekant, hvor vinkel A og vinkel C er lige store. Vinkel B er 72°. Hvor store er de øvrige vinkler?

Opgave 0.19 a) Trekant ABC er en ligebenet trekant, hvor vinkel A og vinkel C er lige store. Vinkel A er 56°. Hvor store er de øvrige vinkler?

Opgave 0.20 Givet en vilkårlig trekant ABC. Hvad er en vinkelhalveringslinje fra A? Hvad er en højde fra A?

Opgave 0.21 Givet en vilkårlig trekant ABC. Hvad er en median fra A? Hvad er en midtnormal på a? B

Opgave 0.22

I trekant ABC er tegnet vinkelhalveringslinjen fra A. Linjen skærer den modstående side i punktet D. Det oplyses, at vinkel A er 40°, og vinkel C er 64°.

a) Bestem vinklerne i trekanterne ACD og ABD.

8 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 8

05/12/2018 10.37

0. Hvad er matematik?

Opgave 0.23

I trekant ABC er tegnet vinkelhalveringslinjen fra A. Linjen skærer den modstående side i punktet D. Det oplyses, at vinkel A er 30°, og vinkel D i trekant ABD er 47°.

a) Bestem vinklerne i trekanterne ACD og ABD.

Opgave 0.24

I trekant ABC er tegnet højden fra B ned på siden AC (siden b). Det oplyses, at vinkel A er 28°, og vinkel C er 80°.

a) Bestem vinklerne i trekant ABH og trekant BCH. A

Opgave 0.25

I trekant ABC er tegnet højden fra B ned på siden AC (siden b). Det oplyses, at vinkel C er 77°, og vinkel B i trekant ABC er 36°.

a) Bestem vinklerne i trekant ABH og trekant BCH.

Opgave 0.26

Hvor mange grader er vinkel v og vinkel w tilsammen? (fra Georg Mohr, 1. runde 2017)

48º

0.2 Kan vi generalisere? Om parallelaksiomet, Flatland og polygoner Opgave 0.27 a) Hvad er vinkelsummen i en femkant? b) Hvad er vinkelsummen i en syvkant? c) Hvad er vinkelsummen i en 100-kant?

Opgave 0.28 a) Hvor store er vinklerne i en regulær femkant? b) Hvor store er vinklerne i en regulær 100-kant?

9 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 9

05/12/2018 10.37

Opgave 0.29

Figuren viser en regulær sekskant. Hvor mange grader er den markerede vinkel?

(fra Georg Mohr, forberedelsesmateriale)

Opgave 0.30

På figuren ses en halvcirkel med punkterne A, B, C, D og E. D |AB| = |BC| = |CD| = |DE|. Hvor stor er vinkel E i femkanten ABCDE?

(frit efter Georg Mohr, forberedelsesmaterialet) E

Opgave 0.31

På figuren ses en sekskant, hvor alle vinkler (men ikke alle sider) er lige store. En linje skærer en af siderne i en vinkel på 102º som vist. Hvor mange grader er vinklen markeret med v?

102º

(fra Georg Mohr, 1. runde 2015)

G På figuren ses to parallelle linjer og 7 punkter. a) Argumenter for, at trekanterne ABC og ABD har samme areal.

Opgave 0.32

b) S tykket EF er halvt så stort som stykket AB. Argumenter for, at arealet af trekant EFG er halvt så stort som arealet af trekant ABC.

(frit efter Georg Mohr, forberedelsesmaterialet)

I trekant ABC er D midtpunktet af AB, E er midtpunktet af CD, og F er midtpunktet af AE. Arealet af trekant ABC er 120. a) Hvad er arealet af trekant ABE?

E F

Opgave 0.33

b) Hvad er arealet af trekant BEF?

(frit efter Georg Mohr, forberedelsesmaterialet) D

Opgave 0.34 Hvad kan man sige om størrelsen af vinkelsummen for en trekant på jordkloden tegnet mellem byerne København, Paris og Moskva?

10 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 10

05/12/2018 10.37

0. Hvad er matematik?

0.3 Matematikkens skønhed. Om de regulære polyedre (Konstruktionen af de regulære polyedre og det meste af den matematik, der knytter sig til dem, er for kompliceret på dette tidspunkt i gymnasiet. Men nogle af de skridt, der fører frem til at kunne håndtere denne matematik, kan man godt klare. Det følgende bygger på kendskab til Pythagoras’ læresætning og til ensvinklede trekanter.) Opgave 0.35 Smuk egenskab ved 90-60-30 trekanter

a) A rgumenter for, at i en ligesidet trekant er højder, vinkelhalveringslinjer, medianer og midtnormaler de samme linjer.

b) T egn en ligesidet trekant ABC, og tegn højden fra A ned på a. Argumenter ud fra din tegning for, at i en retvinklet trekant med vinklerne 90-60-30 er den lille katete præcis halvt så lang som hypotenusen

Opgave 0.36

90º

En vinkel, der spænder over en cirkels diameter, er ret

Træk i P, og kontroller, at vinklen i alle situationer er 90º.

90º

a) T egn i et geometriprogram en cirkel med en diameter AB. Afsæt et punkt P på cirklens periferi. Træk linjer, så vi har optegnet trekant APB, og mål vinkel P i trekanten.

b) G ennemfør nu ved at benytte tegningen et bevis for, at en trekant ABC, der fremkommer ud fra en cirkeldiameter AB og et punkt på cirkelperiferien C, altid er en retvinklet trekant. Dvs. at vinklen C på tegningen er 90º.

α A

(Hint: Argumenter først for, at de to vinkler markeret med α er lige store – og tilsvarende med β.) Opgave 0.37 Geometrisk konstruktion af kvadratrødder Givet to linjestykker, e og d. Afsæt dem i forlængelse af hinanden ud ad en ret linje, find midtpunktet M af dette linjestykke, og tegn med M som centrum og afstanden MC som radius en halvcirkel over CB. Oprejs i D den vinkelrette på linjen, og kald skærings-punktet med halvcirklen for A, og stykket DA for x.

a) Argumenter for, at x 2 = e · d, dvs. x = e ⋅ d

(Hint: Udnyt, at ∠ A er 90°, og argumenter for, at trekanterne ABD og CAD er ensvinklede. Opstil ud fra dette forhold, der ved reduktion giver den ønskede formel.)

b) Hvordan kan vi vælge e og d, så denne konstruktion giver

11 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 11

05/12/2018 10.37

Opgave 0.38 Omskrevne og indskrevne cirkler Enhver trekant har en indskreven cirkel, der har centrum, hvor vinkelhalveringslinjerne skærer hinanden, og en omskreven cirkel, der har centrum, hvor midtnormalerne skærer hinanden.

a) T egn en ligesidet trekant, og konstruer dennes indskrevne og omskrevne cirkler. Sæt sidelængden til 2. b) V is, at radius i den indskrevne cirkel er 2 er 3 .

1 3,

og at radius i den omskrevne cirkel

Opgave 0.39 Pythagoras i 3 dimensioner Skitser en terning. Lad os sætte sidelængden til 1.

a) Hvor lang er diagonalen i fladerne?

b) U dnyt svaret på a) til at bestemme længden af diagonalen i terningen fra det ene hjørne til det hjørne, der ligger længst væk.

c) Bestem radius i den indskrevne kugle og radius i den omskrevne kugle.

0.4 Udfordrende opgaver

Opgave 0.40

En cirkel er indskrevet i en trekant ABC, hvor vinkel C er ret. Cirklen rører trekantens sider i punkterne P, Q, og R. Vinkel Q i trekant PQR er 74º. Hvor mange grader er vinkel B? ( fra Georg Mohr 1. runde 2017 )

Opgave 0.41 D En kvadratisk chokoladekage med målene 35 cm x 35 cm udskæres C i syv pæne stykker som vist. Der er 5 cm mellem hver af de viste B markeringer. Hvilken type stykke er mindst? A

Opgave 0.42 En plan figur ABCD bestående af linjestykker AB, BC, CD og DA, D hvor BC og DA krydser hinanden, kaldes en sløjfe. Hvad kan man sige om vinkelsummen ∠A + ∠B + ∠C + ∠D i en sløjfe? Den er

a) over 90°

b) 180°

c) under 360º

d) 360°

e) 540°

12 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 12

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Variabelsammenhænge og lineære funktioner

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 1 . . . . . . . . . . . . .

2. Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Uafhængig og afhængig variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge. 20 7. Lineær regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8. Lineære funktioner f(x) = a · x + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9. Ligninger, kurver og funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 1 Opgave 1.1 Vi skelner mellem numeriske og kategoriske variable. a) G iv eksempler på tre situationer, hvor vi opdeler et materiale efter kategoriske variable. b) Giv eksempler på tre situationer, hvor data er givet i form af numeriske variable.

Opgave 1.2 I hver situation, hvor vi undersøger mulige sammenhænge mellem to variable, skelner vi mellem en uafhængig og en afhængig variabel. Giv tre eksempler, hvor du begrunder, hvorfor du vælger den ene variabel som uafhængig og den anden som afhængig.

Opgave 1.3 a) I 1972 udsendte en gruppe forskere et omfattende studie af klodens tilstand. Studiet er siden blevet opdateret flere gange. Hvad er titlen på den bog, der blev udgivet? Angiv både den danske og den amerikanske titel. b) P rojektet definerede 5 centrale domæner, som udgjorde de 5 centrale tilstandsvariable i modellen. Nævn disse 5. c) P rojektet handler matematisk om beskrivelse af variabelsammenhænge. Beskriv med ord tre eksempler på sådanne variabelsammenhænge.

13 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 13

05/12/2018 10.37

Opgave 1.4 Den verdensmodel, forskerne opstillede, afprøvede de ved at definere 9 forskellige situationer med hver sine forudsætninger og dernæst gennemføre kørsler på computere for hver af de 9.

a) H vad kalder man det billede af verdens tilstand, som en sådan kørsel under bestemte forudsætninger giver?

b) D e forskellige computerkørsler af de 9 situationer blev alle gennemført, så de dækkede en bestemt tidsperiode af klodens udvikling. Hvilken?

Opgave 1.5 Variabelsammenhænge, fx de der indgår i beskrivelsen af klodens tilstand, har 4 forskellige repræsentationsformer. Nævn disse 4.

Opgave 1.6 Et almindeligt koordinatsystem består af to akser, der står vinkelret på hinanden.

a) N år et datamateriale repræsenterer en variabelsammenhæng mellem to numeriske variable, kan vi afsætte datamaterialet i et koordinatsystem. Hvor afsættes den uafhængige, og hvor afsættes den afhængige variabel?

b) H vilken regel gælder for enhederne på akserne? (Hint: Overvej springene mellem værdierne for de enkelte markeringer på akserne).

c) E t koordinatsystem består af 4 kvadranter. Tegn en skitse, angiv de 4 kvadranter, og giv eksempler på koordinater i hver af de 4 kvadranter.

Opgave 1.7 En variabelsammenhæng kan udtrykkes symbolsk ud fra en funktion f ved y = f(x).

a) H vad er sammenhængen mellem dette symbolsprog og de to begreber afhængig og uafhængig variabel?

b) N ogle funktioner har en regneforskrift. Giv to eksempler på regneforskrifter, og demonstrer, hvordan man regner funktionsværdier ud med sådanne regneforskrifter.

c) M ange funktioner er ikke givet ved en regneforskrift, men fx ved en graf. Giv to eksempler på sådanne funktioner, og forklar, hvordan man bestemmer en funktionsværdi.

14 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 14

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.8 Hvad er efter din opfattelse styrken, og hvad er svagheden ved:

a) en grafisk repræsentation af en variabelsammenhæng?

b) en tabelrepræsentation af en variabelsammenhæng?

c) en sproglig repræsentation af en variabelsammenhæng?

d) en formelmæssig (symbolsk) repræsentation af en variabelsammenhæng?

Opgave 1.9 Hvis den uafhængige variabel er tiden, hvor på en given graf kan vi da aflæse begyndelsesværdien (startværdien)?

Opgave 1.10 a) Beskriv med ord, hvad det betyder, at to variable x og y er proportionale. b) Opskriv en formel, der udtrykker, at to variable x og y er proportionale. Opgave 1.11 Vælg selv eksempler på variabelsammenhænge fra taxakørsel, telefonregning, regning for vand og el eller lignende, og svar ud fra dine eksempler:

a) Hvad er henholdsvis den uafhængige og den afhængige variabel?

c) Hvad er fremgangsmåden i at oversætte fra formel til sprog?

b) Hvad er fremgangsmåden i at oversætte fra sprog til formel?

Opgave 1.12 Hvad forstås ved definitionsmængden for en funktion?

Opgave 1.13 Hvilke to begreber anvendes, når vi skal angive en funktions monotoniforhold? Demonstrer din forklaring ved hjælp af grafskitser.

15 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 15

05/12/2018 10.37

Opgave 1.14 Givet et datasæt. a) Hvad forstås ved regressionslinjen for datasættet? b) H vad udtrykker datasættets residualer, yobserveret - ymodel? Hvad er det største, og hvad er det mindste residual regnet med fortegn? c) Hvad er residualplottet? d) I hvilke tilfælde vil residualplottet give anledning til at overveje, om modellen er god nok? Giv gerne eksempler.

Opgave 1.15 Givet en regneforskrift for en lineær funktion f(x) = a · x + b.

a) Hvad kalder man tallet a? Hvilken grafisk betydning har tallet?

b) Hvad kalder man tallet b? Hvilken grafisk betydning har tallet?

Opgave 1.16 Gennem to punkter (x1, y1) og (x2 , y2), der ikke ligger lodret over hinanden, kan der tegnes en linje, der er graf for en lineær funktion, f(x) = a · x + b. Hvad er formlen for hældningskoefficienten a (to-punkts-formlen)?

Opgave 1.17 a) Ofte møder vi betegnelserne ∆x og ∆y. Hvad er sammenhængen mellem x og ∆x? b) Hældningskoefficienten a beregnes ofte ud fra ∆x og ∆y. Opstil og forklar denne formel.

Opgave 1.18 Hvordan afgør man, om et punkt (h,k) ligger på grafen for en funktion?

Opgave 1.19

Hvad er forskellen på en kurve og en graf for en funktion. Illustrer gerne med eksempler.

16 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 16

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1.2 Variable (De 3 opgaver i dette afsnit er hentet fra 3 af de studieretningskapitler, der kan tilgås via websitet. Hver opgave er mere fyldigt behandlet dér.)

Opgave 1.20 Fra kapitel 13: matematik-biologi I et eksperiment observeres gærcellers aktivitet ved seks forskellige temperaturer, henholdsvis 10, 20, 30, 40, 50 og 60ºC. Der opstilles forsøgsopstillinger for hver temperatur, bestående af et termostatreguleret vandbad, hvori der er placeret to kolber. Hver kolbe indeholder 100 mL vand og 10 g glucose. I den ene af de to kolber er der yderligere opløst 5 g bagegær. Kolberne er indrettet, så gærcellernes aktivitet kan måles ved at tælle antallet af bobler, der kommer op gennem et gærrør. Der tælles i ét minut af gangen, i alt 15 gange.

a) Hvilke variable indgår i dette eksperiment med gærcellers aktivitet?

b) Hvilken variabel er den afhængige, og hvilken er den uafhængige?

c) Er der tale om variabelkontrol?

d) Hvordan kunne en matematisk behandling af datamaterialet foregå?

Opgave 1.21 Fra kapitel 11: matematik-fysik I et eksperiment simuleres kraternedslag fra meteorer med henblik på at undersøge, om der er en sammenhæng mellem et kraters diameter og den energi, hvormed meteoren rammer Jorden. Der anvendes en kasse med sand i, samt runde sten eller kugler i forskellige størrelser. Stenene vejes, og derefter laves to forsøgsserier. 1) Samme sten falder fra forskellige højder, og man måler kraterets diameter. Der laves mindst 3 gentagelser af forsøget for hver højde pga. usikkerheden, og gennemsnittet af kraterdiameteren beregnes. 2) F orskellige sten falder fra samme højde, og man måler kraterdiameteren igen. Dette gentages også mindst 3 gange med hver sten. Spørgsmål: a) Hvilke variable indgår i dette eksperiment med meteor- / kuglenedslag? b) H vilken variabel kan vælges som den afhængige, og hvilken kan vælges som den uafhængige? c) Er der tale om variabelkontrol? d) Hvordan kunne en matematisk behandling af datamaterialet foregå? (Hint: Anvend at den potentielle energi er proportional med højden)

17 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 17

05/12/2018 10.37

Opgave 1.22 Fra kapitel 12: matematik-kemi Når stoffet thiosulfat reagerer med saltsyre, dannes der svovl, som gør opløsningen uklar. Man er interesseret i at bestemme, hvorledes reaktionshastigheden afhænger af koncentrationerne af de to stoffer, der reagerer. Jo hurtigere reaktionen er, jo kortere tid går der, før opløsningen er uigennemsigtig, og man antager i dette forsøg, at reaktionshastigheden er omvendt proportional med denne tid. Der udføres en forsøgsrække, hvor først koncentrationen af thiosulfat holdes fast, og koncentrationen af saltsyre varieres, og dernæst omvendt. Hver gang bestemmes reaktionshastigheden.

a) Hvilke variable indgår i dette forsøg med en kemisk reaktion?

b) H vilken variabel kan vælges som den afhængige, og hvilken kan vælges som den uafhængige?

c) Er der tale om variabelkontrol?

d) Hvordan kunne en matematisk behandling af datamaterialet foregå?

1.3 Uafhængig og afhængig variabel

Opgave 1.23 For en række dyrearter er man interesseret i at måle sammenhængen mellem forskellige variable. Hvilken variabel vil du i de følgende eksempler angive som den uafhængige og hvilken som den afhængige?

a) Blodmængde og kropsvægt

b) Kropsvægt og stofskifte

c) Overfladeareal og volumen

d) Kropsvægt og skeletvægt

Hvis der er begreber, du ikke kender til, så slå dem op.

Opgave 1.24 I plantager bliver rødgraner plantet meget tæt, så der ved udplantningen er flere træer pr. hektar, end der er plads til, når de er udvokset. I et hæfte om skovdyrkning anbefales det at foretage udtynding, efterhånden som træerne bliver højere. Træerne kan sælges stykvis, hvor højere træer giver en højere pris. Eller de kan sælges i større partier, hvor prisen fastsættes ud fra volumen (rummeter). Vi opfatter plantagen som et skovbrug, der over tid skal give ejeren en indtægt.

a) Hvilke variable er det her interessant at indføre?

b) A ngiv to eksempler på variabelsammenhænge, det kunne være interessant at undersøge, og angiv for hver af dine eksempler, hvilken der er den uafhængige, og hvilken der er den afhængige variabel. Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 18

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.25 I en tabel over data fra alle EU-lande angives for hvert land befolkningstal, bruttonationalprodukt (BNP), antal personbiler, mindstelønnen, det samlede energiforbrug, til-slutningen til de forskellige religioner målt i procent, uddannelsesniveau opdelt i procentandele af voksne med lang videregående, kort videregående og ingen videregående uddannelse.

a) Angiv, hvilke kategoriske og hvilke numeriske variable der indgår i disse data.

b) A ngiv tre eksempler, hvor du mener, der kunne være en variabelsammenhæng, og angiv for hver af disse, hvilken der er den uafhængige, og hvilken der er den afhængige variabel.

1.4 Koordinatsystemet Opgave 1.26 y

På figuren ses grafen for en funktion.

a) U dfyld tabellen nedenfor ved aflæsning af sammenhørende værdier af x og y på grafen.

x 1

–5

–2 0

0 2

b) Afgør, om punkterne (–4,–1), (–2,2), (0.5, 3.5) og (1,5) ligger på grafen.

Opgave 1.27 y

På figuren ses graferne for to funktioner f og g. a) Aflæs x-koordinaten i de punkter, hvori de to grafer skærer hinanden.

b) A flæs de intervaller af x-værdier, hvor grafen for g (den grønne) ligger over grafen for f (den røde). 1

x 1

19 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 19

05/12/2018 10.37

Opgave 1.28

På figuren ses grafen for en funktion.

a) A flæs y-værdierne svarende til de fire x-værdier –1, 0, 1, 2 og 3.

b) B eskriv med ord, hvordan y-værdierne ændres, når x-værdien stiger med 1.

x 1

1.6 Oversættelse mellem repræsentationsformerne for variabelsammenhænge Opgave 1.29 En pose med 8 rosinboller koster 16,95 kr. i et supermarked.

a) I ndfør passende variable, og tegn en grafskitse, der illustrerer sammenhængen mellem antal poser og den samlede pris.

Opgave 1.30 To "Straks"

firmaer "Straks" og "UdenForsinkelse" transporterer varer af enhver slags for alle kunder. Prisen afhænger af det antal kilometer, der skal køres under transporten (se grafer).

pris

100

"UdenForsinkelse"

a) B enyt graferne til at bestemme den transportafstand, som de to firmaer udbyder til samme pris.

b) O pstil en tabel, der viser prisen for en transport på 10, 20, 30, 40 og 50 km for hvert af de to firmaer.

c) U ndersøg ved hjælp af graferne på hvilke strækninger, det bedst kan betale sig at benytte firmaet "UdenForsinkelse".

Opgave 1.31

På figuren ses grafen for en funktion. a) A fsæt fem punkter på grafen, således at x-værdien stiger med 2 hver gang. Dvs. hvis man vælger at starte med x = –4, så skal næste værdi være x = –2 osv.

x 5

b) B eskriv med ord, hvordan y-værdien ændres, når x-værdien ændres med dette faste tal.

20 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 20

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.32

I et koordinatsystem er der givet tre forskellige grafer (se figur).

a) A flæs for hver af de tre grafer tre punkter på grafen, således at x-værdien stiger med 1 hver gang.

b) B eskriv med ord, hvordan y-værdien ændres, når x-værdien ændres med 1, og sammenlign ændringen for hver af de tre grafer. 1

x 1

Opgave 1.33 På www.statistikbanken.dk kan man finde nedenstående tabel, der viser udviklingen i antal passagerer, der transporteres med tog på banenettet i Danmark.

Banenettet i alt (1000 passagerer)

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

160.600

165.700

167.032

165.285

185.989

202.100

207.477

a) Indfør passende variable, og tegn en graf, hvor punkterne forbindes med linjestykker. Scan koden, og få adgang til data.

Opgave 1.34 Et uddrag af en tabel fra Fiskeridirektoratets hjemmeside viser følgende: Konsumlandinger Landet vægt i ton Årstal

Blåhvilling

Brosme Hvilling

Kuller

Kulmule

Lange

Lyssej

Mørksej

Torsk

Anden torskefisk

2000

122882

248

274

3526

762

780

591

14626

5872

2001

123599

291

294

4880

995

900

432

17479

51262

2002

146489

236

352

9647

1113

895

696

26607

40499

2003

287991

239

427

6376

1154

1061

533

26838

33416

2004

273986

177

323

4483

1328

852

364

22605

35100

2005

251772

153

591

3698

1279

868

477

21494

37009

2006

183157

168

513

2568

1461

772

350

20790

31714

2007

165429

105

505

2795

1391

591

508

18389

2656

2008

70502

250

2315

1972

649

477

25478

25314

2009

3584

273

2801

2401

761

420

26078

24626

21 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 21

05/12/2018 10.37

a) O vervej hvilke sammenhænge, tabellen kan give anledning til at undersøge.

b) K opier de data fra tabellen, der er relevante for din undersøgelse, over i et regneark, og tegn de relevante grafer, hvor punkterne forbindes med rette linjer.

c) B eskriv med ord, hvad grafen fortæller om den sammenhæng, du ønskede at undersøge.

Opgave 1.35

a) Udfyld en tabel, hvor værdier af kvadratet x2 beregnes for 7 forskellige værdier af x.

b) U dfyld en tabel, hvor værdier af produktet 2 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for x2).

c) S ammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for x2 og 2 · x ændrer sig.

Opgave 1.36

a) Udfyld en tabel, hvor værdier af x3 beregnes for 7 forskellige værdier af x.

b) U dfyld en tabel, hvor værdier af produktet 3 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for x3 ).

c) S ammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for x3 og 3 · x ændrer sig.

Opgave 1.37

a) Udfyld en tabel, hvor værdier af potensen 2x beregnes for 7 forskellige værdier af x.

b) U dfyld en tabel, hvor værdier af produktet 2 · x beregnes for 7 forskellige værdier af x (vælg de samme x-værdier som i tabellen for 2x).

c) S ammenlign de to tabeller, og kommenter forskellen på, hvordan værdierne for 2x og 2 · x ændrer sig.

Opgave 1.38 Der er givet tabellen:

a) O vervej, hvilket mønster tabellen afspejler, og opskriv sammenhængen mellem x og y som en formel.

22 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 22

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.39 Der er givet tabellen: x

a) O vervej, hvilket mønster tabellen afspejler, og opskriv sammenhængen mellem x og y som en formel.

Opgave 1.40 Der er givet den lineære sammenhæng y = 4x + 17.

a) Hvilken betydning har konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 1.41 Der er givet den lineære sammenhæng y = x – 8.

a) Hvilken betydning har konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 1.42 Der er givet den lineære sammenhæng y = –3x + 2.

a) Hvilken betydning har konstanterne i den lineære sammenhæng.

Opgave 1.43 En familie får vand fra Vandcenter Syd. De betaler en fast årlig målerafgift på 600 kr. inkl. moms. Prisen pr. m3 er 41,75 kr. inkl. moms.

a) I ndfør passende variable, og opskriv en sammenhæng mellem familiens årlige vandforbrug og dens samlede udgift til Vandcenter Syd.

(stx-A-net eksamen maj 2010)

Opgave 1.44 Antallet af medlemmer i Dansk Tennis Forbund er siden 1999 med god tilnærmelse faldet med 2100 om året. I 1999 var medlemstallet 77688.

a) B enyt disse oplysninger til at opstille en lineær model, der beskriver udviklingen i medlemstallet i årene efter 1999.

Kilde: Dansk Tennis Forbund. (hf-C eksamen december 2006)

23 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 23

05/12/2018 10.37

Opgave 1.45 Et taxafly koster 500 kr. i startgebyr og 50 kr. pr. minut i luften.

a) O pstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem udgiften til flyveturen og antallet af minutter i luften.

Opgave 1.46 Udbringning af en pakke koster 100 kr. i startgebyr og 5 kr. pr. km.

a) O pstil en lineær model, der beskriver sammenhængen mellem udgiften til udbringningen og antallet af kilometer, som pakken skal fragtes.

Opgave 1.47 15 En sammenhæng mellem to variable x og y er givet ved y = . 1+ x a) Udfyld en tabel med sammehørende x- og y-værdier.

b) Skitser på baggrund af tabellen en graf.

c) T egn i dit værktøjsprogram grafen, og sammenlign med den graf, som du skitserede.

d) Forklar den grafiske betydning af konstanten 15.

Opgave 1.48 En sammenhæng mellem to variable t og U er givet ved U =

20 + 50. t +1

a) Udfyld en tabel med sammehørende t- og U-værdier.

b) Skitser på baggrund af tabellen en graf.

c) T egn i dit værktøjsprogram grafen, og sammenlign med den graf, som du skitserede.

d) Forklar den grafiske betydning af konstanterne 20 og 50.

24 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 24

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1.7 Lineær regression Opgave 1.49 (Opgaven er inspireret af Thomas Vils' Væksthæfte. Data i dette eksempel er taget fra Practical statistics for environmental and biological scientists af John Townsend (Wiley, 2002).) Forsøg har vist, at udklækningstiden for flueæg aftager, når luftfugtigheden øges. Konkret har man i et forsøg foretaget følgende målinger af sammenhængen: Luftfugtighed (%)

100

Udklækningstid (timer)

23,2

22,7

22,0

21,7

20,2

19,6

18,2

18,3

17,4

16,6

a) U dregn for hver forøgelse på 6% af luftfugtigheden (dvs. fra 46% til 52%, fra 52% til 58% osv.) det tilsvarende fald i udklækningstiden, og angiv disse tal i nederste række i skemaet. Hvad kan du konkludere? Luftfugtighed (%)

100

Udklækningstid (timer)

23,2

22,7

22,0

21,7

20,2

19,6

18,2

18,3

17,4

16,6

Fald i udklækningstid (timer)

b) A fsæt målingerne i et koordinatsystem med luftfugtigheden ud ad førsteaksen og udklækningstiden ud ad andenaksen, og tegn den bedste rette linje.

c) V i betegner luftfugtigheden målt i % med L og udklækningstiden målt i timer med U. Bestem to tal a og b, så der med god tilnærmelse gælder: U = a ⋅ L + b .

d) Hvilken sammenhæng er der mellem tallet a og de fald i udklækningstiden, som du udregnede i spørgsmål a)?

e) H vilken udklækningstid vil du forvente, når luftfugtigheden er 80%?

f) Hvor høj skal luftfugtigheden være, for at udklækningstiden bliver 20 timer?

Opgave 1.50 Forbruget af kartofler har i perioden 1994-2004 udviklet sig som vist i tabellen nedenfor. År

1994

Forbrug af kartofler i mio. kg

296,2 297,0

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

299,0 300,7 301,4 302,7 303,7 304,5 305,8 306,5 307,3

a) B estem med regression den lineære model, der med god tilnærmelse beskriver udviklingen i kartoffelforbruget i perioden 1994-2004.

b) H vad beskriver a og b i modellen?

c) Hvad vil forbruget af kartofler være i 2010 ifølge modellen?

d) Hvornår vil vi bruge 320 mio. kg kartofler om året ifølge modellen?

Kilde: Danmarks Statistik

25 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 25

05/12/2018 10.37

Opgave 1.51 En bilist vil undersøge sin bils benzinøkonomi og har derfor lavet et benzinregnskab som det følgende, hvor variablen triptæller angiver, hvor langt bilen har kørt i km, og påfyldt benzin, hvor mange liter benzin, der påfyldes ved hver optankning, idet benzintanken fyldes helt op ved hver påfyldning.

Triptæller

Påfyldt benzin

fuld tank

Benzinforbrug

a) U dfyld resten af rækken for benzinforbruget i tabellen.

41,1 29,7 40,7 34,4 23,6

b) A fbild benzinforbruget som funktion af antal kørte km.

400

41,1

689

1085

1420

1650

70,8

c) T egn en ret linje, der så vidt muligt går gennem datapunkterne på grafen.

d) Bestem ligningen for den tilhørende rette linje, der beskriver benzinforbruget som funktion af den kørte strækning.

e) Hvilken betydning har hældningen?

Opgave 1.52 Nedenstående data stammer fra en DSB-køreplan, hvor variablen strækning måles i km, og variablen køretid måles i minutter. Tog 1 standser ved alle stationer, mens tog 2 kører direkte igennem på strækningen fra Nivå til Klampenborg. Station Tog 1 Køretid 1 Tog 2

a) Udfyld køretiden for tog 1.

Helsingør 5.04 0 6.28

Snekkersten

5.08

b) A fbild punktplottet, der viser sammenhørende værdier af strækning og køretid for tog 1.

Espergærde

5.12

Humlebæk

5.17

6.41

5.22

6.45

5.26

–

Strækning

6 10

6.32 6.36

Nivå

Kokkedal

Rungsted kyst 5.31 –

Vedbæk

Skodsborg 5.40 –

5.35

–

Klampenborg

5.45

7.00

Østerport

5.55

7.10

Nørreport

5.58

7.13

København H.

6.02

7.17

c) T egn en ret linje, der så vidt muligt går gennem datapunkterne på grafen. d) Hvad bliver ligningen for denne rette linje? e) E r det rimeligt på denne måde at beskrive sammenhængen som lineær? f) H vilken praktisk betydning har hældningen a? g) A fbild på samme måde punktplottet, der viser sammenhørende værdier af strækning og køretid for tog 2 i det samme koordinatsystem. Sammenlign de to grafer.

26 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 26

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.53 For et digitalt kamera kan blænden x (i F-værdier) og lukketiden y (i sekunder) ændres, når et billede tages. Følgende data gælder for et digitalkamera:

1/1000

1/500

1/250

1/125

1/60

1/30

1/15

1/8

2,8

5,6

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) Bestem forklaringsgraden for den lineære model.

c) B estem et residualplot, og vurder om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Kilde: De Veaux, Velleman, og Bock, Intro Stats (Pearson Addison Wesley, 2009), side 179.

Opgave 1.54 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y: x

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

b) B estem et residualplot og det største residual. Vurder, om punkterne er tilfældigt fordelt, eller der er en systematisk afvigelse. Hvad vil du konkludere ud fra residualplottet om den lineære model?

Opgave 1.55 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y: x

5,9

6,3

7,5

14,8

12,9

15,2

21,5

26,0

22,2

24,5

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

27 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 27

05/12/2018 10.37

Opgave 1.56 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y x

2,3

2,6

5,7

11,2

15,9

29,6

26,3

22,7

21,2

18,3

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

Opgave 1.57 Følgende data gælder for den uafhængige variabel x og den afhængige variabel y x

5,4

8,6

7,5

11,9

3,7

27,0

0,9

40,6

55,7

-2,8

a) B enyt tabellens data til at bestemme den lineære model, der beskriver sammenhængen mellem x og y.

Opgave 1.58 I en model for udviklingen i antallet af en bestemt type bil gælder følgende sammenhæng y = 13,1x + 256, hvor y er antallet af en bestemt type bil, og x er antallet af år efter 2009. I år 2011 er antallet af den bestemte type bil 311.

a) B estem den absolutte afvigelse mellem den observerede værdi i 2011 og modelværdien i 2011.

b) B estem den relative afvigelse mellem den observerede værdi i 2011 og modelværdien i 2011.

Opgave 1.59 En variabelsammenhæng mellem to variable, x og y, beskrives med en lineær model. Til en bestemt værdi af den uafhængige variabel x hører en observeret værdi af den afhængige variabel på 10,5 og en modelværdi på 11,1.

a) B estem den absolutte afvigelse mellem den observerede værdi af y og modelværdien af y.

b) B estem den relative afvigelse mellem den observerede værdi af y og modelværdien af y.

Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 28

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.60 CO2-indholdet i atmosfæren måles fra en målestation Mauna Loa Observatory på Hawaii. I en model antages det, at udviklingen i CO2-koncentrationen kan beskrives ved en lineær model givet ved: f(x) = ax + b, hvor x er antallet af år efter 1958, og f(x) er CO2-koncentrationen (målt i ppm). Data hentes via QR-koden.

a) Bestem konstanterne a og b.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) Bestem CO2-koncentrationen i 2020 ifølge modellen.

(kilde: https://www.esrl.noaa.gov/gmd/ccgg/trends/ )

Opgave 1.61

På Verdensbankens hjemmeside kan udviklingen i verdens befolkningstal hentes. I en model antages det, at udviklingen i verdens befolkningstal kan beskrives ved en lineær model givet ved f(x) = ax + b, hvor x er antallet af år efter 1960, og f(x) er verdens befolkningstal (målt i mia.). Data hentes via QR-koden.

a) Bestem konstanterne a og b.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) Bestem verdens befolkningstal i 2020 ifølge modellen.

(kilde: https://data.worldbank.org)

1.8 Lineære funktioner f(x) = a · x + b Opgave 1.62 Angiv konstantled og hældningskoefficient for følgende lineære funktioner:

a) f(x) = –2,9x + 200

b) f(x) = 5,18x – 120,1

c) f(x) = 19 + 3x

d) f(x) = –19 + 7x

Opgave 1.63 Angiv konstantled og hældningskoefficient for en lineær funktion, hvor vi får oplyst følgende tabelværdier:

–1

y = f(x)

29 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 29

05/12/2018 10.37

Opgave 1.64 Angiv konstantled og hældningskoefficient for en lineær funktion, hvor vi får oplyst følgende tabelværdier:

–1

y = f(x)

Opgave 1.65 y

P å figuren ses graferne for 4 lineære funktioner, som alle har en forskrift af typen f(x) = ax + b.

n m

Et forstørret billede kan hentes via QR-koden.

a) O pskriv forskrifter for de lineære funktioner n og k , idet hældningskoefficienten a og konstantleddet b aflæ ses på figuren. b) O pskriv forskriften for de lineære funktioner l og m, idet hældningskoefficienten a og konstantleddet b aflæses på figuren. c) Afgør ud fra graferne, om følgende punkter ligger på graferne: (2,5), (–10,7), (10,–3) og (–4,7). d) Afgør ud fra forskrifterne, om de følgende punkter ligger på graferne: (30,19), (2,–15).

Opgave 1.66 Det øverste lag af Jorden kaldes for skorpen. Under skorpen befinder kappen sig. Ved en bestemt målestation er skorpen 40 km tyk. Temperaturen ved jordoverfladen er 20 ºC, og ved overgangen til kappen er den 500ºC. I en temperaturmodel går man ud fra, at temperaturen i skorpen vokser lineært med dybden.

a) I ndfør passende variable, og opstil et funktionsudtryk for temperaturen som funktion af dybden.

Kilde: www.vandcenter.dk (stx-A-net terminsprøve november 2008)

Opgave 1.67 Den årlige omsætning på spil i Danmark kan for perioden 2000-2004 med tilnærmelse beskrives ved modellen y = 2,5x + 10,5, hvor y er omsætningen målt i mia. kr., og x er antal år efter 2000.

a) H vad fortæller tallene 2,5 og 10,5 om omsætningen på spil?

(hf-C eksamen december 2007)

30 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 30

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.68 Prisen på vareudbringning med et transportfirma er givet ved f(x) = 15x + 75, hvor f(x) er prisen angivet i kr. for at transportere varer x km.

a) B estem prisen for at transportere varer 10 km. Beskriv, hvad konstanterne 15 og 75 fortæller om prisen på vareudbringningen.

(baseret på stx-B eksamen juni 2010)

Opgave 1.69 Vand løber ind i en beholder, således at sammenhængen mellem tiden t (målt i minutter) og vandhøjden h (målt i cm) kan beskrives ved ligningen h = 2t + 10.

a) B estem vandhøjden, når t = 5, og beskriv hvilken information, konstanterne 2 og 10 giver om vandhøjden i beholderen.

(stx-B eksamen august 2009)

Opgave 1.70 For en bestemt væskesøjle er sammenhængen mellem trykket P og dybden d under væskens overflade givet ved P = 0,087 · d + 1,113 , når trykket måles i bar og dybden måles i meter.

a) Bestem trykket i dybden 9,0 m, og bestem den dybde, hvor trykket er 2,0 bar.

b) Gør rede for, hvad konstanterne i ligningen fortæller om trykket i væskesøjlen.

(stx-B eksamen december 2007)

Opgave 1.71 Af Folkesundhedsrapporten fra 2007, udgivet af Statens Institut for Folkesundhed, fremgår det, at udviklingen i forbruget af antal sengedage for børn under 16 år på danske hospitaler kan beskrives ved funktionen f(x) = –9959x + 650584, hvor x betegner antal år efter 1978.

a) B eskriv, hvilken information funktionen giver om udviklingen i antal sengedage for børn under 16 år på danske hospitaler.

(stx-B eksamen december 2008)

Opgave 1.72 I en lineær sammenhæng er stigningstallet 4,5. a) Hvis x-værdien vokser med 1, hvad ændres y-værdien så med?

b) Hvis x-værdien vokser med 5, hvad ændres y-værdien så med?

31 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 31

05/12/2018 10.37

I en lineær sammenhæng er stigningstallet a.

c) Hvis x-værdien vokser med 1, hvad ændres y-værdien så med?

d) Hvis x-værdien vokser med 5, hvad ændres y-værdien så med?

e) Hvis x-værdien vokser med k, hvad ændres y-værdien så med?

Opgave 1.73 Vi har givet y = 3x + 4

a) Hvis ∆x = 2, hvad er så ∆y?

b) Hvis ∆x = 11, hvad er så ∆y?

c) Hvis ∆x = k, hvad er så ∆y?

Opgave 1.74

Vi har givet y = ax + b

a) Hvis ∆x = 2, hvad er så ∆y?

b) Hvis ∆x = 11, hvad er så ∆y?

c) Hvis ∆x = k, hvad er så ∆y?

Opgave 1.75

Vi har givet y = 3x + 4

a) Hvis ∆y = 21, hvad er så ∆x?

b) Hvis ∆y = –15, hvad er så ∆x?

c) Hvis ∆y = c, hvad er så ∆x?

Opgave 1.76

Vi har givet y = ax + b

a) Hvis ∆y = 21, hvad er så ∆x?

b) Hvis ∆y = –15, hvad er så ∆x?

c) Hvis ∆y = c, hvad er så ∆x?

Opgave 1.77

De tre lineære funktioner f, g og h har regneforskrifter med hældningskoefficienter: af = 1,09, ag = 1,10 og ah = 1,089. Hvilken af disse lineære funktioner vokser hurtigst?

32 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 32

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.78 De tre lineære funktioner f, g og h har regneforskrifter med hældningskoefficienter: af = –0,91, ag = –0,901 og ah = –0,917. Hvilken af disse lineære funktioner aftager hurtigst?

Opgave 1.79 En funktion har forskriften f(x) = 7x + b, hvor b er et tal. Punktet P(3,31) ligger på grafen for funktionen.

a) Bestem tallet b.

(stx-B eksamen august 2010)

Opgave 1.80 På figuren ses grafen for en lineær funktion f(x) = ax + b. Grafen for funktionen går som vist på figuren gennem punkterne P(2,5) og Q(4,11).

Q(4,11)

a) Bestem a og b. P(2,5)

(stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 1.81 Grafen for en lineær funktion går gennem punkterne P(1,–6) og Q(–2,3).

a) Bestem en forskrift for funktionen.

b) Bestem koordinatsættet til grafens skæringspunkt med y-aksen.

c) Bestem koordinatsættet til grafens skæringspunkt med x-aksen.

(stx-A eksamen august 2009)

Opgave 1.82 ntallet af spilleautomater i Danmark er i perioden 2003-2006 steget. A Figuren viser, at udviklingen med god tilnærmelse kan beskrives ved en lineær funktion f(x) = ax + b, hvor x er antal år efter 2003, og f(x) er antal spilleautomater. Det oplyses, at grafen for denne lineære funktion går gennem punkterne (0,17800) og (3,24500).

a) Bestem tallet a.

b) H vad fortæller tallet a om udviklingen i antallet af spilleautomater?

c) B estem antallet af spilleautomater i 2009, hvis udviklingen fortsætter.

d) I hvilket år vil antallet af spilleautomater overstige 40000, hvis udviklingen fortsætter?

Antal spilleautomater

20000

10000

3 Antal år efter 2003

(hf-C eksamen august 2008)

33 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 33

05/12/2018 10.37

Opgave 1.83

Hos en bestemt vognmand kan man købe stabilgrus. Nedenstående tabel viser sammenhængen mellem mængden af stabilgrus og den samlede pris inkl. kørsel. Stabilgrus (m3 )

Samlet pris (kr.)

2270

4820

Det oplyses, at sammenhængen mellem prisen og mængden af stabilgrus kan beskrives ved y = ax + b, hvor x er mængden af stabilgrus (m3 ), og y er den samlede pris (kr.).

a) Bestem tallene a og b.

b) H vad fortæller tallet a om prisen for stabilgrus?

Hos en anden vognmand koster stabilgrus 300 kr. pr. m3. Desuden skal man betale 750 kr. for kørsel.

c) H vor mange m3 stabilgrus skal man købe, før den første vognmand er den billigste?

(hf-C eksamen december 2009)

Opgave 1.84

abellen viser det daglige antal personrejser over T Øresundsbroen i årene 2001 og 2005. Antal år efter 2001

Dagligt antal personrejser

35359

50118

et daglige antal personrejser over Øresundsbroen i perioden D 2001-2005 kan med god tilnærmelse beskrives ved modellen y = ax + b, hvor y er det daglige antal personrejser, og x er antal år efter 2001.

a) Bestem tallene a og b.

b) K ommenter modellen, idet det oplyses, at det daglige antal personrejser over Øresundsbroen i 2007 var 67159.

Vi mangler flere og flere social og sundhedsmedarbejdere

Kilde: www.oresundsbron.com (hf-C eksamen december 2008)

35 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2006:

På landsplan 30 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Opgave 1.85

25 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

iguren viser fagforeningen FOA’s skøn over udviklingen i antalF let af manglende social- og sundhedsmedarbejdere i perioden 2006 -2015.

mangler vi 8000 SOSU'er

20 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2015:

På landsplan 15 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ mangler vi 35 000 SOSU'er

10 000 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5000

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

a) O pstil en lineær model, der beskriver den viste udvikling. (hf-B eksamen august 2008)

34 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 34

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

1.9 Ligninger, kurver og funktioner Opgave 1.86 To lineære funktioner er givet ved f(x) = 3x + 6 og g(x) = –4x + 8.

a) Tegn graferne for f og g.

b) Forklar den grafiske betydning af f(0) og f(10).

c) Forklar betydningen af g(x) = 32 og g(x) = 0.

d) Forklar betydningen af f(x) = g(x).

Opgave 1.87 En lineær funktion er givet ved f(x) = 5x + 19.

a) Tegn grafen for f.

b) Forklar den grafiske betydning af f(x + 1) – f(x).

c) Forklar den grafiske betydning af f(x + 2) – f(x).

d) Forklar den grafiske betydning af f(x + k) – f(x).

Opgave 1.88 Alder (år)

Længde (cm)

310

348

386

424

462

500

536

572

610

Tabellen viser sammenhørende værdier af alder og længde for en population af spækhuggere. I en model er sammenhængen mellem længden L (målt i cm) og alderen t (målt i år) en funktion af typen L(t) = at + b.

a) Bestem tallene a og b ved hjælp af tabellens data.

b) G iv en fortolkning af tallene a og b, og benyt modellen til at bestemme alderen af en 700 cm lang spækhugger.

Kilde: Duffield, D.A. and K.W. Miller, 1988. Demographic Features of Killer Whales in Oceanaria in the United States and Canada, 1965-1987. Rit Fiskideildar. 11: 297-306. (stx-B eksamen maj 2008)

35 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 35

05/12/2018 10.37

Opgave 1.89 I forbindelse med optagelse på College i USA skal der aflægges en særlig test. Resultatet af testen angives ved et testtal. Følgende tabel angiver testtallene i matematik for nogle udvalgte år: År

Testtal

1963

1967

1970

1974

1977

502

492

488

480

470

Sammenhængen mellem testtallene og antal år efter 1963 kan med god tilnærmelse beskrives ved en lineær funktion f.

a) Bestem en forskrift for f.

I 1980 var testtallet i matematik 466.

b) F orklar, hvad de tal, der indgår i forskriften for f, fortæller om udviklingen af testtallene, og kommenter, hvor godt det faktiske testtal i 1980 stemmer overens med det testtal, som kan beregnes ved hjælp af funktionen f.

(stx-A eksamen december 2008)

Opgave 1.90 I tabellen er angivet antallet af svært overvægtige voksne danskere over 16 år for perioden 1987-2005. Antal år efter 1987

Antal svært overvægtige

252036

343759

407931

473526

Udviklingen i antallet af svært overvægtige kan beskrives ved en funktion af typen

f(x) = a · x + b,

hvor f(x) er antallet af svært overvægtige danskere over 16 år til tidspunktet x (antal år efter 1987).

a) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for f.

b) Bestem ved hjælp af f antallet af svært overvægtige 25 år efter 1987.

Kilde: www.dst.dk (stx-B eksamen august 2010)

36 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 36

05/12/2018 10.37

1. Variabelsammenhænge og lineære funktioner

Opgave 1.91 Tabellen nedenfor viser tiderne for verdensrekorderne i maratonløb (målt i sekunder) for mænd i perioden 1981-2007.

År

1981

1984

1985

1988

1998

1999

2002

2003

2007

Tid

7698

7685

7632

7610

7565

7542

7538

7495

7466

Udviklingen i verdensrekorderne for en maraton i perioden 1981-2007 kan beskrives ved en model af typen W(t) = at + b, hvor t betegner tiden målt i år efter 1981, og W betegner verdensrekorden målt i sekunder.

a) Bestem tallene a og b.

b) F orklar betydningen af tallet a, og benyt modellen til at bestemme det år, hvor man kan forvente, at en maraton løbes på under 7200 sekunder, dvs. under 2 timer.

Kilde: www.marathonguide.com (stx-B eksamen maj 2009)

Opgave 1.92 To funktioner f og g er givet ved f(x) = 4x + 5 og g(x) = –2x + 12.

a) Bestem f(5), og løs ligningen g(x) = 16.

b) Bestem koordinatsættet til skæringspunktet mellem graferne for de to funktioner.

(stx-B eksamen maj 2010)

Opgave 1.93 To funktioner er givet ved f(x) = x + 200 og g(x) = –3x + 600.

a) Løs ligningen f(x) = g(x), og beskriv den grafiske betydning af resultatet.

(stx-B eksamen december 2008)

37 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 37

05/12/2018 10.37

1.10 Udfordrende opgaver Opgave 1.94 Der er givet to lineære funktioner f og g ved forskrifterne f(x) = 3x + 9 og g(x) = 5x + 11.

a) Bestem f(g(x)) = 3 · g(x) + 9.

b) Bestem g (f(x)).

c) Sammenlign hældningskoefficienterne for g (f(x)) og f (g(x)).

d) Sammenlign konstantleddene for g (f(x)) og f (g(x)).

Opgave 1.95 Der er givet to lineære funktioner f og g ved forskrifterne f(x) = ax + b og g(x) = cx + d.

a) Bestem f(g(x)).

b) Bestem g (f(x)).

c) Sammenlign hældningskoefficienterne for g (f(x)) og f (g(x)).

d) Sammenlign konstantleddene for g (f(x)) og f (g(x)).

Opgave 1.96 Der er givet en funktion f ved forskriften f(x) = 3x + 7. Opfat f(x) = 3x + 7 som en ligning, og isoler x i ligningen.

Opgave 1.97 Der er givet en funktion f ved forskriften f(x) = ax + b. Opfat f(x) = ax + b som en ligning, og isoler x i ligningen.

Opgave 1.98 Grafen for en lineær funktion f går igennem punkterne P(k,2k) og P(3k,7k), hvor k er en parameter.

a) Opret de to punkter i et matematisk værktøjsprogram, så k varieres med en skyder.

b) Tegn grafen for f i et matematisk værktøjsprogram.

c) Bestem hældningstallet og konstantleddet udtrykt ved parameteren k.

Opgave 1.99

Opgaver, der illustrerer de tre faglige niveauer, C, B og A I Grundforløbsbogen indeholder kapitel 2 og opgave 66 større opgaveforløb, der illustrerer, hvordan den samme problemstilling behandles på henholdsvis C, B og A niveau.

38 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 38

05/12/2018 10.37

Beskrivende statistik

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 2 . . . . . . . . 39 2. Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale . . . . . . . . . . . . . . 42 3. Numeriske variable – beskrivelse af store datasæt . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Kategoriske variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5. Udfordrende opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.0 B egreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 2

Opgave 2.1 Den beskrivende statistik vokser frem i midten af 1800-tallet med etableringen af særlige institutioner eller kontorer. I England etableres The General Register Office i 1836. Hvad var dette kontors opgaver?

Opgave 2.2

I 1834 etableres i England The Royal Statistical Society med det formål at indsamle data og gøre disse tilgængelige. Nævn nogle af medlemmerne i dette selskab.

Opgave 2.3 I en undersøgelse af de engelske soldaters situation gjorde Florence Nightingale en opdagelse, der rystede hende. Hvad var det, hun opdagede?

Opgave 2.4

Florence Nightingale (1820 -1910)

Florence Nightingale deltog som sygeplejerske i en af Englands mange krige i midten af 1800-tallet.

a) Hvad var det for en krig?

b) F lorence Nightingale indsamlede statistiske data, og opfandt særlige diagrammer til præsentation af disse data. Forklar indretningen af det særlige cirkulære diagram, hun anvender.

39 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 39

05/12/2018 10.37

Opgave 2.5 Hvad betyder ordet statistik?

Opgave 2.6 Beskriv med eksempler forskellen på numeriske og kategoriske variable.

Opgave 2.7 Givet et datasæt med 10 numeriske variable.

a) H vad forstår man ved prikdiagrammet for dette datasæt. Beskriv, hvordan det afsættes.

b) Hvordan bestemmes medianen af datasættet?

c) Hvordan bestemmes middeltallet for datasættet?

d) Vi har et fælles begreb for middeltal og median. Hvad er det?

Opgave 2.8 Vi ønsker at give et indtryk af et givet datasæt ved hjælp af bare ét tal. Giv eksempler på, hvor det er mest fornuftigt at bruge middeltallet, og hvor det er mest fornuftigt at bruge medianen.

Opgave 2.9 Givet et datasæt med 10 numeriske variable.

a) Hvad forstås ved kvartilsættet?

b) Hvad forstås ved det udvidede kvartilsæt?

c) Hvordan tegnes et boksplot for datasættet?

Opgave 2.10 Hvad er definitionen på de to spredningsmål:

a) Variationsbredde?

b) Kvartilbredde?

Opgave 2.11 Når et større datasæt afbildes grafisk, fx i et prikdiagram, så skelner vi mellem tre grundformer: symmetrisk, højreskæv, venstreskæv. Hvad er definitionen på disse begreber, og hvilket mål har vi for skævhed?

40 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 40

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.12 Hvad er en outlier for et givet datasæt?

Opgave 2.13 Der er to spredningsmål knyttet til middelværdien af et datasæt: Det vi blot kalder for spredningen, og det man kalder for standardafvigelsen.

a) Hvad er formlerne for udregningen af de to størrelser?

b) I hvilke situationer anvender man spredningen og i hvilke standardafvigelsen?

Opgave 2.14

a) Hvad forstås ved et grupperet datasæt?

b) Hvad er styrken, og hvad er svagheden ved at gruppere data?

Opgave 2.15 Givet en tabel over grupperede observationer (antalstabel eller procenttabel). Hvordan tegnes et histogram over disse grupperede observationer? Gå i detaljer med indretningen af diagrammet.

Opgave 2.16 Hvordan beregnes middeltallet for et grupperet datasæt? Forklar det både, hvor vi har en antalstabel og hvor vi har en procenttabel.

Opgave 2.17 Hvad betyder begrebet vejet gennemsnit (vægtet gennemsnit)?

Opgave 2.18 Hvad forstås ved kumulerede procenter?

Opgave 2.19 Hvordan tegnes en sumkurve for et grupperet datasæt? Forklar det i detaljer med: a) Indretning af koordinatsystemet b) Hvilke punkter, der danner sumkurven c) Hvor starter og slutter sumkurven

Opgave 2.20 Hvilke typer af spørgsmål kan en sumkurve give svar på?

41 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 41

05/12/2018 10.37

Opgave 2.21 Givet en sumkurve for et grupperet datasæt.

a) Hvordan aflæses median og kvartilsæt?

b) Hvordan fortolkes de enkelte kvartiler – giv et eksempel.

Opgave 2.22 En sumkurve, der tegnes ved at forbinde en række punkter med rette linjestykker, er et eksempel på en bestemt funktionstype. Hvad kaldes disse funktioner?

Opgave 2.23

a) I hvilket årstal fandt Titanics sidste rejse sted?

b) Omtrent hvor mange passagerer og besætningsmedlemmer var ombord?

Opgave 2.24 Hvad er forskellen på et histogram og et søjlediagram?

Opgave 2.25 Hvordan er et cirkeldiagram indrettet? Illustrer med et eksempel.

2.2 Numeriske variable – beskrivelse af et datamateriale Opgave 2.26 I en by har man over et år målt de gennemsnitlige månedstemperaturer. Et boksplot over disse ser således ud:

a) Hvad fortæller boksplottet om de gennemsnitlige månedstemperaturer?

42 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 42

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.27 I en løbeklub er aldersfordelingen

21, 21, 27, 28, 28, 32, 32, 32, 43, 44, 45, 45, 45, 45, 50, 50, 50, 51, 54, 54, 54, 67, 67, 67.

a) Skitser et prikdiagram over data.

b) Bestem det udvidede kvartilsæt, middeltallet, spredningen og standardafvigelsen.

d) Er data jævnt eller skævt fordelt?

e) Tegn et boksplot over fordelingen.

c) Bestem eventuelle outliers.

Opgave 2.28 På en skole har man konstateret, at børnene fra et bestemt boligkvarter fordeler sig på klassetrin som angivet i tabellen. klassetrin

antal

a) Bestem det udvidede kvartilsæt, middeltallet, spredningen og standardafvigelsen.

b) Bestem eventuelle outliers.

c) Tegn et boksplot over fordelingen.

Opgave 2.29 Der er givet tre forskellige datasæt A, B og C. Datasæt A: 30, 32, 32, 45, 45, 66, 66, 100. Datasæt B: 40, 40, 40, 50, 50, 60, 60. Datasæt C: 10, 10, 40, 50, 50, 60, 60, 60.

a) Skitser et prikdiagram for hvert datasæt

b) T egn boksplot for ovenstående datasæt, og undersøg, om de er symmetriske, højreskæve eller venstreskæve.

c) Er der nogle data i hvert datasæt, som er outliers?

Opgave 2.30 I et datasæt er der givet følgende data 2, 3, 3, x, 7, 7. Datasættet har samme median og middeltal.

a) Bestem middeltallet.

b) Er datasættet symmetrisk?

43 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 43

05/12/2018 10.37

Opgave 2.31 Tabellen viser nogle statistiske deskriptorer for længden af ål (målt i cm), der en dag blev fanget i Ribe Å.

Minimum

Første kvartil

Median

Tredje kvartil

Maksimum

a) Tegn et boksplot for længden af ål i fangsten.

(stx-B eksamen juni 2010)

Opgave 2.32 En klasse med 20 elever har efter en terminsprøve i matematik ladet duksen indsamle karaktererne. Alle elever undtagen Jens har afleveret deres karakterer. Tabellen nedenfor omfatter derfor kun sammentællingen af 19 elevers karakterer. Karakter Antal elever

–3

Det oplyses, at middeltallet (gennemsnittet) af alle 20 elevers karakterer er 4,7.

a) Bestem Jens' karakter.

b) B estem medianen for karaktersættet, og beskriv, hvad medianen fortæller om karakterfordelingen i klassen.

(hhx-B eksamen december 2008)

Opgave 2.33 I tabellen nedenfor ses superligaklubbernes spillerbudgetter og deres placeringer i superligaen. Klub

FC København OB Brøndby IF Esbjerg fB AaB FC Midtjylland FC Nordsjælland Silkeborg Sønderjyske Randers FC AGF HB Køge

Anslået spillerbudget 2009-10 i millioner kr. 125 47.5 67.5 27.5 37.5 37.5 21 21 17 32.5 27.5 12.5

Points 2009-10 68 59 52 50 48 47 43 43 41 40 38 19

44 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 44

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

a) K onstruer et boksplot for fordelingen af spillerbudgetterne, og kommenter dette med udgangspunkt i reglen om outliers.

b) B estem medianen og middelværdien af fordelingen af spillerbudgetterne, og benyt disse til at beskrive skævheden i fordelingen af spillerbudgetterne.

c) B rug regression og sammenlign klubberne spillerbudgetter med deres placering i superligaen.

Opgave 2.34 (Denne opgave forudsætter forudgående behandling af variabelsammenhænge) I en ”Analyse af tøjbutikker” fra Deloitte finder man denne figur.

a) I ndfør passende variable, og beskriv med ord forløbet for hver af de tre grafer i henhold til udviklingen i omsætningen blandt de tøjbutikker, der var med i analysen.

Kilde: www.deloitte.com

Opgave 2.35 En forbrugergruppe har indsamlet priserne på en bestemt vare i områdets 15 forretninger. Priserne var: 7,55 kr., 7,95 kr., 7,95 kr., 7,95 kr., 7,98 kr., 7,98 kr., 8,05 kr., 8,15 kr., 8,25 kr., 8,55 kr., 8,55 kr., 8,75 kr., 8,95 kr., 8,95 kr. og 9,05 kr.

a) B estem det udvidede kvartilsæt, middeltallet, spredningen og standardafvigelsen

Før priskrig

Senere under en priskrig indsamlede forbrugergruppen igen priserne i de 15 forretninger. Resultaterne af de to undersøgelser fremgår af boksplottene på figuren til højre.

Under priskrig

b) Bestem eventuelle outliers. c) G ør rede for de virkninger af priskrigen, som man kan aflæse af denne figur.

(Vejledende eksamensopgaver hf-C)

Pris i kr.

Opgave 2.36 Figuren til højre viser boksplot over antal scorede mål pr. kamp ved EM i herrehåndbold i 2006 og 2008.

a) B estem mindsteværdien, størsteværdien og kvartilsættet for antal scorede mål pr. kamp ved EM i 2008.

b) Sammenlign de to boksplot.

EM 2008

EM 2006

(hf-C eksamen august 2010) 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78

45 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 45

05/12/2018 10.37

Opgave 2.37 To personer skyder med luftgevær mod en skydeskive. De skyder hver en længere serie skud og måler for hvert skud afstanden til centrum af skydeskiven. Resultaterne for person nr. 1 kan beskrives ved følgende deskriptorer:

Deskriptor

Mindste observation

Nedre kvartil

Median

Øvre kvartil

Største observation

Afstand (mm)

Nedenstående figur viser et boksplot for resultaterne for person nr. 2. Person nr. 2

30 Afstand fra centrum (mm)

(Figuren kan hentes via QR-kode)

a) Tegn et boksplot for resultaterne for person nr. 1.

b) Sammenlign de to personers resultater.

(hf-C eksamen december 2008)

Opgave 2.38 I baseball skal en spiller slå til en bold og løbe så langt som muligt, indtil bolden er tilbage i ”basen”. Hvis en spiller derved når hele banen rundt, kaldes det et homerun. Eddie Murray (kaldet ”Steady Eddie”) er en tidligere professionel amerikansk baseballspiller. Antallet af homeruns pr. sæson for Eddie Murray fra 1977 til 1996 kan beskrives ved følgende boksplot: Eddie Murray Homeruns 1977-96

46 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 46

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

Fotoet viser Mark McGwire (kaldet ”Big Mac”), en anden tidligere professionel amerikansk baseballspiller. Antallet af homeruns pr. sæson for Mark McGwire fra 1986 til 2001 fremgår af nedenstående tabel:

År

Antal homerun

År

Antal homerun

1986

1994

1987

1995

1988

1996

1989

1997

1990

1998

1991

1999

1992

2000

1993

2001

a) B estem nedre kvartil, median og øvre kvartil for antal homeruns pr. sæson for Eddie Murray.

b) B estem nedre kvartil, median og øvre kvartil for antal homeruns pr. sæson for Mark McGwire.

c) Tegn et boksplot over fordelingen af antal homeruns pr. sæson for Mark McGwire. Sammenlign de to boksplot.

Kilde: www.baseball-reference.com (hf-C eksamen december 2006)

Opgave 2.39 Ved en konditionstest har man målt konditallet for 77 personer. I tabellen på næste side (der også findes på hjemmesiden) findes testresultaterne opdelt efter køn. Overfør tabellen til et regneark.

a) T egn to boksplot, der viser fordelingen af kondital for henholdsvis mænd og kvinder.

b) B eskriv forskellen på kvindernes og mændenes testresultater ud fra de to boksplot, idet kvartilsættene inddrages.

(stx-A-net terminsprøve april 2009)

47 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 47

05/12/2018 10.37

Resultater fra konditionstest 77 personer fordelt efter køn

Scan koden, og få adgang til data.

Kondital

Køn

Kondital

Køn

61,7

mand

49,2

mand

40,3

mand

41,6

mand

43,1

kvinde

49,2

mand

kvinde

47,9

mand

32,7

kvinde

48,5

mand

33,2

kvinde

53,5

mand

32,2

kvinde

47,4

mand

27,1

kvinde

mand

51,4

kvinde

54,9

mand

49,2

kvinde

38,9

mand

40,5

kvinde

37,5

mand

36,7

kvinde

44,2

mand

kvinde

40,6

mand

46,3

kvinde

54,9

mand

33,2

kvinde

mand

41,6

kvinde

43,9

mand

33,5

kvinde

41,1

mand

33,2

kvinde

30,9

mand

33,9

kvinde

50,9

mand

kvinde

mand

39,7

kvinde

35,2

mand

34,6

kvinde

50,9

mand

41,1

kvinde

50,9

mand

42,4

kvinde

52,3

mand

49,2

kvinde

58,1

mand

34,3

kvinde

55,5

mand

52,6

kvinde

49,9

mand

50,9

kvinde

55,5

mand

kvinde

53,7

mand

34,3

kvinde

mand

29,9

kvinde

43,8

mand

43,9

kvinde

50,9

mand

35,8

kvinde

49,9

mand

41,6

kvinde

53,7

mand

kvinde

49,2

mand

34,6

kvinde

mand

35,9

kvinde

57,1

mand

27,1

kvinde

41,1

mand

48 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 48

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

2.3 Numeriske variable beskrivelse af store datasæt Opgave 2.40 I en klasse er alle elevernes højder blevet målt. Mindsteværdien er 153 cm, størsteværdien er 200 cm, og kvartilsættet er (166,5;175;180).

a) T egn en sumkurve for højdefordelingen i klassen, hvor du vælger en intervalinddeling fra 150 til 200 med intervalbredder på 10.

Opgave 2.41 I en klasse er alle elever blevet spurgt om, hvor meget de ugentligt får i lommepenge. En elev har tegnet følgende kurve.

a) E r denne kurve en sumkurve for fordelingen af ugentlige lommepenge?

Opgave 2.42 I en gymnasieklasse har eleverne indsamlet data for alle elevers månedlige indkomst. De har nu tegnet et histogram over elevernes månedlige indkomst:

a) Aflæs opdelingen i indkomstintervaller, og bestem de tilhørende frekvenser (Hint: Frekvensen = søjlens andel af det samlede søjleareal).

b) Tegn en sumkurve over indkomstfordelingen.

500

1000

1500 2000 2500

49 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 49

05/12/2018 10.37

Opgave 2.43 I en gymnasieklasse er alle elevernes højde blevet målt. Det har givet følgende frekvenser: Interval

Frekvens

]150;160]

]160;170]

]170;180]

]180;190]

]190;200]

16%

24%

44%

12%

a) Bestem middeltallet for højdefordelingen i klassen.

De oprindelige data er 169, 188, 176, 180, 170, 175, 174, 160, 193, 167, 158, 179, 200, 180, 159, 173, 168, 176, 175, 153, 162, 166, 177, 191, 180.

b) Bestem middeltallet for højdefordelingen på baggrund af de konkrete højder.

c) Sammenlign de to middeltal, og forklar forskellen.

Opgave 2.44 En gartner har i en periode bestemt vægten af hver af de tomater, han plukkede. Nedenstående tabel viser fordelingen af tomaternes vægt. Vægt (gram)

Frekvens

40-60

60-80

80-100

100-120

120-140

18%

39 %

30 %

a) Bestem middeltallet for fordelingen af tomaternes vægt.

(hf-C eksamen december 2008)

Opgave 2.45 Danmarks første frimærke udkom i 1851. Brugte eksemplarer bliver solgt bl.a. på internetauktioner. Tabellen viser fordelingen af salgspriserne for 60 brugte eksemplarer af Danmarks første frimærke. Salgspris (kr.) Antal

50-100

100-150

150-200

200-250

250-300

300-350

a) Tegn et histogram over disse salgspriser.

b) Bestem middeltallet for disse salgspriser.

(hf-C eksamen december 2007)

50 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 50

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.46 I efteråret 2006 steg avisoplaget i Danmark voldsomt. Årsagen var udgivelsen af en række gratisaviser. På et tidspunkt blev 175 personer i et villakvarter spurgt om, hvor mange minutter de brugte på at læse gratisaviser pr. dag. Resultater fra undersøgelsen ses i skemaet herunder. Antal minutter

Intervalfrekvens

0-5

0,17

5-10

0,29

10-15

0,28

15-20

0,26

20-25

0,06

25-30

0,04

I alt

1,00

a) H vor mange personer brugte mellem 10 og 15 minutter pr. dag på at læse gratisaviser?

b) T egn et histogram over fordelingen af den tid, de bruger på at læse gratisaviser pr. dag.

c) H vor mange minutter pr. dag brugte de 175 adspurgte personer i gennemsnit på at læse gratisaviser?

(hhx-A eksamen august 2007)

Opgave 2.47

Hillerød 2006

Histogrammet til højre illustrerer aldersfordelingen i 2006 i Hillerød, der ligger nord for København. Følgende tabel viser aldersfordelingen i 2006 i København:

Procent 40 35

Alder

0-20

20-40

40-60

60-80

80-100

Procent

18,7

43,0

22,8

11,5

4,0

Note: I begge aldersfordelinger er personer over 100 år medregnet i intervallet 80-100.

30 25 20 15

a) T egn et histogram, der illustrerer aldersfordelingen i 2006 i København. Beskriv nogle af de væsentlige forskelle mellem aldersfordelingerne, som fremgår af de to histogrammer.

(hf-C eksamen maj 2007)

10 5

100 Alder

51 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 51

05/12/2018 10.37

Opgave 2.48 Denne sumkurve viser aldersfordelingen for deltagerne på diplomlederuddannelsen.

Procent 100 90

a) B estem medianen, og gør rede for, hvad dette tal betyder.

80 70 60

b) I hvilken af aldersgrupperne 35-40 år, 40-45 år eller 45-50 år er der flest deltagere?

50 40 30

(hf-C eksamen august 2006)

20 10 0 25

Alder

Opgave 2.49 For fødsler i anden halvdel af 2006 viser nedenstående tabel fordelingen af mødrenes alder på fødselstidspunktet. Mors alder på fødselstidspunktet Procentdel

15-20

20-25

25-30

30-35

35-40

40-45

45-50

1,4

9,8

32,2

38,2

15,6

2,7

0,1

a) T egn sumkurven, og bestem den procentdel af mødrene, som på fødselstidspunktet var mindst 37 år.

Kilde: www.sst.dk (stx-A eksamen maj 2010)

Opgave 2.50 I efteråret 2007 gennemførte alle 1.g-eleverne på et gymnasium en konditionstest, hvor de fik målt deres kondital. Til venstre ses en sumkurve, der angiver pigernes kondital.

Procent 100 90 80 70

a) B estem kvartilsættet for pigernes testresultater.

60 50 40

Kvinder i 15-19-årsalderen skal have et kondital på 46 eller derover for at være i god form.

30 20 10 0 15

Kondital

b) B estem hvor stor en procentdel af pigerne, der er i god form.

(stx-A-net terminsprøve april 2009)

52 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 52

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.51 Nedenstående skema viser aldersfordelingen for danskere, der ejer en motorcykel.

Alder (år)

18-29

30-39

40-49

50-59

60-69

70-

Frekvens

19 %

22 %

31 %

18 %

a) Bestem de kumulerede frekvenser, og tegn sumkurven for fordelingen.

b) B estem kvartilsættet for fordelingen. Forklar, hvad nedre kvartil fortæller.

Kilde: Berlingske Tidende, 17. februar 2007. (hf-C eksamen maj 2008)

Opgave 2.52 I en forstad til en større provinsby er en del af indbyggerne blevet spurgt, hvor mange timer pr. uge, de bruger på transport til og fra arbejde. Fordelingen af svarene er vist i nedenstående søjlediagram.

Frekvens

a) Tegn fordelingens sumkurve.

(hhx-A eksamen august 2008) 0,1

Timer

Opgave 2.53 Efter en sommerlejr blev 175 teenagere spurgt, hvor mange penge de havde brugt på sodavand og is. Svarene er vist i skemaet. Kr.

Intervalhyppighed

0-40

40-80

80-120

120-160

160-200

I alt 175

Ved renskrivningen af undersøgelsesresultatet blev et af tallene i skemaet glemt.

a) Gør skemaet færdigt.

b) Hvilken af værdierne median eller gennemsnit er størst? Begrund dit svar.

(hhx-A eksamen juni 2007)

53 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 53

05/12/2018 10.37

Opgave 2.54 Procent 44 40 36 32 28 24 20 16 12 8 4 20

60 70 80 90 100 Hvilepuls (slag pr. minut)

Histogrammet illustrerer fordelingen af hvilepulsen for eleverne i 1.g på et gymnasium.

Hvilepuls (pulsslag pr. minut)

30-40

40-50

50-60

60-70

70-80

80-90

Frekvens (%)

a) U dfyld ved hjælp af histogrammet en tabel som ovenstående. Bestem de kumulerede frekvenser.

b) T egn en sumkurve for fordelingen af elevernes hvilepuls. Hvor mange procent af eleverne har en hvilepuls på 57 eller derunder?

(hf-C eksamen august 2010)

Opgave 2.55 Nedenstående tabel viser antallet af virksomhedskonkurser i Danmark i 2009 fordelt efter virksomhedernes alder. Virksomhedens alder i år

Antal

0-5

956

5-10

2539

10-15

1235

15-20

989 I alt 5719

a) T egn såvel et cirkeldiagram som et søjlediagram, der viser aldersfordelingen af virksomhedskonkurser i 2009. b) B eskriv aldersfordelingen af virksomhedskonkurser ud fra disse to diagrammer.

(hhx-A eksamen august 2010)

54 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 54

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

2.4 Kategoriske variable Opgave 2.56 Ved Titanics forlis var fordelingen efter køn af de overlevende/ omkomne givet ved følgende tabel: Køn\Skæbne

Overlevede

Omkom

Mand

367

1364

Kvinde

344

126

a) Udvid tabellen, så den også omfatter totaler.

b) A fbild data i cirkeldiagrammer, der viser skæbnen som funktion af de to køn, og beskriv, hvad diagrammet viser.

c) O msæt tabellen til en procenttabel, der viser procentfordelingen for de to køn.

Opgave 2.57 I april 2007 blev der lavet en undersøgelse om anvendelse af lommeregnere på stx (det almene gymnasium) og hhx (handelsgymnasiet). Eleverne skulle blandt andet svare på følgende spørgsmål:

Har din undervisning i matematik C været tilrettelagt efter, at alle i klassen har anvendt samme lommeregnermodel?

Nedenfor ses to fordelinger. I den ene fordeling var matematik C (mat C) et fag i studieretningsforløbet, og 55 elever svarede på spørgsmålet. I den anden fordeling var matematik B (mat B) eller matematik A (mat A) et fag i studieretningsforløbet, og 35 elever svarede på spørgsmålet. Har din undervisning i matematik C været tilrettelagt efter, at alle i klassen har anvendt samme lommeregnermodel? stx og hhx mat C Ja

Nej

Har ikke brugt lommeregner

stx og hhx mat B eller mat A

Total

a) O pret cirkeldiagrammer for fordelingerne i mat C og mat B/mat A. Ser det ud, som om det spiller en rolle for brugen af en fælles lommeregner, om man har gået på en ikke-matematisk (mat C) eller en matematisk (mat B/mat A) studieretning?

b) U dfyld en tilsvarende tabel for procentfordelingen (søjleprocenter).

(hhx-B eksamen august 2008)

55 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 55

05/12/2018 10.37

2.5 Udfordrende opgaver Opgave 2.58 Et datasæt beskriver diameteren (målt i mm) af æblerne i en pose: 80, 91, 79, 101, 95, 110, 89, 93, 111 og 115.

a) Bestem det udvidede kvartilsæt for datasættet.

b) Bestem middeltallet og spredningen for datasættet.

c) Afgør, om datasættet er venstreskævt, symmetrisk eller højreskævt.

Æblet, der har diameteren på 115 mm, byttes med et æble, der har en større diameter.

d) Bestem diameteren for dette æble, da det netop bliver en outlier.

e) H vad kan du - uden at foretage beregninger - sige om medianen og middeltallet for det nye datasæt?

Opgave 2.59 I en samling på 10 sko er der sko med størrelsen 37, 39, 43, 44 og 47. Kvartilsættet for skosamlingen er (39, 43, 44).

a) Bestem to mulige sammensætninger af skostørrelser i samlingen.

b) Hvad er det største, og hvad er det mindste middeltal, du kan få?

Opgave 2.60 I et datasæt på 20 data er den øvre kvartil 60. En observation på 80 i datasættet er netop en outlier.

a) Bestem den mulige værdi for den nedre kvartil.

b) Bestem en mulig værdi for medianen.

Opgave 2.61

100%

Figuren viser en sumkurve over højdefordelingen blandt 800 elever på en skole. Bestem kvartilsættet for højdefordelingen, og bestem, hvor mange elever på skolen der er mindre end 160 cm.

50%

(stx matematik A-net maj 2014)

10% 150

160

170

180

190

200 cm

En forstørret udgave af grafen kan hentes via QR-koden.

56 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 56

05/12/2018 10.37

2. Beskrivende statistik

Opgave 2.62 Blandt eleverne på to forskellige studieretninger på et gymnasium har man opgjort fordelingen af den tid, den enkelte elev i gennemsnit bruger på Facebook pr. undervisningstime. Resultatet fremgår af boksplottet til højre.

a) S ammenlign brugen af Facebook blandt eleverne fra de to studieretninger ved at inddrage kvartilsættene.

b) T egn en mulig sumkurve for fordelingen af elevernes brug af Facebook i studieretning 1.

10 Tid på Facebook/minutter

(stx matematik A-net maj 2015)

Opgave 2.63 På en bestemt skole har man målt højden af hver elev. Målingerne blev sorteret i intervaller af længde 10, startende med 150 cm. Den mindste elev var 152 cm høj, og den højeste elev var 205 cm høj. Endvidere fandt man følgende kvartilsæt for elevernes højdefordeling: 162, 175, 184. Tegn en mulig sumkurve for højdefordelingen af eleverne. (stx matematik A-net maj 2016)

57 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 57

05/12/2018 10.37

Procent og rentesregning

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 3 . . . . . . . . 58 2. Procentregning og kapitalfremskrivning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3. Potenser og potensregneregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4. Summer af potensrækker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5. Opsparingsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6. Gældsannuitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 7. Amortisationstabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 3 Opgave 3.1 I 1856 diskuterer folketinget et forslag om at bygge en tunnel under Storebælt og en hængebro over Lillebælt. Hvad var baggrunden for oberst Anton Tschernings forslag?

Opgave 3.2

O mkring år 1900 diskuteres igen planer om tunneller under både Storebælt og Lillebælt.

a) Hvad var baggrunden for forslaget denne gang? b) E n landinspektør Ohrt udarbejdede et detaljeret forslag. Hvad gik dette ud på? Sammenlign med den tunnel, vi i dag har fået bygget.

Opgave 3.3

a) Hvornår bygges den første faste forbindelse over Lillebælt?

b) Var der en særlig grund til, at det skete på dette tidspunkt? Plakat af Aage Rasmussen.

Opgave 3.4 I 1936 fremlægger ingeniørfirmaerne Højgaard & Schultz, Christiani og Nielsen og Kampsax det store vej og broprojekt. Hvad var hovedtrækkene heri?

58 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 58

05/12/2018 10.37

3. Procent og rentesregning

Opgave 3.5 a) B eskriv hovedelementerne i den Storebæltsforbindelse, der blev etableret fra 1988 og frem. b) Hvordan var beslutningen om finansieringen af hele projektet?

Opgave 3.6 Forud for boringen af tunnelen foretog man nogle prøveboringer.

a) Hvad var formålet med disse prøveboringer?

b) P røveboringerne resulterede i, at man opstillede en matematisk model, der skulle hjælpe med til at lægge en tidsplan for borearbejdet. Hvad var det for en modelfunktion f(x), man anvendte? Hvad er den uafhængige variabel x og for en given x-værdi, hvad angiver så f(x)?

Opgave 3.7

a) Hvad betyder procent? b) Hvordan omskrives et procenttal til et decimaltal og et decimaltal til et procenttal? c) Hvordan kan man foretage en procentberegning som ét gangestykke?

Opgave 3.8

Den centrale formel i al procentregning sammenknytter startværdi og slutværdi.

a) Hvordan lyder formlen?

b) Hvordan opskrives formlen med symboler?

c) Formlen giver anledning til tre opgavetyper. Redegør for, hvilke tre det er.

d) Hvordan anvendes formlen, når der er tale om procentvis fald?

Opgave 3.9

Givet en variabelsammenhæng på tabelform, hvor den uafhængige variabel er tiden. Tabelværdierne ønskes omskrevet til indekstal.

a) Hvad forstås ved basisår?

b) Hvordan omskrives fra tabelværdier til indekstal?

c) Hvordan omskrives fra indekstal til almindelige tabelværdier?

d) Hvorfor anvendes indekstal? Giv eksempler, hvor det er en god ide.

59 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 59

05/12/2018 10.37

Opgave 3.10 I mange formler møder vi størrelsen 1 + r.

a) Hvad er den almindelige betegnelse for symbolet r?

b) Hvilken betegnelse anvendes, når der er tale om penge og kapitalfremskrivning?

Opgave 3.11 Når en startværdi vokser eller aftager med en bestemt procent over et antal perioder, kan vi opstille en formel til udregning af slutværdien.

a) Hvordan opskrives denne formel med symboler?

b) Formlen giver anledning til fire opgavetyper. Redegør for, hvilke fire det er.

c) Hvad kaldes perioder, når der er tale om penge?

d) Hvad kaldes denne formel, når der er tale om penge?

Opgave 3.12

a) E n elev får til opgave at udregne kvadratet på en række tal, bl.a. kvadratet på 5 og på 8. Eleven svarer ved at udregne 2 · 5 og 2 · 8. Kommenter elevens metode.

b) Hvad forstås ved kvadratroden af et tal? c) Hvad forstås ved den n’te rod af et tal, n a . Forklar med taleksempler.

Opgave 3.13

En størrelse vokser over et antal perioder. Hvad forstås ved den gennemsnitlige procent?

Opgave 3.14

Ligninger af typen a x = b, hvor den ukendte står som eksponent, kan ofte løses med brug af en særlig funktion. Hvad er det for en funktion? Giv eksempler på, hvordan den anvendes til at løse ligninger.

Opgave 3.15 a) Hvad er definitionen på et potensudtryk som an, fx 35? b) Opskriv de 5 potensregneregler, hvor eksponenterne er naturlige tal.

60 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 60

05/12/2018 10.37

3. Procent og rentesregning

Opgave 3.16 Potensbegrebet udvides, så eksponenterne principielt kan være alle tal. Hvad betyder: 0

b) a a) a

–n

c) a 2

e) a q

d) a n

Opgave 3.17 Hvad er formlen for summen af en potensrække, 1 + a + a2 + ... + an?

Opgave 3.18

a) Hvad forstår vi ved en opsparingsannuitet?

I formlen for en opsparingsannuitet A = b ⋅

n+1

(1 + r ) r

−1

indgår 4 størrelser.

b) Forklar formlen og hvad de 4 størrelser står for.

c) Forklar, hvilke opgavetyper der kan løses med brug af formlen.

Opgave 3.19

a) Hvad forstår vi ved en gældsannuitet (eller: et annuitetslån)?

I formlen for en gældsannuitet y = G ⋅

r indgår 4 størrelser. −n 1 − (1 + r )

b) Forklar formlen og hvad de 4 størrelser står for.

c) Forklar, hvilke opgavetyper der kan løses med brug af formlen.

Opgave 3.20 a) Hvad er en amortisationstabel, og hvad anvendes den typisk til? b) I grundbogen s. 131 nederst er vist et udsnit af en tabel. Forklar opbygningen.

3.2 Procentregning og kapitalfremskrivning Opgave 3.21 Momsen i Danmark er 25%.

a) En vare koster uden moms 370 kr. Hvad sælges den for i butikken?

b) En vare koster i butikken 638 kr. Hvad koster den uden moms?

c) Hvor stor en procentdel af prisen på 638 kr. udgør momsen?

d) En anden vare koster 840 kr. Hvor stor en procentdel af prisen udgør momsen?

e) Sammenlign resultaterne i c) og d), og giv en forklaring.

61 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 61

05/12/2018 10.37

Opgave 3.22 a) E n sygeplejerske får 378.000 kr. i løn. Hvor meget vil hun nå op på efter en lønstigning på 3,5%? b) E n bil kostede fra ny 238.000 kr. Den sælges brugt for 150.000 kr. Med hvor mange procent er prisen sat ned?

Opgave 3.23 Befolkningstallet i verden har ifølge FN udviklet sig efter denne tabel: År

1000

1250

1500

1750

1800

1850

1900

300

310

400

501

790

980

1260

1650

År

1900

1920

1940

1960

1980

2000

2010

2011

Bef. tal (mill)

1650

1860

2300

3020

4440

6060

6790

7000

Bef. tal (mill)

a) Udregn den procentvise stigning fra år 0 til år 1000 og fra år 1000 til år 2000.

b) E r væksten stabil i vores tid? Udregn den procentvise stigning for hver 20 års periode i 1900-tallet.

Opgave 3.24 I tabellen ses udviklingen i antal solgte biografbilletter (i 1000) Årstal

2015

2016

alle spillefilm

13629

12904

danske spillefilm

4091

2712

Sammenlign nedgangen ved at udregne det procentvise fald for begge.

Opgave 3.25

a) D et gennemsnitlige tv-forbrug i Danmark var i 1990 99 minutter om dagen. I 2000 var det 173 minutter. Hvor meget er det steget i procent? b) Udviklingen siden 2000 er ifølge Danmarks Statistik (opgjort i januar måned): Årstal dagligt forbrug (minutter)

2000

2005

2010

2015

173

177

228

207

Omregn tabellen til indekstal med basisår 2000.

62 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 62

05/12/2018 10.37

3. Procent og rentesregning

Opgave 3.26 Dagbladene opgør deres udbredelse ved at tælle antal avislæsere. Udviklingen på hverdagsaviser har været følgende: Gennemsnit for 2. halvår i:

2010

2012

2014

2016

Læsertal (i 1.000)

3027

2426

1869

1727

Omregn tabellen til indekstal med basisår 2012

Opgave 3.27 Fra fremskrivningsfaktor til ”læg procent til” og omvendt.

a) Besvar spørgsmålene i tabellens felter. Et tal ganges med 1,19. Hvor mange % bliver der lagt til?

Et tal ganges med 1,45. Hvor mange % bliver der lagt til?

Et tal ganges med 1,72. Hvor mange % bliver der lagt til?

Der bliver lagt 2% til tal. Hvad skal der ganges med?

Der bliver lagt 5,95% til tal Hvad skal der ganges med?

Der bliver lagt 40 % til tal. Hvad skal der ganges med?

b) Beskriv med ord, hvad du gør.

Opgave 3.28 Fra fremskrivningsfaktor til ”træk procent fra” og omvendt.

a) Besvar spørgsmålene i tabellens felter. Et tal ganges med 0,19. Hvor mange % bliver der trukket fra?

Et tal ganges med 0,45. Hvor mange % bliver der trukket fra?

Et tal ganges med 0,72. Hvor mange % bliver der trukket fra?

Der bliver trukket 2% fra tal. Hvad skal der ganges med?

Der bliver trukket 5,95% fra tal. Hvad skal der ganges med?

Der bliver trukket 40 % fra tal. Hvad skal der ganges med?

b) Beskriv med ord, hvad du gør.

63 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 63

05/12/2018 10.37

Opgave 3.29 I det følgende har vi en ændring i % på r.

a) Bestem fremskrivningsfaktor 1 + r. ri%

157

–89

–2

1+r

Opgave 3.30 I det følgende har vi en ændring i % på r.

a) Bestem fremskrivningsfaktor 1 + r. ri%

–11

–52

1+r

Opgave 3.31 En butik vil give 40% rabat på nogle udsalgsvarer. Men der skal også betales moms på 25%. I butikken diskuteres nu følgende muligheder:

a) Skal vi først give rabat og så lægge moms på bagefter?

b) Eller skal vi først lægge moms på og så give rabat af dette beløb?

c) Eller er rækkefølgen ligegyldig?

Kan du hjælpe dem med at finde det rigtige svar.

Opgave 3.32 En virksomheds omsætning er på 3 år faldet med 22%. Hvor meget skal omsætningen i alt stige med de næste 3 år for at nå tilbage til udgangspunktet?

Opgave 3.33 Indkomsten i et bestemt fag faldt gennem 10 år med i alt 20%. De næste 10 år steg den igen med 20%. Hvad er situationen efter de 20 år?

a) De ansatte har fået en større indkomst.

b) De ansatte har fået en lavere indkomst.

c) De ansatte har uændret indkomst i forhold til for 20 år siden.

Vælg evt. en bestemt startværdi på f.eks. 100, og undersøg, hvilket af de tre tilfælde der er opfyldt.

64 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 64

05/12/2018 10.37

3. Procent og rentesregning

Opgave 3.34 Vores flinke farmor indsatte 5000 kr. på en konto, da barnebarnet blev født. Pengene må hæves, når barnebarnet flytter hjemmefra. De står til 2,5% rente.

a) Hvor mange penge står på kontoen efter 1. år?

b) Hvor mange står der efter 5 år?

c) Hvor mange står der efter 18 år?

d) Hvad har den samlede procentvise ændring været på de 18 år?

e) S ammenlign dette tal med 18 · 2,5%. Hvad er din forklaring på, at tallene er forskellige?

Opgave 3.35 a) B eregn slutkapitalen K, når startkapitalen er 7450, renten er 4,5% og antal terminer er 7. b) B eregn startkapitalen K0, når slutkapitalen er 25000, renten er 6,2% og antal terminer er 15. c) B eregn renten, når startkapitalen er 8500, slutkapitalen 24800 og antal terminer er 20. d) Beregn antal terminer, der skal gå, når startkapitalen er 9000, slutkapitalen skal være 14000 og den gennemsnitlige procenttilvækst er 2,5%.

Opgave 3.36 Beregn den gennemsnitlige procentstigning pr. år, når befolkningstallet for 30 år siden var 17 mill. og i dag er 29 mill.

Opgave 3.37 Beregn den gennemsnitlige forrentning, når 1450 kr. på 5 år vokser til 1765 kr.

Opgave 3.38 Hvor mange km2 skov er der tilbage i et land, hvor der for 20 år siden var 55.000 km2, og der gennemsnitligt er forsvundet 5% om året?

Opgave 3.39 Mængden af radioaktivt stof aftager, når der udsendes radioaktiv stråling. Hvis der fra starten var 100 g, og der henfalder 0,42% pr. minut, hvor lang tid går der så, før der kun er halvt så meget, dvs. 50 g, tilbage.

65 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 65

05/12/2018 10.37

Opgave 3.40 a) R adioaktiv stråling bremses delvist af betonvægge. En given betonvæg reducerer strålingen med 11,6% pr. cm. Hvor tyk skal væggen være, før strålingen er nedsat fra 100 enheder til 50 enheder? b) J ordvolde nedsætter ligeledes radioaktiv stråling, men kun med 8% pr. cm. En stråling på 100 enheder ønskes nedsat til 2,5 enheder. Hvor tyk skal jordvolden være?

c) T ræ nedsætter ligeledes radioaktiv stråling. 100 enheder bremses ned til en strålingsintensitet på 2,5 enheder gennem en 120 cm tyk trævæg. Hvor stor er den procentvise nedsættelse pr. cm?

Opgave 3.41 En startkapital på 2.500 kr. får tilskrevet renter på følgende måde: 1. år: 2%, 2.år: 5%, 3. år: 6%.

a) Hvor meget står der på kontoen efter de tre år?

b) Hvor meget har den gennemsnitlige forrentning pr. år været?

3.3 Potenser og potensregneregler Opgave 3.42 Reducer følgende (uden brug af værktøjer):

a) a3 · a6 · a–2 · a

b) ( a3 ) · a–4 · a2 · ( a4 )

c) ( a2 · b) · a7 · b10

Opgave 3.43 Reducer følgende (uden brug af værktøjer): a)

10 ⋅ 10 ⋅ 10 5 10 4

−5

2 ⋅ 5 ⋅ 10 −2 5 8 2 ⋅ 5 ⋅ 10 12

2 ⋅4 ⋅8 4 16

a⋅ a

Opgave 3.44 Reducer følgende (uden brug af værktøjer): b) 169 ⋅ 169 a) 81 ⋅ 81

Opgave 3.45 Reducer følgende (uden brug af værktøjer): a)

1 5

⋅ 85

b) 8 −5 ⋅ 85

c) a− k ⋅ ak

1 ⋅ a− k k a

66 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 66

05/12/2018 10.37

3. Procent og rentesregning

Opgave 3.46 Reducer følgende (uden brug af værktøjer): 1

( a ⋅ b ) ⋅ ( a ⋅ b) (a ⋅ b ) 2 5

a 2 ⋅ a −3,5 ⋅ a 4 1 a 4 ⋅ a ⋅ a −1

5 ⋅ 6 10 ⋅ 2 3 ⋅ 5 ⋅ 4 12

−2

4 2

3.4 Summer af potensrækker Opgave 3.47 Udregn med brug af formlerne:

a) 1 + 3 + 32 + ... + 310

b) 1 + 5 + 52 + ... + 56

∑ 2,5

i =0

Opgave 3.48 Udregn med brug af formlerne: a) 1 + 0,9 + 0,92 + ... + 0,95

b) 1 + 0,9 + 0,92 + ... + 0,910

∞

∑ 0,9

i =0

Opgave 3.49 Udregn med brug af formlerne:

a) 1 + 0,8 + 0,82 + ... + 0,85

b) 1 + 0,8 + 0,82 + ... + 0,810

∞

∑ 0,8

i =0

Opgave 3.50 Udregn med brug af formlerne: a) 0,5 + 0,52 + ... + 0,55

b) 1,52 + ... + 1,510

∞

∑( ) i =1

3 i 4

Opgave 3.51 Udregn med brug af formlerne:

5 + 5 · 7 + 5 · 72 + ... + 5 · 719

Opgave 3.52 Udregn med brug af formlerne:

y + y · (1 + r) + y · (1 + r) 2 + ... + y · (1 + r)19

67 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 67

05/12/2018 10.37

3.5 Opsparingsannuitet Opgave 3.53 Bestem den samlede værdi af følgende opsparingsannuiteter: Ydelse pr. termin

500

1200

750

100

1000

Rentefod pr. termin

0,025

0,03

0,018

0,04

0,01

0,05

Antal indbetalinger

Samlede opsparing

Opgave 3.54 Bestem den samlede opsparing, henholdsvis ydelse for følgende:

Ydelse pr. år

12000

30000

Rente pr. år

3,6%

1,7%

2,4%

3,6%

1,7%

Første indbetaling

1.1.08

1.7.15

30.6.03

1.1.08

1.7.15

Sidste indbetaling

1.1.26

1.7.29

30.6.32

1.1.26

1.7.29

1.000.000

750.000

400.000

Samlede opsparing

Opgave 3.55 Find den ukendte rente eller det ukendte antal terminer i følgende opsparingsannuiteter: Beløb pr. år

Antal terminer

Samlede opsparing

5000

208.229,50

8000

201.032,00

750

5,5%

75.188,25

3000

78.592,20

800

20.672,29

1200

Terminsrente

4,2%

18.239,21

2400

60.000,00

7500

90.548,48

68 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 68

05/12/2018 10.37

3. Procent og rentesregning

Opgave 3.56 En opsparingsannuitet er givet ved en ydelse på 12000 kr. og et indestående på 80000 kr. efter 5 årlige indbetalinger. Bestem opsparingsannuitetens årlige rente.

Opgave 3.57

En opsparingsannuitet er givet ved en rente på 3 % om året og et indestående på 90.000 kr. efter 10 årlige indbetalinger. Bestem opsparingsannuitetens årlige ydelse.

3.6 Gældsannuitet Opgave 3.58 Bestem de ukendte størrelser i følgende gældsannuiteter: Samlet gæld (hovedstolen)

Ydelse pr. termin

Rente pr. termin

Antal terminer

40.000 kr.

12%

65.000 kr.

13%

600

2,25%

600

2,25%

1349 kr.

240,76

1048 kr.

186,05

50.000 kr.

3843,81

4,5%

50.000 kr.

5000

6,3%

50.000 kr.

3360,79

Opgave 3.59 En sovesofa til kontantpris 4295 kr. købes på afbetaling med 0 kr. i udbetaling og 24 månedlige ydelser på hver 256 kr.

a) Bestem den månedlige rente i procent (1 decimal).

b) Hvilken årlig rente svarer det til?

c) Hvor meget betaler vi i alt for sovesofaen?

d) I stedet låner man 4295 kr. i et pengeinstitut og betaler sovesofaen kontant.

Man aftaler med banken, at lånet afdrages med en månedlig ydelse på 256 kr., til en månedlig rente på 1,4%. Hvor mange måneder vil der gå før gælden er afviklet?

69 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 69

05/12/2018 10.37

Opgave 3.60 I en annonce for computerudstyr reklameres med følgende: • Samlet kontantpris 9.995,- kr. • Eller pr. md. i 48 mdr.: 0 kr. i udbetaling 353,- kr. • Eller pr. md. i 36 mdr.: 0 kr. i udbetaling 421,- kr.

a) Er der regnet med samme månedlige rente?

b) H vor stor en procentdel udgør udstyrets pris af det samlede beløb, som man kommer til at betale, hvis man køber over 48 måneder?

Opgave 3.61 Et annuitetslån på 150.000 kr. til 2,5% pr. halvår, med halvårlig rentetilskrivning og ydelse og med en løbetid på 30 år, ønskes ombyttet med et lån til en lavere rente og med samme betingelser i øvrigt. Ved omlægningen skal man regne med, at lånets hovedstol øges med 25.000 kr., og at der er andre omkostninger på 10.000 kr.

a) U dregn, om det kan betale sig at omlægge lånet, hvis renten for det nye lån er på 2% pr. halvår.

b) Hvad skal renten være, før vi får en lavere ydelse?

3.7 Amortisationstabeller Opgave 3.62 Et annuitetslån på 500.000 kr. og med en rente på 2,5% pr. år skal tilbagebetales over 30 år. (Der regnes ikke med bidragssats og gebyr.)

a) Hvad bliver den årlige ydelse?

b) Opstil en amortisationstabel for lånets afvikling.

c) Hvad er restgælden efter 10 år? Efter 20 år?

d) Hvornår er restgælden nede på det halve, dvs. 250.000?

Opgave 3.63 Et par optager et annuitetslån på 2 mill. kr. til huskøb til en rente på 3 %. Lånet ønskes afbetalt med årlige ydelser på 100.000 kr.

a) Hvor lang tid tager det at betale lånet?

b) Opstil en amortisationstabel for lånets afvikling.

c) Hvad er restgælden efter 10 år?

d) Parret drømmer om at kunne få råd til at lave et nyt køkken. Banken vil først låne dem penge til det, når de har afdraget mindst 20% af lånet i huset. Hvornår har de gjort det?

70 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 70

05/12/2018 10.37

Eksponentielle vækstmodeller

0. Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . 2. Eksponentialfunktionerne y = b · a

og deres grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4. Udregning af regneforskrift ud fra to punkter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5. Fordoblings- og halveringskonstanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6. Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.0 Begreber, sætninger og formler, du skal kende fra kapitel 4 Opgave 4.1 Hvornår omtrent foregik den 5 år lange jordomrejse, hvor Darwin indsamlede materialer og foretog optegnelser, som siden dannede grundlag for hans teori om Arternes oprindelse?

Opgave 4.2 a) H vad hedder den øgruppe i Stillehavet, som Darwin besøgte, og hvor han indsamlede data om dyrelivet, der fik en afgørende betydning for hans senere teori? b) P å øgruppen studerede han i særlig grad en bestemt gruppe af fugle, de såkaldte jordfinker. Hvad var det for en opdagelse Darwin gjorde?

Opgave 4.3 Med sig på rejsen havde Darwin et nyudgivet naturvidenskabeligt værk, Charles Lyells Principles of Geology, der kom til at præge hans egen tænkning. Hvad var det særlige og epokegørende nye i dette værk?

Opgave 4.4 Hvad ville konsekvensen være for livets udvikling, hvis et afkoms egenskaber var en slags gennemsnit af forældrenes egenskaber?

71 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 71

05/12/2018 10.37

Opgave 4.5 I 1837 tegner Darwin en første skitse til, hvordan livet og de mange arter kan have udviklet sig. Han giver sin skitse et navn – hvilket?

Opgave 4.6 I arbejdet med at organisere og systematisere sit omfattende materiale finder Darwin endelig nøglen til at løse gåden, da han i 1838 læser et bestemt samfundsteoretisk værk. Hvilket værk var det, og hvad handler inspirationen herfra mere præcist om?

Opgave 4.7 a) Hvad er titlen på det værk, Darwin endelig udgiver i 1859? b) I senere udgaver inddrog Darwin begrebet ”survival of the fittest”. Hvad menes hermed? Hvordan kan materialet fra Galapagos understøtte denne teori?

Opgave 4.8 Hvad er den karakteristiske forskel på lineær vækst og eksponentiel vækst?

Opgave 4.9 a) Hvad er regneforskriften for en eksponentiel udvikling? b) Hvilke betegnelser anvendes for de to konstanter, der indgår?

Opgave 4.10 Gennemfør en sammenligning af formlen for kapitalfremskrivning med regneforskriften for en eksponentiel udvikling: Kn = K0 ·(1 + r) n. Hvilke symboler svarer til hinanden? Hvilken begreber svarer til hinanden?

Opgaver 4.11 a) G ivet en eksponentiel udvikling. Hvad er sammenhængen mellem fremskrivningsfaktor a og vækstrate r? Illustrer med eksempler. b) D en formel, du har opstillet i punkt a), gælder, når x vokser med 1. Hvad er sammenhængen, hvis x vokser med 3? Hvad er sammenhængen, hvis x vokser med ∆x?

Opgaver 4.12 a) F or hvilke værdier af fremskrivningsfaktoren er en eksponentiel udvikling voksende, og for hvilke er den aftagende? b) F or hvilke værdier af vækstraten er en eksponentiel udvikling voksende, og for hvilke er den aftagende?

Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 72

05/12/2018 10.37

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgaver 4.13 a) G ivet en grafisk fremstilling af en eksponentiel udvikling. Hvilken information om konstanterne i forskriften kan man uddrage ved at se på det grafiske billede? b) G ivet en regneforskrift for en eksponentiel udvikling. Hvorledes kan vi skitsere grafen ud fra regneforskriften?

Opgaver 4.14 a) H vad betyder definitionsmængden for en funktion? Hvad er definitionsmængden for en eksponentiel udvikling? b) H vad betyder værdimængden for en funktion? Hvad er værdimængden for en eksponentiel udvikling?

Opgaver 4.15 Hvad menes med formuleringen: Eksponentiel vækst er gangevækst?

Opgaver 4.16 a) H vordan er det grafiske forløb for en eksponentielt aftagende funktion, f(x) = b · a x, når x → ∞? b) V i har indført et særligt matematisk begreb til at beskrive denne og lignende situationer, hvor et punkt på grafen bevæger sig uendeligt langt bort fra origo. Hvad er det for et begreb?

Opgaver 4.17 Giv eksempler på, hvordan vi oversætter fra formel til sprog, når vi skal give en fortolkning af henholdsvis en given voksende og en given aftagende eksponentiel udvikling.

Opgaver 4.18 Givet et datasæt.

a) Hvad menes med at foretage eksponentiel regression på datasættet?

b) H vad forstås ved datasættets residualer? Hvad er det største, og hvad er det mindste residual?

c) Hvad er residualplottet?

d) I hvilke tilfælde vil residualplottet give anledning til at overveje, om modellen er god nok? Giv gerne eksempler.

73 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 73

05/12/2018 10.37

Opgaver 4.19 Regneforskrifter for eksponentialfunktioner har to forskellige former. Beskriv de to former, og forklar, hvordan man omskriver fra den ene til den anden.

Opgaver 4.20 Givet to punkter på grafen for en eksponentialfunktion. Regneforskriften kan udregnes ved forskellige metoder. Beskriv en af disse metoder, der kan anvendes ved en prøve med hjælpemidler, og en metode der kan anvendes ved en prøve uden hjælpemidler.

Opgave 4.21 a) H vilken metode anvendte kirken til at bestemme Jordens alder? Hvad var kirkens bud på en alder? b) H vilken metode anvendte Buffon til at bestemme Jordens alder? Hvad var hans estimat? c) Hvad var Darwins estimat på Jordens alder? Hvordan nåede han frem til det? d) Kelvin foretager nogle komplicerede beregninger på varmestrømme i et stort legeme som Jorden. Hvad var hans estimat på jordens alder?

Opgave 4.22 a) Hvad er radioaktivitet for et fænomen, og hvornår blev det opdaget? b) R utherford opdagede en helt særlig karakteristisk egenskab ved radioaktive stoffer. Hvad var det for en egenskab? c) R utherfords opdagelse kunne anvendes til at beregne Jordens alder. Hvordan det? Og hvilken alder nåede Rutherford selv frem til? d) Hvad er Jordens alder ifølge vor tids forskning?

Opgave 4.23 a) H vad er definitionen på fordoblingskonstant? Giv et eller flere eksempler på fordoblingskonstanter. b) Hvordan aflæser man en fordoblingskonstant grafisk?

Opgave 4.24 a) H vad er definitionen på halveringskonstant? Giv et eller flere eksempler på halveringskonstanter. b) Hvordan aflæser man en halveringskonstant grafisk?

Opgave 4.25 Hvad er formlerne for fordoblings- og halveringskonstant?

74 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 74

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

4.2 Eksponentialfunktionerne f(x) = b · ax og deres grafer

Opgave 4.26 Angiv konstantfaktor, fremskrivningsfaktor og vækstraten for følgende eksponentielle funktioner: a) f(x) = 200 · 1,12 x c) f(x) = 1,15x · 23

b) f(x) = 110 · 0,98x d) f(x) = 0,78x · 2

Opgave 4.27 En eksponentiel funktion har følgende tabelværdier: x

–1

y = f(x)

16 3

Angiv konstantfaktor, fremskrivningsfaktor og vækstrate.

Opgave 4.28 En eksponentiel funktion har følgende tabelværdier: x

–1

y = f(x)

Angiv konstantfaktor, fremskrivningsfaktor og vækstrate

Opgave 4.29

Figuren viser grafen for en eksponentiel funktion.

14 12 10 8 6 4 2

Angiv konstantfaktor samt fortegn for vækstraten. –10

–5

x 5

–4 –6 –8 -10

75 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 75

05/12/2018 10.38

Opgave 4.30 y 14 12 10 8 6 4 2 –10

–5

Figuren viser grafen for en eksponentiel funktion.

Angiv konstantfaktor samt fortegn for vækstraten.

f x 5

–4 –6 –8 –10

Opgave 4.31

1) y = 2 · 3x

2) y = 2 · 1,8x

3) y = 2 · 0,9x

4) y = 2 · 0,4x

a) H vilke grafer hører sammen med hvilke funktioner?

å figuren ses graferne for fire forskellige eksponentialP funktioner:

x 1

Opgave 4.32

å figuren ses graferne for fire forskellige eksponentialP funktioner: 1) y = 5 · 1,3x

2) y = 0,2 · 1,3x

3) y = 1,3x

4) y = 3 · 1,3x

a) Hvilke grafer hører sammen med hvilke funktioner?

x 1

Opgave 4.33 I en eksponentiel funktion f er a = 1,235.

a) Bestem vækstraten for ∆x = 1.

b) Bestem vækstraten for ∆x = 3.

c) Bestem vækstraten for ∆x = 7.

76 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 76

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.34 I en eksponentiel funktion f er a = 0,931.

a) Bestem vækstraten for ∆x = 1.

b) Bestem vækstraten for ∆x = 3.

c) Bestem vækstraten for ∆x = 7.

Opgave 4.35 I en model er der givet tre eksponentielle funktioner f, g og h, hvor fremskrivningsfaktorerne er af = 1,09 , ag = 1,10 og ah = 1,089. Hvilken vækstmodel har den største procentvise tilvækst ved en given fast x-tilvækst?

Opgave 4.36 I en model er der givet tre eksponentielle vækstmodeller f, g og h, hvor fremskrivningsfaktorerne er af = 0,91 , ag = 0,901 og ah = 0,917. Hvilken vækstmodel har den største procentvise fald ved en given fast x-tilvækst?

Opgave 4.37 En bakteriekultur har til at begynde med en størrelse på 1000. Antallet af bakterier fordobles hver time.

a) Opskriv en sammenhæng mellem antallet af bakterier i bakteriekulturen og tiden.

b) Bestem antallet af bakterier i bakteriekulturen efter 3,5 timer.

c) Bestem tidspunktet, hvor antallet af bakterier er 10-doblet.

Opgave 4.38 I tabellen ses indbyggertallene for staten New York og staten Florida i år 2000. Endvidere ses de årlige vækstrater for de to stater i perioden 1990-2000. Indbyggertal i år 2000 (mio.)

Årlig vækstrate i perioden 1990-2000

18,98

0,54%

15,98

2,13%

Staten New York

Staten Florida

a) B estem, hvor mange procent indbyggertallet i alt voksede i Florida i perioden 1990-2000, og bestem indbyggertallet i Florida i 2007, hvis det forudsættes, at væksten efter år 2000 fortsætter på samme måde som i perioden 1990-2000. b) B estem, hvornår de to stater vil have lige mange indbyggere, hvis det forudsættes, at væksten i de to stater efter år 2000 fortsætter på samme måde som i perioden 1990-2000.

Kilde: http://quickfacts.census.gov (stx-B eksamen august 2007)

77 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 77

05/12/2018 10.38

Opgave 4.39 I en prognose for Angolas befolkningstal benytter man modellen y = 14 · 1,023x, hvor y er befolkningstallet i millioner indbyggere, og x er antal år efter 2000.

a) Hvad fortæller tallene 14 og 1,023 om udviklingen i Angolas befolkningstal?

Kilde: www.globalis.dk (hf-B eksamen august 2008)

Opgave 4.40 Begrund, hvilke af funktionerne

g(x) = 0,34 · 1,27x

h(x) = 3,41 · 0,72 x

k(x) = 7,2 · 4,2 x

der er voksende, og bestem en forskrift for den eksponentielt voksende funktion f, der har vækstrate 20%, og for hvilken f(0) = 10. (stx-B eksamen december 2007)

Opgave 4.41 Der er givet funktionerne g(x) = 0,83 · 1,24x

h(x) = 3,9 · 0,58x

f(x) = –7,2x + 34

a) Begrund i hvert af de tre tilfælde, om funktionen er voksende eller aftagende.

(hf-B eksamen december 2008)

Opgave 4.42 På en bestemt fabrik er antallet af producerede enheder siden 2005 faldet med 3% om året. I 2005 producerede fabrikken 126000 enheder.

a) I ndfør passende betegnelser, og opstil en formel, der beskriver udviklingen i antallet af producerede enheder pr. år i årene efter 2005.

(stx-B eksamen juni 2010)

Opgave 4.43 I en model for salget af juice af et bestemt mærke, sælges der i januar måned 5432 stykker. Samme år vokser salget af denne type juice med 9,5% pr. måned.

a) Opskriv en model for salget af denne type juice.

Opgave 4.44 I en model for salget af aviser af et bestemt mærke, sælges der i januar måned 20000 stykker. Samme år aftager salget af denne type aviser med 2,3% pr. måned.

a) Opskriv en model for salget af denne type aviser.

78 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 78

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

4.3 Eksponentiel regression – fra tabel til graf og formel Opgave 4.45 Hvert år opgøres de danske bankers samlede nettogebyrindtægt for 1. halvår, her kaldet DHN. Tabellen viser DHN for hvert af årene i perioden 2002-2006. Årstal

2002

2003

2004

2005

2006

DHN (mia. kr.)

6,697

7,160

8,137

8,408

10,538

I en model antages det, at DHN (mia. kr.) som funktion af tiden x (antal år efter 2002) med god tilnærmelse kan beskrives ved en eksponentiel udvikling f.

a) Plot data i et koordinatsystem.

b) Benyt tabellens data til at bestemme en forskrift for f.

c) T egn et residualplot, og bestem den største afvigelse mellem de observerede værdier og modelværdierne.

d) Benyt modellen til at bestemme DHN for 2007 og til at bestemme fordoblingskonstanten for DHN.

Kilde: Politiken, mandag d. 16. oktober 2006. (stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 4.46 År

Solenergi (MW)

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

11,7

15,6

22,6

32,8

49,4

68,9

116,4

Tabellen viser for hvert af årene 1999-2006 mængden af udvundet solenergi i Spanien. I en model antages det, at den udvundne solenergi P (målt i MW) som funktion af tiden t (målt i år efter 1999) med tilnærmelse kan beskrives ved sammenhængen

P = P 0 · at ,

hvor P0 og a er tal.

a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene P0 og a.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) B enyt modellen til at forudsige mængden af udvundet solenergi i Spanien i år 2008 samt til at forudsige, hvornår udvindingen af solenergi i Spanien overstiger 400 MW.

(stx-A og -B eksamen august 2008)

79 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 79

05/12/2018 10.38

Opgave 4.47 Tabellen viser sammenhørende værdier af Danmarks bruttonationalprodukt (BNP) og tiden. År

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

BNP (mia. kr.)

1090

1124

1156

1193

1219

1250

1294

I en model antages det, at BNP er en funktion P af tiden t (målt i antal år efter 1994) af typen

P(T) = P0 · at,

hvor P0 og a er tal.

a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene P0 og a.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) Benyt modellen til at beregne Danmarks bruttonationalprodukt i 2006, og sammenlign med Danmarks faktiske bruttonationalprodukt i 2006, som var 1638 mia. kr.

Kilde: Danmarks Statistik. (stx-B eksamen december 2008)

Opgave 4.48 Af tabellen fremgår, hvor mange børn der efter 1997 er blevet behandlet for ADHD, dvs. forstyrrelse af opmærksomhed, aktivitet og impulsivitet. År

Antal

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

511

697

954

1305

1525

1921

2490

3284

4452

5804

7180

Det antages, at tabellens data kan beskrives ved en funktion af typen

N(t) = N0 · at,

hvor N(t) er antallet af børn i behandling for ADHD til tiden t (målt i år efter 1997).

a) Benyt tabellens data til at bestemme tallene N0 og a.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) G ør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i antallet af børn i behandling for ADHD, og benyt den fundne forskrift til at bestemme det forventede antal børn i behandling for ADHD i 2010.

(stx-A og -B eksamen august 2009)

80 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 80

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.49 Nedenstående tabel viser for nogle af årene 2001-2007 det årlige antal pendlere over Øresund fra Sverige til Danmark. År

2001

2003

2005

2006

2007

Årlige antal pendlere

3751

5683

8783

12251

15742

I en model kan det årlige antal pendlere over Øresund i perioden 2001-2007 beskrives ved en funktion af typen

P(t) = P0 · at,

hvor P(t) betegner det årlige antallet af pendlere over Øresund fra Sverige til Danmark, og t betegner antal år efter 2001.

a) Benyt tabellens data til at bestemme de to konstanter P0 og a.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) G ør rede for, hvad tallet a fortæller om udviklingen i det årlige antal pendlere over Øresund fra Sverige til Danmark i perioden 2001-2007, og bestem ved hjælp af modellen det årlige antal pendlere fra Sverige til Danmark over Øresund i 2010.

Kilde: www.tendensoresund.org (stx-B eksamen december 2009)

Opgave 4.50 Tabellen viser den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger i perioden 1994-2008. Årstal

1994

1996

1998

2000

2002

2004

2006

2008

Affaldsproduktion (tons)

2575

2767

2796

3084

3121

3164

3298

3654

I en model antages det, at den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger kan beskrives ved en model af typen w(t) = b · at, hvor w(t) betegner den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger (målt i tons) til tiden t (målt i år efter 1994).

a) Benyt tabellens data til at bestemme a og b.

b) Tegn grafen for w(t) sammen med datapunkterne, og tegn residualplottet.

c) B enyt modellen til at bestemme den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger i 2005, og bestem det år, hvor den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger var 3500 tons. Udfør grafisk kontrol på din tegning fra b).

d) Benyt modellen til at bestemme den årlige affaldsproduktion fra danske husholdninger i 2009, og vurder modellens rækkevidde ud fra en sammenligning af den fundne værdi og den faktiske værdi, som var 3437 tons. Sammenligningen skal både inddrage den absolutte og den relative forskel.

81 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 81

05/12/2018 10.38

Opgave 4.51 En variabelsammenhæng mellem to variable, x og y, beskrives med en eksponentiel vækstmodel. Til en bestemt værdi af den uafhængige variabel x hører en observeret værdi af den afhængige variabel på 20 og en modelværdi på 23,1.

a) B estem den absolutte afvigelse mellem den observerede værdi af y og modelværdien af y.

b) B estem den relative afvigelse mellem den observerede værdi af y og modelværdien af y.

Opgave 4.52 I en model for udviklingen i værdien af en kryptovaluta gælder følgende sammenhæng y = 25 · 1,78x, hvor y er værdien af en kryptovaluta, og x er antallet af år efter 2014. I år 2016 er værdien af den bestemte kryptovaluta 133.

a) B estem den absolutte afvigelse mellem den observerede værdi i 2016 og modelværdien i 2016.

b) B estem den relative afvigelse mellem den observerede værdi i 2016 og modelværdien i 2016.

Opgave 4.53 CO2-udledningen i Kina har ændret sig. I en model antages det, at udviklingen i CO2udledningen kan beskrives ved en eksponentiel vækstmodel givet ved f(x) = b · a x, hvor x er antallet af år efter 1960 og f(x) er CO2-udledningen (målt i tons pr. indbygger). Hent data via QR-koden.

a) Bestem konstanterne a og b.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) Bestem CO2-udledningen i 2030 ifølge modellen.

(Kilde: https://data.worldbank.org/country/china)

Opgave 4,54 Bruttonationalproduktet i Kina har ændret sig. I en model antages det, at udviklingen i bruttonationalproduktet kan beskrives ved en eksponentiel vækstmodel givet ved f(x) = b · a x, hvor x er antallet af år efter 1960, og f(x) er bruttonationalproduktet (målt i US$). Hent data via QR-koden.

a) Bestem konstanterne a og b.

b) Tegn et residualplot, og bestem det største residual.

c) Bestem bruttonationalproduktet i 2030 ifølge modellen.

(Kilde: https://data.worldbank.org/country/china)

82 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 82

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

4.4 Udregning af regneforskrift ud fra to punkter

Opgave 4.55 Fosforkoncentrationen (målt i µg fosfor pr. liter) i Kruså Sø faldt fra 230 i 1998 til 64 i 2005. I en model går man ud fra, at fosforkoncentrationen som funktion af tiden er eksponentielt aftagende.

a) B enyt modellen til at fremsætte en prognose for fosforkoncentrationen i Kruså Sø i 2010.

b) F remsæt en prognose for fosforkoncentrationen i Kruså Sø i 2010, hvis man i stedet for en eksponentiel model benytter en lineær model, og kommenter resultatet.

(stx-B eksamen december 2007)

Opgave 4.56 En funktion f er bestemt ved f(x) = b · ax. Grafen for f går gennem punkterne (2,20) og (4,80).

a) Bestem tallene a og b.

(stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 4.57 Om en eksponentielt voksende funktion f gælder, at f(3) = 200 og f(5) = 800.

a) Bestem en forskrift for f .

(stx-B eksamen maj 2008)

Opgave 4.58 Om en eksponentielt voksende funktion f oplyses, at f(4) = 3 og f(6) = 27.

a) Bestem forskriften for f .

(stx-A eksamen maj 2009)

83 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 83

05/12/2018 10.38

4.5 Fordoblings- og halveringskonstanter Opgave 4.59 y

å den viste figur ses graferne for tre forskellige eksponentialfunktioner f, P g og h.

h g

a) Hvilken funktion har den største fordoblingskonstant?

b) S æt fordoblingskonstanterne i rækkefølge med den mindste først.

f 1

x 1

Opgave 4.60 y

å den viste figur ses graferne for tre forskellige eksponentialP funktioner f, g og h.

a) Hvilken funktion har den største halveringskonstant?

b) S æt halveringskonstanterne i rækkefølge med den mindste først.

Opgave 4.61 En kapital på 1000 kr indsættes på en konto, hvor renten er 2,9% p.a.

a) Hvor lang tid går der, før kapitalen er fordoblet?

b) Er fordoblingstiden afhængig af startkapitalen? Begrund dit svar.

Opgave 4.62 Udviklingen i verdensbefolkningen følger i tidsrummet 1960 til 1995 en eksponentiel sammenhæng, hvor der i 1960 er 3 milliarder og i 1995 er 5,6 milliarder.

a) Bestem konstanterne a og b i sammenhængen.

b) B estem den gennemsnitlige årlige vækstrate.

c) U nder antagelse af at modellen holder, bestem da tidspunktet, hvor antallet af verdensbefolkningen er 15 milliarder.

d) Bestem den tid, der går, før verdensbefolkningen er fordoblet.

e) Opskriv sammenhængen på formen y = b · ekx.

84 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 84

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.63 Om en eksponentielt aftagende funktion f oplyses, at grafen for f går gennem punktet P(3,100), og at halveringskonstanten er 47.

a) Bestem en forskrift for f.

(stx-B eksamen december 2007)

Opgave 4.64 I perioden 1980-2000 kan antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn beskrives ved modellen

f(t) = 297 · 1,0679t, 0 ≤ t ≤ 20,

hvor f(t) er antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn til tidspunktet t (målt i år efter 1980).

a) Bestem fordoblingstiden for f(t).

b) G ør rede for, hvad konstanterne i modellen fortæller om udviklingen i antallet af retspsykiatriske patienter under tilsyn i perioden 1980-2000.

(stx-B eksamen august 2008)

Opgave 4.65 Massen af en klump af den radioaktive isotop Ni-63 er bestemt ved –0,007534t , f(t) = 2e hvor t er tiden (målt i år), og f(t) er massen af klumpen (målt i gram).

a) B estem halveringstiden, og bestem, hvor mange år der går, før massen af klumpen er 0,5 g.

(stx-B eksamen december 2008)

Opgave 4.66 I 1996 var der ifølge Sundhedsstyrelsen 113570 diabetikere i Danmark. Efter 1996 er antallet af diabetikere i Danmark steget med 7,1% pr. år.

a) O pstil en model, der beskriver udviklingen i antallet af diabetikere i Danmark efter 1996.

b) Bestem fordoblingstiden for antal diabetikere i Danmark.

(stx-B eksamen maj 2009)

85 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 85

05/12/2018 10.38

Opgave 4.67 Om en bestemt population gælder, at der til et bestemt tidspunkt er 25000 individer i populationen. Endvidere gælder, at populationen vokser med 2,1% pr. år.

a) O pstil en model, der beskriver sammenhængen mellem tiden (målt i år) og antallet af individer i populationen.

b) Bestem fordoblingskonstanten.

(stx-B eksamen august 2009)

Opgave 4.68 Om en bestemt population gælder, at der til et bestemt tidspunkt er 35000 individer i populationen. Endvidere gælder, at populationen vokser med 1,9% pr. år.

a) O pskriv en funktion, der beskriver sammenhængen mellem tiden (målt i år) og antallet af individer i populationen.

b) Bestem fordoblingskonstanten.

(stx-B eksamen december 2009)

Opgave 4.69 Verdens totale årlige IP-trafik måles i pentabytes. Tabellen viser verdens totale årlige IP-trafik for årene 2006-2008.

År

2006

2007

2008

IP-trafik

50808

78924

128964

I en model antages det, at den årlige IP-trafik P (målt i pentabytes) som funktion af tiden t (målt i år efter 2006) med tilnærmelse kan beskrives ved sammenhængen

P = P 0 · at ,

hvor P0 og a er tal. Benyt tabellens data til at bestemme tallene P0 og a. I 2006 udgjorde den private årlige IP-trafik 31692 pentabytes. Det forventes, at den private årlige IP-trafik vil vokse med 49% pr. år.

a) O pstil en funktion, der beskriver udviklingen i den private årlige IP-trafik efter 2006, og bestem fordoblingstiden for den private årlige IP-trafik.

(stx-A eksamen december 2009)

86 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 86

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.70 Når en person indtager 150 mg af et bestemt antidepressivt stof, er mængden af stof i blodet en funktion af tiden bestemt ved f(t) = 150 · 0,9779t, hvor f(t) er mængden af stof (målt i mg) i blodet t timer efter indtagelse af stoffet.

a) Bestem halveringstiden for mængden af stof i blodet.

b) Bestem, hvor mange mg af stoffet der er i blodet 24 timer efter indtagelse af stoffet.

c) Hvad fortæller tallet 0,9779 om mængden af det antidepressive stof i blodet?

(stx-B eksamen august 2010)

Opgave 4.71 Om en eksponentielt voksende funktion f oplyses, at

f(3) = 864 og f(6) = 1493.

a) Bestem en forskrift for f.

b) Bestem fordoblingskonstanten for f.

(stx-A eksamen august 2010)

Opgave 4.72

Figuren viser grafen for en eksponentielt aftagende funktion.

a) Bestem ved aflæsning halveringskonstanten.

(stx-B eksamen maj 2009)

14 12 10 8

6 4 2 x 0

9 10

87 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 87

05/12/2018 10.38

4.6 Eksponentielle sammenhænge – udfordrende opgaver Opgave 4.73 Ved stegning af en bestemt steg kan temperaturen i stegens indre beskrives ved funktionen y = 200 (1 – 0,9 · 0,9909x ), hvor y er temperaturen i stegens indre (målt i °C), og hvor x angiver tiden efter, at stegen er sat i ovnen (målt i minutter).

a) T egn grafen, der viser sammenhængen mellem temperaturen i stegens indre (målt i °C) som funktion af tiden efter, at stegen er sat i ovnen (målt i minutter), og bestem temperaturen i stegen 20 minutter efter, at stegen er sat i ovnen.

(stx-A eksamen august 2008)

Opgave 4.74 Afkølingen af en bestemt kop te kan beskrives ved funktionen

y = 18 + 69 · 0,952t,

hvor t angiver antal minutter efter, at teen er blevet stillet til afkøling, og y er teens temperatur (målt i °C) til tiden t.

a) T egn grafen for funktionen, og bestem ved aflæsning, hvor mange minutter, der går, før teens temperatur er 60 °C.

b) Benyt grafen til at beskrive betydningen af tallet 18.

(stx-B eksamen august 2008)

Opgave 4.75 I en model for afkøling af en bestemt væske kan væskens temperatur T (målt i ºC) som funktion af tiden t (målt i timer) beskrives ved følgende sammenhæng

T = 21 + 59 · e –1,066t.

a) Bestem væskens temperatur efter 1 time, og beskriv betydningen af tallet 21.

b) Bestem, hvor lang tid der går, før væskens temperatur er 30 ºC.

(stx-B eksamen maj 2007)

Opgave 4.76 En lysstråle sendes lodret igennem vand, og for hver meter, lysstrålen kommer ned i vandet, bliver styrken af lysstrålen 15% svagere.

a) Opstil en sammenhæng mellem lysstyrken og vanddybden.

b) Bestem lysstyrken i 20 meters vanddybde.

c) Bestem vanddybden, hvor lysstyrken er 30% af den oprindelige værdi.

88 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 88

05/12/2018 10.38

4. Eksponentielle vækstmodeller

Opgave 4.77 Isotopen 14C har en halveringstid på ca. 5730 år. Til at starte med er der 100% af isotopen.

a) Opstil en sammenhæng mellem andelen af isotopen og tiden.

b) Opskriv sammenhængen på formen y = b · ekx.

c) I et fossil er indholdet af Bestem fossilets alder.

C 8% af den oprindelige mængde.

Opgave 4.78 Radioaktive stoffer henfalder til ikke-radioaktive isotoper i en proces, hvor mængden af radioaktivt stof, der er tilbage, kan beskrives ved en eksponentiel model. Hvis startværdien sættes til 100, så repræsenteres denne model både ved en formel af typen y = 100 · (1 – r) t, og ved en formel af typen y = 100 · ek ·t. I den første version er r vækstraten, dvs. den procentvise ændring pr. tidsenhed. I den anden version kaldes k for henfaldskonstanten. Nedenfor er et skema med 5 forskellige radioaktive stoffer. Udfyld skemaets tomme felter: Halveringstid Radium

Henfald pr. tidsenhed i %

Tidspunkt, hvor der er 1% tilbage

1620 år

Caesium 137

–0,0231 /år

Fosfor 32 Jod 131

–0,0484 /dag 8 dage

Polonium 218

20 % pr. minut

Opgave 4.79 I praksis er ubegrænset vækst ikke mulig. Hvis antallet af dyr i en population er begrænset, så kan udviklingen beskrives ved

P(t) = M – (M – B) · ekt,

hvor M er den øvre grænse for populationen, og B er startværdien af populationen. I en population er startværdien 200 dyr, og efter 10 år er der 600 dyr. Den øvre grænse i populationen er 1200 dyr.

a) Bestem en sammenhæng mellem antallet af dyr og tiden på formen kt P(t) = M – (M – B) · e .

b) Bestem tiden, der går, før populationen er fordoblet ift. startværdien.

89 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 89

05/12/2018 10.38

Opgave 4.80 En kop kogende kaffe (100 oC) afkøles ved stuetemperatur (19 oC) på 10 minutter 30 oC.

a) Bestem en sammenhæng mellem kaffens temperatur, T og tiden, t på formen kt T(t) = 19 + (T0 – 19) · e ,

hvor T0 er starttemperaturen.

b) Bestem temperaturen af kaffen efter 20 minutter.

c) Bestem tidspunktet, hvor kaffen er afkølet til 30 oC.

Opgave 4.81 Grafen for en eksponentiel vækstmodel f går igennem punkterne P(1,2k) og P(3,7k), hvor k er en parameter, k > 0. Opret de to punkter i et matematisk værktøjsprogram, så k varieres med en skyder. Tegn grafen for f i et matematisk værktøjsprogram. Bestem konstantfaktor og fremskrivningsfaktor udtrykt ved parameteren k.

Opgave 4.82 Der er givet to funktioner f og g, hvor f(x) = 1,05x + 6 og g(x) = 6 · 1,05x.

a) Bestem de x-værdier, hvor g(x) er større end f(x).

b) Bestem de x-værdier, hvor g(x) er mindre end f(x).

Opgave 4.83 Der er givet to funktioner f og g, hvor f(x) = –0,85x + 6 og g(x) = 6 · 0,85x.

a) Bestem de x-værdier, hvor g(x) er større end f(x).

b) Bestem de x-værdier, hvor g(x) er mindre end f(x).

Opgave 4.84 Der er givet en funktion f, hvor f(x) = b · a –x. Antag a > 0 og b > 0.

a) Bestem de værdier for a, hvor f er voksende.

b) Bestem de værdier for a, hvor f er aftagende.

90 Hvad er matematik? 1, opgavebog

9788770668613_indhold.indb 90

05/12/2018 10.38