4. udgave
SIGMA Henry Schultz
Benny Syberg
for niende
Ivan Christensen Anette Christensen Alinea
Indhold Til eleverne
4
Potens
74-77
Algebra Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
5-15 10-11 12-13 14-15
Kvadratrødder og kubikrødder Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
78-83 80-81 82 83
Tema: Polygoner
16-19
Tema: Bolig
84-87
Tema: Det gyldne snit
20-23
Ligninger Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
24-33 28-29 30-31 32-33
Rumfang og overflade Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
88-99 94-95 96-97 98-99
Tema: Uligheder
34-35
Tema: Målestoksforhold
36-39
Geometri Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
40-55 50-51 52-53 54-55
Tema: Formler
56-59
Opslagsemner
Sandsynlighedsregning Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
60-69 64-65 66-67 68-69
Register
Tema: Løn og skat
70-73
Tema: Trigonometri
100-103
Funktioner Blandede opgaver Blåt spor Grønt spor
104-117 112-113 114-115 116-117
Tema: Værdipapirer
118-121
Opslag
122-164 165 166-168
4
Til eleverne Velkommen til Sigma for niende. Igennem hele skoleforløbet har I beskæftiget jer med mange former for matematik. I løser helt naturligt de sværeste regneopgaver, I løser ligninger, læser statistikker, konstruerer figurer. I har igennem temaer lært om Fibonaccis talrække, Storebæltsbroens konstruktion, perspektivisk tegning og meget mere. Matematikken har berøringsflader med mange andre fag. I geografi arbejdes med målestoksforhold, i dansk arbejdes med billedanalyse og derved med det gyldne snit, i samfundsfag kigges der på statistik osv. I folkeskolen er grunden lagt til det videre forløb i jeres uddannelser. I vil komme til at bruge matematikken som et redskab inden for mange andre fagområder. I skal i Sigma for niende fortsætte jeres arbejde med de matematiske begreber, men det er selvfølgelig ikke meningen, at I skal kunne huske alt udenad. I kan finde de matematiske begreber i jeres bog enten ved at slå op i Opslag eller bruge Register bag i bogen. Efter nogle af kapitlerne vil I få en test. Ved hjælp af testen kan læreren se, hvor godt I har lært det, der står i kapitlet. Sammen med jeres lærer finder I ud af, om I skal arbejde mere med emnet på enten blåt eller grønt spor. Derefter får I igen en test for at se, om alt nu er lært. Rigtig god fornøjelse med matematikken.
5
Algebra Man ganger et tal ind i en parentes ved at gange hvert led med tallet. 3(2x + 3y – 2) = 6x + 9y – 6 –2(4x – 5y + 3) = –8x + 10y – 6
Husk! +·+=+ +·–=– –·+=– –·–=+ 1
2
3
Gang ind i parenteserne: a 4(2x – 6)
b –3(7 + 2x)
c 4 21 (6x – 18)
d –5(–6 + 3x)
e –3(x + 18)
f 4x(2 – 9x) 4
Gang ind i parenteserne: a 7(3x2 – x + 2
b –8a(6a3 – a2)
c 7x(3 – 8x)
d (6a2 – 5a)a2
e –4x(20 – x2)
f
1 2
a 21ab + 35a2 c 42z + 28yz e –63x + 18y2
b –49a – 28b d 35x + 42x2y f –42a2 – 21ab
(12a4 – 8a2)
Sæt størst mulig faktor uden for en parentes: a 16x2 + 24 c 28 – 14a e 12 + 28a3
Sæt størst mulig faktor uden for en parentes:
b 20x3 – 35x d 27a2 – 18a3 f 16x + 48y
5
Sæt størst mulig faktor uden for en parentes: a –9a3 + 6a2 c –24x3 + 36x e 45x4 – 75x2
b 12z4 + 8z5 d 35 – 63x2 f –52x2 + 39x
Man kan sætte et tal uden for en parentes. 4(3a – b) = 12a – 4b Her er 4 ganget ind i parentesen. 12a – 4b = 4(3a – b) Her er 4 sat uden for parentesen. 4 går op i begge leddene i udtrykket: 12a – 4b 12a2 + 9a = 3a(4a + 3) Her er 3a sat uden for parentesen. 3a går op i begge leddene.
6
Algebra
Man dividerer en parentes med et tal ved at dividere hvert led i parentesen med tallet.
9
a b c d e f
(6x + 9y): 3 = 2x + 3y (10x – 5y): (–5) = –2x + y
6
7
8
a b c d e f
(12b + 8 – 12a) : 4 (15x + 20 y + 10) : 5 (9 – 12y + 6y) : 3 (28y + 21x – 35) : (–7) (9xy + 4y) : y (15xy – 10x) : 5x
Reducer udtrykkene:
10
6(3a + 5b) + (12a – 3b) : 3 11a + 2b – 4b + (16a + 22b – 12a) : 2 5(2a + 3b) – 3(a + 2b) – (4a + 6b) : 2 6x – (21x – 9y) + (35x – 5y) : 5 2(x + 2y + 20) + 4(3x + y + 15) 6x + 3(3x + 4) – y(6 – x) + 13y
Reducer udtrykkene: a 3x – 2( 2x + 5) + 4(6 – x) – (3x – 2) b 3x(x + 4) – 4(x2 + x) + 2x (x + 5) c –(6x + 3y) + 2x(x + y) – 2xy d
1 2
(10x + 8) +
1 2
(8y – 4) + 3y + 2x 1 2
Reducer udtrykkene:
e 8x + 5xy + 10(x –
a b c d e f
f 15(x – 2y) – 5(2x + 3y)
(7a – 35a + 28a) : 7 5x – (20x – 10x) : 5 (15x – 5y + 15) : 5 (15x + 3y – 12x) : 3 + 7y (a + 4b) – (12a – 8b) : 4 (16b + 4 – 12a) : (–4)
Reducer udtrykkene: a b c d e f
(6y – 8x + 4y – 6x) : 2 (6xy + 3xz) : x (21a + 14b) : 7 + (3b – 3a) – 8b – (8a + 9b) 9c + (14c + 7d) : 7 – (6c + 9d) : 3 2x – (–3x – 15y) : 3 + (–5x – 30y) : 5 (7c – 35d) : 7 – 4c – (18c – 3d) : 3 + (24c + 8d) : 8
xy) + 8y
Algebra
TAL OM Man ganger to parenteser med hinanden ved at gange hvert led i den ene parentes med hvert led i den anden parentes.
x+7
(x + y)(a + b) = x · a + x · b + y · a + y · b (x + y)(a – b) = x · a – x · b + y · a – y · b)
x
Der fremkommer fire led, når man ganger de to parenteser med hinanden.
11
Gang parenteserne med hinanden: a (x + y)(2 + a) c (6x + 5)(8 – x) e (16 – a)(14 + a)
12
Gang parenteserne med hinanden: a (x – y)(3x + 4) c (7 – 3x)(7 + 3x) e (10a – b)(a – 3b)
13
b (9 – 3x)(8 + x) d (12a – 4)(8a + 5) f (5z + 3y)(z + 8y)
Reducer udtrykkene: a b c d
14
b (–2 + a)(6 – 5x) d (a – 3b)(a + 2b) f (7x + y)(5y – x)
(6x + 4y)(2x – y) – 4x(3x + 2) –(12a – 3)(4b + 1) + (6a – 3)(8b +2) (14a – 30)(6a + 8) + (2a + 8)(9a + 6) (6x + y)(4x – y) – (3y + 2)(8x + 5)
Reducer udtrykkene: a b c d
–2(2x + 3)(4 + x) + (–x + 3)(x – 8) (4a + b)(–a + 3b) – 2(6a + 3b)(b – a) 3(5y + 3z)(–y – 3z) – (6z + y)(y – z) (x – 4y)(y + 3x) + (6x – 3y)(y + x)
15
Et rektangel har længden (x + 7) cm og bredden x cm. a Skriv et algebraisk udtryk for rektanglets omkreds. b Skriv et algebraisk udtryk for rektanglets areal. Beregn omkreds og areal når: c x=4 e x = 10
d x=5 f x=8
7
8
Algebra
Kvadratsætninger TAL OM 1. kvadratsætning: Kvadratet på en toleddet størrelse giver altid tre led, nemlig kvadratet på første led plus kvadratet på andet led plus eller minus det dobbelte produkt af de to led. (x + y)2 = (x + y)(x + y) = x2 + xy + xy + y2 = x2 + y2 + 2xy
16
Brug 1. kvadratsætning: a (x + 3)2 c (5y + 3z)2
17
(x – y)2 = (x – y)(x – y) = x2 – xy – xy + y2 = x2 + y2 – 2xy
b (–8 + 3a)2 d (–2x – 5)2
Brug 1. kvadratsætning: a (5 – a)2 c (2x – y)2
b (3x2 + 4)2 d (5 – 6x)2
TAL OM 2. kvadratsætning: To tals sum gange de samme to tals differens er lig med differensen mellem tallenes kvadrater. (x + y)(x – y) = x·x–x·y+x·y–y·y= x2 – xy + xy – y2 = x 2 – y2
18
Brug 2. kvadratsætning: a b c d
(a + b)(a – b) (2x + 3)(2x – 3) (a – 5)(a + 5) (x – 3)(x + 3)
19
Brug 2. kvadratsætning: a b c d
(4c + 2d)(4c – 2d) (3x – y)(y + 3x) (2 – 3y)(3y + 2) (9 – 2x)(2x + 9)
Algebra
20
a b c d e f 21
23
Reducer udtrykkene: (a – 2b)2 + (b – 2a)2 (x – 3)2 + (x – 4)(x + 4) (4x – 1)(4x + 1) – (4x + 2)2 (5 –a)(5 + a) + (5 – a)2 (a + 7)(a – 7) + 2(a + 3)2 (2y – 3)2 + (3 + 2y)2
I et rektangel er bredden 5 cm og længden x gange større. a Hvor meget er omkredsen af rektanglet? b Hvor stort er arealet af rektanglet?
24
Et rektangel har en længde på (3x + 2) cm og en bredde på (3x – 2) cm.
En terning har kantlængden x.
x
3x + 2 x
x
3x – 2
a Hvor stor er den samlede kantlængde? b Hvor stor er den samlede overflade? a Skriv et algebraisk udtryk for rektanglets omkreds. b Skriv et udtryk for rektanglets areal. Beregn rektanglets omkreds og areal når: c x=3 e x = 12 g x = –2 22
d x=6 f x = 24 h x=5
Kvadratet har en sidelængde på (2x – 1) cm. (2x – 1)
a Skriv et algebraisk udtryk for kvadratets omkreds. b Skriv et udtryk for kvadratets areal. Beregn kvadratets omkreds og areal når: 1 2
c x = 121
d x=2
e x=
f x=1
g x=4
h x = 10
9
10
Algebra
25
29
Tegn i et koordinatsystem: A = (4,–2)
B = (–6,5)
∠A = 70˚, BC = 4 cm og ∠C = 48˚
C = (0,9)
D = (–3,–1)
Bestem de manglende sider og vinkler.
Beregn længden af: a AB 26
b BC
30 Sæt tallene i rækkefølge: c CD
a
B = (0,6)
3
b 0,62 – 19
C = (2,–5)
16 – 2,73
Beregn arealet af trekant ABC.
c 2,352
Oscar kører fra København til Korsør på 50 minutter. Afstanden mellem de to byer er 105 km. Hvad er gennemsnitshastigheden?
3
Josefine kører fra Assens til Hjørring på 4 21 time. Hun beregner gennemsnitshastigheden til 62 km/t. Hvor langt kører hun?
165
d 14 – 240 3
28
2200
−235 −18
Tegn i et koordinatsystem: A = (–4,–2)
27
I trekant ABC er:
31
–4
2,43 170 40 13
– 3 340
2,53 – 4,42 300 55
30 40 −25
– 2,5
a To tals sum er –8, og deres produkt er –20. Hvad er tallene? b Differensen mellem to tal er 27 og kvotienten er 4. Begge tal er kvadrattal. Hvad er tallene?
Algebra
35
Bestem linjernes hældningstal og skæring med y-aksen. a
1 y 2
+ 2 = 121 x
b 2x – 2 = –2y c 2y – 4x = 3 36
Et rektangulært postkort har sidelængderne 11,5 cm og 17 cm. Hvis siderne gøres 121 cm større, hvor mange gange større bliver så a omkredsen? b arealet? c diagonalerne?
32
En landmand i Sønderjylland brugte 100 000 kr. på at få lavet en 205 m dyb boring. Vandet skulle bruges til hans marker. Boringen gav 120 m3 vand i timen. Hvor mange liter vand gav boringen hvert minut?
33 Tegn i et koordinatsystem: A = (–3,5) C = (9,6)
B = (7,10) D = (–1,1)
37
a Hvor mange grader drejer den lille viser på et almindeligt ur, når der går fire timer? b Hvor mange grader drejer den store viser samtidig?
38
Er diagonalerne altid lige lange i
Beregn arealet af firkant ABCD. 34 Mie og Mads er tvillinger. Deres storebror Emil er 6 år ældre end dem. Tilsammen er de 33 år. Hvor gamle er de hver især?
a et kvadrat? b et rektangel? c en rombe?
11
12
Algebra
39
Reducer udtrykkene: a 2(x + 3)(2x + 4) b –(2x + 3y)(x – 2y)5 c (5 – 3x)(6x + 5) 1
d 4(2x + 3)( 2 + 2x) 1
e (4 + 2y)( 2 + 2x) f (–3y + 2x)(4 + 3y)
Kvadratsætningerne kan bruges ”omvendt” til at skrive nogle flerleddede størrelser om til produkt. x2 – 4 = (x + 2)(x – 2) 4a2 – 16b2 = (2a + 4b)(2a – 4b) Der er to kvadrattal og der er minus imellem de to tal. 2. kvadratsætning er brugt omvendt.
40 Sæt størst mulig faktor uden for en parentes: a b c d e f g h 41
Brug 2. kvadratsætning og reducer udtrykkene: a b c d e f
42
4x3 – 10x5 – 2x6 12y4 + 8y2 – 4y 9x4 – 12x5 + 15x7 16y7 – 8y4 + 12y3 20x5 + 16x6 – 8 7x8 – 14x4 + 8x3 15z6 + 12z4 – 18z 12y8 – 30y6 + 18y4
2(x + 3)(x – 3) –(a + b)(a – b) (9 – 3x)(9 + 3x) 4(a – 2b)(a + 2b) (–7x + 2y)(7x + 2y) (–3a + b)(b + 3a)
Brug 1. kvadratsætning og reducer udtrykkene: a b c d e f
(6x + 3y)2 – (4x + 2y)(4x – 2y) (4x – 7y)2 – (7x + 4y)2 (3 – x)(3 + x) – (2 + x)(2 – x) (2 – 3a)2 + (3 – 2a)2 (7 + 5y)2 – (5 + 7y)2 (4 – 3x)(4 + 3x) – (2 + 3x)2
Skriv x2 + 6x + 9 om til produkt. Da der er tre led, er det 1. kvadratsætning, der skal bruges, hvis udtrykket overhovedet kan skrives om til et produkt. x2 + 6x + 9
Der er to kvadrattal: x2 og 9 eller x2 og 32
Det dobbelte produkt af de to led bliver 2 · 3 · x = 6x, hvilket passer her. Fortegnet til det dobbelte produkt bestemmer fortegnet i parentesen. Her bliver det: + 1. kvadratsætning er brugt omvendt: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
Algebra
43 Skriv om til produkt: a b c d
46 Find areal og omkreds af de tre trekanter.
x2 – 9 x2 + 4 + 4x 16a2 + b2 – 8ab 9x2 + 4y2 – 12xy
y x 2x
44 Skriv om til produkt: a b c d
4x2 – 25 36x2 – 36x + 9 1 12x + 144x2 + 4 16a2 – 24ab + 9b2
y
45 Kvadratet har sidelængden (2x + 3) cm.
x
y
2x + x
2x + 3
c (x + y)
a Skriv et algebraisk udtryk til beregning af kvadratets omkreds. b Skriv et udtryk for kvadratets areal. Beregn kvadratets omkreds og areal når: c x=6 e x = –1 g x = –4
d x=1 f x = 12 h x=7
(x – y)
13
14
Algebra
47
a b c d e f
(32a + 24b) : 8 (18x – 18y) : 6 (15x – 10y – 25) : 5 (12x + 16y + 4) : 4 (24a – 18b + 6) : (–3) (25xy – 15x) : 5x
48 Reducer: a b c d
(15x + 10y) : 5 – 3x + y 8x + (16x – 20y) : 4 + 5y (40a – 16b) : (–8) + (18a + 24b) : 6 (27x + 45 – 36y) : 9 – (25xy – 10x) : 5x
49 Gang parenteserne med hinanden: a b c d e f
(3x + 2)(4 – x) (–3 + a)(4 – b) 4(2 + x)(9 – 5x) –6(x + 2)(3 – 2x) 7(2 – x)(x – 1) –(2x + 4)(12 – x)
53 Reducer udtrykkene:
50 Sæt størst mulig faktor uden for en parentes: a 8ab – 12a c 15x – 20 e 8x3 + 2x4 51
b –8x + 2x2 d 12a2 + 6a f –16x + 48
Brug 1. kvadratsætning: a (x + 4)2 c (3y + 3x)2 e (–x – 3)2
a b c d e f
(x + 3)2 + (x – 3)2 (x – 5)2 + (x – 2)(x + 2) (2x – 1)(2x + 1) – (2x + 1)2 (7 – x)(7 + x) + (x + 2)2 (5x + 4)(5x – 4) + (x + 3)2 (3x – 3)2 + (3 + 3x)2
54 I rektanglet er sidelængderne (x + 2) cm og (x – 2) cm.
b (–5 + 2x)2 d (2x – 5)2 f (x – 2y)2
(x + 2)
(x – 2)
52 Brug 2. kvadratsætning: a b c d e f
(x + 2)(x – 2) (a + b)(a – b) (4 – 2x)(4 + 2x) (a – 2b)(a + 2b) (–3x + y)(3x + y) (2a + 3b)(2a – 3b)
a Skriv et algebraisk udtryk til beregning af rektanglets omkreds. b Skriv et udtryk for rektanglets areal. Beregn rektanglets omkreds og areal når: c x=3 e x=8
d x=4 f x=1
Algebra
55 I kvadratet er sidelængen (x + 2) cm.
57
Find omkreds og areal af de fire figurer.
x+2 x x+4
a Skriv et algebraisk udtryk til beregning af kvadratets omkreds. b Skriv et udtryk for kvadratets areal.
2x
Beregn kvadratets omkreds og areal når: c x=1 e x=4
d x = –1 f x = –3
56 Omkredsen af et kvadrat er 8x.
x
y 2x
a Hvor lang er siden? b Hvor stort er arealet?
x–3 x+3
15
16
Tema
Polygoner En polygon er en lukket figur, som er dannet af rette linjer. Polygoner får navn efter det antal kanter, de har fx trekant, firkant, femkant, sekskant osv.
1
Tæl siderne og giv polygonerne navn. a
b
c
d
e
Blandt de mest kendte polygoner findes nogle specielle, som skal nævnes: Trekanter: Retvinklede, spidsvinklede, ligesidede, ligebenede og stumpvinklede.
I en regulær polygon er alle siderne lige lange og alle vinklerne lige store.
Firkanter: Kvadrater, rektangler, romber, parallelogrammer og trapezer. 2
Hvilke af de nævnte trekanter og firkanter er a regulære?
b vilkårlige?
Polygoner
Vinkelsummen i en n-kant er: n · 180˚ – 360˚
3
Beregn vinkelsummen i en a c e g
trekant. femkant. syvkant. nikant.
b d f h
5
firkant. sekskant. ottekant. tikant.
a c e g i
Regulære polygoner kan tegnes ind i en cirkel ved at beregne centervinklen og afsætte den n gange.
120°
4
Tegn tre cirkler med radius 5 cm. Tegn polygoner hvor n = 6, n = 8 og n = 9 i hver sin cirkel. a Hvor mange grader er centervinklen for de tre polygoner? b Hvor mange grader er polygonernes vinkler? Diagonaler i en regulær polygon.
Hvor mange diagonaler kan man tegne i en regulær
90°
trekant? femkant? syvkant? nikant? n-kant
b d f h
firkant? sekskant? ottekant? tikant?
72°
6
Beregn vinkelstørrelsen i en regulær ottekant.
7
I en regulær polygon er vinklerne 140°. Hvor mange kanter har polygonen?
8
Kan man tegne en indskreven cirkel i alle polygoner?
17
18
Polygoner
Arealberegning af polygoner Mange polygoner kan være svære at beregne arealet af, men her er to forskellige metoder, der kan bruges.
5 cm
Første metode: Pak figuren ind i et rektangel, og beregn arealet af firkanten. Derfra skal trækkes de trekanter, der ligger uden om figuren.
5 cm 18 cm
9
Beregn arealet af denne figur med den første metode.
11
Beregn arealet af figuren. Afstanden mellem to prikker er 3 cm. 18 cm
5 cm 3 cm
Anden metode:
12
18figuren cm Del op i retvinklede trekanter og firkanter med nemme mål.
Bregn arealet af alle de små figurer og læg dem sammen.
Beregn arealet af figuren. 3 cm Afstanden mellem to prikker er 7 cm.
7 cm
5 cm
10
Beregn arealet af figuren med anden metode. 3 cm
7 cm
18 cm
7 cm
Polygoner
13
Tegn en cirkel med radius 7 cm. Tegn derefter en regulær firkant i cirkelen. a Beregn arealet af cirklen. b Beregn arealet af firkanten. c Beregn, hvor mange procent cirklen er større end firkanten. Tegn en ny cirkel med radius 7 cm. Tegn derefter en regulær ottekant i cirklen. d Beregn, hvor mange procent cirklen er større end ottekanten.
14
Beregn arealet af hver figur.
a
b
c
d
4 cm
15
Tegn trekant ABC i et koordinatsystem. A = (–3,5)
B = (4,4)
17
Tegn polygonen IJKLMN i et koordinatsystem. I = (1,6) L = (–6,–8)
C = (3,–7)
Beregn arealet af trekant ABC.
J = (3,–3) M = (–3,1)
K = (1,–6) N = (–6,8)
Beregn arealet af IJKLMN. 16
Tegn femkant DEFGH i et koordinatsystem. D = (1,8) G = (–5,–3)
E = (5,–2) H = (–5,2)
Beregn arealet af DEFGH.
F = (–1,–3)
18
Tegn polygonen ABCDEFGH i et koordinatsystem. A = (3,8) D = (2,–5) G = (–6,6)
B = (5,5) E = (–3,1) H = (–3,8)
Beregn arealet af ABCDEFGH.
C = (3,1) F = (–7,3)
19