Vild med matematik by Alinea

VILDMED MATEMATIK

Gratis magasin til alle dem, som elsker at gå ud ad en tangent

Undersøgende matematik kan virke eksotisk og uoverskuelig. Men det behøver ikke være sådan, fortæller Bent Lindhardt.

Der er ingen modsætning mellem bøger og tablets. Det siger Mie Bang, som udvikler materialer til begge dele.

Læg de gamle algoritmer på hylden, og lær børnene at tænke strategisk. Sådan lyder opfordringen fra Pernille Pind.

Hvordan skaber du en undervisning, hvor eleverne tør fejle? Lær af matematiklærerne i Vejen.

Interview – 4

7 hurtige – 11

Interview – 14

Case – 34

Undersøgende matematik

– kaos eller kilde til ny læring?

Læs også om

Regnestrategier Sund fejlkultur

Er du vild med

matematik? ELSKER DU at give dine elever matematiske ahaoplevelser? Og kan du føle gnisten,

når dine elever kan se meningen med matematikken? Dette magasin er skrevet til dig, der er vild med matematik og vil gøre dine elever lige så vilde med matematik. I magasinet sætter vi spot på emner, som optager matematiklærere og -vejledere landet over lige nu. Du møder dem, der forsker i matematikdidaktikken. Dem, der har gjort matematikken til deres levevej. Og dem, der underviser i matematik. Alle deler de viden og erfaringer – lige til at bruge i din matematikundervisning. Rigtig god læselyst! Bedste hilsner Alineas matematikredaktion

Her er vi Kender du Format, KonteXt+ og Matematrix – eller måske Matematikportalen og CampMat? Så kender du næsten os. Vi er nemlig dem, der hver dag arbejder på at gøre dem endnu bedre i tæt samarbejde med vores forfattere, lærere og elever. Skriv gerne til os, hvis du har spørgsmål eller en god idé til et nyt læremiddel, på info@alinea.dk.

Undersøgende matematik

Mindre træning – mere grubleri

Undersøgende matematik i praksis

Skru ned for trænings

Eleverne bliver bedre til

opgaverne, og lad eleverne

at sætte ord på det, de

eksperimentere. Interview med

lærer, siger lærer Morten

Bent Lindhardt — 4

Kvistholm — 8

Regnestrategier

”Det gør mig trist at se børn spilde deres tid”

Sund fejlkultur

Interview med Pernille Pind — 14

Eleverne skal lære at finde smarte løsninger

Matematikvejleder Gitte Schrøder arbejder på at øge fokus på regne

Det skal være trygt at fejle I Vejen laver lærerne fejl med vilje — 34

Lær at fejle

Få hul på den sunde

strategier i fagteamet.

Case — 20

fejlkultur i matematik. Interview med Lisser Rye Ejersbo — 38

Kunsten at tegne matematikken — 14

Mie Bang: Der er ingen modsætning mellem bøger og tablets — 11 Mød matematikgeniet Mathias Bæk Tejs Knudsen — 30 Tomas Højgaard om kompetencebaseret undervisning — 42 Spørgsmålet, som alle matematiklærere møder — 48 Alinea — 3

Undersøgende matematik kan virke eksotisk og uoverskuelig. Men det behøver ikke være sådan. I et netop afsluttet forskningsprojekt afprøvede lærere fra hele landet en række grydeklare undervisningsaktiviteter. Og det var en succes, fortæller Bent Lindhardt, en af forskerne bag.

Af Anders Klebak

MINDRE TRÆNING MERE GRUBLERI

SKRU NED for træningsopgaverne, og

ge Bent Lindhardt har tilbagemeldin

slip i stedet eleverne løs med selv at

gerne fra lærerne været positive.

opdage og eksperimentere. Og sæt

“De var glade for at få et materiale

dem gerne til at lave matematik i vir

i hånden, som var gennemprøvet og

kelighedens verden.

lettilgængeligt, og som for flere var en

Sådan lyder opskriften på en under søgende matematikundervisning, som eleverne både husker og forstår bedre, ifølge lektor Bent Lindhardt fra Pro fessionshøjskolen Absalon.

Aktiviteterne blev brudt ned til fem

gende matematik virke uoverskuelig,

ren, produktet, målingen og modelle

og det afholder dem måske fra at bru

ringen) med forskellige grader af åbne

ge det i deres undervisning, vurderer

og ukendte dele. Fx “grubleren”, hvor det åbne ligger

“Jeg tror, mange lærere ville ønske,

i den eksperimenterende metode,

at de kunne gøre det, men de er ikke

eleverne anvender. En metode, som

helt overbevist om effekten,” siger

naturligt lægger op til, at eleverne skal

han og peger på, at mange forbinder

ræsonnere sig frem til løsningen på et

undersøgende matematik med noget

problem. Resultatet er her ofte lukket

ustyrligt og store frihedsgrader.

og mindre vigtigt.

Undersøgende matematik er imid

I andre aktivitetstyper er der også

lertid mange forskellige ting, og der

elementer af noget ukendt for lære

er brug for at se på fænomenet med

ren. I “modelleringen” kender lære

mange flere nuancer, siger Bent Lind

ren hverken metoden eller resultatet

hardt.

på forhånd. Her skal eleverne selv

Han afslutter sammen med en grup

opstille problemet, finde de nødven

pe andre forskere projektet “Kvalitet i

dige variable, som er relevante, og selv

Dansk og Matematik” (KiDM) næste

finde en metode til at løse problemet.

år. I matematik-delen afprøvede for

Fx kan opgaven være at finde en

skerne over en periode af tre måneder

model for beregningen af antallet af

en række forløb, hvor undervisnings

bøger på skolebiblioteket.

frihed og åbenhed.

4 — Vild med matematik 2019

Nye krav til dialog

forskellige typer (opdagelsen, gruble

aktiviteter havde forskellige grader af

FOTO: DANIEL HJORTH

på,” siger han.

Men for mange lærere kan undersø

lektoren.

T E M A : U N D E R S Ø G E N D E M AT E M AT I K

anderledes måde at tænke matematik

Bent Lindhardt forklarer, at under søgende matematik kan være en kræ

Lærere fra 143 skoleklasser landet

vende undervisningsform, der udfor

over deltog i forsøget. Resultaterne

drer rollerne mellem lærer og elever

offentliggøres i foråret 2019, men iføl

på nye måder.



Alinea — 5

Af Anders Klebak

MINDRE TRÆNING MERE GRUBLERI

SKRU NED for træningsopgaverne, og

ge Bent Lindhardt har tilbagemeldin

slip i stedet eleverne løs med selv at

gerne fra lærerne været positive.

opdage og eksperimentere. Og sæt

“De var glade for at få et materiale

dem gerne til at lave matematik i vir

i hånden, som var gennemprøvet og

kelighedens verden.

lettilgængeligt, og som for flere var en

Sådan lyder opskriften på en under søgende matematikundervisning, som eleverne både husker og forstår bedre, ifølge lektor Bent Lindhardt fra Pro fessionshøjskolen Absalon.

Aktiviteterne blev brudt ned til fem

gende matematik virke uoverskuelig,

ren, produktet, målingen og modelle

og det afholder dem måske fra at bru

ringen) med forskellige grader af åbne

ge det i deres undervisning, vurderer

og ukendte dele. Fx “grubleren”, hvor det åbne ligger

“Jeg tror, mange lærere ville ønske,

i den eksperimenterende metode,

at de kunne gøre det, men de er ikke

eleverne anvender. En metode, som

helt overbevist om effekten,” siger

naturligt lægger op til, at eleverne skal

han og peger på, at mange forbinder

ræsonnere sig frem til løsningen på et

undersøgende matematik med noget

problem. Resultatet er her ofte lukket

ustyrligt og store frihedsgrader.

og mindre vigtigt.

Undersøgende matematik er imid

I andre aktivitetstyper er der også

lertid mange forskellige ting, og der

elementer af noget ukendt for lære

er brug for at se på fænomenet med

ren. I “modelleringen” kender lære

mange flere nuancer, siger Bent Lind

ren hverken metoden eller resultatet

hardt.

på forhånd. Her skal eleverne selv

Han afslutter sammen med en grup

opstille problemet, finde de nødven

pe andre forskere projektet “Kvalitet i

dige variable, som er relevante, og selv

Dansk og Matematik” (KiDM) næste

finde en metode til at løse problemet.

år. I matematik-delen afprøvede for

Fx kan opgaven være at finde en

skerne over en periode af tre måneder

model for beregningen af antallet af

en række forløb, hvor undervisnings

bøger på skolebiblioteket.

frihed og åbenhed.

4 — Vild med matematik 2019

Nye krav til dialog

forskellige typer (opdagelsen, gruble

aktiviteter havde forskellige grader af

FOTO: DANIEL HJORTH

på,” siger han.

Men for mange lærere kan undersø

lektoren.

T E M A : U N D E R S Ø G E N D E M AT E M AT I K

anderledes måde at tænke matematik

Bent Lindhardt forklarer, at under søgende matematik kan være en kræ

Lærere fra 143 skoleklasser landet

vende undervisningsform, der udfor

over deltog i forsøget. Resultaterne

drer rollerne mellem lærer og elever

offentliggøres i foråret 2019, men iføl

på nye måder.



Alinea — 5

“Jeg tror, mange lærere ville ønske, at de kunne gøre det, men de er ikke helt overbevist om effekten.” BENT LINDHARDT

“Eleverne skal erkende, at friheds grader også betyder ansvar og selvfor

Bent Lindhardt Lektor på Professionshøjskolen Absalon Kursus- og foredragsholder Har deltaget i en række forsknings- og udviklingsprojekter

Det er samtidig et sammenstød mel lem to forskellige syn på læring:

valtning. Læreren skal acceptere, at

“Lidt firkantet sagt er spørgsmålet,

det kan være svært at forudsige, hvad

om man lærer bedst ved at gentage

der sker, og hvad eleverne kommer

tingene, til man husker dem. Eller om

frem til. Både elever og lærer bevæger

man bedst tilegner sig viden gennem

sig således ind i en risikozone, som

forståelse,” siger han.

indeholder potentiale til god læring,

Han understreger dog, at træning

men også muligheder for kaos,” siger

altid skal være en væsentlig del af

han.

undervisningen. Det er balancen, den

Læreren vil ofte støde på spørgsmål fra eleverne, hvor man ikke har svar

er gal med, som i dag er tippet for langt over mod træning og repetition.

på rede hånd. Det kan i sig selv være

Og at lande som Singapore og Sveri

en provokerende oplevelse, hvis man

ge har skrevet ind i deres curriculum,

som lærer er vant til at kende både

at eleverne skal arbejde undersøgen

opgave, metode og resultat, forklarer

de, bekræfter, at undervisningsfor

Bent Lindhardt.

men bliver taget alvorligt i udlandet,

Derfor er det afgørende for lærerne

påpeger Bent Lindhardt.

Forfatter og redaktør på

at øve sig i at være i dialog med elev

en række lærebøger i

erne. I stedet for at levere svaret skal

matematik til folkeskolen.

de i højere grad vejlede, stille spørgs

Blandt andet systemet

mål og give hints, som bringer eleven

herhjemme tager undersøgende ma

KonteXt, der anvender

videre.

tematik mere seriøst. Mange elever

Langtidseffekt

Men der er behov for, at skolerne

nogle af de samme tanker,

“Og det er svært, for man har auto

oplever nemlig den traditionelle un

som ligger i undersøgende

matisk lyst til at give dem svaret,”

dervisning som virkelighedsfjern, og

matematik, fx at eleverne skal

siger han.

de glemmer det, de har lært, så snart

“opdage” sig til ny viden.

FOTO: MARTIN STAMPE

Trange kår

de forlader skolen. En af fordelene ved undersøgende

3 faser i undersøgende undervisning

Undervisningen kan opdeles i tre faser, forklarer forsker og lektor i matematik Bent Lindhardt fra Professionshøjskolen Absalon.

Iscenesættelse

hvor læreren sætter gang i aktiviteten. Her er det afgørende at være præcis i forventningerne til eleverne, men også at “sælge” aktiviteten, så eleverne får ejerskab og lyst til at arbejde. Iscenesættelsen skal være kortfattet og klar.

Aktivitet

hvor eleverne arbejder, og hvor der indgår frihed og

selvstændighed i arbejdet. Her er det centralt, at elever og

I forbindelse med KiDM-undersø

matematik er, at den sidder bedre fast

gelsen har det overrasket Bent Lind

end den traditionelle undervisning,

lærer har en didaktisk kontrakt, så eleverne arbejder og ikke

hardt, hvor lidt plads undersøgende

siger Bent Lindhardt.

“holder frikvarter”. Det er også vigtigt, at eleverne tør prøve

matematik reelt har på skolerne. De

Forskning viser, at forståelsesgraden

fleste lærere udtrykker sig positivt om

øges, hvis eleverne får lov til at arbejde

undervisningsformen, men meget få

mere åbent og selvstændigt, fx ved at

bruger den i praksis. “Det kom bag på

gå på opdagelse selv eller løse mate

mig,” siger han.

matiske problemer, som kan angribes

Bent Lindhardt forklarer, at den undersøgende form kan fremstå som lidt eksotisk i nogles øjne. “Det kan være svært at se, hvorfor man skal anvende en undervisnings

med flere forskellige metoder. “Der er en langtidseffekt i at arbej de selvstændigt, fordi eleverne får et andet ejerskab til stoffet. De husker det bedre,” siger Bent Lindhardt. A

sig frem og fejle, og at læreren støtter uden at give svaret.

O psamling

i klassen. Denne fase har en tendens til at blive nedprioriteret. Men den er afgørende, for her kan lærerne opsummere

læringsmålene for eleverne, og klassen kan i fællesskab udpege faglige pointer og diskutere metoder og løsninger.

form, hvor man løser 1-2 opgaver på samme tid, som man kan løse 20-30 øvelses-opgaver,” siger Bent Lind hardt.

6 — Vild med matematik 2019

Alinea — 7

“Jeg tror, mange lærere ville ønske, at de kunne gøre det, men de er ikke helt overbevist om effekten.” BENT LINDHARDT

“Eleverne skal erkende, at friheds grader også betyder ansvar og selvfor

Bent Lindhardt Lektor på Professionshøjskolen Absalon Kursus- og foredragsholder Har deltaget i en række forsknings- og udviklingsprojekter

Det er samtidig et sammenstød mel lem to forskellige syn på læring:

valtning. Læreren skal acceptere, at

“Lidt firkantet sagt er spørgsmålet,

det kan være svært at forudsige, hvad

om man lærer bedst ved at gentage

der sker, og hvad eleverne kommer

tingene, til man husker dem. Eller om

frem til. Både elever og lærer bevæger

man bedst tilegner sig viden gennem

sig således ind i en risikozone, som

forståelse,” siger han.

indeholder potentiale til god læring,

Han understreger dog, at træning

men også muligheder for kaos,” siger

altid skal være en væsentlig del af

han.

undervisningen. Det er balancen, den

Læreren vil ofte støde på spørgsmål fra eleverne, hvor man ikke har svar

er gal med, som i dag er tippet for langt over mod træning og repetition.

på rede hånd. Det kan i sig selv være

Og at lande som Singapore og Sveri

en provokerende oplevelse, hvis man

ge har skrevet ind i deres curriculum,

som lærer er vant til at kende både

at eleverne skal arbejde undersøgen

opgave, metode og resultat, forklarer

de, bekræfter, at undervisningsfor

Bent Lindhardt.

men bliver taget alvorligt i udlandet,

Derfor er det afgørende for lærerne

påpeger Bent Lindhardt.

Forfatter og redaktør på

at øve sig i at være i dialog med elev

en række lærebøger i

erne. I stedet for at levere svaret skal

matematik til folkeskolen.

de i højere grad vejlede, stille spørgs

Blandt andet systemet

mål og give hints, som bringer eleven

herhjemme tager undersøgende ma

KonteXt, der anvender

videre.

tematik mere seriøst. Mange elever

Langtidseffekt

Men der er behov for, at skolerne

nogle af de samme tanker,

“Og det er svært, for man har auto

oplever nemlig den traditionelle un

som ligger i undersøgende

matisk lyst til at give dem svaret,”

dervisning som virkelighedsfjern, og

matematik, fx at eleverne skal

siger han.

de glemmer det, de har lært, så snart

“opdage” sig til ny viden.

FOTO: MARTIN STAMPE

Trange kår

de forlader skolen. En af fordelene ved undersøgende

3 faser i undersøgende undervisning

Undervisningen kan opdeles i tre faser, forklarer forsker og lektor i matematik Bent Lindhardt fra Professionshøjskolen Absalon.

Iscenesættelse

Aktivitet

hvor eleverne arbejder, og hvor der indgår frihed og

selvstændighed i arbejdet. Her er det centralt, at elever og

I forbindelse med KiDM-undersø

matematik er, at den sidder bedre fast

gelsen har det overrasket Bent Lind

end den traditionelle undervisning,

lærer har en didaktisk kontrakt, så eleverne arbejder og ikke

hardt, hvor lidt plads undersøgende

siger Bent Lindhardt.

“holder frikvarter”. Det er også vigtigt, at eleverne tør prøve

matematik reelt har på skolerne. De

Forskning viser, at forståelsesgraden

fleste lærere udtrykker sig positivt om

øges, hvis eleverne får lov til at arbejde

undervisningsformen, men meget få

mere åbent og selvstændigt, fx ved at

bruger den i praksis. “Det kom bag på

gå på opdagelse selv eller løse mate

mig,” siger han.

matiske problemer, som kan angribes

Bent Lindhardt forklarer, at den undersøgende form kan fremstå som lidt eksotisk i nogles øjne. “Det kan være svært at se, hvorfor man skal anvende en undervisnings

med flere forskellige metoder. “Der er en langtidseffekt i at arbej de selvstændigt, fordi eleverne får et andet ejerskab til stoffet. De husker det bedre,” siger Bent Lindhardt. A

sig frem og fejle, og at læreren støtter uden at give svaret.

O psamling

i klassen. Denne fase har en tendens til at blive nedprioriteret. Men den er afgørende, for her kan lærerne opsummere

læringsmålene for eleverne, og klassen kan i fællesskab udpege faglige pointer og diskutere metoder og løsninger.

form, hvor man løser 1-2 opgaver på samme tid, som man kan løse 20-30 øvelses-opgaver,” siger Bent Lind hardt.

6 — Vild med matematik 2019

Alinea — 7

Hvor mange bøger er der på

”Noget af det sværeste er selve dialogen med eleverne. De vil jo gerne have svaret, men hvordan får man skubbet dem videre uden at hjælpe for meget?”

skolebiblioteket?

MORTEN KVISTHOLM

Lærer Morten Kvistholm fra Kildedamsskolen i Tølløse deltog sidste år i KiDMprojektet om undersøgende matematik. I dag bruger han den undersøgende tilgang i sin undervisning. Det motiverer eleverne, og de bliver bedre til at sætte ord på det, de lærer, fortæller han. Af Anders Klebak

Foto: Daniel Hjorth

“FORESTIL JER, at I står nede på bib

deres gule post-it-seddel på tavlen

ningsaktiviteterne. De to andre hed

lioteket. Ved det runde bord. I kan gå

med deres bud.

der “aktivitet” og “opsamling”.

ned langs hylderne. Eller til sofaen,

Morten Kvistholm og to andre lære

“Iscenesættelse handler om at spo

hvor I kan se tegneserierne. Hvor

re fra skolen har deltaget i forsknings

re eleverne ind på tanken om en pro

mange bøger tror I, der er?” Eleverne

projektet “Kvalitet i Dansk og Mate

blemstilling og gøre dem nysgerrige

fra 4. x på Kildedamsskolen i Tølløse

matik” (KiDM), hvor de har afprøvet

på at løse den,” siger Morten Kvist

sidder med lukkede øjne i klassen og

forskellige aktiviteter i matematik

holm. Han har indledningsvis fortalt

lytter til lærer Morten Kvistholms

med deres klasser. Det er opgaver,

børnene en kort historie om, at han er

stemme.

hvor eleverne skal undersøge og opda

i tvivl om antallet af bøger på bibliote

ge sig til viden i stedet for at få det for

ket, og at det er lidt af et mysterium,

klaret af læreren.

for ingen kender det rigtige tal.

Han forsøger at få børnene til at bli ve nysgerrige på opgaven for de næste to lektioner. De skal finde på en meto

Og den lille indledning med lukkede

de til at udregne antallet af bøger på

øjne og post-it-sedlerne er nøje plan

biblioteket. Men først skal de gætte

lagt. Det kaldes en “iscenesættelse”

på antallet, og alle elever sætter hver

og er en af tre vigtige faser i undervis

T E M A : U N D E R S Ø G E N D E M AT E M AT I K

Bedre til at argumentere

De undersøgende undervisningsakti viteter kan motivere eleverne på an

dre måder end den traditionelle mate

“Burhøne-opgaven satte gang i en

Kvistholm er det svært at sige, om

matikundervisning, fortæller Morten

stor debat om dyreetik, og de fik sat et

eleverne er blevet bedre fagligt. Men

Kvistholm. I en af de andre aktiviteter,

billede på, hvordan dyrene var presset

han kan alligevel spore en udvikling

som lærerne afprøvede i projektet,

sammen. Det bliver mere konkret og

hos sine egne elever, som han mener

skulle eleverne arbejde med geometri,

levende,” siger han.

skyldes den anderledes undervisning:

og her gik en opgave ud på at under

I forbindelse med KiDM-projektet

“De er blevet væsentligt bedre til at

søge, hvor meget plads burhøns har.

var eleverne fra 4. og 5. klasse sidste

argumentere mundtligt. De siger ikke

Eleverne klippede et stykke pap ud på

år igennem tre forløb med undersø

bare ‘det giver 35’. De siger ‘det giver

en kvadratmeter og fandt på måder at

gende matematik på hver en måneds

35’, og samtidig kan de forklare, hvor

udregne, hvor mange høns der kunne

varighed. I geometri, algebra og stati

dan de er kommet frem til det.”

være på papstykket.

stik og sandsynlighed. Ifølge Morten



Alinea — 9

Hvor mange bøger er der på

”Noget af det sværeste er selve dialogen med eleverne. De vil jo gerne have svaret, men hvordan får man skubbet dem videre uden at hjælpe for meget?”

skolebiblioteket?

MORTEN KVISTHOLM

Foto: Daniel Hjorth

“FORESTIL JER, at I står nede på bib

deres gule post-it-seddel på tavlen

ningsaktiviteterne. De to andre hed

lioteket. Ved det runde bord. I kan gå

med deres bud.

der “aktivitet” og “opsamling”.

ned langs hylderne. Eller til sofaen,

Morten Kvistholm og to andre lære

“Iscenesættelse handler om at spo

hvor I kan se tegneserierne. Hvor

re fra skolen har deltaget i forsknings

re eleverne ind på tanken om en pro

mange bøger tror I, der er?” Eleverne

projektet “Kvalitet i Dansk og Mate

blemstilling og gøre dem nysgerrige

fra 4. x på Kildedamsskolen i Tølløse

matik” (KiDM), hvor de har afprøvet

på at løse den,” siger Morten Kvist

sidder med lukkede øjne i klassen og

forskellige aktiviteter i matematik

holm. Han har indledningsvis fortalt

lytter til lærer Morten Kvistholms

med deres klasser. Det er opgaver,

børnene en kort historie om, at han er

stemme.

hvor eleverne skal undersøge og opda

i tvivl om antallet af bøger på bibliote

ge sig til viden i stedet for at få det for

ket, og at det er lidt af et mysterium,

klaret af læreren.

for ingen kender det rigtige tal.

Han forsøger at få børnene til at bli ve nysgerrige på opgaven for de næste to lektioner. De skal finde på en meto

Og den lille indledning med lukkede

de til at udregne antallet af bøger på

øjne og post-it-sedlerne er nøje plan

biblioteket. Men først skal de gætte

lagt. Det kaldes en “iscenesættelse”

på antallet, og alle elever sætter hver

og er en af tre vigtige faser i undervis

T E M A : U N D E R S Ø G E N D E M AT E M AT I K

Bedre til at argumentere

De undersøgende undervisningsakti viteter kan motivere eleverne på an

dre måder end den traditionelle mate

“Burhøne-opgaven satte gang i en

Kvistholm er det svært at sige, om

matikundervisning, fortæller Morten

stor debat om dyreetik, og de fik sat et

eleverne er blevet bedre fagligt. Men

Kvistholm. I en af de andre aktiviteter,

billede på, hvordan dyrene var presset

han kan alligevel spore en udvikling

som lærerne afprøvede i projektet,

sammen. Det bliver mere konkret og

hos sine egne elever, som han mener

skulle eleverne arbejde med geometri,

levende,” siger han.

skyldes den anderledes undervisning:

og her gik en opgave ud på at under

I forbindelse med KiDM-projektet

“De er blevet væsentligt bedre til at

søge, hvor meget plads burhøns har.

var eleverne fra 4. og 5. klasse sidste

argumentere mundtligt. De siger ikke

Eleverne klippede et stykke pap ud på

år igennem tre forløb med undersø

bare ‘det giver 35’. De siger ‘det giver

en kvadratmeter og fandt på måder at

gende matematik på hver en måneds

35’, og samtidig kan de forklare, hvor

udregne, hvor mange høns der kunne

varighed. I geometri, algebra og stati

dan de er kommet frem til det.”

være på papstykket.

stik og sandsynlighed. Ifølge Morten



Alinea — 9

DER DER ER ER INGEN INGEN MODSÆTNING MODSÆTNING MELLEM MELLEM BØGER BØGER OG OG TABLETS TABLETS

Af Søren Flott

“Må vi gange?”

“Noget af det sværeste er selve dialo

er meget glade for den undersøgende

Tilbage i klasseværelset er eleverne

gen med eleverne. De vil jo gerne have

undervisning, og han inddrager det i

blevet delt i grupper, og hver gruppe

svaret, men hvordan får man skubbet

dag i sine lektioner. Dog i mindre skala

skal opstille deres egne metoder til

dem videre uden at hjælpe for meget?

end under KiDM-projektet.

at udregne antallet af bøger. Bagefter

Det har vi diskuteret rigtig meget

Han forsøger i samarbejde med

slipper Morten Kvistholm dem løs på

blandt os tre, der var med i forsøget,”

andre lærere at planlægge forløb, hvor

biblioteket. De får et kvarter til at af

siger han.

de udnytter at slå klasser sammen og

prøve deres metode.

Når eleverne kommer tilbage i klas

være to om undervisningen.

“Nogle vælger at dele sig op og prøve

sen, fremlægger grupperne for de

at tælle alle bøgerne. Andre spørger,

andre elever, hvordan de har grebet

matikvejleder på skolen, og han for

om de ikke bare kan tælle bøgerne på

opgaven an. De skal forholde sig til

tæller, at KiDM-forsøget har givet

en reol og så antage, at det er det sam

egne og de andres metoder og forhol

anledning til en række faglige diskus

me på de andre og gange sig frem,” for

de sig kritisk, også til deres tidligere

sioner blandt matematiklærerne, som

klarer Morten Kvistholm.

gæt på post-it-sedlerne.

har åbnet manges øjne for den under

Morten Kvistholm er også mate

Og ja, det må de godt. Pointen er at

Eleverne er spændte på at høre, hvad

reflektere over metoden. Tager den

det faktiske antal bøger er, men de skal

“I vores fagudvalg har det ledt til

for lang tid? Er den præcis nok? Hvad

også vænne sig til en anden undervis

nogle rigtig gode faglige samtaler,

kan gøres anderledes?

ningsform, hvor fokus i højere grad er

hvor vi virkelig er kommet i dybden

på proces end på at finde facit, fortæl

med didaktik. Alle har været megabe

ler Morten Kvistholm.

gejstrede og synes, det var inspireren A de at høre om.”

Morten Kvistholm fortæller, at den ne fase – aktiviteten – i sig selv er en udfordring for læreren, for man skal vænne sig til en anden kommunikati onsform.

10 — Vild med matematik 2019

Megabegejstrede

Foto: Daniel Hjorth

Som forfatter til matematikbøger og udvikler af digitale undervisningsforløb for forlaget Alinea har Mie Bang, lærer på Antvorskov Skole ved Slagelse, et ben i hver lejr. Hun mener, at bøger og digitale undervisningsforløb har hver deres styrke og tilsammen gør undervisningen bedre. 

søgende undervisning.

Morten Kvistholm selv og eleverne

Alinea — 11

DER DER ER ER INGEN INGEN MODSÆTNING MODSÆTNING MELLEM MELLEM BØGER BØGER OG OG TABLETS TABLETS

Af Søren Flott

“Må vi gange?”

“Noget af det sværeste er selve dialo

er meget glade for den undersøgende

Tilbage i klasseværelset er eleverne

gen med eleverne. De vil jo gerne have

undervisning, og han inddrager det i

blevet delt i grupper, og hver gruppe

svaret, men hvordan får man skubbet

dag i sine lektioner. Dog i mindre skala

skal opstille deres egne metoder til

dem videre uden at hjælpe for meget?

end under KiDM-projektet.

at udregne antallet af bøger. Bagefter

Det har vi diskuteret rigtig meget

Han forsøger i samarbejde med

slipper Morten Kvistholm dem løs på

blandt os tre, der var med i forsøget,”

andre lærere at planlægge forløb, hvor

biblioteket. De får et kvarter til at af

siger han.

de udnytter at slå klasser sammen og

prøve deres metode.

Når eleverne kommer tilbage i klas

være to om undervisningen.

“Nogle vælger at dele sig op og prøve

sen, fremlægger grupperne for de

at tælle alle bøgerne. Andre spørger,

andre elever, hvordan de har grebet

matikvejleder på skolen, og han for

om de ikke bare kan tælle bøgerne på

opgaven an. De skal forholde sig til

tæller, at KiDM-forsøget har givet

en reol og så antage, at det er det sam

egne og de andres metoder og forhol

anledning til en række faglige diskus

me på de andre og gange sig frem,” for

de sig kritisk, også til deres tidligere

sioner blandt matematiklærerne, som

klarer Morten Kvistholm.

gæt på post-it-sedlerne.

har åbnet manges øjne for den under

Morten Kvistholm er også mate

Og ja, det må de godt. Pointen er at

Eleverne er spændte på at høre, hvad

reflektere over metoden. Tager den

det faktiske antal bøger er, men de skal

“I vores fagudvalg har det ledt til

for lang tid? Er den præcis nok? Hvad

også vænne sig til en anden undervis

nogle rigtig gode faglige samtaler,

kan gøres anderledes?

ningsform, hvor fokus i højere grad er

hvor vi virkelig er kommet i dybden

på proces end på at finde facit, fortæl

med didaktik. Alle har været megabe

ler Morten Kvistholm.

gejstrede og synes, det var inspireren A de at høre om.”

Morten Kvistholm fortæller, at den ne fase – aktiviteten – i sig selv er en udfordring for læreren, for man skal vænne sig til en anden kommunikati onsform.

10 — Vild med matematik 2019

Megabegejstrede

Foto: Daniel Hjorth

søgende undervisning.

Morten Kvistholm selv og eleverne

Alinea — 11

MAN KAN BLIVE så begejstret for digi

der, som vi kan finde i det digitale

drejer samtalerne børnene imellem

tale undervisningsforløb, at man helt

materiale. Det handler meget om at

sig stort set altid om, hvordan de kan

glemmer matematikbøgernes forcer.

se på, hvad eleverne har brug for, og

løse et problem, eller om at de har prø

Omvendt kan man være så skeptisk

det er sjældent, at jeg tilrettelægger

vet noget i virkeligheden, som svarer

over for det nye, at man overser de

forløbene ens for to klasser på samme

til opgaven. Jeg oplever mange, der

styrker, der ligger i det digitale.

klassetrin.”

ser undervisningen på computer som

Det fortæller Mie Bang, der undervi

”Jeg lavede lige for sjov en rundspørge i en af mine klasser, og 22 ud af 26 valgte computeren, men de vil ikke undvære bøgerne, og flere spurgte, om ikke man kunne vælge begge dele.”

et spil, de skal hjem og spille videre på,

ser i matematik i indskolingen på Ant

Hvad siger eleverne til henholdsvis

vorskov Skole ved Slagelse.

bøger og tablets? ”Jeg lavede lige for sjov en rundspør

når de kommer hjem fra skole.” Det lyder, som om du alligevel er

Hvad er fordelen ved de digitale

ge i en af mine klasser, og 22 ud af 26

mest begejstret for digital undervis-

læremidler?

valgte computeren, men de vil ikke

ning …?

”Når eleverne sidder med matema

undvære bøgerne, og flere spurgte,

”Sådan skal det ikke forstås. Hvis jeg

tikbogen, kræver det, at jeg kommer

om ikke man kunne vælge begge dele.”

gør al min undervisning op, bruger jeg

forbi og tjekker, om resultaterne er

MIE BANG

faktisk mere tid på bøgerne end på

korrekte, men det klarer computeren

Hvad er det, der gør de digitale lære-

computeren – ikke mindst fordi jeg

for mig. Min rolle bliver anderledes,

midler attraktive for børnene?

bedre kan sikre mig, at alle er med,

fordi jeg får bedre tid til at tale med

”De her unger er jo vokset op med

når vi begynder på et nyt emne. Jeg

dem om, hvordan de skal løse opgaven,

alt det digitale, så jeg tror ikke, det er

oplever, at børnene også godt kan lide

og hvad deres fejl skyldes. De digitale

computerne i sig selv, men det hand

at sidde med bøgerne og træne for

løsninger kan også være kodet sådan,

ler om, at de bliver mere involveret

skellige opgaver i en fysisk bog – der

at opgavernes sværhedsgrad retter sig

i læringen, når de bruger tablets. De

breder roen sig i klasseværelset på en

efter den enkelte elevs niveau, og der

skal være mere kreative og tænke ud

helt anden måde, måske fordi de for

med bliver det lettere at differentiere

af boksen i forhold til tavleundervis

undervisningen.”

ningen, og selvom det giver mere uro,

nemmer, at her er noget, som vi alle A sammen er fælles om.”

Hvad er så de trykte matematikbøgers styrke? ”Jeg bruger faktisk stadigvæk bøger ne meget. Når vi har en bog, har vi et fælles udgangspunkt, der er kendt for eleverne. De kan nemt se, hvor vi begynder, og hvor vi skal hen, og den

Er der andre vigtige forskelle?

Hvordan vælger du så, om børnene skal bruge tablets eller bøger?

sikkerhed har mange af børnene sta

”Det er min oplevelse, at bøgerne

dig brug for. Dertil kommer også, at

lægger op til ro og eftertænksomhed,

”Jeg ser det ikke som et skarpt valg,

eleverne får lært at skrive tal og regne

mens de digitale forløb giver plads

for de to muligheder supplerer hinan

stykker og tegne geometriske figurer i

til mere kreativitet i form af lege og

den. I øjeblikket ganger vi i 3. klasse,

hånden, og det er også en vigtig del af

opfindelser, børnene skal lave – igen

og nogle af eleverne har det fint med

indlæringen.”

er det hver ting til sin tid.”

den ene måde, der findes i bogen, mens andre har brug for andre meto

gode råd Mie Bang har selv været med til at udvikle digitale undervisningsforløb for Alinea, og i den forbindelse giver hun fem gode råd til kolleger, der står over for samme valg, som hun selv gør i matematikundervisningen.

Brug det materiale, som giver mening for børnene og for dig selv.

Vær ikke bange for at slippe eleverne løs i kreative digitale opgaver – også selvom det kan give uro.

12 — Vild med matematik 2019

Giv eleverne lov til at tænke anderledes, og udnyt især de opgaver, der knytter sig til deres hverdag.

Varier undervisningen, så der både er forløb med tydelig og genkendelig struktur og kreative, legende forløb.

Vær kritisk. Der er så mange muligheder i dag, og blot fordi noget er digitalt, er det ikke nødvendigvis godt. Pluk de dele ud, der i dine øjne giver mening – man er ikke tvunget til at bruge hele forløb.

Alinea — 13

MAN KAN BLIVE så begejstret for digi

der, som vi kan finde i det digitale

drejer samtalerne børnene imellem

tale undervisningsforløb, at man helt

materiale. Det handler meget om at

sig stort set altid om, hvordan de kan

glemmer matematikbøgernes forcer.

se på, hvad eleverne har brug for, og

løse et problem, eller om at de har prø

Omvendt kan man være så skeptisk

det er sjældent, at jeg tilrettelægger

vet noget i virkeligheden, som svarer

over for det nye, at man overser de

forløbene ens for to klasser på samme

til opgaven. Jeg oplever mange, der

styrker, der ligger i det digitale.

klassetrin.”

ser undervisningen på computer som

Det fortæller Mie Bang, der undervi

”Jeg lavede lige for sjov en rundspørge i en af mine klasser, og 22 ud af 26 valgte computeren, men de vil ikke undvære bøgerne, og flere spurgte, om ikke man kunne vælge begge dele.”

et spil, de skal hjem og spille videre på,

ser i matematik i indskolingen på Ant

Hvad siger eleverne til henholdsvis

vorskov Skole ved Slagelse.

bøger og tablets? ”Jeg lavede lige for sjov en rundspør

når de kommer hjem fra skole.” Det lyder, som om du alligevel er

Hvad er fordelen ved de digitale

ge i en af mine klasser, og 22 ud af 26

mest begejstret for digital undervis-

læremidler?

valgte computeren, men de vil ikke

ning …?

”Når eleverne sidder med matema

undvære bøgerne, og flere spurgte,

”Sådan skal det ikke forstås. Hvis jeg

tikbogen, kræver det, at jeg kommer

om ikke man kunne vælge begge dele.”

gør al min undervisning op, bruger jeg

forbi og tjekker, om resultaterne er

MIE BANG

faktisk mere tid på bøgerne end på

korrekte, men det klarer computeren

Hvad er det, der gør de digitale lære-

computeren – ikke mindst fordi jeg

for mig. Min rolle bliver anderledes,

midler attraktive for børnene?

bedre kan sikre mig, at alle er med,

fordi jeg får bedre tid til at tale med

”De her unger er jo vokset op med

når vi begynder på et nyt emne. Jeg

dem om, hvordan de skal løse opgaven,

alt det digitale, så jeg tror ikke, det er

oplever, at børnene også godt kan lide

og hvad deres fejl skyldes. De digitale

computerne i sig selv, men det hand

at sidde med bøgerne og træne for

løsninger kan også være kodet sådan,

ler om, at de bliver mere involveret

skellige opgaver i en fysisk bog – der

at opgavernes sværhedsgrad retter sig

i læringen, når de bruger tablets. De

breder roen sig i klasseværelset på en

efter den enkelte elevs niveau, og der

skal være mere kreative og tænke ud

helt anden måde, måske fordi de for

med bliver det lettere at differentiere

af boksen i forhold til tavleundervis

undervisningen.”

ningen, og selvom det giver mere uro,

nemmer, at her er noget, som vi alle A sammen er fælles om.”

Er der andre vigtige forskelle?

Hvordan vælger du så, om børnene skal bruge tablets eller bøger?

sikkerhed har mange af børnene sta

”Det er min oplevelse, at bøgerne

dig brug for. Dertil kommer også, at

lægger op til ro og eftertænksomhed,

”Jeg ser det ikke som et skarpt valg,

eleverne får lært at skrive tal og regne

mens de digitale forløb giver plads

for de to muligheder supplerer hinan

stykker og tegne geometriske figurer i

til mere kreativitet i form af lege og

den. I øjeblikket ganger vi i 3. klasse,

hånden, og det er også en vigtig del af

opfindelser, børnene skal lave – igen

og nogle af eleverne har det fint med

indlæringen.”

er det hver ting til sin tid.”

den ene måde, der findes i bogen, mens andre har brug for andre meto

Brug det materiale, som giver mening for børnene og for dig selv.

Vær ikke bange for at slippe eleverne løs i kreative digitale opgaver – også selvom det kan give uro.

12 — Vild med matematik 2019

Giv eleverne lov til at tænke anderledes, og udnyt især de opgaver, der knytter sig til deres hverdag.

Varier undervisningen, så der både er forløb med tydelig og genkendelig struktur og kreative, legende forløb.

Alinea — 13

“Jeg blev selv forelsket i matematik, fordi jeg fandt et fag, hvor jeg virkelig skulle tænke kreativt selv og finde løsninger.” PERNILLE PIND

”Det gør mig trist at se børn spilde deres tid” Eleverne skal ikke være slaver af regnemetoder, de hverken forstår eller kan huske. Så læg de gamle algoritmer på hylden, og lær børnene at tænke strategisk. Sådan lyder opfordringen fra konsulent og efteruddannelses ekspert Pernille Pind. Af Anders Klebak

Foto: Daniel Hjorth

BØRN FÅR INTET ud af at terpe stan

Pernille Pind har siden 90’erne, hvor

de færreste har forudsætningen for at

dardalgoritmer. Lodret opstilling af

hun blev færdig med matematikstu

forstå. Omkring 5 procent af børnene

regnestykkerne repeteret igen og igen

dierne, arbejdet med at efteruddanne

i 2. klasse forstår ideen bag at veksle

virker bare ikke, hvis målet er at lære

lærere og udvikle undervisningsma

eller låne, når man trækker fra. Det

eleverne at regne. Det står soleklart,

terialer. Hun bruger også meget tid

giver dem et negativt selvbillede, at

mener Pernille Pind, der er selvstæn

ude i klasserne med at iagttage under

de ikke kan finde ud af det, og at de

dig konsulent og efteruddanner mate

visningen, og hun hiver et eksempel

må spørge læreren igen og igen,” siger

matiklærere over hele landet. Det er

frem, som formentlig alle matema

hun.

langt bedre at satse på regnestrategier

tiklærere kender: En elev kæmper

Det giver også et negativt billede

end at prøve at proppe algoritmer ind

med at huske, hvordan et minus-styk

af matematik som et fag, der hand

i hovedet på eleverne.

ke skal stilles op. På et tidspunkt spør

ler om at huske regler. Regler, man

“Problemet med algoritmerne er, at

ger hun læreren: ‘Hvor er det ettal

ikke er herre over. Og det er synd, for

eleverne hverken husker eller forstår

let skal stå? Kan du ikke lige vise det

matematik er netop et fag, hvor krea

dem,” siger hun.

igen?’ Og det gør læreren så.

tiv tænkning kan spille en stor rolle,

Det kommer til udtryk på flere fron

“Men så har eleven jo stadig ikke

ter. Fx har rigtig mange elever – selv

lært at regne. Hun kan det ikke. Hun

“Jeg blev selv forelsket i matematik,

efter ni års skolegang – stadig ikke styr

får bare læreren til at gentage algorit

fordi jeg fandt et fag, hvor jeg virkelig

på de basale regler, når de sidder og

men og skal forsøge endnu en gang at

skulle tænke kreativt selv og finde løs

sveder foran afgangsprøven. En rap

huske den,” forklarer Pernille Pind.

ninger,” siger hun.

port fra Undervisningsministeriet fra

“Det gør mig trist at se både børn og

Og den følelse vil hun gerne have

2011 viste, at kun 54 % klarede divisi

lærere spilde deres tid på den måde,”

banket ind i børnene i stedet for algo

onsopgaven i færdighedsregning. Og

siger hun.

ritmerne. Allerede fra de mindste

hver fjerde elev havde fejl i subtrakti onsopgaven.

Matematik er et kreativt fag

klasser skal børnene lære at arbejde strategisk. Først med små tal, hvor de

Samtidig er algoritmerne med til

begynder med at lære tællestrategier.

at de faktisk lærer at regne gennem

at gøre matematik til et dræbende

Senere udbygget med tænkestrate

undervisning i traditionelle algorit

kedeligt fag for mange børn, mener

gier, hvor de laver tallinjer, fylder op

mer, ville jeg slet ikke have en sag.

Pernille Pind.

eller splitter regnestykket op i dele, de

“Hvis der var overbevisende tegn på, T E M A : R E G N E ST R AT E G I E R

mener Pernille Pind.

Men det gør de ikke,” siger hun.

“Vi prøver at lære børn noget, som

nemmere kan håndtere. 

14 — Vild med matematik 2019

Alinea — 15

“Jeg blev selv forelsket i matematik, fordi jeg fandt et fag, hvor jeg virkelig skulle tænke kreativt selv og finde løsninger.” PERNILLE PIND

Foto: Daniel Hjorth

BØRN FÅR INTET ud af at terpe stan

Pernille Pind har siden 90’erne, hvor

de færreste har forudsætningen for at

dardalgoritmer. Lodret opstilling af

hun blev færdig med matematikstu

forstå. Omkring 5 procent af børnene

regnestykkerne repeteret igen og igen

dierne, arbejdet med at efteruddanne

i 2. klasse forstår ideen bag at veksle

virker bare ikke, hvis målet er at lære

lærere og udvikle undervisningsma

eller låne, når man trækker fra. Det

eleverne at regne. Det står soleklart,

terialer. Hun bruger også meget tid

giver dem et negativt selvbillede, at

mener Pernille Pind, der er selvstæn

ude i klasserne med at iagttage under

de ikke kan finde ud af det, og at de

dig konsulent og efteruddanner mate

visningen, og hun hiver et eksempel

må spørge læreren igen og igen,” siger

matiklærere over hele landet. Det er

frem, som formentlig alle matema

hun.

langt bedre at satse på regnestrategier

tiklærere kender: En elev kæmper

Det giver også et negativt billede

end at prøve at proppe algoritmer ind

med at huske, hvordan et minus-styk

af matematik som et fag, der hand

i hovedet på eleverne.

ke skal stilles op. På et tidspunkt spør

ler om at huske regler. Regler, man

“Problemet med algoritmerne er, at

ger hun læreren: ‘Hvor er det ettal

ikke er herre over. Og det er synd, for

eleverne hverken husker eller forstår

let skal stå? Kan du ikke lige vise det

matematik er netop et fag, hvor krea

dem,” siger hun.

igen?’ Og det gør læreren så.

tiv tænkning kan spille en stor rolle,

Det kommer til udtryk på flere fron

“Men så har eleven jo stadig ikke

ter. Fx har rigtig mange elever – selv

lært at regne. Hun kan det ikke. Hun

“Jeg blev selv forelsket i matematik,

efter ni års skolegang – stadig ikke styr

får bare læreren til at gentage algorit

fordi jeg fandt et fag, hvor jeg virkelig

på de basale regler, når de sidder og

men og skal forsøge endnu en gang at

skulle tænke kreativt selv og finde løs

sveder foran afgangsprøven. En rap

huske den,” forklarer Pernille Pind.

ninger,” siger hun.

port fra Undervisningsministeriet fra

“Det gør mig trist at se både børn og

Og den følelse vil hun gerne have

2011 viste, at kun 54 % klarede divisi

lærere spilde deres tid på den måde,”

banket ind i børnene i stedet for algo

onsopgaven i færdighedsregning. Og

siger hun.

ritmerne. Allerede fra de mindste

hver fjerde elev havde fejl i subtrakti onsopgaven.

Matematik er et kreativt fag

klasser skal børnene lære at arbejde strategisk. Først med små tal, hvor de

Samtidig er algoritmerne med til

begynder med at lære tællestrategier.

at de faktisk lærer at regne gennem

at gøre matematik til et dræbende

Senere udbygget med tænkestrate

undervisning i traditionelle algorit

kedeligt fag for mange børn, mener

gier, hvor de laver tallinjer, fylder op

mer, ville jeg slet ikke have en sag.

Pernille Pind.

eller splitter regnestykket op i dele, de

“Hvis der var overbevisende tegn på, T E M A : R E G N E ST R AT E G I E R

mener Pernille Pind.

Men det gør de ikke,” siger hun.

“Vi prøver at lære børn noget, som

nemmere kan håndtere. 

14 — Vild med matematik 2019

Alinea — 15

Forskellen på regnestrategier og traditionelle algoritmer Ifølge Pernille Pind kan

algoritmer defineres som det, man kan programmere en lommeregner til at gøre. Det

EGIER REGNESTRAT Lav overslag – 30+30=60

det er højere en

d i håndterlige

Bryd stykket ne 30+30+5+7 eller 35+35+2

størrelser:

eller 36+36

vil sige regler, som man ikke behøver at forstå, men bare skal udføre. Det kan fx være at stille et stykke op korrekt og huske reglerne for de fire regnearter.

35+37=72

Regnestrategier er derimod

en række forskellige definerede metoder til at løse et givent regnestykke. Fx at fylde op, lave tallinjer eller bryde regnestykket ned i håndterlige størrelser, som man genkender.

TRADITIONEL ALGORITME Lodret opstillin g med 1 i mente:

+ 35

317 72

Opgør på lærerværelset

Pernille Pind vurderer, at der inden

mer. Og det er ærgerligt, for det har ikke været hensigten,” siger hun.

for de seneste fem år er sket en positiv

Samtidig er der behov for et kultur

udvikling. Regnestrategier vinder ter

opgør på lærerværelset. Mange lære

ræn som en afgørende del af matema

re har set lyset i regnestrategierne.

tikundervisningen. Men det er ikke nødvendigvis nemt at arbejde med regnestrategier. Det

”Allerede fra de mindste klasser skal børnene lære at arbejde strategisk.”

introducere for eleverne. Og eleverne

Selvom regnestrategier hovedsage

der data, bliver bedre og hurtigere.

skal øve sig i dem, så de kan trække på

ligt kan anvendes i indskolingen, kan

Men faktisk forholder det sig lige om

dem og kombinere dem, når de skal

tankegangen tages med videre op i de

vendt, mener Pernille Pind, der peger

løse et problem.

større klasser, hvor eleverne intro

på lommeregneren som en af årsager

Hun mener, at det er en misforståel

duceres for det, hun kalder “fleksible

ne til, at vi i mange år er gået bort fra at

Men de støder ind i andre lærere, som

se, hvis man tror, at eleverne selv skal

regnemetoder”. Det ligger et sted mel

lære børnene hovedregning.

holder fast i, at algoritmerne er de vig

udvikle deres egne strategier. Det er

lem den helt åbne strategitænkning

“Da lommeregneren kom, smed

nemlig de færreste børn, der kan det.

tigste.

kræver blandt andet, at man som

“Jeg mødte for nylig en lærer, der

lærer bruger tid på at forstå hver

viste mig nogle plancher, hun havde

enkelt elevs individuelle tilgang.

lavet om, hvordan man kan arbejde

Lærerne mangler også materialer, der

med regnestrategier på mellemtrin

kan understøtte dem, og det fører ofte

net. En af hendes kolleger havde så

til, at de falder tilbage på det, de ken

tilføjet nedenunder ‘ja, men man kan

der og har til rådighed.

også bare gøre på den gode, gamle

Også den stigende mængde prøver

måde’. Det viser jo, at der ikke er enig

og tests i skolen har skubbet lærerne i

hed om, hvilken vej vi skal,” siger hun.

PERNILLE PIND

og den helt lukkede algoritme. Det

man hovedregningen ud og beholdt

“Problemet er, at rigtig mange elever

er fleksibelt, fordi to elever kan bru

de klassiske algoritmer. Man skulle

“Og det er jo fint nok, ligesom det

ikke kommer videre end tællestrate

ge samme regnemetode, men have

have smidt de gamle algoritmer ud og

kan være fint nok at løse den nemme

gien. Vi har alt for mange tællere i de

forskellige mellemregninger. Og det

beholdt hovedet,” siger hun.

sudoku i avisen. Det er afslapning.

ældste klasser. Det skyldes måske, at

ikke er metoder, man enten kan eller

Og moderne teknologi vil gøre det

Men det lærer man bare ikke at regne

lærerne stiller sig tilfredse og giver

ikke kan, men metoder, man kan blive

stadig vigtigere at kunne vurdere og

af,” siger hun.

ros, når de kan se, at en elev er kom

bedre og bedre til. Overslagsregning

forholde sig til tal, hvis vi skal kunne

met frem til det rigtige resultat med

og hovedregning med skriftlige nota

følge med i, hvad der foregår i verden.

tællestrategien og har tilegnet sig den

ter er eksempler på fleksible metoder,

som sin egen metode. Men problemet

forklarer hun

på automatpiloten og køre algorit merne uden at skulle tænke.

For mange tæller sig igennem skolen

Eleverne selv kan også være en bar

Pernille Pind understreger, at regne

med at tælle er, at det kun er effek

“Jeg tror, mange lærere har opfattet

riere. At arbejde med regnestrategier

strategier ikke handler om, at elever

tivt ved små tal og tager alt for meget

de nationale tests – og i det hele taget

kræver nemlig aktiv tankevirksom

ne skal opfinde den dybe tallerken

arbejdshukommelse, når vi arbejder

den øgede fokus på tests – som et vink

hed, forklarer hun. Mange elever er

selv, hver gang de står foran et reg

med mere komplekse regnestykker,”

for hovedregning bliver mindre, i takt

om, at man skal tilbage til de gamle

dog glade for at sidde med kolonner af

nestykke. Strategierne er fastlagte

siger hun.

med at moderne computere, der er i

dyder, altså de traditionelle algorit

stykker, hvor de kan sætte fuld damp

måder at tænke på, som læreren skal

den forkerte retning, mener hun:

16 — Vild med matematik 2019

Slå hovedet til igen

Man skulle egentlig tro, at behovet

“Vi får brug for folk, der er end nu bedre til at regne end den forrige generation. Vi skal kunne forholde os kritisk til de tal, som journalisten, politikeren eller bankmanden smider i hovedet på os,” siger Pernille Pind. A

stand til at kværne uendelige mæng

Alinea — 17

Forskellen på regnestrategier og traditionelle algoritmer Ifølge Pernille Pind kan

algoritmer defineres som det, man kan programmere en lommeregner til at gøre. Det

EGIER REGNESTRAT Lav overslag – 30+30=60

det er højere en

d i håndterlige

Bryd stykket ne 30+30+5+7 eller 35+35+2

størrelser:

eller 36+36

vil sige regler, som man ikke behøver at forstå, men bare skal udføre. Det kan fx være at stille et stykke op korrekt og huske reglerne for de fire regnearter.

35+37=72

Regnestrategier er derimod

en række forskellige definerede metoder til at løse et givent regnestykke. Fx at fylde op, lave tallinjer eller bryde regnestykket ned i håndterlige størrelser, som man genkender.

TRADITIONEL ALGORITME Lodret opstillin g med 1 i mente:

+ 35

317 72

Opgør på lærerværelset

Pernille Pind vurderer, at der inden

mer. Og det er ærgerligt, for det har ikke været hensigten,” siger hun.

for de seneste fem år er sket en positiv

Samtidig er der behov for et kultur

udvikling. Regnestrategier vinder ter

opgør på lærerværelset. Mange lære

ræn som en afgørende del af matema

re har set lyset i regnestrategierne.

tikundervisningen. Men det er ikke nødvendigvis nemt at arbejde med regnestrategier. Det

”Allerede fra de mindste klasser skal børnene lære at arbejde strategisk.”

introducere for eleverne. Og eleverne

Selvom regnestrategier hovedsage

der data, bliver bedre og hurtigere.

skal øve sig i dem, så de kan trække på

ligt kan anvendes i indskolingen, kan

Men faktisk forholder det sig lige om

dem og kombinere dem, når de skal

tankegangen tages med videre op i de

vendt, mener Pernille Pind, der peger

løse et problem.

større klasser, hvor eleverne intro

på lommeregneren som en af årsager

Hun mener, at det er en misforståel

duceres for det, hun kalder “fleksible

ne til, at vi i mange år er gået bort fra at

Men de støder ind i andre lærere, som

se, hvis man tror, at eleverne selv skal

regnemetoder”. Det ligger et sted mel

lære børnene hovedregning.

holder fast i, at algoritmerne er de vig

udvikle deres egne strategier. Det er

lem den helt åbne strategitænkning

“Da lommeregneren kom, smed

nemlig de færreste børn, der kan det.

tigste.

kræver blandt andet, at man som

“Jeg mødte for nylig en lærer, der

lærer bruger tid på at forstå hver

viste mig nogle plancher, hun havde

enkelt elevs individuelle tilgang.

lavet om, hvordan man kan arbejde

Lærerne mangler også materialer, der

med regnestrategier på mellemtrin

kan understøtte dem, og det fører ofte

net. En af hendes kolleger havde så

til, at de falder tilbage på det, de ken

tilføjet nedenunder ‘ja, men man kan

der og har til rådighed.

også bare gøre på den gode, gamle

Også den stigende mængde prøver

måde’. Det viser jo, at der ikke er enig

og tests i skolen har skubbet lærerne i

hed om, hvilken vej vi skal,” siger hun.

PERNILLE PIND

og den helt lukkede algoritme. Det

man hovedregningen ud og beholdt

“Problemet er, at rigtig mange elever

er fleksibelt, fordi to elever kan bru

de klassiske algoritmer. Man skulle

“Og det er jo fint nok, ligesom det

ikke kommer videre end tællestrate

ge samme regnemetode, men have

have smidt de gamle algoritmer ud og

kan være fint nok at løse den nemme

gien. Vi har alt for mange tællere i de

forskellige mellemregninger. Og det

beholdt hovedet,” siger hun.

sudoku i avisen. Det er afslapning.

ældste klasser. Det skyldes måske, at

ikke er metoder, man enten kan eller

Og moderne teknologi vil gøre det

Men det lærer man bare ikke at regne

lærerne stiller sig tilfredse og giver

ikke kan, men metoder, man kan blive

stadig vigtigere at kunne vurdere og

af,” siger hun.

ros, når de kan se, at en elev er kom

bedre og bedre til. Overslagsregning

forholde sig til tal, hvis vi skal kunne

met frem til det rigtige resultat med

og hovedregning med skriftlige nota

følge med i, hvad der foregår i verden.

tællestrategien og har tilegnet sig den

ter er eksempler på fleksible metoder,

som sin egen metode. Men problemet

forklarer hun

på automatpiloten og køre algorit merne uden at skulle tænke.

For mange tæller sig igennem skolen

Eleverne selv kan også være en bar

Pernille Pind understreger, at regne

med at tælle er, at det kun er effek

“Jeg tror, mange lærere har opfattet

riere. At arbejde med regnestrategier

strategier ikke handler om, at elever

tivt ved små tal og tager alt for meget

de nationale tests – og i det hele taget

kræver nemlig aktiv tankevirksom

ne skal opfinde den dybe tallerken

arbejdshukommelse, når vi arbejder

den øgede fokus på tests – som et vink

hed, forklarer hun. Mange elever er

selv, hver gang de står foran et reg

med mere komplekse regnestykker,”

for hovedregning bliver mindre, i takt

om, at man skal tilbage til de gamle

dog glade for at sidde med kolonner af

nestykke. Strategierne er fastlagte

siger hun.

med at moderne computere, der er i

dyder, altså de traditionelle algorit

stykker, hvor de kan sætte fuld damp

måder at tænke på, som læreren skal

den forkerte retning, mener hun:

16 — Vild med matematik 2019

Slå hovedet til igen

Man skulle egentlig tro, at behovet

stand til at kværne uendelige mæng

Alinea — 17

PERNILLE PIND

5 råd

T E M A : R E G N E ST R AT E G I E R

til

”Det er en misforståelse, hvis man tror, at eleverne selv skal udvikle deres egne strategier.”

matematiklærere, der vil i gang Pernille Pind efteruddanner matematiklærere over hele landet. Blandt andet med fokus på regnestrategier. Her er fem råd til at komme i gang og holde fast i arbejdet med regnestrategierne.

1 2 3 4 Pernille Pind holder efteruddannelseskurser for matematiklærere og beskæftiger sig bredt

Allerede når de begynder regning med små tal, skal eleverne blive bevidste om, at der er forskellige regnestrategier, de kan bruge.

Eleverne skal undervises i de forskellige strategier. De skal ikke selv finde på dem. Læreren skal vise en række mulige måder at

angribe et regnestykke, som eleverne kan bruge og kombinere.

Foreslå eleverne måder at tænke på i stedet for måder at

handle på. I stedet for at vise, hvordan man stiller et regnestykke op, så giv dem inspiration til, hvordan de kan tænke.

Lær eleverne altid at stoppe op, før de regner. Se på tallene og tænk! Det er ikke altid nemt, for det stiller krav til, at de slår automatpiloten fra og tænkehjernen til.

Det vigtigste og sværeste! Som lærer skal du sværge på, at du

aldrig mere vil bruge de traditionelle algoritmer, når du selv regner. Ikke i din hverdag, når du regner på beløbet i indkøbskurven ud. Heller ikke, når du skal rette opgaver fra eleverne.

med elever i matematikvanskeligheder. Hun skriver desuden bøger, udvikler materialer og har sit eget forlag, Pind og Bjerre. Gratis opgave: Lad eleverne lege tankelæsere, og sæt gang i arbejdet med regnestrategier. www.blivklog.dk/regnestrategier

18 — Vild med matematik 2019

Alinea — 19

PERNILLE PIND

5 råd

T E M A : R E G N E ST R AT E G I E R

til

”Det er en misforståelse, hvis man tror, at eleverne selv skal udvikle deres egne strategier.”

1 2 3 4 Pernille Pind holder efteruddannelseskurser for matematiklærere og beskæftiger sig bredt

Allerede når de begynder regning med små tal, skal eleverne blive bevidste om, at der er forskellige regnestrategier, de kan bruge.

Eleverne skal undervises i de forskellige strategier. De skal ikke selv finde på dem. Læreren skal vise en række mulige måder at

angribe et regnestykke, som eleverne kan bruge og kombinere.

Foreslå eleverne måder at tænke på i stedet for måder at

handle på. I stedet for at vise, hvordan man stiller et regnestykke op, så giv dem inspiration til, hvordan de kan tænke.

Lær eleverne altid at stoppe op, før de regner. Se på tallene og tænk! Det er ikke altid nemt, for det stiller krav til, at de slår automatpiloten fra og tænkehjernen til.

Det vigtigste og sværeste! Som lærer skal du sværge på, at du

aldrig mere vil bruge de traditionelle algoritmer, når du selv regner. Ikke i din hverdag, når du regner på beløbet i indkøbskurven ud. Heller ikke, når du skal rette opgaver fra eleverne.

18 — Vild med matematik 2019

Alinea — 19

T E M A : R E G N E ST R AT E G I E R

Eleverne skal lære at finde smarte løsninger Matematikvejleder Gitte Schrøder på Skovvejens Skole i Ballerup arbejder for at øge fokus på regnestrategier i fagteamet. “Vi skal interessere os mere for, hvordan eleverne tænker, end om de har det rigtige resultat,” siger hun. Af Anders Klebak

Foto: Daniel Hjorth

“Det hjælper sjældent på elevers tal

tællestrategi, risikerer man, at de

strategivalg. Og de tager ofte video

forståelse at træne algoritmer,” siger

fortsætter på mellemtrinnet og stadig

erne om et par gange, fordi de ved, de

hun.

kun har tællestrategier at trække på,”

kan gøre det mere præcist. Det giver

Samtidig er regnestrategier skrevet

siger hun og understreger, at det er

dem en rigtig god forståelse,” siger

ind i både Fælles Mål og læseplaner.

afgørende, at man arbejder målrettet

hun.

Så de er ikke til at komme udenom,

med strategier allerede i de mindste

mener Gitte Schrøder. Derfor har hun

klasser.

taget initiativ til, at fagteamet skal arbejde målrettet med regnestrategi er i dette skoleår.

Elever laver strategi-videoer

Gitte Schrøder lægger vægt på, at ele

De små videoklip har yderligere den fordel, at forældrene kan følge med i, hvordan der arbejdes med regnestra tegier i undervisningen, forklarer Git te Schrøder.

Og det kræver også tålmodighed i

verne præsenteres for et stort antal

En anden måde at gøre eleverne

forhold til eleverne. Gitte Schrøder

strategier. Men også, at de får auto

bevidste om at tænke og formulere

er begyndt at kortlægge elevernes

matiseret en række udregninger, så de

sig er at lade dem arbejde i små grup

strategibrug på skolens 2. årgang, som

kan trække på dem og ikke skal starte

per, hvor de trækker et regnestykke. I

efter jul sidste år begyndte at arbejde

fra bunden hver gang.

gruppen skal de så forklare hinanden,

med regnestrategier.

“Kan eleverne 10’er-venner, kan de

“Her kan jeg se, at en del elever sta

bruge regnestrategien med at fylde op

dig bruger tællestrategier, og det er

til ti. Det kræver, at vi bruger tid på at

helt naturligt. Men det er noget, vi

øve det,” siger hun.

hvilken strategi de hver især bruger til at løse stykket. “Det er en god øvelse, fordi det gør dem bevidste om, at der er flere stra

skal være opmærksomme på og arbej

Hun gør også meget ud af, at elever

tegier, man kan bruge til samme pro

DER ER ALLE mulige gode grunde til

“De er mere fleksible regnere, og

Hun peger også på forskning, som

de systematisk med, for hvis de ikke

ne bliver trænet i at vise, hvordan de

blem, og de lærer af hinanden,” siger

at skærpe indsatsen med regnestra

de når hurtigere frem til, hvordan de

viser, at regnestrategier er en bedre

bevæger sig videre fra kun at bruge

tænker, når de regner. Det foregår i

hun.

tegier. Det mener Gitte Schrøder, som

kan løse et regnestykke,” siger hun,

hjælp for elever med matematikvan

er matematikvejleder på Skovvejens

når man spørger hende, om hun kan

skeligheder end standardalgoritmer.

Skole. Hun har selv oplevet, hvordan

mærke forskel på effekten af hendes

Hvis eleverne ikke har effektive reg

de elever, hun underviser i dag, har

undervisning, da hun begyndte som

nestrategier eller helt mangler stra

bedre greb om talforståelse og positi

lærer for ti år siden, og til i dag, hvor

tegier, kan matematikvanskeligheder

onssystem.

hun arbejder målrettet med regne

opstå eller sidde fast, forklarer hun.

strategier.

20 — Vild med matematik 2019

hendes timer blandt andet gennem

”Det er afgørende, at man arbejder målrettet med strategier allerede i de mindste klasser.” GITTE SCHRØDER

ger et lille klip, der forklarer deres

”Skal overveje, hvilke tests vi bruger”

strategi til at løse et bestemt regne

Men er det så helt farvel til stan

stykke.

dardalgoritmer i matematikundervis

små videoøvelser, hvor eleverne opta

“De øver sig i at sætte ord på deres

ningen?



tænkning og argumentere for deres

Alinea — 21

T E M A : R E G N E ST R AT E G I E R

Foto: Daniel Hjorth

“Det hjælper sjældent på elevers tal

tællestrategi, risikerer man, at de

strategivalg. Og de tager ofte video

forståelse at træne algoritmer,” siger

fortsætter på mellemtrinnet og stadig

erne om et par gange, fordi de ved, de

hun.

kun har tællestrategier at trække på,”

kan gøre det mere præcist. Det giver

Samtidig er regnestrategier skrevet

siger hun og understreger, at det er

dem en rigtig god forståelse,” siger

ind i både Fælles Mål og læseplaner.

afgørende, at man arbejder målrettet

hun.

Så de er ikke til at komme udenom,

med strategier allerede i de mindste

mener Gitte Schrøder. Derfor har hun

klasser.

taget initiativ til, at fagteamet skal arbejde målrettet med regnestrategi er i dette skoleår.

Elever laver strategi-videoer

Gitte Schrøder lægger vægt på, at ele

De små videoklip har yderligere den fordel, at forældrene kan følge med i, hvordan der arbejdes med regnestra tegier i undervisningen, forklarer Git te Schrøder.

Og det kræver også tålmodighed i

verne præsenteres for et stort antal

En anden måde at gøre eleverne

forhold til eleverne. Gitte Schrøder

strategier. Men også, at de får auto

bevidste om at tænke og formulere

er begyndt at kortlægge elevernes

matiseret en række udregninger, så de

sig er at lade dem arbejde i små grup

strategibrug på skolens 2. årgang, som

kan trække på dem og ikke skal starte

per, hvor de trækker et regnestykke. I

efter jul sidste år begyndte at arbejde

fra bunden hver gang.

gruppen skal de så forklare hinanden,

med regnestrategier.

“Kan eleverne 10’er-venner, kan de

“Her kan jeg se, at en del elever sta

bruge regnestrategien med at fylde op

dig bruger tællestrategier, og det er

til ti. Det kræver, at vi bruger tid på at

helt naturligt. Men det er noget, vi

øve det,” siger hun.

hvilken strategi de hver især bruger til at løse stykket. “Det er en god øvelse, fordi det gør dem bevidste om, at der er flere stra

skal være opmærksomme på og arbej

Hun gør også meget ud af, at elever

tegier, man kan bruge til samme pro

DER ER ALLE mulige gode grunde til

“De er mere fleksible regnere, og

Hun peger også på forskning, som

de systematisk med, for hvis de ikke

ne bliver trænet i at vise, hvordan de

blem, og de lærer af hinanden,” siger

at skærpe indsatsen med regnestra

de når hurtigere frem til, hvordan de

viser, at regnestrategier er en bedre

bevæger sig videre fra kun at bruge

tænker, når de regner. Det foregår i

hun.

tegier. Det mener Gitte Schrøder, som

kan løse et regnestykke,” siger hun,

hjælp for elever med matematikvan

er matematikvejleder på Skovvejens

når man spørger hende, om hun kan

skeligheder end standardalgoritmer.

Skole. Hun har selv oplevet, hvordan

mærke forskel på effekten af hendes

Hvis eleverne ikke har effektive reg

de elever, hun underviser i dag, har

undervisning, da hun begyndte som

nestrategier eller helt mangler stra

bedre greb om talforståelse og positi

lærer for ti år siden, og til i dag, hvor

tegier, kan matematikvanskeligheder

onssystem.

hun arbejder målrettet med regne

opstå eller sidde fast, forklarer hun.

strategier.

20 — Vild med matematik 2019

hendes timer blandt andet gennem

”Det er afgørende, at man arbejder målrettet med strategier allerede i de mindste klasser.” GITTE SCHRØDER

ger et lille klip, der forklarer deres

”Skal overveje, hvilke tests vi bruger”

strategi til at løse et bestemt regne

Men er det så helt farvel til stan

stykke.

dardalgoritmer i matematikundervis

små videoøvelser, hvor eleverne opta

“De øver sig i at sætte ord på deres

ningen?



tænkning og argumentere for deres

Alinea — 21

Matematiknørden

Tør du udfordre dig selv? Find din indre matematiknørd frem, og svar på 10 gode matematiske spørgsmål. Du finder svarene nederst på siden. Af Svend Hessing

En terning bygget af 3 x 3 x

3 centicubes har 26 synlige

Signe vil male huset, så hun

sætter en stige op ad væggen

centicubes og 1 usynlig (den i

og går op. Da hun når halvvejs

midten). Hvor stor skal en terning

op på stigen, begynder

være for, at der akkurat er flere

den at skride ud. På vej ned

usynlige end synlige centicubes?

Cecilia får på en café skænket

tænker hun på, hvilken kurve

en drink i et tragtformet

midtpunktet af stigen mon

glas. Den koster 30 kr. Hun

beskriver. Hvad kan det være?

beder om at få fyldt glasset op til dobbelt højde. Hvad skal drinken nu koste?

Lige før eller lige efter et primtal er der altid et tal i

Anja kaster 7 terninger

på én gang. Hvad er

6-tabellen (bortset fra 2 og

sandsynligheden for, at

3). Gælder det modsatte

hun får mindst én sekser?

også, dvs. lige før eller lige efter et tal fra 6-tabellen, er der altid et primtal?

Anja vil også gerne vide, hvor mange gange man typisk skal

I en mose er der gravet

sunket til 80%. Hvor meget

trin eller start udskoling,” siger Gitte

nødsaget til at undervise i algoritmer

ninger. Til de besværlige regnestykker

Schrøder og henviser til, at det lige

for at gøre eleverne klar til testene.

tager vi lommeregneren, som vi jo har

frem er skrevet ind i læseplanen, at

“Den slags tests flytter fokus over på

der “ikke sigtes mod opøvelse af stan

resultater og algoritmer. Det er noget,

Gitte Schrøder håber, at fagteamets

dardiserede algoritmer”.

vi er nødt til at forholde os til. Vi er

nye fokus på regnestrategier får lov til

på os hele tiden,” siger hun.

Gitte Schrøder peger også på, at de

nødt til at have en snak om, hvordan

at vokse støt og roligt på skolen. Det

tests, man bruger til at vurdere ele

vi udfører diagnostiske tests. Ser vi

kommer formentlig til at ske over fle

vernes niveau, kan spænde ben for et

mest på resultatet, eller ser vi mest

re år, fordi det tager tid at rodfæste.

nødvendigt fokusskifte fra algoritmer

på tænkningen? Vi skal overveje nøje,

“Det skal ud og gå i hele organisa

til regnestrategier. Der er en tendens

hvilke tests vi bruger, og hvordan,”

tionen. Jeg håber, vi på et tidspunkt

til, at eleverne møder regnestykker,

siger hun.

kan sige: ‘som skole arbejder vi med A regnestrategier’,” siger hun.

Og algoritmerne er faktisk ikke så

22 — Vild med matematik 2019

110 km/t. Undervejs ringer Jens til Peter og siger: ”Jeg

tilbage. Søren løber med en

kører ind på en rasteplads

fart på 12 km/t ud og

og får en kop kaffe, mens

divideret med summen af de

8 km/t hjem. Anders løber

jeg venter på dig”. Der går

n efterfølgende ulige tal altid

10 km/t både ud og hjem.

et kvarter, før Peter kommer.

giver resultatet en tredjedel?

Hvem kommer først?

Hvor langt har de kørt?

Kan det virkelig passe, at

summen af de n første ulige tal

Facitliste

ne lave overslag og finde smarte løs

130 km/t, og Peter kører

til et bestemt træ i skoven og

9. En kvart cirkel. Afstand fra hus/jord-punkt til midt på stigen er konstant.

Det betyder, at lærerne kan føle sig

vigtige. For lommeregneren kan klare

kap. De har aftalt at løbe ud

4. Ja. Prøv med eksempler. Kan også vises generelt.

først præsentere dem på slut mellem

kommer til at møde i afgangsprøven.

Søren og Anders løber om

vejer tørvene nu?

for at regne større regnestykker præ cist ud på et stykke papir. Vi skal kun

der er meget sværere i tests, end de

ud på motorvejen. Jens kører

1. Siden x = 10. Usynlige > synlige, når (x – 2)3 > x3 – (x – 2)3.

Det er sjældent, at vi i dag har brug

Jens og Peter kører samtidig

7. 1 kast. Chancen for en sekser i første kast er 1/6. Derefter mindre i efterfølgende kast, fx (5/6) · (1/6) i andet kast.

Men jeg vil selv som udgangspunkt

ningsstrategier og notatregning.

10. 179 km. x er afstand i km, dvs. x/110 – x/130 = 0,25 time.

GITTE SCHRØDER

nogen tid er vandindholdet

5. 240 kr. Rumfanget forøges 8 gange og dermed prisen.

sentere eleverne for algoritmerne.

ikke kan klare ved hjælp af hovedreg

mest almindelige antal kast er?

2. Nej. Fx er 120 i 6-tabellen, men 119 og 121 er ikke primtal.

resultater, kan man overveje at præ

vandindhold på 90%. Efter

får en sekser. Hvad mon det

8. Anders. x er afstanden. x/10 + x/10 er mindre end x/12 + x/8.

ståelsesniveau kan komme frem til

de mere komplicerede stykker, man

6. 72% = 1- (5/6)7 . Sandsynlighed for ingen seksere er (5/6)7.

etableret og de ved hjælp af deres for

”Ser vi mest på resultatet, eller ser vi mest på tænkningen?

kaste med en terning, før man

3. 500 kg. Tørstoffet i tørvene er 100 kg svarende til 20%

“Når elevernes talforståelse er vel

1000 kg tørv med et

Alinea — 23

Matematiknørden

Tør du udfordre dig selv? Find din indre matematiknørd frem, og svar på 10 gode matematiske spørgsmål. Du finder svarene nederst på siden. Af Svend Hessing

En terning bygget af 3 x 3 x

3 centicubes har 26 synlige

Signe vil male huset, så hun

sætter en stige op ad væggen

centicubes og 1 usynlig (den i

og går op. Da hun når halvvejs

midten). Hvor stor skal en terning

op på stigen, begynder

være for, at der akkurat er flere

den at skride ud. På vej ned

usynlige end synlige centicubes?

Cecilia får på en café skænket

tænker hun på, hvilken kurve

en drink i et tragtformet

midtpunktet af stigen mon

glas. Den koster 30 kr. Hun

beskriver. Hvad kan det være?

beder om at få fyldt glasset op til dobbelt højde. Hvad skal drinken nu koste?

Lige før eller lige efter et primtal er der altid et tal i

Anja kaster 7 terninger

på én gang. Hvad er

6-tabellen (bortset fra 2 og

sandsynligheden for, at

3). Gælder det modsatte

hun får mindst én sekser?

også, dvs. lige før eller lige efter et tal fra 6-tabellen, er der altid et primtal?

Anja vil også gerne vide, hvor mange gange man typisk skal

I en mose er der gravet

sunket til 80%. Hvor meget

trin eller start udskoling,” siger Gitte

nødsaget til at undervise i algoritmer

ninger. Til de besværlige regnestykker

Schrøder og henviser til, at det lige

for at gøre eleverne klar til testene.

tager vi lommeregneren, som vi jo har

frem er skrevet ind i læseplanen, at

“Den slags tests flytter fokus over på

der “ikke sigtes mod opøvelse af stan

resultater og algoritmer. Det er noget,

Gitte Schrøder håber, at fagteamets

dardiserede algoritmer”.

vi er nødt til at forholde os til. Vi er

nye fokus på regnestrategier får lov til

på os hele tiden,” siger hun.

Gitte Schrøder peger også på, at de

nødt til at have en snak om, hvordan

at vokse støt og roligt på skolen. Det

tests, man bruger til at vurdere ele

vi udfører diagnostiske tests. Ser vi

kommer formentlig til at ske over fle

vernes niveau, kan spænde ben for et

mest på resultatet, eller ser vi mest

re år, fordi det tager tid at rodfæste.

nødvendigt fokusskifte fra algoritmer

på tænkningen? Vi skal overveje nøje,

“Det skal ud og gå i hele organisa

til regnestrategier. Der er en tendens

hvilke tests vi bruger, og hvordan,”

tionen. Jeg håber, vi på et tidspunkt

til, at eleverne møder regnestykker,

siger hun.

kan sige: ‘som skole arbejder vi med A regnestrategier’,” siger hun.

Og algoritmerne er faktisk ikke så

22 — Vild med matematik 2019

110 km/t. Undervejs ringer Jens til Peter og siger: ”Jeg

tilbage. Søren løber med en

kører ind på en rasteplads

fart på 12 km/t ud og

og får en kop kaffe, mens

divideret med summen af de

8 km/t hjem. Anders løber

jeg venter på dig”. Der går

n efterfølgende ulige tal altid

10 km/t både ud og hjem.

et kvarter, før Peter kommer.

giver resultatet en tredjedel?

Hvem kommer først?

Hvor langt har de kørt?

Kan det virkelig passe, at

summen af de n første ulige tal

Facitliste

ne lave overslag og finde smarte løs

130 km/t, og Peter kører

til et bestemt træ i skoven og

9. En kvart cirkel. Afstand fra hus/jord-punkt til midt på stigen er konstant.

Det betyder, at lærerne kan føle sig

vigtige. For lommeregneren kan klare

kap. De har aftalt at løbe ud

4. Ja. Prøv med eksempler. Kan også vises generelt.

først præsentere dem på slut mellem

kommer til at møde i afgangsprøven.

Søren og Anders løber om

vejer tørvene nu?

for at regne større regnestykker præ cist ud på et stykke papir. Vi skal kun

der er meget sværere i tests, end de

ud på motorvejen. Jens kører

1. Siden x = 10. Usynlige > synlige, når (x – 2)3 > x3 – (x – 2)3.

Det er sjældent, at vi i dag har brug

Jens og Peter kører samtidig

7. 1 kast. Chancen for en sekser i første kast er 1/6. Derefter mindre i efterfølgende kast, fx (5/6) · (1/6) i andet kast.

Men jeg vil selv som udgangspunkt

ningsstrategier og notatregning.

10. 179 km. x er afstand i km, dvs. x/110 – x/130 = 0,25 time.

GITTE SCHRØDER

nogen tid er vandindholdet

5. 240 kr. Rumfanget forøges 8 gange og dermed prisen.

sentere eleverne for algoritmerne.

ikke kan klare ved hjælp af hovedreg

mest almindelige antal kast er?

2. Nej. Fx er 120 i 6-tabellen, men 119 og 121 er ikke primtal.

resultater, kan man overveje at præ

vandindhold på 90%. Efter

får en sekser. Hvad mon det

8. Anders. x er afstanden. x/10 + x/10 er mindre end x/12 + x/8.

ståelsesniveau kan komme frem til

de mere komplicerede stykker, man

6. 72% = 1- (5/6)7 . Sandsynlighed for ingen seksere er (5/6)7.

etableret og de ved hjælp af deres for

”Ser vi mest på resultatet, eller ser vi mest på tænkningen?

kaste med en terning, før man

3. 500 kg. Tørstoffet i tørvene er 100 kg svarende til 20%

“Når elevernes talforståelse er vel

1000 kg tørv med et

Alinea — 23

Kunsten at tegne matematikken

Det er vigtigt, at der er fuld fart på farverne, og at eleverne kan genkende sig selv i bøgernes karakterer. Men hverken tegninger eller grafik må tage opmærksomheden fra opgaverne i mate matiksystemet ’Format’. Det er en balancegang, som illustrator Pernille Mühlbach og grafiker Henriette Andresen er stolte over at mestre. Af Søren Flott

24 — Vild med matematik 2019

Foto: Martin Stampe

Alinea — 25

Kunsten at tegne matematikken

24 — Vild med matematik 2019

Foto: Martin Stampe

Alinea — 25

PERNILLE MÜHLBACH griber en sort

”Vi har fra starten lagt stor vægt på

pen og bøjer sig ind over et lille lys

at skabe et realistisk univers, hvor

bord. Hun sætter pennen på papiret

der både er forskellige etniciteter og

og begynder at trække streger op, ind

en tøjstil, som børnene kan kende, så

”Børnene skal hurtigt kunne afkode siden, så de ved, hvad de skal bruge for at løse en opgave.”

til Mads begynder at titte frem:

det ikke bliver klicheer fra vores egen

HENRIETTE ANDRESEN

Dér er det korte, plyssede hår. Så liver øjnene op. Og så kommer freg

skoletid,” forklarer illustrator Pernille Mühlbach.

skal finde en endelig plads på sider

nerne og den glade mund, hvor et par

At lave en matematikbog handler

ne i det træningshæfte til børne

af mælketænderne mangler. Pennen

nemlig ikke kun om regnestykker og

haveklasseelever, de to er i gang med

glider videre ned til træningstrøjen,

geometriopgaver – bøgerne skal med

i øjeblikket.

og snart efter er drengen fra 0. klasse

hjælp fra tegninger og grafik både

”Vi får tit at vide fra voksne og store

klar til at skrive tal og tælle alt fra bol

byde eleverne velkommen i tallenes

børn, at bøgerne er federe end det, de

de til pizzaer.

verden og understøtte forståelsen af

havde, fordi der er knald på farver

På bordet ved siden af ligger hans

faget. Det er det, som Pernille Mühl

ne, og fordi Pernilles tegninger er så

veninde Line og deres klassekam

bach arbejder sammen med grafiker

pragtfuldt goofy,” tilføjer hun.

merater, hvis hår og tøj allerede er

Henriette Andresen om at skabe.

farvelagt. Sammen er de to børn de

På den anden side af bordet sidder

gennemgående figurer i matematiksy

Henriette Andresen og jonglerer med

Fletninger og manglende bisser

stemet Format til 0.-3. klasse.

både tal og geometriske former, der

Det kan der være noget om. Kigger man nærmere på Mads, Line og deres venner, forandrer de sig fra årgang til årgang. Manglende bisser vokser frem, fletninger afløses af veloverveje de frisurer, og det er let at se, at bør nene begynder at tænke over, hvad de har på. ”De bliver på en måde lidt mere kiksede, når de bliver ældre, men jeg synes godt, man kan være mere humoristisk med teenagerne,” forkla rer Pernille Mühlbach. Der er dog grænser for udfoldelser

26 — Vild med matematik 2019

At lave en matematikbog handler ikke kun om regnestykker og geometriopgaver – bøgerne skal med hjælp fra tegninger og grafik både byde eleverne velkommen i tallenes verden og understøtte forståelsen af faget.

Har børn og lærere i tankerne

De to kvinder husker især en idé, hvor syv børn på samme side hver især skulle have en taleboble, men det viste sig hurtigt, at der ikke var plads, og at teksten ville forvirre børnene mere, end den ville gavne. Jo yngre børnene er, jo mindre tekst er der i bøgerne – og omvendt.

ne i en matematikbog, og de er mere

”I det hele taget har vi arbejdet meget

snævre, end når de to kreative hjer

med at prioritere det, der skal med på

blå bog Henriette Andresen er uddannet DTP’er og har 20 års erfaring med grafisk design.

ner kaster sig over undervisningsma

med risikerer eleverne ikke at blan

siderne, og det har netop bidraget til

Hun lavede i 2008 sit eget

teriale til dansk, engelsk eller tysk. I

de flere opgaver sammen. Samtidig

det mere enkle og stringente udtryk,

firma, Andresen Design.

bøger til sprogfagene er tegningerne

er hvert kapitel tildelt en farve, som

vi er nået frem til,” forklarer Henriette

ofte mere løse i stregen, og der leges

går igen, indtil emnet skifter til en ny

Andresen.

mere med grafikken, men i matematik

disciplin. Tegninger og grafik skal vise

Både hun og Pernille Mühlbach har

er det nødvendigt at være langt mere

børnene ind i matematikken, men de

ofte skolebørnene og deres lærere i

stringent.

Hun har stor erfaring med undervisningsbøger – både i naturfag, dansk og matematik.

må ikke distrahere dem fra det vigti

tankerne, når de arbejder, så de ikke

”Børnene skal hurtigt kunne afkode

ge – at lære tallenes verden at kende.

risikerer at vende tilbage til dengang,

Pernille Mühlbach

siden, så de ved, hvad de skal bruge

Det gælder om at få både indhold og

de selv gik i skole, hvor alt fra mode og

er selvstændig illustrator og

for at løse en opgave, og derfor er det

udtryk til at hænge sammen på den

frisurer til forholdet mellem elever og

layouter. Hun har gennem

fx en dårlig idé, hvis en opgave er delt

bedste måde, og i den forbindelse

lærere var helt anderledes.

flere år leveret tegninger og

i to spalter eller fortsætter fra side 1

arbejder Henriette Andresen og Per

”Jeg ser på mine egne børn og tænker

grafisk design til en række af

til side 2,” bemærker Henriette An

nille Mühlbach tæt sammen med både

på, hvordan de var, da de gik i 1. eller 2.

Alineas undervisningsbøger.

dresen.

forfattere og redaktører.

klasse, og så har jeg flere gange drop

Hun viser en side på computerskær

”Vi ville alle sammen rigtig meget i

pet lærere i kassebukser og lilla ble

men, hvor man nemt kan se, at opga

begyndelsen af projektet, men det kan

om håret – den verden ville børnene jo

verne er tydeligt adskilte, og at hver af

ikke lade sig gøre alt sammen,” siger

ikke kunne genkende,” forklarer Per

dem når helt ud til marginerne – der

Pernille Mühlbach.

nille Mühlbach.



Hun arbejder især med håndtegninger med et godt øje for figurernes personlighed og detaljer.

Alinea — 27

PERNILLE MÜHLBACH griber en sort

”Vi har fra starten lagt stor vægt på

pen og bøjer sig ind over et lille lys

at skabe et realistisk univers, hvor

bord. Hun sætter pennen på papiret

der både er forskellige etniciteter og

og begynder at trække streger op, ind

en tøjstil, som børnene kan kende, så

”Børnene skal hurtigt kunne afkode siden, så de ved, hvad de skal bruge for at løse en opgave.”

til Mads begynder at titte frem:

det ikke bliver klicheer fra vores egen

HENRIETTE ANDRESEN

Dér er det korte, plyssede hår. Så liver øjnene op. Og så kommer freg

skoletid,” forklarer illustrator Pernille Mühlbach.

skal finde en endelig plads på sider

nerne og den glade mund, hvor et par

At lave en matematikbog handler

ne i det træningshæfte til børne

af mælketænderne mangler. Pennen

nemlig ikke kun om regnestykker og

haveklasseelever, de to er i gang med

glider videre ned til træningstrøjen,

geometriopgaver – bøgerne skal med

i øjeblikket.

og snart efter er drengen fra 0. klasse

hjælp fra tegninger og grafik både

”Vi får tit at vide fra voksne og store

klar til at skrive tal og tælle alt fra bol

byde eleverne velkommen i tallenes

børn, at bøgerne er federe end det, de

de til pizzaer.

verden og understøtte forståelsen af

havde, fordi der er knald på farver

På bordet ved siden af ligger hans

faget. Det er det, som Pernille Mühl

ne, og fordi Pernilles tegninger er så

veninde Line og deres klassekam

bach arbejder sammen med grafiker

pragtfuldt goofy,” tilføjer hun.

merater, hvis hår og tøj allerede er

Henriette Andresen om at skabe.

farvelagt. Sammen er de to børn de

På den anden side af bordet sidder

gennemgående figurer i matematiksy

Henriette Andresen og jonglerer med

Fletninger og manglende bisser

stemet Format til 0.-3. klasse.

både tal og geometriske former, der

26 — Vild med matematik 2019

Har børn og lærere i tankerne

ne i en matematikbog, og de er mere

”I det hele taget har vi arbejdet meget

snævre, end når de to kreative hjer

med at prioritere det, der skal med på

blå bog Henriette Andresen er uddannet DTP’er og har 20 års erfaring med grafisk design.

ner kaster sig over undervisningsma

med risikerer eleverne ikke at blan

siderne, og det har netop bidraget til

Hun lavede i 2008 sit eget

teriale til dansk, engelsk eller tysk. I

de flere opgaver sammen. Samtidig

det mere enkle og stringente udtryk,

firma, Andresen Design.

bøger til sprogfagene er tegningerne

er hvert kapitel tildelt en farve, som

vi er nået frem til,” forklarer Henriette

ofte mere løse i stregen, og der leges

går igen, indtil emnet skifter til en ny

Andresen.

mere med grafikken, men i matematik

disciplin. Tegninger og grafik skal vise

Både hun og Pernille Mühlbach har

er det nødvendigt at være langt mere

børnene ind i matematikken, men de

ofte skolebørnene og deres lærere i

stringent.

Hun har stor erfaring med undervisningsbøger – både i naturfag, dansk og matematik.

må ikke distrahere dem fra det vigti

tankerne, når de arbejder, så de ikke

”Børnene skal hurtigt kunne afkode

ge – at lære tallenes verden at kende.

risikerer at vende tilbage til dengang,

Pernille Mühlbach

siden, så de ved, hvad de skal bruge

Det gælder om at få både indhold og

de selv gik i skole, hvor alt fra mode og

er selvstændig illustrator og

for at løse en opgave, og derfor er det

udtryk til at hænge sammen på den

frisurer til forholdet mellem elever og

layouter. Hun har gennem

fx en dårlig idé, hvis en opgave er delt

bedste måde, og i den forbindelse

lærere var helt anderledes.

flere år leveret tegninger og

i to spalter eller fortsætter fra side 1

arbejder Henriette Andresen og Per

”Jeg ser på mine egne børn og tænker

grafisk design til en række af

til side 2,” bemærker Henriette An

nille Mühlbach tæt sammen med både

på, hvordan de var, da de gik i 1. eller 2.

Alineas undervisningsbøger.

dresen.

forfattere og redaktører.

klasse, og så har jeg flere gange drop

Hun viser en side på computerskær

”Vi ville alle sammen rigtig meget i

pet lærere i kassebukser og lilla ble

men, hvor man nemt kan se, at opga

begyndelsen af projektet, men det kan

om håret – den verden ville børnene jo

verne er tydeligt adskilte, og at hver af

ikke lade sig gøre alt sammen,” siger

ikke kunne genkende,” forklarer Per

dem når helt ud til marginerne – der

Pernille Mühlbach.

nille Mühlbach.



Hun arbejder især med håndtegninger med et godt øje for figurernes personlighed og detaljer.

Alinea — 27

For Henriette Andresen er priorite

og hun har endda oplevet, at andre

ring det vigtigste, og det kan sagtens

kunder har stiftet bekendtskab med

være helt lavpraktisk, for hvor meget

universet fra Format.

plads skal en elev i 1. klasse have til

”Jeg sendte en del af de ting, jeg har

at skrive en række tal sammenlignet

lavet, til en anden kunde, der fik øje på

med en, der går i 6. klasse? Og hvordan

Mads og Line og udbrød: ’Dem kender

skal en figur placeres, så der ikke er

jeg!’ Det er sjovt på den måde at blive

nogen tvivl om antallet af fx balloner,

en del af børnene og deres forældres

hvis eleverne skal tælle dem eller for

verden,” siger hun.

dele dem mellem Mads og Line? ”Nogle gange er der faktisk også

glade farver og de goofy karakterer på

opgaver, som jeg ikke forstår, og det

den ene side og matematikkens strin

siger jeg altid til forfatterne og redak

gente sprog og grafik på den anden i

tøren, for det har stor betydning for

samarbejdet med forfattere og redak

både illustrationer og grafik,” tilføjer

tører, og de er endda lidt vemodige

hun.

over, at serien snart er færdig. Blot

Det giver mening

have lidt mere frie hænder over. ”Jeg kunne godt tænke mig at lave

sen kigger fire blå fisk med store øjne

læreren mere goofy, men det har

ud i kontoret. Hun scroller ned og

redaktøren bedt om at få lavet om,”

flytter rundt på en række tal på racer

fortæller Pernille Mühlbach og tæn

biler i forskellige farver. Oprindeligt

ker højt:

var bilerne der ikke, men hun syntes,

”Det kunne ellers være sjovt med

det blev for trist, hvis tallene stod ale

sådan en type som ham musiklæreren

ne, og i den konkrete opgave ville de

fra ’Terkel i knibe’!”

læringen. Og det er netop læringen,

PERNILLE MÜHLBACH

er der en enkelt detalje, de gerne ville

På skærmen foran Henriette Andre

farvestrålende racere ikke forstyrre

”Jeg kunne godt tænke mig at lave læreren mere goofy, men det har redaktøren bedt om at få lavet om.”

I dag mestrer de balancen mellem de

”Arne Nougatgren!” tilføjer Henriet te Andersen og griner endnu højere.

der gør, at de begrænsninger, mate

Der bliver stille på kontoret et øje

matikken fører med sig for illustrator

blik, mens de to forestiller sig hver sin

og grafiker, ikke føles som snærende.

lærer – måske dukker han op i en af de

”For mig giver det mening at lave undervisningsmaterialer – meget mere

sidste bøger, der snart skal være fær A dig …?

”Jeg sendte en del af de ting, jeg har lavet, til en anden kunde, der fik øje på Mads og Line og udbrød: ’Dem kender jeg!’ Det er sjovt på den måde at blive en del af børnene og deres forældres verden.” PERNILLE MÜHLBACH

end at lave fx reklamer,” siger Henri ette Andresen. Hendes samarbejdspartner er enig,

28 — Vild med matematik 2019

Alinea — 29

For Henriette Andresen er priorite

og hun har endda oplevet, at andre

ring det vigtigste, og det kan sagtens

kunder har stiftet bekendtskab med

være helt lavpraktisk, for hvor meget

universet fra Format.

plads skal en elev i 1. klasse have til

”Jeg sendte en del af de ting, jeg har

at skrive en række tal sammenlignet

lavet, til en anden kunde, der fik øje på

med en, der går i 6. klasse? Og hvordan

Mads og Line og udbrød: ’Dem kender

skal en figur placeres, så der ikke er

jeg!’ Det er sjovt på den måde at blive

nogen tvivl om antallet af fx balloner,

en del af børnene og deres forældres

hvis eleverne skal tælle dem eller for

verden,” siger hun.

dele dem mellem Mads og Line? ”Nogle gange er der faktisk også

glade farver og de goofy karakterer på

opgaver, som jeg ikke forstår, og det

den ene side og matematikkens strin

siger jeg altid til forfatterne og redak

gente sprog og grafik på den anden i

tøren, for det har stor betydning for

samarbejdet med forfattere og redak

både illustrationer og grafik,” tilføjer

tører, og de er endda lidt vemodige

hun.

over, at serien snart er færdig. Blot

Det giver mening

have lidt mere frie hænder over. ”Jeg kunne godt tænke mig at lave

sen kigger fire blå fisk med store øjne

læreren mere goofy, men det har

ud i kontoret. Hun scroller ned og

redaktøren bedt om at få lavet om,”

flytter rundt på en række tal på racer

fortæller Pernille Mühlbach og tæn

biler i forskellige farver. Oprindeligt

ker højt:

var bilerne der ikke, men hun syntes,

”Det kunne ellers være sjovt med

det blev for trist, hvis tallene stod ale

sådan en type som ham musiklæreren

ne, og i den konkrete opgave ville de

fra ’Terkel i knibe’!”

læringen. Og det er netop læringen,

PERNILLE MÜHLBACH

er der en enkelt detalje, de gerne ville

På skærmen foran Henriette Andre

farvestrålende racere ikke forstyrre

”Jeg kunne godt tænke mig at lave læreren mere goofy, men det har redaktøren bedt om at få lavet om.”

I dag mestrer de balancen mellem de

”Arne Nougatgren!” tilføjer Henriet te Andersen og griner endnu højere.

der gør, at de begrænsninger, mate

Der bliver stille på kontoret et øje

matikken fører med sig for illustrator

blik, mens de to forestiller sig hver sin

og grafiker, ikke føles som snærende.

lærer – måske dukker han op i en af de

”For mig giver det mening at lave undervisningsmaterialer – meget mere

sidste bøger, der snart skal være fær A dig …?

end at lave fx reklamer,” siger Henri ette Andresen. Hendes samarbejdspartner er enig,

28 — Vild med matematik 2019

Alinea — 29

”Når man pludselig forstår, hvad der foregår” 25-årige Mathias Bæk Tejs Knudsen er god til matematik. Virkelig, virkelig god til matematik. Som 17-årig vandt han olympisk guld i disciplinen, og allerede som 24-årig fik han sin ph.d. i datalogi. Han fortæller, at en matematikkonkurrence i 1. g var det helt store vendepunkt, og at han stadig i dag er drevet af glæden ved at forstå ting. Af Hans Henrik Rasmussen | Foto: Martin Stampe MATHIAS BÆK TEJS Knudsen holder en lille pause og

at tælle binært, og så kan jeg huske, at jeg som 11-årig

tager en dyb indånding: ”Nu er jeg jo en mand, der hu

begyndte at programmere små spil. Det første spil, jeg

sker rigtig dårligt,” siger han og slår dermed fast, at det

lavede, var med en smiley, der kunne rulle til siden, og

at være god til matematik ikke handler om udenadslære.

som skulle hoppe over nogle laserstråler, der kom ind

For 25-årige Mathias Bæk Tejs Knudsen er god til mate

fra siden. Det syntes jeg var fedt – at man kunne lave et

matik. Virkelig god til matematik. Som 17-årig vandt han

spil selv. Det er ikke imponerende nu, men dengang var

guldmedalje ved Den Internationale Matematikolym

jeg megastolt af det. Og der var jo også noget matematik

piade, og allerede i 2017 som 24-årig fik han sin ph.d. i

i, for smileyen skulle jo trille rundt, og jeg skulle have

datalogi. Og det, der satte Mathias Bæk Tejs Knudsens

munden og øjnene til at følge med, så jeg googlede noget

hukommelse under pres, var spørgsmålet om, hvor langt

med sinus og cosinus, og selvom jeg dengang ikke forstod,

tilbage hans interesse for matematik stammer fra?

hvad de lige præcis gjorde, så lykkedes det. Så det er også

”Jeg tror altid, jeg har været sådan halvinteresseret i matematik,” begynder han lidt tøvende. ”Jeg kan huske,

et eksempel på, at når man har et mål med noget, så bliver det sjovere at lære.”



at min far, som er it-mand, lærte mig og mine brødre

30 — Vild med matematik 2019

Alinea — 31

at tælle binært, og så kan jeg huske, at jeg som 11-årig

tager en dyb indånding: ”Nu er jeg jo en mand, der hu

begyndte at programmere små spil. Det første spil, jeg

sker rigtig dårligt,” siger han og slår dermed fast, at det

lavede, var med en smiley, der kunne rulle til siden, og

at være god til matematik ikke handler om udenadslære.

som skulle hoppe over nogle laserstråler, der kom ind

For 25-årige Mathias Bæk Tejs Knudsen er god til mate

fra siden. Det syntes jeg var fedt – at man kunne lave et

matik. Virkelig god til matematik. Som 17-årig vandt han

spil selv. Det er ikke imponerende nu, men dengang var

guldmedalje ved Den Internationale Matematikolym

jeg megastolt af det. Og der var jo også noget matematik

piade, og allerede i 2017 som 24-årig fik han sin ph.d. i

i, for smileyen skulle jo trille rundt, og jeg skulle have

datalogi. Og det, der satte Mathias Bæk Tejs Knudsens

munden og øjnene til at følge med, så jeg googlede noget

hukommelse under pres, var spørgsmålet om, hvor langt

med sinus og cosinus, og selvom jeg dengang ikke forstod,

tilbage hans interesse for matematik stammer fra?

hvad de lige præcis gjorde, så lykkedes det. Så det er også

”Jeg tror altid, jeg har været sådan halvinteresseret i matematik,” begynder han lidt tøvende. ”Jeg kan huske,

et eksempel på, at når man har et mål med noget, så bliver det sjovere at lære.”



at min far, som er it-mand, lærte mig og mine brødre

30 — Vild med matematik 2019

Alinea — 31

”I de år handler det jo meget om at passe ind, og det var ikke specielt sejt at sige, at man godt kunne lide matematik. Så hvis nogen spurgte mig dengang, sagde jeg nok snarere ’Nej, det er ikke så fedt, men idræt!’”

blev han nummer 13 ud af 517 deltage

at forstå, hvad problemet drejer sig

gerne slå et slag for, at nutidens sko

”Hvis jeg som otteårig havde hørt

re fra hele verden og vandt dermed,

om, og hvordan det skal løses. Det vil

lebørn fordyber sig i matematikken.

en lærer sige noget om komplekse

som den første dansker nogensinde,

sige, at vi bruger en masse matematik

For gør man det, er der meget at hen

problemstillinger, havde det jo ikke

en guldmedalje. Han fortæller i dag, at

og algoritmer til at finde nogen, der

te.”Når man i folkeskolen taler om, at

hjulpet, så det handler selvfølgelig for

Georg Mohr-konkurrencen helt klar

måske har skrevet det samme, nogen,

det er vigtigt at lære matematik, er der

læreren om at finde ud af, hvad der er

var et vendepunkt for ham, både med

der har løst et lignende problem før

nogle meget basale grunde til det: at

interessant for hver enkelt elev. En

hensyn til hans interesse for matema

og den slags. I praksis betyder det

kunne regne og den slags. Så er der no

opgave, jeg i parentes bemærket også

tikken og for hans liv i det hele taget.

simpelthen, at man kigger på de her

gen, der siger, at det er unødvendigt,

vil kalde meget svær. Men mit eget

”Derefter var jeg totalt all in på

sekvenser af ord, der kommer ind, og

for ’man kan bare bruge en lommereg

indtryk er i hvert fald, at hvis man

matematik og på at sidde og læse op,

så laver man det om til en række af

ner’, men mit indtryk er, at de basale

giver sig hen til matematik, så vil det

og jeg brugte helt vildt meget energi

tal. Det er det første vigtige skridt, og

ting er meget vigtige, fordi de går igen

være interessant for mange. Og det

på det i resten af gymnasiet. Senere

det andet vigtige skridt er så at sørge

på flere niveauer.

der med at forstå ting er faktisk ret

fandt jeg så ligesom tilbage til datalo

for, at to talrækker, der er meget ens,

Så når man står over for et komplekst

gien, for i 2. g opdagede jeg, at der var

handler om det samme, så kunden

problem, så består det af en række

en tilsvarende konkurrence i datalogi.

kan blive styret hen til den relevante

basale problemer, som igen består af

Når Mathias Bæk Tejs Knudsen skal

Så jeg syntes, at jeg var vildt heldig at

information og derigennem kan få

en række basale problemer, som igen

forklare, hvad der, både dengang han

kunne deltage i de konkurrencer og

svaret på sit problem,” forklarer han.

består af en række basale problemer

selv gik i folkeskolen og i dag, optager

og så videre,” siger han og tilføjer, at

ham ved matematikken, handler det

komme en masse fede steder hen som Canada, Bulgarien og Kasakhstan.”

Talrækker og kundesupport

Give sig hen til matematik

fedt – også uden at der er et specifikt formål med det.”

han dog let kan se, at det kan være en

således netop om forståelse. ”Det er

I dag behøver Mathias Bæk Tejs Knud

svær, eller med hans ord en ”nærmest

en ahaoplevelse, når man pludselig forstår, hvad der foregår – og det synes A jeg er helt vildt fedt.”

sen selvsagt hverken at lede længe ef

umulig” opgave for en lærer, som står

Efter gymnasiet gik turen slag i slag

ter en begrundelse for, at matematik

med mange elever med forskellig

over en bachelor i både matematik

er interessant, eller at lade som om

motivation for at lære matematik, at

og datalogi, en kandidat i datalogi og

han går mere op i idræt, og han vil også

motivere dem alle samtidig.

så en ph.d.-afhandling i datalogi, hvor Mathias Bæk Tejs Knudsen forskede i effektive algoritmer. Kort fortalt, forklarer han, kan en algoritme forstås som den procedu re, en computer bruger, når den skal foretage en beregning som fx at sor tere filer på en computer eller søge efter et ord på en hjemmeside. Man kan således også se algoritmer som et programs byggesten. Arbejdet med algoritmer førte han videre fra ph.d.-afhandlingen til fir

All in på matematik

fik han nemlig nys om den såkaldte

maet SupWiz, som han startede sam

I 11-12-årsalderen var det ellers ikke

Georg Mohr-konkurrence, som er en

men med to andre tidligere ph.d.-stu

nødvendigvis interessen for matema

årlig matematikkonkurrence for dan

derende og en professor, alle fra

tik, som Mathias Bæk Tejs Knudsen

ske gymnasieelever med flere tusinde

Datalogisk Institut ved Københavns

skiltede mest med.

deltagere.

Universitet ligesom han selv.

”I de år handler det jo meget om at

”Jeg var inde at læse nogle af de gam

”I SupWiz arbejder vi med algorit

passe ind, og det var ikke specielt sejt

le opgaver og syntes, at det var rigtig

mer i forbindelse med kundeservice

at sige, at man godt kunne lide mate

spændende. Og så endte jeg blandt de

og kundesupport. Det handler om,

matik. Så hvis nogen spurgte mig den

tyve eller tredive bedste og gik dermed

at en virksomhed har nogle kunder,

gang, sagde jeg nok snarere ’Nej, det

videre til nogle efterfølgende sam

der skriver ind eller henvender sig på

er ikke så fedt, men idræt!’” siger han

linger, hvor der blev trænet videre,”

Facebook, eller hvad det nu kan være,

med et tørt grin.

siger Mathias Bæk Tejs Knudsen.

så virksomheden modtager noget

Han fortæller dog, at det allerede

Til Den Internationale Matema

tekst. Normalt sidder der et menne

skiftede omkring 9. klasse, og især

tikolympiade, der blev afholdt i Asta

ske, som løser det problem, men vi

efter han begyndte på gymnasiet. Her

na i Kasakhstan det følgende år, i 2010,

bruger så nogle af de her teknikker til

32 — Vild med matematik 2019

”Mit eget indtryk er i hvert fald, at hvis man giver sig hen til matematik, så vil det være interessant for mange. Og det der med at forstå ting er faktisk ret fedt – også uden at der er et specifikt formål med det.”

Alinea — 33

blev han nummer 13 ud af 517 deltage

at forstå, hvad problemet drejer sig

gerne slå et slag for, at nutidens sko

”Hvis jeg som otteårig havde hørt

re fra hele verden og vandt dermed,

om, og hvordan det skal løses. Det vil

lebørn fordyber sig i matematikken.

en lærer sige noget om komplekse

som den første dansker nogensinde,

sige, at vi bruger en masse matematik

For gør man det, er der meget at hen

problemstillinger, havde det jo ikke

en guldmedalje. Han fortæller i dag, at

og algoritmer til at finde nogen, der

te.”Når man i folkeskolen taler om, at

hjulpet, så det handler selvfølgelig for

Georg Mohr-konkurrencen helt klar

måske har skrevet det samme, nogen,

det er vigtigt at lære matematik, er der

læreren om at finde ud af, hvad der er

var et vendepunkt for ham, både med

der har løst et lignende problem før

nogle meget basale grunde til det: at

interessant for hver enkelt elev. En

hensyn til hans interesse for matema

og den slags. I praksis betyder det

kunne regne og den slags. Så er der no

opgave, jeg i parentes bemærket også

tikken og for hans liv i det hele taget.

simpelthen, at man kigger på de her

gen, der siger, at det er unødvendigt,

vil kalde meget svær. Men mit eget

”Derefter var jeg totalt all in på

sekvenser af ord, der kommer ind, og

for ’man kan bare bruge en lommereg

indtryk er i hvert fald, at hvis man

matematik og på at sidde og læse op,

så laver man det om til en række af

ner’, men mit indtryk er, at de basale

giver sig hen til matematik, så vil det

og jeg brugte helt vildt meget energi

tal. Det er det første vigtige skridt, og

ting er meget vigtige, fordi de går igen

være interessant for mange. Og det

på det i resten af gymnasiet. Senere

det andet vigtige skridt er så at sørge

på flere niveauer.

der med at forstå ting er faktisk ret

fandt jeg så ligesom tilbage til datalo

for, at to talrækker, der er meget ens,

Så når man står over for et komplekst

gien, for i 2. g opdagede jeg, at der var

handler om det samme, så kunden

problem, så består det af en række

en tilsvarende konkurrence i datalogi.

kan blive styret hen til den relevante

basale problemer, som igen består af

Når Mathias Bæk Tejs Knudsen skal

Så jeg syntes, at jeg var vildt heldig at

information og derigennem kan få

en række basale problemer, som igen

forklare, hvad der, både dengang han

kunne deltage i de konkurrencer og

svaret på sit problem,” forklarer han.

består af en række basale problemer

selv gik i folkeskolen og i dag, optager

og så videre,” siger han og tilføjer, at

ham ved matematikken, handler det

komme en masse fede steder hen som Canada, Bulgarien og Kasakhstan.”

Talrækker og kundesupport

Give sig hen til matematik

fedt – også uden at der er et specifikt formål med det.”

han dog let kan se, at det kan være en

således netop om forståelse. ”Det er

I dag behøver Mathias Bæk Tejs Knud

svær, eller med hans ord en ”nærmest

en ahaoplevelse, når man pludselig forstår, hvad der foregår – og det synes A jeg er helt vildt fedt.”

sen selvsagt hverken at lede længe ef

umulig” opgave for en lærer, som står

Efter gymnasiet gik turen slag i slag

ter en begrundelse for, at matematik

med mange elever med forskellig

over en bachelor i både matematik

er interessant, eller at lade som om

motivation for at lære matematik, at

og datalogi, en kandidat i datalogi og

han går mere op i idræt, og han vil også

motivere dem alle samtidig.

All in på matematik

fik han nemlig nys om den såkaldte

maet SupWiz, som han startede sam

I 11-12-årsalderen var det ellers ikke

Georg Mohr-konkurrence, som er en

men med to andre tidligere ph.d.-stu

nødvendigvis interessen for matema

årlig matematikkonkurrence for dan

derende og en professor, alle fra

tik, som Mathias Bæk Tejs Knudsen

ske gymnasieelever med flere tusinde

Datalogisk Institut ved Københavns

skiltede mest med.

deltagere.

Universitet ligesom han selv.

”I de år handler det jo meget om at

”Jeg var inde at læse nogle af de gam

”I SupWiz arbejder vi med algorit

passe ind, og det var ikke specielt sejt

le opgaver og syntes, at det var rigtig

mer i forbindelse med kundeservice

at sige, at man godt kunne lide mate

spændende. Og så endte jeg blandt de

og kundesupport. Det handler om,

matik. Så hvis nogen spurgte mig den

tyve eller tredive bedste og gik dermed

at en virksomhed har nogle kunder,

gang, sagde jeg nok snarere ’Nej, det

videre til nogle efterfølgende sam

der skriver ind eller henvender sig på

er ikke så fedt, men idræt!’” siger han

linger, hvor der blev trænet videre,”

Facebook, eller hvad det nu kan være,

med et tørt grin.

siger Mathias Bæk Tejs Knudsen.

så virksomheden modtager noget

Han fortæller dog, at det allerede

Til Den Internationale Matema

tekst. Normalt sidder der et menne

skiftede omkring 9. klasse, og især

tikolympiade, der blev afholdt i Asta

ske, som løser det problem, men vi

efter han begyndte på gymnasiet. Her

na i Kasakhstan det følgende år, i 2010,

bruger så nogle af de her teknikker til

32 — Vild med matematik 2019

Alinea — 33

T E M A : S U N D F E J L K U LT U R

Det skal være trygt at fejle På Østerbyskolen i Vejen laver lærerne med vilje fejl for at være gode rollemodeller for eleverne. Målet er at skabe en sund fejlkultur i matematik og vise, at vejen hen til facit er lige så vigtig som et rigtigt eller forkert svar. Af Maj Juni

Foto: Daniel Hjorth

I ÅR HAR de to klasser i 6. årgang på

matikvejleder, Trine Juhl, kastet sig

matematiklærere gøre det helt ufar

design, og her er fejl en mere naturlig

Østerbyskolen taget hul på brøkreg

over.

ligt at stå frem som de to ukvikke fyre,

del af læreprocesserne.

ningen med en video, hvor deres

”Det er blevet en kæphest for mig,

matematiklærere bliver enige om at

at når børn laver fejl, ligger der tan

”Mange børn har matematikangst,

i eller save forkert, men det er ikke,

bestille en pizza, som de kan dele til

ker bag. Alligevel har mange af os den

blandt andet fordi det er så udbredt en

sådan så eleverne sidder og putter sig

frokost. Lærerne er i tvivl om, hvor

opfattelse, at det enten er rigtigt eller

opfattelse, at man enten rammer rig

og håber, læreren ikke ser det. Der er

vidt de skal bede om at få den skåret

forkert. Men man kan godt have for

tigt eller forkert i faget,” siger hun, og

ingen, der får sved på panden af angst.

i fire eller otte stykker. De ender dog

stået sit stof, selvom man har lavet en

Søren Tipsmark tilføjer:

Jeg tror, det handler om kulturen. At

med at blive enige om fire, fordi de

fejl,” siger Trine Juhl og pointerer, at

ikke kan spise otte stykker. Men som

det er vigtigt at synliggøre fejl.

der skal dele en pizza.

”Elevernes opgave er at undersøge,

lave en række videoer, som de kalder

hvorfor lærerne ikke har styr på deres

for ’flip flops’. Det første refererer til

”Hvis man altid løser matematikopgaver, hvor man bare skal hen imod et svar, som læreren ved på forhånd, er det altså ikke særlig interessant.”

brøker og give nogle forslag til, hvor

metoden, det sidste til, at det er lære

TRINE JUHL

dan det bliver rigtigt. Det skal de lave

ren, der flopper.

eleverne hurtigt konstaterer, så er læ rerne jo helt galt på den!

Netop derfor har de to lærere valgt at arbejde med ’flipped learning’ ved at

”Alle kommer til at slå et søm skævt

”Når det er mig, der flopper i et eller

de børn, vi underviser, og deres for

andet, er det med til at lave en hygge

ældre er vokset op med, at i en mate

lig, tryg stemning. Det betyder, at man

matikaflevering tæller man, hvor

får hyggelige, trygge svar tilbage fra

mange røde streger der er sat, og ud

eleverne. Og det er så vigtigt at få frem,

fra det kan man konkludere, hvor god

at man kan lære meget af sine fejl – det

man er.”

gør man jo ikke, hvis man bare får syv rettetegn tilbage.”

Dybere forståelse

”For mig har det været åbenlyst rigtigt at være et godt eksempel ved selv at vise, at jeg kan fejle. Det er en kultur, vi er i gang med at skabe i klasserne og blandt eleverne.” SØREN TIPSMARK

som en video, de sender til os lærere,”

”For børnene var det første gang, de

”Man bliver meget rørt af, hvor store

Både Trine Juhl og Søren Tipsmark

fortæller Søren Tipsmark, der er mate

fik et matematikoplæg i form af en

pædagogiske evner sådan nogle børn

synes, matematikundervisningen er

matiklærer på mellemtrinnet og en af

video – så det i sig selv var spændende.

Derfor så vi også, at nogle af dem, som

har. Det er vigtigt i matematik. Jeg ved

mere interessant, når der er en sund

end et tal-på-en streg-fag,” siger Søren

de lærere, som kludrer i pizzabrøken.

Desuden skulle de også arbejde i grup

måske ellers gemmer sig lidt, var med

fra mig selv, hvor meget sved jeg kan

fejlkultur.

Tipsmark.

Metoden kaldes for ’flipped learning’

per, og det interessante var, at både de

til at finde løsninger,” fortæller Søren

få på panden, hvis jeg sidder i en for

”Man lægger en anden vinkel på, og

”Når du skal tale med andre om

og er en af de veje, man kan gå i arbej

fagligt stærke og mindre stærke kun

Tipsmark.

samling af matematiklærere og vi får

oplæggene er også anderledes, når

matematiske begreber og problemstil

det med at skabe en sund fejlkultur i

ne byde ind med noget, fordi der også

uddelt en opgave. Jeg ved ikke, om det

man arbejder sig væk fra rigtigt eller

linger, finder du ud af, hvordan andre

matematikundervisningen. Og netop

var tekniske elementer som at optage,

er sådan i andre fag,” siger Trine Juhl.

forkert. Så bliver matematik noget, vi

opfatter det. Samtidig skal du forsvare

det projekt har Søren Tipsmark sam

finde et sted med god lyd og skrue det

Trine Juhl fortæller, at børnene har

Det mener Søren Tipsmark ikke, det

diskuterer og mener noget om og vur

din egen tankegang. Det betyder jo, at

men med sin kollega og skolens mate

sammen med tegninger eller lignede.

haft meget glæde af at se årgangens to

er. Han underviser også i håndværk og

derer. Det bliver mere et snakke-fag

man får en mere dyb forståelse. Hvis

En hyggelig, tryg stemning

34 — Vild med matematik 2019

 Alinea — 35

T E M A : S U N D F E J L K U LT U R

Foto: Daniel Hjorth

I ÅR HAR de to klasser i 6. årgang på

matikvejleder, Trine Juhl, kastet sig

matematiklærere gøre det helt ufar

design, og her er fejl en mere naturlig

Østerbyskolen taget hul på brøkreg

over.

ligt at stå frem som de to ukvikke fyre,

del af læreprocesserne.

ningen med en video, hvor deres

”Det er blevet en kæphest for mig,

matematiklærere bliver enige om at

at når børn laver fejl, ligger der tan

”Mange børn har matematikangst,

i eller save forkert, men det er ikke,

bestille en pizza, som de kan dele til

ker bag. Alligevel har mange af os den

blandt andet fordi det er så udbredt en

sådan så eleverne sidder og putter sig

frokost. Lærerne er i tvivl om, hvor

opfattelse, at det enten er rigtigt eller

opfattelse, at man enten rammer rig

og håber, læreren ikke ser det. Der er

vidt de skal bede om at få den skåret

forkert. Men man kan godt have for

tigt eller forkert i faget,” siger hun, og

ingen, der får sved på panden af angst.

i fire eller otte stykker. De ender dog

stået sit stof, selvom man har lavet en

Søren Tipsmark tilføjer:

Jeg tror, det handler om kulturen. At

med at blive enige om fire, fordi de

fejl,” siger Trine Juhl og pointerer, at

ikke kan spise otte stykker. Men som

det er vigtigt at synliggøre fejl.

der skal dele en pizza.

”Elevernes opgave er at undersøge,

lave en række videoer, som de kalder

hvorfor lærerne ikke har styr på deres

for ’flip flops’. Det første refererer til

”Hvis man altid løser matematikopgaver, hvor man bare skal hen imod et svar, som læreren ved på forhånd, er det altså ikke særlig interessant.”

brøker og give nogle forslag til, hvor

metoden, det sidste til, at det er lære

TRINE JUHL

dan det bliver rigtigt. Det skal de lave

ren, der flopper.

eleverne hurtigt konstaterer, så er læ rerne jo helt galt på den!

Netop derfor har de to lærere valgt at arbejde med ’flipped learning’ ved at

”Alle kommer til at slå et søm skævt

”Når det er mig, der flopper i et eller

de børn, vi underviser, og deres for

andet, er det med til at lave en hygge

ældre er vokset op med, at i en mate

lig, tryg stemning. Det betyder, at man

matikaflevering tæller man, hvor

får hyggelige, trygge svar tilbage fra

mange røde streger der er sat, og ud

eleverne. Og det er så vigtigt at få frem,

fra det kan man konkludere, hvor god

at man kan lære meget af sine fejl – det

man er.”

gør man jo ikke, hvis man bare får syv rettetegn tilbage.”

Dybere forståelse

som en video, de sender til os lærere,”

”For børnene var det første gang, de

”Man bliver meget rørt af, hvor store

Både Trine Juhl og Søren Tipsmark

fortæller Søren Tipsmark, der er mate

fik et matematikoplæg i form af en

pædagogiske evner sådan nogle børn

synes, matematikundervisningen er

matiklærer på mellemtrinnet og en af

video – så det i sig selv var spændende.

Derfor så vi også, at nogle af dem, som

har. Det er vigtigt i matematik. Jeg ved

mere interessant, når der er en sund

end et tal-på-en streg-fag,” siger Søren

de lærere, som kludrer i pizzabrøken.

Desuden skulle de også arbejde i grup

måske ellers gemmer sig lidt, var med

fra mig selv, hvor meget sved jeg kan

fejlkultur.

Tipsmark.

Metoden kaldes for ’flipped learning’

per, og det interessante var, at både de

til at finde løsninger,” fortæller Søren

få på panden, hvis jeg sidder i en for

”Man lægger en anden vinkel på, og

”Når du skal tale med andre om

og er en af de veje, man kan gå i arbej

fagligt stærke og mindre stærke kun

Tipsmark.

samling af matematiklærere og vi får

oplæggene er også anderledes, når

matematiske begreber og problemstil

det med at skabe en sund fejlkultur i

ne byde ind med noget, fordi der også

uddelt en opgave. Jeg ved ikke, om det

man arbejder sig væk fra rigtigt eller

linger, finder du ud af, hvordan andre

matematikundervisningen. Og netop

var tekniske elementer som at optage,

er sådan i andre fag,” siger Trine Juhl.

forkert. Så bliver matematik noget, vi

opfatter det. Samtidig skal du forsvare

det projekt har Søren Tipsmark sam

finde et sted med god lyd og skrue det

Trine Juhl fortæller, at børnene har

Det mener Søren Tipsmark ikke, det

diskuterer og mener noget om og vur

din egen tankegang. Det betyder jo, at

men med sin kollega og skolens mate

sammen med tegninger eller lignede.

haft meget glæde af at se årgangens to

er. Han underviser også i håndværk og

derer. Det bliver mere et snakke-fag

man får en mere dyb forståelse. Hvis

En hyggelig, tryg stemning

34 — Vild med matematik 2019

 Alinea — 35

www.blivklog.dk/flipped-learning

gode råd

”Men man kan godt have forstået sit stof, selvom man har lavet en fejl.”

om at arbejde med ‘flip flop’ fra Søren Tipsmark og Trine Juhl

V ær tryg ved at stå frem som lærer og vise dine fejl på en video. Det er en grænse, der skal krydses.

Vis en tydelig forskel på en flip flop og en reel vejledning på video. Eleverne skal se den og vide, at her skal de tage detektivhatten på og regne ud, hvad der er galt. Det kan fx være, at læreren har en fjollet butterfly på eller noget andet, der indikerer, at det er fis og ballade.

Acceptér, at dine videooptagelser ikke bliver perfekte. Sig ’sådan blev den’, for ellers tager det for lang tid.

S æt tid af. Især i begyndelsen tager det tid, men når man først er i gang, vil det køre hurtigere.

Vær nysgerrig på, hvad børnene tænker. Inspirationen til opgaverne skal findes ved at forstå, hvilke fejlopfattelser børnene går rundt med.

36 — Vild med matematik 2019

Hvis man har et godt teamsamarbejde på en årgang, vil det, der virker godt i én klasse, også virke godt i en anden.

TRINE JUHL

italesat fejlene bliver, jo mindre farlig bliver det at fejle. ”For mig har det været åbenlyst rig tigt at være et godt eksempel ved selv at vise, at jeg kan fejle. Det er en kul

Det er en fordel at samarbejde med sine kolleger, så man kan sparre om alt fra teknik til viden om fejl og elevperspektiver. Det er med til at kvalificere produktet. Humor er et vigtigt element i filmene, og det kommer også lettere, når man er flere.

Dan netværk på tværs af kommunens skoler, og bliv inspireret af hinanden.

Lærernes film kan uploades på YouTube. Det er en god idé at lave et kortlink til dem, så eleverne kan få linket på tavlen, i en opgaveformulering eller på skoleintra. Brug fx klassens egen kanal på SkoleTube, når eleverne skal uploade deres egne film. Så er det kun de relevante personer, der kan se dem.

man altid løser matematikopgaver,

’Hvad skal jeg bruge dette H.C. Ander

tur, vi er i gang med at skabe i klasser

hvor man bare skal hen imod et svar,

sen-eventyr eller berettermodellen til

ne og blandt eleverne. Jo længere ele

som læreren ved på forhånd, er det

i det virkelige liv’.”

verne arbejder sådan, jo mere bliver

altså ikke særlig interessant,” tilføjer Trine Juhl. For Søren Tipsmark har arbejdet

Klassens kemi spiller ind

Hvorvidt det er nemt eller svært at

med en sundere fejlkultur bekræftet,

skabe en tryg stemning med plads til

hvad det er, faget kan.

fejl, vil også afhænge af, hvilken klas

de en del af kulturen. Men det er klart, at der er noget læring i det og et mind set, der skal modificeres,” siger han. Og der er da også brug for at gå lidt forsigtigt til værks.

”Ved at se på det sjove, skæve og

se man arbejder med, pointerer Trine

”Jeg har fx lige arbejdet med en 7.

smukke i matematikken finder vi en

Juhl. Fx bruger hun i sine klasser op

klasse, hvor jeg tog udgangspunkt

anden legitimitet. Jeg synes, vi har

gaver, hvor hun med vilje konstruerer

i nogle fejl, de havde lavet i deres

fået et mere solidt fundament til at

dem, så eleverne laver oplagte fejl.

matema tikafleveringer. Men dels er

hjælpe kolleger og elever til at forstå,

”Bagefter siger jeg: Det var sørme

de i 7. årgang lige startet i nogle nye

at matematik er så meget end et værk

godt, I lavede den fejl, for nu skal I

klasser, og dels er det en alder, hvor

tøj til at løse et givent problem. Det

bare høre … Men det er ikke alle, der

man kan være sårbar. Derfor har jeg

handler om en matematisk dannelse.

synes, det er rart. Og i nogle klasser er

anonymiseret det, så de ikke kan gen

Matematik skal ikke kun begrundes i

det sværere end andre. Så det afhæn

kende, hvis opgaver og fejl det er. Det

’Det får du brug for, når du skal hand

ger både af den enkelte og af klassens

er ikke meningen på sigt, at det skal

le, lave selvangivelse, eller hvis du skal

kemi. Men vi oplever som udgangs

være sådan. Målet er, at det er fint at

være arkitekt’. Matematik har sit eget

punkt elever, der er meget åbne over

dele sine fejl – men det er måske ikke

værd, på samme måde som skønlitte

for de opgaver, vi stiller dem.”

dér, man starter,” fortæller Trine A Juhl.

ratur i dansk. Vi spørger jo heller ikke

Søren Tipsmark oplever, at jo mere

Alinea — 37

www.blivklog.dk/flipped-learning

gode råd

”Men man kan godt have forstået sit stof, selvom man har lavet en fejl.”

om at arbejde med ‘flip flop’ fra Søren Tipsmark og Trine Juhl

V ær tryg ved at stå frem som lærer og vise dine fejl på en video. Det er en grænse, der skal krydses.

Acceptér, at dine videooptagelser ikke bliver perfekte. Sig ’sådan blev den’, for ellers tager det for lang tid.

S æt tid af. Især i begyndelsen tager det tid, men når man først er i gang, vil det køre hurtigere.

Vær nysgerrig på, hvad børnene tænker. Inspirationen til opgaverne skal findes ved at forstå, hvilke fejlopfattelser børnene går rundt med.

36 — Vild med matematik 2019

Hvis man har et godt teamsamarbejde på en årgang, vil det, der virker godt i én klasse, også virke godt i en anden.

TRINE JUHL

italesat fejlene bliver, jo mindre farlig bliver det at fejle. ”For mig har det været åbenlyst rig tigt at være et godt eksempel ved selv at vise, at jeg kan fejle. Det er en kul

Dan netværk på tværs af kommunens skoler, og bliv inspireret af hinanden.

man altid løser matematikopgaver,

’Hvad skal jeg bruge dette H.C. Ander

tur, vi er i gang med at skabe i klasser

hvor man bare skal hen imod et svar,

sen-eventyr eller berettermodellen til

ne og blandt eleverne. Jo længere ele

som læreren ved på forhånd, er det

i det virkelige liv’.”

verne arbejder sådan, jo mere bliver

altså ikke særlig interessant,” tilføjer Trine Juhl. For Søren Tipsmark har arbejdet

Klassens kemi spiller ind

Hvorvidt det er nemt eller svært at

med en sundere fejlkultur bekræftet,

skabe en tryg stemning med plads til

hvad det er, faget kan.

fejl, vil også afhænge af, hvilken klas

de en del af kulturen. Men det er klart, at der er noget læring i det og et mind set, der skal modificeres,” siger han. Og der er da også brug for at gå lidt forsigtigt til værks.

”Ved at se på det sjove, skæve og

se man arbejder med, pointerer Trine

”Jeg har fx lige arbejdet med en 7.

smukke i matematikken finder vi en

Juhl. Fx bruger hun i sine klasser op

klasse, hvor jeg tog udgangspunkt

anden legitimitet. Jeg synes, vi har

gaver, hvor hun med vilje konstruerer

i nogle fejl, de havde lavet i deres

fået et mere solidt fundament til at

dem, så eleverne laver oplagte fejl.

matema tikafleveringer. Men dels er

hjælpe kolleger og elever til at forstå,

”Bagefter siger jeg: Det var sørme

de i 7. årgang lige startet i nogle nye

at matematik er så meget end et værk

godt, I lavede den fejl, for nu skal I

klasser, og dels er det en alder, hvor

tøj til at løse et givent problem. Det

bare høre … Men det er ikke alle, der

man kan være sårbar. Derfor har jeg

handler om en matematisk dannelse.

synes, det er rart. Og i nogle klasser er

anonymiseret det, så de ikke kan gen

Matematik skal ikke kun begrundes i

det sværere end andre. Så det afhæn

kende, hvis opgaver og fejl det er. Det

’Det får du brug for, når du skal hand

ger både af den enkelte og af klassens

er ikke meningen på sigt, at det skal

le, lave selvangivelse, eller hvis du skal

kemi. Men vi oplever som udgangs

være sådan. Målet er, at det er fint at

være arkitekt’. Matematik har sit eget

punkt elever, der er meget åbne over

dele sine fejl – men det er måske ikke

værd, på samme måde som skønlitte

for de opgaver, vi stiller dem.”

dér, man starter,” fortæller Trine A Juhl.

ratur i dansk. Vi spørger jo heller ikke

Søren Tipsmark oplever, at jo mere

Alinea — 37

T E M A : S U N D F E J L K U LT U R

SÅDAN SKABER DU EN SUND FEJLKULTUR ”Der kan være mange grunde til, at man ikke kan finde det korrekte facit.” LISSER RYE EJERSBO

Plads til fejl i matematikundervisningen baner vejen for en større arbejdsglæde og bedre læring blandt eleverne. Forsker Lisser Rye Ejersbo fra DPU, Aarhus Universitet, opfordrer matematiklærerne til at gøre op med ét-facit-paradigmet. Af Maj Juni

Foto: Tariq Mikkel Khan

”JEG LAVER MASSER af fejl,” siger

Lisser Rye Ejersbo.

Hendes forskning tager blandt andet afsæt i den israelsk-amerikanske psy

Dur ikke

tat i matematik. Den måde, bøgerne

Når en elev får skrevet det forkerte fa

er lavet på, er jo ofte en masse opgaver

”Arbejdshukommelsen er ikke lige

skab, siger Lisser Rye Ejersbo.

Fra ét svar til en undersøgelse

Opfordringen fra Lisser Rye Ejersbo

Hun er lektor i kognitive lærepro

kolog og nobelprismodtager Daniel

cit i en matematikopgave, er det ikke

med ét facit,” siger Lisser Rye Ejers

stærk hos alle, og det er ikke alle børn,

er at lave en kultur, hvor ét-facit-para

cesser i matematik og forsker i mate

Kahnemans teorier. Kahneman peger

nødvendigvis så slemt. Men sådan kan

bo og peger på, at den type undervis

der behersker tabellerne. Det er ikke

digmet pakkes godt og grundigt væk.

matikdidaktik på DPU, Aarhus Uni

på to tankesystemer i mennesket: det

det godt føles.

ning giver eleverne en oplevelse af, at

ensbetydende med, at man ikke har

I stedet skal der stilles åbne under

versitet, hvor hun også arbejder med

automatiske og det reflekterende. I

”I matematikundervisningen er der

matematik er ren procedure.

begreberne på plads. Du kan altså

søgelsesmæssige spørgsmål. En af de

at videreuddanne matematiklærere.

det første trækker vi på automatpilo

ofte en konsensus om, at der i mange

”Men matematik er både procedure

sagtens være en kvik elev, selvom din

lærere, hun har fulgt i sin forskning,

”Vi kender det alle sammen. Man

ten, som når vi binder snørebåndene

opgaver kun er ét facit. Hvis man som

og begrebsforståelse og -udvikling.

arbejdshukommelse ikke er stærk. I

bruger fx små bamser i undervisnin

tror, man ved, man skal mødes et sted,

eller siger floskler. I det andet er vi

elev ikke kan finde det, kan man synes,

Den skelnen kan være vanskelig at

min forskning observerer jeg meget

gen. De har hver deres navn og person

og kører derhen, og så viser det sig, at

analytiske.

at man ikke dur til matematik. Også

foretage i undervisningen, også for

på skoler, og her kan jeg efterhånden

lighed. Eleverne er dus med bamserne

det var et andet sted. Vi laver en mas

”Mange mennesker forestiller sig, at

selvom der kan være mange grunde

garvede matematik lærere. Og hvis

genkende de børn, der føler sig tabt i

og hjælper dem med at løse forskellige

se af de her småfejl, hvor vi ikke er

det er det reflekterende tankesystem,

til, at man ikke kan finde det korrekte

procedurerne bare kører, og man som

klassesamtaler, fordi det kun handler

konflikter. En dag fik bamserne uddelt

opmærksomme nok,” siger Lisser Rye

der bliver brugt i matematik. Men fak

facit,” forklarer Lisser Rye Ejersbo.

Ejersbo, der kalder fejlene for ’uop

tisk bliver begge dele brugt hele tiden.

mærksomhedsfejl’ og tilføjer, at den slags er lige så naturlige i matematik

elev af forskellige årsager ikke er ferm

om at være hurtig. Det er børn, der

numrene 2, 6 og 8, som skulle lægges

”Der er mange måder, læreren kan

til procedurerne, så kan det være ube

dukker sig – deres lys slukkes lidt. De

sammen. Eleverne skulle stille bam

Det er derfor, intelligente systemer

reagere på. Som undervisere står vi i

hageligt at være i den fejlkultur, der er

får ikke den hjælp, som kan gøre dem

serne på række, sådan at regnestykket

altid vil fejle, og derfor at det er så

et dilemma, fordi vi gerne vil starte

i matematik.”

gode. De står af, fordi de føler sig mis

stod på den måde, der var nemmest at

undervisningen som alle andre steder.

spændende med alle de dagligdagsfejl,

dér, hvor eleven er. Hvis vi ikke gør

Det kan fx være noget så simpelt som

lykkede over ikke at kunne svare på

lægge sammen.

Lisser Rye Ejersbo er selv uddannet

vi alle laver hele tiden,” siger Lisser

det, flytter vi ikke så meget. Men når

tabellerne. De dukker op i arbejds

Rye Ejersbo.

vi starter dér, kan det være svært at

hukommelsen – det automatiserede

det nemmeste var at starte med 8+2.

komme hen til det accepterede resul

system – og er selvfølgelig et godt red

Men så skete der noget. Den bamse,

matematiklærer og har ti års erfaring på alle klassetrin.

ét-facit-opgaverne.”

”Eleverne fandt ret hurtigt ud af, at

 38 — Vild med matematik 2019

Alinea — 39

T E M A : S U N D F E J L K U LT U R

SÅDAN SKABER DU EN SUND FEJLKULTUR ”Der kan være mange grunde til, at man ikke kan finde det korrekte facit.” LISSER RYE EJERSBO

Foto: Tariq Mikkel Khan

”JEG LAVER MASSER af fejl,” siger

Lisser Rye Ejersbo.

Hendes forskning tager blandt andet afsæt i den israelsk-amerikanske psy

Dur ikke

tat i matematik. Den måde, bøgerne

Når en elev får skrevet det forkerte fa

er lavet på, er jo ofte en masse opgaver

”Arbejdshukommelsen er ikke lige

skab, siger Lisser Rye Ejersbo.

Fra ét svar til en undersøgelse

Opfordringen fra Lisser Rye Ejersbo

Hun er lektor i kognitive lærepro

kolog og nobelprismodtager Daniel

cit i en matematikopgave, er det ikke

med ét facit,” siger Lisser Rye Ejers

stærk hos alle, og det er ikke alle børn,

er at lave en kultur, hvor ét-facit-para

cesser i matematik og forsker i mate

Kahnemans teorier. Kahneman peger

nødvendigvis så slemt. Men sådan kan

bo og peger på, at den type undervis

der behersker tabellerne. Det er ikke

digmet pakkes godt og grundigt væk.

matikdidaktik på DPU, Aarhus Uni

på to tankesystemer i mennesket: det

det godt føles.

ning giver eleverne en oplevelse af, at

ensbetydende med, at man ikke har

I stedet skal der stilles åbne under

versitet, hvor hun også arbejder med

automatiske og det reflekterende. I

”I matematikundervisningen er der

matematik er ren procedure.

begreberne på plads. Du kan altså

søgelsesmæssige spørgsmål. En af de

at videreuddanne matematiklærere.

det første trækker vi på automatpilo

ofte en konsensus om, at der i mange

”Men matematik er både procedure

sagtens være en kvik elev, selvom din

lærere, hun har fulgt i sin forskning,

”Vi kender det alle sammen. Man

ten, som når vi binder snørebåndene

opgaver kun er ét facit. Hvis man som

og begrebsforståelse og -udvikling.

arbejdshukommelse ikke er stærk. I

bruger fx små bamser i undervisnin

tror, man ved, man skal mødes et sted,

eller siger floskler. I det andet er vi

elev ikke kan finde det, kan man synes,

Den skelnen kan være vanskelig at

min forskning observerer jeg meget

gen. De har hver deres navn og person

og kører derhen, og så viser det sig, at

analytiske.

at man ikke dur til matematik. Også

foretage i undervisningen, også for

på skoler, og her kan jeg efterhånden

lighed. Eleverne er dus med bamserne

det var et andet sted. Vi laver en mas

”Mange mennesker forestiller sig, at

selvom der kan være mange grunde

garvede matematik lærere. Og hvis

genkende de børn, der føler sig tabt i

og hjælper dem med at løse forskellige

se af de her småfejl, hvor vi ikke er

det er det reflekterende tankesystem,

til, at man ikke kan finde det korrekte

procedurerne bare kører, og man som

klassesamtaler, fordi det kun handler

konflikter. En dag fik bamserne uddelt

opmærksomme nok,” siger Lisser Rye

der bliver brugt i matematik. Men fak

facit,” forklarer Lisser Rye Ejersbo.

Ejersbo, der kalder fejlene for ’uop

tisk bliver begge dele brugt hele tiden.

mærksomhedsfejl’ og tilføjer, at den slags er lige så naturlige i matematik

elev af forskellige årsager ikke er ferm

om at være hurtig. Det er børn, der

numrene 2, 6 og 8, som skulle lægges

”Der er mange måder, læreren kan

til procedurerne, så kan det være ube

dukker sig – deres lys slukkes lidt. De

sammen. Eleverne skulle stille bam

Det er derfor, intelligente systemer

reagere på. Som undervisere står vi i

hageligt at være i den fejlkultur, der er

får ikke den hjælp, som kan gøre dem

serne på række, sådan at regnestykket

altid vil fejle, og derfor at det er så

et dilemma, fordi vi gerne vil starte

i matematik.”

gode. De står af, fordi de føler sig mis

stod på den måde, der var nemmest at

undervisningen som alle andre steder.

spændende med alle de dagligdagsfejl,

dér, hvor eleven er. Hvis vi ikke gør

Det kan fx være noget så simpelt som

lykkede over ikke at kunne svare på

lægge sammen.

Lisser Rye Ejersbo er selv uddannet

vi alle laver hele tiden,” siger Lisser

det, flytter vi ikke så meget. Men når

tabellerne. De dukker op i arbejds

Rye Ejersbo.

vi starter dér, kan det være svært at

hukommelsen – det automatiserede

det nemmeste var at starte med 8+2.

komme hen til det accepterede resul

system – og er selvfølgelig et godt red

Men så skete der noget. Den bamse,

matematiklærer og har ti års erfaring på alle klassetrin.

ét-facit-opgaverne.”

”Eleverne fandt ret hurtigt ud af, at

 38 — Vild med matematik 2019

Alinea — 39

FOTO: DANIEL HJORTH

Lisser Rye Ejersbo Lektor i kognitive læringsprocesser inden for matematik ved Danmarks institut for Pædagogik og Uddannelse (DPU), Aarhus Universitet. Hun forsker i sammenkoblingen af matematikdidaktik og neurovidenskab, bl.a. i hvordan man ved at arbejde med fejl kan skabe interesse for nye sammenhænge i matematik. Underviser på kandidatuddannelsen på pædagogisk psykologi og i didaktik med henblik på matematik.

Gratis plakat: Download plakaten, og tal med dine elever om at begå fejl.

www.blivklog.dk/skab-en-sund-fejlkultur

der havde nr. 6, blev meget påståelig og insisterede på, at han ville stå forrest. Hvordan skulle eleverne løse det pro

fået det rigtige facit. Skal vi se på, hvad

blem? Først forsøgte de at sige okay,

du har gjort, og hvor det er gået galt?’

så kan man måske godt dele 8 i 4+4, og

”Lærer og elev løste så opgaven sam

umotiverede eller måske har matema

fik en masse kvalificerede spørgsmål

men i en meget fin atmosfære. Bag

tikangst, har måske oplevet en dårlig

ud af det. Men de endte med at stå fast

efter sidder der nogle elever og skal

kultur med mange ét-facit-opgaver,”

og sige til den påståelige bamse, at han

kigge på hinandens øvrige opgaver.

siger Lisser Rye Ejersbo.

ikke kunne få lov til at stå forrest den

En af dem har lavet en fejl, og så siger

dag,” fortæller Lisser Rye Ejersbo.

klassekammeraten: ’Jeg er sikker på,

Start med en fejl

Vil man gerne i gang med at skabe

Et andet eksempel fra matematik

du har tænkt rigtig godt’. Her er det så

undervisningen var en lærer, der gav

tydeligt, at vi har læreren som rolle

en sund fejlkultur i sin matematik

eleverne poser med kartofler, som de

model. Læreren kan gøre fejlkulturen

undervisning, kan man fx starte med

skulle veje og siden lægge i rækkefølge

positiv,” konstaterer Lisser Rye Ejers

at introducere børnene til en af den

efter vægt. Det er simpelt, men poin

bo.

slags opgaver, som de fleste intuitivt

ten er, at engagementet og læringen

Når hun selv underviser matema

vil svare forkert på. Det er en god

styrkes, når eleverne arbejder under

tiklærere indleder hun med at stille

måde at åbne ballet på, fortæller Lis

søgende.

en opgave, der er designet som en

ser Rye Ejersbo, der også anbefaler, at

intuitiv fælde. Det betyder, at alle sva

man som lærer er opmærksom på, at

rer forkert – og så er vejen banet for en

de elever, som har det svært, måske gi

Lisser Rye Ejersbo fortæller også om

diskussion af, hvordan fejl kan opstå

ver op på forhånd.

en observation i en 3. klasse, hvor en

og blive brugt til at lære af.

Vær rollemodel

”De har virkelig brug for at blive set

elev blev kaldt til tavlen for at vise,

”Der er jo nogle fejl, som har ført til

og forstået med det problemsæt, de nu

hvordan han havde løst en hjemmeop

store opdagelser. Og så er der de dår

engang kommer med – det kan fx være

gave. Da det viste sig, at eleven havde

lige fejl, som kan få en bro til at styrte

en dårlig arbejdshukommelse. Det er

løst opgaven forkert, sagde læreren:

sammen. Men når vi taler om skole

afgørende, at man ikke bliver slået i

’Jeg er sikker på, at du har tænkt en

børn, er der ikke fejl, som er farlige

masse gode ting, selvom du ikke har

eller dårlige. En del af de børn, som er

hovedet med, at man ikke er god nok.” A

40 — Vild med matematik 2019

Skab en sund fejlkultur

Gode råd fra Lisser Rye Ejersbo

Hvad kræver det af dig som lærer?

Hvad får du ud af det?

a t du har fokus på procedurer og begreber og sammenhængen mellem de to. Tag det område, du underviser i, og spørg hvilke begreber der skal udvikles.

en masse glæde og motivation.

a t du får skabt et miljø, hvor der bliver kommunikeret på en måde, så eleverne står på tæer på en positiv måde og har lyst til det.

a t du også selv tør indrømme, at du laver fejl og kan give eksempler. Det kan også være uden for matematikken. Vi kan være flove over at fejle, men der kommer også meget morskab og latter ud af fejl.

a t du opsøger dine egne rollemodeller og bliver inspireret af andres undervisning.

n ogle andre og bedre oplevelser med eleverne. Der er en bedre atmosfære i klassen.

Alinea — 41

FOTO: DANIEL HJORTH

Gratis plakat: Download plakaten, og tal med dine elever om at begå fejl.

www.blivklog.dk/skab-en-sund-fejlkultur

der havde nr. 6, blev meget påståelig og insisterede på, at han ville stå forrest. Hvordan skulle eleverne løse det pro

fået det rigtige facit. Skal vi se på, hvad

blem? Først forsøgte de at sige okay,

du har gjort, og hvor det er gået galt?’

så kan man måske godt dele 8 i 4+4, og

”Lærer og elev løste så opgaven sam

umotiverede eller måske har matema

fik en masse kvalificerede spørgsmål

men i en meget fin atmosfære. Bag

tikangst, har måske oplevet en dårlig

ud af det. Men de endte med at stå fast

efter sidder der nogle elever og skal

kultur med mange ét-facit-opgaver,”

og sige til den påståelige bamse, at han

kigge på hinandens øvrige opgaver.

siger Lisser Rye Ejersbo.

ikke kunne få lov til at stå forrest den

En af dem har lavet en fejl, og så siger

dag,” fortæller Lisser Rye Ejersbo.

klassekammeraten: ’Jeg er sikker på,

Start med en fejl

Vil man gerne i gang med at skabe

Et andet eksempel fra matematik

du har tænkt rigtig godt’. Her er det så

undervisningen var en lærer, der gav

tydeligt, at vi har læreren som rolle

en sund fejlkultur i sin matematik

eleverne poser med kartofler, som de

model. Læreren kan gøre fejlkulturen

undervisning, kan man fx starte med

skulle veje og siden lægge i rækkefølge

positiv,” konstaterer Lisser Rye Ejers

at introducere børnene til en af den

efter vægt. Det er simpelt, men poin

bo.

slags opgaver, som de fleste intuitivt

ten er, at engagementet og læringen

Når hun selv underviser matema

vil svare forkert på. Det er en god

styrkes, når eleverne arbejder under

tiklærere indleder hun med at stille

måde at åbne ballet på, fortæller Lis

søgende.

en opgave, der er designet som en

ser Rye Ejersbo, der også anbefaler, at

intuitiv fælde. Det betyder, at alle sva

man som lærer er opmærksom på, at

rer forkert – og så er vejen banet for en

de elever, som har det svært, måske gi

Lisser Rye Ejersbo fortæller også om

diskussion af, hvordan fejl kan opstå

ver op på forhånd.

en observation i en 3. klasse, hvor en

og blive brugt til at lære af.

Vær rollemodel

”De har virkelig brug for at blive set

elev blev kaldt til tavlen for at vise,

”Der er jo nogle fejl, som har ført til

og forstået med det problemsæt, de nu

hvordan han havde løst en hjemmeop

store opdagelser. Og så er der de dår

engang kommer med – det kan fx være

gave. Da det viste sig, at eleven havde

lige fejl, som kan få en bro til at styrte

en dårlig arbejdshukommelse. Det er

løst opgaven forkert, sagde læreren:

sammen. Men når vi taler om skole

afgørende, at man ikke bliver slået i

’Jeg er sikker på, at du har tænkt en

børn, er der ikke fejl, som er farlige

masse gode ting, selvom du ikke har

eller dårlige. En del af de børn, som er

hovedet med, at man ikke er god nok.” A

40 — Vild med matematik 2019

Skab en sund fejlkultur

Gode råd fra Lisser Rye Ejersbo

Hvad kræver det af dig som lærer?

Hvad får du ud af det?

a t du har fokus på procedurer og begreber og sammenhængen mellem de to. Tag det område, du underviser i, og spørg hvilke begreber der skal udvikles.

en masse glæde og motivation.

a t du får skabt et miljø, hvor der bliver kommunikeret på en måde, så eleverne står på tæer på en positiv måde og har lyst til det.

a t du opsøger dine egne rollemodeller og bliver inspireret af andres undervisning.

n ogle andre og bedre oplevelser med eleverne. Der er en bedre atmosfære i klassen.

Alinea — 41

FOTO: TARIQ MIKKEL KHAN

TOMAS HØJGAARD

Tomas Højgaard er lektor i matematikkens didaktik ved Danmarks institut for Pædagogik og Uddannelse (DPU), Aarhus Universitet. Han forsker bl.a. i, hvordan man bruger faglige kompetencebeskrivelser som didaktisk udviklingsværktøj, med særlig fokus på matematisk modelleringskompetence. Han er desuden medforfatter til Alineas

spørgsmål om kompetencebaseret undervisning

Kompetencebaseret undervisning er

kommet for at blive. Men hvad er egentlig fordelen ved den, og hvordan kommer man i gang? Vi har spurgt en af arkitekterne bag kompetencerne, lektor i matematikkens

didaktik ved DPU Tomas Højgaard.

42 — Vild med matematik 2019

”Kompetencerne er en måde at være tydelig om, hvad eleverne skal lære. Tidligere ville læreren ofte kunne fortælle, hvad man skal lave, men ikke så tydeligt, hvad man skal lære.

matematiksystem Matematrix, som tager udgangspunkt i de matematiske kompetencer.

hvad der skal laves, fx ’Vi starter med

kompetencerne, hvor man gør det på

matematik som fagområde og bruge

at løse opgaverne på side 10-15’. Der

’den rigtige måde’, dvs. starter med

de redskaber, der er der, som støtte, og

for er det en omvæltning for mange

læringsmålet og derefter finder ud af,

så går man ud af matematikken igen,

lærere og en drejning af ens undervis

hvad der skal laves. Så evaluerer man

når man er færdig med at lave analysen.

ning, som kræver tilvænning.

på det og finder ud af, hvordan det fun

Når man begynder at sætte ord på

Af Hans Henrik Rasmussen

FOTO: MARTIN STAMPE

gerer for en.

Et konkret eksempel på en udfor dring, der ikke har noget med mate

sådanne nogle sider af fagligheden,

Når folk har gjort det, kan jeg se,

matik at gøre, men hvor matematik,

Hvad er fordelen ved at undervise

le et ordforråd, som kan bruges til at

som man gør med kompetencerne,

at de har fået en god oplevelse og en

og herunder modellering, er virkelig

efter matematiske kompetencer?

beskrive, ikke hvad man ved noget om,

udfordrer man desuden undervise

bedre fornemmelse for, hvordan det

praktisk, er en ganske almindelig ind

men hvordan man kan agere i verden,

rens faglighed inden for de områder.

specifikke mål skal behandles. Så kan

købstur. Du kan lære folk, hvad 200

når man er god til matematik.”

Og dertil kommer jo, at når man skal

man køre flere og flere forløb og blive

plus 6·15 er, men du skal også lære

undervise i noget, skal man besidde

bedre og bedre. Jeg er ude på en masse

dem, at det er en god model for prisen,

”Det korte svar er, at kompetencerne repræsenterer noget, der er vigtigt at lære, og som har meget med matema tik som fag at gøre – noget, som kan

Hvad kræver det at undervise med

det på en dobbelt måde: Man skal både

skoler og køre sådanne små forløb, og

når de står i Brugsen og skal købe en

være svært at ramme, hvis man ikke

sigte på kompetencer?

besidde selve fagligheden, og hvad der

jeg kan mærke, at lærerne bliver moti

oksesteg og 6 kg kartofler. Så i stedet

er i det her, som er svært at lære.”

veret af det, og at det giver mening for

for kun at træne regnestykker skal vi

dem.”

også udvikle elevernes kompetence

har et navn at sætte på det. Kompeten

”Kompetencerne er en måde at være

cerne er et forsøg på at beskrive, hvad

tydelig om, hvad eleverne skal lære.

det egentlig er, man er god til, når man

Tidligere ville læreren ofte kunne for

er god til matematik. Den ene dimen

tælle, hvad man skal lave, men ikke

”Min måde til at sætte lærere i gang

sion er jo, at man fx kan sige, at man

så tydeligt, hvad man skal lære. Her

er god til at regne med brøker, men

betyder kompetencerne, at man tager

der er også en anden dimension, som

afsæt i, hvad man skal lære, og der

dem til at lave øvelser, der viser den,

”Modellering er den kompetence, der

på og til at leve et godt og rigt liv på,

handler om at være god til at analyse

efter, hvad der skal laves. Og på grund

samtidig med at jeg understreger, at

mest direkte forbinder den omkring

og et fag som matematik skal jo også

re problemer, man møder i hverdagen,

af tidspres osv. er de fleste lærere ikke

det her ikke handler om, at vi skal lave

liggende verden med matematik som

ved hjælp af matematik. Den dimen

så trænet i at gå til deres undervisning

alt om. Man skal anerkende udfor

fag. Hvor man er nysgerrig på forhold,

kunne svare på, hvorfor det er vigtigt A at lære.”

sion er sværere at beskrive, og der er

på den måde, men går mere lavprak

dringen i den drejning, og så skal man

der ligger uden for matematik som

kompetencerne et forsøg på at udvik

tisk til den og starter med at beslutte,

lave nogle små forløb inden for en af

fag, og så beslutter sig for at ’gå ind i’

Hvordan kommer man i gang?

til at bruge regnestykkerne som små Du har fremhævet modellering som

modeller for problemer ude i den

er at starte med at tale om den drej

den vigtigste af kompetencerne –

virkelige verden. Det afgørende er at

ning af undervisningen og så sætte

hvorfor?

lære forskellige måder at gå til sit liv

Alinea — 43

FOTO: TARIQ MIKKEL KHAN

TOMAS HØJGAARD

spørgsmål om kompetencebaseret undervisning

Kompetencebaseret undervisning er

kommet for at blive. Men hvad er egentlig fordelen ved den, og hvordan kommer man i gang? Vi har spurgt en af arkitekterne bag kompetencerne, lektor i matematikkens

didaktik ved DPU Tomas Højgaard.

42 — Vild med matematik 2019

”Kompetencerne er en måde at være tydelig om, hvad eleverne skal lære. Tidligere ville læreren ofte kunne fortælle, hvad man skal lave, men ikke så tydeligt, hvad man skal lære.

matematiksystem Matematrix, som tager udgangspunkt i de matematiske kompetencer.

hvad der skal laves, fx ’Vi starter med

kompetencerne, hvor man gør det på

matematik som fagområde og bruge

at løse opgaverne på side 10-15’. Der

’den rigtige måde’, dvs. starter med

de redskaber, der er der, som støtte, og

for er det en omvæltning for mange

læringsmålet og derefter finder ud af,

så går man ud af matematikken igen,

lærere og en drejning af ens undervis

hvad der skal laves. Så evaluerer man

når man er færdig med at lave analysen.

ning, som kræver tilvænning.

på det og finder ud af, hvordan det fun

Når man begynder at sætte ord på

Af Hans Henrik Rasmussen

FOTO: MARTIN STAMPE

gerer for en.

Et konkret eksempel på en udfor dring, der ikke har noget med mate

sådanne nogle sider af fagligheden,

Når folk har gjort det, kan jeg se,

matik at gøre, men hvor matematik,

Hvad er fordelen ved at undervise

le et ordforråd, som kan bruges til at

som man gør med kompetencerne,

at de har fået en god oplevelse og en

og herunder modellering, er virkelig

efter matematiske kompetencer?

beskrive, ikke hvad man ved noget om,

udfordrer man desuden undervise

bedre fornemmelse for, hvordan det

praktisk, er en ganske almindelig ind

men hvordan man kan agere i verden,

rens faglighed inden for de områder.

specifikke mål skal behandles. Så kan

købstur. Du kan lære folk, hvad 200

når man er god til matematik.”

Og dertil kommer jo, at når man skal

man køre flere og flere forløb og blive

plus 6·15 er, men du skal også lære

undervise i noget, skal man besidde

bedre og bedre. Jeg er ude på en masse

dem, at det er en god model for prisen,

”Det korte svar er, at kompetencerne repræsenterer noget, der er vigtigt at lære, og som har meget med matema tik som fag at gøre – noget, som kan

Hvad kræver det at undervise med

det på en dobbelt måde: Man skal både

skoler og køre sådanne små forløb, og

når de står i Brugsen og skal købe en

være svært at ramme, hvis man ikke

sigte på kompetencer?

besidde selve fagligheden, og hvad der

jeg kan mærke, at lærerne bliver moti

oksesteg og 6 kg kartofler. Så i stedet

er i det her, som er svært at lære.”

veret af det, og at det giver mening for

for kun at træne regnestykker skal vi

dem.”

også udvikle elevernes kompetence

har et navn at sætte på det. Kompeten

”Kompetencerne er en måde at være

cerne er et forsøg på at beskrive, hvad

tydelig om, hvad eleverne skal lære.

det egentlig er, man er god til, når man

Tidligere ville læreren ofte kunne for

er god til matematik. Den ene dimen

tælle, hvad man skal lave, men ikke

”Min måde til at sætte lærere i gang

sion er jo, at man fx kan sige, at man

så tydeligt, hvad man skal lære. Her

er god til at regne med brøker, men

betyder kompetencerne, at man tager

der er også en anden dimension, som

afsæt i, hvad man skal lære, og der

dem til at lave øvelser, der viser den,

”Modellering er den kompetence, der

på og til at leve et godt og rigt liv på,

handler om at være god til at analyse

efter, hvad der skal laves. Og på grund

samtidig med at jeg understreger, at

mest direkte forbinder den omkring

og et fag som matematik skal jo også

re problemer, man møder i hverdagen,

af tidspres osv. er de fleste lærere ikke

det her ikke handler om, at vi skal lave

liggende verden med matematik som

ved hjælp af matematik. Den dimen

så trænet i at gå til deres undervisning

alt om. Man skal anerkende udfor

fag. Hvor man er nysgerrig på forhold,

kunne svare på, hvorfor det er vigtigt A at lære.”

sion er sværere at beskrive, og der er

på den måde, men går mere lavprak

dringen i den drejning, og så skal man

der ligger uden for matematik som

kompetencerne et forsøg på at udvik

tisk til den og starter med at beslutte,

lave nogle små forløb inden for en af

fag, og så beslutter sig for at ’gå ind i’

Hvordan kommer man i gang?

til at bruge regnestykkerne som små Du har fremhævet modellering som

modeller for problemer ude i den

er at starte med at tale om den drej

den vigtigste af kompetencerne –

virkelige verden. Det afgørende er at

ning af undervisningen og så sætte

hvorfor?

lære forskellige måder at gå til sit liv

Alinea — 43

Stil de rigtige spørgsmål

– og få kompetencerne i spil

MÅDEN AT STILLE SPØRGSMÅL PÅ har stor betydning for, hvilke læringsprocesser man sætter i gang. Ved at stille de rigtige spørgsmål kan man fremme udviklingen af elevernes matematiske kompetencer i den daglige undervisning.

Når man skal vurdere og evaluere elevers matematiske kompetencer, er det vigtigt at spørge ind til, hvordan eleven har tænkt og ræsonneret i arbejdsprocessen. Læs her eksempler på, hvordan man kan spørge i forhold til de enkelte kompetenceområder.

5. Repræsentation Eleverne skal kunne arbejde med forskellige repræsentationer i forbindelse med problemløsning: hands-on, ikonisk og symbolsk. De skal også lære, hvordan de skifter repræsentationsform og vælger den mest hensigtsmæssige repræsentation i en given situation.

Spørgsmål, du kan stille

»» Hvad er en god måde at vise det på? »» Hvilke andre måder kan man vise det på? »» Hvad betyder det, når der står ...? »» Forklar, hvad der udtrykkes med formlen ...? »» Oversæt ... til almindeligt sprog.

6. Hjælpemiddel Eleverne skal lære at betjene sig af relevante hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde, når de arbejder med matematik.

1. Problembehandling Eleverne skal lære at formulere og løse problemer selv. Det gælder både faglige og anvendelsesorienterede problemer. Spørgsmål, du kan stille

»» Hvordan kommer du videre herfra …? »» Kan du bruge en simplere model til …? »» Har du prøvet modellen med konkrete tal …? »» Kan du tegne en skitse af …?

Spørgsmål, du kan stille

»» Hvad er et godt hjælpemiddel i den her situation?

3. Ræsonnement

»» I hvilke typer situationer er det smart at

Eleverne skal lære at følge, forholde sig til og gennemføre matematiske ræsonnementer.

bruge ... som hjælpemiddel til at ...? »» Hvad kan man ved hjælp af ...?

Spørgsmål, du kan stille

5. Kommunikation

»» Giver det mening at påstå, at ...?

Eleverne skal lære at udtrykke sig skriftligt og mundtligt om forhold, hvori der indgår matematik.

»» Hvordan er du nået frem til...? »» Kan matematik bruges til at ...? »» Er det en del af matematik, at ...?

De skal desuden kunne forstå andres matematikfaglige udtryk, både i skriftlig og mundtlig form.

»» Hvordan bruger man ...? »» Hvilke andre hjælpemidler kan man bruge? »» Hvorfor vælger du at bruge ... til at beregne ...? »» Er det ikke usmart at bruge …?

Spørgsmål, du kan stille

»» Forklar for hinanden, hvordan I har ...

2. Modellering Eleverne skal lære at anvende den matematiske værktøjskasse kritisk og med omtanke. De skal også kunne opstille matematiske udtryk, som de bearbejder og fortolker.

»» Forbered en god måde at vise jeres arbejde Spørgsmål, du kan stille

»» Hvordan kan man bruge matematik til at undersøge ...? »» Hvad er det fornuftigt at se bort fra, når man skal undersøge ...?

på for de andre. »» Skriv en tekst, der er henvendt til ... og forklarer om ... »» Forstår du, hvad hun mener?

»» Er matematik brugt fornuftigt her?

»» Prøv at sige det samme på en anden måde.

»» Kan ... bruges som model af ...?

»» Er det rigtig forstået, at du mener, at ...?

»» Er det rimeligt at konkludere ... på baggrund af ...?

44 — Vild med matematik 2019

Alinea — 45

Stil de rigtige spørgsmål

– og få kompetencerne i spil

Spørgsmål, du kan stille

6. Hjælpemiddel Eleverne skal lære at betjene sig af relevante hjælpemidler på en hensigtsmæssig måde, når de arbejder med matematik.

1. Problembehandling Eleverne skal lære at formulere og løse problemer selv. Det gælder både faglige og anvendelsesorienterede problemer. Spørgsmål, du kan stille

»» Hvordan kommer du videre herfra …? »» Kan du bruge en simplere model til …? »» Har du prøvet modellen med konkrete tal …? »» Kan du tegne en skitse af …?

Spørgsmål, du kan stille

»» Hvad er et godt hjælpemiddel i den her situation?

3. Ræsonnement

»» I hvilke typer situationer er det smart at

Eleverne skal lære at følge, forholde sig til og gennemføre matematiske ræsonnementer.

bruge ... som hjælpemiddel til at ...? »» Hvad kan man ved hjælp af ...?

Spørgsmål, du kan stille

5. Kommunikation

»» Giver det mening at påstå, at ...?

Eleverne skal lære at udtrykke sig skriftligt og mundtligt om forhold, hvori der indgår matematik.

»» Hvordan er du nået frem til...? »» Kan matematik bruges til at ...? »» Er det en del af matematik, at ...?

De skal desuden kunne forstå andres matematikfaglige udtryk, både i skriftlig og mundtlig form.

»» Hvordan bruger man ...? »» Hvilke andre hjælpemidler kan man bruge? »» Hvorfor vælger du at bruge ... til at beregne ...? »» Er det ikke usmart at bruge …?

Spørgsmål, du kan stille

»» Forklar for hinanden, hvordan I har ...

2. Modellering Eleverne skal lære at anvende den matematiske værktøjskasse kritisk og med omtanke. De skal også kunne opstille matematiske udtryk, som de bearbejder og fortolker.

»» Forbered en god måde at vise jeres arbejde Spørgsmål, du kan stille

»» Hvordan kan man bruge matematik til at undersøge ...? »» Hvad er det fornuftigt at se bort fra, når man skal undersøge ...?

på for de andre. »» Skriv en tekst, der er henvendt til ... og forklarer om ... »» Forstår du, hvad hun mener?

»» Er matematik brugt fornuftigt her?

»» Prøv at sige det samme på en anden måde.

»» Kan ... bruges som model af ...?

»» Er det rigtig forstået, at du mener, at ...?

»» Er det rimeligt at konkludere ... på baggrund af ...?

44 — Vild med matematik 2019

Alinea — 45

Maria Moos Kulsbjerg Skole

Niels Peter Drachmann Vindinge Skole

Jeg har været lærer i 18 år, og jeg arbejder som matematiklærer på Kulsbjerg Skole. Matematik er et fedt fag, men jeg oplever, at mange elever får vanskeligere ved faget, når de kommer op på mellemtrinnet, hvor der skal læses og skrives lidt mere. Derfor skal man sørge for, at der igennem skoletiden fortsat er faglige aktiviteter, hvor eleverne ikke bare skal sidde stille. Det kan være aktiviteter som quiz og byt, stafetter osv. Aktiviteter, hvor eleverne får trænet emnet på en anden måde. På vores skole er vi meget optagede af det mundtlige i faget. Vi skal have eleverne til at tale om matematikken. I den forbindelse er vi lige begyndt at indføre et nyt pædagogisk greb, hvor vi har hængt en masse whiteboardtavler op på vores gangarealer. Så sender vi eleverne derud for at løse opgaver. Og vi oplever virkelig, at de på den måde får diskuteret og talt sammen, når de løser opgaver på tavlerne. De kommer op at stå, væk fra deres eget papir, og de samarbejder. Derudover bliver det også meget lettere for mig at se, hvad de laver, når de kommer væk fra papir og iPad. Det virker som et simpelt kneb, men det har givet helt vildt meget faglig diskussion. Det fungerer så godt, at dansklærerne også er begyndt at bruge det i A deres timer.

46 — Vild med matematik 2019

På skolebesøg

Vi har besøgt to lærere, der begge er vilde med matematik, og spurgt dem, hvad de er optaget af lige nu. Af Anders Schunk

Foto: Martin Stampe

Jeg arbejder på en landsbyskole, der i mange år kun har haft elever op til 7. klasse, men som nu også har fået 8. klasse med. Jeg er matematiklærer, matematikvejleder og har også specialundervisning med elever, som har svært ved matematik Jeg er interesseret i dialog, og i specialundervisningen er det vigtigt, at vi taler meget sammen. At vi får skabt dialogen. Hvis jeg siger 22, kan der blandt seks elever være seks forskellige forståelser af tallet 22. Og det er her, vi kan prøve at undersøge, hvorfor faget er svært for de elever. Nogle elever husker nemlig blot tallet 22 som det tal, der kommer efter 21 og før 23. Det er en tallinjeforståelse, men eleverne er måske samtidig ikke i stand til at forklare, at tallet består af to tiere og to enere. Den forståelse er de gået glip af. Så vi må forsøge at gå tilbage og hente den forståelse, så vi ikke bygger på en viden, der ikke er der. Derfor er jeg en irriterende lærer for de elever, der bare gerne vil lære udenad. For jeg vil have, at eleverne forklarer, hvordan de er kommet frem til deres resultater. De skal dele deres metode med os andre. Det er, når vi taler sammen, tegner og bruger konkreter, at vi kan give et billede af, hvad der er på indersiden af vores hoved. Den viden skal læreren bruge til at planlægge næste skridt for elevens A udvikling.

”Jeg er en

irriterende lærer for de

elever, der bare gerne vil lære udenad. ”

Maria Moos Kulsbjerg Skole

Niels Peter Drachmann Vindinge Skole

46 — Vild med matematik 2019

På skolebesøg

Vi har besøgt to lærere, der begge er vilde med matematik, og spurgt dem, hvad de er optaget af lige nu. Af Anders Schunk

Foto: Martin Stampe

”Jeg er en

irriterende lærer for de

elever, der bare gerne vil lære udenad. ”

Hvad skal man bruge det til? Spørgsmålet optræder langt hyppigere i matematik end i andre fag. Det siger lektor i matematik på Roskilde Universitet Morten Blomhøj. En del af svaret er at forbinde undervisningen til elevernes hverdag, blandt andet gennem tiltag som projektet Matematik Morgener.

Af Hans Henrik Rasmussen

Foto: Tariq Mikkel Khan

JEG TROR, alle matematiklærere møder det spørgsmål,”

indleder Morten Blomhøj, der er lektor på Roskilde Univer

Morten Blomhøj fortæller, at det almindelige rationale for

sitet med matematikdidaktik som forskningsområde. Han

at lære matematik omfatter ting som at kunne beherske sit

har forsket i besvarelsen af netop det spørgsmål: Hvad kan

eget liv, sin egen økonomi, gå videre til de følgende klasser

man bruge det til? Det såkaldte begrundelsesproblem, som

og uddannelser og at kunne håndtere diverse hverdagspro

handler om, hvilke grunde der kan gives for at undervise i

blemer. Men for nogle er disse ting ikke nok, og her er der

matematik på de forskellige trin i uddannelsessystemet.

brug for, at undervisningen kan skabe motivationen, og det

Han mener ikke, at det kun er i matematikundervisningen,

gør man som sagt bedst ved at få undervisningen til at knytte

at spørgsmålet optræder, men han er ikke i tvivl om, at det

sig til problemer fra virkeligheden. Han nævner et projekt

optræder langt hyppigere her end i andre fag. Det skyldes, at

rettet mod folkeskolens 8. klassetrin, som han sammen med

der er nogle kognitive udfordringer i matematik, som kræ

Mikael Skånstrøm fra det tidligere Statens Pædagogiske

ver både arbejde og motivation at overvinde.

Forsøgscenter har været med til at lancere, og som har haft

Der er absolut nogle ting, man som matematiklærer kan gøre for at styrke motivationen og dermed medvirke til, at spørgsmålet besvares, inden det formuleres af eleverne.

SPØRGSMÅLET, SOM ALLE MATEMATIKLÆRERE MØDER

Tag matematikbrillerne på

succes både herhjemme og i udlandet. ”Vi har lavet projektet Matematik Morgener, hvor eleven simpelthen skal beskrive sin morgen ud fra et matematik

”Spørgsmålet om, hvad noget skal bruges til, opstår, når

perspektiv. Det vil sige, at eleven skal se på, hvad han eller

eleverne ikke oplever det, de arbejder med, som menings

hun laver om morgenen: Man står op; hvor mange timer har

fuldt eller interessant i sig selv. I første omgang kan man

man sovet? Hvor stor en del af døgnet sover man? Man går

sige, at det for læreren handler om at gøre noget interessant

i bad; hvor meget vand bruger man under bruseren? Ja, det

og samtidig sørge for, at det ikke er nederlagsskabende, men

kan man så løse på forskellige måder: Man kan stille sig i et

noget, som eleven kan mestre og får succesoplevelser med.

kar og derved samle alt vandet sammen, men man kan også

Det handler om, at eleven får ny erkendelse, og at det frem

måle flowet i en spand i ét minut og så tage tid på ens bad og

hæves som værdifuldt i undervisningen. Derudover er det

gange op. Og så bliver det så mere indviklet, når man tænker

vigtigt, at eleven bliver præsenteret for nogle ting i sin dag

på, at man jo ikke står der først, når vandet er koldt. Så hvor

ligdag, som han eller hun kan knytte an til matematik. Men

dan tegner man en graf, der viser vandforbruget under bru

hvordan gør man så det? Det er jo lettere sagt end gjort,”

seren, når man allerede har brugt lidt, inden badet begyn

siger Morten Blomhøj.

der? Det kan man beskrive og tale med eleverne om, inden 

Morten Blomhøj er lektor i matematik på Roskilde Universitet (RUC). Han forsker og underviser i blandt andet matematikdidaktik, begrundelsesproblematikken og matematisk modellering og har skrevet flere bøger og artikler om disse emner.

48 — Vild med matematik 2019

FOTO: MARTIN STAMPE

Alinea — 49

Af Hans Henrik Rasmussen

Foto: Tariq Mikkel Khan

JEG TROR, alle matematiklærere møder det spørgsmål,”

indleder Morten Blomhøj, der er lektor på Roskilde Univer

Morten Blomhøj fortæller, at det almindelige rationale for

sitet med matematikdidaktik som forskningsområde. Han

at lære matematik omfatter ting som at kunne beherske sit

har forsket i besvarelsen af netop det spørgsmål: Hvad kan

eget liv, sin egen økonomi, gå videre til de følgende klasser

man bruge det til? Det såkaldte begrundelsesproblem, som

og uddannelser og at kunne håndtere diverse hverdagspro

handler om, hvilke grunde der kan gives for at undervise i

blemer. Men for nogle er disse ting ikke nok, og her er der

matematik på de forskellige trin i uddannelsessystemet.

brug for, at undervisningen kan skabe motivationen, og det

Han mener ikke, at det kun er i matematikundervisningen,

gør man som sagt bedst ved at få undervisningen til at knytte

at spørgsmålet optræder, men han er ikke i tvivl om, at det

sig til problemer fra virkeligheden. Han nævner et projekt

optræder langt hyppigere her end i andre fag. Det skyldes, at

rettet mod folkeskolens 8. klassetrin, som han sammen med

der er nogle kognitive udfordringer i matematik, som kræ

Mikael Skånstrøm fra det tidligere Statens Pædagogiske

ver både arbejde og motivation at overvinde.

Forsøgscenter har været med til at lancere, og som har haft

Der er absolut nogle ting, man som matematiklærer kan gøre for at styrke motivationen og dermed medvirke til, at spørgsmålet besvares, inden det formuleres af eleverne.

SPØRGSMÅLET, SOM ALLE MATEMATIKLÆRERE MØDER

Tag matematikbrillerne på

succes både herhjemme og i udlandet. ”Vi har lavet projektet Matematik Morgener, hvor eleven simpelthen skal beskrive sin morgen ud fra et matematik

”Spørgsmålet om, hvad noget skal bruges til, opstår, når

perspektiv. Det vil sige, at eleven skal se på, hvad han eller

eleverne ikke oplever det, de arbejder med, som menings

hun laver om morgenen: Man står op; hvor mange timer har

fuldt eller interessant i sig selv. I første omgang kan man

man sovet? Hvor stor en del af døgnet sover man? Man går

sige, at det for læreren handler om at gøre noget interessant

i bad; hvor meget vand bruger man under bruseren? Ja, det

og samtidig sørge for, at det ikke er nederlagsskabende, men

kan man så løse på forskellige måder: Man kan stille sig i et

noget, som eleven kan mestre og får succesoplevelser med.

kar og derved samle alt vandet sammen, men man kan også

Det handler om, at eleven får ny erkendelse, og at det frem

måle flowet i en spand i ét minut og så tage tid på ens bad og

hæves som værdifuldt i undervisningen. Derudover er det

gange op. Og så bliver det så mere indviklet, når man tænker

vigtigt, at eleven bliver præsenteret for nogle ting i sin dag

på, at man jo ikke står der først, når vandet er koldt. Så hvor

ligdag, som han eller hun kan knytte an til matematik. Men

dan tegner man en graf, der viser vandforbruget under bru

hvordan gør man så det? Det er jo lettere sagt end gjort,”

seren, når man allerede har brugt lidt, inden badet begyn

siger Morten Blomhøj.

der? Det kan man beskrive og tale med eleverne om, inden 

48 — Vild med matematik 2019

FOTO: MARTIN STAMPE

Alinea — 49

Gratis opgave: Lav en tidskapsel med breve, hvor

eleverne fortæller om, hvornår de bruger matematik. www.blivklog.dk/lav-en-tidskapsel

der for at lave tælletræer, som kunne

reren selvfølgelig er forpligtet til at

”Vi kan sige ret tydeligt ud fra matematikdidaktisk forskning, at hvis man ikke underviser i, hvordan matematik bruges i virkeligheden, så får eleverne en meget snæver opfattelse af, hvad matematik er.”

vise det. Så der åbner sig en masse

sørge for, at eleverne får den viden,

MORTEN BLOMHØJ

perspektiver, og det er et godt moti

som kræves til afgangsprøven, men at

vationsaspekt og har også et kognitivt

der trods alt er et vist spillerum til at

aspekt, fordi det giver et godt grund

forme undervisningen.

man er begyndt at tale om lineære

man vil skabe færre situationer, hvor

funktioner og hældningskoefficienter

det her spørgsmål om, hvad vi skal

og den slags,” fortæller Morten Blom

bruge det til, opstår, så skal man pas

høj.

sende ofte arbejde med ting, der er

”Der var også nogle af pigerne, der interesserede sig for, hvor mange for skellige måder de kunne kombinere deres tøj på, og så var der mulighe

vedkommende på den måde.

Mere forskning er nødvendig

Morten Blomhøj understreger, at læ

lag for forståelse,” forklarer Morten

”I den bedste af alle verdener var der

Blomhøj og tilføjer, at eleverne end

bedre tid til matematikundervisnin

dog ofte glade for projektet undervejs,

da lavede nogle såkaldte matematik

gen, og lærerne havde mere tid til at

og vi kan sige ret tydeligt ud fra mate

briller, gamle briller, som de tegnede

lære om det og selv udvikle projekter.

matikdidaktisk forskning, at hvis man

matematiske symboler på, og som de

For forskningen viser, at når der er

ikke underviser i, hvordan matematik

så kunne tage på om morgenen, når de

særlige projekter og bevillinger til det,

bruges i virkeligheden, så får eleverne

ledte efter ting at anvende matema

og når lærerne samarbejder og udvik

en meget snæver opfattelse af, hvad

tikken på.

ler undervisningsforløb i deres egen

matematik er. Det er også grunden

På samme måde fortæller Morten

klasse og på deres egen skole, så flyt

til, at vi i hele den vestlige verden har

Blomhøj, at de lavede en idrætsdag,

ter det noget. Lærerne bliver meget

problemer med at rekruttere til de

hvor eleverne skulle konkurrere i fire

mindre afhængige af lærebogen og er

matematikbaserede uddannelser. Så

discipliner og derefter udregne en

også fremover optagede af at lave egne

der skal gøres noget for at udvikle og

masse forskellige data om deres præ

projekter.”

styrke den interesse for at lære, som

”Det er svært direkte at bevise, at

eleverne jo generelt møder op med, og

”Den slags projekter kan man selv

eleverne får mere lyst til matematik

følgelig ikke køre hele tiden, men hvis

eller får bedre karakterer. Eleverne er

det skal der være nogle rammer og vil A kår til at gøre,” siger han.

stationer.

50 — Vild med matematik 2019

Alinea Lindhardt og Ringhof Forlag A/S Vognmagergade 11, 2. sal 1148 København K Der tages forbehold for trykfejl.

Alinea støtter børn og unge

Ansvarshavende redaktør: Trine Hornemann Redaktion: Karen Boe Hauggaard, Susanne Schulian og Rikke Gregersen Skribenter: Søren Flott, Svend Hessing, Trine Hornemann, Anders Klebak, Maj Juni, Hans Henrik Rasmussen og Anders Schunk Design: Jakob Thuemoes Forsidefoto: Iris

Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år og laver film i Oscarklasse gennem Nordisk Film. Egmont fortæller også historier gennem bøger og magasiner og bringer nyheder fra hele verden på norske TV2. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver 100 millioner til børn og unge, der har det svært. Siden 1920 har fonden uddelt 2,9 milliarder kroner.

Trykt hos Livonia Print, 2019 alinea.dk

GØR SOM OVER 9.000 ANDRE MATEMATIKLÆRERE TILMELD DIG Alineas nyhedsbrev,

Bliv klogere på, hvad der rører sig inden for

og få spændende viden og gratis opgaver til

matematikdidaktikken, og mød forskere,

din matematikundervisning.

matematiklærere og skolefolk, der alle deler ud af deres viden og erfaringer. alinea.dk/nyhedsbrev