Vild med matematik 2020 by Alinea

VILDMED MATEMATIK

Gratis magasin til dig, der

elsker at gå ud ad en tangent

Klap i! Lærerne skal tøjle deres snakke-gen, siger Gitte Stenberg Rosenkilde.

Mød en mønsterjæger. Dorte Vestergaard Hansen ser matematik overalt.

Fra ormegård til trygt klasseværelse. Hjælp elever med matematikangst.

Hvilke udfordringer vil teknologiforståelse ifølge Lis Zacho give matematiklærerne?

Interview – 14

Portræt – 18

Interview – 28

4 hurtige – 48

Ommøblering 14 råd fra forsker Peter Liljedahl, der får eleverne til at reflektere selvstændigt

Læs også om

Sproget i matematik | Matematikangst | Konkrete materialer

Er det tid

til at genstarte din undervisning? ELLER MÅSKE HAR DU BRUG FOR BLOT AT JUSTERE DEN?

Du får også inspiration til, hvordan du hjælper elever i mate-

I dette nummer af Vild med matematik-magasinet får du

matikvanskeligheder eller med decideret matematikangst.

ny inspiration til at genstarte din undervisning. Magasinet

Og så får du et bud på, hvad det nye fag teknologiforståelse

er skrevet til dig, der er vild med matematik og vil gøre dine

vil få af betydning for matematikundervisningen.

elever lige så vilde. Vi har interviewet matematiklærere og forskere om emner, der fylder i undervisningen lige nu. Du kan fx læse om, hvordan du får dine elever til at reflektere mere selvstændigt, hvordan du arbejder med sproget og inddrager konkrete ma-

Rigtig god læselyst! Bedste hilsner Alineas matematikredaktion

terialer i din undervisning, og hvilken forskel undersøgende matematik kan gøre i 10. klasse.

Erik Stenbøg

Mette Christine Bilde

Karen Boe Hauggaard

Peter Lund

Susanne Schulian

Anna Hosbjerg Nordlund

Malene Schott Christensen

Pernille Rosenkvist

Redaktionschef

Forlagsredaktør

Mads Kofod

Digital redaktør

Forlagsredaktør

Helle Hjort Mogensen

Digital redaktør

Forlagsredaktør

Signe Damsbo

Digital redaktør

Forlagsredaktør

Digital redaktionschef

Vi arbejder med matematik Skriv gerne til os, hvis du

har spørgsmål eller en god idé til et nyt læremiddel, på info@alinea.dk.

Indhold

Sproget i matematik

Matematikangst

Hvad gør man, når der er giftige slanger i klasselokalet? Mød lærer Mads Frederik Erichsen, der hjælper elever med matematikangst, og få forsker Maria Kirstine Østergaards forklaring på, hvorfor angsten overhovedet opstår – 28

Er det ikke noget med kanter? Eller noget med linjer? Sæt fokus på sprog — 5 principper fra Lone Wulff, som forsker i, hvordan man kan forbedre elevernes fagsprog i matematik – 10

Konkrete materialer

”Man kan ikke længere bare sige, at svaret er 7” På Islev Skole har de sat særligt fokus på at arbejde med sproget i matematik

”Eleverne skal røre ved matematikken”

Interview

— 14

Konkrete materialer giver mange elever en ahaoplevelse, mener lærer Anne-Christine Weber. Men centicubes og mønsterbrikker forvandler sig ikke automatisk til matematiske begreber i hovedet på eleverne. Så hvad skal der til? – 40

Kunsten at blive god til ligninger – ikke efterligninger Kan vi skabe en ny form for matematikundervisning, hvor eleverne reflekterer og engagerer sig gennem en hel undervisningstime? Ja, mener den canadiske forsker Peter Liljedahl, der giver 14 praktiske råd – 4

Dorte ser matematik alle vegne — 18 Michael Wahl Andersen: ”Der skal ikke være helt stille i matematiklokalet” — 22 Undersøgende matematik i 10. klasse — 36 Lis Zacho om teknologiforståelses betydning for matematik — 48

Alinea — 3

4 â&#x20AC;&#x201D; Vild med matematik 2020

Kunsten at blive god til ligninger

– ikke efterligninger Af Michael Kirkeby | Illustration: Jens Magnusson

’Building Thinking Classrooms’ udfordrer gamle normer og anviser nye måder at undervise i matematik. Målet er at styrke elevernes evne til at reflektere selvstændigt – ikke til at kopiere læreren.

ER DET MULIGT at skabe en matematikundervisning, hvor

ni ud af ti elever deltager med en høj grad af både engagement og refleksion gennem næsten en hel undervisningstime? Svaret er ja, hvis man spørger den canadiske professor Peter Liljedahl. Ved matematikvejlederkonferencen i Odense i september 2019 holdt han oplæg om ’Building Thinking Classrooms’, som er udviklet på en canadisk baggrund, men som tydeligvis, at dømme efter bifaldet, også inspirerer et dansk publikum. ”Evnen til at tænke eller reflektere selvstændigt er en forudsætning for at lære. I matematikundervisning er tænkning det, som sker, når elever bliver bedt om at løse en opgave, de ikke i forvejen har fået en opskrift på. Alt andet, stort set, er mere efterligning af læreren end egentlig læring.” Sådan lyder en af kongstankerne bag Liljedahls opfordring til at tage et opgør med de normer, der kendetegner, hvad man i mangel af bedre kan kalde en ’traditionel matematikundervisning’ efter devisen: Sid ned, lyt efter, hvordan opgaven skal løses – og øv dig i at gøre det samme. Selv om det sandsynligvis vil være vanskeligt at finde en matematiklærer i Danmark, der kan genkende sin egen undervisning i præcis den kontante beskrivelse, giver tankerne bag ’Building Thinking Classrooms’ alligevel stof til eftertanke.

I Liljedahls klasseværelse er der på flere måder møbleret rundt på inventaret, både det fysiske og didaktiske. Helt centralt står ønsket om at flytte fokus væk fra evnen til at reproducere eller ’genopføre’ en opgaveløsning efter en model, læreren har demonstreret, over på evnen til at angribe en problemstilling ud fra egne refleksioner. Kort sagt evnen til at ’tænke’ mere selvstændigt.

“Helt centralt står ønsket om at flytte fokus væk fra evnen til at reproducere eller ’genopføre’ en opgaveløsning efter en model, læreren har demonstreret, over på evnen til at angribe en problemstilling ud fra egne refleksioner.” Det er et budskab, der vækker genklang, og ikke alene i Odense eller i Canada, hvor Peter Liljedahl er forsker og underviser ved Simon Fraser University i Vancouver. Såvel i USA som i en række lande i Europa, bl.a. Norge og Sverige, er skoler gennem de seneste par år begyndt at tage de 14 råd til sig, Liljedahl har udviklet, og som udgør rygraden i ’Buil-

Alinea — 5

ding Thinking Classrooms’. Gennem fire faser viser de vej til, hvordan man kan skabe et læringsmiljø, der i højere grad vægter refleksion. En matematikundervisning, hvor både de fysiske rammer og kulturen er forsøgt gentænkt og genopført. Men hvordan kan Peter Liljedahl være sikker på, at elever ikke allerede reflekterer eller tænker selvstændigt i en mere traditionel undervisningssituation – hvilket er hele præmissen? Vild med matematik har bedt Liljedahl om at uddybe nogle af de erfaringer og idéer, der har formet udviklingen af ’Building Thinking Classrooms’: ”Vi kan selvfølgelig ikke læse tanker, men vi kan registrere adfærd. Idéen til ’Building Thinking Classrooms’ opstod som en reaktion på antropologiske observationer af elevers adfærd, når deres lærer gav dem nye opgaver. Nogle blev hurtigt uopmærksomme, begyndte at rode i deres tasker, skulle på toilettet osv., hvilket jo ikke er udtryk for en speciel opgavereflekterende adfærd. Men det væsentligste var det store flertal, som gik i gang med at løse opgaven ved simpelthen at kopiere den metode, læreren tidligere havde demonstreret for dem. Vi besøgte over 40 forskellige klasser, på tværs af alder, geografi og sociale skel, og resultatet var det samme hver gang: Kun ca. 20 procent af eleverne havde en selvstændigt reflekterende adfærd og endda kun i relativt få minutter i hver undervisningstime. Det blev startskuddet til at tænke nyt. Hvis den gamle måde at undervise på, de gamle normer, ikke kan præstere bedre, så må vi rive det gamle ned og bygge noget nyt, noget, der virker bedre.” Man skulle tro, at man lærer at løse et matematisk problem ved netop at få vist, hvordan man gør? ”Absolut, men jeg mener faktisk ikke, det er den bedste måde at lære på. Du lærer at blive god til at kopiere, ikke til at løse den næste opgave, du får. Problemløsning er det, vi gør, når vi ikke ved, hvad vi skal gøre. Og det er enormt lærerige erfaringer. Hvis eleven ved, hvad han eller hun skal gøre, er der ikke tale om problemløsning. Så er der mere tale om øvelse, en slags efterligning, om du vil, og det er ikke det samme.” Hvis en elev spørger læreren: ’Kan du ikke bare forklare mig, hvordan skal jeg løse denne opgave?’ Hvad kan læreren så konkret svare? ”Det er der ikke noget enkelt svar på. Et af vores råd handler om vigtigheden af, at læreren aktivt styrer flowet i undervisningen, altså understøtter refleksionsprocessen hos eleverne – og det er mange lærere gode til i forvejen. Det handler om at opmuntre og komme med små tip, som hjælper eleven videre i processen med selv at løse opgaven. Vi skal huske, at når vi får den slags spørgsmål, er det ofte en refleks-reaktion – et tegn på, at eleven ikke er engageret eller simpelthen bare er vant til at få opskriften serveret på et fad.”

Hvordan lyder en god eller en dårlig opgave, når målet er at fremme evnen til refleksion og ikke bare evnen til at kopiere? Er nogle bedre end andre? ”Hvis jeg fx beder elever om at løse en ligning, så er det en fin opgave – men kun hvis jeg lader være med at forklare, hvordan man gør. Så bliver det til en dårlig opgave. Meget afhænger af, hvordan læreren præsenterer opgaven, som naturligvis skal være inden for elevernes rækkevidde.” ”Det er vigtigt at veksle mellem opgaver, der knytter direkte an til læseplanen, og andre typer opgaver – eksempelvis denne her: ’Hvis 6 katte slår 6 rotter ihjel på 6 minutter. Hvor mange katte skal der så til for at slå 100 rotter ihjel på 50 minutter?’ Den slags opgaver er ofte sjove og gode til at kickstarte bevægelsen væk fra en øvelsesorienteret kultur over til en kultur med fokus på problemløsning.” Du taler om at rive de gamle normer bag matematikundervisningen ned. Det lyder dramatisk, hvorfor er det nødvendigt? ”I begyndelsen troede vi naivt, at det var et spørgsmål om de rette opgaver, men vi registrerede hurtigt, at det ikke var nok til at skabe forandring. Dette må også være de institutionelle normer og rammer, der forhindrer elever i at blive mere selvstændigt reflekterende, og ud fra det perspektiv begyndte vi simpelthen at nedbryde det hele. For eksempel fjernede vi samtlige møbler fra et klasseværelse i 14 dage. Det var helt skørt, men det virkede! Undervisningen blev radikalt genstartet, og eleverne kom i den grad op i gear.”

Få mere at vide: På Peter Liljedahls

hjemmeside kan du læse meget mere om Building Thinking Classroms – og bl.a. finde

et stort katalog med gode problemløsningsopgaver: peterliljedahl.com/

teachers/good–problem Hvis du bruger hashtagget #thinkingclassrooms på

Twitter, kan du blive inspireret

af, hvordan tusindvis af lærere diskuterer og udveksler

erfaringer om brugen af Liljedahls 14

praktiske råd.

Foto:

6 — Vild med matematik 2020

Simon Fraser University

Du siger, at de fysiske rammer også spiller en rolle, når undervisningen skal genstartes eller revitaliseres. Men når det nye ikke er nyt længere – for eksempel at møblerne er væk – er det så tid til en ny genstart? Skal undervisningen ’disruptes’ med jævne mellemrum? ”Både ja og nej. Det er jo ikke sådan, at vi anbefaler at smide alle møblerne ud af klasseværelset. Det var et eksperiment, som måske var radikalt, men som gav os nyttig viden. ’Building Thinking Classrooms’ handler grundlæggende om at genopbygge og genstarte matematikundervisningen. Men vi hylder ikke forandring for forandringens egen skyld. Alt nyt bliver til rutiner på et tidspunkt, men nogle rutiner er bestemt bedre end andre. De 14 råd, vi har opstillet, er vores bud på, hvordan man kan opbygge en ny og bedre matematikundervisning, og de må efter min mening gerne blive til nye rutiner. Det møbeltomme klasseværelse var en lidt ekstrem måde at rykke eleverne ud af deres gamle vaner på. Men det lærte os blandt andet, at eleverne bliver mere engagerede og parate til at reflektere, når de står op ved en tavle.” Netop anbefalingen om, at undervisningen hellere bør foregå stående frem for siddende, er jo et af de mere iøjnefaldende råd. Hvordan kan det styrke refleksion at stå op? ”Igen; vi kunne registrere det, før vi kunne forklare det. Det handler dels om, at mulighederne for at kommunikere med kammerater og lærer, bl.a. i form af gestik og ansigtsudtryk, er langt bedre, når du står ved en tavle – og vi ved jo, at 80 procent af al kommunikation reelt foregår non-verbalt. Dels har undersøgelser vist, at vi simpelthen har en bedre blodgennemstrømning til hovedet, når vi står oprejste. Selvfølgelig skal man også kunne sidde ned. Pointen er bare, at det ikke er optimalt kun at sidde ned, hvis man skal deltage aktivt i en undervisning. Det er ikke kun et spørgsmål om fysik og dårlig blodgennemstrømning. Når vi sidder ned, føler vi os per definition mere anonyme, hvad enten vi ønsker anonymiteten eller ej, og det har en direkte negativ indflydelse på vores engagement, som er det brændstof, refleksionen blandt andet lever af.” En anden anbefaling handler om, at eleverne skal sammensættes i vilkårlige grupper, og at det er bedre med 3 i hver gruppe frem for 4. Hvordan er I kommet frem til det? ”Det var ganske enkelt det, vores observationer viste os. Hvis man sætter 4 elever sammen, ender det alt for ofte i en uheldig ’3+1’-dynamik, hvor den fjerde elev føler sig udenfor. Nogle gange, og især i de helt små klasser, kan grupper med 2 elever også fungere, men generelt er det bedre for diskussionen at blande lidt flere stemmer, temperamenter og synspunkter i en gruppe. Vi har fundet, at grupper på 3 oftest fungerer bedst.”

Det kan lyde som en større mundfuld, et større byggeprojekt, at skabe et mere reflekterende læringsmiljø, både praktisk/fysisk og kulturmæssigt. Hvor let er det at komme i gang? ”Det er faktisk ret let. Selvfølgelig forudsætter det, at læreren er motiveret, nysgerrig og har tillid til, at eleverne gemmer på et uforløst reflekterende potentiale, som kan vækkes. Men egentlig har man kun brug for tre ting for at komme i gang: Nogle inspirerende opgaver, en metode til at sammensætte vilkårlige arbejdsgrupper på med gerne 3 elever i hver – og så tilstrækkeligt med vertikale flader, hvor eleverne kan arbejde stående. Og det behøver ikke at være smartboards, det kan være gamle kridttavler eller hvad som helst, hvor man kan skrive, slette og skrive igen. Så er du i gang. Selvfølgelig kan det hele godt virke meget anderledes i begyndelsen, måske endda lidt skræmmende – men det er ikke vanskeligt.”

Alinea — 7

Kom i gang

– 14 skridt på vej mod en ny matematikundervisning Peter Liljedahls 14 praktiske råd spiller alle en afgørende rolle for en vellykket omstilling af undervisningen, og derfor er det ikke muligt at fremhæve nogle som mere vigtige end andre. Rådene er bearbejdet til dansk sammenhæng.

Start timerne med problemløsning

Problemstillingen skal være meningsfuld og

motiverende for eleverne og sætte gang i en dialog

mellem dem i grupperne. Problemstillingen kan være hentet fra Fælles Mål og/eller matematikbogen.

som skal stå eller sidde sammen.

ved en tavle og ikke sidder omkring borde.

Læreren beskriver problemstillingen, og eleverne

lytter, tænker og diskuterer den fremfor at bruge tid

på dem

Lyt til elevernes spørgsmål, og spørg ind til dem. Bed eleverne om at uddybe deres spørgsmål, og undgå at komme med svar, men giv hints.

8 — Vild med matematik 2020

hjælp hos andre grupper, hvis de går i stå. Giv eleverne et tip eller hint

Prøv at holde eleverne i et koncentreret flow i

timerne ved at sørge for, at de får tilstrækkelige

Byg fra bunden

Sørg for, at alle elever kommer med. Gennemgå én eller flere gruppers løsninger på en problemstilling i klassen. Fortsæt den faglige progression ved at

gennemgå en ny problemstilling med grupperne.

Tjek forståelsen

Udvælg 4-6 spørgsmål, der kan afdække

elevernes forståelse – og lad eleverne arbejde med dem selvstændigt eller i grupper. Det

fremmer elevernes evner til at evaluere sig selv. Formativ evaluering

Gør det tydeligt for eleverne, hvor de er

fagligt, og hvor de er på vej hen. Sørg for, at undervisningen giver eleverne forskellige

vægge og peger i forskellige retninger.

Anerkend elevernes spørgsmål, men svar ikke

Anvend peer to peer. Bed eleverne om at søge

op, hvis de synes, opgaverne er svære.

Borde trækkes væk fra klasserummets

del af klasselokalet og rundt i lokalet.

Skab selvstændighed

sig. Stilladsér tilstrækkeligt, så de ikke giver

Flyt undervisningen væk fra katederet

Læreren bevæger sig væk fra den forreste

Meningsfulde noter er skrevet af eleven selv,

udfordringer, så de ikke kommer til at kede

Giv instruktioner mundtligt

og energi på at afkode en skriftlig opgavebeskrivelse.

Giv hver gruppe et skriveredskab, og brug fx

Det fremmer diskussionen, at eleverne står sammen

Brug lodrette flader som arbejdsflader

whiteboards, tavler eller vinduer til gruppens arbejde.

Sørg for, at eleverne har tid til at skrive noter.

ned, og hvordan de vil organisere noterne.

efter tilfældighedsprincippet

Grupper kan fx dannes ved at dele spillekort

Noter, der giver mening

og de har selv valgt, hvilke idéer de vil skrive

Fordel eleverne i grupper, som tydeligt er skabt

ud. Grupperne skal være på 2 til 3 elever,

muligheder for at vise, hvad de kan.

13 14

Summativ evaluering

Hold fokus på processen, og evaluer kun det, du synes er værdifuldt. Tilbagemelding

Giv eleverne en tilbagemelding, som er baseret på det, eleven har præsteret, og ikke optalte point.

Illustration: Laura Wheeler

Alinea â&#x20AC;&#x201D; 9

Er det ikke noget med kanter? Eller noget med linjer?

T E M A : S P R O G E T I M AT E M AT I K

10 â&#x20AC;&#x201D; Vild med matematik 2020

Det er ikke nødvendigvis så let at definere en trekant, men hvis man har lært at bruge de matematiske fagbegreber, er det et stort skridt på vejen til at blive god til matematik. Derfor forsker lektor Lone Wulff i, hvordan man i matematikundervisningen kan forbedre elevernes fagsprog.

Af Hans Henrik Rasmussen

Foto: Daniel Hjorth

SOM FORSKNINGSMEDARBEJDER på

forskningsprojektet Tegn på sprog gennem seks år har Lone Wulff fokuseret på, hvordan man giver elever i 4.-9. klasse et mere sikkert grundlag for at tale om, forklare og formidle matematik. For ligesom i alle andre fag kræver også matematik, at man mestrer fagets særlige måde at udtrykke sig på. Eleverne skal med andre ord kunne sætte matematikken ind i en sproglig sammenhæng, som gør dem i stand til at forklare den for sig selv og formidle den til andre.

”For læreren er en del af udfordringen at sørge for, at elevernes faglige kompetence inkluderer en sproglig kompetence.” Lone Wulff nævner, at man for eksempel kan se, at flersprogede elever klarer sig fint i matematik op til 4. klasse, hvor det mest handler om færdighedsregning, men derefter falder i niveau, simpelthen fordi fagteksterne bliver sværere og kræver større sprogfærdigheder. ”For læreren er en del af udfordringen derfor at sørge for, at elevernes faglige kompetence inkluderer en sproglig kompetence. Det bør selvfølgelig indledes allerede i indskolingen,” siger hun.

FOTO: DANIEL HJORTH

Lone Wulff nævner fem didaktiske principper, som en matematiklærer kan bruge for at sætte mere fokus på sproget i undervisningen. Og for at kunne følge de fem principper kræver det i første omgang, at lærerne bliver bevidste om, hvad det er for et sprog, der overhovedet er på spil, forklarer Lone Wulff. ”Hvis man som lærer vil have, at eleverne skal kunne formulere noget, skal man selv kunne svare på, hvordan en god og præcis formulering lyder. Det ved man jo godt som lærer, men det er ikke sikkert, at man har bevidsthedsgjort det tilstrækkeligt.” I forlængelse af det mener Lone Wulff, at det handler om at tænke sproget ind i nogle forløb med klare mål og så ellers gå gradvist frem, så eleverne støttes videre.

“Det er ikke min oplevelse, at eleverne synes, det er svært at lære fagsprog, hvis de bliver undervist i det.” ”Man skal hele tiden sørge for, at den næste opgave giver lidt mere udfordring og lidt mere udfordring, så eleverne i tilstrækkelig grad får lov til at øve sig og få feedback undervejs, for ellers lærer de det ikke. I starten bør man gøre det helt tydeligt, hvad man ønsker af dem fagsprogligt ved at for

Alinea — 11

tælle dem: ’Sådan her vil jeg gerne have, at I taler om det matematiske emne’. Det er min erfaring, at det gør, at de lykkes. Det er ikke min oplevelse, at eleverne synes, det er svært at lære fagsprog, hvis de bliver undervist i det. Men selvfølgelig er der forskellig matematisk kompetence blandt eleverne, som også spiller en rolle.”

KEND DIT MÅL

Lone Wulff nævner også en række eksempler på sådanne forløb, som de har gennemført i forbindelse med forskningsprojektet, der løb fra 2008-2018. I et af dem skulle eleverne i en 7. klasse fokusere på procentregning, og den endelige produktion var en video, hvor de forklarede, hvordan man løste et givent stykke, i et matematisk sprog. Et andet projekt var målrettet folkeskolens mellemtrin og handlede om at ”finde ruten gennem en matematisk tekst”, det vil sige, at eleverne skulle lære, hvor de vigtige informationer stod i deres matematikbog. Her var pointen at lade eleverne arbejde med læseforståelsesstrategier, altså hvordan det er hensigtsmæssigt at læse matematik. ”Eleverne lærte at navigere gennem teksten på en måde, så de noterede sig disse ting – og det er jo en helt anden måde at læse en tekst på end for eksempel i dansk,” siger Lone Wulff. Undervejs tegnede eleverne ’læsestien’ ind i teksten, og til sidst lavede de deres egen matematikbog, som de så evaluerede i forhold til, om den var svær eller let at finde rundt i som læser.

”Et princip, der går igen i begge forløb, er, at eleverne først undersøger teksten og sproget sammen med læreren, som hjælper med at rette fokus mod de områder, det handler om. Dernæst øver de sig, og til sidst er de klar til at producere noget, som de så også kan evaluere i forhold til de faglige og sproglige mål, der er opsat. Det er noget, jeg fint kan forestille mig kan lægges ind i alle matematikforløb, i lighed med forløbet i 7. klasse om at forklare procentudregning,” forklarer Lone Wulff og slutter: ”Det vigtigste for, at det bliver en succes, er, at lærerne ved, hvad det er, eleverne skal kunne, når de er færdige med et forløb. Derfra kan man så planlægge forløbet, så det ender der.”

Lone Wulff Lektor i dansk som

andetsprog og underviser i dansk som andetsprog på læreruddannelsen

og videreuddannelsen ved Københavns

Professionshøjskole. Derudover var hun gennem seks år

forskningsmedarbejder i

forskningsprojektet Tegn på sprog – tosprogede børn lærer at læse og skrive (2008-2018). I 2018 udgav

forskningsgruppen et

læremiddel rettet mod

udskolingen, Literacy og

andetsprog i udskolingen.

om matematikundervisning.

12 — Vild med matematik 2019

Her drejer 6. og 7. forløb sig

5 PRINCIPPER for matematiklærere MED FOKUS PÅ FAGSPROG Lone Wulff nævner fem didaktiske principper, som en matematiklærer kan bruge for at sætte mere fokus på sproget i undervisningen.

Tydeliggør sproget for eleverne gennem fælles undersøgelser. Her gælder det simpelthen om at undersøge sproget, i første

omgang sammen med læreren, så eleverne får øjnene op for, hvordan man typisk formulerer sig inden for matematikken.

Synliggør sproget i rummet, så det er tilgængeligt, når eleverne skal bruge det — for eksempel ved at hænge

matematiske begreber og forklaringer op på klasseværelsets vægge, nøjagtig ligesom man bruger det i andre fag.

Afstem input med forventninger til output.

Når eleverne præsenteres for nyt sprog, skal de også

gennem diverse øvelser bruge det sprog. De skal altså ikke bare have en masse input, men også øve det i praksis.

Stil krav til elevernes sprogbrug i en produktion.

Der skal være et klart formuleret mål, som læreren kan

holde eleverne op på, som man sammen arbejder mod, og som eleverne kan evalueres og evaluere hinanden på.

Sørg for, at sproget er nært koblet til matematik. Sproget skal

ikke være 'det ekstra' eller 'det andet' — det skal være en del af matematikundervisningen og udspringe af matematikemnet.

Alinea — 13

TEMA: S PROGET I M AT E M AT I K

"Man kan ikke længere bare sige, at svaret er 7" På Islev Skole har de sat særligt fokus på at arbejde med sproget i matematik. Det betyder, at lærerne skal tøjle deres snakke-gen, fortæller lærer Gitte Stenberg Rosenkilde.

Af Hans Henrik Rasmussen | Foto: Daniel Hjorth ”I SKOLEÅRET 16/17 havde vi en dag,

hvor vi i vores matematikfagteam brainstormede på, hvad vi skulle bruge vores matematikfagtimer til, og der syntes mange, at det sproglige var svært at få hul på. Ofte sidder eleverne jo og laver opgaverne skriftligt uden at få sat ord på,” fortæller lærer Gitte Stenberg Rosenkilde fra Islev Skole. I fagteamet talte de dernæst om, hvordan de kunne få sat gang i et øget fokus på sprog, og Gitte Stenberg Rosenkilde fortæller, at skolen valgte at slå to fluer med ét smæk, så alle aktioner i deres aktuelle aktionslæringsforløb foregik i matematiktimerne og fik et sprogligt fokus. ”Så der var vi heldige, men projektet skulle jo helst ikke stoppe der, så for stadig at holde liv i processen

14 — Vild med matematik 2020

med sprogarbejdet har vi i dette skoleår inddraget vejlederne i dansk som andetsprog. De er med til at planlægge, være en del af undervisningen og efterfølgende evaluere forløbet – og det er ikke kun med tanke for de tosprogede, for matematik er et sprog, alle skal lære.” Gitte Stenberg Rosenkilde fortæller, at det i de små klasser meget gælder om at sige sætningen i stedet for bare at sige tallene, mens det i de større klasser typisk handler om forskellige opgaver, hvor eleverne kan øve fagbegreberne. ”Det kan for eksempel være en øvelse, hvor en elev forklarer en geometrisk figur for en anden ved hjælp af så mange fagbegreber som muligt, og den anden så skal tegne figuren ud fra

forklaringen. Og her er det altså ikke nok at sige, at den anden skal tegne en firkant.”

“Det der snakke-gen, man kan have som lærer, det kan være en udfordring.” EN SPROGBANK MED ØVELSER

Lærerne på Islev Skole har fem fagteammøder om året, hvor sproget i matematikken er et fast punkt. Her udveksler de så erfaringer med de forskellige øvelser, og på den måde sørger de for at holde fokus, ligesom de samler de gode øvelser i en sprogbank, så det er let for alle at tilgå dem. Hun er ikke i tvivl om, at det øgede fokus

på sprog betyder en vis omstilling for læreren. ”Man skal især holde sig for øje, hvad målene er – hvilke 10 fagbegreber var det for eksempel lige, det var vigtigt at få styr på? For ellers kan det godt

“Det er en stor omstilling. Jeg tager også stadig mig selv i at tænke ’Hov, nu er det mig, der står og forklarer i stedet for at få en elev til det.’” GITTE STENBERG ROSENKILDE

skride. Og så skal man vænne sig til, at man ikke bare kan give et facit, men at man skal gå ind og argumentere for det, og at det er eleverne, der skal sige det. Det er en stor omstilling. Jeg tager også stadig mig selv i at tænke ’Hov, nu er det mig, der står og forklarer i stedet for at få en elev til det.’ For så snart jeg taler, så tier de jo stille og lytter. Så det der snakke-gen, man kan have som lærer, det kan være en udfordring, og det er noget, vi lærere skal huske at minde hinanden om. ”For eleverne fortæller Gitte Stenberg Rosenkilde, at det især er den skriftlige del, der er en udfordring. Her er det desuden tydeligt, at dem, der allerede skriver godt, også har en fordel inden for matematikken, ligesom lærerne generelt kan se, at børn i dag ikke skriver så meget som tidligere.



Alinea — 15

Spil Tabu med dine elever

Gitte Stenberg Rosenkilde bruger en øvelse,

hun kalder Tabu, til at sætte fokus på sproget. Find øvelsen på: blivklog.dk/sproget–i–matematik

I undervisningen tog de derfor udgangspunkt i det mundtlige, og hun har også kunnet se klare fremskridt.

“Deres ordforråd bliver udvidet, og det synes jeg, er en bonus.” ”Jeg kan godt blive glad, når eleverne siger: ’Her har vi en polygon’ i stedet for at sige figur. Så kan jeg høre, at de har fået fokus på de fagbegreber, og at de nu kommer naturligt til dem.

16 — Vild med matematik 2020

At noget, der startede lidt som en leg med diverse små opgaver, nu kan ses i opgaveløsningen. Det er det samme, når eleverne kan genkende den samme ting under forskellige navne: For hvis man kun har brugt plus og minus, er det svært at lære en regel fra en formelsamling, hvor man ikke bruger de ord. Så deres ordforråd bliver udvidet, og det synes jeg, er en bonus. Jeg har en 9. klasse, og det er i hvert fald ikke et fremmedsprog for dem at sige symmetri, polygon, eller hvad det nu

kan være. Og vores hypotese er så, at eleverne bliver mere præcise i deres sprog, når de arbejder med de her ting,” siger Gitte Stenberg Rosenkilde og tilføjer, at når de får nye elever fra andre skoler, kan hun tydeligt mærke, at de ikke har haft fokus på disse ting. ”De siger for eksempel: ’Jamen, det der ved jeg slet ikke, hvad betyder’, og så siger mine elever: ’Jo, jo, det er sådan og sådan’. Så det er eleverne, der forklarer det, i stedet for mig – så bliver jeg også lidt glad.”

POLITISK FOKUS

Gitte Stenberg Rosenkilde har arbejdet med sprog i matematik i 20 år, men det var først i forbindelse med projektet fra skoleåret 16/17, at hun har været en del af et større projekt. Og der er en verden til forskel, fortæller hun.

“Matematikfaget er gået fra at være et meget resultatorienteret fag til at være et meget kommunikativt fag.” ”Det kræver nogle ressourcer til, at man kan følge op på hinanden lærerne imellem, finde et fælles fodslag og skabe en rød tråd gennem undervisningen, og det kræver, at ledelsen er med. Jeg har været lærer i 20 år og er også sproglærer og har altid talt sprog, men det har meget været mig selv – jeg har ikke haft føling med, hvordan det ellers var på skolen, men det synes jeg, jeg har nu. Det er ikke, fordi vi har det på hver eneste time, men der er et løbende fokus. Nogle gange er det også bare lige at lave en lille leg i klassen på 10 minutter, hvor sproget er i centrum, så eleverne får sagt og hørt begreberne, nærmest uden at de opdager det,” siger hun og tilføjer, at det også har gjort det lettere, at der er kommet politisk fokus på emnet: ”Matematikfaget er jo gået fra at være et meget resultatorienteret fag til at være et meget kommunikativt fag – du skal vide, hvad ordene betyder; hvad det betyder at undersøge, at forklare, man skal kunne stille hypoteser op osv. Man kan ikke bare sige, at svaret er 7. Så jeg tror, det er kommet for at blive.”

Alinea — 17

Dorte ser matematik alle vegne Af Anders Klebak | Foto: Martin Stampe

18 â&#x20AC;&#x201D; Vild med matematik 2019

SVARET PÅ DET STORE SPØRGSMÅL

Matematik behøver ikke skulle ”bruges til noget”. Det er værdifuldt i sig selv at undersøge verden og give nysgerrigheden frit spil, mener Dorte Vestergaard Hansen. Mød en lærer, som spiser matematik til aftensmad, ser systemer i fliserne på Strøget og prøver at smitte sine elever med trangen til at undersøge. Hvornår har du sidst kørt bilen ind til siden, fordi tallene på kilometertælleren var så smukke, at du måtte tage et foto af dem? Dorte Vestergaard Hansen, lærer og matematikvejleder på Søborg Skole, kan ikke lade være. Hun ser matematik overalt. På Strøget, når hun er på sko-indkøb med sine drenge, må de finde sig i, at hun taler om mønstre i fliserne og forklarer, hvorfor nogle strækninger på den store indkøbsgade er mere interessante end andre – i forhold til tessellering. Ved aftensmaden laver hun overslag på, hvor mange grader kartoffelmosens andel på tallerkenen udgør. ”Jeg kan finde på at hente en vinkelmåler for at tjekke, om mit bud er rigtigt. Familien spørger mig, om jeg virkelig behøver at gøre det lige nu ved middagsbordet,” griner Dorte Vestergaard Hansen. Men trangen til at opdage, undersøge og eksperimentere er hele tiden tændt og har altid været det, fortæller hun. Mange af de indtryk, hun får, når hun bevæger sig rundt, bliver fotograferet med telefonen, og nogle ender som forløb i undervisningen. Fx blev hun inspireret af et højhusbyggeri i nabolaget. ”En dag tænkte jeg, at det lignede minusstykker, for hvor stor forskel er der egentlig på bygningernes højde? Det bliver til en undersøgelse med centicubes, hvor elever bygger højhuse og skal finde forskelle,” fortæller hun.

Selv om matematik altid har lignet en oplagt karrierevej for Dorte Vestergaard Hansen, var det ikke lærerfaget, der i første omgang kaldte på hende. Men efter to års matematikstudier på Københavns Universitet erkendte hun, at hun havde brug for at komme ud i en mere virkelighedsnær verden. ”Det blev for nørdet for mig. Jeg savnede det sociale og at bruge det, jeg kan, sammen med nogen,” siger hun. Og det karrierevalg er hun glad for. I dag kombinerer hun lærerarbejdet med at være forfatter. Noget, der passer Dorte Vestergaard Hansen rigtig godt. ”Jeg vil gerne påvirke så mange som muligt rundt om mig til at lege med matematikken. At være forfatter er en chance for at få udbredt det, og det er meget motiverende,” siger hun. Den legende og nysgerrige måde at angribe matematikken afspejler sig også i hendes svar på det store spørgsmål, som alle lærere støder på. Altså, når en elev spørger, ”hvad skal jeg bruge det her til?”. ”Mit svar er, at du ikke altid skal bruge det til noget. Du skal arbejde med det, fordi det er sjovt og fantastisk at undersøge ting,” siger hun. Den hopper eleverne dog ikke på, bare fordi hun siger det, medgiver hun. ”Det bliver først rigtig overbevisende, når de deler deres viden med hinanden. Når de har undersøgt et problem og hører, at andre har løst problemet på måder, de ikke selv havde tænkt på,” forklarer hun og slår samtidig et slag for, at lærere husker at give plads til opsamling, når eleverne arbejder undersøgende: ”Jeg var på et tidspunkt ude at følge flere kolleger på skoler i kommunen, og jeg bed mærke i, hvor mange der ikke rigtig får samlet op. Det er ærgerligt, for det er her, guldet ligger,” siger hun. 

Alinea — 19

”DU HAR DIVIDERET HELE LIVET”

Undersøgende matematik er ikke blot et forsøg på at gøre faget mere attraktivt, mener Dorte Vestergaard Hansen. Det giver nogle andre perspektiver på, hvad der er vigtigt i matematik. Fx er det bedre at løse samme opgave på fem forskellige måder end at løse fem opgaver på samme måde, forklarer hun. ”Når en pige kommer til mig på mellemtrinnet og siger, hun aldrig har lært at dividere, så mener hun, at hun ikke kan huske den måde, hun har lært at stille et divisionsstykke op, selv om hun nok har prøvet at dividere ret mange gange. Men mit svar til hende er: ’Jo, du kan sagtens dividere, og du har gjort det hele livet, fx når du har delt slik med dine venner’. Alle kan lære matematik, for nogle er vejen bare lidt længere. Det skal vi hverken som lærere eller elever blive skræmt over. Vejen er nemlig fyldt med oplevelse, forståelse og læring,” siger hun

MATADOR MIX OG USKØN MATEMATIK

For Dorte Vestergaard Hansen er det afgørende, at elevernes egen nysgerrighed får lov til at blomstre i timerne. Det betyder, at man som lærer skal være åben over for deres spontane indfald. Som fx da en elev rejste spørgsmålet, hvorfor det altid er lakridser, der ligger tilbage i skålen, når man spiser Matador Mix. 

Mønsterjæger – Strøget, Hovedbanegården, Københavns

Rådhus. Der er mønstre over det hele, hvis man kigger efter,

fortæller Dorte Vestergaard Hansen. Hun bruger opdagelser fra hverdagen som inspirationskilde til undervisningsforløb.

20 — Vild med matematik 2019

”Det blev til et statistik-spørgsmål. Vi undersøgte nogle posers indhold og kunne konkludere, at der ikke var flest lakridser, så det handler måske mere om, hvad folk bedst kan lide,” siger hun. Når man følger elevernes ideer, skal man være klar på, at det ikke altid ender i smukke matematiske løsninger. Nogle gange støder man ind i ting, som ikke går op. I en lektion, hvor eleverne skulle bygge pentominoer, foreslog en elev, at de forsøgte med tetrominoer. Er der et system i, hvor mange varianter man kan lave, når man forøger eller formindsker antallet af kvadrater, figuren består af? ”Svaret var nej. Vi kunne ikke finde en sammenhæng. Jeg gik hjem og googlede det, og det viste sig, at sammenhængen bare ikke er der. Det kan ikke sættes på formel,” siger hun. Men det gør ikke noget. Det handler om at eksperimentere og undersøge sammen, også selv om det kan være tidskrævende, mener Dorte Vestergaard Hansen. Og netop det tidskrævende element og usikkerheden på, hvordan man skal håndtere en undervisningsform, hvor udfaldet ikke er givet på forhånd, afholder mange lærere fra at gå i gang, vurderer hun. Men hun opfordrer alle til at tage springet: ”Man skal ikke vente på det tidspunkt i sit lærerliv, hvor man føler sig klar. Det kommer kun af, at man kaster sig ud i det,” siger hun.

Dorte Vestergaard Hansen

Lærer i dansk og matematik på mellemtrinnet og i udskolingen på Søborg Skole i Gladsaxe Specialundervisningslærer i matematik for elever i matematikvanskeligheder Underviser i matematikforløb for elever med særlige forudsætninger Matematikvejleder og med til at

udvikle Gladsaxe Kommunes nyeste handleplan for matematik

Tilknyttet Alinea som forfatter.

Alinea — 21

T E M A : M AT E M AT I KVA N S K E L I G H E D E R

e r æ v e k t e k i l l a a k Der sk atematiklo m i e l l i t s t l e h : Martin

Af Han

e Stamp

a Foto: T sen |

asmus enrik R

tfoto | Portræ Khan l e k ik iq M

”At husk e Michae er at lære,” sig er lekto l Wahl ri An arbejde nde huk dersen, som matematik og p bes om sy elever, d er har sv melse og dens kæftiger sig m kologi e ært ved de lære b d den r, kræve matema etydning for u r det, at ndervisn tik. Og s de taler ing af k med hin al eleverne hu ske det, anden o m det.

22 — Vild med matematik 2019

MICHAEL WAHL ANDERSEN er lektor i matematik og psy-

kologi på Københavns Professionshøjskole (KP), og han arbejder med, hvordan man kan forbedre matematikundervisningen, ikke mindst så dem med de største udfordringer også lærer faget. Han indleder med at fortælle, at der kan være tale om mange forskellige udfordringer: ”Det er meget komplekst. Der er neurologiske udfordringer, fx talblindhed, det vil sige, at der er områder i hjernen, som er udfordret, så er der psykologiske vanskeligheder, fx problemer med selvværd, selvtillid eller motivation, så er der sociologiske udfordringer, fx hvis man har en anden etnisk baggrund end dansk og derfor er sprogligt udfordret, og så kan der også være udfordringer på grund af den måde, undervisningen er udformet på. Jeg har fokus på sprogets betydning for læring af matematik og det,z man kalder for den arbejdende hukommelse.” Michael Wahl Andersen nævner, at en nylig undersøgelse fra Aarhus Universitet viser, at op til 15 % af eleverne i grundskolen har så svage sproglige kompetencer, at det giver dem læringsudfordringer generelt, ikke kun i dansk. Derfor handler det for ham om, hvordan man kan indrette undervisningen, så man får gjort eleverne sprogligt aktive, og læring dermed bliver muligt.

”Det er, når du er sprogligt aktiv, at tænkning kan finde sted.” LÆR AT SNAKKE MATEMATIK

”Det er kun, når vi er sprogligt aktive, at vi kan få gang i det, man kalder den arbejdende hukommelse, som giver os mulighed for at lære. Gode gamle Lev Vygotskij (sovjetisk psykolog fra starten af det 20. århundrede, som også i dag har stor betydning for udviklingspsykologi og pædagogik, red.) sagde, at ’tænkningen forløber i sproget’ – det er, når du er sprogligt aktiv, at tænkning kan finde sted. Og matematik er jo grundlæggende et abstrakt fag, og derfor er man nødt til at understøtte elevernes sproglige kompetencer, det vil sige give dem et sprog at tale om matematik i. ”Michael Wahl Andersen fortæller, at han sidste år var ude i en 1. klasse, hvor de netop så, hvordan undervisningen kan hjælpe eleverne til at tale om matematik. ”Vi startede med at sige, at det var vigtigt, at de talte sammen, når de arbejdede sammen. Men der skete ikke noget, for eleverne vidste ikke, hvad de skulle tale om. Så skrev vi nogle ord op på tavlen: ’spejling’, ’drejning’ osv. og sagde, at de gerne måtte bruge de ord. Der skete stadig intet. Så skrev vi hele sætninger op og sagde dem højt: ’Når man folder i spejlingsaksen, dækker figurerne hinanden’, og at de skulle bruge den sætning til at finde ud af, om en figur er en spejling eller ikke. De skulle lære at sige det, det er ikke nok at give dem nogle ord. Man kan heller ikke bare smække tyske, engelske eller franske ord op på væggen og så regne med, at eleverne kan tale sproget. Vi er nødt til at fortælle dem, hvordan man kan snakke matematik.”

“At huske er at lære, og det er vi ikke så gode til at understøtte i matematikundervisningen.” ELEVERNE BLIVER FRUSTREREDE

Den arbejdende hukommelse er et nøglebegreb i Michael Wahl Andersens forskning. Det er gennem den arbejdende hukommelse, at vi får ting ind i langtidshukommelsen, men for nogle børn sker det i langt ringere grad end for andre. De sidder og laver det samme som de andre elever, men de kan ikke huske det, de lærte dagen før, og derfor kan de ikke følge med i matematikundervisningen. ”Elevere bliver frustrerede, og lærerne bliver frustrerede, fordi eleverne allerede har glemt det, de lærte, men min pointe er, at de ikke har glemt det, de har aldrig husket det. At huske er at lære, og det er vi ikke så gode til at understøtte i matematikundervisningen. Arne Mogensen fra VIA University College har skrevet en ph.d. om, hvordan danske 8. klasser arbejder med matematik, hvori han siger, at vi er rigtig gode til hurtigt at give dessiner om, hvad der skal ske, for derefter at arbejde og arbejde, mens undervisningen stille og roligt løber ud i sandet – for vi samler aldrig op på det. Læreren skal sørge for, at man bruger tid på, hvad man skal lave i den pågældende time, og hvad eleverne skal have med

Alinea — 23

sig derfra. Og så kan man fx bruge de sidste fem minutter på, at eleverne i par samler op på, hvad de har lært,” siger han. På den måde, forklarer Michael Wahl Andersen, at eleverne bedre er i stand til at huske det, de lærer. ”For hvis de ikke ved, hvad de skal have med sig fra timen, og der ikke bliver samlet op på det til sidst, bliver det ikke sat ind i en sammenhæng, hvor det er meningsbærende for dem, og det er helt nødvendigt, for når ting bliver meningsløse, så husker vi dem ikke.”

MATEMATIK ER IKKE MEKANIK

Michael Wahl Andersen er ofte ude på skoler og afholde kurser, og han fortæller, at han oplever, at der blandt lærerne er en stigende erkendelse af, at vi i Danmark ikke er så gode til netop det med at samle op på undervisningen. Samtidig oplever han også, at lærerne er meget lydhøre, når de lærer, hvordan hjernen fungerer, og at det derfor giver mening at indrette undervisningen blandt andet efter de ovenstående råd. Samtidig er der dog også nogle forestillinger blandt lærerne, som han gerne så blive manet i jorden:

”Tanken om, at der skal være musestille i lokalet, for at eleverne kan lære, passer i hvert fald ikke. Der skal derimod sproglig aktivitet til. Men derudover vil jeg særligt gerne gøre op med forestillingen om, at matematik bare er udenadslære. Især med hensyn til de svageste elever er der en tendens til at sige, at ’nu giver vi dem nogle grundlæggende redskaber, og så kan de i det mindste det’. Men problemet er, at det bare bliver noget mekanik, som ikke handler om forståelse. Populært sagt lægger de hjernen på bordet i stedet for at have den mellem ørerne,” siger han og giver et eksempel fra en gymnasieklasse, han besøgte: ”Jeg talte om det hensigtsmæssige i at have fokus på forståelse og italesættelse, og så var der en lærer, som sagde: ’Ja, det er meget godt, og jeg kan godt se det, men her har jeg fire typer opgaver, som jeg har lært eleverne, og kan de dem, så får de 2’, altså, det vil sige, at de består – men hvis det er ambitionen, så spilder man jo sin tid, for det er jo ikke sådan, man bliver en borger, der kan forstå det omkringliggende samfund og gøre sin mening gældende i et demokrati. Og det er jo det, der er målet.”

Sådan indretter du matematikundervisningen sørg for ... BLÅ BO

Michael Wahl Andersen er lektor i

matematik og psykologi på Københavns Professionshøjskole (KP).

Han arbejder med, hvordan man kan optimere matematikundervisningen

gennem et fokus på sproglig forståelse og

... at eleverne er parate til timen – at de

... at eleverne er sprogligt aktive. Fx kan

... at eleverne selv kan komme i gang, når

den arbejdende hukommelse – at det er

mig-serie målrettet elever med matematikvanskeligheder og

matematiksystemet KonteXt+.

24 — Vild med matematik 2020

kender målet, kan arbejde målrettet.

eleverne forklare, hvad der skal ske i undervisningen.

du beder dem om det. Ofte oplever lærere, at eleverne alligevel ikke ved, hvad de skal gøre, når læreren beder dem gå i gang.

gennem sproglig aktivitet, at vi husker.

Han er medforfatter til Alineas Matematik for

ved, hvad de skal lære. Kun elever, der

Det er først, når eleverne har italesat, hvad de skal gøre, at de er klar til at gøre det.

... at få samlet op på timen. Fx kan

eleverne bruge de sidste fem minutter på

at tale sammen i par om, hvad de har lært.

Foto: Hans Christian Jacobsen

Grebet af matematik

Mød tre lærere, som hjælper elever og kolleger med at gøre matematik spændende og tilgængeligt – også for elever, der har svært ved faget. Af Annette Haugaard

Anette Søndergaard Mølleskolen Jeg underviser i matematik på 3. klassetrin og er matematikvejleder for mine kolleger. Man snakker meget i mine timer, for jeg er optaget af, at eleverne er i dialog og sætter ord på matematikken. Det gælder om at vænne dem til det tidligt, når de tør dele deres tanker, uden at det er pinligt. I en klassekultur, hvor man er vant til at lytte med respekt til alle typer svar, kan man undgå, at nogle elever lurepasser senere i udskolingen, fordi de måske er flove over deres overvejelser. Begge hænder kan rækkes i vejret i mine timer: Den ene for at vise, at man vil fortælle om resultatet og noget, man ved; den anden for at forklare, hvad man har tænkt. Det er gennem sproget, at man forstår og erkender, så i min 3. klasse bruger vi næsten kun forklarehånden. Matematik er øer af isoleret matematikviden. Matematiksvage elever har typisk svært ved at se sammenhængen mellem forskellige matematikemner. Jeg bruger metaforen, at vi skal bygge en bro, for eksempel mellem gange og division, der er hinandens modsætninger. Så hvis eleverne strander på en ø, kan de tale om, hvordan den nye regneform er koblet til noget, de kender. Hvis vi ikke eksplicit underviser i broerne, mister vi elever, som ikke selv kan danne sammenhæng.

Alinea — 25

Mette Spodsberg Antvorskov Skole Udvikling af undervisningen optager mig. Jeg er konsulent i matematik på min skole og har to gange om året samtaler med hver eneste matematiklærer om deres data på elevernes læring. På konferencer og i fagudvalgene bruger vi det til at udvikle nye fælles undervisningsmåder om for eksempel talforståelse, som er basalt for al matematik og svært for mange. Relationer er væsentlige for at lære. Det er vigtigt, at matematiksvage elever ikke ekskluderes fra klassen og føler sig udstillet, men derimod forbliver en del af fællesskabet og i dialog med andre. Vi underviser på flere niveauer i samme klasse via makkerpar og grupper og med digitale hjælpemidler, samtale og undersøgende opgaver som redskaber. Den undersøgende tilgang betyder, at eleverne kan tage afsæt i deres egne strategier og opbygge forståelse og sprog for matematik gennem dialog og eksperimenter. ’Gæt og prøv efter’-værksteder bruger vi blandt andet til de yngste elever, hvor de udvikler førfaglige begreber som lige meget, mere og mindre. De gætter måske på antal genstande i et glas, før de tæller enten hver enkelt eller grupperinger af genstandene. I udskolingen er den typiske udfordring tal og algebra. Vi arbejder lige nu med CAS-programmer, så de visuelt kan afprøve og forstå regneregler. Foto: Martin Stampe

26 — Vild med matematik 2019

Michael Andersen Midtskolen Jeg er dum til matematik, er den typiske selvforståelse hos elever, der har svært ved faget. De trækker sig, bliver passive og inaktive i timerne. Forskning viser, at selv opfattelsen er afgørende for læring i matematik, og derfor arbejder jeg som vejleder og lærer på at skabe succeser og risikofrie klasserum, hvor man i stedet for at se forkerte resultater som en fejl tør sige ’Nåh, det kan jeg godt se’ som udtryk for at have lært noget nyt. I projekt Elevløft har min skole løftet elevernes karakter gennemsnit. Vi fortsætter nu med to lærere i én matematik lektion om ugen, så vi kan arbejde med små hold. Jeg har blandt andet en gruppe piger, der får en stemme i matematik uden klassens meget talende drenge, og elever med faglige udfordringer, som får rum til at eksperimentere. Matematik er at tænke, men mange elever tror eller er vænnet til, at det handler om at lære udenad og huske algoritmer. Jeg bruger sproget og åbne opgaver, så eleverne i dialog undersøger svarmuligheder og lærer at ræsonnere og argumentere. De skal måske finde ud af, hvor mange 1-, 2- og 5-kroners mønter en person kan have, hvis det samlede beløb er 32 kroner. Når eleverne siger, hvad de tænker, forstår de også, hvad de mener! Jeg kombinerer tale, tekst, billeder og konkrete materialer i min undervisning, og det øger chancen for at ramme en strategi, der passer alle elever. Foto: Martin Stampe

Alinea — 27

TEMA: M AT E M AT I KA N G ST

“Hvad gør man, når der er giftige slanger i klasselokalet? Man forsøger selvfølgelig at flygte”

Af Michael Kirkeby | Illustration: Mathilde Digmann | Foto: Daniel Hjorth

28 — Vild med matematik 2019

Selv Indiana Jones hadede slanger og forsøgte at slippe væk. Sådan er det også med børn, når de føler, at farerne kryber ind på dem i matematiktimerne. Det dramatiske billede kommer fra Mads Frederik Erichsen, der i 21 år har undervist i matematik på Sølvgades Skole i København, og som sideløbende er fagkonsulent i matematik for Københavns Kommune. ”Når det handler om matematikangst, skal vi huske, at det er en helt naturlig reaktion at flygte, når du befinder dig i en situation, som du ikke føler, at du kan ændre på, og som du instinktivt opfatter som meget utryg eller decideret farlig.”

MANGE MÅDER AT FLYGTE PÅ

En reel angst for matematik må ikke forveksles med uvilje mod faget eller bare med generel manglende motivation. Men overgangen er glidende, og ’flugten’ har ikke en fast udtryksform, som underviseren kan holde øje med, forklarer Mads Frederik Erichsen. ”Der kan være elever, som pludselig skal på toilettet mange gange i løbet af en time. Som begynder at glemme bøgerne derhjemme, som synker meget langt ned på sædet, som hyperventilerer eller simpelthen sidder helt stive og fastlåste. Det kan handle om alt muligt andet end angst for matematik. Men det kan også være tegn på, at eleven er på vej til at udvikle et så anspændt forhold til faget, at almindelige rationelle argumenter ikke længere rækker. Hvis man er bange, tænker man ikke længere så logisk.”

Men hvilke værktøjer kan underviseren gribe fat i for at hjælpe elever, som måske er på vej til at udvikle et irrationelt forhold til matematikken, eller som allerede er kørt ud over kanten?

SKAB TRYGHED

Rådet fra Mads Frederik Erichsen lyder, at det først og fremmest handler om at genetablere den følelse af tryghed i undervisningssituationen, som er gået tabt hos eleven. En tryghed, som vel at mærke også handler om tilliden til læreren, både som underviser og person.

“Det handler om at genetablere den følelse af tryghed i undervisningssituationen, som er gået tabt hos eleven.”

Alinea — 29

”Jeg havde engang en elev, en dreng i 4. klasse, som brugte længere og længere tid på at finde bøgerne frem, og som til sidst nærmest ikke kunne få sig selv til at kigge op på mig i matematiktimerne. Ham havde jeg ganske enkelt ikke spottet i tide.” ”Jeg gik til min leder og fik bevilget nogle enetimer med eleven, som vi brugte på noget så banalt som at gå ture sammen i området rundt om skolen. Her oplevede han mig i en ny situation, og vi talte om alt muligt, vi så på vores vej. Det kunne fx være om vinduerne på skolen, om deres form, om der var flere på den ene side end den anden osv. Eller vi kunne lave små konkurrencer om, hvem der kunne få øje på flest trekanter eller flest buske med blomster på.” ”Det løsnede op for elevens berøringsangst over for matematikken, og vi fik samtidig en mere tillidsfuld relation. Pointen er, at det hjælper at rykke eleven ud af den ramme, der føles fastlåst, utryg og farlig. Men også, at der kan være mange måder at gøre det på,” siger Mads Frederik Erichsen.

MANGE ÅRSAGER TIL MATEMATIKANGST

På samme måde som angst for matematik ikke følger et fast udtryksmønster, kan der være mange årsager til, at den i det hele taget opstår – årsager, som langt fra altid er entydige, og som kan være komplekse at udrede. Nogle gange kan det synes oplagt, at den primære forklaring på matematikangst har rod i et alt for stort forventningspres hjemmefra – og andre gange, at der er tale om det stik modsatte.

Mads Frederik Erichsen har siddet til utallige skole-hjem-samtaler, hvor den ene eller begge forældre har fortalt om deres egen matematikangst. ”Deraf kan man jo ikke bare konkludere, at matematikangst i høj grad er arvelig. Men selvfølgelig spiller hjemmet også en rolle i forhold til matematikangst – på linje med alle de andre faktorer, der har betydning for, om undervisningen fungerer for den enkelte elev. Jeg har også oplevet, at elever, som tidligere har været rigtig dygtige i matematiktimerne, pludselig kan miste al selvtillid og gå fuldstændigt kolde.”

“Heldigvis er det også min oplevelse, at vi i folkeskolen bliver bedre og bedre til at anerkende problemet og tage hånd om det.” ”I al min tid har vi kendt til matematikangst. Det er ikke et nyt ’diagnosefænomen’, og jeg tror desværre ikke, der findes et quickfix. Det bliver ikke bedre af, at vi lever i en tid, hvor der generelt forlanges mere og mere af de unge mennesker. Men heldigvis er det også min oplevelse, at vi i folkeskolen bliver bedre og bedre til at anerkende problemet og tage hånd om det. På den måde er jeg trods alt fortrøstningsfuld, når jeg kigger fremad.”

Oplæg til klassesamtale

Lad dine elever sætte ord på deres

forestillinger om matematik, og arbejd med at skabe et trygt og konstruktivt miljø i klassen.

30 — Vild med matematik 2020

Find oplægget på: blivklog.dk/matematikangst

“Det hjælper at rykke eleven ud af den ramme, der føles fastlåst, utryg og farlig.” Mads Frederik Erichsen

Fra ormegård til trygt klasseværelse — 5 gode råd mod matematikangst 1 – Hold øje med symptomer hos dine elever – tegner der sig et mønster? 2 – Reager, hvis eleven hele tiden

undviger – kan du nå eleven med tillid? 3 – Kig på din undervisning – er der for få åbne og for mange lukkede opgaver? 4 – Tjek fejlkulturen i dine timer – er det trygt nok at svare forkert?

5 – Tal med din leder – er der mulighed for

enetimer med en elev, der er kørt helt fast?

Alinea — 31

TEMA: M AT E M AT I KA N G ST

Hvorfor får elever

matematikangst? Af Michael Kirkeby | Illustration: Mathilde Digmann

Hvorfor er det især matematik, der vækker så stærke negative følelser, at det ligefrem kan fremkalde angst? Hvorfor er der ikke noget, som hedder dansk-angst, eller bare biologi-angst? “DET ER ET GODT SPØRGSMÅL, og

medier, lærebøger, vores historie, kultur osv. Men jeg mener samtidig, at hvis undervisningen mest handler om regler og formler, som skal ’overføres’ og læres udenad, så vil der alt andet lige altid være en større risiko for, at elevernes faglige selvopfattelse bliver negativ.” ”Den slags undervisning trækker tydelige spor efter sig – prøv bare at tage en hurtig rundspørge blandt dine venner eller bekendte om matematik! Allerede på seminariet slog det mig, hvor mange der har negative opfattelser af matematik. Når jeg fortalte om, at jeg ville undervise i matematik, var der næsten altid nogen, som sagde ”Gud, godt det ikke er mig” eller ”matematik, det har jeg bare aldrig kunnet finde ud af” osv. Det hører man slet ikke i samme omfang om andre fag, og det er selvfølgelig interessant.”

tikangst, mens andre undersøgelser peger på, at problemet er langt mindre og ’kun’ berører mellem 5-10 procent af elever på en årgang. ”Der findes ikke forskningsmæssigt belæg for at sige præcis, hvor mange der lider af matematikangst i Danmark, eller om der bliver flere eller færre i disse år. Man skal gøre sig klart, at matematikangst jo ikke er en diagnose i klinisk, lægefaglig forstand. Derfor er nogle definitioner meget brede, mens andre er langt mere smalle i forhold til, hvornår det er angst, og hvornår det mere handler om et ubehag. Den definition, jeg arbejder med, og som jeg har stykket sammen af forskellige forskeres definitioner, taler om ’en følelse af anspændthed, ængstelse og frygt ved at blive udsat for matematikrelateret stimuli’,” siger Maria Kirstine Østergaard.

“Allerede på seminariet slog det mig, hvor mange der har negative opfattelser af matematik.”

ET ANERKENDT FÆNOMEN, MEN UDEN FAST DEFINITION

RAMMER OGSÅ DYGTIGE ELEVER

det korte svar er, at der altså ikke er indbygget noget specielt dæmonisk i matematikken. I stedet skal forklaringen findes i de meget traditionsbundne og stereotype forestillinger om matematik, som stadig findes overalt i samfundet.” Sådan lyder budskabet fra Maria Kirstine Østergaard. Hun er cand. pæd. i matematikkens didaktik og forfatter til bogen Matematikangst – fordomme og køn, der udkom i 2018. Tidligere har hun gennem ti år undervist i matematik i grundskolen, og det var her, hun første gang fattede interesse for matematikangst. En interesse, der også indgår i hendes igangværende ph.d.-projekt, hvor hun undersøger sammenhængen mellem de forestillinger, elever gør sig om matematik, og deres læringsadfærd.

”En af mine vigtige pointer er, at de signaler, der sendes om matematik, og som alle påvirker eleverne, kommer mange steder fra: ikke alene fra undervisningen, men også fra hjemmet,

32 — Vild med matematik 2020

Både som forskningsfelt og som dagligt fænomen rundt om i utallige klasseværelser er matematikangst kendt og anerkendt. Men selv om der forskes i mange lande, er der ikke konsensus om en fast definition, der kan bruges til at sammenligne forskellige studier. Det er forklaringen på, at man i en spansk undersøgelse kom frem til, at hele 60 procent led af matema-

Men når det kommer til stykket, er spørgsmålet om en entydig og universel definition måske heller ikke så afgørende. I hvert fald ikke, når det handler om at forstå, hvorfor nogle udvikler det, mens andre går fri.

“Angsten begynder ofte på baggrund af en eller flere dårlige oplevelser.”

Alinea â&#x20AC;&#x201D; 33

”Der findes forskellige grader af matematikangst, nogle har det meget udtalt, andre i mindre grad. Alligevel er det i reglen de samme ting, eleverne kæmper med. Angsten begynder ofte på baggrund af en eller flere dårlige oplevelser. Men der kan være enorm forskel på, hvor robuste eller disponerede for angst eleverne er, hvordan de oplever og reagerer på den samme situation. Børn er meget forskellige, det ved vi alle.” ”Derfor kan man desværre heller ikke udstikke alt for konkrete forklaringer på, hvad der fører til matematikangst. Der kan være mange årsager i spil på samme tid for den enkelte, deres baggrund, deres forældre osv. Matematikangst kan ramme elever, som er kognitivt udfordrede. Men det kan også sagtens ramme børn, som er meget dygtige til faget.”

FRA PRÆSTATION TIL MESTRING

Der kan ikke ændres på, at matematik er et eksakt fag i den forstand, at når der fx skal bygges en storebæltsbro, så skal der ’regnes korrekt’. Men det, vi kan gøre, er at blive mere bevidste om, hvilke forestillinger om matematik vores undervisning er med til at udvikle og understøtte. Det handler om at se på, hvilken læringskultur der producerer færrest elever med matematikangst. På behovet for at ændre en traditionel præstationskultur til en mestringskultur, hvor der tænkes, tales og undervises i matematik på en ny måde, hvor slutresultatet ikke er det eneste interessante, men i højere grad de diskussioner og ræsonnementer, der fører frem til et svar. Hvor evnen til at stille spørgsmål, opstille og formulere en problemstilling er mere i fokus end løsningen. En kultur, hvor den enkelte elev ikke er fikseret på at klare sig lige så godt eller bedre end klassekammeraterne, men mere på sin egen progressive udvikling – at være bedre i dag end i går. Det er dog lettere sagt end gjort, erkender Maria Kirstine Østergaard.

“Det er stadig præstationskulturen, der altovervejende hersker og regerer.” ”Jeg er overbevist om, at stort set alle matematiklærere i Danmark gerne skriver under på intentionerne i mestringskulturen. Der bliver talt meget om det, og der bliver holdt rigtig mange kurser om det. Alligevel må vi jo bare erkende, at vi ikke er nået dertil endnu, for det er stadig præstationskulturen, der altovervejende hersker og regerer. Matematik er et svært fag at hive ud af traditionerne, og det er ikke gjort med at læse et par artikler og med et kursus. Det tager tid at ændre meget indgroede forestillinger og forventninger, og der er ikke andet at gøre end at fortsætte med den gode udvikling, som heldigvis er i gang mange steder.”

34 — Vild med matematik 2020

skridt på vej mod en mindre angstfyldt matematikundervisning:

1 – Tjek de generelle

normer og læringsmiljøet i din klasse – hvad tæller,

5 – Vær tydelig om, hvad

du forventer af dine elever.

hvad tæller ikke?

6 – Vær meget bevidst

2 – Hvordan tænker

hvad du ikke roser.

du selv på matematik – kommer præstation før mestring?

3 – Tænk på, hvordan du

kan gøre fejl interessante og ikke udstillende. 4 – Tænk på, hvilke

om, hvad du roser – og

7 – Tænk på, hvordan du didaktiserer

undervisningsmaterialet – giv dine elever mulighed for at byde ind på flere niveauer, uanset hvor

dygtige de er i forvejen.

signaler du selv sender

8 – Find på konkrete

Husk: Walk the talk.

i virkeligheden, frem

om, hvad matematik er.

opgaver, som har rod for tænkte opgaver.

OPGØR MED NULFEJLSKULTUREN

Helt centralt i omstillingen fra en angstfremkaldende præstationskultur til en mestringskultur står opgøret med dogmet om, at ’nul fejl’ er det optimale. Med den næsten instinktive forestilling om, at fejl skal undgås – næsten for enhver pris. ”I disse år bliver der heldigvis stadig større opmærksomhed på, at det nok i virkeligheden er vores fejl, vi lærer mest af og kommer længst med. At fejl faktisk er præmissen for en læringsadfærd, hvor eleverne bliver tilskyndet til at søge udfordringer, og hvor man bliver klogere ved at undersøge ting – og ikke ved at kunne sætte flest flueben ved løste udfyldningsopgaver.”

“Vi skal huske at rose eleverne for det rigtige, også selv om facit er forkert.” ”Hvis en elev ikke begår fejl, handler det måske om, at eleven ikke har udfordret sig selv godt nok – og at læreren heller ikke har udfordret eleven tilstrækkeligt. Tænk på, hvad der vil ske, hvis vi i langt højere grad interesserede os for elevernes tankegang frem for at rose dem for at finde facit. Så tror jeg, vi vil se, at langt færre udvikler matematikangst. Vi skal huske at rose eleverne for det rigtige, også selv om facit er forkert – det sender et meget vigtigt signal,” siger Maria Kirstine Østergaard.

JUSTERET LÆRERROLLE: FRA VIDENSBANK TIL FACILITATOR

I praksis, i forreste frontlinje ude i klasselokalerne, er det i høj grad op til den enkelte lærer at igangsætte det nødvendige kulturskifte. Det er langt fra en let opgave, også fordi det forudsætter en anderledes lærerrolle end den traditionelle, hvor det er læreren, der besidder en viden, som skal overføres til eleverne. ”I en matematikundervisning, der i højere grad fokuserer på elevernes egne undersøgelser og ræsonnementer, kan læreren nemt komme ud i situationer, som han eller hun ikke er forberedt på, ikke har gennemtænkt på forhånd og ikke kender svaret på. Det tror jeg godt kan være lidt skræmmende for mange lærere – at skulle omstille sig fra at være en vidensbank til at være en facilitator.” Men faktisk er det netop her, i den justerede lærerrolle, at et af de vigtigste slag i kampen mod nulfejlskulturen foregår. Nulfejlskulturen handler ikke kun, om det er ok for eleverne at begå fejl – og lære af dem. Maria Kirstine Østergaard pointerer, at det også gælder for elevernes rollemodeller: lærerne. ”Jeg har hørt gode historier om, hvordan lærere helt bevidst laver fejl, så de også på den måde viser deres elever, at det ikke behøver at være skræmmende, og at jorden ikke går under af den grund. Samtidig ved jeg godt, at det kan være en ideel fordring for lærere, som er pressede i deres hverdag og i forvejen kæmper med at få tingene til at hænge sammen. Så er det fristende at falde tilbage til den måde, man selv blev undervist i matematik på. Det kræver overskud at tænke nyt. Hvis man som lærer kommer til en ny klasse, hvor der er en bestemt læringskultur, så kan det være en stor mundfuld at skulle ændre det,” siger Maria Kirstine Østergaard. ”Både de dybe traditioner og hverdagens vilkår er svære modstandere at være oppe imod. Det skal man aldrig undervurdere.”

Alinea — 35

T E M A : U N D E R S Ø G E N D E M AT E M AT I K

36 — Vild med matematik 2020

Tårnhøje krus er

y = ax + b Lærer Jakob Thomsen fra Campus Køge bruger undersøgende matematik til at gøre alt fra lineære funktioner til geometri forståeligt og meningsfuldt for alle sine 10. klasses-elever. Af Annette Haugaard | Foto: Daniel Hjorth

”SÅ ER DER SHOTS!”, råber en af drengene begejstret, da Ja-

kob Thomsen deler engangskrus ud i 10.b på Campus Køge. Hans første mål med dagens matematik er lykkedes: De unges interesse er vakt, og de ved endnu ikke, at det baner vej for viden om lineære funktioner. ”I skal stable krus oven på hinanden, undersøge sammenhængen mellem antal og højde og fortælle, hvor mange I skal bruge til at bygge et tårn, der er lige så højt som mig. Husk, I skal finde et system for, hvordan I gør,” forklarer Jakob Thomsen.

“Mange i 10. klasse tror, at de slet ikke kan finde ud af matematik, så de kan have gavn af at arbejde med åbne problemstillinger for at opdage, at de kan finde ud af noget, før de bliver udfordret med mere komplekse spørgsmål.” Lydniveauet i klassen stiger i takt med, at krusene falder på gulvet, men efterhånden viser linealer, at krusene måler 8,7 cm, og eleverne opdager, at tallet skal divideres med lærerens lange krop. Opgaven er udtænkt af Jakob Thomsen og indgår i Alineas undervisningsmateriale MAT10, der præsenterer konkrete eksempler på, hvordan undersøgende matematik kan bruges til at få alle grundskolens ældste elever med i undervisningen fra begyndelsen.

”Mange i 10. klasse tror, at de slet ikke kan finde ud af matematik, så de kan have gavn af at arbejde med åbne problemstillinger for at opdage, at de kan finde ud af noget, før de bliver udfordret med mere komplekse spørgsmål. Den dialogorienterede tilgang til matematik hjælper elever med at finde deres egne veje til resultatet og kræver, at læreren både kan rammesætte arbejdet tilpas bredt og tør slippe kontrollen,” siger Jakob Thomsen.

FRA SKOLETRÆT TIL MOTIVERET

”Jeg er talblind” eller ”I vores familie kan ingen finde ud af matematik” er noget af det, nye elever i 10. klasse hvert år fortæller Jakob Thomsen. Nogle har brug for at blive dygtigere til matematik for at komme på gymnasiet eller en erhvervsuddannelse, mens andre er skoletrætte og helt har opgivet matematikken. ”De har fået så mange nederlag undervejs, at de har lukket ned for motivationen. Jeg kan ikke indhente ni års pensum på ti måneder, men det er ikke desto mindre den oplevelse, nogle får, fordi de pludselig bliver mødt af en anderledes tilgang, hvor jeg med lys og lygte leder efter det, de allerede kan,” siger Jakob Thomsen. Hans tilgang til undersøgende matematik matcher den positive psykologis fokus på ressourcer frem for mangler, og det er alle opgaver lagt an på. I dagens lektion er afsættet, at alle kan stable krus og måle deres højde, mens elever-

Alinea — 37

ne andre gange har fundet cirkler og retvinklede trekanter i skolens omgivelser, som de overførte til tegninger og beskrev egenskaber for. ”En pige sagde bagefter, at det var ikke så svært, for det var jo slet ikke matematik! Hun nåede ikke at snuble over ordet geometri, før hun fik en ahaoplevelse, som banede vej for at tro på, at hun også kan lære matematik, og så er motivationen på plads,” siger Jakob Thomsen.

MANGE VEJE TIL RESULTATET

Der er sjældent traditionelle regnestykker i Jakob Thomsens timer, men derimod faglige udfordringer, som favner forskellige måder at lære på. ”Nøglen til at forstå matematik er forskellig fra elev til elev. Nogle har brug for at se det visuelt, andre at få det sat i system, en tredje vil hellere gøre noget konkret med matematikken, og for en fjerde er samtalen det afgørende.” Lige nu i 10.b snakker alle. Jakob Thomsen har bedt eleverne lave en ny beregning på et tårn, hvor krusene ikke er stablet oven på hinanden, men stakket, som når man rydder op efter en fest, og det kræver nye logikker. ”Vi kan jo ikke længere lægge højden sammen ti gange,” siger en dreng til sin sidemakker og illustrerer det ved at

38 — Vild med matematik 2020

FAKTA OM MAT10 Undervisningsmaterialet MAT10 er klar til

skolestart i 2020 og egner sig til elevgrupper med stor faglig spredning. Materialet

består af en bog og digitale ressourcer

med specifikke opgaver i undersøgende matematik, forslag til klassedialoger og stilladsering til opgaveløsning.

MAT10 er udarbejdet af matematiklærerne Lennart Børsting ved Tiendeklasse Center

Roskilde og Jakob Thomsen fra 10. Klasse

Campus Køge. Derudover har pædagogisk konsulent ved UCN Kenneth Riis Poulsen, og cand.pæd. i didaktik Kaj Østergaard fra læreruddannelsen i Aarhus på VIA

University College verificeret materialet.

pege på de 0,9 cm, det nye tårn vokser med fra det ene krus til det næste. Det er formuleringer som denne, Jakob Thomsen efterspørger. ”God matematik i mine øjne er, at eleverne kan forklare en opgave, for man kan hurtigt lære noget udenad uden nødvendigvis at forstå det. Men kan man beskrive, hvordan man regner det ud, er det vigtigere, end at man teknisk placerer et komma rigtigt. Ved afgangseksamen i de senere år har de fleste af mine elever løftet deres karakterer et eller to trin i forhold til, hvad de kom med.”

RADAR I BAGHOVEDET

Halvvejs inde i matematiktimen er ordet lineære funktioner endnu ikke nævnt, men det ligger hele tiden i baghovedet på Jakob Thomsen. Forskrifterne y = ax og y = ax + b er hans faglige radar, når han tager bestik af, hvordan han skal guide de enkelte elever. ”Hvad nu, hvis du ikke kender antallet af krus, men kun højden og skal have det til at passe med mine 193 cm?”, spørger han en dreng, som straks svarer: ”Så kan man gange med x”, hvorefter Jakob Thomsen sætter ham i gang med at tegne en graf over sine indsamlede data. Andre elever har stadig brug for hjælp til at forstå, at det nye tårn skal beregnes anderledes end det første. ”Den undersøgende tilgang til matematik indebærer, at man som lærer vinker farvel til rollen som traditionel ekspert med svar på rede hånd. Man skal kunne iagttage og lytte efter, hvad eleverne faktisk siger, fremfor hvad man gerne vil have, at de siger, og man skal turde stole på, at selvom de ikke når at lave ret mange opgaver, så fordyber de sig i forståelsen,” siger Jakob Thomsen. Opgaverne i MAT10 er derfor formuleret så bredt, at de kan favne alle elevers ståsted, og har samtidig en specifik beskrivelse til læreren om, hvordan opgaven støtter og indfrier de faglige mål. Lige inden frokostpausen samler Jakob Thomsen op på dagens pointer og tegner formler, koordinatsystemer og tabeller på tavlen, der på forskellig vis forklarer, hvad eleverne har arbejdet med. ”Hvis vi skal snakke matematiksprog, hvad betyder a så?” ”Hældningstal,” svarer en dreng og oversætter også b til skæringspunktet på y-aksen. ”Præcis,” lyder det fra Jakob Thomsen. ”I matematik kan vi være så dovne, at vi skriver det hele meget kort. Men det kan også fortælles langt.”

JAKOB THOMSEN Jakob Thomsen er uddannet lærer og har undervist 10. klasses-elever i matematik på Campus Køge i seks år. » Hvorfor er du matematiklærer?

”Ja, det er næsten et modsvar, for matematik var ikke ligefrem mit yndlingsfag som barn, og mine lærere underviste på en måde, jeg ikke forstod.” » Hvad er du drevet af?

”Mit faglige udgangspunkt er specialområdet, hvor jeg i mange år underviste anbragte børn med særlige behov på et behandlingshjem, så jeg har lang erfaring med nødvendigheden af at tage afsæt i, hvor eleverne er. For mig er de faglige pointer ikke det allervigtigste, men snarere at matematik skal give mening på elevernes præmisser og kunne forstås i samspil med omverdenen. Det betyder ikke, at matematik altid skal være anvendelsesorienteret, men det skal sættes ind i en kontekst, så eleverne forstår, hvorfor det er nødvendig viden, uanset hvad de skal bagefter.”

Alinea — 39

“ Eleverne T E M A : KO N K R E T E M AT E R I A L E R

skal røre

ved

matematikken 40 — Vild med matematik 2019

flere ematik fra t a m e s g ke o e Weber. ed at mær v in t e r is d r e h b -C r nne Man lære er lærer A ig s muligt i r, m le o k s in e v ft e o ig å . ialer s forskell terialerne a ete mater r m k n il t o k g r n e adga Hun brug rne har fri e v le e g o e, lektionern

Af Anders Klebak | Foto: Martin Stampe

Alinea — 41

Anne-Christine Weber Matematikvejleder og lærer i

indskolingen på Bagsværd Skole. Har sammen med Louise Bach Jeppesen skrevet

bøgerne Talopfattelse og

Regningsarter om konkrete materialer i indskolingen.

TERNINGERNE RULLER, tændstikkerne tælles, og plasticlå-

gene triller ned på gulvet og samles op igen. For eleverne i Anne-Christine Webers klasser er konkrete materialer en helt naturlig del af lektionerne. Og mange af materialerne er frit tilgængelige for eleverne, så de selv kan tage det ned fra hylderne, de skal bruge. Hun lægger vægt på, at eleverne bliver fortrolige med de forskellige materialer og inddrager dem som et værktøj, de kan støtte sig til, når de skal løse opgaver. “Det er forskelligt, hvad der virker bedst for den enkelte, så de skal have mulighed for at tage de materialer frem, som passer til dem,” siger hun.

TAKTILE SANSER

Anne-Christine Weber har lige siden tiden på læreruddannelsen interesseret sig for at inddrage forskellige læringsstile og gøre undervisningen alsidig. Det, at eleverne fysisk kan vende og dreje og røre ved matematikken, er i sig selv en vigtig pointe. Hun ser ofte elever, der får en ahaoplevelse, netop fordi de afprøver matematikken med hænderne. “Tallet syv danner ikke nødvendigvis billeder inde i hovedet på en elev. Vi arbejder meget med mange forskellige

42 — Vild med matematik 2019

repræsentationer af tal. Sidder eleverne med noget fysisk, de kan pille fra hinanden og sætte sammen på forskellige måder, så skaber det nogle billeder, som sætter sig fast, som de senere kan bruge, når det bliver mere abstrakt igen. Det er også min overbevisning, at de husker matematikken bedre på den måde,” siger hun. Aktiviteterne kan også have et element af leg over sig, fx når eleverne med bind for øjnene skal føle sig frem til forskellige geobrikkers form, der er lagt i en pose. Hvad er det største kvadrat eller den mindste trekant i posen? “Man taler meget om læringsstile, og mange børn har brug for at røre ved ting, når de skal lære. Samtidig er der også noget spænding og leg i sådan en aktivitet, og det kan styrke deres motivation,” fortæller hun.

GOD STØJ OG DISCIPLIN

Men hvad kræver det af eleverne, når de har fri adgang til materialerne i timerne? Kommer terninger og centicubes på plads igen? Og hvad med uro? “Der skal lidt disciplin til at få det til at fungere, så der ligger noget opdragelse i det. De skal lære, at man lægger tingene tilbage, hvor de blev taget. Men det er ikke noget stort

favoritter, Anne-Christine altid har i klassen  ”Det er vigtigt at have konkrete materialer

tilgængelige i klassen, så man ikke skal rundt på skolen og finde dem hver gang,” siger

Centicubes

De giver eleverne en konkret erfaring med at flytte rundt på tal og kan bruges til at lære regnestrategier og talforståelse.

Terninger

Kan bruges til mange forskellige spil.

Fordi de findes med mange antal sider, er de velegnede til niveaudeling.

Perlekæder

En snor med 100 perler, hvor perlerne er delt, så

10 perler i træk har samme farve, de 10 næste en

anden farve osv. Den kan bruges som tælleredskab.

Anne-Christine Weber, lærer i indskolingen og

Lommetavle fra 1-100

Giver eleverne et billede af, hvordan tallene hænger sammen, og hvordan man kan hoppe vandret og lodret i forhold til 1’ere og 10’ere. At tallene kan

matematikvejleder på Bagsværd Skole.

tages ud, giver muligheder for mange aktiviteter.

Åben tallinje

En snor, der hænger, hvor eleverne kan sætte tal på med klemmer. De skriver deres tal (fx 15+8,

1/5 osv.) og placerer på snoren. Næste elev skal placere sit tal korrekt før eller efter på linjen.

problem, fordi de allerede vænner sig til det, fra de begynder i klassen,” siger hun. Hun mener heller ikke, at støjen er noget stort problem: “Det er klart, at der kommer lidt støj, når man arbejder med aktiviteter. Der er ting, som falder på gulvet og elever, der taler sammen. Men jeg oplever ikke, at det er særligt forstyrrende. Det er den gode arbejdsstøj,” siger hun.

SKAL SLIPPE DET IGEN

Konkrete materialer indgår på mange planer i Anne-Christine Webers lektioner. Både når eleverne skal lære nye begreber, men også når de skal øve ting, de allerede kender. Fx er de et vigtigt redskab, når eleverne skal indlære regnestrategier eller talforståelse. Men det er også vigtigt, at de ikke bliver afhængige af at bruge materialer, hver gang de skal regne, siger hun.

“Meningen er, at materialerne skal være en hjælp i starten, indtil de har regnestrategierne siddende på rygraden.”

“Det går simpelthen for langsomt, hvis det er den eneste strategi, de har. Meningen er, at materialerne skal være en hjælp i starten, indtil de har regnestrategierne siddende på rygraden. De fleste lægger selv materialerne på hylden, når de opdager, at det går hurtigere uden. Nogle har brug for lidt mere hjælp til at slippe dem,” siger hun.

START SMÅT

Anne-Christine Weber fortæller, at hun er meget opmærksom på at udtænke nye aktiviteter og finde materialer i hverdagen, hun kan bruge i undervisningen. Æggebakker, mælkelåg og andre hverdagsting. Hun er også medforfatter på to bøger med tips og ideer til at bruge konkrete materialer. Men hun erkender også, at det kan være en tidskrævende affære at arbejde med. Især når det er på et nyt emne, hvor man ikke har afprøvet aktiviteter med materialer før. Hendes råd er derfor at begynde småt og udvide, jo mere sikker man bliver. “Det kræver lidt overskud at arbejde med konkrete materialer. Jeg kom selv i gang ved at prøve mig frem lidt ad gangen. Man kan begynde med mindre ting der, hvor det giver mening,” siger hun.

Alinea — 43

T E M A : KO N K R E T E M AT E R I A L E R

Store gevinster ved laborativ matematik Af Anders Klebak Foto: Tariq Mikkel Khan

Konkrete materialer er mere end hyggelig afveksling fra lærebogen. Der er store gevinster ved en undervisningsform, hvor elever undersøger sig til viden gennem materialer, der kan vendes, drejes og vrides, siger Lena Nilsson fra Göteborg Universitet, der står bag rapport om laborativ matematik.

TERNINGER, GEOBRIKKER OG MÆL-

KELÅG. Der er bunkevis af konkrete

materialer, lærere kan sætte eleverne i sving med. Men materialerne forvandler sig ikke automatisk til matematiske begreber i hovederne på eleverne. Der skal en lærer til, der kan skabe aktiviteter med et klart matematisk indhold. Det slår Lene Nilsson fra Nationellt Centrum för Matematikutbildning på Göteborg Universitet fast.

44 — Vild med matematik 2019

Hun er medforfatter på rapporten Laborativ matematikundervisning – vad vet vi?, som gennemgår de vigtigste internationale studier i laborativ matematik. Det vil sige matematik, hvor eleverne arbejder undersøgende med konkrete materialer. ”Man kan ikke bare placere materialet foran eleverne og forvente, at de klarer det selv. Læreren er nødt til at give eleverne en klar idé om rammerne, og hvor de skal hen. Materia-

let bærer ingen matematik i sig selv,” siger hun. Laborativ matematik kræver en god indsigt i, hvilke materialer der fungerer i bestemte sammenhænge. Men også at give eleverne en god introduktion til, hvordan de skal arbejde med aktiviteten. Der er nemlig risiko for både misforståelser og en “hands on-mind off”-tilstand, når eleverne arbejder laborativt, forklarer hun og nævner et eksempel på en undervis-

3 gratis opgaver Lær dine elever brøker med konkrete materialer

Find dem på: blivklog.dk/konkrete–materialer

Lena Nilsson Ansat på Nationellt Centrum för

Matematikutbildning på Göteborg Universitet, som videreuddanner matematiklærere

ningssituation, hvor eleverne skulle forstå, at tre tredjedele er det samme som fem femtedele ved at arbejde med brøkpinde. “Men ladt alene med brøkpindene kom nogle elever frem til, at fem femtedele måtte være større, fordi de tænkte, at tallet fem lød højere end tallet tre,” siger Lene Nilsson.

“Det skal ikke være noget, man kun tager frem fredag eftermiddag som en gulerod, fordi eleverne har arbejdet godt i løbet af ugen.”

fra bl.a. grundskole og gymnasiet. Hun er uddannet skolelærer i

matematik og husgerning og har siden 90’erne beskæftiget sig med laborativ matematik og matematikværksteder.

Hun er medforfatter på rapporten Laborativ matematikundervisning — vad vet vi? og har medvirket på en række udgivelser med råd

og inspiration til brug af konkrete materialer.

Alinea — 45

”RIGTIG” MATEMATIK

Lena Nilsson peger også på, at konkrete materialer ikke skal stå i modsætning til “rigtig matematik” fra matematikbogen. Laborativ matematik er rigtig matematik, fastslår hun. ”Studierne viser, at laborativ matematik kan give gode resultater, hvis det bliver en fast del af den almindelige undervisning. Det skal ikke være noget, man kun tager frem fredag eftermiddag som en gulerod, fordi eleverne har arbejdet godt i løbet af ugen,” siger hun. Det betyder ikke, at laborativ matematik skal være kedeligt og uengagerende. Tværtimod, siger Lena Nilsson, hvis egen interesse for konkrete materialer netop udsprang af erfaringer som lærer i husgerning og matematik i 90’erne. Her så hun store forskelle i elevernes engagement i de to fag. Når eleverne sad med nål, tråd, saks og stof, var de dybt optagede. ”Vi skulle næsten trække dem væk, når lektionen sluttede. Jeg oplevede aldrig, at eleverne på samme måde var opslugt af matematik, og at vi var nødt til at begrænse dem,” fortæller Lena Nilsson. Tanken er altså, at eleverne gennem de konkrete materialer får flere sanser i spil og opdager, at faget er mere end tal, tegn og regnestykker. Det stimulerer deres nysgerrighed og giver flere indgange til at forstå de abstrakte begreber, forklarer hun.

46 — Vild med matematik 2020

”Jo længere tid jeg har beskæftiget mig med laborativ matematik, desto mere overbevist er jeg om de store gevinster, der er ved at arbejde på denne måde,” siger hun.

”Det er meget vigtigt, at eleverne får mulighed for at dele de erfaringer, de har gjort sig, og udrydde misforståelser.” OPSAMLING GØR EN FORSKEL

Ifølge Lena Nilsson kan man inddele laborativ undervisning i tre faser. En introduktion, hvor rammerne og det matematiske indhold bliver klart for eleverne. En aktivitetsfase, hvor de arbejder med materialerne. Og til sidst en opsamling, hvor eleverne gennemgår, hvad de kom frem til. Især den sidste fase er meget betydningsfuld. ”Det er meget vigtigt, at eleverne får mulighed for at dele de erfaringer, de har gjort sig, og udrydde misforståelser,” siger Lena Nilsson. Den fælles opsamling er også det sted, hvor eleverne træner deres ordforråd og evne til at tale om matematiske begreber og problemer. I rapporten lægger forfatterne vægt på, at opsamlingen foregår skriftligt. Det kan fx ske ved, at eleverne efter aktiviteten laver en liste med ord, der bedst beskriver forskelle mellem trekanter og firkanter. Bagefter sammenligner de med sidemandens ordliste, og til sidst samles op i klassen. Det kan næsten lyde banalt, at man skal runde en aktivitet ordentligt af, siger Lena Nilsson. Men rapporten viste, at det ikke er nogen selvfølge. Der var fx store forskelle på undervisningskulturer i USA og asiatiske lande. I lande som Japan og Kina gør man en dyd ud af at lave systematiske opsamlinger, mens der var eksempler fra USA, hvor eleverne bare lagde materialerne på hylden, når aktiviteten var overstået. I en nordisk kontekst, peger Lena Nilsson på, at opsamling risikerer at blive overset i en travl skolehverdag,

hvor frikvarteret nærmer sig, og de sidste grupper stadig ikke er færdige med dagens opgave.

SPREDT OVER HELE SKOLEN

Laborativ matematik har gradvist fået mere opmærksomhed i de svenske skoler. Der er dog stadig stor forskel på, hvor meget det er slået igennem, vurderer Lena Nilsson. ”Der er vældigt mange lærere i Sverige, som stadig kører matematikbogen fra a-z. Lærebogsforfatterne har typisk lagt opgaver ind, hvor man kan arbejde konkret. Men er læreren i tidsnød, er det ofte dem, der ryger,” siger hun. Det skyldes ikke nødvendigvis modvilje. Det handler i høj grad også om helt lavpraktiske problemer. Fx kan materialerne være spredt over hele skolen, og det tager tid at få de rigtige ting samlet til en lektion. En stor del af Lena Nilssons arbejde på Nationellt Centrum för Matematikutbildning går netop med at holde kurser og foredrag for lærere i at opbygge matematikværksteder, som kan understøtte den laborative undervisning. “Det er helt fundamentalt, at man har nem adgang til materialerne,” siger hun.

Op eller ned ad stigen? Fire niveauer fra konkret til abstrakt Matematikundervisning er ofte en bevægelse frem og tilbage mellem forskellige niveauer af konkret og abstrakt, siger Lena Nilsson fra Nationellt Centrum för Matematikutbildning. Det væsentlige er, at bevægelsen skal ende i det abstrakte niveau, for det er, hvad matematik er: en abstrakt og generel videnskab.

2+3 4. Abstrakt niveau

Men springet mellem forskellige niveauer kan blive

Her bruger eleverne nu formelle symboler. Prikkerne er erstattet med tal, og de forskellige måder, tallet fem kan opdeles på, kan beskrives med 2+3, 1+4 osv.

for stort for nogle elever. Hun peger derfor på en model, som lærere kan lade sig inspirere af, hvor man arbejder i fire abstraktionsniveauer:

· · · · · 3. Halvabstrakt niveau Her overgår eleverne til uformelle symboler. Fx kan bilerne nu være repræsenteret af prikker.

2. Halvkonkret niveaU

Her bliver de fysiske genstande udskiftet med tegninger, der ligner. Legetøjsbilerne udskiftes med tegninger af biler.

1. Konkret niveau

Her arbejder eleverne med fysiske genstande. Hvis opgaven går på, hvor mange måder man kan opdele tallet fem, kan man eksempelvis bruge fem legetøjsbiler, som skal parkeres på forskellige måder på hver side af en streg.

Alinea — 47

"For mig er teknologiforstaelse det allervigtigste fag i skolen lige nu"

T E M A : T E K N O LO G I F O R STÅ E L S E

Lis Zacho er

matematikvejleder og

lærer på Lindevangskolen på Frederiksberg samt folkeskolens rådgiver i

matematik og blogger på folkeskolen.dk.

Hun er derudover

afdelingsleder for Coding Pirates Frederiksberg, der

skal styrke unges kreative it-kompetencer. Hun er med i netværket for de

lærere fra 46 skoler, der deltager i forsøgsfaget teknologiforståelse.

48 — Vild med matematik 2019

Det er helt afgørende, at matematikken er på plads, før man kan arbejde med det nye fag teknologiforståelse, som lige nu er i gang i en forsøgsordning på 46 skoler. Det mener matematiklærer og -vejleder på Lindevangskolen på Frederiksberg Lis Zacho, der følger forsøgsfaget tæt og fortæller, at det også betyder ændringer i matematikfaget

Af Hans Henrik Rasmussen | Foto: Daniel Hjorth

Hvordan hænger det nye fag teknologiforståelse sammen med matematikfaget? ”Matematik er hele baggrunden for at kunne arbejde med teknologiforståelse, for at kunne arbejde med data og ting som programmering og kodning. Det er vigtigt, at matematikken kommer først, for børnene skal have redskaberne på plads, og derefter kan de så for eksempel begynde at programmere. På den måde bliver faget matematik vigtigere og vigtigere, des mere vi omgiver os med teknologi, for det er i matematik, man kan arbejde med logik, algebraisk tænkning og systematikker, data, statistik, sandsynlighed og så videre, som netop gør, at man kan arbejde videre med for eksempel programmering. Så jeg ser matematikken som en klar forudsætning for teknologiforståelsen. På samme måde er det også rigtig vigtigt at se på, hvordan resten af fagrækken hænger sammen med det teknologiske samfund, vi har i dag.” Kræver teknologiforståelse, at der bliver ændret i matematikfagets indhold? ”Ja, i og med at samfundet har ændret sig så voldsomt, og skolen skal afspejle samfundet, så tænker jeg, at der er nogle ting i faget, som vi skal omprioritere. Vi skal begynde at undervise tidligere i ting som data, statistik og koordinatsystemet. Lige præcis med 1. kvadrant i koordinatsystemet er det for eksempel rigtig vigtigt, at vi star-

ter tidligere end i dag, hvor 6. klassetrin er slutmålet. For den viden er en forudsætning for at arbejde med programmeringssproget Python, og hvis børnene kendte kvadranterne tidligere, for eksempel fra 3. klasse, ville det betyde, at de kunne begynde på kodning langt tidligere.” Er der også helt nye ting, som der bør undervises i? ”Jeg tror også, at det var hensigtsmæssigt, at man så mere på databehandling – hvordan man forholder sig til data. Børnene skal lære at håndtere datasæt langt tidligere, for det er jo efterhånden det, hele vores samfund baserer sig på. De skal forstå, hvordan man bruger data, og hvilke udfordringer der er i forhold til at bruge det, herunder også hvornår man skal bidrage med sine egne data til et datasæt, og hvornår man ikke skal gøre det. De ting bliver meget vigtige i matematikfaget.” Hvilke udfordringer vil undervisning i teknologiforståelse give matematiklærerne? ”Matematiklærerne er jo professionelle og kan jo for eksempel godt finde måder at undervise yngre børn i koordinatsystemet. Men det, jeg hører fra lærerne i forsøgsordningen, er, at det er en udfordring, at de ikke nødvendigvis selv kender den nye teknologi. Så det er en stor, men også helt nødvendig opgave, for teknologien er her jo, og den er meget relevant for børne-

ne og er også god, fordi den motiverer dem og giver dem lyst til at lære. Det handler om, at samfundet ændrer sig hurtigere end nogensinde, og det kræver hurtigere omstilling, måske især i matematik, hvor man er vant til, at tingene er, som de er. Så på den måde kan man godt sige, at matematiklærerne har nogle nye udfordringer, og derfor er det også vigtigt, at de føler sig trygge, og at de får den efter- og videreuddannelse, der skal til, for at de kan løfte opgaven. Og så er det jo heller ikke alene skolen og lærerne, der står med denne opgave. Det er en samfundsopgave, og det er et demokratisk problem, hvis børnene ikke bliver klædt på til at kunne håndtere den nye teknologi kritisk og hensigtsmæssigt. På den måde er teknologiforståelse for mig det allervigtigste fag i skolen lige nu. Jeg oplever også, at eleverne er enormt videnshungrende og fascinerede af teknologien og af at lære om den. Her er de voksne ofte lidt mere forskrækkede, så det handler måske også om, at de skal lege lidt mere med teknologien for at få den ind under huden.”

Alinea — 49

Altid gratis forløb til matematik Lær dine elever regnestrategier med Palle Plus og Mette Minus

I Alineas fagportaler finder du altid gratis forløb, du og dine elever kan bruge direkte i undervisningen. Det er ikke nødvendigt at oprette et prøveabonnement. Du logger bare ind med dit UNI-Login, og så har du fuld adgang til alle gratis forløb.

Find gratis forløb på alinea.dk/gratis–matematikforlob

Ansvarshavende redaktør: Trine Hornemann Redaktion: Karen Boe Hauggaard, Helle Hjorth Mogensen og Susanne Nissen Schulian Skribenter: Annette Haugaard, Michael Kirkeby, Anders Klebak og Hans Henrik Rasmussen Design: Hjalte Thalund Foto: Daniel Hjorth, Hans Christian Jacobsen, Tariq Mikkel Khan og Martin Stampe Illustrationer: Matilde Digmann, Jens Magnusson og Laura Wheeler Forsideillustration: Jens Magnusson Trykt hos Livonia Print, 2020 ISBN: 9788723547941 Der tages forbehold for trykfejl. alinea.dk

Alinea støtter børn og unge Alinea er Danmarks største forlag inden for læremidler til den danske grundskole. Hvert år udvikler vi flere hundrede både trykte og digitale læremidler sammen med de allerdygtigste skoleforskere og praktikere i Danmark. Alinea er en del af Egmont, som er Danmarks største mediekoncern. Egmont har fortalt historier i over 100 år, laver film i Oscarklasse og fortæller historier gennem nyheder, bøger og magasiner. Egmont er en dansk fond, som hvert år giver næsten 100 millioner kroner til børn og unge, der har det svært.

GØR SOM OVER 9.000 ANDRE MATEMATIKLÆRERE TILMELD DIG Alineas nyhedsbrev,

Bliv klogere på, hvad der rører sig inden for

og få spændende viden og gratis opgaver til

matematikdidaktikken, og mød forskere,

din matematikundervisning.

matematiklærere og skolefolk, der alle deler ud af deres viden og erfaringer. alinea.dk/nyhedsbrev

ISBN 978-87-23-54794-1

9 788723

547941

alinea.dk