Matemática Básica
Universidad de San Carlos de Guatemala Centro Universitario de occidente P.E.M. en matemática y física. Curso: Computación V Estudiante: Luis Basilio Baquiax Sic. Carné: 201430801
LÓGICA MATEMÁTICA Lógica matemática: la lógica es una de las ramas de la matemática que se encarga de estudiar el razonamiento humano basándose en expresiones para formar luego demostraciones. También es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. Enunciado: es cualquier expresión del pensamiento que se transmite de maneras diferentes como escritas, audiovisuales etc. Valor de verdad: es el valor que se le da algo si es verdadero o si falso. Un enunciado solamente puede ser verdadero o falso. Proposición: es un enunciado en la cual se está afirmando o negando algo, a este enunciado se le puede asignar un valor de verdad ya sea verdadero o falso. ¿Cómo se distingue una proposición de una oración? La forma más adecuada para distinguir una oración de una proposición es que el sujeto de la proposición sea universalmente conocido, de tal forma que todos en cualquier lugar y en cualquier momento, puedan decir si lo que se dice del sujeto es falso o verdadero. En una oración, por el contrario, el sujeto puede ser un sujeto cualquiera.
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Ejemplo: EXPRESIÓN
FORMA
VALOR DE VERDAD (de la proposición)
María va a la escuela Don Pedro de Alvarado descubrió América El rojo es un color primario La casa es blanca
Enunciado/oración Proposición
FALSA
Proposición
VERDADERO
Enunciado/oración
“Una oración es la unidad fundamental del lenguaje y expresa un juicio con significado completo” En cambio, una PROPOSICIÓN es una oración que puede ser falsa o verdadera, pero no ambas cosas a la vez. ¿CÓMO SE CLASIFICAN LAS PROPOSICIONES? Las proposiciones se clasifican según sus formas abiertas y cerradas, y según sus tipos simples y compuestos. Proposiciones abiertas: son proposiciones en la cual el sujeto se puede observar es decir, que se puede saber a quién se está negando o afirmando. Ejemplo: Guatemala es un país de América. Proposiciones cerradas: son aquellas en la cual el sujeto es una variable, es decir, que puede ser cualquier sujeto. Ejemplo: X es un país de América. Proposiciones simples: son proposiciones que están formadas por un sujeto y un predicado. Ejemplo: La luna es un satélite de la tierra.
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Proposiciones compuestas: son proposiciones que están formadas por 2 o más proposiciones simples unidas mediante los conectivos lógicos. Se encargan de unir las proposiciones simples y darle sentido: 1. 2. 3. 4. 5.
Conjunción. Disyunción incluyente Disyunción excluyente Implicación Doble implicación.
Ejemplo: Proposiciones 1. Guatemala es un país de América. 2. El rojo es un color primario. Conectivo lógico
Escritura
Símbolo
Conjunción
Y
ᴧ
Disyunción incluyente
O
v
Disyunción excluyente
Ò
Implicación
Forma escrita en Forma proposición simbólica Guatemala es un país de América y el rojo es un color primario Guatemala es un país de América o el rojo es un color primario
PᴧQ
v
Guatemala es un país de América ó el rojo es un color primario
PvQ
Si… entonces
→
P →Q
Doble implicación
… sí y solo sí
↔
Negación
No
~
Si Guatemala es un país de América entonces el rojo es un color primario Guatemala es un país de América sí y solo sí el rojo es un color primario. Guatemala no es un país de América.
PvQ
P ↔Q
~P
Forma correcta de lectura La conjunción de dos proposiciones La disyunción incluyente de dos proposiciones La disyunción excluyente de dos proposiciones La implicación de dos proposiciones La doble implicación de dos proposiciones La negación de una proposición
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Estructuras lógicas. Tabla de verdad: Es una tabla que se realiza en una proposición compuesta en la cual se muestran todos los posibles valores de verdad de las proposiciones simples que la forman y de los conectivos lógicos que las enlazan. Los posibles valores de verdad una proposición compuesta está dada por la fórmula
2n donde n es el número de proposiciones. Leyes de los conectivos lógicos: 1. Conjunción: Es verdadera sólo cuando las proposiciones simples que la forman sean verdadera. p q p ^q V V V V F F F V F F F F 2. Disyunción incluyente: Es verdadera cuando cualquiera de las dos proposiciones simples que la forman sean verdadera. p q pvq V V V V F V F V V F F F 3. Disyunción excluyente: Es verdadera cuando las proposiciones simples que la forman tengan valores diferentes. p q pvq V V F V F V F V V F F F 4. Implicación: Es falsa sólo cuando el antecedente, premisa, o hipótesis sea verdadera y el consecuente, la conclusión o la tesis sea falsa. p q P→q V V V V F F F V V F F V Prof. Luis Basilio Baquiax Sic.
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5. Doble implicación: Es verdadera cuando las dos proposiciones simples que la forman tengan el mismo valor. p q p↔q V V V V F F F V F F F V 6. Negación: La negación de una proposición cambia el valor de verdad que tenga a la que se aplica, sea esta una proposición simple o compuesta. p ~p V F V F F V F V Características de una tabla de verdad: 1. Tautología: Es cuando todos los valores de una tabla de verdad son verdaderos. 2. Contingencia: Es cuando los valores de una tabla de verdad son falsos y verdaderos. 3. Contradicción: Es cuando todos los valores de una tabla de verdad son falsos.
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HOJA DE TRABAJO Ejercicio 1. En cada uno de los incisos coloca en el espacio correspondiente si los enunciados son oraciones o proposiciones, si es proposición coloca si es falso o verdadero.
1. Colombia es un país de América
Enunciado/pro posición ___________
Falso /verdadero ____________
2. El perro es un animal salvaje
___________
____________
3. La muñeca está vestida de azul
___________
____________
4. Pedro es un buen carpintero
____________ ____________
5. 3 es mayor que 5
___________
____________
6. La suma de cuatro y tres es siete
___________
____________
7. Totonicapán es departamento de ____________ ____________ Guatemala 8. El carro de Juan es rojo ____________ ____________ 9. El oxígeno es un elemento
____________ ____________
10. Lupita es amiga de Juanita
____________ ____________
Ejercicio 2. Construya una tabla de verdad a las siguientes estructuras lógicas. a) ((p ^ q) ↔ (p v q)) b) ((p → r) v (p ^q))
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Glosario: 1. Enunciado: Es una expresión del pensamiento humano. Acto mínimo de habla, normalmente realizado mediante una oración o expresión sintáctica más pequeña. 2. Proposición: Expresión verbal de un juicio sujeto y predicado. 3. Lógica: Parte de la filosofía que estudia las normas válidas de demostración e inferencia. Es el estudio de métodos y principios utilizado para distinguir el razonamiento correcto de lo incorrecto. 4. Conjunción: Acción y efecto de unir dos o más cosas. Unión de varias unidades lingüísticas de estructuras, cada uno se denomina proposición y se unen por medio de “y”. 5. Disyunción: Acción y efecto de separar o desunir. En filosofía separación de dos realidades opuestas y vinculadas en intrínsecamente como vida-muerte, luz-oscuridad. 6. Contingencia: Acaecimiento o suceso que puede acontecer o no. Posibilidad de un hecho o circunstancia ocurra o se presente, especialmente lo no deseado o previsto. 7. Negación: Acción o efecto de negar. Respuesta que rechaza o niega una petición. 8. Implicación: Hecho que es consecuencia de otro. Participación en algo en especial en un delito. 9. Incluyente: Participio activo del verbo incluir. Que incluye, dícese de lo que incluye o intente incluir a todas las partes de un todo. 10. Excluyente: No admitir o sacar a una persona de un grupo de gente de una sociedad o de otra reunión o agrupación de personas.
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Matemรกtica Bรกsica
BIBLIOGRAFร A 1. Vital E. (2011). Matemรกtica I. Ediciones Proyecto 2000. Quetzaltenango. Guatemala.
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