Matemática Básica
Universidad de San Carlos de Guatemala Centro Universitario de occidente P.E.M. en matemática y física. Estudiante: Luis Basilio Baquiax Sic. Carné: 201430801
CONJUNTOS Simbología { } Conjunto. ϵ Es un elemento del conjunto o pertenece al conjunto. Ɇ No es un elemento del conjunto o no pertenece al conjunto. l Tal que. n(C) Cardinalidad del conjunto C. U Conjunto universo. Φ Conjunto vacío. ⊆ Subconjunto de. ⊂ Subconjunto propio de. > Mayor que. < Menor que.
≥ Mayor o igual que. ≤ Menor o igual que. ∩ Intersección de conjuntos. U Unión de conjuntos. A' Complemento del conjunto A. = Símbolo de igualdad. ≡ Equivalente a… ≠ No es igual a. ⇒ Entonces. ⇔ Si y sólo si. ∼ No (es falso que). ∧y V O
Conjuntos numéricos: Números naturales: N = {1, 2, 3, 4, 5,…}, son todos los números que utilizamos para contar desde el 1 hasta el infinito positivo. Números enteros: Z = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…}, son todos los números negativos y positivos, incluyendo el cero “0”. Números racionales: Q = {x l x ϵ = a/b, a, b ϵ Z, b ≠ 0}, son todos los números que se pueden representar como fracción de la forma a/b, donde a es el numerador y b es el denominador, y donde b nunca debe ser cero “0”. Es la unión de los naturales y los enteros. Ejemplos: 6/5, -3/2, 1/2 entre otros. Números irracionales: Son los que no se pueden representar como fracción y tienen decimales infinitos como por ejemplo: ᵠ= 1.618… π=3.1415926454… √ 2 = 1.414213562… √ 3 = 1.7320508… Números Reales: R = es la unión de los números racionales e irracionales.
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Tipo de números: Números dígitos: Forman la base del sistema decimal (0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Número par: Son los divisibles entre 2 Ejemplos: 2, 4, 6, 8… Número impar: Son los que no son divisibles en 2. Ejemplos: 1, 3, 5, 7, 9… Número primo: Sólo tiene dos divisores, entre sí mismo y la unidad. Ejemplos: 1, 2, 3, 5, 7… Número compuesto: Tiende dos o más divisores primos. Ejemplos: 4, 6, 8, 9 10, 12, 14…
¿Qué es un conjunto? Un conjunto es una colección de cosas u objetos con características definidas. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas y sus elementos se delimitan con llaves y se separan con comas. Ejemplo: a) El conjunto de las vocales
A = {a, e, i, o, u}
b) El conjunto de los dígitos
B= {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
c) El conjunto de los números naturales C= {1, 2, 3, 4, 5, 6…} d) El conjunto de los días de la semana D= {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} e) El conjunto de los números naturales entre 10 y 15.
E={11, 12, 13, 14}
Nota: los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa y que los elementos siguientes conservan la misma característica.
Para indicar que un elemento pertenece o no a uno conjunto se utilizan los símbolos ϵ y Ɇ. Ejemplos: 1. Sea el conjunto A= {a, e, i, o, u}, entonces, u pertenece al conjunto A y se representa u ϵ A. x no pertenece al conjunto A y se representa x Ɇ A 2. Sea el conjunto B= {2, 3, 4, 5, 8, 9, 10}, entonces 2 ϵ B, 5 ϵ B, 1 Ɇ B, 11 Ɇ B.
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¿Cómo se representan los conjuntos? Los conjuntos se representan de dos formas: Forma descriptiva: Se hace mención a la característica principal de los elementos del conjunto. Ejemplo: 1. Representa en forma descriptiva el conjunto S= {2, 3, 5, 7, 11} Solución: S= {x ϵ N l x es un número primo menor que 12} Se lee: x pertenece a los números naturales tales que x es número primo menor que 12. Forma enumerativa: Se enlistan los elementos del conjunto, si algún elemento se repite se considera una sola vez. Ejemplo: 1. Representa en forma enumerativa el conjunto M= {x l x es día de la semana} Solución: El conjunto anterior en su forma enumerativa sería de la siguiente manera: M = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} 2. C= {x es número par de la cifra 5467824} Solución: En la forma descriptiva del conjunto anterior nos dice x es número par de la cifra que se nos da, entonces en su forma enumerativa es: C = {2, 4, 6, 8}
CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO Es el número de elementos que contiene un conjunto Ejemplo: ¿Cuál es la cardinalidad del conjunto A= {x l x es número dígito} Solución: El conjunto en forma enumerativa es A= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Entonces la cardianlidad del conjunto A es 10, porque posee 10 elementos. CONJUNTOS EQUIVALENTES Sean A y B conjuntos no vacíos, se dice que A es equivalente a B si y sólo si tiene la misma cardinalidad; se denota o se escribe como: A ≡ B y se lee A es equivalente a B.
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Matemática Básica Ejemplo: Los conjuntos en su forma enumerativa son: A= {a, e, i, o, u} y B= {1, 2, 3, 4, 5} Solución: Vemos que los conjuntos tiene la misma cardinalidad, es decir tienen igual número de elementos. Por tanto los conjuntos A y B son equivalentes. CONJUNTOS IGUALES Son aquellos que tienen los misma cardinalidad y los mismos elementos. Ejemplo: Los conjuntos en su forma enumerativa son: A= {1, 2, 3, 6} y B= {1, 2, 3, 6} Solución: La cardinalidad del conjunto A es 4 y la cardinalidad del conjunto B es 4, y tienen los mismos elementos, entonces los conjuntos son iguales.
¿Qué es un subconjunto? Dado un conjunto S se dice que A es un subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S y se denota por A ⊆ S (se lee el conjunto A es un subconjunto del conjunto S). El conjunto Vacío es subconjunto de cualquier conjunto. Ejemplo: Dados los conjuntos S= {x l x es número dígito} y A= {2, 4, 6, 8}, verifica que A ⊆ S.
Solución: El conjunto S de forma enumerativa es S= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, vemos que los elementos del conjunto están contenidos en el conjunto S. Número de subconjuntos de un conjunto: El número de subconjuntos de un conjunto está dada por la fórmula N(s)=2n donde n es la cardinalidad del conjunto. Ejemplo: Halle el número de subconjuntos del conjunto: R= {a, b, c, d} Solución Vemos que el conjunto R tiene una cardinalidad de 4 y al aplicar la fórmula se obtiene: Número de subconjuntos = 2 4 = 2x2x2x2 = 16
Conjunto potencia Se le llama así al conjunto que forman todos los subconjuntos de un conjunto. Ejemplo Encuentra el conjunto potencia de: C= {2, 4, 6}
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Matemática Básica Solución El número de subconjuntos de C es: N(s) = 23 = 8 El conjunto potencia está formado por 8 subconjuntos de cero, uno, dos y tres elementos, los cuales son: {{ }, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, {2, 4, 6}}
CONJUNTO UNIVERSO Sean A, B, C…, subconjuntos de un conjunto U, a este último (el conjunto U) se llama conjunto universo de los conjuntos dados. Ejemplo: Sea U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y los conjuntos A, B y C tal que: A = {2, 4, 6, 8}, B= {1, 2, 3, 4} y C= {1, 2, 6, 7} Vemos que los elementos del conjunto A están contenidos en el conjunto U, de igual manera los elementos del conjunto B están contenidos en el conjunto U, y los elementos del conjunto C están contenidos en el conjunto U. Podemos concluir que el conjunto universo del conjunto A, B y C es el conjunto U.
DIAGRAMAS DE VENN Un diagrama de Ven es la representación de un conjunto o conjuntos y sus operaciones, que delimitan figuras planas como círculos o rectángulos; por lo general los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos delimitan al conjunto universo. Ejemplo: Representa en un diagrama de Venn el conjunto A= {1, 2, 3, 4} Solución:
Unión de conjuntos: Prof. Luis Basilio Baquiax Sic.
Matemática Básica Sean A y B conjuntos no vacíos, entonces la unión de A y B, se define: A U B = {x l x ϵ A o x ϵ B}, La unión de A y B = x, tal que x pertenece al conjunto A o pertenece al conjunto B. Su diagrama de Venn se representa sombreando ambos conjuntos
Ejemplo: Sea S = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Sea T= {1, 2, 3, 6} Encuentre S U T Solución: El conjunto solución de la unión de S y T es: S U T = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 20} Diagrama de Venn
Intersección de conjuntos: Sea A y B conjuntos no vacíos, entonces la intersección de A y B se define: A ∩ B = {x l x ϵ A y x ϵ B}. La intersección de A y B es: x, tal que es elemento de A y elemento de B. Su diagrama de Venn se representa sombreando la región común de ambos conjuntos:
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Ejemplo: Sea U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 2, 5, 6} y B= {1, 4, 5, 6, 7} representa en un diagrama de Venn A ∩ B. Solución: Para encontrar el conjunto solución de la intersección de los conjuntos A y B, se toman únicamente los elementos que se repiten en los dos conjuntos. Por tanto, el conjunto es A ∩ B = {1, 5, 6} Diagrama de Venn
Conjunto complemento Sea U el conjunto universo y A un subconjunto de U, el complemento de A se define: A’ = {x l x ϵ U y x Ɇ A} El conjunto solución contiene a los elementos que pertenecen a U y no pertenecen al conjunto A y se representa con A’ o AC Su diagrama de Venn se representa sombreando la región fuera del conjunto A.
Ejemplo: Prof. Luis Basilio Baquiax Sic.
Matemática Básica Determina el complemento y su diagrama de Venn del conjunto A = {2, 3, 5, 7}, si el conjunto universo es U = {x ϵ N l x ≤ 10} (x pertenece a los números naturales tales que x es número menor o igual que 10) Solución: El conjunto U en su forma enumerativa es: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10} Por consiguiente, el conjunto complemento de A es: AC = {1, 4, 6, 8, 9 10} Su diagrama de Venn
Diferencia de conjuntos Sea A y B conjuntos no vacíos, se define la diferencia como el conjunto que contiene a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B. La diferencia se representa como A – B. A-B= A∩BC = {x l x ϵ A y x Ɇ B} Su diagrama de Venn se representa de la manera siguiente:
Ejemplo: Si A = {a, b, c, d, e} y B= {a, e, i, o, u}, hallar A - B y su diagrama de Venn. Solución: El conjunto solución contiene a los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen al conjunto B, entonces: A - B = {a, b, c, d, e} - {a, e, i, o, u} Por tanto, A - B = {b, c, d} Diagrama de Venn
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HOJA DE TRABAJO Prof. Luis Basilio Baquiax Sic.
Matemática Básica Ejercicio 1. Dados los conjuntos: A = {a, e, i, o, u} y B = {1, 2, 3, 4, 5} coloca ϵ o Ɇ según corresponda:
1. a _______B 2. 3. c _______A
4. 2 _______B 5. 6. 3 _______A
7. u _______A 8. 9. b _______B
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10. 11. Ejercicio 2. Transforma a la forma descriptiva o enumerativa los siguientes conjuntos: 12. 1. R= {1, 2, 5, 10} 2. A= {x ϵ N l 1 < x ≤ 9 } 3. U= {4, 8, 12, 16…} 4. N= {¨1, 2, 3, 4, 6} 13. Ejercicio 3. Resuelve lo que se indica en los siguientes ejercicios 1. Si W= {x, y, z}, halla el número de subconjuntos de W. 2. Si T= {2, 3, 4, 5, 6}, determina el número de subconjuntos de T. 3. Sea el conjunto N= {1, 2, 3, 6}, halla el conjunto potencia. 4. Sea el conjunto P = {x ϵ N l x es un divisor de 9}, determina el conjunto potencia. 14. Ejercicio 4. Sean lo conjuntos: 15. U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} 16. A = {x ϵ U l x es par menor que 10} 17. B = {1, 2, 3, 4, 6, 12} 18. 19. Determina: 1. A U B 2. A - B 3. A ∩ B 4. AC 5. BC 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. Respuestas a los ejercicios 37. Ejer 38. Ejercicio 2. 39. Ejercicio 3.
cicio 1. R={x ϵ l x es divisor 1. 8 subconjuntos. 1. de 10 2. 32 subconjuntos. 1. Ɇ 2. A={2, 3, 4, 5, 6, 7, 3. {{ }, {1}, { 2}, { 3}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 6}, 2. Ɇ 8, 9} {2,3}, {2,6 }, {3,6}, {1,2,3}, {1,2,6}, 3. ϵ 3. U= {x ϵ N l x es {1,3,6},{ 2,3,6}, { 1,2,3,6} } 4. Ɇ múltiplo de 4. 4. {{ }, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}, {1, 5. ϵ 4. N= {x ϵ N l x es 3, 9}} 6. Ɇ divisor de 6} 40. 41. Ejercicio 4 1. A U B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12} 2. A – B= {0, 8} 3. A ∩ B= {2, 4, 6} 4. AC = {0, 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} 5. BC = {0, 5, 7, 8, 9, 10, 11,13, 14, 15, 16, 17, 18} 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. Glosario: 73. 1. Cardinalidad: Número de elementos de un conjunto.
2. Conjunto: Unido a otra cosa, mezclado con ella o que ocurre al mismo tiempo que ésta. Que se une a una causa o persona para lograr un mismo fin. Agrupación de varios elementos del mismo tipo. 3. Unión: Reunión, asociación de dos o varias cosas en una sola. La unión del alma y del cuerpo. Asociación de personas u objetos. 4. Intersección: En geometría, encuentro de dos líneas, dos superficies o dos sólidos que se cortan recíprocamente. En matemática, conjunto integrado por los elementos comunes a dos o más conjuntos. 5. Diferencia: Característica o cualidad por la que algo difiere de otra cosa. La mente creativa es la diferencia entre los humanos y animales. 6. Enumerar: Exponer sucesiva y ordenadamente las partes que forman u conjunto o un todo. 7. Describir: Explicar con lenguaje hablado o escrito todos o varios de los aspectos de una persona, cosa o situación. Representar mediante trazos o gestos. 74. 75. 76. 77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87. 88. 89. 90. 91. 92. 93. 94. 95. 96. 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. 105. 106. 107. 108. 109.
110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122.
BIBLIOGRAFÍA 123. 1. Vital E. (2011). Matemática I. Ediciones Proyecto 2000. Quetzaltenango. Guatemala. 2. Márquez A., Vásquez F., Ruiz H., Villegas M., Figueroa R. Primera Edición (2009). ARITMÉTICA Y ÁLGEGRA. Editorial PEARSON EDUCACIÓN. México, 2009. 124.