Ing. Luis Ernesto Aguilar 1 Desigualdades e inecuaciones UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE PEM EN MATEMÁTICA Y FÍSICA MATEMÁTICA II SECCIÓN A, B y C Ing. Luis Ernesto Aguilar Desigualdades e Inecuaciones Una inecuación es la relación entre dos elementos mediante un signo desigual, así el signo " < " se lee “menor que” y el signo " > " se lee “mayor que”. Estas relaciones se dan para circunstancia en las cueles para algún problema se necesita un conjunto de datos y no un solo dato como en las igualdades. Una desigualdad es una inecuación en la cual se desconocen 1 o más datos, teniendo así incógnitas dentro de esta desigualdad: ݔ+ 3 > ݕ8 La expresión anterior es una desigualdad de dos variables. Propiedades de las inecuaciones Propiedad 1. ≤
⇔
+≤+
2. ≤
⇔
−≤−
3. ࢙ > , ࢋ࢚ࢉࢋ࢙ ≤
⇔
≤
4. ࢙ < , ࢋ࢚ࢉࢋ࢙ ≤
⇔
≥
5. ࡿ > ࢟ > ࢋ࢚ࢉࢋ࢙ ≤ ≥
⇔
6. ࡿ ≤ ࢟ ≤ ࡰ ࢋ࢚ࢉࢋ࢙ + ≤ + ࡰ
Descripción Sumar: la misma cantidad sumada a cada miembro de una desigualdad genera una desigualdad equivalente. Restar: la misma cantidad restada a cada miembro de una desigualdad genera una desigualdad equivalente. Multiplicar: la misma cantidad positiva multiplicada a cada miembro de una desigualdad genera una desigualdad equivalente. Multiplicar: la misma cantidad negativa multiplicada a cada miembro de una desigualdad invierte el signo de la desigualdad. Obtener los recíprocos: cada miembro de una desigualdad que contiene cantidades positivas puede invertirse pero cambia el sentido de la desigualdad. Las desigualdades se pueden sumar entre si.
Toda desigualdad lineal se puede resolver igualmente que una igualdad, peri siempre tomar en cuenta la propiedad 4 de este texto.
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Inecuaciones lineales: Solución de una desigualdad: toda desigualdad puede ser resuelta, aplicando las propiedades descritas anteriormente, sin embargo la respuesta de cada una de ellas como se menciono antes, da un conjunto de números, estos se puede representar en diversas formas: • Solución mediante desigualdad: <ݔ3 −5 > ݔ La primera desigualdad afirma que la solución de la inecuación es el conjunto de valores que sean menores a 3(la lectura de la desigualdad es “x es menor que 5” ó “todos los valores menores a 3”) La segunda desigualdad afirma que la solución son todos los valores que sean menores a -5, la lectura de esta desigualdad en ocasiones se torna algo compleja, pero trate siempre de leer la desigualdad iniciando por la variable así esta desigualdad se leería: todos los valores menores a -5, pues la lectura influye mucho en el significado de la desigualdad: < ݔ10 La desigualdad se lee “x es menor que 10” La desigualdad se lee “10 es mayor que x” •
Solución mediante notación de intervalo: los intervalos son utilizados para la escritura de soluciones de desigualdades mediante la simbología de signos de agrupación, existen diversas formas de la escritura de un intervalo: Para el signo “ < ”, “ > ” se utiliza un paréntesis, según la ubicación Para el signo “ ≤ ”, “ ≥ ” se utiliza un Corchete, según la ubicación La utilización correcta de los intervalos se mostrará mediante los ejemplos:
Ejemplo 1 Resuelva cada una de las desigualdades lineales, escriba la solución usando la notación de intervalos: (a) 3 ݔ+ 11 ≤ 6 ݔ+ 8 Al aplicar las propiedades de las desigualdades, se tiene que: 3 ݔ− 6 ≤ ݔ8 − 11 −3 ≤ ݔ−3 −3 ≥ݔ −3 ≥ݔ1
Observe muy bien que el sentido de la desigualdad se invirtió, dado que se dividió al -3
La solución del intervalo estará dada como todos los valores que sean mayores o iguales a 1, para la utilización de intervalos debemos interpretar la inecuación como un conjunto de valores que va desde 1 en adelante, es decir hasta el infinito, entonces la respuesta será: [1, ∞)
Ing. Luis Ernesto Aguilar 3 Desigualdades e inecuaciones Este intervalo tiene un corchete del lado izquierdo debido que se tiene un signo de " ≥ " y el paréntesis se define siempre para el termino infinito. Esta respuesta indica que la solución de la inecuación son todos los valores que van desde el valor 1 hasta cualquier valore en el infinito positivo. (b) 2ሺ7 ݔ+ 12) ≤ 12 ݔ+ 16 14 ݔ+ 24 ≤ 12 ݔ+ 16 14 ݔ− 12 ≤ ݔ16 − 24 2 ≤ ݔ−8 8 Note ahora que la desigualdad ≤ݔ− no se invierte dado que el 2 al 2 ≤ ݔ−4 pasar a dividir es positivo. Para la solución en notación de intervalo, interprete la desigualdad “todos los valores que sean menores o iguales a -4”, esto significa que serán los valores de -4 hasta el infinito negativo, así entonces la solución en notación de intervalo es: ሺ−∞, −4] (c) −3 < 3 ݔ+ 7 ≤
ଵ ଶ
Para estas desigualdades se aplican las mismas propiedades de las desigualdades, pues ahora se esta haciendo la comparación entre 3 expresiones. −3 − 7 < 3≤ ݔ −10 < 3≤ ݔ −
1 −7 2 13 2
Los valores se “pasarán” a ambos lados de la desigualdad.
10 13 <≤ݔ 3 6
Para la notación de intervalo de esta inecuación se interpreta nuevamente como “el valor de x está entre -10/3 y 13/6” entonces la respuesta es: ൬−
10 13 , ൨ 3 6
La ubicación del corchete y el paréntesis depende de la ubicación de los signos de desigualdad dados en la solución mediante inecuación.
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Inecuaciones no lineales: En las inecuaciones no lineales no se cumple la condición de intercambiar variables multiplicando o dividiendo, pues al no saber el valor especifico de esta (positivo o negativo) no se puede afirmar si existe un cambio de dirección del signo de desigualdad o no: En una ecuación 3+ݔ =9 ݔ 3 + = ݔ9ݔ
En una inecuación +࢞ ≤ૢ ࢞ + ࢞ ≤ ૢ࢞
NUNCA, NUNCA, NUNCA pase a dividir o a multiplicar una variable en una inecuación, pues al ser variable esta puede adoptar un valor negativo y la desigualdad tendría que invertir su signo, pero si adopta un valor positivo no lo haría, para evitar esto, NUNCA, NUNCA, NUNCA pase a dividir una variable en una inecuación. Solución de una desigualdad no lineal: una inecuación no lineal se resuelve al transponer todos los términos a un solo miembro de la igualdad, para luego simplificar esta hasta donde sea posible, se identifican los factores lineales y luego se trabajan por separado para dar la solución, en un ejemplo se mostrará como solucionarlo.
Ejemplo 2 Resuelva cada una de las desigualdades no lineales, escriba la solución usando la notación de intervalos: (a) ݔଶ − 3 ݔ− 18 ≤ 0 ሺ ݔ− 6)ሺ ݔ+ 3) ≤ 0 En la desigualdad se requiere que todo el miembro derecho “sea menor que 0” es decir que el valor sea negativo, por lo tanto se deben encontrar los valores de x, para los cuales los factores dan valores negativos, entonces se procede a dibujar una recta real para cada factor lineal: ݔ−6 ݔ+3 Se identifica el valor de x para el cual el factor se haga 0, para el primer factor es el valor 6 y para el segundo es -3.
Cada uno de los factores será positivo siempre a la derecha de los valores encontrados, entonces se marca la sección positiva para cada intervalo.
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Seccionaremos ambas rectas en los cambios de valores dados para encontrar la soluciรณn:
0
6
0 -3
El producto de los signos en cada secciรณn darรก el signo final para el conjunto de valores dados, como necesitamos que los valores sean negativos, la soluciรณn serรก cada intervalo en la cual el signo da negativo:
-
0 -
6
-
0 +
+
-
+
+
-3 +
Ing. Luis Ernesto Aguilar 6 Desigualdades e inecuaciones El segmento de recta real que dará valores negativos es el intervalo que va desde -3 hasta 6, es decir que x debe estar entre estos dos valores: −3 ≤ ≤ ݔ6 El signo de la desigualdad será el mismo que el que se tiene en la inecuación, en notación de intervalo la solución es: [−, ]
(b)
ଵ
௫ାଶ
ଶ
ଵସ௫ିଶଵ
Por ser una desigualdad no lineal, se debe dejar todos los miembros de un lado de la desigualdad: 2 1 − ≤0 ݔ+ 2 2 ݔ− 3 Al simplificar las operaciones indicadas: 2 ݔ− 3 − 2ሺ ݔ+ 2) ≤0 ሺ ݔ+ 2)ሺ2 ݔ− 3) −
7 ≤0 ሺ ݔ+ 2)ሺ2 ݔ− 3)
Observe muy bien que la desigualdad tiene un signo menos al principio, para poder quitarlo se puede invertir el signo de la desigualdad: 7 ≥0 ሺ ݔ+ 2)ሺ2 ݔ− 3) Así entonces ahora se necesita que todo el miembro derecho sea positivo. Los factores primos para esta inecuación son: ሺ ݔ+ 2) y ሺ2 ݔ− 3), cada uno se hace 0 para los valores −2 y 3/2 respectivamente, entonces las rectas reales quedarán:
-
-2 +0
+
-
-0
+
3/2 +
-
+
Ing. Luis Ernesto Aguilar 7 Desigualdades e inecuaciones La solución de esta inecuación será entonces el intervalo para el cual se obtuvo valores positivos, Para este caso son 2: los valores de infinito negativo al valor -2 y el otro de 3/2 hasta infinito positivo, esta solución se dará como la unión de 2 intervalos reales: 3 ሺ−∞, −2) ∪ ൬ , ∞൰ 2 Para este problema observe la escritura de los paréntesis para ambos lados, esto se da porque no incluimos el valor -2 y 3/2 dentro de la solución porque son valores que hace que el denominador se haga 0, por lo tanto se deben excluir, y para hacerlo en lugar de la escritura de corchete se usa los paréntesis.
ଵ
(c) 2−
ହ
௫ିଵ
௫ାଷ
1 5 − ≤0 ݔ−1 ݔ+3
2ሺ ݔ− 1)ሺ ݔ+ 3) − ሺ ݔ+ 3) − 5ሺ ݔ− 1) ≤0 ሺ ݔ− 1)ሺ ݔ+ 3) 2 ݔଶ − 2 ݔ− 4 ≤0 ሺ ݔ− 1)ሺ ݔ+ 3) 2ሺ ݔଶ − ݔ− 2) ≤0 ሺ ݔ− 1)ሺ ݔ+ 3) 2ሺ ݔ+ 1)ሺ ݔ− 2) ≤0 ሺ ݔ− 1)ሺ ݔ+ 3) Como son 4 factores entonces se deben dibujar 4 rectas reales:
-
-
-
-
-
-
+
-3
-1 0
+
+ + 0
2
-
+
0 1
+
+
+
+ +
0
+
-
+
+
-
-
Ing. Luis Ernesto Aguilar 8 Desigualdades e inecuaciones El conjunto de solución es entonces: ሺ−3, −1] ∪ ሺ1, 2] Quetzaltenango 7 de octubre de 2012