Ing. Luis Ernesto Aguilar 1 Geometría analítica 1 UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE PEM EN MATEMÁTICA Y FÍSICA MATEMÁTICA II SECCIÓN A, B y C Ing. Luis Ernesto Aguilar Geometría analítica 1 La Geometría analítica es la rama de la matemática que se encarga del estudio geométrico del algebra de ecuaciones y funciones, así entonces lo que antes se trabajaba únicamente en forma algebraica ahora se podrá visualizar mediante gráficos que en ocasiones facilitan la resolución de problemas. El plano cartesiano: El plano cartesiano es un grafico en el cual se cuenta con 2 rectas reales que se cruzan de forma ortogonal1 la ubicación de los valores negativos de esta es arbitrario, pero generalmente se tiene esta convención:
El eje vertical se le conoce con el nombre de eje de las ordenadas, mientras que el eje horizontal con el nombre de eje de las abscisas, la intersección de estas rectas recibe el nombre de origen, y esa intersección genera 4 secciones que se les conoce con el nombre de cuadrantes. Las variables mas utilizadas dentro del algebra son la letras x y y lo que ocasiona que los ejes reciban esos nombres en el plano cartesiano, comúnmente el eje de las abscisas se nombra como “el eje x” y el eje ordenado, “eje y”. El plano cartesiano se utiliza para la ubicación de puntos, si se inicia una sucesión de puntos entonces se genera una línea, es por eso que el plano cartesiano se usa para el trazo de líneas en el espacio bidimensional. 1
Que se cruzan en ángulo recto, un ángulo de 90° sexagesimales
Ing. Luis Ernesto Aguilar 2 Geometría analítica 1 La forma de ubicar puntos en el plano cartesiano es con un elemento que se le conoce como coordenada cartesiana2, que es una pareja ordenada generada del producto cartesiano de dos conjuntos numéricos3, entonces una pareja ordenada es: −3, 5 La cual indica que el desplazamiento desde el origen sobre el eje x es de 3 hacia la izquierda, y en el eje y de 5 hacia arriba.
(-3,5)
(7,2)
(-2,-2)
(1,-6)
En la figura se aprecia la ubicación del punto −3,5 , pero también se aprecia la ubicación de los puntos 7,2 , −2, −2 y 1, −6 cada uno ubicado en un diferente cuadrante del plano cartesiano. Distancia entre 2 puntos: Si se requiere calcular la distancia entre 2 puntos, siempre se referirá a la distancia mas corta entre ellos, es decir la línea recta, pues la distancia mas corta que existe entre dos puntos siempre es la línea recta que las une. FORMULA DE LA DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS Si se requiere encontrar la distancia entre 2 puntos , y , esta será: = − + −
Ejemplo 1:
Calcule la distancia existente entre los puntos −3, −4 y 6,1 : 2
Existen diversos tipos de coordenadas, entre las que se pueden menciona, Coordenadas cartesianas, coordenadas polares, coordenadas esférica (en 3 dimensiones), etc., pero por ahora cuando se refiera a coordenada se referirá a una coordenada cartesiana en 2 dimensiones 3 El producto cartesiano es una operación entre conjuntos que genera conjuntos ordenados que contienen 2 elementos numéricos.
Ing. Luis Ernesto Aguilar 3 Geometría analítica 1 La formula de la distancia requiere que se identifique cual es el punto 1 y cual es el punto 2, dado que se tendrá un valor al cuadrado, la selección de los puntos es indiferente, así entonces: 6,1 −3, −4 Entonces la formula de la distancia se obtiene: = −3 − 6 + −4 − 1 = −9 + −5 = √81 + 25 = √1064 = √106
Punto medio: Dos puntos en una superficie separados por una distancia, tendrán un punto que equidistará5 de ambos, a este punto se le conoce como punto medio y se calcula de la siguiente manera: FORMULA DEL PUNTO MEDIO El punto medio que se encuentra entre 2 puntos , y , se obtiene mediante: .
.!
+ +
, "
Ejemplo 2:
Obtenga la coordenada del punto medio entre los puntos −3, −4 y 6,1 , y grafíquelos para verificar la respuesta: Al utilizar la formula del punto medio: 6,1 −3, −4 . #. !
6 + −3 1 + −4 , " 2 2 3 3 . #. ! , − " 2 2
Lo cual indica que el punto medio que une los puntos dados se encuentra en la coordenada dada, en la grafica podemos confirmar que los cálculos son correctos:
Como el valor de √106 es irracional, entonces se opta por dejar este valor en una operación indicada, pues si aproximamos, no obtendríamos el valor exacto. 5 Separados la misma distancia. 4
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(6,1)
(3/2,3/2)
(-3,-4)
Sucesiones de puntos: al crear una sucesión de puntos se genera una recta, y esta se puede construir en una grafica si se tiene una ecuación de 2 variables, asignando valores para cada una de estas se creará parejas ordenadas que se pueden ubicar en el espacio del plano cartesiano, obteniendo así una grafica. Para poder generar una curva se debe utilizar la técnica del “ploteo”6 que consiste en la construcción de una tabla de valores para luego generar un grafico:
Ejemplo 3 Utilice una tabla de valores para graficar las siguientes ecuaciones: a) $ = √4 − % Solución Para trazar las graficas se debe seleccionar un conjunto de datos para trabajar, para este ejemplo seleccionemos el intervalo [−2,2] con saltos de 0.5, esto significa que los valores de x empezarán desde -2, con disminución de 0.5, los cuales se sustituirán en la ecuación dada: En la tabla mostrada se presentan los valores escogidos para la variable x, con lo que ahora se debe encontrar los valores de la variable y, esto se hace reemplazando cada uno de los valores en la ecuación inicial, así entonces, para el primer valor se obtiene que: $ = 4 − −2 = 0 Haciendo lo mismo para cada valor de x se obtendrá que: $ = 4 − −1.5 = 1.32 $ = 4 − −1 = 1.73 : 6
Palabra proveniente del ingles plot que significa graficar detallar mediante una tabla un diagrama.
Ing. Luis Ernesto Aguilar 5 Geometría analítica 1 : -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
0.00 1.32 1.73 1.94 2.00 1.94 1.73 1.32 0.00
Estos valores al ubicarlos en un grafico se tiene que:
Estos valores al unirlos mediante una curva suave7 se obtiene la aproximación de la grafica:
7
Se entiende por curva suave a un trazo que no tiene cambios bruscos ni saltos en su trazo.
Ing. Luis Ernesto Aguilar 6 Geometría analítica 1 b)
)* +
Al realizar la tabla de valores en un intervalo de [−4,4] con saltos de 1/2 se tendrá que: x -4.00 -3.50 -3.00 -2.50 -2.00 -1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00
y -8.00 -5.36 -3.38 -1.95 -1.00 -0.42 -0.13 -0.02 0.00 0.02 0.13 0.42 1.00 1.95 3.38 5.36 8.00
Con lo cual se obtiene la siguiente grafica de puntos:
Haciendo un trazo suave de la curva se tiene que:
Se puede obtener los primeros valores al reemplazar el valor de la variable x en la ecuación dada: $= $=
−4 = −8 8
−3.5 = −5.36 8
$=
−3 = −3.38 8
−2.5 = −1.95 $= 8 $=
−2 = −1 8 : : :
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Utilizando el programa de graficación Maple13, se obtiene que:
Antes de iniciar el trazo de una grafica es posible obtener información de ésta a partir de los intersectos con los ejes coordenados, las condiciones siguientes se utilizan para encontrar los intersectos de una ecuación con los ejes coordenados:
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INTERSECTOS CON LOS EJES COORDENADOS Para encontrar el intersecto con el eje haga = . y determine el o los valores de de la ecuación generada. Para encontrar el intersecto con el eje haga = . y determine el o los valores de y de la ecuación generada.
Ejemplo: a) Determine los intersectos con los ejes coordenados de la siguiente ecuación: % / + $ − %$ = 16 Solución: Intersectos al eje % ($ = 0): % / + 0 − % 0 = 16 % / + 0 − 0 = 16 % / = 16 1 % = ± √16 % = ±2 Entonces los intersectos están en los puntos 2,0 y −2,0 Intersectos al eje $ (% = 0): 0/ + $ − 0 $ = 16 0 + $ − 0 = 16 $ = 16 $ = ±√16 $ = ±4 Entonces los intersectos están en los puntos 0, −4 y 0,4
Ing. Luis Ernesto Aguilar 9 Geometría analítica 1 Circunferencias: Una circunferencia es el conjunto de puntos que equidista de otro punto llamado centro, esta distancia se denomina radio, toda ecuación e circunferencia tendrá la siguiente forma: ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA O CIRCULO Toda ecuación de una circunferencia cumple con la siguiente forma: − 2 + − 3 = 4 Donde el punto 2, 3 se denomina Centro y 4 es el radio de la circunferencia Para el caso particular en que los valores de 2 y 3 sean cero, entonces la ecuación se transforma a: + = 4 Y se dice que la circunferencia tiene centro en el origen.
Ejemplo: a) Determine el centro, el radio y la grafica de la siguiente ecuación: % − 5 + $ − 4 = 25
Solución: De acuerdo con la formula de la circunferencia entonces el centro está en el punto: 5,4 Y el radio será 5 = 25 ⇒ 5 = √25 = 5, la grafica se obtiene entonces de la siguiente forma:
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b) Determine la ecuación de la circunferencia que cumple con las siguientes condiciones: Centro en −2,4 y radio 3
Solución: Al reconocer los valores dados, se aprecia que ℎ = −2, 9 = 4 y 5 = 3, entonces al reemplazar en la ecuación de la circunferencia se tiene que:
Por lo que la grafica es:
% − −2 + $ − 4 = 3 % + 2 + $ − 4 = 9
c) El siguiente polinomio representa la ecuación de una circunferencia, utilice el algebra para llevarlo a la forma estándar: % + $ − 8% + 10$ − 12 = 0
Solución: Se completará el cuadrado de los polinomios de % y del polinomio de $: % − 8% +
+$ + 10$
= 12
Se agrega los valores que son “el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal” % − 8% + 16 + $ + 10$ + 25 = 12 + 16 + 25 Al factorizar los trinomios el resultado es: % − 4 + % + 5 = 53
Ing. Luis Ernesto Aguilar 11 Geometría analítica 1 Al reconocer valore entonces se tiene que: ℎ = 4 y 9 = −5 (esto porque se tiene un signo positivo, y la formula solicita un valor negativo), el valor del radio entonces es: 5 = 53 ⇒ 5 = √53, La grafica es:
d) Determine el centro, el radio y la grafica de la siguiente ecuación: 2% + 2$ − % = 0
Solución: Para hacer la complementación de cuadrados es necesario que el coeficiente de los términos cuadráticos sea 1, esto se logrará dividiendo toda la ecuación por 2: 2% 2$ % 0 + − = 2 2 2 2 1 % + $ − % = 0 2
Ahora entonces se puede complementar el cuadrado: 1 % − % + $ = 0 2
1 1 1 + $ = 0 + % − % + 2 16 16 1 1 !% − " + $ = 4 16 /
Entonces el centro está en el punto: : ; , 0< y el radio tiene el valor de 5 =
/
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Quetzaltenango 24 de agosto de 2013.