Ing. Luis Ernesto Aguilar 1 Ecuaciones cuadráticas UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE PEM EN MATEMÁTICA Y FÍSICA MATEMÁTICA II SECCIÓN A, B y C Ing. Luis Ernesto Aguilar Ecuaciones cuadráticas Una ecuación cuadrática es una ecuación de una sola variable, para la cual la variable tiene un exponente 21, así entonces la ecuación: 4 + 8 + 4 = 0
Es una ecuación cuadrática, dado que es una ecuación de una variable con exponente mayor de 2. Toda ecuación cuadrática posee un número máximo de soluciones de 2, toda ecuación puede tener 2 soluciones, 1 solución o ninguna solución (dentro del campo Real), para lo cual es necesario poner mucha atención en los métodos de solución de una ecuación cuadrática. Una ecuación cuadrática se puede resolver siempre mediante algebra pura, sin embargo se han desglosado 3 “métodos” de solución, sin embargo es un solo método que han simplificado en procedimientos para llegar al resultado. Todo polinomio cuadrático puede ser factorizable como “factorización de un trinomio general”, llevando procesos para desarrollarlo, así por ejemplo el trinomio: 6 + 7 − 3
Se puede llevar a una forma equivalente de trinomio, si se multiplica el trinomio por la unidad equivalente, para este caso una unidad que se define dependiendo del coeficiente del termino cuadrático: 6
6 + 7 − 3 6
6 + 7 ∙ 6 − 3 ∙ 6 6
6 + 7 6 − 18 6
Se puede definir un trinomio general en el numerador de la fracción anterior, el cual ya puede factorizarse:
6 + 9 6 − 2 6
Dada la fracción, esta puede descomponerse en 2 factores que puedan dividir a cada uno de los términos del numerador: 1
Es posible tener una ecuación con exponente 4,6,8… etc, para la cual se puede reducir a una ecuación cuadrática de exponente 2
6 + 9 6 − 2 3 2
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Al simplificar la ecuación anterior se tiene que:
2 + 3 3 − 1
De tal forma quedaría factorizado un trinomio.
Solución de una ecuación cuadrática mediante factorización: Si el trinomio anterior fuese parte de una ecuación cuadrática, entonces para su resolución se puede aplicar la factorización para la resolución de esta: 6 + 7 − 3 = 0
Dado que es posible factorizar el trinomio, entonces se obtiene que:
2 + 3 3 − 1 = 0
Al utilizar la idea del factor 0, que dice que para que un producto dé como resultado 0, al menos uno de los factores debe ser 0, por lo tanto:
Si se toma el otro factor, se tendrá que:
2 + 3 = 0 3 =− 2
3 − 1 = 0 1 = 3
Entonces se dice que la solución de la ecuación cuadrática es la pareja de valores = − , =
Solución de una ecuación cuadrática mediante la complementación de cuadrados: El método anterior es el caso particular de la factorización de un trinomio, pero, existe otra forma de factorizarlo, este es mediante el uso de la complementación de cuadrados, el cual hace que cualquier trinomio se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, así por ejemplo, el trinomio anterior se puede llevar a un trinomio cuadrado perfecto: 6 + 7 − 3 = 0
Primeramente, debe obtenerse un factor común, tomando al coeficiente principal del trinomio para esto: 7 3 6 + − = 0 6 6
Si se aplica a cada sumando, entonces se tiene que:
7 1 6 + − = 0 6 2
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Si a cada lado de la igualdad se le suma un término igual al cuadrado de la mitad del coeficiente lineal (es decir, se obtiene la mitad del término lineal, para este caso el 7/6, luego este se eleva al cuadrado), entonces: 7 49 1 49 − = 0 + 6 6 + + 6 144 2 144
Se comprueba que los primeros 3 términos del miembro izquierdo de la igualdad forman un trinomio cuadrado perfecto, para lo cual, se puede factorizar: 49 7 1 6 + − = 2 24 12 7 1 49 + − = 12 2 144
Se puede transponer el término 1/2 entonces se obtiene que: + Simplificando la operación, se tiene que:
7 1 49 = + 12 2 144
+
7 121 = 12 144
Al aplicar un radical a ambos lados de la igualdad se obtiene entonces que: +
121 7 = ± 144 12
+
11 7 =± 12 12
Recuerde que un radical siempre devuelve 2 resultados, uno positivo y otro negativo, esa es la razón de que el símbolo ± se encuentre delante del radical: =−
=−
7 11 + , 12 12
7 11 ± 12 12
=−
7 11 − 12 12
1 3 = , =− 3 2 Para lo cual la solución está dada de la misma manera que en la factorización simple.
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Solución de una ecuación cuadrática mediante la formula cuadrática: la formula cuadrática, surge de la generalización del tema anterior, supóngase que se tiene la ecuación: + + = 0
Si se aplica la teoría anterior, se tendrá que:
+ + = 0
Al sumar de ambos lados un término igual al cuadrado de la mitad del coeficiente lineal se tiene que: + + + = 2 2
Los primeros 3 términos representan un trinomio cuadrado perfecto:
Despejando se tiene que:
+ + − = 0 2 2 +
+
= − 2 2 2
= ± − 2 2 2
Al operar lo que se encuentra dentro del radical: + +
+
+
= ± − 4 2 2 − 4 = ± 2 4
√ − 4 =± 2 √4 √ − 4 =± 2 2
=−
√ − 4 ± 2 2
Ing. Luis Ernesto Aguilar 5 Ecuaciones cuadráticas =
−! ± √!" − #$% "$
[']
La ecuación [1] se conoce con el nombre de ecuación cuadrática, y es un método muy fácil para encontrar la solución de una ecuación cuadrática, el término ± indica que se debe tomar por separado el signo “+” y el signo “-“ así de esa forma se obtienen las 2 soluciones buscadas. Utilizando la ecuación para resolver un ejemplo se tiene que:
6 + 7 − 3 = 0 Para el uso de la ecuación debe notarse que:
= 6; = 7, = −3
Para los valores de a, b, y c deben tomarse los coeficientes, con el signo que tengan, es por eso que c, es negativo.
=
=
− ± √ − 4 2
=
−7 ± √49 + 72 12
− 7 ± * 7 − 4 6 −3 2 6
=
−7 ± √121 12
=
−7 ± 11 12
−7 + 11 = + 12 , −7 − 11 12 4 = + 12 , −18 12
Como en los otros ejemplos.
1 =+ 3 , 3 − 2
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La ecuación cuadrática además de dar la solución, anticipa los posibles resultados, con un término que contiene, el cual se denomina discriminante, observe la formula y note que se debe cumplir una condición: =
− ± √ − 4 2
El término resaltado debe ser positivo para que se pueda realizar la raíz, si esto no ocurre se dice que la ecuación no tiene solución en el campo real. La condición a cumplir es: − 4 ≥ 0 ≥ 4
Lo anterior afirma que el cuadrado del coeficiente lineal debe ser mayor o igual que cuatro veces el producto de los otros coeficientes, si esto se cumple se puede afirmar que la ecuación tiene solución, tiene solo una si ambos termino son iguales, tiene dos si el cuadrado es mayor.
Ejemplos: 1. Resuelva la ecuación cuadrática por los tres métodos: 2 + 8 + 1 = 0
Factorización:
2
2 + 8 + 1 = 0 2
2 + 8 2 + 2 =0 2
2 +? 2 +? =0 2
Observe que necesitamos encontrar un par de números que multiplicados den 2, y que sumados den 8, algo que en números enteros no es posible, por lo tanto el método de factorización, falló. Complementación de cuadrados:
1 2 + 4 + = 0 2
4 1 4 Recuerde que le sumamos el 2 + 4 + + = 2 cuadrado de la mitad del 2 2 2
1 2 + 4 + 4 + = 0 + 8 2 1 2 + 2 + = 8 2
coeficiente lineal.
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+ 2 +
1 =4 2
1
+ 2 = − + 4 2
+ 2 =
7 2
+ 2 = ±
= −2 ±
7 2
7 2
= −" + *//" = −" − *//"
Formula cuadrática: Tomando el valor de los coeficientes:
Utilizando el discriminante:
=2 =8 =1 ≥ 4
8 ≥ 4 2 1 64 ≥ 8
Como el cuadrático resultó mayor, entonces se afirma que hay 2 soluciones, ahora ingresando datos a la formula cuadrática se tiene que:
=
=
− ± √ − 4 2
− 8 ± * 8 − 4 2 1 2 2 =
−8 ± √64 − 8 4
=
−8 ± √56 4
Ing. Luis Ernesto Aguilar 8 Ecuaciones cuadráticas =
−8 ± √2 ∙ 2 ∙ 7 4
=
Se utilizan las leyes de los exponentes para la simplificación del radical
−8 ± 2√2 ∙ 7 4
=
−4 ± √14 2
5−4 + √14 3 2 , = 4−4 − √14 3 2 2
2 soluciones que son equivalentes a las obtenidas mediante el método de complementación de cuadrados, es una gran ventaja del método anterior, pues las respuestas ya se dan simplificadas. 2. Un jardín rectangular mide 10 pies más de largo que lo que mide de ancho. Si el área es de 875 pies cuadrados. ¿Cuáles son las dimensiones del terreno? Solución: Lo que el problema pide, es calcular las dimensiones del terreno, y por lo que el problema menciona es fácil afirmar que el terreno es rectangular, de acuerdo a eso identifíquese a la variable como el ancho del terreno: = 6789:;<= =>6 8 ℎ7 =>6 ;>@@>87
Como afirman que el largo es 10 pies más que el ancho entonces se tiene que: + 10 = 6789:;<=7 =>6 6 @97 =>6 ;>@@>87
El área del terreno se calcula por el producto del largo por el ancho: á@> = 8 ℎ7 × 6 @97
Reemplazando los valores matemáticos se tendrá que:
C = + 10
Pero como el área es un valor de 875, entonces se llega a que: 875 = + 10
Iniciando la solución de la ecuación se tiene que:
875 = + 10 0 = + 10 − 875 0 = + 10 + 25 − 875 − 25
0 = + 5 − 900 0 = + 5 − 30 + 5 + 30 0 = − 25 + 35 = 25 = −35
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Como se está hablando de longitud, la respuesta para este ejemplo es de = 25, que representa el ancho, por lo tanto el largo es de: 8 ℎ7 = 25 6 @97 = 35
El área de estos debe ser igual a 875, al comprobar:
C = 25 ∗ 35 = 875
Por lo tanto las dimensiones son correctas.
3. Resuelva la siguiente ecuación:
E − 13 + 40 = 0
Algunas ecuaciones pueden resolverse al verlas como equivalentes a ecuaciones cuadráticas, tal es el ejemplo de la siguiente ecuación, se podrá apreciar como una cuadrática si la reescribimos:
− 13 + 40 = 0
Observe muy bien, que de acuerdo a las leyes de exponentes la escritura de ambas ecuaciones es la misma, si en esta ecuación se realiza la sustitución: = F, entonces la ecuación quedaría escrita de la siguiente manera:
O lo que es lo mismo:
F − 13 F + 40 = 0
Al resolver esta ecuación se tiene que:
F − 13F + 40 = 0
F − 8 F − 5 = 0 F=8 F=5
Al llegar a este punto, se puede revertir la sustitución hecha, entonces se tendrá que: = 8 = 5
Al aplicar raíz cuadrada de ambos lados de la igualdad, se tiene que:
Ing. Luis Ernesto Aguilar 10 Ecuaciones cuadráticas * = √8 * = √5
Y finalmente se tiene que:
= ±√8 = ±√5
Por lo tanto se tienen 4 soluciones para esta ecuación, recuerde que una raíz cuadrada siempre da un valor positivo y un valor negativo. 4. Resuelva la siguiente ecuación:
E/ − 5 / + 6 = 0
Nuevamente la ecuación se puede reescribir:
G / H − 5G / H + 6 = 0
Y al realizar la sustitución F = / , se tiene que: Resolviendo:
Al revertir la sustitución:
Entonces se tendrá que:
F − 5F + 6 = 0
F − 3 F − 2 = 0 F=3 F=2 / = 3 / = 2 = 3 / = ±*3 = 2 / = ±*2
Nuevamente queda el signo ± por las 2 soluciones de una raíz cuadrada, si en este resultado quedará una raíz cubica, no llevará el signo±. Quetzaltenango 03 de agosto de 2013.