UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA CENTRO UNIVERSITARIO DE OCCIDENTE DIVISIĂ&#x201C;N DE CIENCIAS DE LA INGENIERĂ?A ESCUELA DE VACACIONES JUNIO 2012 MatemĂĄtica BĂĄsica 2 SecciĂłn A Ing. Juan JosĂŠ GodĂnez SecciĂłn B Ing. Luis Ernesto Aguilar Prueba Final Instrucciones: Resuelva los planteamientos que a continuaciĂłn se le presentan, dejando constancia de todo procedimiento que realice, utilice teorĂas adecuadas, argumentos validos y la simbologĂa correcta. Escriba su respuesta con lapicero, sin tachones y sin usar corrector, de lo contrario no tendrĂĄ derecho a revisiĂłn. 1. Si = + , donde es un numero real y â&#x2030; 0, determine , encuentre los puntos de inflexiĂłn de la grafica de , demuestre que la grafica tendrĂĄ dos puntos de inflexiĂłn si < , y no tendrĂĄ puntos de inflexiĂłn si â&#x2030;Ľ . (10 puntos)
La soluciĂłn consiste en derivar la funciĂłn 2 veces: = â&#x2C6;&#x2019; 1 + 2 2 + 2 + Al igualar esto a cero y resolver para x se obtiene que: =Âą
1 â&#x2C6;&#x2019; 2
La variable x estarĂĄ definida Ăşnicamente para cuando el denominador sea mayor a cero, por lo tanto se refiere especĂficamente al intervalo: 1
â&#x2C6;&#x2C6; â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;, 2 Por lo tanto p debe ser menor a ½ para que la funciĂłn tenga 2 puntos de inflexiĂłn.
2. Se tiene un tanque como el de la figura 1. DetermĂnese el trabajo necesario para vaciar completamente el tanque 2 metros por arriba de la superficie si el fluido es Mercurio = 13600 !/#$ . (10 puntos)
Figura 1
Este problema se resuelve únicamente con una relación de triangulos, con lo cual se obtiene que el diferencial de volumen es: %& = 8(%( El de masa: %# = 8( %( El de peso: %) = 8( !%( La distancia que debe recorrer el diferencial es: * = 5 − ( El diferencial de trabajo es: %, = 8( ! 5 − ( %( Y el trabajo se encuentra al integrar todos los diferenciales: 3
- ./01 2 − / 5/ = 64.01 = 67387974 : 4
3. Un obrero levanta, con ayuda de una soga, un tablón hasta lo alto de un edificio en construcción figura 2. Suponga que el otro extremo del tablón sigue una trayectoria perpendicular a la pared y que el obrero mueve el tablón a razón de 0.15 #/<. ¿a que ritmo se desliza por el suelo el extremo cuando está a 2.5 # de la pared? ¿a que razón esta cambiando el ángulo formado por el suelo y el tablón en el mismo instante? (10 puntos)
Figura 2 El problema se resuelve fácilmente con el teorema de Pitágoras: + ( = 25 El valor de y para cuando x es 2.5 es (=
5√3 2
Al derivar la primera ecuación respecto al tiempo es: 2 Al despejar %(/%>:
% %( + 2( =0 %> %>
5√3 ( %( % =− = − 2 0.15 = 4. 62√3 ≅ 4. 9@ A/B 5/2 %> %> La variación del angulo se encuentra fácilmente utilizando la relación trigonométrica seno: <CD E =
( 5
Al derivar respecto al tiempo: cos E
%E 1 %( = %> 5 %>
Entonces: %(/%> 4. 62 %E = = = 4. 4@ JK5/BL1 %> 5 cos E 2 ∗ 2/9 2 “En último término, la solución de los problemas no consiste en hacer ni en dejar de hacer, sino en comprender, porque donde hay verdadera comprensión no hay problemas.” A. dM.