Dimensionamento de pilares

(1) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, UNESP - BaurulSP email.pbastos@feb.unesp.br (2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, UNESP - BaurulSP email: lutt@feb.unesp.br

UNESP-

Enderego para correspondencia: Departamento de Engenharia Civil, Av. Luiz Edmundo Coube, sin, 17.033-360-

Bauru/SP

Resumo A nova norma brasileira NBR 6118/2003 introduziu modificagoes na metodologia de dimensionamento de alguns elementos estruturais, entre eles os pilares de concreto armado. Com 0 proposito de apresentar e analisar as modificagoes introduzidas com relagao aos pilares, este trabalho mostra como ficou 0 dimensionamento dos pilares intermediarios. Apresentam-se as novas prescrigoes e os parametros de projeto, seguidos por um roteiro pratico de dimensionamento. Dois exemplos numericos sac mostrados em detalhes a fim de exemplificar a aplicagao das novas prescrigoes. as resultados sac analisados e comparados com aqueles obtidos segundo a metodologia contida na NBR 6118/78. A comparagao dos resultados numericos, calculados segundo as duas normas, mostra diferengas de armaduras, que vao de zero a ate 21 %.

A nova NBR 6118/2003 fez modificagoes em algumas das metodologias de calculo das estruturas de concreto armado, como tambem em alguns parametros aplicados no dimensionamento e verificagao das estruturas. Especial atengao e dada a questao da durabilidade das pec;as de concreto.

Particularmente no caso dos pilares, a nova norma introduziu varias modificagoes, como nos valores das excentricidades acidental e de 2a ordem, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para 0 calculo da esbeltez limite relativa a consideragao ou nao dos momentos f1etores de 2a ordem e, principalmente, com a consideragao de um momenta fletor minimo, que pode substituir 0 momenta fletor devido a excentricidade acidental. Como as modificagoes introduzidas sac consideraveis e 0 texto nao se encontra suficientemente detalhado, no caso dos pilares intermediarios nao ocorrem duvidas, mas nos pilares de extremidade e de canto surgem algumas duvidas, que podem originar erros no calculo de dimensionamento. Qutros dois artigos, um sobre pilares de extremidade e outro sobre pilares de canto sao tambem apresentados.

Este trabalho descreve os parametros de projeto e duas diferentes metodologias propostas na NBR 6118/2003 para 0 dimensionamento de pilares de concreto armado.

Um roteiro de calculo dos pilares intermediarios esta tambem apresentado. Sao feitos dois exemplos numericos para verificac;ao e avaliagao dos metod os propostos na nova norma, alem de uma comparagao com os resultados obtidos segundo a NBR 6118/78.

Para efeito de projeto, os pilares dos ediflcios podem ser classificados nos seguintes tipos: pilares intermediarios, pHares de extremidade e pilares de canto (FUSCO, 1981). A cada um desses tipos basicos de pilar corresponde uma situay80 de projeto ou de solicitay80 diferente.

Nos pilares intermediarios (figura 1) considera-se a compress8o centrada para a situayao de projeto, pois como as lajes e vigas sac contfnuas sobre 0 pilar, pode-se admitir que os momentos fletores transmitidos ao pilar sejam pequenos e despreziveis.

Nao existem, portanto, os momentos fletores MA e MB de 1a ordem nas extremidades do pilar, como prescritos no item 15.8 da NBR 6118/2003. >

SITUAQAo PROJETO

DE

"No caso da verificaqao de um lance de pilar, deve ser considerado 0 efeito do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilaf' (item 11.3.3.4.2). "Admite-se que, nos casos usuais, a consideraqao apenas da falta de retilinidade ao fongo do lance do pilar seja suficiente." A imperfeiyao geometrica local pode ser avaliada pelo angulo: 8 _ 1 -

1 100.JH

com: H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na figura 2; 1 / 400 => para estruturas de n6s fixos 1min 8 = { 1/300 => para estruturas de n6s m6veis e imperfeiyoes locais 81max

=

1/200

Pilar de contraventamento

Pilar contraventado

Sf Elemento de travamento

-'"

IH I

a) Elementos de travamento (tracionado ou comprimido)

(12

b) Falta de retilinidade no pilar

A NBR 6118/2003 introduziu um parametro novo no calculo dos pilares: a momenta fletor minima, a qual consta no c6digo ACI 318 (1995) como equayao 10-15. Segundo a c6digo, "a esbe/tez e /evada em consideraqao aumentando-se os momentos f1etores nos extremos do pilar. Se os momentos atuantes no pilar SaD muito pequenos ou zero, 0 projeto de pi/ares esbe/tos deve se basear sobre uma excentricidade minima", dada pelo momenta minima.

Na NBR 6118/2003 consta que "0 efeito das imperfeiqaes /ocais nos pi/ares pode ser substituido em estruturas reticu/adas pe/a consideraqao do momenta minima de 18 ordem dado a seguir' (item 11.3.3.4.3):

A NBR 6118/2003 ainda informa que ao se considerar a momenta fletor minima pode-se desconsiderar a excentricidade acidental au 0 efeito das imperfeiyoes locais, e que ao momenta minima devem ser acrescidos as momentos de 28 ordem, descritos no item 6 deste artigo.

"Sob a aqao das cargas verticais e horizontais, as nos da estrutura deslocam-se horizonta/mente. Os esforqos de ? ordem decorrentes desses des/ocamentos SaD chamados efeitos globais de 28 ordem. Nas barras da estrutura, como um lance de pilar,

os respectivos eixos nao se mantem reti/fneos, surgindo af efeitos /ocais de ;:a ordem que, em principio, afetam principa/mente os esforgos solicitantes ao longo delas" (item 15.4.1).

"As estruturas SaD consideradas, para efeito de calculo, como de nos fixos, quando os deslocamentos horizontais dos nos SaDpequenos e, por decorrencia, os efeitos g/obais de 28 ordem sao despreziveis (inferiores a 10 % dos respectivos esforr:;os de 180rdem).

Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 28 ordem" (item 15.4.2).

"A analise global de ~ ordem fomece apenas os esforgos nas extremidades das barras, devendo ser rea/izada uma analise dos efeitos locais de ~ ordem ao /ongo dos eixos das barras comprimidas". as elementos iso/ados, para fins de verificagao local, devem ser form ados pelas barras comprimidas reUradas da estrutura, com comprimento ÂŁe , porem ap/icando-se as suas extremidades os esforgos obtidos atraves da analise global de 28 ordem (item 15.7.4).

Neste artigo, admite-se que os pilares sejam de nos fixos, onde basta considerar os efeitos localizados de 2a ordem. "as efeitos locais de 28 ordem em elementos iso/ados podem ser desprezados quando 0 Indice de esbeltez for menor que 0 valor limite A1" (item 15.8.2), calculado pela expressao: A1 =

25 + 12,5~ h ab

(Equagao 4)

onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (nao inclui a excentricidade acidental ea); e1/h = excentricidade relativa de 1a ordem;

.Deve-se ter pilar de segao e armadura constantes ao longo do eixo longitudinal. 0 valor de ab deve ser obtido conforme estabelecido a seguir:

ab = 0,60 + 0,40

M

_B

MA

0,40

;::::

MA e MB sao os momentos de 1a ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA 0 maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB 0 sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA , e negativo em caso contrario.

c) para pi/ares em balango M ab = 0,80 + 0,20 ~ ;::::0,85

MA

= momento = momento

MA Me

de 13 ordem no engaste; de 13 ordem no meio do pilar em balan90.

d) para pi/ares biapoiados ou em ba/am;o com momentos menores que minimo

o fator

0

momenta

consta do ACI318 (1995) com a notac;:ao Cm (item 10.12.3.1). Porem, ao contrario da NBR 6118/2003, que tambem considera a excentricidade relativa e1/h, tanto 0 ACI como 0 Eurocode 2 (1992) e 0 MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em func;:ao da razao entre os momentos f1etores ou entre as excentricidades nas extremidades do pilar.

Ub

6. Determina~ao dos Efeitos Locais de 2a Ordem "0 ca/culo pode ser feito pe/o metodo gera/ ou por metodos aproximados. 0 metodo gera/ e obrigat6rio para A > 140' (item 15.8.3).

A norma apresenta quatro diferentes metodos aproximados, sendo eles: metodo do pi/ar-padrao com curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), metodo do pi/ar-padrao com rigidez K aproximada (item 15.8.3.3.3), metodo do pilar-padrao acop/ado a diagramas M, N, 1/r (item 15.8.3.3.4) e medodo do pilar-padrao para pi/ares de sec;ao retangu/ar submetidos a flexao composta obliqua (item 15.8.3.3.5).

Neste artigo apresentam-se apenas os chamados "Metodo do pi/ar-padrao com curvatura aproximada" e "Metodo do pi/ar-padrao com rigidez K aproximada", os quais podem ser aplicados no calculo de pilares simetrica e constante ao longo do seu eixo.

com Amax:::;90, sec;:ao constante

e armadura

"A nao-linearidade geometrica e considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformac;ao da barra seja senoida/. A nao-/inearidade fisica e considerada atraves de uma expressao aproximada da curvatura na sec;ao critica".

o momento

1 r

sendo: v

fletor total maximo no pilar deve ser calculado

0,005 0,005 ----<-h(v+O,5) h

=

NSd

Ae

. fed

M1d,A 2 M1d,min com:

v = fon;a normal adimensional;

M1dA = valor de calculo de 13 ordem do momento MA; M1d,min= momento fletor mfnimo como definido na eq. 3;

pela expressao:

NSd= forga normal solicitante de calculo; Ac = area da segao transversal do pilar; fed= resistencia de calculo a compressao do concreto (fed= fck lYe); h = dimensao da segao transversa! na diregao considerada.

A rigor, 0 momenta fletor total maximo deve ser calculado para cada diregao principal do pilar. Ele leva em conta que, numa sec;ao intermediaria onde ocorre a excentricidade maxima de 2a ordem, 0 momenta fletor maximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator cx'b. Isto e semelhante ao que encontra-se no item 7.5.4 de FUSCO (1981), com a diferenc;a de que novos parametros foram estabelecidos para cx'b. Se 0 momenta de 1a ordem for nulo ou menor que 0 minimo, entao 0 momento minimo, constante na altura do pilar, deve ser somado ao momenta fletor de 2a ordem.

"A nao-linearidade geometrica e considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformaqao da barra seja senoidal. A nao-linearidade f[sica deve ser considerada atraves de uma expressao aproximada da rigidez". o momenta total maximo no pilar deve ser calculado a partir da majoraqao do momento de 18 ordem pela expressao: M

=

d,lol

cx'b

1_

M1d,A > {M1d,A ).,?

- M 1d,min

120

K

= 32

}

KI

V

(1 + 5 h.Md,IOI Jv N d

"As variaveis h, v, M1d,A e cx'b sac as mesmas definidas anteriormente. Usualmente, duas ou tres iteraqaes sao suficientes quando se optar par um calculo iterativo."

Substituindo a equagao 12 na equagao 11 obtem-se uma equagao do 20 grau que serve para calcular diretamente 0 valor de Md,IOI' sem a necessidade de se fazer iterag6es: 19200 M~,lot+ (3840 h Nd -

i!-

h Nd -19200

cx'b

M1d,A) Md,tol- 3840

cx'b

h Nd M1d,A = 0

(Equagao 13)

Apresenta-se 0 roteiro de calculo dos chamados pHares intermediarios, com a aplicagao do "Metodo do pilar-padrao com curvatura aproximada" e do "Metoda do pilarpadrao com rigidez K aproximada".

No pilar intermediario, devido a continuidade das vigas e lajes no pilar, tem-se: MA = Ms = 0 , em ambas as direg6es do pilar, 0 que leva a M1d,A = 0 e e1 = O.

onde: Nk = forc;a normal caracteristica no pilar; = coeficiente de majorac;ao da forc;a normal (ver Tabela 13.1 da NBR 6118/03); "If = coeficiente de majorac;ao da forc;a normal, como definido na Tabela 11.1 da NBR 6118/2003.

"In

A=~

d) Esbeltez ~ _

_

, para sec;ao retangular:

i

A ='

346 C h

e

Limite 25 +12,5 ~ h

/\'1-

e1 = 0 para pilar intermediario.

A .:::::A1 - nao considera-se 0 efeito de 2a ordem para a direc;ao considerada; A > A1 - considera-se 0 efeito de 2a ordem para a direc;ao considerada. e) Momenta de 2a Ordem e1) Metodo do Pilar-Padrao com CurvaturaAproximada Determina-se Md,totpela Equac;ao 8:

Md,tot = Ub

.

e 2e

1 {M

M1d,A + Nd -~ 10 r

. e2) Armadura Longitudinal Determinam-se os coeficientes

No abaco de flexao composta a armadura do pilar com a equac;ao:

=

A S

CD

1d,A

M1d,min adimensionais:

normal determina-se

a taxa mecanica

Ae fed

CD

e calcula-se

(Equac;ao 15)

f

Yd

e3) Metodo do Pilar-Padrao com Rigidez K Aproximada Determina-se Md,totpela Equac;ao 13 e a armadura 2

19200 M~,tot + (3840 h Nd - A h Nd -19200

ub

conforme

M1d,A) Md,tot- 3840

0

item e2):

ub

h Nd M1d,A = 0

8. Exemplos de Cillculo Os exemplos numericos a seguir sac de pilares intermediarios, biapoiados, de nos fixos e sem forc;as transversais atuantes. Os seguintes dados sac comuns em todos as exemplos: - concreto C-20; ac;o CA-50 A - d' = 4,0 em ; ÂĽe = ÂĽf =1,4

Oimensionar a armadura longitudinal vertical do pilar mostrado na figura 3, sendo conhecidos: Nk = 785,7 kN sec;ao 20 x 50 (Ac eex = eey = 280 cm

=

1000 cm2)

Embora a armadura longitudinal resultara do calculo segundo a direc;ao de men or rigidez do pilar (dir. y), a titulo de exemplo sera demonstrado tambem 0 calculo segundo a direc;ao x. a) Esforc;os solicitantes A forc;a normal de calculo e: Nd = Yn. Yf. Nk = 1,0 . 1,4 . 785,7= 1100 kN. Tratando-se de um pilar intermediario, nao existem momentos fletores excentricidades de 1a ordem em ambas as direc;oes do pilar.

e

A = 3,46 J! ex = 3,46¡ 280 = 19 4 x hx 50 ' 3,46 J! ey A =---= y hy

346 . 280 ' =484 20 '

o momenta

fletor minimo, em eada direc;ao, e caleulado pela Equac;ao 3: = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em em.

M1d,min

Oir. x:

M1d,min,x

Oir. y:

M1d,min,y

= 1100 (1,5+ 0,03.50)= 3300 kN.em = 1100 (1,5+ 0,03.20)= 2310 kN.em

d) Esbeltez limite '\ _

A1-

25 +12,5 ~ h

Nos pilares intermediarios nao ocorrem momentos fletores e excentricidades de 1a ordem nas extremidades do pilar em ambas as direc;oes x e y, isto e, MA = MB = O. Oai resulta que Ctb e igual a 1,0. Assim:

Desse modo: = 19,4 < A1,x Ay 48,4 > A1,y Ax

:. nao sao considerados os efeitos 'de 28 ordem na dire<;ao x; :. sac considerados os efeitos de 28 ordem na dire<;ao y.

=

o

momenta de 28 ordem sera avaliado pelos metodos curvatura aproximada e do pilar-padrao com rigidez K aproximada.

v

= _N_d_ Ae

2= r

=

0,005 h(v+0,50)

Dir. y:

Md,tot,y

= 1,0.2310

:. Md,tot,y

Para na figura 4.

0

0,005 20(0,77+0,5)

. fed

=

1100 1000 2,0 1,4

= 1,9685. 10-4 m-1

~

do pilar-padrao

com

= 077

0,005 20

'

= 2,5 .10-4 m-1

+ 1100 2~~2 1,9685.10-4 = 4008 kN.cm

= 4008 kN.cm ~

M1d,min,y

= 2310 kN.cm

momento total maximo na dire<;ao y resultam as excentricidades

mostradas

e1y,min

A exeentrieidade ey determinada (eay + e2y 2,00 + 1,72), muito proxima

=

e2) Caleulo da armadura Com v = 0,77 e utilizando

M d,tot,x

_

j-L-

=

hx . Ae. fed

50.1000

eonforme a NBR 6118/78 resulta da ealeulada pela NBR 6118/2003.

os abaeos de VENTURINI

= 005

3300

= 2,1 em

2,0

igual a 3,72 em

(1987) para flexao

reta:

Abaeo A-25

'

1,4

d'x = 4,0 = 0 08 ~ 0 10

hx

j-L

50

=

'

,

=

Md,tot,y hy . Ae. fed

=

4008 20.1000

2,0

0 14 '

1,4 d' _y

=

hy As

=

(J)

4,0 = 0 20

20

'

0,38 . 1000 2,0 A e fed = 1_,4_ = 12,49 em2

fYd

50 1,15

Aplicando

a Equayao

13 numericamente 19200 M~,tot + (3840 h Nd - 'A2 h Nd -19200

para a direyao y, tem-se: Ub

M1d,A) Md,tot - 3840

Ub

h Nd M1d,A

=0

19200 M;,IOI+ (3840.20.1100

- 48,42 .20.1100

-19200.1,0.2310)

Md,IOI-

- 3840 . 1,0. 20 . 1100 . 2310 = 0 19200 M~,IOI-11408320 M~, 101

-

Md,lol-1,951488 , 1011 = 0

=0

594,2 Md, lot -10164000

A raiz positiva da equa<;ao de 20 grau e: Md,tot= 3500 kN,cm;::: M1d,mln= 2310 kN.cm e4) Calculo da armadura Com v = 0,77 e utilizando os abacos de VENTURINI (1987) para flexao reta: fl- =

Md,lot,y = 3500 = 0 12 hy . Ae, fed 20,1000 2,0 '

Abaco A-4

1,4

d' 0 -y = ~ =020 hy 20 ' As =

CO

Ae fed =

0,30 , 1000 2,0 1_,4_ = 986 cm2

50

~d

'

1,15

8.2 Exemplo Numerico 2

Este segundo exemplo e semelhante ao primeiro, com exce<;ao da maior for<;a normal de compressao, Sao conhecidos: Nk = 1071 kN se<;ao 20 x 50 (Ae = 1000 cm2) fex = fey = 280 cm

I

E!

o!

°1 ~I >.1

..c!

i

I

------~-I

Nd

L

a) Esfor<;os solicitantes A forya normal de calculo

e:

Nd = Yn. Yf . Nk = 1,0 . 1,4 . 1071 = 1500 kN.

b) fndice de esbeltez

= 3,46

Ie x

hx

Rex

= 3,46·280 = 194 50

'

A = 3,46

e ey

= 3,46¡280

hy

y

20

= 484

'

c) Momento fletor mlnimo a momento fletor mlnimo, em cada dire9c3o,e calculado pela Eq. 3: M1d,mln = Nd (1,5 + 0,03 h), com h em em.

Oir. x:

M1d,min,x

= 1500 (1,5+ 0,03. 50)= 4500 kN .em

Oir. y:

M1d,min,y

= 1500 (1,5+ 0,03.20)=

3150 kN.em

d) Esbeltez limite 25 +12,5 ~ A1=----h-

Oesse modo: 19,4 < A1,x Ay = 48,4 > A1,y

Ax

=

:. nao sac eonsiderados os efeitos de 2a ordem na dire9c30x; ... sac eonsiderados os efeitos de 2a ordem na dire9ao y.

o

momenta de 2a ordem sera avaliado pelos metod os do pilar-padrao eurvatura aproximada e do pilar-padrao com rigidez K aproximada.

v = _N_d_ = 1500 = 105 Ae . fed 1000 2,0 ' 1,4

~=

r

0,005 = 0,005 -1,6129.10-4 h (v + 0,50) 20 (1,05+ 0,5)

m-1 ::::;0,005 0,20

= 2,5 .10-4

m-1

com

2

= 1,0. 3150 + 1500 280 1,6129.10-4 = 5047 kN.em , , 10

Dir. y:

Md tot y Md,tot,y

Para na figura 6.

= 5047

kN.em

:2: M1d,min,y

= 3150 kN.em

momento total maximo na direC;80 y resultam as exeentrieidades mostradas '

0

82y

=

1,26

81y,min=

em

2,1em

A exeentrieidade ey determinada eonforme a NBR 6118/78 resulta igual a 3,41 em (eay + e2y= 2,00 + 1,41), muito proxima da ealeulada pel a NBR 6118/2003. e2) Caleulo da armadura Com v 1,05 e utilizando os abaeos de VENTURINI (1987) para flex80 reta:

=

M d,tot,x

_

IJ--

hx

.

=

Ac. fed

4500 = 006 50.1000 2,0 ' 1,4

Abaeo A-25

d' x = 4,0 = 0 08 :::::0 10 hx 50' ,

IJ-

=

Md,tot,y

=

hy . Ac. fed

d'

_y = 4,0 = 0 20 hy 20 '

5047 = 0 18 20.1000 2,0 ' 1,4

Abaeo A-4

As =

(j)

Ac fed fYd

0,78 .1000 2,0

=

1_14_ = 25,63 cm2

50 1,15

e3) Metodo do pilar-padrao com rigidez K aproximada Aplicando a Equac;ao 13 numericamente para a direc;ao y, tem-se: 19200 M~,tot+ (3840 h Nd -

A?

h Nd -19200 cx'b M1d,A) Md,tot- 3840 cx'b h Nd M1d,A = 0

19200 M~,tot+ (3840.20.1500

- 48,42 .20.1500 -19200.1,0.3150)

- 3840 1,0 20 1500 . 3150 = 0 0

0

0

19200 M~,tot-15556800

11

Md,tot- 3,6288.10

M~,tot-810,25 Md,tot-18900000

=

Md,tot-

°

=0 0

A raiz positiva da equac;ao de 2 grau e: Md,tot= 4771 kN.cm;::: M1d,min = 3150 kN.cm e4) Calculo da armadura Com v = 1,05 e utilizando os abacos de VENTURINI (1987) para flexao reta: !-l=

Md,tot,y 4771 =017 hy . Acofed 20.1000 2,0 ' 1,4

Abaco A-4

d'

_y = 4,0 = 020 hy 20 '

As =

CD

Ae fed = fyd

0,76 . 1000 2,0 1_,4_=2497 cm2 50 ' 1,15

A Tabela 1 apresenta um resumo dos resultados obtidos, calculados segundo as normas NBR 6118/78 e NBR 6118/2003.

Para efeito comparativo foram calculadas as armaduras longitudinais dos pilares segundo as metodologias das normas NBR 6118/78 e NBR 6118/2003. Utilizaram-se dois exemplos de calculo de pilares intermediarios, buscando-se conservar suas caracterfsticas f1sicas e mecanicas, tais como dimens6es e resistencia, aumentando-se a forc;a normal atuante.

As armaduras foram calculadas com d' de 3,0 cm e 4,0 cm para a NBR 6118/78 e d' de 4,0 cm para a NBR 6118/2003. Ao especificar um maior cobrimento nominal, 0 valor de d', que para a NBR 6118/78 era comumente considerado igual a 3,0 cm, passou a ser de 4,0 cm para a nova norma.

Tabela 1 - Momentos fletores de calculo (kN.cm) e areas de armadura (cm2) obtidas se undo a NBR 6118/78 e NBR 6118/2003.

Exemplo 1

Exemplo 2

4092

As 11,50 12,49

/ 5115

As 24,31 25,63

4008

12,49

5047

25,63

- 2,0

+ 8,6 0,0

- 1,4

+5,4 0,0

3500

9,86

4771

24,97

- 14,5

- 14,3 - 21,1

- 6,7

+ 2,7 - 2,6

Mdlol

Md 101

Nos dois exemplos observa-se que 0 metodo da curvatura aproximada resultou armaduras identicas aquelas obtidas segundo a NBR 6118/78, para 0 mesmo valor de d'.

Comparando com a armadura calculada para d' igual a 3,0 cm nota-se que, ao aumentar o cobrimento, a nova norma esta aumentando a armadura necessaria para 0 pilar.

Nos dois exemplos numericos nota-se que a excentricidade minima foi um pouco superior a excentricidade acidental da NBR 6118/2003. Mesmo assim os momentos maximos calculados pelo metoda da curvatura aproximada foram um pouco menores.

Isso ocorre porque a excentricidade de 2a ordem da NBR 6118/2003 resulta um pouco menor que aquela da NBR 6118/78.

Mesmo tratando-se de pilares intermediarios, onde nao ocorrem momentos fletores de 1a ordem, notou-se um aumento consideravel da armadura, em tome de 100 %, para um aumento de apenas 36 % para a forya normal do exemplo 2.

Embora apenas dois exemplos numericos tenham side apresentados, pelos valores contidos na T abela 1 pode-se observar que 0 metodo da rigidez aproximada resulta . armaduras inferiores ao metodo da curvatura aproximada. Para a forya normal maior a diferenya de armadura diminuiu de 21,1 % para 2,6 %. Outros exemplos devem ser feitos para verificar 0 problema.

Este trabalho apresentou uma comparac;ao entre as metodologias de calculo utilizadas pela NBR 6118/78 e pel a NBR 6118/2003 no dimensionamento da armadura de pilares intermediarios. Para a COmparayaO foram calculados dois exemplos de pilares empregando-se ambos os metodos.

Vale lembrar que outros exemplos com solicitayoes diversas e considerayao da fluencia no concreto devem ser realizados para se obter resultados mais abrangentes e conclusivos.

Nos pilares intermediarios, como nao ocorrem momentos fletores de 1a ordem, sempre resultara A1 igual a 35. Isso implica que a nova norma esta um pouco mais conservadora na questao de se considerar os efeitos de 2a ordem, po is na NBR 6118/78 0 limite era um pouco superior (40).

A NBR 6118/78 considera como excentricidade acidental 2,0 em, ao passo que a NBR 6118/2003 considera 0 valor da falta de retilinidade que, na grande maioria das vezes, e bem menor que os 2,0 cm adotados pela NBR 6118/78. Por exemplo, tomando-

se 0 maior valor admitido de 81 = 1/200, para um pilar de altura H igual a 400 em, 0 valor da exeentricidade acidental resulta igual a 1,0 em.

Em relac;ao ao ealeulo do momento minimo, ha uma questao a ser eoloeada. A NBR 6118/2003 afirma que "0 efeito das imperfeic;oes locais nos pilares pode ser substituido em estruturas reticuladas pela consideraC;Bo do momento minimo de 18ordem" (item 11.3.3.4.3). Pode-se entender que, sendo 0 momento de 1a ordem MA na extremidade do pilar maior que 0 momento minimo, no ealeulo do momento total deve-se tomar para M1d,A 0 seu proprio valor (MA), sem aerescimo do momento devido excentricidade acidental (Nd . ea). Como MA e nulo no easo dos pilares intermediarios, toma-se para M1d,A0 valor do momento minimo, nas duas direc;6es principais do pilar.

A Equac;ao 13 apresentada transforma 0 calculo iterativo numa equac;ao do 2° grau, 0 que facilita um pouco 0 trabalho manual.

Outros dois artigos dos autores tratam dos pilares de extremidade e dos pilares de canto.

a

Referencias Bibliograficas AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete, ACI318 R-95. Farmington Hills, 1995, 369p.

ASSOCIA<;Ao BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. Projeto e execuC;Bo de estruturas de concreto armado, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 1978, 76p.

ASSOCIA<;Ao BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. Projeto de estruturas de concreto - Procedimento, NBR 6118. Rio de Janeiro, ABNT, 2003, 170p.

COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-FIP Model Code 1990: final draft.

Bulletim D'information, n.203, 204 e 205, jul., 1991.

EUROPEAN COMMITTEE STANDARDIZATION. Eurocode 2 - Design structures. Part 1: General rules and rules for buildings. London, BSI, 1992.

FUSCO, P.B. Estruturas de concreto Guanabara Dois, 1981, 464p.

- Solicitac;oes normais.

of concrete

Rio de Janeiro,

ed.

VENTURINI, W.S. Dimensionamento de pec;as retangulares de concreto armado solicitadas a flexao reta. Sao Carlos, Departamento de Engenharia de Estruturas, Eseola de Engenharia de Sao Carlos - USP, 1987.

DIMENSIONAMENTO E DETALHAMENTO AUTOMATICO DE PILARES RETANGULARES SUBMETIDOS

A FLExAo COMPOSTA oBLIQuA

Disserta~ao submetida it Universidade de

Santa

Catarina

exigido pelo Programa

como

requisito

Federal parcial

de P6s-Gradua~ao

em

Engenharia Civil - PPGEC, para a obten~ao do Titulo de Mestre em Engenharia Civil.

Florian6polis

2005

USTA DE EXRECiclOS PILARES Disciplina: Estruturas em Concreto II - 2585 Curso: Engenharia Civil

1- Dimensionar e detalhar as armaduras (longitudinal e transversal) para 0 pilar de se<;ao transversal como abaixo indicado, de altura igual a 7 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de calculo (Nd) de 4000 kN. Considerar: - concreto: C25; - a<;o: CA-50; - cobrimento da armadura: 3 cm; - diametro da armadura transversal: 5 mm; e - diametro da armadura longitudinal: 16 mm.

2- Determinar 0 diametro da armadura para a se<;ao transversal do pilar abaixo representado, de altura igual a 3 m (comprimento de flambagem), sujeito a uma carga axial centrada de calculo (Nd) de 1716 kN. 1<E; 30 em"l Considerar: - concreto: C20; '-'Il-.-'Il-.. -J$it-lI;'" - a<;o:CA-50; - cobrimento da armadura: 3 cm; - diametro da armadura transversal: 5 mm; e m - armadura longitudinal: 8 ~.

T

41

,"-.~_'Mi_1WJ __ J$it--l

3- Determinar o diametro da armadura para a se<;ao transversal do pilar abaixo representado.

1-< 30 em ;.1 Considerar: - concreto: C20; - a<;o:CA-50; - cobrimento da armadura: 3 cm; - diametro da armadura transversal: 5 mm; - armadura longitudinal: 8 ~; - altura do pilar (comprimento de flambagem): 4 m; - carregamento axial (Nd): 2317 kN; e - excentricidade: 5 cm.

4- 0 pilar central P2 de um ediflcio recebe, em cada nivel, as rea<;oes de apoio das vigas V1, V2, V3 (pavimento tipo) e V4 (cobertura). Sabendo-se que, em cada lance, 0 peso proprio do pilar pode ser avaliado como sendo iguai a 1% da for<;a normal acumulada atuante no seu topo, pede-se: a. 0 valor da for9a normal de calculo, suposta centrada, atuante no primeiro lance do pilar P2 (carga atuante no pilar situado abaixo da V1); , b. 0 dimensionamento da se9c3otransversal do primeiro lance (defini9c3o de hx), prevendo-se uma taxa geometrica de armadura em torno de 2%; e c. 0 dimensionamento da armadura para a carga estabelecida no item a, com hx definido no item b.

Considerar: - concreto: C20; - a90: CA-50; e - rea90es das vigas: - V4: 300 kN (valor caracteristico); - V1 V2 V3: 400 kN (valor caracteristico).

=

=

V4 (cob)

!y J

3m

V3 (tipo)

1

hx

T

4° lance

1

3° lance

I

--_

.

3m

V2 (tipo)

, V1, V2, V3 e V4

3m

2° lance V1 (tipo) in lance

+ + +

3m ~

Secao Transversal Pilar P2 Obs: - admitir d'x/hx = 0,10 e d'y/hy = 0,20; - ediflcio constituido por pavimento terreo, tres pavimentos tipo (onde atuam as vigas V1, V2 e V3) e cobertura (onde atua a viga V4); - largura do pilar hx como multiplo de 5 cm; e - armadura longitudinal do pilar colocada paralelamente ao lado hx (metade para cada lade).

5- Determinar 0 diametro minima (<I» para as barras do pilar abaixo representado. 0 pilar devera ser constituido por dez barras longitudinais dispostas, cinco a cinco, paralelamente ao lado maior.

Considerar: - concreto: C20; - ago: CA-50; - d'/h = ,0, 10 (nas duas diregoes).

- Nd: 2053 kN (compressao ao longo do eixo z); e

I

I

-~~.:-_::.:- --- --T--

,-.._~.~'>

60 ern

---

Diagrama r·Ao 1Y19.r!J§IlL9§. §!.uaD1~'-~ DQ Q] a llQ }'?,.

Obs: eixo z da figura corresponde a altura do pilar e 0 plano xy contem a segao transversal do mesmo; - efetuar 0 calculo da armadura (determinagao obrigat6ria dos valores de As) considerando, isoladamente, as duas diregoes; e - nas consideragoes envolvendo a posigao J, os momentos fletores atuantes no pilar (plano yz) nao deverao ser somados.

- 0

6- Determinar a armadura necessaria para 0 pilar abaixo representado.

Considerar: - concreto: C20; - ac;o: CA-50; e - d./h = 0,10 (nas duas direc;oes).

Obs: - as solicitac;oes (forc;a normal e momentos fletores) correspondem a valores de calculo; - os momentos atuam no plano xz e tracionam 0 mesmo lado do pilar; - 0 pilar tem seC;<3o transversal constante e armadura simetrica e constante ao longo de seu eixo (eixo vertical); - 0 pilar e bi-rotulado, sem viga intermediaria de travamento; e - taxa maxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

1.

7- Determinar as armaduras necessarias para os pilares AS e DC do portico indicado na figura.

Considerar: - concreto: C20; - ayo: CA-50; - d' = 0,10 h (nas duas direyoes) - estrutura de n6s fixos; - comprimento de flambagem dos pilares lex= ley = 0,7 X 3,5:= 2,45 m; - carregamento atuante com valores de calculo para a carga permanente e para a carga acidental; e - diagramas Md e Nd (valores de calculo) indicados nas figuras.

Obs: - 0 p6rtico esta contido no plano xz; - 0 pilar tem seyao transversal constante e armadura simetrica e constante ao longo de seu eixo vertical; e - taxa maxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

1 10'"''''

l:~

46.:

.t

~<-",,-,;<_."'c'-'.-

I

8- Usando bitolas (<p) de 20 mm, determinar

numero total de barras da armadura longitudinal que, colocadas conforme disposiyao indicada na seyao transversal, sac necessarias para 0 pilar pre-moldado representado na figura abaixo.

Considerar: - concreto: C30 (Yc 1,40); - ayo: CA-50 (Y5 1,15); - altura do pilar: 1= 3,2 m; - forya normal (eixo z): NSd= Nd = 1028,57 kN; - momento f1etor (plano yz): MSd = MA,d= MS,d; - posi<;ao da armadura: d. = 0,10 h.

Obs.: - 0 pilar tem se<;ao transversal constante (40 cm x 40 cm) e armadura simetrica constante (paralela ao eixo x) ao longo do eixo z; - 0 pilar deve ser considerado livre no tope e engastado na base (Ie 21); - a for<;a normal Nd atua com uma excentricidade de 30 cm somente na dire<;ao y; - no plano yz, 0 diagrama de momentos e 0 indicado na figura; - no plano xz, nao existem momentos provenientes do carregamento atuante; e - no dimensionamento da armadura considerar apenas os esfor<;os (solicita<;oes) no plano yz.

=

0

=

=

I

v

X

~~M,'" d / j,.'

x esquema do pilar

solicitacoes de calculo (plano yz)

0 diametro da armadura para a se<;ao transversal representado.

Considerar: - concreto: C20; - a<;o: CA-50; - cobrimento da armadura: 3 cm; - diametro da armadura transversal: 6,3 mm; - armadura longitudinal: 10 <P; - altura do pilar (comprimento de flambagem): 3 m; - carregamento axial (Nd): 3004 kN; - excentricidade na dire<;ao x: 3 cm; e - excentricidade na dire<;ao y: 7 cm.

9- Determinar

do pilar abaixo '"

'"

t>

,. em (hy) <I>

III

,if

<I>

~-_.ZtQ Cf11

10- Abaixo e representado um pilar de concreto armado com altura de um lance igual a 3,8 m e se<;ao transversal quadrada com 40 cm x 40 cm. Considerando os esfor<;os solicitantes de calculo indicados abaixo e sabendo que a se<;ao transversal do pilar tera dez barras, com a distribui<;ao indicada na figura, pede-se a area de a<;o (As) necessaria e o diametro (<p) das barras.

Considerar: - concreto: C20 (Ye 1,4); - a<;o: CA-50 (Y5 = 1,15); - d. = 4 cm.

- taxa de armadura: As = 8% Ac; Obs: - as solicita<;oes (for<;a normal e momentos fletores) correspondem a valores de calculo; - 0 pilar tem se<;ao transversal constante e armadura simetrica e constante ao longo de seu eixo (z); - os momentos fletores 50,10 kNm e 183,04 kNm atuam no plano xz (dire<;ao x), os momentos fletores 62,40 kNm e 91,52 kNm atuam no plano yz (dire<;ao y); - hx corresponde a dimensao do pilar na dire<;ao x, hy corresponde a dimensao do pilar na dire<;ao y; e - 0 preenchimento do quadro abaixo e obrigat6rio.

=

~2,40 kNmJ

2746kNl J//

.

1/

A

T

/

40 ern (hy)

1 40 em ,..·..·_··· ..····,..1 u\)

Solicitac6es (valores de calculo)

11- Determinar a armadura necessaria para 0 pilar de canto abaixo representado.

Considerar: - concreto: C20; - ago: CA-50; - d.y = 0,05 hy; d.x = 0,10 hx; -Iex= ley = 5,0 m; - Nd = 686 kN; e - Mxd,topo = Mxd,base = Myd,topo = Myd,base = 102,9 kNm. Obs: - as solicitagoes (forc;a normal e momentos f1etores) correspondem a valores de calculo; - 0 pilar tem segao transversal constante e armadura simetrica e constante ao longo de seu eixo (eixo vertical); - os momentos Mxd,topo e Mxd,base estao contidos no plano xz; - os momentos Myd,topo e Myd,base estao contidos no plano yz; - 0 pilar e bi-rotulado, sem viga intermediaria de travamento; e - taxa maxima de armadura longitudinal do pilar igual a 4% (armadura com traspasse).

A

40 em (l1y)