VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Método de los Discos El
El Método de las Arandelas El Método de los Cascarones Cilíndricos
Frases Celebres
“La paz no puede lograrse a través de la violencia, sólo puede lograrse a través del entendimiento” Albert Einstein Sabias palabras de uno de los más grandes genios de nuestra historia, quien, coincidencialmente, gracias a sus estudios es también uno de los padres de la bomba atómica. Quise comenzar con este pensamiento porque me parece perfecto para lo que estamos viviendo en Venezuela, los grupos de hermanos que ya no sólo no se entienden, sino que están dispuestos a matarse. Señores “líderes” piensen, reflexionen, asuman y actúen por favor en nombre de los jóvenes a quienes les escribo, en nombre del país. Eviten que tengamos que matarnos, sólo ustedes y nadie más puede hacerlo. “Hemos aprendido a volar como los pájaros y nadar como los peces, pero no hemos aprendido el sencillo arte de vivir juntos como hermanos”. Martín Luther King
Stefania Colmenarez
EDITORIAL Diseño, Diagramación y Redacción: Stefanía Colmenarez
Portada: Solido de Revolución
Volumen de un Solido de RevoluciĂłn i una regiĂłn đ?‘… en el plano đ?‘Ľđ?‘Ś
Nuestro
se hace girar en torno a un
consistirĂĄ en determinar
eje đ??ż , generarĂĄ un sĂłlido,
el volumen del sĂłlido de
denominado revolución�.
“SĂłlido
de
problema
revoluciĂłn, generado al girar en torno a un eje đ??ż una regiĂłn en el plano
đ?‘Ľđ?‘Ś.
Volumen de un Solido de Revolución ¿Cuál es el sólido generado al rotar la región alrededor del eje indicado?
CILINDRO DE REVOLUCIÓN s el sólido que se genera al girar una vuelta completa un rectángulo alrededor de uno de sus lados. radio r
Superficie lateral
h
bases
Para
estudiar
las
El volumen de un sólido (�) es
propiedades relativas al ĂĄrea
la medida del espacio
que
lateral y total del cilindro,
ocupa. En el caso del cilindro,
realizaremos el desarrollo de
su volumen estarĂĄ dado por el
su superficie lateral.
producto del ĂĄrea de su base por su altura.
r
bases
r
A rectĂĄngulo = A lateral
h 2Ď€r
h
r
Ă rea Lateral
2đ?œ‹đ?‘&#x;â„Ž
Ă rea Total
2đ?œ‹đ?‘&#x;â„Ž + 2đ?œ‹đ?‘&#x;2
= 2đ?œ‹đ?‘&#x;(â„Ž + đ?‘&#x;)
CONO DE REVOLUCIĂ“N s el sĂłlido que se obtiene al girar una vuelta completa un triĂĄngulo rectĂĄngulo alrededor de uno de sus catetos.
h
r En donde: đ?‘” = generatriz â„Ž = altura đ?‘&#x; = radio y de lo cual se desprende que
Tal como se hizo antes,
Es un tercio del producto del ĂĄrea
vamos
de su base por su altura.
a
efectuar
el
desarrollo de la superficie lateral
del
cono
para
estudiar sus propiedades
base
2ď °r
r
h
AcĂrculo = đ?œ‹đ?‘&#x;2
Alateral Atotal r
g
đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘” đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘” − Ď€đ?‘&#x; 2
ESFERA DE REVOLUCIĂ“N s el sĂłlido que se obtiene al girar un semicĂrculo una
vuelta
completa
alrededor de su diĂĄmetro.
R
Ă rea de la Superficie đ?&#x;’đ??…đ?‘šđ?&#x;? EsfĂŠrica
Volumen de la Esfera
đ?&#x;’ đ??…đ?‘šđ?&#x;‘ đ?&#x;‘
EL MÉTODO DE LOS DISCOS i giramos una región del plano alrededor de un eje
Sea đ?‘“ una funciĂłn continua en
obtenemos
de
el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?] y đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼
revoluciĂłn. El mĂĄs simple de
0 en [đ?‘Ž, đ?‘?]. El volumen del
ellos es el cilindro circular
sĂłlido
un
sĂłlido
obtenido
la regiĂłn
recto o disco, que se forma al
girar
un
alrededor
de
rectĂĄngulo un
eje
adyacente a uno de los lados
đ?‘“(đ?‘Ľ), las rectas đ?‘Ľ = đ?‘Ž, đ?‘Ľ = đ?‘? y
el eje đ?‘Ľ es:
a
đ?‘›
đ?‘›â†’∞
y=f(x) ď „ xi
la curva đ?‘Ś =
limitada por
� = lim
del rectĂĄngulo.
al
đ?œ‹ đ?‘“ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=0 đ?‘?
= đ?œ‹ đ?‘Ž
đ?‘“ đ?‘Ľđ?‘–
2 đ?‘‘đ?‘Ľ
Diferencial de volumen
f(xi) x b
∆xi
i
ď „Vi  ď ° ď › f  xi ď ? ď „xi 2
f(xi)
2 ∆đ?‘Ľ đ?‘–
Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del 𝑦 =
eje
𝑥
la
región
bajo
la
curva:
𝑥, de 0 a 1. Solución:
El solido está entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).
El volumen de este disco será:
𝑉 = 𝜋( 𝑥)2 = 𝜋𝑥 1
𝑉=
1
𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = 0
0
1 𝑥2 1 = 𝜋 𝜋𝑥𝑑𝑥 = 𝜋 2 2 0 𝜋 = 2
EL MÉTODO DE LAS ARANDELAS O ANILLO l mÊtodo de los discos
puede
extenderse
fĂĄcilmente
para
incluir
sĂłlidos de revoluciĂłn con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela o anillo representativo.
arandela girando
se un
La
obtiene rectĂĄngulo
Sean đ?‘“
y đ?‘”
dos funciones
continuas en [đ?‘Ž, đ?‘?] tales que đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ đ?‘”(đ?‘Ľ) para toda đ?‘Ľ en
[đ?‘Ž, đ?‘?]. El volumen del sĂłlido generado al rotar alrededor del eje đ?‘Ľ la regiĂłn limitada por đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) y las rectas đ?‘Ľ = đ?‘Ž y đ?‘Ľ = đ?‘? serĂĄ: đ?‘?
đ?‘‰=đ?œ‹
đ?‘“(đ?‘Ľ)
2
− đ?‘”(đ?‘Ľ)
Diferencial de volumen
ď „x
g(x)f(xi)
(*) x
đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?‘Ž
alrededor de un eje.
a
2
b

ď „xi

ď „Vi  ď ° ď ›f x ď ? ď€ ď ›gx ď ? ď „xi 2
2
Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas � = � y � = �² en torno al eje � . Solución:
Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersecciĂłn:
đ?‘Ľ = đ?‘ĽÂ˛ â&#x;š đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 = 0 â&#x;š đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 1) = 0 â&#x;š đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ś đ?‘Ľ = 1 ya con los puntos de intersecciĂłn graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado)
En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno. El radio interno es đ?‘Ś = đ?‘ĽÂ˛ y el radio externo es đ?‘Ś = đ?‘Ľ. Ahora hallamos el volumen: đ?‘‰ = đ?œ‹ 1
(đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 4 ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ‹
đ?‘‰= đ?œ‹ 0
3
5
đ?‘Ľ đ?‘Ľ − 3 5
đ?‘? đ?‘Ž
đ?‘… 2 − đ?‘&#x; 2 đ?‘‘đ?‘Ľ
1 1 2đ?œ‹ 1 = đ?œ‹ − = 0 3 5 15
EL MÉTODO DE LOS CASCARONES CIL�NDRICOS En algunos casos se desea calcular el volumen de una región
limitada
por
funciĂłn
una
al girar , para lo
cual se deben hallar los extremos locales de đ?‘“(đ?‘Ľ) y
despejar đ?‘Ľ en tĂŠrminos de đ?‘Ś (đ?‘Ľ = đ?‘”(đ?‘Ś)).
Esto
muchas
veces es muy complicado
Sea đ?‘“ una funciĂłn continua en el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?]. Suponga que đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 para toda đ?‘Ľ en
[đ?‘Ž, đ?‘?], si la regiĂłn limitada por las rectas đ?‘Ľ = đ?‘Ž y đ?‘Ľ = đ?‘? , el volumen obtenido serĂĄ:
por lo que se usarĂĄ otro mĂŠtodo:
los
cascarones
cilĂndricos.
ď „xi
el eje đ?‘Ľ y
la curva
xi
đ?‘?
đ?‘‰ = 2đ?œ‹
đ?‘Ľđ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž
Diferencial de volumen
xi
f(xi) ď „Vi  2ď ° xi f xi ď€Šď „xi
ď „xi f(xi)
La regiĂłn acotada por la grafica de đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − đ?‘ĽÂ˛ alrededor del eje đ?‘ŚÂ¸ calcule el volumen del solido resultante.
SoluciĂłn: Graficamos y obtenemos:
Donde đ?‘¤đ?‘– es el radio de el cascarĂłn y el grueso es ∆đ?‘Ľđ?‘– , y la altura es đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ² ; tenemos que el volumen del cascarĂłn
es: 2đ?œ‹đ?‘¤đ?‘– (2đ?‘¤đ?‘– − đ?‘¤đ?‘– ²) ∆đ?‘Ľđ?‘– 2
đ?‘‰ = 2đ?œ‹
2
2
đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ 0
0
2đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ4 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ − 3 4 2
3
2đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ4 2 3 1 4 8đ?œ‹ = 2đ?œ‹ − = 2đ?œ‹ •2 − •2 = 3 4 3 4 3
2 0
La paradoja del regalo de cumpleaños
Muchísimo conocimiento en matemáticas Para el año 1900, todo el conocimiento científico de la humanidad podía guardarse en un total de 80 libros. Hoy en día, las matemáticas se han desarrollado mucho más y con los nuevos aportes, se necesitarían 100.000 libros para la misma tarea.
En matemáticas existe una paradoja muy curiosa llamada “la paradoja del regalo de cumpleaños”. Esta dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que al menos 2 personas lleguen con el mismo regalo. Lleva goma de mascar a tu próximo examen de matemáticas Según se ha observado globalmente, aquellos estudiantes que durante una prueba o un examen de matemáticas mastican goma de mascar son los que consiguen mejores calificaciones. Así lo determinó un largo estudio desarrollado por un grupo de investigadores de la Louisiana State University.
Los antiguos babilonios, genios matemáticos Los antiguos babilonios, verdaderos genios en matemáticas, desarrollaron sus estudios matemáticos en base 60 en lugar de base 10. Por esta razón, un minuto tiene 60 segundos y un círculo tiene 360°. Ni en el calendario gregoriano ni en el juliano existe el año cero: del 31 de diciembre del año 1 antes de Cristo se pasa al 1 de enero del año 1 después de Cristo.
Aries la primera mitad del año 2016 podría ser un poco problemática; pero la segunda mitad será mejor. Debes tener paciencia porque todo llegará.
Tauro tendrá un mayor grado de estabilidad económica gracias a la presencia de Júpiter en las casas 10 y 11.
Este año para Géminis se cumplirán algunos de sus proyectos más ambiciosos. Es un año en general bueno tanto para los asuntos de trabajo o estudio como en los asuntos familiares.
Cáncer se sentirá relajado y realizado en ambas frentes, la situación económica empezará a preocuparle menos y disfrutará de un ambiente cordial en el trabajo y el hogar.
Leo es el quinto signo del zodiaco, los planetas podrían cambiar sus posiciones muy a menudo, lo cual no es muy bueno para los individuos de este signo.
La posición de los planetas en el 2016 será favorable para los Virgos a lo largo de todo el año. La posición de Saturno les dará entereza y un buen desarrollo profesional.
Libra podría hacer que padeciera algunos problemas de salud. En general, el 2016 será un período estable de relajación, debido a la favorable confluencia.
Escorpio es un signo de Agua. Entender a los individuos nacidos bajo este signo es bastante difícil, pero no imposible. Adoran la independencia y tienen una naturaleza muy reservada.
El 2016 permitirá a los Sagitario iluminar su camino con una nueva luz de la que han carecido durante dos años.
El año 2016 traerá buenos resultados para los individuos Capricornio debido a las posiciones de los planetas. Posibilidad de cambios de puesto o de lugar.
Acuario para el 2016 está lleno de sorpresas y sucesos inesperados. También lograrán muchas de las cosas que no pudieron conseguir en años anteriores.
La presencia de Júpiter mejorará mas todavía la capacidad de intuición de los piscis y esto les ayudará a resolver algunas deudas contraídas en años anteriores.
Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. . La matemática es la ciencia del orden y
la
medida,
de
bellas
cadenas
de
razonamientos, todos sencillos y fáciles. . Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.
.
Con números se puede demostrar cualquier cosa.
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