Solido de revolución

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Método de los Discos El

El Método de las Arandelas El Método de los Cascarones Cilíndricos

Frases Celebres

“La paz no puede lograrse a través de la violencia, sólo puede lograrse a través del entendimiento” Albert Einstein Sabias palabras de uno de los más grandes genios de nuestra historia, quien, coincidencialmente, gracias a sus estudios es también uno de los padres de la bomba atómica. Quise comenzar con este pensamiento porque me parece perfecto para lo que estamos viviendo en Venezuela, los grupos de hermanos que ya no sólo no se entienden, sino que están dispuestos a matarse.

Señores “líderes” piensen, reflexionen, asuman y actúen por favor en nombre de los jóvenes a quienes les escribo, en nombre del país. Eviten que tengamos que matarnos, sólo ustedes y nadie más puede hacerlo.

“Hemos aprendido a volar como los pájaros y nadar como los peces, pero no hemos aprendido el sencillo arte de vivir juntos como hermanos”.

Martín Luther King

Stefania Colmenarez

EDITORIAL Diseño, Diagramación y Redacción: Stefanía Colmenarez

Portada: Solido de Revolución

Volumen de un Solido de RevoluciĂłn i una regiĂłn đ?‘… en el plano đ?‘Ľđ?‘Ś

Nuestro

se hace girar en torno a un

consistirĂĄ en determinar

eje đ??ż , generarĂĄ un sĂłlido,

el volumen del sĂłlido de

denominado revolución�.

“SĂłlido

de

problema

revoluciĂłn, generado al girar en torno a un eje đ??ż una regiĂłn en el plano

đ?‘Ľđ?‘Ś.

Volumen de un Solido de Revolución ¿Cuál es el sólido generado al rotar la región alrededor del eje indicado?

CILINDRO DE REVOLUCIÓN s el sólido que se genera al girar una vuelta completa un rectángulo alrededor de uno de sus lados. radio r

Superficie lateral

h

bases

Para

estudiar

las

El volumen de un sólido (�) es

propiedades relativas al ĂĄrea

la medida del espacio

que

lateral y total del cilindro,

ocupa. En el caso del cilindro,

realizaremos el desarrollo de

su volumen estarĂĄ dado por el

su superficie lateral.

producto del ĂĄrea de su base por su altura.

r

bases

r

A rectĂĄngulo = A lateral

h 2Ď€r

h

r

Ă rea Lateral

2đ?œ‹đ?‘&#x;â„Ž

Ă rea Total

2đ?œ‹đ?‘&#x;â„Ž + 2đ?œ‹đ?‘&#x;2

= 2đ?œ‹đ?‘&#x;(â„Ž + đ?‘&#x;)

CONO DE REVOLUCIĂ“N s el sĂłlido que se obtiene al girar una vuelta completa un triĂĄngulo rectĂĄngulo alrededor de uno de sus catetos.

h

r En donde: đ?‘” = generatriz â„Ž = altura đ?‘&#x; = radio y de lo cual se desprende que

Tal como se hizo antes,

Es un tercio del producto del ĂĄrea

vamos

de su base por su altura.

a

efectuar

el

desarrollo de la superficie lateral

del

cono

para

estudiar sus propiedades

base

2ď °r

r

h

AcĂ­rculo = đ?œ‹đ?‘&#x;2

Alateral Atotal r

g

đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘” đ?œ‹đ?‘&#x;đ?‘” − Ď€đ?‘&#x; 2

ESFERA DE REVOLUCIĂ“N s el sĂłlido que se obtiene al girar un semicĂ­rculo una

vuelta

completa

alrededor de su diĂĄmetro.

R

Ă rea de la Superficie đ?&#x;’đ??…đ?‘šđ?&#x;?

EsfĂŠrica

Volumen de la Esfera

đ?&#x;’ đ??…đ?‘šđ?&#x;‘ đ?&#x;‘

EL MÉTODO DE LOS DISCOS i giramos una región del plano alrededor de un eje

Sea đ?‘“ una funciĂłn continua en

obtenemos

de

el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?] y đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼

revoluciĂłn. El mĂĄs simple de

0 en [đ?‘Ž, đ?‘?]. El volumen del

ellos es el cilindro circular

sĂłlido

un

sĂłlido

obtenido

la regiĂłn

recto o disco, que se forma al

girar

un

alrededor

de

rectĂĄngulo un

eje

adyacente a uno de los lados

đ?‘“(đ?‘Ľ), las rectas đ?‘Ľ = đ?‘Ž, đ?‘Ľ = đ?‘? y

el eje đ?‘Ľ es:

a

đ?‘›

đ?‘›â†’∞

y=f(x) ď „ xi

la curva đ?‘Ś =

limitada por

� = lim

del rectĂĄngulo.

al

đ?œ‹ đ?‘“ đ?‘Ľđ?‘– đ?‘–=0 đ?‘?

= đ?œ‹ đ?‘Ž

đ?‘“ đ?‘Ľđ?‘–

2 đ?‘‘đ?‘Ľ

Diferencial de volumen

f(xi) x b

∆xi

i

ď „Vi  ď ° ď › f  xi ď ? ď „xi 2

f(xi)

2 ∆đ?‘Ľ đ?‘–

Hallar el volumen del solido obtenido al hacer girar alrededor del 𝑦 =

eje

𝑥

la

región

bajo

la

curva:

𝑥, de 0 a 1.

Solución:

El solido está entre 𝑥 = 0 y 𝑥 = 1, graficamos y sacamos un disco (disco rosado).

El volumen de este disco será:

𝑉 = 𝜋( 𝑥)2 = 𝜋𝑥 1

𝑉=

1

𝐴 𝑥 𝑑𝑥 = 0

0

1 𝑥2 1 = 𝜋 𝜋𝑥𝑑𝑥 = 𝜋 2 2 0 𝜋 = 2

EL MÉTODO DE LAS ARANDELAS O ANILLO l mÊtodo de los discos

puede

extenderse

fĂĄcilmente

para

incluir

sĂłlidos de revoluciĂłn con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela o anillo representativo.

arandela girando

se un

La

obtiene rectĂĄngulo

Sean đ?‘“

y đ?‘”

dos funciones

continuas en [đ?‘Ž, đ?‘?] tales que đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ đ?‘”(đ?‘Ľ) para toda đ?‘Ľ en

[đ?‘Ž, đ?‘?]. El volumen del sĂłlido generado al rotar alrededor del eje đ?‘Ľ la regiĂłn limitada por đ?‘“(đ?‘Ľ), đ?‘”(đ?‘Ľ) y las rectas đ?‘Ľ = đ?‘Ž y đ?‘Ľ = đ?‘? serĂĄ: đ?‘?

đ?‘‰=đ?œ‹

đ?‘“(đ?‘Ľ)

2

− đ?‘”(đ?‘Ľ)

Diferencial de volumen

ď „x

g(x)f(xi)

(*) x

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘Ž

alrededor de un eje.

a

2

b



ď „xi



ď „Vi  ď ° ď ›f x ď ?  ď ›gx ď ? ď „xi 2

2

Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas � = � y � = �² en torno al eje � .

SoluciĂłn:

Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersecciĂłn:

đ?‘Ľ = đ?‘ĽÂ˛ â&#x;š đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 = 0 â&#x;š đ?‘Ľ(đ?‘Ľ − 1) = 0 â&#x;š đ?‘Ľ = 0 đ?‘Ś đ?‘Ľ = 1 ya con los puntos de intersecciĂłn graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (anillo rosado)

En este punto tenemos que mirar cual es el radio externo y cual el interno. El radio interno es đ?‘Ś = đ?‘ĽÂ˛ y el radio externo es đ?‘Ś = đ?‘Ľ. Ahora hallamos el volumen: đ?‘‰ = đ?œ‹ 1

(đ?‘Ľ 2 − đ?‘Ľ 4 ) đ?‘‘đ?‘Ľ = đ?œ‹

đ?‘‰= đ?œ‹ 0

3

5

đ?‘Ľ đ?‘Ľ − 3 5

đ?‘? đ?‘Ž

đ?‘… 2 − đ?‘&#x; 2 đ?‘‘đ?‘Ľ

1 1 2đ?œ‹ 1 = đ?œ‹ − = 0 3 5 15

EL MÉTODO DE LOS CASCARONES CIL�NDRICOS En algunos casos se desea calcular el volumen de una región

limitada

por

funciĂłn

una

al girar , para lo

cual se deben hallar los extremos locales de đ?‘“(đ?‘Ľ) y

despejar đ?‘Ľ en tĂŠrminos de đ?‘Ś (đ?‘Ľ = đ?‘”(đ?‘Ś)).

Esto

muchas

veces es muy complicado

Sea đ?‘“ una funciĂłn continua en el intervalo [đ?‘Ž, đ?‘?]. Suponga que đ?‘“(đ?‘Ľ) ≼ 0 para toda đ?‘Ľ en

[đ?‘Ž, đ?‘?], si la regiĂłn limitada por las rectas đ?‘Ľ = đ?‘Ž y đ?‘Ľ = đ?‘? , el volumen obtenido serĂĄ:

por lo que se usarĂĄ otro mĂŠtodo:

los

cascarones

cilĂ­ndricos.

ď „xi

el eje đ?‘Ľ y

la curva

xi

đ?‘?

đ?‘‰ = 2đ?œ‹

đ?‘Ľđ?‘“ đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘Ž

Diferencial de volumen

xi

f(xi) ď „Vi  2ď ° xi f xi ď€Šď „xi

ď „xi f(xi)

La regiĂłn acotada por la grafica de đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − đ?‘ĽÂ˛ alrededor del eje đ?‘ŚÂ¸ calcule el volumen del solido resultante.

SoluciĂłn: Graficamos y obtenemos:

Donde đ?‘¤đ?‘– es el radio de el cascarĂłn y el grueso es ∆đ?‘Ľđ?‘– , y la altura es đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ ² ; tenemos que el volumen del cascarĂłn

es: 2đ?œ‹đ?‘¤đ?‘– (2đ?‘¤đ?‘– − đ?‘¤đ?‘– ²) ∆đ?‘Ľđ?‘– 2

đ?‘‰ = 2đ?œ‹

2

2

đ?‘Ľ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ 0

0

2đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ4 2đ?‘Ľ − đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ = 2đ?œ‹ − 3 4 2

3

2đ?‘Ľ 3 đ?‘Ľ4 2 3 1 4 8đ?œ‹ = 2đ?œ‹ − = 2đ?œ‹ •2 − •2 = 3 4 3 4 3

2 0

La paradoja del regalo de cumpleaños

Muchísimo conocimiento en matemáticas Para el año 1900, todo el conocimiento científico de la humanidad podía guardarse en un total de 80 libros. Hoy en día, las matemáticas se han desarrollado mucho más y con los nuevos aportes, se necesitarían 100.000 libros para la misma tarea.

En matemáticas existe una paradoja muy curiosa llamada “la paradoja del regalo de cumpleaños”. Esta dice que en una fiesta de cumpleaños con 23 invitados, hay un 50% de probabilidades de que al menos 2 personas lleguen con el mismo regalo.

Lleva goma de mascar a tu próximo examen de matemáticas Según se ha observado globalmente, aquellos estudiantes que durante una prueba o un examen de matemáticas mastican goma de mascar son los que consiguen mejores calificaciones. Así lo determinó un largo estudio desarrollado por un grupo de investigadores de la Louisiana State University.

Los antiguos babilonios, genios matemáticos Los antiguos babilonios, verdaderos genios en matemáticas, desarrollaron sus estudios matemáticos en base 60 en lugar de base 10. Por esta razón, un minuto tiene 60 segundos y un círculo tiene 360°.

Ni en el calendario gregoriano ni en el juliano existe el año cero: del 31 de diciembre del año 1 antes de Cristo se pasa al 1 de enero del año 1 después de Cristo.

Aries la primera mitad del año 2016 podría ser un poco problemática; pero la segunda mitad será mejor.

Debes tener paciencia porque todo llegará.

Tauro tendrá un mayor grado de estabilidad económica gracias a la presencia de Júpiter en las casas 10 y 11.

Este año para Géminis se cumplirán algunos de sus proyectos más ambiciosos.

Es un año en general bueno tanto para los asuntos de trabajo o estudio como en los asuntos familiares.

Cáncer se sentirá relajado y realizado en ambas frentes, la situación económica empezará a preocuparle menos y disfrutará de un ambiente cordial en el trabajo y el hogar.

Leo es el quinto signo del zodiaco, los planetas podrían cambiar sus posiciones muy a menudo, lo cual no es muy bueno para los individuos de este signo.

La posición de los planetas en el 2016 será favorable para los Virgos a lo largo de todo el año. La posición de Saturno les dará entereza y un buen desarrollo profesional.

Libra podría hacer que padeciera algunos problemas de salud. En general, el 2016 será un período estable de relajación, debido a la favorable confluencia.

Escorpio es un signo de Agua.

Entender a los individuos nacidos bajo este signo es bastante difícil, pero no imposible. Adoran la independencia y tienen una naturaleza muy reservada.

El 2016 permitirá a los Sagitario iluminar su camino con una nueva luz de la que han carecido durante dos años.

El año 2016 traerá buenos resultados para los individuos Capricornio debido a las posiciones de los planetas.

Posibilidad de cambios de puesto o de lugar.

Acuario para el 2016 está lleno de sorpresas y sucesos inesperados.

También lograrán muchas de las cosas que no pudieron conseguir en años anteriores.

La presencia de Júpiter mejorará mas todavía la capacidad de intuición de los piscis y esto les ayudará a resolver algunas deudas contraídas en años anteriores.

Las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo. .

La matemática es la ciencia del orden y

la

medida,

de

bellas

cadenas

de

razonamientos, todos sencillos y fáciles. .

Las matemáticas son una gimnasia del espíritu y una preparación para la filosofía.

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Con números se puede demostrar cualquier cosa.

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