Yes,You can 3
滿分推薦
第 8 章 不等式及其應⽤ 81
複習三步驟
8
第
章 不等式及其應用
簡明扼要重點整理，具代表性精選例題， 貼近統測模擬測驗
不等式及其應用 二元一次聯立不等式的圖解
重點整理 1 ⼆元⼀次不等式的圖解《90、91、93、94、98∼100 統測》
設直線 L： ax + by + c = 0 ，則直線 L 把平面分割成兩個半平面。
(1) 當 a > 0 時， ax + by + c ≥ 0 的圖解為直線 L 及其右半平面。 (2) 當 a > 0 時， ax + by + c ≤ 0 的圖解為直線 L 及其左半平面。 (3) 當 b > 0 時， ax + by + c ≥ 0 的圖解為直線 L 及其上半平面。 (4) 當 b > 0 時， ax + by + c ≤ 0 的圖解為直線 L 及其下半平面。
：當不等號為 > 或 < 時，則圖解不含直線，以「虛線」表示。
2 兩點在直線同側與異側的關係
P.81
設兩點 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，直線 L： ax + by + c = 0 ，
(1) 若 A、B 在 L 的異側，則 ( ax1 + by1 + c )( ax2 + by2 + c ) < 0 。
(2) 若 A、B 在 L 的同側，則 ( ax1 + by1 + c )( ax2 + by2 + c )點與直線的關係 >0。 (3) 若 AB 與 L 相交，則 ( ax1 + by1 + c )( ax2 + by2 + c ) ≤ 0 。
精選範例 3 絕對值不等式的圖解 設 a > 0 ，則
第
x + y ≤a
章 不等式及其應用
P.84 x−h + y−k ≤ a
： x − h + y − k ≤ a 的圖形為 x + y ≤ a 的圖形向右平移 h，向上平移 k。
模擬測驗
P.90
8
第8章
不等式及其應用 81
不等式及其應用
1 二元一次不等式的圖解 設直線 L： ax + by + c = 0 ，則直線 L 把平面分割成兩個半平面。 (1) 當 a > 0 時， ax + by + c ≥ 0 的圖解為直線 L 及其右半平面。
(2) 當 a > 0 時， ax + by + c ≤ 0 的圖解為直線 L 及其左半平面。 (3) 當 b > 0 時， ax + by + c ≥ 0 的圖解為直線 L 及其上半平面。 (4) 當 b > 0 時， ax + by + c ≤ 0 的圖解為直線 L 及其下半平面。 ：當不等號為 > 或 < 時，則圖解不含直線，以「虛線」表示。
2 兩點在直線同側與異側的關係 設兩點 A ( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) ，直線 L： ax + by + c = 0 ，
(1) 若 A、B 在 L 的異側，則 ( ax1 + by1 + c )( ax2 + by2 + c ) < 0 。 (2) 若 A、B 在 L 的同側，則 ( ax1 + by1 + c )( ax2 + by2 + c ) > 0 。 (3) 若 AB 與 L 相交，則 ( ax1 + by1 + c )( ax2 + by2 + c ) ≤ 0 。
3 絕對值不等式的圖解 設 a > 0 ，則
x + y ≤a
x−h + y−k ≤ a
： x − h + y − k ≤ a 的圖形為 x + y ≤ a 的圖形向右平移 h，向上平移 k。
82
第 8 章 不等式及其應用
4 線性規劃的解題步驟 已知線性規劃的條件不等式與目標函數 f ( x, y ) ，其解法如下：
(1) 頂點法：不等式圖解（可行解）區域的頂點代入 f ( x, y ) 求極值。 (2) 平行線法：利用平行線 f ( x, y ) = k 求 f ( x, y ) 的極值。
5 絕對值不等式 (1) 若 f ( x ) ≤ a ，則 − a ≤ f ( x ) ≤ a ，其中 a > 0 。 (2) 若 f ( x ) ≥ a ，則 f ( x ) ≥ a 或 f ( x ) ≤ − a ，其中 a > 0 。 a +b a −b ，其中 b < a 。 ≤ 2 2 (4) 解 x − a + x − b ≤ f ( x ) 或 x − a + x − b ≥ f ( x ) 需要分段處理。
(3) 若 b ≤ x ≤ a ，則 x −
(5)
f ( x) ≥ g ( x) ⇔
[ f ( x )] ≥ [ g ( x )] 2
2
⇔
[ f ( x )] − [ g ( x )] 2
2
≥0。 （平方差）
6 一元二次不等式 設 a > 0 時，在 ax 2 + bx + c 之中，令 D = b 2 − 4ac ， (1) 當 D > 0 ，若 ax 2 + bx + c = a ( x − α ) ( x − β ) ，其中 α < β ，則 c a ( x − α ) ( x − β ) ≥ 0 的解為 x ≤ α 或 x ≥ β 。
d a ( x − α ) ( x − β ) ≤ 0 的解為 α ≤ x ≤ β 。
2
(2) 當 D = 0 ，若 ax 2 + bx + c = a ( x − α ) ，則 2
c a ( x − α ) ≥ 0 的解為任意實數。 2
d a ( x − α ) > 0 的解為任意實數，但 x ≠ α 。 2
e a ( x − α ) ≤ 0 的解為 x = α 。 2 f a ( x − α ) < 0 無解。 (3) 當 D < 0 ，則
c ax 2 + bx + c > 0 與 ax 2 + bx + c ≥ 0 的解為任意實數。 d ax 2 + bx + c < 0 與 ax 2 + bx + c ≤ 0 均無解。
第8章
不等式及其應用 83
7 一元高次不等式 對於高次不等式 f ( x ) ≥ 0 或 f ( x ) ≤ 0 的解，其法如下：
(1) 不等式的左邊質因式分解，並使領導係數為 1。 (2) 恆正的質因式捨去；恆負的質因式捨去，不等式需變號。 (3) 形如 ( x − α1 )( x − α2 ) ( x − α3 ) …，其中 α1 > α2 > α3 > …標示在數線上。 (4) 如圖， f ( x ) ≥ 0 的解為正區間； f ( x ) ≤ 0 的解為負區間。 （含端點）
8 分式不等式 (1) (2)
f ( x) f ( x) > 0 ⇔ f ( x) g ( x) > 0 ， ≥ 0 ⇔ f ( x) g ( x) ≥ 0 且 g ( x) ≠ 0 。 g ( x) g ( x) f ( x) f ( x) f ( x) − g ( x) h( x) > h( x) ⇔ − h( x) > 0 ⇔ > 0。 g ( x) g ( x) g ( x)
9 算幾不等式（算術平均數 ≥ 幾何平均數） 若 a、b、c 均為正數，則 a+b ≥ ab ，即 a + b ≥ 2 ab ，等號成立必須 a = b 。 (1) 2 a+b+c 3 ≥ abc ，即 a + b + c ≥ 3 3 abc ，等號成立必須 a = b = c 。 (2) 3
10 柯西不等式 設 a、b、c 及 x、y、z 均為實數，則 a b 2 (1) ( a 2 + b 2 ) ( x 2 + y 2 ) ≥ ( ax + by ) ，等號成立必須 = 。 x y a b c 2 (2) ( a 2 + b 2 + c 2 ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( ax + by + cz ) ，等號成立必須 = = 。 x y z
84
第 8 章 不等式及其應用
1 聯立不等式
老師講解 統測模擬
{xx +− yy ≤≥ 110 的可行解區域是下圖
的哪一個部分？
2
二元一次聯立不等式的圖解
老師講解
學生練習 統測搶分
試以二元一次聯立不等式表示圖中所示之三 角區域（含邊界）？ 【100 統測數 C】
【99 統測數 C】
點與直線的關係
學生練習
三直線 L1 ： x − y + 2 = 0 ， L2 ： 2 x + 3 y + 9
已知 A ( 2,1) 與 B ( −3, 4 ) 兩點分別在直線 L1 ：
= 0， L3 ： 8 x + 3 y − 27 = 0 圍成△ABC。若
2 x + y − k = 0 的 兩 側 ， 但 是 在 直 線 L2 ：
P ( 3, a ) 在△ABC 內部（不含邊界） ，則 a 的
x − ky + 5 = 0 的同側，試求 k 的範圍。
範圍為何？
第8章
3
老師講解
絕對值不等式的圖解
滿足不等式 x ≤ y ≤ 8 的區域面積為何？ 【94 統測】
4
老師講解
最小值為何？
【91 統測】
學生練習
⎧x+ y ≤8 試求聯立不等式 ⎨ 之圖形區域面 ⎩x− y ≤8 積？ 【96 統測】
線性規劃
已知 x、y 均為實數且滿足不等式 x ≥ 0 ， y ≥ 0，4 x + 3 y ≥ 18，x + 3 y ≥ 9 ，則 x + y 的
不等式及其應用 85
學生練習
兩種款式的毛織品，每一件 A 款式毛織品的製 作需用紅色毛線 40 公尺，白色毛線 30 公尺， 利潤 40 元；每一件 B 款式毛織品的製作需用 紅色毛線 20 公尺，白色毛線 30 公尺，利潤 25 元。現有紅色毛線 800 公尺，白色毛線 900 公 尺，全部均可使用，問最大利潤為何？ 【99 統測數 D】
86
第 8 章 不等式及其應用
5
老師講解
絕對值不等式
學生練習
試問不等式 1 − 3 x ≤ 8 的整數解共有多少
若 2 x − a < b 的解為 −3 < x < 11 ，其中 a、b
個？
均為實數，試求 a、b 的值。
6
老師講解
絕對值不等式（分段討論）
試求不等式 x + 4 > x − 2 + x + 3 之解的範 圍。 【94 統測補】
學生練習
若 不 等 式 x +1 + x − 3 ≥ 6 的 解 集 合 為 {x | x ≤ a 或 x ≥ b } ，試求 a、b 的值。
第8章
7
一元二次不等式的解
老師講解
設 a、b 為實數，若一元二次不等式 ax 2 + x + b 1 2 ⎧ ⎫ > 0 的解集合為 ⎨ x − < x < ， x為實數 ⎬ ， 5 3 ⎩ ⎭ 則 2a + b = ？
8 不等式
不等式及其應用 87
學生練習
若不等式 ax 2 + bx + c < 0 之解為1 < x < 2 ，則 不等式 bx 2 + cx + a ≥ 0 的整數解有幾個？ 【94 統測】
【100 統測數 C】
老師講解
2x + 1 − 1 < 0 之解為何？ x −1
分式不等式的解
學生練習
( x − 1)2 ( x + 3) < 0 的整數解共有 滿足不等式 x−2 幾個？ 【97 統測】
88
第8章
9
不等式及其應用
老師講解
算幾不等式
1 若 f ( x) = 4 + x + ，其中 x > −2 ，試求 x+2 f ( x ) 的最小值。
10
老師講解
已知正數 x、y 滿足 4 x + y = 6 ，試求 x 2 y 的最 大值。
算幾不等式
一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形 菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 公尺的 出入口，如下圖示。試求此農夫所能圍成的 最大面積。 【95 指乙】
學生練習
學生練習
在半徑為 4 公尺的半圓中，開闢一個內接矩形 苗圃，且其一邊與圓的直徑重合，試求此苗圃 的最大面積。
第8章
11
老師講解
柯西不等式
設 x、y 均為實數，若 x 2 + 4 y 2 = 8 ，則 x − 2 y 的最大值為 M，此時 x = α ， y = β ，試求 α + β + M 的值。
12
老師講解
不等式及其應用 89
學生練習
設 a = ( 4, y ) ， b = ( x, 3) ， 若 4 x 2 + 9 y 2 =
20，試求內積 a i b 的最大值 M 與最小值 m。
柯西不等式
已知三正數 a、b、c 滿足 a + b + 4c = 7 ，試 1 4 4 求 + + 的最小值。 a b c
學生練習
2 已知實數 x、y、z 滿足 ( x − 1) + 4 y 2 + 9 z 2 = 36，
試求 x + y + z 的最大值。
90
第 (
(
(
第8章
8
不等式及其應用
章
模擬測驗
⎧⎪2 x + y − 6 ≤ 0 22 ) 1. 在坐標平面上，滿足不等式方程組 ⎨3 x − y + 3 ≥ 0 的區域，其面積為何？ (A) 5 ⎪⎩ y ≥ 0 32 42 48 (B) (C) (D) 。 【98 統測數 C】 5 5 5
⎧⎪ x ≥ 0 ， y ≥ 0 。試問不等式 ⎨2 x + y ≤ 6 的圖解區 ) 2. 若 x、y 均為整數，則點 ( x, y ) 稱為「格子點」 ⎪⎩ x + y ≥ 2 域內有多少個格子點？ (A)9 (B)11 (C)13 (D)15。
) 3. 在坐標平面上，不等式 2 x + y ≤ 6 區域內的任意兩點距離中，其最大值為何？ (A)6 (B)12 (C)18 (D)24。
(
【94 統測補】
) 4. 坐標平面上，在 x − 1 + y − 3 ≤ 2 的平面區域中， x + 2 y 的最大值為何？ (B)5 (C)9 (D)11。
(A)3
【97 統測】
(
) 5. 設有甲、乙兩種食物，甲每份價格 20 元，乙每份價格 10 元。甲每份含 A 營養素 5 單位，B 營養素 10 單位。乙每份含 A 營養素 20 單位，B 營養素 15 單位。若每人一 天至少需要 A 營養素 50 單位，B 營養素 60 單位，在費用最少原則下，應如何安排 甲、乙兩種食物的單位量以獲得足夠的營養？ (A)甲：0，乙：4 (B)甲：10，乙： 18 8 13 13 0 (C)甲： ，乙： (D)甲： ，乙： 。 5 5 5 5
(
) 6. 「已知 A ( −3, 0 ) 、 B ( 0, 4 ) 、O 為原點，P 為△OAB 內部的點，試求點 P 到△OAB 三 邊距離和的最大值。」大仁認為上述問題為線性規劃問題，於是以解線性規劃問題 的方式寫下其可行解區域及目標函數 f ( x, y ) ，並解得正確答案。試問 f ( x, y ) =
(A) 2.4 − 0.2 x + 0.4 y (
(B) 2.4 + 0.2 x − 0.4 y
(C)12 + 3 x − 2 y
(D) 2.4 + 1.8 x + 0.4y。
) 7. 右圖中 A、B、C、D 為坐標平面上的四個點。將這四個點的坐 標 ( x, y ) 分別代入 2 x + y ，試問哪一個點代入所得的值最大？
(A)A (B)B (C)C (D)D。 (
2
5 2 1 5 (D) −1 < x < 或 < x < 4 。【91 統測】 2 2
) 8. 已知 4 < ( 2 x − 3) < 25，試求 x 的範圍為何？ (A) −1 < x < 3 5 (B) − < x < −1 或 < x < 4 2 2
(C) −1 < x < 4
第8章
(
1 5 ) 9. 設 a、b 為實數，若不等式 ax 2 − 4 x + b < 0 之解為 − < x < ，則 a + b = 2 2
(B) − (
1 4
(C) −
1 6
1 (D) − 。 8
(D) ( x − 4 )( x + 12 ) < 0 。
【95 統測】
3 3 ) 11. 下列何者為不等式 x + 5 ≥ 2 − x 的解？ (A) − ≤ x ≤ 2 (B) x ≥ − (C) −5 ≤ x ≤ 0 2 2
【96 統測】
) 12. 下列哪一個不等式的解集合不是 { x 1 < x < 3， x為實數} ？ 2 (B) ( x − 1)( x − 2 ) ( x − 3) < 0
(
(B) x < −1 或 x > 2
1 1 > x −1 2
(D) x − 2 < 1 。
(C) −4 < x < 8
(D) x < −4 或 x > 8 。
) 14. 設 a 為實數，對任意實數 x，3x 2 + 2ax − a ≥ 0 恆成立，則 a 的範圍為何？ (A) a ≤ −3
(B) a ≥ 0 或 a ≤ −3 (
(C)
(A) − x 2 + 4 x − 3 > 0
) 13. 設 f ( x ) 為二次函數，且不等式 f ( x ) > 0 之解為 −2 < x < 4 ，則 f ( 2 x ) < 0 之解為 (A) −1 < x < 2
(
1 2
【92 統測】
(D) x ≥ −5 。 (
(A) −
) 10. 下列何者與不等式 x − 4 < 8 的解相同？ (A) ( x + 4 )( x − 12 ) > 0 (B) ( x − 4 )( x + 12 ) > 0 (C) ( x + 4 )( x − 12 ) < 0
(
不等式及其應用 91
(C) 0 ≤ a ≤ 3
(D) −3 ≤ a ≤ 0 。
) 15. 若不等式 ax + 1 ≤ b 的解為 −4 ≤ x ≤ 8 ，其中 a、b 均為實數，試求 2a + b =
(A)2
(B)3 (C)4 (D)5。 (
) 16. 設 x、y、z 皆為正數，且 x + y + z = 9 ，試求 ( x + 1) ( y + 2 ) ( z + 3) 的最大值？ (A)75 (B)100 (C)120 (D)125。
(
) 17. 如圖，又青想沿著學校圍牆邊，用「ㄇ」字型的竹籬圍成一塊 花圃，若竹籬的長度是 20 公尺，試問此花圃的最大面積為多少 平方公尺？ (A)25 (B)50 (C)75 (D)100。
(
4 ⎞⎛ 9⎞ ⎛ ) 18. 已知 a、b 均為正數，試求 ⎜ a + ⎟⎜ b + ⎟ 的最小值？ (A)25 (B)36 (C)49 (D)64。 b ⎠⎝ a⎠ ⎝
(
) 19. 已知 θ ≠
kπ ，其中 k 為整數，試求 csc 2 θ + 4 sec2 θ 的最小值？ (A)3 (B)5 (C)7 2
(D)9。 (
) 20. 設 x、y、z 均為正整數，若 x + 2 y + 3z = 9 ，則 xyz 的最大值為何？ (A)3 (B)4 (C)5 (D)6。
【94 統測】
92
第8章
不等式及其應用
觀摩試題 (
) 21. 設 f ( x ) = x 3 + ax 2 + 6 x + b ，其中 a、b 均為實數，若方程式 f ( x ) = 0 有一根1 + 3i ， 試求不等式 f ( x ) > 0 的最小整數解？ (A) −1
(
(B)0 (C)1 (D)2。
) 22. 試求通過點 (1, 2 ) 的直線在第一象限與兩坐標軸所圍成之三角形面積的最小值？
(A)2 (B) 2 2
(C)4 (D) 4 2 。