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202
15
複數
複數
（工科範圍）
一、複數的基本性質 虛數的定義： （１） 為了使 x 2 1 0 有解，我們在實數系之外，另創造了一個新數 1，稱為虛數單位。 （２） 規定 i 1 為虛數單位，滿足 i 2 1 。（ i 3 i ， i 4 1 ） （３） 設 n 為自然數，則 （指數除以 4 餘數為 0） i 4n 1 。 4 n1 i 。（指數除以 4 餘數為 1） i 4 n 2 i 1 。（指數除以 4 餘數為 2） 4 n3 i 。 （指數除以 4 餘數為 3） i 複數的定義與標準式： （１） 設 a 、 b 為實數，則形如 z a bi 稱為複數的標準式， a 稱為實部， b 稱為虛部。 若 b 0 ，則 z 為一實數 （２） 若 b 0 ，則 z 稱為虛數 。 若 a 0 ，b 0 ，則 z bi 稱為純虛數
複數的相等： （１） 設 a 、 b 、 c 、 d 為實數，則 a bi c di a c ，b d 。 （２） 設 a 、 b 為實數，則 a bi 0 a 0 且 b 0 。 複數的四則運算： 設 a 、 b 、 c 、 d 為實數，則 （１） 加法： (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i 。 （２） 減法： (a bi ) (c di ) (a c) (b d )i 。 （３） 乘法： (a bi )(c di ) (ac bd ) (ad bc)i 。 （４） 除法：
a bi ( a bi )(c di ) ac bd bc ad i。 c di (c di )(c di ) c 2 d 2 c 2 d 2
共軛複數與其基本性質： （１） 設複數 z a bi ，我們稱 a bi 為 a bi 的共軛複數，以符號 z a bi 表示。 a bi 與 a bi 互為共軛複數。
複數
203
２ 設 z 、 z 為兩複數，則
（ ）
z ×z = z ×z 。 z −z =z −z 。 z +z =z +z 。 zz = zz （ z ≠ 0 ）。 z = ( z ) （ n 為自然數）。 z = z ⇔ z 為實數。 設 z ≠ 0 ，則 z + z = 0 ⇔ z 為純虛數。 z = z ， z + z 為實數， z × z 為實數。 設複數 z = 11 −+ ii ，則 z 之共軛複數 z = （Ａ） i （Ｂ） −i （Ｃ）1 （Ｄ） −1 。 1
2
1
2
1
1
1
2
2
1
2
2
1
2
n
n
1
1
2
2
z=
2
1 + i (1 + i)(1 + i ) (1 + i ) 2 1 + 2i + i 2 1 + 2i − 1 2i = = = = = =i 1 − i (1 − i )(1 + i ) 12 − i 2 1 − (−1) 2 2
二、一元二次方程式的虛根
一元二次實係數方程式 ax + bx + c = 0 （ a 、 b 、 c 為實數， a ≠ 0 ）中，當 b − 4ac < 0 時，無實數解，其兩根 −2ab ± 4ac2a− b i 稱為共軛虛根。 設 a 、 b 、 c 為實數且 a ≠ 0 ，若 p + qi （ p 、 q 為實數）為 ax + bx + c = 0 的一根，則 另一根為 p − qi 。 2
2
2
2
若一元二次方程式不是實係數二次方程式，則虛根不會共軛存在。 三、極坐標與複數的極式
極坐標： ，點 O 與平 在一平面上任取一點 O ，過 O 向右作一水平射線 OX 為始邊，OP 面上任一異於 O 的點 P 作線段 OP，令 OP = r ，以 OX 為終邊形成有向角θ ，則以有序數對 (r,θ ) 來表示 P 點的位置，此 稱為 種表示方式稱為「極坐標」。其中， O 點稱為「極點」， OX 「極軸」， r 稱為「向徑」， θ 稱為「輻角」。
１ 坐標平面上任一點 P 的極坐標表示法並非唯一，設 n 為整數，則點 P(r,θ ) 與
（ ）
表同一點。 （２） 若限制 r > 0 ， 0 ≤ θ < 2π ，則 (r ,θ ) 的表示法唯一，此時 θ 稱為「主輻角」。 P (r , 2nπ + θ )
複數
204
極坐標與直角坐標的關係： 設平面上 P 點的極坐標為 (r,θ ) ，直角坐標為 ( x, y) ，則 x = r cosθ （１） 極坐標 (r ,θ ) 化為直角坐標 ( x, y ) ： 。 y = r sin θ
２ 直角坐標 ( x, y) 化為極坐標 (r,θ ) ：
（ ）
r 2 = x 2 + y 2 x cosθ = r y sin θ = r
，
輻角 θ 所在象限視 cosθ 與 sinθ 之正負決定。 複數平面（高斯平面）： 設複數 z = x + yi （ x 、 y 為實數），則複數 z = x + yi 與直角坐標平 面上的點 P( x, y) 形成一對一的對應關係，即 z = x + yi ↔ P( x, y) ， 每一個複數都可以用坐標平面上的一點來表示，這種用來表示複數 的坐標平面，稱為「複數平面」或「高斯平面」。 （１） x 軸上的點 (a,0) 代表 z = a + 0i 為實數，故 x 軸又稱為實數軸。 （２） y 軸上的點 (0, b) 代表 z = 0 + bi 為純虛數（除原點外），故 y 軸 又稱為虛數軸。 複數的絕對值： （１） 設 a 、 b 為實數， z = a + bi （ z ≠ 0 ） ，則 z 的絕對值表示複數平 面上點 P(a, b) 與原點的距離，以符號 z = a + b 表示。 4 − 3i = 4 + (−3) = 5 。 （２） 運算性質： z × z = z z 。 zz = zz （ z ≠ 0 ）。 z=z。 z = z × z = z 。 z = z （ n 為自然數）。 複數的極式： （１） 設 a 、 b 為實數，複數 z = a + bi ，則 z = r (cosθ + i sinθ ) 稱為複數的極式， θ 稱為 z 的輻角，其中 r = z = a + b ， cosθ = a ， sinθ = b 。 2
2
2
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
n
n
2
1
2
a 2 + b2
２ 化標準式為極式： z = a + bi =
（ ）
a b a 2 + b2 + 2 2 2 a + b2 a +b
= r (cos θ + i sin θ )
。
a2 + b2
i
複數
205
當 0 ≤ θ < 2π 時， θ 稱為 z 的主輻角，以 θ = Arg( z) 表示。
且複數 z 的主輻角記作 Arg( z) ， 0 ≤ Arg( z) < 2π ，試求 Arg ( − 3 + i ) = 11π 7π 5π 。 〔96 統測〕 （Ｄ） （Ｃ） （Ｂ） 6 6 6
設i =
−1
Ａ π6
（ ）
(− 3)
r=
2
+ 12 = 2
，則 −
3 cosθ = − 2 ⇒ θ ⇒ θ sin θ = 1 2 5π 0 ≤ θ < 2π ⇒ θ = 6
3 1 3 + i = 2 − + i 2 2
屬於第二、三象限 ⇒ θ 為第二象限角 屬於第一、二象限 ，故 Arg ( −
又
)
3 +i =
5π 6
四、棣美弗定理及其應用
複數極式的乘、除運算： 設 z = r ( cosθ + i sinθ ) ， z
，則 （１） z × z = r r cos (θ + θ ) + i sin (θ + θ ) 。（距離相乘，輻角相加） z r 。（距離相除，輻角相減） （２） = cos (θ − θ ) + i sin (θ − θ ) （ z ≠ 0 ） z r 棣美弗定理： 設 z = r ( cosθ + i sinθ ) ，則 z = r ( cos nθ + i sin nθ ) ，其中 n 為整數。（距離 n 次方，輻角 n 倍） 複數的 n 次方根： （１） 若複數 z 的極式為 z = z ( cos θ + i sin θ ) ，則方程式 x = z 的 n 個根為 2 kπ + θ 2 kπ + θ + i sin z = z cos ， k = 0 、1、2、…、 n − 1 。 n n （２） x = z 的 n 個 n 次方根 z 、 z 、 z 、…、 z 恰為圓心在複數平面上的原點而半徑 為 z 之圓上的 n 個等分點。 1 的 n 次方根（當 z = 1 ）： 2 kπ 2 kπ + i sin ， k = 0、1、2、…、 n − 1 。 （１） 方程式 x = 1 的 n 個根為 z = cos n n 2π 2π + i sin ，則 ω 為方程式 x = 1 之一根，即 ω = 1 ，而其 n 個根為 1、 （２） 令 ω = cos n n ω 、 ω 、…、 ω ，且 1 + ω + ω + … +ω = 0 。 （３） 1 的 n 個 n 次方根就是複數平面中單位圓上之 n 個等分點。 1
1
1
2
1
1
2
2
1
1
1 2
1
1
2
= r2 ( cosθ 2 + i sin θ 2 )
2
1
2
1
n
2
2
2
n
n
n
k
n
0
1
n −1
2
n
n
k
n
2
n −1
2
n
n −1
206
複數
1 3i 之性質： 2 1 3i 為 x 3 1 之一虛根。 （１） 2
（２） x3 1 的三根為 1、 、 2 。 （３） 3 1 ， 1 2 0 。 （４） k 為整數，則 3k 1 ， 3k 1 ， 3k 2 2 。
1
i 4 n 1 ， i 4 n1 i ， i 4 n2 1 ， i 4 n3 i
設 i 1 ，且 i 20 3i17 5i15 i10 a bi ， 設 i 1 ，且 i 20 2i 21 3i 22 4i 23 a bi ， 其中 a 、 b 為實數，則 a b 之值為 （Ａ） 8 其中 a 、 b 為實數，則 a b 之值為 （Ａ） 1 （Ｂ） 7 （Ｃ） 6 （Ｄ） 5 。 （Ｂ） 2 （Ｃ） 3 （Ｄ） 4 。
2
複數的四則運算 1 3i 2 3i a bi ， 設 a 、 b 為實數且 i 1 ，若 1 i 3 4i （Ｂ） 1 （Ｃ）1 4 19 16 3 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 。 則 a 2b （Ａ） 5 25 25 5 〔91 統測〕
已知 i 1 ，且 a 、 b 為實數，若 a bi ，則 a b （Ｄ） 3 。
（Ａ） 3
複數
3
207
一元二次方程式的虛根
已知 a 和 c 為實數，若複數 a 2i 為一元二 設 a 、 b 為 實 數 且 i 1 ， 若 2 3i 為 次方程式 x 2 2 x c 0 的一根，則 c 之值為 2 x 2 ax b 0 之一根，則 a b （Ａ） 1 何？ （Ａ） 4 （Ｂ） 2 （Ｃ） 3 （Ｄ） 5 。 （Ｂ） 3 （Ｃ） 6 （Ｄ） 14 。 〔95 統測〕 〔101 統測〕
4
複數極式與棣美弗定理
（Ａ）2 1 3i （Ｂ） 2 1 3i （Ｃ） 2 3 i （Ｄ） 2 3 i 。 〔91 統測〕 已知 i 1，則 9
9
3 i 9
10
9
（Ａ） 2 1 3i 3i （Ｃ） 2 1 3i 3i 。 8
已知 i 1 ，則 1 3i
（Ｄ） 2 1
（Ｂ） 28 1 7
7
8
208
複數
5
棣美弗定理 已 知 i 1 ， 若 z cos 78 i sin 78 ， 則
設 i 1 且 a 、 b 為實數，若
z15 cos i sin a bi ，則 b 3a 12 12 （Ａ） 1 （Ｂ） 2 （Ｃ） 1 （Ｄ） 2 。〔96 統測〕 10
6
1 3i 2
1 3i 為 x2 x 1 0 2 之一根，試求 1 2 10 1 3i 2
（Ｂ）
1 3i 2
（Ｃ） 1
（Ｂ） 1
（Ｃ） i
（Ｄ） 1 。 〔100 統測〕
； 3k 1 ， 3k 1 ， 3k 2 2
已知 i 1，且
（Ａ）
（Ａ） i
（Ｄ）0。
設 i 1 ，已知
1 3i 且2 1 2
0 ，試求 2 2 2
（Ｃ） 3 3i
（Ｄ） 6 3i 。
（Ａ）5
（Ｂ）7
〔97 統測〕
複數
第
15
209
模擬測驗
章
(
) 1. 設
1 3 1 i ，其中 i 1 ，則 3 2 2
(
) 2. 設
1 3i ，則 (1 ) 1 2 1 4 1 8 2
（Ａ）
（Ｂ）1
（Ｃ） 1
（Ａ）9
（Ｄ） i 。
（Ｂ）6
（Ｃ）3
（Ｄ） 6 3 3i 。 (
) 3. 設
3i a bi ，其中 a 、b 都是實數且 i 1，則 a b 之值為 2i
（Ｃ） 3 (
（Ｄ） 4 。
（Ｃ） 7
（Ｂ）3
（Ｄ） i 。
) 5. 設 f ( x ) x 2 3x 2 ，若 i 1 ，則 f (1 i) 之值等於 （Ａ） 7 5i （Ｃ） 5 5i
1 2 可化簡為 i 1 i
) 6. 設 i 1，則
(
) 7. 設 i 1 ，若 （Ｂ）
7 13
（Ｂ） 6 5i
（Ｄ） 4 5i 。
(
（Ｃ）
1 5 （Ａ） i 2 2
1 3 （Ｃ） i 2 2
（Ｂ） 1 3i
1 a bi ，且 a 、 b 都是實數，則 a b 之值等於 5 12i
7 169
（Ｄ）
（Ｄ） 1 i 。 （Ａ）
7 13
7 。 169 12
(
（Ｂ） 2
) 4. 設 i 1 ，且 i ( 3 2i )(2 5i) a bi ，其中 a 、 b 都是實數，則 a b 之值為 （Ａ） 15
(
（Ａ） 1
1 i ) 8. 已知 i 1 ，則 1 3 i
（Ａ）
1 64
（Ｂ）
1 32
（Ｃ）
1 8
1 （Ｄ） 。 4
〔90 統測〕 (
) 9. 已知 i 1 ， a 為複數，若二次方程式 x 2 ax 4 7i 0 有一根為 2 i ，則另一 根為何？ （Ａ） 2 3i
（Ｂ） 3 2i
（Ｃ） 2 i
（Ｄ） 2 3i 。
〔92 統測〕
（注意：本題並非實係數二次方程式） (
) 10. 已知 i 1 ，則 (1 i )6
（Ａ） 8i
（Ｂ） 8i
（Ｃ） 12 8i
（Ｄ） 12 8i 。 〔92 統測〕
210
(
複數
) 11. 已知 i 1 ，則下列何者為複數 4 4 3i 的一個平方根？ （Ａ） 6 2i （Ｂ） 6 2i
(
（Ｃ） 6 2i
（Ｄ） 3 2i 。
) 12. 已知 i 1，則複數 (3 2i )(4 5i ) 的實部為何？
〔93 統測〕 （Ａ）2
（Ｂ）7
（Ｃ）9
（Ｄ）22。
〔93 統測〕 (
) 13. 設 i 1 且 a 與 b 為兩實數，若 (a bi )(1 3i ) 8 4i ，則 (a bi ) 2 （Ｂ） 8i
(
（Ｃ） 8 8i
（Ｄ） 8 8i 。
〔94 統測〕
) 14. 若 為方程式 x 2 x 1 0 之一複數根，則 2005
（Ａ） 1
（Ｂ）1
（Ｄ） 。
（Ｃ） 〔94 統測〕
50
(
（Ａ） 8i
) 15. 設 i 1 ，若級數 i 3 a bi ，則 a 2b 等於多少？ （Ａ） 1 n
（Ｂ） 3
n 1
（Ｃ）1 (
（Ｄ）3。
) 16. 設 i 1 ，試求 (i )8 (i)7 (i )6 (i )5 (i ) 4 (i )3 (i) 2 ( i ) 1 （Ａ） 2 5i
(
（Ｂ） 2 5i
1 3 （Ｃ） i 2 2
（Ａ） 4
（Ｄ）
〔97 統測〕 等於多少？
2 2 i。 2 2
（Ａ）
2 2 i 2 2
〔98 統測〕
（Ｂ） 2
（Ｃ）8
（Ｄ）14。
〔98 統測〕
) 19. 設 f ( x) 為實係數三次多項式，若 f (1) f (1 i ) 0 且 f (0) 0，則下列何者正確？ （Ａ） f ( 2) 0
(
（Ｄ） 5 2i 。
) 18. 已知 i 1 ，且 a 、 b 均為實數。若 1 3i 為方程式 x 3 3x 2 ax b 0 的一根， 則ab
(
（Ｃ） 2 5i
10 10 ) 17. 設 i 1，化簡 cos i sin i sin cos 7 7 21 21 1 3 （Ｂ） i 2 2
(
〔95 統測〕
（Ｂ） f (2) 0
（Ｃ） f (4) 0
（Ｄ） f (6) 0 。
)20. 令 i 1。若 1 i 為方程式 2 x 2 kx 6 2i 0 的一根，則 k （Ｃ） 5 i
（Ｄ） 10 2i 。
〔99 統測〕 （Ａ） 6
（Ｂ） 4
〔99 統測〕