加法原理、乘法原理
考情指數：★★★★★
1. 加法原理： 若完成某一件事可分成 k 類互斥（即不同時發生）的方法，在第 1 類中有 m1 種方法，在 第 2 類 中 有 m2 種 方 法 ， … ， 在 第 k 類 中 有 mk 種 方 法 ， 則 完 成 此 件 事 的 方 法 共 有 m1 m2 mk 種。
2. 乘法原理： 若完成某一件事需經過 k 個步驟，完成第 1 個步驟有 m1 種方法，完成第 2 個步驟有 m2 種 方法，…，完成第 k 個步驟有 mk 種方法，則完成此件事的方法共有 m1 m2 mk 種。
當事件為連續發生或可同時發生，則使用乘法原理
設甲地到乙地有 3 條路，乙地到丙地有 4 條路，丙地到丁地有 2 條路，則自甲地經過乙地到丙地， 共有幾種不同的走法？
(A) 7
(B) 9
(C) 12
(D) 24 。
【 98 統測】
解： 甲地到乙地有 3 種走法 乙地到丙地有 4 種走法
觀測站
由乘法原理知：
同學須澈底了解加法原理與乘法
共有 3 4 12 種走法
原理的概念及使用時機，此為後 面的排列、組合、機率問題之基 礎。
三位數之百位數不得為 0
某三位數其百位數數字為偶數，個位數數字為奇數，這樣的三位數共有多少個？
(A) 90
(B)125
【 90 統測】
(C) 200
(D) 250 。
解： 百位數有 2 、 4 、 6 、 8 ，共 4 種選擇 十位數有 0 ～ 9 ，共 10 種選擇 個位數 1 、 3 、 5 、 7 、 9 ，共 5 種選擇
觀測站 一般的題目很少單獨考加法原 理，單獨考乘法原理的題目較 多；加法原理與乘法原理較常一
由乘法原理知：共有 4 10 5 200 個
起出現在排列組合的解題過程。
93
（
（
） 1. 十元硬幣有正、反兩面，現在任意連續投擲一枚十元硬幣四次，依次觀察其出現正面 或反面的結果，可形成一個樣本空間，則此樣本空間之樣本個數為何？
(A) 4
(C) 12
【 98 統測】
(D) 16 。
(B) 8
） 2. 書架上有 5 冊不同的護理課本， 3 冊不同的數學課本，若某生欲由護理、數學課本中各 選一冊，則共有幾種選法？
(A) 8
(B) 15
(C) 125
(D) 243 。
【 92 統測】
當題目強調「各」時，多半使用乘法原理
（
） 3. 甲、乙兩人到速食店購買漢堡。若有四種漢堡可選擇，且兩人各購買一種，則兩人購 買不同漢堡的可能情形有多少種？
（
(B) 8
(C) 12
(D) 16 。
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4 。
【 100 統測】
） 5. 餐飲部供應的菜色為肉 4 種、魚 3 種、蔬菜 5 種、甜點 2 種。有位客人要點肉、魚、蔬 菜各 1 種，不點甜點。則這位客人有幾種點法？
(A) 0
(B) 12
(C) 20
） 6. 在 0 、 1 、 3 、 5 、 7 、 9 六個數字中，若數字可重複選取，任取其中三個數字組成一個 三位數，則共可組成多少個不同的三位數？ 首位數字不得為 0
94
(D) 60 。 【 90 統測】
「不點」也是 1 種選擇
（
【 100 統測】
） 4. 小明、小華與其他兩位同學負責打掃教室。若兩人一組，則小明與小華不同組的分組 結果有多少種？
（
(A) 4
(A) 20
(B) 120
(C) 180
(D) 216 。 【 93 統測】
完全相異物的直線排列（基本型） 考情指數：★★★★★
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n ）的直線排列數為 P nm
n! n n 1 n 2 n m 1 。 n m !
例： P 53
2. P nn
5! 5! 5 4 3 2 1 5 4 3 。 2 1 5 3! 2!
n! n! n! n! 1 。《註》 0! 1 。 n! ； P 0n n n ! 0! n 0 ! n !
若數字不可以重複出現，則 0 、 1 、 2 、 3 、 4 五個數字可組成的五位數共有多少個？
(B) 96 解：
(C) 100
(D) 120 。
(A) 48
【 93 統測】
先排首位數字 首位數字不得為 0 ，則有 1 、 2 、 3 、 4 ，共 4 種選擇 再排剩下的位數
觀測站 1. 先排限制條件多的。
4 4
由剩下的四個數字取四個排列，有 P 種選擇
2. 首位數字不得為 0。
利用乘法原理
故共可組成 4 P 44 4 4 3 2 1 96 個五位數 《另解》 反面思考： 0 不排首位 任意排 0 排首位 5! 1 4! 96 （個）
從 1、2、4、6、8 五個數字中，任取三個不同的數字排成三位數，共可排成多少個不同的偶數？
(A) 12 解：
(B) 24
(C) 36
(D) 48 。
【統測改編】
先排個位數 個位數為偶數，則有 2 、 4 、 6 、 8 ，共 4 種選擇 再排十位數與百位數 由剩下的四個數字取兩個排列，有 P 42 種選擇
觀測站 1. 先排限制條件多的。 2. 偶數的條件是個位數須為偶數。
利用乘法原理
故共有 4 P 42 4 4 3 48 個不同的偶數
95
（
） 1. 由 1 、 2 、 3 、 5 、 7 、 8 六個數字，任取三個數字排成三位數，且數字不得重複，則共
(A) 60
有幾種排法？
（
（
(B)120
(C)180
(D) 240 。
【 91 統測】
） 2. 可用 7 種不同顏色塗在右圖的 6 個格子內，若規定顏色不重複使用且同 一格子僅塗滿同一色，則共可塗出幾種不同的著色樣式？
(A) C 76
(B) C 12 6
【 96 統測】
(C) P 76
(D) 67 。
） 3. 用 7 種不同顏色塗在右圖甲、乙、丙、丁、戊等五個區域中，若規定顏 色不重複使用且每一區域只能塗滿一種顏色，則共可塗出幾種不同的著 色樣式？
（
(A) 7
(B) 25
(C) 120
(D) 2520 。
【 96 統測】
） 4. 以 0、 1、 2、3、 4、 5 作四位數，若數字不可重複使用，則可作出幾個不同的四位數？
(A) 5 5 4 3
(B) 5 5 5 4
(C) 5 5 5 5
(D) 5 6 6 6 。
【 94 統測】
首位數字不得為 0
（
） 5. 從 0 、 1 、 3 、 7 、 8 、 9 六個數字中取三個數字（數字不可重複）排成三位數的奇數， 則方法有幾種？
(A) 64
(B) 80
(C) 100
(D) 120 。
【 101 統測】
奇數的條件是個位數須為奇數
（
） 6. 設 P nm 表示從 n 個不同的事物中，任選 m 個排成一列的排列方法，若 P 32 n 20 P 2n ，求 自然數 n
96
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5 。
【 102 統測】
完全相異物的直線排列（特殊限制型） 考情指數：★★★★★
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n ）的直線排列數為 P nm
n! n n 1 n 2 n m 1 。 n m !
2. 排列的原則： (1) 有特定位置的物件先排，再排沒有任何限制位置的物件。 (2) 必相鄰：先將必相鄰的物件綁在一起視為一體，與其餘物件排列完後，再考慮相鄰物 件本身的排列。
(3) 不相鄰：先將其餘的物件排列，再將不相鄰物件插入間隔。
將甲、乙、丙、丁四人排成一列，若甲與乙必須排在一起，試問共有幾種排法？
(C) 24 解：
(A) 6
(D) 36 。
(B) 12
【 94 統測】
將必相鄰物件視為一體做排列 觀測站
將甲、乙視為一體，與丙、丁做排列，排列數為 3! 考慮相鄰物件的排列 甲、乙位置可互換，排列數為 2!
若題目改為甲、乙不相鄰，則先 排丙、丁，再將甲、乙插入間隔， 共有 2! P 32 種排法。
利用乘法原理 故共有 3! 2! 6 2 12 種排法
現有 4 個男生與 3 個女生要排成一列，若女生之間不排男生，則共有多少種排法？
(B)120 解：
(C) 720
(D) 5040 。
(A) 72 【 92 統測】
將必相鄰物件視為一體做排列 觀測站
將 3 個女生視為一體，與 4 個男生做排列，排列數為 5! 考慮相鄰物件的排列
女生之間不排男生，即表示女生 必相鄰。
3 個女生位置可互換，排列數為 3! 利用乘法原理 故共有 5! 3! 120 6 720 種排法
97
（
） 1. 甲、乙等 6 人排成一列，則甲、乙兩人必須相鄰的方法有
(D) 240
（
2
(D) 26 6! 。
【 95 統測】
(D) 7! 。
(B) 2 3! 2!
(C) 3! 3!
(D) 2 3! 3! 。
(B) 3! 4!
【統測改編】
） 5. 甲、乙、丙、丁四人組隊參加 400 公尺接力賽跑，每人跑 100 公尺。其中甲不願意跑最
(A) 3
(B) 9
(C) 18
(D) 24 。 【 91 統測】
先排最後一棒
） 6. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列。若甲、乙、丙、丁四人必排在此列的最 前面四位，且甲、乙不相鄰，則此七人共有多少種排法？
(D) 840 。
98
(A) 3! 3!
【 92 統測】
後一棒，試問總共可排出幾種接力順序？
（
(A) 2 6!
） 4. 若 3 男 3 女排成一列，且男生必須相鄰，女生也必須相鄰，則共有幾種不同的排法？
(A) 3! 2!
（
(C) 2 3! 26
） 3. 有 4 男 3 女排成一列，若男生之間不排女生，則共有多少種排法？
(C) 4! 4!
(C) 210
【 99 統測 ( 身 ) 】
） 2. 若 6 對夫婦排成一列，且每對夫婦必須相鄰，則共有幾種不同排法？ 2
（
(B)180
種。
(B) 3! 26
（
(A)120
先排最前面四位
(A) 36
(B) 72
(C) 144
【 100 統測】
不完全相異物的直線排列 考情指數：★★★★★
1. 設有 n 件物品，共有 k 類（相同者視為同一類） ，第一類有 m1 件，第二類有 m2 件，…，第 k 類有 mk 件，其中 m1 m2 mk n ，則此 n 件不完全相異物全取的直線排列數為 n! 。 m1 ! m2 ! mk !
2. 走棋盤式街道問題： 如圖所示，設有直街 n 條、橫街 m 條， 則由 A 取捷徑到 B 的方法有
m n 2 ! 種。 m 1! n 1!
例：右圖由 A 取捷徑到 B 的每一種走法都是由 6 個「→」 及 4 個「↑」所排列而成 （如圖中粗線「→→↑↑→→↑↑→→」是其中一種 捷徑走法），故由 A 取捷徑到 B 的方法有
10! 種。 6! 4!
將 mhchcm 這些英文字母任意排列，問共有幾種不同的排列方法？
(A) 90
(B) 60
(C) 45
【 101 統測】
(D) 30 。 解：
將相同的計數 「 mhchcm」中共 6 個字母 有 2 個「 m」、 2 個「 h 」、 2 個「 c 」
觀測站 掌握公式即可拿分！
代入公式 故共有
6! 6 5 4 3 2 1 90 種不同的排列方法 2! 2! 2! 2 1 2 1 2 1
有 A 字母 4 個， B 字母 3 個， C 字母 2 個。如將其排成一列，則其排法有多少種？
(B) 288
(C) 1260
解：
(D) 40320 。
將相同的計數 有 4 個「 A 」、 3 個「 B 」、 2 個「 C 」 代入公式 故共有
(A) 32 【 90 統測】
觀測站 利用「約分」可加速計算過程。
9! 9 8 7 6 5 4 3 2 1 9 8 7 5 1260 種排法 4!3! 2! 4 3 2 1 3 2 1 2 1 2
99
（
） 1. 將「我愛數學數學愛我」八個字重新排列，其排法共有多少種？
(C)10080
（
(A) 2520
(D) 40320 。
【 96 統測 ( 身 ) 】
） 2. 若將 banana 的字母加以排列，則有多少種完全不同的排法？
(A) 30
(B) 60
(D)120 。
（
【 97 統測】
(B) 6!
11! 3!3!
(C)
(D)
11! 。 6!
【 98 統測】
） 4. 使用 H 、 E 、 I 、 G 、 H 、 T 任意排成一列，共有幾種不同排法？
(C) 360
（
(C) 90
） 3. 將「下雨天留客天天留我不留」十一個字任意排成一列，則共有多少種不同排法？
(A) 5!
（
(B) 5040
(A) 120
(D) 720 。
(B) 180
【 95 統測】
） 5. 如右圖所示，若從 A 點出發，以走捷徑的方式（意指行進時只能向右 或向上）到終點 B ，則共有幾種不同之走法？
(D) 12。
(A) 4
(B) 6
(C) 10
【 96 統測】 不論走哪一條捷徑都須經過 3 個「→」及 2 個「↑」
（
） 6. 將 0 、 0 、 2 、 2 、 9 、 9 、 9 、 9 八個數字全取，排成一列，可得幾個不同的八位數？
(A) 155
(B) 210
(C) 315
(D) 420 。
所求 任意排 0 排首位
100
【 101 統測】
重複排列
考情指數：★★★★
1. 自 n 種不同事物中任取 r 件（可重複選取同一種） 排成一列，稱為 n 中取 r 的重複排列，其排列數為 n n n nr 。 r個
《註》 n 與 r 無特定大小關係，可能 n r 、 n r 或 n r 。
若將 8 封不同的信投入 9 個不同的郵筒，則共有幾種不同的投法？
(A)
9! 1! 8!
(B)
9 8 1! 8! 8!
(C) 89
(D) 98 。
【 94 統測】
解： 每封信均有 9 個郵筒可選擇 故共有 9 9 9 9 9 9 9 9 98 種不同投法 8個
觀測站 同一個郵筒可被投入不只一封信，而每封 信只能投入某一個郵筒，故「郵筒」為「可 重複者」，「信」為「不可重複者」。
若題目有「至少」兩字，一般來說使用「反面思考」求解較迅速
五件不同的獎品分給甲、乙、丙、丁四位同學，若甲至少得一件，其方法有幾種？
(B) 120
(C) 369
(D) 2560 。
(A) 781
【歷屆試題】
解： 反面思考： 甲至少得一件 任意分 甲均未分得
觀測站 1. 甲恰得 1 件
任意分 分給乙、丙、丁
甲先選 1 件 剩下 4 件分給乙、丙、丁
4 3 1024 243 781 （種）
5 34
5
5
2. 甲至少得 2 件 任意分 甲得 0 件 甲得 1 件
45 35 5 34
101
（
） 1. 福利社賣 3 種飲料，有 4 位學生到福利社，每人選購一罐飲料，則 4 人共有幾種選法？
(A) 4
（
(B) 12
(C) 64
(D) 81 。
【 91 統測】
） 2. 若將 5 封不同的信投入 6 個郵筒，則共有幾種投遞法？
(A) 6
(B) 720
(D) 65 。
（
(C) 56 【 97 統測】
） 3. 某速食店之飲料區提供 4 種飲料。現有甲、乙、丙 3 人拿杯子到飲料區裝盛飲料，每 人可任意選擇一種飲料， 3 人的飲料可相同或不同，則 3 人裝盛的結果有多少種可能？
(A) 64
(B) 27
(C) 12
(D) 7 。
【 99 統測】
「 3 人的飲料可相同或不同」表示可用「重複排列」解題
（
） 4. 由奇數 1 、 3 、 5 、 7 、 9 五種數字，可重複出現地組成三位數，則這類三位數有幾種？
(A) 999
（
(B) 500
(C) 250
(D) 125 。
【 90 統測】
） 5. 渡船三艘，每艘最多可載 5 人，則 6 人過渡時，可安全渡過的方法有幾種？
(B) 726
(C) 216
(D) 213 。
(A) 729
【歷屆試題】
反面思考：所求 任意搭乘 6 人同搭一船
（
） 6. 假設在招呼站有三輛計程車，每輛至多可搭乘 4 位客人，招呼站現來 5 位要搭計程車 的旅客，試問共有幾種不同的載客方式？
(A) 122
反面思考：所求 任意搭乘 5 人同搭一車
102
(B) 125
(C) 240
(D) 243 。 【 97 統測】
組合（基本型）
考情指數：★★★★★
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n ）為一組（同一組內的物品不考慮其先後順序），稱 為 n 中取 m 的組合，以 C nm 例： C 100 3
P nm n! 表示其方法數。 m ! n m ! m !
P 100 100 99 98 3 。 3! 3 2 1
《註》排列與組合的解讀：排列是既選又排，但是組合只選不排。 《註》排列與組合的關係：排列 組合 順序（ P nm C mn m! ）。
2. C nn 1 ； C 0n 1 ；餘組合 C nm C nnm （ 0 m n ）。 例： C 10 7
10 9 8 7 6 5 4 10 9 8 C 10 3 。 7 6 5 4 3 2 1 3 2 1
3. C na C bn a b 或 a b n 。
某排球隊共有 10 位選手，任選 6 位上場比賽，共有幾種不同選法？
(A) 64
(B) 105
(D) 210 。
(C) 128
【 94 統測】
解： 利用組合公式 10 共有 C 10 6 C4
觀測站
10 9 8 7 210 種不同選法 4 3 2 1
1. 題 目 未 指 定 6 位 上 場 比 賽 選 手 的位置，因此與先後順序無 關，為組合問題。 10 2. 利用 C nm C nnm 將 C 10 6 化為 C 4 ，
可加速計算過程。
有一籃球隊共有 12 位選手，其前鋒、中鋒、後衛的人數分別為 4 人、 3 人、 5 人，現在要選 5 位 選手上場比賽，一般籃球比賽中，每隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、 1 人、 2 人，問共 有幾種不同選法？ 解：
(A) 120
(B) 154
(C) 180
(D) 225 。
【 99 統測】
分別選出各位置上場比賽的選手 前鋒 4 人選 2 人： C 42
觀測站 利用乘法原理（連續步驟）將三
中鋒 3 人選 1 人： C 13
個選擇步驟相乘。
後衛 5 人選 2 人： C 52 利用乘法原理 故共有 C 42 C 13 C 52
43 3 5 4 180 種不同選法 2 1 1 2 1
103
（
） 1. 一測驗題庫有 20 題相異題目，從中取出 18 題組成一試卷，若不論題序，總共可組成幾 種試卷？
（
(A) 360
(B) 200
(D)180 。
【 90 統測】
） 2. 某電器行有 10 台不同廠牌的電視，展示窗每次只能放 3 台。如果不考慮排列方式，則 共有幾種不同的展示方法？
（
(C)190
(A) 27
(B)120
(C) 300
(D) 720 。
【 91 統測】
） 3. 某種彩券共有 21 個不同號碼，從中選取 3 個不同的號碼為一組（不計順序） ，做為對獎 的依據，則共有幾種不同的選法？
(A)1330
(B) 2660
(C) 3990
(D) 7980 。 【 91 統測】
（
） 4. 某次數學測驗，規定考生由 12 題中任選 8 題作答。若選題方式為：前 4 題中任選 2 題， 後 8 題中任選 6 題，則共有多少種選法？
(A) 32
(B) 168
(C) 256
(D) 495 。 【 92 統測】
（
） 5. 男生 8 人、女生 6 人，若要選出兩男兩女組成一代表隊，則共有幾種組法？
(B) 180
（
(C) 210
(D) 420 。
【 91 統測】
） 6. 自助餐有 8 種不同蔬菜類、 3 種不同肉類、 2 種不同湯類，若每位顧客必須任選 3 種不 同蔬菜、 1 種肉類、 1 種湯類，則每位顧客共有幾種不同的選法？
(C) 168
104
(A) 120
(D) 336 。
(A) 48
(B) 84 【 96 統測】
組合（應用型）與幾何計數 考情指數：★★★★
1. 自 n 件相異物中任取 m 件（ 0 m n ）為一組（同一組內的物品不考慮其先後順序），稱 為 n 中取 m 的組合，以 C nm
P nm n! 表示其方法數。 m ! n m ! m !
2. 由點所構成的圖形數： (1) 有相異 n 個點，其中任三點不共線，則可決定 C n2 條直線， C 3n 個三角形。 (2) 有相異 n 個點，其中 m 點共線（ m 3 ），其他任三點不共線，則可決定 C n2 C m2 1 條 直線， C 3n C 3m 個三角形。
3. 由直線所構成的圖形數： (1) 平面上有 n 條相異直線，其中任兩條不平行，任三線不共點，則可決定 C n2 個交點， 圍成 C 3n 個三角形。
(2) 兩組平行線，一組有 m 條，另一組有 n 條，則可構成 C m2 C n2 個平行四邊形。 (3) 兩組互相垂直的直線，一組有 m 條，另一組有 n 條，則可構成 C m2 C n2 個矩形。 (4) 凸 n 邊形之對角線數為 C n2 n 。
已知平面上有 12 個相異點，且任意三點都不共線，則這 12 個點最多可以畫出多少條相異直線？
(A) 12
(B) 24
(C) 66
(D)132 。
【 100 統測】
解： 平面上相異 2 點恰決定一條直線 故 12 個點可畫出 C 12 2
12 11 66 條相異直線 2 1
將 6 位護士分發到 3 所醫院實習，每所醫院分發 2 人，則共有多少種分法？
(C) 60 解：
(D) 90 。
(A) 15
(B) 45 【 91 統測】
分別選出分發到各醫院的護士 設 3 所醫院為甲、乙、丙 先選出 2 位護士到甲醫院： C 62
觀測站 此題亦可想成是 2 個「甲」 、 2 個「乙」 、 6! 。將 2! 2! 2!
再選出 2 位護士到乙醫院： C 42
2 個「丙」的直線排列數
最後選出 2 位護士到丙醫院： C 22
護士編號為 1 ～ 6 ，則其中一種排法
利用乘法原理 故共有 C 62 C 42 C 22
6 5 4 3 2 1 90 種分法 2 1 2 1 2 1
「丙甲乙甲丙乙」表示 2 號及 4 號護士 到甲醫院， 3 號及 6 號護士到乙醫院， 1 號及 5 號護士到丙醫院。
105
（
） 1. 空間中有 5 個點，其中任意三點不共線，則此 5 個點共可決定多少條直線？
(B)10
（
(C)15
(D) 20 。
【 95 統測】
） 2. 平面上有 8 個點，且任意三點不共線，若以其中每三點為頂點畫一個三角形，則共可 畫出多少個三角形？
（
(A) 5
(A) 56
(B) 72
） 3. 求正二十九邊形的對角線共有幾條？
(C) 96
(D) 120 。
(A) 337
(B) 357
【 92 統測】
(C) 377
(D) 397 。 【 102 統測】
（
） 4. 求凸九邊形的對角線共有多少條？
（
） 5. 某校護理系招收轉學生 7 人，若分配給甲班 3 人、乙班 2 人、丙班 2 人，則共有幾種不 同的分配情形？
（
(A) 70
(B) 105
(A) 27
(C) 140
(B) 36
(C) 63
(D) 72 。
(D) 210 。
） 6. 將新生 4 人平均分配到甲、乙兩班，共有幾種分法？
【 93 統測】
【 94 統測】
(A) 3
(B) 6
(C) 12
(D) 24 。
【 95 統測】
106
重複組合
考情指數：★★★★
1. H nm = C mn+m−1 表示自 n 種不同事物中（每種至少 m 件）
任取 m 件（可重複選取同一種）為一組的方法數。 2. H = C 表示 x + x + + x = m 的非負整數解組數。 3. H = C 表示將 m 件相同物，任意分給 n 個人，每人可兼得的方法數。 4. H = C 表示多項式 x + x + + x 展開後的項數。 n m
n+ m−1 m
n m
n+ m−1 m
n m
n+ m−1 m
1
2
n
( 1
n)
2
m
將 6 個相同的球全部放入兩個不同顏色的箱子中，若每箱的球數不限，則共有幾種放法？ (A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 。 【 91 統測】
解：
列出方程式 設放入兩個不同箱子的球數分別為 x 、 x ，則 x + x = 6 又球數不限，表 x 、 x 是正整數或 0 （即非負整數） 利用重複組合公式 故共有 H = C = C = C = 7 種放法 1
1
2+ 6−1 6
2 6
2
1
2
1.
2
7 6
7 1
2.
觀測站 「方程式 x +x + +x =m 的 非負整數解組數」與「把 m 件 相同物，任意分給 n 個人的方法 數」兩者觀念相同。 「列出方程式」可釐清題意， 幫助解題！ 1
2
n
本相同的空白筆記本，分給甲乙丙三人。若規定每人至少分得一本，則有幾種分法？ (A) 21 (B) 30 (C) 35 (D) 40 。 【 90 統測】 8
解：
設法使方程式的解為非負整數 先分給每人 1 本 因為筆記本相同，所以分法只有 1 種 列出方程式 再將剩下的 5 本任意分給甲、乙、丙三人 設甲、乙、丙分得的本數分別為 x 、 x 、 x （不含已分得的一本） 則 x + x + x =5 利用重複組合公式 有 H = C = C = C = 72××16 = 21 種分法 利用乘法原理 故共有 1× 21 = 21 種分法 1
2
1
3
2
3 5
3
3+ 5−1 5
7 5
1.
2.
觀測站 「方程式 x +x + +x =m 的 正整數解組數」與「把 m 件相 同物，分給 n 個人，每人至少得 一件的方法數」，兩者觀念相 同。 設法使方程式的解為非負整數 （即正整數或 0 ），則可使用重 複組合公式 H 。 1
2
n
n m
7 2
107
（
） 1. 將 10 個相同的棒球全部放入 3 個不同箱子中，若每箱球數不限，則共有多少種不同放 法？
（
(A) 55
(B) 66
(C) 220
(A) 15
(B) 35
(C) 35
(D) 53 。
【 97 統測】
） 3. 將相同的 6 件物品任意分給甲、乙、丙三人且全部分完，若每人至少應有一件，則有 幾種分法？
（
【 94 統測】
） 2. 將 5 種不同的果汁，倒入 3 個相同的杯子中，每杯限倒 1 種，且每種果汁不限倒 1 個杯 子，共有幾種不同倒法？
（
(D) 286 。
(A) 10
(B) 21
(C) 27
(D) 28 。
） 4. 方程式 x y z 11 的正整數解共有多少組？
【 94 統測】
(A) 42
(B) 45
(C) 52
(D) 56 。 【 93 統測】
（
） 5. 把相同的優待券 8 張，全部分給甲、乙、丙三人，若每人至少分得一張，則共有幾種 不同分法？
（
(A) 15
(B) 18
(C) 21
(D) 24 。
【 96 統測】
） 6. 新生盃歌唱比賽，決賽有三位，其名次由獲得「明日之星」獎章數多寡決定。而「明 日之星」獎章則由 10 位評審依其評定頒予，每位評審只有一枚獎章，且規定獎章一定 要頒出。請問三位參賽者獲得「明日之星」獎章的數目，有多少種不同的分配情形？
(A) 30
108
(B) 66
(C)120
(D) 310 。
列出方程式
【 102 統測】
二項式定理
考情指數：★★★★
1. 對於任意正整數 n ， x y C 0n x n C 1n x n1 y C 2n x n2 y 2 C rn x nr y r C nn y n 。 n
(1) x y 展開共有 n 1 項，按 x 降冪排列。 n
(2) 第 r 1 項 C nr x nr y r 稱為 x y 展開式中的一般項。 n
(3) 當 x y 1 時，得 1 1 C 0n C 1n C n2 C nn 2n 。 n
x 2y
8
的展開式中， x 5 y 3 的係數為何？
解：
(A) 56
(B) 120
(C) 448
(D) 600 。
【 101 統測】
寫出一般項
x 2y
8
展開式中的一般項為 C 8r x8r 2 y C 8r 2r x8r y r r
觀測站 這類考型不管題目如何變化，皆
找出特定的 r 值
先寫出一般項，再依題目找出特
令 r 3 ，則 C 8r 2r x8r y r C 83 23 x 5 y 3
定的 r 值，即可求出係數。
故 x5 y 3 的係數為 C 83 23 56 8 448
6
1 若展開 x 2 2 時將同類項合併，則常數項為何？ x 解：
(A) 1
(B) 6
(C) 15
(D) 20 。 【 97 統測】
寫出一般項 6
2 1 x 2 展開式中的一般項為 x C 6r x 2
6 r
觀測站
1 6 12 2 r 2 r x C 6r x124 r 2 Cr x x
沒有變數只有數字的項稱為常數
找出特定的 r 值
方項。舉例來說，此題之常數項
r
令 12 4r 0 r 3
項，又 x 0 1 ，故常數項即為 0 次 為 20 20 1 20 x 0 。
則 C 6r x124 r C 36 x 0 C 36 故常數項為 C 36 20
109
（
） 1. 求 2x y 的展開式中， x 2 y 4 項之係數為何？ 6
(A) 24
(B) 30
(C) 36
(D) 60 。 【 99 統測】
（
） 2. 在 2x y 2 的展開式中， x 4 y 4 項的係數為何？ 6
(A) 240
(B) 260
(C) 280
(D) 300 。
【 94 統測】
（
10
10 10 10 k 10 k ） 3. 若 x y C 10 ， 則 C 10 0 C 1 C 2 C 10 k x y 10
(A) 512
(B) 1024
(C) 2048
k 0
(D) 4096 。
（
【 95 統測】
10 10 ） 4. 試求 C 10 1 C 2 C 10
(A) 511
(B) 512
(C) 1023
(D) 1024 。
【 98 統測】
10 10 10 10 C 10 0 C 1 C 2 C 10 2
30
（
1 ） 5. 求 x 3 的展開式中， x82 項的係數為何？ x
(A) 315
(B) 385
(C) 435
(D) 495 。 【 93 統測】
8
（
2 3 ） 6. 已知 a 、 b 、 c 、 d 為整數，若 2 展開式中， x 2 y 12 項的係數為 2a3b5c 7 d ，則 3x 4 y a b c d 之值為何？
110
(A) 11
(B) 5
(C) 1
(D)10 。
【 101 統測】