Yes,You can 滿分推薦
3
循序漸進，題型豐富，涵蓋應考重點
編排由淺入深， 加強學習興趣
基本題厚植基礎， 難題標註酌予選教，滿分達陣
6
聯立方程式 QRcode 影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看
統測趨勢分析>> 歷年統測試題數 年度
94 年
95 年
96 年
97 年
98 年
99 年
100 年
101 年
題數
1
1
1
1
0
0
0
0
主題簡介 最常考的 題型 次重要的 題型 綜合分析
（一）二、三階行列式 （二）一次方程組 行列式求值、二元一次方程組求解、三元一次方程組求解
6
行列式運算性質、二元一次方程組討論 工科教材在 95 課綱取消本單元，自 99 課程起又恢復，故自 98～100 年無統測試題。本單元 在統測考試範圍內時，平均每年出現 1 題
6-1
二、三階行列式
焦 點 一 二、三階行列式的展開 1. 行列式：將 n2（ n ）個數字排成一正方形的陣列，兩旁各加一豎線，這種排列式稱 為行列式，縱的叫行，橫的叫列。 2. 二階及三階行列式的值定義如下： a b (1) ＝ad－bc c d (2)
a1
b1
c1
a2 a3
b2 b3
c2 ＝a1b2c3＋a2b3c1＋a3b1c2－a3b2c1－a2b1c3－a1b3c2 c3
補 給站
三階行列式展開圖示如下：
單元 6 聯立方程式
137
1
二階行列式展開
試求下列各行列式的值： (1) 解
2 3 5 7
(2)
(2)
log 5 75 1 log 5 3 1
(1)
a b ＝ad－bc c d
分析 ➲
(1)
試求下列各行列式的值：
解
2 3 ＝2×7－3×5＝－1 5 7 log 5 75 1 log5 3
1
7 －2 5 1 (1)
(2)
7 －2 5
1
sin cos cos －sin
＝7×1－(－2)×5＝17
sin cos cos － sin ＝sin ×(－sin )－cos ×cos
＝log575×1－1×log53
＝－(sin2 ＋cos2 ) ＝－1
＝log575－log53＝log5 75 3 ＝log525＝2
2
三階行列式展開
3 1 －2 試求行列式 2 －1 4 的值。 1 2 －3 解
(2)
a1 b1 分析 ➲ a2 b2 a3 b3
2 －1 4 試求行列式 3 0 － 2 的值。 5 －2 3
c1 c2 ＝a1b2c3＋a2b3c1＋a3b1c2 c3
解
2 －1 4 3 0 －2 5 －2 3 ＝2×0×3＋3×(－2)×4＋5×(－1)×(－2)
－a3b2c1－a2b1c3－a1b3c2
－5×0×4－3×(－1)×3－2×(－2)×(－2)
3 1 －2 2 －1 4 1 2 －3
＝0－24＋10－0＋9－8 ＝－13
＝3×(－1)×(－3)＋2×2×(－2)＋1×1×4 －1×(－1)×(－2)－2×1×(－3)－3×2×4 ＝9－8＋4－2＋6－24 ＝－15
焦 點 二 行列式的運算性質 1. 行列式的運算性質： (1) 行列式的行、列依序互換其值不變。（即第一列變第一行，第二列變第二行，餘類 推）
138
a1
b1
c1
a1
a2
a3
a2 a3
b2 b3
c2 ＝ b1 c3 c1
b2 c2
b3 c3
單元 6 聯立方程式
(2) 某一列（行）為 0，其值必為 0。 a1
b1
c1
a1
b1
0
0
0
0 ＝ a2
b2
0 ＝0
a3
b3
c3
b3
0
a3
(3) 任意兩列（行）相等或成比例，其值必為 0。 a1
b1
c1
a1
b1
c1
a1
b1
c1 ＝ a2
b2
c2 ＝0
a3
b3
c3
ka1
kb1
kc1
(4) 任意兩列（行）對調，其值變號。 a1
b1
c1
a1
b1
c1
a2
b2
c2 ＝－ a3
b3
c3
a3
b3
c3
b2
c2
a2
(5) 任一列（行）可提出共同因數。 a1
b1
c1
a1
b1
c1
ka1
b1
c1
ka2
kb2
kc2 ＝k a2
b2
c2 ＝ ka2
b2
c2
a3
b3
c3
b3
c3
b3
c3
a3
ka3
6
(6) 任一列（行）的 k 倍，加到另一列（行），其值不變。 a1
b1
c1
a2 a3
b2 b3
c2 c3
k＝
a1
b1
c1
a2 a3＋ka1
b2 b3＋kb1
c2 c3＋kc1
(7) 某一列（行）由二個數合成，可分成兩個行列式的和。 a1
b1
c1＋d1
a1
b1
c1
a1
b1
d1
a2 a3
b2 b3
c2＋d 2 ＝ a2 c3＋d3 a3
b2 b3
c2 ＋ a2 a3 c3
b2 b3
d2 d3
補 給站
上面所述三階行列式的運算性質，也都適用於二階行列式。 2. 三階行列式降階求值： a1
b1
c1
a2
b2
c2 ＝ a1
a3
b3
c3
b2
c2
b3
c3
－ b1
a2
c2
a3
c3
＋ c1
a2
b2
a3
b3
（依第一列展開）
c1 a c a b ＋ b2 1 1 － c2 1 1 （依第二列展開） c3 a3 c3 a3 b3 b c1 a c a b1 ＝ a3 1 － b3 1 1 ＋ c3 1 （依第三列展開） b2 c2 a2 c2 a2 b2 b c2 b c b c1 ＝ a1 2 － a2 1 1 ＋ a3 1 （依第一行展開） b3 c3 b3 c3 b2 c2 a c2 a c a c1 ＝－ b1 2 ＋ b2 1 1 － b3 1 （依第二行展開） a3 c3 a3 c3 a2 c2 a b2 a b a b1 ＝ c1 2 － c2 1 1 ＋ c3 1 （依第三行展開） a3 b3 a3 b3 a2 b2
＝－ a2
b1 b3
單元 6 聯立方程式
139
補 給站
＋ － ＋
三階行列式降階展開時，須依行、列相關位置取正、負號。如圖示： － ＋ － ＋ － ＋
3
行列式性質應用
試求下列各行列式的值： 43 － 86 999 997 (1) (2) 20 30 998 996 解
試求下列各行列式的值： (1)
分析 ➲ 行列式任一列（行）可提出同一因數； 任一列（行）的 k 倍加到另一列（行）， 行列式值不變 (1)
154 11 28 3
解
20
＝11×
30
＝43×10×
1 －2 2 3
998 996 ＝
解
2 3
＝154 (2)
×(－1)
1 1 ＝1×996－1×998＝－2 998 996
4 已知
1 1
＝154×(1×3－1×2)
＝3010
999 997
14 1 28 3
＝11×14×
＝430×[1×3－(－2)×2]
(2)
193 96 94 47
154 11 28 3
(1)
43 － 86
(2)
193 96 1 96 ＝ 94 47 0 47 ×(－2) ＝1×47－96×0＝47
行列式性質應用 a b 4c 12d ＝3，試求 的值。 c d a 3b 分析 ➲ 行列式任二列（行）對調，
已知
a b 6b － 2a ＝－5，試求 的 3d － c c d
值。
行列式值變號
4c 12d c d ＝4×3× a 3b a b a b ＝12× － c d ＝12×(－3) ＝－36
140
單元 6 聯立方程式
解 （對調）
6b － 2a b －a ＝3×2× 3d －c d －c b ＝6× － d
a c
a b ＝6× c d
（對調） ＝6×(－5) ＝－30
5
行列式性質應用
－6 8 2 試求 15 － 20 5 的值。 3 4 －1
10 －1 2 試求 20 40 －12 的值。 －5 1 1
分析 ➲ 行列式任一列（行）可提出同一因數
解
10 －1 2 20 40 －12 －5 1 1
解
－6 8 2 15 － 20 5 3 4 －1 ＝2×5×
2 －1 2 ＝5× 4 40 －12 －1 1 1
－3 4 1 3 －4 1 3 4 －1 －1
＝2×5×3×4×
1 1
2 －1 2 ＝5×4× 1 10 － 3 1 －1 1
1 1 －1 1 1 －1
＝20×(20＋2－3＋20＋1＋6)
6
＝920
＝120×(－1＋1＋1＋1＋1＋1) ＝480
6
行列式性質應用
a 設 d
b e
c 2l f ＝ 5 ， 試 求 2d
3m 4n a b c 5b 3e 4 f 的 設 p q r ＝ 3 ， 試 求 5q
l
m
n
3b
2a
4c
值。 解
x
y
z
4c 2a 4r 2 p 的
5 y 4z
2x
值。 分析 ➲ 行列式任一列（行）可提出同一因數； 任二列（行）對調行列式值變號
2l 3m 4n 2d 3e 4 f 2a 3b 4c
5b 4c 2a 5q 4 r 2 p 5 y 4z 2x b c ＝5×4×2× q r
l ＝2×3×4× d a a ＝24× － d l
解
b e m
m e b
n f c c f n
＝24×(－5)＝－120
y （對調）
z
a b p ＝40× － q y x
（對調）
a c p r x z
（對調）
a b c ＝40× p q r x y z ＝40×3＝120
單元 6 聯立方程式
141
7
行列式性質應用
a ＋1 1 3 a 1 3 已知 b ＋ 2 2 0 ＝10，試求 b 2 0 c －1 2 c －1 2
6 1 a 6 1 a ＋1 已知 5 2 b ＝ 9 ，試求 5 2 b － 1 的 4 3 c 4 3 c
的值。
值。
解
分析 ➲ 行列式任一列（行）是由兩個數合成， 可分成兩個行列式的和
∵
解
a ＋1 1 3 b ＋ 2 2 0 ＝10 c －1 2
6 1 a 6 1 1 ＝ 5 2 b ＋ 5 2 －1 4 3 c 4 3 0
a 1 3 1 1 3 b 2 0 ＋ 2 2 0 ＝10 c －1 2 0 －1 2
6 1 a ＋1 5 2 b －1 4 3 c
＝9＋(0＋15－4－8－0＋18) ＝30
1 1 3 又 2 2 0 ＝4－6＋0－0－4－0＝－6 0 －1 2 ∴
a 1 3 b 2 0 ＝10－(－6)＝16 c －1 2
8
三階行列式降階
3 1 －2 3 5 1 將行列式 2 －1 4 依第 2 列降階展開， 將行列式 4 2 －1 依第 1 行降階展開， 1 2 －3 0 3 2 並求其值。 解
並求其值。
a1 b1 分析 ➲ a2 b2 a3 b3 ＋ b2
a1
c1 b c c2 ＝－ a2 1 1 b3 c 3 c3 c1
a3 c 3
－ c2
a1
a3 b 3
1 －2 3 －2 3 1 ＋(－1)× －4× 2 －3 1 －3 1 2
＝(－2)×1＋(－1)×(－7)－4×5 ＝－15
142
單元 6 聯立方程式
3 5 1 4 2 －1 0 3 2
b1
3 1 －2 2 －1 4 1 2 －3 ＝－2×
解
＝3×
2 －1 3
2
－4×
5 1 3 2
＝3×7－4×7＋0×(－7) ＝－7
＋0×
5
1
2 －1
9
行列式求值
41 4 － 20 試求行列式 70 7 － 34 的值。 81 8 － 40 解
11 23 32 試求行列式 23 45 65 的值。 34 70 100
分析 ➲ 行列式任一列（行）的 k 倍加到另一列 （行），行列式值不變
解
41 4 － 20 70 7 － 34 81 8 － 40
×(－2) ×(－3)
×(－10) ×5
×1
11 1 0 ＝ 23 －1 － 5 34 2 0
1 4 0 ＝ 0 7 1 1 8 0
（依第 3 行降階展開）
（依第 3 行降階展開）
＝－(－5)×
1 4 ＝－1× ＝－4 1 8
6
11 1 34 2
＝－60
10
行列式方程式
0 x －1 x －1 解方程式 x ＋ 2 x ＋1 x －1 ＝0。 x ＋1 解
11 23 32 11 1 －1 23 45 65 ＝ 23 －1 － 4 34 70 100 34 2 － 2
0
0 2 x－2 解方程式 2 － x x 2 － x ＝0。 x－2 2
x ＋1
分析 ➲ 行列式任一列（行）可提出同一因數 x －1 x －1 0 x ＋ 2 x ＋1 x －1 x ＋1 x ＋1 0
1 1 0 ＝(x－1)(x＋1) x ＋ 2 x ＋1 x －1 1 0 1 ＝(x－1)(x＋1)[(x＋1)＋(x－1)－(x＋2)] ＝(x－1)(x＋1)(x－2) 故得(x－1)(x＋1)(x－2)＝0
解
0
0 2 x－2 2－ x x 2－ x x－2 2 0 0 2 1 ＝(x－2)(x－2) －1 x －1 1 2 0 ＝(x－2)2[0＋(－2)＋(－2)－x－0－0] ＝(x－2)2(－x－4) 故得(x－2)2(－x－4)＝0 ∴
方程式之解為 x＝2，－4
∴ 方程式之解為 x＝1，－1，2
單元 6 聯立方程式
143
1. 設
x 1 x ＋1 x －1 ＝2，則 的值為 4 3 3 5
2. 已知
12
a b 3a ＋ 2b 4b ＝5，則 ＝ c d 3c ＋ 2d 4d
6 1 3 3. 行列式 1 －1 1 的值為 8 3 －2 10 2 4. 行列式 2 10 2
2
2 2 的值為
b e m
60
37
。
896
。
。
10
a＋b c 1 5. 化簡 b ＋ c a 1 ＝ c＋a b 1 a 6. 若 d l
。
0
。
c a b c 2a 2b f ＝3， p q r ＝－2，則 d ＋ 3 p e ＋ 3q l m n n l m
2c f ＋ 3r ＝ n
1 2 －1 3 7. 設 、 為 5 x ＋ 2 ＝0 之二根，則 ＋ ＋ ＝ 3 －1 x ＋ 3 1 8. 行列式 2 ＋ 5
1
1
3＋ 5
4＋ 5
2
的值為
10
。
。
9 ＋ 4 5 14 ＋ 6 5 21 ＋ 8 5
分析 ➲
1
1
1
1
2＋ 5
3＋ 5
4＋ 5
＝ 2＋ 5
9 ＋ 4 5 14 ＋ 6 5 21 ＋ 8 5 ×(－1) x
2
9. 方程式 x 1
0
1
1
9＋ 4 5 5＋ 2 5 7 ＋ 2 5
×(－1)
9 4 3 2 ＝0 之解為 x＝ 1 1
2或3
x ＋1 3 5 10. 方程式 1 ＝0 之解為 x＝ x＋3 5 1 3 x＋5
。
－9 或 0
分析 ➲ 將第 2 行、第 3 行各乘以 1 加到第 1 行。
144
0
單元 6 聯立方程式
。
－6
。
6-2
一次方程組
焦 點 一 二元一次方程組 1. 二元一次方程組的解法：
a1 x ＋ b1 y ＝ c1（a12＋b12 ≠ 0） 2 2 a2 x ＋ b2 y ＝ c2（a2 ＋b2 ≠ 0） (1) 代入消去法：將其中一式解出 y（或 x）用 x 表示，代入另一式消去 y，成為 x 的一次 式，解 x。 (2) 加減消去法：欲消去 y（或 x） ，可用 b2、b1 分別乘第一式、第二式，然後相減，成 為 x 的一次式，解 x。 (3) 利用行列式解法：（克拉瑪公式） 設＝
a1 a2
b1 c ， x ＝ 1 b2 c2
b1 a ， y ＝ 1 b2 a2
y c1 ，當 ≠0 時：x＝ x ，y＝ 。 c2
6
2. 二元一次方程組討論：（設 a2、b2、c2≠0）
方程組性質
條件
≠0（即
相容方程組
a1 b ≠ 1 ） a2 b2
＝ x ＝ y ＝0（即
相依方程組
方程組之解
1
恰有一組解 相交二直線
a1 b c ＝ 1 ＝ 1 ） a2 b2 c2
矛盾方程組 ＝0，但 x ≠0 或 y ≠0（即
幾何意義
無限多組解 重合二直線
a1 b c ＝ 1 ≠ 1 ） a2 b2 c2
無解
平行二直線
二元一次方程組求解
x ＋ y ＝1 2 x － y ＝ 5 2 x ＋15 y ＝ 8 ax ＋ by ＝10 方程組 與 有相同 方程組 與 mx ＋ y ＝ 5 2 x － 3ny ＝ 7 10 x － 6 y ＝13 bx ＋ 3ay ＝－ 1 的解，試求 m、n 之值。 有相同的解，試求 a、b 之值。 解
x ＋ y ＝1 解 x、y， 2 x － y ＝ 5
分析 ➲ 先由
mx ＋ y ＝ 5 再代入 解 m、n 2 x － 3ny ＝ 7
x＝2
x＝2 代入得 y＝－1 mx ＋ y ＝ 5 將 x＝2，y＝－1 代入 2 x － 3ny ＝ 7 2m －1＝ 5 得 4 ＋ 3n ＝ 7 ∴ m＝3，n＝1
2 x ＋15 y ＝ 8 …… 10 x － 6 y ＝13 …… 由×2＋×5 得 54x＝81
x＝ 3 2
x＝ 3 代入得 y＝ 1 3 2
x ＋ y ＝1 …… 2 x － y ＝ 5 …… 由＋得 3x＝6
解
ax ＋ by ＝10 將 x＝ 3 ，y＝ 1 代入 3 2 bx ＋ 3ay ＝－1 3 a ＋ 1 b ＝10 2 3 得 3 b ＋ a ＝－1 2
9a ＋ 2b ＝ 60 …… 即 2a ＋ 3b ＝－ 2 ……
×3－×2 得 23a＝184
a＝8
a＝8 代入得 b＝－6 ∴ a＝8，b＝－6
單元 6 聯立方程式
145
2
二元一次方程組求解應用
2 － 1 ＝7 x － 2 y －1 解方程組 。 1 ＋ 4 ＝－10 x － 2 y －1 解
分析 ➲ 令
1 ＋ 3 ＝2 x －1 y ＋1 解方程組 。 2 － 1 ＝11 x －1 y ＋1
1 ＝A， 1 ＝B x－ 2 y －1
解
設 A＝
A ＋ 3B ＝ 2 …… 2 A － B ＝11 ……
設 A＝ 1 ，B＝ 1 ，則 x－2 y －1
由＋×3 得 7A＝35
2 A － B ＝ 7 …… A ＋ 4 B ＝－10 …… 由×4＋得 9A＝18
1 ，B＝ 1 ，則 x－1 y ＋1
A＝5
A＝5 代入得 B＝－1
A＝2
A＝2 代入得 B＝－3 故得
1 ＝2， 1 ＝－3 x－2 y －1
2x－4＝1，－3y＋3＝1
故得
1 ＝5， 1 ＝－1 x－1 y ＋1
5x－5＝1，－y－1＝1
∴
x＝ 6 ，y＝－2 5
∴ x＝ 5 ，y＝ 2 3 2
3
克拉瑪公式
5 x － 9 y ＝ 1 利用克拉瑪公式解方程組 。 4 x ＋ 7 y ＝ 2 解
分析 ➲ x＝ ＝
5 －9 ＝71≠0 4 7
又 x ＝
y ＝ ∴ x＝
146
y x ，y＝
1 －9 2
7
＝25
5 1 ＝6 4 2
y x ＝ 25 ，y＝ ＝ 6 71 71
單元 6 聯立方程式
3x － 4 y ＝ 7 利用克拉瑪公式解方程組 。 6 x ＋ 7 y ＝ 8 解
＝
3 －4 ＝45≠0 6 7
又 x ＝
y ＝ ∴ x＝
y＝
7 －4 ＝81 8 7 3 7 6 8
＝－18
x ＝ 81 ＝ 9 45 5 y －18 ＝ ＝－ 2 5 45
4
二元一次方程組討論
2 x ＋ ky ＝ 3 方程組 有無限多組解時， kx ＋ 8 y ＝ 6 k＝ 4 ；無解時，k＝ －4 。 解
6 x ＋ (k －1) y ＝ 30 方程組 有無限多組解 (k ＋ 6) x － 2 y ＝ 20 時，k＝ －2 ；又無解時，k＝ －3 。
a1x ＋ b1 y ＝ c1 a2 x ＋ b2 y ＝ c2
分析 ➲
當
解
a1 b c ＝ 1 ＝ 1 時：有無限多組解 a2 b2 c2
a b c 當 1 ＝ 1 ≠ 1 時：無解 a2 b2 c2 令2＝k k 8
k2＝16
k＝ 4
令
6 ＝ k －1 －2 k ＋6
(k＋6)(k－1)＝－12
k2＋5k＋6＝0
(k＋2)(k＋3)＝0
k＝－2 或－3
當 k＝－2 時：
當 k＝4 時： 2 ＝ k ＝ 3 k 8 6
∴
∴ 方程組有無限多組解
當 k＝－3 時：
當 k＝－4 時： 2 ＝ k ≠ 3 8 k 6
∴
6 ＝ k －1 ＝ 30 20 －2 k ＋6
方程組有無限多組解
6 ＝ k －1 ≠ 30 －2 k ＋6 20
6
方程組無解
∴ 方程組無解
焦 點 二 三元一次方程組 1. 三元一次方程組的解法： a1 x ＋ b1 y ＋ c1 z ＝ d1 2 2 2 a2 x ＋ b2 y ＋ c2 z ＝ d 2 （其中 ai ＋ bi ＋ ci ≠0，i＝1、2、3） a x ＋ b y ＋ c z ＝ d 3 3 3 3
(1) 利用加減消去法。 (2) 利用克拉瑪公式（行列式解法）。 a1
b1
c1
d1
b1
c1
a1
d1
c1
a1
b1
d1
設 ＝ a2
b2
c2 ， x ＝ d 2
b2
c2 ， y ＝ a2
d2
c2 ， z ＝ a2
b2
d2
a3
b3
c3
b3
c3
d3
c3
b3
d3
當 ≠0 時：x＝
d3
a3
a3
y x ，y＝ ，z＝ z 。
補 給站
在上面克拉瑪公式中： (1)當 ＝ x ＝ y ＝ z ＝0 時：方程組有無限多組解或無解。 (2)當 ＝0，但 x ， y ， z 不全為 0 時：方程組無解。
單元 6 聯立方程式
147
a x ＋ b1 y ＋ c1 z ＝ 0 2. 三元一次方程組 1 （齊次方程組）的解： a x ＋ b y ＋ c z ＝ 0 2 2 2
當 xyz≠0 時：x：y：z＝
5
c1 c ： 1 c2 c2
a1 a ： 1 a2 a2
分析 ➲ 利用加減消去法 x ＋ y ＝－1 …… y ＋ z ＝ 2 …… z ＋ x ＝ 5 …… 由＋＋得 2(x＋y＋z)＝6
x＋y＋z＝3……
－得 z＝4
1 ＋ 1 ＝ 5 x y 6 解方程組 1 ＋ 1 ＝ 7 。 y z 12 1 1 3 z ＋ x ＝ 4 解
1 ＋ 1 ＝ 5 …… x y 6 1 1 7 y ＋ z ＝ 12 …… 1 1 3 z ＋ x ＝ 4 ……
－得 y＝－2
由＋＋得 2 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 13 6 y z x
∴ x＝1，y＝－2，z＝4
－得 x＝1
單元 6 聯立方程式
1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ 13 …… 12 x y z
－得 1 ＝ 1 z 4 1 －得 ＝ 1 2 x
z＝4
x＝2
－得 1 ＝ 1 3 y
y＝3
∴
148
b1 b2
三元一次方程組求解
x ＋ y ＝－ 1 解方程組 y ＋ z ＝ 2 。 z ＋ x ＝ 5 解
b1 b2
x＝2，y＝3，z＝4
6
克拉瑪公式
2x －3y －4z ＝1 利用克拉瑪公式解方程組 x ＋2 y ＋2z ＝5 。 x ＋ y －3z＝－4 解
分析 ➲ x＝
y x ，y＝ ，z＝ z
2x ＋3y －5z ＝3 利用克拉瑪公式解方程組 x －2 y ＋ z ＝0 。 3x ＋ y ＋3z ＝7 2
解
3
2 －3 － 4 ＝ 1 2 2 1 1 －3
1
－5 1 3
＝－12－5＋9－30－9－2＝－49
3 3 －5 x ＝ 0 －2 1 7 1 3
＝－12－4－6＋8－9－4＝－27
1 －3 － 4 x ＝ 5 2 2 － 4 1 －3
＝－18＋0＋21－70－0－3＝－70
2 3 －5 y ＝ 1 0 1 3 7 3
＝－6－20＋24－32－2－45＝－81
2 ＝ 1 y
1 －4 5 2 1 － 4 －3
6
＝0＋9－35－0－9－14＝－49
2 3 3 z ＝ 1 －2 0 3 1 7
＝－30＋16＋2＋20＋3＋16＝27
2 －3 1 z ＝ 1 2 5 1 1 －4
＝－28＋3＋0＋18－0－21＝－28
x＝
x － 70 ＝ ＝ 10 7 － 49
x － 81 ＝ ＝3 － 27
y＝
y － 49 ＝ ＝1 － 49
y＝
y ＝ 27 ＝－1 － 27
z＝
z － 28 ＝ ＝4 － 49 7
z＝
z － 54 ＝ ＝2 － 27
∴
＝－16＋1－15－2－12－10＝－54 ∴ x＝
7
齊次方程組
2 x ＋ 3 y ＋ 2 z ＝ 0 設 xyz≠0，若 ， x － 2 y － z ＝ 0 試求 x：y：z。 解
3
＝ 1 －2
a1x ＋ b1 y ＋ c1z ＝ 0 （xyz≠0）， a2 x ＋ b2 y ＋ c2 z ＝ 0
分析 ➲ 設
則 x：y：z
b ＝ 1 b2
c1 c ： 1 c2 c2
a1 a b ： 1 1 a2 a2 b2
x：y：z 3 2 2 2 2 3 ＝ ： ： － 2 －1 －1 1 1 －2 ＝1：4：(－7)
設 xyz≠0，且 x、y、z ， 若(2x＋y－4z)2＋(x＋3y＋2z)2＝0， 試求 x：y：z。 解
∵
x、y、z
又(2x＋y－4z)2＋(x＋3y＋2z)2＝0
2 x ＋ y － 4 z ＝ 0 x ＋3y ＋ 2z ＝ 0
x：y：z ＝
1 －4 3
2
：
－4 2 2
1
：
2 1 1 3
＝14：(－8)：5
單元 6 聯立方程式
149
3x － y ＝－ 2 1. 聯立方程式 之解為 x＝ 1 ，y＝ 5 。 2 x ＋ 3 y ＝17 y ＋ ＝6 x 3 x 之解為 x＝ 2. 方程組 7 x － 2 y ＝ 1 x
1 ，y＝ 3 。
a b 2 x ＋ ay ＝－ 6 3. 若 為相依方程組，則 之值為 0 。 2 －1 bx － y ＝ 3 4. 聯立方程式 3 ＋ 2 ＝4， 2 ＋ 3 ＝1，則 x＋y 之值為 － 1 。 2 x x y y
5. x、y 為實數，若| x＋3 |＋| x－2y－5 |＋| 3x－4y＋k |＝0，則 k＝ －7 。 (k ＋ 1) x ＋ 2 y ＝1 有無限多組解時 k＝ －3 ，無解時 k＝ 3 。 6. 方程組 4 x ＋ (k －1) y ＝－ 2 x ＋ y ＝ 5 2 x － y ＝ 4 7. 若方程組 與 有相同的解，則 a＝ 1 ，b＝ －1 。 ax ＋ by ＝1 ax － by ＝ 5 4 x ＋ 3 y － 2 z ＝ 27 8. 方程組 x ＋ 2 y ＋ z ＝ 12 之解中，z＝ 2 x － 4 y ＋ 3z ＝1
1 。
2 x ＋ y － z ＝ 0 ，則 x：y：z＝ 3：(－1)：5 。 9. xyz≠0，若 3x －11y － 4 z ＝ 0 。 10. 聯立方程式 1 ＋ 1 ＝7， 1 ＋ 1 ＝3， 1 ＋ 1 ＝2，則 xyz＝ － 1 12 x x z z y y
一、基本觀念
－1 （ C ）1. 2
3
4 3 －1
－3 － 2 的值為 (Ａ) 30 (Ｂ) －30 (Ｃ) 0
(Ｄ) 60。
1
x＋5 1 －1 x 5 （ A ）2. 若 ＝1，則 － 2 － 4 － x 3 ＝ (Ａ) －7 3 －2 3 2 5 (Ｄ) －10。 150
單元 6 聯立方程式
(Ｂ) －8 (Ｃ) －9
9＋ x
（ C ）3.
2
3
2＋ x 3 ＝0 之所有實數解的和為 2 3＋ x
9 9
（ B ）4. 設行列式
a b 3b 15a ＝2，則 的值為 (Ａ) 30 c d d 5c 1 a
x
（ D ）5. 若行列式 1 b 1 c
(Ｂ) 7 (Ｃ) －14
(Ｂ) －30
(Ｃ) 60
(Ｄ) －5。
(Ｄ) －60。
a＋ x 1 x
y ＝3，則 b ＋ y 1 y ＝ z c＋ z 1 z
a＋b
c
c
a
b＋c
a
b
b
c＋a
（ A ）6. 化簡
(Ａ) 14
＝
(Ａ) 4abc
(Ａ) 6 (Ｂ) 3
(Ｂ) 2abc
(Ｃ) －2
(Ｃ) abc
x2 9 5 （ C ）7. 若 a、b 為方程式 1＋ 2 x 7 2 ＝0 之二根，則 a2＋b2＝ x
(Ｄ) －3。
(Ｄ) 0。
(Ａ) 9
(Ｂ) 11
(Ｃ) 13
6
3 1
(Ｄ) 15。 2
（ A ）8. 設 、 為行列式方程式
x ＋1
4 6 2 4 ＝ 0 的兩個根，則 ＋ ＝
x2 ＋ 2 5 7
(Ａ) － 1 2
(Ｂ) 1 2
(Ｃ) 3 (Ｄ) 5 。 2 2 ax － 2 y ＋ b ＝ 0 （ C ）9. 若方程組 有無限多個解，則 a ＋ b 的值為 (Ａ) 2 (Ｂ) 3 5 x － 4 y ＋ 3 ＝ 0 (Ｄ) 6。 ax ＋ by ＝ 9 x ＋ y ＝ 7 （ B ）10. 若方程組 與 有相同的解，則 a ＋ b 之值為 2 x － y ＝ 8 2ax － 3by ＝－ 2 (Ｂ) 3 (Ｃ) 2 (Ｄ) 1。 x＋ y ＝3 （ B ）11. 方程組 xy ，則 2x＋y＝ (Ａ) 2 (Ｂ) 5 (Ｃ) 3 (Ｄ) 6。 2 x － y ＝ xy
x ＋ 3 y ＋ 5z ＝ 0 x2 ＋ y2 ＋ z 2 （ C ）12. 設 xyz ≠ 0 ，若 ，則 的值為 (Ａ) － 15 ＋ ＋ xy yz zx 8 x ＋ y ＋ z ＝ 2 4 7 0 (Ｃ) － 14 (Ｄ) － 12 。 5 5 x ＋ 3y － 4z ＝ 5 （ C ）13. 方程組 3 x － y＋ 2 z ＝ 9 ，則 y＝ (Ａ) －3 (Ｂ) －1 (Ｃ) 2 (Ｄ) 4。 x － 2 y ＋ 9z ＝ 8 1 1 1 x ＋ y ＋ z ＝0 （ A ）14. 若 4 ＋ 3 ＋ 2 ＝ 5 ，則 x＋y＋z＝ y z x 3 2 4 x ＋ y ＋ z ＝－ 4
(Ａ) 7 6
(Ｂ) 4 3
(Ｃ) 3 2
(Ｃ) 4
(Ａ) 4
(Ｂ) － 13 7
(Ｄ) 2。
單元 6 聯立方程式
151
x ＋ y ＝ 5 xy （ B ）15. 聯立方程式 y ＋ z ＝ 6 yz ，若 xyz≠0，則 1 ＝ xyz z ＋ x ＝ 7 zx
(Ａ) 30 (Ｂ) 24
(Ｃ) 21
(Ｄ) 18。
二、推理應用 x －1
x －1
0
（ C ）1. 若行列式 x ＋ 2 x ＋ 1 x － 1 ＝ax3＋bx2＋cx＋d，則 ab＋cd＝ x ＋1 x ＋1 0 (Ｄ) －2。 25 － 26 27 （ D ）2. 行列式 12 － 14 15 之值為 19 － 21 17
(Ａ) 4 (Ｂ) 2
(Ｃ) －4
1
1
1
（ D ）3. 行列式 a a2
b b2
c ＝ c2
(Ａ) 161
(Ａ) 3abc
(Ｂ) 171 (Ｃ) 183
(Ｂ) (a＋b)(b＋c)(c＋a) (Ｃ) (a－b)(b－c)(a－c)
(Ｄ) (a－b)(b－c)(c－a)。 a－b－c 2a 2a （ B ）4. 化簡 ＝ 2b b－c－a 2b 2c 2c c－a－b
(Ａ) abc(a＋b＋c)
(Ｃ) (a＋b＋c)2 (Ｄ) (a＋b)(b＋c)(c＋a)。 a b c b＋c c＋a a＋b （ B ）5. 若 x y z ＝5，則 y ＋ z z ＋ x x ＋ y 之值為 l m n m＋n n＋l l ＋m
（ D
（ A
（ B
（ D
（ A
(Ｂ) (a＋b＋c)3
(Ａ) 5 (Ｂ) 10
(Ｃ) －5
(Ｄ) －10。 ＝ 2 x ＋ 3 y x ＝ a ＋ b ）6. 已知 ，若令 ，則 b ＋ c ＝ (Ａ) － 7 (Ｂ) － 6 (Ｃ) － 5 ＝ x ＋ 2 y y ＝ c ＋ d (Ｄ) －4。 29 x － 111y ＝－19 ）7. 若方程組 之解為 x＝a，y＝b，則 a－2b＝ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 111x － 29 y ＝ 719 (Ｄ) 6。 3 ＋ 2x ＝ 4 x 3 y ）8. 聯立方程式 ，則 x－y＝ (Ａ) 145 (Ｂ) 143 (Ｃ) 73 (Ｄ) 71 。 288 288 144 144 1 ＋ 3x ＝ 6 y 2 x yz xy ）9. 設 ＝1， xz ＝－1， ＝2，則 x＝ (Ａ) 1 (Ｂ) 1 (Ｃ) － 3 2 3 4 y＋ z x＋ z x＋ y (Ｄ) － 4 。 3 x2 ＋ y2 ＋ z 2 ）10. xyz ≠ 0 ，若 6x － y ＋ 3z ＝－ 2x ＋ 5y ＋ 9z ＝ 8x － 5y ＋ z ，則 2 ＝ (Ａ) 35 2 2 33 x －y ＋z (Ｂ) 65 41
152
(Ｄ) 197。
單元 6 聯立方程式
(Ｃ) 61 33
(Ｄ) 61 。 41
1
10 20
（ A ）1. 行列式 5 50 10 1
1 ＝
(Ａ) －992
(Ｂ) －1002
(Ｃ) 992
(Ｄ) 1002。
【97 統測】
5 a 1 d
2a
－3
4d
（ C ）2. 設 a、b、c、d、e、f 均為實數，若行列式 b 1 e ＝2，則 2b － 3 4e c 1 f － 10c 15 － 20 f ＝
(Ａ) 120
(Ｂ) －120
(Ｃ) 240
(Ｄ) －240。
【96 統測】
1 a a2 1 a a3 （ C ）3. 設 a、b、c 為實數，若 1 b b 2 ＝12 且 1 b b3 ＝156， c2
1 c
1 c
6
c3
1 a ＋ 1 a 2 (a ＋ 1) 則 1 b ＋1 b 2 (b ＋1) ＝ 1 c ＋ 1 c 2 (c ＋1)
(Ａ) 13 (Ｂ) 144
(Ｃ) 168
1－ k
3
（ D ）4. 設 k 為自然數，若行列式
1 1
2
(Ｄ) 1872。
＝0 ，則 k ＝ 2－k 3 2 3－ k
【95 統測】
(Ａ) 3
(Ｂ) 4
(Ｃ) 5
(Ｄ) 6。 【94 統測】 1 2 3
（ A ）5. 設 x 1 2 ＝36 的解為 a 與 b，則 a＋b＝ 3 x 1
(Ａ) 4 3
(Ｂ) 4 (Ｃ) 20 3
(Ｄ) 28 。 3 【93 統測】
x
1 2
（ A ）6. 若 x － 1 2 4 ＝0，則 x＝ x－2 4 7
(Ａ) －1 (Ｂ) 0 (Ｃ) 1
(Ｄ) 2。
【92 統測】
單元 6 聯立方程式
153