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!၌
၌! Ϸ ➲ ݙSnɶ n [ 2a1 為 (n 炼1) d ] 2
a1ɶ7Ȃdɶ10 2 ɯ7ɶ 11 3 3
a1ɶ74Ȃdɶ66ɯ74ɶɯ8
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]
ɶɯ40
ʎ! S16ɶ 16 ª 2ɰ7 為 (16 炼1)ɰ11 º 2 «¬ 3 »¼
ɶ8(14ɮ55) ɶ552
7
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ؑ 100 ڗ300 ޟՌณኵϛȂ 7 ॻޟኵϞᖂ ؑ 200 ڗ500 ޟՌณኵϛȂଶо 11 Ꮇ 3 ޱ ڷȄ
ޟᖂڷȄ
၌! Ϸ ➲ ݙa ɶa ɮ(nɯ1)dȂS ɶ n (a1為 an ) n 1 n 2
!၌
a1ɶ105Ȃanɶ294Ȃdɶ7
a1ɶ201Ȃanɶ498Ȃdɶ11 ʍ! anɶa1ɮ(nɯ1)d
! 498ɶ201ɮ(nɯ1)ɰ11
ʍ! anɶa1ɮ(nɯ1)d
! nɶ28
! 294ɶ105ɮ(nɯ1)ɰ7
28(a1為 a28 ) 28(201為 498) ɶ ɶ9786 2 2 ʎ! ࣏ڷؑܚ9786
ά S28ɶ
! nɶ28 28(a1為 a28 ) 28(105 為 294) ɶ ɶ5586 2 2 ʎ! ࣏ڷؑܚ5586
ά S28ɶ
8
้ؑ৯ኵޟኵ!
Ι้৯ኵ ࣏ڷ480 Ȃॶ࣏ɯ 3 Ȃϴ৯࣏ Ι้৯ኵॶ 10 Ȃϴ৯࣏ 6 Ȃ࣏ڷ
5ȂၐؑԪኵޟኵȄ ၌! Ϸ ➲ ݙSnɶ n [ 2a1為 (n 炼1)d 2
780ȂၐؑԪኵޟኵȄ
]
!၌
ʍ! a1ɶ10Ȃdɶ6ȂSnɶ780
! 480ɶ n [ 2ɰ(炼3) 為 ( n 炼1)ɰ5 ] 2 ! 960ɶn(ɯ6ɮ5nɯ5)
ҥ Snɶ n [ 2a1為 ( n 炼1) d ] ு 2 780ɶ n [ 2ɰ10 為 ( n 炼1)ɰ6 ] 2 ! 1560ɶn(20ɮ6nɯ6)
! 5n2ɯ11nɯ960ɶ0
! 3n2ɮ7nɯ780ɶ0
! (nɯ15)(5nɮ64)ɶ0
! (nɯ15)(3nɮ52)ɶ0
! nɶ15Ȃ ܖnɶɯ 64 ȞϚӫȟ 5
! nɶ15Ȃ ܖnɶɯ 52 ȞϚӫȟ 3
ʍ! Snɶ480Ȃa1ɶɯ3Ȃdɶ5
9
4
乘法原理
設由 A 地到 B 地有 5 條路可走，由 B 地到 C 設由甲地至乙地有 3 條路可走，由乙地至丙 地有 8 條路可走，則由 A 地經 B 地到 C 地共 地有 5 條路可走，由丙地至丁地有 4 條路可 有多少不同的路可走？ 解
走，則由甲地經乙、丙地至丁地，共有多少
分析 ➲ 乘法原理
條不同的路可走？
∵ A→B 有 5 條路，B→C 有 8 條路
解
∵ 甲→乙有 3 條路 乙→丙有 5 條路
∴ 由乘法原理知：
丙→丁有 4 條路
從 A 經 B 到 C 共有 5×8 ＝ 40 條路可走
∴ 由乘法原理知： 從甲地經乙、丙地到丁地的走法 共有 3×5×4 ＝ 60 條不同的路
5
乘法原理
將 (a ＋ b ＋ c ＋ d )(e ＋ f ＋ g )( x ＋ y ＋ z ＋ u ＋ v)
將 (a ＋ b ＋ c)( p ＋ q)( x ＋ y ＋ z ＋ u ) 乘 開 ，
乘開，共可得多少不同的項？
可得多少種不同的項？
解
分析 ➲ 由每一括號內選取一文字相乘， 即形成一個項
解
「a、b、c」取一字的方法有 3 種 「p、q」取一字的方法有 2 種
「a、b、c、d」取一字的方法有 4 種
「x、y、z、u」取一字的方法有 4 種
「e、f、g」取一字的方法有 3 種
由乘法原理知：
「x、y、z、u、v」取一字的方法有 5 種
共可得 3×2×4 ＝ 24 個不同的項
由乘法原理知： 共可得 4×3×5 ＝ 60 個不同的項
6
乘法原理
600 的正因數共有多少個？ 解
分析 ➲ 600＝ 23 ×3×52
720 的正因數共有多少個？ 解
720＝ 24 ×32 ×5
600＝ 23 ×3×52 2 600 2 300 2150 3 75 5 25 5 由 A、B、C 三組
每組各選一數相乘，都是 720 的正因數
每組各選一數相乘，都是 600 的正因數
由乘法原理知：
由乘法原理知：
720 的正因數共有 5×3×2 ＝ 30 個
600 的正因數共有 4×2×3 ＝ 24 個
222
由 A、B、C 三組
2 720 2 360 2180 2 90 3 45 315 5
單元 11 排列組合
7
著色問題
用五種不同顏色塗右圖，顏色
用五種不同顏色塗右圖，顏色可重
可重複使用，但相鄰區域不能
複使用，但相鄰區域不能同色，塗
同色，塗法有多少種？
法有多少種？
解
分析 ➲ 由相鄰區域最多者先塗， 考慮 A、E 同色或異色的情形
解
當 A、E 塗同色時： 依 C → A、E → B → D 順序塗色
當 B、C 塗同色時： 依 A → B、C → D 順序塗色 塗法有 5×4×4 ＝ 80 種 當 B、C 塗異色時：
塗法有 5×4×3×3 ＝180 種
依 A→B→C→D 順序塗色
當 A、E 塗異色時：
塗法有 5×4×3×3 ＝180 種
依 C→A→E→B→D 順序塗色
∴ 全部塗法有 80 ＋180 ＝ 260 種
塗法有 5×4×3×2×2 ＝ 240 種 ∴ 全部塗法有 180 ＋ 240 ＝ 420 種
焦 點 二 相異物的直線排列 1. n 的階乘： n， n－1 ， n－ 2 ，……，2，1 的連乘積，叫做 n 的階乘，記作 n！。即 n！＝ n×(n －1)×(n － 2)×……×2×1 補 給站
(1) 規定 0！＝1 (2) n 為自然數，則 n！＝ n×(n －1)！
11
2. 相異物的直線排列： 由 n 件不同的事物中，任選 m 件 (m ≤ n) 的排列數為 P nm ＝
n！ ＝ n×(n －1)×(n － 2)×……×(n － m ＋1) (n － m)！
補 給站
(1) P nm ＝ n×(n －1)×(n － 2)×……×(n － m ＋1) ＝
n×(n －1)×(n － 2)×……×(n － m ＋1)×(n － m)×(n － m －1)×……×2×1 (n － m)×(n － m －1)×……×2×1
＝
n！ (n － m)！
(2) P nn ＝ n！＝ n×(n －1)×……×2×1 (3) P nm ＝ n× P mn －－11 ＝(n － m ＋1)× P mn －1
單元 11 排列組合
223
3. 特殊限制排列： n 件相異物全取排列，規定 A 不排首位，B 不排末位，其排列數為 n！－ (n －1)！×2 ＋ (n － 2)！×1 ※特別說明：
即所求排法＝（全部方法）－（A 排首）－（B 排末）＋（A 排首且 B 排末） ＝ n！－ (n －1)！－ (n －1)！＋ (n － 2)！
8
P nm ＝ n×(n －1)×(n － 2)×…×(n － m ＋1)
計算下列各值：(1) P 320 解
(2) P 55
計算下列各值：(1) P 77
n！
n 分析 ➲ P m ＝ (n － m)！
解
＝ n×(n －1)×……×(n － m ＋1)
又
(2) P 50 2
(1) P 77 ＝ 7！＝ 7×6×5×4×3×2×1＝ 5040 (2) P 50 2 ＝ 50×49 ＝ 2450
P nn ＝n！
(1) P 320 ＝ 20×19×18 ＝ 6840 (2) P 55 ＝ 5！＝ 5×4×3×2×1＝120
9
相異物的直線排列
由「a、b、c、d、e、f、g、h」八個字母，任 由「1、2、3、4、5、6、7」排成各位數字 取四個排成一列，方法有多少種？ 解
分析 ➲ n 件相異事物，任取 m 件排成一列的方 法共有 P nm 種 八個字母任取四個排成一列的方法有 P 84 ＝ 8×7×6×5 ＝1680 種
224
單元 11 排列組合
相異的五位數，共有多少個？ 解
由 1、2、3、4、5、6、7 任選五個作直線排列 ∴ 共有 P 57 ＝ 7×6×5×4×3 ＝ 2520 個
10
相異物的直線排列
甲、乙、丙……等 7 人排成一列，若規定 5 男 3 女排成一列，規定女生必須都相鄰， 甲、乙、丙 3 人中任 2 人均不得相鄰，則排 則排法有多少種？ 法有多少種？ 解
解
分析 ➲ 必須相鄰者視為一個單位
分析 ➲ 不得相鄰，利用插空法
∵ 3 個女生必須全部相鄰，
∵ 甲、乙、丙任 2 人均不得相鄰，
故可先視為一個單位。
故先由其餘 4 人作直線排列，其排列數為 4！
再與 5 個男生作直線排列，其排列數為 6！
從每種排法中，再由 5 個間隔「△」
從每種排法中，
選 3 個排甲、乙、丙，
3 個女生互換位置的排列數為 3！
則甲、乙、丙任 2 人均不會相鄰，其排列數為 P 53
∴ 所求排法共有 6！×3！＝ 720×6 ＝ 4320 種
∴ 所求排法共有
4！× P 53 ＝ 24×60 ＝1440
11
種
相異物的直線排列
用「0、1、2、3、4、5、6」作成各位數字相 用「0、1、2、3、4、5」作成各位數字相異 異的四位數，其中 5 的倍數有多少個？ 解
分析 ➲ 5 的倍數其個位數必為 0 或 5，
的三位數，其中偶數有多少個？ 解
且首位數字不得為 0
分析 ➲ 偶數的個位數必為 0、2 或 4 個位數為 0 時：
個位數為 0 時： 方法有 P 36 ＝ 6×5×4 ＝120 種
方法有 P 52 ＝ 20 種
個位數為 5 時：
個位數為 2 或 4 時：
方法有 5× P 52 ＝100 種 方法有 4×4×2 ＝ 32 種
∴ 5 的倍數共有 120 ＋100 ＝ 220 個
11
∴ 偶數有 20 ＋ 32＝ 52 個
12
排列公式應用
10 若 P 10 m ＝ 4× P m －1 ，試求 m 值。
解
分析 ➲ P nm ＝ (n － m ＋1)× P mn －1 ∵
10 P 10 m ＝ 4× P m － 1
10 (10 － m ＋1)× P 10 m － 1 ＝ 4× P m － 1
10 － m ＋1＝ 4
∴
m＝7
若 4×P 3n ＝ 5× P 3n －1 ，試求 n 值。 解
分析 ➲ P nm ＝ n×(n －1)×……×(n － m ＋1) ∵
4× P 3n ＝ 5× P 3n －1
4×n×(n －1)×(n － 2) ＝ 5×(n －1)×( n － 2)×(n － 3)
4n ＝ 5( n － 3)
∴
n ＝15
單元 11 排列組合
225
13
特殊限制排列
A、B、……等 7 人作直線排列，則 A 不排 甲、乙、……等 5 人作直線排列，規定甲不 首，且 B 不排末的方法有幾種？ 解
分析 ➲ n！－ (n －1)！×2＋(n － 2)！×1
排首，但乙必排中，其排法有幾種？ 解
所求的排法 ＝（全部排法）－（A 排首）－（B 排末） ＋（A 排首 B 排末）
所求排法 ＝（乙排中的方法）－（乙排中且甲排首的方法） ＝ 4！－ 3！ ＝18（種）
＝ 7！－ 6！－ 6！＋ 5！ ＝3720（種）
焦 點 三 不盡相異物的直線排列 1. 不盡相異物的直線排列： 設 n 件物品中，共有 k 類，第一類有 m1 件，第二類有 m2 件，……，第 k 類有 mk 件，
則此 n 件全取排列，其排列數為 n！ （其中 m1 ＋ m2 ＋……＋ mk ＝ n ） m1！m2！……mk！ 補 給站
當某些特定排列物順序保持不變，則此特定物可視為相同物，依照不盡相異物的直線 排列公式處理。 例：fancies 字母重行排列，若母音字母順序保持不變，其排法有幾種？ 7！ 解：視母音 a、i、e 為相同物，故其排法有 ＝ 840 種。 3！ 2. 棋盤道路問題： 設縱街 m 條，橫街 n 條（如圖） ， (m ＋ n － 2)！ 則由 A 取捷徑至 B 的走法有 種。 (m －1)！(n －1)！
226
單元 11 排列組合
14
不盡相異物的直線排列
某動物園的遊園列車共有 7 節車廂，依序編 臺北淡水線捷運的某班列車共有 6 節車廂， 號 1 到 7，今想在每節車廂上畫一種動物， 依序編號 1 到 6，在花博期間每節車廂均彩 其中 2 節車廂畫企鵝，3 節車廂畫無尾熊， 繪相同的圖案，但顏色不盡相同，其中 3 個 另 2 節車廂畫貓熊，則 7 節車廂共有多少種 車廂為紅色，2 個車廂為黃色，1 個車廂為 綠色，則 6 節車廂共有多少種彩繪方法？
畫法？ 解
分析 ➲
n！ （ m1 ＋ m2 ＋ m3 ＝ n ） m1！m2！m3！
解
∵ 有 3 個車廂為紅色，2 個車廂為黃色， 1 個車廂為綠色
∵ 2 節車廂畫企鵝，3 節車廂畫無尾熊， 2 節車廂畫貓熊 故得
故得
7！ ＝ 210 2！3！2！
6！ ＝ 60 3！2！！ 1
∴ 共有 60 種彩繪方法
∴ 7 節車廂共有 210 種畫法
15
不盡相異物的直線排列
用「 0 、 0 、 0 、 1 、 1 、 3 、 3 、 3 」作成八位 用「0、0、2、2、3、3、3」作成七位數， 數，共有多少個？ 解
其中奇數有多少個？
分析 ➲ 利用不盡相異物的直線排列公式， 但 0 不得排首位
解 （所求奇數的七位數個數） ＝（3 排末的排列數） －（0 排首且 3 排末的排列數）
（作成八位數的個數） ＝（全部的排列數）－（0 排首的排列數） ＝
＝
8！ 7！ － 3！2！！ 3 2！2！！ 3
6！ 5！ － 2！2！2！ 2！2！
＝ 90 － 30 ＝ 60
＝ 560 － 210 ＝ 350
∴ 作成的七位數，奇數有 60 個
∴ 作成的八位數共有 350 個
11
16
順序保持不變的排列
甲、乙、丙、丁……等 8 人作直線排列，規 「factoring」一字的字母重新排列，若規定 定甲只能排在乙的左邊，且乙只能排在丙的 母音字母順序保持不變，則共有多少種排 左邊，則排法有多少種？ 解
分析 ➲ 順序保持一定者，視為相同物 ∵ 甲排在乙左，且乙排在丙左
甲、乙、丙順序保持一定，故視為相同物 ∴ 所求排法共有
8！ ＝ 6720 種 3！
法？ 解
∵ 母音字母 a、o、i 順序保持不變 故視為相同物 ∴ 所求排法共有
9！ ＝ 60480 種 3！
單元 11 排列組合
227
17
棋盤道路問題
如右圖所示：
如右圖所示：
由 A 至 B 取捷徑，其走法有
在直角坐標平面上，由
幾種？又由 A 經 C 至 B 的走
P(－2, －3)至 Q(3,3)取捷徑
法有幾種？
的走法有幾種？又不經過
解
分析 ➲ 縱街 m 條，橫街 n 條， ( m ＋ n － 2)！ 取捷徑的走法有 種 (m －1)！(n －1)！
原點的走法有幾種？ 解
由 P 至 Q 取捷徑，
(7 ＋ 6 － 2)！ 11！ ＝ ＝ 462 種 (7 －1)！(6 －1)！ 6！！ 5
∵ 由 A 至 B 縱街有 6 條，橫街有 5 條
走法有
∴ 取捷徑的走法有
又 P 經原點 O 至 Q 的走法有
(6 ＋ 5 － 2)！ 9！ ＝ ＝126 種 (6 －1)！(5 －1)！ 5！4！ 又 A→C 走法有
C→B 走法有
(4 ＋ 3 － 2)！ 5！ ＝ ＝10 種 (4 －1)！(3 －1)！ 3！2！ (3 ＋ 3 － 2)！ 4！ ＝ ＝6 種 (3 －1)！(3 －1)！ 2！2！
∴ 由 A 經 C 至 B 走法有 10×6 ＝ 60 種
(3 ＋ 4 － 2)！ (4 ＋ 4 － 2)！ × (3 －1)！(4 －1)！ (4 －1)！(4 －1)！ ＝
5！ 6！ × ＝ 200 種 2！！ 3 3！！ 3
∴ 由 P 至 Q 不經過原點的走法有
462 － 200 ＝ 262 種
焦 點 四 重複排列與環狀排列 1. 重複排列：
自 n 個相異物中，每次取 r 個排列，可重複選取，稱為重複排列，其排列數為 n r 。 例：三封信投入四個郵筒，其不同的投法共有多少種？ 解：每封信可投入任一個郵筒，其不同的投法有四種。 三封信分別為 ： 投入郵筒的方法數為： ∴ 共有 4×4×4＝4 3 ＝64 種不同投法 補 給站
重複排列中之 n、r，不受 r ≤ n 的限制。 2. 環狀排列： (1) 環狀排列：
自 n 個相異物中，每次取 r（ r ≤ n ）個作環狀排列，其排列數為
Prn 。 r
n 個相異物全取排列，其環狀排列數為 ( n －1) !。 項圈排列（無對稱情形時） ，其排列數為環狀排列數之半。 (2) 自 n 個相異物中，每次取 r 個作正 k 邊形的排列（每邊個數相等） ，其排列數為 Prn （即 1 ×(直線排列數)） 。 k k
228
單元 11 排列組合
18
重複排列
甲 、 乙 、 丙 、 丁 四 人 同 時 猜 拳 ， 每 人 可 出 某次考試選擇題部分共有 5 題，每題都是四 「剪刀」、「石頭」、「布」三者之一，則可能 選一的單選題，某生選擇題答案全部用猜的 的結果有多少種？ 解
且每題都作答，試問他有多少種可能的猜題
分析 ➲ n 中選 r 的重複排列數為 n r
答案？
甲、乙、丙、丁每人出拳的方法都有 3 種，
解
因為每題都有 4 種猜題方法，
所以四人出拳的方法共有
所以 5 題全部用猜的猜題答案共有
3×3×3×3＝3 4 ＝81 種
4×4×4×4×4＝4 ＝1024 種
5
19
重複排列
用 0、1、3、5、8 五個數字來排成四位數， 用 0、1、2、3、4、5 六個數字，數字可以 規定數字可重複使用，共可排成多少個不同 重複使用，共可排成多少個不同的四位數奇 的四位數？ 解
數？
分析 ➲ 數字可重複使用，故為重複排列，
解
但 0 不得排首位數
四位數奇數，個位數只能用 1、3、5
∵ 數字可重複使用 ∴ 共可排成 5×6×6×3＝540 個不同的
故個位、十位、百位均可用
四位數奇數
0、1、3、5、8 來排，都有 5 種方法 但首位數字不得排 0，只能用
1、3、5、8 來排，所以只有 4 種方法 ∴ 共可排成 4×5×5×5＝500 個不同的四位數
11
20
重複排列
不同的渡船三艘，每艘最多可載 5 人，今有 5 件不同的禮物任意分給甲、乙、丙、丁 4
6 人同時要過渡，問安全過渡的方法有多少 人，方法有多少種？又甲至少分得 1 件的方 種？ 解
法有多少種？ 分析 ➲ (安全過渡的方法)＝(任意搭載方法) －(6 人搭同一渡船的方法)
解
每件禮物任意分給甲、乙、丙、丁 4 人， 方法有 4 種，5 件的任意分法共有
6 人任意選搭三艘渡船的方法有
4×4×4×4×4＝4 ＝1024 種
3×3×3×3×3×3＝3 6 種
(甲至少分得 1 件的方法)
又 6 人同搭一渡船的情形有 3 種
＝(任意分法)－(甲均未分得的方法)
∵ 每艘渡船最多可載 5 人 6
∴ 安全過渡的方法有 3 － 3 ＝ 726 種
5
5
5
＝4 －3 ＝781 種 ∴ 任意分法有 1024 種，甲至少分得 1 件的方 法有 781 種
單元 11 排列組合
229
21
環狀排列
將 7 盤不同的菜任意端出 5 盤，放在桌上圓 用 9 種顏色去塗右圖正六 形轉盤邊緣 5 個等距離的位置上，可有多少 邊形的格子，每格顏色不 種不同的排法？ 解
得相同，問可得多少種不
分析 ➲ n 個選 r 個的環狀排列數為
同的圖案？
P nr r
此題相當於從 9 件不同的事物中，
解
此題相當於 7 個選 5 個的環狀排列數
任選 6 件的環狀排列數
P 57 7 × 6 × 5 × 4 × 3 ＝ ＝ 504 5 5
P 69 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 ＝ ＝ 10080 6 6
∴ 不同的排法共有 504 種
22
∴ 共可得 10080 種不同的圖案
環狀排列
四 對 夫 婦 圍 圓 桌 而 坐 ， 其 不 同 的 坐 法 有 幾 五對夫婦圍圓桌而坐，其全部方法有幾種？ 種？又每對夫婦相鄰而坐的方法有幾種？ 解
分析 ➲ n 件相異物全取環狀排列，其排列數為 (n－1)!
又男、女相間而坐的方法有幾種？ 解
五對夫婦共 10 人，其圍圓桌而坐的方法有
(10－1)!＝9!＝362880 種
四對夫婦共 8 人，其圍圓桌而坐的方法有
又男、女相間時，先由五位女士環狀排列，
(8－1)!＝7!＝5040 種
其排列數為(5－1)!，
又夫婦相鄰而坐，先視每對夫婦為一單位，
再由五位男士插入間隔而坐，其排列數為 5!
其環狀排列數為(4－1)!， 而每對夫婦互相對換位置的方法有 2 種， 四對夫婦共有 2 4 種對換方法 ∴ 四對夫婦圍圓桌而坐，且每對夫婦相鄰的方法 有(4－1)!×2 4 ＝96 種 ∴ 五對夫婦圍圓桌而坐，且男、女相間 的方法有(5－1)!×5!＝2880 種
6 1. P 10 3 ＋P 6 ＝
1440
。
2. 用「0、2、4、6、8、9」數字，作成四位數，數字不得重複，可作成
300
個不同的四
位數。
3. 五男三女作直線排列，女生不得相鄰的排法有
14400
種。
4. 由「0、1、2、3、4、6、9」任選三個數字作成數字相異的三位數，其中奇數的有 5. 鈔票 10 元的 3 張，50 元的 1 張，100 元的 4 張，則共可支付 230
單元 11 排列組合
39
75
個。
種不同的款項。
6. 三位數中，十位數字是 7 且個位數字是偶數，共有 7. 使用 H、E、I、G、H、T 任意排成一列，共有 8. 若 P 4n ＋ 2 ＝ 72×P 2n ，則 n＝
7
360
45
個。 種排法。
。
n
分析 ➲ P m ＝ n×( n －1)×( n － 2)×……×( n － m ＋1)
9. 如右圖棋盤道路，由 A 取捷徑至 B 的走法共有
35
種。
10. 用「0、0、1、1、2、7、9、9」等八個數字，共可排出
3780
個不
同的八位數。 8！ 7！ － 2！2！2！ 2！2！ 11. 用五種不同顏色塗右圖各區域，顏色可重複使用，但相鄰區域不能同色，則全 分析 ➲ （全部任意排法）－（0 排首的排法） ，即
540
部塗法共有
種。
分析 ➲ 由相鄰區域最多者先塗，避免間跳
12. 一室有四門，甲、乙二人由不同的門進入，又由不同的門出來，且二人不可由同一門進 出，全部方法有
84
種。
13. 五種酒倒入 4 個不同的酒杯，每杯只能倒一種酒，則倒法有
625
種。
14. 4 個人任意搭乘三部計程車，若規定每部計程車至多只能搭載 3 個人，則方法有 78
種。
15. 父、母與子女共 8 人圍圓桌而坐，父、母不相鄰而坐的方法有
11-2
3600
種。
組合與二項式定理
焦 點 一 組合
11
1. 組合： (1) 組合：自 n 件相異的事物中，每次選取 m 件 (m ≤ n) 為一組，其組合數為
P nm n！ n(n －1)×……×(n － m ＋1) ＝ C ＝ ＝ m(m －1)×……×2×1 m！ m！(n － m！) n m
補 給站
(1) C nn ＝ C 0n ＝1
(2) C nm ×m！＝ P mn
(2) 組合數基本公式：
C nm ＝ C nn − m (0 ≤ m ≤ n) 巴斯卡定理： C nm ＝ C mn －1 ＋ C mn －－11（1 ≤ m ≤ n －1） 補 給站
a、b 為不大於 n 的自然數，則 C na ＝ C bn
⇔ a＝b 或 a＋b＝n 單元 11 排列組合
231
2. 組合總數： (1) 相異物的組合總數： 自 n 個相異物中，每次任取 1 個，2 個，……，或 n 個為一組的組合總數為 C 1n ＋ C 2n ＋……＋ C nn ＝ 2n －1 (2) 不盡相異物的組合總數：
不盡相異的 n 件物中共有 k 類，第一類有 m1 個，第二類有 m2 個，……，第 k 類有 mk 個（ n ＝ m1 ＋ m2 ＋……＋ mk ） ，則自此 n 件物中任取 1 個，2 個，……，或 n 個的組合總數為 (m1 ＋1)(m2 ＋1)……(mk ＋1) －1
1
C nm ×m！＝ P mn
設 n 、 r 均 為 自 然 數 ， 且 r ≤ n ， 若 設 n、r 為自然數，且 r ≤ n ，若 P nr ＝ 720 ， P nr ＝ 272 ， C nr ＝136 ，試求 n、r 的值。 解
分析 ➲ C nr ×r！＝ P rn P nr ＝ n×(n －1)×……×(n － r ＋1) ∵
又
P nr ＝ 272
且C
解
n r ＝136
136×r！＝ 272
P nr ＝ P 2n ＝ 272
C nr ＝120 ，試求 n、r 的值。
r！＝ 2
即 r ＝2
∵
C nr ×r！＝ P rn
120×r！＝ 720
r！＝ 6 即 r ＝ 3
又 P nr ＝ P 3n ＝ 720
n(n －1) ＝ 272
n(n －1)(n － 2) ＝ 720
n － n － 272 ＝ 0
n(n －1)(n － 2) ＝10×9×8
(n ＋16)( n －17) ＝ 0
n＝10
2
∴ n＝10，r＝3
但 n 為自然數，故得 n＝17 ∴ n＝17，r＝2
2
組合基本公式
18 設 P nr 及 C nr 分別表示從 n 個相異物任取 r 個 設 n 為自然數，若 C 18 n ＋ 2 ＝ C 4 且 n＞ 5 ，試
n 的排列數與組合數，若 P 3n ＋1 ＝12C 2n ，試求 n 求 C 10 的值。
的值。 解
232
解
分析 ➲ P nr ＝
n！ n！ ， C nr ＝ (n － r )！ r！(n － r )！
∵
P 3n ＋1 ＝12C 2n
(n ＋1)！ n！ ＝12× 2！( n － 2)！ [ (n ＋1) － 3]！
( n ＋1)！ n！ ＝ 6× (n － 2)！ ( n － 2)！
(n ＋1)×n！＝ 6×n！
n ＋1＝ 6
∴
n＝5
單元 11 排列組合
分析 ➲ C na ＝ C bn ∵
⇔
a ＝b 或 a ＋b ＝ n
18 C 18 n＋2 ＝C 4
n ＋ 2 ＝ 4 或 (n ＋ 2) ＋ 4 ＝18
n ＝ 2 或 12
但已知 n＞5，故得 n＝12 ∴
n C 10 ＝ C 12 10 ＝
12！ ＝ 66 10！2！
3
一般組合問題
由甲、乙……等 8 人中，任選 4 人參加歌唱 平面上相異 10 點，任三點均不共線，則此 比賽，選法有幾種？又甲、乙同時被選中的 10 點共可決定 120
方法有幾種？ 解
n！ m！( n － m)！
分析 ➲ C nm ＝
解
個三角形。
∵ 相異兩點可決定一直線
10×9 ＝ 45 條直線 C 10 2 ＝ 1×2 又不共線三點可決定一個三角形
8！ ＝ 8×7×6×5 ＝ 70 種 4！4！ 4×3×2×1
∴ 此 10 點可決定
甲、乙同時被選中，
10×9×8 ＝120 個三角形 C 10 3 ＝ 1×2×3
相當於從其餘 6 人再任選 2 人，方法有
C 62 ＝
條直線，可決定
∴ 此 10 點共可決定
由 8 人中，任選 4 人，其選法有 C 84 ＝
45
6！ ＝ 6×5 ＝15 種 4！2！ 2×1
4
一般組合問題
由 5 男 4 女中選出 4 人，求下列各情形的選 由 3 白球、4 紅球、5 黃球中，選出 6 個 球，求下列各情形的選法有多少種？
法有多少種？ (1) 選出 3 男 1 女
(2) 選出 2 男 2 女
(1) 選出 1 白球、2 紅球、3 黃球
(3) 選出 1 男 3 女 解
(2) 選出 2 白球、2 紅球、2 黃球 n！ m！( n － m)！
分析 ➲ C nm ＝
解
(1) C 13 ×C 42 ×C 35
＝
(1) 選出 3 男 1 女，選法有
C 53 ×C 14 ＝
5！ 4！ × ＝10×4 ＝ 40 種 3！2！ 1！！ 3
＝ 3×6×10 ＝180 ∴ 選法有 180 種
(2) 選出 2 男 2 女，選法有 C 52 ×C 42 ＝
(2) C 32 ×C 42 ×C 52 ＝
5！ 4！ × ＝10×6 ＝ 60 種 2！！ 3 2！2！
∴ 選法有 180 種
5！ 4！ × ＝ 5×4 ＝ 20 種 1！4！ 3！！ 1
5
3！ 4！ 5！ × × 2！！ 1 2！2！ 2！！ 3
＝3×6×10＝180
(3) 選出 1 男 3 女，選法有
C 15 ×C 34 ＝
3！ 4！ 5！ × × 1！2！ 2！2！ 3！2！
11
一般組合問題
某次考試 10 題任選 6 題作答，其中有 3 題規 某次考試 12 題任選 8 題作答，但規定前 5 定必選，則選題方法有多少種？ 解
分析 ➲ 因有 3 題必選，故只要從剩餘 7 題中再 任選 3 題即可 從 3 題必選外，所剩 7 題任選 3 題 方法有 C 37 ＝
7！ ＝ 35 種 3！4！
題至少選作 3 題，方法有多少種？ 解
C 53 ×C 57 ＋ C 54 ×C 74 ＋ C 55 ×C 37 ＝
5！ 7！ 5！ 7！ 5！ 7！ × ＋ × ＋ × 3！2！ 5！2！ 4！！ 1 4！！ 3 5！0！ 3！4！
＝10×21＋ 5×35 ＋1×35 ＝ 420 ∴ 方法共有 420 種
單元 11 排列組合
233
6
組合應用
由 7 男 3 女中，選出 4 人，組成一代表團， 由 3 紅球、5 白球中，任意選出 5 球，則至 則所選 4 人至少含一女性的選法有幾種？ 解
分析 ➲ （至少含一女性的選法）＝
少含 2 紅球的選法有幾種？ 解
（任意選法）－（均不含女性的選法）
恰含 2 紅球的選法有
C 32 ×C 53 ＝ 3×10 ＝ 30 種
10 人中任選出 4 人的選法有
又恰含 3 紅球的選法有
10×9×8×7 ＝ 210 種 C 10 4 ＝ 1×2×3×4
C 33 ×C 52 ＝1×10 ＝10 種 ∴ 至少含 2 紅球的選法有 30＋10＝40 種
又均不含女性的選法（由 7 位男士選出 4 人）有 C 74 ＝ 7×6×5×4 ＝ 35 種 1×2×3×4 ∴ 至少含一女性的選法有 210－35＝175 種
7
組合應用
由四對夫妻中選出 4 人，所選 4 人恰含一對 由五雙不同款式的鞋子中任選出 4 隻，則所 選 4 隻均不成雙的情形有多少種？
夫妻檔的情形有多少種？ 解
分析 ➲ 先選出一對夫妻檔，再由剩下三對夫妻 中選出 2 人均不為夫妻
解
由五雙鞋子中先選出四雙， 再由此四雙鞋子中每雙各選 1 隻， 則所選 4 隻均不成雙，
四對夫妻中選出一對夫妻檔的方法有 C 14 ＝ 4 種
所選方法共有 C 54 ×C 12 ×C 12 ×C 12 ×C 12 ＝ 80 種
再由剩下三對夫妻中選出二對夫妻， 並由此二對夫妻中，每對夫妻各選 1 人， 則所選 2 人不為夫妻， 方法有 C 32 ×C 12 ×C 12 ＝ 3×2×2 ＝12 種 ∴ 所求選法有 4×12 ＝ 48 種
8
組合總數
由 8 個相異的玩具，任選幾個（至少選一 設有 10 個桃子、5 個李子、6 個蘋果，任意 個）的組合總數為 255 。 解
分析 ➲
C 1n ＋ C 2n＋……＋ C nn ＝ 2n －1
由 8 個相異的玩具，任選幾個的組合總數為 C 18 ＋ C 82＋……＋ C 88 ＝ 28 －1＝ 255
234
單元 11 排列組合
取之，若至少取 1 個，則有多少種取法？ 解
利用不盡相異物組合總數的公式： (10 ＋1)(5 ＋1)(6 ＋1) －1＝ 461 ∴ 共有 461 種取法
9
付款方式、配成款項
五元鈔 3 張、十元鈔 2 張、五十元鈔 2 張、 十元鈔 3 張、五十元鈔 3 張、百元鈔 4 張， 百元鈔 3 張，每次至少取 1 張付款，求：
每次至少取 1 張付款，則付款方式有幾種？
(1) 共有多少種付款方式？ (2) 可配成多少種不同款項？
又可配成多少種不同的款項？
解
解
分析 ➲ 利用乘法原理，配成款項須考慮不同的 付款方式可以配成相同的款項 (1)五元鈔 3 張可分成：
付款方式有 (3＋1)(3 ＋1)(4 ＋1) －1＝ 79 （種） 又五十元鈔 3 張足以代替百元鈔， 故將百元鈔 4 張換成五十元鈔 8 張看待， 即得十元鈔 3 張，五十元鈔 11 張，
不取、取 1、取 2、取 3，共 4 種方法
配成不同款項有 (3＋1)(11＋1) －1＝ 47 （種）
十元鈔 2 張可分成：
∴ 付款方式有 79 種，
不取、取 1、取 2，共 3 種方法
又可配成 47 種不同的款項
五十元鈔 2 張可分成： 不取、取 1、取 2，共 3 種方法 百元鈔 3 張可分成： 不取、取 1、取 2、取 3，共 4 種方法 由乘法原理知： 不同的付款方式共有 4×3×3×4 －1＝143 種 （其中一種各鈔票均不取，必須扣除） (2)五元鈔 3 張足以代替十元鈔，又五十元鈔 2 張
足以代替百元鈔，故將十元鈔 2 張換成五元鈔 4 張看待，而將百元鈔 3 張換成五十元鈔 6 張看 待，即得五元鈔 7 張，五十元鈔 8 張 ∴ 共可配成 (7 ＋1)(8 ＋1) －1＝ 71 種 不同的款項
11 焦 點 二 重複組合 1. 重複組合： (1) 重複組合：從 n 類不同的事物中，每次取 m 個為一組，若各組中每類事物可以重 複選取，則 n 中取 m 的重複組合總數為 ( n ＋ m －1)! H mn ＝ Cmn ＋ m －1 ＝ m ! ( n －1)! (2) 在 n 中取 m 的重複組合中，如果限制每一類事物至少取一次（此時 m ≥ n ） ，則重 複組合總數為 ( m －1)! －1 H mn － n ＝ Cmm－ n＝ ( m － n )! ( n －1)! 補 給站
Cmn 中必須 m ≤ n ，但 H mn 中不受 m ≤ n 的限制。 單元 11 排列組合
235
2. 重複組合應用： (1) 方程式 x1 ＋ x2 ＋……＋ xn ＝ m 的非負整數解的個數為 H mn ＝ Cmn ＋ m －1 ；又正整數解
的個數為 H mn － n ＝ Cmm－－n1 (2) m 件相同的東西，全部分給 n 個人，每人可兼得，其分法有 H mn ＝ Cmn ＋ m －1 種；若
限制每人至少得一件，則分法有 H mn － n ＝ Cmm－－n1 種 補 給站
( x1 ＋ x2 ＋……＋ xn ) m 展開式中，共有 H mn 個不同的項。
10
重複組合
3 種不同花色的絲巾，任意選購 6 條，方法有 將 5 種不同的酒，倒入 4 個相同的酒杯，每 個杯子只許倒一種酒，每種酒不限倒一次，
多少種？ 解
分析 ➲ H nm ＝ C mn ＋ m －1 ＝
則可能的結果有多少種？
( n ＋ m － 1)! m ! ( n － 1)!
解
所求方法數相當於由 3 中取 6 的重複組合總數 即H
3 6
＝ C 36 ＋ 6 － 1 ＝ C 86
任取 4 杯（可重複）的重複組合總數，即
＝ 8! ＝ 8 × 7 ＝ 28 6! 2! 2 × 1
H 54 ＝ C 54＋ 4 － 1 ＝ C 84 ＝ 8 × 7 × 6 × 5 ＝ 70 4 × 3 × 2 ×1 ∴ 可能的結果有 70 種
∴ 方法共有 28 種
11
x1 ＋ x2 ＋……＋ xn ＝ m 的非負整數解、正整數解
x＋y＋z＋u＝12 的非負整數解有
455
組， x＋y＋z＝10 的非負整數解有 66 組，正整
正整數解有 165 組。 解
分析 ➲ x1 ＋ x2 ＋……＋ xn ＝ m 的非負整數解有 H nm 組，又正整數解有 H nm － n 組
x＋y＋z＋u＝12 的非負整數解有 15 × 14 × 13 ＝ 455 組 4 4 ＋12 － 1 15 ＝ C 12 ＝ C 15 H 12 12 ＝ C 3 ＝ 1× 2 × 3
又正整數解有 4 4 4 ＋ 8 －1 11 H 12 ＝ C 11 －4 ＝ H 8 ＝C 8 8 ＝C 3
＝ 11 × 10 × 9 ＝ 165 組 1× 2 × 3
236
可能的結果，相當於自 5 種不同的酒中，
單元 11 排列組合
數解有 36 組。 解
x＋y＋z＝10 的非負整數解有 12 × 11 ＝ 66 組 3 3 ＋10 － 1 12 ＝ C 10 ＝ C 10 ＝ C 12 H 10 2 ＝ 1× 2
又正整數解有 3 3 3＋ 7 －1 H 10 ＝ C 79 ＝ C 92 －3 ＝ H 7 ＝C 7
＝ 9 × 8 ＝ 36 組 1× 2
12
重複組合應用
6 件相同玩具任意分給 4 個兒童，其方法有幾 將 8 塊相同的蛋糕放入 5 個不同的盤子，每 種？又每個兒童至少得 1 件的方法有幾種？ 解
分析 ➲ m 件相同物，任意分給 n 個人，其方法 有 H nm 種，又每人至少得 1 件的方法有 H nm － n 種 6 件相同玩具任意分給 4 個兒童，其方法有 H 64 ＝ C 64 ＋ 6 － 1 ＝ C 96 ＝ C 93 ＝ 9 × 8 × 7 ＝ 84 種 1× 2 × 3
又每個兒童至少得 1 件的方法有 H
4 6－4
＝H
4 2
＝ C 42 ＋ 2 － 1 ＝ C 52
＝ 5 × 4 ＝ 10 種 1× 2
個盤子放入蛋糕個數不限，方法有幾種？又 每個盤子至少放入 1 塊蛋糕的方法有幾種？ 解
8 塊相同的蛋糕任意放入 5 個不同的盤子， 12! 方法有 H 85 ＝ C 85 ＋ 8 － 1 ＝ C 12 8 ＝ 8! 4! ＝ 12 × 11 × 10 × 9 ＝ 495 種 4 × 3 × 2 ×1
又每個盤子至少放入 1 塊蛋糕的方法有 H 85 － 5 ＝ H 53 ＝ C 53 ＋ 3 － 1 ＝ C 37 ＝ 35 種
焦 點 三 二項式定理 1. 巴斯卡三角形： 二項式 x ＋ y 的各次方展開的係數可由巴斯卡三角形求得
在求 ( x ＋ y ) n 的展開式，當正整數 n 不太大時，利用巴斯卡三角形所對應的二項係數 直接寫出： ( x ＋ y )1 ＝ x ＋ y ( x ＋ y ) 2 ＝ x 2 ＋ 2 xy ＋ y 2 ( x ＋ y )3 ＝ x3 ＋ 3 x 2 y ＋ 3xy 2 ＋ y 3 ( x ＋ y ) 4 ＝ x 4 ＋ 4 x3 y ＋ 6 x 2 y 2＋ 4 xy 3 ＋ y 4 ( x ＋ y )5 ＝ x5 ＋ 5 x 4 y ＋10 x3 y 2 ＋10 x 2 y 3＋ 5 xy 4 ＋ y 5 2. 二項式定理： (1) 二項式定理：對於任意正整數 n
11
n
( x ＋ y)n ＝C 0n xn ＋C 1n xn －1 y ＋C n2 xn－2 y 2 ＋……＋C nr xn －r y r ＋……＋C nn y n ＝ Crn xn－r yr r ＝0
補 給站
( x ＋ y ) n 展開後，共有 n＋1 項，第 r ＋1 項（又稱一般項）為
C nr x n － r y r ＝
n(n －1) …… (n － r ＋1) n － r r x y 1×2×……×r n
(2) (1＋ x) n ＝ C 0n ＋ C 1n x ＋ C n2 x 2 ＋……＋ C nr x r ＋……＋ C nn x n ＝ C rn x r r ＝0
單元 11 排列組合
237
(3) 組合級數： C 0n ＋ C 1n ＋ C n2 ＋……＋ C nn ＝ 2n
C 0n ＋ C n2 ＋ C n4 ＋……＝ C 1n ＋ C 3n ＋ C 5n ＋……＝ 2n－1
13
求一般項係數
(
)
6
試求 x 2 － 3 展開式中， x 6 項的係數。 x 解
分析 ➲ ( x ＋ y )n 展開式中，
(
) 展開後， x 項為 ( － 3x ) ＝C ( － 3) x 6
r
6
r
C 6r ( x 2 )6 － r
6 r
2 10 － r 2 10 r 20 － 5 r C 10 3 ＝C r 2 x r (x ) x
r 12 － 3r
12 － 3r ＝ 6
∴
x 6 項的係數為 C 62( － 3)2 ＝ 6×5 ×9 ＝135 2×1
20 － 5r ＝10
r ＝2
10×9 ×4 ＝180 2 x10 項的係數為 C 10 2 2 ＝ 1×2
∴
r ＝2
14
求一般項係數
(
已知 kx 3 － 1 x
)
12
展開式中，常數項為－1760，
試求 k 值。 解
10
設 x 2 ＋ 23 展開後， x10 項為 x
解
第 r ＋1 項為 C nr x n － r y r 設 x2 － 3 x
10
試求 x 2 ＋ 23 展開式中， x10 項的係數。 x
(
已知 ax 2 ＋ 1 x
4
80，試求 a 值。 n
分析 ➲ ( x ＋ y ) 展開式中，一般項為 C
(
設 kx3 － 1 x
)
n n－r r y rx
解
12
展開式中，
( )
3 12 － r 常數項為 C 12 －1 r ( kx ) x
36 － 4r ＝ 0
r
即x
r ＝9
9 3 即常數項為 C 12 9 ( －1) k ＝－1760
－ 220k 3 ＝－1760
∴
k ＝2
(
設 ax 2 ＋ 1 x
C 5r (ax 2 )5 － r
r 12 － r 36 － 4 r ＝ C 12 x r ( －1) k
) 展開式中， x 項的係數為 5
15
) 展開式中， x 項為 ( 1x ) ＝C a x 5
4
r
10 － 3r ＝ 4 4
5 5 － r 10 － 3r r
r ＝2
項的係數為 C 52 ×a3 ＝ 80
10a 3 ＝ 80
∴
a＝2
a3 ＝ 8
k 3 ＝8
( x ＋ y ) n 展開第 k 項係數為 C nk －1
已知 ( x ＋ y ) n 展開式的第 10 項與第 15 項係數 若 ( x ＋ y ) n 展開式的第 7 項與第 25 項係數 相同，試求 C 32 n 的值。
相同，試求 C n2 的值。 解
分析 ➲ 利用： C na ＝ C bn ⇔ a ＝ b 或 n ＝ a ＋ b
第 7 項係數為 C 6n ，第 25 項係數為 C n24
第 10 項係數為 C 9n ，第 15 項係數為 C14n
故得 C 6n ＝ C n24
故得 C 9n
∴
∴
238
解
n ＝ C 14
n＝ 9 ＋14 ＝ 23
23×22 ＝ 253 C 2n ＝ C 23 2 ＝ 1×2
單元 11 排列組合
n＝ 6 ＋ 24 ＝ 30
32×31 ＝ 496 32 32 C 32 n ＝ C 30 ＝ C 2 ＝ 1×2
16
組合級數
設 a ＝ C 18 ＋ C 82 ＋ C 83 ＋……＋ C 88 ，
設 n 為正整數，若
b ＝ C 19 ＋ C 93 ＋ C 95 ＋ C 97 ＋ C 99 ， 試 求 a ＋ b 的
2000 ＜ C 1n ＋ C n2 ＋ C 3n ＋……＋ C nn ＜ 3000 ，
值。
試求 n 的值。
解
分析 ➲ C 1n ＋ C 2n ＋ C 3n ＋……＋ C nn ＝ 2n －1
解
分析 ➲ C 1n ＋ C 2n ＋ C 3n ＋……＋ C nn ＝ 2n －1
C 1n ＋ C 3n ＋ C 5n ＋……＝ 2n －1
∵
a ＝ C 18 ＋ C 82 ＋ C 83 ＋……＋ C 88 ＝ 28 －1＝ 255
b ＝ C 19 ＋ C 93 ＋ C 95 ＋ C 97 ＋ C 99 ＝ 29 －1 ＝ 28 ＝ 256
即 2001＜ 2n ＜ 3001
∴
a ＋ b ＝ 255 ＋ 256 ＝ 511
2000 ＜ C 1n ＋ C 2n ＋……＋ C nn ＜ 3000
2000 ＜ 2n －1＜ 3000
但 210 ＝1024 ， 211 ＝ 2048 ， 212 ＝ 4096 ∴ 合於條件的 n＝11
1. 欲將六位新生平均分發到甲、乙、丙三班，則共有 90 種分法。 2. 在排列組合中， P 82 ＋ C 92 的值為 92 。 3. 一組平行線有 5 條，另一組平行線有 7 條，則此兩組平行線共可決定
210
個平行四邊
形。 4. 某次考試，8 題任選 5 題作答，若規定其中某 2 題必選，其選法有 20 種。 5. 從 7 名男生、6 名女生中選取 4 人，其中至少含 2 名男生、1 名女生的選法有 525 種。 （所選 4 人，至少含 2 名男生、1 名女生的選法） ＝（選 2 男生、2 女生的選法）＋（選 3 男生、1 女生的選法） 720 。 6. n 為自然數，若 C 5n ＝ C 5n －1 ，則 P 10 n ＝ 分析 ➲
7. 設有 6 個足球隊參加比賽，若任意兩隊都互相比賽一場次，則共有 15 場次的比賽。
11
8. 由五對夫妻中選出 4 人，則所選 4 人均不含夫妻檔的情形有 80 種。 先由五對夫妻中選出四對夫妻，再由所選四對夫妻中，每對夫妻選出 1 人，則所選 4 人均不含夫妻檔 220 。 9. n 為自然數，若 C 5n ＝ C 5n －1 ，則 H 10 n ＝ 分析 ➲
10. x＋y＋z＝20 的正整數解有 171 組。 11. 有 10 個選舉人，4 個候選人，以無記名方式投票，每人一票，沒有廢票，其結果共有 286 種。 12. 14 件相同的禮物，分給甲、乙、丙、丁、戊五人，每人至少得 1 件，方法有 715 種。
(
)
6
13. 2x 2 ＋ 3 展開式中， x 6 的係數為 2160 。 x 10 2 10 3 10 10 10 14. 化簡 C 10 1 。 0 － 2C 1 ＋ 2 C 2 － 2 C 3 ＋……＋ 2 C 10 得
分析 ➲
10 10 2 10 10 以 x ＝－2 代入 (1＋ x)10 ＝ C 10 0 ＋ C 1 x ＋ C 2 x ＋……＋ C 10 x 4
15. 若 ax3 ＋ 22 展開式中， x 2 項的係數為 6，且 a ＞ 0 ，則 a＝ x
1 。 2 單元 11 排列組合
239
一、基本觀念
（ A ）1. 用「 0 、 1 、 2 、 3 、 4 、 5 」等六個數字，共可作成幾個各位數字相異的三位數？ (Ａ) 100 (Ｂ) 120 (Ｃ) 144
(Ｄ) 150。
（ D ）2. 甲、乙、……等七人排成一列，若規定甲不排首、末，但乙必排中，則所有排法共 有幾種？ (Ａ) 680 (Ｂ) 560 (Ｃ) 520
(Ｄ) 480。
10 （ D ）3. 若 P 10 (Ａ) 8 (Ｂ) 7 (Ｃ) 6 r ＝ 42× P r － 2 ，則 r＝
(Ｄ) 5。
（ A ）4. 求凸九邊形的對角線共有多少條？ (Ａ) 27 (Ｂ) 36 (Ｃ) 63
(Ｄ) 72。
（ D ）5. 男生 8 人，女生 6 人，若要選出兩男兩女組成一代表隊，則共有幾種組法？ (Ａ) 120 (Ｂ) 180 (Ｃ) 210
(Ｄ) 420。
（ C ）6. 某三位數其百位數數字為偶數，個位數數字為奇數，這樣的三位數共有多少個？ (Ａ) 90 (Ｂ) 125 (Ｃ) 200
(Ｄ) 250。
（ B ）7. 6 件不同的禮物分給 A 、 B 、 C 三人，若規定 A 至少分得 1 件的方法有幾種？ (Ａ) 504 (Ｂ) 665 (Ｃ) 683
(Ｄ) 726。
（ B ）8. 10 件相同玩具任意分給 4 個兒童，每人至少得 1 件的分法有幾種？ (Ａ) 72 (Ｂ) 84 (Ｃ) 96
(Ｄ) 120。
10 10 10 （ B ）9. C 10 1 ＋ C 2 ＋ C 3 ＋……＋ C 10 ＝
(Ａ) 1024
(Ｂ) 1023
(Ｃ) 786
(Ｄ) 512。
（ C ）10. 用「0、1、2、3、4、5、6、7」所構成各位數字相異的三位數中，偶數的有幾個？ (Ａ) 120 (Ｂ) 144 (Ｃ) 150
(Ｄ) 168。
（ A ）11. x＋y＋z＋w＝10 的非負整數解有幾組？ (Ａ) 286
(Ｂ) 220 (Ｃ) 165
(Ｄ) 84。
（ D ）12. ( x ＋ y ) n 展開式中，第 8 項與第 17 項的係數相同，則 n＝ (Ａ) 26 (Ｂ) 25
(Ｃ) 24
(Ｄ) 23。
（ A ）13. 若相同的玩具 8 個分裝於 3 個相同的箱子，每箱至少 1 個，則共有幾種裝法？ (Ａ) 5 (Ｂ) 6
(Ｃ) 7
(Ｄ) 8。
（ B ）14. 10 顆不同色的珠子，串成一項圈，全部串法有幾種？
(Ａ) 2×9！
(Ｂ) 9! 2
(Ｃ) 9!
(Ｄ) 10! 。 2
（ C ）15. 現有 4 個男生與 3 個女生要排成一列，若女生之間不排男生，則共有多少種排法？ (Ａ) 72 (Ｂ) 120 (Ｃ) 720
(Ｄ) 5040。
（ B ）16. 某次數學測驗，規定考生由 12 題中任選 8 題作答。若選題方式為：前 4 題中任選 2 題，後 8 題中任選 6 題，則共有多少種選法？ (Ｄ) 495。
240
單元 11 排列組合
(Ａ) 32
(Ｂ) 168
(Ｃ) 256
（ D ）17. 從 6 對夫婦中選出 4 人，則所選 4 人恰含一對夫婦的情形有幾種？ (Ｂ) 120 (Ｃ) 150
(
)
(Ａ) 60
(Ｄ) 240。
9
（ D ）18. 2 x － 3 展開式中， x3 的係數為 (Ａ) 1792 (Ｂ) －1792 (Ｃ) 2268 4x （ A ）19. 在 ( 2x － y 2 ) 的 展 開 式 中 ， x 4 y 4 項 的 係 數 為 何 ？ 6
(Ａ) 240
(Ｄ) －2268。
(Ｂ) 260
(Ｃ) 280
(Ｄ) 300。 6
（ B ）20. 若 ax 2 ＋ 13 的 展 開 式 中 ， 13 的 係 數 為 80 ， 則 a ＝ x x
(Ａ) 4
(Ｂ)
3
4
(Ｃ) 2
(Ｄ) 2 2 。 二、推理應用
（ B ）1. 設 A、B、C、D、E、F 6 位小朋友排一縱行郊遊，其中 A 年紀較小不敢排在首、尾 兩個位置，另 C、D 是好朋友，一定要相鄰，則其排法共有幾種？ (Ａ) 108 (Ｂ) 144 (Ｃ) 180
(Ｄ) 192。
（ C ）2. 用五種不同顏色，塗右圖各區域，顏色可重複使用，但相鄰區域不能 同色，則全部塗法有幾種？ (Ａ) 540 (Ｂ) 480
(Ｃ) 420
（ C ）3. 如右圖，由 A 取捷徑到 B 的走法有幾種？ (Ｃ) 350
(Ｄ) 360。
(Ａ) 320
(Ｂ) 330
(Ｄ) 380。
（ C ）4. 用 1、2、3、4 等四個數字排成一個四位數（數字不可重複） ，則 全部四位數的總和為
( Ａ ) 44440
( Ｂ ) 55550
( Ｃ ) 66660
(Ｄ) 77770。
（ D ）5. 設 P nm 及 C nm 分 別 表 示 從 n 個 相 異 物 任 取 m 個 的 排 列 數 與 組 合 數 ， 若 P 5n ＋ 2 ＝120C 4n ＋ 2 ，則 n＝ (Ａ) 4 (Ｂ) 5
(Ｃ) 6
(Ｄ) 7。
（ B ）6. 將 10 件不同的東西按 3 、 3 、 4 分給三個人，其方法共有幾種？ (Ｂ) 12600 (Ｃ) 4200
(Ａ) 25200
(Ｄ) 2800。
11
（ D ）7. 如 右 圖 ， 由 A 取 捷 徑 到 B （只能向右、向上走），方法共有 (Ａ) 35 (Ｂ) 32 (Ｃ) 30
（ A ）8. 已 知 P (Ａ) 84 （ C ）9.
(Ｂ) 96
種。
2n 3
(Ｃ) 120
(1＋ x 2 ) ＋ (1＋ x 2 ) (Ａ) 1080
(Ｄ) 28
：P ＝ 3：2 ， 則 C 22 ＋ C 32 ＋ C 42 ＋……＋ C n2 的 值 為
n＋2 4
2
(Ｂ) 1260
(Ｄ) 132。
＋ (1＋ x 2 ) ＋……＋ (1＋ x 2 ) 3
(Ｃ) 1330
20
展 開 式 中 ， x4 項 的 係 數 為
(Ｄ) 1440。
（ D ）10. 渡船三艘，每艘最多可載 5 人，則 7 人安全過渡的方法有幾種？ (Ｂ) 2184
(Ｃ) 2154
(Ａ) 2187
(Ｄ) 2142。
單元 11 排列組合
241
（本章為工科新增教材，自 98 年起始有統測試題） （ A ）1. 求 多 項 式 (2 x －1)5 ( x ＋1) 之 x 2 項 的 係 數 為 何 ？
(Ａ) － 30
(Ｂ) － 20
(Ｄ) 30。
(Ｃ) 20
【102 統測數(C)】
（ C ）2. 由甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛八個人中選取 5 人組成一個委員會，且甲、 乙、丙、丁四人中至少有 2 人為委員，則組成此委員會的方法數共有幾種？ (Ａ) 48
(Ｂ) 50
(Ｃ) 52
(Ｄ) 54。
【101 統測數(C)】
（ C ）3. 將 0、0、2、2、9、9、9、9 八個數字全取，排成一列，可得幾個不同的八位數？ (Ａ) 155
(Ｂ) 210
(Ｃ) 315
(Ｄ) 420。
【101 統測數(C)】
（ B ）4. 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七人排成一列。若甲、乙、丙、丁四人必排在此列的 最前面四位，且甲、乙不相鄰，則此七人共有多少種排法？ (Ｃ) 144
(Ｄ) 840。
(Ａ) 36
(Ｂ) 72
【100 統測數(C)】
（ D ）5. 設三位數的百位數字為 a、十位數字為 b、個位數字為 c。若 a、c 為偶數，b 為奇 數，且 a ＞ b ＞ c ，則滿足這些條件的三位數共有多少個？
(Ａ) 5
(Ｄ) 20。
(Ｂ) 10
(Ｃ) 15
【100 統測數(C)】
（ C ）6. 有一籃球隊有 12 位選手，其前鋒、中鋒、後衛的人數分別為 4 人、3 人、5 人，現 在要選 5 位選手上場比賽，一般籃球比賽中，每隊的前鋒、中鋒、後衛人數分別為 2 人、1 人、2 人，問共有幾種不同選法？
(Ａ) 120
(Ｂ) 154
(Ｃ) 180
(Ｄ) 225。
【99 統測數(C)】 n （ B ）7. 下列各問題中，何者的解答是 C 10 6 （其中 C k ＝
n！ ）？ (n － k )！k！
(Ａ) 10 位學生中任意挑選 6 位同學排成一列，共有幾種情形？ (Ｂ) 10 個不同顏色的球中任意挑選 4 個出來，共有幾種情形？ (Ｃ) 10 張椅子排成一列，6 位同學各自任意挑選 1 張椅子坐下，共有幾種情形？ (Ｄ) 10 個相同的白色球任意挑選 4 個出來，共有幾種情形？
242
單元 11 排列組合
【98 統測數(C)】
12
機率與統計 QRcode 影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看
12-1
集合與古典機率
焦 點 一 集合的基本概念 1. 集合的意義： (1) 集合：由一些具有共同性質之事物所組成的群體稱為集合。而組成集合的每一事 物，稱為這集合的元素。 (2) 集合與元素的關係： 若 a 為集合 P 中的元素，以「 a ∈ P 」表示。 若 b 不為集合 P 中的元素，以「 b ∉ P 」表示。 (3) 集合的表示法： 列舉法：若一集合只含少數幾個元素時，可將這集合所含的元素，逐一列出，並 以逗點分開，再把它們用大括號{ }括起來。 例：四則運算符號＋、－、×、÷成一集合 A，即 A＝{＋ ,－ ,×,÷} 例：「 success 」一字的字母成一集合 C ，即 C ＝{ s , u ,c ,e } （相同元素只列舉一 次） 構式法：設 P( x) 是用來描述 x 的一個敘述，那麼滿足性質 P( x) 之元素所組成的集 合記作 {x | P( x)} ，此種記法稱為構式法。 例：設 N 為自然數所成的集合，則 N ＝{x | x為自然數} 或 N ＝{1, 2 , 3 , 4 , 5 ,……} 例：設 E 為正偶數所成的集合，則 E ＝{2 x | x為正整數} 或 E ＝{ 2 , 4 , 6 , 8 , ……} (4) 空集合：不含任何元素的集合，稱為空集合，以{ }或 ∅ 來表示。 (5) 子集：若集合 A 中的每一個元素都是集合 B 的元素，則稱 A 為 B 的子 集（或稱 A 為 B 的部分集合），以「 A ⊂ B 」或「 B ⊃ A 」來表示，符 號「 ⊂ 」讀作「包含於」，而符號「 ⊃ 」讀作「包含」。
12
補 給站
(1) 任一集合 A 為其本身的子集，即 A ⊂ A 。 (2) 空集合可視為任一集合 A 的子集，即 ∅ ⊂ A 。 (3) A、B 為二集合，若 A ⊄ B ，則至少存在一個元素 x，使得 x ∈ A ，但 x ∉ B 。 (6) 集合相等：設 A、B 為二集合，若 A ⊂ B 且 B ⊂ A ，則 A ＝ B 。（相等的兩集合所含的 元素完全相同） 2. 集合的運算： 設 A、B 為二集合 (1) 聯集：由 A 與 B 的所有元素所成的集合，即 A∪ B ＝{x | x ∈ A 或 x ∈ B} 。 (2) 交集：由 A 與 B 的共同元素所成的集合，即 A∩ B ＝{x | x ∈ A 且 x ∈ B} 。 單元 12 機率與統計
243
(3) 差集：屬於 A 而不屬於 B 的元素所成的集合，即 A － B ＝{x | x ∈ A，但 x ∉ B} 。
補 給站
(1) A ⊂ A∪B 且 B ⊂ A∪B；A∩B ⊂ A 且 A∩ B ⊂ B；A － B ⊂ A 且 B － A ⊂ B (2) A∪( B∩C ) ＝ ( A∪B)∩( A∪C ) (3) A∩( B∪C ) ＝ ( A∩B)∪( A∩C ) 3. 宇集與補集： (1) 宇集：在研究集合的問題中，若每一個集合都是某一固定集合 的子集，則這個固定集合稱為宇集，通常以 U 表示。 (2) 補集：集合 A 的補集，以 A' 表示，即 A' ＝{x | x ∈U，但 x ∉ A} 。 補 給站
(1) A∩ A' ＝ ∅ 且 A∪ A' ＝U (2) 設 A 為任一集合，則 ( A' )' ＝ A (3)笛摩根定律(De Morgan Laws)： ( A∪B )' ＝ A' ∩ B' ( A∩B )' ＝ A' ∪ B' 4. 集合元素的個數： 設 n( S ) 表示集合 S 的元素個數 (1) n( A∪B) ＝ n( A) ＋ n( B) － n( A∩B) （排容原理） (2) n( A∩ B' ) ＝ n( A － B ) ＝ n( A) － n( A∩B) (3) n( A∪ B∪C )＝n( A) ＋ n( B ) ＋ n(C ) － n( A∩B) － n( B∩C ) － n(C ∩ A) ＋ n( A∩B∩C ) （排容原理）
1
集合相等
設 A ＝{ x －1 , y － 2 } ， B ＝{ 2 y ＋1, 3－ x } ，
設集合 S ＝{ x － 2 , 2x ＋ y } ， T ＝{ x ＋2 , 3 } ，
若 A ＝ B ，試求 x、y 的值。
若 S ＝ T ，試求 x、y 的值。
解
分析 ➲ A ＝ B ⇔
A、B 含有相同的元素
∵ A＝B
x －1＝ 2 y ＋1 y － 2 ＝ 3－ x x － 2 y ＝ 2 x ＋ y ＝5 ∴
244
x ＝ 4 y ＝1
或
單元 12 機率與統計
或
或
x －1＝ 3 － x y － 2 ＝ 2 y ＋1
2 x ＝ 4 － y ＝ 3
x ＝ 2 y ＝－ 3
解
∵
S＝T，又 x － 2 ≠ x ＋ 2
x － 2＝3 2 x ＋ y ＝ x ＋ 2 x ＝5 10 ＋ y ＝ 5 ＋ 2 ∴
x＝5，y＝－3
2
子集
寫出 T ＝{1 , 2 , 3 } 的所有子集。 解
集合 S ＝{1 , 2 , {1 , 2 } , 3 , 3 } ，則 S 的子集共 有多少個？
分析 ➲ A ⊂ B （即 A 為 B 的子集） ⇔
集合 A 中的每一個元素都是 集合 B 的元素
解
m
則 A 的子集共有 2 個
不含任何元素的子集： ∅ 恰含有一個元素的子集：{1}、{2}、{3} 恰含有二個元素的子集： {1 , 2 }、{1 , 3 }、{ 2 , 3 } 恰含有三個元素的子集： {1 , 2 , 3 } ∴ T 的所有子集為 ∅、{1}、{ 2 }、{ 3 }、{1 , 2 } {1 , 3 }、{ 2 , 3 }、{1 , 2 , 3 }
3
S 有 1、2、 {1 , 2 } 、3 共 4 個元素
∵
（相同的元素只算一個） 4
S 的子集共有 2 ＝16 個
∴
集合的運算
設集合 A ＝{1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ， B ＝{ 2 , 4 , 6 } ， C ＝{1 , 2 , 6 } ，試求： (1) A∩ B (2) A － C (3) B∪C 解
分析 ➲ 集合 A 有 m 個元素，
分析 ➲ A∩ B ＝{ x | x ∈ A 且 x ∈ B }
設集合 P＝{1, 3, 4 , 5 , 6 , 8}，S ＝{ 2 , 4 , 6 , 8}， T ＝{1 , 2 , 3 , 4 } ，試求： (1) ( P － S )∪T (2) ( P ∩T )∪S 解
A － C ＝{ x | x ∈ A 但 x ∉ C }
(1)∵ ∴
B∪C ＝{ x | x ∈ B 或 x ∈ C }
P － S ＝{1 , 3 , 5 }
( P － S )∪T ＝{1 , 3 , 5 }∪{1 , 2 , 3 , 4 }
＝{1 , 2 , 3 , 4 , 5 }
(1) A∩ B ＝{ 2 , 4 } (2)∵
(2) A － C ＝{ 3 , 4 , 5 }
∴
(3) B∪C ＝{1 , 2 , 4 , 6 }
P∩T ＝{1 , 3 , 4 }
( P∩T )∪ S ＝{1 , 3 , 4 }∪{ 2 , 4 , 6 , 8 }
＝{1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 }
4
集合元素的個數
某班 50 名同學，在某次考試中，數學不及格 由 1 到 200 的自然數中，3 或 5 的倍數共有 者 30 人，英文不及格者 25 人，數學、英文 多少個？ 兩科均不及格者 12 人，那麼兩科中恰有一科 不及格的有多少人？ 解
分析 ➲ n( A － B ) ＝ n( A) － n( A∩ B ) 設 M 表數學不及格者所成 的集合，E 表英文不及格者 所成的集合，則
n( M ) ＝ 30 ， n( E ) ＝ 25 n( M ∩ E ) ＝12 只有數學一科不及格者所成集合為 M－E
n( M － E ) ＝ n( M ) － n( M ∩ E ) ＝ 30 －12 ＝18 只有英文一科不及格者所成集合為 E－M
n( E － M ) ＝ n( E ) － n( M ∩ E ) ＝ 25 －12 ＝13 ∴ 兩科中恰有一科不及格的有 18＋13＝31 人
解
分析 ➲ n( A∪ B ) ＝ n( A) ＋ n( B) － n( A∩ B ) 設 A 表 1 到 200 的自然數中， 3 的倍數所成的集合， 即 A ＝{ 3 , 6 , 9 , …… , 198 } n( A) ＝ 66 設 B 表 1 到 200 的自然數中， 5 的倍數所成的集合， 即 B ＝{ 5 , 10 , 15 , …… , 200 } n( B ) ＝ 40 又 A∩ B 表 1 到 200 的自然數中同時為 3 和 5 的 倍數所成的集合（即 15 的倍數） 則 A∩ B ＝{15 , 30 , …… , 195 } n( A∩ B) ＝13 A∪ B 表 1 到 200 的自然數中， 3 或 5 的倍數所成的集合，則 n( A∪ B ) ＝ n( A) ＋ n( B) － n( A∩ B ) ＝ 66 ＋ 40 －13 ＝ 93 ∴ 1 到 200 的自然數中， 3 或 5 的倍數共有 93 個
單元 12 機率與統計
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