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3
打穩基礎，進階戰勝統測
基礎題針對單元觀念 與公式，成果驗收
進階題提供綜合性問題， 融會貫通拿高分
第 章 直線方程式
影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看
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Chapter
1
)
1
1
直線方程式
1
趨勢分析
歷年統測試題數： 年度 年 94
題數
3
95
年
96
3
年
97
6
年
98
5
年
99
2
年
100
2
2
年
101
年
3
實數、直角坐標、二次函數的圖形與極值、直線方程式。 最常考題型 分點公式、函數的極值問題、各類直線方程式的求法。 次重要題型 距離公式、函數的圖形、平行線與垂直線的求法。 本單元是直角坐標幾何的基礎知識，各種圖形、觀念與公式必須要理解與熟記，其 綜合分析 中「二次函數的極值」常在其他單元出現，一定要熟悉。 對於 的實數與絕對值不等式，老師可依實際情況來決定講授時機。 主題簡介
1-1
實數與直角坐標
1-1
實數 重點整理 實數系： 自然數（ » ）：又稱「正整數」，如： 、 、 、 。 整數（ » ）：正整數、零與負整數合稱「整數」，如： −1、 、 、 。 有理數（ » ）：可表示成 qp 的數稱為「有理數」，其中 p 、 q 為整數，且 p ≠ 0 。 因為整數、有限小數、循環小數皆可表示為 qp ，所以也是有理數。 無理數：無法表示成 qp 的數（不循環的無限小數）稱為「無理數」，如： π 、 2 。 實數（ » ）：有理數與無理數合稱「實數」，而實數點填滿數線。 若 x 為實數，可以記作 x ∈ » ，其中「∈ 」唸作屬於，其餘依此類推。 1.
(1)
1
2
3
4
(2)
0
(3)
(4)
(5)
自然數（ ）→ 整數（ ）零 → 負整數 → − − − 有理數（ ） 實數（ ） ⎧ 分數 ⎪⎨有限小數 → ⎪循環小數 → ⎩ 無理數（不循環的無限小數）→ π ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
1, 2, 3,
0
1,
1
,
2
3
2,
,
4
0.2, 0.34, ,
2,
3,
1
2
2
2.
第 1 章 直線方程式
實數的性質： 設 a 、 b 、 c 均為實數（ a 、 b 、 c ∈ » ）， (1) 加法與乘法的交換律： a + b = b + a ， ab = ba 。 (2) 加法與乘法的結合律： a + b + c = a + b + c ， ab c = a bc 。 (3) 乘法的分配律： a b + c = ab + ac 。 (4) 三一律：對於 a < b ， a = b ， a > b ，恰有一式成立。 (5) 若 a > b ，則 a − b > 0 ；若 a < b ，則 a − b < 0 。 (6) 若 a > b 且 c > 0 ，則 ac > bc ；若 a > b 且 c < 0 ，則 ac < bc 。 (
(
)
3
(
)
(
)
有理數與無理數 ☆
下列何者為有理數？
(C)0 (D)5 (E) 3 4 。
9
)
)
1
(A) 7 (B) −
(
由定義可知：(A)(B)(C)(D)
下列何者為無理數？ (A)3.14 (B)
(C) 5π (D)
0.3
由定義可知：(C)(D)
絕對值 重點整理 1. 絕對值： 實數 x 的絕對值，記作 x ，幾何意義為數線上點 x 到原點 0 的距離。 x ，當x ≥ 0 (1) 若 x 為實數，則 x = ⎧⎨ ，另外 x = x 。 ⎩− x ，當x < 0 ( )
( )
2
⇔ 點 x 到原點 0 的距離等於 k ⇔ x = ±k （ k > 0 ）。 (3) 若兩點 A x 與 B y 在數線上，則 AB = x − y = y − x 。 (4) 當 x ≥ a 時， x − a = x − a ；當 x ≤ a 時， x − a = − x − a 。 絕對值方程式： = ，則 (1) 若 = ± ，其中 k > 0 。 (2) 若 x − a + x − b = f x ，則對 a 、 b 分段討論求解。 (2)
x
=k
( )
( )
2.
( )
(
)
(
f ( x)
k
f ( x)
)
k
( )
絕對值方程式 ☆
2
若 4x + 1 = 3 ，試求 x 的值。 4 x + 1 = −3 或 ⇒ 4 x = −4 或 ⇒ x = −1 或 12
3
2
若 2x − 3 = 4 ，試求 x 的值。 2 x − 3 = −4 或 ⇒ 2 x = −1 或 ⇒ x = − 12 或 72
4
7
2 3
(E)
4
。
第 章 直線方程式 1
絕對值的化簡 ☆☆
3
若 −3 ≤ x ≤ 2 ，化簡 x + 3 + x − 2 。
若 −4 ≤ x ≤ 3 ，化簡 x − 3 + x + 4 。
∵ −3 ≤ x ⇒ x + 3 ≥ 0 x≤2⇒ x−2≤0 ∴原式 = x + 3 − x − 2 = 5 (
∵ −4 ≤ x ⇒ x + 4 ≥ 0 x ≤3⇒ x −3≤ 0 ∴原式 = − x − 3 + x + 4 = 7
)
(
)
絕對值方程式 ☆☆☆
4
試解方程式 x + 2 = 3x + 4 。
試解方程式 x − 1 = 2 x + 5 。
當 x > −2 ： x + 2 = 3x + 4 ⇒ x = −1 當 x ≤ −2 ： − x + 2 = 3x + 4 ⇒ x = − 32 （不合） 由 知： x = −1 (
當 x > 1 ： x − 1 = 2x + 5 ⇒ x = −6 （不合） 當 x ≤ 1 ： − x − 1 = 2x + 5 ⇒ x = − 34 由 知： x = − 43
)
(
)
絕對值不等式 重點整理 1. 絕對值的性質： 設 x 、 y 均為實數且 k > 0 ，則 (1) x ≤ k ⇔ 點 x 到原點 0 的距離 ≤ k ⇔ −k ≤ x ≤ k 。 (2) ≥ ⇔ 點 x 到原點 0 的距離 ≥ k ⇔ x ≤ −k 或 x ≥ k 。 x
k
( )
( )
( )
( )
≤k
x
2.
(3)
x
x 2
2
≥k 2
≥ y ⇔ x − y ≥ 0 ⇔ ( x + y )( x − y ) ≥ 0 ⇔ x − y ≥ 0 ⇔ x ≥ y
2
。
絕對值的應用： ≤ ，則 − ≤ (1) 若 ≤ ，其中 k > 0 。 ≥ ，則 ≥ 或 f x ≤ −k ，其中 k > 0 。 (2) 若 (3) 若 ≥ ，則 ⎡⎣ ⎤⎦ ≥ ⎡⎣ ⎤⎦ ⇔ ⎡⎣ ⎤⎦ − ⎡⎣ ⎤⎦ ≥ 0 。（平方差） (4) 若 x − a + x − b ≥ f x ，則對 a 、 b 分段討論，合起來為不等式的解。 f ( x)
k
f ( x)
k
f ( x)
k
f ( x)
g ( x)
f
( x)
( )
k
f ( x)
( )
k
2
g ( x)
2
f ( x)
2
g ( x)
2
3
1
4
第 1 章 直線方程式
絕對值不等式 ☆☆
5
試解不等式：(1) (1)
(2)
x +1
(2)
>4
x + 1 < −4 或 x + 1 > 4 ⇒ x < −5 或 x > 3
。
2x −1 ≤ 3
試解不等式：(1) (1)
−3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3 ⇒ −2 ≤ 2 x ≤ 4
(2)
⇒ −1 ≤ x ≤ 2
x −3
(2)
≤2
。
3x + 2 > 1
−2 ≤ x − 3 ≤ 2
⇒1≤ x ≤ 5 3 x + 2 < −1 或 3 x + 2 > 1 ⇒ 3x < −3 或 3x > −1 ⇒ x < −1 或 x > − 13
絕對值不等式 ☆☆☆
6
試解不等式： x − 2 + x − 3 ≤ 3 。
試解不等式： x − 1 + x − 4 ≥ 5 。 當 x < 1 ： − x −1 − x − 4 ≥ 5 ⇒ x ≤ 0 當 1 ≤ x ≤ 4 ： x − 1 − x − 4 ≥ 5 ⇒ 3 ≥ 5 （不合） 當 x > 4 ： x −1 + x − 4 ≥ 5 ⇒ x ≥ 5 由 知： x ≤ 0 或 x ≥ 5
當 x < 2 ：− x−2 − x−3 ≤3 ⇒ x ≥ 1∵⇒ 1 ≤ x < 2 當2 ≤ x ≤3： x−2− x −3 ≤3 ⇒1≤ 3 ⇒ 2 ≤ x ≤ 3 當 x >3： x −2+ x −3≤3 ⇒ x ≤ 4∵⇒ 3 < x ≤ 4 由 知： 1 ≤ x ≤ 4 (
)
(
)
(
x<2
(
)
)
(
)
(
)
x >3
點與坐標 重點整理 直角坐標平面（坐標平面）： 平面上取兩條互相垂直的水平與鉛垂數線，使原點 O 重合，其中水平數線稱為「 x 軸」，鉛垂 數線稱為「 y 軸」，而原點的右方為 x 軸的正向，左方為 x 軸的負向，上方為 y 軸的正向，下 方為 y 軸的負向，如圖 一 ，此平面稱為「直角坐標平面」。 點坐標： 設 P 點在坐標平面上，從 P 點對 x 軸、 y 軸作垂線，分別交 x 軸、 y 軸於 A 、 B 兩點。若 A 、 B 兩點在 x 軸、 y 軸上所對應的數，分別為 a 與 b ，則以 a b 表示 P 點的坐標，記作 P a b ， 其中 a 為 P 點的 x 坐標， b 為 P 點的 y 坐標，如圖 二 。 象限： 坐標平面的兩軸將平面分成四個區域，每一個區域稱為「象限」，其名稱與坐標的正負，如圖 一。 1.
(
)
2.
(
(
3.
(
)
)
,
)
(
,
)
第 章 直線方程式 1
4.
點與象限： 當 P 點在第一象限時，記作 P ∈ ，其他依此類推。
5
I
1
圖一 (
圖二
)
(
)
象限的判斷 ☆
7
若點 A a + b a 在第二象限，則點 P ab b 在 第幾象限？ 統測 (
)
,
(
,
[93
∵ A∈ ∴ a + b < 0 且 a > 0 ⇒ b < 0 ⇒ ab < 0 故 P ab b 在第三象限
設 a > 0 > b ，則點 a −
)
(
]
∵a > 0 ，b < 0 ∴ a − 2b > 0 ， 3a b < 0 故點 a − b a b 在第四象限
II
(
,
b a 2b )
2 ,3
在第幾象限？ 統測 [99
D]
2
)
(
2 ,3
2
)
距離與面積公式 重點整理 坐標平面上的距離公式： 若兩點 A x y 與 B x y 在坐標平面上， 則 AB = x − x + y − y 。 利用直角三角形的畢氏定理可以證明。 三角形的面積公式： 若三點 A x y ， B x y ， C x y 在坐標平面上，則 △ ABC 面積 = 12 | xy xy xy xy | （ ：加； ：減） 1 = x y +x y +x y −yx −y x −y x 。 2 x x 凸 n 邊形的面積 = 12 | xy xy |。 （頂點為順時針或逆時針排列） y y 1.
( 1, 1 ) ( 1
( 2,
2)
2
2)
( 1
2)
2
2.
( 1, 1 )
( 2,
2)
( 3, 3 )
1
2
3
1
1
2
3
1
1 2
2 3
3 1
1 2
2 3
3 1
1
2
n
1
1
2
n
1
兩點間的距離 ☆
8
設 P 、Q 兩點的坐標分別為 線段 PQ 的長度為何？ PQ =
2
( 6,
−3 )
⎡⎣ 6 − ( −2 ) ⎤⎦ + ⎡⎣( −3) − ( −9 ) ⎤ ⎦
= 82 + 62 = 10
、− (
2,
[97 2
， 統測
−9 )
]
坐標平面上兩點 P 為何？
(1, 3 )
PQ = (1 − 2 ) + ( 3 − 5 ) (
2
( 2, 5 )
的直線距離 統測 [91
2
=
和Q
2
2
−1) + ( −2 ) = 5
]
6
第 1 章 直線方程式
面積公式 ☆
9
設 A 、B 面積。 (1,1)
( 2, 3 )
面積 = 12 | 11 =
、C
，試求△ ABC 的
( 4, 5 )
設 A 、B 面積。 ( 4, 4 )
(1, 2 )
面積 = 12 | 44
2 4 1 | 3 5 1
1 3 + 10 + 4 − 2 − 12 − 5 = 1 2
=
、C
( 3,
−2 )
，試求△ ABC 的
1 3 4 | 2 −2 4
1 8 + ( −2 ) + 12 − 4 − 6 − ( −8 ) = 8 2
分點公式 重點整理 設 A x y 與 B x y 為坐標平面上的相異兩點， 分點公式： 若 P 點在 AB 上 A − P − B ，且 AP PB = m n ， 則 P mxm nnx mym nny ，即 P = mBm ++ nnA 。 若 P 點在 AB 的延長線上，則 P = mBm −− nnA 。 ( 1, 1 )
( 2,
2)
1.
(
⎛ ⎜ ⎝
2.
2
+
+
1
,
)
2
+
1
+
:
:
⎞ ⎟ ⎠
中點公式： 若 AB 的中點為 M ，則 M x x y y ，即 M = A +2 B 。 ⎛ ⎜ ⎝
1
+
2
,
2
1
+
2
2
⎞ ⎟ ⎠
分點公式 ☆
10
點 A、B 之坐標分別為 − 、 ，若 C 點 在 AB 上且 BC = 4 AC ，試求 C 點的坐標。 統測 (1,
2)
( 6,13 )
∵ BC = 4 AC ⇒ AC : BC = 1: 4 ∴ C = 1B1 ++ 44 A = + − ( 6,13)
4 (1,
5
2)
[96
= ( 2,1)
]
設 A − 、 B 為坐標平面上兩點，且 C 為線段 AB 上一點，使得 2 AC = 3BC ，試求 C 點的坐標。 (
1, 2 )
( 4, 7 )
∵ 2 AC = 3BC ⇒ AC : BC = 3 : 2 + − ∴ C = 3B3 ++ 22 A = 3 ( 4, 7 )
2(
5
1, 2 )
= ( 2, 5 )
第 章 直線方程式 1
中點公式 ☆
11
設 P a b 、 Q 兩點之中點坐標為 − ，則 a + b = ？ 統測 (
(
7
)
,
( 2, 3 )
2, 3 )
[92
P+Q
]
= ( −2, 3) ( 2, 3)
(
4, 6 )
(
( 4, 4 )
( 4,
1)
( 2, 3 )
設 BC 的中點 M
⇒P+ = − ⇒P= − ⇒ a = −6 ， b = 3 故 a + b = −3 2
已知平面上有三點 A 、 B − 、 ，則線段 BC 之中點與 A 點的距離為 C 何？ 統測
6, 3)
M=
B+C 2
所求 MA =
=
( 4,
(3
[99
−1) + ( 2, 3) 2
D]
= ( 3,1)
2
2
− 4 ) + (1 − 4 ) = 10
分點公式的應用 重點整理 平行四邊形的頂點關係： 在平行四邊形 ABCD 中，頂點關係為 A + C = B + D 。 平行四邊形的對角線互相平分，故 AC 與 BD 的中點重合 ⇒ A +2 C = B +2 D ⇒ A + C = B + D 。 三角形的重心公式（三條中線的交點為重心）： 若△ ABC 的重心為 G ，則 G = A + B3 + C 。 如圖， AG : GM = 2 :1 ，再利用分點公式可證明。 1.
2.
平行四邊形的頂點關係 ☆
12
平行四邊形 ABCD 中，若 A 、 B 、C 三點的坐 標分別為 − 、 0 − 、 − ，則 D 點應 落在下列哪一個象限？ 統測 (
5, 4 )
(
,
5)
( 4,
8)
[97
平行四邊形 ABCD 中，點 A 、 B 、 C 的坐標分 別為 、 、 − − ，試求 D 點坐標。 ( 3, 4 )
( 2, 5 )
(
1,
2)
A+C = B+ D
⇒ D = A+C − B
]
A+C = B+ D
⇒ D = A+C − B
= ( 3, 4 ) + ( −1, −2 ) − ( 2, 5)
= ( −5, 4 ) + ( 4, −8) − ( 0, −5)
= ( 0, −3)
= ( −1,1)
故 D 點在第二象限
三角形的重心 ☆
13
三角形三頂點的坐標分別為 A − 、 B − 、C ，試求三角形的重心坐標。 統測 ( 3,
(
1, 8 )
5)
( 7, 6 )
重心： A + B3 + C = − + − + ( 3,
5)
(
1,8 )
3
[97
( 7, 6 )
=
]
( 3, 3)
設 A 0 、B 重心坐標。 (
, 0)
( 2, 7 )
、C
重心： A + B3 + C =
( 7,
( 0, 0 )
−1)
+
，試求△ ABC 的
( 2, 7 ) 3
+ − = ( 7,
1)
( 3, 2 )
1
8
第 1 章 直線方程式
實力測驗１ 1.
試回答下列的問題： 若 x −1 = 4 ，則 x = 5或 − 3 。 若 2x + 3 = 5 ，則 x = 1或 − 4 。 。 已知 −2 ≤ x ≤ 3 ，若 x − 3 + x + 2 = ax + b ，則數對 a b = 若方程式 x − 4 = 3x + 2 ，則 x = 12 。 試回答下列的問題： 不等式 x − > 的解為 x < −1或x > 5 。 不等式 2x + 1 ≤ 5 的整數解有 6 個。 若不等式 x − a < b 的解為1 < x < 5 ，則數對 a b = 。 不等式 x −1 + x − 3 ≤ 4 的解為 0 ≤ x ≤ 4 。 試回答下列的問題： 若 A x y 在第四象限，則 B y − x xy 在第 三 象限。 若 A x + y − 在第二象限，則 B y + x + 在第 四 象限。 已知 A 、 B 、 C 、 D − ，則四邊形 ABCD 的面積為 13 。 已知 A 、 B ，若 P 點在 AB 上，且 AP = 3BP ，則 P 點坐標為 。 已知點 M 為 A 、 B 兩點的中點，若 M 及 B 的坐標分別為 及 − ，則點 A 到點 C 的距離為 5 。 設 A − ， B − ，若 P 點在 y 軸上，且 PA = PB ，則 P 點的坐標為 。 。 平行四邊形 ABCD 中， A 、 B − 、 C − − ，則 D 點的坐標為 − 已知 、 − 、 − − 為平行四邊形的三頂點，則第四個頂點坐標可能為 − 、 或 − 。 設 A − 、 B 、 C − ，則△ ABC 的重心 G 到點 D − 的距離為 5 。 已知 A 、 B − ，若△ ABC 的重心為 G ，且 M 為 BC 的中點，則 GM 的長為 2 。 (1)
(2)
2.
＊
3.
4.
(
(1)
2
,
)
( 0, 5 )
3
(2)
＊ ＊
5.
6.
7.
8.
9.
10.
＊
11.
12.
13.
(
(1)
(
(2)
(
15.
)
(
(
( 0, 4 )
( 2, 0 )
( 5, 3 )
( 3,
)
( 3, 2 )
)
,
3)
5,
(1,1)
1)
1,
1)
( 6, 4 )
( 5, 3)
( 2,1)
( 2,
3)
(
(1, 6 )
3, 5 )
(
( 3,
2)
( 5, 7 )
4, 5 )
( 3,1)
(
1, 3 )
( 3, 0 )
5, 4 )
( 0, 2 )
(1, 6 )
(
14.
,
,
(1,
(
2)
(
1,
3)
(
3)
11)
( 2,1) ( 7,
1,
( 3,
( 5,
4)
9)
(
( 7,1)
2, 3 )
3, 5 )
第 章 直線方程式
函 數
1-2
1
9
函數的意義 重點整理 函數的定義： 設 x 、 y 是兩個變數，當 x 的值確定後，而 y 值依照某種規則而唯一確定，則稱「 y 是 x 的函 數」，記作 y = f x ，其中 x 稱為「自變數」， y 稱為「應變數」。 函數值： 設函數 y = f x ，當 x = a 時，則 y = f a ，稱「 f x 在 x = a 的函數值為 f a 」。 函數的定義域與值域： 設函數 y = f x ，則 x 的範圍稱為「定義域」，函數值 y 的範圍稱為「值域」。 1.
( )
2.
( )
(
)
(
)
(
)
3.
( )
分段函數 ☆
1
若 = ⎧⎪⎨⎪3 − 5，， ⎩ 的值。 x
f ( x)
f ( f (
x
，試求
≥0 x <0
x
f
( 3)
+
f
(
若 值。
−3 )
， ，
x
<2
x
≥2
，試求
f (
4) +
1
f ( )
的
4 ) = −4
3) = 3 × 3 − 5 = 4
f (
−3) = −3 = 3 = 4+3=7
f ( )
1 = 7 − 2 ×1 = 5
所求 =
所求
(
−4 ) + 5 = 1
函數值 ☆☆
2
若
⎧7 − 2 x =⎨ ⎩−4
f ( x)
f (x
+3 x+4 x
+ 2) =
，則
f
令 x + 2 = 12 ⇒ x = − 32 f
⎛1⎞ ⎜ ⎟= ⎝2⎠
⎛1⎞ ⎜ ⎟= ⎝2⎠
3
f
− +3 ⎛ 3 ⎞ 2 = ⎜ − + 2⎟ = 3 ⎝ 2 ⎠ − +4
2
？
[90
統測
]
若
f (
2 x − 1) =
2x 3x + 1
，則
令 2x −1 = 3 ⇒ x = 2 f (
3) =
f (
2 × 2 − 1) =
f
( 3)
=
？
[94
統測
]
2× 2 4 = 3× 2 +1 7
3 5
合成函數 ☆
3
若 = 的值。 f ( x)
x
2
，
g ( 0) = 0 + 1 = 1 f (g(
，試求
+ 5x g ( x ) = x + 1
0)) =
1 = 12 + 5 × 1 = 6
f ( )
f (g (
0))
若 值。
f ( x)
= −2
f (
，g
( x)
= 3x − 4
，試求
5) = −2
g( f (
5 ) ) = g ( −2 ) = 3 × ( −2 ) − 4 = −10
g( f (
5) )
的
1
10
第 1 章 直線方程式
線型函數 重點整理 函數圖形： 設函數 y = f x ，若將自變數 x 與應變數 y 組成數對 x y ，再將所有的 x y 在坐標平面上一一描繪，就是函數 f x 的圖形。 若函數 的圖形通過點 a b ，則表示 f a = b 。 由於 y 值唯一確定，故鉛垂線與函數圖形最多只有一個交點。 線型函數： 形如 y = f x = ax + b 的函數，稱為「線型函數」，圖形為一直線。 當 a = 0 時： f x = b 稱為「常數函數」，圖形為水平線。 1.
( )
(
(
)
,
(
f ( x)
(1)
(
,
)
,
)
(
)
)
(2)
2.
( )
( )
(1)
當 a ≠ 0 時： f
稱為「一次函數」，圖形為斜直線。 f x = ax + b 可看作直線的斜截式，其中 a 為斜率， b 為 y 截距。 當 a > 0 ，圖形往右上；當 a < 0 ，圖形往右下。
(2)
( x)
= ax + b
( )
3.
線型函數的極值： 設線型函數 在區間 α β ，其中 α β 表α ≤ x ≤ β ， 則在 α 與 β 之中，較大者為最大值，較小者為最小值。 f ( x)
f (
)
[
f (
,
[
]
,
]
)
由線型函數的圖形可知，極值會出現在端點。 一次函數 ☆
4
若 y = f x 的函數圖形是一通過 兩點的直線，則 −1 = ？ ( )
設f
f (
( x)
)
= ax + b
= ⇒ a + b =1… f 2 = 3 ⇒ 2a + b = 3 … 由 得 a = 2 ， b = −1 故 f x = 2x − 1 所求 −1 = 2 × −1 − 1 = −3 f (1) 1 ( )
( ) f (
)
(
)
(1,1)
、
[90
( 2, 3 )
統測
]
若f f (
( x)
3) =
= ax + b
？
且
f (
0 ) = −2
= −2 ⇒ b = −2 2 = 4 ⇒ 2a + b = 4 ⇒ a = 3
f ( 0) f(
)
故 所求
f ( x) f (
= 3x − 2
3) = 3 × 3 − 2 = 7
，
f (
2) = 4
，則
第 章 直線方程式 1
一次函數的極值 ☆
5
試求 = 2 最小值 m 。 f
( x)
∵
x
−3
在區間
[1, 4 ]
的最大值 M 與
試求 = −3 + 1 在區間 與最小值 m 。 f
∵
1 = 2 × 1 − 3 = −1
f ( ) f (
( x)
4) = 2 × 4 − 3 = 5
∴ M = 5 ， m = −1
∴
x
f (
0) = 0 + 1 = 1
f (
2 ) = −3 × 2 + 1 = −5
M =1
，
[ 0, 2 ]
的最大值 M
m = −5
二次函數 重點整理 二次函數： 形如 y = f x = ax + bx + c （ a ≠ 0 ）的函數，稱為「二次函數」，圖形為拋物線。 當 a > 0 時，開口向上；當 a < 0 時，開口向下。 a 愈大，開口愈小。 頂點坐標為 ba ac a b ，對稱軸為 x = − 2ba 。 1.
( )
2
(1)
⎛ ⎜− ⎝ 2
(2)
(3)
(4)
,
−
4
2
4
⎞ ⎟ ⎠
若 a > 0 ，則在 x = − 2ba 時， 若 a < 0 ，則在 x = − 2ba 時， ⎛
y = ax 2 + bx + c = a ⎜ x 2 + ⎝
f ( x)
f ( x)
有最小值 f 有最大值 f
代數意義
幾何圖形
4ac − b 2 4a
⎛ b ⎞ ⎜− ⎟= ⎝ 2a ⎠
4ac − b 2 4a
⎡ b ⎞ b ⎛ b ⎞ x ⎟ + c = a ⎢ x2 + x + ⎜ ⎟ a ⎠ a ⎝ 2a ⎠ ⎢ ⎣ 2
二次函數 頂點
⎛ b ⎞ ⎜− ⎟= ⎝ 2a ⎠
⎡ ⎛ b ⎞⎤ = a ⎢x − ⎜ − ⎟⎥ + ⎝ 2a ⎠ ⎦ ⎣
4ac − b 2 4a
2
⎤ ⎥+c− ⎥ ⎦
。 。
b2 4a
。 2
y = ax 2 + bx + c
y = a ( x − h) + k
2
⎛ b 4ac − b ⎞ , ⎜− ⎟ 4a ⎝ 2a ⎠
( h, k )
在 x = − 2ba 時，有極值 4ac4a b −
2
11
在 x = h 時，有極值 k
1
12 2.
第 1 章 直線方程式
二次函數的求法： 已知過三點坐標：設函數 f x = ax + bx + c ，代點反求係數。 已知頂點 h k ：設函數 f x = a x − h + k ，代另一點求 a 。 二次函數在 x = h 時，有極值 k ，表示頂點為 h k 。 2
( )
(1)
(
(2)
)
,
( )
(
)
2
(
過三點求二次函數 ☆☆
6
設函數 y = f x 為通過 − 、 三點的拋物線，試求 。 ( )
設f
(1,
1)
( 2, 4 )
、− (
1,1)
f ( x)
( x)
若二次函數 = −1 = −2 ， y
f
(
= ax 2 + bx + c
= −1 ⇒ a + b + c = −1 … f 2 = 4 ⇒ 4a + 2b + c = 4 … f −1 = 1 ⇒ a − b + c = 1 … − ： 3a + b = 5 … − ： 3a + 3b = 3 ⇒ a + b = 1 … − ： 2a = 4 ⇒ a = 2 a = 2 代入 ： 6 + b = 5 ⇒ b = −1 a = 2 ， b = −1 代入 ： 2 − 1 + c = −1 ⇒ c = −2 所求 = 2 − − 2 f ( x)
x
( x)
(
)
2
設f
( 2)
f
滿足 1 = 2 ， 。 = 7 ，試求
( x)
f
( )
f ( x)
= ax 2 + bx + c
f (1) 2
( ) (
)
f
= ⇒a+b+c = 2 … f −1 = −2 ⇒ a − b + c = −2 … f 2 = 7 ⇒ 4a + 2b + c = 7 … − ： 2b = 4 ⇒ b = 2 − ： 3a + 3b = 9 ⇒ a + b = 3 … b = 2 代入 ： a + 2 = 3 ⇒ a = 1 a = 1 ， b = 2 代入 ： 1 + 2 + c = 2 ⇒ c = −1 所求 = + 2 − 1
f (1)
)
( )
f ( x)
x
2
x
x
二次函數的頂點 ☆
7
若
)
,
f ( x)
a −b =
= 5x2 + 6 x + 1
？
頂點
在 x = a 時有最小值 b，則 統測 [96
]
2
⎛ 6 4 × 5 ×1 − 6 ⎞ 4⎞ ⎛ 3 , ⎜− ⎟ = ⎜ − ,− ⎟ 2 × 5 4 × 5 5 5 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒ a = − 53 ， b = − 54 所求 a b 53 −
⎞ ⎛ 4⎞ ⎟ −⎜− ⎟ = ⎠ ⎝ 5⎠
⎛ = ⎜− ⎝
試求函數
頂點
f ( x)
= 2 x2 + 4 x + 5
的頂點坐標。
2
⎛ 4 4× 2×5 − 4 ⎞ , ⎜− ⎟ = ( −1, 3) 4× 2 ⎝ 2× 2 ⎠
1 5
已知頂點求二次函數 ☆☆
8
設 函 數 f x = 2 x + bx + c 的 頂 點 坐 標 為 ，試求 b 與 c 的值。 2
( )
(1, 3 )
故
2
= 2 ( x − 1) + 3 = 2 x 2 − 4 x + 5 b = −4 c = 5
f ( x)
，
若圖形 y = − x + px + q 的最高點為 求 p 與 q 的值。 2
y = − ( x − 2)
故 p =4，
2
+ 6 = − x2 + 4x + 2 q=2
( 2, 6 )
，試
第 章 直線方程式 1
已知頂點求二次函數 ☆☆
9
若二次函數 0 = 5 ，試求 f (
)
設f
( x)
f (
(
−1, 2 )
，且
若二次函數 的最低點為 − ，試求 3 的值。 f ( x)
)
( 2,
2
= a ( x + 1) + 2
= ⇒ a 0 +1 + 2 = 5 ⇒ a = 3
f ( 0) 5
故 所求
的頂點為 −3 的值。
( x)
f
f ( x) f (
(
)
2
2)
設f
f (
( x)
f ( 2)
(1,
−4 )
13
，且過點
)
2
= a ( x − 1) − 4
= −2 ⇒ a 2 − 1 − 4 = −2 ⇒ a = 2 (
)
2
故 f x = 2 x −1 − 4 所求 3 = 2 3 − 1 − 4 = 4
2
= 3 ( x + 1) + 2
( )
2
−3) = 3( −3 + 1) + 2 = 14
f (
(
)
)
(
2
)
2
二次函數的係數判斷 重點整理 設二次函數 y = f x = ax + bx + c ，令 D = b − 4ac ，對於圖形 開口：向上 ⇔ a > 0 ；向下 ⇔ a < 0 。 頂點： y 軸右側 ⇔ a 、 b 異號； y 軸左側 ⇔ a 、 b 同號； y 軸上 ⇔ b = 0 。 a 、 b 異號 a 、 b 同號 ( )
2
2
(1) (2)
(3) (4)
由頂點 x 坐標 − 2ba 的位置可以說明，頂點在 y 軸右側 ⇔ − 2ba > 0 ⇔ 2ba < 0 ⇔ a 、 b 異號。 圖形與 y 軸的交點為 c ：藉此可判斷 c 值。 圖形與 x 軸的交點數： 個 ⇔ D > 0 ； 個 ⇔ D = 0 ； 個 ⇔ D < 0 。 ( 0, )
D>0
2
1
D=0
D<0
由頂點 y 坐標 4ac4a− b = −4Da 的位置可以說明， 當開口向上（ a > 0 ）且與 x 軸有 個交點：頂點 y 坐標 < 0 ⇔ −4Da < 0 ⇔ −D < 0 ⇔ D > 0 。 a + b + c 代表 1 的值； a − b + c 代表 −1 的值。 2
2
(5)
0
f ( )
f (
)
1
14
第 1 章 直線方程式
二次函數係數的判斷 ☆☆
10
若 f x = ax + bx + c 的圖形 如右，判斷下列各數的正 b c 負： a b − 4ac 。 (1)
(4)
右圖為 y = ax + bx + c 的圖 形，判斷下列各數的正負： a b c b − 4ac 。 2
2
( )
(2)
(1)
(3)
2
(1) (2) (3) (4)
開口向上： a > 0 頂點在 y 軸右側： a 、 b 異號 ⇒ b < 0 與 y 軸的交點 c ⇒ c > 與 x 軸有 個交點 ⇒ b − 4ac > 0 ( 0, )
(1) (2) (3)
0
2
2
(2)
(3)
(4)
2
(4)
開口向下： a < 0 頂點在 y 軸左側： a 、 b 同號 ⇒ b < 0 與 y 軸的交點 c ⇒ c < 與 x 軸有 個交點 ⇒ b − 4ac < 0 ( 0, )
0
2
0
二次函數與 x 軸的關係 ☆
11
若二次函數 x = kx 點，試求 k 的範圍。 f (
)
2
+ 2x −1
與 x 軸沒有交
若 y = 3x 值。
2
− kx + 1
的圖形與 x 軸相切，試求 k 的
D = 0 ⇒ ( −k )2 − 4 × 3 ×1 = 0 ⇒ k = ±2
D < 0 ⇒ 22 − 4 × k × ( −1) < 0 ⇒ k < −1
3
二次函數與坐標軸的交點 ☆☆
12
若二次函數 y = x − 5x + 6 的圖形與 y 軸交於 A 點，與 x 軸交於 B 、C 兩點，試求 △ ABC 的 面積。 2
令 x = 0 代入二次函數得 y = 6 ，即 A 令 y = 0 代入二次函數得 x − 5x + 6 = 0 ⇒ x −2 x−3 = 0 ⇒ x = 2 或3 取 B ，C △ ABC 的面積為 12 ×1× 6 = 3
( 0, 6 )
2
(
)(
( 2, 0 )
)
( 3, 0 )
若二次函數 y = − x + 3x + 4 的圖形與 y 軸交於 A 點，與 x 軸交於 B 、C 兩點，試求 △ ABC 的 面積。 2
令 x = 0 代入二次函數得 y = 4 ，即 A 令 y = 0 代入二次函數得 − x + 3x + 4 = 0 ⇒ x − 3x − 4 = 0 ⇒ x +1 x − 4 = 0 ⇒ x = −1 或 4 取 B −1 ， C △ ABC 的面積為 12 × 5 × 4 = 10
( 0, 4 )
2
2
(
)(
(
, 0)
)
( 4, 0 )
第 章 直線方程式 1
二次函數的恆正與恆負 重點整理 設二次函數 x = ax + bx + c ， 若 x 恆為正數，則 a > 0 且 b − 4ac < 0 。 若 恆為負數，則 a < 0 且 b − 4ac < 0 。 由拋物線圖形與 x 軸的位置關係可以說明。 「 x 恆正、 x > 0 恆成立、 的圖形在 x 軸的上方」都是相同敘述。 f (
(1)
f (
(2)
f
2
)
2
)
2
( x)
f (
)
( )
f
f
( x)
二次函數的恆正 ☆☆☆
13
若 ax
2
恆為正數，試求 a 的範圍。
− 4x + 3 a>0且D<0
若x
2
⇒ a > 0 且 −4 − 4 × a × 3 < 0 ⇒ a > 0 且 a > 43 ⇒ a > 34 (
)
2
恆成立，試求 的範圍。
− 2x − k > 0 k 2 D < 0 ⇒ ( −2 ) − 4 ×1× ( −k ) < 0 ⇒ 4k < −4 ⇒ k < −1
二次函數在區間的極值 重點整理 設二次函數 x = ax + bx + c 在區間 α β ，其中 α β 表α ≤ x ≤ β ， 當 − ba ∈ α β 時： 在 f 2ba 、 α 、 β 之中，較大者為最大值，較小者為最小值。 由拋物線的圖形知，極值會出現在端點或頂點處。 f
2
⎛ ⎜− ⎝
2.
2
( )
[
1.
[
,
]
[
,
]
]
,
⎞ ⎟ ⎠
f (
)
f (
)
當 − ba ∉ α β 時： 在 α 、 β 之中，較大者為最大值，較小者為最小值。 [
2
f
(
)
]
,
f
15
(
)
1
16
第 1 章 直線方程式
二次函數的極值 ☆☆☆
14
試求 x = −2 x + 8x − 5 在區間 值 M 與最小值 m 。 2
( )
f
f ( x)
[1, 4 ]
的最大
2
= −2 ( x − 2 ) + 3 ≤ 3
試求 x = x + 6 x − 5 在 0 ≤ x ≤ 2 的最大值 M 與最小值 m 。 f
f ( x)
∵ 2∈ ∴ 的最大值 M = 3 另外， 1 = 1 ， 4 = −5 故 的最小值 m = −5
3
f ( x)
f (
2
= ( x + 3) − 14
∵− ∉ 而 0 = −5 ， 2 = 11 故 的最大值 M = 11 ，最小值 m = −5
[1, 4 ]
f ( )
2
( )
f (
)
[ 0, 2]
)
f (
)
f ( x)
f ( x)
絕對值函數
重點整理 1.
2.
函數 f x = x − a = ⎧⎪⎨⎪−x −xa− a ，， xx ≥< aa ，其圖形如圖 一 。 ⎩ 函數 x = A x − a + B x − b ，其中 A 、 B > 0 ，圖形為開口向上的折線。 在 x = a 與 x = b 處，對應的點為圖形的折點，如圖 二 。 在 a 與 f b 之中，較小者為函數的最小值。 ( )
f (
(
(
)
)
)
(
(1)
f (
(2)
)
)
( )
圖一 (
圖二
)
(
絕對值函數的極值 ☆☆
15
若 x = 2 x −1 + 3 2 x + 1 ，則 f x 的最小值 為何？ f (
)
)
( )
1 = 2 × 0 + 3× 2 +1 = 9
f ( )
f
1 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ = 2 × − −1 + 3× 0 = 3 2 ⎝ 2⎠
故
f ( x)
的最小值為
3
試求函數
f ( x)
= x + 4 + x −3
的最小值。 統測 [97
f (
−4 ) = 0 + −4 − 3 = 7
f (
3) = 3 + 4 + 0 = 7
故
f (
x)
的最小值為
7
]
第 章 直線方程式 1
17
實力測驗２ 1.
設函數
f
⎧3 x − 5 ⎪ ( x ) = ⎨0 ⎪ 3 ⎩x +1
。
2
，x > 2 ， = 2 ，則 ， <2 x
( 3)
f
+
f
( 2)
+
f
(
1
，
−3
−2 ) =
f ( f
( 0))
=
x
設函數 2 x − 5 = − x + 5x − 3 ，則 3 = 1 。 。 若 x = ax + b 的圖形為通過 A −3 、 B 1 兩點的直線，則數對 a b = − 若 x = 3x −1 在區間 − 的最大值為 M ，最小值為 m ，則數對 M m = − 。 已知 f x = ax + bx + c ，若 0 = 1， 1 = 3 ， 2 = 7 ，則 a − b + c = 1 。 試回答下列的問題： 函數 f x = − x + x − 的頂點坐標為 − 。 若 x = 2 x + 8x + 3 在 x = a 時有最小值 b ，則 a − b = 3 。 ＊ 已知 A 、 B ，若點 P 為 x 軸上的點，當 PA + PB 有最小值時，則 P 點的坐標為 。 若函數 x = 3x + ax + b 的頂點坐標為 ，則數對 a b = − 。 若二次函數 x 的頂點為 − ，且 −1 = 1，則 0 = −8 。 已知 f x = ax + bx + c 的圖形如右，則點 a b 在第 二 象限， 點 c b − ac 在第 二 象限。 f
2.
3.
f (
)
4.
f (
)
(
f
(
[
( )
, 6)
(
, 2)
(
(
1, 2 ]
2
( )
5.
2
)
f (
)
f ( )
f (
,
,
)
(
)
( 5,
1, 3 )
4)
)
6.
2
( )
(1)
f (
(2)
(1,
4
3)
2
)
( 2, 3)
7.
2
2
( 6, 5 )
2
( 4, 0 )
f (
8.
2
)
f (
9.
(
,
2
)
(
2, 4 )
f (
2
( )
10.
(1, 2 )
4
(
)
(
f (
,
,
)
(
6, 5 )
)
)
)
若二次函數 x = x − 6 x + k 與 x 軸有交點，則 k 的範圍為 k ≤ 9 。 ＊ 已知 ax − 2 x + 1 恆為正數，則 a 的最小整數值為 2 。 若 y = x − 2 x − 3 的圖形與 x 軸交於 A 、 B 兩點，其頂點為 C ，則△ ABC 的面積為 。 8 ＊ 若 x = x − x+ 在 區 間 − 的 最 大 值 為 M ， 最 小 值 為 m ， 則 數 對 M m = − 。 若 x = 3 x − 2 + 2 3x + 1 ，則 x 的最小值為 7 。 f (
11.
2
12.
2
13.
f (
14.
(
15.
2
)
,
f
)
)
( )
2
2
( 7,
4
[
1
1, 2 ]
1)
f
( )
18
第 1 章 直線方程式
直線的斜率與方程式
1-3
直線的斜率 重點整理 設 A x y 、 B x y 為直線 L 上的相異兩點，則 y −y y −y m= = 稱為直線 L 的「斜率」，代表直線的傾斜程度。 x −x x −x 當 x = x 時，直線 L 為鉛垂線，斜率 m 不存在。 當 y = y 時，直線 L 為水平線，斜率 m = 0 。 當直線 L 為右上斜直線，斜率 m > 0 。（ m = 1為右上斜 ） 當直線 L 為右下斜直線，斜率 m < 0 。（ m = −1 為右下斜 ） 直線的傾斜程度愈大，斜率的絕對值也愈大。 ( 1, 1 )
( 2,
1
2
2
1
1
2
2
1
(1)
1
2
(2)
1
2
2)
45°
(3)
45°
(4)
斜率的定義 ☆
1
設 A 、B 、C − ，試求直線 AB 的 斜率 m 與直線 AC 的斜率 m 。 (1, 2 )
( 3, 5 )
(1,
1)
AB
AC
2−5 3 mAB = = 1− 3 2 2 − ( −1) 3 mAC = = = 1 −1 0
( 4,
1)
(
1, 2 )
( 2,
1)
AB
不存在
AC
−1) − 2 3 =− 4 − ( −1) 5
mAB =
(
mAC =
(
−1) − ( −1) =0 4−2
斜率的大小關係 ☆☆
2
如圖，已知 ABCDE 為正五 邊形，若 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 EA 的斜率分別為 m 、m 、m 、m 、m ， 試比較斜率的大小關係。 1
設 A − 、B − 、C − ，試求直線 AB 的斜率 m 與直線 AC 的斜率 m 。
2
3
4
如圖，直線 L 、 L 、 L 的斜 率分別為 m 、 m 、 m ，試 比較斜率的大小關係。 1
1
1
4
3
2
5
3
3
2
3
5
∵ AB 、 DE 往右上 ∴ 0 < m < m ∵ CD 為水平線 ∴ m = 0 ∵ BC 、 EA 往右下 ∴ m < m < 0 故m <m <m <m <m 2
2
1
4
5
∵ L 、 L 往右上 ∴ 0 < m < m ∵ L 往右下 ∴ m < 0 故m <m <m 2
3
3
1
1
1
3
2
2
第 章 直線方程式 1
斜率的應用 重點整理 設兩直線 L 與 L 的斜率均存在（即非鉛垂線）， 兩直線 L 與 L 平行，則斜率相等。（傾斜程度相同） 兩直線 L 與 L 垂直，則斜率乘積為 −1。（斜率互為倒數且異號） A 、 B 、 C 三點共線（無法圍成三角形） ⇔ AB 與 BC 的斜率相等。 1
19
2
(1)
1
2
(2)
1
2
1
(3)
三點共線的斜率關係 ☆
3
若 A 、B k =？ ( 2, 3 )
( 4,
−5 )
、 C k − 三點共線，則 統測 (
,
[97
3 − ( −5 ) = −4 2−4 3 − ( −3) 6 = = 2−k 2−k
若 A 、 B 、 C k 三點無法構成一 個三角形，則 k = ？ 統測
3)
( 2,1)
]
( 6, 3 )
mAB
mAC
mBC =
AB
, 5)
[91
= 21 −− 36 = 12
mAB =
∵ A 、 B 、 C 共線 ∴ m ⇒ −4 = 2 −6 k ⇒ k = 72
(
3−5 −2 = 6−k 6−k
∵ A 、 B 、 C 無法構成三角形 ∴ m ⇒ 12 = 6−−2k ⇒ k = 10
= mAC
AB
]
= mBC
垂直線段的斜率關係 ☆☆
4
設 A 、 B 及C AC 垂直，則 k = ？ ( 2,1)
(1, 3)
( 4,
設 A − 、B − 、C 若 AB ⊥ CD ，則 k = ？
k ) ，若線段 AB 及 [99
統測
(
B]
3, 4 )
( 2,
1)
mAB =
mAB =
4 − ( −1) = −1 ( −3) − 2
mAC
mCD =
2k − 5 2k − 5 = 0 − ( k + 1) −k − 1
1− 3 = −2 2 −1 1− k 1− k = = 2−4 −2
∵ AB ⊥ AC ∴ m ⇒ 1−−2k = 12 ⇒ k = 2
AC
=
∵ AB ⊥ CD ∴ m = 1 ⇒ 2−kk −−51 = 1 ⇒ k = 34
1 2
CD
直線方程式的求法（點斜式與兩點式） 重點整理 點斜式：（已知「一點」與「斜率」求直線） 通過點 x y 且斜率 m 的直線方程式為 y − y = m x − x 。 取直線上的相異點 x y ，則 yx −− xy = m ⇒ y − y = m x − x 。 兩點式：（已知「相異兩點」求直線） 通過相異兩點 x y 、 x y 的直線方程式為 y − y = yx −− xy x − x 。 1.
( 0, 0 )
0
(
,
)
(
0)
0
(
0
0)
0
2.
( 1, 1 )
( 2,
2)
1
1
2
1
2
(
1)
k
( 0, 2 )
、D k + ， (
1, 5 )
20
第 1 章 直線方程式
將斜率 m = yx −− xy 與點 x y 代入點斜式可得兩點式。 若 x = x ，則直線方程式為鉛垂線 x = x 。 若 y = y ，則直線方程式為水平線 y = y 。 1
2
1
2
(1)
1
2
(2)
1
2
( 1, 1 )
1
1
點斜式 ☆
5
試求通過點 − ，且斜率為 − 12 的直線方程 式。 (
4, 3 )
點斜式： ⇒2y − 6 = − x + 4 ⇒ x + 2y − 2 = 0
試求通過點
(1,
，且斜率為 的直線方程式。
−2 )
3
y − ( −2 ) = 3 ( x − 1)
⇒ 3x − y − 5 = 0
1 y − 3 = − ⎡⎣ x − ( −4 ) ⎤⎦ 2
×2
(
)
兩點式 ☆
6
設 A 、B − 、C BC 的方程式。 ( 2, 3)
(
mAB =
由A
4,1)
( 2,1)
，試求直線 AB 與
若 A 、 B − 、 C ，且 D 為 BC 之 統測 中點，試求 AD 的直線方程式。 ( 2, 5 )
與m
= AB
1, 2 )
( 3, 4 )
[97
3 −1 1 = 2 − ( −4 ) 3
( 2, 3)
(
D=
B+C 2
mAD =
1 3
由A
=
(
−1, 2 ) + ( 3, 4 ) 2
]
= (1, 3)
5−3 =2 2 −1
與m =2 AD : y − 5 = 2 x − 2 ⇒ 2 x − y + 1 = 0
1 ( x − 2) 3 x 3y 7 0
AB : y − 3 =
⇒ − + = ∵ B 、 C 的 y 坐標均為 ∴ BC : y = 1
( 2, 5 )
AD
(
)
1
垂直平分線的求法 ☆☆
7
設 P 、Q 分線方程式。 ( 2, 4 )
( 4, 2 )
，試求線段 PQ 的垂直平 統測
設垂直平分線 L 的斜率為 m + P+Q = PQ 的中點 M = 4−2 PQ 的斜率 m = = −1 2−4 ∵ PQ ⊥ L ∴ m = 1 由 M 與 m =1 L y− = × x− ⇒ x− y =0 ( 2, 4 )
2
PQ
( 3, 3)
:
3
1
(
3)
2
[95
( 4, 2 )
= ( 3, 3)
]
設A − 、B 分線方程式。 (
1, 3 )
(1, 7 )
，試求線段 AB 的垂直平
設垂直平分線 L 的斜率為 m A+ B − AB 的中點 M = = 3−7 AB 的斜率 m = =2 −1 − 1 ∵ AB ⊥ L ∴ m = − 12 由 M 與 m = − 12 (
2
AB
( 0, 5 )
1 ( x − 0) 2 x 2 y 10 0
L: y −5= −
⇒ + − =
1, 3 )
+ (1, 7 )
2
= ( 0, 5 )
第 章 直線方程式 1
直線方程式的求法（斜截式） 重點整理 截距： 若直線 L 交 x 軸於 a ，則稱 L 的「 x 截距」為 a 。 若直線 L 交 y 軸於 b ，則稱 L 的「 y 截距」為 b 。 x 截距為 a ⇔ 過點 a ； y 截距為 b ⇔ 過點 b 。 斜截式：（已知「斜率」與「 y 截距」求直線） 斜率 m 且 y 截距為 b 的直線方程式為 y = mx + b 。 y 截距為 b 表過點 b ，與斜率 m 代入點斜式可得到。
21
1.
(1)
(
(2)
( 0,
1
, 0)
)
(
( 0,
, 0)
)
2.
( 0,
)
斜截式的討論： 由斜截式可知斜率與 y 截距，如： y = 2x + 3 的斜率 、 y 截距 。 斜率 m 且 x 截距為 a 的直線方程式為 y = m x − a ，不可用斜截式。 x 截距為 a 表過點 a ，與斜率 m 代入點斜式可得到。
3.
(1)
2
(
(2)
(
)
, 0)
截距 ☆
8
試求直線 2x + 3 y + 1 = 0 的 x 、 y 截距。 −
x
x
1 2
0
y
試求直線 x − 4 y − 2 = 0 的 x 、 y 截距。
−
0 1 y 0 − 2
1 3
截距為 ， y 截距為 1 − 2
2
x
0
x
1 − 3
截距為 ， y 截距為 − 12 2
斜截式 ☆☆
9
設直線 L 與 L 的斜率均為 −2 ，若 L 的 x 截距 為 ，L 的 y 截距為 ，試求 L 與 L 的方程式。 1
1
3
2
L1
2
1
3
的 x 截距為 1 表示過點
L1 : y − 0 = −2 ( x − 1)
1
(1, 0 )
2
設直線 L 與 L 的斜率均為 ，若 L 的 x 截距為 −4， L 的 y 截距為 ，試求 L 與 L 的方程式。 1
2
L1
3
2
1
(
L1 : y − 0 = 3 ⎡⎣ x − ( −4 ) ⎤⎦
⇒ 3x − y + 12 = 0 利用斜截式求 L
⇒ 2x + y − 3 = 0
⇒ 3x − y + 1 = 0
L2 : y = −2 x + 3
1
的 x 截距為 −4 表示過點 −
⇒ 2x + y − 2 = 0 利用斜截式求 L
2
1
2
L2 : y = 3x + 1
4, 0 )
2
22
第 1 章 直線方程式
斜截式的應用 ☆☆
10
若兩直線 L : my = 2x + 1 與 L : 2 y = 3x + 1 互相 垂直，則 m = ？ 統測 1
2
[98
B]
⇒ y = m2 x + m1 3 1 L ⇒ y= x+ 2 2 2 3 L 、 L 的斜率分別為 、 m 2 ∵ L ⊥ L ∴ m2 × 32 = −1 ⇒ m = −3
若兩直線 L : y = 3x + 2 與 L : y = ax + 3 互相垂 直，則 a = ？ 統測 1
[92
、 L 的斜率分別為 3 、 a ∵ L ⊥ L ∴ a = − 13 L1
L1
]
2
1
2
1
2
2
2
1
2
直線方程式的求法（截距式） 重點整理 截距式：（已知「 x 截距」與「 y 截距」求直線） x y x 截距為 a 且 y 截距為 b 的直線方程式為 + = 1 ，其中 ab ≠ 0 。 a b x 、 y 截距分別為 a、b 表過點 a 與 b ，代入兩點式可得到。 截距式的應用： 由截距式可知 x 、 y 截距，如： 2x + 3y = 1 的 x 、 y 截距分別為 、 。 直線 ax + by = 1 與兩軸所圍成的三角形面積為 12 ab ，其中 ab ≠ 0 。 1.
(
, 0)
( 0,
)
2.
(1)
2
3
(2)
截距式 ☆☆
11
設直線 L 的 x 、 y 截距分別為 −4、 ，試求 L 的 方程式及 L 與兩軸所圍成的三角形面積。 1
−4 + 1 = 1 ⇒ x − 4 y + 4 = 0 1 L 與兩軸所圍三角形面積 = 2
L:
x
y
設直線 L 的 x 截距為 ， y 截距為 ，試求 L 的 方程式。 統測 2
[96
x y L : + =1 2
(
−4 ) × 1 = 2
3
3
⇒ 3x + 2 y − 6 = 0
]
第 章 直線方程式 1
23
實力測驗３ 1.
1
設 A − 、 B 、 C ，則直線 AB 的斜率 m = 3 ，直線 BC 的斜率 m = 不存在 。 如圖，直線 L 、 L 、 L 、 L 的斜率分別為 m 、 m 、 m 、 m ，則斜率的 大小關係為 m < m < m < m 。 (
1, 0 )
(1, 6 )
(1, 3)
AB
BC
2.
1
2
4
3.
4.
5.
若A 設A
−3 )
8.
9.
10.
11.
2
(1,
(1, 2 )
(
(
1
1)
1
2
3
4
3
( 2, 3 )
(
)
,
(
,
)
( 2,
1)
3, 2 )
( 2,
4, 3 )
(
1, 3 )
( 2, 3 )
(2)
7.
4
、 B − 、 C k 7 三點共線，則 k = 5 。 、 B − 、 C k −2 、 D k − ，若直線 AB 與直線 CD 互相垂直，則 k= 1 。 試求下列的直線方程式：（以 ax + by + c = 0 表示） 通過點 − ，且斜率為 −1的直線方程式為 x + y + 1 = 0 。 通過兩點 與 − − 的直線方程式為 2 x − y −1 = 0 。 若 A 、 B − 、 C − ，則直線 AB 的方程式為 x = 2 ，直線 BC 的方程式為 y = −5 。 設 A − 、 B ，則 AB 的垂直平分線方程式為 3x + 2 y − 7 = 0 。 △ ABC 中， A 、 B − 、 C ，則 AB 邊上的中線方程式為 4x − 5 y + 14 = 0 。 △ ABC 中，A 、B − − 、C − ，則 BC 邊上的高所在的直線方程式為 3x + y − 7 = 0 。 若直線 L : x − 2 y − 6 = 0 的 x 截距為 a ， y 截距為 b ，則數對 a b = − 。 ( 0,
(1)
6.
3
(
1,
5)
3)
( 3,
5)
( 2, 7 )
( 2,1)
( 2,1)
(
(
1,
4, 3 )
3)
( 4, 6 )
( 5,
1)
(
若直線 L 斜率為 − 23 ， x 截距為 −1，則 L 的方程式為
,
)
2x + 3y + 2 = 0
( 6,
3)
。
若直線 L 斜率為 − 23 ， y 截距為 −1，則 L 的方程式為 2 x + 3 y + 3 = 0 。 若兩直線 L : my = 3x + 4 與 L : 3 y = 2 x + 4 互相垂直，則 m = −2 。 已知直線 L 的 x 截距為 ， y 截距為 −4 ，則 L 的方程式為 4x − 3 y −12 = 0 。 ＊ 若直線 L 通過點 − 且在兩軸的截距相等，則 L 的方程式為 x + y + 1 = 0 或 3x + 4 y = 0 。 12.
13.
1
2
14.
15.
3
(
4, 3 )
24
第 1 章 直線方程式
1-4
二元一次方程式
直線的一般式 重點整理 設直線 L : ax + by + c = 0 ，其中 a 、 b 不全為 ， 若 b ≠ 0 ，則 L 的斜率 m = − ba 。 若 b = 0 ，則 L 的斜率不存在。（鉛垂線） 若 b ≠ 0 ，則 ax + by + c = 0 ⇒ y = − ba x − bc ，由斜截式可知： L 的斜率 m = − ba 。 0
(1)
(2)
直線的一般式 ☆☆
1
若兩直線 L : 2 x + 3 y + 1 = 0 與 L : 4 x − by = 2 互 相垂直，則 b = ？ 1
2
設 L 與 L 的斜率分別為 m 、 m 2 4 4 m =− ，m =− = 3 −b b ∵L ⊥L ∴ m = b4 = 32 ⇒ b = 83 1
2
1
1
若兩直線 L : x − 3 y = 1 與 L : ax + 2 y = 0 互相 垂直，則 a = ？ 1
設 L 與 L 的斜率分別為 m 、 m a 1 1 m =− = ，m =− 2 −3 3 ∵L ⊥L ∴ m = − a2 = −3 ⇒ a = 6
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
2
直線的一般式 ☆☆☆
2
若直線 L : ax + by + c = 0 的圖 形如右，則點 P ac ab 在第 幾象限？ 統測 (
,
[93
若直線 L : ax + by + c = 0 的圖 形如右，則點 P ab bc 在第 幾象限？
)
(
]
的斜率： − ba c L 的 x 截距： − a 由圖可知： − ba > 0 ， − ac < 0 ⇒ ab < 0 ， ac > 0 因此點 P ac ab 在第四象限 ,
)
的斜率： − ba c L 的 y 截距： − b 由圖可知： − ba < 0 ， − bc < 0 ⇒ ab > 0 ， bc > 0 因此點 P ab bc 在第一象限
L
(
,
L
)
(
,
)
平行線與垂直線的假設 重點整理 設直線 L : ax + by + c = 0 ，其中 a 、 b 不全為 ，則 平行於 L 的直線可設為 ax + by + k = 0 。（ x 、 y 係數相同） 垂直於 L 的直線可設為 bx − ay + k = 0 。（ x 、 y 係數對調，中間變號） 0
(1)
(2)
2
第 章 直線方程式 1
平行線的求法 ☆
3
求通過原點，且與直線 L : 2 x + y + 1 = 0 平行的 直線。 統測 設平行線 2 x + y + k = 0 原點 代入： 0 + 0 + k = 0 ⇒ k = 0 故平行線為 2 x + y = 0
[93
]
25
設過點 P 且平行於 L : 2x + 3 y = 1 的直線 為 ax + by = 1，則 a − b = ？ 統測 (1, 2 )
設平行線 2 x + 3 y + k = 0 P 代入： 2 + 6 + k = 0 ⇒ k = −8 平行線： 2 x + 3 y − 8 = 0 ⇒ 14 x + 83 y = 1 故 a = 14 ， b = 83 所求 a − b = 14 − 83 = − 81
( 0, 0 )
[92
]
(1, 2 )
垂直線的求法 ☆
4
求通過點 P 直的直線。
(1, 6 )
，且與直線 2 x + 4 y + 5 = 0 垂 統測 [93
設垂直線 4 x − 2 y + k = 0 P 代入： 4 − 12 + k = 0 ⇒ k = 8 故垂直線為 4 x − 2 y + 8 = 0 ⇒ 2x − y + 4 = 0 (1, 6 )
]
過點 A − 且與直線 2 x − y + 5 = 0 垂直的直 線方程式為何？ 統測 ( 4,
1)
設垂直線 x + 2 y + k = 0 A − 代入： 4 − 2 + k = 0 ⇒ k = −2 故垂直線為 x + 2 y − 2 = 0 ( 4,
1)
對稱點 重點整理 對稱點： 設兩相異點 A 、 B 不在直線 L 上，若點 A 與 B 「對稱」於直線 L ， 則 AB ⊥ L 且 AB 的中點在 L 上。（直線 L 為 AB 的垂直平分線） 對稱點的求法： 若點 A 對於直線 L 的對稱點為 B ，其求法如下： 先求與直線 L 垂直的直線 AB 方程式。 再求直線 L 與直線 AB 的交點坐標。（ AB 的中點） 最後由 AB 的中點與 A 點求得 B 點坐標。（對稱點） 1.
2.
(1) (2)
(3)
[91
]
1
26
第 1 章 直線方程式
對稱點的求法 ☆☆☆
5
試求點 P 點坐標。
( 3,
−2 )
對直線 L : x − y + 4 = 0 的對稱
若兩點 A
、 B a b 對稱於直線 L : x − 3 y + 5 = 0 ，試求 a b 。 ( 3,
−4 )
(
)
,
(
設對稱點 Q
⇒
⎩
∵M = P+Q
( 3,
⎛ 3 5⎞ ⎜− , ⎟ ⎝ 2 2⎠
2
(
3, 5 )
( 3,
2)
(
4)
(1, 2 )
⇒Q= M −P = − − − = − 2
)
設 AB : 3x + y + k = 0 A − 代入： 9 − 4 + k = 0 ⇒ k = −5 得 AB : 3x + y − 5 = 0 解 ⎧⎨3xx−+3 yy +− 55 == 00 的交點 M ⎩ ⇒M ∵ M = A +2 B ⇒B= M − A= − − = − 故 ab = −
PQ : x + y + k = 0 P ( 3, −2 )
代入： 3 − 2 + k = 0 ⇒ k = −1 得 PQ : x + y − 1 = 0 解 ⎧⎨ xx −+ yy +− 14==00 的交點 M M
,
6, 7 )
( 2, 4 )
2
(
)
,
(
( 3,
4)
(
1,8 )
1,8 )
二元一次方程組的幾何意義
重點整理
方程組 ⎧⎨aa xx ++bb yy++cc ==00 的解就是兩直線的交點， 1
(1)
(2)
(3)
若 若 若
1
⎩ 2 2 a1 b1 ≠ a2 b2 a1 b1 c1 = ≠ a2 b2 c2 a1 b1 c1 = = a2 b2 c2
1
2
，則方程組恰有一解，兩直線交於一點。（相容方程組） ，則方程組無解，兩直線平行。（矛盾方程組） ，則方程組有無限多組解，兩直線重合。（相依方程組） 兩直線的關係 ☆☆
6
設兩直線 L : x + ay − 5 = 0 與 L : ax + 9 y + 15 = 0 ，依下列條件求 a 值： L 與 L 平行 L 與 L 重合。 1
2
(1)
1
(1)
(2)
2
1
2
L1 // L2
設兩直線 L : 4 x − ay − 2 = 0 與 L : ax − 9 y − 3 = 0 ，依下列條件求 a 值： L 與 L 平行 L 與 L 重合。 1
2
(1)
1
(1)
1 a −5 = ≠ ⇒ a2 = 9 a 9 15 a 3
(2)
⇒ = ± （負不合），故 a = 3 L 與 L 重合 1
1
2
L1 // L2 4 − a −2 = ≠ ⇒ a 2 = 36 a −9 −3
⇒ a = ±6 （正不合），故 a = − L 與 L 重合
6
(2)
2
1 a −5 = = ⇒ a2 = 9 a 9 15 a 3
(2)
2
⇒ = ± （正不合），故 a = −
3
1
2
4 − a −2 = = ⇒ a 2 = 36 a −9 −3 a 6
⇒ = ± （負不合），故 a = 6
第 章 直線方程式 1
方程式的對稱與平移 重點整理 1. 方程式的對稱： 對於方程式 = 的圖形， (1) 若 = − ，則圖形對稱於 y 軸。 (2) 若 = − ，則圖形對稱於 x 軸。 (3) 若 = − − ，則圖形對稱於原點。 2. 方程式的平移： = 的圖形向右平移 h ，向上平移 k 之後的方程式為 f ( x, y )
f (
f ( x, y )
f ( x,
f
( x, y )
( x, y )
f
(
1
0
f ( x, y )
f
27
x, y ) y)
x,
y)
0
f
(x
− h, y − k ) = 0
。
方程式的對稱 ☆☆☆
7
坐標平面上，試求 x + y = 4 所圍的區域面積。 所圍區域會對稱 y 軸、 x 軸、原點 故作第一象限的圖，再利用對 稱求其他象限的圖 區域面積
坐標平面上，試求 2 x + y = 6 所圍的區域面 積。 所圍區域會對稱 y 軸、 x 軸、原點 故作第一象限的圖，再利用對 稱求其他象限的圖 區域面積
⎛1 ⎞ = 4 × ⎜ × 4 × 4 ⎟ = 32 2 ⎝ ⎠
⎛1 ⎞ = 4 × ⎜ × 3 × 6 ⎟ = 36 2 ⎝ ⎠
方程式的平移 ☆☆
8
若將曲線 x −1 = 4 y 向 x 軸正方向平移 1，再 向 y 軸正方向平移 2，則平移後的方程式為 何？ (
)
2
在原方程式之中 x 改成 x − 1 ， y 改成 y − 2 平移後的方程式： 2
⎡⎣( x − 1) − 1⎤⎦ = 4 ( y − 2 )
⇒ x−2 =4 y−2 (
)
2
(
)
若將 x + 2 y = 8 的圖形向 x 軸正方向平移 2， 再向 y 軸正方向平移 3，則平移後的方程式為 何？ 在原方程式之中 x 改成 x − 2 ， y 改成 y − 3 平移後的方程式： x−2
+2 y −3 =8
28
第 1 章 直線方程式
實力測驗４ 直線 L : 6x + 2 y − 3 = 0 的斜率為 −3 ， L : 4 x − y = 0 的斜率為 4 0 。 2. 直線 L : x + 2 = 0 的斜率為 不存在 ， L : y = 5 的斜率為 3. 若兩直線 L : 3x + 2 y + 1 = 0 與 L : 4 x − by = 3 互相垂直，則 b = 6 。 ＊4. 若直線 L : ax + by + c = 0 的圖形如右，則點 P ab ac 在第 三 象 限。 1.
1
。
2
1
2
1
2
(
5.
通過點 P
6.
通過點 P
(1, 2 )
( 2,1)
,
)
且平行於 L : 3x − y + 4 = 0 的直線方程式為 3x − y −1 = 0 。 且平行於 L : x + 2 y + 3 = 0 的直線為 ax + by = 2 ，則數對 a b (
,
)
=
⎛1 ⎞ ⎜ ,1⎟ ⎝2 ⎠
。
通過點 P 且與直線 L : 2x + 3y = 1垂直的直線方程式為 2x − 3 y − 8 = 0 。 。 ＊8. 若兩點 A 、 B a b 對稱於直線 L : 2x + y = 5 ，則數對 a b = 9. 已知兩直線 L : 2 x + by + 3 = 0 與 L : ax − 3 y + 9 = 0 重合，則數對 a b = − 。 10. 已知兩直線 L ax + y = a 與 L : x + ay = 1 互相平行，則 a = −1 。 11. 已知兩直線 L ax + y = a 與 L : x + ay = 1 重合，則 a = 1 。 ＊12. 已 知 三 直 線 2 x − y + 3 = 0 、 x + y − 6 = 0 、 ax + 2 y + 2 + a = 0 恰 好 交 於 一 點 ， 則 a= −6 。 13. 坐標平面上，方程式 x + y = 1 所圍的區域面積為 2 。 14. 若將曲線 x + 2 = 3 y 向 x 軸正方向平移 2，再向 y 軸正方向平移 1，則平移後的方程式為 x = 3 y −1 。 ＊15. 坐標平面上，方程式 2 x −1 + y − 2 = 3 所圍的區域面積為 9 。 7.
( 4, 0 )
( 0, 0 )
(
,
)
(
1
2
2
1:
2
(
)
)
2
( 4, 2 )
2
2
(
(
)
(
2
1:
,
)
,
)
( 6,
1)
第 章 直線方程式 1
29
綜合實力評量
一、基礎題
（ C ）1. 若 A
、 C ，則△ ABC 的三邊長和為 (A) 3 + 5 + 10 (B) 83 (C) 8 + 10 (D)14。 （ C ）2. 設 A 與 B 為坐標平面上之兩點。若點 C 在線段 AB 上，且 4 AC = 3BC ， 則 BC = (A) 2 (B) 3 2 (C) 4 2 (D) 5 2 。 （ D ）3. 右圖為函數 的圖形，則下列何者錯誤？ (A) f a f b (B) f b > f c (C) f a f c 0 (D) f a f b 。 (1, 2 )
、B
1
(1, 5 )
( −1, −3 )
( 4, 6 )
( 6, 4 )
( )
f ( x)
( )
( )
(
)⋅
( )
( )⋅
<
( )<
>
( )
0
（ D ）4. 設 a 、b 為實數，若坐標平面上的拋物線 y = x + ax + b 的圖形與 x 軸的交點為 − 、 ，如圖所示，則 a + b = (A)2 (B)3 (C) −2 (D) −3 。 2
(
1, 0 )
( 2, 0 )
（ D ）5. 關於 y = 3x −12 x + 15 的圖形，下列敘述何者錯誤？ (A)圖形開口向上 (B)圖形與 (C)圖形的對稱軸為 x = 2 (D)圖形頂點為 − − 。 y 軸交於點 （ B ）6. 若 A 、B 、C x − 、D − y 四點共線，則 x + y = (A) −2 (B) −3 (C) −4 (D) −5 。 （ C ）7. 已知坐標平面上三點 A − 、 B − − 與 C x y 。若線段 AB 、 BC 與 CA 所形成 的△ ABC 中， ∠A 為直角，則點 C 之坐標 x y 可以是下列何者？ (A) − (B) (C) (D) 。 （ A ）8. 若直線 L 過點 ，且斜率為 2，則直線 L 的 x 截距為何？ (A) − 12 (B) 12 (C) −1 (D)1。 （ B ）9. 設 A 、 B − ，若直線 L : 2x + ay + b = 0 為 AB 的垂直平分線，則 a + b = (A)0 (B)1 (C)2 (D)3。 （ A ）10. 若兩直線 L : 6x + a − 2 y = 3 與 L : a + 5 x − 2 y = 2 互相平行，則 a = (A) −2 (B) −1 (C) 2 (D) −2 或 1。 2
( 0,15 )
( 3, 5 )
(
(
( 2, 3 )
1)
,
( 2,
1)
(
1,
(
( 2, 3 )
2,
1)
(
( 0, 4 )
(1, 3 )
( 3, 3 )
(
1
1, 5 )
(
)
2
3)
)
(
( 4, 0 )
2,
(
)
,
,
)
)
(1,
1)
30
第 1 章 直線方程式
二、進階題
（ B ）11. △ ABC 中， A − 、 B − 、 C − − ，若 ∠B 之內角平分線交 AC 於 D ，試 求 D 點的坐標為 (A) − − (B) − (C) − − (D) 2 − 。 （ B ）12. △ ABC 中， AB 的中點坐標為 M ，重心 G 的坐標為 4 ，試求 C 點的坐標為 (A) (B) (C) (D) 。 （ C ）13. 設函數 = + 1 ，則下列何者恆為正確？ (A) = − (B) = − 1 1 (C) 。 (D) = ( 6,
5)
( 2,
(
2,
8)
(
4)
( 2,
6,
2)
4)
(
3)
2,
( 3, 2 )
(1, 9 )
( 6, 2 )
f ( x)
f ( x)
=
f
( 5, 9 )
(
f
x
⎞ ⎟ x⎠
f ( x)
,
3)
, 2)
(10, 5 )
x
⎛ ⎜ ⎝
(
( x)
f
(
x)
f
( x)
f
( x)
f ( x)
（ C ）14. 設函數 f x = ax + b 之圖形通過第一、二、四象限，則點 P ab a − b 在第幾象限？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 （ B ）15. 坐標平面上一矩形的四個頂點分別在原點、x 軸正向、 y 軸正向及直線 x + 2 y = 6 上， 當此矩形有最大面積時，其周長為何？ (A)8 (B)9 (C)10 (D)11。 （ D ）16. 已知△ ABC 三頂點為 A −1 、B 2 、C − − ，若直線 AD 平分△ ABC 的面積， 則直線 AD 之方程式為何？ (A) 3x + y = 0 (B) 3x − y + 6 = 0 (C) 6 x − y + 9 = 0 (D) 6 x + y + 3 = 0 。 （ D ）17. 如 圖 ， 兩 直 線 L 、 L 之 方 程 式 分 別 為 L x + ay + b = 0 ， L x + cy + d = 0 ，則下列何者正確？ (A) a > 0 (B) b > 0 (C) c > 0 (D) d > 0 。 ( )
(
(
1
, 3)
(
,1)
(
)
,
1)
3,
1:
2
2 :
（ A ）18. 若兩直線 L
1:
ax + by − 3 = 0
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1。
與L
2 :
y = 3x + 1
的交點在 y 軸上，且 L ⊥ L ，則 a + b = 1
2
（ A ）19. 設 a 、 b 均為正數，若直線 L ax + by = 1通過點 −2 ，且與兩坐標軸所圍的三角形 的面積為 1，則 a − b = (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 （ A ）20. 設 m > 0，若 y = mx + 2 與 x + y = 的圖形恰交於一點，則 m = (A) 2 (B) 32 (C)1 (D) 1 。 2 (
:
1
, 2)
第 章 直線方程式 1
31
精選考題觀摩 （ B ）1. 設直線 L 的斜率為 2 且在 x 軸之截距為 3，請問下列哪一點在直線 L 上？ (A) (C) (D) 。 【95 統測】 (B) （ D ）2. 試問在坐標平面上，過點 − 且與直線 3x + 4y = 1 垂直的直線方程式為何？ (A) 4 x − 3 y = 9 (B) 4 x − 3 y = 10 (C) 3x − 4 y = 9 (D) 3x − 4 y = 10 。 【95 統測】 （ C ）3. 在坐標平面上，若 a > 0 且 b < 0 ，則點 ab b − a 在第幾象限內？ (A)一 (B)二 (C)三 (D)四。 【96 統測】 （ B ）4. 若在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，點 A 、 B 、 C 的坐標分別為 、 、 − ，則 D 點之坐標為何？ (A) (B) (C) (D) 。 【96 統測】 （ C ）5. 若 = 4 + 1 + 3 2 − 1 ，則 的最小值為何？ (A)3 (B)4 (C)6 (D)9。 【96 統測】 （ B ）6. 設 a 為實數，且直線 3a − 1 x − 2 y = a + 1 沒有通過第一象限，則 a 的可能範圍為何？ (A) a < −1 (B) −1 ≤ a ≤ 1 (C) 1 < a < 1 (D) a ≥ 1 。 【96 統測】 3 3 （ A ）7. 設 a 為實數，若函數 f x = a x + 3 − 9a + 2 在 x = −3 時有最大值 20，則 a = (A) −2 (B) −1 (C)1 (D) 2 。 【97 統測】 （ C ）8. 在坐標平面上，設 a 、b 為實數，若直線 y = ax + b 通過點 與 ，則 3a + 2b = (A)4 (B)5 (C)6 (D)7。 【97 統測】 （ A ）9. 在坐標平面上，設 a、b 為實數，若 A、B 兩點的坐標分別為 a 、 b ，且線段 AB 的垂直平分線為 2 x + y = 4 ，則 2a + b = (A)1 (B)2 (C) −1 (D) −2 。 【97 統測】 （ B ）10. 已知有一個拋物線形狀的拱橋，拱頂（ A 點）離水面 2 公尺時， 水面寬度（ BC 長）為 4 公尺，如圖所示，若水面再下降 1 公尺 後，則水面的寬度（ DE 長）為多少公尺？ (A) 2 5 (B) 2 6 (C) 4 2 (D) 4 3 。 【97 統測】 （ A ）11. 平面上兩點 A − 、 B 。若 C 點在 y 軸上，且滿足 AC = BC ，則 C 點坐標為 (B) (C) (D) 。 【98 統測 C】 何？ (A) ( 5, 5 )
( 6, 6 )
( 8, 8 )
( 7, 7 )
( 2,
1)
(
,
)
( 5, 2 )
(
4, 3 )
f
( x)
(1, 8 )
x
( 0, 2 )
( 2, 7 )
f ( x)
x
(
)
( )
(
)
2
( 0, 6 )
(
( 5,
1)
1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, − ⎟ 10 ⎠ ⎝
( 3, 9 )
( 3, 4 )
1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, − ⎟ 15 ⎠ ⎝
1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 15 ⎠
1 ⎞ ⎛ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 10 ⎠
,1)
( 3, 0 )
(
, 3)
(1, 3 )
1
32
第 1 章 直線方程式
（ C ）12. 下列敘述何者錯誤？ (A)直線 L : x + 2 y = 4 的斜率為 − 12 (B)方程式 x = 4 的圖形是 一條通過點 ，且平行 y 軸的直線 (C)通過點 A 、 B − 的直線方程式為 、 B x 、 C 為共線的三點時，則 x = 172 。 3 x − y − 1 = 0 (D)當點 A − 【98 統測 C】 （ D ）13. 已知直線 L : y = m x + b 及直線 L y = m x + b ，如圖所示，則下 列敘述何者正確？ (A) m < 0 且 b > 0 (B) m > 0 且 b < 0 【99 統測 A】 (C) m < 0 且 b > 0 (D) m > 0 且 b < 0 。 ( 4, 5 )
(
1
1
1,1)
( 2,
2 :
1
2
1
2
2
)
(
1
1
2, 3 )
( 3,11)
2
1
2
(1, 2 )
2
（ B ）14. 關於直線 L : x + 4 y = 28 ，下列敘述何者正確？ (A)斜率為 7 (B) y 截距為 7 (D) x 截距為 7。 【99 統測 C】 (C)通過點 （ D ）15. 設三直線 L : x + 3 y − 2 = 0 ， L : 3x + y + 2 = 0 ， L : x − y − 2 = 0 ，且 L 與 L 相交於 A 點，則過 A 點且與 L 平行的直線，不通過哪一個象限？ (A)第一象限 (B)第二象 限 (C)第三象限 (D)第四象限。 【99 統測 C】 （ A ）16. 設 a 、 b 、 c 為實數，且二次函數 y = ax + bx + c 的圖形如圖所 示，則點 P b − ac abc 在第幾象限？ (A)第一象限 (B)第二 象限 (C)第三象限 (D)第四象限。 【100 統測 C】 ( 7, 7 )
1
2
3
1
2
3
2
(
2
4
)
,
（ C ）17. 若直線 24 x − 7 y = 53 與兩直線 x = 0 、 x = 7 分別交於 A 、 B 兩點，則線段 AB 的長度 【100 統測 C】 為何？ (A) 247 (B) 537 (C) 25 (D) 53 。 （ B ）18. 設 P − 與 Q − ，若直線 L : ax + 3 y + b = 0 為 PQ 的垂直平分線，求 a + b 之值 為何？ (A) − 152 (B) −5 (C) −1 (D) 32 。 【101 統測 C】 （ D ）19. 在 xy 平面上， P 和 Q 為拋物線 y = x 上的兩點，若 P 和 Q 的 x 坐標分別是 −1 和 2 ， 則 P 和 Q 的距離為何？ (A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 3 2 。 【101 統測 C】 （ D ）20. 平面上四點 A 、 B a 、 C b − 、 D − ，其中 b 為正數，若 AB 與 CD 互 相平行，且 BD 與 AC 互相垂直，求 a + 2b 之值為何？ (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)10 。 【101 統測 C】 (
2, 4 )
( 2,
2)
2
(1,1)
(
, 2)
(
,
1)
( 0,
2)