4.
不等式 x 5 3 x 的解為
5.
1 若不等式 2 x 2 ax b 0 的解為 x 3 ，則 a b 2
6.
8.
4
。163
第 8 章 不等式及其應用
。 (2) x 2 6 x 9 0 的解為
0 的解為 x 1 或 x 4 。 (2) 3x 4 x 1 0 的解為 若任意實數 x 均使 kx 2(1)x6x5x 4k 恆為正數，則實數 k 的範圍為 2
2.
無解
。
試求下列不等式的解： 2
1 x 1 3
k 。 3
。
不等式 x 2 2 x 6 0 的解為 1 7 x 1 7 。
x 3 0 的解為 x 3 或 1 x 2 。 不等式 x 1 x 23. 試求下列不等式的解： (1) x 2 1 的解為
＊9.
。
8-2
試求下列不等式的解： (1) x 2 4 x 4 0 的解為 任意實數 1.
＊7.
x 1
1 x 1
。 (2) x 2 6 0 的解為 x 6 或 x 6 。
的解為 x x1 。 2x 5 30 x的解為 4 或 x 1，且x 2 。 不等式 x 1 x 44. x不等式
2
5.
＊10. 不等式
1 若不等式 2 x 2 ax b 0 的解為 x 3 ，則 a b 2
3x 1 6. 試求下列不等式的解： 2 的解為 1 x 3 。 (1) x 4 x 4 0 的解為 任意實數 x 1 2
＊7.
4
。
。 (2) x 2 6 x 9 0 的解為
若任意實數 x 均使 kx 2 6 x k 恆為正數，則實數 k 的範圍為
無解
k 3
。
。
1 2 x 3 或 1 x 2 。 8. 不等式 x 1 x 2 x 3 0 的解為 11. 設 a 、 b 均為正數，則 9 a 2b 的最小值為 a b ＊9. 不等式 x 1 x 4 x 2 0的解為 x 4 或 x 1，且x 2 。
。
2
3x 1
2 ＊10. 不等式2 1 x 3 。 3 x 2 y 的最大值 M 12. 設 x 、 y 均為實數，若 x x 14y2 的解為 5 ，則
5 2
。
1 2 11. 設 a 、 b 均為正數，則 a 2b 的最小值為 a b
9
12. 設 x 、 y 均為實數，若 x2 4 y 2 5 ，則 3 x 2 y 的最大值 M
5 2
13. 設 x 、 y 均為正數，若 xy 9 ，則 x 2 y 的最小值為
。
5 2 9。 13. 設 x 、 y 均為正數，若 xy ，則 x 2 y 的最小值為
6 2
14. 設 a 、 b 均為正數，若 ab b 12 3，則 14. 設 a3 、 均為正數，若 ，則的最大值為 a b 12ab ab 的最大值為 12 ＊15. 設 a 、 b 均為正數，若 a b 6 ，則 a 2b 的最大值為
32
＊15. 設 a 、 b 均為正數，若 ab 6 ，則 a 2b 的最大值為 16. 某物體由地面垂直拋出，經過 t 秒後，此物體的高度為 60t 5t
5 2
，最小值 m
。
6 2
。 。
12
32
，最小值 m
。 。 。
2 公尺，則此物體的高度在135 公 秒。 尺以上的時間為 6 17. 一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 2 平方公 289 2 公尺的出入口，如圖。此農夫所能圍成的最大面積為 尺。
16. 某物體由地面垂直拋出，經過 t 秒後，此物體的高度為 60t 5t 公尺，則此物體的高度在 135 公 8 尺以上的時間為 秒。 6 17. 一農夫想用 66 公尺長之竹籬圍成一長方形菜圃，並在其中一邊正中央留著寬 平方公 289 2 公尺的出入口，如圖。此農夫所能圍成的最大面積為 尺。
98 第 5 章 式的運算
4
多項式的相等 ☆
已知 2 x 2 b 2 x 4 ax3 c 1 x 2 d ，試
若 5 x 2 3x 2a 1 bx 2 cx 7 ，試求 a 、 b 、 c 的值。
求 a 、 b 、 c 、 d 的值。
由多項式的相等 5 b ， 3 c ， 2 a 1 7 a 4 ， b 5 ， c 3
由多項式的相等 a 0 ， c 1 2 ，b 2 0 ，d 4 a 0 ，b 2 ，c 1 ， d 4
6
多項式的相等 ☆☆
設 2 x 3 4 x 2 x 3 a x 1 b x 1 3
設 ax 3 bx 2 cx d 2 x 1 3 x 1
2
3
c x 1 d ，則 a b c d ？ [98 統測 A]
2
4 x 1 5 ，試求 a b c d ？ [100 統測 D]
令 x 0 代入： 0003 abcd abcd 3
第 5 章 式的運算
令 x 1 代入： abcd 0005 5
12
99
綜合除法的應用 ☆☆☆
若 f x x 3 2 x 3 a x 1 b x 1 3
若 f x x 3 x 4 a x 1 b x 1
2
3
2
c x 1 d ，試求：
c x 1 d ，試求：
(1) a 、 b 、 c 、 d 的值 (2) f 1.02 的近似值到小數點後第 2 位（四捨
(1) a 、 b 、 c 、 d 的值 (2) f 0.99 的近似值到小數點後第 2 位（四
五入） 。
捨五入） 。
1 0 2 3 1 1 1 1
1 0 1 4 1 1 1 0
1 1 1 1 2
1 1 1
0 4 2 d
1 2 1
2 c
1 2 1 1
,3
a
b
2 d
1 c
1 , 3
(1) a 1 ， b 3 ， c 1 ， d 2
a b (1) a 1 ， b 3 ， c 2 ， d 4
(2) f x x 1 3 x 1 x 1 2
(2) f x x 1 3 x 1 2 x 1 4
3
2
3
f 1.02 0.02 3 0.02 0.02 2 3
略 ≒2.02
3
略
略 ≒ 3.98
13
2
略
除法原理 ☆☆☆
？ 3 1，則 x3 8 x 2
設 x
2
f 0.99 0.01 3 0.01 2 0.01 4
2
x
3 1 ，則 x3 6 x 1 ？
設 x x
3 1
[96 統測]
3 1
x 1 3 x 1 0 3 x2 2 x 2
x 1 3 x 1 3 x2 2x 2 0
∵ x3 8 x 2 x 2 2 x 2
∵ x3 6 x 1 x 2 2 x 2
2
x 2 …… 2 x 2
∴ x3 8x 2 x2 2x 2 x 2 2 x 2
2
||
0
0 2
x 2
3 ∴ x3 6x 1 x 2 2 x 2 x 2 3
3 1 2 2 3
實力測驗１
||
0
3
5
8
第 章 聯立方程式
影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看
QRcode (
Chapter
6
123
6
)
聯立方程式
趨勢分析
歷年統測試題數：（ 至 年不在統測範圍） 年度 年 年 年 98
95
題數
1
主題簡介 最常考題型 次重要題型 綜合分析
100
96
1
97
1
98
年
0
99
年
100
0
年
0
101
0
年
102
年
1
二階與三階行列式、聯立方程式的解法、克拉瑪公式。 行列式的運算與化簡、行列式方程式的解。 聯立方程式的解，克拉瑪公式的應用。 本單元的命題以「三階行列式」的運算、化簡與方程式為主。
6-1
行列式
行列式的意義 重點整理 二階行列式： 形如 ac db 的式子稱為「二階行列式」，且規定 ac db = ad − bc 。 三階行列式： a b c 形如 d e f 的式子稱為「三階行列式」，且規定 1.
2.
g h i
a b c d e f = g h i
。
aei + dhc + gfb − ceg − bdi − ahf
6
124
第 6 章 聯立方程式
行列式的定義 ☆
1
試求下列的值：
試求下列的值： 1 2 (1) 4 5 (1) (2)
−1 0 1
(2)
1 2 3 2 1 3
。
3 4 (1) 1 2
所求 = 1× 5 − 4 × 2 = −3 所求 = −1 × 2 × 3 + 1×1×1 + 2 × 3 × 0 (
(1)
)
(2)
−1× 2 × 2 − 0 × 1× 3 − ( −1) × 1× 3 = −6
。
所求 = 3 × 2 − 1× 4 = 2 所求 = 1× 4 × −2 + −2 × 5 × −1 + 0 ×1× 2 (
)
(
)
(
)
− ( −1) × 4 × 0 − 2 × ( −2 ) × ( −2 ) − 1× 5 × 1 = −11
行列式方程式 ☆☆
2
設
(2)
1 2 −1 −2 4 1 0 5 −2
1 3 5 x 1 3 = 49 5 x 1
的解為α 與 β ，則 α + β = ？
原式⇒ 5x − 6x + 21 = 49 ⇒ 5x − 6 x − 28 = 0 兩根和： α + β = − −56 = 65 2
2
設
1 4 6 x 1 4 = 64 6 x 1
的解為α 與 β ，則αβ = ？
原式⇒ 6x − 8x + 61 = 64 ⇒ 6x − 8x − 3 = 0 兩根積： αβ = −63 = − 12 2
2
三階行列式的降階 重點整理 三階行列式可對某一行（列）降成二階行列式展開。 1.
a b c e f d f d e b c a c a b b c a c a b d e f =a −b +c = −d +e −f =g −h +i h i g i g h h i g i g h e f d f d e g h i
（依第一列展開）
=a
（依第二列展開）
（依第三列展開）
e f b c b c d f a c a c d e a b a b −d +g = −b +e −h =c −f +i h i h i e f g i g i d f g h g h d e
（依第二行展開） （依第三行展開） （依第一行展開） + − + a b c 其中係數的正負由 − + − 決定， a 的二階行列式取法為 d e f 。 + − +
2.
若某行（列）有 個 ，則對其降階可以簡化計算。如： 2
0
g h i
5 7 9 4 6 0 4 6 =5 3 8 0 3 8
，
5 7 9 4 6 4 0 6 = −7 3 8 3 0 8
。
第 章 聯立方程式
125
6
行列式的降階 ☆
3
設
1 2 3 0 1 4 1 4 0 4 0 1= + a× + 3× 1 3 5 3 5 1 5 1 3
=
0 1 2 3 2 3 − 4× + b× 1 3 1 3 0 1
試求 a 、 b 的值。
設 ，
2 4 6 5 7 1 7 1 5 1 5 7 = 2× − 4× + a× 8 9 3 9 3 8 3 8 9
= −4 ×
1 7 2 6 2 6 + b× − 8× 3 9 3 9 1 7
試求 a 、 b 的值。
原式為第一列降階展開 與第一行降階展開 故 a = −2 ， b = 5
，
原式為第一列降階展開 與第二行降階展開 故a = 6 ，b = 5
行列式的降階 ☆
4
試求下列 a 、 b 的值： 2 0 0 5 7 (1) 8 5 7 = a × 4 9 6 4 9 (1)
(2)
0 5 2 5 2 (2) 3 9 8 = b × 7 3 0 7 3
試求下列 a 、 b 的值： 。
原式為第一列降階展開 故a =2 原式為第一行降階展開 故 b = −3
0 4 0 5 6 (1) 5 7 6 = a × 1 3 1 2 3 (1)
(2)
0 5 2 5 2 (2) 0 3 4 = b × 3 4 7 1 6
。
原式為第一列降階展開 故 a = −4 原式為第一行降階展開 故b = 7
行列式的性質 重點整理 二階行列式的性質： 行列互換，其值不變： 13 24 = 12 43 。 1.
(1)
(2)
兩行（列）對調，其值變號： 13 24 = − 24 13 ，
(3)
任一行（列）可以提出同一個數： 155 24 = 5 13 24 ， 53 104 = 5 13 24 。
(4)
兩行（兩列）成比例，其值為 ： 13 155 = 0 ， 15 102 = 0 。
(5)
(6)
1 2 3 4 =− 3 4 1 2
0
某一行（列）為 ，其值為 ： 00 24 = 0 ， 03 04 = 0 。 將某一行（列）的 k 倍加到另一行（列） ，其值不變： × 0
0
5
1 2 1 2+5 = 3 4 3 4 + 15
，×
5
1 2 1 2 = 3 4 3 + 5 4 + 10
。
。
6
126
第 6 章 聯立方程式
對某一行（列），可拆成兩個行列式的和： 13 24 = 12++01 42 = 12 42 + 10 42 。 三階行列式的性質： 與二階行列式的性質相同。 (7)
2.
行列式的性質 ☆☆
5
若
a 1 d b 1 e =3 c 1 f
5a −2 d (1) 5b −2 e 5c −2 f (1)
所求
若
，試求下列的值： (2)
2 8a 2d 3 12b 3e −5 −20c −5 f
。
a b c d e f =5 1 1 1
所求
a 1 d = 5 × ( −2 ) × b 1 e c 1 f
(1)
所求
(2)
a b = 4 × 3× d e 1 1
12a 24b 6c 2d 4e f
c f 1
= 4 × 3 × 5 = 60
1 a = 2 × 3 × ( −5 ) × 4 × 1 b 1 c 1 a = −120 1 b 1 c
−6 −12 −3
4a 4b 4c (1) d e f 3 3 3
= 5 × ( −2 ) × 3 = −30 (2)
，試求下列的值：
d e f
(2)
所求 =
1 1 d
1 1 = −144 a b d e
d a 1 d e = 120 b 1 e f c 1 f
1
c ( −3 ) × 6 × 2 × 4 × a b e
f
1 a b c = −144 d e 1 1 f
= −144 × 5 = −720
= 120 × 3 = 360
行列式的化簡 ☆☆☆
6
試求下列的值： 11 33 43 (1) 13 39 49 15 45 57 (1)
11 9 7 (2) 22 19 15 55 47 35
前兩行成比例，所求 =0 × −7 (
試求下列的值： 。
19 23 28 (1) 24 25 26 48 50 52 (1)
)
(2)
所求
1 0 0
= 11 × 2 1 1 5 2 0
= 11 ×
1 1 = −22 2 0
後兩列成比例，所求 =0 × −10 (
× ( −9 )
1 9 7 = 11 × 2 19 15 5 47 35
70 −33 70 (2) 40 −20 41 80 −40 81 )
× ( −5 )
(2)
所求
7 33 70 = −10 × 4 20 41 8 40 81 7 −2 0 0 1 8 0 1
= −10 × 4
= −10 × 2 ×
4 1 = 80 8 1
。
c f 1
。
第 章 聯立方程式 6
行列式的化簡 ☆☆☆
7
若
1+ x 1 1 1 1+ x 1 = 0 1 1 1+ x
，試求 x 的值。
若
把後兩行加到第一行 3+ x 1 1 3 + x 1+ x 1 =0 3+ x 1 1+ x
x +1
2
1 1
x+2
3 3
2
x+3
x+6
2
x+6
x+2
3 3
x+6
2
x+3
+
+
1 0 0 x 0 ) 1 0 x
(
)
1 2 3 3 ( x 6) 1 x 2 1 2 x 3
=0
⇒ +
=0
⇒ 3 + x x = 0 ⇒ x = −3 或 (
=0
× ( −3) × ( −2 )
1 1 1 1 (3 x ) 1 1 x 1 1 1 x
⇒ 3+ x 1
，試求 x 的值。
把後兩行加到第一行
× ( −1) × ( −1)
⇒ +
=0
127
2
+
1 0 0 x 0 ) 1 0 x
⇒ x+6 1 (
+
=0
=0
⇒ x+6 x =0 ⇒ x = −6 或 (
0
)
2
0
行列式的分解 ☆☆
8
若
1 a a2 1 b b 2 = 16 1 c c2
且
1 a a3 1 b b3 = 240 1 c c3
1 a + 1 a 2 ( a + 1) 1 b + 1 b 2 ( b + 1) = 1 c + 1 c 2 ( c + 1)
？
所求第一行乘 −1 加到第二行 (
)
1 a a ( a + 1) 1 a a 3 + a 2 1 b b 2 ( b + 1) = 1 b b3 + b 2 1 c c 2 ( c + 1) 1 c c 3 + c 2 2
1 a a 2 1 a a3 = 1 b b 2 + 1 b b3 1 c c 2 1 c c3
= 16 + 240 = 256
，則
若
1 0 x 9 3 y =5 4 2 z
所求
，則
1 0 =9 3 4 2
=5+ = 23
1 0 0 y + 9 3 0 4 2 6 z
x
3 0 2 6
= 5 + 18
1 0 x 9 3 y = 4 2 z+6
？ 6
128
第 6 章 聯立方程式
實力測驗１ 1.
試求下列的值： 15 73 =
2.
已知 4x 13 = −1 ，則 x 3+ 1 x 5−1 =
3.
4.
5.
試求下列的值：
7.
8.
。
10
，
−3
3 −2 1 2 −1 0 = −1 3 2
。
7
設 若
2 3 7 3 7 2 7 2 3 5 6 4 6 4 5 = −4 × + 5× + b× 4 5 6 = 2× + a× + 7× 1 8 9 8 9 1 1 8 9 8 9 1 9 1 8
的解為α 與 β ，則α + β =
，b =
−3
若
與
若
a d 1 b e 1 = −2 c f 1
3a 2d 1 3b 2e 1 = 3c 2 f 1
，則
試求下列的值：
9.
若
x −1 1 1 1 x −1 1 = 0 1 1 x −1 1 a p 1 b q =2 1 c r
且
3 2 6 2 6 4 0 0 = b× 5 7 1 5 7
21 22 23 24 25 26 = 27 28 29
，則 x =
1 a x 1 b y =3 1 c z
，則
，αβ =
−1
。
−2
，則
。
−6
3 0 0 2 6 4 2 6 = a× 5 7 1 5 7
＊ 若 10.
1 2 1 2 3 1= 1 1 3
。
1
1 −1 2 x 1 −1 = 3 2 x 1
a=
6.
sin10° − cos10° ， cos10 = ° sin10°
−8
，則 a = ，
−12
0
−1
，
，b =
3
2a 8 2 d b 4 e = 3c 12 3 f
15 5 9 30 11 21 = 45 17 31
1 a p − 2x 1 b q − 2y = 1 c r − 2z
−4
。
。
48
−30
或2 。
−4
。
。
第 章 聯立方程式
聯立方程式與克拉瑪公式 6
6-2
二元一次方程組的克拉瑪公式
重點整理
在 ⎧⎨aa xx ++bb yy==cc 之中，令 Δ = aa bb ， Δ 1
⎩
(1)
(2) (3)
2
129
1
1
2
1
2
2
=
1
x
2
c1 b1 c2 b2
，Δ
y
當 Δ ≠ 0 時，方程組恰有一組解 x = ΔΔ ， y = ΔΔ 。 當 Δ = Δ = Δ = 0 時，方程組有無限多組解。 當 Δ = 0 ，而 Δ ≠ 0 或 Δ ≠ 0 時，方程組無解。 x
x
=
a1 c1 a2 c2
，
y
y
x
y
聯立方程式的解 ☆
1
試解方程組 ⎧⎨⎩3xx++2yy == −29 。 ⎧x + 2 y = 2 ⎨ ⎩3 x + y = −9
1 2
試解方程組 ⎧⎨⎩32xx ++ 23 yy == 14 。 ⎧2 x + 3 y = 1 ⎨ ⎩3 x + 2 y = 4
⇒ 5 y = 15 ⇒ y = 3
×3 − y =3 x = −4
1 2
， ×2 ⇒ ⎧⎨66 xx ++ 94 yy == 38 34 ⎩ − 得 5 y = −5 ⇒ y = −1 y = −1 代入 得 2 x = 4 ⇒ x = 2 故 x = 2 ， y = −1
代入 得 x = −4 故 ，y =3
×3
聯立方程式的解 ☆☆
2
試解方程組
⎧5 ⎪x + ⎪ ⎨ ⎪5 − ⎪⎩ x
3 y
2 y
= 21 = 11
。
令 X = 1x ， Y = 1y
原式 ⇒ ⎧⎨55 XX +− 32YY == 1121 21
⎩
− ⇒ 5Y = 10 ⇒ Y = 2 Y =2 5 X = 15 X
代入 得 故 x = 13 ， y = 12
⇒ =3
試解方程組
⎧1 1 ⎪x + y = 2 ⎪ ⎨ ⎪ 3 − 5 = −2 ⎪⎩ x y
令 X = 1x ， Y = 1y
。
原式 ⇒ ⎧⎨3XX+−Y5=Y 2= −12 2 ⎩ ×3 − ⇒ 8Y = 8 ⇒ Y = 1 Y = 1 代入 得 X = 1 故 x =1， y =1
6
130
第 6 章 聯立方程式
聯立方程式的解 ☆☆
3
若 ⎧⎨⎩2axx +− byy ==7−3 與 ⎧⎨⎩32xax++yby= 8= 0 有共同解，試 求 a 、 b 的值。 ⎧2 x − y = 7 ⎨ ⎩3 x + y = 8
的解為共同解
若 ⎧⎨⎩axx −+2byy ==313 與 ⎧⎨⎩3axx −+ byy ==167 有相同的解，試 求 a 、 b 的值。 ⎧x − 2 y = 3 ⎨ ⎩3x + y = 16
⇒ x = 3 ， y = −1 則 ⎧⎨36aa −− bb == −03 ⇒ a = 1 ， b = 6
⇒ x = 5 ， y =1 則 ⎧⎨55aa +− bb == 137 ⇒ a = 2 ， b = 3
⎩
⎩
克拉瑪公式 ☆
4
在 ⎧⎨⎩cxax ++ dyby == 43 之中，若 ac db = 2， 34 db = −8 ， a 3 =6 c 4
，試求 x 、 y 的值。
由克拉瑪公式 3 4 x= a c
b d −8 = = −4 b 2 d
重點整理 在
(1) (2)
d1 b1 c1 d 2 b2 c2 d3 b3 c3
，
a c y= a c
在 ⎧⎨⎩cxax ++ dyby == 12 之中，若 ac db = 3 ， 12 db = 6 ， a 1 = −12 c 2
，試求 x 、 y 的值。
由克拉瑪公式
3 4 6 = =3 b 2 d
1 2 x= a c
b d 6 = =2 b 3 d
三元一次聯立方程式的克拉瑪公式
⎧a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⎪ ⎨a2 x + b2 y + c2 z = d 2 ⎪a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3
Δx =
的解為相同的解
，Δ
y
=
之中，令 Δ = a1 d1 c1 a2 d 2 c2 a3 d3 c3
a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3
，Δ
z
=
，
a1 b1 d1 a2 b2 d 2 a3 b3 d3
，
當 Δ ≠ 0 時，方程組恰有一組解 x = ΔΔ ， y = ΔΔ ， = ΔΔ 。 當 Δ = 0 時，方程組有無限多組解或無解。 當三元一次齊次方程組有異於 的解，則有無限多組解。 x
( 0, 0, 0 )
y
z
z
，
a c y= a c
1 2 −12 = = −4 b 3 d
第 章 聯立方程式 6
克拉瑪公式 ☆☆
5
利用克拉瑪公式解 Δ=
1 1 1 2 3 1 4 9 1 1
⎧x + y + z = 1 ⎪ ⎨2 x + 3 y + z = 4 ⎪4 x + 9 y + z = 16 ⎩
⎧x + y + 2z = 3 ⎪ ⎨2 x − y + z = 6 ⎪3 x + 5 y + 10 z = 11 ⎩
利用克拉瑪公式解
。
= 3 + 18 + 4 − 12 − 9 − 2 = 2
Δ=
1 1
1 2 3
1 2 −1 1 5 10
131
。
= −10 + 20 + 3 + 6 − 5 − 20 = −6
3
1
2
16 9 1
11
5
10
Δy =
1 1 1 2 4 1 4 16 1
Δy =
1 3 2 2 6 1 3 11 10
= 60 + 44 + 9 − 36 − 11 − 60 = 6
Δ =
1 1 1 2 3 4 4 9 16
Δ =
1 2 3
= −11 + 30 + 18 + 9 − 30 − 22 = −6
Δ x = 4 3 1 = 3 + 36 + 16 − 48 − 9 − 4 = −6
z
Δ x = 6 −1 1 = −30 + 60 + 11 + 22 − 15 − 60 = −12
= 4 + 32 + 4 − 16 − 16 − 2 = 6
= 48 + 18 + 16 − 12 − 36 − 32 = 2
Δ x −6 = = −3 Δ 2 Δ 2 z= = =1 Δ 2 x=
z
， y = ΔΔ = 62 = 3 ，
1 3 −1 6 5 11
Δ x −12 = =2 Δ −6 Δ −6 z= = =1 Δ −6 x=
y
z
， y = ΔΔ = −66 = −1 ， y
z
齊次方程組
重點整理
若 ⎧⎨aa xx ++bb yy++cczz==00 ，其中 x 、 y 、 不全為 0，則 ⎩
1
1
2
2
x: y:z =
1
z
2
b1 c1 c1 a1 : b2 c2 c2 a2
:
a1 b1 a2 b2
。 齊次方程組 ☆☆
6
若 ⎧⎨⎩2x x−+24y y+−z5=z0= 0 ， 其 中 xyz ≠ 0 ， 試 求 x y z。 :
6
:
所求 = −42
−5 −5 2 2 1
:
1
4 1 1 −2
= ( −6 ) : ( −7 ) : ( −8) = 6:7 :8
:
若 ⎧⎨⎩52xx −− 32yy −+2zz==00 ， 其 中 xyz ≠ 0 ， 試 求 x y z。 :
:
所求 = −−23
1 1 2 2 −2 : : −2 −2 5 5 −3
= 7:9: 4
132
第 6 章 聯立方程式
實力測驗２ 1. 2.
若 2x + 6y = 1 且 4x − 3y = −3 ，則 x = −2 已知 x + 2 y − 7 + 2 x − 3 y + 7 = 0 ，則 x = ⎧2 x + y − 5 = 0 ⎪ ⎨x + y − 2 = 0 ⎪x − 3y + k = 0 ⎩
，y=
。
3
，y=
1
。
3
−6
。
，b =
−1
3.
若方程組
4.
若 ⎧⎨⎩2xax− 2+yby= −=39 與 ⎧⎨⎩axx ++yby= 6= 3 有共同解，則 a =
5.
在 ⎧⎨⎩cxax ++ dyby == 65 之 中 ， 若 ac db = 2 ， 56 db = 6 ， ac 56 = 4 ， 則 x = y= 2 。 若方程組 ⎧⎨⎩axx +−by2 y==5 c 有無限多組解，則 a4 b1 = 6 。
6.
只有一組解，其中 k 為實數，則 k = 2
。
＊7. 若 ⎧⎨aa xx ++bb yy==cc 的解為 x = 4 、 y = 1 ，則 ⎧⎨22aa xx ++bb yy==33cc 的解為 x = ⎩ ⎩ y= 3 。 8.
在
1
1
2
2
1
2
⎧a1 x + b1 y + c1 z = d1 ⎪ ⎨a2 x + b2 y + c2 z = d 2 ⎪a x + b y + c z = d 3 3 3 ⎩ 3
則x+ y+ z =
⎧x − y + z = 4 ⎪ ⎨ x + 2 y + 3z = 3 ⎪2 x − y + z = 6 ⎩
4
之中， 。
a1 b1 c1 a2 b2 c2 = 3 a3 b3 c3
1
1
2
2
d1 b1 c1 d 2 b2 c2 = 1 d3 b3 c3
，
6
，
2
、
、
a1 b1 d1 a2 b2 d 2 = 7 a3 b3 d3
，
在
10.
若 ⎧⎨⎩2x x−+2 yy +− zz == 00 ，其中 xyz ≠ 0 ，則 x y z = 1: 3 : 5 。 甜在心水果店推出 3 種綜合水果禮盒：第一種每盒有 3 顆蘋果與 3 顆水梨，售價 210 元；第二 種每盒有 4 顆蘋果與 4 顆石榴，售價 260 元；第三種每盒有 5 顆水梨與 5 顆石榴，售價 375 元。 則蘋果、水梨、石榴每顆的售價分別為 30、40、35 元。 :
x
=
:
−10
，x=
a1 d1 c1 a2 d 2 c2 = 4 a3 d3 c3
9.
11.
之中， Δ = −5 ，則 Δ
、
1
3
2
。
第 章 聯立方程式 6
133
綜合實力評量 綜合實力評量
一、基礎題
（ B ）1. 已知 a 、 b 為整數且 b3 a5 = 4 ，試求 a + b 的值？
(A)11 (B)12 (C)13 (D)14。
° sin15° （ C ）2. 試求行列式 cos15 = sin15° cos15°
3 2
(D)1。
(B)
−a c = −6 b −d
(A)0 (B) 1 (C) 2
（ D ）3. 設 ac db = 6 ，則下列何者正確？ (D)
a a + 5b = 30 c c + 5d
(A)
a c = −6 b d
(A)120 (B)100 (C)90 (D)80。
（ B ）5. 設 ac db = 3 ，則 33ca −− 22db 44ac =
(A)12 (B)24 (C) −12 (D) −24 。
997 （ C ）6. 試求行列式 996 = 998 999
(A)2 (B)0 (C) −2 (D) −4 。
1 2 1 5 5 1 = 4 −2 −4
(A)0 (B)10 (C)20 (D)40。
（ D ）8. 若
2 0 1 −1 x 2 = 1 3 1 3
（ C ）9. 設
a b c x y z =3 p q r
（ A ）10. 設
a b c b c a =5 c a b
5a 5c = 30 5b 5d
。
（ A ）4. 設 ac db = 5 ，則 4ca 246db =
（ A ）7. 試求行列式
(C)
，則 x =
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2。 6
，則
2a 2b 2c 2x 2 y 2z = 2 p 2q 2r
，則
a+b+c b c a+b+c c a = a+b+c a b
(A)6 (B)12 (C)24 (D)48。 (A)5 (B)10 (C)15 (D)20。
二、進階題 （ B ）11. 設α 、 β 為 x
2
+ 2x −1 = 0
的兩根，試求 −αβ+−11 αβ ++ 11 =
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8。
134
第 6 章 聯立方程式
（ D ）12. 若
x 1 2 1 x 2 1 2 x
(C)
f (
展開後為多項式
2) = 0
x
（ A ）13. 若 x + 2
f (
5) = 0
x +1 x + 2 x
x +1 x + 2
（ A ）14. 若
(D)
2 −1 a 3 0 2 =1 1 1 b
x +1
=0
x
，則
，則下列何者錯誤？
2
1 z z
2
=
f ( x)
=3
(B)
1 =0
f ( )
(A) −1 (B)0 (C)1 (D)2。
2 −1 a + 1 3 0 4 = 1 1 b
y
(A) deg
。
，則 x =
1 x x2
（ D ）15. 設 xyz ≠ 0 ，則 1 y
f ( x)
(A) −2 (B) −1 (C)0 (D)1。
(A) 3xyz (B) ( x + y ) ( y + z ) ( z + x )
(C) ( x − y ) ( y − z ) ( x − z ) (D) ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) 。
（ D ）16. 已知 ⎧⎨⎩αβ == 2xx++23yy，若令 ⎧⎨ xy == acαα ++ bdββ ，則 b + c =
(A) −7 (B) −6 (C) −5 (D) −4 。
⎩
（ C ）17. 若方程組 (D)7。
10 ⎧ 5 ⎪ x + y + x − y = −1 ⎪ ⎨ ⎪ 2 − 3 =1 ⎪⎩ x + y x − y
的解為 x = α ， y = β ，試求 2α + β =
(A)1 (B)3 (C)5
（ B ）18. 甲、乙兩人同解方程組 ⎧⎨⎩ax2 x ++ 4byy == 55 ，甲看錯 a ，解得 x = 2 ， y = 1；乙看錯 b ，解得 x = −1 ， y = 2 。試問方程組的正確解為何？ (A) x = 3 ， y = 1 (B) x = 3 ， y = −1 (C) x = −3 ， y = 1 (D) x = −3 ， y = −1 。 （ B ）19. 若
⎧kx + y + z = 1 ⎪ ⎨ x + ky + z = 2 ⎪ x + y + kz = 3 ⎩
恰有一組解答，則
(A) k = 1 或 k = −2
(B) k ≠ 1 且 k ≠ −2
，則 xxy ++ yyz ++ zxz =
(A) 1 (B) 1 (C) 1
(C) −2 ≤ k ≤ 1 (D) k 為任何實數。
（ C ）20. 設 xyz ≠ 0，若 4x − 3 y − 3z + (D) 1 。 4
(x
2
− 2y − z) = 0
2
2
2
7
6
5
第 章 聯立方程式 6
135
精選考題觀摩 （ C ）1.
x +1 x + 3 x + 5 x + 3 x + 5 x +1 x + 5 x +1 x + 3
（ A ）2. 解聯立方程式 （ D ）3. 滿足
=0
，則
⎧ x − 3 y + z = −6 ⎪ ⎨ x − 2 y − 3z = −22 ⎪ x + y − 13z = −22 ⎩
1+ x 1 1 1 1+ x 1 = 0 1 1 1+ x
（ D ）4. 解方程組
(A) x = 1 (B) x = −1 (C) x = −3 (D) x = −5 。
之所有 x 解的和為
⎧ 1 1 2 ⎪x+ y + y + z = 3 ⎪ ⎪ 1 1 5 + = ⎨ ⎪y+z z+x 6 ⎪ 1 1 5 + = ⎪ ⎩z + x x+ y 6
(A)80 (B)104 (C)210 (D)240。
，可得 y =
(A)0 (B) −1 (C) −2 (D) −3 。
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4。
，則 x + y + z =
（ A ）5. 設聯立方程組 ⎧⎨⎩2axx ++ by3 y == 4−1 與 ⎧⎨⎩32xax−+2byy ==5−1 有共同解，求 a + b 之值為 (B)14 (C) 4 (D) −4 。 （ C ）6. 若
1 1 1 a+ =b+ = c+ = 2 a b c
，則行列式
(C) 4abc (D) 8abc 。 x
（ A ）7. 若
1 2 x −1 2 4 = 0 x−2 4 7
（ A ）8. 設
1 2 3 x 1 2 = 36 3 x 1
，則 x =
（ B ）10. 試求
1 0 x 2x 1 −2 3 4 = 1 −x 1 x −1
a a
b
c
b +1 c b c2 + 1 2
的值為
(A)0 (B) abc
(A) −1 (B)0 (C)1 (D)2。
的解為 a 與 b ，則 a + b =
（ D ）9. 設 k 為自然數，若行列式
a2 + 1
【92 統測】
(A) 4 (B) 4 (C) 20 (D) 28 。【93 統測】 3
1− k 2 3 1 2−k 3 = 0 1 2 3− k
之解為何？
(A) −14
3
，則 k =
3
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6。
【94 統測】
(A) 2 (B) − 2 (C) 7 (D) − 7 。【94 統測補】 7
7
2
2
6
136
第 6 章 聯立方程式
（ C ）11. 設 a ， b ， c 為實數，若
1 a a2 1 b b 2 = 12 1 c c2
(B)144 (C)168 (D)1872。 （
（
（
C
A C
）12.
）13.
）14.
（
A
D
）15.
1 c c3
，則
1 a + 1 a 2 ( a + 1) 1 b + 1 b 2 ( b + 1) = 1 c + 1 c 2 ( c + 1)
(A)13
【95 統測】
d 2a −3 4d e = 2 ，則 2b −3 4e = (A)120 (B) −120 (C)240 (D) −240 。 f −10c 15 −20 f
a 1 若b 1 c1
【96 統測】
1 10 20 行列式 5 50 1 = 10 1 5
(A) −992 (B) −1002 (C) 992 (D)1002 。
【97 統測】
2
9 5 若 a ，b 為方程式 1 + 2 x 7 2 = 0 的二根，則 a 2 + b 2 = x
x
（
且
1 a a3 1 b b3 = 156
(A)9 (B)11 (C)13 (D)15。
3 1
2
4 6 設 α 、 β 為 x + 1 2 4 = 0 的兩個根，則 α + β = x2 + 2 5 7
【98 統測 B】
(A) − 1 (B) 1 (C) 3 (D) 5 。 2
2
2
2
【99 統測 B】
⎧3 x − 7 y = 11 ）16. 設 二 元 一 次 方 程 組 ⎨ ，則其解為何？ ⎩3 y − 7 x = 11 (C) x = 6 ， y = 1 (D) x = − 11 ， y = − 11 。 4 4
(A) 無 解 (B) 無 限 多 組 解 【100 統測 B】
（
B
）17. 某餐廳有 A 、 B 及 C 三種套餐，今志志訂 2 個 A 套餐，2 個 B 套餐，總共 2000 元； 敏敏訂 3 個 A 套餐，1 個 B 套餐，總共 2400 元；耀耀訂 1 個 A 套餐，1 個 B 套餐，2 個 C 套餐，總共 3200 元。若訂 6 個 A 套餐，4 個 B 套餐及 2 個 C 套餐，則總共為多 少元？ (A)7400 (B)7600 (C)7800 (D)8000。 【100 統測 B】
（
D
）18. 已知方程組
x + y +1
(C) 0 (D)1。 （
C
）19.
,
B
）20.
2x −1 y + 1 = 的解為 ( a, b ) ，求 a − b 之值為 5 2
1 2 3 求 二 次 方 程 式 −1 −6 x = 0 的 解 集 合 為 1 x 4
(D) {−1 − （
4
=
}。
2
(A) {
}
1, 2
(B) {−
(A) −2 (B) −1 【102 統測 B】 }
1, 2
(C) {
1,
−2}
【102 統測 B】
13 16 x + 2 13 16 若 三 階 行 列 式 11 14 17 之 值 為 3 ， 則 三 階 行 列 式 11 14 17 之 值 為 何 ？ 12 15 18 12 15 18 x
(A) −9 (B) −3 (C) 3 (D) 9 。
【102 統測 C】