突破數學B複習講義

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3

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1

直線方程式

1

影音解題 蘋果系列行動裝置無法觀看 QRcode

統測趨勢分析>> 歷年統測試題數 年度 題數

92 年 93 年 94 年 95 年 96 年 97 年 98 年 99 年 100 年 101 年 4

6

4

5

6

4

3

一、 利用距離公式，求平面上兩點間的距離 二、 利用中點公式，求平行四邊形的第四頂點坐標 三、 利用分點公式，求內、外分點坐標、重心坐標 四、 一次、二次函數求值計算及函數圖形的判別 五、 求二次函數圖形的頂點坐標、最大值、最小值 考情分析 六、 求出直線的斜角與斜率 七、 A 、 B 、 C 三點共線（無法構成一個三角形），則 m = m 八、 利用點斜式、兩點式、斜截式、截距式求出直線的方程式 九、 求平分三角形面積之直線方程式 十、 求垂直或平行於已知直線的直線方程式 十一、 求點到直線之距離、兩平行線間的距離 AB

3

5

4

BC

直角坐標

1-1

焦點一 直角坐標 1. 象限與坐標的正負：

直角坐標平面上，水平坐標軸 x 與垂直坐標軸 y ，將坐標平面分成四個象限。 說明 1 x 軸與 y 軸的交點為 O ，稱為直角坐標平面的原點。 2 坐標軸上的點不屬於任一象限。 x 軸={ a a ∈ »} ， y 軸 = { b b ∈ »} 。 例 若 a > 0 ， b > 0 ，則點 P a b 位於第一象限 若 a > 0 ， b < 0 ，則點 P a b 位於第四象限

( )

( )

(

, 0) |

( 0, ) |

(

,

)

(

,

)

2. 點與坐標：

坐標平面上，任意一點 P 所對應的「數對」為 a b ，稱為 P 點的 「坐標」。 」。 1 a 是 P 點的「 x 坐標（橫坐標） 2 b 是 P 點的「 y 坐標（縱坐標） 」。 (

,

)

( ) ( )

單元 1 直線方程式

1

補 給站

平面上任意一點都有一個（且恰有一個）有序「數對」與其對應；反之，每一個有序數 對，也都可以在平面上找到與之對應的點，即每一個數對代表平面上的一個點。 這樣就得到一個「平面直角坐標系」或稱「直角坐標系」。

判別點所在象限

1

已知 Q a b 位於第二象限，則點 P ab a − b 若點 A a + b a 在第二象限，則點 P a b 在 b 在第幾象限？ 第幾象限？ 解 ∵ Q a b 位於第二象限 (

,

)

(

(

,

)

,

(

<0 ⇒ ⎧⎨ba >< 00 ⇒ ⎧⎨ab ⎩a − b < 0 ⎩ ∴ 點 P ab a − b 在第三象限內

(

⇒

)

,

,

2⎞

⎟ ⎠

解 ∵ A a + b a 在第二象限

)

(

⎛ ⎜ ⎝

)

,

,

)

⇒ b<0 ⇒

⎧a + b < 0 ⎨ ⎩a > 0

∴ 點 P ba b 在第二象限內 ⎛ ⎜ ⎝

,

⎧a ⎪ <0 ⎨b ⎪b 2 > 0 ⎩

2⎞

⎟ ⎠

焦點二 距離公式與平面直角坐標系中的分點坐標公式 1. 實數線上，兩點的距離：

在數線上，兩點 P a 、 Q b ，則 PQ = a − b = b − a 。 (

)

( )

2. 坐標平面上，兩點的距離：

在坐標平面上，相異兩點 P x y 、 P x y ，則 P 與 P 兩點間距離為 PP = x − x + y − y 。 說明 如圖所示，由畢氏定理可得 ⇒ PP = x − x + y − y PP = x − x + y − y 1 ( 1,

( 2

1 2

1)

2

( 2

2

1)

2

2 ( 2,

2)

2

1

1

2

2

2

1 2

1)

2

( 2

1 2

1

1)

2

( 2

1)

2

3. 內分點坐標公式：

設 P x y 、 P x y ，若 P x y 為 PP 之內分點 P − P − P ，且 PP PP = m n ，則 1 ( 1,

P

1)

2 ( 2,

點坐標：

2)

(

nx1 + mx2 ⎧ ⎪⎪ x = n + m ⎨ ⎪ y = ny1 + my2 ⎪⎩ n+m

⎛ ⎜ ⎝

)

,

( 1

1 2

2)

交叉相乘的和 ⎞⎟ 比的和 ⎠

說明 設 P x y ，如圖，由平行線的截線段成比例性質知 x − x PP m = = ⇒ nx − nx = mx − mx x − x PP n ⇒ n + m x = nx + mx ny my ⇒ x nxn mx 同理可得 y m n m (

,

1

)

1

2

1

2

2

(

)

1

1+

=

2

+

補 給站

2

⎛ ⎜ ⎝

=

1+

+

稱為 P x y 、 P x y 之外分點。 2 解內分點或外分點之題型，只需使用內分點觀念即可解出。 3 其實就是在這三點之中，任給兩點坐標，求第三點坐標。 1 P2 ( x2 , y2 )

( ) ( ) ( )

2

單元 1 直線方程式

1 ( 1,

1)

(

,

)

2 ⎞

⎟ ⎠

1

:

2

:

4. 中點公式（當內分點公式中， m : n = 1:1 時） ：

設 P x y 、 P x y ，若 P x y 為 PP 之中點 P − P − P ，即 PP : PP = 1:1，則 x x y y P xy 。 1 ( 1,

(

,

1)

2 ( 2,

⎛

1+

⎝

2

)=⎜

2

2)

1+

,

2

(

,

)

2)

1

1

2

2 ⎞

⎟ ⎠

求內分點坐標

2

設 A 、 B − 為坐標平面上兩點，且 A − P − B ， AP : PB = 2 :1 ，試求： 1 P 點坐標 2 P 點與原點的距離。 (1,1)

(

5, 4 )

( ) ( )

解

( 1

1 2

1

( )

設P x y 由內分點公式： (

)

,

設 A 、 B 、 C 三點共線，且 C 介於 A 、 B 兩點 之間， A 、 B − 且 3 AC = 2BC ，試求： 1 C 點之坐標 2 C 點與原點的距離。 (1, 3)

( )

解

1

( )

2

( )

)

(

(

)

,

2 × 6 + 3 ×1 15 ⎧ x= = =3 ⎪ 2+3 5 ⎪ ⎨ ⎪ y = 2 × ( −2 ) + 3 × 3 = 5 = 1 ⎪ 2+3 5 ⎩

3, 3 )

PO = ( −3 − 0) + ( 3 − 0) = 18 = 3 2 2

設C x y ∵ 3 AC = 2BC ⇒ AC : BC = 2 : 3 由內分點公式：

∴ Pxy = − ,

2)

( )

⎧ nx + mx2 1 + 2 × ( −5) x= 1 = = −3 ⎪ ⎪ 1+ 2 n +m ⎨ ⎪ y = ny1 + my2 = 1 + 2 × 4 = 3 ⎪ 1+ 2 n+m ⎩ (

( 6,

2

∴ C xy = 2 CO =

( )

(

,

)

( 3,1)

(3

− 0 ) + (1 − 0 ) = 10

2

2

內分點觀念不變—求外分點坐標

3

平面上二點 A − 、 B − ， C 在 AB 的 平面上三點 A 、 B − 、 C x y 共 線，且 B 在線段 AC 上，若 AB = 3BC ，試 延長線上，且 AC : BC = 5 : 2 ，試求： 求： 1 C 點坐標 1 C 點坐標 2 求 C 點與 P − 的距離。 2 求 C 點與 P − 的距離。 解 (

2, 5 )

( 4,

( 4,

( 7, 4 )

1)

2)

(

,

)

( ) ( )

( 5,

1

( )

( )

1)

設C x y ∵ AC : BC = 5 : 2 ⇒ AB : BC = 3 : 2 由內分點公式知： (

)

,

⎧ 2 × ( −2 ) + 3 × x 4= ⎪ ⎪ 2+3 ⎨ ⎪ −1 = 2 × 5 + 3 × y ⎪ 2+3 ⎩

( )

解

(1,

1

( )

2 CP =

( )

(5

,

)

( 8,

2

∵ AB = 3BC ⇒ AB : BC = 3 :1 由內分點公式知：

⇒ ⎧⎨ xy == 8−5

3 × x + 1× 7 ⎧ 4= ⎪ ⎪ 3 +1 ⎨ 3 × y + 1× 4 ⎪ −2 = ⎪ 3 +1 ⎩

⎩

∴ C xy = − (

2)

5)

⇒ ⎧⎨ xy == 3−4 ⎩

∴ C xy = −

2

− 8 ) + ( −1 + 5 ) = 5

(

2

( )

,

)

( 3,

4)

CP = (1 − 3)2 + ( −2 + 4)2 = 2 2

單元 1 直線方程式

3

中點坐標與平面上兩點距離

4

設平面上三點 A − 、 P x y 、 B − ， 設平面上三點 A − 、 M x y 、 B ， 且 P x y 為 AB 之中點，則 P x y 與原點 且 M x y 為 AB 之中點，則 M x y 與點 的距離為何？ P 的距離為何？ ( 5,

(

,

4)

(

,

)

)

(

(

,

1, 0 )

(

)

(

( 0, 0 )

,

3, 5 )

(

,

)

( 5, 9 )

)

(

,

)

(1,1)

解 ∵ P 為 AB 之中點 ⇒ Pxy (

,

)=

解 ∵ M 為 AB 之中點

⇒ M xy M M ∴ MP = 1 −1 + 7 −1 = 36 = 6

⎛ 5 + ( −1) −4 + 0 ⎞ , = P ( 2, −2 ) ⎟ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

P ⎜⎜

(

∴ PO = 2 − 0 + −2 − 0 = 2 2 (

)

2

(

)

2

,

)=

⎛ −3 + 5 5 + 9 ⎞ , ⎜ ⎟= 2 2 ⎝ ⎠

(

)

2

(

)

(1, 7 )

2

焦點三 中點公式應用—有限定順序的平行四邊形 ABCD 若 A x y 、 B x y 、 C x y 、 D x y 為平行四邊形 ABCD 的 四個頂點，則由平行四邊形對角線互相平分性質知 M 為 AC 與 BD 的 共同中點 ⇒ x x y y x x y y ( 1, 1 )

( 2, 2 )

1+

⎛ ⎜ ⎝

補 給站

3

2

( 3, 3 )

,

1+

3 ⎞

⎛ ⎟=⎜ ⎠ ⎝

2

( 4, 4 )

2 +

4

2

,

2 + 2

4 ⎞

⎟ ⎠

設 A x y 、 B x y 、 C x y 為已知平面上三點，若以 A 、 B 、 C 、 D 四點（無限定順序）作平行四邊形，則第四 頂點 D x y 的坐標會有 D 、 D 、 D 三種可能，如圖所示。 ( 1, 1 )

(

( 2, 2 )

)

,

( 3, 3 )

1

2

5

設一平行四邊形 ABCD 中，已知 A B 、 C − − ，求點 D x y 。 ( 2, 5 )

(

1,

2)

(

,

)

解 由平行四邊形對角線互相平分性質知： ⎛ 3 + ( −1) 4 + ( −2 ) ⎞ ⎛ 2 + x 5 + y ⎞ , , ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ ⎟ 2 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2

⇒ ∴ Dxy =

⎧3 + ( −1) = 2 + x ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 4 + ( −2 ) = 5 + y (

4

,

)

( 0,

單元 1 直線方程式

−3)

⇒

⎧x = 0 ⎨ ⎩ y = −3

3

中點公式應用 ( 3, 4 )

、 設一平行四邊形 ABCD 中，已知 A B 、 C ，求點 D x y 。 ( 2, 4 )

( 8, 5 )

(

,

)

解 由平行四邊形對角線互相平分性質知： ⎛ 3+8 7 +5 ⎞ ⎛ 2+ x 4+ y ⎞ , , ⎜ ⎟=⎜ ⎟ 2 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

⇒ ⎧⎨37 ++ 85 == 24 ++ xy ⇒ ⎧⎨ xy == 98 ⎩ ⎩ ∴ Dxy = (

,

)

( 9,8 )

( 3, 7 )

、

焦點四 重心公式

1

設 A x y 、 B x y 、 C x y ，則 △ ABC 之三中線交點（重心 G ）坐標為 G xy x x x y y y 。 ( 1, 1 )

(

1+

⎛

)=⎜

,

( 2, 2 ) 2 +

⎝

3

,

( 3, 3 )

1+

3

補 給站

2 +

3 ⎞

⎟ ⎠

3

三角形的重心即三邊中線的交點，且重心到頂點的距離為中線長的三分 之二，即 AG : GM = 2 :1 。 2 若 G 為 △ ABC 的重心，則 △ ABG 面積 =△ BCG 面積 =△ ACG 面積。 3 若 D 、 E 、 F 為 △ ABC 之三邊中點，則 △ DEF 的重心與 △ ABC 的 重心相同。 1

( )

( ) ( )

重心公式應用

6

設 △ ABC 之三頂點為 A − 、 B − 、 設 A − 、 B 、 C − ，試求： ，試 1 △ ABC 之重心坐標 G x y C x y ，若 △ ABC 的重心為 G 2 BC 邊上中點的坐標 M x y 求C x y 。 3 BC 邊上中線的長 AM ( 3,

(

,

)

(

,

1)

(

5, 2 )

( 2,

5⎞ ⎛2 ⎜ ,− ⎟ 3⎠ ⎝3

( 1, 2 )

( )

∴ C xy = )

,

1, 4 )

( 1, 2 )

( )

解

5⎞ ⎛2 ⎜ ,− ⎟ 3⎠ ⎝3

⎧ 2 3 + ( −5 ) + x = ⎪ ⎪3 3 ⎨ − + 5 1 2+ y ⎪− = ⎪ 3 3 ⎩ (

(

( 5, 4 )

( )

)

解 ∵ 重心為 G

2)

( 4,

⎛ 2 + 5 + ( −1) −2 + 4 + 4 ⎞ , ⎟ ⎟ 3 3 ⎝ ⎠

1 G ( x1 , y1 ) = ⎜⎜

( )

= ( 2, 2 )

⇒ ⎧⎨ xy == 4−6 ⎩

M x y = ⎛⎜⎜ + − (

5

2

( )

( 2, 2 )

1)

2

⎝

,

4+4⎞

⎟ ⎟ ⎠

2

= ( 2, 4 )

−6 )

AM =

3

( )

(2

2

2

− 2 ) + ( −2 − 4 ) = 6

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （×）1 若點 P a b 在 y 軸上，則 b = 0 。 a=0 （×）2 若 a < 0 ， b < 0 ，則點 P a b 位於第四象限。 第三象限 （○）3 平面上相異兩點 P x y 、 P x y ，則 PP = x − x + y − y 。 （○）4 直線上相異三點 P x y 、 P x y 、 P x y ，若 P 在 PP 上，且 nx + mx ny + my PP PP = m n ，則 x = ， y= 。 n+m n+m （○）5 平面上相異兩點 P x y 、 P x y ，若 M x y 為 PP 之中點，則 x +x y +y x= ， y= 。 2 2 .

(

,

)

.

(

.

1 ( 1,

.

1)

1 ( 1,

1

:

.

1

1)

2

1

1)

2)

2 ( 2,

1

1 ( 1,

)

2 ( 2,

:

2

,

2)

2

2 ( 2,

( 2

1 2

(

2

)

,

1

2)

1)

( 2

1)

2

1 2

2

(

,

)

1 2

2

單元 1 直線方程式

5

年 年

b a 2b ⎞ 在第 ⎟ ⎝a ⎠

1. 已知 P ( a, b ) 在第二象限，則點 Q ⎜ ⎛

,

四

★ 2. 已知 0 < a < b ，則點 P ( b − a a 2 − ab ) 在第 ,

3. 坐標平面上兩點 P ( 3, −5 ) 、 Q ( 5,1) ，則

PQ =

1

( )

2 10

2

( )

PQ 中點 M =

( 4,

二

月 月

日動手 日完成

象限。 象限。

−2 )

。

4. 坐標平面上三點 A ( 3, −2 ) 、 B ( −3, 5 ) 、 C ( x, y ) ，若 B 為 AC 的中點，則點 C ( x, y ) = (

−9,12 )

。

5. 一圓直徑之兩端點為 A ( −4, 3) 、 B ( 2,1) ，則圓心坐標為

★ 6. 平面上一平行四邊形 ABCD ，其中 A (

D( x y) =

( 6, 3)

,

2, 4 )

(

−1, 2 )

，半徑為

10

。

、 B ( −1, −2 ) 、 C ( 3, −3) 、 D ( x, y ) ，則

。

7. 坐標平面上三點 A ( −3, −2 ) 、 B ( 5, 7 ) 、 P ( x, y ) ，若 P 點介於 A 、 B 兩點之間且 ⎛1 8⎞ ⎜ , ⎟ ⎝5 5⎠

AP : BP = 2 : 3 ，則 P 點坐標為

★ 8. 平面上 A ( 3 − ) 、 B ( − ,

⎛

15

⎝

2

為 ⎜−

,

6

4, 5 )

。

、 C ( x, y ) ，若 B 點介於 A 、 C 之間且 AC : BC = 3 :1 ，則 C 點坐標

21 ⎞ 2

⎟ 。 ⎠

△ ABC 之重心坐標 G 為 − 。 、C x y 、G ， 若 G 為 △ ABC 之 重 心 坐 標 ， 則 C 點 坐 標 為

9. 設 A (1, 2 ) 、 B ( −2, −3) 、 C ( 4, −5 ) ，則 10. 設 A ( −2, 5 ) 、 B ( 3,1) (14, 3 )

(

,

)

。

直角三角形 。

△ ABC 三邊長的和為

12. 設 A (1, −1) 、 B ( 6, −2 ) 、 C ( 3, −4 ) ，則 為

等腰直角三角形 。

1-2

2)

( 5, 3)

11. 設 A ( −2, −1) 、 B (1, −1) 、 C (1, 3) ，則 為

(1,

12

，且此三角形的形狀

△ ABC 三邊長的和 26 + 2 13 ，且此三角形的形狀

線型函數與二次函數的坐標圖形

焦點一 函數

1. 函數的一般定義： (1) 設 x 和 y 表示兩個變量，如果對於每一個 x 值，都有唯一一個 y 值與它對應，這種對應關 係我們稱 y 是 x 的函數，並用符號 y = f ( x ) 表示，其中 x 稱為自變數， y 稱為應變數。 2 在 y = f ( x ) 函數中， x 的變動範圍稱為函數的定義域，而由 x 所對應出的 y 值的範圍，

( )

稱為值域。 6

單元 1 直線方程式

稱為函數 = 在 x = a 的函數值。（即函數 = 在 x = a 是有被定義的） 2. 函數圖形： 1 函數的圖形 在函數 = 的對應關係中，對於每一個 x 值，恰有一個（唯一）對應的 y 值，將所 有對應所成的有序數對 描繪在坐標平面上，即可得到函數 = 的圖形。 2 函數圖形的判斷 由函數的定義知，函數 = 的圖形與 x = a 僅交於一點 a f a 。因此，若一個圖形與垂直 x 軸的直線有多於一個 交點時，則此圖形必不為函數圖形。 3 f (a)

( )

y

f ( x)

y

f ( x)

1

( )

y

f ( x)

( x, y )

f ( x)

y

( )

y

(

,

(

f ( x)

))

補 給站

定義域 A 的元素對應必須全部用完，但是對應域 B 的元素可以過剩。（見 回 ） 也就是說，一個函數「定義域」中的每一個元素其對應方式必須滿足： 一定是一對一（含多對一） 不可一對無 不可一對多 例 由已知圖形來判斷，即每一條鉛直線（垂直 x 軸之直線）與函數圖形最多僅有一個 交點。

1 (2)

( )

P12

1

下列何者為正確的函數圖形？ (A)

(B)

(C)

(D)

解 (B)

函數圖形的判斷

下列何者不為函數圖形？ (A)

(B)

(C)

(D)

解 (D)

單元 1 直線方程式

7

2

設函數 值。 解

f ( x)

= −2 x + 5

f (

−1) = −2 × ( −1) + 5 = 7

f (

0 ) = −2 × 0 + 5 = 5

3

若

，求

f (x

∴

，求

−1)

與

x

f (

0)

之 設函數 = 2 + 3 + 1 ，求 x = 1 與 x = −1 時的函數值。 f ( x)

解

f ⎜

之值。

⇒

x

2

1 = 2 ×12 + 3 ×1 + 1 = 6 2

−1) = 2 × ( −1) + 3 × ( −1) + 1 = 0

函數求值的應用 設

x

f ( ) f (

⎛1⎞ ⎟ ⎝2⎠ 1 3 x=− x+2= 2 2 3 3 − +3 3 ⎛1⎞ ⎛ 3 ⎞ 2 f = 2 = ⎜ ⎟ = f ⎜ − + 2⎟ = 3 5 5 ⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠ − +4 2 2

+ 2) =

解 令

+3 x+4

f (

函數求值

，求

⎛ x +1 ⎞ 2x + 5 f ( 2) ⎟= ⎝ x − 1 ⎠ 3x − 2 x +1 =2 x +1 = 2x − 2 x −1

f ⎜

解 令

⇒

∴

f (

之值。 ⇒ x =3

⎛ 3 + 1 ⎞ 2 × 3 + 5 11 = ⎟= 7 ⎝ 3 −1 ⎠ 3× 3 − 2

2) = f ⎜

焦點二 線型函數 1. 常數函數：

函數 = 稱為常數函數，其圖形為平行 x 軸的水平直線。（因為不論自變數 x 如何改 變，其對應的函數值恆為常數 k ） 2. 一次函數： 凡可表成 y = f x = ax + b ， a ≠ 0 型式的函數，稱為一次函數，其圖形為一直線，其中 a 為直線的斜率。 1 當斜率 a > 0 時，圖形為由左往右上升。（遞增函數） 2 當斜率 a < 0 時，圖形為由左往右下降。（遞減函數） 例 描繪函數 = 3 的圖 例 描繪函數 = 2 + 3 例 描繪函數 = − + 2 的圖形。 形。 的圖形。 解 解 解 f ( x)

k

( )

( ) ( )

f ( x)

f ( x)

f ( x)

x

3. 線型函數：

x

因為常數函數與一次函數的圖形均為直線，所以常數函數與一次函數合稱為「線型函 數」。 說明 其實線型函數 y = f x = ax + b ，與直線方程式之「斜截式」 y = f x = mx + b 的概念是相 同的，其中 m 為斜率， b 為 y 截距。（見 ） ( )

( )

P20

8

單元 1 直線方程式

4

試作函數 = y

解

f ( x)

= 2x + 4

一次函數作圖

之圖形。

試作函數 = y

0 −2 y 4 0

x

解

f ( x)

x

0

−4

y

−2

0

=−

1 x−2 2

之圖形。

1

線型函數求值

5

線型函數 y = f x = ax + b ，若 0 = 2 ，且 設a 、b 為常數，若 f x = ax + b ， 且 −1 = 3 ， 2 = 6 ，試求 −2 之值。 5 = 12 ，試求 2 之值。 ( )

f (

)

f (

f (

)

( )

)

f (

解 ∵ ⎧⎪⎨ 50 == 122 ⇒ ⎧⎨aa ×× 50 ++ bb == 122 f (

f (

⎩

)

f (

)

)

⎪ ⎩f ( )

⎩

⇒ f x = ax + b = x + 4 ∴ −2 = −2 + 4 = 2

⇒ ⎧⎨ba == 22 ⇒ y = f x = ax + b = 2x + 2 ⎩ ∴ 2 = 2× 2 + 2 = 6

⎩

( )

( )

f (

f (

解 ∵ ⎧⎪⎨ −21==63 ⇒ ⎧⎨−2aa ++ bb == 63 ⇒ ⎧⎨ba == 14

)

⎪ ⎩f ( )

)

f (

)

)

焦點三 二次函數的圖形 1. 二次函數（ x ∈ » ） ： 2 y = f ( x ) = ax + bx + c ( a ≠ 0 )

的 圖 形 為 「 對 稱 性 的 拋 物 線 」。 由 配 方 法 知 ： 2

y = f ( x ) = ax

2

2

b ⎞ b − 4ac ⎛ + bx + c = a ⎜ x + ⎟ − 2a ⎠ 4a ⎝

圖形開口朝上，有最低點坐標為： a>0

即在

b x=− 2a

時，

f ( x)

有極小值

b 2 − 4ac − 4a

圖形開口朝下，有最高點坐標為： a<0

即在 x = − 2ba 時，

補 給站 1 y = f ( x ) = ax + bx + c

( )

2

2

⎛ b b − 4ac ⎞ ,− ⎜− ⎟ 4a ⎝ 2a ⎠

2

⎛ b b − 4ac ⎞ ,− ⎜− ⎟ 4a ⎝ 2a ⎠

有極大值 − b −4a4ac 2

f ( x)

2

2

b ⎞ b − 4ac 2 ⎛ = a ( x − p) + q ( a ≠ 0) = a ⎜ x + ⎟ − 2a ⎠ 4a ⎝

單元 1 直線方程式

9

頂點坐標 p q ba b a ac 3 以 p q 為頂點，即當 x = p 時，有極值 q ，則可設 y = f x = a x − p + q ，對稱軸 為x− p =0 2

( )

( )

(

(

,

2

⎛

) = ⎜−

,

⎝

,−

2

−4 4

⎞ ⎟ ⎠

)

( )

(

)

2

二次函數求極值

6

試求函數 = = 2 + 4 − 5 之最小值、頂 試求函數 = = − + 3 −1 之最大值、頂 點坐標與對稱軸，並畫出圖形。 點坐標與對稱軸，並畫出圖形。 f ( x)

y

解

f ( x)

x

2

x

解

2

= 2 x 2 + 4 x − 5 = 2 ( x + 1) − 7

當 x = −1 時， 有最小值 −7 頂點坐標為 − − 對稱軸為 x = −1 (

7)

x

2

x

2

f ( x) = −x

2

3⎞ 5 ⎛ + 3x − 1 = − ⎜ x − ⎟ + 2⎠ 4 ⎝

當 x = 32 時， 頂點坐標為

f ( x)

1,

f ( x)

y

f ( x)

有最大值 54

⎛3 5⎞ ⎜ , ⎟ ⎝2 4⎠

對稱軸為 x = 32

由頂點 p q ，求

7

(

,

)

f ( x)

設二次函數 在 x = 2 時有最大值 9 ，且 設二次函數 圖形的頂點為 − ，且 0 = 1 ，試求 3 之值。 1 = 15 ，試求 0 之值。 f ( x)

f (

)

f (

)

f ( )

解 依題意，設 f x = a x − 2 + 9 ( )

(

)

2

又 0 =1 ⇒ f 0 = a 0 − 2 + 9 =1 ⇒ 4a = −8 ⇒ a = −2 ∴ = −2 − 2 + 9 故 3 = −2 3 − 2 + 9 = 7 f (

(

f ( x)

f (

)

)

(x

(

(

)

)

( )

1, 3 )

(

又 1 = 15 ⇒ f 1 = a 1 + 1 + 3 = 15 ⇒ 4a = 12 ⇒ a = 3 ∴ = 3 +1 + 3 故 0 = 3 0 +1 + 3 = 6

2

2

2

2

( )

(

)

f ( x)

(x

)

f (

)

(

)

2

2

二次函數頂點的應用

8

)

f ( )

2

)

f (

1, 3 )

解 ∵ 頂點為 − ，設 f x = a x +1 + 3

)

( )

(

f ( x)

若函數 f x = ax −12x + b ，在 x = − 32 時，有 若函數 = 5 + 4 + 1 ，在 x = a 時，有極 小值為 b ，試求 a + 2b 之值。 極大值為10 ，試求 a 、 b 之值。 解

f ( x)

2

( )

解

y = ax 2 − 12 x + b 2

3⎞ ⎛ = a ⎜ x + ⎟ + 10 2⎠ ⎝ 9 4

= ax 2 + 3ax + a + 10

單元 1 直線方程式

2

x

⎛

= 5x2 + 4x + 1 = 5⎜ x + ⎝

2

2

2⎞ 1 + 5 ⎟⎠ 5

∴ 在 x = − 52 時， 有極小值 15 ⇒ a = − 52 ， b = 15 則 a + 2b = − 52 + 2 × 15 = 0 f ( x)

由 、 比較係數得 ⇒ 3a = −12 ， b = 94 a + 10 ∴ a = −4 ， b = 1 10

f ( x)

x

焦點四 二次函數的恆正、恆負（即與 x 軸無交點）之條件判斷

設函數 y = f x = ax + bx + c ， a ≠ 0 ， a 、 b 、 c ∈ » 1 對任意實數 x ， > 0 （即恆為正） ⇔ a > 0 ， b − 4ac < 0 （如圖 ） 2 對任意實數 x ， < 0 （即恆為負） ⇔ a < 0 ， b − 4ac < 0 （如圖 ） ◎二次函數 y = f x = ax + bx + c ， a ≠ 0 ， a 、 b 、 c ∈ » 的函數圖形與 x 軸關係解析 當 a > 0 圖形開口朝上，當 a < 0 圖形開口朝下 與 x 軸交於一點 與 x 軸交於二點 與 x 軸不相交 ⇔ b − 4ac < 0 ⇔ b − 4ac = 0 ⇔ b − 4ac > 0

1

2

( )

( )

f ( x)

( )

f ( x)

2

1

2

2

2

( )

2

2

9

f ( x)

2

的恆正與恆負 ⇔ b − 4ac < 0 2

若函數 = = + −1 + + 2 之圖形與 坐標平面上， = = − + 4 + 對任意實 x 軸不相交，試求 k 之範圍。 數 x ， 恆為負數，試求 k 之範圍。 f ( x)

y

解

y

x

2

(k

)x

= f ( x ) = x 2 + ( k − 1) x + ( k + 2 )

k

之圖形

解

f ( x)

(

)

2

(

)

(

)(

x

2

x

k

f ( x)

與 x 軸不相交 ⇒ > 0 （恆正） ⇒ 判別式 k −1 − 4 ×1× k + 2 < 0 ⇒ k − 6k − 7 < 0 ⇒ k − 7 k + 1 < 0 ∴ −1 < k < 7 2

f ( x)

y

f ( x)

<0

（恆負）

y

f ( x)

⇒ = = − + 4 + 之圖形與 x 軸不相交 ⇒ 判別式 4 − 4 × −1 × k < 0 ⇒ 16 + 4k < 0 ∴ k < −4 2

)

x

2

(

x

k

)

各項係數正負的判別

10

二次函數 y = f x = ax + bx + c ， a ≠ 0 ，如圖 二次函數 y = f x = ax + bx + c ， a ≠ 0 ，下列 所示，下列何者正確？ 何者錯誤？ Ａ a>0 Ａ a −b +c < 0 Ｂ c<0 Ｂ c>0 Ｃ a+b+c < 0 Ｃ b − 4ac > 0 Ｄ b<0 Ｄ b − 4ac > 0 ( )

2

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

解 ＤＡ 圖形開口朝下 a < 0 )

(

)

(

)

(

)

f (

(

)

f ( )

(

)

Ｂ 0 =c<0 Ｃ 1 = a+b+c > 0 Ｄ 圖形與 x 軸交於兩點 ⇒ b − 4ac > 0 )

2

2

( )

2

解 Ｄ (

)

(

)

f (

(

)

f (

(

)

(

)

Ａ −1 = a − b + c < 0 Ｂ 0 =c<0 Ｃ 圖形與 x 軸交於兩點 ⇒ b − 4ac > 0 Ｄ 頂點坐標 ba b a4ac 位於第三象限， )

)

2

⎛ ⎜− ⎝ 2

2

,−

− 4

⎞ ⎟ ⎠

⇒ − 2ba < 0 又 a > 0 ∴ b > 0

單元 1 直線方程式

11

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （×）1 垂直 x 軸的任意直線與函數圖形至多可以有兩個交 至多只有一個交點 點。 （○）2 一次函數的圖形必為直線。 （×）3 若線型函數的圖形為水平線，則其直線方程式為 y = k x = k ，k ∈» 。 （○）4 函數 = −2 + 3 其圖形為由左往右下降的直線。 （×）5 直線 = = 3 − 2 其斜率為 −2 ， y 截距為 3 。 斜率為 3 ， y 截距為 −2 （○）6 二次函數 y = f x = ax + bx + c 的圖形為「對稱性的 拋物線」，且其頂點坐標為 ba b a4ac 。 （○）7 二次函數 y = f x = a x − p + q ，表示當 x = p 時， 有極值 q 。 （○）8 設二次函數 y = f x = ax + bx + c ，則 a − b + c = f −1 。 年 月 日動手 年 月 日完成 .

.

.

.

f ( x)

.

y

x

f ( x)

x

.

2

( )

2

⎛ ⎜− ⎝ 2

.

( )

.

(

( )

(

)

,−

4

2

2

)

★ 1. 下列何者不是由 A 到 B 的函數？

Ａ

(

(

。

(C)

Ｂ

)

⎞ ⎟ ⎠

−

Ｃ

)

(

Ｄ

)

(

)

1 2 設函數 f x = − x + 2 x − 1 ，則 12 − 。 4 ⎧3 − x ，當x < 0 3 設 = ⎪⎨2 ，當0 ≤ < 3 ，則 −2 + 2 + 4 = 16 。 ⎪ + 3 ，當3 ≤ ⎩ 1 ★4 若 2 1 ，則 之值為 2 。 2 1 5 設 x = x + x + 1，且 + 2 = −1 ，則 g 1 之值為 3 。 6 試作函數 = = −2 + 1 之圖形 略 。 7 試作函數 = = − －1 之圖形 略 。 二 象限。 ★ 8 二次函數 = − + 6 − 1 之圖形不通過第 ★ 9 若函數 x = 5 x − 2 x + 4 ，試求 的最小值為 195 。 .

.

f ( x)

⎛

2

( )

⎝

x

.

⎞ 2 ⎟=x + x + ⎝ ⎠

f (

x

⎛

x−

f ⎜

⎝

2

)

g(x

y

f ( x)

.

y

f ( x)

.

f ( x)

f (

)

f (

)

f (

x

.

.

12

⎛

f ⎜

f (

x

x

.

⎞ ⎟= ⎠

f ⎜

)

單元 1 直線方程式

f (x

x

x

x

2

)

⎞ ⎟ ⎠

2

2

x

f ( x)

)

( )

)

10 設 為二次函數，且其頂點為 3 ，又與 y 軸交於點 0 − ，則 = − 6 。 ★ 11 二次函數 = = − + + 的圖形與 x 軸交於 A 、 B 兩點，頂點坐 標為 C ，試求： 1 AB 線段長為 6 2 △ ABC 的面積為 27 。 12 設 a 、 b 為實數，若坐標平面上的拋物線 y = x + ax + b 的圖形與 x 軸的 交點為 −2 、 ，如右圖所示，則 a + b = −1 。 ★ 13 設函數 y = f x = ax + bx + c ， a ≠ 0 ， a 、 b 、 c ∈ » ，若 b − 4ac < 0 ， 下列選項： Ａ a × f x > 0 Ｂ a × = 0 Ｃ a × f x < 0 Ｄ 以上皆非 正確的為 (A) 。 14 如右圖所示，二次函數 y = f x = ax + bx + c ， a ≠ 0 ，下列選項： Ａ a > 0 Ｂ b − 4ac > 0 Ｃ 0 > 0 Ｄ 1 < 0 錯誤的為 。 .

(

f ( x)

.

f ( x)

y

x

2

2x

, 2)

(

,

16 )

f (1)

8

( )

1

( )

2

.

(

, 0)

.

(1, 0 )

(

2

2

( )

)

( )

(

.

)

( )

(

)

(

)

2

(

) f (

f ( x)

(

(

) f (

( )

)

(

)

2

)

)

(D)

直線的斜率與方程式

1-3.1

焦點一 斜率 1. 直線的斜率： P1 ( x1, y1 ) (1)

， P x y 為直線 L 上相異兩點 設 若 x ≠ x （ L 非鉛直線），則 L 的斜率為 m = yx −− xy 。 1

2

2 ( 2,

2)

2

1

2

1

m<0

若 x = x （ L 為鉛直線），則 L 的斜率不存在。 若 y = y （ L 為水平線），則 L 的斜率為 0 。 1

2

( )

2

1

2

直線的一般式：斜率與係數的關係 直線 L : ax + by + c = 0 之斜率 m = − ba （當 b = 0 ，斜率不存在）。

單元 1 直線方程式

13

補 給站

鉛直線沒有斜率（不存在）。 2 若直線 L 由左向右上升（ ） ，則斜率 m > 0 。 ，則斜率 m = 0 。 3 若直線 L 為水平線（ → ） 4 若直線 L 由左向右下降（ ） ，則斜率 m < 0 。 5 直線的傾斜度越大，則其斜率之絕對值越大。 6 設 m 、 m 分別為直線 L 、 L 的斜率，則 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

1

2

1

2

斜率

1

若一直線 L 通過 P − 與 Q − 兩點，求 若一直線 L 通過 A − 與 B 之斜率。 L 之斜率。 ( 3,

2)

(

解 m = 3−−7 −−23 = − 12 (

若一直線 L 通過 A 斜率。 解 m = 30−−31 = −01 L

∴ 斜率不存在

14

單元 1 直線方程式

( 3, 0 )

( 2,

1)

( 0, 5 )

兩點，求 L

解 m = 5 0− −−21 = −3

)

(

L

2

7, 3 )

)

L

與B

斜率

( 3,1)

兩點，求 L 之 若一直線 L 通過 A 斜率。

( 0, 3 )

解 m = 30−−31 = −01 = 0 L

∴ 斜率為 0

與B

(1, 3)

兩點，求 L 之

斜率

3

若直線通過點 a 與 − a ，且其斜率為 若直線通過點 k 與 k − ，且其斜率為 2 ，試求 a 之值。 1 ，試求 k 之值。 ( 2,

)

(1

, 3)

解 ∵ m = yx −− xy ⇒ 2 = 1 −3 a− a− 2 2

1

2

1

(

⇒ −2a − 2 = 3 − a ∴ a = −5

4

試求下列各直線的斜率： 1 5x − 6 y + 3 = 0 3 5x − 2 = 0 。 ( ) ( )

解

)

( 4,

)

(

,

5)

1

解 ∵ m = yx −− xy ⇒ 1 = −5−−4 2

k

1

k

⇒ k − 4 = −5 − k ⇒ 2k = −1 ∴ k = − 12 2

1

斜率

試求下列各直線的斜率： 2 2x + 3y + 5 = 0 1 7x + 5y − 9 = 0 2 5y + 4 = 0 3 4x + 2 = 0 。

( )

( )

( )

( )

⇒ m = − −56 = 56 2 2 2x + 3y + 5 = 0 ⇒ m = − 3 3 5x − 2 = 0 ⇒ 5x + 0 y − 2 = 0 ⇒ m = − 50 （不存在）

1 5x − 6 y + 3 = 0

( )

解

1 7x + 5y − 9 = 0

( )

⇒ m = − 75

⇒ 0x + 5 y + 4 = 0 ⇒ m = − 05 = 0 3 4x + 2 = 0 ⇒ 4x + 0 y + 2 = 0 ⇒ m = − 04 （不存在） 2 5y + 4 = 0

( )

( )

( )

( )

已知斜率 ⇒ 假設直線方程式（一般式）

5

試假設下列各斜率之直線方程式（一般式）： 試假設下列各斜率之直線方程式（一般式）： 5 3 1 m=3 2 m=− 。 1 m = −2 2 m= 。 2 2 ( )

解

( )

1

( )

解

a 3 m=3=− =− b −1

⇒ 設 3x − y + k = 0 k ∈ » (

2 m=−

( )

( )

1

( )

a 2 m = −2 = − = − b 1

⇒ 設 2x + y + k = 0 k ∈ »

)

5 a =− 2 b 5x + 2 y + k = 0 ( k ∈ » )

⇒ 設

( )

(

2 m=

( )

)

3 a 3 =− =− 2 b −2 3x − 2 y + k = 0 ( k ∈ » )

⇒ 設

單元 1 直線方程式

15

焦點二 直線的平行與垂直關係

1. 設二直線 L1 、 L2 的斜率分別為 m1 、 m2 （ m1 、 m2 都存在且不為 0 ） ，則

⇔ m = m （其中 m = m ⇒ L L 或 L = L ） 2 L ⊥ L ⇔ m × m = −1 2. 若 A 、 B 、 C 三點共線 ⇔ m = m 1

( ) ( )

L1 / / L2 1

2

1

2

1

2

1

AB

補 給站

設 L1 : 5 x − 2 y + 3 = 0 ，試求： 2 L2 ⊥ L1 時， L2 的斜率。

( )

( )

L2 // L1

∴

5 m2 = 2

2 ∵

( )

⇔ m =m

2

m2 = −

2 5

(2)

( )

⇒ m =a 2

1

2

⎛ 3⎞ ⎛1⎞ ⎜ − ⎟ × ⎜ ⎟ = −1 ⎝ 4⎠ ⎝a⎠

∴

a=

∴

2

3 m1 = − 4 1

⇒

L1 // L2

1//

⇒ m × m = −1

1 L1 ⊥ L2

( )

2

∴

2

2

L2 : x − ay − 7 = 0

2

⇔ m × m = −1

⇒ 52 × m = −1

0

1

1

1

1

4

解 L : 3x + 4 y + b = 0 ⇒

⇒ m = − −52 = 52 1

L2 ⊥ L1

BC

1 :3

1 L2 / / L1 時， L2 的斜率

1 ∵

2

設 L x + y + b = ， L : x − ay − 7 = 0 ， 試 求： 2 L L 時之 a 值。 1 L ⊥ L 時之 a 值

( )

( )

1

直線的平行與垂直

6

L1 : 5 x − 2 y + 3 = 0

2

⇔ A 、 B 、 C 三點無法構成一個三角形

A 、 B 、 C 三點共線

解

1//

2

3 4

⇒ m = m ⇒ − 34 = 1a 1

a=−

2

4 3

斜率的應用：三點共線，無法構成三角形

7

若 A − 、 B − 、 C k − 三點無法構 平面上三點 P k 、 Q 、 R − ，若 成一個三角形，求 k 之值。 P 、 Q 、 R 三點共線，求 k 之值。 ( 3,

2)

(

3, 4 )

(

,

1)

(

解 ∵ A 、 B 、 C 三點共線 ⇔ m = m AB

BC

⇒ 4−−3 −−32 = k−−1 −−43 ⇒ −66 = k−+53 (

)

(

∴

16

k =2

單元 1 直線方程式

)

, 5)

(1, 3 )

(

2,1)

解 ∵ P 、 Q 、 R 三點共線 ⇔ m = m PQ

⇒ 13−−k5 = −12−−31 ⇒ 1−−2k = −−23 ∴

k =4

QR

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （○）1 鉛直線的斜率不存在。 （○）2 水平線的斜率為 0 。 m>0 （×）3 若直線 L 由左向右上升（ ）則斜率 m < 0 。 m<0 （×）4 若直線 L 由左向右下降（ ）則斜率 m > 0 。 （○）5 直線上任意相異兩點所決定的斜率相等。 （○）6 平 面 上 A、B、C 三 點 無 法 構 成 一 個 三 角 形 ， 則 m =m 。 年 月 日動手 年 月 日完成

1

. .

. .

. .

AB

BC

1 平面上有一個直角三角形，如圖所示，其三邊的斜率為 m 、 m 、 m ，並 假設 m > m > m 。則下列選項錯誤的為 。 Ａ m m = −1 Ｂ m > 0 Ｃ m > 0 Ｄ m < 0 。 .

1

1

(

)

1

2

(

3

(C)

3

2

2

)

(

1

)

2

(

)

3

2 設 ABCDE 是坐標平面上一個正五邊形，它的中心與原點重合，且頂點 E 在 y 軸的負向上（如圖所示），試問 AB 、 BC 、 CD 、 DE 、 AE 中， 斜率最小者為 AB 。 ★ 3 直線通過 − 與 兩點，其斜率 = 54 。 4 直線通過 − 與 兩點，其斜率為 − 23 。 ★ 5 直線通過 與 − 兩點，其斜率為 不存在 。 6 直線通過 與 − 兩點，其斜率為 0 。 ★ 7 若一直線通過 A 與B 兩點，求 L 之斜率為 不存在 。 8 若直線通過點 k 與 k − ，且其斜率為 12 ，則 k 之值為 − 13 。 9 直線 3x + 2 y − 9 = 0 之斜率為 − 32 ，直線 5x − 2 y + 3 = 0 之斜率為 52 10 試假設下列各斜率之直線方程式（一般式）： 1 m=2 ⇒ 設 2 x − y + k = 0（k ∈ »） 3 ⇒ 設 3x + 2 y + k = 0（k ∈ »） 。 2 m=− 2 .

.

(

2, 2 )

( 3, 6 )

.

(

1, 6 )

( 2, 4 )

.

( 2, 0 )

( 2,

.

( 3, 5 )

(

.

1)

1, 5 )

( 99,101)

.

( 5,

.

)

(

( 99,100 )

,

3)

。

.

( )

( )

單元 1 直線方程式

17

11 直線 7 x − 3 = 0 之斜率為 不存在 ，直線 3 y + 8 = 0 之斜率為 0 。 12 設直線 L x + y + = ，若直線 L L ，則 L 之斜率為 − 52 。 13 設直線 L x − y − = ，若直線 L ⊥ L ，則 L 之斜率為 − 53 。 ★ 14 已知一直線與 5 x − 6 y + 3 = 0 平行，其斜率為 a ；另一直線與 x − 3 y + 8 = 0 垂直，其斜率為 5 。 − b ，則 ab 之值為 2 15 若 A − 、 B − 、 C k − 三點共線，則 k 為 2 。 ★ 16 若平面上 A − 、 B − 、 C k 三點無法構成一個三角形，則 k 為 5 。 17 設平面上 A 、 B − 、 C − 、 D k ，若 AB CD ，則 k 為 5 。 18 承上題，若 AB ⊥ CD ，則 k = − 187 。 .

.

1:2

5

3

0

2 // 1

2

.

1 :3

5

7

0

2

2

3)

(

4, 4 )

1

.

.

( 3,

.

(

.

(1, 2 )

2, 2 )

(

(

,

2)

4,1)

( 3,

( 4,

5)

( 4,

)

2)

( 2,

)

//

.

直線方程式之——點斜式、斜截式、兩點式、截距式

1-3.2

焦點一 點斜式

斜率為 m ，且通過 P x y 之直線方程式為 y − y = m x − x 。 證 設 P x y 為直線上任意一點且相異於 P x y ，由斜率定義知： y− y m= ⇒ y− y =m x−x x−x 1 ( 0,

(

,

0)

)

1 ( 0,

0

(

0

(

0

0)

0)

0)

0

補 給站

△ ABC 中，設 A x y 、 B x y 、 C x y ，則過 A 、 B 、 C 三點的 三條中線，分別可平分 △ ABC 的面積。如圖所示：三中線交點 G 為 △ ABC 的重心，且 AM 、 BM 、 CM 均平分 △ ABC 的面積。 例 △ ABM =△ ACM ( 1, 1 )

( 2, 2 )

2

2

3

一直線之斜率為 13 ，且過點 之方程式。

點斜式

(1, 2 )

單元 1 直線方程式

( 3,

1)

解 過點 − ，且斜率為 − 3 1)

∴ 直線方程式為 y − −1 = − 3 x − 3 即 3x + y − 3 3 +1 = 0 (

(1, 2 )

(

，求此直線 求過點 − 且斜率為 − 3 之直線方程式。 ( 3,

∴ 直線方程式為 y − 2 = 13 x −1 即 x − 3y + 5 = 0

18

1

2

1

解 斜率 m = 13 ，且過點

( 3, 3 )

)

)

(

)

點斜式的應用

2

△ ABC 中， A 3 、 B −2 − 、 C 2 ，求 △ ABC 中， A 3 、 B −2 − 、 C − ， 求 BC 邊上高的直線方程式。 AB 邊上高的直線方程式。 (

解

mAB =

,1)

(

3)

,

(

,1)

L

(

1)

,

∴ m = 4 ∵ AD ⊥ BC 則由點斜式知： AD

( 6,

3)

1

(

)

y − 3 = 4 ( x − 3)

,1)

(

(

BC

AB

L

, 3)

解 ∵ m = −63++21 = − 14

−3 − 1 4 = −2 − 3 5

設 AB 邊上高的直線為 L ⇒ m × m = −1 ⇒ m = − 54 ，又過點 C 2 ⇒ 由點斜式知： y −1 = − 54 x − 2 ⇒ 5x + 4 y −14 = 0

(

⇒ 4x − y − 9 = 0 )

點斜式的應用

3

△ ABC 中， A 、 B − − 、 C ，求 △ ABC 中， A 、 B − − 、 C − ， 過 A 點且平分 △ ABC 面積之直線方程式。 求 BC 邊上之中線所在之直線方程式。 ( 3,1)

(

3)

2,

解 設 M 為 BC 之中點 ⇒ M

⎛ −2 + 2 −3 + 1 ⎞ , ⎜ ⎟ = ( 0, −1) 2 2 ⎝ ⎠

∴ m = −01−−31 = 23 則由點斜式知： y −1 = 23 x − 3 ⇒ 2x − 3y − 3 = 0

( 2,1)

( 3, 3 )

1)

2,

( 6,

3)

解

設 M 為 BC 之中點 1 ⇒ M

AM

(

(

⎛ −2 + 6 − + ( −3 ) ⎞ , = ( 2, −2 ) ⎜ ⎜ ⎟⎟ 2 2 ⎝ ⎠

)

∴ m = −22−−33 = 5 則由點斜式知： y − 3 = 5 x − 3 ⇒ 5x − y −12 = 0 AM

(

)

垂直平分線

4

設 A 3 − 、 B − ，試求 AB 的垂直平分 設 P − 、 Q − ，試求 PQ 的垂直平分 線方程式 L 。 線方程式 L 。 (

解

,

4)

(

AB

之中點為

1, 6 )

( 5,

⎛ 3 + ( −1) −4 + 6 ⎞ = (1,1) , ⎜⎜ ⎟ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

又 AB 的斜率 m = 3−−4 −−61 = − 52 AB

(

)

則 m = 52 （∵ m × m = −1 ） 由點斜式知 L : y −1 = 52 x −1 即 2x − 5 y + 3 = 0 L

L

AB

(

)

解

PQ

2)

(

之中點為

1, 4 )

⎛ 5 + ( −1) −2 + 4 ⎞ = ( 2,1) , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 ⎝ ⎠

又 PQ 的斜率 m = 5−−2 −−41 = −1 則 m = 1 （∵ m × m = −1 ） 由點斜式知 L : y −1 = 1× x − 2 即 x − y −1 = 0 PQ

L

(

L

)

PQ

(

)

單元 1 直線方程式

19

焦點二 斜截式 1. 截距：

y

直線與 x 軸交於 a ，與 y 軸交於 b ，則稱 a 為 x 截距， b 為 y 截 距。 2. 斜率為 m 且 y 截距為 b 之直線方程式為 y = mx + b 。 證 ∵ y 截距為 b ⇒ 直線通過點 b 又直線斜率為 m ，代入點斜式得 y − b = m x − 0 ⇒ y = mx + b (

( 0, )

, 0)

O

( 0, )

(

a

)

斜截式

5

設直線 L 之斜率為 −1且 y 截距為 2 ，求此直線 設直線 L 之斜率為 − 12 且 y 截距為 −5 ，求此直 方程式。 線方程式。 解 m=− 解

1

且 y 截距 b = 2 由斜截式 y = mx + b ⇒ y = −x + 2

， b = −5 由斜截式 y = mx + b ⇒ y = − 12 x − 5 1 m=− 2

斜截式

6

已知直線 L : 5x + 2 y + 3 = 0 ，試將 L 化為斜截 已知直線 L : 3x − 4 y + 1 = 0 ，試將 L 化為斜截 式。 式。 解

⇒ m = − 52 令 x = 0 代入 ⇒ y = − 32 （即截距 b ） ∴ y = − 52 x − 32 L : 5x + 2 y + 3 = 0

L

解

⇒ m = − −34 = 34 令 x = 0 代入 ⇒ y = 14 （即截距 b ） ∴ y = 34 x + 14 L : 3x − 4 y + 1 = 0

L

斜截式

7

若直線 L 在兩坐標軸上的截距和為 4 ，且 L 之 若直線 L 在兩坐標軸上的截距和為 6 ，且 L 之 斜率為 3 ，則 L 之方程式為何？ 斜率為 −2 ，則 L 之方程式為何？ 解 利用斜截式，設直線 L : y = 3x + b

令 y = 0 ⇒ x = − b3 （ x 截距） 令 x = 0 ⇒ y = b （ y 截距） 依題意得 − b3 + b = 4 ⇒ 32 b = 4 ⇒ b = 6 ∴ L : y = 3x + 6 ，即 3x − y + 6 = 0

20

單元 1 直線方程式

解 利用斜截式，設直線 L : y = −2x + b

令 y = 0 ⇒ x = b2 （ x 截距） 令 x = 0 ⇒ y = b （ y 截距） 依題意得 b2 + b = 6 ⇒ 32 b = 6 ⇒ b = 4 ∴ L : y = −2 x + 4 ，即 2 x + y − 4 = 0

x

截距的應用

8

若直線 L : ax + by + 5 = 0 之圖形不經過第一象 若直線 L : ax − by = −2 之圖形不經過第二象 限，試判斷 a 、 b 與 m 之正負。 限，試判斷 a 、 b 與 m 之正負。 L

解 如圖所示：5

L

解 如圖所示：2

截距 − a < 0 ⇒ a > 0 5 y 截距 − < 0 ⇒ b > 0 b ⇒ m = − ba < 0 ∴ a > 0 b > 0 m = − ba < 0

1

截距 − a > 0 ⇒ a < 0 2 y 截距 < 0 ⇒ b < 0 b ⇒ m = ba > 0 ∴ a < 0 b < 0 m = ba > 0

x

x

L

L

L

L

焦點三 兩點式與截距式 1. 兩點式：

過相異兩點 P x y 、 P x y 之直線方程式為 y − y = yx −− xy x − x 。 x ≠ x 證 過相異兩點 P x y 、 P x y 之直線斜率為 m = yx −− xy 代入點斜式 y − y = m x − x ⇒ y − y = yx −− xy x − x 1 ( 1,

1)

2 ( 2,

1 ( 1,

0

1)

2)

1

2 ( 2,

(

2)

0)

1

補 給站

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

(

(

1)

( 1

2)

1)

1 若 x = x ，則直線方程式為 x = x 。 2 若 y = y ，則直線方程式為 y = y 。

( )

1

2

1

( )

1

2

1

2. 截距式：

直線在 x 、 y 軸上之截距分別為 a 、 b a 、b ≠ 0 ，則方程式為 ax + by = 1。 證 ∵ x 、 y 軸上之截距分別為 a 、b ，即直線通過 a 、 b 二點 ⇒ 斜率 m = a0 −− b0 = − ba 代入斜截式 y = mx + b ⇒ y = − ba x + b ⇒ ay + bx = ab ⇒ ax + by = 1 分析 直線 L : ax + by = 1與二坐標軸所圍成三角形面積為 12 a × b 。 (

)

(

, 0)

( 0, )

單元 1 直線方程式

21

兩點式 y − y = yx −− xy x − x

9

1

2

1

(

1)

試求過 A 2 − 與 B 3 兩點之直線方程式。 試求過 P − 與 Q 3 兩點之直線方程式。 2

(

3)

,

(

, 5)

解 ∵ 直線過 A − 與 B ( 2,

3)

(

( 3, 5 )

(

)

(

)

(

(

(

, 4)

3,1)

( 3, 4 )

二點

⇒ 由兩點式知 y −1 = 3 −4 −−13 x + 3

)

(

(

)

)

⇒ y −1 = 12 x + 3 ∴ 所求直線方程式為 x − 2 y + 5 = 0

)

(

)

直線方程式， x = x 或 y = y

10

試求過 A 與 B 兩點之直線方程式。 1 A − 、B − − 。 2 A 2 、B − ( )

(

1, 2 )

( )

(

, 3)

解

3,1)

解 ∵ 直線過 P − 與 Q

二點

⇒ 由兩點式知 y − −3 = 5 −3 −−23 x − 2 ⇒ y +3=8 x−2 ∴ 所求直線方程式為 8x − y − 19 = 0 (

1

(

(

1,

2)

1, 3 )

∵ x = x = −1 ∴ 所求直線方程式為 x = −1 2 ∵ y = y =3 ∴ 所求直線方程式 為 y =3

( )

1

1

( )

1

2

1

1

試求過 A 與 B 兩點之直線方程式。 1 A 2 、B 2 − 2 A − 、B − 。 ( )

(

( )

(1,

解

2

11

截距式

( )

( )

( )

( )

, 3)

(

2)

,

( 5,

1)

2)

∵ x =x =2 ∴ 所求直線方程式為 x=2 2 ∵ y = y = −2 ∴ 所求直線方程 式為 y = −2

( )

1

1

2

( )

1

2

設直線 L 的 x 截距為 −2 ， y 截距為 3 ，試求： 設直線 L : 3x + 4 y −12 = 0 ，試求： 1 L 的方程式 1 化直線 L 為截距式 2 L 與二坐標軸所圍成的面積。 2 L 與二坐標軸所成三角形面積。 解

由截距式知 L : −x2 + 3y = 1 ⇒ 3x − 2 y + 6 = 0 1 2 面積 = −2 × 3 = 3 2 1

( )

( )

(

)

解

L : 3x + 4 y − 12 = 0 (1) x=0 y =3 y=0 x=4

令 代入得 令 代入得 ∴ L 之截距式為 4x + 3y = 1 1 2 面積 = 4 × 3 = 6 2

( )

截距式的應用

12

若直線 L 在兩坐標軸上的截距相等（截距 設 a ≠ 0 ，直線 L 的 x 截距與 y 截距均為 a ，且 ≠ 0 ），且過點 −2 ，試求直線 L 之方程式。 過點 − ，試求直線 L 之方程式。 (

, 5)

解 設 截距 = 截距 = a ⇒ L : ax + ay = 1 x

y

又過點 − ⇒ L : −a2 + a5 = 1 ⇒ a3 = 1 ⇒ a = 3 ∴ L : 3x + 3y = 1 ，即 x + y − 3 = 0 (

22

2, 5 )

單元 1 直線方程式

( 3,

7)

解 設直線 L : a + ay = 1 ，過點 3 − x

(

,

7)

⇒ L : a3 + −a7 = 1 ⇒ −a4 = 1 ⇒ a = −4 ∴ L : −x4 + −y4 = 1 ，即 x + y + 4 = 0

1

觀念『○』與『×』 觀念澄清加強 （×）1 設直線 L : 2 x − 3 y + 6 = 0 ，則直線 L 直線通過第一、二、三象限 之圖形通過第一、三、四象限。 （×）2 過 A 3 − ， B 3 的直線方程式為 直線 x = 3 的斜率不存在 x = 3 ，且其斜率為 0 。 .

.

(

,

1)

(

, 8)

年 月 日動手 年 月 日完成 1 直線斜率為 34 ，且過點 之方程式為 3x − 4 y + 6 = 0 。 ★ 2 直線斜率為 − 2 ，且過點 −3 之方程式為 2 x + 3 y + 3 = 0 。 3 3. 直線斜率為 13 ， y 截距為 −5 之方程式為 x − 3 y −15 = 0 。 4. 直線斜率為 −2 ， y 截距為 3 之方程式為 2 x + y − 3 = 0 。 5. 直線斜率為 53 ，且過點 0 之方程式為 5x − 3 y + 6 = 0 。 ★ 6. 設 A −2 、 B ，則 AB 的垂直平分線方程式 L 為 3x − 2 y + 3 = 0 。 ★ 7. △ ABC 中， A 、 B − − 、 C ，則 AB 邊上高的直線方程式為 7 x + 6 y − 33 = 0 。 ★ 8. △ ABC 中， A 、 B − − 、 C ，則過 A 點且平分 △ ABC 面積之直線方程式為 3x − 4 y − 4 = 0 。 9. 設直線 L 之斜率為 23 且 y 截距為 4 ，則此直線方程式為 y = 23 x + 4 。 10. 將直線 L : 2x + 5 y + 2 = 0 化為斜截式為 y = − 52 x − 52 。 11. 設直線 L 之斜率為1且 y 截距為 −3 ，則此直線方程式為 y = x − 3 。 ★ 12. 過 A 與 B − 兩點之直線方程式為 5x + 4 y −13 = 0 。 13. 已知直線 L : x + 4 y + 6 = 0 ，則將 L 化為斜截式為 y = − 14 x − 32 。 14. 直線的 x 截距為 −3 ， y 截距為 4 之方程式為 4 x − 3 y + 12 = 0 ，其斜率為 43 。 ★ 15. 直線 L : 2 x − 3 y − 6 = 0 之圖形不經過第 二 象限。 ★ 16. 直線過 、 0 − 兩點，其直線方程式為 4x − 5 y − 20 = 0 。 ★ 17. 一直線 L : 5x − 2 y + 20 = 0 與兩坐標軸所圍成之三角形面積為 20 。 ★ 18. 設 a 、 b 為實數，且 ab ≠ 0 ，若方程式 x + y = 1 所表示的圖形不通過第四象限，則 a − b ab a b 在第 三 象限。 .

( 2, 3 )

.

(

(

(

, 5)

(1, 2 )

( 5, 0 )

,1)

, 2)

( 4,1)

( 4, 2 )

(

3,

4)

( 3, 2 )

( 4, 2 )

(

3,

4)

( 3, 2 )

( 5,

(

3)

,

4)

(

,

單元 1 直線方程式

)

23

二元一次方程式的圖形

1-3.3

焦點一 直線的一般式與其斜率的關係 1. 直線的一般式： a b c∈» ax + by + c = 0

，且 a + b ≠ 0 的二元一次方程式 ax + by + c = 0 圖形為一直線，而 稱為直線的一般式。 c 1 當 b = 0 ， a ≠ 0 時， ax + by + c = 0 可化為 x = − ，此表示圖形是通過點 a c 且與 x 軸垂直的直線，其斜率不存在。 a

設 、 、

2

2

( )

⎛ ⎜− ⎝

,0

⎞ ⎟ ⎠

當 b ≠ 0 時， ax + by + c = 0 可化為 y = − ba x − bc ，此表示圖形是斜率為 − ba 且 y 截距是 c − 的直線。 b 提醒 a + b ≠ 0 ⇒ a 、 b 不同時為零 2

( )

2

2

二元一次方程式的圖形

1

試求直線 x − 2 y + 10 = 0 的斜率，並畫出其圖 試求直線 4x + 3 y −12 = 0 的斜率，並畫出其圖 形。 形。 解 斜率 m = − ba = − 34

解 斜率 m = − ba = − −12 = 12 x y

0 −10 5 0

x

圖形為通過 0 及 −1 兩點 的直線 (

24

, 5)

單元 1 直線方程式

(

0, 0 )

y

0 3 4 0

圖形為通過 直線

( 0, 4 )

及 3 兩點的 (

, 0)

2

試求下列各直線的斜率，並描繪其圖形。 1 5x − 3 = 0 2 3 y + 2 = 0 。 ( )

( )

解

原式 ⇒ 5x + 0 y − 3 = 0 ⇒ m = − 50 （斜率不存在） ∴ 圖形表通過點 且與 x 軸垂直之直線 2 原式 ⇒ 0 x + 3 y + 2 = 0 ⇒ m = − 03 = 0 （斜率為 0 ） ∴ 圖形表通過點 且與 x 軸平行之直線 1

( )

⎛3 ⎞ ⎜ ,0 ⎟ ⎝5 ⎠

作圖

試求下列各直線的斜率，並描繪其圖形。 1 3x + 2 = 0

2 4y −5 = 0

( )

( )

解

(1)

( )

1

原式 ⇒ 3x + 0 y + 2 = 0 ⇒ m = − 03 （斜率不存在） ∴ 圖形表通過點 且與 x 軸垂 直之直線 原式 ⇒ 0x + 4 y − 5 = 0 ⇒ m = − 04 = 0 （斜率為 0 ） ∴ 圖形表通過點 且與 x 軸平行之直線 ⎛ 2 ⎞ ⎜ − ,0 ⎟ ⎝ 3 ⎠

( )

(2)

2⎞ ⎛ ⎜ 0, − ⎟ 3 ⎝ ⎠

⎛ 5⎞ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 4⎠

焦點二 求與 ax + by + c = 0 平行（垂直）的直線 相互平行的直線斜率相等，相互垂直的直線斜率乘積等於 −1。 設直線 L : ax + by + c = 0 ，則 1 當 L L 時，可設 L 之方程式為 ax + by + k = 0 k ≠ c 。 2 當 L ⊥ L 時，可設 L 之方程式為 bx − ay + k = 0 。 ( )

1//

( )

2

(

1

)

2

求與 ax + by + c = 0 平行的直線

3

設 A − 、 B ，求通過 AB 線段中點， 求過點 且與直線 x − 2 y − 3 = 0 平行的直線 方程式。 且與 2 x + 3 y + 7 = 0 平行的直線方程式。 (

解

3, 2 )

( 2, 3)

(1, 2 )

線段中點 設與 2 x + 3 y + 7 = 0 平行的直線為 2 x + 3 y + k = 0 ，又過點 − ⇒ −2 + 6 + k = 0 ⇒ k = −4 ∴ 所求直線方程式為 2 x + 3 y − 4 = 0 AB

⎛ −3 + 1 2 + 2 ⎞ , =⎜ ⎟ = ( −1, 2 ) 2 ⎝ 2 ⎠

(

1, 2 )

解 設與 − 2 − 3 = 0 平行的直線為 x

y

，又過點 ⇒ 2−6+k = 0 ⇒ k = 4 ∴ 所求直線方程式為 x − 2 y + 4 = 0 x − 2y + k = 0

( 2, 3)

單元 1 直線方程式

25

求與 ax + by + c = 0 垂直的直線

4

求通過點 且與直線 x + 2 y + 3 = 0 垂直的直 設 A − 、 B ，求通過 AB 線段中點， 線方程式。 且與 4 x + 5 y − 6 = 0 垂直之直線方程式。 ( 2,1)

(

解 設與 + 2 + 3 = 0 垂直之直線 x

解

y

為 2 x − y + k = 0 ，又通過點 ⇒ 4 −1 + k = 0 ⇒ k = −3 ∴ 直線方程式為 2 x − y − 3 = 0

( 2,1)

2,1)

( 8,1)

線段中點 設與 4 x + 5 y − 6 = 0 垂直之直線 為 5x − 4 y + k = 0 ，又通過點 ⇒ 15 − 4 + k = 0 ⇒ k = −11 ∴ 直線方程式為 5x − 4 y −11 = 0 AB

⎛ −2 + 8 1 + 1 ⎞ =⎜ , ⎟ = ( 3,1) 2 2 ⎠ ⎝

( 3,1)

焦點三 二元一次方程組的幾何意義

設兩直線 L : a x + b y + c = 0 與 L : a x + b y + c = 0 所組成的方程組為 ⎧⎨aa xx ++bb yy++cc ==00 ⎩ a b 1 當 ≠ ⇔ L 與 L 相交於一點 ⇔ 相容方程組（恰有一組解 ⇒ 交點坐標） a b a b c ⇔ L L （平行） ⇔ 矛盾方程組（無解） 2 當 = ≠ a b c a b c 3 當 = = ⇔ L = L （重合） ⇔ 相依方程組（有無限多組解） a b c 4 當a a +bb = ⇔ L ⊥ L （互相垂直） ⇔ 相容方程組的特例（一組解） 1

( )

( )

( )

( )

1

1

1

1

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1 2

1

1

1 2

2

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1//

2

1

2

0

1

2

二直線的關係

5

試判斷下列各組二直線的關係為相交於一點、 試判斷下列各方程組解的個數： 平行或重合： ⎧3 x + 5 y − 7 = 0 ⎧4 x − y + 5 = 0 1 ⎨ 2 ⎨ ⎧x − 2 y + 3 = 0 (1) ⎨ ⎩ −2 x + 4 y − 6 = 0 ⎧x + 2 y − 4 = 0 (3) ⎨ ⎩3 x + 6 y − 5 = 0

⎧5 x + 3 y + 7 = 0 (2) ⎨ ⎩2 x − y + 5 = 0

。

解

⇒

⇒

26

⇒

1 −2 3 (1) 重合 = = −2 4 −6 5 3 ≠ 相交於一點 (2) 2 −1 1 2 −4 (3) = ≠ 平行 3 6 −5

單元 1 直線方程式

( )

( )

⎩10 x + 4 y + 3 = 0 ⎧2 x − 3 y − 1 = 0 (3) ⎨ ⎩6 x − 9 y − 3 = 0

。

解

⇒

⎩8 x − 2 y + 3 = 0

3 5 ≠ 恰有一組解 10 4 4 −1 5 (2) = ≠ 無解 8 −2 3 2 −3 −1 (3) 無限多組解 = = 6 −9 −3 1

( )

⇒ ⇒

二直線的關係

6

二直線之方程式 L x + ay = ， L : ax + 9 y = 15 ，試分別求 a 值，使得 1 L L 2 L 與 L 重合。 1:4

二直線之方程式 L kx − y = ， L x − ky = ，試分別求 k 值，使得 1 L L 2 L 與 L 重合。

10

2 :16

2

( )

解

1//

( )

2

⎧4 x + ay = 10 ⎨ ⎩ax + 9 y = 15 4 a = a 9

令

1

( )

2

1 //

(2)

1

2

( )

2

令 16 = −−4 ⇒ − = −64 ⇒

k = ±8

1

1 //

k

2

6

1

k

k

( )

2

(2)

2

(

(

)

(

)

1

2

當 k = −8 時 16−8 = −84 ≠ 63 ⇒ L L 當 k = 8 時 168 = −−48 = 63 ⇒ L 與 L 重合 1

觀念『○』與『×』 （○）1 直線 L : ax + by + c = 0 b ≠ 0 ，則與 L 平行的直線可設為 ax + by + k = 0 k ≠ c 。 （○）2 直線 L : ax + by + c = 0 b ≠ 0 ，則與 L 垂直的直線可設為 bx − ay + k = 0 。 .

3

⎧kx − 4 y = 3 ⎨ ⎩16 x − ky = 6

⇒ a = 36 ⇒ a = ±6 4 −6 10 1 當a =− 時 = ≠ ⇒ L L −6 9 15 當 a = 6 時 64 = 96 = 1015 ⇒ L 與 L 重合

( )

4

6

1//

解

1:

2

2

觀念澄清加強

)

.

年 月 日動手 年 月 日完成 ★ 1. 通過點 P (

且與 3x + y − 3 = 0 平行的直線方程式 L 為 3x + y − 6 = 0 。 2. 若 L 為和直線 2 x + y −1 = 0 平行且過點 之直線，則 L 之方程式為 2 x + y − 3 = 0 。 3. 通過點 且與 3x + 4 y −1 = 0 垂直的直線方程式 L 為 4 x − 3 y − 20 = 0 。 ★ 4 過點 且與 x − 2 y − 5 = 0 垂直的方程式為 2x + y − 7 = 0 。 5. 求過直線 L : x + y −1 = 0 及 L : 2 x − y + 4 = 0 之交點，且與 L : x − 2 y = 1 垂直之直線方程式為 2x + y = 0 。 ★ 6 設一直線 5 x + ay + b = 0 過兩直線 3x + y + 4 = 0 ， 2 x + 5 y − 6 = 0 的交點，並與直線 5 x − 12 y + 3 = 0 平行，則 b 之值為 34 。 7. 設一直線與直線 3x − 2 y + 7 = 0 垂直，且其二截距和為 8 ，則此直線的方程式為 10 x + 15 y − 48 = 0 。 8. 方程組 ⎧⎨⎩32xx +− 43 yy ++ 799==00 之解的個數為 一組 。 9. 直線 L : 2x − y + 1 = 0 與 L : 4 x − 2 y + 3 = 0 的關係為 平行 。 1 ★ 10 設二直線 L : 3x + 3m − 2 y = 2 與 L : m − 2 x + 3 y = 4 ，若 L ⊥ L ，則 m 值為 。 11. 設 L : ax − 6 y = b + 1 ， L : x + 3 y = a ，試求 L 、 L 重合時 a + b 之值為 1 。 12. 設直線 L 與直線 x + 2 y + 3 = 0 平行，且與兩坐標軸所圍成的三角形面積為 9 ，則 L 之方程式為 x + 2 y + 6 = 0或x + 2 y − 6 = 0 。 1, 3 )

(1,1)

( 5, 0 )

.

( 3,1)

1

2

3

.

1

.

2

1

1

(

)

2

2

(

)

1

1

2

2

單元 1 直線方程式

27

點與直線的距離

1-3.4

焦點一 點與直線的距離 1. 點至直線之距離：

設點 P x y ，直線 L : ax + by + c = 0 ，則 P 點至直線 L 之距離為 d = ax a+ by+ b+ c 。 0

( 0, 0 )

0

2

2

2. 兩平行線之距離：

設直線 L : ax + by + c = 0 與 L : ax + by + c = 0 為兩平行線，則 L 與 L 之距離為 d = ca −+cb 。 1

1

2

2

1

1

2

2

2

2

點到直線之距離

1

求點 − 到直線 3x − 4 y + 1 = 0 之距離。 (

2,1)

解 點 − 到直線 3 − 4 +1 = 0 之距離 (

d=

x

2,1)

y

3 × ( −2 ) − 4 ×1 + 1 3 + ( −4 ) 2

2

=

9 5

試求點 − 到直線 L : 4x + −y8 = 1 的距離。 (

3,1)

解 將直線 L 化為一般式得 2 − − 8 = 0 x

y

∴ d = 2 × −3 −1 − 8 = 155 = 3 5 (

)

22 + ( −1)

2

點到直線之距離應用（回顧 P15 老師 ）

2

試求斜率為 13 且到 − 之距離為 10 之直線 已知直線 L 的斜率為 3 ，且與點 − 之距離 為 10 ，試求 L 之方程式。 方程式。 解 ∵ 斜率為 (

設直線方程式為 x − 3 y + k = 0 又 d = −2 − 3 + k = 10 2

⇒ k 10− 5 = 10 ⇒ k − 5 = 10 ⇒ k − 5 = 10 或 k − 5 = −10 ⇒ k = 15 或 k = −5 ∴ 所求直線為 x − 3 y + 15 = 0 或 x − 3 y − 5 = 0

28

單元 1 直線方程式

1, 3 )

3

解 ∵ 斜率為 13

12 + ( −3)

(

2,1)

設直線方程式為 3x − y + b = 0 又 d = 3 × −1 − 3 + b = 10 (

)

32 + ( −1)

2

⇒ b −106 = 10 ⇒ b − 6 = 10 ⇒ b − 6 = 10 或 b − 6 = −10 ⇒ b = 16 或 b = −4 ∴ 所求直線為 3x − y + 16 = 0 或 3x − y − 4 = 0

點到直線之距離應用：求線段比

3

平面上兩點 P 、 Q − ，直線 L 的方程 平面上兩點 A − 、 B − − ，直線 L 的方 式為 x + y −1 = 0 ，若線段 PQ 與直線 L 交於 程式為 2 x + y + 3 = 0 ，若線段 AB 與直線 L 交 於 P ，試求 AP PB 。 R ，試求 PR RQ 。 ( 2, 2 )

(

2,1)

( 2,

:

解

=

2 + 2 −1

1 +1 = 3: 2 2

2

:

−2 + 1 − 1

5,

1)

1

AP : PB = d ( A, L ) : d ( B, L ) =

4−2+3

2 +1 = 5:8

1 +1 2

(

:

解

PR : RQ = d ( P, L ) : d ( Q, L )

2)

2

2

2

:

−10 − 1 + 3 22 + 12

兩平行線間的距離

4

求兩平行線 3x + 4 y = −99 與 −3x − 4 y + 11 = 0 試求兩平行線 x + 2 y + 3 = 0 與 2x + 4 y −14 = 0 之間的距離。 之間的距離。 解 整理得 ⎧⎨33 ++ 44 +−1199==00 ⎩ x

y

x

y

解 整理得 ⎧⎨⎩22 ++ 44 +−146 ==00

由兩平行線距離公式知 d=

99 − ( −11) 3 +4 2

2

=

x

y

x

y

∴ d = 6 −2 −+144 = 2020 = 2 5

110 = 22 5

(

)

2

2

年 月 日動手 年 月 日完成 ★ 1. 點 ( − ) 至直線 x + y − 3 = 0 之距離為 2,

1

2

。 。

直線 4x + 3 y + 10 = 0 與原點的距離為 2 3 10 3. 在坐標平面上，若 L : y = 3 x + 5 為一直線，則點 − 至 L 的距離為 。 2 ★ 4. 斜率為 − 2 且到 − 距離為 13 之直線方程式為 2 x + 3 y + 15 = 0或2 x + 3 y − 11 = 0 。 3 5. 設兩直線 x + 2 y − 2 = 0 ， 2 x − 2 y − 4 = 0 之交點為 P ，則 P 到直線 4 x − 3 y + 2 = 0 之距離為 2 。 6. 與直線 x + 3 y − 2 = 0 平行且距離為 2 10 之直線方程式為 x + 3 y + 18 = 0或x + 3 y − 22 = 0 。 ★ 7 與直線 5x + 12 y − 3 = 0 平行且與點 − 距離為 2 之直線方程式為 5 x + 12 y + 19 = 0或5 x + 12 y − 33 = 0 。 ★ 8 直線斜率為 − 3 且到原點之距離為 13 之方程式為 3x + 2 y + 13 = 0或3x + 2 y − 13 = 0 。 2 2.

( 3,

( 2,

.

1)

2)

(

1,1)

.

單元 1 直線方程式

29

設兩平行線 3x − 4 y + k = 0 ， 3x − 4 y − 6 = 0 之距離為 2 ，則 k 有二解，則此二解和為 − 12 。 ★ 10 平面上兩點 P − 、 Q − ，直線 L 的方程式為 x − y − 3 = 0 ，若線段 PQ 與直線 L 交於 R 點，則 PR RQ = 1: 2 。 2 13 11. 直線 2 x + 3 y + 4 = 0 與 2 x + 3 y − 22 = 0 之距離為 。 5 。 12. 直線 x − 2 y + 1 = 0 與 2 x − 4 y − 8 = 0 之距離為 1 8 13. 設 L : y = x + 5 ， L : x − 3 y − 1 = 0 ，則 L 與 L 之距離為 10 。 3 5 x y x y + = −5 ， L + = −10 ，則 L 與 L 之距離為 12 。 14. 設 L 3 4 3 4 15. 點 − 至直線 L : 3x + 4y = 1的距離為 1 。 9.

.

( 2,

5)

(

2, 3 )

:

(

1

2

1

2

1:

2 :

1

2

2, 5 )

年 月 日動手 年 月 日完成 一、基本觀念穩固基本能力指標 ★（ C ）1 若 ab > 0 ， b > 0 ，則點 P −a −b 和點 Q a b 分別在第幾象限？ Ａ 一、三 a Ｂ 二、四 Ｃ 三、一 Ｄ 四、二。 ★（ C ）2 下列哪一個函數為一直線？ Ａ = −1 Ｂ g x = −x − 2 Ｃ h x = −x + 2 Ｄ k x = x +1。 （ A ）3 設 A − 、 B − 的中點為 M ，則 C − 到 M 的距離為 Ａ 5 Ｂ 11 Ｃ 17 Ｄ 23 。 ★（ B ）4 直角坐標平面上， A − 、 B − ，若 P x y 在 AB 上且 2 AP = BP ，則 x + y = Ａ − 23 Ｂ − 13 Ｃ 13 Ｄ 23 。 （ C ）5 ABCD 為平行四邊形，且 A 、 B 、 C 、 D a b ，則 a − b = Ａ 11 Ｂ 10 Ｃ 1 Ｄ −1。 （ B ）6 設 x 軸上一點 P a b ，到 A − 、 B − 二點等距離，則 a + b = Ａ −2 Ｂ −1 Ｃ 0 Ｄ 1。 ★（ D ）7 直角坐標系中有三條直線 L 、L 、L ，其斜率分別是 m 、m 、m ，如右圖。則下列何者正確？ Ａm > m > m Ｂm < m < m Ｃm m < 0 Ｄm m < 0。 ★（ B ）8 若 a > 0 且 b < 0 ，則 y = ax + b 之圖形不通過哪一個象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 .

(

(

)

(

)

(

(

( )

)

.

( 3,

(

(

2)

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(

)

(

)

2, 3 )

(

)

(

)

(

,

(1,

2

(

)

1

(

)

1

(

)

2

(

(

)

4)

(

( 5, 9 )

( 4, 6 )

單元 1 直線方程式

(

3

(

)

1

( 2,

(

2, 3 )

2

3

1)

)

(

)

)

)

1

2

2

3

3

(

)

(

)

(

(

,

)

(

(

2

(

,

(10, 7 )

.

30

2

( )

3,1)

3

2

)

)

)

.

1

)

)

.

(

(

3

( )

.

(

x

⎞ ⎟ ⎠

,

(

(

)

) f ( x)

5, 6 )

.

(

⎛ ⎜ ⎝

)

.

(

)

,

)

)

)

（ B ）9 直線 L : 2 x + 3 y + 4 = 0 與 L : 7 x + ay − 5 = 0 互相垂直，則 a 之值為何？ Ａ 143 Ｂ − 143 Ｃ 127 Ｄ 23 。 （ A ）10 過點 − 與 之直線方程式為何？ Ａ 5x − y −11 = 0 Ｂ 5x + y − 11 = 0 Ｃ 5x − y + 11 = 0 Ｄ 5x + y + 11 = 0 。 ★（ A ）11 已 知 兩 點 A − 與 B ， 則 線 段 AB 的 垂 直 平 分 線 方 程 式 為 何 ？ Ａ x + 2 y − 5 = 0 Ｂ 2x − y − 5 = 0 Ｃ x − 2 y −1 = 0 Ｄ 2x + y − 7 = 0 。 （ A ）12 過點 且與直線 y = 52 x −1平行的直線方程式為何？ Ａ y = 52 x − 2 Ｂ y = 52 x + 2 Ｃ y = 52 x − 2 Ｄ y = 52 x + 2 。 年 月 日動手 年 月 日完成 二、推理應用學習概念系統歸納 ★（ C ）1 若函數 y = x + 2 x − 4 ，則其頂點坐標落在第幾象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 ★（ A ）2 = 的圖形是一通過 、 二點的直線，則 −1 = Ａ −3 Ｂ −1 Ｃ1 Ｄ 3 。 （ A ）3 若點 P x y 的坐標滿足方程式 3x + 2 y − 8 + x + 2 y − 4 = 0 ，則點 P x y 的坐標在 第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 （ D ）4 函數 f x = ax + b 且其圖形經過 A 、 B − − ，則 5 = Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4。 ★（ C ）5 若函數 = 2 − 4 + ，有極小值 −3 ，則 k 值為何？ Ａ −3 Ｂ −2 Ｃ −1 Ｄ0 。 ★（ D ）6 設 a ≠ 0 ， y = f x = ax + bx + c 之圖形如右，則下列 何者正確？ Ａ a a + b + c > 0 Ｂ b a − b + c > 0 Ｃ c a − b + c > 0 Ｄ a b − 4ac < 0 。 .

1

(

2

)

(

.

( 2,

(

)

(

1)

(

(

.

( 2,

(

.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

(

.

(

(

)

(

)

(

.

(1,1)

,

( 2, 3 )

(

)

(

)

(

)

(

( )

)

(

)

(

)

)

2

(

,

)

(

)

)

( 2,1)

f ( x)

x

(

3,

4)

f (

)

(

)

)

(

)

(

)

2

x

k

(

(

)

)

.

2

( )

(

(

)

)

.

(

f (

)

(

(

(

)

(

.

)

)

f ( x)

y

)

)

2

.

)

( 4, 3)

( 2, 3)

(

1

)

1)

)

)

)

( 3, 4 )

)

(

(

)

(

)

(

)

)

(

(

)

2

(

)

(

)

)

（ D ）7 如右圖，兩直線 L 、 L 之方程式分別為 L : x + ay + b = 0 ， L : x + cy + d = 0 ；試問下列哪個選項是正確的？ Ａ a >0 Ｂ b >0 Ｃ c >0 Ｄ d >0。 ★（ A ）8 設 a 、 b 為實數，且 a + b < 0 ， ab > 0 ，則直線 ax + by − ab = 0 不通過第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 （ C ）9 二元一次方程式 ax + by + 1 = 0 的圖形通過 A − 、 B − k 兩點，且知圖形與 x 軸 相交於 C ，求 k 值為何？ Ａ 1 Ｂ 32 Ｃ 2 Ｄ 52 。 （ D ）10 已知直線 L 之 x 截距為 6 ， y 截距為 3 ，則下列敘述何者正確？ Ａ 直線 L 之斜率 > 0 Ｂ 直線 L 之方程式為 x + 2 y = 12 Ｃ 直線 L 之方程式為 2 x + y = 12 Ｄ 直線 L 之方程式為 x + 2 y = 6 。 .

1

2

1

2

(

)

(

)

(

)

(

)

.

(

(

)

(

)

(

)

)

.

(

( 3, 0 )

(

)

(

3, 3 )

(

)

.

)

(

(

1,

)

)

(

(

)

(

)

)

(

)

單元 1 直線方程式

31

（ B ）11 由點 至直線 3x + 4 y + 8 = 0 之距離為何？ Ａ 6 Ｂ 5 Ｃ 4 Ｄ 3 。 ★（ D ）12 設線段 AB 的兩端點為 A − 與 B ，若直線 x + ay + b = 0 為 AB 的垂直平分 線，則 a + b = Ａ 7 Ｂ −7 Ｃ 8 Ｄ −8 。 （ A ）13 若三點 A − 、 B 、 C a − a + 在一直線上，則 a 之值為何？ Ａ −2 Ｂ 2 Ｃ −8 Ｄ 8 。 .

( 3, 2 )

(

.

(

(

.

(

(

)

(

)

1, 3 )

)

(

1, 3 )

)

(

(

)

(

)

(

)

(1, 7 )

(

)

(

2,

3)

(

( 2, 5 )

)

)

(

)

)

年 月 日動手 年 月 日完成 ★（ D ）1 設 A 、 B 、 C − − 是三角形 ABC 的三頂點，若 D 、 E 、 F 分別是 AB 、 BC 、 CA 的中點，則三角形 DEF 的重心坐標為下列何者？ Ａ − Ｄ 。 【101 統測(A)】 Ｂ − Ｃ （ D ）2 函數 = −2 + 3 − 4 的圖形，其頂點落在第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 【101 統測(A)】 ★（ C ）3 無論 m 為任何實數，直線 mx − y + 1 = 3m 都通過下列哪一點？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 。 【101 統測(A)】 （ C ）4 已知直線 L ， L 方程式分別為 L : 4 x + m −1 y = 15 ， L : 2m + 3 x + 6 y = 7 ，且 13 7 3 3 L 垂直 L ，則 m 之值為何？ Ａ − Ｂ − Ｃ − Ｄ − 。 【101 統測(B)】 7 6 7 8 ★（ A ）5 設直角坐標平面上四點 A − ， B b b ， C c c ， D 在同一直線上，依序 為 A 、 B 、 C 、 D ，且 B 、 C 兩點將線段 AD 三等份，則點 C 之坐標 c c 為何？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 。 【101 統測(B)】 （ A ）6 直線 L : 2 x − y − 1 = 0 ， L : x + 3 y − 4 = 0 ， L : x + ay + 3 = 0 ，若 L 、 L 、 L 三直 線相交於一點，則 a 之值為何？ Ａ −4 Ｂ −2 Ｃ 2 Ｄ 4 。 【101 統測(B)】 ★（ D ）7 已知函數 f x = a x + 1 − 2 的圖形不會經過第四象限，則 a 之值可能為下列哪一 數？ Ａ −1 Ｂ Ｃ Ｄ 。 【101 統測(B)】 （ D ）8 平面上四點 A 、 B a 、 C b − 、 D − ，其中 b 為正數，若 AB 與 CD 互 相平行，且 BD 與 AC 互相垂直，求 a + b 之值為何？ Ａ 7 Ｂ Ｃ Ｄ 10 。 【101 統測(C)】 ★（ B ）9 設 P − 與 Q − ，若直線 L : ax + 3 y + b = 0 為 PQ 的垂直平分線，求 a + b 之 值為何？ Ａ − 152 Ｂ −5 Ｃ −1 Ｄ 32 。 【101 統測(C)】 （ D ）10 設點 A x + y − 在第二象限，則點 B y + x + 在第幾象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 【100 統測(A)】 （ C ）11 設點 A 坐標為 − ，且 B 、 C 兩點在直線 L : 3x − 4 y = 1 上，若線段 BC 的長為 3， 【100 統測(A)】 則△ ABC 的面積為何？ Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 6 。 .

( 5, 8 )

(

)

( 2,

.

( 7, 0 )

3)

(

(

( 2, 3 )

)

f ( x)

(

x

2

(

2)

3,

)

(

)

(

2, 3 )

)

( 0,1)

( 3, 2 )

)

x

(

)

(

)

)

.

(

(

(

)

( 3,1)

(

.

)

( 0, 0 )

(

( 2,1)

1

1

)

2

(

1

2

(

.

(

)

(

2,1)

)

)

(

( 1, 2 )

(

2

)

(

( 1, 2 )

)

)

( 4, 3 )

( 1, 2 )

(

)

⎛ 7⎞ ⎜ 2, ⎟ ⎝ 3⎠

.

(

⎛2 4⎞ ⎜ , ⎟ ⎝3 3⎠

)

(

)

1

⎛1 2⎞ ⎜ , ⎟ ⎝3 3⎠

(

⎛ 5⎞ ⎜ 0, ⎟ ⎝ 3⎠

)

2

3

(

.

( )

(

)

(

(

.

)

0.4

)

(

(1,1)

(

)

(

1

)

(

(

2, 4 )

( 2,

(

.

(

)

.

)

1.8

(

, 2)

3.2

)

(

,

1)

( 0,

2)

(

)

(

)

2)

(

)

(

單元 1 直線方程式

)

(

3)

5,

(

)

(1,

)

(

(

1)

1,

)

2)

(

32

)

)

.

(

(

3

2

2

(

)

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

)

8

(

)

9

（ C ）12 已知 = −2 + 1 ，則此函數的圖形不會經過哪一象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 【100 統測(B)】 與B 兩 點 ， 若 點 P 落 在 線 段 AB 上 ， 且 （ B ）13 已 知 A AP : BP = 2 : 3 ，則 P 點之 y 坐標為何？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 。 【100 統測(B)】 （ A ）14 已知 A a 與 B b 兩點，若線段 AB 的中點為 M − ，則點 A 到 y 軸的距離與 點 B 到 x 軸的距離之和為何？ Ａ Ｂ 10 Ｃ 11 Ｄ 12 。 【100 統測(B)】 （ C ）15 設點 a 落在 與 兩點的連線上，則 a = Ａ −1 Ｂ − Ｃ Ｄ 1。 【100 統測(B)】 ★（ D ）16 設直線 L 的斜率為 − 2 且通過點 − ，又直線 L 的 x 、 y 軸截距分別為 1、2，則 下列敘述何者正確？ Ａ L 與 L 相交於點 − Ｂ L 與 L 相交於點 − Ｃ L 與 L 平行且兩線相距 25 Ｄ L 與 L 平行且兩線相距 65 。 【100 統測(C)】 （ A ）17 設 a 、 b 、 c 為實數，且二次函數 y = ax + bx + c 的圖形如圖所示， 則點 P b − ac abc 在第幾象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 【100 統測(C)】 （ C ）18 若直線 24 x − 7 y = 53 與二直線 x = 0 、 x = 7 分別交於 A 、 B 二點， 【100 統測(C)】 則線段 AB 的長度為何？ Ａ 247 Ｂ 537 Ｃ 25 Ｄ 53 。 ★（ D ）19 已知直線 L : y = m x + b 及直線 L y = m x + b ，如圖所 示，則下列敘述何者正確？ Ａ m < 0且b > 0 Ｂ m > 0 且b < 0 Ｃ m < 0 且b > 0 Ｄ m > 0 且b < 0 。 【99 統測(A)】 （ C ）20 已知直線 L x − y − = 及 A 、 B − 兩點。若 d 為點 A 到直線 L 的距離， d 為點 B 到直線 L 的距離，則 下列何者正確？ Ａ d = 135 Ｂ d > 135 Ｃ d = 185 Ｄ d < 185 。 【99 統測(A)】 （ B ）21 已知平面上三點 A ， B 及 C k ，若線段 AB 及 AC 垂直，則 k = Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4。 【99 統測(B)】 （ C ）22 設 A − ， B 為坐標平面上兩點，且 C 為線段 AB 上一點，使得 2 AC = 3BC 。 求 A 與 C 兩點間之距離為何？ Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4 。 【99 統測(B)】 （ C ）23 已知直線 L : 3x − 4 y − 3 = 0 ， L : 2 x − 3 y −13 = 0 ， L : x + y + 1 = 0 ，求 L 和 L 之 【99 統測(B)】 交點到直線 L 之距離為何？ Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ 3 Ｄ 4 。 ★（ B ）24 關於直線 L : x + 4 y = 28 ，下列敘述何者正確？ Ａ 斜率為 7 Ｂ y 截距為 7 Ｃ 通過點 Ｄ x 截距為 7 。 【99 統測(C)】 .

f ( x)

(

x

)

(

.

(

)

(

(1.38, 0.4162 )

)

)

(

, 0)

( 3, )

(

(

.

(

, 2)

(

)

0.4168

(

)

0.4171

9

)

(

)

(

1, 2 )

)

(

)

( 2, 5 )

(1, 3)

(

)

(

)

0.5

)

0.5

( 4,

6)

(

)

.

( 0,

1

(

(

0.4165

)

0.4174

.

(

1

(1.39, 0.4177 )

(

(

)

)

1

1

)

4)

2

( 2,

2

2

(

1

)

8)

(

)

1

2

2

2

.

(

(

2

4

)

)

,

(

(

)

(

)

)

.

(

.

1

1

)

(

1

(

(

)

1

1

.

(

: 3

2

)

4

12

)

( 2,1)

)

.

(

(

1

(

1

(

)

)

(

1, 2 )

(1, 3 )

2

( 6,

3)

1

(

( 4,

)

(

)

( 2, 6 )

)

(

)

(

)

(

2

1

(

.

)

( 7, 7 )

(

)

3

(

)

(

)

(

(

)

2

)

)

1

(

)

2

2

)

( 0, 0 )

0

(

.

1

)

(

2

.

(

2

)

2

(

)

(

2 :

2

1

(

)

)

2

3

)

(

)

)

單元 1 直線方程式

33

（ D ）25 設三直線 L : x + 3 y − 2 = 0 ， L : 3x + y + 2 = 0 ， L : x − y − 2 = 0 ，且 L 與 L 相交於 A 點，則過 A 點且與 L 平行的直線，不通過哪一個象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 【99 統測(C)】 （ C ）26 設 A − − 與 B 為坐標平面上之兩點。若點 C 在線段 AB 上，且 4 AC = 3BC ， 【99 統測(A)】 則 BC = Ａ 2 Ｂ 3 2 Ｃ 4 2 Ｄ 5 2 。 （ C ）27 已知坐標平面上三點 A − 、 B − − 與 C x y 。若線段 AB 、 BC 與 CA 所形 成的三角形 △ ABC 中， ∠ A 為直角，則點 C 之坐標 x y 可以是下列何者？ Ａ − Ｂ Ｃ Ｄ 。 【98 統測(A)】 （ A ）28 坐標平面上的直線 4 x − 3 y + 12 = 0 ，與 x 軸及 y 軸所圍成之三角形的面積為何？ Ａ 6 Ｂ 7 Ｃ 12 Ｄ 24。 【98 統測(A)】 ★（ D ）29 已知 A − 與 B a b 為坐標平面之兩點，且點 C − 位在線段 AB 上，又 3BC = 2 AC ，則點 B 之坐標為何？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ − 。 【98 統測(B)】 （ C ）30 在坐標平面上，若兩平行線 2 x + 4 y = k 與 − x − 2 y = 4 的距離為 20 ，且 k > 0 ，則 【98 統測(B)】 k = Ａ 8 Ｂ 10 Ｃ 12 Ｄ 28 。 （ B ）31 在坐標平面上，若兩直線 L : my = 2 x + 1 與 L : 2 y = 3x + 1 互相垂直，則 m = Ａ − 34 Ｂ −3 Ｃ − 43 Ｄ −1。 【98 統測(B)】 （ C ）32 試求函數 = + 4 + − 3 的最小值為何？ Ａ 3 Ｂ 4 Ｃ 7 Ｄ 12 。 【97 統測】 （ B ）33 在坐標平面上的平行四邊形 ABCD 中，若 A 、 B 、 C 三點的坐標分別為 − 、 − 、 − ，則 D 點應落在下列哪一個象限？ Ａ 第一象限 Ｂ 第二象限 Ｃ 第三象限 Ｄ 第四象限。 【97 統測】 ★（ A ）34 設 a 為實數，若函數 f x = a x + 3 − 9a + 2 在 x = −3 時有最大值 20 ，則 a = Ａ −2 Ｂ −1 Ｃ 1 Ｄ 2 。 【97 統測】 （ A ）35 已知三角形三頂點的直角坐標分別為 A − 、 B − 、 C ，此三角形的重 心坐標為何？ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ 。 【97 統測】 （ D ）36 在坐標平面上，設 P 、 Q 兩點的坐標分別為 − 、 − − ，線段 PQ 的長度為 何？ Ａ 4 Ｂ 6 Ｃ 8 Ｄ 10 。 【97 統測】 （ C ）37 在坐標平面上，設 a ， b 為實數，若直線 y = ax + b 通過點 與點 ，則 3a + 2b = Ａ 4 Ｂ 5 Ｃ 6 Ｄ 7 。 【97 統測】 ★（ A ）38 在坐標平面上，設 a 、 b 為實數，若 A 、 B 兩點的坐標分別為 a 、 b 且線段 AB 的垂直平分線為 2 x + y = 4 ，則 2a + b = Ａ 1 Ｂ 2 Ｃ −1 Ｄ −2 。 【97 統測】 （ B ）39 在坐標平面上，設 k 為實數，若 、 − 、 k − 三點共線，則 k = Ａ 3 【97 統測】 Ｂ 3 12 Ｃ 3 34 Ｄ 4 13 。 .

1

2

3

1

3

(

)

.

(

(

)

3)

1,

(

(

(

)

(

)

)

( 6, 4 )

)

(

)

.

(2 ,

(

(

1)

)

2 ,

1)

(

,

)

(

(

)

(

)

(1,

1)

2

(

( 4, 0 )

)

(

)

( 2, 3 )

(

)

,

)

( 0, 4 )

.

(

.

)

(

(

)

4, 4 )

(

(

)

,

)

(

(

(

)

(1,

)

2⎞ ⎛2 ⎜ ,− ⎟ 3⎠ ⎝3

(

)

1,1)

3⎞ ⎛3 ⎜ ,− ⎟ 4⎠ ⎝4

(

)

4⎞ ⎛4 ⎜ ,− ⎟ 5⎠ ⎝5

1)

.

(

)

(

)

(

(

)

.

)

1

(

)

(

.

)

(

f ( x)

x

2

(

)

x

(

)

(

)

(

)

(

)

.

(

( 0,

(

5)

( 4,

8)

)

(

(

( )

)

(

)

(

)

(

(

)

(

( 3, 3 )

)

(

)

(1, 3 )

(

)

5)

( 2, 4 )

(

(

.

)

( 6,

(

)

(

)

(

1, 8 )

( 7, 6 )

( 3, 2 )

3)

(

2,

9)

)

.

( 0, 6 )

(

)

(

)

(

)

(

(

(

.

( 2, 3 )

(

)

單元 1 直線方程式

(

)

(

)

( 3, 0 )

)

.

34

)

)

( 3,

)

(

2

.

(

)

5, 4 )

)

.

(

)

( 4,

5)

)

(

(

,

)

3)

(

)

,1) (

(

, 3)

)

(

)

★（ A ）40. 若 A (

、 B − 、 C 為坐標平面上三點，且 D 為 BC 之中點，則 AD 的直 線方程式為何？ Ａ y = 2 x + 1 Ｂ y = 2 x − 1 Ｃ 2 y = x + 1 Ｄ 2 y = x − 1。 【97 統測】 （ B ）41 在坐標平面上，兩直線 x + y − 5 = 0 ， x − 3 y + 3 = 0 與 y 軸所圍成之三角形面積為 何？ Ａ 5 Ｂ 6 Ｃ 7 Ｄ 8 。 【97 統測】 ，若 C 點在 AB 上且 （ A ）42 在坐標平面上，點 A 、 B 之坐標分別為 − 、 BC = 4 AC ，則 C 點的坐標為何？ Ａ Ｂ − Ｃ Ｄ − 。 【96 統測】 （ C ）43 在坐標平面上，若 a > 0 且 b < 0 ，則點 ab b − a 在第幾象限內？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 【96 統測】 （ A ）44 若 = 5 + 6 + 1 在 x = a 時有最小值 b ，則 a − b = Ａ 15 Ｂ 0 Ｃ − 53 Ｄ − 54 。 【96 統測】 ★（ C ）45 根據果農之種植經驗，若每畝種植 16 棵柿子樹時，則每棵樹平均可產 200 個柿子； 但每畝增加種植一棵柿子樹，則每棵會減產10 個柿子。問若欲達到最大收成的條件 下，每畝應種植幾棵為最佳？ Ａ 16 Ｂ 17 Ｃ 18 Ｄ 19 。 【95 統測】 2, 5 )

(

1, 2 ) (

( 3, 4 )

)

(

)

(

)

(

)

1

.

(

)

(

)

(

)

(

)

.

(1,

(

)

.

( 2,1)

(

(

)

.

(

(

)

( 2,

( 6,13 )

1)

(

)

(1, 2 )

)

,

(

(

)

(1,

)

2)

(

)

)

f ( x)

(

2)

x

2

x

(

)

(

)

(

)

(

)

)

.

(

)

(

)

(

)

焦點統測題（常考或須特別加強觀念的題型）

（ C ）1 若坐標平面上三點 A − 、 B 、 C a a + 在同一直線上，則 a = 【100 統測(A)】 Ａ −2 Ｂ −1 Ｃ 1 Ｄ 2 。 （ B ）2 設直線 L 通過 與 − 兩點，則原點 0 與直線 L 的距離與下列何者最接 近？ Ａ 4 Ｂ 5 Ｃ 16 Ｄ 24。 【100 統測(B)】 （ C ）3 設過點 且垂直於直線 3x − 2 y = 8 的直線方程式為 ax + by = 1 ，則 a + b = Ａ −231 Ｂ 231 Ｃ 235 Ｄ 236 。 【100 統測(A)】 （ C ）4 已知 A −5 與 B ，若點 P x y 在線段 AB 之上，且 AB : PB = 3 : 2 ，則點 P 與點 C − 的距離為何？ Ａ 5 Ｂ 3 Ｃ 2 Ｄ 1。 【98 統測(A)】 （ B ）5 在坐標平面上，若點 P a b 在第二象限，則點 Q ab b − a 在第幾象限？ Ａ 一 Ｂ 二 Ｃ 三 Ｄ 四。 【94 統測】 .

(

(

(

)

)

(

.

2, 6 )

)

(

( 3, 4 )

(

.

)

(

)

(

4)

,

)

( 9,

(

(10, 2 )

4)

)

(

(

, 0)

)

( 4, 5 )

(

)

.

(

)

(

, 3)

(

2, 4 )

(

)

(

(1, 9 )

(

(

.

(

(

)

(

)

)

(

,

)

)

,

)

(

)

(

)

(

(

,

)

)

(

)

)

單元 1 直線方程式

35